Traînée et vitesse limite

Débutant

Voyons pas à pas ce que fait la résistance de l'air.

Étape 1 : les fluides résistent. Sortez la main par la fenêtre d'une voiture qui roule : l'air la repousse vers l'arrière. L'air, l'eau et tous les fluides poussent contre ce qui les traverse. Cette poussée s'appelle la traînée, ou résistance de l'air. Elle croît vite avec la vitesse (deux fois plus vite : environ quatre fois plus) et avec la surface tournée vers le courant.

Étape 2 : un corps qui tombe cesse d'accélérer. Regardez le parachutiste. Juste après le saut, la résistance de l'air (flèche rouge, vers le haut) est petite et le poids (flèche verte, vers le bas) l'emporte. Il accélère et la barre bleue de vitesse monte. Mais plus de vitesse signifie plus de résistance. Au bout d'une dizaine de secondes, la flèche rouge est aussi longue que la verte. Les forces se compensent, la vitesse ne change plus : il tombe régulièrement à environ 200 km/h, la vitesse limite.

Étape 3 : le parachute. La voile ouverte a une surface énorme : la résistance devient bien plus grande que le poids et le parachutiste ralentit. Quand la vitesse baisse, la poussée baisse aussi, jusqu'à équilibrer de nouveau le poids, à 18 km/h seulement.

Étape 4 : forme et viscosité. Une forme lisse et effilée laisse le fluide se refermer derrière elle et subit peu de traînée : pensez aux poissons et aux cyclistes de course. Les liquides épais comme le miel freinent même un mouvement lent ; ce « collant » interne s'appelle la viscosité.

Vérifiez-vous : une goutte de pluie tombe à vitesse constante. La résistance de l'air sur elle est-elle plus petite, égale ou plus grande que son poids ? (Réponse : égale. Une vitesse constante signifie que les forces se compensent.)

Intermédiaire

Ce qu'est la traînée et de quoi elle dépend

La traînée est la force qu'un fluide exerce sur un corps qui s'y déplace. Elle est dirigée contre la vitesse du corps par rapport au fluide : une cycliste qui roule à 10 m/s face à un vent de 5 m/s rencontre l'air à 15 m/s.

Pour les ballons, les voitures et les parachutistes, la traînée suit la loi quadratique
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{x}A{v}^2$
où $\rho$ est la masse volumique du fluide (1,2 kg/m³ pour l'air près du sol), $A$ le maître-couple, c'est-à-dire la surface frontale face à l'écoulement, et $v$ la vitesse. Le coefficient de traînée $C_x$ est un nombre sans dimension fixé par la forme : environ 0,05 pour un corps en forme de goutte d'eau, 0,3 pour une voiture moderne, 0,47 pour une sphère et 1,5 pour un parachute rond.

Pourquoi un carré ? Chaque seconde, le corps repousse une masse de fluide d'environ $\rho Av$ et lui communique une vitesse comparable à $v$. La quantité de mouvement cédée par seconde, c'est-à-dire la force, est donc de l'ordre de $\rho A{v}^2$ : vitesse doublée, traînée quadruplée.

La viscosité et le monde du petit et du lent

La viscosité, $\eta$, est le frottement interne d'un fluide, la résistance de ses couches à glisser les unes sur les autres ; elle se mesure en pascals-secondes (Pa·s). À 20 °C, l'air a $1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, l'eau $1,0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, l'huile d'olive environ 0,08 Pa·s et la glycérine 1,4 Pa·s ; les liquides chauds sont plus fluides.

Les objets minuscules ou lents, comme la poussière, les gouttelettes de brouillard ou une bille qui coule dans du miel, subissent au contraire une traînée proportionnelle à $v$. Pour une sphère de rayon $r$, c'est la loi de Stokes,
$F_d=6\pi \eta rv\text{(Stokes, }\mathrm{Re}\ll 1\text{)}$
La masse volumique n'intervient pas : le fluide n'est pas projeté sur les côtés, il est cisaillé, couche contre couche.

Laquelle des deux lois s'applique, c'est le nombre de Reynolds qui le décide ; il se construit avec la masse volumique et la viscosité du fluide, la vitesse et la taille $L$ du corps :
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Il compare l'inertie du fluide à sa viscosité. En dessous de 1 environ, la loi de Stokes s'applique ; au-dessus de 1000 environ, c'est la loi quadratique, avec un $C_x$ fixé surtout par la forme. Une gouttelette de brouillard a $\mathrm{Re}\approx 0,02$ ; le parachutiste, avec $L\approx 0,5\mathrm{m}$, environ 2 millions.

Chute avec traînée : la vitesse limite

Prenons le sens vers le bas comme positif. Un corps qui tombe subit son poids $mg$ vers le bas et la traînée vers le haut ; la deuxième loi de Newton s'écrit donc
$ma=mg-F_d$
Au départ, $v=0$, il n'y a pas de traînée et $a=g$. À mesure que le corps accélère, la traînée croît et l'accélération diminue, jusqu'à ce que la traînée égale le poids. À partir de là, $a=0$ et le corps tombe à vitesse constante : c'est la vitesse limite. En écrivant $\frac{1}{2}\rho C_{x}A{v}_{\lim }^2=mg$, on obtient
$v_{\lim }=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{x}A}}$

Pour une petite sphère en régime de Stokes, le poids diminué de la poussée d'Archimède (voir Poussée d'Archimède) est équilibré par $6\pi \eta rv$, ce qui donne
$v_{\lim }=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }\text{(spheˋre de Stokes)}$
où ${\rho }_s$ et ${\rho }_f$ sont les masses volumiques de la sphère et du fluide. Dans l'air, la poussée d'Archimède ne représente qu'environ 0,1 % du poids d'un parachutiste, et on la néglige. Un corps de même forme et de même matière, mais deux fois plus grand, tombe $\sqrt{2}\approx 1,41$ fois plus vite avec une traînée quadratique ($m\propto r^3$, $A\propto r^2$), ce qui aide les petits animaux à survivre aux chutes, mais quatre fois plus vite en régime de Stokes ($v_{\lim }\propto r^2$).

Exemple résolu : le parachutiste de l'animation

Le sauteur a une masse $m=80\mathrm{kg}$ et, à plat ventre, $C_{x}A=0,43{\mathrm{m}}^2$, dans un air de masse volumique $\rho =1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. Son poids vaut $mg=80\cdot 9,81=785\mathrm{N}$, la ligne verte parmi les affichages, et la vitesse limite est
$v_{\lim }=\sqrt{\frac{2\cdot 785}{1,2\cdot 0,43}}\approx \sqrt{3040}\approx 55,2m/s$
soit environ 199 km/h.

Comme $mg=\frac{1}{2}\rho C_{x}A{v}_{\lim }^2$, la traînée à une vitesse quelconque vaut $F_d=mg(v/v_{\lim }{)}^2$. Quand l'affichage de $v$ indique 30 m/s, vers $t\approx 3,4\mathrm{s}$, on a $F_d=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,43\cdot 30^2\approx 232\mathrm{N}$ et $a=(785-232)/80\approx 6,9m/{\mathrm{s}}^2$. L'approche est lente : à 13 s, quand la voile s'ouvre, les affichages montrent $v\approx 54,1m/s$, $F_d\approx 755\mathrm{N}$ et $a\approx 0,4m/{\mathrm{s}}^2$. L'affichage de $t$ compte des secondes réelles ; l'animation est jouée en accéléré ×2.

La voile a $C_{x}A=52,5{\mathrm{m}}^2$, soit 122 fois plus, donc $v_{\lim }$ est divisée par $\sqrt{122}\approx 11$ et tombe à $55,2/11,05\approx 5,0m/s$ (18 km/h), comme l'indique la ligne Parachute sous les formules. Pendant le gonflement de la voile, la traînée culmine près de 3340 N, soit 4,3 fois le poids, vers $t\approx 14\mathrm{s}$, et l'affichage de $a$ plonge à environ $-32m/{\mathrm{s}}^2$, une décélération de 3,3 g. Vers 19 s, les affichages se stabilisent à $v=5,0m/s$, $F_d=785\mathrm{N}$ et $a=0$.

Exemple résolu : gouttes de brouillard et de pluie

Pourquoi les nuages flottent-ils alors que la pluie tombe ? Une gouttelette de brouillard de rayon $r=10\mu \mathrm{m}$ tombe dans l'air ($\eta =1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$), avec ${\rho }_s=1000kg/{\mathrm{m}}^3$ et ${\rho }_f=1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. La formule de Stokes donne
$v_{\lim }=\frac{2\cdot (10^{-5}{)}^2\cdot 998,8\cdot 9,81}{9\cdot 1,8\times 10^{-5}}\approx 0,012m/s$
à peine 1,2 cm/s. Vérifions le régime : $\mathrm{Re}=1,2\cdot 0,012\cdot 2\times 10^{-5}/(1,8\times 10^{-5})\approx 0,016$, bien en dessous de 1, donc la loi de Stokes était le bon choix. Un courant d'air ascendant de quelques centimètres par seconde suffit à maintenir de telles gouttelettes en l'air.

Une goutte de pluie de 1 mm de rayon est 100 fois plus grande. La loi de Stokes donnerait $10^4$ fois plus, soit 121 m/s, à un nombre de Reynolds d'environ 16 000, bien en dehors de son domaine. Avec la loi quadratique, $C_x\approx 0,5$, $m={\rho }_s\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4,19\times 10^{-6}\mathrm{kg}$ et $A=\pi r^2=3,14\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ :
$v_{\lim }=\sqrt{\frac{2\cdot 4,19\times 10^{-6}\cdot 9,81}{1,2\cdot 0,5\cdot 3,14\times 10^{-6}}}\approx 6,6m/s$
valeur proche des 6,5 m/s mesurés pour des gouttes de 2 mm de diamètre, à $\mathrm{Re}\approx 900$. Cherchez d'abord le régime, puis choisissez la loi.

Lire les flèches de force

Les deux flèches suivent la même échelle, en pixels par newton. La flèche verte $mg$ ne change jamais ; la flèche rouge $F_d$ raconte l'histoire en quatre phases.

• Accélération : rouge plus courte que verte, donc la force résultante est dirigée vers le bas et $a$ diminue de $g$ vers zéro.
• Vitesse limite : les deux flèches ont la même longueur, la force résultante est nulle, la vitesse reste constante, près de 55 m/s.
• Ouverture : rouge environ 4,3 fois plus longue que verte, donc la force résultante est dirigée vers le haut et $a$ devient négative alors que le sauteur tombe encore.
• Équilibre retrouvé : rouge de nouveau aussi longue que verte, à 5,0 m/s, les traits gris de l'air défilant à peine.

Erreurs fréquentes

• Forces compensées ne veut pas dire repos : à la vitesse limite, la force résultante est nulle, et pourtant le sauteur tombe toujours à 55 m/s.
• Un parachute qui s'ouvre ne tire pas le sauteur vers le haut, quoi que laissent croire les vidéos tournées par un cameraman parachutiste encore en chute : la vitesse reste dirigée vers le bas, en passant de 54 à 5 m/s, tandis que l'accélération est dirigée vers le haut, environ $-32m/{\mathrm{s}}^2$ à son maximum.
• La traînée courante n'est pas proportionnelle à la vitesse : à la moitié de la vitesse limite, 27,6 m/s, la traînée sur le sauteur vaut le quart du poids, 196 N, et non la moitié.
• Les corps plus lourds tombent bel et bien plus vite dans l'air, mais seulement comme $\sqrt{m}$ : 40 kg d'équipement en plus, avec le même $C_{x}A$, multiplient $v_{\lim }$ par $\sqrt{1,5}\approx 1,22$ et la portent à 67,5 m/s.
• La viscosité n'est pas la masse volumique : l'huile d'olive flotte sur l'eau, et pourtant elle est environ 80 fois plus visqueuse.

Où on la rencontre

La traînée fixe la facture énergétique de tout véhicule. Avancer à vitesse constante dans l'air immobile demande la puissance
$P=F_{d}v=\frac{1}{2}\rho C_{x}A{v}^3$
Pour une voiture avec $C_{x}A=0,66{\mathrm{m}}^2$ à 90 km/h (25 m/s), cela fait $\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,66\cdot 25^3\approx 6,2\mathrm{kW}$ ; à 130 km/h, 18,6 kW, trois fois plus, et chaque kilomètre coûte environ deux fois plus d'énergie.

Les cyclistes se plient en deux pour réduire $C_{x}A$, les alvéoles d'une balle de golf diminuent la traînée et les parachutes l'exploitent, tandis que les centrifugeuses accélèrent la lente sédimentation de Stokes des globules sanguins. La leçon Théorème de Bernoulli explique la pression $\frac{1}{2}\rho v^2$ qui se cache derrière la loi de traînée, la leçon Amortissement et résonance traite la traînée qui freine une oscillation, et la leçon Travail, énergie et puissance suit le chemin de l'énergie.

Avancé

Viscosité : flux de quantité de mouvement entre couches

La viscosité est la résistance d'un fluide au glissement de ses couches les unes sur les autres. Toutes les forces de traînée de cette leçon en découlent, directement ou non ; commençons donc par l'écoulement le plus simple qui permet de la mesurer.

Légende

$d$	Largeur de l'intervalle entre les deux plaques.	$\mathrm{m}$
$A$	Aire de la plaque du haut.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Force qui tire la plaque du haut à vitesse constante.	$\mathrm{N}$
$v_0$	Vitesse de la plaque du haut ; celle du bas est au repos.	$m/s$
$v(y)$	Vitesse du fluide à la hauteur $y$ au-dessus de la plaque du bas : nulle en bas, $v_0$ en haut.	$m/s$
$\eta$	Viscosité du fluide : la contrainte nécessaire par unité de gradient de vitesse.	$\mathrm{Pa}\mathrm{s}$

La figure 1 montre cet écoulement. Un fluide remplit l'intervalle de largeur $d$ entre deux grandes plaques parallèles. La plaque du bas est maintenue immobile. Celle du haut, d'aire $A$, est tirée par une force $F$ et glisse à la vitesse constante $v_0$. Chaque flèche bleue donne la vitesse $v(y)$ du fluide à la hauteur $y$ au-dessus de la plaque du bas.

Deux faits fixent la longueur des flèches. D'abord, le fluide au contact d'une surface solide se déplace avec elle. C'est la condition de non-glissement, valable pour tous les fluides ordinaires. La flèche du bas a donc une longueur nulle, et celle du haut la longueur $v_0$. Ensuite, deux couches voisines se tirent l'une l'autre avec une force par unité de surface proportionnelle à la rapidité avec laquelle la vitesse varie avec la hauteur, $\eta dv/dy$. C'est ce qui définit la viscosité $\eta$. En écoulement permanent, aucune couche n'accélère : l'entraînement par la couche plus rapide située au-dessus doit compenser le freinage par la couche plus lente située au-dessous. La contrainte, et avec elle $dv/dy$, est donc la même à toutes les hauteurs.

Voilà pourquoi les flèches croissent par pas égaux et pourquoi la ligne en pointillés qui passe par leurs pointes est droite. La vitesse augmente de $v_0$ sur l'intervalle $d$, donc $dv/dy=v_0/d$ partout, et la force nécessaire par unité de surface de la plaque vaut
$\frac{F}{A}=\eta \frac{v_0}{d}$
Doubler la vitesse de la plaque, ou diviser l'intervalle par deux, double la force. Comme $F/A$ est une contrainte, $\eta$ se mesure en Pa·s.

La même loi prend un sens plus profond si on la lit comme un flux de quantité de mouvement. Chaque couche entraîne vers l'avant la couche plus lente située au-dessous d'elle, et celle-ci la retient en retour. La quantité de mouvement dirigée le long de l'écoulement passe donc du fluide rapide au fluide lent, à un taux fixé par $\eta$. Sur la figure 1, elle entre par la plaque mobile, traverse toutes les couches vers le bas et sort par la plaque immobile ; $F$ est le taux, en quantité de mouvement par seconde, auquel la plaque du haut l'injecte.

Cette image explique comment la viscosité dépend de l'état du fluide. Dans un gaz, la quantité de mouvement est transportée par des molécules qui sautent d'une couche à l'autre : une molécule venue d'une couche plus rapide apporte un surplus de quantité de mouvement vers l'avant dans une couche plus lente. La théorie cinétique donne $\eta \approx \frac{1}{3}\rho \bar{v}\lambda$. Ici $\rho$ est la masse volumique du gaz, $\bar{v}$ la vitesse moléculaire moyenne et $\lambda$ le libre parcours moyen, la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions. Comme $\lambda \propto 1/\rho$, le produit $\rho \lambda$ ne change pas quand on comprime le gaz : la viscosité d'un gaz est indépendante de la pression. Elle augmente avec la température, parce que $\bar{v}$ augmente. Les liquides se comportent à l'inverse : leurs molécules sont retenues par leurs voisines, la chaleur les aide à se libérer, et la viscosité chute fortement quand on chauffe. L'eau a 1,79 mPa·s à 0 °C, mais seulement 0,28 mPa·s à 100 °C.

La force visqueuse complète aussi l'équation du mouvement d'un fluide. Pour un fluide parfait, la deuxième loi de Newton par unité de volume est l'équation d'Euler : la masse volumique multipliée par l'accélération égale la force de pression $-\nabla p$ plus le poids $\rho \vec{g}$, où $p$ est la pression. Dans un fluide incompressible, la force visqueuse résultante par unité de volume vaut $\eta {\nabla }^2\vec{v}$. Le laplacien ${\nabla }^2$ mesure de combien la vitesse en un point s'écarte de la moyenne de ses alentours : cette force rapproche donc chaque particule de fluide du mouvement de ses voisines. En l'ajoutant, on obtient l'équation de Navier–Stokes :
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}+\eta {\nabla }^2\vec{v}$
La parenthèse est l'accélération d'une particule de fluide : la variation de la vitesse en un point fixe, plus la variation due au déplacement vers un endroit où l'écoulement est différent. On résout l'équation avec la condition de non-glissement de la figure 1 : sur toute surface solide, le fluide se déplace avec la surface, donc $\vec{v}=0$ sur un corps au repos.

Analyse dimensionnelle et nombre de Reynolds

L'écoulement autour d'un corps réel est bien trop compliqué pour être calculé à partir de l'équation de Navier–Stokes. L'analyse dimensionnelle montre ce que l'on peut dire sans la résoudre, et elle fournit le seul nombre qui permet de classer tous les écoulements.

Pour un corps de forme donnée, la traînée $F$ ne peut dépendre que de la taille $L$ du corps, de sa vitesse $v$ dans le fluide, ainsi que de la masse volumique $\rho$ et de la viscosité $\eta$ du fluide. Ces cinq grandeurs s'expriment avec trois unités, le kilogramme, le mètre et la seconde ; on ne peut donc en former que $5-3=2$ nombres sans dimension indépendants. Un choix commode est $F/(\rho v^2{L}^2)$ et le nombre de Reynolds
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Une loi physique ne peut pas dépendre du choix des unités ; elle doit donc être une relation entre ces deux nombres : le premier est une fonction du second. En remplaçant $L^2$ par l'aire frontale $A$ du corps et en ajoutant le facteur conventionnel $\frac{1}{2}$, on obtient la loi de traînée
$F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d(\mathrm{Re})$
Le coefficient de traînée $C_d$, noté $C_x$ dans les autres parties de la leçon, est un nombre pur. Toute la physique difficile se cache désormais dans une seule fonction d'une seule variable, qu'il suffit de mesurer une fois pour chaque forme.

Physiquement, $\mathrm{Re}$ compare l'inertie à la viscosité. La vitesse varie d'environ $v$ sur des distances d'environ $L$ ; le terme d'inertie $\rho (\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$ est donc de l'ordre de $\rho v^2/L$, et le terme visqueux $\eta {\nabla }^2\vec{v}$ de l'ordre de $\eta v/L^2$. Leur rapport est $\mathrm{Re}$. À grand $\mathrm{Re}$, l'inertie domine ; à petit $\mathrm{Re}$, c'est la viscosité.

Il s'ensuit que les écoulements autour de corps géométriquement semblables, à même $\mathrm{Re}$, sont des copies à l'échelle les uns des autres : c'est ce qui fait marcher les essais sur maquette. Avec la viscosité cinématique $\nu =\eta /\rho$, le nombre de Reynolds s'écrit $\mathrm{Re}=vL/\nu$ ; $\nu$ vaut $1,0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ pour l'eau et $1,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ pour l'air. Une maquette de voiture au 1/10 est dix fois plus courte ; dans l'eau, elle reproduit la voiture réelle dans l'air quand sa vitesse vaut $10{\nu }_{\mathrm{eau}}/{\nu }_{\mathrm{air}}\approx 0,67$ fois celle de la voiture. L'étendue des valeurs de $\mathrm{Re}$ dans la nature est énorme : environ $10^{-4}$ pour une bactérie qui nage, 0,016 pour une gouttelette de brouillard, 900 pour une goutte de pluie et $2\times 10^6$ pour le parachutiste.

L'écoulement de Stokes et la courbe de traînée

La fonction $C_d(\mathrm{Re})$ a été mesurée pour de nombreuses formes. La sphère est l'exemple de référence, et sa courbe montre les deux régimes très différents de la traînée.

Légende

$C_d$	Coefficient de traînée (noté $C_x$ ailleurs dans la leçon), défini par $F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d$.
$Re$	Nombre de Reynolds de l'écoulement, $\rho vL/\eta$, où $L$ est le diamètre de la sphère.
$R{e}_c$	Nombre de Reynolds de la crise de traînée, environ $3\times 10^5$.

La figure 2 représente le coefficient de traînée $C_d$ d'une sphère lisse en fonction du nombre de Reynolds $\mathrm{Re}$, calculé sur le diamètre de la sphère. Les deux axes sont logarithmiques : chaque facteur 10 occupe la même longueur, si bien qu'une loi de puissance $C_d\propto {\mathrm{Re}}^n$ apparaît comme une droite de pente $n$. La droite en pointillés est $C_d=24/\mathrm{Re}$, de pente $-1$.

Suivez la courbe mesurée de gauche à droite. Pour $\mathrm{Re}\ll 1$, elle longe la droite en pointillés. Vers $\mathrm{Re}\approx 1$, elle s'incurve au-dessus, puis, entre $\mathrm{Re}\approx 10^3$ et $2\times 10^5$, elle s'aplatit en un palier entre 0,4 et 0,5. À ${\mathrm{Re}}_c\approx 3\times 10^5$, elle plonge jusqu'à environ 0,1 : c'est la crise de traînée. Au-delà, la courbe remonte en partie, jusque vers 0,2 à $\mathrm{Re}\approx 10^7$. Le palier et la chute viennent de la forme du sillage, l'objet de la partie suivante.

La partie droite correspond à l'écoulement de Stokes. À $\mathrm{Re}\ll 1$, le terme d'inertie est négligeable, si bien que la masse volumique $\rho$ disparaît du problème. La traînée sur une sphère de rayon $r$ ne peut alors dépendre que de $\eta$, $v$ et $r$, et le seul produit de ces grandeurs qui ait l'unité d'une force est $\eta rv$. La résolution des équations de l'écoulement lent fixe le facteur numérique :
$F_d=6\pi \eta rv$
En divisant par $\frac{1}{2}\rho v^2\pi r^2$, on obtient $C_d=12\eta /(\rho vr)=24\eta /(\rho v\cdot 2r)=24/\mathrm{Re}$ : c'est la droite en pointillés.

Une petite sphère qui coule dans un liquide atteint sa vitesse limite, notée ici $v_t$ comme sur la figure 4 (et $v_{\lim }$ dans les autres parties de la leçon), quand cette traînée équilibre son poids diminué de la poussée d'Archimède, $\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_s-{\rho }_f)g$, où ${\rho }_s$ est la masse volumique de la sphère et ${\rho }_f$ celle du fluide. En égalant les deux, on obtient
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }$
proportionnelle à $r^2$ : une sphère deux fois plus large coule quatre fois plus vite. Chronométrer la chute d'une bille puis en tirer $\eta$ est une méthode classique pour mesurer la viscosité des huiles.

Décollement, sillage et crise de traînée

Pourquoi $C_d$ cesse-t-il de diminuer pour se stabiliser, et pourquoi chute-t-il brusquement vers ${\mathrm{Re}}_c$ ? La réponse se trouve dans une mince couche de fluide contre la surface du corps.

Légende

$v$	Vitesse du courant loin en amont.	$m/s$
$r$	Rayon de la sphère.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Épaisseur de la couche limite, à travers laquelle la vitesse passe de zéro à la surface à celle du courant. Dessinée bien trop épaisse.	$\mathrm{m}$
$S_1$	Point où la couche limite laminaire se décolle, à environ 80° de l'avant.
$S_2$	Point où la couche limite turbulente se décolle, plus en arrière, à environ 120° de l'avant.
$w_1$	Largeur du sillage derrière la sphère quand la couche limite est laminaire.	$\mathrm{m}$
$w_2$	Largeur du sillage quand la couche limite est turbulente.	$\mathrm{m}$

La figure 3 montre l'écoulement autour d'une sphère de rayon $r$ placée dans un courant de vitesse $v$. À la surface, le fluide est au repos (non-glissement). La mince couche dans laquelle sa vitesse remonte jusqu'à celle du courant est la couche limite, d'épaisseur $\delta$ ; elle est dessinée bien plus épaisse qu'elle ne l'est réellement. Sur la moitié avant de la sphère, la pression diminue, ce qui pousse la couche dans le sens de l'écoulement. Après le point le plus large, la pression remonte, et le fluide lent proche de la paroi n'a pas assez de quantité de mouvement pour avancer contre elle.

Sur le schéma du haut, la couche limite est laminaire, c'est-à-dire régulière et ordonnée. Elle épuise vite sa quantité de mouvement et se décolle en $S_1$, à environ 80° de l'avant : elle quitte la surface selon la tangente, sous forme de couche de cisaillement libre. Derrière s'étend un large sillage de fluide lent, tourbillonnant et à basse pression, de largeur $w_1$. Sur le schéma du bas, la couche limite est turbulente. Ses tourbillons ramènent sans cesse du fluide rapide de l'extérieur vers la paroi : elle reste collée plus longtemps et se décolle plus en arrière, en $S_2$, à environ 120° de l'avant. Le sillage, de largeur $w_2$, est beaucoup plus étroit.

Reliez maintenant cela à la figure 2. Au-dessus de $\mathrm{Re}\approx 10^3$, l'écoulement est du type du haut : il ne peut pas suivre l'arrière du corps. L'avant subit presque toute la pression d'arrêt $\frac{1}{2}\rho v^2$, tandis que le large sillage, derrière, reste à basse pression. Cette différence, la traînée de pression, ne dépend pas de $\eta$, si bien que $C_d$ se stabilise : c'est le palier. Vers ${\mathrm{Re}}_c$, la couche limite devient turbulente avant d'avoir pu se décoller. L'écoulement passe au type du bas, le sillage se rétrécit, la pression à l'arrière remonte en partie, et $C_d$ chute à environ 0,1 : c'est la crise de traînée.

Les alvéoles d'une balle de golf rendent la couche limite turbulente bien plus tôt et déclenchent la crise vers $\mathrm{Re}\approx 5\times 10^4$. Un drive couvre $\mathrm{Re}\approx 10^5$ à $2\times 10^5$ : sur tout le vol, les alvéoles divisent donc la traînée à peu près par deux. Les corps à arêtes vives, comme une plaque plane, un sauteur bras et jambes écartés ou une voile de parachute, se comportent autrement : l'écoulement se décolle à leurs arêtes dès que $\mathrm{Re}$ est élevé, quelle que soit sa valeur, si bien que leur $C_d$ reste presque constant. C'est pourquoi l'animation peut utiliser une seule valeur de $C_{d}A$ pour chaque phase du saut. La loi en $v^2$ résume un écoulement compliqué sur un domaine limité de $\mathrm{Re}$ ; ce n'est pas une loi de la nature comme $F=ma$.

La couche limite résout aussi une vieille énigme. Un fluide parfait, avec $\eta =0$, qui s'écoule de façon permanente autour d'un corps se referme parfaitement derrière lui et n'exerce aucune traînée : c'est le paradoxe de d'Alembert, de 1752. On pourrait s'attendre à ce que les écoulements réels s'en approchent quand $\eta \to 0$, mais il n'en est rien. Dans l'équation de Navier–Stokes, $\eta$ multiplie le terme qui contient les dérivées d'ordre le plus élevé. Supprimer ce terme abaisse l'ordre de l'équation, et l'équation restante ne peut plus satisfaire la condition de non-glissement. Aussi petit que soit $\eta$, la variation de vitesse se concentre donc dans une couche limite, le $\delta$ de la figure 3, où les gradients sont assez forts pour que la viscosité compte. Son épaisseur ne diminue que comme $L/\sqrt{\mathrm{Re}}$ ; pour le parachutiste, c'est une fraction de millimètre. La couche se décolle quand même, le sillage subsiste et la traînée reste finie. La viscosité nulle est une limite singulière, comme l'a montré en 1904 la théorie de la couche limite de Prandtl.

Intégrer la chute : la tangente hyperbolique

Le parachutiste de l'animation (80 kg, à plat ventre) tombe à des nombres de Reynolds proches de $2\times 10^6$, où $C_d$ est constant et la traînée croît comme $v^2$. Cette partie résout le mouvement exactement.

Posez $k=\frac{1}{2}\rho C_{d}A$, de sorte que la traînée vaut $k{v}^2$, et orientez l'axe vers le bas. Le poids $mg$ est dirigé vers le bas et la traînée vers le haut ; la deuxième loi de Newton s'écrit donc $mdv/dt=mg-k{v}^2$. Le sauteur cesse d'accélérer quand les deux forces s'équilibrent, à la vitesse limite $v_t$ telle que $v_t^2=mg/k$. En divisant par $m$ et en utilisant cette définition, on obtient $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$. On peut alors séparer la vitesse et le temps de part et d'autre de l'égalité, puis intégrer depuis le saut, quand $t=0$ et $v=0$ :
${\int }_0^v\frac{du}{1-u^2/v_t^2}=v_t\mathrm{artanh}(v/v_t)=gt$
En résolvant pour $v$, on obtient
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
Comme une primitive de $\tanh$ est $\ln \cosh$, une intégration de plus donne la distance de chute, $x(t)=(v_t^2/g)\ln \cosh (gt/v_t)$.

L'échelle de temps naturelle est $\tau =v_t/g$, la durée que mettrait une chute libre pour atteindre $v_t$. Pour le sauteur de l'animation, avec $v_t=55,2m/s$, elle vaut $\tau =5,6\mathrm{s}$. Pour $t\ll \tau$, $\tanh s\approx s$, donc $v\approx gt$ : les premières secondes sont presque une chute libre. Pour $t\gg \tau$, $\tanh s\approx 1-2e^{-2s}$ et $\ln \cosh s\approx s-\ln 2$, donc
$v\approx v_t(1-2e^{-2t/\tau }),x\approx v_{t}t-(v_t^2/g)\ln 2$
Le sauteur finit à une distance fixe de 215 m derrière un compagnon imaginaire qui serait tombé à $v_t$ dès le départ.

Comparez avec une traînée linéaire, $mdv/dt=mg-bv$, qui donne $v=v_t(1-e^{-t/\tau })$, avec encore $\tau =v_t/g$, égal ici à $m/b$. Le départ est le même, de pente $g$, mais l'approche finale est plus lente : l'écart à $v_t$ diminue au taux $1/\tau$ au lieu de $2/\tau$. À la vitesse limite, plus rien n'accélère, et pourtant la pesanteur travaille toujours, avec une puissance $mg{v}_t=785\cdot 55,2\approx 43\mathrm{kW}$. Toute cette énergie sert à brasser l'air, dont les tourbillons finissent par la transformer en chaleur.

Lire les graphes : approche et choc d'ouverture

Les formules prennent corps sur les graphes de l'animation. Les pentes et les aires y montrent à quel rythme le sauteur accélère puis ralentit, de quelle hauteur il tombe et avec quelle force la voile tire.

Légende

$v$	Vitesse du sauteur.	$m/s$
$t$	Temps écoulé depuis le saut.	$\mathrm{s}$
$v_t$	Vitesse limite du sauteur à plat ventre, 55,2 m/s (notée $v_{\lim }$ ailleurs dans la leçon).	$m/s$
$v_t^{\prime }$	Vitesse limite sous la voile ouverte, 5,0 m/s.	$m/s$
$gt$	Vitesse qu'atteindrait une chute libre : la tangente à $v(t)$ en $t=0$, de pente $g$.	$m/s$
$\tau$	Échelle de temps $v_t/g=5,6\mathrm{s}$ : la tangente $gt$ rencontre la droite $v_t$ en $t=\tau$.	$\mathrm{s}$
$t_1$	Instant où la voile commence à s'ouvrir, 13 s après le saut.	$\mathrm{s}$
$x$	Distance parcourue avant $t_1$ : l'aire ombrée sous $v(t)$.	$\mathrm{m}$

La figure 4 est le graphe de vitesse de la vue experte de l'animation, tracé à partir du même modèle. La courbe bleue est la vitesse $v(t)$ du sauteur. Elle quitte l'origine le long de la tangente verte $gt$, de pente $g$, qui rencontre la droite en pointillés supérieure $v_t$ en $t=\tau =5,6\mathrm{s}$, la première verticale en pointillés. Regardez le point inférieur à cet instant : la courbe n'a atteint que $\tanh 1\approx 0,76$ de $v_t$, soit 42 m/s, car la traînée n'a cessé de croître. Elle atteint 96 % de $v_t$ après $2\tau$, et 54,1 m/s à $t_1=13\mathrm{s}$, la seconde verticale en pointillés, quand la voile commence à s'ouvrir. L'animation trace aussi un second graphe, qui ne figure pas ici : la traînée $F_d(t)=mg{\tanh }^2(gt/v_t)$, en rouge. Il démarre à plat, car la traînée croît comme $v^2$, puis se rapproche lentement de la droite en pointillés $mg$.

À $t_1$, le diamètre de la voile se met à croître régulièrement, pendant 4 s. Son aire croît comme le carré du diamètre ; le $C_{d}A$ supplémentaire croît donc comme le carré du temps écoulé depuis l'ouverture. Au début, $C_{d}A$ augmente plus vite que $v^2$ ne diminue, et la traînée s'envole jusqu'à un pic d'environ 3340 N, soit $4,3mg$, à $t\approx 14,0\mathrm{s}$ et $v\approx 37m/s$. C'est le choc d'ouverture. Sur la figure 4, après $t_1$, la courbe bleue plonge vers la droite en pointillés inférieure, $v_t^{\prime }=5,0m/s$, et l'atteint vers 18 s. L'approche est rapide, car la nouvelle échelle de temps n'est que de $v_t^{\prime }/g=0,51\mathrm{s}$.

Les aires ont aussi un sens. L'aire sous $v(t)$ est la hauteur perdue : 505 m avant l'ouverture (l'aire ombrée $x$ de la figure 4), 92 m pendant le gonflement et 25 m de plus à la vitesse finale jusqu'à 22 s, soit 622 m en tout. Sur le graphe de la traînée, la deuxième loi de Newton $mdv/dt=mg-F_d$ montre que l'aire nette entre $F_d(t)$ et la droite $mg$ après l'ouverture est la quantité de mouvement retirée : $m\Delta v=80\cdot (54,1-5,0)\approx 3930\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$.

Problème résolu : une voile qui s'ouvre d'un coup

Pourquoi une voile doit-elle s'ouvrir progressivement ? Supposez que la voile complète, avec $C_{d}A=52,5{\mathrm{m}}^2$, apparaisse instantanément à 13 s, quand la vitesse vaut $v_0=54,1m/s$. Avec ce $C_{d}A$, la vitesse limite est $v_t^{\prime }=4,99m/s$, ce qui signifie que la traînée égale $mg$ à la vitesse $v_t^{\prime }$. Comme la traînée croît comme $v^2$, elle sauterait, à $v_0$, à
$F_d=mg{\left(\frac{v_0}{v_t^{\prime }}\right)}^2=785\cdot {\left(\frac{54,1}{4,99}\right)}^2\approx 9,2\times 10^4\mathrm{N}$
C'est 117 fois le poids. Une fois le poids retranché, il reste une force résultante de 116 fois le poids, soit une décélération d'environ 116 g.

En combien de temps le sauteur ralentirait-il ? Maintenant $v>v_t^{\prime }$ : la traînée dépasse le poids, et la même équation qu'auparavant, $dv/dt=-g\left(v^2/(v_t^{\prime }{)}^2-1\right)$, fait diminuer la vitesse. Au-dessus de la vitesse limite, sa solution fait intervenir $\coth$ au lieu de $\tanh$. En comptant $t$ à partir de l'ouverture,
$v(t)=v_t^{\prime }\coth \left(\frac{gt}{v_t^{\prime }}+u_0\right),\coth u_0=\frac{v_0}{v_t^{\prime }}$
Ici $\coth u_0=10,8$, donc $u_0=0,093$. La vitesse est ramenée à $2v_t^{\prime }\approx 10m/s$ quand la parenthèse atteint $\mathrm{arcoth}2=0,549$. Avec $v_t^{\prime }/g=0,509\mathrm{s}$, cela prend $(0,549-0,093)\cdot 0,509\approx 0,23\mathrm{s}$. Une primitive de $\coth$ est $\ln \sinh$ ; la distance parcourue vaut donc $((v_t^{\prime }{)}^2/g)\ln (\sinh 0,549/\sinh 0,093)\approx 2,54\cdot 1,83\approx 4,6\mathrm{m}$.

Un bilan d'énergie donne la force moyenne. Entre 54,1 et 10 m/s, le sauteur perd $\frac{1}{2}\cdot 80\cdot (54,1^2-10^2)\approx 113\mathrm{kJ}$ d'énergie cinétique. La traînée doit absorber cette énergie, plus les 3,6 kJ d'énergie potentielle libérés en chemin, sur 4,6 m : une force moyenne de 32 fois le poids. La voile de l'animation étale l'ouverture sur 4 s et 92 m. La traînée y absorbe les 116 kJ d'énergie cinétique perdus plus 72 kJ d'énergie potentielle, soit en moyenne $2,6mg$, avec un pic de $4,3mg$. C'est précisément pour cette raison que les vrais parachutes utilisent un slider ou des systèmes de ris qui ralentissent l'ouverture.

Limites de validité

Le modèle garde $C_{d}A$ fixe dans chaque phase et la masse volumique de l'air $\rho$ fixe tout au long de la chute. Ce sont deux approximations. Tête en bas, un sauteur divise à peu près son $C_{d}A$ par deux ; comme $v_t\propto 1/\sqrt{C_{d}A}$, la vitesse limite est multipliée par $\sqrt{2}$, ce qui donne environ 78 m/s. Comme on a aussi $v_t\propto 1/\sqrt{\rho }$, elle change également avec l'altitude : à 4000 m, où la masse volumique de l'air est d'environ 0,82 kg/m³ au lieu de 1,2 kg/m³, le sauteur à plat ventre tombe à $55,2\cdot \sqrt{1,2/0,82}\approx 67m/s$. La vitesse limite est une cible mouvante.

L'air ne se comporte comme un fluide incompressible que tant que le nombre de Mach, rapport de $v$ à la vitesse du son, reste inférieur à 0,3 environ ; le parachutiste est à 0,16. À 39 km, l'air est quelque 250 fois plus ténu, si bien que $v_t$ est environ 16 fois plus élevée sur le papier. Des sauts records effectués de cette altitude ont dépassé la vitesse du son, où les ondes de choc augmentent $C_d$.

La loi de Stokes exige un $\mathrm{Re}$ bien inférieur à 1 : sa première correction, un facteur $1+3\mathrm{Re}/16$, ajoute déjà environ 10 % à $\mathrm{Re}=0,5$. À l'autre bout de l'échelle des tailles, les particules de moins de 0,1 μm environ sont comparables au libre parcours moyen des molécules d'air, 68 nm. L'air ne se comporte alors plus comme un fluide continu : il glisse à leur surface, et l'agitation brownienne les déplace davantage que la sédimentation. Enfin, le modèle ignore le caractère instationnaire de l'écoulement ; la croissance régulière de $C_{d}A$ dans l'animation n'est donc qu'une approximation du violent choc d'ouverture réel.

Ce qui vient ensuite

La leçon Théorème de Bernoulli décrit l'écoulement parfait à l'extérieur de la couche limite et explique pourquoi la traînée se mesure en unités de $\frac{1}{2}\rho v^2$. Dans la leçon Amortissement et résonance, une traînée linéaire $-bv$ devient le terme d'amortissement d'un oscillateur. La leçon Théorie cinétique des gaz déduit la viscosité d'un gaz des collisions entre molécules. La leçon Courant électrique et résistance a la même structure que la sédimentation de Stokes : les électrons dérivent à une vitesse limite pour laquelle les collisions équilibrent la force électrique, si bien que le courant est proportionnel au champ. La leçon Conduction, convection et rayonnement se sert des couches limites pour expliquer comment le vent emporte la chaleur, et les trajectoires de la leçon Mouvement d'un projectile deviennent plus courtes et dissymétriques dès qu'on ajoute la traînée.