Vetores e movimento relativo

Iniciante

Algumas grandezas ficam totalmente descritas por um só número: uma massa de 2 kg, um tempo de 10 s, uma temperatura de 20 °C. Essas são grandezas escalares. Outras também precisam de uma direção: “a estação fica a 2 km” não diz por qual rua ir. A rapidez (quão depressa) é um escalar; a velocidade (quão depressa e para onde) é um vetor, assim como o deslocamento e a força. Desenhamos um vetor como uma seta: o comprimento mostra o tamanho, a ponta mostra a direção.

Verificação rápida: “15 m/s para o sul” é uma rapidez ou uma velocidade? (Uma velocidade: tem direção.)

Para somar dois vetores, coloque a cauda da segunda seta na ponta da primeira; a soma vai do começo até o fim. Ande 3 m para leste e depois 4 m para o norte: você termina a 5 m do início. Você andou 7 m, mas seu deslocamento é a seta de 5 m.

As velocidades se somam do mesmo jeito. Numa esteira rolante você caminha a 1 m/s enquanto a esteira o leva a 2 m/s, então alguém ao lado vê você passar a 3 m/s. Ande de costas a 2 m/s e você fica emparelhado com essa pessoa: as velocidades se cancelam.

Verificação rápida: você anda a 1,5 m/s em direção ao fundo de um trem que se move a 20 m/s. Com que velocidade você passa por alguém na plataforma? (18,5 m/s, no sentido do trem.)

Na animação, um barco atravessa um rio de 60 m de largura. O remador aponta direto para a outra margem, mas a água leva o barco ao longo de uma linha inclinada. Os pontos cinza mostram que ele deriva 9 m a cada 3 segundos, 36 m ao todo. Mesmo assim, a viagem ainda leva 12 segundos, como em água parada: a correnteza acrescenta um movimento lateral, não um atraso.

Intermediário

Escalares, vetores e componentes

Uma massa de 2 kg ou um tempo de 12 s ficam completos com um número e uma unidade. Essas grandezas são escalares e se somam como números comuns. Deslocamento, velocidade, aceleração e força também precisam de uma direção: são vetores. Um vetor é escrito com uma seta, $\vec{A}$; seu tamanho, o módulo, é escrito $|\vec{A}|$ ou simplesmente $A$ e nunca é negativo. A rapidez é o módulo do vetor velocidade.

Para calcular com um vetor, escolha dois eixos perpendiculares e projete a seta sobre cada um. Se $\vec{A}$ faz um ângulo $\theta$ com o eixo $x$, medido em direção ao eixo $y$, suas componentes e seu módulo se relacionam por

• $A_x=A\cos \theta ,A_y=A\sin \theta$
• $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

As componentes têm sinal: $A_x$ é negativa quando a seta aponta para o $x$ negativo. A segunda linha é o teorema de Pitágoras, e a direção volta de $\tan \theta =A_y/A_x$. Nesta lição, $x$ aponta rio abaixo, ao longo do rio, e $y$ direto para a outra margem, atravessando-o.

Somando e subtraindo vetores

Para somar dois vetores, coloque a cauda do segundo na ponta do primeiro; a soma, ou resultante, vai da primeira cauda até a última ponta. Em componentes, a regra é a soma simples, eixo por eixo: se $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, então $C_x=A_x+B_x$ e $C_y=A_y+B_y$, em qualquer ordem.

Os módulos só se somam para setas paralelas. Um passo de 5 m seguido de um de 3 m dá 8 m se ambos vão no mesmo sentido, 2 m se são opostos e $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5,83\mathrm{m}$ em ângulo reto; qualquer outro ângulo dá algo intermediário. Subtrair significa somar a seta invertida, $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$: desenhada a partir de um ponto comum, ela vai da ponta de $\vec{B}$ até a ponta de $\vec{A}$.

Velocidade relativa: uma cadeia de referenciais

Uma velocidade é sempre medida em relação a alguma coisa. Seja $\vec{v}{}^{\prime }$ a velocidade do barco em relação à água, $\vec{u}$ a velocidade da água em relação à margem (a correnteza) e $\vec{v}$ a velocidade do barco em relação à margem. A cada segundo o barco se move $\vec{v}{}^{\prime }$ pela água enquanto a água o leva $\vec{u}$ ao longo da margem, e os dois deslocamentos se somam cauda com ponta:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$

Uma regra dos índices mantém a ordem certa: ${\vec{v}}_{boat/bank}={\vec{v}}_{boat/water}+{\vec{v}}_{water/bank}$. Os índices internos coincidem e se cancelam, sobrando barco em relação à margem. Trocar dois índices inverte a seta: em relação à água, a margem se move contra a correnteza com $-\vec{u}$.

Com $x$ rio abaixo e $y$ na travessia, um barco apontado direto para a outra margem tem $\vec{v}{}^{\prime }=(0,v^{\prime })$ e a correnteza é $\vec{u}=(u,0)$, então $\vec{v}=(u,v^{\prime })$. As componentes agem de forma independente: só a transversal leva o barco através de um rio de largura $d$, só a longitudinal o leva rio abaixo. Sua velocidade em relação ao solo, o tempo de travessia e a deriva são, portanto,
$|\vec{v}|=\sqrt{v^{\prime 2}+u^2}$
$t=\frac{d}{v^{\prime }},x=\frac{ud}{v^{\prime }}$

Exemplo resolvido: o barco da animação

O remador se move a $v^{\prime }=5m/s$ pela água, a correnteza flui a $u=3m/s$ e o rio tem $d=60\mathrm{m}$ de largura. O barco aponta direto para a outra margem.
$|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5,83m/s$
$t=\frac{60}{5}=12\mathrm{s},x=3\cdot 12=36\mathrm{m}$

A trajetória faz um ângulo $\phi$ com a linha reta de travessia, com $\tan \phi =u/v^{\prime }=3/5$, então $\phi \approx 31^{\circ }$ rio abaixo. Em relação ao solo o barco percorre $\sqrt{60^2+36^2}\approx 70\mathrm{m}$, que também é $5,83\cdot 12$. Esses são os valores finais dos indicadores: $y=v^{\prime }t$ e $x=ut$ crescem de forma constante e param em 60 m e 36 m quando $t$ chega a 12 s.

As setas sobre o barco desenham a soma: o $\vec{v}{}^{\prime }$ dourado aponta direto para a outra margem, o $\vec{u}$ azul começa na ponta dele, e o $\vec{v}$ verde fecha o triângulo ao longo da trajetória tracejada. As marcas cinza a cada 3 s mostram a deriva crescendo 9 m de cada vez, até 9, 18, 27 e 36 m, enquanto o barco avança 15 m na travessia: a trajetória é reta porque nenhuma das componentes muda.

Exemplo resolvido: um avião com vento lateral

Um avião leve voa a 250 km/h em relação ao ar, rumo a um aeródromo 360 km exatamente ao norte, enquanto o vento sopra para o leste a 70 km/h. O ar faz o papel da água: $v^{\prime }=250km/h$, $u=70km/h$ e $d=360\mathrm{km}$.

Se a piloto simplesmente apontar para o norte, o avião precisa de $360/250=1,44\mathrm{h}$ para percorrer 360 km para o norte e, nesse tempo, o vento o leva $70\cdot 1,44\approx 101\mathrm{km}$ para o leste do aeródromo. Para voar numa trajetória reta exatamente ao norte, ela precisa apontar em parte contra o vento, de modo que a componente para oeste de $\vec{v}{}^{\prime }$ cancele o vento. A velocidade em relação ao ar agora é a hipotenusa:
$\sin \alpha =\frac{u}{v^{\prime }},t=\frac{d}{\sqrt{v^{\prime 2}-u^2}}$

Aqui $\sin \alpha =70/250=0,28$, então ela aponta $\alpha \approx 16,3^{\circ }$ a oeste do norte. A velocidade em relação ao solo é $\sqrt{250^2-70^2}=240km/h$, e o voo leva $360/240=1,5\mathrm{h}$. A correção custa 3,6 minutos e elimina o erro de 101 km. Os pilotos chamam $\alpha$ de ângulo de correção de vento.

Lendo o triângulo de velocidades

Todo problema de velocidade relativa é um triângulo de $\vec{v}{}^{\prime }$, $\vec{u}$ e $\vec{v}$; primeiro decida qual lado é a hipotenusa. Quando o barco aponta direto para a outra margem, $\vec{v}{}^{\prime }$ e $\vec{u}$ são os catetos e a velocidade em relação ao solo é a hipotenusa, maior que qualquer um deles: 5,83 m/s. Quando o barco precisa seguir direto para a outra margem, $\vec{v}$ vira um cateto e $\vec{v}{}^{\prime }$ a hipotenusa, então a velocidade útil diminui para $\sqrt{5^2-3^2}=4m/s$ e a travessia leva 15 s. O segundo barco do nível avançado faz isso.

Ao longo do rio, o triângulo se reduz a uma linha: remando a favor da correnteza o barco faz $5+3=8m/s$ em relação ao solo, e contra a correnteza apenas $5-3=2m/s$. Se a correnteza fosse mais rápida que o remador, $u>v^{\prime }$, nenhuma direção conseguiria manter o barco na linha reta de travessia.

Erros comuns

• Somar rapidezes como números simples. Os 5 m/s do remador e os 3 m/s da correnteza dão 8 m/s só quando ambos apontam rio abaixo; em ângulo reto dão 5,83 m/s.
• Pensar que a correnteza atrasa a travessia. Ela não tem componente através do rio, então o barco apontado direto para a outra margem ainda precisa de $60/5=12\mathrm{s}$; a correnteza muda onde ele chega, não quando.
• Confundir direção de proa e trajetória. O barco aponta ao longo de $\vec{v}{}^{\prime }$ mas se move ao longo de $\vec{v}$, aqui 31° mais para jusante: a proa mostra o rumo, o rastro tracejado mostra a trajetória.
• Trocar seno e cosseno. O cosseno vai com o lado adjacente ao ângulo: uma corda que puxa com 50 N a 20° acima da horizontal dá $50\cos 20^{\circ }\approx 47\mathrm{N}$ na horizontal e $50\sin 20^{\circ }\approx 17\mathrm{N}$ na vertical.
• Esperar que a correnteza se cancele numa viagem de ida e volta. Remar 60 m contra a correnteza a 2 m/s e voltar a 8 m/s leva $30+7,5=37,5\mathrm{s}$, contra 24 s em água parada: o trecho lento dura mais, então pesa mais.

Onde você encontra isso

Pilotos e tripulações de balsas corrigem o vento e a correnteza, e a um nadador pego numa corrente de retorno se diz para nadar paralelamente à praia, atravessando o fluxo. A chuva que cai na vertical a 6 m/s risca as janelas laterais de um carro a 18 m/s a cerca de 72° da vertical, porque, em relação ao carro, as gotas também se movem para trás. As espaçonaves atracam igualando sua velocidade à da estação, não à da Terra.

O mesmo conjunto de ferramentas volta ao longo de toda a mecânica. A aula “Lançamento oblíquo” divide um lançamento em movimentos horizontal e vertical independentes, como os movimentos transversal e longitudinal do barco; “As leis de Newton” trata a força como vetor; e “Movimento circular” mostra que uma velocidade pode mudar apenas ao girar.

Avançado

O que faz de uma grandeza um vetor

Um vetor costuma ser apresentado como uma grandeza com tamanho e direção. É um bom começo, mas o teste exato é outro: como as componentes da grandeza se comportam quando os eixos giram. Esse teste importa, porque é a razão de uma lei vetorial poder ser escrita em quaisquer eixos que quisermos.

Legenda

$\vec{r}$	Um deslocamento: a mesma seta nos dois desenhos.	$\mathrm{m}$
$x$	Componente de $\vec{r}$ ao longo do primeiro eixo original.	$\mathrm{m}$
$y$	Componente de $\vec{r}$ ao longo do segundo eixo original.	$\mathrm{m}$
$\bar{x}$	Componente de $\vec{r}$ ao longo do primeiro eixo girado.	$\mathrm{m}$
$\bar{y}$	Componente de $\vec{r}$ ao longo do segundo eixo girado.	$\mathrm{m}$
$\beta$	Ângulo pelo qual os eixos são girados, no sentido anti-horário.	$\mathrm{rad}$

A Figura 1 desenha um mesmo deslocamento $\vec{r}$ duas vezes. À esquerda, perpendiculares tracejadas a partir da ponta de $\vec{r}$ encontram os dois eixos; as distâncias da origem até seus pés são as componentes $x$ e $y$. À direita, os eixos foram girados no sentido anti-horário de um ângulo $\beta$, enquanto a seta $\vec{r}$ não se moveu. A mesma construção, com perpendiculares aos novos eixos, dá novas componentes $\bar{x}$ e $\bar{y}$. A seta existe antes de qualquer eixo ser desenhado; suas componentes, não.

Para achar as novas componentes, divida $\vec{r}$ em suas duas partes antigas, $x$ ao longo do antigo primeiro eixo e $y$ ao longo do antigo segundo eixo, e projete cada parte sobre os novos eixos. O novo primeiro eixo faz o ângulo $\beta$ com o antigo primeiro eixo e $90^{\circ }-\beta$ com o antigo segundo, então as partes contribuem com $x\cos \beta$ e $y\sin \beta$. O novo segundo eixo faz $90^{\circ }+\beta$ com o antigo primeiro e $\beta$ com o antigo segundo, então as partes contribuem com $-x\sin \beta$ e $y\cos \beta$. Juntas:
$\bar{x}=x\cos \beta +y\sin \beta ,\bar{y}=-x\sin \beta +y\cos \beta$

Essa regra é a verdadeira definição. Um vetor é qualquer grandeza cujas componentes mudam com os eixos exatamente como as de um deslocamento.

A velocidade passa no teste. Ela é um deslocamento $\Delta \vec{r}$ dividido pelo tempo $\Delta t$, e $\Delta t$ é um escalar, o mesmo em qualquer conjunto de eixos, então dividir por ele preserva a regra. A aceleração, uma variação de velocidade dividida por um tempo, passa pelo mesmo motivo, e a força também. Agora tome uma equação vetorial como $\vec{F}=m\vec{a}$ ou $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$. Ela afirma que as componentes dos dois lados são iguais. Os dois lados mudam pela mesma regra linear quando os eixos giram, então, se são iguais em um conjunto de eixos, são iguais em todos. Tomar $x$ ao longo do rio é uma conveniência, não uma lei física.

Algumas combinações de componentes não mudam quando os eixos giram; são chamadas de invariantes. O comprimento é uma delas: elevando ao quadrado e somando as duas equações acima, os termos cruzados se cancelam e ${\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$, então ${\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=x^2+y^2$. De modo mais geral, o produto escalar de dois vetores, $\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y=AB\cos \gamma$, onde $\gamma$ é o ângulo entre as setas, é o mesmo em qualquer conjunto de eixos.

Tome o barco desta lição, apontado direto para a outra margem de um rio de 60 m de largura. Em relação à água ele se move com $\vec{v}{}^{\prime }=(0,5)m/s$, a correnteza é $\vec{u}=(3,0)m/s$, e em relação à margem ele se move com $\vec{v}=(3,5)m/s$, de módulo $\sqrt{34}\approx 5,83m/s$. Então $\vec{v}{}^{\prime }\cdot \vec{v}=0\cdot 3+5\cdot 5=25{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, e $\cos \gamma =25/(5\cdot 5,83)\approx 0,857$ dá $\gamma \approx 31^{\circ }$. Esse é o ângulo entre para onde o barco aponta e para onde ele realmente vai, obtido só das componentes, sem desenho. Gire os eixos de $\beta \approx 59^{\circ }$, de modo que $\bar{x}$ fique ao longo da trajetória, e a velocidade em relação ao solo passa a ser $(5,83,0)m/s$: outros números, a mesma seta, o mesmo comprimento.

Tamanho e direção, portanto, não bastam. Girar um livro de 90° em torno de algum eixo tem as duas coisas, um eixo e um ângulo, mas duas rotações assim em torno de eixos diferentes não se somam como vetores: o livro termina numa posição diferente se a ordem for trocada, enquanto $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$. Só rotações muito pequenas comutam, em primeira ordem no ângulo. Por isso a velocidade angular, uma taxa de rotações muito pequenas, é um vetor, enquanto uma rotação finita não é.

Mudando de referencial: a transformação de Galileu

A Figura 1 girou os eixos. O movimento relativo pergunta o que acontece quando os eixos se movem: como as posições, velocidades e acelerações medidas de uma plataforma em movimento se comparam com as medidas do solo? A resposta é a transformação de Galileu, e ela diz sobre quais grandezas todos os observadores concordam.

Legenda

$S$	Referencial da margem: eixos pretos em repouso no solo.
$S^{\prime }$	Referencial da água: eixos roxos, paralelos aos de $S$, derivando com a correnteza.
$\vec{u}t$	Quanto a origem de $S^{\prime }$ foi levada no tempo $t$.	$\mathrm{m}$
$P$	O barco no instante $t$.
$\vec{r}{}^{\prime }$	Posição do barco no referencial da água, medida a partir da origem de $S^{\prime }$.	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	Posição do barco no referencial da margem, medida a partir da origem de $S$.	$\mathrm{m}$
$\vec{u}$	Velocidade do referencial da água em relação à margem: a correnteza.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Velocidade do barco em relação à água.	$m/s$
$\vec{v}$	Velocidade do barco em relação à margem.	$m/s$

Um referencial é um conjunto de eixos junto com um relógio. A Figura 2 usa dois. O referencial da margem $S$ tem eixos pretos fixos no solo. O referencial da água $S^{\prime }$ tem eixos roxos, paralelos aos de $S$, que derivam com a correnteza com velocidade constante $\vec{u}$. Os dois conjuntos de eixos coincidem em $t=0$, e ambos os referenciais leem o mesmo relógio, então $t$ significa o mesmo nos dois.

A parte da esquerda da Figura 2 é um instantâneo no instante $t$. A origem de $S^{\prime }$ foi levada a uma distância $\vec{u}t$ ao longo do rio: para a correnteza de 3 m/s, 36 m rio abaixo após 12 s. O barco, no ponto $P$, saiu da origem comum apontado direto para a outra margem. No referencial da água ele está a $\vec{r}{}^{\prime }$ da origem de $S^{\prime }$, 60 m direto para cima ao longo do eixo roxo. No referencial da margem ele está a $\vec{r}$ da origem de $S$. As três setas formam um triângulo: ir da origem de $S$ direto até $P$ é o mesmo que ir primeiro até a origem de $S^{\prime }$ e depois até $P$. Assim, um ponto em $\vec{r}{}^{\prime }$ em $S^{\prime }$ está, em $S$, em
$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$

Derive em relação a $t$. Como $\vec{u}$ é constante, $d(\vec{u}t)/dt=\vec{u}$, e as velocidades se somam:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$
Para o barco, que se move uniformemente a partir da origem comum, cada lado do triângulo da esquerda é $t$ vezes uma velocidade, então dividir todos os lados por $t$ dá o triângulo de velocidades à direita da Figura 2. Derive mais uma vez. O $\vec{u}$ constante tem derivada nula, então desaparece por completo:
$\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }$

As velocidades dependem do observador; as acelerações, não. Todos os observadores também concordam quanto às massas e às forças, então, se $\vec{F}=m\vec{a}$ vale em $S$, vale em $S^{\prime }$. Um referencial em que as leis de Newton valem é chamado de inercial. O resultado diz que qualquer referencial que se move com velocidade constante em relação a um referencial inercial é também inercial, e nenhum experimento mecânico feito inteiramente dentro dele pode revelar esse movimento. Esse é o princípio da relatividade da mecânica. Galileu fez essa observação com a cabine de um navio navegando suavemente: as gotas de uma garrafa caem direto para baixo, assim como no porto.

A transformação também é uma ferramenta: resolva o problema no referencial em que ele é mais simples e depois some $\vec{u}$. No referencial da água, o rio é um lago parado. O barco vai direto para a outra margem a 5 m/s e precisa de $60/5=12\mathrm{s}$, enquanto a margem desliza contra a correnteza a 3 m/s. A deriva de 36 m é simplesmente o comprimento de margem que desliza durante a travessia. O mesmo triângulo de velocidades inclina a luz das estrelas. A Terra orbita o Sol a 30 km/s, então a luz que chega com velocidade $c$ parece vir de uma direção desviada de até $v/c\approx 10^{-4}\mathrm{rad}$, cerca de 20 segundos de arco. Essa é a aberração da luz, descoberta por James Bradley na década de 1720.

Todas as direções de uma vez: o diagrama de velocidades

O remador escolhe apenas a direção; a correnteza é dada. Quais velocidades em relação ao solo o barco pode alcançar, e qual direção é a melhor para um dado objetivo? Um desenho, o diagrama de velocidades, responde isso para todas as direções de uma vez. Aqui ele é desenhado para $u<v^{\prime }$, como a correnteza de 3 m/s e o remador de 5 m/s da lição.

Legenda

$x$	Eixo ao longo do rio, apontando rio abaixo.
$y$	Eixo transversal ao rio, em direção à outra margem.
$O$	Ponto de partida do diagrama, onde $\vec{u}$ e $\vec{v}$ começam.
$\vec{u}$	Velocidade da correnteza, desenhada a partir de $O$.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Velocidade do barco em relação à água: seu comprimento é sempre $v^{\prime }$, então sua ponta fica no círculo.	$m/s$
$\vec{v}$	Velocidade do barco em relação à margem, $\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$.	$m/s$
$\theta$	Rumo: quanto $\vec{v}{}^{\prime }$ aponta contra a correnteza em relação à travessia direta (a vertical tracejada).	$\mathrm{rad}$

Monte a Figura 3 em três passos. Primeiro desenhe a correnteza $\vec{u}$ a partir de um ponto $O$. Depois prenda a velocidade do barco pela água, $\vec{v}{}^{\prime }$, na ponta de $\vec{u}$. Seu comprimento é fixo em $v^{\prime }$, mas o remador pode apontá-la para qualquer lado, então sua ponta pode estar em qualquer ponto do círculo tracejado de raio $v^{\prime }$ centrado na ponta de $\vec{u}$. Por fim, a velocidade em relação ao solo $\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$ vai de $O$ até esse ponto do círculo.

A figura mostra uma direção. A vertical tracejada pela ponta de $\vec{u}$ é direto para a outra margem, e $\vec{v}{}^{\prime }$ se inclina à esquerda dela, contra a correnteza, do ângulo $\theta$. Agora olhe onde $O$ está. Como $u<v^{\prime }$, $O$ fica dentro do círculo, então uma reta de $O$ em qualquer direção encontra o círculo: toda direção de $\vec{v}$ é possível, inclusive direto para a outra margem. O topo do círculo dá a maior componente transversal, o próprio $v^{\prime }$, e portanto a travessia mais rápida.

Para transformar o desenho em números, use os eixos no canto da figura: $x$ rio abaixo e $y$ na travessia, em direção à outra margem. Inclinar-se contra a correnteza significa apontar para o $x$ negativo, então
$\vec{v}{}^{\prime }=(-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta ),\vec{v}=(u-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta )$
Só a componente transversal $v^{\prime }\cos \theta$ leva o barco através da largura $d$, então ela fixa o tempo de travessia. Durante esse tempo, a componente longitudinal leva o barco rio abaixo pela deriva $x$:
$t(\theta )=\frac{d}{v^{\prime }\cos \theta },x(\theta )=\frac{(u-v^{\prime }\sin \theta )d}{v^{\prime }\cos \theta }$

A travessia é mais rápida em $\theta =0$, onde $\cos \theta$ é máximo, qualquer que seja a correnteza: $60/5=12\mathrm{s}$, com $3\cdot 12=36\mathrm{m}$ de deriva. A deriva some quando a parte contra a correnteza de $\vec{v}{}^{\prime }$ cancela a correnteza, $v^{\prime }\sin \theta =u$. Chame essa direção de $\alpha$: $\sin \alpha =u/v^{\prime }=0,6$, então $\alpha \approx 36,9^{\circ }$. Então $\cos \alpha =0,8$, a velocidade em relação ao solo é $\vec{v}=(0,4)m/s$, um triângulo 3–4–5, e a travessia leva $60/4=15\mathrm{s}$. Direções intermediárias trocam tempo por deriva. Em $\theta =20^{\circ }$ o barco atravessa em $60/(5\cos 20^{\circ })\approx 12,8\mathrm{s}$ e chega $(3-5\sin 20^{\circ })\cdot 12,8\approx 16,5\mathrm{m}$ rio abaixo. Essa é a direção desenhada em escala na Figura 3.

O gráfico no nível avançado da animação mostra apenas o movimento transversal. Cada $y(t)$ é uma reta cuja inclinação é a velocidade transversal daquele barco: 5 m/s para o barco apontado direto para a outra margem, que alcança a linha tracejada $y=d$ após 12 s, e 4 m/s para o barco roxo que aponta 36,9° contra a correnteza, que chega após 15 s. O gráfico não consegue mostrar a deriva. Na outra margem, o primeiro barco chega 36 m rio abaixo e o segundo exatamente em frente ao ponto de partida.

Quando a correnteza não é uniforme

Até aqui a correnteza foi a mesma em todo lugar. Um rio de verdade corre mais depressa no meio e quase para nas margens. Isso muda onde o barco chega? Surpreendentemente pouco, e vale a pena ver o motivo.

Tome o perfil $u(y)=4u_{\mathrm{m}}(y/d)(1-y/d)$. Ele é zero nas duas margens, $y=0$ e $y=d$, e atinge seu maior valor $u_{\mathrm{m}}$ no meio do rio, $y=d/2$; tome $u_{\mathrm{m}}=4,5m/s$. Um barco apontado direto para a outra margem ainda tem a velocidade transversal $v^{\prime }$, porque a correnteza empurra apenas ao longo do rio. Então $y=v^{\prime }t$, e ele ainda atravessa em 12 s. Ao longo do rio, sua velocidade é a correnteza local, $dx/dt=u(y)$. Como $y$ cresce de forma constante, é mais fácil seguir o barco por $y$ do que por $t$: com $dt=dy/v^{\prime }$, cada passo na travessia acrescenta $dx=u(y)dy/v^{\prime }$, e somar os passos ao longo da largura dá
$x=\frac{1}{v^{\prime }}{\int }_0^{d}u(y)dy=\frac{\bar{u}d}{v^{\prime }}$
onde $\bar{u}$ é a correnteza média sobre a largura.

Para essa parábola a média é $\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{\mathrm{m}}=3m/s$, então o barco novamente chega 36 m rio abaixo. Sua trajetória, porém, agora é uma curva. Nas margens a correnteza é zero, então o barco sai e chega movendo-se direto na travessia; no meio do rio ele se inclina mais, num ângulo $\phi$ em relação à travessia direta com $\tan \phi =4,5/5$, cerca de 42°. Só a correnteza média sobre a largura decide a deriva.

O mesmo vale para uma direção fixa. O barco que aponta 36,9° contra a correnteza se move pela água a 3 m/s contra a correnteza e 4 m/s na travessia. Perto das margens a correnteza é mais fraca que 3 m/s e o barco ganha terreno contra ela; no meio do rio ela é mais forte e o barco perde terreno. Como a média é exatamente 3 m/s, o barco ainda chega exatamente em frente após 15 s, mas no caminho ele se desvia 4,3 m contra a correnteza perto da primeira margem e 4,3 m a favor perto da segunda. Para manter a linha reta o tempo todo, a direção teria de girar continuamente de modo que $v^{\prime }\sin \theta =u(y)$ em cada ponto. Isso exige até 64° no meio do rio, onde $\sin \theta =0,9$, e a menor velocidade transversal faz a travessia levar cerca de 17,9 s.

Problema resolvido: um rio em cheia

Depois de uma chuva forte, a correnteza sobe para $u=6,25m/s$, mais rápida que os 5 m/s do remador. O barco ainda consegue chegar bem em frente ao ponto de partida? Se não, qual direção chega mais perto, e a que custo em tempo?

Legenda

$x$	Eixo ao longo do rio, apontando rio abaixo.
$y$	Eixo transversal ao rio, em direção à outra margem.
$O$	Ponto de partida do diagrama, onde $\vec{u}$ e $\vec{v}$ começam.
$\vec{u}$	Velocidade da correnteza da cheia, desenhada a partir de $O$.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Velocidade do barco em relação à água para o melhor rumo; sua ponta é onde a tangente toca o círculo.	$m/s$
$\vec{v}$	Velocidade do barco em relação à margem, ao longo da tangente: a direção com a menor deriva.	$m/s$
$\theta$	Melhor rumo: o ângulo entre $\vec{v}{}^{\prime }$ e a travessia direta (a vertical tracejada).	$\mathrm{rad}$

A Figura 4 é o diagrama de velocidades da Figura 3, redesenhado para a cheia. A seta $\vec{u}$ agora é mais longa que o raio do círculo, 5 m/s, então $O$ fica fora do círculo. Toda seta $\vec{v}$ de $O$ até o círculo, portanto, aponta em parte rio abaixo: chegar bem em frente é impossível. A fórmula concorda, pois exigiria $\sin \theta =u/v^{\prime }=6,25/5=1,25$. Apontar direto para a outra margem ainda dá a travessia mais rápida, 12 s, mas com $6,25\cdot 12=75\mathrm{m}$ de deriva.

Qual direção dá a menor deriva? O barco se move ao longo de $\vec{v}$, e a deriva é $d$ vezes a tangente do ângulo entre $\vec{v}$ e a travessia direta. Então o melhor $\vec{v}$ é o que se inclina mais contra a correnteza ainda alcançando o círculo: a tangente de $O$ ao círculo, desenhada na Figura 4. O cálculo confirma. Derivando $x(\theta )$ com a regra do quociente e usando ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$:
$\frac{dx}{d\theta }=\frac{u\sin \theta -v^{\prime }}{v^{\prime }{\cos }^2\theta }d=0\Rightarrow \sin \theta =\frac{v^{\prime }}{u}=0,8$

Assim, o barco aponta $\theta \approx 53,1^{\circ }$ contra a correnteza, o ângulo marcado na Figura 4, e $\cos \theta =0,6$. Sua velocidade transversal é $5\cdot 0,6=3m/s$ e sua velocidade rio abaixo é $6,25-5\cdot 0,8=2,25m/s$. A travessia leva $60/3=20\mathrm{s}$, e a deriva é $2,25\cdot 20=45\mathrm{m}$. Em geral, $x_{\min }=d\sqrt{u^2-v^{\prime 2}}/v^{\prime }$.

O ângulo reto marcado na Figura 4 não é por acaso. Uma tangente a um círculo é perpendicular ao raio no ponto de contato, e aqui o raio é $\vec{v}{}^{\prime }$, então o melhor $\vec{v}$ é perpendicular a $\vec{v}{}^{\prime }$. O produto escalar confirma: com $\vec{v}{}^{\prime }=(-4,3)m/s$ e $\vec{v}=(2,25,3)m/s$, $(-4)(2,25)+3\cdot 3=0$. Em comparação com apontar direto para a outra margem, apontar contra a correnteza economiza 30 m de deriva e custa 8 s.

O referencial da água dá uma verificação independente. Lá o barco se move a 5 m/s ao longo de sua direção por 20 s, um deslocamento $\vec{r}{}^{\prime }=(-80,60)\mathrm{m}$, enquanto a água leva tudo $6,25\cdot 20=125\mathrm{m}$ rio abaixo. Então $\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$ dá o ponto de chegada $(45,60)\mathrm{m}$, como antes.

Limites de validade

A regra $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ se apoia em duas suposições: o referencial em movimento mantém velocidade constante sem girar, e todos os observadores compartilham um só relógio e uma só régua. Cada uma falha em algum lugar, e é útil saber onde.

Suponha que o referencial $S^{\prime }$ acelere com $\vec{A}$ em relação a $S$. A transformação ganha um termo $\frac{1}{2}\vec{A}{t}^2$, e derivar duas vezes dá $\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }+\vec{A}$: agora os observadores discordam sobre as acelerações. Num trem freando a 2 m/s², uma bola solta não tem aceleração horizontal em relação ao solo, então, em relação ao trem, ela se desvia para a frente a 2 m/s², como se fosse empurrada por uma força que nada exerce. Essas forças aparentes são chamadas de forças fictícias ou forças de inércia. Um referencial em rotação acrescenta mais duas, as acelerações centrífuga e de Coriolis.

A Terra é um referencial em rotação assim, mas gira devagar, $\Omega \approx 7,29\times 10^{-5}rad/s$. Para o barco que se move a 5,83 m/s numa latitude de 45°, a aceleração de Coriolis lateral $2\Omega v\sin 45^{\circ }$ é cerca de $6\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$. Ao longo dos 12 s da travessia, isso desloca o barco em $\frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{-4}\cdot 12^2\approx 4\mathrm{cm}$. Para correntes oceânicas e tempestades, que duram dias e cobrem milhares de quilômetros, ela é decisiva.

Mais fundo ainda, a cinemática galileana supõe um só relógio para todos os observadores e comprimentos com que todos concordam. A luz não obedece a isso: sua velocidade é $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ em todo referencial inercial. A relatividade restrita substitui a soma de velocidades ao longo de uma linha por
$v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}$
que nunca ultrapassa $c$. Uma sonda lançada para a frente a $0,6c$ de uma nave que se move a $0,6c$ viaja a $1,2c/1,36\approx 0,88c$, não a $1,2c$. Para o barco, a correção é da ordem de $v^{\prime }u/c^2\approx 1,7\times 10^{-16}$, muito abaixo de qualquer coisa mensurável: a soma galileana é o limite de baixas velocidades da lei relativística.

Para onde isso leva

A aula “Lançamento oblíquo” divide um lançamento em um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, independentes entre si como os movimentos longitudinal e transversal do barco. “As leis de Newton” escreve $\vec{F}=m\vec{a}$ como uma lei vetorial que vale nos referenciais inerciais vistos aqui. “Movimento circular” encontra a aceleração de um corpo que gira com rapidez constante subtraindo vetores velocidade, e “Trabalho, energia e potência” usa o produto escalar, $W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$. “Quantidade de movimento e colisões” costuma passar para o referencial do centro de massa por exatamente esse deslocamento galileano, e “Som e efeito Doppler” depende das velocidades da fonte e do ouvinte em relação ao ar.

Uma pergunta continua em aberto. “Força magnética sobre cargas em movimento” contém uma velocidade, $q\vec{v}\times \vec{B}$: velocidade em relação a qual referencial? A “Relatividade restrita” responde: uma vez abandonado o relógio compartilhado, os campos elétrico e magnético se misturam de um referencial para outro.