Fuerza de arrastre y velocidad terminal

Principiante

Veamos paso a paso qué hace la resistencia del aire.

Paso 1: los fluidos empujan de vuelta. Saca la mano por la ventanilla de un coche en marcha y el aire la empuja hacia atrás. El aire, el agua y cualquier fluido empujan contra lo que se mueve a través de ellos. Ese empuje se llama arrastre, o resistencia del aire. Crece deprisa con la velocidad (el doble de rápido supone unas cuatro veces más empuje) y con el área que da al flujo.

Paso 2: un cuerpo que cae deja de acelerar. Mira al paracaidista. Justo después de saltar va despacio, así que la resistencia del aire (flecha roja, hacia arriba) es pequeña y gana el peso (flecha verde, hacia abajo): acelera y la barra azul de velocidad sube. Pero más velocidad significa más resistencia. Al cabo de unos diez segundos la flecha roja es tan larga como la verde. Las fuerzas se compensan y la velocidad deja de cambiar: cae de forma constante a unos 200 km/h, la velocidad terminal.

Paso 3: el paracaídas. La campana abierta tiene un área enorme, así que la resistencia pasa a ser mucho mayor que el peso y el paracaidista frena. Al bajar la velocidad baja también el empuje, hasta equilibrar de nuevo el peso a unos suaves 18 km/h.

Paso 4: forma y viscosidad. Una forma lisa y puntiaguda deja que el fluido se cierre tras ella y apenas sufre arrastre: piensa en los peces y en los ciclistas de competición. Los líquidos espesos como la miel frenan incluso un movimiento lento; esa «pegajosidad» interna se llama viscosidad.

Compruébalo: una gota de lluvia cae a velocidad constante. ¿La resistencia del aire sobre ella es menor, igual o mayor que su peso? (Respuesta: igual. Velocidad constante significa que las fuerzas se equilibran.)

Intermedio

Qué es el arrastre y de qué depende

El arrastre es la fuerza que ejerce un fluido sobre un cuerpo que se mueve a través de él. Apunta en contra de la velocidad del cuerpo respecto al fluido: un ciclista que pedalea a 10 m/s contra un viento de cara de 5 m/s se encuentra con el aire a 15 m/s.

En pelotas, coches y paracaidistas, el arrastre sigue la ley cuadrática
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
Aquí $\rho$ es la densidad del fluido (1,2 kg/m³ para el aire cerca del suelo), $A$ el área frontal que se enfrenta al flujo y $v$ la rapidez. El coeficiente de arrastre $C_d$ es un número puro que depende de la forma: unos 0,05 para un perfil en forma de gota, 0,3 para un coche moderno, 0,47 para una esfera y 1,5 para un paracaídas redondo.

¿Por qué el cuadrado? Cada segundo el cuerpo aparta una masa de fluido de unos $\rho Av$ y le comunica una rapidez del orden de $v$. La cantidad de movimiento cedida por segundo, que es la fuerza, es entonces del orden de $\rho A{v}^2$: al doble de rapidez, cuatro veces más arrastre.

Viscosidad y el mundo de lo pequeño y lento

La viscosidad, $\eta$, es el rozamiento interno de un fluido, la resistencia de sus capas a deslizar unas sobre otras, y se mide en pascal segundo (Pa·s). A 20 °C el aire tiene $1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, el agua $1,0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, el aceite de oliva unos 0,08 Pa·s y la glicerina 1,4 Pa·s; los líquidos calientes son más fluidos.

Los objetos diminutos o lentos, como el polvo, las gotas de niebla o una bolita que se hunde en miel, notan en cambio un arrastre proporcional a $v$. Para una esfera de radio $r$ es la ley de Stokes,
$F_d=6\pi \eta rv\text{(Stokes, }\mathrm{Re}\ll 1\text{)}$
La densidad no interviene: el fluido no es apartado, sino cizallado, capa contra capa.

Qué ley se aplica lo decide el número de Reynolds, que se construye con la densidad y la viscosidad del fluido, la rapidez y el tamaño $L$ del cuerpo:
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Compara la inercia del fluido con su viscosidad. Por debajo de 1, aproximadamente, vale la ley de Stokes; por encima de 1000, la ley cuadrática, con un $C_d$ fijado sobre todo por la forma. Una gota de niebla tiene $\mathrm{Re}\approx 0,02$; el paracaidista, con $L\approx 0,5\mathrm{m}$, unos 2 millones.

Caída con arrastre: la velocidad terminal

Toma el sentido hacia abajo como positivo. Un cuerpo que cae siente su peso $mg$ hacia abajo y el arrastre hacia arriba, de modo que la segunda ley de Newton dice
$ma=mg-F_d$
Al empezar, $v=0$, no hay arrastre y $a=g$. A medida que el cuerpo acelera, el arrastre crece y la aceleración disminuye, hasta que el arrastre iguala al peso. A partir de ahí $a=0$ y el cuerpo cae con rapidez constante, la velocidad terminal. Si imponemos $\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2=mg$, resulta
$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{d}A}}$

Para una esfera pequeña en el régimen de Stokes, el peso menos el empuje (véase Flotación y principio de Arquímedes) se equilibra con $6\pi \eta rv$, lo que da
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }\text{(esfera de Stokes)}$
donde ${\rho }_s$ y ${\rho }_f$ son las densidades de la esfera y del fluido. En el aire, el empuje es solo un 0,1 % del peso de un paracaidista, y lo ignoramos. Un cuerpo de la misma forma y material pero del doble de tamaño cae $\sqrt{2}\approx 1,41$ veces más deprisa con arrastre cuadrático ($m\propto r^3$, $A\propto r^2$), lo que ayuda a los animales pequeños a sobrevivir a las caídas; en el régimen de Stokes cae cuatro veces más deprisa ($v_t\propto r^2$).

Ejemplo resuelto: el paracaidista de la animación

El saltador tiene $m=80\mathrm{kg}$ y, boca abajo, $C_{d}A=0,43{\mathrm{m}}^2$, en aire con $\rho =1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. El peso es $mg=80\cdot 9,81=785\mathrm{N}$, la línea verde de los indicadores, y la velocidad terminal es
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 785}{1,2\cdot 0,43}}\approx \sqrt{3040}\approx 55,2m/s$
unos 199 km/h.

Como $mg=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2$, el arrastre a cualquier rapidez es $F_d=mg(v/v_t{)}^2$. Cuando el indicador de $v$ marca 30 m/s, en $t\approx 3,4\mathrm{s}$, $F_d=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,43\cdot 30^2\approx 232\mathrm{N}$ y $a=(785-232)/80\approx 6,9m/{\mathrm{s}}^2$. La aproximación es lenta: a los 13 s, cuando se abre la campana, los indicadores muestran $v\approx 54,1m/s$, $F_d\approx 755\mathrm{N}$ y $a\approx 0,4m/{\mathrm{s}}^2$. El indicador de $t$ cuenta segundos reales; la animación va al doble de velocidad.

La campana tiene $C_{d}A=52,5{\mathrm{m}}^2$, 122 veces más, así que $v_t$ se divide por $\sqrt{122}\approx 11$, hasta $55,2/11,05\approx 5,0m/s$ (18 km/h), como dice la línea del paracaídas bajo las fórmulas. Mientras se infla la campana, el arrastre alcanza un máximo cerca de 3340 N, 4,3 veces el peso, en $t\approx 14\mathrm{s}$, y el indicador de $a$ baja hasta unos $-32m/{\mathrm{s}}^2$, una deceleración de $3,3g$. Hacia los 19 s los indicadores se estabilizan en $v=5,0m/s$, $F_d=785\mathrm{N}$ y $a=0$.

Ejemplo resuelto: gotas de niebla y gotas de lluvia

¿Por qué flotan las nubes mientras llueve? Una gota de niebla de radio $r=10\mu \mathrm{m}$ cae por el aire ($\eta =1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$), con ${\rho }_s=1000kg/{\mathrm{m}}^3$ y ${\rho }_f=1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. La fórmula de Stokes da
$v_t=\frac{2\cdot (10^{-5}{)}^2\cdot 998,8\cdot 9,81}{9\cdot 1,8\times 10^{-5}}\approx 0,012m/s$
solo 1,2 cm/s. Comprueba el régimen: $\mathrm{Re}=1,2\cdot 0,012\cdot 2\times 10^{-5}/(1,8\times 10^{-5})\approx 0,016$, muy por debajo de 1, así que la ley de Stokes era la elección correcta. Una corriente ascendente de unos pocos centímetros por segundo mantiene suspendidas en el aire gotas como esa.

Una gota de lluvia de 1 mm de radio es 100 veces mayor. La ley de Stokes daría $10^4$ veces más, 121 m/s, con un número de Reynolds de unos 16 000, muy fuera de su rango. Con la ley cuadrática, en cambio, $C_d\approx 0,5$, $m={\rho }_s\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4,19\times 10^{-6}\mathrm{kg}$ y $A=\pi r^2=3,14\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$:
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 4,19\times 10^{-6}\cdot 9,81}{1,2\cdot 0,5\cdot 3,14\times 10^{-6}}}\approx 6,6m/s$
cerca de los 6,5 m/s medidos para gotas de 2 mm de diámetro, con $\mathrm{Re}\approx 900$. Primero hay que averiguar el régimen y después elegir la ley.

Cómo leer las flechas de fuerza

Las dos flechas comparten una escala, en píxeles por newton. La flecha verde $mg$ no cambia nunca; la flecha roja $F_d$ cuenta la historia en cuatro fases.

• Acelerando: la roja es más corta que la verde, así que la fuerza neta apunta hacia abajo y $a$ disminuye desde $g$ hacia cero.
• Velocidad terminal: las dos flechas igual de largas, fuerza neta nula, una rapidez estable cerca de 55 m/s.
• Apertura: la roja unas 4,3 veces más larga que la verde, así que la fuerza neta apunta hacia arriba y $a$ se vuelve negativa mientras el saltador aún cae.
• De nuevo en equilibrio: la roja recupera la longitud de la verde, a 5,0 m/s, y las rayas grises del aire apenas se deslizan junto al saltador.

Errores frecuentes

• Fuerzas equilibradas no significan reposo: a la velocidad terminal la fuerza neta es cero, y sin embargo el saltador sigue cayendo a 55 m/s.
• Un paracaídas que se abre no tira del saltador hacia arriba, por mucho que lo sugieran los vídeos grabados por un paracaidista de cámara que aún cae a toda velocidad: la velocidad sigue apuntando hacia abajo, y baja de 54 a 5 m/s, mientras que la aceleración apunta hacia arriba, unos $-32m/{\mathrm{s}}^2$ en su máximo.
• El arrastre cotidiano no es proporcional a la rapidez: a la mitad de la velocidad terminal, 27,6 m/s, el arrastre sobre el saltador es la cuarta parte del peso, 196 N, y no la mitad.
• Los cuerpos más pesados sí caen más deprisa en el aire, pero solo como $\sqrt{m}$: 40 kg de equipo extra con el mismo $C_{d}A$ multiplican $v_t$ por $\sqrt{1,5}\approx 1,22$, hasta 67,5 m/s.
• La viscosidad no es la densidad: el aceite de oliva flota sobre el agua, y sin embargo es unas 80 veces más viscoso.

Dónde aparece

El arrastre fija la factura energética de todo vehículo. Moverse con rapidez constante por aire en calma exige la potencia
$P=F_{d}v=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^3$
Para un coche con $C_{d}A=0,66{\mathrm{m}}^2$ a 90 km/h (25 m/s) esto es $\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,66\cdot 25^3\approx 6,2\mathrm{kW}$; a 130 km/h son 18,6 kW, el triple, y cada kilómetro cuesta aproximadamente el doble de energía.

Los ciclistas se agachan para reducir $C_{d}A$, los hoyuelos de las pelotas de golf reducen el arrastre y los paracaídas lo aprovechan, mientras que las centrifugadoras aceleran la lenta sedimentación de Stokes de las células de la sangre. La lección Principio de Bernoulli explica la presión $\frac{1}{2}\rho v^2$ que hay detrás de la ley del arrastre, Amortiguamiento y resonancia trata el arrastre que frena una oscilación, y Trabajo, energía y potencia sigue la pista de adónde va la energía.

Avanzado

Viscosidad: flujo de cantidad de movimiento entre capas

La viscosidad es la resistencia de un fluido a que sus capas deslicen unas sobre otras. Todas las fuerzas de arrastre de esta lección nacen de ella, directa o indirectamente, así que empezamos por el flujo más sencillo que permite medirla.

Leyenda

$d$	Anchura del hueco entre las dos placas.	$\mathrm{m}$
$A$	Área de la placa superior.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Fuerza que arrastra la placa superior con rapidez constante.	$\mathrm{N}$
$v_0$	Rapidez de la placa superior; la inferior está en reposo.	$m/s$
$v(y)$	Rapidez del fluido a la altura $y$ sobre la placa inferior: cero abajo, $v_0$ arriba.	$m/s$
$\eta$	Viscosidad del fluido: el esfuerzo necesario por unidad de gradiente de velocidad.	$\mathrm{Pa}\mathrm{s}$

La figura 1 muestra ese flujo. Un fluido llena el hueco de anchura $d$ entre dos placas paralelas grandes. La placa inferior se mantiene quieta. La superior, de área $A$, se arrastra con una fuerza $F$ y desliza con rapidez constante $v_0$. Cada flecha azul da la rapidez del fluido $v(y)$ a la altura $y$ sobre la placa inferior.

Dos hechos fijan la longitud de las flechas. Primero, el fluido en contacto con una superficie sólida se mueve con ella. Es la condición de no deslizamiento, y se cumple en todos los fluidos corrientes. Por eso la flecha de abajo tiene longitud cero y la de arriba, longitud $v_0$. Segundo, las capas vecinas tiran unas de otras con una fuerza por unidad de área proporcional a lo deprisa que cambia la rapidez con la altura, $\eta dv/dy$. Esto es lo que define la viscosidad $\eta$. En un flujo estacionario ninguna capa se acelera, así que el tirón de la capa más rápida de arriba debe equilibrar el frenado de la capa más lenta de abajo: el esfuerzo, y con él $dv/dy$, es el mismo a cualquier altura.

Por eso las flechas crecen en pasos iguales y la línea discontinua que pasa por sus puntas es recta. La rapidez aumenta en $v_0$ a lo ancho del hueco $d$, así que $dv/dy=v_0/d$ en todas partes, y la fuerza necesaria por unidad de área de la placa es
$\frac{F}{A}=\eta \frac{v_0}{d}$
Si duplicas la rapidez de la placa, o reduces el hueco a la mitad, la fuerza se duplica. Como $F/A$ es un esfuerzo, $\eta$ se mide en Pa·s.

La misma ley tiene una lectura más profunda como flujo de cantidad de movimiento. Cada capa tira hacia delante de la capa más lenta que tiene debajo, y esta la retiene a cambio. La cantidad de movimiento en la dirección del flujo pasa así del fluido rápido al lento, a un ritmo fijado por $\eta$. En la figura 1 entra por la placa móvil, atraviesa todas las capas hacia abajo y sale por la placa quieta; $F$ es el ritmo, en cantidad de movimiento por segundo, al que la placa superior la va aportando.

Esta imagen explica cómo depende la viscosidad del estado del fluido. En un gas, la cantidad de movimiento la transportan moléculas que saltan entre capas: una molécula que llega de una capa más rápida lleva un exceso de cantidad de movimiento hacia delante a una capa más lenta. La teoría cinética da $\eta \approx \frac{1}{3}\rho \bar{v}\lambda$. Aquí $\rho$ es la densidad del gas, $\bar{v}$ la rapidez molecular media y $\lambda$ el recorrido libre medio, la distancia media que recorre una molécula entre dos choques. Como $\lambda \propto 1/\rho$, el producto $\rho \lambda$ no cambia al comprimir el gas, así que la viscosidad de un gas no depende de la presión. Aumenta con la temperatura, porque $\bar{v}$ aumenta. Los líquidos se comportan al revés: sus moléculas están sujetas por sus vecinas, el calor las ayuda a liberarse y la viscosidad cae bruscamente al calentarlos. El agua tiene 1,79 mPa·s a 0 °C, pero solo 0,28 mPa·s a 100 °C.

La fuerza viscosa también completa la ecuación del movimiento de un fluido. Para un fluido ideal, la segunda ley de Newton por unidad de volumen es la ecuación de Euler: la densidad por la aceleración es igual a la fuerza de presión $-\nabla p$ más el peso $\rho \vec{g}$, donde $p$ es la presión. En un fluido incompresible, la fuerza viscosa neta por unidad de volumen es $\eta {\nabla }^2\vec{v}$. El laplaciano ${\nabla }^2$ mide cuánto se aparta la velocidad en un punto de la media de su entorno, así que esta fuerza acerca cada porción de fluido al movimiento de sus vecinas. Al añadirla se obtiene la ecuación de Navier–Stokes:
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}+\eta {\nabla }^2\vec{v}$
El paréntesis es la aceleración de una porción de fluido: el cambio de velocidad en un punto fijo más el cambio que se produce al desplazarse a un lugar donde el flujo es distinto. La ecuación se resuelve con la condición de no deslizamiento de la figura 1: en toda superficie sólida el fluido se mueve con la superficie, así que $\vec{v}=0$ sobre un cuerpo en reposo.

Análisis dimensional y número de Reynolds

El flujo alrededor de un cuerpo real es demasiado complicado para calcularlo a partir de la ecuación de Navier–Stokes. El análisis dimensional muestra cuánto se puede decir sin resolverla, y da el único número que clasifica todos los flujos.

Para un cuerpo de forma dada, el arrastre $F$ solo puede depender del tamaño del cuerpo $L$, de su rapidez $v$ a través del fluido y de la densidad $\rho$ y la viscosidad $\eta$ del fluido. Estas cinco magnitudes se construyen con tres unidades, el kilogramo, el metro y el segundo, así que solo se pueden combinar en $5-3=2$ números adimensionales independientes. Una pareja cómoda es $F/(\rho v^2{L}^2)$ y el número de Reynolds
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Una ley física no puede depender de la elección de unidades, así que debe ser una relación entre estos dos números: el primero es una función del segundo. Si sustituyes $L^2$ por el área frontal $A$ del cuerpo y añades el factor convencional $\frac{1}{2}$, obtienes la ley de arrastre
$F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d(\mathrm{Re})$
El coeficiente de arrastre $C_d$ es un número puro. Toda la física difícil se esconde ahora en una función de una sola variable, que basta medir una vez para cada forma.

Físicamente, $\mathrm{Re}$ compara la inercia con la viscosidad. La velocidad cambia en algo del orden de $v$ en distancias del orden de $L$, así que el término inercial $\rho (\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$ es del orden de $\rho v^2/L$ y el término viscoso $\eta {\nabla }^2\vec{v}$, del orden de $\eta v/L^2$. Su cociente es $\mathrm{Re}$. Con $\mathrm{Re}$ grande domina la inercia; con $\mathrm{Re}$ pequeño, la viscosidad.

De aquí se deduce que los flujos alrededor de cuerpos geométricamente semejantes con el mismo $\mathrm{Re}$ son copias a escala unos de otros, y eso es lo que hace funcionar los ensayos con maquetas. Con la viscosidad cinemática $\nu =\eta /\rho$, el número de Reynolds es $\mathrm{Re}=vL/\nu$; $\nu$ vale $1,0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ para el agua y $1,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ para el aire. Una maqueta de coche a escala 1 : 10 tiene una décima parte de la longitud, así que en agua reproduce el coche real en aire cuando su rapidez es $10{\nu }_{\mathrm{agua}}/{\nu }_{\mathrm{aire}}\approx 0,67$ de la del coche. El intervalo de $\mathrm{Re}$ en la naturaleza es enorme: unos $10^{-4}$ para una bacteria que nada, 0,016 para una gota de niebla, 900 para una gota de lluvia y $2\times 10^6$ para el paracaidista.

El flujo de Stokes y la curva de arrastre

La función $C_d(\mathrm{Re})$ se ha medido para muchas formas. La esfera es el ejemplo de referencia, y su curva muestra los dos regímenes, muy distintos, del arrastre.

Leyenda

$C_d$	Coeficiente de arrastre, definido por $F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d$.
$Re$	Número de Reynolds del flujo, $\rho vL/\eta$, con $L$ el diámetro de la esfera.
$R{e}_c$	Número de Reynolds de la crisis de arrastre, unos $3\times 10^5$.

La figura 2 representa el coeficiente de arrastre $C_d$ de una esfera lisa frente al número de Reynolds $\mathrm{Re}$, calculado con el diámetro de la esfera. Los dos ejes son logarítmicos: cada factor 10 ocupa la misma distancia, así que una ley de potencias $C_d\propto {\mathrm{Re}}^n$ aparece como una recta de pendiente $n$. La recta discontinua es $C_d=24/\mathrm{Re}$, de pendiente $-1$.

Sigue la curva medida de izquierda a derecha. Para $\mathrm{Re}\ll 1$ va pegada a la recta discontinua. Cerca de $\mathrm{Re}\approx 1$ se curva por encima de ella, y entre $\mathrm{Re}\approx 10^3$ y $2\times 10^5$ se aplana en una meseta de 0,4 a 0,5. En ${\mathrm{Re}}_c\approx 3\times 10^5$ se desploma hasta unos 0,1: es la crisis de arrastre. Más allá, la curva se recupera en parte, hasta aproximadamente 0,2 en $\mathrm{Re}\approx 10^7$. La meseta y la caída se deben a la forma de la estela, el tema del siguiente apartado.

El tramo recto es el flujo de Stokes. Con $\mathrm{Re}\ll 1$ el término inercial es despreciable, así que la densidad $\rho$ desaparece del problema. El arrastre sobre una esfera de radio $r$ solo puede depender entonces de $\eta$, $v$ y $r$, y el único producto de ellos con unidades de fuerza es $\eta rv$. Al resolver las ecuaciones del flujo lento se fija el factor numérico:
$F_d=6\pi \eta rv$
Al dividir entre $\frac{1}{2}\rho v^2\pi r^2$ se obtiene $C_d=12\eta /(\rho vr)=24\eta /(\rho v\cdot 2r)=24/\mathrm{Re}$, que es la recta discontinua.

Una esfera pequeña que se hunde en un líquido alcanza su velocidad terminal cuando este arrastre equilibra su peso menos el empuje, $\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_s-{\rho }_f)g$, donde ${\rho }_s$ es la densidad de la esfera y ${\rho }_f$ la del fluido. Igualando ambos se obtiene
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }$
proporcional a $r^2$: una esfera el doble de ancha se hunde cuatro veces más deprisa. Cronometrar una bola que se hunde y despejar $\eta$ es una forma habitual de medir la viscosidad de los aceites.

Separación, estela y crisis de arrastre

¿Por qué $C_d$ deja de bajar y se estabiliza, y por qué cae de repente cerca de ${\mathrm{Re}}_c$? La respuesta está en una fina capa de fluido pegada a la superficie del cuerpo.

Leyenda

$v$	Rapidez de la corriente lejos, aguas arriba.	$m/s$
$r$	Radio de la esfera.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Espesor de la capa límite, a través de la cual la rapidez sube desde cero en la superficie hasta la de la corriente. Dibujada mucho más gruesa de lo real.	$\mathrm{m}$
$S_1$	Punto donde se separa la capa límite laminar, a unos 80° del frente.
$S_2$	Punto donde se separa la capa límite turbulenta, más atrás, a unos 120° del frente.
$w_1$	Anchura de la estela detrás de la esfera con capa límite laminar.	$\mathrm{m}$
$w_2$	Anchura de la estela con capa límite turbulenta.	$\mathrm{m}$

La figura 3 muestra el flujo alrededor de una esfera de radio $r$ en una corriente de rapidez $v$. En la superficie el fluido está en reposo (no deslizamiento). La fina capa en la que su rapidez sube hasta la de la corriente es la capa límite, de espesor $\delta$; está dibujada mucho más gruesa de lo que es en realidad. Sobre la mitad delantera de la esfera la presión disminuye, lo que empuja la capa en el sentido del flujo. Detrás del punto más ancho la presión vuelve a subir, y el fluido lento junto a la pared no tiene cantidad de movimiento suficiente para avanzar contra ella.

En el dibujo de arriba la capa límite es laminar, es decir, suave y ordenada. Se queda pronto sin cantidad de movimiento y se separa en $S_1$, a unos 80° del frente: abandona la superficie siguiendo la tangente, como una capa de cizalla libre. Detrás queda una estela ancha de fluido lento, arremolinado y a baja presión, de anchura $w_1$. En el dibujo de abajo la capa límite es turbulenta. Sus remolinos llevan sin parar fluido rápido de fuera hacia la pared, así que se mantiene pegada más tiempo y se separa más atrás, en $S_2$, a unos 120° del frente. La estela, de anchura $w_2$, es mucho más estrecha.

Relaciona ahora esto con la figura 2. Por encima de $\mathrm{Re}\approx 10^3$ el flujo es del tipo de arriba: no puede seguir la parte trasera del cuerpo. El frente siente casi toda la presión de estancamiento $\frac{1}{2}\rho v^2$, mientras que la estela ancha de detrás está a baja presión. Esta diferencia, el arrastre de presión, no depende de $\eta$, así que $C_d$ se estabiliza: es la meseta. Cerca de ${\mathrm{Re}}_c$ la capa límite se vuelve turbulenta antes de poder separarse. El flujo pasa al tipo de abajo, la estela se estrecha, la presión de detrás se recupera en parte y $C_d$ cae hasta unos 0,1: es la crisis de arrastre.

Los hoyuelos de una pelota de golf hacen turbulenta la capa límite mucho antes y provocan la crisis hacia $\mathrm{Re}\approx 5\times 10^4$. Un golpe largo abarca $\mathrm{Re}\approx 10^5$ a $2\times 10^5$, así que durante todo el vuelo los hoyuelos reducen el arrastre aproximadamente a la mitad. Los cuerpos con aristas vivas, como una placa plana, un saltador con brazos y piernas extendidos o una campana, se comportan de otro modo: el flujo se separa en sus bordes con cualquier $\mathrm{Re}$ alto, así que su $C_d$ se mantiene casi constante. Por eso la animación puede usar un único valor de $C_{d}A$ en cada fase del salto. La ley en $v^2$ resume un flujo complicado en un intervalo limitado de $\mathrm{Re}$; no es una ley de la naturaleza como $F=ma$.

La capa límite resuelve también un viejo enigma. Un fluido ideal, con $\eta =0$, que fluye de forma estacionaria alrededor de un cuerpo se cierra perfectamente detrás de él y no ejerce ningún arrastre: es la paradoja de d'Alembert, de 1752. Cabría esperar que los flujos reales se acercaran a esto cuando $\eta \to 0$, pero no es así. En la ecuación de Navier–Stokes, $\eta$ multiplica al término con las derivadas de mayor orden. Si se suprime ese término, baja el orden de la ecuación, y la ecuación que queda no puede cumplir la condición de no deslizamiento. Por pequeña que sea $\eta$, el cambio de velocidad se concentra por tanto en una capa límite, el $\delta$ de la figura 3, donde los gradientes son lo bastante fuertes para que la viscosidad cuente. Su espesor solo disminuye como $L/\sqrt{\mathrm{Re}}$; para el paracaidista es una fracción de milímetro. La capa sigue separándose, la estela persiste y el arrastre sigue siendo finito. La viscosidad nula es un límite singular, como mostró en 1904 la teoría de la capa límite de Prandtl.

Integrar la caída: la tangente hiperbólica

El paracaidista de la animación (80 kg de masa, boca abajo) cae con números de Reynolds cercanos a $2\times 10^6$, donde $C_d$ es constante y el arrastre crece como $v^2$. Este apartado resuelve el movimiento de forma exacta.

Escribe $k=\frac{1}{2}\rho C_{d}A$, de modo que el arrastre vale $k{v}^2$, y toma hacia abajo como sentido positivo. El peso $mg$ actúa hacia abajo y el arrastre hacia arriba, así que la segunda ley de Newton queda $mdv/dt=mg-k{v}^2$. El saltador deja de acelerar cuando las dos fuerzas se equilibran, a la velocidad terminal $v_t$, con $v_t^2=mg/k$. Dividiendo entre $m$ y usando esta definición queda $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$. Ahora la rapidez y el tiempo se pueden separar a cada lado de la igualdad e integrar desde el salto, cuando $t=0$ y $v=0$:
${\int }_0^v\frac{du}{1-u^2/v_t^2}=v_t\mathrm{artanh}(v/v_t)=gt$
Despejando $v$ se obtiene
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
Como la integral de $\tanh$ es $\ln \cosh$, una integración más da la distancia caída, $x(t)=(v_t^2/g)\ln \cosh (gt/v_t)$.

La escala de tiempo natural es $\tau =v_t/g$, el tiempo que necesitaría la caída libre para alcanzar $v_t$. Para el saltador de la animación, con $v_t=55,2m/s$, vale $\tau =5,6\mathrm{s}$. Para $t\ll \tau$, $\tanh s\approx s$, así que $v\approx gt$: los primeros segundos son casi caída libre. Para $t\gg \tau$, $\tanh s\approx 1-2e^{-2s}$ y $\ln \cosh s\approx s-\ln 2$, así que
$v\approx v_t(1-2e^{-2t/\tau }),x\approx v_{t}t-(v_t^2/g)\ln 2$
El saltador acaba a una distancia fija de 215 m por detrás de un compañero imaginario que hubiera caído a $v_t$ desde el principio.

Compara con el arrastre lineal, $mdv/dt=mg-bv$, que da $v=v_t(1-e^{-t/\tau })$ con, de nuevo, $\tau =v_t/g$, que aquí es igual a $m/b$. El comienzo es el mismo, con pendiente $g$, pero la aproximación final es más lenta: la diferencia con $v_t$ se reduce a un ritmo $1/\tau$ en lugar de $2/\tau$. A la velocidad terminal nada se acelera, y sin embargo la gravedad sigue haciendo trabajo a razón de $mg{v}_t=785\cdot 55,2\approx 43\mathrm{kW}$. Toda esa energía se emplea en agitar el aire, cuyos torbellinos acaban convirtiéndola en calor.

Leer las gráficas: aproximación y choque de apertura

Las fórmulas se vuelven concretas en las gráficas de la animación. Sus pendientes y sus áreas muestran lo deprisa que el saltador acelera y frena, cuánto cae y con qué fuerza tira la campana.

Leyenda

$v$	Rapidez del saltador.	$m/s$
$t$	Tiempo desde el salto.	$\mathrm{s}$
$v_t$	Velocidad terminal del saltador boca abajo, 55,2 m/s.	$m/s$
$v_t^{\prime }$	Velocidad terminal bajo la campana abierta, 5,0 m/s.	$m/s$
$gt$	Rapidez que alcanzaría la caída libre: la tangente a $v(t)$ en $t=0$, de pendiente $g$.	$m/s$
$\tau$	Escala de tiempo $v_t/g=5,6\mathrm{s}$: la tangente $gt$ corta la línea $v_t$ en $t=\tau$.	$\mathrm{s}$
$t_1$	Instante en que la campana empieza a abrirse, 13 s después del salto.	$\mathrm{s}$
$x$	Distancia caída antes de $t_1$: el área sombreada bajo $v(t)$.	$\mathrm{m}$

La figura 4 es la gráfica de rapidez de la vista experta de la animación, dibujada con el mismo modelo. La curva azul es la rapidez del saltador, $v(t)$. Sale del origen a lo largo de la tangente verde $gt$, de pendiente $g$, que corta la línea discontinua superior $v_t$ en $t=\tau =5,6\mathrm{s}$, la primera vertical discontinua. Fíjate en el punto inferior de ese instante: la curva solo ha alcanzado $\tanh 1\approx 0,76$ de $v_t$, 42 m/s, porque el arrastre no ha dejado de crecer. Llega al 96 % de $v_t$ tras $2\tau$, y a 54,1 m/s en $t_1=13\mathrm{s}$, la segunda vertical discontinua, cuando la campana empieza a abrirse. La animación dibuja además una segunda gráfica, que no aparece aquí: el arrastre $F_d(t)=mg{\tanh }^2(gt/v_t)$, en rojo. Empieza plana, porque el arrastre crece como $v^2$, y sube poco a poco hacia la línea discontinua de $mg$.

En $t_1$ el diámetro de la campana empieza a crecer de forma constante durante 4 s. Su área crece como el cuadrado del diámetro, así que el $C_{d}A$ adicional crece como el cuadrado del tiempo transcurrido desde la apertura. Al principio $C_{d}A$ aumenta más deprisa de lo que $v^2$ disminuye, así que el arrastre se dispara hasta un máximo de unos 3340 N, $4,3mg$, en $t\approx 14,0\mathrm{s}$ y con $v\approx 37m/s$. Es el choque de apertura. En la figura 4, después de $t_1$, la curva azul cae en picado hacia la línea discontinua inferior, $v_t^{\prime }=5,0m/s$, y la alcanza hacia los 18 s. La aproximación es rápida porque la nueva escala de tiempo es solo $v_t^{\prime }/g=0,51\mathrm{s}$.

Las áreas también tienen significado. El área bajo $v(t)$ es la altura perdida: 505 m antes de la apertura (el área sombreada $x$ de la figura 4), 92 m durante el inflado y otros 25 m a la velocidad final hasta los 22 s, 622 m en total. En la gráfica del arrastre, la segunda ley de Newton $mdv/dt=mg-F_d$ muestra que el área neta entre $F_d(t)$ y la línea de $mg$ después de la apertura es la cantidad de movimiento retirada: $m\Delta v=80\cdot (54,1-5,0)\approx 3930\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$.

Problema resuelto: una campana que se abre de golpe

¿Por qué debe abrirse gradualmente una campana? Supón que la campana completa, con $C_{d}A=52,5{\mathrm{m}}^2$, apareciera de repente a los 13 s, cuando la rapidez es $v_0=54,1m/s$. Con este $C_{d}A$ la velocidad terminal es $v_t^{\prime }=4,99m/s$, lo que significa que el arrastre es igual a $mg$ cuando la rapidez vale $v_t^{\prime }$. El arrastre crece como $v^2$, así que a $v_0$ saltaría hasta
$F_d=mg{\left(\frac{v_0}{v_t^{\prime }}\right)}^2=785\cdot {\left(\frac{54,1}{4,99}\right)}^2\approx 9,2\times 10^4\mathrm{N}$
Eso es 117 veces el peso. Si se resta el peso, queda una fuerza neta de 116 veces el peso, una deceleración de unos 116 g.

¿Cuánto tardaría en bajar la rapidez? Ahora $v>v_t^{\prime }$, así que el arrastre supera al peso, y la misma ecuación de antes, $dv/dt=-g\left(v^2/(v_t^{\prime }{)}^2-1\right)$, hace que la rapidez disminuya. Por encima de la velocidad terminal, su solución usa $\coth$ en lugar de $\tanh$. Contando $t$ desde la apertura,
$v(t)=v_t^{\prime }\coth \left(\frac{gt}{v_t^{\prime }}+u_0\right),\coth u_0=\frac{v_0}{v_t^{\prime }}$
Aquí $\coth u_0=10,8$, así que $u_0=0,093$. La rapidez ha bajado a $2v_t^{\prime }\approx 10m/s$ cuando el paréntesis llega a $\mathrm{arcoth}2=0,549$. Con $v_t^{\prime }/g=0,509\mathrm{s}$, eso lleva $(0,549-0,093)\cdot 0,509\approx 0,23\mathrm{s}$. La integral de $\coth$ es $\ln \sinh$, así que la distancia recorrida es $((v_t^{\prime }{)}^2/g)\ln (\sinh 0,549/\sinh 0,093)\approx 2,54\cdot 1,83\approx 4,6\mathrm{m}$.

Un balance de energía da la fuerza media. Entre 54,1 y 10 m/s el saltador pierde $\frac{1}{2}\cdot 80\cdot (54,1^2-10^2)\approx 113\mathrm{kJ}$ de energía cinética. El arrastre debe absorberla, junto con los 3,6 kJ de energía potencial liberados por el camino, en 4,6 m: una fuerza media de 32 veces el peso. La campana de la animación reparte la apertura en 4 s y 92 m. Ahí el arrastre absorbe los 116 kJ de energía cinética perdidos más 72 kJ de energía potencial, una media de $2,6mg$ con un máximo de $4,3mg$. Los paracaídas reales llevan deslizadores o cabos de rizado que frenan la apertura precisamente por esta razón.

Límites de validez

El modelo mantiene $C_{d}A$ fijo en cada fase y la densidad del aire $\rho$ fija durante toda la caída. Ambas cosas son aproximaciones. Con la cabeza hacia abajo, un saltador reduce su $C_{d}A$ aproximadamente a la mitad, y como $v_t\propto 1/\sqrt{C_{d}A}$, la velocidad terminal aumenta en un factor $\sqrt{2}$, hasta unos 78 m/s. Como también $v_t\propto 1/\sqrt{\rho }$, cambia además con la altitud: a 4000 m, donde la densidad del aire es de unos 0,82 kg/m³ en lugar de 1,2 kg/m³, el saltador boca abajo cae a $55,2\cdot \sqrt{1,2/0,82}\approx 67m/s$. La velocidad terminal es un objetivo que se mueve.

El aire se comporta como incompresible solo mientras el número de Mach, el cociente entre $v$ y la velocidad del sonido, se mantiene por debajo de 0,3, aproximadamente; el paracaidista está en 0,16. A 39 km el aire es unas 250 veces más tenue, así que $v_t$ resulta unas 16 veces mayor sobre el papel. Los saltos récord desde allí han superado la velocidad del sonido, donde las ondas de choque aumentan $C_d$.

La ley de Stokes exige un $\mathrm{Re}$ muy inferior a 1: su primera corrección, un factor $1+3\mathrm{Re}/16$, ya añade cerca de un 10 % con $\mathrm{Re}=0,5$. En el otro extremo de la escala de tamaños, las partículas menores de unos 0,1 μm son comparables al recorrido libre medio de las moléculas del aire, 68 nm. Entonces el aire deja de comportarse como un fluido continuo: resbala sobre su superficie, y el movimiento browniano las desplaza más que la sedimentación. Por último, el modelo ignora el flujo no estacionario, así que el crecimiento suave de $C_{d}A$ en la animación solo aproxima el violento choque de apertura real.

Lo que viene después

La lección Principio de Bernoulli describe el flujo ideal fuera de la capa límite y explica por qué el arrastre se mide en unidades de $\frac{1}{2}\rho v^2$. En Amortiguamiento y resonancia, un arrastre lineal $-bv$ pasa a ser el término de amortiguamiento de un oscilador. Teoría cinética de los gases deduce la viscosidad de un gas a partir de los choques entre moléculas. Corriente eléctrica y resistencia tiene la misma estructura que la sedimentación de Stokes: los electrones derivan con una velocidad terminal a la que los choques equilibran la fuerza eléctrica, de modo que la corriente es proporcional al campo. Conducción, convección y radiación usa las capas límite para explicar cómo el viento se lleva el calor, y las trayectorias de Tiro parabólico se acortan y se vuelven asimétricas cuando se añade el arrastre.