Сопротивление среды и предельная скорость

Начальный

Разберёмся по шагам, что делает сопротивление воздуха.

Шаг 1: среда сопротивляется. Высуньте руку в окно едущей машины — воздух отталкивает её назад. Воздух, вода и любые жидкости и газы давят на всё, что сквозь них движется. Это давление называют силой сопротивления, или сопротивлением воздуха. Оно быстро растёт со скоростью (вдвое быстрее — примерно вчетверо сильнее) и с площадью, обращённой к потоку.

Шаг 2: падающее тело перестаёт разгоняться. Посмотрите на парашютиста. Сразу после прыжка скорость мала, поэтому сопротивление воздуха (красная стрелка вверх) невелико и побеждает сила тяжести (зелёная стрелка вниз): парашютист разгоняется, синий столбик скорости растёт. Но чем больше скорость, тем больше сопротивление. Примерно через десять секунд красная стрелка сравнивается с зелёной. Силы уравновешиваются, и скорость больше не меняется: парашютист ровно падает со скоростью около 200 км/ч. Это предельная (установившаяся) скорость.

Шаг 3: парашют. У раскрытого купола огромная площадь, поэтому сопротивление сразу становится намного больше силы тяжести, и парашютист тормозит. Вместе со скоростью падает и сопротивление, пока снова не сравняется с весом — уже при мягких 18 км/ч.

Шаг 4: форма и вязкость. Гладкое заострённое тело позволяет потоку сомкнуться за собой и почти не тормозится — вспомните рыб и велогонщиков. Густые жидкости вроде мёда мешают даже медленному движению; это внутреннее «трение» называют вязкостью.

Проверьте себя: капля дождя падает с постоянной скоростью. Сопротивление воздуха меньше её веса, равно ему или больше? (Ответ: равно. Постоянная скорость означает, что силы уравновешены.)

Средний

Что такое сопротивление и от чего оно зависит

Сила сопротивления среды — это сила, с которой среда (жидкость или газ) действует на движущееся в ней тело. Она направлена против скорости тела относительно среды: велосипедист, который едет со скоростью 10 м/с навстречу ветру в 5 м/с, встречает воздух со скоростью 15 м/с.

Для мячей, автомобилей и парашютистов сила сопротивления подчиняется квадратичному закону
$F_c=\frac{1}{2}\rho C_{x}S{v}^2$
Здесь $\rho$ — плотность среды (1,2 кг/м³ для воздуха у поверхности земли), $S$ — площадь поперечного сечения (мидель), обращённая к потоку, а $v$ — скорость. Коэффициент лобового сопротивления $C_x$ — безразмерное число, которое задаёт форма тела: около 0,05 у каплевидного тела, 0,3 у современного автомобиля, 0,47 у шара и 1,5 у круглого парашюта.

Почему именно квадрат? Каждую секунду тело расталкивает массу среды порядка $\rho Sv$ и сообщает ей скорость, сравнимую с $v$. Импульс, передаваемый за секунду, — это и есть сила, и он порядка $\rho S{v}^2$: при вдвое большей скорости сопротивление вчетверо больше.

Вязкость и мир малых и медленных тел

Вязкость $\eta$ — это внутреннее трение среды, сопротивление её слоёв взаимному скольжению; её измеряют в паскаль-секундах (Па·с). При 20 °C у воздуха $\eta =1,8\times 10^{-5}\mathrm{Па}\cdot \mathrm{с}$, у воды $1,0\times 10^{-3}\mathrm{Па}\cdot \mathrm{с}$, у оливкового масла около 0,08 Па·с, у глицерина 1,4 Па·с; тёплые жидкости более текучи.

Крошечные или медленные тела — пылинки, капли тумана, бусинка, тонущая в мёде, — испытывают сопротивление, пропорциональное $v$, а не $v^2$. Для шара радиусом $r$ это закон Стокса,
$F_c=6\pi \eta rv\text{(Стокс, }\mathrm{Re}\ll 1\text{)}$
Плотность среды в него не входит: среду не расталкивают, а сдвигают — слой скользит по слою.

Какой из двух законов применим, решает число Рейнольдса. Оно составлено из плотности и вязкости среды, скорости и размера тела $L$:
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Оно сравнивает инерцию среды с её вязкостью. Ниже примерно 1 справедлив закон Стокса, выше примерно 1000 — квадратичный закон с коэффициентом $C_x$, который определяется в основном формой. У капли тумана $\mathrm{Re}\approx 0,02$, у парашютиста при $L\approx 0,5\mathrm{м}$ — около 2 миллионов.

Падение с сопротивлением: предельная скорость

Направим ось вниз. На падающее тело действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила сопротивления, направленная вверх, поэтому второй закон Ньютона имеет вид
$ma=mg-F_c$
В начале $v=0$, сопротивления нет и $a=g$. По мере разгона сопротивление растёт, а ускорение уменьшается, пока сопротивление не сравняется с силой тяжести. С этого момента $a=0$, и тело падает с постоянной скоростью — предельной (установившейся). Из условия $\frac{1}{2}\rho C_{x}S{v}_{\mathrm{уст}}^2=mg$ получаем
$v_{\mathrm{уст}}=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{x}S}}$

Для маленького шарика в режиме Стокса вес за вычетом выталкивающей силы (см. урок «Закон Архимеда») уравновешивается силой $6\pi \eta rv$, откуда
$v_{\mathrm{уст}}=\frac{2r^2({\rho }_{\mathrm{ш}}-{\rho }_{\mathrm{ж}})g}{9\eta }\text{(шар, закон Стокса)}$
где ${\rho }_{\mathrm{ш}}$ и ${\rho }_{\mathrm{ж}}$ — плотности шара и среды (жидкости или газа). В воздухе выталкивающая сила составляет лишь около 0,1 % веса парашютиста, и её не учитывают. Тело той же формы из того же материала, но вдвое крупнее, при квадратичном сопротивлении падает в $\sqrt{2}\approx 1,41$ раза быстрее ($m\propto r^3$, $S\propto r^2$), что помогает мелким животным переживать падения, а в режиме Стокса — в четыре раза быстрее ($v_{\mathrm{уст}}\propto r^2$).

Пример: парашютист из анимации

Масса прыгуна $m=80\mathrm{кг}$, в положении плашмя $C_{x}S=0,43{\mathrm{м}}^2$, плотность воздуха $\rho =1,2\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$. Вес равен $mg=80\cdot 9,81=785\mathrm{Н}$ (зелёная строка среди индикаторов), а предельная скорость —
$v_{\mathrm{уст}}=\sqrt{\frac{2\cdot 785}{1,2\cdot 0,43}}\approx \sqrt{3040}\approx 55,2\mathrm{м}/\mathrm{с}$
то есть около 199 км/ч.

Поскольку $mg=\frac{1}{2}\rho C_{x}S{v}_{\mathrm{уст}}^2$, сопротивление при любой скорости равно $F_c=mg(v/v_{\mathrm{уст}}{)}^2$. Когда индикатор $v$ показывает 30 м/с, при $t\approx 3,4\mathrm{с}$, получаем $F_c=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,43\cdot 30^2\approx 232\mathrm{Н}$ и $a=(785-232)/80\approx 6,9\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Приближение к предельной скорости медленное: на 13-й секунде, когда раскрывается купол, индикаторы показывают $v\approx 54,1\mathrm{м}/\mathrm{с}$, $F_c\approx 755\mathrm{Н}$ и $a\approx 0,4\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$. Индикатор $t$ отсчитывает секунды реального падения, а сама анимация идёт вдвое быстрее.

У купола $C_{x}S=52,5{\mathrm{м}}^2$, то есть в 122 раза больше, поэтому $v_{\mathrm{уст}}$ уменьшается в $\sqrt{122}\approx 11$ раз, до $55,2/11,05\approx 5,0\mathrm{м}/\mathrm{с}$ (18 км/ч), как и сказано в строке о парашюте под формулами. Пока купол наполняется, сопротивление достигает пика около 3340 Н, в 4,3 раза больше веса, при $t\approx 14\mathrm{с}$, а индикатор $a$ опускается примерно до $-32\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ — это торможение с ускорением 3,3 g. К 19-й секунде индикаторы устанавливаются на значениях $v=5,0\mathrm{м}/\mathrm{с}$, $F_c=785\mathrm{Н}$ и $a=0$.

Пример: капли тумана и дождевые капли

Почему облака парят, а дождь падает? Капля тумана радиусом $r=10\mathrm{мкм}$ падает в воздухе ($\eta =1,8\times 10^{-5}\mathrm{Па}\cdot \mathrm{с}$); плотность капли ${\rho }_{\mathrm{ш}}=1000\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$, воздуха ${\rho }_{\mathrm{ж}}=1,2\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$. Формула Стокса даёт
$v_{\mathrm{уст}}=\frac{2\cdot (10^{-5}{)}^2\cdot 998,8\cdot 9,81}{9\cdot 1,8\times 10^{-5}}\approx 0,012\mathrm{м}/\mathrm{с}$
всего 1,2 см/с. Проверим режим: $\mathrm{Re}=1,2\cdot 0,012\cdot 2\times 10^{-5}/(1,8\times 10^{-5})\approx 0,016$, намного меньше 1, так что закон Стокса был выбран верно. Восходящий поток воздуха в несколько сантиметров в секунду удерживает такие капли в небе.

Дождевая капля радиусом 1 мм в 100 раз крупнее. По закону Стокса получилась бы скорость в $10^4$ раз больше — 121 м/с — при числе Рейнольдса около 16 000, то есть далеко за пределами применимости закона. Возьмём вместо него квадратичный закон: $C_x\approx 0,5$, $m={\rho }_{\mathrm{ш}}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4,19\times 10^{-6}\mathrm{кг}$ и $S=\pi r^2=3,14\times 10^{-6}{\mathrm{м}}^2$:
$v_{\mathrm{уст}}=\sqrt{\frac{2\cdot 4,19\times 10^{-6}\cdot 9,81}{1,2\cdot 0,5\cdot 3,14\times 10^{-6}}}\approx 6,6\mathrm{м}/\mathrm{с}$
что близко к 6,5 м/с, измеренным для капель диаметром 2 мм, при $\mathrm{Re}\approx 900$. Сначала определите режим, потом выбирайте закон.

Как читать стрелки сил

Обе стрелки нарисованы в одном масштабе, в пикселях на ньютон. Зелёная стрелка $mg$ не меняется, а красная стрелка $F_c$ рассказывает всю историю в четырёх фазах.

• Разгон: красная стрелка короче зелёной, поэтому равнодействующая направлена вниз, а $a$ уменьшается от $g$ к нулю.
• Предельная скорость: обе стрелки одинаковой длины, равнодействующая равна нулю, скорость постоянна и близка к 55 м/с.
• Раскрытие: красная стрелка примерно в 4,3 раза длиннее зелёной, поэтому равнодействующая направлена вверх, а $a$ становится отрицательным, хотя парашютист ещё падает.
• Снова равновесие: красная стрелка вернулась к длине зелёной при скорости 5,0 м/с, а серые штрихи воздуха едва ползут мимо.

Частые ошибки

• Уравновешенные силы не означают покой: при предельной скорости равнодействующая равна нулю, но парашютист всё равно падает со скоростью 55 м/с.
• Раскрывающийся парашют не тянет парашютиста вверх, как может показаться на видео, снятом парашютистом-оператором, который ещё летит вниз: скорость остаётся направленной вниз и уменьшается с 54 до 5 м/с, а вверх направлено ускорение, в пике около $-32\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$.
• Сопротивление воздуха в обычных условиях не пропорционально скорости: при половине предельной скорости, 27,6 м/с, сопротивление парашютиста составляет четверть веса, 196 Н, а не половину.
• Тяжёлые тела в воздухе действительно падают быстрее, но лишь как $\sqrt{m}$: добавочные 40 кг снаряжения при том же $C_{x}S$ увеличивают $v_{\mathrm{уст}}$ в $\sqrt{1,5}\approx 1,22$ раза, до 67,5 м/с.
• Вязкость — не плотность: оливковое масло плавает на воде, но вязкость у него примерно в 80 раз больше.

Где это встречается

Сопротивление определяет расход энергии любого транспорта. Для равномерного движения в неподвижном воздухе нужна мощность
$P=F_{c}v=\frac{1}{2}\rho C_{x}S{v}^3$
У автомобиля с $C_{x}S=0,66{\mathrm{м}}^2$ при 90 км/ч (25 м/с) она равна $\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,66\cdot 25^3\approx 6,2\mathrm{кВт}$; при 130 км/ч — 18,6 кВт, втрое больше, а на каждый километр уходит примерно вдвое больше энергии.

Велосипедисты пригибаются, чтобы уменьшить $C_{x}S$, лунки на мячах для гольфа уменьшают сопротивление, парашюты, наоборот, используют его, а центрифуги ускоряют медленное оседание клеток крови по закону Стокса. Давление $\frac{1}{2}\rho v^2$, стоящее за законом сопротивления, объясняет урок «Уравнение Бернулли», затухание колебаний из-за сопротивления разбирает урок «Затухание и резонанс», а о том, куда уходит энергия, рассказывает урок «Работа, энергия и мощность».

Продвинутый

Вязкость: поток импульса между слоями

Вязкость — это сопротивление среды скольжению её слоёв друг по другу. Все силы сопротивления в этом уроке прямо или косвенно возникают из неё, поэтому начнём с простейшего течения, на котором её измеряют.

Обозначения

$d$	Ширина зазора между пластинами.	$\mathrm{м}$
$A$	Площадь верхней пластины.	${\mathrm{м}}^2$
$F$	Сила, которая тянет верхнюю пластину с постоянной скоростью.	$\mathrm{Н}$
$v_0$	Скорость верхней пластины; нижняя покоится.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v(y)$	Скорость жидкости на высоте $y$ над нижней пластиной: нуль внизу, $v_0$ наверху.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\eta$	Вязкость жидкости: напряжение, необходимое на единицу градиента скорости.	$\mathrm{Па}\mathrm{с}$

Это течение показано на рисунке 1. Жидкость заполняет зазор шириной $d$ между двумя большими параллельными пластинами. Нижняя пластина неподвижна. Верхнюю, площадью $A$, тянут силой $F$, и она скользит с постоянной скоростью $v_0$. Каждая синяя стрелка показывает скорость жидкости $v(y)$ на высоте $y$ над нижней пластиной.

Длины стрелок определяются двумя фактами. Во-первых, жидкость, касающаяся твёрдой поверхности, движется вместе с ней. Это условие прилипания, и оно выполняется для всех обычных жидкостей и газов. Поэтому нижняя стрелка имеет нулевую длину, а верхняя — длину $v_0$. Во-вторых, соседние слои тянут друг друга с силой на единицу площади, пропорциональной тому, как быстро скорость меняется с высотой, $\eta dv/dy$. Именно это соотношение определяет вязкость $\eta$. В установившемся течении ни один слой не ускоряется, поэтому тянущее действие более быстрого слоя сверху должно уравновешивать торможение более медленным слоем снизу: напряжение, а вместе с ним и $dv/dy$, одинаково на любой высоте.

Вот почему стрелки растут равными шагами, а штриховая линия через их концы прямая. Скорость возрастает на $v_0$ на ширине зазора $d$, так что всюду $dv/dy=v_0/d$, и сила, необходимая на единицу площади пластины, равна
$\frac{F}{A}=\eta \frac{v_0}{d}$
Если удвоить скорость пластины или вдвое уменьшить зазор, сила удвоится. Поскольку $F/A$ — это напряжение, $\eta$ измеряют в Па·с.

Тот же закон можно прочесть глубже — как поток импульса. Каждый слой тянет вперёд более медленный слой под собой и сам удерживается им в ответ. Поэтому импульс вдоль течения переходит от быстрой жидкости к медленной со скоростью, которую задаёт $\eta$. На рисунке 1 он входит через движущуюся пластину, сверху вниз пересекает все слои и уходит через неподвижную пластину; $F$ — это скорость, в единицах импульса в секунду, с которой верхняя пластина его подаёт.

Эта картина объясняет, как вязкость зависит от состояния вещества. В газе импульс переносят молекулы, перескакивающие между слоями: молекула, пришедшая из более быстрого слоя, приносит в более медленный лишний импульс, направленный вперёд. Кинетическая теория даёт $\eta \approx \frac{1}{3}\rho \bar{v}\lambda$. Здесь $\rho$ — плотность газа, $\bar{v}$ — средняя скорость молекул, а $\lambda$ — длина свободного пробега, то есть среднее расстояние, которое молекула проходит между столкновениями. Поскольку $\lambda \propto 1/\rho$, произведение $\rho \lambda$ не меняется при сжатии газа, и вязкость газа не зависит от давления. С температурой она растёт, потому что растёт $\bar{v}$. Жидкости ведут себя наоборот: их молекулы удерживаются соседями, нагрев помогает им вырваться, и вязкость при нагревании резко падает. У воды она равна 1,79 мПа·с при 0 °C и всего 0,28 мПа·с при 100 °C.

Вязкая сила дополняет и уравнение движения жидкости. Для идеальной жидкости второй закон Ньютона, записанный для единицы объёма, — это уравнение Эйлера: плотность, умноженная на ускорение, равна силе давления $-\nabla p$ плюс сила тяжести $\rho \vec{g}$, где $p$ — давление. В несжимаемой жидкости равнодействующая вязких сил на единицу объёма равна $\eta {\nabla }^2\vec{v}$. Оператор Лапласа ${\nabla }^2$ показывает, насколько скорость в точке отличается от средней скорости вокруг неё, поэтому эта сила подтягивает каждую частицу жидкости к движению её соседей. Добавив её, получаем уравнение Навье — Стокса:
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}+\eta {\nabla }^2\vec{v}$
Выражение в скобках — ускорение частицы жидкости: изменение скорости в неподвижной точке плюс изменение, возникающее из-за перемещения туда, где течение другое. Уравнение решают с условием прилипания, как на рисунке 1: у любой твёрдой поверхности жидкость движется вместе с поверхностью, так что на покоящемся теле $\vec{v}=0$.

Анализ размерностей и число Рейнольдса

Обтекание реального тела слишком сложно, чтобы рассчитать его из уравнения Навье — Стокса. Анализ размерностей показывает, что можно сказать, не решая его, и даёт единственное число, по которому классифицируют все течения.

Для тела заданной формы сила сопротивления $F$ может зависеть только от размера тела $L$, его скорости $v$ относительно среды, а также от плотности $\rho$ и вязкости $\eta$ среды. Эти пять величин выражаются через три единицы — килограмм, метр и секунду, — поэтому из них можно составить лишь $5-3=2$ независимых безразмерных числа. Удобная пара — $F/(\rho v^2{L}^2)$ и число Рейнольдса
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Физический закон не может зависеть от выбора единиц, значит, он должен быть связью между этими двумя числами: первое есть функция второго. Если заменить $L^2$ площадью поперечного сечения тела $S$ и добавить условный множитель $\frac{1}{2}$, получится закон сопротивления
$F_c=\frac{1}{2}\rho v^{2}S{C}_d(\mathrm{Re})$
Коэффициент сопротивления $C_d$ (в других частях урока он обозначен $C_x$) — безразмерное число. Вся трудная физика теперь спрятана в одной функции одной переменной, которую для каждой формы достаточно измерить один раз.

Физически $\mathrm{Re}$ сравнивает инерцию с вязкостью. Скорость меняется примерно на $v$ на расстояниях порядка $L$, поэтому инерционный член $\rho (\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$ порядка $\rho v^2/L$, а вязкий член $\eta {\nabla }^2\vec{v}$ порядка $\eta v/L^2$. Их отношение и есть $\mathrm{Re}$. При больших $\mathrm{Re}$ преобладает инерция, при малых — вязкость.

Отсюда следует, что течения около геометрически подобных тел при одинаковых $\mathrm{Re}$ — копии друг друга в другом масштабе; на этом основаны испытания моделей. Через кинематическую вязкость $\nu =\eta /\rho$ число Рейнольдса записывается как $\mathrm{Re}=vL/\nu$; $\nu$ равна $1,0\times 10^{-6}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$ у воды и $1,5\times 10^{-5}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$ у воздуха. Модель автомобиля в масштабе 1 : 10 вдесятеро короче, поэтому в воде она воспроизводит настоящий автомобиль в воздухе, когда её скорость составляет $10{\nu }_{\mathrm{вод}}/{\nu }_{\mathrm{возд}}\approx 0,67$ от скорости автомобиля. Диапазон $\mathrm{Re}$ в природе огромен: около $10^{-4}$ у плывущей бактерии, 0,016 у капли тумана, 900 у дождевой капли и $2\times 10^6$ у парашютиста.

Течение Стокса и кривая сопротивления

Функцию $C_d(\mathrm{Re})$ измерили для многих форм. Классический пример — шар, и его кривая показывает два совершенно разных режима сопротивления.

Обозначения

$C_d$	Коэффициент сопротивления (в других частях урока — $C_x$), определённый формулой $F_c=\frac{1}{2}\rho v^{2}S{C}_d$.
$Re$	Число Рейнольдса течения, $\rho vL/\eta$, где $L$ — диаметр шара.
$R{e}_c$	Число Рейнольдса, при котором наступает кризис сопротивления, около $3\times 10^5$.

На рисунке 2 показан коэффициент сопротивления $C_d$ гладкого шара в зависимости от числа Рейнольдса $\mathrm{Re}$, построенного по диаметру шара. Обе оси логарифмические: каждый множитель 10 занимает одинаковое расстояние, поэтому степенной закон $C_d\propto {\mathrm{Re}}^n$ выглядит как прямая с наклоном $n$. Штриховая прямая — это $C_d=24/\mathrm{Re}$, с наклоном $-1$.

Проследите измеренную кривую слева направо. При $\mathrm{Re}\ll 1$ она идёт вдоль штриховой прямой. Около $\mathrm{Re}\approx 1$ она отходит вверх от неё, а между $\mathrm{Re}\approx 10^3$ и $2\times 10^5$ выполаживается в плато на уровне 0,4–0,5. При ${\mathrm{Re}}_c\approx 3\times 10^5$ она обрывается примерно до 0,1 — это кризис сопротивления. Дальше кривая частично поднимается, примерно до 0,2 при $\mathrm{Re}\approx 10^7$. Плато и провал объясняются формой следа, о которой рассказывает следующий раздел.

Прямолинейный участок — это течение Стокса. При $\mathrm{Re}\ll 1$ инерционный член пренебрежимо мал, и плотность $\rho$ выпадает из задачи. Тогда сила сопротивления шара радиусом $r$ может зависеть только от $\eta$, $v$ и $r$, а единственное их произведение с размерностью силы — $\eta rv$. Решение уравнений медленного течения определяет числовой множитель:
$F_c=6\pi \eta rv$
Разделив на $\frac{1}{2}\rho v^2\pi r^2$, получаем $C_d=12\eta /(\rho vr)=24\eta /(\rho v\cdot 2r)=24/\mathrm{Re}$ — это и есть штриховая прямая.

Маленький шар, тонущий в жидкости, достигает предельной скорости (здесь она, как и на рисунке 4, обозначена $v_t$, в других частях урока — $v_{\mathrm{уст}}$), когда эта сила уравновешивает его вес за вычетом выталкивающей силы, $\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_{\mathrm{ш}}-{\rho }_{\mathrm{ж}})g$, где ${\rho }_{\mathrm{ш}}$ — плотность шара, а ${\rho }_{\mathrm{ж}}$ — плотность жидкости. Приравняв их, получаем
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_{\mathrm{ш}}-{\rho }_{\mathrm{ж}})g}{9\eta }$
Скорость пропорциональна $r^2$: шар вдвое большего диаметра тонет вчетверо быстрее. Засечь время, за которое тонет шарик, и найти отсюда $\eta$ — стандартный способ измерить вязкость масел.

Отрыв, след и кризис сопротивления

Почему $C_d$ перестаёт убывать и выходит на плато и почему он резко падает около ${\mathrm{Re}}_c$? Ответ кроется в тонком слое среды у поверхности тела.

Обозначения

$v$	Скорость потока далеко перед шаром.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$r$	Радиус шара.	$\mathrm{м}$
$\delta$	Толщина пограничного слоя, в котором скорость растёт от нуля у поверхности до скорости потока. Нарисован намного толще, чем на самом деле.	$\mathrm{м}$
$S_1$	Точка отрыва ламинарного пограничного слоя, примерно в 80° от передней точки.
$S_2$	Точка отрыва турбулентного пограничного слоя — дальше, примерно в 120° от передней точки.
$w_1$	Ширина следа за шаром при ламинарном пограничном слое.	$\mathrm{м}$
$w_2$	Ширина следа при турбулентном пограничном слое.	$\mathrm{м}$

На рисунке 3 показано обтекание шара радиусом $r$ потоком со скоростью $v$. У самой поверхности среда покоится (условие прилипания). Тонкий слой, в котором её скорость нарастает до скорости потока, — это пограничный слой толщиной $\delta$; он нарисован гораздо толще, чем на самом деле. На передней половине шара давление падает и подталкивает слой вдоль течения. За самым широким местом давление снова растёт, и медленной среде у стенки не хватает импульса, чтобы двигаться против него.

На верхней схеме пограничный слой ламинарный, то есть гладкий и упорядоченный. Он рано теряет импульс и отрывается в точке $S_1$, примерно в 80° от передней точки: слой сходит с поверхности по касательной в виде свободного сдвигового слоя. За ним тянется широкий след медленной завихрённой среды с низким давлением, шириной $w_1$. На нижней схеме пограничный слой турбулентный. Его вихри всё время подмешивают быструю среду снаружи к стенке, поэтому он дольше держится у поверхности и отрывается дальше, в точке $S_2$, примерно в 120° от передней точки. След шириной $w_2$ гораздо уже.

Теперь свяжем это с рисунком 2. При $\mathrm{Re}$ больше примерно $10^3$ течение относится к верхнему типу: оно не может следовать за задней частью тела. Спереди действует почти полное давление торможения $\frac{1}{2}\rho v^2$, а широкий след сзади остаётся при низком давлении. Эта разность — сопротивление давления — не зависит от $\eta$, поэтому $C_d$ выходит на постоянное значение: это плато. Около ${\mathrm{Re}}_c$ пограничный слой становится турбулентным раньше, чем успевает оторваться. Течение переходит к нижнему типу, след сужается, давление сзади частично восстанавливается, и $C_d$ падает примерно до 0,1 — это кризис сопротивления.

Лунки на мяче для гольфа делают пограничный слой турбулентным гораздо раньше и вызывают кризис около $\mathrm{Re}\approx 5\times 10^4$. Полёт после удара проходит при $\mathrm{Re}$ от $10^5$ до $2\times 10^5$, так что на всём его протяжении лунки примерно вдвое уменьшают сопротивление. Тела с острыми краями — плоская пластина, распластанный парашютист, купол — ведут себя иначе: при любом большом $\mathrm{Re}$ течение отрывается на их краях, и их $C_d$ остаётся почти постоянным. Поэтому анимация может брать одно значение $C_{d}S$ для каждой фазы прыжка. Закон $v^2$ кратко описывает сложное течение в ограниченном диапазоне $\mathrm{Re}$; это не закон природы вроде $F=ma$.

Пограничный слой разрешает и старую загадку. Идеальная жидкость, $\eta =0$, стационарно обтекающая тело, идеально смыкается за ним и не создаёт никакого сопротивления: это парадокс Даламбера (1752). Можно было бы ожидать, что реальные течения приближаются к этому при $\eta \to 0$, но этого не происходит. В уравнении Навье — Стокса $\eta$ стоит множителем при члене со старшими производными. Если отбросить этот член, порядок уравнения понижается, и оставшееся уравнение уже не может удовлетворить условию прилипания. Поэтому, как бы мала ни была $\eta$, изменение скорости собирается в пограничном слое — это $\delta$ на рисунке 3, — где градиенты достаточно круты, чтобы вязкость играла роль. Его толщина уменьшается лишь как $L/\sqrt{\mathrm{Re}}$; у парашютиста это доли миллиметра. Слой всё равно отрывается, след сохраняется, и сопротивление остаётся конечным. Нулевая вязкость — сингулярный предел, как показала теория пограничного слоя Прандтля 1904 года.

Интегрируем падение: гиперболический тангенс

Парашютист из анимации (масса 80 кг, положение плашмя) падает при числах Рейнольдса около $2\times 10^6$, где $C_d$ постоянен, а сопротивление растёт как $v^2$. В этом разделе движение находится точно.

Обозначим $k=\frac{1}{2}\rho C_{d}S$, так что сила сопротивления равна $k{v}^2$, и направим ось вниз. Сила тяжести $mg$ направлена вниз, сопротивление — вверх, поэтому второй закон Ньютона имеет вид $mdv/dt=mg-k{v}^2$. Прыгун перестаёт ускоряться, когда эти силы уравновешиваются, — при предельной скорости $v_t$, для которой $v_t^2=mg/k$. Разделив на $m$ и воспользовавшись этим определением, получаем $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$. Теперь скорость и время можно разнести по разные стороны равенства и проинтегрировать от момента прыжка, когда $t=0$ и $v=0$:
${\int }_0^v\frac{du}{1-u^2/v_t^2}=v_t\mathrm{arth}(v/v_t)=gt$
Выражая $v$, получаем
$v(t)=v_t\mathrm{th}\left(\frac{gt}{v_t}\right)$
Поскольку первообразная $\mathrm{th}$ — это $\ln \mathrm{ch}$, ещё одно интегрирование даёт пройденный путь: $x(t)=(v_t^2/g)\ln \mathrm{ch}(gt/v_t)$.

Естественный масштаб времени — $\tau =v_t/g$: за это время при свободном падении набралась бы скорость $v_t$. Для прыгуна из анимации, у которого $v_t=55,2\mathrm{м}/\mathrm{с}$, он равен $\tau =5,6\mathrm{с}$. При $t\ll \tau$ имеем $\mathrm{th}s\approx s$, поэтому $v\approx gt$: первые секунды — почти свободное падение. При $t\gg \tau$ имеем $\mathrm{th}s\approx 1-2e^{-2s}$ и $\ln \mathrm{ch}s\approx s-\ln 2$, поэтому
$v\approx v_t(1-2e^{-2t/\tau }),x\approx v_{t}t-(v_t^2/g)\ln 2$
В итоге прыгун отстаёт на постоянные 215 м от воображаемого напарника, который с самого начала падал бы со скоростью $v_t$.

Сравните с линейным сопротивлением, $mdv/dt=mg-bv$: оно даёт $v=v_t(1-e^{-t/\tau })$, где снова $\tau =v_t/g$, в этом случае равное $m/b$. Начало то же, с наклоном $g$, но выход на предельную скорость медленнее: разность с $v_t$ убывает с темпом $1/\tau$ вместо $2/\tau$. При предельной скорости ничего не ускоряется, но сила тяжести по-прежнему совершает работу, и её мощность равна $mg{v}_t=785\cdot 55,2\approx 43\mathrm{кВт}$. Вся эта энергия идёт на перемешивание воздуха, вихри в котором в конце концов превращают её в теплоту.

Как читать графики: разгон и удар при раскрытии

На графиках анимации формулы становятся наглядными. Наклоны и площади на них показывают, как быстро прыгун разгоняется и тормозит, какое расстояние он пролетает и с какой силой тянет купол.

Обозначения

$v$	Скорость прыгуна.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$t$	Время с момента прыжка.	$\mathrm{с}$
$v_t$	Предельная скорость прыгуна в положении плашмя, 55,2 м/с (в других частях урока — $v_{\mathrm{уст}}$).	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$v_t^{\prime }$	Предельная скорость под раскрытым куполом, 5,0 м/с.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$gt$	Скорость, которую дало бы свободное падение: касательная к $v(t)$ при $t=0$, с наклоном $g$.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\tau$	Масштаб времени $v_t/g=5,6\mathrm{с}$: касательная $gt$ пересекает линию $v_t$ при $t=\tau$.	$\mathrm{с}$
$t_1$	Момент, когда начинает раскрываться купол, через 13 с после прыжка.	$\mathrm{с}$
$x$	Путь, пройденный до $t_1$: закрашенная площадь под $v(t)$.	$\mathrm{м}$

Рисунок 4 — это график скорости из экспертного слоя анимации, построенный по той же модели. Синяя кривая — скорость прыгуна $v(t)$. Она выходит из начала координат вдоль зелёной касательной $gt$ с наклоном $g$, которая пересекает верхнюю штриховую линию $v_t$ при $t=\tau =5,6\mathrm{с}$ — на первой штриховой вертикали. Посмотрите на нижнюю точку в этот момент: кривая достигла лишь $\mathrm{th}1\approx 0,76$ от $v_t$, то есть 42 м/с, потому что сопротивление всё это время росло. Уровня 96 % от $v_t$ она достигает через $2\tau$, а 54,1 м/с — к моменту $t_1=13\mathrm{с}$, на второй штриховой вертикали, когда начинает раскрываться купол. Анимация рисует и второй график, которого здесь нет: силу сопротивления $F_c(t)=mg{\mathrm{th}}^2(gt/v_t)$, красным цветом. Он начинается плоско, потому что сопротивление растёт как $v^2$, и медленно ползёт к штриховой линии $mg$.

В момент $t_1$ диаметр купола начинает равномерно расти в течение 4 с. Площадь купола растёт как квадрат диаметра, поэтому добавка к $C_{d}S$ растёт как квадрат времени, прошедшего с начала раскрытия. Сначала $C_{d}S$ растёт быстрее, чем падает $v^2$, и сопротивление взлетает до пика около 3340 Н, то есть $4,3mg$, при $t\approx 14,0\mathrm{с}$ и $v\approx 37\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Это и есть удар при раскрытии. На рисунке 4 после $t_1$ синяя кривая круто опускается к нижней штриховой линии, $v_t^{\prime }=5,0\mathrm{м}/\mathrm{с}$, и выходит на неё примерно к 18 с. Выход быстрый, потому что новый масштаб времени всего $v_t^{\prime }/g=0,51\mathrm{с}$.

Площади тоже несут смысл. Площадь под графиком $v(t)$ — это потерянная высота: 505 м до раскрытия (закрашенная площадь $x$ на рисунке 4), 92 м во время наполнения купола и ещё 25 м с конечной скоростью до 22 с, всего 622 м. На графике силы второй закон Ньютона $mdv/dt=mg-F_c$ показывает, что результирующая площадь между $F_c(t)$ и линией $mg$ после раскрытия — это снятый импульс: $m\Delta v=80\cdot (54,1-5,0)\approx 3930\mathrm{Н}\cdot \mathrm{с}$.

Задача: купол, раскрывающийся мгновенно

Почему купол должен раскрываться постепенно? Допустим, полный купол с $C_{d}S=52,5{\mathrm{м}}^2$ появился мгновенно на 13-й секунде, когда скорость $v_0=54,1\mathrm{м}/\mathrm{с}$. При таком $C_{d}S$ предельная скорость равна $v_t^{\prime }=4,99\mathrm{м}/\mathrm{с}$; это значит, что при скорости $v_t^{\prime }$ сопротивление равно $mg$. Сопротивление растёт как $v^2$, поэтому при $v_0$ оно скачком выросло бы до
$F_c=mg{\left(\frac{v_0}{v_t^{\prime }}\right)}^2=785\cdot {\left(\frac{54,1}{4,99}\right)}^2\approx 9,2\times 10^4\mathrm{Н}$
Это в 117 раз больше веса. За вычетом веса остаётся равнодействующая, в 116 раз превышающая вес, то есть торможение около 116 g.

Как быстро упала бы скорость? Теперь $v>v_t^{\prime }$, поэтому сопротивление больше веса, и то же уравнение, что и раньше, $dv/dt=-g\left(v^2/(v_t^{\prime }{)}^2-1\right)$, уменьшает скорость. Выше предельной скорости в решении вместо $\mathrm{th}$ стоит $\mathrm{cth}$. Если отсчитывать $t$ от момента раскрытия,
$v(t)=v_t^{\prime }\mathrm{cth}\left(\frac{gt}{v_t^{\prime }}+u_0\right),\mathrm{cth}{u}_0=\frac{v_0}{v_t^{\prime }}$
Здесь $\mathrm{cth}{u}_0=10,8$, откуда $u_0=0,093$. Скорость падает до $2v_t^{\prime }\approx 10\mathrm{м}/\mathrm{с}$, когда выражение в скобках достигает $\mathrm{arcth}2=0,549$. При $v_t^{\prime }/g=0,509\mathrm{с}$ на это уходит $(0,549-0,093)\cdot 0,509\approx 0,23\mathrm{с}$. Первообразная $\mathrm{cth}$ — это $\ln \mathrm{sh}$, поэтому пройденный путь равен $((v_t^{\prime }{)}^2/g)\ln (\mathrm{sh}0,549/\mathrm{sh}0,093)\approx 2,54\cdot 1,83\approx 4,6\mathrm{м}$.

Среднюю силу даёт энергетический баланс. Между 54,1 и 10 м/с прыгун теряет $\frac{1}{2}\cdot 80\cdot (54,1^2-10^2)\approx 113\mathrm{кДж}$ кинетической энергии. Сопротивление должно поглотить её вместе с 3,6 кДж потенциальной энергии, освободившейся по пути, и всё это на 4,6 м: средняя сила в 32 раза больше веса. Купол из анимации растягивает раскрытие на 4 с и 92 м. Там сопротивление поглощает потерянные 116 кДж кинетической энергии плюс 72 кДж потенциальной, в среднем $2,6mg$ при пике $4,3mg$. Именно поэтому настоящие парашюты снабжают слайдерами или системами рифления купола, которые замедляют раскрытие.

Границы применимости

Модель считает $C_{d}S$ постоянным в каждой фазе, а плотность воздуха $\rho$ — постоянной на всём пути. И то и другое — приближения. Головой вниз прыгун примерно вдвое уменьшает $C_{d}S$, а поскольку $v_t\propto 1/\sqrt{C_{d}S}$, предельная скорость возрастает в $\sqrt{2}$ раз, примерно до 78 м/с. Так как ещё и $v_t\propto 1/\sqrt{\rho }$, она меняется с высотой: на 4000 м, где плотность воздуха около 0,82 кг/м³ вместо 1,2 кг/м³, прыгун в положении плашмя падает со скоростью $55,2\cdot \sqrt{1,2/0,82}\approx 67\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Предельная скорость — подвижная цель.

Воздух можно считать несжимаемым, лишь пока число Маха, то есть отношение $v$ к скорости звука, остаётся ниже примерно 0,3; у парашютиста оно равно 0,16. На высоте 39 км воздух примерно в 250 раз разрежённее, так что $v_t$ по расчёту примерно в 16 раз больше. Рекордные прыжки с такой высоты превышали скорость звука, а при сверхзвуковых скоростях ударные волны увеличивают $C_d$.

Закон Стокса требует $\mathrm{Re}$ намного меньше 1: его первая поправка, множитель $1+3\mathrm{Re}/16$, уже прибавляет около 10 % при $\mathrm{Re}=0,5$. На другом конце шкалы размеров частицы меньше примерно 0,1 мкм сравнимы с длиной свободного пробега молекул воздуха, 68 нм. Тогда воздух перестаёт вести себя как сплошная среда: он проскальзывает на их поверхности, а броуновское движение смещает их сильнее, чем оседание. Наконец, модель не учитывает нестационарность течения, поэтому плавный рост $C_{d}S$ в анимации лишь приближённо передаёт резкий удар при настоящем раскрытии.

Что дальше

Урок «Уравнение Бернулли» описывает идеальное течение вне пограничного слоя и объясняет, почему сопротивление измеряют в единицах $\frac{1}{2}\rho v^2$. В уроке «Затухание и резонанс» линейное сопротивление $-bv$ становится членом затухания осциллятора. Урок «Молекулярно-кинетическая теория газов» выводит вязкость газа из столкновений молекул. Урок «Электрический ток и сопротивление» устроен так же, как оседание по Стоксу: электроны дрейфуют с предельной скоростью, при которой столкновения уравновешивают электрическую силу, поэтому ток пропорционален полю. Урок «Теплопроводность, конвекция и излучение» использует пограничные слои, чтобы объяснить, как ветер уносит тепло, а траектории из урока «Движение тела, брошенного под углом» при учёте сопротивления становятся короче и несимметричными.