Trabalho, energia e potência

Iniciante

Na linguagem do dia a dia, segurar uma mala pesada por dez minutos é um esforço enorme. Na física, não é trabalho nenhum, porque trabalho tem um significado preciso: uma força realiza trabalho quando move algo na direção em que empurra ou puxa. Trabalho = força × distância, medido em joules (J). Empurre um carrinho com 10 N por 3 m e você realiza 30 J de trabalho.

Realizar trabalho sobre algo dá energia a esse algo, a capacidade de realizar trabalho. Dois tipos importam aqui. Um objeto erguido tem energia de altura (energia potencial gravitacional): peso × altura. Erguer um saco de farinha de 20 N até uma prateleira a 1,5 m armazena 30 J. Um objeto em movimento tem energia de movimento (energia cinética), $\frac{1}{2}m{v}^2$. Como a velocidade entra ao quadrado, um carro com o dobro da velocidade carrega quatro vezes a energia.

A energia nunca é criada nem destruída; ela apenas muda de forma. Deixe uma bola cair: ela perde energia de altura e ganha exatamente a mesma energia de movimento. Quando ela bate no chão, a energia de movimento deforma a bola e o piso por um instante, e parte dela vira calor e som; por isso a bola nunca volta à altura de onde partiu.

A potência indica com que rapidez o trabalho é realizado, em watts: um watt é um joule por segundo. Duas pessoas que levam a mesma caixa pela mesma escada realizam o mesmo trabalho; a que for mais rápida desenvolve mais potência.

Teste: você carrega uma caixa por uma sala plana com velocidade constante. Quanto trabalho sua força para cima realiza sobre a caixa? (Nenhum: a caixa se move para o lado, em ângulo reto com a sua força.)

Na animação, a barra azul de “altura” encolhe e a barra dourada de “movimento” cresce enquanto a bola cai; a barra verde do total continua igual.

Intermediário

Trabalho: a força ao longo do deslocamento

Na física, uma força só realiza trabalho se o objeto se move enquanto a força atua, e só a parte da força na direção do movimento conta. Para uma força constante $F$ e um deslocamento retilíneo $d$ que forma um ângulo $\theta$ com a força,
$W=Fd\cos \theta$

O trabalho é medido em joules, $1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, aproximadamente o trabalho para erguer uma maçã de 100 g a um metro. Ele é uma grandeza escalar: não tem direção, mas tem sinal.

O ângulo entre a força e o deslocamento define esse sinal:

• Na direção do movimento, $\theta =0^{\circ }$ e $W=Fd$: a força fornece energia ao objeto.
• Em ângulo reto, $\theta =90^{\circ }$ e a força não realiza trabalho: o chão sob uma caixa deslizante, ou uma corda que gira uma pedra em círculo.
• Contra o movimento, $\theta =180^{\circ }$ e $W=-Fd$: o atrito e os freios retiram energia do movimento.

Quando atuam várias forças, cada uma realiza seu próprio trabalho, e o trabalho líquido é a soma deles.

Energia cinética e o teorema trabalho-energia

Empurre um carrinho de massa $m$ com uma força resultante constante $F$ por uma distância $d$. Com $a=F/m$, a relação cinemática $v^2=v_0^2+2ad$, multiplicada por $m/2$, torna-se $Fd=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. O que o trabalho altera é a energia cinética,
$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$
e o trabalho líquido de todas as forças é igual à sua variação. Este é o teorema trabalho-energia:
$W_{\mathrm{net}}=\Delta KE$

Trabalho líquido positivo acelera um objeto, e negativo o freia. A energia cinética nunca é negativa, não depende do sentido do movimento e cresce com o quadrado da velocidade.

Energia potencial e conservação da energia

Quando uma bola de massa $m$ desce da altura $h_1$ até $h_2$, seu peso $mg$ realiza o trabalho $mg(h_1-h_2)$ independentemente do caminho, pois apenas a parte vertical de cada pequeno trecho coincide com o peso. Trabalho que depende apenas dos pontos inicial e final pode ser armazenado e devolvido; por isso ele é contabilizado como energia potencial:
$PE=mgh$

A altura $h$ é medida a partir de um nível escolhido, pois só importam as variações de $PE$. O trabalho da gravidade é positivo na descida, onde $PE$ cai, e negativo na subida.

Se só a gravidade, ou uma mola ideal, realiza trabalho, cada joule que sai de $PE$ reaparece em $KE$, e a energia mecânica permanece a mesma:
$KE+PE=\text{constant}\text{(no friction or drag)}$

Assim, um objeto solto de uma altura $h$ chega a $v=\sqrt{2gh}$, a partir de $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$. A massa se cancela, e numa rampa sem atrito a forma da pista também não importa: a pista empurra em ângulo reto com o movimento e não realiza trabalho.

Exemplo resolvido: a bola que cai na animação

A bola de 2 kg é solta do repouso de $h_0=18\mathrm{m}$. Com o chão como $h=0$, toda a sua energia no início é potencial:
$E=mg{h}_0=2\cdot 9,81\cdot 18\approx 353\mathrm{J}$

No meio da queda, em $h=9\mathrm{m}$, metade já mudou de forma: $PE\approx 177\mathrm{J}$ e $KE\approx 177\mathrm{J}$, logo $v=\sqrt{2KE/m}\approx 13,3m/s$. Logo antes de tocar o chão, $PE=0$ e $KE=E$:
$v=\sqrt{2g{h}_0}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 18}\approx 18,8m/s$

Estes são os valores dos indicadores $PE$, $KE$ e $v$, e o último quadro, o instante logo antes de tocar o chão, mostra $KE=E$ e $PE=0$. Durante toda a queda, a barra azul $PE$ e a barra dourada $KE$ somam a barra verde $E$, enquanto a seta da velocidade $v$ cresce.

A queda dura $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$, mas a metade da altura só é atingida em 1,35 s. Na metade do tempo, 0,96 s, a bola caiu apenas 4,5 m, e só um quarto da energia, 88 J, mudou de forma. A energia se distribui pela altura, não pelo tempo, e a bola percorre mais altura a cada segundo: suas imagens tênues, separadas por 0,4 s, ficam cada vez mais distantes.

Exemplo resolvido: puxando um trenó carregado

Uma criança puxa um trenó de 25 kg, parado, por 20 m sobre neve plana. A corda forma $30^{\circ }$ com o chão e tem tração de 60 N, e o atrito nas lâminas é de 30 N. Qual é a velocidade do trenó no fim?

A corda realiza $60\cdot 20\cdot \cos 30^{\circ }\approx 1039\mathrm{J}$ de trabalho, e o atrito, apontando para trás, realiza $30\cdot 20\cdot \cos 180^{\circ }=-600\mathrm{J}$. O peso e a força normal da neve são verticais, em ângulo reto com o movimento, e não realizam trabalho. O trabalho líquido é 439 J, e a partir do repouso o teorema trabalho-energia dá
$v=\sqrt{\frac{2W_{\mathrm{net}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 439}{25}}\approx 5,9m/s$

As leis de Newton concordam: a parte da tração voltada para a frente, $60\cos 30^{\circ }\approx 52\mathrm{N}$, deixa uma força resultante de 22 N, logo $a\approx 0,88m/{\mathrm{s}}^2$ e $v^2=2\cdot 0,88\cdot 20\approx 35{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$. O caminho pela energia não precisou nem da aceleração nem do tempo.

Potência e leitura de gráficos de energia

Potência é a taxa com que o trabalho é realizado, medida em watts, $1\mathrm{W}=1J/s$:
$P=\frac{W}{t}$
Para uma força na direção do movimento com velocidade $v$, o trabalho num intervalo curto $\Delta t$ é $Fv\Delta t$, logo $P=Fv$. No fim do percurso, a corda fornece $52\cdot 5,93\approx 308\mathrm{W}$, mas só 154 W em média nos 6,7 s, já que o trenó partiu do repouso.

Num gráfico de força contra distância, a área sob a linha é o trabalho: um retângulo $Fd$ para força constante, um triângulo $\frac{1}{2}k{x}^2$ para uma mola cuja força cresce com o alongamento, $F=kx$. Num gráfico de energia contra tempo, a inclinação é a potência. A potência da gravidade sobre a bola que cai, $mgv$, sobe de zero até $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$ no impacto, por isso a barra dourada enche devagar no início e depois cada vez mais rápido.

Erros comuns

• Trabalho não é esforço. Segurar parada uma mala de 20 kg por dez minutos não realiza trabalho sobre ela; seus músculos queimam energia química só para se manterem tensos.
• Energia cinética não é proporcional à velocidade. De 15 m/s para 30 m/s, a $KE$ de um carro de 1200 kg passa de 135 kJ para 540 kJ; com a mesma força de frenagem, ele precisa de quatro vezes a distância de frenagem.
• Trabalho pode ser negativo. O atrito realizou $-600\mathrm{J}$ sobre o trenó: essa energia saiu do movimento e reapareceu como calor nas lâminas e na neve.
• Um único valor de $PE$ não significa nada sem seu nível zero. A bola tem 353 J em relação ao chão e 0 J em relação ao ponto de partida, mas a queda libera 353 J de qualquer modo.
• Objetos mais pesados não chegam mais rápido quando só a gravidade atua. Uma bola de 4 kg solta de 18 m tem 706 J, o dobro, mas ainda chega a 18,8 m/s: a massa se cancela.

Onde isso aparece

Projetistas de montanhas-russas partem de $KE+PE$: um carro solto do repouso 40 m acima do ponto mais baixo pode atingir no máximo $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 40}\approx 28m/s$, cerca de 100 km/h. Usinas hidrelétricas transformam a energia potencial da água em eletricidade: cerca de 0,98 MJ para cada tonelada que cai 100 m.

As lições seguintes usam a mesma contabilidade: Máquinas simples: alavancas, polias e engrenagens (nenhuma máquina devolve mais trabalho do que recebe), Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação (a energia de uma mola esticada), Movimento harmônico simples, Princípio de Bernoulli, Campo elétrico e potencial, e Primeira lei da termodinâmica e máquinas térmicas, que acrescenta o calor à conta.

Avançado

Trabalho como integral de linha

A regra $W=Fd\cos \theta$ exige uma força constante e um caminho reto. Forças reais mudam de um lugar para outro e trajetórias reais se curvam, então precisamos de uma definição de trabalho que lide com ambos. Tudo o mais nesta lição se apoia nela.

Legenda

$A$	Início do caminho.
$B$	Fim do caminho.
$d\vec{r}$	Um pequeno trecho ao longo do caminho, de comprimento $dr$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Força sobre a partícula no início do trecho.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Ângulo entre $\vec{F}$ e o trecho.	$\mathrm{rad}$
$F\cos \theta$	Componente de $\vec{F}$ ao longo do trecho: a única parte que realiza trabalho.	$\mathrm{N}$

A figura 1 mostra uma partícula se movendo ao longo de um caminho curvo de $A$ até $B$, enquanto a força sobre ela muda de ponto para ponto. A ideia é dividir o caminho em trechos tão curtos que cada um seja praticamente reto e a força quase não mude ao longo dele. Em um trecho assim, a regra simples volta a valer.

Observe o trecho ampliado $d\vec{r}$: uma seta de comprimento $dr$ apontando ao longo do caminho. No ponto onde começa, a força é $\vec{F}$, formando o ângulo $\theta$ com o trecho. Os pequenos pontos ao longo da curva marcam onde começam outros trechos; cada um tem sua própria força e seu próprio ângulo.

Somente a parte de $\vec{F}$ ao longo do trecho empurra a partícula nessa direção; a parte perpendicular apenas a empurra de lado. Para achar a parte ao longo do trecho, trace a perpendicular tracejada a partir da ponta de $\vec{F}$ até a reta do trecho: a barra verde que ela determina tem comprimento $F\cos \theta$. O trabalho realizado nesse trecho é essa componente vezes o comprimento do trecho:
$dW=F\cos \theta dr=\vec{F}\cdot d\vec{r}$

O produto escalar aparece porque ele é exatamente isso: a componente de um vetor na direção do outro, vezes o comprimento do outro. O trabalho total de $A$ a $B$ é a soma sobre todos os trechos. Conforme os trechos ficam mais curtos, a soma se torna a integral de linha
$W={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^B\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)$
A segunda forma escreve o produto escalar em componentes, que é como a integral costuma ser calculada.

Duas consequências seguem imediatamente. Para uma força constante em caminho reto, $\vec{F}$ sai da integral e os trechos somam o deslocamento, o que devolve $W=Fd\cos \theta$. E dividindo $dW$ pelo tempo $dt$ que o trecho leva, com $d\vec{r}/dt=\vec{v}$, obtemos a potência que a força entrega em cada instante, $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$.

Trabalho não é algo que um corpo possui. Ele descreve um processo: uma quantidade de energia transferida de quem exerce a força para o corpo sobre o qual ela atua.

Dedução do teorema trabalho-energia

A integral de linha se torna útil quando é ligada ao movimento. A segunda lei de Newton faz essa ligação, e o resultado, o teorema trabalho-energia, afirma que o trabalho líquido sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Comece com a variação de $KE$ no tempo. O quadrado da velocidade é o produto escalar da velocidade por si mesma, $v^2=\vec{v}\cdot \vec{v}$, e pela regra do produto sua taxa de variação é $2\vec{v}\cdot d\vec{v}/dt$. Para uma partícula de massa constante $m$, portanto,
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=m\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \vec{v}$
O último passo é a segunda lei de Newton, $md\vec{v}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{net}}$: a taxa de variação de $KE$ é a potência da força resultante.

Agora integre no tempo, do início ao fim. Em um intervalo $dt$, a partícula percorre o trecho $d\vec{r}=\vec{v}dt$, então a integral temporal de ${\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \vec{v}$ se torna uma integral de linha ao longo da trajetória:
$\Delta KE=\int {\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot d\vec{r}=W_{\mathrm{net}}$

Essa dedução não supôs nada sobre a força nem sobre o caminho. O teorema, portanto, vale para a força resultante sobre uma partícula, tenha ou não essa força uma energia potencial.

Forças que não realizam trabalho

Algumas forças agem sobre um corpo o tempo todo e, mesmo assim, nunca mudam sua velocidade. Identificá-las simplifica os problemas de energia, porque elas saem do balanço.

Legenda

$h$	Altura inicial acima do chão: quanto a bola cai.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Peso da bola, para baixo.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Força normal da pista sobre a bola, perpendicular à pista.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Velocidade da bola, ao longo da pista.	$m/s$

A figura 2 mostra uma bola que desliza do repouso por uma rampa sem atrito de forma qualquer, começando na altura $h$ acima do chão. Duas forças agem sobre ela: seu peso $m\vec{g}$, para baixo, e a força normal $\vec{N}$ da pista. Uma pista lisa só pode empurrar perpendicularmente à sua própria superfície. A bola se move ao longo dessa superfície, então sua velocidade $\vec{v}$ aponta ao longo da pista. O pequeno quadrado marca o ângulo reto entre $\vec{N}$ e $\vec{v}$: a cada instante $\vec{N}\cdot \vec{v}=0$, então a potência de $\vec{N}$ é zero, e a força normal não realiza trabalho, não importa como a pista se curve.

Isso vale em geral. Decomponha qualquer força em uma parte ao longo da velocidade e outra perpendicular a ela. Só a parte ao longo de $\vec{v}$ muda a velocidade; a parte perpendicular apenas curva a trajetória. A força normal de uma pista sem atrito, a tração no fio de um pêndulo e a força magnética sobre uma carga em movimento são todas perpendiculares a $\vec{v}$, então nenhuma realiza trabalho. Na figura 2, resta apenas o peso para mudar a energia cinética.

Para achar o trabalho do peso, seja $y$ a altura da bola acima do chão em qualquer instante: $y=h$ no início e $y=0$ no fim. O peso aponta direto para baixo, então só conta a parte vertical de $\vec{v}$, que é $dy/dt$:
$m\vec{g}\cdot \vec{v}=-mg\frac{dy}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(mgy\right)$
O sinal de menos aparece porque o peso aponta para baixo enquanto $y$ é medido para cima. Ao longo de toda a descida, o peso realiza o trabalho $mgh$, que depende apenas da queda, não do formato da pista. O teorema então dá $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$: uma rampa sem atrito de qualquer formato entrega a mesma velocidade no fundo, $v=\sqrt{2gh}$.

Leia a equação da potência de trás para frente: a taxa com que $KE$ cresce é exatamente a taxa com que $mgy$ cai. Sem outra força realizando trabalho, a soma $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy$ permanece constante ao longo de qualquer caminho. A conservação da energia não é uma hipótese extra aqui: ela decorre da segunda lei de Newton junto com a forma da força.

O que o gráfico de energia mostra

A visão Avançado da animação traça essas energias contra o tempo para a bola que cai desta lição, de modo que a contabilidade possa ser observada enquanto acontece.

A bola, de massa $m=2\mathrm{kg}$, é solta do repouso na altura $h_0=18\mathrm{m}$ e cai livremente. Após um tempo $t$, sua altura é $h=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$ e sua velocidade é $v=gt$. Substituindo isso em $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$ e $PE=mgh$, obtemos
$KE(t)=\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2,PE(t)=mg{h}_0-\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2$
O coeficiente é $\frac{1}{2}m{g}^2\approx 96,2J/{\mathrm{s}}^2$. A parábola dourada de $KE$ abre para cima, e a parábola azul de $PE$ é sua imagem espelhada. Na soma, os termos em $t^2$ se cancelam, então o total verde permanece horizontal em $mg{h}_0\approx 353\mathrm{J}$: $dE/dt=0$.

A inclinação da curva de $KE$ é a potência que a gravidade entrega, $dKE/dt=m{g}^{2}t=mgv$, que é $\vec{F}\cdot \vec{v}$ para o peso. Ela é zero no instante da soltura, cerca de 184 W na metade do tempo de queda e $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$ no impacto. A queda dura $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$, então a potência média é $353/1,92\approx 184\mathrm{W}$: metade do valor final, porque $v$ cresce em proporção ao tempo. A inclinação de $PE(t)$ é exatamente o oposto, e assim o gráfico mostra que $W=-\Delta PE$.

Se as energias fossem traçadas contra a altura em vez do tempo, ambas seriam retas, $PE=mgh$ e $KE=mg(h_0-h)$. As curvas no tempo apenas refletem que a bola percorre mais altura a cada segundo conforme acelera.

Forças conservativas e energia potencial

O trabalho do peso dependeu apenas de onde a bola começou e onde terminou. Forças com essa propriedade são especiais: seu trabalho pode ser armazenado e recuperado, e esse armazenamento é a energia potencial.

Uma força é conservativa se seu trabalho de um ponto $A$ a um ponto $B$ for o mesmo ao longo de qualquer caminho entre eles. De forma equivalente, seu trabalho em torno de qualquer laço fechado é zero: vá por um caminho e volte por outro, e as duas contribuições se anulam. Gravidade, molas ideais e forças eletrostáticas são conservativas. Como seu trabalho depende apenas dos pontos extremos, ele pode ser escrito como a diminuição de uma função da posição, a energia potencial $U$:
$W_{A\to B}=-(U_B-U_A)$
Somente diferenças de $U$ aparecem, então $U$ é definida a menos de uma constante aditiva: somos livres para escolher onde ela vale zero.

Para a gravidade há ainda um argumento, sem nenhuma dinâmica, de por que peso vezes altura é a quantidade certa a acompanhar. Imagine máquinas ideais (alavancas, polias) que baixam um peso para erguer outro, e chame uma máquina de reversível se rodá-la ao contrário desfizer exatamente o que ela fez. Suponha que alguma máquina consiga erguer uma carga mais alto do que uma reversível para a mesma descida do peso motor. Rodando a primeira para frente e a reversível para trás, o peso motor volta ao ponto de partida, mas a carga fica mais alta, de graça. Repetido, isso seria um moto perpétuo, que nunca é observado. Logo nenhuma máquina supera uma reversível, e todas as reversíveis fazem exatamente o mesmo. Uma alavanca em equilíbrio troca peso por altura na proporção exata; o que todas mantêm inalterado é o total de peso vezes altura.

Lendo um gráfico de energia potencial

Um gráfico de $U$ contra a posição mostra de relance para onde um corpo pode ir, onde ele retorna e para que lado é empurrado, sem resolver nenhuma equação de movimento.

Legenda

$x$	Posição do corpo sobre a linha.	$\mathrm{m}$
$U$	Energia potencial do corpo na posição $x$.	$\mathrm{J}$
$E$	Energia total $KE+U$: constante, desenhada como linha de nível.	$\mathrm{J}$
$KE$	Energia cinética: a distância entre o nível $E$ e a curva $U$.	$\mathrm{J}$
$F$	Força $-dU/dx$ sobre o corpo no ponto marcado: aponta morro abaixo e é maior onde a inclinação é mais forte. Zero nos dois pontos marcados $F=0$.	$\mathrm{N}$
$x_1$	Ponto de retorno à esquerda, onde $U=E$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Ponto de retorno à direita, onde $U=E$.	$\mathrm{m}$

A figura 3 traça a energia potencial $U(x)$ de um corpo que se move ao longo de uma linha, onde $x$ é sua posição. A linha horizontal é sua energia total $E=KE+U$, que permanece constante enquanto só forças conservativas realizam trabalho. Como $KE=E-U$, a energia cinética em cada $x$ é a altura da lacuna dourada entre o nível $E$ e a curva logo abaixo.

A energia cinética não pode ser negativa, então o corpo só pode estar onde a curva fica sobre ou abaixo de $E$. A lacuna se fecha nos pontos de retorno $x_1$ e $x_2$, onde $U=E$: ali o corpo para por um instante e volta, oscilando entre eles como uma bolinha numa tigela. A colina à direita sobe acima de $E$, então um corpo com essa energia não consegue atravessá-la.

O gráfico também fornece a força. Quando o corpo se desloca $dx$, a força realiza o trabalho $Fdx$, e para uma força conservativa esse trabalho é igual à queda da energia potencial, $-dU$. Igualando $Fdx=-dU$ obtemos
$F=-\frac{dU}{dx}$
e em três dimensões $\vec{F}=-\nabla U$. Por causa do sinal de menos, em qualquer gráfico de $U(x)$ a força aponta morro abaixo. Na figura 3, a seta $F$, desenhada na encosta entre o fundo do poço e $x_2$, aponta de volta para o fundo; onde a curva é mais íngreme, a força é maior. Onde a inclinação é zero, a força se anula, nos dois pontos marcados $F=0$.

Esses dois pontos são equilíbrios, mas de tipos diferentes. O fundo do poço é um mínimo de $U$: um pequeno deslocamento para qualquer lado encontra uma força de volta para ele, então o equilíbrio é estável. O topo da colina é um máximo: um pequeno deslocamento encontra uma força que empurra o corpo ainda mais para longe, então o equilíbrio é instável. Como conferência, o potencial de mola $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ reproduz a lei de Hooke, $F=-kx$.

Atrito, calor e o balanço completo de energia

Nem toda força é conservativa. O atrito é a exceção do dia a dia, e incluí-lo completa a contabilidade da energia.

O trabalho do atrito cinético cresce com o comprimento do caminho, e é negativo qualquer que seja o sentido em que o corpo desliza, porque o atrito sempre se opõe ao deslizamento. Um percurso de ida e volta, portanto, deixa trabalho negativo, não zero, e nenhuma energia potencial pode descrever isso. Separe o trabalho líquido em parte realizada por forças conservativas, que é $-\Delta U$, e o restante, $W_{\mathrm{nc}}$ (não conservativo). O teorema trabalho-energia, $\Delta KE=-\Delta U+W_{\mathrm{nc}}$, torna-se então
$\Delta KE+\Delta U=W_{\mathrm{nc}}$
$W_{\mathrm{nc}}$ reúne o atrito e o arrasto, que o tornam negativo, e também contribuições positivas, como a força de um motor ou de músculos.

Veja o efeito em números. Um bloco de 2 kg solto da altura de 18 m da animação desliza por uma rampa reta, formando o ângulo $\alpha$ com a horizontal, com coeficiente de atrito cinético $\mu =0,2$. A força normal é $mg\cos \alpha$, então o atrito é $\mu mg\cos \alpha$, e atua ao longo de toda a rampa, de comprimento $h_0/\sin \alpha$. O produto deles é o trabalho do atrito:
$W_{\mathrm{nc}}=-\mu mg\cos \alpha \cdot \frac{h_0}{\sin \alpha }=-\frac{\mu mg{h}_0}{\tan \alpha }$
Numa rampa de $30^{\circ }$, isso dá $-122\mathrm{J}$, o que deixa $353-122=231\mathrm{J}$ de energia cinética e uma velocidade de 15,2 m/s na base. Numa rampa de $60^{\circ }$, é só $-41\mathrm{J}$, e o bloco chega a 17,7 m/s. Mesma queda, caminhos diferentes, trabalhos diferentes: a marca de uma força não conservativa.

A energia não é destruída. O atrito faz os átomos das duas superfícies vibrarem, e esse movimento aleatório é energia térmica. Na escala dos átomos, as forças são conservativas; o atrito apenas transforma movimento ordenado em movimento desordenado. Um bloco que desliza uma distância $d$ num piso plano, pressionado pela força normal $N$, produz $\mu Nd$ de energia térmica. Contando essa energia, a energia se conserva exatamente: é a primeira lei da termodinâmica vista pela mecânica. O calor nunca volta sozinho para o movimento do bloco, uma via de mão única que a segunda lei da termodinâmica descreve.

Problema resolvido: uma bola caindo sobre uma mola

Este problema junta gravidade e mola num único balanço de energia, e mostra o tamanho da força necessária para parar um corpo em queda numa distância curta.

Legenda

$m$	Massa da bola.	$\mathrm{kg}$
$k$	Rigidez da mola.	$N/m$
$h_0$	Altura do ponto de soltura acima do topo da mola.	$\mathrm{m}$
$x$	Compressão da mola no ponto mais baixo da queda.	$\mathrm{m}$
$h_0+x$	Distância total caída, da soltura até o ponto mais baixo.	$\mathrm{m}$

A figura 4 monta o problema. A bola da animação, de massa $m=2\mathrm{kg}$, é solta do repouso a uma altura $h_0=18\mathrm{m}$ acima de uma mola leve de rigidez $k=5000N/m$, que está de pé, com o topo ao nível do chão. Qual é a compressão $x$ da mola quando a bola para? À direita da figura, a bola cai $h_0$ até alcançar a mola e depois mais $x$ enquanto a comprime, ou seja, cai $h_0+x$ ao todo. A figura não está em escala: o $x$ real é cerca de cinquenta vezes menor que $h_0$.

A bola começa e termina em repouso, então $\Delta KE=0$. Sem perdas, todo o trabalho que o peso realiza durante toda a queda precisa ficar armazenado na mola: os 353 J originais mais o $mgx$ extra liberado quando a bola afunda abaixo do nível do chão. Assim,
$mg(h_0+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
Com os números, isso é uma equação quadrática em $x$, e sua raiz positiva é a resposta:
$2500x^2-19,62x-353,16=0,x\approx 0,380\mathrm{m}$

O termo extra altera a resposta em apenas 1%: sem ele, $x=\sqrt{2\cdot 353/5000}\approx 0,376\mathrm{m}$. A força máxima sobre a bola, $kx\approx 1900\mathrm{N}$, é cerca de 97 vezes o seu peso. Colchões de proteção e zonas de deformação dos carros funcionam ao contrário: absorvem a energia numa distância maior, e o dobro da distância significa metade da força média.

O mesmo problema pode ser lido num gráfico de energia potencial. Escreva a energia potencial como função da compressão $x$ em qualquer instante enquanto a bola toca a mola (a resposta acima é o maior valor de $x$), com $U=0$ no topo da mola:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$
O termo da mola cresce conforme ela é comprimida; o termo da gravidade cai conforme a bola afunda. O mínimo de $U$, onde $dU/dx=kx-mg=0$, está em $x=mg/k\approx 3,9\mathrm{mm}$: ali a força da mola equilibra o peso, e a bola poderia repousar sobre a mola. O ponto mais baixo da queda não é esse mínimo, mas o ponto de retorno onde $U=E$, como na figura 3. Sem perdas, a bola quicaria, deixaria a mola a 18,8 m/s e subiria de volta até 18 m.

Limites de validade

As duas fórmulas de energia desta lição são aproximações, e o próprio teorema trata de partículas. Veja onde cada uma deixa de funcionar.

$mgh$ é a forma próxima à superfície da energia potencial gravitacional $U=-GMm/r$, em que $M$ é a massa da Terra e $r$ a distância ao seu centro. Em termos exatos, elevar uma massa da superfície, no raio $R\approx 6371\mathrm{km}$, até uma altura $h$ custa $mghR/(R+h)$. Assim, $mgh$ é maior que o valor exato por uma fração de cerca de $h/R$: $3\times 10^{-6}$ para a queda de 18 m, mas 6% para elevar até os 400 km de altitude da estação espacial. Deixando $h$ crescer sem limite, obtém-se a energia necessária para escapar totalmente da Terra, $mgR$, cerca de 62,5 MJ por quilograma, o que corresponde a uma velocidade de escape de 11,2 km/s.

$\frac{1}{2}m{v}^2$ é a forma para baixas velocidades da energia cinética relativística $(\gamma -1)m{c}^2$, em que $c$ é a velocidade da luz e $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. A primeira correção soma à energia uma fração $\frac{3}{4}{v}^2/c^2$: cerca de $3\times 10^{-15}$ para a bola a 18,8 m/s, enquanto a meia velocidade da luz a fórmula clássica fica 19% abaixo. A energia também tem massa: os 353 J da bola correspondem a $353/c^2\approx 4\times 10^{-15}\mathrm{kg}$.

O teorema é uma afirmação sobre uma partícula. Para um corpo que gira, se deforma ou tem reservatórios próprios de energia, a integral $\int {\vec{F}}_{\mathrm{net}}\cdot d{\vec{r}}_{\mathrm{cm}}$, tomada ao longo do caminho do centro de massa, dá apenas a variação da energia cinética do movimento do centro de massa. Quando você pula, o chão empurra você para cima, mas o ponto onde ele empurra não se move, então o chão não realiza trabalho: sua energia cinética vem da energia química dos seus músculos. Uma esfera maciça que rola sem deslizar a partir de 18 m de altura destina dois sétimos de sua energia cinética à rotação e chega a 15,9 m/s em vez de 18,8 m/s. Na escala dos átomos, a mecânica quântica passa a valer: a energia continua se conservando, mas as energias ligadas vêm em níveis discretos, e uma partícula pode até ser encontrada onde $U>E$, o que a mecânica clássica proíbe.

Para onde isso leva

Emmy Noether mostrou em 1918 que a conservação da energia decorre de uma simetria: as leis da física são as mesmas hoje e amanhã. Dentro da mecânica, a mesma contabilidade aparece em outras lições: Quantidade de movimento e colisões separa as colisões conforme a energia cinética se conserve ou não, Dinâmica rotacional e torque acrescenta a energia de rotação, e Gravitação e órbitas usa $U=-GMm/r$ para órbitas e velocidades de escape. Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação e Movimento harmônico simples se apoiam em $U=\frac{1}{2}k{x}^2$.

Além da mecânica, Campo elétrico e potencial transforma $U$ em energia por unidade de carga, o Princípio de Bernoulli aplica o balanço de energia a um fluido em escoamento, e a Primeira lei da termodinâmica e máquinas térmicas torna o calor um membro pleno da contabilidade. A Relatividade restrita substitui $\frac{1}{2}m{v}^2$ por $(\gamma -1)m{c}^2$, a Fissão, fusão e E = mc² pesa a energia armazenada nos núcleos, e a Equação de Schrödinger e tunelamento mostra o que acontece onde o movimento clássico precisaria de uma energia cinética negativa.