बरनौली का सिद्धांत

बहते तरल की चाल जितनी बढ़ती है, उसका दाब उतना ही घटता है। वेंचुरी नली में यह सातत्य समीकरण $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ और बरनौली समीकरण $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ से समझाया जाता है।

पानी वेंचुरी नली से बहता है: सँकरे कंठ में उसकी चाल बढ़ जाती है, जहाँ पाइप के ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई सबसे कम होती है।

इस विषय से पहले: तरल दाब और पास्कल का नियम, कार्य, ऊर्जा और शक्ति

शुरुआती

मुख्य विचार

पाइप जहाँ सँकरा होता है, वहाँ पानी को तेज़ चलना पड़ता है: हर सेकंड हर बिंदु से उतना ही पानी गुज़रता है।
जहाँ पानी तेज़ चलता है, वहाँ उसका दाब कम होता है; जहाँ वह फिर धीमा होता है, वहाँ दाब बढ़ जाता है।
चाल बढ़ाने के लिए धक्का चाहिए: पीछे के अधिक दाब से पानी सँकरे हिस्से में धकेला जाता है।
पाइप पर लगी पतली नली में पानी की ऊँचाई उस जगह का दाब दिखाती है।

आइए बरनौली के विचार को एक-एक छोटे चरण में समझें।

चरण 1: जो अंदर आता है, वही बाहर जाना चाहिए। भरे हुए पाइप में पानी जमा नहीं हो सकता, इसलिए हर सेकंड हर बिंदु से उतना ही पानी गुज़रना चाहिए। जहाँ पाइप सँकरा होता है, वहाँ पानी को जल्दी चलना पड़ता है। इसीलिए बाग़ की नली का सिरा दबाने पर पानी तेज़ी से निकलता है।

चरण 2: दाब एक धक्का है। दाब बताता है कि पानी अपनी सतह के हर छोटे हिस्से पर कितनी ज़ोर से धक्का देता है। पाइप पर खड़ी पतली काँच की नली यह दिखाती है: धक्का जितना ज़्यादा, नली में पानी उतना ऊपर चढ़ता है।

चरण 3: तेज़ चलने के लिए पीछे से धक्का चाहिए। सँकरे हिस्से में घुसने वाला पानी का कण तेज़ होता है, इसलिए उसे आगे से धक्का चाहिए। यह धक्का उसके पीछे के पानी से आता है, इसलिए पीछे का दाब (चौड़े हिस्से में) आगे के दाब (सँकरे हिस्से में) से अधिक होना चाहिए। तेज़ पानी, कम दाब; धीमा पानी, अधिक दाब। इसे एक लेन-देन की तरह भी देख सकते हैं: पानी गति की ऊर्जा पाता है और उसकी कीमत दाब से चुकाता है।

एनिमेशन में सफ़ेद बिंदु पानी के छोटे कण हैं। लाल वाले को देखिए: वह अपने पड़ोसियों से दूर होता है, सँकरे कमर-भाग से तेज़ी से निकलता है, फिर दोबारा धीमा हो जाता है। कमर-भाग के ऊपर पानी का स्तंभ सबसे नीचा है।

स्वयं जाँचें: दो नावें पास-पास तेज़ी से चल रही हों, तो वे एक-दूसरे की ओर खिंचती हैं। क्यों? (उत्तर: उनके बीच दबा हुआ पानी बाहर के पानी से तेज़ बहता है, इसलिए उसका दाब कम होता है, और बाहरी ओर का अधिक दाब नावों को एक-दूसरे की ओर धकेलता है।)

मध्यम

मुख्य विचार

सातत्य: $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ ; गोल पाइप का व्यास आधा करने पर पानी चार गुना तेज़ हो जाता है।
क्षैतिज पाइप के लिए बरनौली: $p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$ , यानी दाब के बदले चाल मिलती है।
उदाहरण: 1.0 से 3.41 m/s तक चाल बढ़ने पर दाब 5.3 kPa घटता है, इसलिए कंठ का स्तंभ $Δ h \approx 0.54 m$ नीचा रहता है।
वेंचुरी मीटर $Δ h$ पढ़ता है और दोनों समीकरणों से चाल और प्रवाह दर निकालता है।

क्या बहता है, और हम क्या मापते हैं

यह पाठ किसी द्रव या गैस के स्थायी प्रवाह को देखता है: हर स्थिर बिंदु पर वेग कभी नहीं बदलता, हालाँकि तरल उसमें से लगातार बहता रहता है, और हर कण एक तय रेखा पर चलता है जिसे धारा-रेखा कहते हैं। पानी को आदर्श तरल माना जाता है: असम्पीड्य, स्थिर घनत्व $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ वाला, और घर्षण-रहित। छोटे, चिकने पाइप के लिए यह एक अच्छा मॉडल है।

पाइप के प्रवाह का वर्णन चार राशियों से होता है: प्रवाह की चाल $v$ (m/s), जो अनुप्रस्थ काट पर औसत होती है; अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ (m²), गोल पाइप के लिए $A = π d^{2} /4$ , जहाँ $d$ व्यास है; आयतन प्रवाह दर $Q$ (m³/s), यानी हर सेकंड किसी काट से गुज़रने वाला आयतन; और दाब $p$ , जो पाइप की दीवार के हर वर्ग मीटर पर पानी का धक्का है, पास्कल में ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ )।

पाइप पर खड़ी एक पतली ऊर्ध्वाधर नली, जिसे दाबमापी नली कहते हैं, दाब को ऊँचाई के रूप में दिखाती है: पानी तब तक चढ़ता है जब तक उसके स्तंभ का भार नीचे के दाब को संतुलित न कर दे, $p = ρ g h$ । यहाँ सभी दाब गेज दाब हैं, यानी 101 kPa वायुमंडलीय दाब से ऊपर मापे गए, जो हर अंतर में रद्द हो जाता है।

सातत्य: जो अंदर जाए, वही बाहर आए

$Δ t$ समय में किसी काट से गुज़रता पानी $v Δ t$ आगे बढ़ता है और $A v Δ t$ आयतन का बेलन भरता है। समय से भाग देने पर प्रवाह दर मिलती है:
$Q = A v$

भरे हुए पाइप में पानी न जमा हो सकता है, न गायब हो सकता है; इसलिए चौड़ा हो या सँकरा, हर काट से एक ही $Q$ गुज़रना चाहिए:
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$

अतः चाल क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती है। गोल पाइप का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए व्यास आधा करने पर क्षेत्रफल 4 गुना घट जाता है और पानी की चाल चार गुना हो जाती है, दोगुनी नहीं।

बरनौली समीकरण: दाब के बदले चाल

सँकरी होती धारा में प्रवेश करने वाला कण तेज़ होता है, इसलिए उसे आगे की ओर शुद्ध बल धकेलना चाहिए। क्षैतिज पाइप में यह बल केवल आसपास के तरल के दाब से आ सकता है, इसलिए कण के पीछे का दाब उसके आगे के दाब से अधिक होना चाहिए: तेज़ प्रवाह के साथ कम दाब जुड़ा होता है।

ऊर्जा इसे सटीक बनाती है: उच्च दाब से निम्न दाब की ओर जाते कण पर दाब-बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा बन जाता है, या कण ऊपर चढ़े तो स्थितिज ऊर्जा। प्रति इकाई आयतन ये ऊर्जाएँ $p$ , $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ और $ρ g h$ हैं, सभी पास्कल में ( $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ), और धारा-रेखा के अनुदिश उनका योग स्थिर रहता है:
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

क्षैतिज पाइप में ऊँचाई वाले पद रद्द हो जाते हैं, इसलिए दाब में गिरावट प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा की वृद्धि के बराबर होती है। दो दाबमापी नलियाँ इसे ऊँचाइयों के अंतर के रूप में दिखाती हैं:
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}$

ऊँचाई भी मायने रखती है। 10 m ऊपर चढ़ने वाले एकसमान पाइप में चाल नहीं बदल सकती, इसलिए दाब $ρ g h = 1000 \cdot 9.81 \cdot 10 \approx 98 kPa$ घटता है, लगभग एक वायुमंडल, और इसी कारण ऊँची इमारतों को पंपों की ज़रूरत होती है।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन की वेंचुरी नली

एनिमेशन के पैमाने पर, जो पाइप और स्तंभों के लिए एक ही है, पाइप की त्रिज्या प्रवेश पर 24 cm और कंठ में 13 cm है, और पानी $v_{1} = 1.0 m/s$ से 7.85 kPa गेज दाब के साथ प्रवेश करता है, जो पहले स्तंभ को अक्ष से 0.80 m ऊपर रखता है।

सातत्य, बरनौली समीकरण और दाबमापी नली के नियम से:
$v_{2} = v_{1} \frac{A _{1}}{A _{2}} = 1.0 \cdot (\frac{24}{13})^{2} \approx 3.41 m/s$
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3.4 1^{2} - 1. 0^{2}) \approx 5.31 kPa$
$Δ h = \frac{5310}{1000 \cdot 9.81} \approx 0.541 m$

कंठ का दाब $7.85 - 5.31 = 2.54 kPa$ है, इसलिए उसका स्तंभ अक्ष से केवल 0.26 m ऊपर है। ये एनिमेशन के अंक हैं: लेबल $v_{1} = 1.0 m/s$ और $v_{2} = 3.4 m/s$ , बिंदीदार प्रवेश-स्तर के नीचे बैंगनी $Δ h$ तीर, और पाठ्यांक, जहाँ लाल कण के कंठ में प्रवेश करने पर $v$ 1.00 से 3.41 m/s तक बढ़ता है जबकि $p$ 7.85 से 2.54 kPa तक घटता है, और उसका नीला वेग-तीर 3.41 गुना लंबा हो जाता है।

कंठ से निकलने के बाद सब कुछ उल्टे क्रम में होता है, और इस आदर्श तरल में अंतिम स्तंभ 0.80 m तक वापस चढ़ जाता है। प्रवाह दर $Q = π \cdot 0.2 4^{2} \cdot 1.0 \approx 0.181 m^{3} /s$ है, यानी हर सेकंड 181 लीटर, और कंठ में भी वही है: $π \cdot 0.1 3^{2} \cdot 3.41 \approx 0.181 m^{3} /s$ ।

हल किया गया उदाहरण: वेंचुरी मीटर पढ़ना

वेंचुरी मीटर ऐसी नली है जो पाइपलाइन का प्रवाह मापने के लिए उसमें लगाई जाती है। मान लीजिए 12 cm व्यास की जल की एक मुख्य पाइपलाइन 6 cm के कंठ में सँकरी होती है, और दोनों काटों के ऊपर के स्तंभों में 30 cm का अंतर है। पानी कितनी तेज़ बहता है, और हर सेकंड कितना गुज़रता है?

दाब में गिरावट $ρ g Δ h = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.30 \approx 2.94 kPa$ है। व्यास आधा करने से क्षेत्रफल चौथाई होता है, इसलिए $v_{2} = 4 v_{1}$ , और बरनौली समीकरण बन जाता है $ρ g Δ h = \frac{1}{2} ρ (16 - 1) v_{1}^{2}$ । घनत्व रद्द हो जाता है, और सामान्य रूप में
$v_{1} = \frac{2 g Δ h}{( A _{1} / A _{2} ) ^{2} - 1} = \frac{2 \cdot 9.81 \cdot 0.30}{15} \approx 0.63 m/s$

फिर $v_{2} = 4 \cdot 0.63 \approx 2.5 m/s$ और $Q = π \cdot 0.0 6^{2} \cdot 0.63 \approx 7.1 \times 1 0^{- 3} m^{3} /s$ , यानी लगभग 7 लीटर प्रति सेकंड। एनिमेशन के 0.541 m और क्षेत्रफल-अनुपात 3.41 डालने पर वही सूत्र उसका 1.0 m/s लौटा देता है। ध्यान दें कि $Δ h$ प्रवाह के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है: प्रवाह दोगुना हो तो 1.20 m होगा, इसलिए हर मीटर एक सीमित परास के लिए उपयुक्त है।

स्तंभ और बिंदु पढ़ना

हर स्तंभ का ऊपरी सिरा अक्ष से $p / (ρ g)$ ऊपर होता है, जिसे दाब-शीर्ष कहते हैं। इसमें वेग-शीर्ष $v^{2} / (2 g)$ जोड़ें, जो प्रवेश पर 0.05 m और कंठ में 0.59 m है, तो हर काट पर कुल शीर्ष 0.85 m मिलता है: यह बरनौली समीकरण को $ρ g$ से भाग देने का परिणाम है। वास्तविक पाइपलाइनों में घर्षण से यह स्तर नीचे की ओर ढलता है।

सफ़ेद बिंदु स्थिर दर से प्रवेश करते हैं, इसलिए एक पंक्ति में पड़ोसियों के बीच का अंतर चाल और एक निश्चित समय के गुणनफल के बराबर होता है: कंठ में अंतर 3.41 गुना खुल जाते हैं, और तीनों पंक्तियाँ सिमट जाती हैं, क्योंकि जहाँ प्रवाह तेज़ है वहाँ धारा-रेखाएँ सघन हो जाती हैं।

आम गलतियाँ

कंठ का निम्न दाब पानी को अंदर नहीं खींचता। पानी को पीछे से धकेला जाता है: प्रवेश पर 7.85 kPa, जबकि कंठ में 2.54 kPa।
घटाने से पहले चालों का वर्ग कीजिए: एनिमेशन के लिए $\frac{1}{2} ρ (v_{2} - v_{1})^{2}$ से 2.90 kPa आता है, जबकि सही मान 5.31 kPa है।
सँकरापन अपने भीतर दाब नहीं बढ़ाता। नली के सिरे पर अँगूठा प्रवाह रोककर अपने पीछे दाब बढ़ाता है, लेकिन क्षैतिज पाइप में किसी दिए गए प्रवाह के लिए सबसे सँकरी काट का दाब सबसे कम होता है।
दाब कंठ में ख़र्च नहीं होता। आदर्श तरल में वह पूरी तरह लौट आता है, इसलिए अंतिम स्तंभ 0.80 m पर वापस होता है; वास्तविक पाइप में घर्षण उसे कुछ सेंटीमीटर नीचे छोड़ देता है।

यह कहाँ दिखता है

वेंचुरी मीटर पानी, ईंधन और गैस के प्रवाह मापते हैं। कार्बोरेटर और इत्र के स्प्रे तेज़ हवा के निम्न दाब से तरल को नली में ऊपर खींचते हैं, और प्रयोगशाला का जल-जेट पंप भी इसी तरह फ़्लास्क से हवा निकालता है। विमान की पिटो नली रुकी हुई हवा के दाब की तुलना स्थैतिक दाब से करके वायुवेग निकालती है, और साथ-साथ चलने वाली दो नावें अपने बीच के तेज़ पानी से एक-दूसरे की ओर धकेली जाती हैं।

यह पाठ स्तंभों के लिए “तरल दाब और पास्कल का नियम” पर, और ऊर्जा-संरक्षण के लिए “कार्य, ऊर्जा और शक्ति” पर आधारित है। जिस घर्षण (श्यानता) को यह छोड़ देता है, वह “कर्षण और सीमांत वेग” का विषय है।

उन्नत

मुख्य विचार

$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ : दाब द्वारा धारा-नली पर किया गया कार्य तरल द्वारा प्राप्त ऊर्जा के बराबर होता है।
स्थायी प्रवाह में भी कण गति करते हुए त्वरित होता है, $(v \cdot \nabla) v$ के द्वारा; बल $- \nabla p$ से आता है।
धारा-रेखा के अनुदिश योग स्थिर रहता है (स्थायी, अश्यान, असम्पीड्य); यदि $\nabla \times v = 0$ हो, तो एक ही स्थिरांक हर जगह लागू होता है।
श्यानता वास्तविक पाइप में शीर्ष को घटाती है; मैक संख्या 0.3 से ऊपर गैसों के लिए संपीड्य रूप चाहिए; कम दाब से कैविटेशन हो सकता है।
टंकी का पानी टॉरिसेली के सूत्र $v = 2 g h$ से बहता है, जो सतह से मुक्त पतन की चाल है: स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा बन जाती है।

धारा-रेखाएँ, धारा-नलियाँ और गतिमान कण

यह खंड तरल प्रवाह की भाषा तय करता है और उससे पहला प्रश्न हल करता है: पानी सँकरे होते पाइप में तेज़ क्यों होता है, और उसका त्वरण कितना बड़ा है? इसका मुख्य उदाहरण एनिमेशन की वेंचुरी नली है। घनत्व $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ वाला पानी 1.0 m/s की चाल से 24 cm त्रिज्या के चौड़े पाइप में प्रवेश करता है। उसका गेज दाब (वायुमंडलीय दाब से ऊपर का दाब) 7.85 kPa है, जो 0.80 m ऊँचा पानी का स्तंभ थामने के लिए काफ़ी है। फिर वह 13 cm त्रिज्या के कंठ से गुज़रता है और दोबारा चौड़ा हो जाता है।

प्रवाह को उसके वेग क्षेत्र $v (r, t)$ से वर्णित किया जाता है: यह बिंदु $r$ पर समय $t$ में मौजूद तरल का वेग है। प्रवाह स्थायी तब होता है जब यह क्षेत्र किसी भी स्थिर बिंदु पर समय के साथ नहीं बदलता, यानी $\partial v / \partial t = 0$ । धारा-रेखा वह रेखा है जो अपने हर बिंदु पर $v$ को स्पर्श करती है। स्थायी प्रवाह में धारा-रेखाएँ स्थिर रहती हैं, और हर छोटा तरल कण उनमें से किसी एक पर चलता है।

चित्र 1 एक संकरा होता पाइप दिखाता है। पतली नीली रेखाएँ धारा-रेखाएँ हैं, और किसी भी बिंदु पर वेग उस बिंदु से गुज़रती धारा-रेखा के स्पर्शरेखीय होता है। दीवार भी एक धारा-रेखा है, क्योंकि उससे कोई तरल पार नहीं होता: दीवार पर बिंदु पर वेग-तीर $v$ दीवार के साथ-साथ रहता है। दो मोटी रेखाएँ एक धारा-नली की सीमा बनाती हैं, जो पास-पास की धारा-रेखाओं का एक गुच्छा है। चूँकि कोई तरल धारा-रेखा को पार नहीं करता, इसलिए वह धारा-नली की भुजाओं को भी पार नहीं करता: क्षेत्रफल $A_{1}$ वाले काट 1 से जो तरल प्रवेश करता है, उसे क्षेत्रफल $A_{2}$ वाले काट 2 से निकलना पड़ता है।

द्रव के लिए घनत्व स्थिर है, इसलिए हर सेकंड अंदर आने वाला आयतन उतना ही होना चाहिए जितना बाहर जाता है। आयतन प्रवाह दर $Q = A v$ है, जहाँ $v$ काट पर औसत चाल है, इसलिए
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
चूँकि $A_{2}$ , $A_{1}$ से छोटा है, इसलिए $v_{2}$ , $v_{1}$ से बड़ा है, गुणक $A_{1} / A_{2}$ है। चित्र 1 की धारा-रेखाओं को देखें: जहाँ नली सँकरी है, वहाँ वे सघन हो जाती हैं। पास की रेखाओं के बीच बराबर आयतन बहता है, इसलिए रेखाओं का घनापन चाल का चित्र है: रेखाएँ पास-पास, तरल तेज़। दोनों तीर $v_{1}$ और $v_{2}$ $A_{1} / A_{2}$ के अनुपात में बने हैं। एनिमेशन में $A_{1} / A_{2} = (24/13)^{2} \approx 3.41$ है, इसलिए कंठ में पानी 3.41 m/s तक पहुँचता है। इस नियम का स्थानीय रूप $\nabla \cdot v = 0$ है: स्थिर घनत्व वाला तरल कहीं भी न जमा हो सकता है, न पतला हो सकता है।

स्थायी का अर्थ त्वरण-रहित होना नहीं है। एनिमेशन का क्षेत्र कभी नहीं बदलता, फिर भी लाल कण 1.0 से 3.41 m/s तक तेज़ होता है, क्योंकि वह ऐसे क्षेत्र में जाता है जहाँ चाल अधिक है। कण के अपने वेग का परिवर्तन पदार्थिक अवकलज (material derivative) से मिलता है:
$\frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v$
पहला पद किसी स्थिर बिंदु पर क्षेत्र का परिवर्तन है; स्थायी प्रवाह में यह शून्य है। दूसरा, संवहन पद, वह परिवर्तन है जो कण को अपनी गति के कारण मिलता है: समय $d t$ में वह $v d t$ चलकर ऐसी जगह पहुँचता है जहाँ क्षेत्र भिन्न है। पाइप की अक्ष पर वेग अक्ष की दिशा में होता है, उसे $x$ मानें, तो संवहन पद केवल $v d v / d x$ है। एनिमेशन में यह सँकरे होने के अंत में लगभग 25 m/s² तक पहुँचता है, यानी लगभग $2.5 g$ , और चौड़े भाग में कण 21 m/s² तक मंद पड़ता है।

धारा-नली पर ऊर्जा का हिसाब

तेज़ तरल का दाब कम क्यों होना चाहिए? तेज़ होने के लिए कण को शुद्ध आगे की ओर बल चाहिए, और क्षैतिज पाइप में केवल दाब यह बल दे सकता है: कण के पीछे का दाब उसके आगे के दाब से अधिक होना चाहिए। यह खंड इस विचार को एक सटीक ऊर्जा-संतुलन में बदलता है, जो बरनौली समीकरण है।

चित्र 2 एक धारा-नली दिखाता है जो सँकरी होती है और ऊपर उठती है: काट 1 की ऊँचाई $h_{1}$ से काट 2 की ऊँचाई $h_{2}$ तक, दोनों ऊँचाइयाँ नली की अक्ष से मापी गई हैं। नली में तरल का एक छोटा समय $d t$ में अनुसरण कीजिए। काट 1 पर लंबाई $v_{1} d t$ का तरल-पट्टा प्रवेश करता है, जिसका द्रव्यमान $d M = ρ A_{1} v_{1} d t$ और आयतन $d V = d M / ρ$ है। काट 2 पर लंबाई $v_{2} d t$ का पट्टा बाहर निकलता है। सातत्य के अनुसार उसका द्रव्यमान और आयतन समान है, इसलिए वह दोनों में अधिक लंबा है, क्योंकि वहाँ नली पतली है।

इन दोनों पट्टों के बीच कुछ नहीं बदला: प्रवाह स्थायी है, इसलिए हर बिंदु का तरल पहले जैसे वेग से चल रहा है। अतः अंतराल $d t$ का शुद्ध प्रभाव यह है कि पट्टा $d V$ काट 1 से हटकर काट 2 पर आ गया है, काट 2 की चाल और ऊँचाई के साथ। उसकी ऊर्जा इतनी बढ़ी है:
$d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2}) + d M g (h_{2} - h_{1})$

इस ऊर्जा-लाभ का भुगतान किसने किया? नली की भीतरी दीवार पर का दाब नहीं: वह प्रवाह के लंबवत काम करता है और कार्य नहीं करता। कार्य दोनों सिरों पर होता है। काट 1 के पीछे का तरल प्रवेश करते पट्टे को बल $p_{1} A_{1}$ से धकेलता है, जो उसे $v_{1} d t$ की दूरी तक ले जाता है, यानी कार्य $p_{1} A_{1} v_{1} d t = p_{1} d V$ । काट 2 पर आगे का तरल बल $p_{2} A_{2}$ से पीछे धकेलता है, जबकि निकलता पट्टा $v_{2} d t$ आगे बढ़ता है और इस बल के विरुद्ध चलता है, जो कार्य $- p_{2} d V$ है। घर्षण न होने पर कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है कि शुद्ध कार्य ऊर्जा की वृद्धि के बराबर है:
$(p_{1} - p_{2}) d V = d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2} + g h_{2} - g h_{1})$

हर भाग को $d V$ से भाग देकर, $d M / d V = ρ$ का प्रयोग कर, और हर काट के पदों को एक ही ओर रखकर: $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$ । काट 1 और 2 कोई भी दो काटें हो सकती थीं, इसलिए नली के साथ
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

इन सभी पदों में प्रति इकाई आयतन ऊर्जा है, पास्कल में (1 Pa = 1 J/m³)। $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ गतिज ऊर्जा है और $ρ g h$ स्थितिज ऊर्जा। दाब-पद $p$ वह कार्य है जो एक इकाई आयतन तरल को पहले से भरे क्षेत्र में धकेलने के लिए चाहिए; इसे प्रवाह-कार्य कहते हैं। क्षैतिज वेंचुरी नली में $h$ हर जगह समान है, और चाल 1.0 m/s से 3.41 m/s करने में $\frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) \approx 5.31 kPa$ दाब लगता है।

गैस में प्रति इकाई द्रव्यमान की आंतरिक ऊर्जा $u$ भी संतुलन में जुड़ती है, और प्रति इकाई द्रव्यमान संरक्षित योग बन जाता है $u + p / ρ + \frac{1}{2} v^{2} + g h$ । इसके पहले दो पद मिलकर विशिष्ट एन्थैल्पी बनाते हैं। ऊष्मा-विनिमय और शाफ़्ट-कार्य न हो, तो यह नोज़ल का स्थायी-प्रवाह ऊर्जा समीकरण है। घर्षण-रहित द्रव में $u$ स्थिर रहता है और लुप्त हो जाता है।

ऑयलर समीकरण: प्रवाह के अनुदिश और आर-पार

ऊर्जा वाला तर्क पूरी धारा-नली को एक साथ लेता है। हर छोटे तरल भाग पर लागू न्यूटन का दूसरा नियम वही परिणाम स्थानीय रूप में देता है, दिखाता है कि स्थिरांक कहाँ लागू होता है, और धारा-रेखाओं के आर-पार दाब के लिए एक दूसरा नियम जोड़ता है।

तरल का एक छोटा घन सोचिए। दाब हर फलक पर भीतर की ओर धकेलता है, और आमने-सामने के फलकों के बल एक-दूसरे को काटते हैं, केवल उनके बीच के दाब-अंतर को छोड़कर। प्रति इकाई आयतन शुद्ध दाब-बल इसलिए $- \nabla p$ है, जो उच्च दाब से निम्न दाब की ओर इशारा करता है। गुरुत्व $ρ g$ (प्रति इकाई आयतन) जोड़ें और कुल को घनत्व गुणा पदार्थिक त्वरण के बराबर रखें, तो ऑयलर समीकरण मिलता है:
$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + ρ g$

इसे बरनौली समीकरण में बदलने के तीन चरण हैं। पहला, स्थायी प्रवाह में $\partial v / \partial t = 0$ । दूसरा, एक सदिश सर्वसमिका संवहन पद को तोड़ती है: $(v \cdot \nabla) v = \nabla (\frac{1}{2} v^{2}) - v \times Ω$ , जहाँ $Ω = \nabla \times v$ भँवरता है, यानी जिस कोणीय वेग से तरल का स्थानीय भाग घूमता है, उसका दोगुना। तीसरा, गुरुत्व नीचे की ओर है जबकि $h$ ऊपर मापा जाता है, इसलिए स्थिर घनत्व के लिए $ρ g = - \nabla (ρ g h)$ । सभी प्रवणताओं को बाईं ओर ले जाने पर
$\nabla (p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h) = ρ v \times Ω$

दाहिना पक्ष $v$ के साथ सदिश गुणन है, इसलिए वह $v$ के लंबवत है। अतः योग की प्रवणता का प्रवाह की दिशा में कोई घटक नहीं है: योग हर धारा-रेखा के अनुदिश स्थिर है, जैसा चित्र 2 के साथ पाया गया, पर अलग-अलग धारा-रेखाएँ अलग स्थिरांक वहन कर सकती हैं। यदि प्रवाह अघूर्णी है, यानी $Ω = 0$ , तो पूरी प्रवणता शून्य होती है और एक ही स्थिरांक हर जगह लागू होता है। विरामावस्था से या एकसमान धारा से (जैसे वेंचुरी नली में आता पानी) शुरू होने वाला आदर्श तरल अघूर्णी रहता है, इसलिए व्यवहार में प्रायः एक स्थिरांक काफ़ी होता है।

प्रवाह के लंबवत, ऑयलर समीकरण कुछ और कहता है। जहाँ धारा-रेखाएँ त्रिज्या $R$ पर मुड़ती हैं, वहाँ हर कण को वक्रता-केंद्र की ओर अभिकेंद्र त्वरण $v^{2} / R$ चाहिए, और गुरुत्व को छोड़ दें तो उसे केवल धारा-रेखाओं के आर-पार दाब-अंतर दे सकता है:
$\frac{\partial p}{\partial n} = \frac{ρ v ^{2}}{R}$
यहाँ $n$ धारा-रेखाओं के आर-पार की दूरी है, जो वक्रता-केंद्र से दूर मापी जाती है। इसलिए मोड़ के केंद्र से दूर दाब बढ़ता है, और पंख के ऊपर मुड़ती हवा का दाब पंख के पास दूर की तुलना में कम होता है। जहाँ धारा-रेखाएँ सीधी और समांतर हैं, $R$ अनंत है और धारा-रेखाओं के आर-पार दाब नहीं बदलता, ऊँचाई के साथ द्रवस्थैतिक परिवर्तन को छोड़कर। इसीलिए सीधे खंड की दीवार पर लगा छिद्र अक्ष पर का दाब बताता है।

दाब-ग्राफ़ पढ़ना

एनिमेशन का ग्राफ़ पूरी नली पर बरनौली समीकरण का काम दिखाता है। इसकी ढलानें ऑयलर समीकरण भी दिखाती हैं, और समझाती हैं कि असली वेंचुरी नलियाँ ऐसी आकृति की क्यों होती हैं।

चित्र 3 एनिमेशन के दाब-ग्राफ़ को नली के एक रेखाचित्र के नीचे फिर से बनाता है, जहाँ नली के साथ स्थिति $x$ दाईं ओर बढ़ती है। काट 1 चौड़ा प्रवेश है और काट 2 कंठ के बीच में, और ग्राफ़ लाल कण के रास्ते का अनुसरण करता है। स्थैतिक दाब $p$ (बैंगनी) सँकरे होने में 7.85 से 2.54 kPa तक गिरता है, कंठ में समतल रहता है, और चौड़े भाग में फिर ऊपर चढ़ता है। गतिक दाब $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ (नीला) इसके उलट करता है: यह 0.50 से 5.81 kPa तक बढ़ता है और फिर गिरता है। उनका योग (हरा) 8.35 kPa पर स्थिर रहता है। तीनों वक्र एक ही पैमाने पर हैं, इसलिए नीला वक्र जितना चढ़ता है, बैंगनी उतना गिरता है। इसे उस जल-स्तंभ की ऊँचाई के रूप में व्यक्त करें जिसे वह सँभाल सके, यानी $(p + \frac{1}{2} ρ v^{2}) / (ρ g)$ , तो यह योग 0.851 m है, जिसे कुल शीर्ष (total head) कहते हैं।

अब ढलानें देखें। अक्ष पर ऑयलर समीकरण है $- d p / d x = ρ v d v / d x = ρ a$ , जहाँ $a$ कण का त्वरण है। अतः बैंगनी वक्र की नीचे की ढलान कण पर प्रति इकाई आयतन शुद्ध बल है, और वह नीले वक्र की ऊपर की ढलान के बराबर है। यह सबसे तीखी है, लगभग 25 kPa प्रति मीटर, जहाँ कण सबसे अधिक त्वरित होता है, यानी चित्र 3 में वक्रों के तीखे किनारों पर। कंठ में, जहाँ चाल स्थिर है, यह शून्य है।

चौड़े होते खंड में दाब प्रवाह की दिशा में बढ़ता है: बैंगनी वक्र दाईं ओर चढ़ता है। ऐसी वृद्धि को प्रतिकूल दाब-प्रवणता कहते हैं, क्योंकि वह गति के विरुद्ध धकेलती है। आदर्श तरल बस धीमा हो जाता है। वास्तविक तरल में दीवार के पास की परत घर्षण से पहले ही धीमी हो चुकी होती है और उसमें दाब-वृद्धि पर चढ़ने की गतिज ऊर्जा नहीं बचती; वह रुक जाती है, और प्रवाह दीवार से अलग हो जाता है। इसीलिए वेंचुरी नलियाँ सँकरी होने की तुलना में अधिक धीरे चौड़ी होती हैं: यहाँ 60 cm से अधिक, जबकि सँकरे होने में 50 cm।

टंकियाँ, जेट और पिटो नलियाँ

बरनौली समीकरण अलग-अलग ऊँचाइयों के बिंदुओं को भी जोड़ता है, और उन बिंदुओं को भी जहाँ तरल को रोक दिया जाता है। हर स्थिति एक सरल और उपयोगी परिणाम देती है।

चित्र 4 एक चौड़ी टंकी दिखाता है जो एक छोटे छिद्र से खाली हो रही है। बिंदीदार धारा-रेखा पर चलिए: मुक्त सतह पर बिंदु 1 से छिद्र के ठीक बाहर जेट में बिंदु 2 तक, जो $H$ गहराई नीचे है। दोनों सिरों पर दाब वायुमंडलीय है: बिंदु 1 पर सतह हवा के संपर्क में है, और बिंदु 2 पर जेट की धारा-रेखाएँ सीधी और समांतर हैं, इसलिए जेट के भीतर का दाब आसपास की हवा के बराबर है। सतह लगभग स्थिर है, क्योंकि वह छिद्र से कहीं अधिक चौड़ी है। अतः दाब-पद रद्द हो जाते हैं, बिंदु 1 का गतिज पद नगण्य है, और खोई गई स्थितिज ऊर्जा $ρ g H$ प्रति इकाई आयतन पूरी तरह जेट की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ बन जाती है:
$v = 2 g H (Torricelli)$

जेट उतनी ही तेज़ी से निकलता है जितनी ऊँचाई $H$ से गिरा पत्थर। यह सूत्र-सारणी का $v = 2 g h$ है, जिसमें गहराई $H$ लिखी गई है, क्योंकि टंकी खाली होते समय वह बदलती है।

टंकी को खाली होने में कितना समय लगता है? यदि स्तर धीरे गिरता है, तो प्रवाह हर क्षण लगभग स्थायी रहता है (अर्ध-स्थायी), और टॉरिसेली का परिणाम वर्तमान गहराई पर लागू होता है। फिर सातत्य धारा-रेखा के दोनों सिरों को जोड़ता है: क्षेत्रफल $A_{T}$ वाली मुक्त सतह $d H / d t$ की दर से नीचे गिरती है, जो ऋणात्मक है, जबकि क्षेत्रफल $a$ वाले छिद्र से जेट चाल $v$ से निकलता है:
$A_{T} \frac{d H}{d t} = - a v = - a 2 g H$
क्योंकि $A_{T} / a$ बड़ा है, सतह रेंगती है जबकि जेट तेज़ी से छूटता है, इसीलिए चित्र 4 पैमाने पर नहीं बन सकता। चरों को अलग करें, $d H / H = - (a / A_{T}) 2 g d t$ , और प्रारंभिक गहराई $H_{0}$ से 0 तक समाकलित करें। बाईं ओर $- 2 H_{0}$ आता है, तो $2 H_{0} = (a / A_{T}) 2 g t$ , और टंकी इतने समय में खाली होती है:
$t = \frac{A _{T}}{a} \frac{2 H _{0}}{g}$

0.25 m² क्षेत्रफल की बैरल जिसमें 0.80 m गहराई तक पानी है, 1 cm² छिद्र से खाली होती है: $A_{T} / a = 2500$ , और वह $2500 \cdot 1.6/9.81 \approx 1.0 \times 1 0^{3} s$ में, यानी लगभग 17 मिनट में खाली होती है। स्तर पहले तेज़ी से गिरता है और अंत में धीरे, क्योंकि जेट की चाल $H$ के अनुपात में होती है।

पिटो नली एक ठहराव बिंदु (stagnation point) से चाल मापती है। इसका खुला सिरा प्रवाह के सामने रहता है, और वहाँ पहुँचा तरल रुक जाता है, $v = 0$ ; उसी ऊँचाई पर मुख पर दाब इसलिए $p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ होता है, जिसे ठहराव दाब (stagnation pressure) कहते हैं। नली की बगल के छोटे छेद, जिनके पास से प्रवाह समांतर गुज़रता है, स्थैतिक $p$ पढ़ते हैं। अंतर $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ है, जिससे $v$ निकलता है। एनिमेशन की अक्ष पर खुला सिरा हर जगह हरा 8.35 kPa पढ़ता, जबकि दीवार के छेद बैंगनी वक्र पढ़ते हैं। 1.2 kg/m³ घनत्व की हवा में 60 m/s पर उड़ता विमान $\frac{1}{2} \cdot 1.2 \cdot 6 0^{2} = 2.16 kPa$ का अंतर देखता है।

हल किया गया प्रश्न: जब कंठ चूसता है और उबलता है

एनिमेशन की नली और 7.85 kPa का प्रवेश गेज दाब वही रखें, पर प्रवाह बढ़ाएँ। किस प्रवेश-चाल पर कंठ वायुमंडलीय दाब तक पहुँचता है, और किस चाल पर वहाँ पानी उबलने लगता है? वायुमंडलीय दाब 101.3 kPa लें, और 20 °C पर पानी का वाष्प दाब 2.34 kPa।

नली क्षैतिज है, इसलिए प्रवेश और कंठ के बीच बरनौली समीकरण है $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ । सातत्य देता है $v_{2} = (A_{1} / A_{2}) v_{1}$ , जहाँ $A_{1} / A_{2} = 3.41$ । $v_{2}$ डालने पर कंठ का गेज दाब मिलता है
$p_{2} = p_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{A _{1}}{A _{2}})^{2} - 1] = 7.85 - 5.31 v_{1}^{2}$
जहाँ $p_{2}$ kPa में और $v_{1}$ m/s में है; 5.31 इन इकाइयों में $\frac{1}{2} ρ (3.4 1^{2} - 1)$ है।

कंठ का गेज दाब शून्य होता है, यानी कंठ वायुमंडलीय दाब पर होता है, जब $v_{1} = 7.85/5.31 \approx 1.22 m/s$ । इससे अधिक चाल पर कंठ का दाब वायुमंडलीय से कम होता है, इसलिए वहाँ खुली नली स्तंभ थामने के बजाय हवा या तरल खींचती है। जल-जेट पंप और कार्बोरेटर इसी तरह काम करते हैं।

कैविटेशन (कमरे के तापमान पर स्थानीय उबाल) तब शुरू होता है जब कंठ का निरपेक्ष दाब वाष्प दाब तक गिर जाता है। निरपेक्ष दाब गेज दाब और वायुमंडलीय दाब का योग है, इसलिए यह गेज दाब $2.34 - 101.3 \approx - 99.0 kPa$ पर होता है। $7.85 - 5.31 v_{1}^{2} = - 99.0$ रखने पर
$v_{1} = \frac{7.85 + 99.0}{5.31} \approx 4.49 m/s, v_{2} = 3.41 \cdot 4.49 \approx 15.3 m/s$

तब पाइप $π \cdot 0.2 4^{2} \cdot 4.49 \approx 0.81 m^{3} /s$ ले जाता है, जो एनिमेशन के प्रवाह का लगभग साढ़े चार गुना है। व्यवहार में बुलबुले थोड़ा पहले बनते हैं, सूक्ष्म गैस-जेबों और अशांत भँवरों के आसपास। जब वे दाब-पुनर्प्राप्ति वाले चौड़े भाग में बहते हैं, तो हिंसक रूप से ढह जाते हैं, और यही बार-बार का ढहना पंप के इम्पेलर और जहाज़ के प्रोपेलर को गड्ढेदार बनाता है।

वैधता की सीमाएँ

बरनौली समीकरण तीन आदर्शीकरणों पर टिका है: कोई घर्षण नहीं, स्थिर घनत्व, और स्थायी प्रवाह। हर एक कहीं न कहीं टूटता है, और यह जानना उपयोगी है कि कहाँ।

श्यानता, यानी तरल का आंतरिक घर्षण, सबसे पहले टूटता है। रेनॉल्ड्स संख्या $ρ v d / η$ तरल के जड़त्वीय बलों और श्यान बलों की तुलना करती है; यहाँ $d$ पाइप का व्यास है और $η$ पानी की श्यानता, लगभग $1.0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ । एनिमेशन के लिए यह $1000 \cdot 1.0 \cdot 0.48/ (1.0 \times 1 0^{- 3}) \approx 5 \times 1 0^{5}$ है, जो उस कुछ हज़ार से कहीं अधिक है जिस पर पाइप प्रवाह अशांत होता है, इसलिए असली प्रवाह अशांत होगा। फिर भी एक छोटे, चिकने सँकरेपन में घर्षण लगभग प्रभावहीन है, और वेंचुरी मीटर आदर्श सूत्र से कुछ प्रतिशत के भीतर मेल खाते हैं। पूरी नली पर, हालाँकि, असली वेंचुरी अपने दाब-अंतर का 5% से 20% स्थायी रूप से खो देती है, इसलिए चौड़े होने के बाद का स्तंभ पहले वाले से 3 से 11 cm नीचे होगा।

पानी के लिए असम्पीड्यता बहुत अच्छी है। एनिमेशन की 5.3 kPa की गिरावट पानी का घनत्व केवल $Δ p / K \approx 2.4 \times 1 0^{- 6}$ अंश बदलती है, जहाँ $K \approx 2.2 GPa$ उसका आयतन प्रत्यास्थता गुणांक है, यानी आयतन के भिन्नात्मक परिवर्तन के लिए आवश्यक दाब। गैसें भी तब तक इस पर खरी उतरती हैं जब तक प्रवाह ध्वनि की चाल से काफ़ी कम हो। मैक 0.3 पर, यानी ध्वनि की चाल का तीन-दशमांश, हवा में लगभग 100 m/s, घनत्व लगभग 4.5% बदलता है, और असम्पीड्य सूत्र पिटो नली का पाठ्यांक लगभग 2% कम बताता है।

जब वाल्व तेज़ी से बंद होता है तो स्थायी प्रवाह की शर्त टूटती है। तब $\partial v / \partial t$ पद हावी हो जाता है, और जल-आघात (water hammer) नाम की दाब-तरंग पाइप में दौड़ती है। एनिमेशन के 1.0 m/s प्रवाह को अचानक रोकने पर दाब लगभग $ρ c Δ v \approx 1000 \cdot 1400 \cdot 1.0 \approx 1.4 MPa$ बढ़ेगा, जहाँ $c$ पानी से भरे पाइप में तरंग की चाल है और $Δ v$ चाल का अचानक परिवर्तन।

यह कहाँ ले जाता है

बरनौली समीकरण, प्रति इकाई आयतन लिखा गया, “कार्य, ऊर्जा और शक्ति” का कार्य-ऊर्जा प्रमेय है। टॉरिसेली जेट “मुक्त पतन” की चाल से निकलता है और “प्रक्षेप्य गति” का परवलय बनाता है, और $\partial p / \partial n = ρ v^{2} / R$ तो “वृत्तीय गति” का अभिकेंद्र बल ही है जो तरल पर लागू है। गैसों के लिए एन्थैल्पी रूप “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” तक जाता है, और असम्पीड्य मॉडल की सीमा बनाने वाली ध्वनि-चाल “ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव” में फिर आती है।

उत्थापन (lift) को अक्सर गलत समझा जाता है। एक लोकप्रिय दावा कहता है कि पंख के ऊपर की हवा को पश्च किनारे पर नीचे की हवा से दोबारा मिलना पड़ता है, इसलिए उसे लंबे ऊपरी मार्ग पर अधिक तेज़ चलना होगा। यह गलत है: ऊपर की हवा पहले पहुँचती है। इसके अलावा, परिसंचरण-रहित स्थायी आदर्श प्रवाह किसी पिंड पर कोई शुद्ध बल नहीं लगाता। पंख जो करता है, वह है परिसंचरण $Γ = \oint v \cdot d l$ उत्पन्न करना, यानी पंख को घेरने वाले लूप पर वेग का रेखा-समाकल: आती धारा में जुड़ा एक शुद्ध घुमाव। उसका मान तीखे पश्च किनारे से तय होता है, जिससे प्रवाह को सुचारु रूप से निकलना पड़ता है। $U$ चाल की धारा में प्रति इकाई पाट उत्थापन बल $ρ U Γ$ है, और बरनौली समीकरण पंख के ऊपर की तेज़ और नीचे की धीमी धारा को उस दाब-अंतर में बदलता है जो उसे उठाए रखता है। जो श्यानता उस परिसंचरण को चुनती है और कर्षण उत्पन्न करती है, वह “कर्षण और सीमांत वेग” का विषय है।

मुख्य सूत्र

आयतन प्रवाह दर

Q = A v

$Δ t$ समय में किसी काट से गुज़रता तरल $v Δ t$ आगे बढ़ता है और $A v Δ t$ आयतन का बेलन भरता है। समय से भाग देने पर प्रति सेकंड आयतन मिलता है। इसे घनत्व से गुणा करने पर द्रव्यमान प्रवाह दर $ρ A v$ (kg/s में) मिलती है।

चिह्न
$Q$	उस काट से गुज़रने वाली आयतन प्रवाह दर	$m^{3} /s$
$A$	अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, प्रवाह के लंबवत	$m^{2}$
$v$	प्रवाह की चाल, काट पर औसत	$m/s$

कब लागू होता है: हर तरल के लिए लागू, बशर्ते $v$ काट पर औसत चाल हो और $A$ प्रवाह के लंबवत मापा गया हो।

उदाहरण: एनिमेशन का प्रवेश: $Q = π \cdot 0.2 4^{2} \cdot 1.0 \approx 0.181 m^{3} /s$ , यानी हर सेकंड 181 लीटर।

सातत्य समीकरण

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

भरे पाइप में पानी न जमा हो सकता है, न लुप्त हो सकता है, इसलिए हर सेकंड अंदर आया आयतन हर दूसरी काट से बाहर निकलना चाहिए: $Q$ हर जगह समान है। अतः चाल क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती है। गोल पाइप के लिए $A \propto d^{2}$ , इसलिए व्यास आधा करने पर पानी चार गुना तेज़ हो जाता है।

चिह्न
$A_{1}$	चौड़ी काट पर अनुप्रस्थ क्षेत्रफल	$m^{2}$
$v_{1}$	चौड़ी काट पर प्रवाह की चाल	$m/s$
$A_{2}$	सँकरी काट पर अनुप्रस्थ क्षेत्रफल	$m^{2}$
$v_{2}$	सँकरी काट पर प्रवाह की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: असम्पीड्य तरल (द्रव, या ध्वनि की चाल से काफ़ी कम चाल की गैस) का स्थायी प्रवाह, बिना रिसाव या शाखा के। संपीड्य गैस के लिए जो अपरिवर्तित रहता है वह द्रव्यमान प्रवाह $ρ A v$ है।

उदाहरण: एनिमेशन में कंठ का क्षेत्रफल 3.41 गुना छोटा है, इसलिए $v_{2} = 3.41 \cdot 1.0 = 3.41 m/s$ ।

बरनौली समीकरण

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const

हर पद प्रति इकाई आयतन ऊर्जा है, पास्कल में ( $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ): $p$ वह कार्य है जो दाब कर सकता है, $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ गतिज ऊर्जा है और $ρ g h$ स्थितिज ऊर्जा। दाब-बल उच्च दाब से निम्न दाब की ओर जाते कण पर कार्य करते हैं, और वह कार्य गतिज या स्थितिज ऊर्जा बन जाता है, इसलिए धारा-रेखा के अनुदिश योग नहीं बदलता। उसी ऊँचाई पर तेज़ का अर्थ है कम दाब।

चिह्न
$p$	स्थैतिक दाब	$Pa$
$ρ$	तरल का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$v$	प्रवाह की चाल	$m/s$
$g$	मुक्त पतन त्वरण	$m/ s^{2}$
$h$	चुने हुए संदर्भ स्तर से ऊँचाई	$m$

कब लागू होता है: स्थायी, अश्यान, असम्पीड्य प्रवाह, एक धारा-रेखा के अनुदिश; वही स्थिरांक धारा-रेखाओं के आर-पार तभी लागू होता है जब प्रवाह अघूर्णी हो। वास्तविक पाइप में घर्षण योग को प्रवाह के अनुदिश घटा देता है।

उदाहरण: एनिमेशन में योग प्रवेश पर $7.85 + 0.50 = 8.35 kPa$ और कंठ में $2.54 + 5.81 = 8.35 kPa$ है।

क्षैतिज पाइप में दाब-गिरावट

p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

ऊँचाई न बदले तो $ρ g h$ पद रद्द हो जाते हैं, और दाब उतना ही गिरता है जितनी प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा बढ़ती है। दाब-अंतर त्वरण का कारण है, परिणाम नहीं: तरल इसलिए तेज़ होता है क्योंकि उसके पीछे का दाब आगे के दाब से अधिक है। घटाने से पहले चालों का वर्ग कीजिए।

चिह्न
$p_{1}$	चौड़ी काट पर दाब	$Pa$
$p_{2}$	सँकरी काट पर दाब	$Pa$
$ρ$	तरल का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$v_{1}$	चौड़ी काट पर चाल	$m/s$
$v_{2}$	सँकरी काट पर चाल	$m/s$

कब लागू होता है: क्षैतिज पाइप और आदर्श स्थायी प्रवाह। यदि पाइप $h_{1}$ से $h_{2}$ तक चढ़ता है, तो दाहिने पक्ष में $ρ g (h_{2} - h_{1})$ जोड़ें।

उदाहरण: पानी में 1.0 से 3.41 m/s: $p_{1} - p_{2} = 500 \cdot (3.4 1^{2} - 1) \approx 5.31 kPa$ ।

स्तंभ की ऊँचाई के रूप में दाब-अंतर

Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}

एक ऊर्ध्वाधर पतली नली तब तक भरती है जब तक उसके स्तंभ का भार नीचे के दाब को संतुलित न कर दे: $p = ρ g h$ , जो “तरल दाब और पास्कल का नियम” का स्थैतिक नियम है। इसलिए दो ऐसी नलियाँ दाब-अंतर को ऊँचाई-अंतर में बदल देती हैं: हर 9.81 kPa दाब एक मीटर पानी के बराबर है।

चिह्न
$Δ h$	दोनों स्तंभों की ऊँचाइयों का अंतर	$m$
$p_{1}$	पहले स्तंभ के नीचे का दाब	$Pa$
$p_{2}$	दूसरे स्तंभ के नीचे का दाब	$Pa$
$ρ$	स्तंभों में तरल का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$g$	मुक्त पतन त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: स्तंभों में पाइप का अपना ही तरल हो, वह स्थिर हो, और उनके दाब-छिद्र दीवार के साथ समतल हों जहाँ धारा-रेखाएँ सीधी हैं। भारी तरल (जैसे पानी के नीचे पारा) वाली U-नली के लिए $ρ$ की जगह दोनों घनत्वों का अंतर लेना होगा।

उदाहरण: एनिमेशन: $Δ h = 5310/ (1000 \cdot 9.81) \approx 0.541 m$ , चिह्नित $Δ h$ ।

टॉरिसेली का नियम

v = 2 g h (Torricelli)

एक चौड़ी टंकी की मुक्त सतह से, जहाँ पानी लगभग स्थिर है, छिद्र के ठीक बाहर के जेट तक एक धारा-रेखा का अनुसरण कीजिए, जो $h$ गहराई नीचे है। दोनों बिंदु वायुमंडलीय दाब पर हैं, इसलिए दाब-पद रद्द हो जाते हैं और स्थितिज ऊर्जा $ρ g h$ गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ बन जाती है। जेट उतनी चाल से निकलता है जितनी से कोई वस्तु $h$ तक मुक्त पतन करके पहुँचती है।

चिह्न
$v$	छिद्र से निकलते जेट की चाल	$m/s$
$g$	मुक्त पतन त्वरण	$m/ s^{2}$
$h$	छिद्र की मुक्त सतह से गहराई	$m$

कब लागू होता है: टंकी छिद्र से कहीं अधिक चौड़ी हो (नहीं तो सतह की गति भी गिननी पड़ेगी) और हानियाँ उपेक्षित हों। वास्तविक जेट थोड़ा धीमा होता है, और तीखे किनारे वाले छिद्र के ठीक बाहर वह सिकुड़ता है, इसलिए प्रवाह दर जेट की चाल गुणा छिद्र के क्षेत्रफल से कम होती है।

उदाहरण: छिद्र सतह से 0.80 m नीचे: $v = 2 \cdot 9.81 \cdot 0.80 \approx 3.96 m/s$ ।

शब्दावली

स्थायी प्रवाह: वह प्रवाह जिसमें हर स्थिर बिंदु पर वेग समय के साथ नहीं बदलता, भले ही हर कण चलते हुए तेज़ या धीमा हो। एनिमेशन का प्रवाह स्थायी है: पैटर्न कभी नहीं बदलता, फिर भी हर कण कंठ में त्वरित होता है।
धारा-रेखा: वह रेखा जो हर जगह प्रवाह के वेग के स्पर्शरेखीय है। स्थायी प्रवाह में यह उस पथ का भी काम करती है जिस पर कोई कण चलता है; धारा-रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं और जहाँ प्रवाह तेज़ है वहाँ सघन हो जाती हैं।
धारा-नली: पास-पास की धारा-रेखाओं से बनी नली। उसकी दीवारों से कोई तरल पार नहीं होता, इसलिए हर सेकंड हर काट से समान द्रव्यमान गुज़रता है; पाइप ठोस दीवारों वाली धारा-नली है।
आदर्श तरल: एक आदर्श प्रतिरूप तरल जो असम्पीड्य (स्थिर घनत्व) और अश्यान (आंतरिक घर्षण रहित) है। बरनौली समीकरण का सरल रूप केवल ऐसे तरल के लिए पूरी तरह सही है; छोटे, चिकने पाइप का पानी इसके निकट है।
अघूर्णी प्रवाह: वह प्रवाह जिसकी भँवरता $\nabla \times v$ हर जगह शून्य है, यानी तरल के छोटे भाग घूमे बिना चलते हैं। तब बरनौली का योग हर धारा-रेखा पर एक ही मान रखता है, न कि केवल हर धारा-रेखा के भीतर।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल: प्रवाह के लंबवत पाइप की एक काट $A$ का क्षेत्रफल, वर्ग मीटर में। गोल पाइप के व्यास $d$ के लिए $A = π d^{2} /4$ , इसलिए व्यास आधा होने पर क्षेत्रफल 4 गुना घट जाता है।
सातत्य समीकरण: प्रवाह में द्रव्यमान संरक्षण का कथन। असम्पीड्य तरल के लिए आयतन प्रवाह दर $Q = A v$ हर काट से समान है, इसलिए तरल सबसे सँकरे भाग में सबसे तेज़ बहता है।
बरनौली का सिद्धांत: स्थायी आदर्श प्रवाह की धारा-रेखा के अनुदिश $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h$ स्थिर रहता है, इसलिए समान ऊँचाई पर जहाँ तरल तेज़ होता है वहाँ दाब गिरता है। यह चलते तरल पर ऊर्जा-संरक्षण का प्रयोग है।
वेंचुरी प्रभाव: पाइप के सँकरे भाग, यानी कंठ में दाब की गिरावट, जहाँ तरल सबसे तेज़ चलता है। वेंचुरी मीटर इस गिरावट को दो स्तंभों की ऊँचाई-अंतर के रूप में पढ़ता है और उसे प्रवाह-दर में बदलता है।
गेज दाब: वायुमंडलीय दाब (लगभग 101 kPa) से ऊपर मापा गया दाब, निर्वात से ऊपर नहीं। एनिमेशन के पाठ्यांक गेज दाब हैं: कंठ का 2.54 kPa लगभग 104 kPa निरपेक्ष है।
शीर्ष: प्रति इकाई आयतन दाब या ऊर्जा को तरल की ऊँचाई के रूप में व्यक्त करना: $p / (ρ g)$ दाब-शीर्ष है और $v^{2} / (2 g)$ वेग-शीर्ष। आदर्श प्रवाह में उनका योग और बिंदु की ऊँचाई धारा-रेखा के साथ सर्वत्र समान रहते हैं; घर्षण वास्तविक पाइप में इस कुल शीर्ष को घटाता है, जिसे शीर्ष-हानि कहते हैं।
कैविटेशन (गुहिकायन): जहाँ तरल का दाब 20 °C पर पानी के लिए लगभग 2.3 kPa निरपेक्ष वाष्प दाब से नीचे गिरता है, वहाँ तरल का स्थानीय उबलना। जब वाष्प के बुलबुले अधिक दाब तक पहुँचते हैं तो वे हिंसक रूप से ढहते हैं और पंप के इम्पेलर तथा जहाज़ के प्रोपेलर को घिस सकते हैं।

राशियाँ
$p$	स्थैतिक दाब	$Pa$	बहता तरल पाइप की दीवार पर जो बल प्रति इकाई क्षेत्रफल लगाता है, जिसे दाबमापी नली या दीवार के छिद्र से पढ़ा जाता है; $1 Pa = 1 N/ m^{2} = 1 J/ m^{3}$ ।
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	गतिक दाब	$Pa$	प्रवाह की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा, और वह दाब-वृद्धि जहाँ प्रवाह रुक जाता है: एनिमेशन के प्रवेश पर 0.50 kPa, उसके कंठ में 5.81 kPa।
$v$	प्रवाह की चाल	$m/s$	तरल कितनी तेज़ चलता है, पाइप की गणना में काट पर औसत: एनिमेशन के प्रवेश पर 1.0 m/s और कंठ में 3.41 m/s।
$ρ$	घनत्व	$kg/ m^{3}$	प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान: पानी के लिए 1000 kg/m³ और सामान्य परिस्थितियों में हवा के लिए लगभग 1.2 kg/m³। असम्पीड्य प्रवाह में यह स्थिर रहता है।
$Q$	आयतन प्रवाह दर	$m^{3} /s$	हर सेकंड किसी काट से गुज़रने वाला आयतन, $Q = A v$ : एनिमेशन में 0.181 m³/s, यानी 181 लीटर प्रति सेकंड।
$h$	ऊँचाई	$m$	चुने हुए संदर्भ स्तर से किसी बिंदु की ऊँचाई, जो प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा $ρ g h$ में आती है। टॉरिसेली के नियम में यह मुक्त सतह से छिद्र की गहराई है।
$g$	मुक्त पतन त्वरण	$m/ s^{2}$	पृथ्वी की सतह के पास लगभग $9.81 m/ s^{2}$ । यह तरल की ऊँचाई को दाब में बदलता है: $p = ρ g h$ ।
$Δ h$	स्तंभ-ऊँचाइयों का अंतर	$m$	कंठ के ऊपर की दाबमापी नली में तरल प्रवेश की तुलना में कितना नीचे है; यह दाब-गिरावट मापता है: $p_{1} - p_{2} = ρ g Δ h$ ; एनिमेशन में 0.541 m।

क्विज़

शुरुआती पानी एक ऐसे पाइप से बहता है जो सँकरा होता जाता है। सँकरे भाग में पानी…
1. धीमे बहता है
2. तेज़ बहता है
3. रुक जाता है
4. उसी चाल से बहता है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. तेज़ बहता है
हर बिंदु से हर सेकंड उतना ही पानी गुज़रना चाहिए, इसलिए जहाँ पाइप सँकरा है वहाँ पानी को तेज़ बहना होगा।
शुरुआती क्षैतिज पाइप में जहाँ पानी सबसे तेज़ बहता है, वहाँ उसका दाब…
1. सबसे अधिक
2. बाकी जगहों जैसा
3. सबसे कम
4. ठीक शून्य
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उत्तर: C. सबसे कम
तेज़ होने के लिए पीछे के अधिक दाब का धक्का चाहिए, इसलिए जहाँ पानी सबसे तेज़ है वहाँ दाब सबसे कम है।
शुरुआती जब आप पानी की नली के सिरे पर अँगूठा रखते हैं तो पानी दूर तक क्यों जाता है?
1. अँगूठा पानी में ऊर्जा जोड़ता है
2. अँगूठा पानी को भारी बना देता है
3. नोज़ल पर गुरुत्व कमज़ोर होता है
4. अँगूठे के पीछे दाब जमा होता है और पानी को तेज़ी से बाहर धकेलता है
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उत्तर: D. अँगूठे के पीछे दाब जमा होता है और पानी को तेज़ी से बाहर धकेलता है
सिरा खुला हो तो पानी आसानी से निकलता है और नली के सिरे पर दाब कम रहता है। आपका अँगूठा निकासी को सँकरा करता है, इसलिए उसके पीछे दाब जमा होता है और पानी को छोटे रास्ते से कहीं तेज़ी से धकेलता है, जैसे एनिमेशन नली में चौड़े भाग का अधिक दाब सँकरे भाग में पानी की चाल बढ़ाता है। प्रति सेकंड पहले से कम पानी निकलता है, पर वह कहीं तेज़ निकलता है और दूर जाता है। अँगूठा ऊर्जा नहीं जोड़ता: वह केवल निकासी सँकरी करता है।
मध्यम एक पाइप 10 cm व्यास से 5 cm तक सँकरा होता है। पानी 2 m/s पर प्रवेश करता है। सँकरे भाग में पानी किस चाल से बहता है?
1. 4 m/s
2. 8 m/s
3. 1 m/s
4. 2 m/s
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उत्तर: B. 8 m/s
A ∝ d², इसलिए व्यास आधा करने पर क्षेत्रफल 4 गुना घट जाता है। A₁·v₁ = A₂·v₂ से v₂ = 4 × 2 = 8 m/s। केवल व्यास के अनुपात से गलत 4 m/s मिलेगा।
मध्यम क्षैतिज वेंचुरी नली में पानी की चाल 1 m/s से 3 m/s हो जाती है (ρ = 1000 kg/m³)। दाब कितना गिरता है?
1. 4 kPa
2. 2 kPa
3. 1 kPa
4. 9 kPa
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उत्तर: A. 4 kPa
p₁ − p₂ = ½·ρ·(v₂² − v₁²) = 500 × (9 − 1) = 4000 Pa = 4 kPa। चालों का वर्ग न करने पर 1 kPa मिलता है।
मध्यम दो कागज़ समांतर लटके हैं, कुछ सेंटीमीटर की दूरी पर। आप उनके बीच ज़ोर से फूँकते हैं। वे…
1. अलग हो जाते हैं
2. स्थिर रहते हैं
3. एक-दूसरे की ओर आते हैं
4. नीचे गिर जाते हैं
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उत्तर: C. एक-दूसरे की ओर आते हैं
दोनों कागज़ों के बीच तेज़ हवा का दाब बाहर की स्थिर हवा से कम है, इसलिए बाहर की हवा कागज़ों को एक-दूसरे की ओर धकेलती है।
उन्नत किसी एक धारा-रेखा पर p + ½·ρ·v² + ρ·g·h = const लागू करने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक नहीं है?
1. स्थायी प्रवाह
2. नगण्य श्यानता
3. असम्पीड्य तरल
4. अघूर्णी प्रवाह
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उत्तर: D. अघूर्णी प्रवाह
एक धारा-रेखा पर स्थायी, अश्यान और असम्पीड्य प्रवाह पर्याप्त है। अघूर्णी प्रवाह केवल तब चाहिए जब विभिन्न धारा-रेखाओं पर एक ही स्थिरांक का उपयोग करना हो।
उन्नत एक खुली बड़ी टंकी में पानी की सतह से 1.8 m नीचे एक छोटा छिद्र है। हानियों को अनदेखा करके पानी छिद्र से कितनी तेज़ी से निकलता है? (g = 9.81 m/s²)
1. लगभग 3.5 m/s
2. लगभग 5.9 m/s
3. लगभग 17.7 m/s
4. लगभग 1.3 m/s
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उत्तर: B. लगभग 5.9 m/s
स्थिर सतह और जेट के बीच (दोनों वायुमंडलीय दाब पर) बरनौली से टॉरिसेली का नियम मिलता है: v = √(2·g·h) = √(2 × 9.81 × 1.8) ≈ 5.9 m/s।

$A_{1}$	काट 1 पर धारा-नली की अनुप्रस्थ काट, जहाँ वह चौड़ी है।	$m^{2}$
$A_{2}$	उसी नली की काट 2 पर अनुप्रस्थ काट, जहाँ वह सँकरी है।	$m^{2}$
$v_{1}$	काट 1 से गुज़रते तरल की चाल।	$m/s$
$v_{2}$	काट 2 से गुज़रते तरल की चाल: अधिक, क्योंकि $A_{2} v_{2} = A_{1} v_{1}$ ।	$m/s$
$v$	दीवार के किसी बिंदु पर वेग, जो स्वयं एक धारा-रेखा है: वहाँ दीवार के स्पर्शरेखीय।	$m/s$

$p_{1} A_{1}$	पीछे का तरल प्रवेश करते पट्टे को आगे धकेलने वाला बल: दाब गुणा क्षेत्रफल।	$N$
$p_{2} A_{2}$	आगे का तरल निकलते पट्टे को पीछे धकेलने वाला बल।	$N$
$v_{1} d t$	प्रवेश करते पट्टे की लंबाई: काट 1 पर $d t$ में तरल जितनी दूरी चलता है।	$m$
$v_{2} d t$	निकलते पट्टे की लंबाई, $v_{2} > v_{1}$ के कारण अधिक।	$m$
$d V$	हर पट्टे का आयतन, दोनों काटों पर समान।	$m^{3}$
$h_{1}$	काट 1 पर नली की अक्ष की संदर्भ स्तर से ऊँचाई।	$m$
$h_{2}$	काट 2 पर नली की अक्ष की उसी स्तर से ऊँचाई।	$m$

$x$	नली के साथ स्थिति, प्रवाह की दिशा में।	$m$
$p$	नली की अक्ष पर स्थैतिक दाब (गेज)।	$Pa$
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	गतिक दाब: प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा।	$Pa$
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$	उनका योग, पूरी नली के साथ समान।	$Pa$

$H$	छिद्र के ऊपर मुक्त सतह की गहराई।	$m$
$A_{T}$	टंकी की मुक्त सतह का क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$a$	छिद्र का क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$v$	छिद्र के ठीक बाहर जेट की चाल।	$m/s$
$d H / d t$	स्तर के परिवर्तन की दर: ऋणात्मक, क्योंकि स्तर गिर रहा है।	$m/s$