Radiação de corpo negro e o quantum

Iniciante

Olhe para uma fogueira depois que as chamas diminuem: as brasas brilham em laranja, e um carvão soprado pelo vento fica amarelo. Um oleiro julga o calor de um forno pela cor do interior. Coisas quentes brilham, e a cor mostra o quão quentes elas estão.

Passo 1. Tudo emite essa radiação térmica, até você e uma xícara de chá. Em temperaturas do dia a dia, ela é toda infravermelha, invisível para nós; câmeras térmicas a transformam em imagens. Só acima de cerca de 800 K (aproximadamente 500 °C) surge um tênue brilho vermelho.

Passo 2. Conforme um objeto esquenta, duas coisas mudam. Ele emite muito mais energia: dobre sua temperatura em kelvin e ele irradia 16 vezes mais. E sua cor muda: vermelho opaco, laranja, amarelo, depois branco. As estrelas mais quentes parecem azul-brancas; as mais frias, vermelhas.

Passo 3. O brilho é uma mistura de muitos comprimentos de onda. Na animação, a curva roxa mostra como a luz se divide entre eles. Conforme o botão é girado, a elevação desliza para a faixa do arco-íris da luz visível e os raios dourados crescem rápido. Mesmo branco-incandescente, a maior parte da curva fica no infravermelho; por isso as lâmpadas de filamento desperdiçavam tanta energia como calor.

Passo 4. Por volta de 1900, a melhor teoria da luz previa a curva errada: objetos quentes deveriam emitir uma quantidade infinita de luz violeta e ultravioleta. Max Planck corrigiu isso com uma ideia ousada: a luz é emitida em pequenos pacotes de energia, e um pacote de luz azul carrega mais energia que um de luz vermelha. Um objeto morno raramente consegue ceder energia suficiente para os grandes pacotes azuis, então seu brilho se apaga do lado azul.

Teste você mesmo: uma estrela parece laranja, outra azul-branca. Qual é mais quente? (A azul-branca.)

Intermediário

O que é um corpo negro

Tudo irradia simplesmente porque está quente: suas partículas carregadas vibram com o movimento térmico, e cargas aceleradas emitem ondas eletromagnéticas. Perto da temperatura ambiente, essa radiação térmica é quase toda infravermelha, em torno de 10 µm; só acima de cerca de 800 K uma parte suficiente dela atinge a faixa visível para mostrar um brilho vermelho opaco.

Um corpo negro absorve toda a radiação que incide sobre ele, em todos os comprimentos de onda, de modo que a luz que emite depende apenas de sua temperatura $T$, não do material nem da forma. A melhor versão de laboratório é um pequeno orifício em um forno fechado: a luz que entra é absorvida depois de ser refletida lá dentro, então o orifício parece preto quando frio e brilha com o espectro térmico puro quando quente. Estrelas e brasas incandescentes se aproximam disso, e a animação trata sua barra como uma delas.

Uma superfície real emite apenas uma fração $\epsilon$, sua emissividade, da radiação de um corpo negro na mesma temperatura. Pela lei de Kirchhoff, isso é igual à fração da radiação incidente que ela absorve: bons absorvedores são bons emissores. A fuligem tem $\epsilon \approx 0,95$; a prata polida, cerca de 0,02.

Duas leis: o pico e a potência total

A lei do deslocamento de Wien dá o comprimento de onda em que o espectro tem seu pico:
${\lambda }_{\max }T=b=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$
Dobre $T$ e ${\lambda }_{\max }$ cai pela metade. Com $b=2,898\times 10^6\mathrm{nm}\cdot \mathrm{K}$, uma pessoa a 310 K tem pico perto de 9300 nm, bem no infravermelho, enquanto o Sol, cujo espectro tem pico perto de 500 nm, deve ter cerca de 5800 K em sua superfície: a lei de Wien é um termômetro que funciona a qualquer distância.

A lei de Stefan–Boltzmann dá a potência total irradiada, somando todos os comprimentos de onda, por uma superfície de área $A$:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
$\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$
Um corpo negro, com $\epsilon =1$, irradia $\sigma T^4$ por metro quadrado. Dobrar $T$ multiplica isso por $2^4=16$, e a barra da animação, aquecida de 300 K a 3500 K, acaba irradiando $(3500/300{)}^4\approx 18500$ vezes mais.

Um corpo também absorve radiação do ambiente; se o ambiente estiver em $T_{\mathrm{env}}$, a potência líquida que ele perde é
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)$
Quando as duas temperaturas são iguais, ambos continuam irradiando, mas o fluxo líquido é zero: equilíbrio térmico.

Os quanta de Planck: por que o lado azul se apaga

Por volta de 1900, a teoria aceita previa uma radiação crescendo sem limite em direção aos comprimentos de onda curtos: qualquer objeto quente lançaria luz ultravioleta. Max Planck explicou a curva medida supondo que a matéria troca energia com a radiação de frequência $f$ apenas em quanta inteiros:
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
onde $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ é a constante de Planck. Com $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, um fóton vermelho de 620 nm carrega 2,0 eV, e um violeta de 413 nm, 3,0 eV.

Cada vibração do material quente tem uma energia térmica da ordem de $kT$, onde $k=1,381\times 10^{-23}J/K$ é a constante de Boltzmann: 0,30 eV a 3500 K. Um quantum muito maior que $kT$ raramente é emitido, com chance caindo aproximadamente como $e^{-hf/kT}$. Assim, o lado de grandes comprimentos de onda segue a teoria antiga, enquanto no lado curto os quanta ficam caros demais e a curva despenca; o pico fica onde $hf\approx 5kT$.

Exemplo resolvido: a barra da animação

No fim da animação, a barra está em $T=3500\mathrm{K}$. As duas leis dão
${\lambda }_{\max }=\frac{b}{T}=\frac{2,898\times 10^{-3}}{3500}=8,28\times 10^{-7}\mathrm{m}=828\mathrm{nm}$
$\sigma T^4=5,67\times 10^{-8}\cdot 3500^4\approx 8,51\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^2$

Esses são os valores finais nas leituras de ${\lambda }_{\max }$ e $\sigma T^4$, 828 nm e 8509 kW/m²: cada centímetro quadrado irradia cerca de 850 W. O pico fica logo além da extremidade vermelha da faixa visível, que está em 750 nm; por isso a linha azul tracejada termina logo à direita da faixa do arco-íris, e apenas cerca de 18 % da potência é luz visível.

A 1750 K, metade dessa temperatura, o pico estava duas vezes mais longe, em 1656 nm, e a potência era 16 vezes menor. No início, a 300 K, o pico estava em 9659 nm, bem fora do eixo. Os raios dourados, cujo comprimento cresce com $T^4$, aparecem apenas a 2000 K, quando a potência ainda é 11 % do valor final. A sala a 300 K devolve apenas $\sigma \cdot 300^4\approx 0,46kW/{\mathrm{m}}^2$, desprezível para a barra incandescente.

Exemplo resolvido: o Sol e a Terra

Acima da atmosfera, a luz solar entrega 1361 W/m². Essa potência saiu da superfície do Sol, de raio $R=6,96\times 10^8\mathrm{m}$, e se espalhou por uma esfera de raio $d=1,496\times 10^{11}\mathrm{m}$; assim, na superfície o fluxo era $(d/R{)}^2\approx 46200$ vezes maior:
$\sigma T^4=1361\cdot 46200\approx 6,29\times 10^{7}W/{\mathrm{m}}^2$
$T={\left(\frac{6,29\times 10^7}{5,67\times 10^{-8}}\right)}^{1/4}\approx 5770\mathrm{K}$
perto dos 5800 K que a lei de Wien deu a partir do pico de 500 nm: a potência total e a forma do espectro concordam.

A Terra intercepta a luz solar em sua seção transversal $\pi R_E^2$ e reflete cerca de 30 %, mas irradia por toda a superfície, $4\pi R_E^2$. Em equilíbrio,
$\sigma T_E^4=\frac{0,70\cdot 1361}{4}\approx 238W/{\mathrm{m}}^2\Rightarrow T_E\approx 255\mathrm{K}$
ou seja, −18 °C, com pico perto de $b/T_E\approx 11\mu \mathrm{m}$. A média medida é de cerca de 288 K: a diferença de 33 K é o efeito estufa, pois o vapor de água e o dióxido de carbono absorvem parte desse infravermelho e o devolvem para baixo.

Lendo o espectro e as cores

A curva roxa representa $B_{\lambda }$, a potência irradiada por unidade de comprimento de onda, em função de $\lambda$; a área sob ela é a potência total. Aqui seu pico é sempre desenhado na mesma altura (“pico normalizado para 1”), então a curva mostra onde está a luz, e a leitura $\sigma T^4$ diz quanta luz há. Ela é assimétrica, caindo abruptamente do lado dos comprimentos de onda curtos e com uma longa cauda infravermelha: em qualquer temperatura, apenas um quarto da potência fica abaixo de ${\lambda }_{\max }$.

A cor vem de toda a fatia visível, de 380 a 750 nm. A 1000 K, só a cauda vermelha distante a alcança: vermelho opaco. Laranja e amarelo se juntam conforme $T$ sobe, e de 5000 a 6000 K a fatia fica quase plana e parece branca; estrelas mais quentes parecem branco-azuladas. Nenhum corpo negro parece verde: quando o pico cai no verde, a curva é tão larga que a mistura é branca.

Erros comuns

• “Vermelho-incandescente” é o brilho visível mais frio, não o mais quente: estrelas vermelhas ficam perto de 3000 K, o Sol a 5800 K, estrelas azul-brancas a 10 000 K ou mais.
• O pico não é a cor: a barra a 3500 K tem pico no infravermelho, em 828 nm, mas brilha branco-incandescente.
• Corpos frios também irradiam: uma parede a 300 K emite cerca de 460 W por metro quadrado, mas absorve quase o mesmo do ambiente.
• Um corpo mais quente é mais brilhante em todos os comprimentos de onda, inclusive no vermelho: a 3500 K, a barra emite 4600 vezes mais em 650 nm do que a 1500 K, e 195 000 vezes mais em 450 nm.
• Use kelvins: aquecer uma chapa de 20 °C para 40 °C multiplica sua radiação por $(313/293{)}^4\approx 1,30$, um aumento de 30 %, não de 16 vezes.

Onde isso aparece

Câmeras térmicas e termômetros de ouvido leem infravermelho, e astrônomos leem as temperaturas das estrelas pelas cores. Lâmpadas de filamento de 2700 a 3000 K põem apenas cerca de 7 a 11 % de sua potência em luz visível, por isso os LEDs as substituíram. Os quanta de Planck levam, a seguir, a Efeito fotoelétrico e a Modelos atômicos: o átomo de Bohr.

Avançado

Radiação numa caixa: contando os modos

Todo corpo brilha, e a cor do brilho depende de sua temperatura. Para encontrar o espectro a partir de primeiros princípios, tomemos o objeto incandescente mais simples: uma cavidade fechada cujas paredes são mantidas à temperatura $T$. A radiação dentro dela entra em equilíbrio com as paredes, e seu espectro não pode depender do material das paredes. Se dependesse, duas cavidades na mesma temperatura, ligadas por um filtro que deixa passar apenas uma cor, trocariam energia nessa cor, e calor fluiria entre corpos de mesma temperatura, o que a segunda lei proíbe. Portanto a radiação é universal, e podemos estudar a cavidade mais simples de todas: um cubo de lado $L$ com paredes refletoras. Classicamente, o campo no interior é uma soma de ondas estacionárias, e a primeira tarefa é contá-las.

Legenda

$n_x$	Número inteiro de meios comprimentos de onda de uma onda estacionária ao longo de $x$.
$n_y$	Número inteiro de meios comprimentos de onda ao longo de $y$.
$n_z$	Número inteiro de meios comprimentos de onda ao longo de $z$.
$R$	Distância do ponto de um modo até a origem, $\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$; modos mais longos que $\lambda$ têm $R<2L/\lambda$.
$dR$	Espessura da casca que contém os modos entre $\lambda$ e $\lambda +d\lambda$: $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$.

A Figura 1 é o dispositivo de contagem. Uma onda estacionária precisa caber no cubo em cada eixo: ao longo de $x$ cabem exatamente $n_x$ meios comprimentos de onda em $L$, e de modo análogo $n_y$ ao longo de $y$ e $n_z$ ao longo de $z$, cada um um inteiro positivo. Assim, cada modo é uma terna $(n_x,n_y,n_z)$, ou seja, um ponto de uma rede com espaçamento 1 no espaço gerado pelos eixos $n_x$, $n_y$, $n_z$. Cada ponto da rede ocupa um cubo unitário desse espaço, de modo que contar modos equivale a medir volume.

O comprimento de onda de um modo é determinado pela distância de seu ponto à origem. Medida sobre o eixo $x$, a onda se repete a cada $2L/n_x$, e de modo análogo sobre $y$ e $z$. Os inversos desses três comprimentos de onda axiais se somam como as componentes de um vetor, o que dá
$\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{4L^2}\Rightarrow \lambda =\frac{2L}{R}$
onde $R=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ é essa distância. Pontos distantes da origem são ondas curtas.

Agora contemos. Os modos com comprimentos de onda maiores que $\lambda$ são os pontos mais próximos da origem do que $R=2L/\lambda$. Como os três números são positivos, esses pontos preenchem um oitavo de esfera, o octante delineado em azul na Figura 1. Seu volume é $\frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3$, e cada ponto representa dois modos, porque a luz é uma onda transversal cujo campo elétrico pode oscilar em duas direções independentes (duas polarizações). O número de modos mais longos que $\lambda$ é, portanto,
$N=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3=\frac{8\pi L^3}{3{\lambda }^3}$

O espectro exige o número de modos numa faixa estreita de comprimentos de onda. Alongar o comprimento de onda de $\lambda$ para $\lambda +d\lambda$ reduz $R=2L/\lambda$ em $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$, de modo que esses modos estão na casca dourada de espessura $dR$ logo abaixo da superfície azul. O volume da casca é $\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR$; com duas polarizações ela contém $8\pi L^{3}d\lambda /{\lambda }^4$ modos. Dividindo pelo volume $L^3$ do cubo e por $d\lambda$, obtemos o número de modos por unidade de volume e por unidade de comprimento de onda:
$n(\lambda )=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}$
O tamanho da caixa desapareceu, como deve ser. O termo $1/{\lambda }^4$ determina tudo o que vem a seguir: ondas curtas cabem num dado espaço em número muito maior que ondas longas.

Equipartição e a catástrofe do ultravioleta

A física clássica também diz quanta energia cada modo contém. O campo de uma onda estacionária oscila no tempo exatamente como uma massa presa a uma mola, passando sua energia entre o campo elétrico e o magnético. A equipartição da energia atribui a esse oscilador, em equilíbrio à temperatura $T$, a energia média $kT$, onde $k$ é a constante de Boltzmann: $\frac{1}{2}kT$ para cada um de seus dois termos quadráticos de energia. A energia por unidade de volume e de comprimento de onda é então $u_{\lambda }=n(\lambda )kT=8\pi kT/{\lambda }^4$.

O que um detector ou um olho recebe é a radiância $B_{\lambda }$: a potência que sai de uma superfície por unidade de área, por unidade de ângulo sólido e por unidade de comprimento de onda. A radiação de densidade de energia $u_{\lambda }$ viaja à velocidade da luz $c$, distribuída uniformemente sobre todos os $4\pi$ esterradianos de direção, de modo que $B_{\lambda }=c{u}_{\lambda }/(4\pi )$, e
$B_{\lambda }^{\mathrm{RJ}}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$
Esta é a lei de Rayleigh–Jeans. Ela concorda com as medições em comprimentos de onda longos, mas cresce sem limite quando $\lambda \to 0$, de modo que a energia total ${\int }_0^{\infty }{u}_{\lambda }d\lambda$ é infinita. Toda cavidade conteria energia infinita, acumulada nas ondas mais curtas: a catástrofe do ultravioleta.

A curva tracejada na animação deste nível é essa lei a 3500 K. Na borda direita do gráfico, em 3000 nm, ela já é 2,1 vezes a curva de Planck; no pico de 828 nm, está 29 vezes acima; só além de cerca de 20 µm ela fica a menos de 11 % da curva de Planck. A falha não é um detalhe do modelo. A contagem dos modos é uma geometria correta; o que falha é a própria equipartição. A mesma falha aparece nos calores específicos dos gases, nos quais vibrações moleculares que a equipartição diz que deveriam compartilhar o calor permanecem congeladas em baixas temperaturas.

Os osciladores quantizados de Planck

Em 1900, Planck encontrou a saída. Manteve a contagem dos modos e mudou uma única suposição: um oscilador não pode ter qualquer energia que queira, apenas múltiplos inteiros de um passo fixo.

Legenda

$E$	Energia do oscilador.	$\mathrm{J}$
$hf$	Espaçamento dos níveis de energia: um quantum de um oscilador de frequência $f$.	$\mathrm{J}$
$e^{-nx}$	Peso de Boltzmann do nível $n$, com $x=hf/kT$: cada nível pesa $e^{-x}$ vezes o nível abaixo dele.
$f$	Frequência do oscilador, isto é, do modo.	$\mathrm{Hz}$
$kT$	Energia média de um oscilador pela equipartição clássica; a linha tracejada.	$\mathrm{J}$
$kT/h$	A frequência em que um passo $hf$ é igual a $kT$.	$\mathrm{Hz}$
$\bar{E}$	Energia média do oscilador quantizado, $hf/(e^{hf/kT}-1)$.	$\mathrm{J}$

A metade esquerda da Figura 2 desenha essa regra como uma escada. Um oscilador de frequência $f$ só pode ter as energias $E_n=nhf$, com $n=0,1,2,\dots$; os degraus estão separados por $hf$, onde $h$ é uma nova constante da natureza, a constante de Planck. À temperatura $T$, a física estatística pondera o degrau $n$ pelo seu fator de Boltzmann $e^{-E_n/kT}=e^{-nx}$, com a abreviação $x=hf/kT$: o tamanho de um passo medido em unidades de $kT$. As barras verdes mostram esses pesos para $hf=kT$, isto é, $x=1$. Cada barra é $e^{-1}\approx 0,37$ vez a de baixo, de modo que a maioria dos osciladores fica nos degraus mais baixos.

A energia média é a média ponderada dos degraus. Os pesos formam uma série geométrica de razão $e^{-x}$,
${\sum }_{n=0}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}$
e a soma ponderada pela energia é $hf$ vezes o negativo da derivada dessa série em relação a $x$:
${\sum }_{n=0}^{\infty }nhf{e}^{-nx}=\frac{hf{e}^{-x}}{(1-e^{-x}{)}^2}$
Dividindo a segunda soma pela primeira, obtemos a energia média:
$\bar{E}=\frac{hf{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

A curva roxa à direita da Figura 2 é esse $\bar{E}$, traçado em função da frequência $f$; a linha tracejada é o $kT$ clássico. Siga a curva da esquerda para a direita. Quando o passo é pequeno, $hf\ll kT$, a aproximação $e^x\approx 1+x$ dá $\bar{E}\approx kT$, de modo que a curva começa sobre a linha clássica: frequências baixas, isto é, comprimentos de onda longos, ainda obedecem à equipartição. No ponto marcado, $f=kT/h$, um passo custa exatamente $kT$, e a curva já caiu para $kT/(e-1)\approx 0,58kT$. Quando $hf\gg kT$, $\bar{E}\approx hf{e}^{-hf/kT}$ é exponencialmente pequena. Mesmo o primeiro degrau é então caro demais, quase todos os osciladores permanecem no degrau 0, e os modos de comprimento de onda curto ficam congelados. O enorme número deles já não importa, e a catástrofe desaparece.

Substituindo $kT$ por $\bar{E}$, com $f=c/\lambda$, a lei de Rayleigh–Jeans se transforma na lei de Planck:
$B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$
Planck a ajustou às medições precisas feitas em Berlim em 1900 e obteve valores de $h$ e $k$ com diferença de poucos por cento em relação aos atuais: $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ e $k=1,381\times 10^{-23}J/K$.

Fótons e os coeficientes de Einstein

Planck quantizou os osciladores que emitem a luz. Em 1905, Einstein foi além e propôs que a própria luz vem em quanta de energia $hf$, depois chamados fótons. Em 1917 ele derivou mais uma vez a lei de Planck, usando apenas a troca de fótons entre átomos e radiação, e nesse processo encontrou um mecanismo que ninguém suspeitara.

Legenda

$N_1$	Número de átomos no nível inferior.
$N_2$	Número de átomos no nível superior.
$hf$	Separação entre os níveis, igual à energia de cada fóton desenhado.	$\mathrm{J}$
$B_{12}{u}_f$	Taxa com que um átomo no nível inferior absorve um fóton; $u_f$ é a densidade de energia da radiação por unidade de frequência.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$A_{21}$	Taxa com que um átomo excitado emite um fóton espontaneamente.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$B_{21}{u}_f$	Taxa com que um átomo excitado é estimulado a emitir pela radiação.	${\mathrm{s}}^{-1}$

A Figura 3 mostra átomos com dois níveis de energia separados por $hf$, imersos em radiação cuja densidade espectral de energia, a energia por unidade de volume e de frequência, é $u_f$. Há $N_1$ átomos no nível inferior e $N_2$ no superior. Cada painel é um processo: o ponto cheio marca onde o átomo começa, o círculo aberto onde termina, a seta reta é o salto, e as setas onduladas são fótons de energia $hf$.

À esquerda está a absorção: um fóton desaparece e o átomo salta para cima. Um átomo no nível inferior faz isso à taxa $B_{12}{u}_f$, proporcional à quantidade de radiação presente. No centro está a emissão espontânea: um átomo excitado decai por conta própria, à taxa $A_{21}$, e emite um fóton em direção aleatória. À direita está a emissão estimulada: um fóton que passa faz um átomo excitado decair, à taxa $B_{21}{u}_f$. Entra um fóton e saem dois.

Em equilíbrio, o número de saltos para cima por segundo é igual ao número de saltos para baixo, e as populações seguem a lei de Boltzmann, $N_2/N_1=e^{-hf/kT}$. Dividindo o balanço por $N_2$ e reunindo os termos em $u_f$, obtemos
$N_1{B}_{12}{u}_f=N_2(A_{21}+B_{21}{u}_f)\Rightarrow u_f=\frac{A_{21}}{B_{12}{e}^{hf/kT}-B_{21}}$

Compare isso com a lei de Planck escrita por unidade de frequência, $u_f=(8\pi h{f}^3/c^3)/(e^{hf/kT}-1)$. Quando $T\to \infty$, $e^{hf/kT}\to 1$ e o $u_f$ de Planck cresce sem limite; portanto o denominador acima deve se anular ali: $B_{12}=B_{21}$. O que resta então só coincide se $A_{21}/B_{21}=8\pi h{f}^3/c^3$. Absorção e emissão estimulada são igualmente intensas, e elas fixam a taxa de emissão espontânea.

A emissão estimulada é essencial. Sem ela, o balanço daria $u_f=A_{21}/(B_{12}{e}^{hf/kT})$, a forma exponencial de Wien, que falha em comprimentos de onda longos. O fóton estimulado é uma cópia exata do que o disparou, com a mesma frequência, direção e fase: esse é o princípio do laser.

Por que, então, um laser é difícil de fazer? A razão entre emissão estimulada e espontânea, $B_{21}{u}_f/A_{21}$, resulta em $1/(e^{hf/kT}-1)$, o número médio de fótons por modo. Para a barra incandescente da animação, a 3500 K e em seu pico de 828 nm, ela vale apenas 0,007: quase toda a luz de um corpo quente é espontânea. Um laser precisa, portanto, de uma inversão de população, $N_2>N_1$, que nenhum corpo em equilíbrio térmico pode fornecer. Em 1924, Bose derivou toda a lei contando fótons como partículas indistinguíveis: o início da estatística de Bose–Einstein.

As leis de Wien e de Stefan a partir da lei de Planck

Duas regras da radiação térmica eram conhecidas antes de Planck: o comprimento de onda do pico cai com $1/T$, e a potência total cresce com $T^4$. Ambas agora seguem da fórmula de Planck, com suas constantes construídas a partir de $h$, $c$ e $k$.

Primeiro o pico. Use a variável adimensional $x=hc/\lambda kT$, a energia do fóton $hc/\lambda$ em unidades de $kT$. Substituindo $\lambda =hc/(xkT)$, obtemos
$B_{\lambda }=\frac{2k^5{T}^5}{h^4{c}^3}\frac{x^5}{e^x-1}$
de modo que, a $T$ fixo, o pico está onde $x^5/(e^x-1)$ é maior. Igualando a derivada a zero, temos $5x^4(e^x-1)=x^5{e}^x$, isto é, $x=5(1-e^{-x})$. Parta do palpite $x=5$ e substitua no lado direito: obtemos 4,966, e mais uma rodada converge para a raiz $x=4,965$. Logo

${\lambda }_{\max }T=\frac{hc}{4,965k}=2,898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$

A constante de Wien não é uma nova constante da natureza, mas uma combinação de $h$, $c$ e $k$.

Agora a potência total. A potência que deixa a unidade de área da superfície, $M$, é $\pi$ vezes a integral de $B_{\lambda }$ sobre todos os comprimentos de onda. O fator é $\pi$, e não $2\pi$, porque a radiância é somada sobre todas as direções do hemisfério, cada uma ponderada pelo cosseno de seu ângulo com a normal: uma superfície vista de lado parece menor. Trocando a variável para $x$, com $d\lambda =-hcdx/(x^{2}kT)$, a integral se torna um número puro vezes $T^4$, e ${\int }_0^{\infty }{x}^3/(e^x-1)dx={\pi }^4/15$:
$M=\pi {\int }_0^{\infty }{B}_{\lambda }d\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$
$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$
o que dá a constante de Stefan–Boltzmann $\sigma =5,670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$.

A quarta potência tem uma leitura simples. Os modos com $hf$ até alguns $kT$ estão ativos e os restantes estão congelados; assim, os modos ativos chegam até uma frequência proporcional a $T$. Seu número por unidade de volume cresce com o cubo dessa frequência, ou seja, com $T^3$, e cada um carrega uma energia da ordem de $kT$: a densidade de energia, e com ela a potência emitida, cresce com $T^4$.

As duas leis foram encontradas antes de Planck. Stefan leu a quarta potência em medições de 1879; Boltzmann a derivou em 1884 a partir da termodinâmica e da pressão de radiação $u/3$, em que $u$ é a densidade de energia; e em 1893 Wien mostrou que a termodinâmica impõe a forma $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$, com alguma função $g$ de uma única variável, $\lambda T$. A termodinâmica não conseguia encontrar $g$; isso exigiu o quantum.

Lendo a família de curvas de Planck

A escala $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ é o que a animação deste nível mostra enquanto a barra esquenta. Cada curva tem a mesma forma, comprimida horizontalmente pelo fator $1/T$ e esticada verticalmente por $T^5$. De 2000 K a 3500 K, um fator de 1,75 na temperatura, o pico se desloca de 1449 nm para 828 nm e sobe $1,75^5\approx 16,4$ vezes, enquanto a área sob a curva, a potência total, cresce apenas $1,75^4\approx 9,4$ vezes, de 907 para 8509 kW/m². A altura cresce mais que a área porque a curva também se estreita.

Conforme a barra esquenta, a curva roxa sobe acima das curvas cinzas que deixa para trás e fica acima de cada uma delas em todo comprimento de onda, porque $1/(e^{hc/\lambda kT}-1)$ cresce com $T$ em todo $\lambda$: um corpo mais quente é mais brilhante em todas as cores. O pequeno gráfico é a função de quarto grau $\sigma T^4$. Ela atinge metade de seu valor final só em $3500/2^{1/4}\approx 2943\mathrm{K}$, depois de mais de quatro quintos do aumento de temperatura.

Uma cautela sobre os picos. $B_{\lambda }$ é uma densidade por unidade de comprimento de onda. Representada por unidade de frequência, a mesma radiação tem pico onde $x=3(1-e^{-x})$, em $x=2,821$, o que a 3500 K corresponde a 1457 nm, e não a 828 nm. Os picos diferem porque intervalos iguais em comprimento de onda não são intervalos iguais em frequência: $|df|=cd\lambda /{\lambda }^2$. Assim, converter uma densidade na outra a multiplica por um fator que depende de $\lambda$, e o máximo se desloca. Para o Sol, os dois picos estão em 502 nm e 883 nm. A potência em qualquer faixa é a mesma nos dois gráficos; apenas a posição do máximo de uma densidade depende da variável escolhida. “O Sol tem pico no verde” descreve um gráfico, não a luz.

Exemplo resolvido: uma barra incandescente esfria

A lei de Planck também nos diz com que rapidez um corpo quente esfria quando apenas a radiação leva seu calor embora. Desligue a corrente quando a barra estiver a $T_0=3500\mathrm{K}$. Modele-a como uma haste de tungstênio de diâmetro $d=1,0\mathrm{mm}$ no vácuo, como dentro do bulbo de uma lâmpada, de modo que a radiação seja a única saída do calor. Tome a densidade $\rho =19300kg/{\mathrm{m}}^3$, um calor específico médio $c_p=170J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ e uma emissividade média $\epsilon =0,30$, a fração da potência do corpo negro $\sigma T^4$ que a superfície real emite. Quanto tempo a haste leva para chegar a 1750 K, onde irradia $2^4=16$ vezes menos?

Estabeleça um balanço de energia para um pedaço de comprimento $\ell$ afastado das extremidades. Seu conteúdo de calor muda à taxa $m{c}_{p}dT/dt$, com massa $m=\rho \pi d^2\ell /4$, e ele perde $\epsilon \sigma T^4$ através de cada metro quadrado de sua superfície $\pi d\ell$. Dividindo ambos pela superfície, obtemos, por unidade de área,
$\frac{\rho d{c}_p}{4}\frac{dT}{dt}=-\epsilon \sigma T^4$
O comprimento desapareceu; só importa a razão entre volume e superfície, $d/4$. Separe as variáveis, $-dT/T^4=4\epsilon \sigma dt/(\rho d{c}_p)$, e integre de $T_0$ em $t=0$. Como a integral de $-T^{-4}$ é $\frac{1}{3}{T}^{-3}$,
$\frac{1}{T^3}-\frac{1}{T_0^3}=\frac{12\epsilon \sigma }{\rho d{c}_p}t\Rightarrow T=\frac{T_0}{(1+t/\tau {)}^{1/3}}$
com a constante de tempo $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)\approx 0,375\mathrm{s}$.

A curva de resfriamento

A solução tem um formato que vale a pena guardar: um início rápido e uma cauda muito longa.

Legenda

$T$	Temperatura da haste.	$\mathrm{K}$
$t$	Tempo desde que a corrente foi desligada.	$\mathrm{s}$
$T_0$	Temperatura inicial.	$\mathrm{K}$
$T_0/2$	Metade da temperatura inicial.	$\mathrm{K}$
$T_0/4$	Um quarto da temperatura inicial.	$\mathrm{K}$
$\tau$	Constante de tempo da haste, $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)$.	$\mathrm{s}$

A Figura 4 mostra essa solução, a temperatura $T$ em função do tempo $t$. A curva deixa $T_0$ quase verticalmente e depois se achata numa longa cauda. Os pontos marcam as duas metades da temperatura. $T=T_0/2$ quando $(1+t/\tau {)}^{1/3}=2$, logo $1+t/\tau =8$ e $t=7\tau$; $T=T_0/4$ quando $1+t/\tau =64$, em $t=63\tau$. As barras douradas sob o eixo do tempo mostram os dois intervalos: $7\tau$ para a primeira metade e $63\tau -7\tau =56\tau$ para a segunda, oito vezes mais longa.

Agora os números. A derivada de $T$ em $t=0$ dá a taxa inicial de resfriamento $T_0/(3\tau )\approx 3100K/s$, o início íngreme da curva. A primeira metade, $7\tau \approx 2,6\mathrm{s}$, leva a barra do calor branco a um brilho amarelo-alaranjado a 1750 K. A metade seguinte, até 875 K, onde o vermelho opaco quase desapareceu, leva oito vezes mais, cerca de 21 s. A razão: em cada etapa da segunda metade, a barra está à metade da temperatura da etapa correspondente da primeira; por isso irradia $2^4=16$ vezes mais devagar, enquanto tem apenas metade do calor a perder, 875 K de resfriamento em vez de 1750 K; e $16/2=8$. A radiação que a barra recebe de uma sala a 300 K é $(300/875{)}^4\approx 1,4\%$ do que ela emite mesmo a 875 K, então ignorá-la é razoável.

Na realidade, a emissividade do tungstênio cai para cerca de 0,1 perto de 1000 K, de modo que a fase vermelha dura ainda mais. Um filamento de lâmpada com alguns centésimos de milímetro de espessura tem um $\tau$ dezenas de vezes menor, já que $\tau$ é proporcional a $d$, e se apaga em uma fração de segundo.

Limites de validade

A lei de Planck descreve a radiação em equilíbrio térmico com a matéria a uma única temperatura. Superfícies reais emitem menos, $\epsilon (\lambda )B_{\lambda }$, com uma emissividade entre 0 e 1 que depende do comprimento de onda. A do tungstênio é maior no visível que no infravermelho, então sua luz parece um pouco mais quente do que o metal realmente está. Um gás fino emite e absorve apenas linhas espectrais estreitas, e o espectro do Sol é um corpo quase negro cortado por linhas escuras de absorção. Lasers, LEDs e lâmpadas de sódio não são fontes térmicas de modo algum.

As leis clássicas sobrevivem como limites: a exponencial de Wien para $hf\gg kT$ e Rayleigh–Jeans para $hf\ll kT$. A radioastronomia vive no segundo caso: um sinal de 1 GHz tem $hf/kT\approx 0,016$ mesmo a 3 K. A lei também supõe corpos e espaços muito maiores que o comprimento de onda térmico, isto é, o comprimento de onda perto do pico de emissão, cerca de 10 µm à temperatura ambiente. Um grão de poeira muito menor que isso irradia menos que $\sigma T^4$ por unidade de área, enquanto duas superfícies separadas por uma fração de micrômetro podem trocar calor muitas vezes mais depressa que dois corpos negros, por meio de ondas evanescentes que atravessam a lacuna por tunelamento.

Dentro de seu domínio, a lei é extraordinariamente exata. A radiação cósmica de fundo em micro-ondas, o brilho residual do universo quente primordial, segue uma curva de Planck a 2,725 K, com pico perto de 1,06 mm, com precisão de cerca de 50 partes por milhão em seu pico.

Para onde isso leva

Planck tratou a quantização como propriedade dos emissores; os quanta de luz de Einstein a levaram ao pé da letra, e Efeito fotoelétrico é onde você os encontra em seguida. Níveis discretos de energia e suas linhas espectrais são o assunto de Modelos atômicos: o átomo de Bohr, e a dupla natureza do fóton volta em Dualidade onda-partícula. Luz produzida sem calor, através de uma banda proibida, aparece em Semicondutores, diodos e LEDs. A falha da equipartição se liga a Teoria cinética dos gases, e a entropia da radiação, que orientou Planck em 1900, a Segunda lei da termodinâmica e entropia.