Quantidade de movimento e colisões

Quantidade de movimento $p = m v$ : por que a quantidade de movimento total de corpos que colidem nunca muda, enquanto a energia cinética $K$ às vezes muda.

A mesma colisão em dois trilhos: um carrinho de 1 kg a 4 m/s bate num carrinho de 3 kg parado. Em cima, eles se separam depois do choque; embaixo, eles ficam juntos.

Antes deste tema: As leis de Newton

Iniciante

Ideias principais

Quantidade de movimento é massa vezes velocidade: um carrinho pesado e lento e um leve e rápido podem ter a mesma quantidade.
Mudar a quantidade de movimento exige um empurrão que dura um tempo: um mais longo e suave produz o mesmo efeito, por isso pousos suaves machucam menos.
Numa batida, a quantidade de movimento que um objeto perde é exatamente a que o outro ganha, então o total continua igual.
Uma batida em que os corpos grudam mantém a quantidade de movimento total, mas transforma parte da energia de movimento em calor, som e amassados.

Por que um carrinho de supermercado cheio de garrafas, rolando devagar, é tão difícil de parar, enquanto uma bolinha de pingue-pongue rápida é fácil de segurar? Quatro passos explicam.

Passo 1. Multiplique a massa de um objeto pela sua velocidade e você obtém a quantidade de movimento, medida em quilograma-metro por segundo. Assim como a velocidade, a quantidade de movimento tem direção. Um objeto pesado e lento e um leve e rápido podem ter a mesma quantidade: um carrinho de 4 kg a 1 m/s tem tanta quantidade de movimento quanto um carrinho de 1 kg a 4 m/s.

Passo 2. Para mudar a quantidade de movimento, é preciso empurrar por algum tempo, e quanto mais o empurrão dura, mais suave ele pode ser. Por isso você dobra os joelhos ao pular de um muro: a parada dura mais, então a força sobre você é menor.

Passo 3. Numa colisão, os dois objetos empurram um ao outro com a mesma força, em sentidos opostos, exatamente pelo mesmo tempo. Então a quantidade de movimento que um perde é precisamente a que o outro ganha, e o total continua igual, desde que nada de fora, como o atrito ou uma parede, entre na história. Isso é a conservação da quantidade de movimento.

Passo 4. A animação mostra uma mesma batida duas vezes: um carrinho leve e rápido bate num carrinho pesado parado. Com um para-choque elástico, o carrinho leve volta e o pesado se afasta; com uma almofada adesiva, eles seguem juntos, mais devagar. A quantidade de movimento total é a mesma nos dois casos. Só a energia de movimento é diferente: o quique elástico a mantém, a batida com os carrinhos grudados transforma parte dela em calor, som e amassados.

Teste-se: uma bomba de fogos de artifício parada explode em duas metades iguais. Uma metade voa para o leste. O que faz a outra? (Ela voa para o oeste com a mesma velocidade, então a quantidade de movimento total continua zero.)

Intermediário

Ideias principais

$p = m v$ é um vetor: escolha um sentido positivo e dê às velocidades no sentido contrário um sinal de menos.
Sem força externa horizontal, $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ em toda colisão, elástica ou não.
Perfeitamente inelástica: os dois ficam com $v^{'} = (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) / (m_{1} + m_{2})$ ; aqui $K$ cai de $8 J$ para $2 J$ .
Elástica, alvo parado: $v_{1}^{'} = (m_{1} - m_{2}) v_{1} / (m_{1} + m_{2})$ , $v_{2}^{'} = 2 m_{1} v_{1} / (m_{1} + m_{2})$ , e $K$ não muda.

Quantidade de movimento: massa vezes velocidade

A quantidade de movimento de um corpo é a sua massa multiplicada pela sua velocidade:
$p = m v$

Ela é medida em quilograma-metro por segundo (kg·m/s). A quantidade de movimento tem direção: escolha um sentido positivo ao longo do trilho, e tudo que se move no sentido oposto tem quantidade de movimento negativa. Massa e velocidade podem compensar uma à outra: o carrinho de 1 kg da animação, chegando a 4 m/s, tem $1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ , tanto quanto os dois carrinhos juntos, 4 kg, teriam a 1 m/s.

Quantidade de movimento não é energia cinética. $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ não tem direção e cresce com o quadrado da velocidade: o carrinho de 1 kg a 4 m/s tem 8 J, mas os mesmos 4 kg·m/s carregados por 4 kg a 1 m/s têm apenas 2 J.

Impulso e o gráfico força–tempo

Uma força muda a quantidade de movimento, e a mudança depende de quanto tempo ela atua. Para uma força constante, a segunda lei de Newton $F = ma = m Δ v /Δ t$ torna-se $F Δ t = Δ p$ . O produto $F Δ t$ é o impulso $J$ , em newton·segundo (1 N·s = 1 kg·m/s); quando a força varia, o impulso é a área sob o gráfico força–tempo.

A mesma área pode ser alta e estreita ou baixa e larga. Uma pessoa de 70 kg que pula de 1 m de altura aterrissa a cerca de 4,4 m/s, então o chão precisa absorver cerca de 310 kg·m/s. Aterrissando com as pernas rígidas, o corpo para em cerca de 0,02 s, o que exige uma força resultante média perto de 15 kN, mais de 20 vezes o peso do corpo; dobrando os joelhos, a parada se estende para 0,3 s e a força cai para cerca de 1 kN.

Por que a quantidade de movimento total se conserva

Quando dois carrinhos colidem, cada um empurra o outro. Pela terceira lei de Newton, as duas forças são iguais e opostas a cada instante, e atuam pelo mesmo tempo, a duração do contato. Seus gráficos força–tempo são imagens espelhadas, então os impulsos são iguais e opostos: o que o carrinho 2 ganha de quantidade de movimento, o carrinho 1 perde. O total é o mesmo antes e depois:
$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

Os apóstrofos (') marcam as velocidades depois da colisão, e cada velocidade mantém o seu sinal. A lei não se importa se as forças entre os carrinhos são elásticas, adesivas ou explosivas. Ela só precisa que nenhuma força externa atue ao longo do trilho, ou que as forças externas sejam fracas ou breves demais para importar: um atrito de rolamento de 0,3 N atuando durante o contato de 0,16 s muda a quantidade de movimento em cerca de 0,05 kg·m/s, cerca de 1 % do total.

Colisões elásticas e inelásticas

A conservação da quantidade de movimento é uma equação, mas uma colisão frontal tem duas velocidades finais desconhecidas; a segunda condição envolve a energia cinética. Em uma colisão elástica ela se conserva, como em bolas de aço ou para-choques com molas. Em uma colisão inelástica, parte dela vira calor, som e deformação. Numa colisão perfeitamente inelástica, os corpos grudam e compartilham uma velocidade.

Para esses dois casos, as velocidades finais têm fórmulas fechadas; o par elástico supõe que o corpo 2 começa em repouso.

$v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
$v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1}}{m _{1} + m _{2}}, v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}$

A primeira precisa apenas da conservação da quantidade de movimento; a segunda usa as duas leis e implica que corpos elásticos se separam com a mesma velocidade com que se aproximaram. Massas iguais trocam de velocidade, como no pêndulo de Newton. Um corpo leve atingindo um muito mais pesado volta quase com toda a velocidade, como uma bola batendo numa parede; um corpo pesado atingindo um leve quase não desacelera, e o leve sai quase com $2 v_{1}$ .

Exemplo resolvido: os dois trilhos da animação

Os dois trilhos começam iguais: $m_{1} = 1 kg$ chega com $v_{1} = 4 m/s$ e $m_{2} = 3 kg$ espera parado. A quantidade de movimento total é $1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ e a energia cinética é $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^{2} = 8 J$ .

No trilho B, a almofada adesiva une os carrinhos, que então compartilham uma velocidade:
$v^{'} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{1 + 3} = 1 m/s$
A energia cinética agora é $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1^{2} = 2 J$ : 6 J foram para calor e para amassar a almofada. No trilho A, o para-choque com mola torna a colisão elástica:
$v_{1}^{'} = \frac{( 1 - 3 ) \cdot 4}{1 + 3} = - 2 m/s$
$v_{2}^{'} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 4}{1 + 3} = 2 m/s$
Conferindo: $1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 2 = 4 kg \cdot m/s$ e $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^{2} = 8 J$ . Os carrinhos se aproximaram a 4 m/s e se afastam a $2 - (- 2) = 4 m/s$ .

Observe as setas. A seta azul $p_{1}$ começa com 4 unidades, uma unidade por kg·m/s; no trilho B ela encolhe para 1, no trilho A encolhe até zero e volta apontando para a esquerda, com 2 unidades. A seta dourada $p_{2}$ cresce para 3 unidades em B e para 6 em A. Ponta com cauda, elas sempre somam 4 unidades, e os dois marcadores mostram $p_{1} + p_{2} = 4, 0 kg \cdot m/s$ o tempo todo, mesmo durante o contato. O quique exige o dobro do impulso: nos mesmos 0,16 s, o carrinho 2 ganha 6 kg·m/s em A, uma força média de $6/0, 16 = 37, 5 N$ , mas em B ganha só 3 kg·m/s, ou seja, 18,75 N.

Exemplo resolvido: uma batida traseira

Um carro de 1500 kg a 20 m/s bate na traseira de um carro de 1000 kg que segue no mesmo sentido a 10 m/s, e eles ficam presos um ao outro. Durante a batida de 0,1 s, o atrito com a estrada é desprezível, então a quantidade de movimento se conserva:
$v^{'} = \frac{1500 \cdot 20 + 1000 \cdot 10}{1500 + 1000} = 16 m/s$

A energia cinética cai de $\frac{1}{2} \cdot 1500 \cdot 2 0^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 1 0^{2} = 350 kJ$ para $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 1 6^{2} = 320 kJ$ : 30 kJ vão para a lataria amassada.

Agora deixe o carro pequeno vir no sentido contrário, com $v_{2} = - 10 m/s$ . O conjunto se move a $(1500 \cdot 20 - 1000 \cdot 10) /2500 = 8 m/s$ e mantém apenas $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 8^{2} = 80 kJ$ : 270 kJ se perdem, nove vezes mais, porque os carros se aproximam a 30 m/s em vez de 10 m/s. Os dois sentem a mesma força média de 180 kN, mas a velocidade do carro pequeno muda 18 m/s em 0,1 s, uma desaceleração de cerca de 18 g, e a do carro grande, só 12 m/s.

Erros comuns

Esquecer o sinal. No trilho A, o carrinho pequeno volta com $- 2 m/s$ ; se fosse contado como positivo, as quantidades de movimento somariam $2 + 6 = 8 kg \cdot m/s$ em vez de 4.
Achar que uma colisão em que os corpos grudam destrói a quantidade de movimento. Os carrinhos unidos no trilho B ainda carregam 4 kg·m/s; o que desaparece é a energia cinética, 6 dos 8 J.
Pensar que o corpo mais pesado ou mais rápido empurra com mais força. As forças são iguais e opostas, no trilho A são 37,5 N em cada carrinho; o carrinho mais leve só muda mais a velocidade, 6 m/s contra 2 m/s.
Ignorar uma força externa que continua atuando. Uma bola de 0,5 kg caindo por 1 s ganha cerca de 4,9 kg·m/s porque a gravidade a puxa; só a bola e a Terra juntas mantêm um total constante. Inclua os dois corpos que colidem no sistema.
Usar as fórmulas elásticas para toda colisão. Elas supõem que não há perda de energia cinética e que o alvo está parado; no trilho B previriam $- 2$ e $+ 2 m/s$ em vez do 1 m/s compartilhado.

Onde isso aparece

Airbags, capacetes e zonas de deformação alongam as colisões, então a mesma variação de quantidade de movimento exige uma força menor. Armas dão coice: um rifle de 4 kg que dispara uma bala de 10 g a 800 m/s recua a $0, 01 \cdot 800/4 = 2 m/s$ . Foguetes ejetam gases para trás para se mover para a frente, sem ar contra o qual empurrar. A seguir, Trabalho, energia e potência acompanha a energia cinética que as colisões mantêm ou perdem, e Momento angular e sua conservação aplica a mesma ideia a corpos em rotação.

Avançado

Ideias principais

$\int F d t = Δ p$ ; dois corpos empurram um ao outro com forças iguais e opostas a cada instante, então forças internas não podem mudar $\sum p$ .
Simetria mais relatividade galileana: massas iguais que colidem de frente e grudam precisam parar; vistas de um carro em movimento, $m \cdot 2 v = 2 m \cdot v$ .
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ ; uma colisão escala só a parte relativa por $e^{2}$ , então grudar ( $e = 0$ ) perde a maior parte.
Conservar a quantidade de movimento expressa a homogeneidade do espaço: vale por componente, na relatividade ( $p = γm v$ ) e com o campo.

A segunda lei na forma de quantidade de movimento

Esta seção reescreve a segunda lei de Newton em termos da quantidade de movimento. Essa é a forma que se generaliza: ela lida com impactos cuja força ninguém consegue medir, com sistemas de muitos corpos e, mais adiante na lição, com foguetes.

A forma geral da segunda lei não é $F = ma$ , e sim $F = d p / d t$ , com $p = m v$ : a força resultante sobre um corpo é igual à taxa com que a sua quantidade de movimento varia. Para massa constante, as duas formas coincidem, porque a massa pode sair da derivada: $d (m v) / d t = m d v / d t = m a$ . A forma da quantidade de movimento é também a que sobrevive além da mecânica newtoniana: na relatividade restrita, $γm v$ substitui $m v$ , e no eletromagnetismo os próprios campos transportam quantidade de movimento.

Multiplique os dois lados por $d t$ e some ao longo de todo o contato, desde o instante em que ele começa até o instante em que termina. O lado esquerdo se torna o impulso $J$ , e o lado direito, a variação total da quantidade de movimento. Este é o teorema do impulso:
$J = \int F d t = Δ p$

Seu valor está no que ele não precisa. A força durante um impacto sobe e desce em uma fração de segundo e raramente é conhecida em detalhe, mas apenas a sua integral decide o movimento depois. Uma bola de golfe de 46 g deixa o taco a 70 m/s após cerca de 0,5 ms de contato. Sua quantidade de movimento muda em $0, 046 \cdot 70 \approx 3, 2 kg \cdot m/s$ , então a força média é $0, 046 \cdot 70/0, 0005 \approx 6400 N$ , qualquer que seja o formato do pulso. Como o teorema é uma equação vetorial, ele vale para cada componente separadamente: um impulso horizontal muda apenas $p_{x}$ e deixa $p_{y}$ intacto.

Forças internas se cancelam aos pares

Por que a quantidade de movimento total de dois carrinhos que colidem permanece a mesma, não importa o quanto um empurre o outro? Porque cada empurrão vem acompanhado de um empurrão igual e oposto de volta. Na animação, um carrinho 1 de 1 kg chega a 4 m/s e bate num carrinho 2 de 3 kg parado; no trilho A eles se encontram por um para-choque com mola, no trilho B por uma almofada adesiva. A Figura 1 mostra o trilho A durante o contato; a prova geral segue esse caso.

A Figura 1 acompanha o contato, que dura $Δ t$ ; o eixo do tempo $t$ está esticado para que o contato ocupe o meio da imagem. Leia de cima para baixo. A faixa superior é a força: o para-choque empurra o carrinho 2 para a frente com $F$ e o carrinho 1 para trás com $- F$ . Pela terceira lei, as duas são iguais e opostas a cada instante. Nesta figura, a força também é constante enquanto dura o contato.

O gráfico do meio mostra as quantidades de movimento. Como $d p / d t$ é igual à força, a inclinação de cada gráfico de quantidade de movimento é a força sobre aquele carrinho, e uma força constante desenha uma rampa reta. $p_{2}$ sobe com inclinação $F$ de 0 até 6, e $p_{1}$ desce com inclinação $- F$ de 4 até $- 2 kg \cdot m/s$ : o carrinho 1 volta. O carrinho 2 ganha 6 kg·m/s em $Δ t = 0, 16 s$ , então $F = 6/0, 16 = 37, 5 N$ . Agora observe a linha tracejada $P = p_{1} + p_{2}$ . As duas rampas são imagens espelhadas, então o que um carrinho ganha o outro perde no mesmo instante, e $P$ permanece em 4 kg·m/s durante toda a colisão, não só antes e depois dela. O nível avançado da animação traça as mesmas curvas.

A linha horizontal não depende de a força ser constante. Uma mola real empurra com mais força quanto mais é comprimida, o que curva as rampas em formato de S; elas continuam sendo imagens espelhadas, e a soma continua horizontal.

A mesma contabilidade vale para qualquer número de corpos. A força sobre o corpo $i$ é a soma das forças $F_{ij}$ que cada outro corpo $j$ do sistema exerce sobre ele (forças internas), mais o que atua de fora (forças externas). Some $d p_{i} / d t$ sobre todos os corpos. Cada par interno aparece duas vezes na soma, uma como $F_{ij}$ e outra como $F_{ji}$ , e a terceira lei faz com que $F_{ij} + F_{ji} = 0$ . Sobram apenas as forças externas. Com $P$ a quantidade de movimento total, $M$ a massa total, $v_{cm}$ a velocidade do centro de massa e $F_{ext}$ a soma de todas as forças externas:
$\frac{d P}{d t} = F_{ext}$
$P = \sum_{i} m_{i} v_{i} = M v_{cm}$
A segunda linha é a definição do centro de massa, $r_{cm} = \sum_{i} m_{i} r_{i} / M$ , derivada uma vez no tempo.

Assim, a quantidade de movimento total só muda por forças externas, e o centro de massa se move como uma única partícula de massa $M$ empurrada pela soma delas. Se $F_{ext} = 0$ , $P$ é constante, por mais complicadas que sejam as forças internas. Se apenas uma componente de $F_{ext}$ for nula, por exemplo a horizontal quando a gravidade atua na vertical, essa componente de $P$ continua conservada.

Energia cinética se esconde; quantidade de movimento não

O gráfico de baixo da Figura 1 mostra a energia cinética total $K$ dos dois carrinhos, e ela se comporta de modo bem diferente de $P$ . No trilho A, $K$ cai durante o contato, até 2 J no instante em que os dois carrinhos andam a 1 m/s, e depois sobe de volta a 8 J enquanto o para-choque os empurra para longe. Os 6 J que faltam não foram perdidos: por um instante ficaram armazenados na mola comprimida do para-choque. No trilho B, com a almofada adesiva, $K$ cai para 2 J e fica ali (tracejado): os 6 J foram para deformar e aquecer a almofada.

O trilho B também exige menos força. O par deixa a colisão junto a 1 m/s, então o carrinho 2 ganha apenas $3 \cdot 1 = 3 kg \cdot m/s$ , e nos mesmos 0,16 s a força média é $3/0, 16 = 18, 75 N$ , metade da força do trilho A. Os dois gráficos juntos carregam a mensagem principal: a energia pode ficar guardada dentro dos corpos, como energia de mola ou como calor, mas a quantidade de movimento não tem onde se esconder, e ela se equilibra a cada instante.

Conservação a partir da simetria

A conservação da quantidade de movimento também pode ser derivada sem a terceira lei, a partir de duas afirmações sobre simetria. Isso importa porque a terceira lei não é exata (veja Limites de validade abaixo), enquanto a conservação da quantidade de movimento nunca foi observada falhando; o argumento de simetria mostra de onde a lei realmente vem.

A Figura 2 mostra uma colisão vista a partir de dois referenciais, antes dela à esquerda e depois dela à direita. A primeira hipótese é a simetria de espelho. Na linha de cima, no referencial $S$ do chão, duas bolas idênticas de massa $m$ se aproximam com $v$ e $- v$ e grudam. Nada nessa situação favorece a esquerda ou a direita, então o par grudado, de massa $2 m$ , não pode se mover para nenhum lado: fica parado.

A segunda hipótese é a relatividade galileana: um observador que se move com velocidade constante encontra as mesmas leis da física, com todas as velocidades deslocadas do mesmo valor. Tome como $S^{'}$ o referencial de um carro que acompanha a bola da direita, que se move a $- v$ em relação ao chão. Visto desse carro, cada velocidade é maior em $v$ , como indica a seta $+ v$ entre as linhas. A linha de baixo segue: a bola da direita está parada, a da esquerda chega com $2 v$ , e o par, que estava parado em $S$ , sai com $v$ .

Assim, uma massa $m$ com $2 v$ batendo numa massa igual em repouso resulta em $2 m$ com $v$ , e a linha de baixo fecha a conta: $m \cdot 2 v = 2 m \cdot v$ . As velocidades sozinhas não fecham ( $2 v$ entra, $v$ sai), e a energia cinética também não ( $2 m v^{2}$ entra, $m v^{2}$ sai); o produto de massa por velocidade fecha. Construindo corpos de outras massas com unidades iguais e repetindo a mesma mudança de referencial, o resultado se estende a qualquer par de massas, e a grandeza que sempre dá o mesmo resultado é $\sum m v$ .

O argumento também funciona ao contrário. Qualquer colisão entre dois corpos, observada do referencial que se move com o centro de massa, tem quantidade de movimento total zero: os corpos chegam com quantidades de movimento iguais e opostas, como na linha de cima. Para os carrinhos da animação, esse referencial se move a 1 m/s. Nele, o carrinho 1 traz $+ 3$ e o carrinho 2 traz $- 3 kg \cdot m/s$ , e no trilho B o par grudado simplesmente para.

A afirmação geral é o teorema de Noether (1918): toda simetria contínua das leis da física vem acompanhada de uma grandeza conservada. Se as leis são as mesmas em todo lugar, de modo que deslocar todo o aparato para outro lugar não muda nada (o espaço é homogêneo), a quantidade de movimento se conserva. A invariância por translações no tempo dá a conservação da energia, e a invariância por rotações dá a conservação do momento angular. Como se apoia numa simetria e não na terceira lei, a conservação da quantidade de movimento vale mesmo onde a terceira lei falha.

Energia no referencial do centro de massa

Quanta energia cinética uma colisão pode remover, e quais são as velocidades finais? As duas perguntas ficam simples no referencial que se move com o centro de massa. Esta seção separa a energia cinética em uma parte que nenhuma colisão consegue tocar e outra que ela pode afetar, e encontra as velocidades finais sem resolver uma equação do segundo grau.

A Figura 3 dispõe as velocidades dos carrinhos da animação em um eixo $v$ : carrinho 1, $m_{1} = 1 kg$ , a $v_{1} = 4 m/s$ , e carrinho 2, $m_{2} = 3 kg$ , a $v_{2} = 0$ ; a largura de cada bloco mostra a sua massa. A linha tracejada marca a velocidade do centro de massa, chamada $V$ na figura e $v_{cm}$ nas equações:
$v_{cm} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4} = 1 m/s$

Medidas a partir da linha tracejada, os carrinhos se movem com $u_{1} = v_{1} - v_{cm} = + 3 m/s$ e $u_{2} = v_{2} - v_{cm} = - 1 m/s$ : as duas setas da linha de cima. Nesse referencial a quantidade de movimento total é zero, $m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 0$ , então as setas são inversamente proporcionais às massas, e o carrinho pesado fica três vezes mais perto de $V$ que o leve.

Uma colisão não pode mover a linha tracejada, porque as forças internas deixam a quantidade de movimento total, e com ela $v_{cm}$ , inalterada. Ela só pode mudar $u_{1}$ e $u_{2}$ , e depois eles ainda precisam satisfazer $m_{1} u_{1}^{'} + m_{2} u_{2}^{'} = 0$ . Portanto, ambos mudam pelo mesmo fator. Os carrinhos se separam em vez de se atravessarem, então o fator é negativo ou nulo, e o escrevemos como $- e$ :
$u_{i}^{'} = - e u_{i}$
O número $e$ é o coeficiente de restituição. Como $u_{1} - u_{2} = v_{1} - v_{2} = v_{rel}$ , a velocidade relativa, ele também pode ser lido como $e = - v_{rel}^{'} / v_{rel}$ : a fração do movimento relativo que sobrevive à colisão, de 1 numa colisão elástica a 0 numa colisão em que os corpos grudam.

A linha de baixo da Figura 3 é o caso elástico, $e = 1$ : $u_{1}^{'}$ e $u_{2}^{'}$ são as setas antigas viradas ao contrário, de modo que as velocidades finais $v_{1}^{'}$ e $v_{2}^{'}$ são as imagens espelhadas de $v_{1}$ e $v_{2}$ na linha tracejada. Para voltar ao referencial do trilho, some $v_{cm}$ de novo:
$v_{i}^{'} = v_{cm} + u_{i}^{'} = v_{cm} - e (v_{i} - v_{cm})$
$v_{i}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{i}$
Para $e = 1$ , isso dá $v_{1}^{'} = 2 \cdot 1 - 4 = - 2 m/s$ e $v_{2}^{'} = 2 \cdot 1 - 0 = + 2 m/s$ , o resultado do trilho A. Um $e$ menor encurta as duas setas pelo mesmo fator; em $e = 0$ elas desaparecem, e os dois carrinhos saem juntos a $V$ , como no trilho B.

Agora a energia cinética. Substitua $v_{i} = v_{cm} + u_{i}$ em $K = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}$ e desenvolva o quadrado:
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + v_{cm} \sum_{i} m_{i} u_{i} + \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} u_{i}^{2}$
O termo do meio é zero, porque $\sum_{i} m_{i} u_{i} = 0$ . O que resta é
$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^{2} + K_{rel}$
com $M = m_{1} + m_{2}$ . O primeiro termo é a energia do centro de massa, e nenhuma força interna pode mudá-la, porque a quantidade de movimento fixa $v_{cm}$ . O segundo, $K_{rel}$ , é a energia de movimento relativa ao centro de massa, e uma colisão atua apenas nela. Para dois corpos, ela depende somente da velocidade relativa. De $m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 0$ e $u_{1} - u_{2} = v_{rel}$ seguem $u_{1} = m_{2} v_{rel} / M$ e $u_{2} = - m_{1} v_{rel} / M$ ; então $\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} m_{2} (m_{2} + m_{1}) v_{rel}^{2} / M^{2}$ , que se simplifica para
$K_{rel} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}, μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
onde $μ$ se chama massa reduzida.

Como $K_{rel}$ é proporcional a $v_{rel}^{2}$ , uma colisão a multiplica por $e^{2}$ . Para a animação, $M = 4 kg$ , $v_{cm} = 1 m/s$ , $μ = 0, 75 kg$ e $v_{rel} = 4 m/s$ . Os 8 J se dividem, portanto, em $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1^{2} = 2 J$ que nenhuma colisão consegue tocar e $\frac{1}{2} \cdot 0, 75 \cdot 4^{2} = 6 J$ de movimento relativo. Um para-choque elástico devolve os 6 J inteiros. Grudar ( $e = 0$ ) remove todos os 6 J, a maior perda que a conservação da quantidade de movimento permite, e os 2 J que restam são o que o trilho B mantém.

Problema resolvido: um para-choque semielástico

Equipe os carrinhos com um para-choque de $e = 0, 5$ : mesmas massas, e o carrinho 1 chega de novo a 4 m/s sobre o carrinho 2 parado. Encontre (a) as velocidades finais, (b) a energia cinética perdida, (c) a força média se o contato ainda durar 0,16 s, e (d) o valor de $e$ que deixa o carrinho 1 parado.

(a) O centro de massa ainda se move com $v_{cm} = 1 m/s$ , e $1 + e = 1, 5$ :
$v_{1}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{1} = 1, 5 \cdot 1 - 0, 5 \cdot 4 = - 0, 5 m/s$
$v_{2}^{'} = (1 + e) v_{cm} - e v_{2} = 1, 5 \cdot 1 - 0 = 1, 5 m/s$
O carrinho 1 volta devagar. Conferindo: $1 \cdot (- 0, 5) + 3 \cdot 1, 5 = 4 kg \cdot m/s$ , como antes.

(b) Os 2 J do centro de massa permanecem, e os 6 J de movimento relativo são multiplicados por $e^{2} = 0, 25$ : $K = 2 + 0, 25 \cdot 6 = 3, 5 J$ , então $8 - 3, 5 = 4, 5 J$ são perdidos. Diretamente: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0, 5^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1, 5^{2} = 0, 125 + 3, 375 = 3, 5 J$ .

(c) O carrinho 2 ganha $3 \cdot 1, 5 = 4, 5 kg \cdot m/s$ . Com $v_{2} = 0$ , a fórmula dá $v_{2}^{'} = (1 + e) v_{cm}$ , então isso é $(1 + e)$ vezes os 3 kg·m/s do caso em que os carrinhos grudam. Em 0,16 s, isso exige uma força média de $4, 5/0, 16 \approx 28 N$ , entre os 18,75 N do trilho B ( $e = 0$ ) e os 37,5 N do trilho A ( $e = 1$ ).

(d) O carrinho 1 para quando $v_{1}^{'} = 0$ , ou seja, quando $(1 + e) v_{cm} = e v_{1}$ , ou $1 + e = 4 e$ , logo $e = 1/3$ . O carrinho 2 leva então toda a quantidade de movimento, 4 kg·m/s, a $4/3 \approx 1, 33 m/s$ , e $K = 2 + 6/9 \approx 2, 67 J$ . Em geral, com o alvo parado, o corpo que golpeia para quando $e = m_{1} / m_{2}$ . Um corpo que para totalmente só indica uma colisão elástica quando as massas são iguais; aqui, o para-choque precisa ser bem pouco elástico.

Colisões oblíquas

Em duas ou três dimensões, a conservação da quantidade de movimento dá uma equação por componente. Para dois corpos num plano, a quantidade de movimento fornece duas equações e a energia, se a colisão for elástica, uma terceira; mas as duas velocidades finais têm quatro componentes. A informação que falta é a geometria do impacto, e uma colisão que não é frontal precisa definir direções tanto quanto velocidades.

A Figura 4 mostra uma colisão elástica fora do centro entre duas esferas idênticas de massa $m$ , com a esfera 2 parada. A esfera 1 chega com velocidade $v_{1}$ ao longo de uma trajetória que erra o centro da esfera 2 pelo deslocamento $b$ . No momento do contato, a linha que une os dois centros está, portanto, inclinada em relação à trajetória. Para esferas lisas e sem rotação, a força de contato atua ao longo dessa linha de centros, e nada atua transversalmente a ela.

Decomponha cada velocidade em uma componente ao longo da linha de centros e outra transversal. Transversalmente à linha não há força, então essas componentes não mudam. Ao longo da linha, a colisão é um choque frontal elástico de massas iguais, que troca as duas velocidades: a esfera 1 passa toda a sua componente ao longo da linha para a esfera 2. Assim, a esfera 2 sai ao longo da linha de centros com $v_{2}^{'}$ , e a esfera 1 fica só com a sua componente transversal à linha, $v_{1}^{'}$ , que é perpendicular a $v_{2}^{'}$ . Se as esferas têm raio $R$ , a linha de centros forma com a trajetória de entrada um ângulo $φ$ , com $sin φ = b / (2 R)$ , e as velocidades depois são $v_{2}^{'} = v_{1} cos φ$ e $v_{1}^{'} = v_{1} sin φ$ . Uma batida frontal ( $b = 0$ ) passa tudo para a esfera 2; uma batida de raspão ( $b$ perto de $2 R$ ) deixa a esfera 1 quase intocada.

O triângulo à direita chega ao ângulo reto sem nenhuma geometria do contato. A conservação da quantidade de movimento, com as massas iguais canceladas, dá $v_{1} = v_{1}^{'} + v_{2}^{'}$ : as três velocidades fecham um triângulo. A conservação da energia dá $v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2}$ . Elevando a primeira equação ao quadrado, obtemos $v_{1}^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2} + 2 v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'}$ , e comparando com a segunda resta $v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'} = 0$ . Os dois catetos se encontram em ângulo reto: depois de uma colisão elástica oblíqua de massas iguais, com uma delas parada, as esferas saem em ângulo reto uma em relação à outra (numa batida frontal, a esfera 1 simplesmente para). Uma bola de sinuca tacada sem efeito faz quase isso, e também as trajetórias de prótons lentos que atingem prótons parados.

Foguetes e massa variável

Um foguete muda a própria massa à medida que queima combustível, então $F = m a$ não pode ser aplicada diretamente a ele. O caminho seguro é a conservação da quantidade de movimento do foguete junto com os gases que ele ejeta.

Considere um foguete de massa $m$ se movendo com velocidade $v$ , longe de outras forças, que ejeta gases para trás com velocidade $w$ em relação a si mesmo. Num intervalo curto $d t$ , a massa dele muda em $d m$ (uma quantidade negativa), a velocidade muda em $d v$ , e uma massa $- d m$ de gás sai com velocidade $v - w$ . A quantidade de movimento antes e depois precisa ser a mesma:
$m v = (m + d m) (v + d v) + (- d m) (v - w)$
Ao desenvolver, $m v$ aparece dos dois lados, os dois termos $v d m$ se cancelam, e o produto $d m d v$ de duas variações pequenas é desprezível. Resta $m d v = - w d m$ . Dividindo por $m$ e integrando da massa inicial $m_{0}$ até a massa final $m_{f}$ , obtemos
$Δ v = w ln \frac{m _{0}}{m _{f}}$

Somente a velocidade de ejeção e a razão de massas importam, e a razão de massas entra apenas por meio de um logaritmo. Com $w = 3 km/s$ e nove décimos da massa de lançamento como propelente, $m_{0} / m_{f} = 10$ e $Δ v = 3 ln 10 \approx 6, 9 km/s$ . Isso fica abaixo dos 7,8 km/s de uma órbita baixa, mesmo antes das perdas para a gravidade e o arrasto do ar. Descartar os tanques vazios ao longo do caminho diminui a massa que ainda precisa ser acelerada, e por isso os foguetes são construídos em estágios.

Limites de validade

A quantidade de movimento newtoniana $m v$ é uma aproximação, válida para velocidades muito abaixo da velocidade da luz, $c \approx 3, 00 \times 1 0^{8} m/s$ . A grandeza realmente conservada é $γm v$ , com $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ . A $0, 6 c$ , $γ = 1, 25$ , então a quantidade de movimento verdadeira já é 25 % maior que $m v$ , e em colisões de partículas a energia cinética pode até se tornar a massa de novas partículas. Para os carrinhos a 4 m/s, a correção é da ordem de $v^{2} / c^{2} \approx 2 \times 1 0^{- 16}$ .

A terceira lei também não é exata. Duas cargas que se movem em ângulo reto uma em relação à outra exercem forças magnéticas mútuas que não são iguais e opostas, então a quantidade de movimento mecânica combinada delas muda. O balanço total só fecha quando se conta também a quantidade de movimento armazenada no campo eletromagnético. A própria luz transporta quantidade de movimento, $p = E / c$ para luz de energia $E$ . A luz do Sol acima da atmosfera entrega 1361 W/m²; numa superfície que a absorve, isso dá uma pressão de $1361/ (3, 00 \times 1 0^{8}) \approx 4, 5 \times 1 0^{- 6} N/ m^{2}$ , cerca de 4,5 µN em cada metro quadrado, o suficiente para manobrar uma vela solar.

Na mecânica quântica, a quantidade de movimento está ligada ao comprimento de onda, $p = h / λ$ , e a sua conservação se verificou em todas as interações já observadas. Ela chegou a prever partículas. No decaimento beta, o elétron emitido parecia quebrar a conservação da energia, porque a sua energia variava de um decaimento para o outro. Em 1930, Pauli propôs que uma partícula neutra não observada levaria a diferença. Medições posteriores do núcleo que recua mostraram que ele também leva quantidade de movimento: o elétron e o núcleo não se afastaram com quantidades de movimento iguais e opostas. O neutrino foi detectado em 1956.

Para onde isso leva

A invariância por rotações leva a Momento angular e sua conservação, e a forma rotacional da segunda lei, a Dinâmica rotacional e torque. O lado energético das colisões está em Trabalho, energia e potência. A pressão de um gás é a quantidade de movimento que incontáveis impactos moleculares transferem a cada metro quadrado das paredes a cada segundo, como mostra Teoria cinética dos gases, e $γm v$ , junto com a conversão de energia em massa, pertence a Relatividade restrita. Em Partículas e forças: o Modelo Padrão, o balanço de quantidade de movimento e energia revela partículas que não deixam rastro.

Fórmulas principais

Quantidade de movimento

p = m v

A quantidade de movimento combina quanta matéria se move com o quão rápido ela se move. É um vetor na direção da velocidade; numa reta, o seu sinal dá o sentido. Dobrar a massa ou a velocidade dobra a quantidade de movimento, por isso um corpo leve e rápido e um pesado e lento podem ter a mesma quantidade.

Símbolos
$p$	quantidade de movimento	$kg \cdot m/s$
$m$	massa do corpo	$kg$
$v$	velocidade do corpo (com sinal)	$m/s$

Quando vale: Exata na mecânica newtoniana. Perto da velocidade da luz ela passa a ser $γm v$ , maior que $m v$ ; a luz, que não tem massa, ainda carrega quantidade de movimento $E / c$ .

Exemplo: O carrinho de 1 kg a 4 m/s da animação: $p = 1 \cdot 4 = 4 kg \cdot m/s$ . O carrinho de 3 kg igualaria isso com apenas 1,33 m/s.

Conservação da quantidade de movimento numa colisão de dois corpos

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

Durante o contato, os dois corpos empurram um ao outro com forças iguais e opostas pelo mesmo tempo; suas variações de quantidade de movimento são iguais e opostas, e a soma continua a mesma. As velocidades sem apóstrofo são as de antes da colisão, e as com apóstrofo, as de depois, todas com seus sinais. Vale para qualquer tipo de colisão: elástica, inelástica ou explosiva.

Símbolos
$m_{1}$	massa do corpo 1	$kg$
$m_{2}$	massa do corpo 2	$kg$
$v_{1}$	velocidade do corpo 1 antes da colisão	$m/s$
$v_{2}$	velocidade do corpo 2 antes da colisão	$m/s$
$v_{1}^{'}$	velocidade do corpo 1 depois da colisão	$m/s$
$v_{2}^{'}$	velocidade do corpo 2 depois da colisão	$m/s$

Quando vale: Somente quando a força externa resultante ao longo da reta é nula ou desprezível durante a colisão. Vale para cada componente separadamente e, sozinha, não determina as duas velocidades finais: é preciso uma segunda condição, como o balanço de energia.

Exemplo: Trilho A: $1 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 2 = 4 kg \cdot m/s$ .

Velocidade comum após uma colisão perfeitamente inelástica

v^{'} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}

Quando os corpos grudam, eles compartilham uma única velocidade final, então a quantidade de movimento total é simplesmente dividida pela massa total. Essa também é a velocidade do centro de massa, antes e depois. A energia cinética sempre diminui, em $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ .

Símbolos
$v^{'}$	velocidade comum dos corpos unidos	$m/s$
$m_{1}$	massa do corpo 1	$kg$
$m_{2}$	massa do corpo 2	$kg$
$v_{1}$	velocidade do corpo 1 antes da colisão	$m/s$
$v_{2}$	velocidade do corpo 2 antes da colisão	$m/s$

Quando vale: Exige a conservação da quantidade de movimento (nenhuma força externa relevante durante o impacto) e que os corpos se movam juntos depois. Velocidades em sentidos opostos entram com sinais opostos.

Exemplo: Trilho B: $v^{'} = (1 \cdot 4 + 3 \cdot 0) / (1 + 3) = 1 m/s$ , e a energia cinética cai de 8 J para 2 J.

Colisão frontal elástica com alvo parado

v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1}}{m _{1} + m _{2}}, v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}

Resolvendo juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia cinética, obtêm-se estas duas velocidades. Os corpos se separam na mesma velocidade com que se aproximaram, $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = v_{1}$ . Se $m_{1} < m_{2}$ , o corpo que golpeia volta ( $v_{1}^{'} < 0$ ); massas iguais trocam de velocidade; um alvo muito pesado manda o corpo que golpeia de volta quase com $- v_{1}$ .

Símbolos
$v_{1}^{'}$	velocidade do corpo que golpeia depois da colisão	$m/s$
$v_{2}^{'}$	velocidade do alvo depois da colisão	$m/s$
$m_{1}$	massa do corpo que golpeia	$kg$
$m_{2}$	massa do alvo, inicialmente em repouso	$kg$
$v_{1}$	velocidade do corpo que golpeia antes da colisão	$m/s$

Quando vale: Somente para uma colisão frontal perfeitamente elástica, com o corpo 2 inicialmente em repouso. Para um alvo em movimento, use $v_{i}^{'} = 2 v_{cm} - v_{i}$ , ou trabalhe no referencial em que o alvo está parado.

Exemplo: Trilho A: $v_{1}^{'} = (1 - 3) \cdot 4/4 = - 2 m/s$ e $v_{2}^{'} = 2 \cdot 1 \cdot 4/4 = 2 m/s$ .

Teorema do impulso

J = \int F d t = Δ p

Integrando a segunda lei de Newton, $F = d p / d t$ , no tempo, mostra-se que a variação da quantidade de movimento é igual ao impulso, a área sob o gráfico força–tempo. Só essa área importa: uma força grande por pouco tempo e uma força pequena por muito tempo produzem a mesma variação. É uma equação vetorial, válida para cada componente.

Símbolos
$J$	impulso fornecido pela força	$N \cdot s$
$F$	força resultante sobre o corpo, que pode variar no tempo	$N$
$t$	tempo, integrado no intervalo em que a força atua	$s$
$Δ p$	variação da quantidade de movimento, final menos inicial	$kg \cdot m/s$

Quando vale: Sempre, para a força resultante sobre um corpo. Para um sistema de corpos, as forças internas se cancelam, e só impulsos externos mudam a quantidade de movimento total.

Exemplo: Na pista A, o carrinho 2 ganha 6 kg·m/s em 0,16 s: a força média é $6/0, 16 = 37, 5 N$ .

Energia cinética do movimento relativo e massa reduzida

K_{rel} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}, μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}

A energia cinética de dois corpos se divide em uma parte do centro de massa, $\frac{1}{2} M v_{cm}^{2}$ , que nenhuma força interna pode mudar, e esta parte relativa. Uma colisão com coeficiente de restituição $e$ multiplica $K_{rel}$ por $e^{2}$ , então $K_{rel}$ é a maior quantidade de energia que uma colisão pode transformar em calor e deformação. A massa reduzida é menor que qualquer uma das duas massas e fica perto da mais leve quando a outra é muito mais pesada.

Símbolos
$K_{rel}$	energia cinética do movimento relativo	$J$
$μ$	massa reduzida	$kg$
$v_{rel}$	velocidade relativa, $v_{1} - v_{2}$	$m/s$
$m_{1}$	massa do corpo 1	$kg$
$m_{2}$	massa do corpo 2	$kg$

Quando vale: Mecânica newtoniana, quaisquer dois corpos, em qualquer número de dimensões (com o módulo da velocidade relativa). Para a perda numa colisão, use a velocidade relativa logo antes do impacto.

Exemplo: Animação: $μ = 1 \cdot 3/4 = 0, 75 kg$ e $K_{rel} = \frac{1}{2} \cdot 0, 75 \cdot 4^{2} = 6 J$ , exatamente a energia perdida no trilho B.

Glossário

Quantidade de movimento: Massa vezes velocidade, $p = m v$ : um vetor que aponta na direção da velocidade. Diferentemente da energia cinética, ela tem direção, e cresce apenas em proporção à velocidade, não com o seu quadrado.
Impulso: A variação da quantidade de movimento que uma força produz ao atuar por algum tempo: $F Δ t$ para uma força constante, a área sob o gráfico força–tempo em geral. Uma força pequena atuando por muito tempo e uma força grande atuando brevemente podem dar o mesmo impulso.
Conservação da quantidade de movimento: A quantidade de movimento total de um sistema permanece constante enquanto nenhuma força externa resultante atuar sobre ele. Vale em toda colisão e explosão, elástica ou não.
Sistema isolado: Um grupo escolhido de corpos sobre o qual a força externa resultante é nula, ou desprezível durante o intervalo de interesse. Os dois carrinhos durante o contato de 0,16 s são um bom exemplo.
Forças internas e externas: As forças internas atuam entre os corpos do sistema escolhido e se cancelam aos pares pela terceira lei de Newton; as forças externas vêm de fora dele. Apenas as forças externas podem mudar a quantidade de movimento total.
Colisão elástica: Uma colisão em que a energia cinética total é a mesma antes e depois, como em bolas de aço ou para-choques com molas. Numa colisão frontal elástica, os corpos se separam na mesma velocidade com que se aproximaram.
Colisão inelástica: Uma colisão em que parte da energia cinética se transforma em calor, som ou deformação permanente. A quantidade de movimento total continua se conservando.
Colisão perfeitamente inelástica: Uma colisão em que os corpos grudam e seguem com uma velocidade comum. Ela perde a maior parte da energia cinética que a conservação da quantidade de movimento permite: 6 dos 8 J na animação.
Coeficiente de restituição: A velocidade de separação dividida pela velocidade de aproximação, $e = - v_{rel}^{'} / v_{rel}$ . Vale 1 numa colisão elástica e 0 numa perfeitamente inelástica.
Centro de massa: A posição média de um sistema ponderada pelas massas. Sua velocidade, $v_{cm} = P / M$ , é fixada pela quantidade de movimento total, então nenhuma colisão entre os corpos pode alterá-la.
Referencial do centro de massa: O referencial que se move com o centro de massa, onde a quantidade de movimento total é zero. Toda colisão entre dois corpos parece simétrica ali: os corpos se aproximam com quantidades de movimento iguais e opostas.
Recuo: O movimento para trás de um corpo que empurra algo para a frente, como uma arma disparando uma bala ou um foguete ejetando gases. Partindo do repouso, as duas quantidades de movimento são iguais e opostas.

Grandezas
$p$	Quantidade de movimento	$kg \cdot m/s$	Massa vezes velocidade, com um sinal que indica a direção ao longo do eixo escolhido. O carrinho de 1 kg a 4 m/s tem 4 kg·m/s.
$m$	Massa	$kg$	A inércia de um corpo: para a mesma variação de quantidade de movimento, uma massa maior significa uma variação de velocidade menor.
$v$	Velocidade	$m/s$	A velocidade de um corpo ao longo do trilho, com um sinal para indicar o sentido; velocidades sem apóstrofo são as de antes da colisão.
$v^{'}$	Velocidade depois da colisão	$m/s$	O apóstrofo marca um valor depois da colisão. Sem índice, $v^{'}$ é a velocidade comum de corpos que grudam.
$J$	Impulso	$N \cdot s$	A integral de uma força no tempo, igual à variação de quantidade de movimento que ela causa; 1 N·s é o mesmo que 1 kg·m/s.
$F$	Força	$N$	Um empurrão ou puxão sobre um corpo; a força resultante é igual à taxa de variação da quantidade de movimento do corpo, $F = d p / d t$ .
$v_{cm}$	Velocidade do centro de massa	$m/s$	Quantidade de movimento total dividida pela massa total, $P / M$ , e inalterada por qualquer colisão: 1 m/s na animação.
$v_{rel}$	Velocidade relativa	$m/s$	A velocidade do corpo 1 vista pelo corpo 2, $v_{1} - v_{2}$ : 4 m/s antes da colisão na animação.
$μ$	Massa reduzida	$kg$	$m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ , a massa que acompanha o movimento relativo. É menor que qualquer uma das massas: 0,75 kg para os carrinhos de 1 kg e 3 kg.
$K_{rel}$	Energia cinética do movimento relativo	$J$	A parte da energia cinética que uma colisão pode alterar, $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ : 6 J na animação, todos perdidos quando os carrinhos grudam.

Quiz

Iniciante Quem tem mais quantidade de movimento: um carro de 1000 kg a 2 m/s ou um corredor de 50 kg a 8 m/s?
1. O carro
2. O corredor
3. Eles têm a mesma quantidade de movimento
4. Nenhum: a quantidade de movimento só existe durante colisões
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Resposta: A. O carro
p = m·v: o carro tem 1000 × 2 = 2000 kg·m/s, o corredor 50 × 8 = 400 kg·m/s. A velocidade sozinha não decide.
Iniciante Uma criança de 40 kg e um adulto de 80 kg estão parados no gelo, de frente um para o outro, e se empurram. O que acontece em seguida?
1. Os dois deslizam para longe com a mesma velocidade
2. Só quem empurrou com mais força se move
3. A criança desliza para longe mais rápido que o adulto, em sentido contrário
4. Os dois se movem no mesmo sentido
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Resposta: C. A criança desliza para longe mais rápido que o adulto, em sentido contrário
A quantidade de movimento total era zero e continua zero, então as duas quantidades de movimento são iguais e opostas: 40 × (velocidade da criança) = 80 × (velocidade do adulto), e a criança se move duas vezes mais rápido. Os dois sentem o mesmo empurrão (terceira lei de Newton), não importa quem esteja empurrando.
Iniciante Um carrinho pequeno em movimento bate num carrinho grande parado, e eles grudam. Como os carrinhos unidos se movem?
1. Mais rápido do que o carrinho pequeno chegou
2. Para a frente, mas mais devagar do que o carrinho pequeno chegou
3. Para trás
4. Eles param de vez
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Resposta: B. Para a frente, mas mais devagar do que o carrinho pequeno chegou
A quantidade de movimento total se mantém, mas agora é dividida por mais massa, então a velocidade comum é menor e no sentido original.
Intermediário Um carrinho de 2 kg a 3 m/s bate num carrinho de 1 kg parado, e eles grudam. Qual é a velocidade comum?
1. 1 m/s
2. 1,5 m/s
3. 2 m/s
4. 3 m/s
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Resposta: C. 2 m/s
v' = m₁·v₁ / (m₁ + m₂) = 6 ÷ 3 = 2 m/s. Dividir só pela massa em movimento daria 3 m/s, e tirar a média das velocidades daria 1,5 m/s.
Intermediário Uma bola de 0,5 kg bate numa parede a 4 m/s e volta exatamente a 4 m/s. Qual é o módulo da variação da sua quantidade de movimento?
1. 0 kg·m/s
2. 2 kg·m/s
3. 4 kg·m/s
4. 8 kg·m/s
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Resposta: C. 4 kg·m/s
Δp = m·(v' − v) = 0,5 × (−4 − 4) = −4 kg·m/s. A velocidade é a mesma, mas o sentido se inverteu, então a variação não é zero.
Intermediário Um carrinho de 1 kg a 4 m/s bate num carrinho de 3 kg parado. Qual resultado é impossível?
1. Os dois carrinhos se movem juntos a 1 m/s
2. O carrinho de 1 kg volta a 2 m/s e o de 3 kg se move a 2 m/s
3. O carrinho de 1 kg para e o de 3 kg se move a 1,33 m/s
4. O carrinho de 1 kg volta a 4 m/s e o de 3 kg se move a 2,67 m/s
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Resposta: D. O carrinho de 1 kg volta a 4 m/s e o de 3 kg se move a 2,67 m/s
Todos os quatro mantêm a quantidade de movimento total de 4 kg·m/s, mas o último termina com ½·1·4² + ½·3·2,67² ≈ 18,7 J de energia cinética, mais que os 8 J disponíveis. Uma colisão pode manter ou perder energia cinética, mas não criá-la sem uma fonte de energia, como uma explosão.
Avançado Uma força F(t) atua sobre um corpo por um tempo curto. A variação da quantidade de movimento dele é igual a:
1. ∫F·dx
2. ∫F·dt
3. F·Δx
4. ½·F·Δt²
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Resposta: B. ∫F·dt
De F = dp/dt, integrando no tempo, obtém-se Δp = ∫F·dt, o impulso. ∫F·dx é o trabalho, que altera a energia cinética, e não a quantidade de movimento.
Avançado Um corpo em movimento gruda num corpo igual em repouso. Que fração da energia cinética se perde?
1. 0
2. 1/4
3. 1/2
4. 3/4
Mostrar resposta
Resposta: C. 1/2
A energia perdida é K_rel = ½·μ·v² com μ = m/2, que é metade da ½·m·v² inicial. A outra metade permanece como movimento do centro de massa.

$t$	Tempo, o mesmo eixo para os três gráficos.	$s$
$Δ t$	Duração do contato.	$s$
$F$	Força do para-choque sobre o carrinho 2; o carrinho 1 sente $- F$ . Constante aqui; é a inclinação da rampa de $p_{2}$ .	$N$
$p$	Quantidade de movimento ao longo do trilho: o eixo vertical do gráfico do meio.	$kg \cdot m/s$
$p_{1}$	Quantidade de movimento do carrinho 1: de 4 para $- 2$ durante o contato.	$kg \cdot m/s$
$p_{2}$	Quantidade de movimento do carrinho 2: de 0 para 6 durante o contato.	$kg \cdot m/s$
$P$	Quantidade de movimento total $p_{1} + p_{2}$ (tracejada): horizontal em 4 durante todo o processo.	$kg \cdot m/s$
$K$	Energia cinética total dos dois carrinhos.	$J$
$A$	Trilho A, para-choque com mola: $K$ cai para 2 J no meio do contato e depois volta para 8 J.
$B$	Trilho B, almofada adesiva (tracejada): $K$ cai para 2 J e fica ali.

$S$	Referencial do chão (linha de cima).
$S^{'}$	Referencial de um carro que se move com a bola da direita, a $- v$ em relação ao chão (linha de baixo).
$m$	Massa de cada uma das duas bolas idênticas; grudadas, têm $2 m$ .	$kg$
$v$	Velocidade de cada bola em $S$ ; $+ v$ é o deslocamento de cada velocidade de $S$ para $S^{'}$ . Todas as setas têm a mesma escala, então $2 v$ é duas vezes mais longa que $v$ .	$m/s$

$v$	Velocidade: as posições no eixo são velocidades.	$m/s$
$V$	Velocidade do centro de massa (linha tracejada), escrita $v_{cm}$ nas equações.	$m/s$
$m_{1}$	Massa do carrinho 1 (um bloco de largura).	$kg$
$m_{2}$	Massa do carrinho 2 (três blocos de largura).	$kg$
$v_{1}$	Velocidade do carrinho 1 antes da colisão.	$m/s$
$v_{2}$	Velocidade do carrinho 2 antes da colisão.	$m/s$
$u_{1}$	Velocidade do carrinho 1 em relação ao centro de massa, $v_{1} - V$ .	$m/s$
$u_{2}$	Velocidade do carrinho 2 em relação ao centro de massa, $v_{2} - V$ .	$m/s$
$v_{1}^{'}$	Velocidade do carrinho 1 depois da colisão.	$m/s$
$v_{2}^{'}$	Velocidade do carrinho 2 depois da colisão.	$m/s$
$u_{1}^{'}$	Velocidade do carrinho 1 em relação ao centro de massa depois da colisão: $- e u_{1}$ , aqui $- u_{1}$ .	$m/s$
$u_{2}^{'}$	Velocidade do carrinho 2 em relação ao centro de massa depois da colisão: $- e u_{2}$ , aqui $- u_{2}$ .	$m/s$

$m$	Massa de cada uma das duas esferas idênticas.	$kg$
$b$	Deslocamento: distância entre a trajetória da esfera 1 e a linha paralela que passa pelo centro da esfera 2.	$m$
$v_{1}$	Velocidade da esfera 1 antes da colisão; a esfera 2 está parada.	$m/s$
$v_{1}^{'}$	Velocidade da esfera 1 depois da colisão, transversal à linha de centros.	$m/s$
$v_{2}^{'}$	Velocidade da esfera 2 depois da colisão, ao longo da linha de centros.	$m/s$