A gravidade como espaço-tempo curvo

Iniciante

Deixe cair um martelo e uma pena onde não há ar, como um astronauta fez na Lua, e eles chegam juntos. Todo objeto cai com a mesma aceleração, qualquer que seja sua massa ou material. Einstein, em 1915, tomou isso como pista: se tudo cai igual, talvez cair não seja algo que se faz aos objetos, mas uma propriedade do próprio espaço e do tempo.

Uma espaçonave em órbita não está livre da gravidade: ela cai o tempo todo ao redor da Terra, e a tripulação e seus lápis caem junto, por isso flutuam. Agora imagine uma cabine fechada. Se ela cai livremente, você flutua como se a gravidade tivesse desaparecido. Se for um foguete acelerando longe de qualquer planeta, você é empurrado contra o chão como se houvesse gravidade. Por dentro, não dá para notar a diferença: esse é o princípio da equivalência.

A resposta de Einstein é a relatividade geral: massa e energia curvam o espaço e o tempo, e um corpo deixado livre segue o caminho mais reto possível por esse espaço-tempo curvo. A folha de borracha da animação mostra isso: a estrela afunda a grade, a bola azul continua girando em torno da depressão, e o raio de luz dourado se afasta da linha reta tracejada.

O tempo também é curvo. O relógio lento na estrela dá três voltas enquanto o rápido, distante, dá quatro. Na Terra o efeito é minúsculo, mas os satélites GPS precisam corrigi-lo, senão as posições derivariam cerca de 10 km por dia. Levada ao extremo, a teoria prevê buracos negros, que aprisionam a luz, e ondas gravitacionais, detectadas pela primeira vez em 2015.

Teste-se: uma astronauta flutua dentro da Estação Espacial. Não há gravidade lá em cima? (Há, quase tanto quanto na superfície: ela flutua porque cai junto com a estação.)

Intermediário

O que muda e o que medimos

Todo corpo cai com a mesma aceleração, qualquer que seja sua massa ou material: experimentos confirmam isso com precisão de cerca de uma parte em $10^{15}$. A relatividade geral de Einstein (1915) leva isso a sério: se o movimento não depende do corpo, ele pertence ao espaço e ao tempo. Massa e energia curvam o espaço-tempo, e um corpo em queda livre, sem sentir força alguma, segue por ele o caminho mais reto possível. Você, parado no chão, é a exceção: o piso empurra você para fora do seu caminho de queda livre, e você sente esse empurrão como peso.

Nas fórmulas aparecem dois tipos de tempo. O tempo próprio $\tau$ é o que um relógio marca em seu próprio lugar, e todos os processos ali acompanham esse tempo. O tempo distante $t$ é a leitura de um relógio em repouso, longe de todas as massas, usado como referência comum. A distância $r$ ao centro de uma massa $M$ é definida pela circunferência, $r=C/2\pi$, porque no espaço curvo uma régua estendida a partir do centro mede um pouco mais. As constantes $G$ e $c$ entram por meio de $GM/c^2$, que é um comprimento.

O raio de Schwarzschild define a escala

O dobro desse comprimento é o raio de Schwarzschild,
$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

Ele vale 2,95 km para o Sol e 8,9 mm para a Terra, crescendo na proporção da massa: 29,5 km para um buraco negro de 10 massas solares. Um corpo comprimido dentro do próprio $r_s$ não deixa escapar nada, nem a luz, e $r_s$ torna-se o raio do seu horizonte de eventos. Para o Sol, cujo raio é 696.000 km, os 2,95 km são apenas uma escala, não uma superfície.

A razão $r_s/r$ mede a intensidade da gravidade à distância $r$: $1,4\times 10^{-9}$ na superfície da Terra, $4,2\times 10^{-6}$ na do Sol, cerca de 0,34 numa estrela de nêutrons e 1 no horizonte. Toda correção relativística tem essa ordem de grandeza, e por isso a teoria de Newton funciona tão bem no Sistema Solar.

As fórmulas de trabalho

Quatro fórmulas respondem à maioria das questões práticas. A primeira é exata; as outras três valem apenas para gravidade fraca, e a terceira só para velocidades muito abaixo de $c$:

• $\tau =t\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx \frac{gh}{c^2}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx -\frac{v^2}{2c^2}$
• $\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}$

A primeira dá a taxa de um relógio em repouso à distância $r$, comparada com o tempo distante; ela cai a zero no horizonte. Para $r_s/r$ pequeno, a raiz quadrada fica perto de $1-GM/(r{c}^2)$, então, perto de um planeta, um relógio em $r+h$ ganha em relação a um em $r$ a fração $GMh/(r^2{c}^2)=gh/c^2$, a segunda fórmula. Um relógio 1 m mais alto anda mais rápido em $1,1\times 10^{-16}$; 1 km mais alto, ganha 9,4 ns por dia.

A terceira é a desaceleração de relógios em movimento, da Relatividade restrita. As frações de taxa se somam com seus sinais: a altura faz o relógio ganhar, a velocidade faz perder. A quarta dá a curvatura de um raio cuja trajetória reta passaria pelo centro à distância $b$, o parâmetro de impacto; com $r_s$ ela fica $\delta =2r_s/b$, em radianos. Rasando o Sol, dá 1,75″, como medido no eclipse de 1919. A lei de Newton, aplicada a uma partícula com velocidade $c$, dá metade disso; a outra metade vem do espaço curvo.

Exemplo resolvido: os relógios e o raio da animação

A animação exagera: o raio da estrela é apenas $1,8r_s$. O relógio da estrela fica em $r_1=2,16r_s$ e o distante em $r_2=22r_s$, então suas taxas são
$\sqrt{1-1/2,16}=\sqrt{0,537}\approx 0,733$
$\sqrt{1-1/22}=\sqrt{0,955}\approx 0,977$

A razão é $0,733/0,977=0,750$, exatamente 3/4. Numa volta, o tempo distante avança $12,0/0,977=12,28\mathrm{s}$, de modo que o relógio distante mostra ${\tau }_2=12,0\mathrm{s}$ e o da estrela ${\tau }_1=0,733\cdot 12,28=9,0\mathrm{s}$: os valores finais dos mostradores vermelho ${\tau }_1$ e verde ${\tau }_2$. Cada ponteiro dá uma volta a cada 3 s de seu próprio tempo: três voltas na estrela, quatro longe dela.

O raio dourado passa em $b=8r_s$. A fórmula de campo fraco dá $\delta \approx 2/8=0,25\mathrm{rad}$, ou 14,3°, mas o caminho exato desenhado se curva 17,8°: tão perto da estrela, a fórmula falha. A bola azul gira em $r=10,4r_s$. Como $GM=r_s{c}^2/2$, sua velocidade $\sqrt{GM/r}$ é $c/\sqrt{20,8}\approx 0,22c$, o valor newtoniano para órbita circular, exato aqui quando o tempo é contado em segundos do relógio distante.

Exemplo resolvido: relógios GPS

Satélites de navegação orbitam a 20.200 km acima do solo, a $r=6371+20200=26571\mathrm{km}$ do centro da Terra, enquanto o relógio no chão fica no raio terrestre $R=6371\mathrm{km}$. Para a Terra, $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$. Comparando as taxas nos dois raios, o relógio do satélite ganha em relação a um relógio no chão a fração
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=4,435\mathrm{mm}\times \left(\frac{1}{6371\mathrm{km}}-\frac{1}{26571\mathrm{km}}\right)\approx 5,29\times 10^{-10}$
que, num dia de 86.400 s, soma $+45,7\mu \mathrm{s}$.

O satélite também se move a $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{3,986\times 10^{14}/(2,657\times 10^7)}\approx 3,87km/s$, o que desacelera seu relógio em $v^2/(2c^2)\approx 8,3\times 10^{-11}$, ou $-7,2\mu \mathrm{s}$ por dia. O efeito líquido é $+45,7-7,2=+38,5\mu \mathrm{s}$ por dia. As posições vêm dos tempos de viagem dos sinais, e nesse tempo a luz percorre $c\cdot 38,5\mu \mathrm{s}\approx 11,5\mathrm{km}$, então posições sem correção derivariam por quilômetros em um dia. Por isso os relógios dos satélites são feitos para marcar o tempo cerca de $4,5\times 10^{-10}$ mais devagar.

Como ler a imagem da folha de borracha

A grade é o plano orbital, e a profundidade da depressão é desenhada na proporção do potencial newtoniano $\Phi =-GM/r$ (suavizado perto da estrela). A profundidade também mostra quanto os relógios desaceleram, pois em campos fracos $d\tau /dt\approx 1+\Phi /c^2$. A linha cinza tracejada é o caminho da luz sem a estrela, a barra preta marca $b$, e $\delta$ indica o ângulo entre essa linha e o raio dourado. A visão de especialista acrescenta a previsão de Newton como um caminho roxo tracejado.

Leia a folha como imagem, não como a teoria. Uma bola rola para dentro de uma depressão real apenas porque a gravidade da Terra a puxa para baixo; assim, a analogia usa a gravidade para explicar a gravidade. Ela também mostra apenas o espaço curvo, enquanto para corpos lentos quase toda a gravidade vem da curvatura do tempo; o espaço curvo importa sobretudo para corpos rápidos, como a luz.

Erros comuns

• Esperar que um relógio lento pareça lento. Ao lado do relógio da estrela em $2,16r_s$, seu relógio de pulso, seu coração e seus átomos funcionam normalmente; só a comparação mostra que você envelhece 9 anos enquanto um observador distante envelhece 12.
• Trocar os sinais do GPS. A gravidade mais fraca faz o relógio do satélite ganhar 45,7 µs por dia, e a velocidade faz perder 7,2 µs, então o líquido é +38,5 µs, não 52,9 µs.
• Usar $gh/c^2$ para grandes alturas. No GPS isso dá $9,81\cdot 2,02\times 10^7/c^2\approx 2,2\times 10^{-9}$, quatro vezes demais, porque $g$ enfraquece com a altura; use $GM/c^2(1/R-1/r)$.
• Tratar $r_s$ como o tamanho de um corpo, ou um buraco negro como um aspirador. Os 2,95 km do Sol estão bem dentro dele, e um buraco negro com a massa do Sol deixaria a órbita da Terra inalterada, porque fora da massa só importa $M$.

Onde aparece

Toda navegação por satélite depende dessas correções, e relógios atômicos ópticos já percebem um desnível de poucos centímetros. A lente gravitacional amplia galáxias distantes e mapeia a matéria escura invisível. As sombras de buracos negros são fotografadas desde 2019, e as ondas gravitacionais de buracos negros em fusão são registradas desde 2015.

Esta lição une a Relatividade restrita, que fornece o tempo próprio e o termo de velocidade, Gravitação e órbitas, seu limite de campo fraco. E como a energia tem massa, como mostra Fissão, fusão e E = mc², toda forma de energia curva o espaço-tempo, inclusive luz e pressão.

Avançado

Medir a curvatura por dentro

Como seres que vivem dentro de um espaço poderiam perceber que ele é curvo, sem sair dele? Medindo. Desenhe uma esfera em torno de alguma matéria e meça sua área superficial $A$. No espaço plano, a área fixa o raio: $A=4\pi r^2$, então o raio precisa ser $\sqrt{A/4\pi }$. Agora meça o raio diretamente, enfileirando réguas do centro até a esfera. Se as réguas derem mais que $\sqrt{A/4\pi }$, o espaço é curvo, e a diferença, chamada raio em excesso, mede quanto.

Legenda

$M$	Massa dentro da esfera.	$\mathrm{kg}$
$A$	Área da esfera que o anel representa.	${\mathrm{m}}^2$
$\sqrt{A/4\pi }$	Raio que o espaço plano daria para a área $A$.	$\mathrm{m}$
$r$	Raio medido com réguas estendidas de $M$, ao longo da folha, até o anel.	$\mathrm{m}$
$\Delta r$	Raio em excesso, $r-\sqrt{A/4\pi }$; para matéria de densidade aproximadamente uniforme, vale $GM/(3c^2)$.	$\mathrm{m}$

A figura 1 mostra o mesmo teste uma dimensão abaixo, para que possa ser desenhado. A folha curva é o espaço, o anel representa a esfera de área $A$, e a massa $M$ fica no fundo da depressão. A folha é desenhada como parte de uma esfera, pois essa é a forma que o espaço assume dentro de matéria de densidade uniforme. Olhe primeiro para a linha tracejada: é a distância horizontal do eixo até o anel, o raio $\sqrt{A/4\pi }$ que o espaço plano daria para um anel desse tamanho. Agora siga a curva marcada com $r$: uma régua de $M$ até o anel não pode cortar a depressão, tem de acompanhar a inclinação da folha, e por isso marca uma distância maior. A barra embaixo põe os dois comprimentos lado a lado, $r=\sqrt{A/4\pi }+\Delta r$. O pedaço extra $\Delta r$ é o raio em excesso que seres que vivem na folha mediriam.

A lei da gravitação de Einstein, em sua forma mais simples, dá um número para esse excesso. Tome uma pequena esfera em torno de matéria de densidade aproximadamente uniforme, com massa $M$ dentro dela. Então o raio medido excede o valor do espaço plano em
$\Delta r=r-\sqrt{A/4\pi }=\frac{GM}{3c^2}$

Aqui $G$ é a constante gravitacional de Newton e $c$ a velocidade da luz. Como $G/c^2$ é tão pequeno, o efeito é minúsculo. Para a Terra, tratada como uniforme, $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$, então o raio em excesso é apenas cerca de 1,5 mm; para Júpiter, são 0,47 m. Nenhum levantamento poderia detectar isso. O poder da regra está na sua generalidade.

A lei completa exige o mesmo para cada pequena esfera, em torno de cada evento (um ponto do espaço em um instante) e para cada observador, qualquer que seja seu movimento. Escrever todas essas condições de uma vez exige três ingredientes. A métrica é a tabela que converte passos nas coordenadas nos tempos e comprimentos que relógios e réguas de fato medem. O tensor de Einstein $G_{\mu \nu }$ reúne a curvatura; ele é construído a partir de derivadas segundas da métrica, assim como a curvatura de uma linha vem da derivada segunda do seu gráfico. O tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ reúne a densidade e o fluxo de energia e momento. A lei então se lê
$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

A curvatura fica à esquerda, a matéria à direita. O acoplamento $8\pi G/c^4\approx 2,1\times 10^{-43}{\mathrm{N}}^{-1}$ é extremamente pequeno, então o espaço-tempo é muito rígido: densidades de energia enormes produzem apenas curvatura leve. No vácuo $T_{\mu \nu }=0$, logo $G_{\mu \nu }=0$, mas o espaço-tempo ali não é plano, porque $G_{\mu \nu }$ contém apenas parte da curvatura. A parte restante é o campo de maré, que estica uma nuvem de poeira que cai ao longo da linha em direção à massa e a comprime lateralmente.

Taxas de relógio a partir do princípio da equivalência

A gravidade não apenas curva o espaço; ela também altera a taxa do tempo, de modo que relógios mais altos andam mais rápido. Isso decorre só do princípio da equivalência: dentro de uma pequena sala fechada, nenhum experimento distingue um campo gravitacional uniforme de uma aceleração constante.

Legenda

$g$	Aceleração do foguete (à esquerda); intensidade do campo gravitacional no chão, apontando para baixo (à direita).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$c$	Velocidade do pulso de luz enviado do relógio do piso ao relógio do teto.	$m/s$
$h$	Altura da cabine: a distância entre os dois relógios.	$\mathrm{m}$
$gh/c$	Velocidade que o teto ganha enquanto o pulso sobe; ela define o desvio Doppler $gh/c^2$.	$m/s$

A figura 2 conta o argumento duas vezes. Comece pela esquerda. Longe de qualquer planeta, uma cabine de foguete de altura $h$ acelera para cima a $g$, com um relógio no piso e outro no teto. O relógio do piso envia um pulso de luz para cima à velocidade $c$. O pulso leva um tempo de cerca de $h/c$ para chegar, e nesse tempo o teto ganha velocidade $g\cdot (h/c)$. Assim, quando recebe o pulso, o teto se afasta mais depressa do que o piso estava se afastando quando enviou, pela velocidade $gh/c$ (a seta curta no topo). Um receptor que se afasta vê a luz deslocada para uma frequência menor, pela fração (velocidade)/$c$, aqui $gh/c^2$.

Suponha que o relógio do piso envie um pulso a cada tique. Nenhum pulso se perde no caminho, mas o teto os recebe a uma taxa menor que a do próprio tique, pela fração $gh/c^2$. Pulsos enviados do teto para baixo chegam com frequência maior, porque o piso se move na direção deles. Assim, todos a bordo concordam: o relógio do teto anda rápido e o do piso devagar, pela fração $gh/c^2$.

À direita, a mesma cabine está no chão, num campo gravitacional $g$ apontando para baixo. Pelo princípio da equivalência, nada lá dentro distingue esta sala do foguete, então o resultado precisa ser o mesmo: num campo gravitacional, um relógio mais alto em $h$ anda mais rápido em $gh/c^2$.

Perto do chão, $gh$ é o aumento do potencial gravitacional $\Phi$, a energia potencial por unidade de massa. A regra vale, portanto, para qualquer potencial estático, tomado como nulo longe. Enquanto um relógio distante registra um tempo $dt$, um relógio em repouso no potencial $\Phi$ registra seu próprio tempo, o tempo próprio $d\tau$, e
$\frac{d\tau }{dt}\approx 1+\frac{\Phi }{c^2}$

Como $\Phi$ é negativo perto de uma massa, os relógios ali andam devagar. Em torno de uma massa $M$, $\Phi =-GM/r$, e a regra é a forma de primeira ordem da taxa exata encontrada abaixo, $\sqrt{1-r_s/r}\approx 1-GM/(r{c}^2)$, em que $r_s=2GM/c^2$ é o raio de Schwarzschild da massa.

A conservação da energia dá a mesma resposta. Luz de energia $E$ tem massa $E/c^2$, então, ao cair por uma altura $h$, ganha a energia $Egh/c^2$, a fração $gh/c^2$ de sua energia; subindo, perde essa fração. A energia de um fóton é proporcional à sua frequência, então a frequência cai na mesma fração.

Pound e Rebka mediram o deslocamento em 1960 numa torre de 22,5 m: uma fração de apenas $2,5\times 10^{-15}$. Em 1976, um relógio de maser de hidrogênio levado a cerca de 10.000 km confirmou o efeito com muito mais precisão.

O gráfico do relógio em órbita

Satélites levam relógios, e para eles os dois efeitos importam: a altura faz o relógio andar rápido, a velocidade faz andar devagar. O gráfico para especialistas aplica os dois a um relógio em órbita circular de raio $r$, medido a partir do centro da Terra, comparado com um relógio no chão, no raio terrestre $R$.

Altura: o potencial sobe de $-GM/R$ no chão para $-GM/r$ em órbita, então, pela regra acima, o relógio orbital ganha a fração $GM/c^2(1/R-1/r)$ de cada segundo (curva verde). Velocidade: a Relatividade restrita desacelera um relógio em movimento pelo fator $\sqrt{1-v^2/c^2}\approx 1-v^2/(2c^2)$, e numa órbita circular $v^2=GM/r$, logo o relógio perde $GM/(2r{c}^2)$ de cada segundo (curva azul). O total (curva vermelha) é
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{3}{2r}\right)$

O gráfico multiplica essas frações pelos 86.400 segundos de um dia. Uma órbita rasante, em $r=R$, não ganha nada com a altura e perde 30,1 µs por dia, tudo pela velocidade. Com a altura, o ganho verde sobe para 60,1 µs por dia, seu valor para um relógio infinitamente distante, enquanto a perda azul diminui com $1/r$. A curva vermelha cruza zero onde $1/R=3/(2r)$, ou seja, em $r=1,5R$, cerca de 3.190 km de altura: órbitas mais baixas perdem tempo, as mais altas ganham. A Estação Espacial, a 400 km, perde 24,7 µs por dia, de modo que seis meses a bordo deixam uma astronauta cerca de 4,5 ms mais jovem. Os relógios GPS, a cerca de 20.200 km, ganham 38,5 µs por dia, e a borda direita do gráfico, em 25.000 km, chega a 41,8 µs.

A queda livre como o maior tempo próprio

Newton descreve a queda com forças. A relatividade geral substitui essas forças por uma regra sobre relógios: entre dois eventos, um corpo livre segue a linha de universo (seu caminho pelo espaço e pelo tempo) ao longo da qual seu próprio relógio registra mais tempo. No espaço-tempo plano essa linha é reta, com velocidade constante; por isso o gêmeo viajante da Relatividade restrita, que dá meia-volta, volta mais jovem.

Perto do chão, dois efeitos competem, como na seção anterior: a altura faz um relógio andar mais rápido em $gh/c^2$, e a velocidade o faz andar mais devagar em $v^2/(2c^2)$. Assim, ao longo de um caminho de altura $h(t)$ e velocidade $v(t)$, o tempo próprio é
$\tau =\int \left(1+\frac{gh}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\right)dt$

A altura rende, a velocidade custa. O melhor caminho sobe alto o bastante para ganhar tempo, mas não tão depressa que sua velocidade consuma o ganho.

Legenda

$t$	Tempo desde o lançamento.	$\mathrm{s}$
$h$	Altura da bola acima do chão.	$\mathrm{m}$
$T$	Tempo do lançamento até a captura.	$\mathrm{s}$
$H_1$	Altura máxima de um caminho baixo, $H_2/2$.	$\mathrm{m}$
$H_2$	Altura máxima do caminho de queda livre, $g{T}^2/8$.	$\mathrm{m}$
$H_3$	Altura máxima de um caminho alto, $2H_2=g{T}^2/4$.	$\mathrm{m}$
$H$	Altura máxima de um caminho.	$\mathrm{m}$
$\Delta \tau$	Tempo próprio que um relógio no caminho ganha sobre um relógio deixado no chão.	$\mathrm{s}$

A figura 3 testa a regra com uma bola lançada para cima e apanhada um tempo $T$ depois. O painel da esquerda mostra três caminhos entre os mesmos dois eventos, todos arcos $h=4H(t/T)(1-t/T)$ que diferem apenas na altura máxima $H$: um baixo, $H_1$; o caminho da queda livre, o que a bola de fato segue, $H_2$; e um alto, $H_3$. Qual deles dá ao relógio que o acompanha mais tempo?

Calcule o tempo $\Delta \tau$ que o relógio viajante ganha em relação a um relógio deixado no chão, tirando a média dos dois termos ao longo do voo. A altura média de um arco desses é dois terços do seu pico, $2H/3$. A velocidade é $v=dh/dt=(4H/T)(1-2t/T)$, e a média de $(1-2t/T{)}^2$ ao longo do voo é $1/3$, então a média de $v^2/2$ é $8H^2/(3T^2)$. Multiplicando cada média pelo tempo de voo $T$ e dividindo por $c^2$, obtém-se
$\Delta \tau =\frac{T}{c^2}\left(\frac{2}{3}gH-\frac{8H^2}{3T^2}\right)$

O painel da direita representa esse ganho em função de $H$: uma parábola invertida. Ela atinge o máximo onde sua inclinação, $2g/3-16H/(3T^2)$, é zero, em $H_2=g{T}^2/8$. Essa é exatamente a altura da queda livre: uma bola que sobe por $T/2$ sob a gravidade alcança $\frac{1}{2}g(T/2{)}^2=g{T}^2/8$. Para $T=3\mathrm{s}$, o pico fica em 11,0 m e o ganho é $g^2{T}^3/(24c^2)\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{s}$. O caminho baixo $H_1$, a metade da altura, ganha três quartos disso. O caminho $H_3=g{T}^2/4$, o dobro da altura, não ganha nada: sua velocidade extra cancela exatamente o benefício da altura.

O mesmo vale para qualquer potencial, trocando $gh$ por $\Phi$. Multiplique o integrando por $-m{c}^2$: a integral torna-se $\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$. O primeiro termo soma a mesma quantidade para todo caminho, então tornar $\tau$ o maior possível equivale a tornar $\int (\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$ o menor possível. Esse é o princípio da ação mínima da mecânica newtoniana, cuja equação de movimento é $\vec{a}=-\nabla \Phi$. A massa $m$ se cancela, então todo corpo cai do mesmo modo: a universalidade da queda livre está embutida na geometria. Rigorosamente, $\tau$ é máximo apenas em relação a caminhos vizinhos.

A geometria de Schwarzschild

As regras até aqui são aproximações de campo fraco. Fora de uma massa esférica e não girante, como uma estrela ou um buraco negro, a equação de campo tem uma solução exata, encontrada por Karl Schwarzschild em 1916. Ela é uma métrica: dá o tempo próprio $d\tau$ entre dois eventos próximos a partir de suas separações de coordenadas,
$c^{2}d{\tau }^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-r_s/r}-r^{2}d{\Omega }^2$

Aqui $t$ é o tempo de um relógio distante, $r$ é escolhido de modo que um círculo em torno do centro tenha circunferência $2\pi r$, $d\Omega$ é o pequeno ângulo entre os dois eventos visto do centro, e $r_s=2GM/c^2$. Duas leituras seguem de imediato. Para um relógio em repouso, $dr=d\Omega =0$, e a métrica dá $d\tau =\sqrt{1-r_s/r}dt$: a taxa exata do relógio. Para uma régua estendida ao longo do raio, $dt=d\Omega =0$, e o comprimento que ela mede é $dr/\sqrt{1-r_s/r}$, maior que $dr$. Esse alongamento das distâncias radiais é o raio em excesso da primeira seção.

Curvando a luz

A luz que passa por uma massa se curva, e a grandeza dessa curvatura separa a relatividade geral da teoria de Newton: o raciocínio newtoniano dá apenas metade do que se observa.

Legenda

$M$	Massa que curva o raio.	$\mathrm{kg}$
$b$	Parâmetro de impacto: a distância de $M$ até a reta de chegada do raio.	$\mathrm{m}$
$c$	Velocidade da luz, ao longo do raio.	$m/s$
$\delta$	Desvio na relatividade geral, $4GM/(c^{2}b)=2{\delta }_N$.	$\mathrm{rad}$
${\delta }_N$	Desvio apenas pela parte temporal, como na teoria de Newton: $2GM/(c^{2}b)$.	$\mathrm{rad}$

A figura 4 acompanha um raio de luz passando pela massa $M$. Muito à esquerda, o raio viaja em linha reta à velocidade $c$; o parâmetro de impacto $b$ é a distância de $M$ até essa reta de chegada. Muito à direita, os dois caminhos desenhados voltam a ser retos, ao longo das linhas tracejadas, mas girados: um pelo ângulo ${\delta }_N$, o outro por $\delta$, o dobro. O resto desta seção explica o fator dois.

A luz se move com $d\tau =0$. Descreva o caminho dela por $u=1/r$ como função do ângulo $\phi$ em torno da massa, com a linha (') indicando $d/d\phi$. Ao impor $d\tau =0$ na métrica de Schwarzschild e usar a energia e o momento angular conservados, obtém-se
$u^{\prime \prime }+u=\frac{3GM}{c^2}{u}^2$

Sem o lado direito, a solução é uma reta; o pequeno termo à direita a curva. Essa é a equação que a animação integra para o seu raio dourado.

Para ver o fator dois, observe a métrica em campo fraco. Ali o fator diante de $c^{2}d{t}^2$ é $g_{tt}\approx 1+2\Phi /c^2$, e o fator diante do passo espacial ao quadrado é $g_{rr}\approx -(1-2\Phi /c^2)$: ambos diferem do espaço plano pela mesma quantidade, $2\Phi /c^2$. Um corpo lento percorre muito pouco espaço por unidade de tempo, então só a parte temporal atua sobre ele, e essa parte sozinha dá a gravidade de Newton. Aplicada à luz, a parte temporal sozinha curvaria o caminho em ${\delta }_N=2GM/(c^{2}b)$, o ângulo que a teoria de Newton dá para uma partícula com velocidade $c$. Mas a luz percorre tanto espaço quanto tempo, $|d\vec{x}|=cdt$, então a parte espacial atua sobre ela com a mesma força que a temporal, e a curvatura dobra:
$\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}=2{\delta }_N$

Como $4GM/c^2=2r_s$, isso também é $\delta =2r_s/b$. Na animação, o raio passa em $b=8r_s$: o caminho roxo de Newton se curva 7,2°, esta fórmula dá $0,25\mathrm{rad}=14,3°$, e o raio dourado exato gira 17,8°, porque tão perto da massa a fórmula de campo fraco falha. Na borda do Sol, $b\approx 2,4\times 10^5{r}_s$, a fórmula dá 1,75″, e radiotelescópios a confirmam com precisão melhor que 0,1 %.

Mercúrio e os raios de campo forte

Para um planeta, o mesmo termo extra aparece na sua equação orbital, $u^{\prime \prime }+u=GM/{\ell }^2+3GM{u}^2/c^2$, em que $\ell$ é o momento angular por unidade de massa. Sem o último termo, as soluções são as elipses de Newton, que se fecham após uma volta. O termo extra faz a elipse girar um pouco para a frente a cada volta: seu ponto mais próximo do Sol avança
$\Delta \phi =\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$

em que $a$ é o semieixo maior da elipse e $e$ sua excentricidade. Para Mercúrio, com $a=5,79\times 10^{10}\mathrm{m}$ e $e=0,206$, isso dá $5,0\times 10^{-7}\mathrm{rad}$ por órbita, ou 43″ nas 415 órbitas de um século: exatamente a parte do avanço de Mercúrio que as atrações dos outros planetas não conseguiam explicar.

No campo forte, as mesmas equações demarcam três raios. No horizonte, $r_s$, a taxa $\sqrt{1-r_s/r}$ de um relógio em repouso cai a zero. Na esfera de fótons, $1,5r_s$, a luz pode orbitar a massa, mas de forma instável. Na órbita circular estável mais interna, $3r_s$, terminam as órbitas estáveis; ela forma a borda interna dos discos de gás quente ao redor de buracos negros.

Problema resolvido: um relógio na bola

Quão rápido, exatamente, anda um relógio em órbita? Coloque um relógio na bola azul da animação, que circula a estrela em $r=10,4r_s$ com velocidade angular $\omega$. No tempo do relógio distante, a lei de Kepler vale exatamente para órbitas circulares nessa geometria: ${\omega }^2=GM/r^3$. Na órbita, $r$ é constante, logo $dr=0$, e o ângulo avança $d\Omega =\omega dt$. Substituindo na métrica e dividindo por $c^{2}d{t}^2$, obtém-se
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}-\frac{r^2{\omega }^2}{c^2}}$

Com a lei de Kepler e $GM=r_s{c}^2/2$, o último termo é $r^2{\omega }^2/c^2=GM/(r{c}^2)=r_s/(2r)$, logo
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}$
Em $r=10,4r_s$ isso vale $\sqrt{1-1,5/10,4}=\sqrt{0,856}\approx 0,925$.

Uma volta leva 12,28 s do tempo distante, então o relógio da bola marca $0,925\cdot 12,28\approx 11,4\mathrm{s}$. Compare os dois relógios parados na animação. O relógio distante, em $22r_s$, anda a $\sqrt{1-1/22}=0,977$ e marca 12,0 s; o relógio da estrela, em $2,16r_s$, anda a 0,733 e marca 9,0 s. O relógio da bola fica atrás do distante, mas continua bem à frente do relógio da estrela.

A taxa se divide em um fator para cada efeito. O fator gravitacional, $\sqrt{1-1/10,4}=0,951$, é a taxa de um relógio em repouso naquele raio. O fator de movimento, $\sqrt{1-0,231^2}=0,973$, é a desaceleração da Relatividade restrita para a velocidade $0,231c$ que um observador estático ao lado da órbita mede. O produto deles é $0,951\cdot 0,973\approx 0,925$. Essa velocidade excede o valor newtoniano $\sqrt{GM/r}=0,219c$ porque o relógio do próprio observador estático anda devagar, então ele cronometra a bola em menos segundos.

Agora compare um relógio em órbita com um parado no raio $R$, cuja taxa é $\sqrt{1-r_s/R}$. O relógio orbital anda mais rápido quando $1-3r_s/(2r)>1-r_s/R$, isto é, quando $r>1,5R$. Esse é o zero da curva vermelha da Terra, a 3.190 km de altura, mas aqui o resultado é exato e vale também em campos fortes. Para o relógio da estrela em $2,16r_s$, a órbita de equilíbrio fica em $3,24r_s$, logo acima da última órbita estável em $3r_s$.

Limites de validade

As fórmulas de campo fraco exigem $r_s/r\ll 1$ e $v\ll c$. Perto da estrela da animação, elas falham visivelmente: para o relógio da estrela, a taxa de campo fraco $1-r_s/(2r)$ dá 0,769 em vez do exato 0,733, e a fórmula da deflexão erra os exatos 17,8° por 3,5°. No Sistema Solar, os erros são da ordem de $(r_s/r{)}^2$, cerca de $2\times 10^{-11}$ mesmo na superfície do Sol. Uma estrela de nêutrons é diferente: com 1,4 massa solar dentro de um raio de 12 km, tem $r_s/r=0,34$, e um relógio em sua superfície anda a 0,81. O gráfico da Terra também deixa de fora um pequeno efeito, a rotação do relógio no chão, que vale cerca de 0,1 µs por dia.

A teoria passou em todos os testes até hoje: a curvatura da luz e os atrasos de rádio perto do Sol, a órbita de Mercúrio, os relógios, o encurtamento das órbitas de pulsares binários e, desde 2015, as ondas gravitacionais. A primeira onda detectada veio de dois buracos negros em fusão com cerca de 36 e 29 massas solares; ela alterou em cerca de $4\times 10^{-18}\mathrm{m}$ os braços de 4 km dos detectores LIGO.

O limite real é quântico. A teoria prevê singularidades, dentro de buracos negros e no início do universo em expansão, onde a curvatura cresce sem limite. Muito antes disso, perto do comprimento de Planck, $\sqrt{\hslash G/c^3}\approx 1,6\times 10^{-35}\mathrm{m}$, os efeitos quânticos da gravidade devem assumir o controle, e nenhuma teoria testada ainda os descreve.

Aonde isso leva

A Relatividade restrita é o limite plano, sem gravidade, e seu efeito de gêmeos reaparece aqui como a regra do maior tempo próprio. Gravitação e órbitas é o limite de campo fraco e movimento lento. Assim como cargas aceleradas irradiam em Ondas eletromagnéticas, massas aceleradas irradiam ondas gravitacionais à velocidade $c$, mas apenas por meio de quadrupolos variáveis, pois a conservação do momento proíbe a radiação de dipolo. Fissão, fusão e E = mc² explica por que toda forma de energia conta em $T_{\mu \nu }$.

Combinado com a teoria quântica, um buraco negro deveria brilhar como os corpos negros da “Radiação de corpo negro e o quantum”, à temperatura $T=\hslash c^3/(8\pi GM{k}_B)$, cerca de $6\times 10^{-8}\mathrm{K}$ para uma massa solar. “Partículas e forças: o Modelo Padrão” descreve toda interação conhecida, exceto a gravidade; unir as duas é o grande problema em aberto.