मुक्त पतन

केवल गुरुत्व के प्रभाव में गति: हर पिंड का नीचे की ओर वेग हर सेकंड 9.81 m/s बढ़ता है ( $g \approx 9.81 m/ s^{2}$ )। इसलिए विराम से छोड़ने पर $v = g t$ और $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ होता है, और भारी व हल्की गेंद एक साथ भूमि पर पहुँचती हैं।

विराम से छोड़ी गई एक गेंद। हर 0.5 s पर बने स्ट्रोब वृत्त, जो पूर्ण सेकंड पर अंकित हैं, दिखाते हैं कि गिरते समय उनके बीच की दूरी बढ़ती है; नीला तीर उसका वेग है और हरा तीर स्थिर त्वरण g।

इस विषय से पहले: सरल रेखा में गति

शुरुआती

मुख्य विचार

गिरती वस्तु की चाल हर सेकंड लगभग 9.81 m/s बढ़ती है; इस स्थिर वृद्धि को g कहते हैं।
दूरी चाल से भी तेज़ बढ़ती है: पहले सेकंड में लगभग 4.9 m, दो सेकंड में 19.6 m।
हवा न हो तो भारी और हल्की चीज़ें साथ गिरती हैं: खिंचाव अधिक होता है, पर गति बदलने के लिए द्रव्यमान भी अधिक होता है।
वस्तु जितनी तेज़ गिरती है, हवा उतना ही अधिक विरोध करती है; इसलिए पंख या पैराशूट जल्द ही तेज़ होना बंद कर देते हैं।
गुरुत्व कभी बंद नहीं होता: ऊपर फेंकी गेंद धीमी होती है, सबसे ऊँचे बिंदु पर क्षण भर रुकती है, फिर नीचे लौटती है।

कोई पिंड तब मुक्त पतन में होता है जब गुरुत्व ही एकमात्र महत्वपूर्ण बल हो। पृथ्वी की सतह के पास वह हर सेकंड लगभग 9.81 m/s नीचे की ओर वेग प्राप्त करता है, चाहे वह किसी भी चीज़ से बना हो। इस स्थिर वृद्धि को g कहते हैं, यानी गुरुत्व के कारण त्वरण।

मान लीजिए एक ऊँचे पुल से एक पत्थर गिराया जाता है। 1 s बाद वह लगभग 10 m/s से, 2 s बाद लगभग 20 m/s से और 3 s बाद लगभग 29 m/s से गिरता है: हर सेकंड चाल उतनी ही बढ़ती है।

त्वरित जाँच: 5 s बाद उसकी चाल लगभग कितनी होगी? (लगभग 49 m/s।)

दूरी चाल से तेज़ बढ़ती है, क्योंकि पत्थर विराम से शुरू होता है। पहले सेकंड में उसकी औसत चाल केवल लगभग 4.9 m/s है, इसलिए वह लगभग 4.9 m गिरता है; दो सेकंड बाद वह 19.6 m गिर चुका होता है, यानी चार गुना दूरी। एनिमेशन में हर आधे सेकंड पर बने हल्के वृत्त एक-दूसरे से और दूर होते जाते हैं।

भारी और हल्की चीज़ें साथ क्यों गिरती हैं? गुरुत्व भारी वस्तु को अधिक ज़ोर से खींचता है, पर भारी वस्तु की गति बदलना भी उतने ही अनुपात में कठिन होता है, इसलिए दोनों प्रभाव एक-दूसरे को काट देते हैं। हवा निकाली गई नली में पंख और सिक्का साथ-साथ गिरते हैं। रोज़मर्रा के जीवन में हवा गिरती वस्तु को रोकती है, और चाल बढ़ने के साथ यह रोक भी बढ़ती है, इसलिए पंख या पैराशूट जल्द ही चाल बढ़ाना बंद कर देते हैं।

ऊपर जाते समय भी गुरुत्व बंद नहीं होता। ऊपर फेंकी गेंद हर सेकंड लगभग 9.81 m/s वेग खोती है, सबसे ऊपर क्षण भर रुकती है और फिर नीचे लौट आती है।

त्वरित जाँच: गेंद आपके हाथ से लगभग 20 m/s की चाल से सीधी ऊपर जाती है। वह कब ऊपर उठना बंद करती है? (लगभग 2 s बाद।)

मध्यम

मुख्य विचार

विराम से (नीचे धनात्मक, $h$ = गिरी हुई दूरी): $v = g t$ , $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ , $v = 2 g h$ ।
क्रमागत समान समय-अंतरालों में गिरी दूरियों का अनुपात 1 : 3 : 5 : 7 होता है।
$v_{0}$ वेग से ऊपर फेंकी गेंद $v_{0} / g$ पर सबसे ऊँचे बिंदु पर रुकती है और $2 v_{0} / g$ पर उसी चाल से लौट आती है।
सबसे ऊँचे बिंदु पर $v = 0$ होता है, फिर भी त्वरण नीचे की ओर $g$ ही रहता है।

मुक्त पतन और चिह्न का चुनाव

कोई पिंड तब मुक्त पतन में होता है जब उस पर केवल गुरुत्व कार्य करे और वायु-प्रतिरोध की उपेक्षा की जाए। हाथ से छूटते ही ऊपर फेंकी गेंद भी मुक्त पतन में होती है। पृथ्वी की सतह के पास हर मुक्त रूप से गिरते पिंड का नीचे की ओर एक ही त्वरण $g \approx 9.81 m/ s^{2}$ होता है, चाहे उसका द्रव्यमान कुछ भी हो।

गति एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर होती है, इसलिए चुनें कि कौन-सी दिशा धनात्मक है। गिरने के लिए नीचे को धनात्मक लें और घड़ी छोड़ने के क्षण से शुरू करें: तब वेग $v$ , त्वरण $g$ और गिरी हुई दूरी $h$ सभी धनात्मक होते हैं। फेंकने के लिए ऊपर को धनात्मक लें: तब त्वरण $- g$ होता है, और ऋणात्मक वेग का अर्थ है कि पिंड नीचे आ रहा है। एक ही प्रश्न में दोनों तरीके कभी न मिलाएँ। नीचे के सूत्रों में $h$ गिरी हुई दूरी है; एनिमेशन का $h$ रीडिंग भूमि से ऊँचाई दिखाता है।

हर पिंड के लिए एक ही त्वरण

मुक्त पतन में वेग हर सेकंड समान मात्रा से बदलता है, $g = Δ v /Δ t$ : एक सिक्के या किसी व्यक्ति के लिए भी प्रति सेकंड 9.81 m/s नीचे की ओर वेग। गुरुत्व भार $W = m g$ से खींचता है, जो द्रव्यमान के समानुपाती है, पर द्रव्यमान किसी भी वेग-परिवर्तन का विरोध भी करता है, और न्यूटन का दूसरा नियम $a = W / m = g$ देता है। दस गुना भारी पिंड को दस गुना ज़ोर से खींचा जाता है, और उसकी गति बदलना भी दस गुना कठिन होता है।

गैलीलियो ने तर्क से यही निष्कर्ष निकाला था। यदि भारी पिंड तेज़ी से गिरते, तो भारी पिंड से बँधा हल्का पत्थर उसे रोकता, फिर भी वह जोड़ा दोनों में से किसी से भी भारी था और उसे और तेज़ गिरना चाहिए था; यह विरोधाभास तभी मिटता है जब सभी पिंड एक-समान गिरें। 1971 में अपोलो 15 के एक अंतरिक्ष यात्री ने वायुरहित चंद्रमा पर, जहाँ $g \approx 1.62 m/ s^{2}$ है, एक हथौड़ा और एक बाज़ का पंख गिराए, और वे साथ भूमि पर पहुँचे।

मुक्त पतन के समीकरण

चूँकि $g$ स्थिर है, सरल रेखा में गति के स्थिर-त्वरण समीकरण $v_{0} = 0$ और $a = g$ के साथ लागू होते हैं, नीचे को धनात्मक मानकर:

$v = g t$
$h = \frac{1}{2} g t^{2} (distance fallen from rest)$
$v = 2 g h$

चाल समय के समानुपाती बढ़ती है, और दूरी समय के वर्ग के समानुपाती: दोगुने समय में पिंड चार गुना दूरी गिरता है, क्योंकि उसकी चाल भी बढ़ रही होती है। तीसरा समीकरण $v^{2} = 2 g h$ से आता है और चाल व ऊँचाई को समय के बिना जोड़ता है। उपयोगी जाँच: लगभग 5 m का पतन 1 s लेता है, लगभग 20 m का पतन 2 s।

ऊपर फेंकने के लिए प्रारंभिक वेग $v_{0}$ रखें। ऊपर को धनात्मक और $y$ को प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचाई मानकर,
$v = v_{0} - g t (up positive)$
$y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
$v_{0}$ से ऊपर फेंकी गेंद $v_{0} / g$ पर सबसे ऊँचे बिंदु पर रुकती है, $v_{0}^{2} / (2 g)$ ऊँचाई पर, और $2 v_{0} / g$ पर प्रक्षेपण बिंदु पर लौट आती है, $v_{0}$ चाल से नीचे जाती हुई: नीचे जाना ऊपर जाने का दर्पण-प्रतिबिंब है। नीचे की ओर फेंकने में बस $v_{0}$ ऋणात्मक होता है।

उदाहरण: एनिमेशन की गेंद

गेंद को भूमि से $h_{0} = 40 m$ ऊपर विराम से छोड़ा जाता है, और जब वह 40 m गिर चुकी होती है तब भूमि पर पहुँचती है:
$t = \frac{2 h _{0}}{g} = \frac{2 \cdot 40}{9.81} \approx 2.86 s$
$v = g t = 9.81 \cdot 2.856 \approx 28.0 m/s$
तीसरा समीकरण समय के बिना भी यही परिणाम देता है: $2 \cdot 9.81 \cdot 40 = 784.8 \approx 28.0 m/s$ , लगभग 100 km/h।

भूमि पर पहुँचते समय की रीडिंग ये हैं: $t$ 2.9 s पर रुकता है (रीडिंग एक दशमलव तक दिखाती है) और $v$ 28.0 m/s पर, जबकि $h$ रीडिंग, यानी ऊँचाई $h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ , 40 m से घटकर 0 तक जाती है। नीला $v$ तीर हर सेकंड समान मात्रा से बढ़ता है, और हरा $g$ तीर पूरे समय अपनी लंबाई बनाए रखता है।

समय के आधे, 1.43 s पर, गेंद केवल 10.0 m गिरी है, यानी कुल पतन का एक-चौथाई, और 14.0 m/s से चल रही है; $h$ रीडिंग 30.0 m दिखाती है। वह 2.02 s पर, 19.8 m/s की चाल से ही 20 m की आधी ऊँचाई पार करती है: वह निचला आधा एक-तिहाई से भी कम समय में तय कर लेती है। उसकी औसत चाल $40/2.856 \approx 14.0 m/s$ है, जो अंतिम चाल की आधी है।

उदाहरण: सीधी ऊपर फेंकी गेंद

भूमि से 1.5 m ऊपर के हाथ से आप एक गेंद 12 m/s से सीधी ऊपर फेंकते हैं, फिर हट जाते हैं। वह कितनी ऊँचाई तक जाती है, कब हाथ की ऊँचाई पर लौटती है, और भूमि से टकराते समय उसकी चाल कितनी होती है? ऊपर को धनात्मक और मूल-बिंदु हाथ पर लें: $v_{0} = + 12 m/s$ , त्वरण $- 9.81 m/ s^{2}$ ।

सबसे ऊँचे बिंदु पर $v = 0$ है, अतः $0 = 12 - 9.81 t$ से $t \approx 1.22 s$ ; और प्राप्त ऊँचाई $v_{0}^{2} / (2 g) = 144/19.62 \approx 7.34 m$ है: शिखर भूमि से 8.84 m ऊपर है। गेंद $2 v_{0} / g \approx 2.45 s$ बाद हाथ की ऊँचाई पर लौटती है, 12 m/s की चाल से नीचे जाती हुई। $t = 2 s$ पर $v = 12 - 9.81 \cdot 2 = - 7.6 m/s$ : ऋण चिह्न का अर्थ है कि वह पहले से गिर रही है।

भूमि पर पहुँचने पर उसका विस्थापन $Δ y = - 1.5 m$ है, और समय की आवश्यकता नहीं, इसलिए $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g Δ y$ का उपयोग करें:
$v^{2} = 1 2^{2} - 2 \cdot 9.81 \cdot (- 1.5) = 144 + 29.4 = 173.4 m^{2} / s^{2}$
गेंद 13.2 m/s की चाल से नीचे की ओर भूमि पर पहुँचती है, $v = - 13.2 m/s$ , $t = (12 + 13.2) /9.81 \approx 2.57 s$ बाद; फेंकने की चाल से अधिक तेज़, क्योंकि वह 1.5 m और नीचे पहुँचती है।

स्ट्रोब चित्र और ग्राफ़ पढ़ना

हल्के वृत्त हर 0.5 s पर गेंद को दिखाते हैं; 1 s और 2 s लिखे वृत्तों पर वह क्रमशः 4.9 m और 19.6 m गिर चुकी है। लगातार वृत्तों के बीच की दूरियाँ 1.23, 3.68, 6.13, 8.58 और 11.04 m हैं, जिनका अनुपात 1 : 3 : 5 : 7 : 9 है। यह गैलीलियो का विषम-संख्या नियम है: दूरी $t^{2}$ के अनुसार बढ़ती है (1, 4, 9, 16, 25), और क्रमिक वर्गों का अंतर विषम संख्याएँ होती हैं। हर अंतराल पिछले से $g (Δ t)^{2} = 9.81 \cdot 0. 5^{2} \approx 2.45 m$ अधिक होता है।

वेग–समय ग्राफ़ पर पतन मूल-बिंदु से गुजरती, ढलान $g$ वाली सीधी रेखा है, और गिरी हुई दूरी उसके नीचे का क्षेत्रफल है: एनिमेशन के लिए, 2.86 s आधार और 28.0 m/s ऊँचाई वाला त्रिभुज, जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \cdot 2.856 \cdot 28.0 \approx 40 m$ है। ऊँचाई–समय ग्राफ़, जो विशेषज्ञ परत में बना है, एक परवलय है जो समतल शुरू होकर तीखा होता है, और उसकी ढलान वेग है।

सामान्य गलतियाँ

सबसे ऊँचे बिंदु पर त्वरण शून्य नहीं होता: केवल वेग क्षण भर के लिए शून्य होता है, जबकि त्वरण 9.81 m/s² नीचे की ओर बना रहता है और गेंद को लौटा देता है। 19.62 m/s से ऊपर फेंकी गेंद 2.0 s बाद रुकती है और 4.0 s बाद लौटती है।
भारी पिंड तेज़ी से नहीं गिरते: हवा न हो तो 5 kg का गोला और 5 g का कंचा दोनों हर सेकंड 9.81 m/s बढ़ते हैं।
$v = 2 g h$ में गुणांक 2 और वर्गमूल न भूलें: 20 m का पतन $392.4 \approx 19.8 m/s$ देता है, 392 या 196 m/s नहीं।
गिरी हुई दूरी को भूमि से ऊँचाई के साथ न मिलाएँ: 1 s बाद एनिमेशन की गेंद 4.9 m गिर चुकी है और 35.1 m ऊँचाई पर है।

यह कहाँ दिखता है

किसी मित्र की उँगलियों के बीच एक स्केल गिराएँ: यदि उसे पकड़ने से पहले वह 20 cm गिरता है, तो उसका प्रतिक्रिया समय $2 \cdot 0.20/9.81 \approx 0.20 s$ है। 10 m ऊँचे प्लेटफ़ॉर्म से गोता लगाने वाला लगभग 1.4 s में लगभग 14 m/s की चाल से पानी तक पहुँचता है, और गिरते पत्थर का समय मापकर कुएँ की गहराई निकाली जा सकती है। मुक्त पतन हर फेंक का ऊर्ध्वाधर घटक भी है: प्रक्षेप्य गति एक स्थिर क्षैतिज गति जोड़ती है, न्यूटन के गति के नियम त्वरण समझाते हैं, कार्य, ऊर्जा और शक्ति $v^{2} = 2 g h$ को ऊर्जा-संरक्षण के रूप में पढ़ती है, और कर्षण और सीमांत वेग हवा को शामिल करता है।

उन्नत

मुख्य विचार

भार जड़त्वीय द्रव्यमान के समानुपाती है, इसलिए हर पिंड के लिए $\overset{y}{¨} = - g$ : गिरते डिब्बे के भीतर सब कुछ तैरता है (तुल्यता सिद्धांत)।
$\overset{y}{¨} = - g$ का समाकलन: $v_{y} = v_{0} - g t$ ढलान $- g$ की रेखा है, और $y = h_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ परवलय।
$g = GM / R^{2}$ वही नियम है जो चंद्रमा को थामे रखता है: पृथ्वी की 60 त्रिज्या दूर, वह प्रति सेकंड सेब से $1/6 0^{2}$ गुना दूरी गिरता है।
वर्ग-अनुपाती कर्षण: $v (t) = v_{t} tanh (g t / v_{t})$ , जहाँ $v_{t} = 2 m g / (ρ C_{d} A)$ ; आदर्श मॉडल के लिए $v ≪ v_{t}$ आवश्यक है।

जड़त्व, भार और तुल्यता सिद्धांत

इस पाठ की हर बात एक प्रायोगिक तथ्य पर टिकी है: निर्वात में भूमि के निकट सभी पिंड, उनके द्रव्यमान या पदार्थ चाहे जो हों, एक ही त्वरण से गिरते हैं। यह खंड बताता है कि यह तथ्य क्यों चौंकाने वाला है और इसने हमें कहाँ पहुँचाया।

ऊपर की दिशा को धनात्मक $y$ मानें। तब गिरते पिंड के लिए न्यूटन का दूसरा नियम यह होता है
$m_{i} \overset{y}{¨} = - m_{g} g$
यहाँ दो अलग-अलग द्रव्यमान दिखते हैं। बाईं ओर जड़त्वीय द्रव्यमान $m_{i}$ बताता है कि पिंड की गति बदलना कितना कठिन है। दाईं ओर गुरुत्वीय द्रव्यमान $m_{g}$ बताता है कि गुरुत्व उसे कितने ज़ोर से खींचता है, ठीक वैसे ही जैसे विद्युत आवेश बताता है कि विद्युत क्षेत्र उसे कितने ज़ोर से खींचता है; $g$ भूमि के निकट पृथ्वी के गुरुत्व की तीव्रता है, लगभग 9.81 m/s²। न्यूटन की यांत्रिकी में कहीं यह नहीं लिखा कि ये दोनों द्रव्यमान बराबर होने ही चाहिए।

प्रयोग बताते हैं कि वे बराबर हैं। मरोड़ तुला से पता चला कि विभिन्न पदार्थों के लिए अनुपात $m_{g} / m_{i}$ लगभग $1 0^{13}$ में एक भाग की शुद्धता तक एक ही है, और 2022 में प्लैटिनम और टाइटेनियम मिश्रधातु के परीक्षण द्रव्यमानों की तुलना करने वाले एक उपग्रह ने लगभग $1 0^{15}$ में एक भाग की शुद्धता प्राप्त की। $m_{i} = m_{g}$ रखने पर द्रव्यमान दोनों ओर से कट जाता है, और हर पिंड के लिए $\overset{y}{¨} = - g$ बचता है: मुक्त पतन का त्वरण इस बात पर निर्भर नहीं करता कि क्या गिर रहा है।

आइंस्टीन ने इस समानता को एक सिद्धांत में बदला, जिसे तुल्यता सिद्धांत कहते हैं। कल्पना कीजिए कि एक छोटा बंद डिब्बा मुक्त रूप से गिर रहा है। उसके भीतर की हर वस्तु का त्वरण डिब्बे जितना ही है, इसलिए डिब्बे के सापेक्ष कुछ भी त्वरित नहीं होता: ढीली वस्तुएँ तैरने लगती हैं, और डिब्बे के भीतर किया गया कोई भी प्रयोग इस पतन को खुले अंतरिक्ष में दूर तैरने से अलग नहीं बता सकता। डिब्बा छोटा होना चाहिए, ताकि $g$ उसके पूरे भीतर एक ही परिमाण और दिशा में रहे। तुल्यता सिद्धांत सामान्य आपेक्षिकता का आरंभिक बिंदु है, वह सिद्धांत जिसमें गुरुत्व दिक्-काल की ज्यामिति बन जाता है।

अंतरिक्ष यात्री इसी कारण तैरते हैं। लगभग 400 km की ऊँचाई पर स्थित अंतरिक्ष स्टेशन पर $g$ अब भी लगभग 8.7 m/s² है, जो भूमि पर के मान का लगभग 90 % है। गुरुत्व बंद नहीं हुआ: चालक दल और स्टेशन साथ-साथ गिर रहे हैं, इसलिए कोई दूसरे को नहीं दबाता।

गति के समीकरण का समाकलन

द्रव्यमान हट जाने पर पूरी गति $a_{y} = - g$ से निकल आती है। दो समाकलनों से वेग और स्थिति मिलते हैं, और एक और चरण से ऊर्जा।

ऊपर को धनात्मक लें और विमोचन के क्षण $t = 0$ पर घड़ी शुरू करें, जब पिंड ऊँचाई $h_{0}$ पर और ऊर्ध्वाधर वेग $v_{0}$ से होता है। चूँकि $a_{y} = d v_{y} / d t = - g$ स्थिर है, एक समाकलन से वेग मिलता है; और चूँकि $v_{y} = d y / d t$ , दूसरे समाकलन से स्थिति मिलती है:
$v_{y} (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} (- g) d t^{'} = v_{0} - g t$
$y (t) = h_{0} + \int_{0}^{t} v_{y} (t^{'}) d t^{'} = h_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
हर समाकलन एक स्थिरांक लाता है, जो आरंभिक अवस्था से तय होता है: पहले में $v_{0}$ , दूसरे में $h_{0}$ । गुरुत्व स्वयं केवल $- \frac{1}{2} g t^{2}$ पद देता है, जो $y (t)$ के ग्राफ़ को परवलय में मोड़ता है, और यह हर पतन को एक ही ढंग से मोड़ता है।

एनिमेशन में गेंद $h_{0} = 40 m$ से विराम से छोड़ी जाती है, यानी $v_{0} = 0$ । जब $\frac{1}{2} g T^{2} = h_{0}$ होता है, तब वह भूमि, $y = 0$ , तक पहुँचती है, अर्थात्
$T = \frac{2 h _{0}}{g} = \frac{2 \cdot 40}{9.81} \approx 2.86 s$
पर। तब उसका वेग $v_{y} = - g T \approx - 28.0 m/s$ होता है, ऋण चिह्न का अर्थ है नीचे की ओर।

अक्सर समय मायने नहीं रखता, केवल यह कि चाल ऊँचाई पर कैसे निर्भर करती है। शृंखला नियम से $t$ हट जाता है: $a_{y} = d v_{y} / d t = (d v_{y} / d y) (d y / d t) = v_{y} d v_{y} / d y$ । इसलिए $v_{y} d v_{y} = - g d y$ , और विमोचन से समाकलन करने पर
$v_{y}^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - h_{0})$
मिलता है। दोनों ओर $m /2$ से गुणा करके व्यवस्थित करें: $\frac{1}{2} m v_{y}^{2} + m g y = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g h_{0}$ । बाईं ओर की गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग अपना आरंभिक मान रखता है: ऊर्जा संरक्षित है। एनिमेशन की गेंद का प्रति किलोग्राम आरंभ में $g h_{0} = 9.81 \cdot 40 = 392.4 J/kg$ स्थितिज ऊर्जा होती है, और भूमि पर $\frac{1}{2} v_{y}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 784.8 = 392.4 J/kg$ गतिज ऊर्जा के साथ पहुँचती है।

वेग और ऊँचाई के ग्राफ़ पढ़ना

ये दोनों सूत्र ग्राफ़ के रूप में सबसे आसानी से समझ में आते हैं। उन पर ढलान और क्षेत्रफल पढ़ना किसी भी स्थिर-त्वरण गति की सबसे तेज़ जाँच है।

चित्र 1 एनिमेशन के पतन को एक ही समय-अक्ष $t$ पर दो ग्राफ़ों के रूप में दिखाता है, एक के ऊपर दूसरा। टकराने के समय $T \approx 2.86 s$ पर खड़ी बिंदीदार रेखा दोनों को जोड़ती है।

पहले ऊपर वाला ग्राफ़ देखें, $v_{y} (t) = - g t$ : शून्य से $- g T \approx - 28.0 m/s$ तक नीचे जाती एक सीधी रेखा। उसकी ढलान ही त्वरण है। छोटा त्रिभुज दिखाता है कि किसी भी अंतराल $Δ t$ में वेग $Δ v_{y} = - g Δ t$ बदलता है, और पूरी रेखा की ढलान $- 28.01/2.856 \approx - 9.81 m/ s^{2}$ , यानी $a_{y} = - g$ , है। चूँकि ढलान हर जगह एक ही है, त्वरण भी हर जगह एक ही है: ग्राफ़ पर स्थिर त्वरण का अर्थ है वेग की सीधी रेखा।

अब रेखा और समय-अक्ष के बीच छायांकित त्रिभुज देखें। उसका क्षेत्रफल ऊँचाई में परिवर्तन $Δ h$ है, क्योंकि उसकी हर पतली ऊर्ध्वाधर पट्टी की चौड़ाई $d t$ और ऊँचाई $v_{y}$ है, और $v_{y} d t$ उस समय में तय की गई दूरी है। त्रिभुज अक्ष के नीचे है, इसलिए उसका क्षेत्रफल ऋणात्मक गिना जाता है: $Δ h = \frac{1}{2} \cdot 2.856 \cdot (- 28.0) \approx - 40 m$ , यानी पूरा पतन।

नीचे वाला ग्राफ़ ऊँचाई $h (t)$ है, जो पतन के दौरान $y (t) = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ है: नीचे खुलता परवलय। हर क्षण पर उसकी ढलान वर्तमान $v_{y}$ है, जो ऊपर वाले ग्राफ़ से पढ़ी जाती है। विमोचन पर $v_{y} = 0$ है, इसलिए वक्र ऊँचाई $h_{0} = 40 m$ के स्तर से क्षैतिज निकलता है। टकराने पर $v_{y} = - 28.0 m/s$ है, इसलिए वक्र वहाँ सबसे खड़ा होता है; $T$ पर खींची गई स्पर्श-रेखा, जिस पर $v_{y}$ लिखा है, की ढलान $- g T$ है, यानी वह मान जहाँ ऊपर की रेखा समाप्त होती है। ढलान कितनी तेज़ी से बदलती है, यानी वक्र का मुड़ना, यह द्वितीय अवकलज है, जो नीचे तक पूरे रास्ते $- g$ है।

परवलय यह भी दिखाता है कि पतन अपना समय कितनी असमानता से बिताता है। आधे समय, $T /2 = 1.43 s$ पर गेंद केवल $\frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1.42 8^{2} = 10.0 m$ गिरी है और अब भी 30 m ऊँचाई पर है, यानी आरंभिक ऊँचाई का तीन-चौथाई; शेष 30 m दूसरा आधा समय लेते हैं। $T$ पर दोनों ग्राफ़ रुक जाते हैं: भूमि धक्का लौटाती है, और मुक्त पतन समाप्त हो जाता है।

g कहाँ से आता है

अब तक $g$ एक दी हुई संख्या रहा है। न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम उसका मान समझाता है, और बताता है कि वह केवल लगभग स्थिर क्यों है।

द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ वाली गोलाकार पृथ्वी अपनी सतह पर द्रव्यमान $m$ वाले पिंड को $GM m / R^{2}$ बल से खींचती है, मानो उसका सारा द्रव्यमान केंद्र पर हो। $m$ से भाग देने पर त्वरण मिलता है
$g = \frac{GM}{R ^{2}}$
$G = 6.674 \times 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ , $M = 5.97 \times 1 0^{24} kg$ और $R = 6371 km$ लेने पर यह 9.82 m/s² आता है। मापा गया मान अलग-अलग स्थानों पर थोड़ा भिन्न होता है, क्योंकि पृथ्वी घूमती है, ध्रुवों पर चपटी है और उसके भीतर एकसमान नहीं है।

सतह से ऊँचाई $h$ पर केंद्र से दूरी $R + h$ है, इसलिए जब $h ≪ R$ हो तो $g$ बदलकर $GM / (R + h)^{2} \approx (GM / R^{2}) (1 - 2 h / R)$ हो जाता है: लगभग $2 h / R$ भाग से छोटा। एनिमेशन की 40 m ऊँचाई के लिए यह भाग $80/ (6.371 \times 1 0^{6}) \approx 1.3 \times 1 0^{- 5}$ है, यानी दस लाख में लगभग 13 भाग। $g$ स्थिर दिखने का यही कारण है: रोज़मर्रा की ऊँचाइयाँ $R$ की तुलना में बहुत छोटी हैं।

कक्षा एक ऐसा पतन है जो भूमि से चूकता रहता है

जो $g$ गिराई गई गेंद को नीचे लाता है, वही उपग्रह को ऊपर रखता है। चित्र 2 दो छोटी दूरियों की तुलना करके बताता है कि कैसे।

चित्र 2 में एक गेंद भूमि से थोड़ी ऊपर से वेग $v$ के साथ क्षैतिज फेंकी जाती है। गुरुत्व के बिना वह बिंदीदार सीधी रेखा पर चलती, जो पृथ्वी की स्पर्श-रेखा है, और थोड़े समय $t$ बाद वह हल्की गेंद वाली जगह पर होती, जो आरंभ से $v t$ दूरी पर है। गुरुत्व केंद्र $O$ की ओर लगभग $\frac{1}{2} g t^{2}$ का विस्थापन जोड़ता है, यानी सुनहरा खंड। इसलिए समय $t$ के बाद गेंद हल्की गेंद पर नहीं, बल्कि उसके ठीक नीचे ठोस गेंद पर, वक्र पथ पर होती है; वहाँ तीर $g$ $O$ की ओर इंगित करता है।

पृथ्वी गोल है, इसलिए भूमि भी बिंदीदार रेखा से दूर नीचे की ओर मुड़ती है। स्पर्श-रेखा त्रिज्या $R$ के समकोण पर है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से उस पर दूरी $x$ पर स्थित बिंदु $O$ से $R^{2} + x^{2}$ दूर है, और उसकी सतह से ऊँचाई है
$R^{2} + x^{2} - R \approx \frac{x ^{2}}{2 R}$
$x ≪ R$ के लिए। $x = v t$ लेने पर भूमि रेखा से $(v t)^{2} / (2 R)$ नीचे होती है।

अब दोनों पतनों की तुलना कीजिए। यदि गेंद भूमि से कम गिरती है, तो वह भूमि से दूर ऊपर उठती है; यदि अधिक, तो वह भूमि पर उतरती है; यदि ठीक उतना ही, तो वह भूमि से उतनी ही ऊँचाई पर रहती है। चूँकि यह उसके पथ के हर बिंदु पर लागू होता है, तो वह हमेशा वृत्त में घूमती रहती है। शर्त है
$\frac{1}{2} g t^{2} = \frac{( v t ) ^{2}}{2 R}$
समय कट जाता है और $v^{2} / R = g$ बचता है: गुरुत्व ठीक वही अभिकेंद्र त्वरण $v^{2} / R$ देता है जो त्रिज्या $R$ के वृत्त के लिए चाहिए। सतह के निकट इसके लिए $v = g R = 9.81 \cdot 6.371 \times 1 0^{6} \approx 7.9 km/s$ चाहिए। कक्षा एक मुक्त पतन है, जिसमें इतनी पार्श्व चाल हो कि भूमि नीचे लगातार दूर मुड़ती रहे।

वही तर्क न्यूटन की निर्णायक परीक्षा, चंद्रमा, पर भी खरा उतरा। यदि गुरुत्व केंद्र से दूरी $r$ के साथ $1/ r^{2}$ के अनुपात में घटता है, तो पृथ्वी की लगभग 60 त्रिज्या दूर स्थित चंद्रमा पर उसे $g /6 0^{2} \approx 2.7 \times 1 0^{- 3} m/ s^{2}$ का त्वरण देना चाहिए। चंद्रमा वास्तव में 384,000 km दूर से हर 27.3 दिन में एक चक्कर लगाता है, और इसके लिए $2.72 \times 1 0^{- 3} m/ s^{2}$ अभिकेंद्र त्वरण चाहिए: दोनों मेल खाते हैं। एक सेकंड में चंद्रमा $\frac{1}{2} \cdot 2.72 \times 1 0^{- 3} \cdot 1^{2} \approx 1.4 \times 1 0^{- 3} m$ , यानी लगभग 1.4 mm, उस सीधी रेखा से नीचे गिरता है जिस पर वह अन्यथा चलता। यही चित्र 2 का $\frac{1}{2} g t^{2}$ है, बस चंद्रमा का $g$ बहुत छोटा है; भूमि के निकट का सेब उसी एक सेकंड में 4.9 m गिरता है।

हवा में गिरना

हवा में यह नियम कि सभी पिंड एक-समान गिरते हैं, टूट जाता है, और पूर्वानुमान योग्य ढंग से टूटता है। समीकरण इसे समझाने से पहले चित्र 3 यह प्रभाव दिखाता है।

चित्र 3 में समान आकार और आकृति की दो गेंदों के लिए चाल $v$ बनाम समय $t$ का ग्राफ़ है: एक का द्रव्यमान $m$ और दूसरी का $4 m$ । बिंदीदार सीधी रेखा $v = g t$ है, यानी हवा के बिना पतन। कम चाल पर अवरोध नगण्य होता है, इसलिए दोनों वक्र उसी रेखा पर शुरू होते हैं। फिर वे मुड़कर अपने-अपने सीमांत वेग पर समतल हो जाते हैं, जो क्षैतिज बिंदीदार रेखाओं से दिखाए गए हैं: हल्की गेंद के लिए $v_{t}$ और भारी गेंद के लिए $2 v_{t}$ । भारी गेंद सीधी रेखा का अनुसरण अधिक समय तक करती है और अंत में दोगुनी तेज़ होती है। इस खंड का शेष भाग इन वक्रों और गुणांक 2 की व्युत्पत्ति करता है।

कर्षण वह बल है जो हवा किसी उसमें से गुजरती वस्तु पर लगाती है; यह गति के विरुद्ध होता है और चाल के साथ बढ़ता है। रोज़मर्रा के आकार और चालों के लिए यह लगभग
$F_{d} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$
है, जहाँ $ρ$ हवा का घनत्व है, $A$ प्रवाह की ओर मुख वाला अनुप्रस्थ क्षेत्रफल है, और $C_{d}$ आकार से तय होने वाला कर्षण गुणांक है, एक शुद्ध संख्या, गोले के लिए लगभग 0.5। धूल और कोहरे की बूँदों के लिए, जो बहुत छोटी और धीमी होती हैं, कर्षण इसके बजाय $v$ के समानुपाती होता है।

नीचे को धनात्मक लें। न्यूटन का दूसरा नियम, जिसमें भार नीचे खींचता है और कर्षण ऊपर धकेलता है, यह है
$m \frac{d v}{d t} = m g - \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$
आरंभ में $v = 0$ है, कर्षण शून्य है और त्वरण $g$ है। चाल बढ़ने पर कर्षण भार के बराबर होने लगता है और त्वरण घटता है। चाल उस मान की ओर बढ़ती है जहाँ दोनों बल संतुलित होते हैं और $d v / d t = 0$ होता है, यानी सीमांत वेग:
$v_{t} = \frac{2 m g}{ρ C _{d} A}$

$v_{t}$ के साथ लिखने पर गति का समीकरण $d v / d t = g (1 - v^{2} / v_{t}^{2})$ हो जाता है। विराम से शुरू होने वाला इसका हल
$v (t) = v_{t} tanh (\frac{g t}{v _{t}})$
है। अवकलन करके इसकी जाँच की जा सकती है: चूँकि $d (tanh x) / d x = 1 - tanh^{2} x$ , अवकलज $g (1 - v^{2} / v_{t}^{2})$ है। छोटे $t$ के लिए $tanh x \approx x$ और $v \approx g t$ , यानी वायु-रहित रेखा; $t ≫ v_{t} / g$ के लिए $tanh \to 1$ और $v \to v_{t}$ । अतः $v_{t} / g$ वह समय-पैमाना है जिस पर वक्र समतल होता है।

$s$ दूरी के पतन के बाद की चाल पाने के लिए शृंखला नियम फिर लगाएँ: $d v / d t = v d v / d s = \frac{1}{2} d (v^{2}) / d s$ । तब $v^{2}$ का समीकरण होता है
$\frac{d ( v ^{2} )}{d s} = 2 g (1 - \frac{v ^{2}}{v _{t}^{2}})$
अतः $v^{2}$ दूरी-पैमाने $v_{t}^{2} / (2 g)$ पर घातांकी रूप से $v_{t}^{2}$ की ओर बढ़ता है:
$v^{2} = v_{t}^{2} (1 - e^{- 2 g s / v_{t}^{2}})$
छोटे पतन के लिए, $s ≪ v_{t}^{2} / (2 g)$ , घातांक लगभग $1 - 2 g s / v_{t}^{2}$ के बराबर होता है, और परिणाम वायु-रहित $v^{2} = 2 g s$ में बदल जाता है।

अब गुणांक 2। आकार और आकृति स्थिर होने पर दोनों गेंदों के $ρ$ , $C_{d}$ और $A$ समान हैं, इसलिए $v_{t} \propto m$ : द्रव्यमान चार गुना होने पर सीमांत चाल दोगुनी होती है। समय-पैमाना $v_{t} / g$ भी दोगुना हो जाता है, इसलिए भारी गेंद दोगुने समय तक $v = g t$ के निकट रहती है। यही चित्र 3 का दूसरा वक्र है।

टेनिस गेंद, यानी चित्र 3 की हल्की गेंद, को एनिमेशन की 40 m ऊँचाई से गिराएँ। $m = 57 g$ , व्यास 6.7 cm (अतः $A = π \cdot 0.033 5^{2} \approx 3.53 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ ), $C_{d} \approx 0.55$ और $ρ = 1.2 kg/ m^{3}$ लें। इसका सीमांत वेग है
$v_{t} = \frac{2 \cdot 0.057 \cdot 9.81}{1.2 \cdot 0.55 \cdot 3.53 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 22 m/s$
और यह 3.26 s बाद 19.7 m/s पर भूमि छूती है, जबकि बिना हवा के यह 2.86 s बाद 28.0 m/s पर छूती। उसी आकार की, चार गुना भारी गेंद का सीमांत वेग दोगुना, लगभग 44 m/s है, और वह 2.95 s बाद 25.4 m/s पर भूमि छूती है। अतः समान आकार और आकृति पर हवा $v_{t} \propto m$ के माध्यम से भारी और हल्की वस्तुओं को सचमुच अलग कर देती है।

तुलना के लिए, पेट के बल गिरता स्काइडाइवर लगभग 55 m/s (लगभग 200 km/h) पर समतल हो जाता है, और 1 mm व्यास की वर्षा-बूँद लगभग 4 m/s पर। सीमांत वेग पर त्वरण शून्य होता है, $g$ नहीं: पिंड स्थिर चाल से गिरता है, और कर्षण भार को संतुलित करता है।

उदाहरण सवाल: गिरती गेंद से मिलन

जिस क्षण एनिमेशन की गेंद 40 m से छोड़ी जाती है, उसी क्षण उसके ठीक नीचे भूमि से दूसरी गेंद 28.0 m/s से सीधी ऊपर फेंकी जाती है, वही चाल जिससे पहली गेंद भूमि छूती है। वे कब और कहाँ मिलती हैं?

चित्र 4 दोनों ऊँचाइयों को समय के विरुद्ध दिखाता है, ऊपर को धनात्मक और मूल-बिंदु भूमि पर लेकर। पहली गेंद $h_{0}$ से गिराई जाती है; दूसरी $v_{0} = 28.0 m/s$ से ऊपर फेंकी जाती है:
$y_{1} = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}, y_{2} = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
$y_{1}$ का अनुसरण करें: वह $h_{0}$ से क्षैतिज निकलती है और $T$ पर भूमि पर पहुँचती है। $y_{2}$ का अनुसरण करें: वह भूमि से शुरू होती है, और चूँकि $v_{0} = g T$ , उसका वेग $v_{0} - g t$ ठीक $T$ पर शून्य हो जाता है। अतः दूसरी गेंद $T$ पर अपनी उड़ान के शिखर पर पहुँचती है, ऊँचाई $v_{0} T - \frac{1}{2} g T^{2} = \frac{1}{2} g T^{2} = h_{0}$ पर, यानी उसी ऊँचाई पर जहाँ से पहली गेंद चली थी।

दोनों वक्र $T /2$ पर बिंदीदार रेखा के बारे में एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हैं: $y_{2} (t) = y_{1} (T - t)$ । जाँच के लिए $h_{0} = \frac{1}{2} g T^{2}$ लें: तब $y_{1} (T - t) = h_{0} - \frac{1}{2} g (T - t)^{2} = g Tt - \frac{1}{2} g t^{2}$ , जो $y_{2} (t)$ है। गेंदें वहाँ मिलती हैं जहाँ वक्र काटते हैं, और समरूपता के कारण वह प्रतिच्छेद बिंदु बिंदीदार रेखा पर होता है।

बीजगणित और भी छोटा है। $\frac{1}{2} g t^{2}$ पद समान हैं, इसलिए वे गेंदों के बीच की दूरी से कट जाते हैं: $y_{1} - y_{2} = h_{0} - v_{0} t$ । यह अंतर स्थिर 28.0 m/s से घटता है, मानो गुरुत्व ही न हो, और $t = h_{0} / v_{0} = 40/28.01 \approx 1.43 s$ , ठीक $T /2$ , पर शून्य हो जाता है।

उस क्षण दोनों गेंदें $y = 40 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1.42 8^{2} = 30.0 m$ पर हैं, यानी चित्र 4 में अंकित स्तर $\frac{3}{4} h_{0}$ पर। पहली गेंद $g T /2 = 14.0 m/s$ से नीचे जाती है और दूसरी $28.0 - 14.0 = 14.0 m/s$ से ऊपर। समान चालें संयोग नहीं हैं: दूसरी गेंद की उड़ान पहली की उल्टी चलती फ़िल्म है, जैसा चित्र 4 की दर्पण-समरूपता बताती है।

धीमी फेंक बाद में और नीचे मिलती है। मिलने का समय $h_{0} / v_{0}$ उस 2.86 s से अधिक नहीं हो सकता जितना पहली गेंद को भूमि तक पहुँचने में लगता है, इसलिए फेंक की चाल कम से कम $v_{0} = h_{0} / T = 14.0 m/s$ होनी चाहिए, यानी पतन की औसत चाल; ठीक इसी चाल पर दोनों गेंदें एक साथ भूमि पर पहुँचती हैं।

पहली गेंद के दृष्टिकोण से गुरुत्व लुप्त हो जाता है: दोनों गेंदों का त्वरण समान $- g$ है, इसलिए पहली गेंद के मुक्त-पतन फ़्रेम में दूसरी गेंद स्थिर चाल $v_{0}$ से सीधी रेखा में पास आती है। यह पहले खंड का तुल्यता सिद्धांत ही काम कर रहा है। यही तर्क समझाता है कि प्रक्षेप्य गति में लक्ष्य पर सीधा साधा गया डार्ट, लक्ष्य के दागने के क्षण से ही गिरने लगने पर भी, उसे भेद देता है, चाहे उसकी प्रक्षेप चाल कुछ भी हो, बशर्ते वह लक्ष्य के भूमि छूने से पहले पहुँच जाए।

वैधता की सीमाएँ

मुक्त पतन का आदर्श मॉडल तीन मान्यताएँ लेता है: $g$ एकसमान है, कोई हवा नहीं है, और पृथ्वी नहीं घूमती। ऊपर की संख्याएँ दिखाती हैं कि प्रत्येक मान्यता कितनी दूर तक सही है।

40 m के पतन पर एकसमान $g$ उत्तम सन्निकटन है, जहाँ $g$ केवल दस लाख में 13 भाग बदलता है। परंतु कक्षीय ऊँचाइयों से गिरने के लिए केंद्र से हर दूरी $r$ पर $g = GM / r^{2}$ चाहिए। हवा की उपेक्षा तभी ठीक है जब $v ≪ v_{t}$ हो: 40 m से, पिछले खंड की भारी गेंद आदर्श 28.0 m/s से 9 % कम पर भूमि छूती है, और टेनिस गेंद 30 % कम पर।

पृथ्वी का घूर्णन भूमि को थोड़ा अ-जड़त्वीय फ़्रेम बना देता है, यानी ऐसा फ़्रेम जो स्वयं त्वरित है। गुरुत्व का कुछ भाग भूमि को उसके दैनिक वृत्त पर बनाए रखने में लगता है, जिससे विषुवत रेखा पर प्रभावी $g$ अधिकतम 0.034 m/s² घट जाता है। पृथ्वी की चपटाई के साथ मिलकर, $g$ विषुवत रेखा पर 9.78 m/s² से ध्रुवों पर 9.83 m/s² तक रहता है। घूर्णन पतन को पूर्व की ओर भी विक्षेपित करता है: मीनार का शिखर अपने आधार से थोड़ा अधिक तेज़ी से पूर्व की ओर चलता है, और वहाँ से गिराई गेंद वह अतिरिक्त चाल बनाए रखती है। 45° अक्षांश पर गिराई गई एनिमेशन की गेंद, अपने विमोचन-बिंदु के ठीक नीचे के बिंदु से लगभग 4 mm पूर्व में भूमि छूती।

इन चालों पर आपेक्षिकता केवल अति सूक्ष्म संशोधन जोड़ती है: 28 m/s पर $v^{2} / c^{2} \approx 9 \times 1 0^{- 15}$ । गुरुत्व समय को भी प्रभावित करता है: 40 m ऊपर की घड़ी भूमि की घड़ी से $g h / c^{2} \approx 4.4 \times 1 0^{- 15}$ के भिन्नात्मक अंतर से तेज़ चलती है। यह अंतर पहली बार लगभग 1960 में 22.5 m ऊँचे टावर पर भेजी गई गामा किरणों से मापा गया था; आज प्रकाशिक घड़ियाँ एक मीटर से कम ऊँचाई-अंतर पर भी इसे पहचान लेती हैं।

इससे आगे

मुक्त पतन यांत्रिकी के अधिकांश भाग से जुड़ा है। प्रक्षेप्य गति इसे एकसमान क्षैतिज गति के साथ जोड़ती है; न्यूटन के गति के नियम त्वरण को भार ÷ द्रव्यमान के रूप में समझाते हैं; कार्य, ऊर्जा और शक्ति $v^{2} = 2 g h$ को, जो विराम से $h$ ऊँचाई गिरने के बाद की चाल है, $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ में बदल देते हैं। गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ $g = GM / r^{2}$ को ग्रहों और उपग्रहों तक ले जाते हैं; कर्षण और सीमांत वेग हवा का उचित उपचार करते हैं; और सरल आवर्त गति दिखाती है कि लोलक का आवर्तकाल $g$ पर कैसे निर्भर करता है, जिसके द्वारा सदियों तक $g$ मापा गया। वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व इस तथ्य पर पूरा सिद्धांत खड़ा करता है कि सभी पिंड एक-समान गिरते हैं।

मुख्य सूत्र

विराम से गिरते पिंड की चाल

v = g t

मुक्त पतन में त्वरण $g$ स्थिर है, इसलिए विराम से छोड़ा गया पिंड हर सेकंड 9.81 m/s नीचे की ओर वेग प्राप्त करता है, और समय $t$ के बाद उसने $g t$ वेग प्राप्त कर लिया होता है। वेग–समय ग्राफ़ पर यह मूल-बिंदु से गुजरती, ढलान $g$ वाली सीधी रेखा है। द्रव्यमान इसमें नहीं आता: हर पिंड उसी दर से चाल प्राप्त करता है।

चिह्न
$v$	समय $t$ पर नीचे की ओर चाल	$m/s$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$t$	विमोचन के बाद का समय	$s$

कब लागू होता है: विराम से विमोचन के लिए, जहाँ नीचे की दिशा धनात्मक हो और वायु-प्रतिरोध नगण्य हो ( $v ≪ v_{t}$ )। फेंकने के लिए इसके बजाय $v = v_{0} - g t$ लें।

उदाहरण: 2 s बाद, $v = 9.81 \cdot 2 = 19.62 m/s$ ; एनिमेशन की गेंद 2.86 s बाद लगभग 28.0 m/s पर भूमि छूती है।

विराम से गिरी दूरी

h = \frac{1}{2} g t^{2} (distance fallen from rest)

गिरी हुई दूरी वेग–समय रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है, यानी आधार $t$ और ऊँचाई $g t$ वाला त्रिभुज, अतः $\frac{1}{2} g t^{2}$ । दूसरे शब्दों में, विराम से औसत चाल अंतिम चाल की आधी, $\frac{1}{2} g t$ , होती है, जिसे समय से गुणा करने पर दूरी मिलती है। चूँकि दूरी $t^{2}$ के अनुसार बढ़ती है, दोगुने समय में चार गुनी दूरी होती है, और समान समय-अंतराल पर लिए गए चित्रों के बीच की दूरियाँ 1 : 3 : 5 : 7 के अनुपात में बढ़ती हैं।

चिह्न
$h$	विमोचन के बाद गिरी दूरी	$m$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$t$	विमोचन के बाद का समय	$s$

कब लागू होता है: विराम से, एकसमान $g$ और बिना वायु-प्रतिरोध के। यहाँ $h$ विमोचन बिंदु से नीचे की ओर मापा जाता है; भूमि से ऊँचाई $h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ है, जैसा एनिमेशन की रीडिंग में दिखता है।

उदाहरण: 1 s बाद पिंड 4.9 m गिरता है, 2 s बाद 19.6 m; एनिमेशन की 40 m ऊँचाई में $2 \cdot 40/9.81 \approx 2.86 s$ लगते हैं।

ऊँचाई h गिरने के बाद चाल

v = 2 g h

$v = g t$ और $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ के बीच से समय हटाने पर $v^{2} = 2 g h$ मिलता है। यह ऊर्जा-संरक्षण भी है: खोई हुई स्थितिज ऊर्जा $m g h$ गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m v^{2}$ में बदल जाती है, और द्रव्यमान कट जाता है। चाल केवल ऊँचाई के वर्गमूल के अनुसार बढ़ती है: ऊँचाई चार गुनी हो तो चाल दोगुनी।

चिह्न
$v$	ऊँचाई $h$ गिरने के बाद की चाल	$m/s$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$h$	विराम से गिरी ऊँचाई	$m$

कब लागू होता है: विराम से और बिना वायु-प्रतिरोध के। चाल $v_{0}$ से ऊपर या नीचे फेंका गया पिंड प्रक्षेपण बिंदु से नीचे गहराई $h$ पर $v_{0}^{2} + 2 g h$ चाल पाता है। कर्षण के साथ वास्तविक चाल कम होती है, और विराम से गिराया गया पिंड कभी $v_{t}$ से अधिक नहीं होता।

उदाहरण: एनिमेशन की 40 m से: $v = 2 \cdot 9.81 \cdot 40 \approx 28.0 m/s$ ; 20 m से, 19.8 m/s।

ऊर्ध्वाधर फेंके गए पिंड का वेग

v = v_{0} - g t (up positive)

ऊपर को धनात्मक लें तो गुरुत्व वेग को हर सेकंड $- g$ से बदलता है, चाहे पिंड किसी भी दिशा में चल रहा हो। $v_{0}$ से ऊपर फेंकी गेंद धीमी होती है, $v_{0} / g$ बाद शिखर पर $v = 0$ होता है, और फिर लौटते समय $v$ ऋणात्मक हो जाता है। त्वरण पूरे समय $- g$ है, शिखर पर भी।

चिह्न
$v$	समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर वेग, ऊपर धनात्मक	$m/s$
$v_{0}$	प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग, ऊपर की ओर फेंकने पर धनात्मक	$m/s$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$t$	प्रक्षेपण के बाद का समय	$s$

कब लागू होता है: उड़ान के दौरान और वायु-प्रतिरोध नगण्य होने पर: ऊपर जाते समय, शिखर पर और नीचे आते समय। नीचे की ओर फेंकने पर $v_{0} < 0$ ।

उदाहरण: 19.62 m/s से ऊपर फेंकने पर: $19.62/9.81 = 2.0 s$ पर $v = 0$ , और 4.0 s बाद प्रक्षेपण बिंदु पर लौटने पर $v = - 19.62 m/s$ ।

द्विघात कर्षण के साथ सीमांत वेग

v_{t} = \frac{2 m g}{ρ C _{d} A}

कर्षण $\frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ के अनुसार बढ़ता है जबकि भार $m g$ स्थिर रहता है, इसलिए गिरता पिंड तब तक तेज़ होता है जब तक दोनों बराबर न हो जाएँ। $\frac{1}{2} ρ C_{d} A v_{t}^{2} = m g$ रखने पर यह चाल मिलती है, जिस पर नेट बल और त्वरण शून्य होते हैं। समान आकार और आकृति पर $v_{t} \propto m$ है, अतः चार गुने द्रव्यमान वाली गेंद का सीमांत वेग दोगुना होता है।

चिह्न
$v_{t}$	सीमांत वेग	$m/s$
$m$	गिरते पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$ρ$	हवा का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$C_{d}$	कर्षण गुणांक (आकार-गुणांक)
$A$	हवा के सामने का क्षेत्रफल	$m^{2}$

कब लागू होता है: $v^{2}$ के अनुपात में कर्षण के लिए, जो रोज़मर्रा के आकार की वस्तुओं और चालों पर लागू होता है। धूल और कोहरे की बूँदों के लिए कर्षण $v$ के अनुपात में होता है, और यह सूत्र विफल हो जाता है।

उदाहरण: टेनिस गेंद (57 g, व्यास 6.7 cm, $C_{d} \approx 0.55$ ) $1.2 kg/ m^{3}$ घनत्व वाली हवा में: $v_{t} \approx 22 m/s$ ।

शब्दावली

मुक्त पतन: केवल गुरुत्व के प्रभाव में गति, वायु-प्रतिरोध की उपेक्षा करके। ऊपर फेंकी गेंद ऊपर जाते समय, शिखर पर और नीचे आते समय भी मुक्त पतन में होती है, केवल गिरते समय ही नहीं।
मुक्त पतन का त्वरण: किसी स्थान पर सभी मुक्त रूप से गिरते पिंडों का साझा त्वरण $g$ : पृथ्वी की सतह के निकट लगभग 9.81 m/s², नीचे की ओर। यह विषुवत रेखा पर लगभग 9.78 m/s² से ध्रुवों पर 9.83 m/s² तक रहता है।
भार: पिंड पर गुरुत्वीय बल, $W = m g$ , जो न्यूटन में मापा जाता है। यह बल है, द्रव्यमान नहीं: 2 kg के थैले का भार पृथ्वी पर लगभग 19.6 N और चंद्रमा पर 3.2 N होता है।
जड़त्वीय और गुरुत्वीय द्रव्यमान: जड़त्वीय द्रव्यमान बताता है कि पिंड की गति बदलना कितना कठिन है; गुरुत्वीय द्रव्यमान बताता है कि गुरुत्व उसे कितने ज़ोर से खींचता है। प्रयोग बताते हैं कि ये लगभग $1 0^{15}$ में एक भाग की शुद्धता तक बराबर हैं, इसलिए सभी पिंड एक-समान गिरते हैं।
तुल्यता सिद्धांत: मुक्त रूप से गिरते छोटे डिब्बे के भीतर कोई प्रयोग पतन को खुले अंतरिक्ष में तैरने से अलग नहीं बता सकता, क्योंकि भीतर की हर वस्तु का त्वरण समान है। यह सामान्य आपेक्षिकता का आरंभिक बिंदु है।
भारहीनता: मुक्त पतन में पिंड की वह अवस्था जिसमें उसे कुछ सहारा नहीं देता और इसलिए उसे भार महसूस नहीं होता। गुरुत्व लुप्त नहीं हुआ है: 400 km ऊँचाई पर परिक्रमा करते स्टेशन में $g$ अब भी लगभग 8.7 m/s² है।
चिह्न-परिपाटी: कौन-सी ऊर्ध्वाधर दिशा धनात्मक मानी जाए, यह चुनाव। विराम से गिरने के लिए नीचे धनात्मक ( $v = g t$ ) ठीक रहता है, फेंकने के लिए ऊपर धनात्मक ( $v = v_{0} - g t$ ); पूरे प्रश्न में एक ही रखें तो दोनों चलते हैं।
विषम-संख्या नियम: विराम से समान समय-अंतरालों में गिरी दूरियों का अनुपात 1 : 3 : 5 : 7 होता है, क्योंकि कुल दूरी $t^{2}$ के अनुसार बढ़ती है। गैलीलियो ने इसे ढलान पर लुढ़कती गेंदों से खोजा था।
ऊर्ध्वाधर फेंक का शिखर: वह क्षण जब सीधी ऊपर फेंकी गेंद का वेग शून्य होता है; यह $v_{0} / g$ पर, ऊँचाई $v_{0}^{2} / (2 g)$ पर पहुँचता है। वहाँ त्वरण अब भी नीचे की ओर $g$ है, इसीलिए गेंद लौट आती है।
वायु-प्रतिरोध (कर्षण): हवा का वह बल जो पिंड की उसमें गति का विरोध करता है। यह चाल के साथ बढ़ता है: रोज़मर्रा की वस्तुओं के लिए लगभग $v^{2}$ के अनुपात में और सूक्ष्म बूँदों के लिए $v$ के अनुपात में; इसी कारण पंख पत्थर से धीरे गिरता है।
सीमांत वेग: वह स्थिर चाल जिस पर कर्षण भार को संतुलित करता है, इसलिए त्वरण शून्य होता है। यह $m / (C_{d} A)$ के अनुपात में बढ़ता है: टेनिस गेंद के लिए लगभग 22 m/s, पेट के बल गिरते स्काइडाइवर के लिए लगभग 55 m/s।
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण: न्यूटन का नियम कि किन्हीं दो द्रव्यमानों के बीच $GM m / r^{2}$ बल से आकर्षण होता है। पृथ्वी की सतह पर यह $g = GM / R^{2}$ देता है, और वही नियम चंद्रमा को उसकी कक्षा में थामे रखता है।

राशियाँ
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$	मुक्त पतन में हर सेकंड मिलने वाली वेग-वृद्धि, जो सभी पिंडों के लिए समान है: भूमि के निकट लगभग $9.81 m/ s^{2}$ , नीचे की ओर।
$h$	गिरी हुई दूरी	$m$	सूत्रों में, विराम से विमोचन के बाद गिरी हुई दूरी। एनिमेशन का $h$ रीडिंग इसके बजाय भूमि से ऊँचाई दिखाता है: $h_{0}$ (एनिमेशन में 40 m) में से गिरी हुई दूरी घटाकर।
$v$	वेग	$m/s$	पतन के सूत्रों में, समय $t$ पर नीचे की ओर चाल; $v = v_{0} - g t$ में, ऊपर धनात्मक लेने पर ऊर्ध्वाधर वेग, जो नीचे आते समय ऋणात्मक होता है।
$v_{0}$	प्रारंभिक वेग	$m/s$	विमोचन पर ऊर्ध्वाधर वेग: गिराने पर शून्य; ऊपर धनात्मक लेने पर ऊपर फेंकने पर धनात्मक।
$t$	समय	$s$	विमोचन (या प्रक्षेपण) के बाद का समय; घड़ी उसी क्षण शुरू होती है: एनिमेशन की गेंद $t \approx 2.86 s$ पर भूमि छूती है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	पिंड का द्रव्यमान। यह वायु-रहित मुक्त पतन में कट जाता है, पर सीमांत वेग तय करता है: समान आकार और आकृति पर $v_{t} \propto m$ ।
$v_{t}$	सीमांत वेग	$m/s$	वह चाल जिस पर कर्षण भार को संतुलित करता है और पिंड और तेज़ नहीं होता।
$ρ$	वायु का घनत्व	$kg/ m^{3}$	प्रति इकाई आयतन वायु का द्रव्यमान, समुद्र तल पर लगभग $1.2 kg/ m^{3}$ ; ऊँचाई पर विरल वायु सीमांत वेग को बढ़ाती है।
$C_{d}$	कर्षण गुणांक		एक शुद्ध संख्या जो बताती है कि आकार हवा से कैसे मिलता है: गोले के लिए लगभग 0.5, पेट के बल गिरते व्यक्ति के लिए लगभग 1।
$A$	सामने का क्षेत्रफल	$m^{2}$	गति के अनुप्रस्थ मापा गया, वह क्षेत्रफल जो पिंड आती हवा के सामने रखता है: व्यास $d$ वाली गेंद के लिए $π d^{2} /4$ ।

क्विज़

शुरुआती एक अंतरिक्ष यात्री वायुरहित चंद्रमा पर एक साथ एक हथौड़ा और एक पंख गिराता है। कौन पहले भूमि छूएगा?
1. दोनों एक साथ भूमि छूते हैं
2. हथौड़ा
3. पंख
4. कोई नहीं गिरता, क्योंकि वहाँ हवा नहीं है
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उत्तर: A. दोनों एक साथ भूमि छूते हैं
बिना वायु-प्रतिरोध के गुरुत्व सभी पिंडों को, उनके द्रव्यमान से स्वतंत्र, एक ही त्वरण देता है, इसलिए वे साथ भूमि छूते हैं।
शुरुआती एक पत्थर विराम से छोड़ा गया। वायु-प्रतिरोध की उपेक्षा करने पर 2 s बाद उसकी चाल कितनी है? (g = 9.81 m/s²)
1. 19.62 m/s
2. 9.81 m/s
3. 39.24 m/s
4. 2 m/s
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उत्तर: A. 19.62 m/s
चाल हर सेकंड 9.81 m/s बढ़ती है: v = g·t = 9.81 × 2 = 19.62 m/s।
शुरुआती गेंद सीधी ऊपर फेंकी गई। अपने पथ के सबसे ऊँचे बिंदु पर वह क्षण भर रुकती है। उस क्षण गुरुत्व क्या कर रहा है?
1. कुछ नहीं, क्योंकि गेंद नहीं चल रही
2. उसे पहले जितने ही बल से नीचे खींच रहा है
3. पहले से कमज़ोर बल से नीचे खींच रहा है
4. उसे ऊपर धकेल रहा है
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उत्तर: B. उसे पहले जितने ही बल से नीचे खींच रहा है
गुरुत्व इस पर निर्भर नहीं करता कि गेंद कैसे चल रही है: वह हर समय एक ही बल से खींचता है, इसलिए शिखर पर भी त्वरण नीचे की ओर 9.81 m/s² है। इसीलिए गेंद तुरंत वापस गिरने लगती है; यदि शिखर पर कोई बल न होता, तो वह वहीं मंडराती रहती।
मध्यम गेंद 20 m की ऊँचाई से गिराई गई। वायु-प्रतिरोध की उपेक्षा करने पर वह किस चाल से भूमि से टकराती है?
1. 19.8 m/s
2. 392 m/s
3. 196 m/s
4. 14.0 m/s
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उत्तर: A. 19.8 m/s
v = √(2gh) = √(2 × 9.81 × 20) = √392.4 ≈ 19.8 m/s। वर्गमूल और गुणांक 2 न भूलें।
मध्यम एक पिंड विराम से गिरता है। पहले (1), दूसरे (2), तीसरे (3) और चौथे (4) सेकंड में वह जितनी दूरियाँ तय करता है, उनका अनुपात क्या है?
1. 1 : 3 : 5 : 7
2. 1 : 2 : 3 : 4
3. 1 : 4 : 9 : 16
4. 1 : 1 : 1 : 1
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उत्तर: A. 1 : 3 : 5 : 7
कुल दूरी t² (1, 4, 9, 16) के अनुसार बढ़ती है, इसलिए हर अलग सेकंड में तय दूरी उनका अंतर है: 1, 3, 5, 7।
मध्यम गेंद 19.62 m/s से सीधी ऊपर फेंकी गई। वायु-प्रतिरोध की उपेक्षा करने पर उसे प्रक्षेपण बिंदु तक लौटने में कितना समय लगेगा?
1. 4.0 s
2. 2.0 s
3. 8.0 s
4. 1.0 s
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उत्तर: A. 4.0 s
शिखर तक पहुँचने में v₀/g = 19.62 ÷ 9.81 = 2.0 s और उतनी ही देर नीचे आने में लगती है, कुल 4.0 s। 2.0 s केवल ऊपर जाने का समय है।
उन्नत एक स्काइडाइवर सीमांत वेग पर पहुँच चुका है। उसका त्वरण क्या है?
1. शून्य
2. 9.81 m/s² नीचे की ओर
3. 9.81 m/s² ऊपर की ओर
4. 9.81 m/s² नीचे की ओर से थोड़ा अधिक
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उत्तर: A. शून्य
सीमांत वेग पर कर्षण भार को संतुलित करता है, इसलिए नेट बल और अतः त्वरण शून्य है। चाल स्थिर है।
उन्नत दो गेंदों का आकार और आकृति समान है, पर एक का द्रव्यमान दूसरी से चार गुना है। द्विघात कर्षण के साथ उनके सीमांत वेगों की तुलना कैसे होगी?
1. भारी गेंद का सीमांत वेग दोगुना होता है
2. दोनों बराबर हैं
3. भारी गेंद का सीमांत वेग चार गुना होता है
4. भारी गेंद का सीमांत वेग सोलह गुना होता है
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उत्तर: A. भारी गेंद का सीमांत वेग दोगुना होता है
v_t = √(2mg/(ρC_dA)) का मान √m के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए चार गुने द्रव्यमान पर सीमांत वेग दोगुना होता है।

$t$	विमोचन के बाद का समय।	$s$
$T$	टकराव का समय, जहाँ पतन समाप्त होता है।	$s$
$v_{y}$	ऊर्ध्वाधर वेग, ऊपर धनात्मक: ऊपरी रेखा की ऊँचाई, और $h (t)$ की स्पर्श-रेखा की ढलान।	$m/s$
$g T$	पूरे पतन में प्राप्त वेग; ऊपरी रेखा $v_{y} = - g T$ पर समाप्त होती है।	$m/s$
$Δ t$	कोई भी समय-अंतराल: ढलान त्रिभुज की क्षैतिज भुजा।	$s$
$Δ v_{y}$	$Δ t$ पर $v_{y}$ का परिवर्तन: ऊर्ध्वाधर भुजा। ढलान $Δ v_{y} /Δ t = - g$ है।	$m/s$
$Δ h$	पूरे पतन में ऊँचाई का परिवर्तन: $v_{y}$ रेखा और $t$ अक्ष के बीच का चिह्न सहित क्षेत्रफल।	$m$
$h$	भूमि से ऊँचाई।	$m$
$h_{0}$	विमोचन की ऊँचाई, $t = 0$ पर।	$m$

$O$	पृथ्वी का केंद्र।
$R$	पृथ्वी की त्रिज्या।	$m$
$v$	प्रारंभिक वेग, क्षैतिज, स्पर्श-रेखा के अनुदिश।	$m/s$
$v t$	गुरुत्व के बिना समय $t$ में सीधी रेखा पर तय दूरी।	$m$
$g$	गुरुत्वीय त्वरण, केंद्र $O$ की ओर।	$m/ s^{2}$
$\frac{1}{2} g t^{2}$	समय $t$ में गुरुत्व द्वारा गेंद को सीधी रेखा से नीचे खींची गई दूरी।	$m$

$t$	विमोचन के बाद का समय।	$s$
$v$	गेंद की चाल, नीचे की ओर मापी गई।	$m/s$
$g t$	समय $t$ के बाद बिना वायु की चाल: बिंदीदार सीधी रेखा।	$m/s$
$v_{t}$	हल्की गेंद की सीमांत चाल। भारी गेंद की $2 v_{t}$ है, क्योंकि $v_{t} \propto m$ ।	$m/s$
$m$	हल्की गेंद का द्रव्यमान; भारी गेंद का $4 m$ ।	$kg$

$t$	पहली गेंद के विमोचन के बाद का समय।	$s$
$T$	वह समय जब पहली गेंद भूमि छूती है और दूसरी अपने उच्चतम बिंदु पर पहुँचती है।	$s$
$\frac{T}{2}$	वह समय जब गेंदें मिलती हैं।	$s$
$y$	भूमि से ऊँचाई, ऊपर धनात्मक।	$m$
$h_{0}$	पहली गेंद की विमोचन ऊँचाई, और दूसरी गेंद की उड़ान का शिखर।	$m$
$\frac{3}{4} h_{0}$	वह ऊँचाई जहाँ गेंदें मिलती हैं।	$m$
$y_{1}$	गिराई गई गेंद की ऊँचाई।	$m$
$y_{2}$	भूमि से ऊपर फेंकी गेंद की ऊँचाई।	$m$