黑体辐射与量子

入门

在篝火的火焰熄灭之后看看余烬：它们发出橙色的光；被风吹旺的煤块会变成黄色。陶工通过窑内的颜色判断窑的温度。热的物体会发光，而它的颜色告诉我们它有多热。

第 1 步。一切物体都会发出这种热辐射，甚至包括你和一杯茶。在日常温度下，它全都是红外线，肉眼看不见；热成像仪能把它变成图像。只有在约 800 K（大约 500 °C）以上，才会出现微弱的红光。

第 2 步。物体升温时，有两件事会发生变化。它发出的能量多得多：开尔文温度翻倍，辐射能量就变为 16 倍。它的颜色也会改变：暗红、橙、黄，然后是白色。最热的恒星呈蓝白色，最冷的呈红色。

第 3 步。这种发光由许多波长混合而成。在动画中，紫色曲线显示光在各个波长间的分配。随着旋钮调高，峰值向可见光的彩虹色区域移动，金色射线迅速增多。即使白热时，曲线的大部分仍在红外区，这就是为什么白炽灯泡会把那么多能量浪费成热量。

第 4 步。大约在 1900 年，当时最好的光理论预言了错误的曲线：它说热物体应该射出无穷多的紫光和紫外线。马克斯·普朗克用一个大胆的想法解决了这个问题：光以小能量包的形式发出，蓝光的一个能量包比红光的一个能量包携带更多的能量。温暖的物体很少能拿出足够大的蓝色能量包，因此它的发光在蓝色一侧逐渐减弱。

自测：一颗星看起来是橙色，另一颗是蓝白色。哪颗更热？（蓝白色的那颗。）

中级

什么是黑体

一切物体都会辐射，只因为它们是温热的：其带电粒子随热运动而振动，加速运动的电荷会发出电磁波。在室温附近，这种热辐射几乎全是红外线，波长约 10 µm；只有在约 800 K 以上，才会有足够多的辐射落入可见波段，显出暗红色的光。

黑体会吸收落在它上面的所有波长的辐射，因此它发出的光只取决于其温度 $T$，而与材料或形状无关。最好的实验室版本是封闭烤箱上的一个小孔：射入小孔的光在内部反复反射后被吸收，因此冷时小孔看起来是黑的，热时则发出纯粹的热辐射光谱。恒星和灼热的炭块都很接近黑体，动画中也把棒当作黑体处理。

在相同温度下，真实表面只发出黑体辐射的一部分 $\epsilon$（即其发射率）。根据基尔霍夫定律，这等于它吸收入射辐射的比例：好的吸收体也是好的发射体。炭黑的 $\epsilon \approx 0.95$，抛光银约为 0.02。

两条定律：峰值与总功率

维恩位移定律给出光谱峰值所在的波长：
${\lambda }_{\max }T=b=2.898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$
$T$ 翻倍，${\lambda }_{\max }$ 就减半。取 $b=2.898\times 10^6\mathrm{nm}\cdot \mathrm{K}$，一个 310 K 的人，峰值接近 9300 nm，位于深红外区；而太阳的光谱峰值接近 500 nm，因此其表面温度必须约为 5800 K：维恩定律就是一个在任何距离都能用的温度计。

斯特藩–玻尔兹曼定律给出面积为 $A$ 的表面在所有波长上辐射的总功率：
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
$\sigma =5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$
黑体的 $\epsilon =1$，每平方米辐射 $\sigma T^4$。$T$ 翻倍会使其乘以 $2^4=16$；动画中的棒从 300 K 加热到 3500 K，最终的辐射功率约为原来的 $(3500/300{)}^4\approx 18500$ 倍。

物体也会从周围环境吸收辐射；若周围温度为 $T_{\mathrm{env}}$，它的净损失功率为
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)$
当两个温度相等时，双方仍在辐射，但净流量为零：达到热平衡。

普朗克的量子：为什么蓝色一侧会减弱

大约在 1900 年，公认的理论预言辐射会随着波长变短而无限增长：任何温热的物体都会射出紫外线。马克斯·普朗克通过假设物质只能以整数个量子的形式与频率为 $f$ 的辐射交换能量，解释了实测曲线：
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
其中 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 为普朗克常量。取 $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$，620 nm 的红光光子携带 2.0 eV，413 nm 的紫光光子携带 3.0 eV。

热材料的每个振动具有量级为 $kT$ 的热能，其中 $k=1.381\times 10^{-23}J/K$ 为玻尔兹曼常量：在 3500 K 时为 0.30 eV。远大于 $kT$ 的量子很少被发出，其概率大致按 $e^{-hf/kT}$ 下降。因此长波一侧遵循旧理论，而在短波一侧，量子变得过于“昂贵”，曲线急剧下降；峰值位于 $hf\approx 5kT$ 处。

例题：动画中的棒

动画结束时，棒的温度为 $T=3500\mathrm{K}$。两条定律给出
${\lambda }_{\max }=\frac{b}{T}=\frac{2.898\times 10^{-3}}{3500}=8.28\times 10^{-7}\mathrm{m}=828\mathrm{nm}$
$\sigma T^4=5.67\times 10^{-8}\cdot 3500^4\approx 8.51\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^2$

这些就是 ${\lambda }_{\max }$ 和 $\sigma T^4$ 读数的最终值，即 828 nm 和 8509 kW/m²：每平方厘米辐射约 850 W。峰值位于可见光波段红端（750 nm）之外，因此虚线蓝线止于彩虹条带的右侧，只有约 18% 的功率是可见光。

在 1750 K（即一半温度）时，峰值位置远了一倍，位于 1656 nm，功率则小 16 倍。开始时，300 K 的峰值位于 9659 nm，远远超出坐标轴。金色射线的长度随 $T^4$ 增长，只在 2000 K 时才出现，此时功率仍只有最终值的 11%。300 K 的房间只向外发回 $\sigma \cdot 300^4\approx 0.46kW/{\mathrm{m}}^2$，对于发光的棒来说可以忽略不计。

例题：太阳与地球

在大气层之外，阳光提供 1361 W/m² 的功率。这些功率离开太阳表面（半径 $R=6.96\times 10^8\mathrm{m}$），并散布在半径为 $d=1.496\times 10^{11}\mathrm{m}$ 的球面上，因此在太阳表面的通量要大 $(d/R{)}^2\approx 46200$ 倍：
$\sigma T^4=1361\cdot 46200\approx 6.29\times 10^{7}W/{\mathrm{m}}^2$
$T={\left(\frac{6.29\times 10^7}{5.67\times 10^{-8}}\right)}^{1/4}\approx 5770\mathrm{K}$
这与维恩定律从 500 nm 峰值得到的 5800 K 相近：总功率与光谱形状相互吻合。

地球以其横截面 $\pi R_E^2$ 截获阳光，并反射约 30%，但它从整个表面 $4\pi R_E^2$ 辐射。平衡时，
$\sigma T_E^4=\frac{0.70\cdot 1361}{4}\approx 238W/{\mathrm{m}}^2\Rightarrow T_E\approx 255\mathrm{K}$
即 −18 °C，峰值约在 $b/T_E\approx 11\mu \mathrm{m}$ 处。实测平均温度约为 288 K：33 K 的差异就是温室效应，水汽和二氧化碳吸收了一部分红外辐射并将其送回地面。

读懂光谱与颜色

紫色曲线绘制 $B_{\lambda }$（单位波长的辐射功率）随 $\lambda$ 的变化；曲线下的面积即总功率。这里峰值始终画在同一高度（“峰值归一化为 1”），因此曲线显示光集中在哪里，而 $\sigma T^4$ 读数说明辐射了多少。曲线不对称：在短波一侧陡峭下降，并拖着一条长长的红外尾巴；在任何温度下，只有四分之一的功率位于 ${\lambda }_{\max }$ 以下。

颜色来自整个可见光区段，即 380 至 750 nm。在 1000 K 时，只有远红的尾部到达这里：暗红色。随着 $T$ 升高，橙色和黄色陆续加入，在 5000 至 6000 K 时该区段几乎平坦，看起来是白色；更热的恒星呈偏蓝的白色。没有黑体看起来是绿色：当峰值位于绿色时，曲线太宽，混合结果仍是白色。

常见错误

• “红热”是最冷的可见发光，而不是最热的：红星约为 3000 K，太阳为 5800 K，蓝白星为 10 000 K 或更高。
• 峰值并不等于颜色：3500 K 的棒峰值在红外区，即 828 nm，却呈白热。
• 冷物体也会辐射：300 K 的墙每平方米发出约 460 W，但它从周围也吸收大致相同的能量。
• 较热的物体在每个波长上都更亮，包括红光：3500 K 的棒在 650 nm 处比 1500 K 时多发出 4600 倍，在 450 nm 处多 195 000 倍。
• 要用开尔文：把电热板从 20 °C 加热到 40 °C，其辐射乘以 $(313/293{)}^4\approx 1.30$，即增加 30%，而不是 16 倍。

应用场合

热成像仪和耳温计读取红外线，天文学家则从恒星的颜色读取其温度。2700 至 3000 K 的白炽灯只把约 7% 至 11% 的功率转化为可见光，这就是 LED 取代它们的原因。普朗克的量子接下来引向《光电效应》和《原子模型：玻尔原子》。

高级

空腔中的辐射：计数模式

每个物体都会发光，而光的颜色取决于其温度。要从第一原理推导光谱，取最简单的发光物体：壁温保持为 $T$ 的封闭空腔。腔内的辐射与壁达到平衡，其光谱不能取决于壁由什么材料制成。如果光谱与壁的材料有关，那么两个处于相同温度的空腔，若通过只允许一种颜色通过的滤光片相连，就会在该颜色上交换能量，热量就会在温度相等的物体之间流动，这是热力学第二定律所禁止的。因此辐射是普适的，我们可以研究最简单的空腔：边长为 $L$、壁面反射的立方体。按经典理论，腔内的场是驻波的叠加，首要任务是计数这些驻波。

图例

$n_x$	沿 $x$ 方向的驻波所含半波长的整数个数。
$n_y$	沿 $y$ 方向的半波长个数。
$n_z$	沿 $z$ 方向的半波长个数。
$R$	模式的点到原点的距离 $\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$；波长长于 $\lambda$ 的模式满足 $R<2L/\lambda$。
$dR$	容纳波长介于 $\lambda$ 与 $\lambda +d\lambda$ 之间模式的壳层厚度：$dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$。

图 1 是计数装置。驻波必须沿每个轴恰好容纳于立方体中：沿 $x$ 方向，恰好 $n_x$ 个半波长容纳于 $L$ 之中；沿 $y$ 方向同理为 $n_y$，沿 $z$ 方向为 $n_z$，每个都是正整数。因此每个模式由一个三元组 $(n_x,n_y,n_z)$ 确定，即在由各轴 $n_x$、$n_y$、$n_z$ 张成的空间中、间距为 1 的格点之一。每个格点占据该空间中的一个单位立方体，因此计数模式就等价于测量体积。

模式的波长由其格点到原点的距离决定。沿 $x$ 轴测量，波每隔 $2L/n_x$ 重复一次，$y$ 与 $z$ 轴同理。这三个轴向波长的倒数像矢量分量一样相加，得到
$\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{4L^2}\Rightarrow \lambda =\frac{2L}{R}$
其中 $R=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ 即为该距离。离原点越远的格点对应越短的波。

现在计数。波长长于 $\lambda$ 的模式，就是距原点近于 $R=2L/\lambda$ 的格点。由于三个数都是正的，这些格点填满一个球的八分之一，即图 1 中用蓝色勾勒的卦限。其体积为 $\frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3$；每个格点代表两个模式，因为光是横波，其电场可沿两个相互独立的方向振荡（两种偏振）。因此波长长于 $\lambda$ 的模式数为
$N=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4\pi }{3}{R}^3=\frac{8\pi L^3}{3{\lambda }^3}$

光谱需要知道窄波长区间内的模式数。将波长从 $\lambda$ 增加到 $\lambda +d\lambda$ 会使 $R=2L/\lambda$ 减小 $dR=2Ld\lambda /{\lambda }^2$，因此这些模式位于蓝色表面内侧、厚度为 $dR$ 的金色壳层中。该壳层的体积为 $\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR$；计入两种偏振后，它包含 $8\pi L^{3}d\lambda /{\lambda }^4$ 个模式。除以立方体的体积 $L^3$ 以及 $d\lambda$，得到单位体积、单位波长内的模式数：
$n(\lambda )=\frac{8\pi }{{\lambda }^4}$
盒子的尺寸已经消去，这是必然的。陡峭的 $1/{\lambda }^4$ 主导了接下来的一切：在给定空间中，短波模式的数量远多于长波模式。

能量均分与紫外灾难

经典物理也说明每个模式含有多少能量。一个驻波的场随时间来回摆动，恰如弹簧上的质量块，其能量在电场与磁场之间往复传递。能量均分定理指出，处于温度 $T$ 平衡态的这种振子，其平均能量为 $kT$，其中 $k$ 为玻尔兹曼常量：每个二次能量项各得 $\frac{1}{2}kT$。于是单位体积、单位波长的能量为 $u_{\lambda }=n(\lambda )kT=8\pi kT/{\lambda }^4$。

探测器或眼睛接收到的是辐亮度 $B_{\lambda }$：单位面积表面、单位立体角、单位波长发出的功率。能量密度为 $u_{\lambda }$ 的辐射以光速 $c$ 传播，均匀分布在全部 $4\pi$ 立体角的方向上，因此 $B_{\lambda }=c{u}_{\lambda }/(4\pi )$，且
$B_{\lambda }^{\mathrm{RJ}}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$
这就是瑞利–金斯定律。它与长波的测量相符，但当 $\lambda \to 0$ 时无限增大，因此总能量 ${\int }_0^{\infty }{u}_{\lambda }d\lambda$ 是无穷大。每个空腔都将包含无限的能量，并堆积在最短的波中：这就是紫外灾难。

本层动画中的虚线就是 3500 K 时的这一定律。在图的右边缘，即 3000 nm 处，它已是普朗克曲线的 2.1 倍；在 828 nm 峰值处，它高出 29 倍；只有超过约 20 µm 时才与之相差 11% 以内。这种失败并非模型细节上的问题。模式计数是可靠的几何；失效的是能量均分本身。同样的失效也出现在气体的比热中：按能量均分，分子振动本应分享热量，但在低温下它们却保持“冻结”。

普朗克的量子化振子

1900 年，普朗克找到了出路。他保留了模式计数，只改变了一个假设：振子不能取任意能量，只能取某个固定台阶的整数倍。

图例

$E$	振子的能量。	$\mathrm{J}$
$hf$	能级间距：频率为 $f$ 的振子的一个量子。	$\mathrm{J}$
$e^{-nx}$	能级 $n$ 的玻尔兹曼权重，其中 $x=hf/kT$：每一级的权重是其下方一级的 $e^{-x}$ 倍。
$f$	振子的频率，即模式的频率。	$\mathrm{Hz}$
$kT$	按经典能量均分得到的振子平均能量；即虚线。	$\mathrm{J}$
$kT/h$	一个台阶 $hf$ 恰好等于 $kT$ 的频率。	$\mathrm{Hz}$
$\bar{E}$	量子化振子的平均能量，$hf/(e^{hf/kT}-1)$。	$\mathrm{J}$

图 2 左半部分将这一规则画成阶梯。频率为 $f$ 的振子只能取能量 $E_n=nhf$，其中 $n=0,1,2,\dots$；各级台阶间距为 $hf$，其中 $h$ 是一个新的自然常量，即普朗克常量。在温度 $T$ 下，统计物理按玻尔兹曼因子 $e^{-E_n/kT}=e^{-nx}$ 对第 $n$ 级加权，其中简记 $x=hf/kT$，即以 $kT$ 为单位度量的一个台阶。绿色柱子表示 $hf=kT$（即 $x=1$）时的权重。每根柱子是其下方一根的 $e^{-1}\approx 0.37$ 倍，因此大多数振子都位于最低的几级上。

平均能量是各级能量的加权平均。权重构成公比为 $e^{-x}$ 的等比数列，
${\sum }_{n=0}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{1-e^{-x}}$
能量加权的和等于 $hf$ 乘以该级数对 $x$ 的导数（取负）：
${\sum }_{n=0}^{\infty }nhf{e}^{-nx}=\frac{hf{e}^{-x}}{(1-e^{-x}{)}^2}$
将第二个和除以第一个，得到平均能量：
$\bar{E}=\frac{hf{e}^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

图 2 右侧的紫色曲线就是这个 $\bar{E}$，作为频率 $f$ 的函数绘制；虚线为经典的 $kT$。从左向右沿曲线看：当台阶很小，$hf\ll kT$ 时，近似 $e^x\approx 1+x$ 给出 $\bar{E}\approx kT$，因此曲线从经典直线开始：低频即长波仍服从能量均分。在标记的点 $f=kT/h$ 处，一个台阶恰好耗费 $kT$，而曲线已降至 $kT/(e-1)\approx 0.58kT$。当 $hf\gg kT$ 时，$\bar{E}\approx hf{e}^{-hf/kT}$ 呈指数级地小。此时即使是第一级也太“昂贵”，几乎所有振子都停留在第 0 级，短波模式被“冻结”。它们的庞大数量不再重要，紫外灾难因此消失。

用 $\bar{E}$ 替换 $kT$，并令 $f=c/\lambda$，就把瑞利–金斯定律变成了普朗克定律：
$B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$
普朗克用 1900 年柏林的精确测量拟合了它，得到的 $h$ 与 $k$ 数值与今天的值相差在百分之几以内，即 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ 与 $k=1.381\times 10^{-23}J/K$。

光子与爱因斯坦系数

普朗克将发射光的振子量子化。1905 年，爱因斯坦更进一步，提出光本身以能量为 $hf$ 的量子形式存在，后来称为光子。1917 年，他仅凭原子与辐射交换光子这一事实，再次推导出普朗克定律，并由此发现了一个此前无人怀疑的过程。

图例

$N_1$	低能级上的原子数。
$N_2$	高能级上的原子数。
$hf$	能级之间的间隔，等于所画光子的能量。	$\mathrm{J}$
$B_{12}{u}_f$	低能级上一个原子吸收光子的速率；$u_f$ 为单位频率的辐射能量密度。	${\mathrm{s}}^{-1}$
$A_{21}$	激发态原子自发发出光子的速率。	${\mathrm{s}}^{-1}$
$B_{21}{u}_f$	激发态原子受辐射刺激而发射的速率。	${\mathrm{s}}^{-1}$

图 3 展示了两能级相距 $hf$ 的原子，它们处于光谱能量密度为 $u_f$（即单位体积、单位频率内的能量）的辐射中。低能级上有 $N_1$ 个原子，高能级上有 $N_2$ 个。每个面板表示一个过程：实心点标记原子的起始状态，空心圆标记终止状态，直箭头为其跃迁，波浪箭头为能量为 $hf$ 的光子。

左边是吸收：一个光子消失，原子跃迁到高能级。处于低能级的原子以 $B_{12}{u}_f$ 的速率进行这一过程，与所存在的辐射量成正比。中间是自发辐射：一个激发态原子自行跃迁，速率为 $A_{21}$，并朝随机方向发出一个光子。右边是受激辐射：一个经过的光子使激发态原子跃迁，速率为 $B_{21}{u}_f$。进入一个光子，射出两个光子。

在平衡时，每秒向上跃迁的数目等于向下跃迁的数目，且各能级布居服从玻尔兹曼定律 $N_2/N_1=e^{-hf/kT}$。将平衡式除以 $N_2$，并将含 $u_f$ 的项合并，得到
$N_1{B}_{12}{u}_f=N_2(A_{21}+B_{21}{u}_f)\Rightarrow u_f=\frac{A_{21}}{B_{12}{e}^{hf/kT}-B_{21}}$

将其与按单位频率写出的普朗克定律 $u_f=(8\pi h{f}^3/c^3)/(e^{hf/kT}-1)$ 比较。当 $T\to \infty$ 时，$e^{hf/kT}\to 1$，普朗克的 $u_f$ 无限增大，因此上式的分母必须在此处为零：$B_{12}=B_{21}$。在此条件下，只有当 $A_{21}/B_{21}=8\pi h{f}^3/c^3$ 时，两者才能吻合。吸收与受激辐射同样强，并且它们决定了自发辐射的速率。

受激辐射至关重要。如果没有它，平衡式将给出 $u_f=A_{21}/(B_{12}{e}^{hf/kT})$，即维恩的指数形式，它在长波区失效。受激光子与触发它的光子完全相同，频率、方向和相位都一致：这就是激光的原理。

那么，激光为何难以实现？受激辐射与自发辐射之比 $B_{21}{u}_f/A_{21}$ 等于 $1/(e^{hf/kT}-1)$，即每个模式的平均光子数。对于动画中的发光棒，在 3500 K 及其 828 nm 峰值处，该比值只有 0.007：热物体的光几乎全是自发辐射。因此激光需要粒子数反转 $N_2>N_1$，而任何处于热平衡的物体都无法提供这一条件。1924 年，玻色通过将光子视为不可分辨的粒子来计数，推导出了整个定律，这是玻色–爱因斯坦统计的起点。

从普朗克定律推导维恩定律与斯特藩定律

在普朗克之前已知两条热辐射规则：峰值波长随 $1/T$ 减小，而总功率随 $T^4$ 增长。现在两者都可以从普朗克公式推导出来，其常数由 $h$、$c$ 和 $k$ 构成。

先看峰值。使用无量纲变量 $x=hc/\lambda kT$，即以 $kT$ 为单位的光子能量 $hc/\lambda$。代入 $\lambda =hc/(xkT)$ 得到
$B_{\lambda }=\frac{2k^5{T}^5}{h^4{c}^3}\frac{x^5}{e^x-1}$
因此在固定的 $T$ 下，峰值位于 $x^5/(e^x-1)$ 最大的位置。令其导数为零，得 $5x^4(e^x-1)=x^5{e}^x$，即 $x=5(1-e^{-x})$。从猜测值 $x=5$ 出发代入右边，得到 4.966；再迭代一次便收敛到根 $x=4.965$。因此

${\lambda }_{\max }T=\frac{hc}{4.965k}=2.898\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$

维恩常量不是新的自然常量，而是 $h$、$c$ 和 $k$ 的组合。

接着看总功率。单位面积表面发出的功率 $M$ 等于 $B_{\lambda }$ 对所有波长积分再乘以 $\pi$。因子是 $\pi$ 而不是 $2\pi$，因为辐亮度要对半球的所有方向求和，每个方向以其与法线夹角的余弦加权：倾斜看去的表面显得更小。以 $x$ 为变量，$d\lambda =-hcdx/(x^{2}kT)$，积分变为一个纯数乘以 $T^4$，且 ${\int }_0^{\infty }{x}^3/(e^x-1)dx={\pi }^4/15$：
$M=\pi {\int }_0^{\infty }{B}_{\lambda }d\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$
$M=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}$
由此得到斯特藩–玻尔兹曼常量 $\sigma =5.670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$。

四次方有一个简单的解释。$hf$ 直到几个 $kT$ 的模式是活跃的，其余的被冻结，因此活跃模式的频率上限与 $T$ 成正比。它们单位体积内的数目随该频率的立方增长，即随 $T^3$ 增长，而每个模式携带的能量量级为 $kT$：能量密度，以及由此辐射的功率，按 $T^4$ 增长。

这两条定律在普朗克之前就已发现。斯特藩于 1879 年根据测量结果读出了四次方关系；玻尔兹曼于 1884 年由热力学和辐射压强 $u/3$ 推导出它，其中 $u$ 为能量密度；1893 年维恩证明，热力学要求 $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ 的形式，其中 $g$ 为单一变量 $\lambda T$ 的某个函数。热力学无法确定 $g$；那需要量子。

读懂普朗克曲线族

标度关系 $B_{\lambda }=T^{5}g(\lambda T)$ 正是本层动画在棒加热时所展示的。每条曲线形状相同，只是横向被因子 $1/T$ 压缩、纵向被 $T^5$ 拉伸。从 2000 K 到 3500 K，温度比为 1.75，峰值从 1449 nm 移动到 828 nm，并增高 $1.75^5\approx 16.4$ 倍；而曲线下的面积，即总功率，仅增加 $1.75^4\approx 9.4$ 倍，从 907 增至 8509 kW/m²。高度比面积增长得快，是因为曲线同时也变窄了。

随着棒加热，紫色曲线会越过它所抛在身后的灰色曲线而升高，并且在每个波长上都高于它们，因为 $1/(e^{hc/\lambda kT}-1)$ 在每个 $\lambda$ 处都随 $T$ 增大：温度更高的物体在每种颜色上都更亮。小图是四次方关系 $\sigma T^4$。它只有在 $3500/2^{1/4}\approx 2943\mathrm{K}$ 时才达到其最终值的一半，此时温度的上升幅度已超过五分之四。

关于峰值需要注意。$B_{\lambda }$ 是单位波长的密度。若按单位频率绘制，同一辐射的峰值位于 $x=3(1-e^{-x})$ 处，即 $x=2.821$，在 3500 K 时对应 1457 nm，而非 828 nm。两个峰值不同，是因为波长上的等间隔不是频率上的等间隔：$|df|=cd\lambda /{\lambda }^2$，因此将一种密度转换为另一种时要乘以一个依赖于 $\lambda$ 的因子，最大值的位置随之移动。对太阳而言，两个峰值分别位于 502 nm 和 883 nm。任何波段内的功率在两种图中都相同；只是密度的极大值位置取决于所选的变量。“太阳峰值位于绿色”描述的是一张图，而不是光本身。

例题：一根发光的棒冷却

普朗克定律还告诉我们，当只有辐射带走热量时，热物体冷却得有多快。在 $T_0=3500\mathrm{K}$ 时切断电流。将其建模为真空中的钨棒，直径 $d=1.0\mathrm{mm}$，如同灯泡内部，因此辐射是热量散失的唯一途径。取密度 $\rho =19300kg/{\mathrm{m}}^3$、平均比热 $c_p=170J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$，以及平均发射率 $\epsilon =0.30$（即真实表面发出的功率占黑体功率 $\sigma T^4$ 的比例）。棒需要多长时间降到 1750 K，此时它的辐射功率降为 $2^4=16$ 分之一？

对远离两端的一段长度为 $\ell$ 的棒建立能量平衡。其热含量以 $m{c}_{p}dT/dt$ 的速率变化，其中质量 $m=\rho \pi d^2\ell /4$，并通过其表面 $\pi d\ell$ 的每平方米损失 $\epsilon \sigma T^4$。两边都除以表面积，得到单位面积上的关系式
$\frac{\rho d{c}_p}{4}\frac{dT}{dt}=-\epsilon \sigma T^4$
长度已消去；只有体积与表面积之比 $d/4$ 有影响。分离变量，$-dT/T^4=4\epsilon \sigma dt/(\rho d{c}_p)$，并从 $t=0$ 时的 $T_0$ 积分。由于 $-T^{-4}$ 的积分为 $\frac{1}{3}{T}^{-3}$，
$\frac{1}{T^3}-\frac{1}{T_0^3}=\frac{12\epsilon \sigma }{\rho d{c}_p}t\Rightarrow T=\frac{T_0}{(1+t/\tau {)}^{1/3}}$
其中时间常数 $\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)\approx 0.375\mathrm{s}$。

冷却曲线

这个解有一个值得记住的形状：开始时快，之后是很长的尾巴。

图例

$T$	棒的温度。	$\mathrm{K}$
$t$	切断电流后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$T_0$	起始温度。	$\mathrm{K}$
$T_0/2$	起始温度的一半。	$\mathrm{K}$
$T_0/4$	起始温度的四分之一。	$\mathrm{K}$
$\tau$	棒的时间常数，$\tau =\rho d{c}_p/(12\epsilon \sigma T_0^3)$。	$\mathrm{s}$

图 4 绘制了这个解，即温度 $T$ 随时间 $t$ 的变化。曲线几乎垂直地离开 $T_0$，然后逐渐平缓成一条长尾。圆点标出温度两次减半的位置。当 $(1+t/\tau {)}^{1/3}=2$ 时 $T=T_0/2$，因此 $1+t/\tau =8$，$t=7\tau$；当 $1+t/\tau =64$ 时 $T=T_0/4$，即 $t=63\tau$。时间轴下方的金色条表示两段时间：第一次减半用 $7\tau$，第二次减半用 $63\tau -7\tau =56\tau$，是前者的八倍。

现在来算数值。对 $t=0$ 处的 $T$ 求导，得到初始冷却速率 $T_0/(3\tau )\approx 3100K/s$，即曲线陡峭的起点。第一次减半，$7\tau \approx 2.6\mathrm{s}$，使棒从白热降至 1750 K 的黄橙色光。下一次减半，降至 875 K，此时暗红色几乎消失，所需时间是其八倍，约 21 s。原因在于：在第二次减半的每个阶段，棒的温度都是第一次对应阶段的一半，因此它的辐射慢了 $2^4=16$ 倍，同时它只需散失一半的热量，即从 875 K 降温 875 K，而非从 1750 K 降温 1750 K；而 $16/2=8$。在 875 K 时，棒从 300 K 房间接收的辐射仅为其所发出辐射的 $(300/875{)}^4\approx 1.4\%$，因此忽略它是合理的。

实际上，钨在约 1000 K 附近的发射率降至约 0.1，因此红色阶段持续更久。厚度仅几百分之一毫米的灯丝，其 $\tau$ 要短几十倍，因为 $\tau$ 与 $d$ 成正比，不到一秒就暗下去了。

适用范围

普朗克定律描述的是与单一温度下的物质处于热平衡的辐射。真实表面发出的辐射较少，为 $\epsilon (\lambda )B_{\lambda }$，其发射率在 0 与 1 之间并随波长变化。钨在可见光区的发射率高于红外区，因此它的光看起来比金属的真实温度稍高。稀薄气体只发射和吸收窄的谱线，而太阳光谱是接近黑体的连续谱，上面叠加着暗的吸收线。激光、LED 和钠灯根本不是热光源。

经典定律作为极限仍然成立：当 $hf\gg kT$ 时为维恩的指数形式，当 $hf\ll kT$ 时为瑞利–金斯定律。射电天文学处于后一种情形：即使在 3 K 时，1 GHz 信号的 $hf/kT\approx 0.016$。该定律还假设物体及间隔远大于热波长，即辐射峰值附近的波长，在室温下约为 10 µm。远小于这一尺度的尘埃颗粒，单位面积辐射的功率小于 $\sigma T^4$；而相距不到一微米的两个表面，可以比两个黑体快得多地交换热量，这是通过穿越间隙的隐失波实现的。

在其适用范围内，该定律极其精确。宇宙微波背景是热早期宇宙的余辉，它遵循温度为 2.725 K 的普朗克曲线，峰值在约 1.06 mm 处，偏差在其峰值的约百万分之五十以内。

由此引出的内容

普朗克把量子化看作发射体的性质；爱因斯坦的光量子则把它当作光本身的性质，接下来就会在《光电效应》中遇到它们。离散能级及其谱线是《原子模型：玻尔原子》的主题，光子的二重性在《波粒二象性》中再次出现。不靠加热、跨越能隙产生的光，见于《半导体、二极管与发光二极管》。能量均分的失效与《气体分子动理论》相关，而在 1900 年指引普朗克的辐射熵，则通向《热力学第二定律与熵》。