कर्षण और सीमांत वेग

गिरती वस्तुओं की चाल बढ़ना क्यों रुक जाता है: कर्षण चाल के साथ बढ़ता है, $F_{d} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ के अनुसार, जब तक वह सीमांत वेग $v_{t}$ पर भार $m g$ को संतुलित नहीं कर देता। श्यानता $η$ , पैराशूट और धारारेखी आकार इस चित्र को पूरा करते हैं।

एक स्काईडाइवर पेट के बल तब तक गिरता है जब तक वायु-प्रतिरोध सीमांत वेग पर भार को संतुलित नहीं कर देता; फिर वह पैराशूट खोलता है और कहीं कम सीमांत वेग तक धीमा हो जाता है (दोगुनी चाल से दिखाया गया)।

इस विषय से पहले: मुक्त पतन, उत्प्लावन और आर्किमिडीज़ का सिद्धांत

शुरुआती

मुख्य विचार

हवा और पानी उनमें चलने वाली हर वस्तु को पीछे धकेलते हैं; यह कर्षण चाल और प्रवाह के सामने के क्षेत्रफल के साथ तेज़ी से बढ़ता है।
गिरता स्काईडाइवर तब तक तेज़ होता है जब तक वायु-प्रतिरोध भार के बराबर नहीं हो जाता; उसके बाद चाल स्थिर रहती है: यही सीमांत वेग है।
खुले पैराशूट का विशाल क्षेत्रफल कर्षण को भार से बड़ा कर देता है, इसलिए छलाँग लगाने वाला सहज, सुरक्षित सीमांत वेग तक धीमा हो जाता है।
धारारेखी आकार वाली वस्तुएँ द्रवों में कम कर्षण के साथ सरक जाती हैं; शहद जैसे गाढ़े, चिपचिपे द्रवों की श्यानता अधिक होती है।

आइए देखें कि वायु-प्रतिरोध क्या करता है, एक-एक चरण में।

चरण 1: द्रव पीछे धकेलते हैं। चलती कार की खिड़की से हाथ बाहर निकालिए, हवा उसे पीछे धकेलती है। हवा, पानी और हर दूसरा द्रव उनमें गतिमान किसी भी वस्तु को पीछे की ओर धकेलता है। इस धक्के को कर्षण, या वायु-प्रतिरोध, कहते हैं। यह चाल के साथ तेज़ी से बढ़ता है (दोगुनी चाल का अर्थ लगभग चार गुना धक्का है) और प्रवाह के सामने के क्षेत्रफल के साथ भी बढ़ता है।

चरण 2: गिरती वस्तु तेज़ होना बंद कर देती है। स्काईडाइवर को देखिए। छलाँग के ठीक बाद चाल कम होती है, इसलिए वायु-प्रतिरोध (लाल तीर, ऊपर) छोटा रहता है और भार (हरा तीर, नीचे) हावी हो जाता है: स्काईडाइवर तेज़ होता है और नीली चाल-पट्टी ऊपर चढ़ती है। पर अधिक चाल का अर्थ है अधिक वायु-प्रतिरोध। लगभग दस सेकंड बाद लाल तीर हरे तीर जितना लंबा हो जाता है। बल एक-दूसरे को काट देते हैं, इसलिए चाल बदलना बंद हो जाती है: स्काईडाइवर लगभग 200 km/h की स्थिर चाल से गिरता है, यही सीमांत वेग है।

चरण 3: पैराशूट। खुली छतरी का क्षेत्रफल बहुत बड़ा होता है, इसलिए वायु-प्रतिरोध अचानक भार से कहीं अधिक हो जाता है और स्काईडाइवर धीमा हो जाता है। चाल घटने के साथ धक्का भी घटता है, जब तक वह सहज 18 km/h पर फिर से भार को संतुलित नहीं कर देता।

चरण 4: आकार और चिपचिपापन। चिकना, नुकीला आकार द्रव को उसके पीछे आसानी से बंद होने देता है, इसलिए उस पर कम कर्षण लगता है: मछलियों और रेस-साइकिल चालकों को याद कीजिए। शहद जैसे गाढ़े द्रव धीमी गति का भी विरोध करते हैं; इस आंतरिक चिपचिपेपन को श्यानता कहते हैं।

स्वयं जाँचिए: बारिश की बूँद एक स्थिर चाल से गिरती है। उस पर लगा वायु-प्रतिरोध उसके भार से छोटा है, बराबर है, या बड़ा? (उत्तर: बराबर। स्थिर चाल का अर्थ है कि बल संतुलित हैं।)

मध्यम

मुख्य विचार

द्विघाती कर्षण: $F_{d} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ , इसलिए चाल दोगुनी करने पर कर्षण चार गुना हो जाता है।
श्यान द्रव में छोटे, धीमे गोले स्टोक्स के नियम $F_{d} = 6 π ηr v$ का पालन करते हैं, जहाँ श्यानता $η$ का मात्रक Pa·s है।
गिरती वस्तु: $ma = m g - F_{d}$ ; सीमांत वेग पर $F_{d} = m g$ , अतः $v_{t} = 2 m g / (ρ C_{d} A)$ ।
80 kg का स्काईडाइवर, जिसका $C_{d} A = 0.43 m^{2}$ है, $v_{t} \approx 55 m/s$ तक पहुँचता है; पैराशूट ( $C_{d} A \approx 52 m^{2}$ ) इसे लगभग 5 m/s तक ला देता है।
संतुलित बल का अर्थ है स्थिर वेग, विराम नहीं; छतरी खुलने के ठीक बाद छलाँग लगाने वाला अब भी गिरता है, पर मंद होता है।

कर्षण क्या है और यह किस पर निर्भर करता है

कर्षण वह बल है जो कोई द्रव उसमें गतिमान वस्तु पर लगाता है। यह द्रव के सापेक्ष वस्तु के वेग के विपरीत दिशा में होता है: 5 m/s की प्रतिकूल हवा में 10 m/s से चलता साइकिल चालक हवा को 15 m/s की चाल से मिलता है।

गेंदों, कारों और स्काईडाइवरों के लिए कर्षण द्विघाती नियम का पालन करता है
$F_{d} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$
यहाँ $ρ$ द्रव का घनत्व है (भूमि के पास वायु के लिए 1.2 kg/m³), $A$ प्रवाह के सामने का क्षेत्रफल है और $v$ चाल। कर्षण गुणांक $C_{d}$ आकार द्वारा तय होने वाली एक शुद्ध संख्या है: बूँद-आकार के लिए लगभग 0.05, आधुनिक कार के लिए 0.3, गोले के लिए 0.47 और गोल पैराशूट के लिए 1.5।

वर्ग क्यों? हर सेकंड वस्तु लगभग $ρ A v$ द्रव्यमान वाले द्रव को एक तरफ धकेलती है और उसे $v$ के तुल्य चाल देती है। प्रति सेकंड सौंपा गया संवेग, जो बल है, लगभग $ρ A v^{2}$ होता है: चाल दोगुनी, कर्षण चार गुना।

श्यानता और सूक्ष्म व धीमी गति की दुनिया

श्यानता, $η$ , द्रव का आंतरिक घर्षण है, यानी उसकी परतों का एक-दूसरे पर फिसलने के प्रति प्रतिरोध, जिसे पास्कल सेकंड (Pa·s) में मापा जाता है। 20 °C पर वायु की श्यानता $1.8 \times 1 0^{- 5} Pa \cdot s$ है, पानी की $1.0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ , जैतून के तेल की लगभग 0.08 Pa·s और ग्लिसरीन की 1.4 Pa·s; गर्म द्रव अधिक पतले होते हैं।

धूल के कण, कोहरे की बूँदें या शहद में डूबता मनका जैसी छोटी या धीमी वस्तुओं पर इसके बजाय $v$ के समानुपाती कर्षण लगता है। त्रिज्या $r$ के गोले के लिए यह स्टोक्स का नियम है,
$F_{d} = 6 π ηr v (Stokes, Re ≪ 1)$
इसमें घनत्व नहीं आता: द्रव को एक तरफ फेंका नहीं जाता, बल्कि परत-दर-परत अपरूपित होता है।

कौन-सा नियम लागू होगा, यह रेनॉल्ड्स संख्या तय करती है, जो द्रव के घनत्व और श्यानता, चाल और वस्तु के आकार $L$ से बनती है:
$Re = \frac{ρ vL}{η}$
यह द्रव की जड़ता की तुलना उसकी श्यानता से करती है। लगभग 1 से नीचे स्टोक्स का नियम लागू होता है; लगभग 1000 से ऊपर द्विघाती नियम, जिसमें $C_{d}$ मुख्यतः आकार से तय होता है। कोहरे की बूँद की $Re \approx 0.02$ होती है; $L \approx 0.5 m$ वाले स्काईडाइवर की लगभग 20 लाख।

कर्षण के साथ गिरना: सीमांत वेग

नीचे की दिशा को धनात्मक मानिए। गिरती वस्तु पर नीचे की ओर उसका भार $m g$ और ऊपर की ओर कर्षण लगता है, इसलिए न्यूटन का दूसरा नियम है
$ma = m g - F_{d}$
आरंभ में $v = 0$ , कोई कर्षण नहीं और $a = g$ । वस्तु तेज़ होने पर कर्षण बढ़ता है और त्वरण घटता है, जब तक कर्षण भार के बराबर न हो जाए। उसके बाद $a = 0$ होता है और वस्तु स्थिर चाल से गिरती है, यानी सीमांत वेग से। $\frac{1}{2} ρ C_{d} A v_{t}^{2} = m g$ रखने पर
$v_{t} = \frac{2 m g}{ρ C _{d} A}$

स्टोक्स क्षेत्र में एक छोटे गोले के लिए, भार घटा उत्प्लावन बल (देखें उत्प्लावन और आर्किमिडीज़ का सिद्धांत) $6 π ηr v$ द्वारा संतुलित होता है, जिससे
$v_{t} = \frac{2 r ^{2} ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g}{9 η} (Stokes sphere)$
मिलता है, जहाँ $ρ_{s}$ और $ρ_{f}$ क्रमशः गोले और द्रव के घनत्व हैं। वायु में उत्प्लावन स्काईडाइवर के भार का केवल लगभग 0.1 % है, इसलिए हम उसे नज़रअंदाज़ करते हैं। समान आकृति और पदार्थ की, पर दोगुनी बड़ी वस्तु द्विघाती कर्षण में लगभग $2 \approx 1.41$ गुना तेज़ गिरती है ( $m \propto r^{3}$ , $A \propto r^{2}$ ), जिससे छोटे जीवों को गिरने से बचने में मदद मिलती है; पर स्टोक्स क्षेत्र में वह चार गुना तेज़ गिरती है ( $v_{t} \propto r^{2}$ )।

उदाहरण: एनिमेशन का स्काईडाइवर

छलाँग लगाने वाले का $m = 80 kg$ है, पेट के बल लेटे होने पर $C_{d} A = 0.43 m^{2}$ , और हवा का $ρ = 1.2 kg/ m^{3}$ । भार $m g = 80 \cdot 9.81 = 785 N$ है, जो पाठ्यांक में हरी रेखा है, और सीमांत वेग है
$v_{t} = \frac{2 \cdot 785}{1.2 \cdot 0.43} \approx 3040 \approx 55.2 m/s$
लगभग 199 km/h।

चूँकि $m g = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v_{t}^{2}$ , किसी भी चाल पर कर्षण $F_{d} = m g (v / v_{t})^{2}$ है। जब $v$ पाठ्यांक 30 m/s दिखाता है, यानी $t \approx 3.4 s$ पर, तब $F_{d} = \frac{1}{2} \cdot 1.2 \cdot 0.43 \cdot 3 0^{2} \approx 232 N$ और $a = (785 - 232) /80 \approx 6.9 m/ s^{2}$ । सीमांत वेग के निकट पहुँचना धीमा है: 13 s पर, जब छतरी खुलती है, पाठ्यांक $v \approx 54.1 m/s$ , $F_{d} \approx 755 N$ और $a \approx 0.4 m/ s^{2}$ दिखाते हैं। $t$ पाठ्यांक वास्तविक सेकंड गिनता है; एनिमेशन दोगुनी गति से चलता है।

छतरी का $C_{d} A = 52.5 m^{2}$ है, जो 122 गुना अधिक है, इसलिए $v_{t}$ $122 \approx 11$ गुना घटकर $55.2/11.05 \approx 5.0 m/s$ (18 km/h) रह जाता है, जैसा सूत्रों के नीचे पैराशूट की पंक्ति में दिया है। छतरी फूलते समय कर्षण लगभग 3340 N पर शिखर पर पहुँचता है, जो भार का 4.3 गुना है, $t \approx 14 s$ पर, और $a$ पाठ्यांक लगभग $- 32 m/ s^{2}$ तक गिरता है, यानी 3.3 g का मंदन। लगभग 19 s तक पाठ्यांक $v = 5.0 m/s$ , $F_{d} = 785 N$ और $a = 0$ पर स्थिर हो जाते हैं।

उदाहरण: कोहरे की बूँदें और वर्षा की बूँदें

बादल क्यों तैरते हैं जबकि वर्षा गिरती है? त्रिज्या $r = 10 μ m$ की कोहरे की बूँद वायु ( $η = 1.8 \times 1 0^{- 5} Pa \cdot s$ ) में गिरती है; बूँद का $ρ_{s} = 1000 kg/ m^{3}$ और वायु का $ρ_{f} = 1.2 kg/ m^{3}$ है। स्टोक्स सूत्र देता है
$v_{t} = \frac{2 \cdot ( 1 0 ^{- 5} ) ^{2} \cdot 998.8 \cdot 9.81}{9 \cdot 1.8 \times 1 0 ^{- 5}} \approx 0.012 m/s$
बस 1.2 cm/s। क्षेत्र की जाँच कीजिए: $Re = 1.2 \cdot 0.012 \cdot 2 \times 1 0^{- 5} / (1.8 \times 1 0^{- 5}) \approx 0.016$ , जो 1 से बहुत कम है, इसलिए स्टोक्स का नियम सही चुनाव था। कुछ सेंटीमीटर प्रति सेकंड का ऊर्ध्वगामी वायु-प्रवाह ऐसी बूँदों को हवा में बनाए रखता है।

1 mm त्रिज्या की वर्षा की बूँद 100 गुना बड़ी है। स्टोक्स का नियम $1 0^{4}$ गुना अधिक देगा, यानी 121 m/s, और तब रेनॉल्ड्स संख्या लगभग 16 000 होगी, जो उसके दायरे से बहुत बाहर है। इसके बजाय द्विघाती नियम लेने पर, $C_{d} \approx 0.5$ , $m = ρ_{s} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = 4.19 \times 1 0^{- 6} kg$ और $A = π r^{2} = 3.14 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ :
$v_{t} = \frac{2 \cdot 4.19 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 9.81}{1.2 \cdot 0.5 \cdot 3.14 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 6.6 m/s$
यह 2 mm व्यास वाली बूँदों के लिए मापे गए 6.5 m/s के निकट है, जहाँ $Re \approx 900$ है। पहले क्षेत्र ज्ञात कीजिए, फिर नियम चुनिए।

बल-तीरों को पढ़ना

दोनों तीर एक ही पैमाने पर हैं (पिक्सेल प्रति न्यूटन)। हरा $m g$ तीर कभी नहीं बदलता; लाल $F_{d}$ तीर चार चरणों की कहानी कहता है।

तेज़ होना: लाल, हरे से छोटा है, इसलिए परिणामी बल नीचे की ओर है और $a$ , $g$ से घटकर शून्य की ओर जाता है।
सीमांत वेग: दोनों तीर बराबर लंबे हैं, परिणामी बल शून्य है, चाल लगभग 55 m/s पर स्थिर।
खुलना: लाल, हरे से लगभग 4.3 गुना लंबा है, इसलिए परिणामी बल ऊपर है और $a$ ऋणात्मक हो जाता है, जबकि स्काईडाइवर अब भी गिर रहा है।
फिर से संतुलन: लाल फिर हरे जितना लंबा, 5.0 m/s पर, और धूसर हवा की लकीरें मुश्किल से खिसकती हैं।

आम गलतियाँ

संतुलित बल का अर्थ विराम नहीं है: सीमांत वेग पर परिणामी बल शून्य होता है, फिर भी स्काईडाइवर 55 m/s पर गिरता रहता है।
खुलता पैराशूट छलाँग लगाने वाले को ऊपर नहीं खींचता, चाहे साथ-साथ फिल्माने वाले कैमरामैन के वीडियो कुछ भी सुझाएँ: वेग नीचे की ओर रहता है, 54 से घटकर 5 m/s, जबकि त्वरण ऊपर की ओर है, अपने शिखर पर लगभग $- 32 m/ s^{2}$ ।
रोज़मर्रा का कर्षण चाल के समानुपाती नहीं होता: सीमांत चाल की आधी, 27.6 m/s पर, स्काईडाइवर पर कर्षण भार का एक-चौथाई, यानी 196 N, होता है, आधा नहीं।
भारी वस्तुएँ हवा में सचमुच तेज़ गिरती हैं, पर केवल $m$ के अनुपात में: समान $C_{d} A$ के साथ 40 kg अतिरिक्त सामान $v_{t}$ को $1.5 \approx 1.22$ गुना बढ़ाता है, 67.5 m/s तक।
श्यानता घनत्व नहीं है: जैतून का तेल पानी पर तैरता है, फिर भी वह लगभग 80 गुना अधिक श्यान है।

यह कहाँ मिलता है

कर्षण हर वाहन का ऊर्जा-खर्च तय करता है। स्थिर हवा में स्थिर चाल से चलने के लिए आवश्यक शक्ति है
$P = F_{d} v = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{3}$
$C_{d} A = 0.66 m^{2}$ वाली कार के लिए 90 km/h (25 m/s) पर यह $\frac{1}{2} \cdot 1.2 \cdot 0.66 \cdot 2 5^{3} \approx 6.2 kW$ है; 130 km/h पर 18.6 kW, यानी तीन गुना, और हर किलोमीटर में लगभग दोगुनी ऊर्जा लगती है।

साइकिल चालक $C_{d} A$ घटाने के लिए झुककर बैठते हैं, गोल्फ़ गेंद के गड्ढे कर्षण घटाते हैं और पैराशूट इसी का उपयोग करते हैं, जबकि अपकेंद्रित्र रक्त-कोशिकाओं के धीमे स्टोक्स-अवसादन को तेज़ करते हैं। बरनौली का सिद्धांत कर्षण नियम के पीछे छिपे दाब $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ को समझाता है, अवमंदन और अनुनाद दोलन में कर्षण की बात करता है, और कार्य, ऊर्जा और शक्ति बताते हैं कि ऊर्जा कहाँ जाती है।

उन्नत

मुख्य विचार

अपरूपण से श्यानता: $F / A = η v_{0} / d$ ; वास्तविक द्रव ठोस दीवार पर नहीं फिसलता, और $η$ परतों के बीच संवेग-प्रवाह को मापता है।
$m d v / d t = m g - k v^{2}$ से $v = v_{t} tanh (g t / v_{t})$ प्राप्त होता है: प्रारंभिक ढलान $g$ , और $2 v_{t} / g$ के बाद $v_{t}$ का 96%।
समान $Re = ρ vL / η$ वाले प्रवाह एक-से दिखते हैं, इसलिए पवन सुरंग का छोटा मॉडल पूर्ण-आकार के प्रवाह का पूर्वानुमान करता है।
$C_{d}$ केवल $Re$ पर निर्भर करता है: स्टोक्स प्रवाह में $24/ Re$ , उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर लगभग 0.47, फिर $Re \approx 3 \times 1 0^{5}$ के पास तीव्र गिरावट।
शून्य श्यानता एक विलक्षण सीमा है: $η \to 0$ होने पर भी पतली सीमा-परत और पश्च-प्रवाह बने रहते हैं, इसलिए वास्तविक पिंडों पर सदैव कर्षण लगता है।

श्यानता: परतों के बीच बहता संवेग

श्यानता किसी द्रव के उसकी परतों के एक-दूसरे पर फिसलने के प्रतिरोध का माप है। इस पाठ का हर कर्षण किसी न किसी रूप में इसी से आता है, इसलिए हम उस सरलतम प्रवाह से शुरू करते हैं जो इसे मापता है।

चित्र 1 यही प्रवाह दिखाता है। एक द्रव दो बड़ी समानांतर प्लेटों के बीच के, चौड़ाई $d$ वाले अंतराल को भरता है। निचली प्लेट स्थिर है। ऊपरी प्लेट, जिसका क्षेत्रफल $A$ है, बल $F$ से खींची जाती है और स्थिर चाल $v_{0}$ से खिसकती है। हर नीला तीर उस ऊँचाई $y$ पर द्रव की चाल $v (y)$ देता है, जो निचली प्लेट से मापी गई है।

दो तथ्य तीरों की लंबाई तय करते हैं। पहला, किसी ठोस सतह के संपर्क में आया द्रव उसी सतह के साथ चलता है। यह नो-स्लिप प्रतिबंध है, और यह हर सामान्य द्रव पर लागू होता है। इसलिए नीचे के तीर की लंबाई शून्य है और ऊपर वाले की $v_{0}$ । दूसरा, पड़ोसी परतें एक-दूसरे पर प्रति इकाई क्षेत्रफल ऐसा बल लगाती हैं जो ऊँचाई के साथ चाल के बदलने की दर, $η d v / d y$ , के समानुपाती है। यही श्यानता $η$ की परिभाषा है। स्थिर प्रवाह में कोई परत तेज़ नहीं होती, इसलिए ऊपर की तेज़ परत का खींचाव नीचे की धीमी परत के कर्षण से संतुलित होना चाहिए: प्रतिबल, और उसके साथ $d v / d y$ , हर ऊँचाई पर समान रहता है।

इसीलिए तीर समान अंतरालों में बढ़ते हैं और उनके सिरों से गुजरने वाली बिंदीदार रेखा सीधी होती है। चाल अंतराल $d$ के आर-पार $v_{0}$ बढ़ती है, इसलिए हर जगह $d v / d y = v_{0} / d$ है, और प्लेट के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आवश्यक बल है
$\frac{F}{A} = η \frac{v _{0}}{d}$
प्लेट की चाल दोगुनी करने, या अंतराल आधा करने पर बल दोगुना हो जाता है। चूँकि $F / A$ एक प्रतिबल है, $η$ का मात्रक Pa·s है।

वही नियम संवेग के प्रवाह के रूप में और गहराई से पढ़ा जा सकता है। हर परत अपनी नीचे की धीमी परत को आगे खींचती है और बदले में उससे पीछे खींची जाती है। इसलिए प्रवाह के अनुदिश संवेग तेज़ द्रव से धीमे द्रव की ओर जाता है, जिसकी दर $η$ तय करता है। चित्र 1 में यह चलती प्लेट से प्रवेश करता है, हर परत से नीचे की ओर गुजरता है और स्थिर प्लेट से निकल जाता है; $F$ वह दर है, प्रति सेकंड संवेग के रूप में, जिस पर ऊपरी प्लेट इसे भेजती है।

यह चित्र बताता है कि श्यानता द्रव की अवस्था पर कैसे निर्भर करती है। गैस में संवेग अणुओं द्वारा ले जाया जाता है, जो परतों के बीच कूदते हैं: तेज़ परत से आया अणु धीमी परत में अतिरिक्त आगे का संवेग लाता है। गतिज सिद्धांत देता है $η \approx \frac{1}{3} ρ \overset{v}{ˉ} λ$ । यहाँ $ρ$ गैस का घनत्व है, $\overset{v}{ˉ}$ अणुओं की औसत चाल और $λ$ औसत मुक्त पथ, यानी दो टकरावों के बीच अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी। क्योंकि $λ \propto 1/ ρ$ , गैस के संपीड़ित होने पर $ρ λ$ गुणनफल स्थिर रहता है, इसलिए गैस की श्यानता दाब पर निर्भर नहीं करती। यह तापमान के साथ बढ़ती है, क्योंकि $\overset{v}{ˉ}$ बढ़ता है। द्रव इसके उलट व्यवहार करते हैं: उनके अणु पड़ोसियों से बँधे रहते हैं, ऊष्मा उन्हें मुक्त होने में सहायता करती है, और गरम करने पर श्यानता तेज़ी से घटती है। पानी की श्यानता 0 °C पर 1.79 mPa·s है, पर 100 °C पर केवल 0.28 mPa·s।

श्यान बल द्रव का गति-समीकरण भी पूरा करता है। आदर्श द्रव के लिए प्रति इकाई आयतन न्यूटन का दूसरा नियम यूलर समीकरण है: घनत्व गुणा त्वरण बराबर है दाब-बल $- \nabla p$ और भार $ρ g$ के योग के, जहाँ $p$ दाब है। असंपीड्य द्रव में प्रति इकाई आयतन परिणामी श्यान बल $η \nabla^{2} v$ है। लाप्लासियन $\nabla^{2}$ मापता है कि किसी बिंदु पर वेग अपने आसपास के औसत से कितना भिन्न है, इसलिए यह बल हर द्रव-खंड को उसके पड़ोसियों की गति की ओर खींचता है। इसे जोड़ने पर नेवियर–स्टोक्स समीकरण बनता है:
$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + ρ g + η \nabla^{2} v$
कोष्ठक द्रव-खंड का त्वरण है: किसी स्थिर बिंदु पर वेग का परिवर्तन, साथ ही उस स्थान पर पहुँचने से होने वाला परिवर्तन जहाँ प्रवाह भिन्न है। यह समीकरण चित्र 1 के नो-स्लिप प्रतिबंध के साथ हल होता है: हर ठोस सतह पर द्रव उसी के साथ चलता है, इसलिए स्थिर पिंड पर $v = 0$ ।

विमीय विश्लेषण और रेनॉल्ड्स संख्या

वास्तविक पिंड के चारों ओर का प्रवाह नेवियर–स्टोक्स समीकरण से हल करने के लिए बहुत जटिल है। विमीय विश्लेषण दिखाता है कि उसे हल किए बिना कितना कहा जा सकता है, और वह एक संख्या देता है जो हर प्रवाह का वर्गीकरण करती है।

दिए गए आकार के पिंड के लिए कर्षण $F$ केवल पिंड के आकार $L$ , द्रव में उसकी चाल $v$ , तथा द्रव के घनत्व $ρ$ और श्यानता $η$ पर निर्भर कर सकता है। ये पाँच राशियाँ तीन मात्रकों (किलोग्राम, मीटर, सेकंड) से बनी हैं, इसलिए इनसे केवल $5 - 3 = 2$ स्वतंत्र विमाहीन संख्याएँ बनाई जा सकती हैं। एक सुविधाजनक जोड़ी है $F / (ρ v^{2} L^{2})$ और रेनॉल्ड्स संख्या
$Re = \frac{ρ vL}{η}$
भौतिक नियम मात्रक-चुनाव पर निर्भर नहीं हो सकता, इसलिए वह इन दोनों संख्याओं के बीच संबंध होना चाहिए: पहली, दूसरी का फलन है। $L^{2}$ को पिंड के सामने के क्षेत्रफल $A$ से बदलने और परंपरागत गुणक $\frac{1}{2}$ जोड़ने पर कर्षण नियम बनता है
$F_{d} = \frac{1}{2} ρ v^{2} A C_{d} (Re)$
कर्षण गुणांक $C_{d}$ एक शुद्ध संख्या है। अब सारी कठिन भौतिकी एक चर के एक फलन में समाहित है, जिसे हर आकार के लिए केवल एक बार मापना होता है।

भौतिक रूप से $Re$ जड़ता और श्यानता की तुलना करता है। वेग लगभग $L$ दूरियों पर लगभग $v$ बदलता है, इसलिए जड़त्वीय पद $ρ (v \cdot \nabla) v$ लगभग $ρ v^{2} / L$ है और श्यान पद $η \nabla^{2} v$ लगभग $η v / L^{2}$ । इनका अनुपात $Re$ है। बड़े $Re$ पर जड़ता हावी होती है; छोटे $Re$ पर श्यानता।

इससे निष्कर्ष निकलता है कि समान $Re$ पर ज्यामितीय रूप से समरूप पिंडों के चारों ओर प्रवाह एक-दूसरे की पैमाने पर बनी प्रतियाँ हैं, और यही मॉडल परीक्षणों को संभव बनाता है। गतिक श्यानता $ν = η / ρ$ के रूप में रेनॉल्ड्स संख्या $Re = vL / ν$ है; पानी के लिए $ν$ $1.0 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s$ है और वायु के लिए $1.5 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$ । 1 : 10 के कार-मॉडल की लंबाई असली की दसवीं है, इसलिए पानी में वह हवा में असली कार से तब मेल खाता है जब उसकी चाल असली कार की $10 ν_{water} / ν_{air} \approx 0.67$ गुना हो। प्रकृति में $Re$ का परास विशाल है: तैरते जीवाणु के लिए लगभग $1 0^{- 4}$ , कोहरे की बूँद के लिए 0.016, वर्षा की बूँद के लिए 900 और स्काईडाइवर के लिए $2 \times 1 0^{6}$ ।

स्टोक्स प्रवाह और कर्षण वक्र

फलन $C_{d} (Re)$ कई आकारों के लिए मापा जा चुका है। गोला मानक उदाहरण है, और उसका वक्र कर्षण के दो बहुत भिन्न क्षेत्र दिखाता है।

चित्र 2 में गोले के व्यास पर आधारित रेनॉल्ड्स संख्या $Re$ के विरुद्ध एक चिकने गोले का कर्षण गुणांक $C_{d}$ दिखाया गया है। दोनों अक्ष लघुगणकीय हैं: हर दस गुना के लिए एक-सी दूरी है, इसलिए घात-नियम $C_{d} \propto Re^{n}$ ढलान $n$ की सीधी रेखा के रूप में दिखता है। बिंदीदार रेखा $C_{d} = 24/ Re$ है, जिसकी ढलान $- 1$ है।

मापे गए वक्र को बाएँ से दाएँ पढ़िए। $Re ≪ 1$ पर वह बिंदीदार रेखा के साथ चलता है। $Re \approx 1$ के पास वह उससे ऊपर मुड़ता है, और $Re \approx 1 0^{3}$ तथा $2 \times 1 0^{5}$ के बीच वह 0.4 से 0.5 के एक पठार में समतल हो जाता है। $Re_{c} \approx 3 \times 1 0^{5}$ पर वह लगभग 0.1 तक गिर जाता है: यही कर्षण-संकट है। उसके आगे वक्र कुछ हद तक फिर उठता है, $Re \approx 1 0^{7}$ पर लगभग 0.2 तक। पठार और गिरावट पश्च-प्रवाह के आकार से आते हैं, जिसकी चर्चा अगले भाग में है।

सीधा भाग स्टोक्स प्रवाह है। $Re ≪ 1$ पर जड़त्वीय पद नगण्य है, इसलिए घनत्व $ρ$ समस्या से बाहर हो जाता है। तब त्रिज्या $r$ के गोले पर कर्षण केवल $η$ , $v$ और $r$ पर निर्भर कर सकता है, और इनसे बल के मात्रक से मेल खाने वाला एकमात्र गुणनफल है $ηr v$ । धीमे प्रवाह के समीकरण हल करने पर संख्यात्मक गुणांक तय होता है:
$F_{d} = 6 π ηr v$
$\frac{1}{2} ρ v^{2} π r^{2}$ से भाग देने पर $C_{d} = 12 η / (ρ v r) = 24 η / (ρ v \cdot 2 r) = 24/ Re$ मिलता है, जो बिंदीदार रेखा है।

द्रव में नीचे गिरता छोटा गोला तब सीमांत वेग पर पहुँचता है जब यह कर्षण उसके भार घटा उत्प्लावन $\frac{4}{3} π r^{3} (ρ_{s} - ρ_{f}) g$ के बराबर हो जाता है, जहाँ $ρ_{s}$ गोले का घनत्व है और $ρ_{f}$ द्रव का। दोनों को बराबर रखने पर
$v_{t} = \frac{2 r ^{2} ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g}{9 η}$
मिलता है, जो $r^{2}$ के समानुपाती है: दोगुने व्यास वाले गोले चार गुना तेज़ डूबते हैं। डूबती गेंद की चाल मापकर $η$ निकालना तेलों की श्यानता मापने की एक मानक विधि है।

पृथक्करण, पश्च-प्रवाह और कर्षण-संकट

किस कारण $C_{d}$ गिरना बंद करके समतल हो जाता है, और $Re_{c}$ के पास अचानक क्यों गिरता है? उत्तर पिंड की सतह के पास द्रव की एक पतली परत में छिपा है।

चित्र 3 त्रिज्या $r$ के गोले के चारों ओर चाल $v$ की धारा में प्रवाह दिखाता है। सतह पर द्रव स्थिर है (नो-स्लिप)। वह पतली परत जिसमें उसकी चाल धारा की चाल तक बढ़ती है, सीमा-परत कहलाती है, जिसकी मोटाई $δ$ है; इसे वास्तविकता से कहीं अधिक मोटा दिखाया गया है। गोले के सामने के आधे भाग पर दाब गिरता है, जो परत को आगे धकेलता है। सबसे चौड़े बिंदु के बाद दाब फिर बढ़ता है, और दीवार के पास का धीमा द्रव इतना संवेग नहीं रखता कि उस दाब के विरुद्ध आगे बढ़ सके।

ऊपरी चित्र में सीमा-परत धारारेखी (लैमिनार) है, यानी चिकनी और व्यवस्थित। उसका संवेग जल्दी समाप्त हो जाता है और वह अग्र से लगभग 80° पर बिंदु $S_{1}$ पर पृथक हो जाती है: वह स्पर्श-रेखा के अनुदिश मुक्त अपरूपण-परत बनकर सतह छोड़ देती है। उसके पीछे धीमे, घूमते, निम्न-दाब द्रव का एक चौड़ा पश्च-प्रवाह बनता है, जिसकी चौड़ाई $w_{1}$ है। निचले चित्र में सीमा-परत विक्षुब्ध (टर्बुलेंट) है। इसके भँवर बाहर के तेज़ द्रव को लगातार दीवार की ओर खींचते रहते हैं, इसलिए वह सतह से अधिक समय तक चिपकी रहती है और अग्र से लगभग 120° पर बिंदु $S_{2}$ पर, कहीं पीछे, पृथक होती है। पश्च-प्रवाह, जिसकी चौड़ाई $w_{2}$ है, कहीं संकरा है।

अब इसे चित्र 2 से जोड़िए। $Re \approx 1 0^{3}$ से ऊपर प्रवाह ऊपरी प्रकार का होता है: वह पिंड के पिछले भाग का अनुसरण नहीं कर पाता। अग्र भाग लगभग पूरा ठहराव दाब $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ झेलता है, जबकि पीछे का चौड़ा पश्च-प्रवाह निम्न दाब पर है। यह अंतर, दाब-कर्षण, $η$ पर निर्भर नहीं करता, इसलिए $C_{d}$ समतल हो जाता है: यही पठार है। $Re_{c}$ के पास सीमा-परत पृथक होने से पहले ही विक्षुब्ध हो जाती है। प्रवाह निचले प्रकार में बदल जाता है, पश्च-प्रवाह संकरा होता है, पीछे का दाब आंशिक रूप से लौटता है, और $C_{d}$ लगभग 0.1 तक गिर जाता है: यही कर्षण-संकट है।

गोल्फ़ गेंद के गड्ढे सीमा-परत को बहुत पहले विक्षुब्ध बना देते हैं, जिससे $Re \approx 5 \times 1 0^{4}$ पर संकट शुरू हो जाता है। गोल्फ़ के एक ड्राइव शॉट में $Re \approx 1 0^{5}$ से $2 \times 1 0^{5}$ तक रहता है, इसलिए पूरी उड़ान में गड्ढे कर्षण को लगभग आधा कर देते हैं। तीखे किनारों वाले पिंड, जैसे सपाट प्लेट, फैलाए हाथ-पैरों वाला स्काईडाइवर या छतरी, भिन्न व्यवहार करते हैं: उच्च $Re$ पर प्रवाह उनके किनारों पर हर हाल में पृथक होता है, इसलिए उनका $C_{d}$ लगभग स्थिर रहता है। इसीलिए एनिमेशन छलाँग के हर चरण के लिए $C_{d} A$ का एक ही मान प्रयोग कर सकता है। $v^{2}$ नियम $Re$ के सीमित परास में एक जटिल प्रवाह का सार है; यह $F = ma$ की तरह प्रकृति का सार्वभौमिक नियम नहीं है।

सीमा-परत एक पुरानी पहेली भी सुलझाती है। आदर्श द्रव, $η = 0$ के साथ, किसी पिंड के चारों ओर स्थिर रूप से बहता हुआ उसके पीछे पूरी तरह जुड़ जाता है और कोई कर्षण नहीं लगाता: यह 1752 का डी'आलेम्बर्ट विरोधाभास है। कोई सोच सकता है कि $η \to 0$ होने पर वास्तविक प्रवाह इसी ओर जाएँगे, पर ऐसा नहीं होता। नेवियर–स्टोक्स समीकरण में $η$ सर्वोच्च अवकलज वाले पद से गुणा होता है। वह पद हटाने पर समीकरण की कोटि घट जाती है, और शेष समीकरण नो-स्लिप प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं कर सकता। $η$ चाहे कितना भी छोटा हो, वेग का परिवर्तन एक सीमा-परत में सिमट जाता है, यानी चित्र 3 का $δ$ , जहाँ प्रवणता इतनी तीव्र है कि श्यानता प्रभावी हो जाती है। उसकी मोटाई केवल $L / Re$ के रूप में घटती है; स्काईडाइवर के लिए वह एक मिलीमीटर के भी अंश से कम है। परत फिर भी पृथक होती है, पश्च-प्रवाह बचा रहता है और कर्षण परिमित रहता है। शून्य श्यानता एक विलक्षण सीमा है, जैसा कि प्रांटल के 1904 के सीमा-परत सिद्धांत ने दिखाया।

पतन का समाकलन: अतिपरवलयिक स्पर्शज्या

एनिमेशन का स्काईडाइवर (द्रव्यमान 80 kg, पेट के बल) लगभग $2 \times 1 0^{6}$ के रेनॉल्ड्स संख्या पर गिरता है, जहाँ $C_{d}$ स्थिर है और कर्षण $v^{2}$ के साथ बढ़ता है। यह भाग गति को सटीक रूप से हल करता है।

$k = \frac{1}{2} ρ C_{d} A$ लिखिए, ताकि कर्षण $k v^{2}$ हो, और नीचे की दिशा धनात्मक लीजिए। भार $m g$ नीचे और कर्षण ऊपर कार्य करता है, इसलिए न्यूटन का दूसरा नियम है $m d v / d t = m g - k v^{2}$ । जब दोनों बल संतुलित होते हैं, छलाँग लगाने वाले का त्वरण रुक जाता है, यानी सीमांत वेग $v_{t}$ पर, जहाँ $v_{t}^{2} = m g / k$ । $m$ से भाग देकर और इस परिभाषा का उपयोग करके $d v / d t = g (1 - v^{2} / v_{t}^{2})$ मिलता है। अब चाल और समय को अलग-अलग पक्षों पर रखकर छलाँग के समय ( $t = 0$ , $v = 0$ ) से समाकलन किया जा सकता है:
$\int_{0}^{v} \frac{d u}{1 - u ^{2} / v _{t}^{2}} = v_{t} artanh (v / v_{t}) = g t$
$v$ के लिए हल करने पर
$v (t) = v_{t} tanh (\frac{g t}{v _{t}})$
मिलता है। चूँकि $tanh$ का समाकल $ln cosh$ है, एक और समाकलन से गिरी हुई दूरी $x (t) = (v_{t}^{2} / g) ln cosh (g t / v_{t})$ मिलती है।

स्वाभाविक समय-पैमाना $τ = v_{t} / g$ है, यानी मुक्त पतन को $v_{t}$ तक पहुँचने में लगने वाला समय। एनिमेशन के छलाँग लगाने वाले के लिए, $v_{t} = 55.2 m/s$ के साथ, $τ = 5.6 s$ है। $t ≪ τ$ के लिए $tanh s \approx s$ , इसलिए $v \approx g t$ : पहले कुछ सेकंड लगभग मुक्त पतन हैं। $t ≫ τ$ के लिए $tanh s \approx 1 - 2 e^{- 2 s}$ और $ln cosh s \approx s - ln 2$ , इसलिए
$v \approx v_{t} (1 - 2 e^{- 2 t / τ}), x \approx v_{t} t - (v_{t}^{2} / g) ln 2$
छलाँग लगाने वाला अंततः एक काल्पनिक साथी से 215 m पीछे स्थिर हो जाता है, जो शुरू से ही $v_{t}$ पर गिरा था।

रैखिक कर्षण $m d v / d t = m g - b v$ से तुलना कीजिए, जो $v = v_{t} (1 - e^{- t / τ})$ देता है, जहाँ फिर से $τ = v_{t} / g$ है, यहाँ $m / b$ के बराबर। आरंभ एक-सा है, ढलान $g$ के साथ, पर अंतिम चरण में सीमांत वेग तक पहुँचना धीमा है: $v_{t}$ से दूरी $1/ τ$ की दर से घटती है, $2/ τ$ की नहीं। सीमांत वेग पर कुछ भी तेज़ नहीं होता, फिर भी गुरुत्व $m g v_{t} = 785 \cdot 55.2 \approx 43 kW$ की दर से कार्य कर रहा है। यह सारी ऊर्जा हवा को मथने में जाती है, जिसके भँवर अंततः उसे ऊष्मा में बदल देते हैं।

ग्राफ़ पढ़ना: सीमांत वेग तक पहुँच और खुलने का झटका

सूत्र एनिमेशन के ग्राफ़ों में ठोस रूप लेते हैं। उन पर ढलान और क्षेत्रफल दिखाते हैं कि छलाँग लगाने वाला कितनी तेज़ी से तेज़ होता और धीमा होता है, कितनी दूर गिरता है और छतरी कितने ज़ोर से खींचती है।

चित्र 4 एनिमेशन के विशेषज्ञ दृश्य का चाल-ग्राफ़ है, जो उसी मॉडल से बना है। नीला वक्र छलाँग लगाने वाले की चाल $v (t)$ है। वह हरी स्पर्श-रेखा $g t$ के साथ मूल बिंदु से निकलता है, जिसकी ढलान $g$ है, और वह $t = τ = 5.6 s$ पर ऊपरी बिंदीदार रेखा $v_{t}$ को छूती है, यानी पहली बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा। वहाँ निचले बिंदु को देखिए: वक्र ने $v_{t}$ का केवल $tanh 1 \approx 0.76$ , यानी 42 m/s, प्राप्त किया है, क्योंकि कर्षण पूरे समय बढ़ता रहा है। $2 τ$ के बाद यह $v_{t}$ का 96% तक पहुँचता है, और $t_{1} = 13 s$ पर, दूसरी बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा पर, जब छतरी खुलने लगती है, 54.1 m/s तक। एनिमेशन एक दूसरा ग्राफ़ भी खींचता है, जो यहाँ नहीं दिखाया गया: लाल रंग में कर्षण $F_{d} (t) = m g tanh^{2} (g t / v_{t})$ । यह आरंभ में सपाट है, क्योंकि कर्षण $v^{2}$ के साथ बढ़ता है, और फिर बिंदीदार $m g$ रेखा की ओर धीरे-धीरे चढ़ता है।

$t_{1}$ पर छतरी का व्यास 4 s तक लगातार बढ़ने लगता है। इसका क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए अतिरिक्त $C_{d} A$ खुलने के बाद के समय के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है। आरंभ में $C_{d} A$ , $v^{2}$ के घटने से तेज़ बढ़ता है, इसलिए कर्षण ऊपर झपटता है, $t \approx 14.0 s$ और $v \approx 37 m/s$ पर लगभग 3340 N, यानी $4.3 m g$ , के शिखर तक। यही खुलने का झटका है। चित्र 4 में $t_{1}$ के बाद नीला वक्र तीखा नीचे मुड़कर निचली बिंदीदार रेखा $v_{t}^{'} = 5.0 m/s$ पर आ जाता है और लगभग 18 s तक वहाँ पहुँच जाता है। वहाँ पहुँचना तेज़ है, क्योंकि नया समय-पैमाना केवल $v_{t}^{'} / g = 0.51 s$ है।

क्षेत्रफल भी अर्थ रखते हैं। $v (t)$ के नीचे का क्षेत्रफल खोई गई ऊँचाई है: छतरी खुलने से पहले 505 m (चित्र 4 का छायांकित क्षेत्रफल $x$ ), फुलाव के दौरान 92 m और अंतिम गति से 22 s तक 25 m और, कुल 622 m। कर्षण ग्राफ़ पर न्यूटन का दूसरा नियम $m d v / d t = m g - F_{d}$ दिखाता है कि खुलने के बाद $F_{d} (t)$ और $m g$ रेखा के बीच का परिणामी क्षेत्रफल हटाया गया संवेग है: $m Δ v = 80 \cdot (54.1 - 5.0) \approx 3930 N \cdot s$ ।

उदाहरण समस्या: तुरंत खुलने वाली छतरी

छतरी धीरे-धीरे क्यों खुलनी चाहिए? मान लीजिए पूरी छतरी, $C_{d} A = 52.5 m^{2}$ के साथ, 13 s पर, जब चाल $v_{0} = 54.1 m/s$ है, तुरंत प्रकट हो जाती है। इस $C_{d} A$ के साथ सीमांत वेग $v_{t}^{'} = 4.99 m/s$ है, यानी $v_{t}^{'}$ पर कर्षण $m g$ के बराबर होता है। कर्षण $v^{2}$ के साथ बढ़ता है, इसलिए $v_{0}$ पर वह उछलकर पहुँचेगा
$F_{d} = m g (\frac{v _{0}}{v _{t}^{'}})^{2} = 785 \cdot (\frac{54.1}{4.99})^{2} \approx 9.2 \times 1 0^{4} N$
जो भार का 117 गुना है। भार घटाने पर परिणामी बल भार का 116 गुना बचता है, यानी लगभग 116 g का मंदन।

चाल कितनी तेज़ी से गिरेगी? अब $v > v_{t}^{'}$ है, इसलिए कर्षण भार से अधिक है और वही समीकरण $d v / d t = - g (v^{2} / (v_{t}^{'})^{2} - 1)$ चाल को घटाता है। सीमांत चाल से ऊपर इसका हल $tanh$ के बजाय $coth$ प्रयोग करता है। छतरी खुलने से $t$ गिनते हुए,
$v (t) = v_{t}^{'} coth (\frac{g t}{v _{t}^{'}} + u_{0}), coth u_{0} = \frac{v _{0}}{v _{t}^{'}}$
यहाँ $coth u_{0} = 10.8$ , इसलिए $u_{0} = 0.093$ । जब कोष्ठक $arcoth 2 = 0.549$ तक पहुँचता है, तब चाल घटकर $2 v_{t}^{'} \approx 10 m/s$ रह जाती है। $v_{t}^{'} / g = 0.509 s$ के साथ इसमें $(0.549 - 0.093) \cdot 0.509 \approx 0.23 s$ लगते हैं। $coth$ का समाकल $ln sinh$ है, इसलिए तय दूरी $((v_{t}^{'})^{2} / g) ln (sinh 0.549/ sinh 0.093) \approx 2.54 \cdot 1.83 \approx 4.6 m$ है।

ऊर्जा-संतुलन औसत बल देता है। 54.1 से 10 m/s के बीच छलाँग लगाने वाला $\frac{1}{2} \cdot 80 \cdot (54. 1^{2} - 1 0^{2}) \approx 113 kJ$ गतिज ऊर्जा खोता है। कर्षण को 4.6 m के भीतर इसे और रास्ते में मुक्त हुई 3.6 kJ स्थितिज ऊर्जा को सोखना होगा: औसत बल भार का 32 गुना। एनिमेशन की छतरी खुलने को 4 s और 92 m में फैलाती है। वहाँ कर्षण खोई 116 kJ गतिज ऊर्जा और 72 kJ स्थितिज ऊर्जा सोखता है, यानी औसत $2.6 m g$ और शिखर $4.3 m g$ । असली पैराशूट इसी कारण से खुलने को धीमा करने के लिए स्लाइडर या रीफ़िंग लाइन का उपयोग करते हैं।

वैधता की सीमाएँ

मॉडल हर चरण में $C_{d} A$ और पूरे समय वायु का घनत्व $ρ$ स्थिर मानता है। दोनों सन्निकटन हैं। सिर के बल होने पर छलाँग लगाने वाला $C_{d} A$ लगभग आधा कर देता है, और चूँकि $v_{t} \propto 1/ C_{d} A$ , सीमांत वेग $2$ गुना, लगभग 78 m/s, तक बढ़ जाता है। चूँकि $v_{t} \propto 1/ ρ$ भी है, यह ऊँचाई के साथ भी बदलता है: 4000 m पर, जहाँ वायु का घनत्व 1.2 kg/m³ के बजाय लगभग 0.82 kg/m³ है, पेट के बल वाला छलाँग लगाने वाला $55.2 \cdot 1.2/0.82 \approx 67 m/s$ से गिरता है। सीमांत वेग एक चलता हुआ लक्ष्य है।

वायु केवल तभी असंपीड्य की तरह व्यवहार करती है जब मैक संख्या, यानी $v$ और ध्वनि की चाल का अनुपात, लगभग 0.3 से नीचे रहे; स्काईडाइवर पर यह 0.16 है। 39 km पर वायु लगभग 250 गुना पतली होती है, इसलिए कागज़ पर $v_{t}$ लगभग 16 गुना अधिक होता है। वहाँ से हुई रिकॉर्ड छलाँगें ध्वनि की चाल पार कर चुकी हैं, जहाँ आघात-तरंगें $C_{d}$ बढ़ा देती हैं।

स्टोक्स का नियम तब लागू होता है जब $Re$ 1 से काफ़ी कम हो: उसका पहला संशोधन, गुणक $1 + 3 Re /16$ , $Re = 0.5$ पर ही लगभग 10% जोड़ देता है। आकार के दूसरे छोर पर, लगभग 0.1 μm से छोटे कण वायु-अणुओं के 68 nm औसत मुक्त पथ के तुलनीय होते हैं। तब वायु सतत द्रव की तरह व्यवहार नहीं करती: वह उनकी सतह पर फिसलती है, और ब्राउनियन गति उन्हें अवसादन से अधिक हिलाती है। अंत में, मॉडल अस्थायी प्रवाह को नज़रअंदाज़ करता है, इसलिए एनिमेशन में $C_{d} A$ की सुचारु वृद्धि वास्तविक तीव्र खुलने के झटके का केवल सन्निकटन है।

यह आगे कहाँ ले जाता है

बरनौली का सिद्धांत सीमा-परत के बाहर आदर्श प्रवाह का वर्णन करता है और समझाता है कि कर्षण $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ के मात्रक में क्यों मापा जाता है। अवमंदन और अनुनाद में रैखिक कर्षण $- b v$ एक दोलित्र का अवमंदन पद बन जाता है। गैसों का अणुगति सिद्धांत अणुओं के टकरावों से गैस की श्यानता निकालता है। विद्युत धारा और प्रतिरोध की संरचना स्टोक्स अवसादन जैसी ही है: इलेक्ट्रॉन एक ऐसे सीमांत वेग से बहते हैं जिस पर टकराव विद्युत बल को संतुलित करते हैं, इसलिए धारा क्षेत्र के समानुपाती होती है। चालन, संवहन और विकिरण सीमा-परतों का उपयोग करके समझाता है कि हवा ऊष्मा कैसे दूर ले जाती है, और प्रक्षेप्य गति के पथ कर्षण जुड़ने पर छोटे और असममित हो जाते हैं।

मुख्य सूत्र

द्विघाती कर्षण नियम

F_{d} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}

हर सेकंड वस्तु लगभग $ρ A v$ द्रव्यमान वाले द्रव को एक तरफ धकेलती है और उसे $v$ के तुलनीय चाल देती है, इसलिए हर सेकंड द्रव को सौंपा गया संवेग, यानी कर्षण, $ρ A v^{2}$ के साथ बढ़ता है। गुणक $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ आती धारा का गतिक दाब है, और कर्षण गुणांक $C_{d}$ आकार से जुड़ी हर बात समेटता है। बल वेग के विपरीत दिशा में, द्रव के सापेक्ष, लगता है।

चिह्न
$F_{d}$	कर्षण बल	$N$
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$C_{d}$	कर्षण गुणांक, आकार द्वारा तय
$A$	प्रवाह के सामने का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$v$	द्रव के सापेक्ष चाल	$m/s$

कब लागू होता है: रेनॉल्ड्स संख्या लगभग 1000 से ऊपर होने पर (गेंदें, वाहन, लोग, छतरियाँ), जहाँ कर्षण गुणांक लगभग स्थिर है। छोटे या धीमे पिंडों के लिए (स्टोक्स का नियम प्रयोग करें), गोल पिंडों के कर्षण-संकट के निकट और ध्वनि की चाल के निकट यह विफल होता है।

उदाहरण: 30 m/s पर चलता स्काईडाइवर, $C_{d} A = 0.43 m^{2}$ : $F_{d} = \frac{1}{2} \cdot 1.2 \cdot 0.43 \cdot 3 0^{2} \approx 232 N$ ।

गोले के लिए स्टोक्स का नियम

F_{d} = 6 π ηr v (Stokes, Re ≪ 1)

बहुत धीमे या सूक्ष्म-पैमाने के प्रवाह में द्रव का जड़त्व नगण्य होता है: द्रव को एक तरफ फेंका नहीं जाता बल्कि अपरूपित किया जाता है, इसलिए कर्षण श्यानता पर निर्भर करता है, घनत्व पर नहीं, और चाल के समानुपाती होता है। गोले के लिए धीमे-प्रवाह समीकरण हल करने पर गुणांक $6 π$ आता है; बल का दो-तिहाई भाग सतह पर अपरूपण से और एक-तिहाई आगे-पीछे के दाब अंतर से आता है।

चिह्न
$F_{d}$	कर्षण बल	$N$
$η$	द्रव की श्यानता	$Pa \cdot s$
$r$	गोले की त्रिज्या	$m$
$v$	द्रव के सापेक्ष चाल	$m/s$
$Re$	प्रवाह की रेनॉल्ड्स संख्या, व्यास पर आधारित

कब लागू होता है: केवल $Re ≪ 1$ के लिए: $Re = 0.5$ पर त्रुटि लगभग 10% है। गोला द्रव के अणुओं के औसत मुक्त पथ से भी बहुत बड़ा होना चाहिए, वायु में 68 nm।

उदाहरण: वायु में 0.012 m/s से गिरती 10 μm त्रिज्या की कोहरे की बूँद: $F_{d} = 6 π \cdot 1.8 \times 1 0^{- 5} \cdot 1 0^{- 5} \cdot 0.012 \approx 4.1 \times 1 0^{- 11} N$ , जो इसके भार के बराबर है।

गिरती वस्तु के लिए न्यूटन का दूसरा नियम

ma = m g - F_{d}

नीचे की दिशा धनात्मक मानने पर भार $m g$ नीचे खींचता है और कर्षण ऊपर धकेलता है, इसलिए परिणामी बल उनका अंतर है। जब $v = 0$ तब त्वरण $g$ से शुरू होता है और कर्षण बढ़ने पर घटता है। सीमांत वेग पर यह शून्य हो जाता है, और जब कर्षण भार से अधिक होता है, जैसे छतरी खुलने के ठीक बाद, तब ऋणात्मक हो जाता है और ऊपर की ओर इशारा करता है।

चिह्न
$m$	वस्तु का द्रव्यमान	$kg$
$a$	त्वरण, नीचे की ओर धनात्मक	$m/ s^{2}$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$F_{d}$	कर्षण बल, ऊपर की ओर	$N$

कब लागू होता है: ऊर्ध्वाधर गति के लिए, नीचे की दिशा धनात्मक मानकर, और उत्प्लावन को नज़रअंदाज़ करके, जो वायु में भार का लगभग 0.1 % है। द्रव में उत्प्लावी बल भी घटाना होगा।

उदाहरण: 30 m/s पर स्काईडाइवर: $a = (785 - 232) /80 \approx 6.9 m/ s^{2}$ ; छतरी खुलने के झटके के शिखर पर, $a = (785 - 3340) /80 \approx - 32 m/ s^{2}$ ।

द्विघाती कर्षण के साथ सीमांत वेग

v_{t} = \frac{2 m g}{ρ C _{d} A}

सीमांत वेग पर कर्षण भार के बराबर होता है, $\frac{1}{2} ρ C_{d} A v_{t}^{2} = m g$ , और इसे चाल के लिए हल करने पर यह सूत्र मिलता है। भारी वस्तु, छोटा अग्र क्षेत्रफल, अधिक धारारेखी आकार या पतली हवा का अर्थ है तेज़ गिरना। एक ही आकार और पदार्थ की वस्तुओं के लिए $m \propto L^{3}$ और $A \propto L^{2}$ , इसलिए $v_{t} \propto L$ ।

चिह्न
$v_{t}$	सीमांत वेग	$m/s$
$m$	वस्तु का द्रव्यमान	$kg$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$C_{d}$	कर्षण गुणांक
$A$	अग्र क्षेत्रफल	$m^{2}$

कब लागू होता है: द्विघाती कर्षण के लिए, जहाँ उत्प्लावन नगण्य हो और $C_{d} A$ तथा $ρ$ स्थिर हों। ऐसी वायु में जो नीचे आते समय गाढ़ी होती जाती है, चाल कभी पूरी तरह स्थिर नहीं होती: 4000 m पर उसी छलाँग लगाने वाले का $v_{t}$ लगभग 67 m/s है।

उदाहरण: पेट के बल, $v_{t} = 2 \cdot 785/ (1.2 \cdot 0.43) \approx 55.2 m/s$ ; $C_{d} A = 52.5 m^{2}$ वाली छतरी के नीचे, $v_{t} \approx 5.0 m/s$ ।

द्विघाती कर्षण के साथ विराम से गिरती वस्तु की चाल

v (t) = v_{t} tanh (\frac{g t}{v _{t}})

$d v / d t = g (1 - v^{2} / v_{t}^{2})$ में चरों को अलग करके विराम से समाकलन करने पर यह नियम मिलता है। यह आरंभ में मुक्त पतन जैसा होता है, $v \approx g t$ , और समय-पैमाने $v_{t} / g$ पर $v_{t}$ की ओर पहुँचता है: $v_{t} / g$ के बाद चाल $v_{t}$ का $tanh 1 \approx 0.76$ और $2 v_{t} / g$ के बाद $v_{t}$ का 0.96 होती है।

चिह्न
$v$	समय $t$ पर चाल	$m/s$
$v_{t}$	सीमांत वेग	$m/s$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$t$	विराम से छोड़े जाने के बाद का समय	$s$

कब लागू होता है: विराम से, द्विघाती कर्षण के साथ, और स्थिर $C_{d} A$ , $ρ$ तथा $g$ मानकर। जो वस्तु $v_{t}$ से तेज़ शुरू होती है, वह उसके बजाय $v = v_{t} coth (g t / v_{t} + u_{0})$ के अनुसार धीमी होती है, जहाँ $coth u_{0} = v_{0} / v_{t}$ ।

उदाहरण: स्काईडाइवर, $v_{t} / g = 5.6 s$ के साथ: 11.2 s बाद, $v = 55.2 tanh 2 \approx 53.2 m/s$ ।

छोटे गोले का सीमांत वेग (स्टोक्स)

v_{t} = \frac{2 r ^{2} ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g}{9 η} (Stokes sphere)

सीमांत वेग पर गोले का भार घटा उत्प्लावन बल, $\frac{4}{3} π r^{3} (ρ_{s} - ρ_{f}) g$ , स्टोक्स कर्षण $6 π ηr v_{t}$ के बराबर होता है। भार $r^{3}$ के साथ बढ़ता है, पर कर्षण केवल $r$ के साथ, इसलिए $v_{t} \propto r^{2}$ : दस गुना छोटा कण सौ गुना धीमे बैठता है। यदि $ρ_{s} < ρ_{f}$ हो, तो $v_{t}$ ऋणात्मक निकलता है और गोला ऊपर उठता है।

चिह्न
$v_{t}$	सीमांत वेग	$m/s$
$r$	गोले की त्रिज्या	$m$
$ρ_{s}$	गोले का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$ρ_{f}$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$η$	द्रव की श्यानता	$Pa \cdot s$

कब लागू होता है: केवल जब $Re ≪ 1$ हो, इसलिए गणना के बाद $ρ_{f} v_{t} \cdot 2 r / η$ जाँच लें। 1 mm त्रिज्या की वर्षा की बूँद के लिए यह सूत्र 121 m/s देता है, जब रेनॉल्ड्स संख्या लगभग 16 000 होती है, जो इसके दायरे से बहुत बाहर है।

उदाहरण: वायु में 10 μm त्रिज्या की कोहरे की बूँद: $v_{t} = 2 \cdot (1 0^{- 5})^{2} \cdot 998.8 \cdot 9.81/ (9 \cdot 1.8 \times 1 0^{- 5}) \approx 0.012 m/s$ ।

रेनॉल्ड्स संख्या

Re = \frac{ρ vL}{η}

द्रव के जड़त्वीय बल का प्रति इकाई आयतन मान, लगभग $ρ v^{2} / L$ , और श्यान बल, लगभग $η v / L^{2}$ , का अनुपात। विमीय विश्लेषण दिखाता है कि दिए गए आकार का कर्षण गुणांक और किसी पर निर्भर नहीं करता, इसलिए समान $Re$ वाले प्रवाह एक-दूसरे की पैमाने पर बनी प्रतियाँ हैं। छोटा $Re$ चिकने, गाढ़े प्रवाह का संकेत है; बड़ा $Re$ पृथक्करण, पश्च-प्रवाह और विक्षुब्धता का।

चिह्न
$Re$	रेनॉल्ड्स संख्या
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$v$	द्रव के सापेक्ष वस्तु की चाल	$m/s$
$L$	वस्तु का आकार (गोले के लिए व्यास)	$m$
$η$	द्रव की श्यानता	$Pa \cdot s$

कब लागू होता है: हर प्रवाह के लिए परिभाषित है, पर $L$ का चुनाव एक परिपाटी है, इसलिए मान केवल एक ही परिपाटी के भीतर तुलना योग्य हैं। समानता के लिए आकार समान होना चाहिए और उच्च चाल पर मैक संख्या भी समान होनी चाहिए।

उदाहरण: 55 m/s पर, $L \approx 0.5 m$ के स्काईडाइवर के लिए: $Re = 1.2 \cdot 55 \cdot 0.5/ (1.8 \times 1 0^{- 5}) \approx 1.8 \times 1 0^{6}$ ।

कर्षण के विरुद्ध आवश्यक शक्ति

P = F_{d} v = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{3}

शक्ति बल गुणा चाल है। कर्षण के विरुद्ध स्थिर गति बनाए रखने के लिए इंजन, साइकिल चालक या गुरुत्व को $F_{d} v$ देना होता है, और द्विघाती कर्षण में यह $v^{3}$ के साथ बढ़ता है। प्रति किलोमीटर ऊर्जा कर्षण बल गुणा दूरी है, इसलिए वह केवल $v^{2}$ के साथ बढ़ती है।

चिह्न
$P$	कर्षण के विरुद्ध आवश्यक शक्ति	$W$
$F_{d}$	कर्षण बल	$N$
$v$	चाल	$m/s$
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$C_{d}$	कर्षण गुणांक
$A$	अग्र क्षेत्रफल	$m^{2}$

कब लागू होता है: शांत वायु में द्विघाती कर्षण के साथ स्थिर गति के लिए। हवा होने पर $F_{d}$ वायु के सापेक्ष चाल पर निर्भर करता है, जबकि $P = F_{d} v$ में भूमि के सापेक्ष चाल ली जाती है; लोटन-प्रतिरोध और ड्राइवट्रेन की हानियों के लिए अतिरिक्त शक्ति चाहिए।

उदाहरण: $C_{d} A = 0.66 m^{2}$ वाली कार 25 m/s (90 km/h) पर: $P = \frac{1}{2} \cdot 1.2 \cdot 0.66 \cdot 2 5^{3} \approx 6.2 kW$ ; 130 km/h पर लगभग 18.6 kW।

शब्दावली

कर्षण: वह बल जो कोई द्रव उसमें गतिमान वस्तु पर लगाता है, जो वस्तु के द्रव के सापेक्ष वेग के विपरीत होता है। वायु में यह वायु-प्रतिरोध है; सामने से हवा चलने पर यह बढ़ता है, क्योंकि सापेक्ष चाल अधिक होती है।
श्यानता: द्रव का आंतरिक घर्षण, यानी उसकी परतों के एक-दूसरे पर फिसलने का प्रतिरोध, जिसे $η$ से मापा जाता है। यह बताता है कि संवेग तेज़ परतों से धीमी परतों तक कितनी आसानी से जाता है, और यह घनत्व नहीं है: जैतून का तेल पानी से कम घना है, पर लगभग 80 गुना अधिक श्यान है।
नो-स्लिप प्रतिबंध: यह प्रायोगिक तथ्य कि ठोस सतह को छूने वाला द्रव उसी सतह के साथ चलता है। यह सभी सामान्य द्रवों पर लागू होता है, इसलिए हर चलती वस्तु अपने साथ द्रव की एक पतली परत ले चलती है।
द्विघाती कर्षण: चाल के वर्ग के समानुपाती कर्षण, $F_{d} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ , जो उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर गेंदों, वाहनों और लोगों के लिए मिलता है। चाल दोगुनी करने पर कर्षण चार गुना और आवश्यक शक्ति आठ गुना हो जाती है।
स्टोक्स का नियम: धीमे, श्यान प्रवाह में छोटे गोले पर कर्षण, $F_{d} = 6 π ηr v$ : चाल के समानुपाती और द्रव के घनत्व से स्वतंत्र। यह $Re ≪ 1$ के लिए लागू होता है, जैसे धूल, कोहरे की बूँदें, कोशिकाएँ या शहद में डूबता मनका।
सीमांत वेग: वह स्थिर चाल जिस पर कर्षण, और यदि हो तो उत्प्लावन, भार को संतुलित करते हैं, इसलिए त्वरण शून्य होता है। पेट के बल लेटा स्काईडाइवर लगभग 55 m/s, और गोल छतरी के नीचे का छलाँग लगाने वाला लगभग 5 m/s तक पहुँचता है।
रेनॉल्ड्स संख्या: किसी प्रवाह में जड़त्वीय और श्यान प्रभावों का विमाहीन अनुपात, $Re = ρ vL / η$ । यह तय करती है कि कौन-सा कर्षण नियम लागू होगा: लगभग 1 से नीचे स्टोक्स का नियम, और लगभग 1000 से ऊपर द्विघाती कर्षण।
गतिक समरूपता: यह नियम कि समान आकार के पिंडों के चारों ओर प्रवाह, जब उनकी रेनॉल्ड्स संख्या बराबर हो, एक-दूसरे की पैमाने पर बनी प्रतियाँ होते हैं। इसी कारण पवन-सुरंग और जल-टंकी के मॉडल पूर्ण-आकार के प्रवाह का पूर्वानुमान कर पाते हैं।
सीमा-परत: सतह के पास की पतली परत, जिसमें प्रवाह की चाल दीवार पर शून्य से बढ़कर बाहरी धारा की चाल तक पहुँचती है। इसकी मोटाई $L / Re$ के अनुसार घटती है, पर कभी शून्य नहीं होती, इसलिए घर्षण कभी पूरी तरह समाप्त नहीं होता।
पश्च-प्रवाह (वेक): प्रवाह के सतह से पृथक हो जाने के बाद पिंड के पीछे का क्षेत्र, जहाँ धीमा, घूमता द्रव होता है। इसका निम्न दाब, सामने के उच्च दाब के विरुद्ध, वह दाब-कर्षण पैदा करता है जो कुंद पिंडों पर हावी होता है।
कर्षण-संकट: $Re \approx 3 \times 1 0^{5}$ के पास, जब सीमा-परत विक्षुब्ध हो जाती है और पश्च-प्रवाह संकरा हो जाता है, तब एक गोले का कर्षण गुणांक लगभग 0.47 से अचानक लगभग 0.1 तक गिर जाता है। गोल्फ़ गेंद के गड्ढे इसे कम चाल पर ले आते हैं।
धारारेखण: किसी पिंड को ऐसा आकार देना कि प्रवाह उसके पीछे सहज रूप से जुड़ जाए और केवल एक पतला पश्च-प्रवाह बचे। अश्रु-आकार का $C_{d} \approx 0.05$ होता है, जो समान अग्र क्षेत्रफल की सपाट प्लेट से लगभग 25 गुना कम है।

राशियाँ
$F_{d}$	कर्षण बल	$N$	द्रव का वस्तु पर लगाया बल, जो उसके द्रव के सापेक्ष वेग के विपरीत है; सीमांत वेग पर स्काईडाइवर के लिए 785 N।
$v$	द्रव के सापेक्ष चाल	$m/s$	वह चाल जिससे वस्तु द्रव में चलती है, और जिस पर कर्षण निर्भर करता है; हवा होने पर यह भूमि के सापेक्ष चाल से भिन्न होती है।
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$	द्रव का प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान: भूमि के पास वायु के लिए लगभग 1.2 kg/m³ और पानी के लिए 1000 kg/m³। स्टोक्स सूत्र में द्रव का घनत्व $ρ_{f}$ और गोले का $ρ_{s}$ लिखा जाता है।
$A$	अग्र क्षेत्रफल	$m^{2}$	आती धारा को दिखने वाली वस्तु की छाया-आकृति का क्षेत्रफल; $C_{d}$ इसी क्षेत्रफल से संबंधित है।
$C_{d}$	कर्षण गुणांक		आकार और $Re$ से तय एक शुद्ध संख्या: बूँद-आकार के लिए लगभग 0.05, गोले के लिए 0.47 और गोल पैराशूट के लिए 1.5।
$η$	श्यानता	$Pa \cdot s$	अपरूपण प्रतिबल को वेग-प्रवणता से भाग देने पर, यानी $(F / A) / (v_{0} / d)$ । वायु के लिए लगभग $1.8 \times 1 0^{- 5} Pa \cdot s$ और पानी के लिए लगभग $1.0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ ।
$r$	गोले की त्रिज्या	$m$	स्टोक्स के नियम में आकार: कर्षण $r$ के साथ बढ़ता है जबकि भार $r^{3}$ के साथ, इसलिए $v_{t} \propto r^{2}$ ।
$v_{t}$	सीमांत वेग	$m/s$	वह चाल जिस पर कर्षण भार को संतुलित करता है: एनिमेशन में पेट के बल लेटे छलाँग लगाने वाले के लिए 55.2 m/s, छतरी के नीचे 5.0 m/s।
$Re$	रेनॉल्ड्स संख्या		जड़त्वीय और श्यान बलों का अनुपात, $ρ vL / η$ : कोहरे की बूँद के लिए लगभग 0.016 और स्काईडाइवर के लिए लगभग $2 \times 1 0^{6}$ । यहाँ $L$ मीटर में वस्तु का आकार है, गोले के लिए व्यास।
$P$	कर्षण के विरुद्ध शक्ति	$W$	कर्षण के विरुद्ध गति बनाए रखने के लिए कार्य करने की दर, $F_{d} v$ ; द्विघाती कर्षण में यह $v^{3}$ के साथ बढ़ती है।

क्विज़

शुरुआती स्काईडाइवर सीमांत वेग पर पहुँच चुका है। कौन-सा कथन सही है?
1. स्काईडाइवर रुक गया है
2. स्काईडाइवर पर वायु-प्रतिरोध भार के बराबर है
3. स्काईडाइवर का भार शून्य हो गया है
4. वायु-प्रतिरोध अब भार से बड़ा है
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उत्तर: B. स्काईडाइवर पर वायु-प्रतिरोध भार के बराबर है
सीमांत वेग पर ऊपर की ओर लगने वाला वायु-प्रतिरोध नीचे की ओर लगने वाले भार को ठीक संतुलित करता है, इसलिए चाल बदलना रुक जाती है। स्काईडाइवर अब भी लगभग 200 km/h पर गिर रहा है, और उसका भार वही है।
शुरुआती पैराशूट खुलने से स्काईडाइवर क्यों धीमा होता है?
1. इससे स्काईडाइवर हल्का हो जाता है
2. इससे एक क्षण के लिए गुरुत्व बंद हो जाता है
3. इसका बड़ा क्षेत्रफल वायु-प्रतिरोध को भार से कहीं बड़ा कर देता है
4. यह रॉकेट की तरह स्काईडाइवर को ऊपर धकेलता है
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उत्तर: C. इसका बड़ा क्षेत्रफल वायु-प्रतिरोध को भार से कहीं बड़ा कर देता है
भार नहीं बदलता। छतरी का बड़ा क्षेत्रफल उसी चाल पर वायु-प्रतिरोध को भार से कहीं अधिक कर देता है, इसलिए स्काईडाइवर धीमा होता है, जब तक दोनों बल कम चाल पर फिर से संतुलित नहीं हो जाते।
मध्यम एक साइकिल चालक अपनी चाल 15 km/h से बढ़ाकर 30 km/h कर देती है। द्विघाती कर्षण में उस पर लगने वाला वायु-कर्षण किस गुणक से बढ़ता है?
1. 4
2. 2
3. 8
4. √2
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उत्तर: A. 4
F_d ∝ v², इसलिए चाल दोगुनी करने पर कर्षण 2² = 4 गुना होता है। उसे दूर करने के लिए आवश्यक शक्ति F_d·v ∝ v³ है, जो आठ गुना बढ़ती है।
मध्यम 80 kg के स्काईडाइवर का C_d·A = 0.43 m² है, और हवा का घनत्व 1.2 kg/m³ है। सीमांत वेग क्या है? (g = 9.81 m/s²)
1. 39 m/s
2. 9.8 m/s
3. 3040 m/s
4. 55 m/s
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उत्तर: D. 55 m/s
F_d = m·g रखने पर v_t = √(2·m·g/(ρ·C_d·A)) = √(2 × 785 ÷ 0.516) = √3040 ≈ 55 m/s। गुणक 2 छोड़ देने पर 39 m/s आता है; वर्गमूल भूल जाने पर 3040।
मध्यम छतरी खुलने के ठीक बाद स्काईडाइवर अब भी गिर रहा है, पर धीमा हो रहा है। परिणामी बल और त्वरण किस दिशा में हैं?
1. नीचे, क्योंकि स्काईडाइवर अब भी नीचे जा रहा है
2. ऊपर, क्योंकि कर्षण अब भार से बड़ा है
3. कहीं नहीं: गिरते रहते हुए कोई परिणामी बल नहीं होता
4. नीचे, क्योंकि भार हमेशा बड़ा बल होता है
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उत्तर: B. ऊपर, क्योंकि कर्षण अब भार से बड़ा है
कर्षण भार से अधिक है, इसलिए परिणामी बल और त्वरण ऊपर की ओर हैं, जबकि वेग अब भी नीचे की ओर है: स्काईडाइवर मंद हो रहा है। वेग और त्वरण एक ही दिशा में होना आवश्यक नहीं है।
उन्नत एक वस्तु विराम से द्विघाती कर्षण के साथ गिरती है, इसलिए v = v_t·tanh(g·t/v_t)। कितने समय बाद उसकी चाल v_t के लगभग 96% तक पहुँचती है?
1. v_t/g
2. v_t/(2g)
3. 2·v_t/g
4. 10·v_t/g
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उत्तर: C. 2·v_t/g
tanh 2 ≈ 0.964, इसलिए जब g·t/v_t = 2, यानी t = 2·v_t/g (स्काईडाइवर के लिए लगभग 11 s), तब v ≈ 0.96·v_t। t = v_t/g पर चाल केवल tanh 1 ≈ 76% है।
उन्नत समान पदार्थ के दो ठोस गोले वायु में द्विघाती कर्षण के साथ सीमांत वेग से गिरते हैं; एक की त्रिज्या दूसरे की दोगुनी है। बड़ा गोला कितना तेज़ गिरता है?
1. बिल्कुल नहीं: दोनों की चाल समान है
2. 2 गुना तेज़
3. 4 गुना तेज़
4. लगभग 1.41 गुना तेज़
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उत्तर: D. लगभग 1.41 गुना तेज़
m ∝ r³ और A ∝ r², इसलिए v_t = √(2·m·g/(ρ·C_d·A)) ∝ √r। त्रिज्या दोगुनी करने पर v_t √2 ≈ 1.41 गुना होता है।
उन्नत स्टोक्स क्षेत्र (Re ≪ 1) में द्रव में डूबते छोटे गोले का सीमांत वेग उसकी त्रिज्या r पर कैसे निर्भर करता है?
1. v_t ∝ r²
2. v_t ∝ √r
3. v_t ∝ r
4. v_t ∝ 1/r
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. v_t ∝ r²
भार घटा उत्प्लावन r³ के अनुसार बदलता है, जबकि स्टोक्स कर्षण 6π·η·r·v केवल r·v के अनुसार, इसलिए v_t = 2·r²·(ρ_s − ρ_f)·g/(9η) ∝ r²। इसी कारण बारीक तलछट को बैठने में घंटों लगते हैं।

$C_{d}$	कर्षण गुणांक, जो $F_{d} = \frac{1}{2} ρ v^{2} A C_{d}$ से परिभाषित है।
$R e$	प्रवाह की रेनॉल्ड्स संख्या, $ρ vL / η$ , जहाँ $L$ गोले का व्यास है।
$R e_{c}$	कर्षण-संकट की रेनॉल्ड्स संख्या, लगभग $3 \times 1 0^{5}$ ।

$d$	दोनों प्लेटों के बीच अंतराल की चौड़ाई।	$m$
$A$	ऊपरी प्लेट का क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$F$	वह बल जो ऊपरी प्लेट को स्थिर चाल से खींचता है।	$N$
$v_{0}$	ऊपरी प्लेट की चाल; निचली प्लेट स्थिर है।	$m/s$
$v (y)$	निचली प्लेट से ऊँचाई $y$ पर द्रव की चाल: नीचे शून्य, ऊपर $v_{0}$ ।	$m/s$
$η$	द्रव की श्यानता: प्रति इकाई वेग-प्रवणता के लिए आवश्यक प्रतिबल।	$Pa s$

$v$	पिंड से बहुत पहले की धारा की चाल।	$m/s$
$r$	गोले की त्रिज्या।	$m$
$δ$	सीमा-परत की मोटाई, जिसमें चाल सतह पर शून्य से धारा की चाल तक बढ़ती है। वास्तविकता से कहीं अधिक मोटी दिखाई गई है।	$m$
$S_{1}$	वह बिंदु जहाँ धारारेखी सीमा-परत पृथक होती है, अग्र से लगभग 80° पर।
$S_{2}$	वह बिंदु जहाँ विक्षुब्ध सीमा-परत पृथक होती है, कहीं पीछे, अग्र से लगभग 120° पर।
$w_{1}$	धारारेखी सीमा-परत वाले गोले के पीछे पश्च-प्रवाह की चौड़ाई।	$m$
$w_{2}$	विक्षुब्ध सीमा-परत वाले पश्च-प्रवाह की चौड़ाई।	$m$

$v$	छलाँग लगाने वाले की चाल।	$m/s$
$t$	छलाँग के बाद का समय।	$s$
$v_{t}$	पेट के बल लेटे छलाँग लगाने वाले का सीमांत वेग, 55.2 m/s।	$m/s$
$v_{t}^{'}$	खुली छतरी के नीचे का सीमांत वेग, 5.0 m/s।	$m/s$
$g t$	वह चाल जो मुक्त पतन में प्राप्त होती: $t = 0$ पर $v (t)$ की स्पर्श-रेखा, जिसकी ढलान $g$ है।	$m/s$
$τ$	समय-पैमाना $v_{t} / g = 5.6 s$ : स्पर्श-रेखा $g t$ $v_{t}$ रेखा को $t = τ$ पर काटती है।	$s$
$t_{1}$	वह क्षण जब छतरी खुलने लगती है, छलाँग के 13 s बाद।	$s$
$x$	$t_{1}$ से पहले गिरी हुई दूरी: $v (t)$ के नीचे का छायांकित क्षेत्र।	$m$