तरंगों की मूल बातें

तरंग ऊर्जा को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाती है, जबकि माध्यम केवल अपने स्थान पर दोलन करता है; इसकी चाल, आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य $v = f λ$ से जुड़े हैं।

एक हाथ रस्सी को हिलाता है: शिखर दाईं ओर बढ़ते हैं, जबकि रस्सी का हर बिंदु केवल ऊपर-नीचे चलता है। नीचे का स्प्रिंग-खिलौना अनुदैर्घ्य तरंग दिखाता है।

इस विषय से पहले: सरल आवर्त गति

शुरुआती

मुख्य विचार

तरंग ऊर्जा को एक जगह से दूसरी जगह ले जाती है; रस्सी या पानी केवल अपनी जगह के आसपास आगे-पीछे चलते हैं।
अनुप्रस्थ तरंग: माध्यम गति की दिशा के लंबवत चलता है (रस्सी)। अनुदैर्घ्य: माध्यम गति की दिशा के अनुदिश चलता है (स्प्रिंग, ध्वनि)।
तरंगदैर्घ्य शिखर से शिखर तक की दूरी है; आयाम वह ऊँचाई है जितनी शिखर साम्य रेखा से ऊपर उठता है।
आवृत्ति बताती है कि हर सेकंड कितने शिखर किसी बिंदु से गुज़रते हैं; चाल = आवृत्ति × तरंगदैर्घ्य।
तेज़ हिलाने से तरंग तेज़ नहीं होती: शिखर बस एक-दूसरे के और पास आ जाते हैं।

स्टेडियम की लहर की कल्पना कीजिए: हर दर्शक बस खड़ा होता है और फिर बैठ जाता है, फिर भी उठे हुए हाथों का एक उभार पूरी गैलरी में दौड़ जाता है। तरंग यही है: एक ऐसा विक्षोभ जो एक जगह से दूसरी जगह तक जाता है और ऊर्जा ले जाता है, जबकि पदार्थ स्वयं अपनी जगह पर रहता है। झील पर खड़ी नाव लहरें गुज़रते समय ऊपर-नीचे होती है, पर लहरें उसे किनारे तक नहीं ले जातीं।

ऐनिमेशन में एक हाथ रस्सी के सिरे को हिलाता है। सुनहरे बिंदु शिखरों, यानी ऊँचे बिंदुओं, पर सवार होकर लगातार दाईं ओर चलते हैं, जबकि लाल मनका अपनी बिंदुदार रेखा पर केवल ऊपर-नीचे झूलता है।

तरंगें दो प्रकार की होती हैं। रस्सी पर हर कण गति की दिशा के लंबवत चलता है: यह अनुप्रस्थ तरंग है। नीचे के स्प्रिंग में कुंडलियाँ उसी दिशा में आगे-पीछे चलती हैं, कभी पास आती हैं और कभी दूर जाती हैं: यह अनुदैर्घ्य तरंग है। हवा में ध्वनि इसी प्रकार की होती है।

एक नियमित तरंग को चार शब्दों से समझाया जाता है। तरंगदैर्घ्य एक शिखर से अगले शिखर तक की दूरी है; आयाम वह ऊँचाई है जितनी शिखर साम्य रेखा से ऊपर उठता है; आवृत्ति हर सेकंड किसी बिंदु से गुज़रने वाले शिखरों की संख्या है, जिसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापते हैं; चाल वह दूरी है जो एक शिखर एक सेकंड में तय करता है। यदि हर सेकंड 2 शिखर आपके पास से गुज़रते हैं और वे 3 मीटर की दूरी पर हैं, तो तरंग हर सेकंड $2 \times 3 = 6$ मीटर चलती है: चाल = आवृत्ति × तरंगदैर्घ्य।

तरंग की चाल माध्यम तय करता है, हाथ नहीं। आप जितनी तेज़ी से हिलाएँगे, हर सेकंड उतने ही अधिक शिखर बनेंगे, इसलिए उन्हें एक-दूसरे के और पास आना होगा।

स्वयं जाँचें: आप रस्सी को तीन गुना अधिक बार हिलाते हैं। तरंगदैर्घ्य पर क्या असर होता है? (यह तीन गुना छोटा हो जाता है; चाल नहीं बदलती।)

मध्यम

मुख्य विचार

$v = f λ$ : एक आवर्तकाल $T$ में प्रारूप ठीक एक तरंगदैर्घ्य आगे बढ़ता है।
$f = 1/ T$ हर्ट्ज़ में; आयाम $A$ साम्य रेखा से अधिकतम विस्थापन है।
माध्यम चाल तय करता है (डोरी: $v = F / μ$ ); स्रोत आवृत्ति तय करता है।
जब तरंग नए माध्यम में जाती है, तो $f$ वही रहती है जबकि $v$ और $λ$ साथ-साथ बदलते हैं।
वहन की गई ऊर्जा $A^{2}$ के अनुपात में बढ़ती है: आयाम दोगुना, ऊर्जा चार गुनी।

क्या चलता है, और हम क्या मापते हैं

तरंग वह विक्षोभ है जो किसी माध्यम में चलता है और ऊर्जा ले जाता है, जबकि माध्यम का हर भाग केवल अपनी साम्य स्थिति के इर्द-गिर्द दोलन करता है। हिलाई गई रस्सी पर हर भाग थोड़ी देर बाद अपने पड़ोसी की नकल करता है: गति आगे सौंपी जाती है, रस्सी वहीं रहती है। ऐनिमेशन में शिखर दाईं ओर दौड़ते हैं, फिर भी लाल मनका केवल अपनी बिंदुदार रेखा पर ऊपर-नीचे झूलता है।

रस्सी पर हर टुकड़ा संचरण की दिशा के समकोण पर चलता है: यह अनुप्रस्थ तरंग है। नीचे के स्प्रिंग में कुंडलियाँ उसी दिशा में आगे-पीछे चलती हैं, संपीड़न और विरलन बनाती हुई: यह अनुदैर्घ्य तरंग है। हवा में ध्वनि अनुदैर्घ्य होती है, क्योंकि गैस दबाए जाने का विरोध करती है, पर पार्श्व कर्तन का नहीं। प्रकाश भी अनुप्रस्थ है, जिसमें पदार्थ के बजाय विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोलन करते हैं।

विस्थापन $y$ किसी बिंदु का उसकी साम्य स्थिति (बिंदुदार रेखा) से दूरी है, मीटर में; आयाम $A$ अधिकतम विस्थापन है, साम्य रेखा से शिखर तक। तरंगदैर्घ्य $λ$ अंतरिक्ष में एक चक्र की लंबाई है, शिखर से शिखर तक। आवर्तकाल $T$ किसी बिंदु के एक पूर्ण दोलन का समय है, और आवृत्ति $f$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या है, हर्ट्ज़ (Hz) में।

हर आवर्तकाल में एक तरंगदैर्घ्य

एक अकेले शिखर को देखें। उसके नीचे का बिंदु जितने समय में एक पूर्ण दोलन करता है, उतने में अगला शिखर ठीक वहीं पहुँच जाता है जहाँ पहला था: एक आवर्तकाल $T$ में प्रारूप ठीक एक तरंगदैर्घ्य आगे बढ़ जाता है, इसलिए उसकी चाल $λ / T$ है। चूँकि आवृत्ति प्रति सेकंड आवर्तों की संख्या है, इस पाठ के दो मुख्य संबंध ये हैं:

$f = \frac{1}{T}$
$v = f λ$

ये हर आवर्ती तरंग के लिए मान्य हैं, रस्सी पर, हवा में या प्रकाश के लिए, और $v$ , $f$ और $λ$ में से कोई भी दो तीसरे को निकाल देते हैं। हालाँकि यह संबंध यह नहीं बताता कि कौन-सी राशि स्थिर है: यह काम माध्यम और स्रोत का है।

माध्यम चाल तय करता है

किसी विक्षोभ के आगे बढ़ने की चाल केवल माध्यम पर निर्भर करती है: वह कितनी प्रबलता से वापस खींचता है और कितना द्रव्यमान गति में लाना पड़ता है। तनाव $F$ (न्यूटन में) और प्रति मीटर द्रव्यमान $μ$ (किलोग्राम प्रति मीटर में) वाली डोरी या रस्सी के लिए,
$v = \frac{F}{μ}$

अधिक खिंचाव पर तरंग तेज़ चलती है; भारी रस्सी उसे धीमा करती है, और तनाव चार गुना होने पर चाल दोगुनी हो जाती है। 20 °C पर हवा में ध्वनि लगभग 343 m/s, पानी में 1480 m/s और इस्पात में 6000 m/s से चलती है; निर्वात में प्रकाश $3.00 \times 1 0^{8} m/s$ से चलता है।

स्रोत आवृत्ति तय करता है: हाथ या लाउडस्पीकर तय करता है कि हर सेकंड कितने चक्र निकलें, और तरंगदैर्घ्य उसी से तय होता है, $λ = v / f$ । नए माध्यम में हर बिंदु को पिछले बिंदु से उसी दर पर प्रेरणा मिलती है, इसलिए $f$ वही रहती है जबकि $v$ और $λ$ साथ-साथ बदलते हैं। वहन की गई ऊर्जा आयाम के वर्ग के साथ बढ़ती है: $A$ को दोगुना करने पर प्रति सेकंड चार गुनी ऊर्जा वहन होती है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की रस्सी

लाल मनका हर 2 s में एक दोलन करता है, और बैंगनी दोहरा तीर एक तरंगदैर्घ्य, यानी 2 m, को फैलाता है। अतः
$f = 1/ T = 1/2 = 0.5 Hz$
$v = f λ = 0.5 \cdot 2 = 1 m/s$
ये ऐनिमेशन के शीर्ष पर दिखाए गए मान हैं। हर आवर्तकाल में बैंगनी तीर शिखरों के साथ 2 m आगे बढ़ता है, फिर वहीं कूद जाता है जहाँ चित्र एक-सा दिखता है।

मनका हाथ से 3 m दूर है, इसलिए हाथ की गति उस तक $3/1 = 3 s$ बाद पहुँचती है, यानी डेढ़ आवर्तकाल: मनका हाथ से आधे चक्र के अंतर पर है। जब हाथ अपने सबसे निचले बिंदु $- 0.3 m$ पर होता है, मनका अपने सबसे ऊँचे बिंदु $+ 0.3 m$ पर होता है; लाल रीडिंग इन्हीं दो मानों के बीच झूलती है, वही आयाम जिसे सुनहरा तीर $A$ दिखाता है। हर आवर्तकाल में मनका ऊपर-नीचे $4 A = 1.2 m$ चलता है, रस्सी पर औसतन 0.6 m/s की दर से, जबकि हर शिखर उस पर 2 m आगे बढ़ता है। स्प्रिंग के संपीड़न भी 2 m की दूरी पर होते हैं।

उदाहरण: आपस में बँधी दो रस्सियाँ

0.040 kg/m की एक हल्की रस्सी को 0.160 kg/m की एक भारी रस्सी से बाँधा गया है, दोनों 6 m लंबी हैं और 36 N के तनाव में हैं। आप हल्की रस्सी को प्रति सेकंड 5 बार हिलाते हैं। प्रत्येक रस्सी पर,
$v_{1} = 36/0.040 = 900 = 30 m/s, λ_{1} = 30/5 = 6 m$
$v_{2} = 36/0.160 = 225 = 15 m/s, λ_{2} = 15/5 = 3 m$
दोनों रस्सियों की आवृत्ति 5 Hz है, क्योंकि जोड़ भारी रस्सी को उतनी ही बार हिलाता है जितनी बार उसे स्वयं हिलाया जाता है। प्रति मीटर द्रव्यमान चार गुना होने पर चाल आधी हो जाती है, और उसके साथ तरंगदैर्घ्य भी।

एक स्पंद हल्की रस्सी को $6/30 = 0.2 s$ में और भारी को $6/15 = 0.4 s$ में पार करता है, कुल 0.6 s। हर तरंग का कुछ भाग जोड़ से वापस भी लौटता है: परावर्तन यहीं से शुरू होता है।

स्नैपशॉट और इतिहास

स्नैपशॉट किसी एक क्षण पर स्थिति $x$ के सापेक्ष $y$ का आलेख है, जैसे रस्सी स्वयं, और यह तरंगदैर्घ्य व आयाम दिखाता है। इतिहास किसी एक बिंदु के लिए समय $t$ के सापेक्ष $y$ का आलेख है, जैसे उन्नत दृश्य में लाल मनके का ग्राफ़, और यह आवर्तकाल दिखाता है। दोनों एक ही ऊँचाई की ज्या-वक्र हैं, एक हर 2 m पर दोहराता है और दूसरा हर 2 s पर; उनका अनुपात 1 m/s है।

अनुदैर्घ्य तरंग भी इसी तरह बनाई जाती है, जिसमें स्प्रिंग के अनुदिश विस्थापन को ऊपर की ओर आलेखित किया जाता है, इसलिए वक्र अनुप्रस्थ जैसा दिखता है। ध्यान से पढ़ें: संपीड़न वह जगह नहीं है जहाँ विस्थापन सबसे अधिक है, बल्कि वह कुंडली है जो ठीक अपनी साम्य स्थिति पर है और जिसके दोनों पड़ोसी उसकी ओर धकेले गए हैं। आधा तरंगदैर्घ्य आगे, वे दूर खिंच जाते हैं: यही विरलन है।

सामान्य गलतियाँ

तेज़ हिलाने से तरंग तेज़ नहीं होती: 36 N की हल्की रस्सी पर, प्रति सेकंड 10 बार हिलाने पर भी चाल 30 m/s ही रहती है; केवल तरंगदैर्घ्य 6 m से घटकर 3 m हो जाता है।
तरंग की चाल माध्यम के कणों की चाल नहीं है: लाल मनके की औसत चाल 0.6 m/s है, और आयाम बढ़ने पर अधिक होगी, जबकि शिखर स्थिर 1 m/s से चलते हैं।
आयाम साम्य रेखा से मापा जाता है: रस्सी अपने सबसे निचले से सबसे ऊँचे बिंदु तक 0.6 m फैलती है, परंतु $A = 0.3 m$ है।
शिखर से गर्त तक आधा तरंगदैर्घ्य है, और ऊपर से नीचे तक आधा आवर्तकाल: जो बिंदु 0.25 s में ऊपर से नीचे जाता है, उसका $T = 0.5 s$ और $f = 2 Hz$ है।

इनका उपयोग कहाँ होता है

ध्वनि को प्रति किलोमीटर लगभग 3 s लगते हैं, इसलिए बिजली की चमक और गड़गड़ाहट के बीच का विलंब तूफ़ान की दूरी बताता है। श्रव्य ध्वनि (20 Hz से 20 kHz) का तरंगदैर्घ्य 17 m से 1.7 cm तक होता है; 5 MHz का चिकित्सीय अल्ट्रासाउंड, ऊतक में लगभग 1540 m/s पर, 0.3 mm की तरंगें देता है, जो धड़कता हृदय दिखाने के लिए पर्याप्त सूक्ष्म हैं। भूकंप ज़मीन में दोनों प्रकार की तरंगें भेजते हैं, और अनुप्रस्थ तरंगें पृथ्वी के बाहरी क्रोड को पार नहीं कर सकतीं, इसी से हम जानते हैं कि वह द्रव है।

आगे हैं ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव, अप्रगामी तरंगें, व्यतिकरण और अध्यारोपण, परावर्तन और अपवर्तन, तथा विद्युत चुंबकीय तरंगें।

उन्नत

मुख्य विचार

$y = f (x - v t)$ कोई भी आकार है जो चाल $v$ से खिसकता है; ज्या-तरंग के लिए $y = A sin (k x - ω t)$ और $v = ω / k = f λ$ ।
डोरी के अवयव या गैस की परत पर न्यूटन का नियम $\partial^{2} y / \partial t^{2} = v^{2} \partial^{2} y / \partial x^{2}$ देता है, जहाँ $v^{2} = F / μ$ या $d P / d ρ$ ।
ध्वनि रुद्धोष्म प्रक्रिया है: $c = γ P / ρ = γ k_{B} T / m$ ; यह केवल ताप पर निर्भर है और अणुओं की चाल के लगभग बराबर परिमाण का है।
तरंग समीकरण रैखिक है, इसलिए तरंगें अध्यारोपित होती हैं: दो स्पंद एक-दूसरे से गुज़रते हुए अपरिवर्तित रहते हैं।
यह तब मान्य है जब $λ$ माध्य मुक्त पथ से बहुत बड़ा हो, आयाम छोटे रहें और $v$ $f$ पर निर्भर न हो; अन्यथा आघात तरंगें या परिक्षेपण होता है।

एक सरकती हुई आकृति

तरंग एक विक्षोभ है जो चलता है जबकि माध्यम अपनी जगह पर रहता है: रस्सी का हर बिंदु केवल ऊपर-नीचे चलता है, फिर भी एक आकृति उस पर दौड़ती है। तरंगों के साथ काम करने के लिए हमें एक ऐसा फलन चाहिए जो हर क्षण हर बिंदु का विस्थापन दे, और यह जानना होगा कि जब कोई आकृति बिना बदले चलती है तो वह फलन किस रूप का होता है।

स्थिति $x$ पर और समय $t$ पर रस्सी के पार्श्व विस्थापन को $y (x, t)$ लिखें। चित्र 1 एक असममित स्पंद दिखाता है, जिसका बायाँ भाग दाएँ भाग से तीखा है, ताकि आप पूरी आकृति को अपरिवर्तित रूप में आगे ले जाते हुए देख सकें। ठोस वक्र $t = 0$ पर रस्सी है; उसकी आकृति को $y = f (x)$ लिखें, जहाँ अभी $f$ केवल एक आकृति का नाम है, आवृत्ति का नहीं। बिंदुदार वक्र उसी रस्सी को समय $t$ बाद दिखाता है। इतने समय में आकृति $+ x$ की ओर चाल $v$ से खिसक गई है, यानी अक्ष के नीचे चिह्नित दूरी $v t$ तक।

अब दो बिंदुओं को देखें। दाईं ओर का बिंदु बिंदुदार वक्र पर है, स्थिति $x$ पर। बाईं ओर का बिंदु ठोस वक्र पर है, उससे $v t$ दूर पीछे, यानी $x - v t$ पर। दोनों को जोड़ने वाली क्षैतिज बिंदुदार रेखा दिखाती है कि उनकी ऊँचाई समान है: चलती आकृति ने बस इस ऊँचाई को $v t$ आगे पहुँचा दिया है। यह हर बिंदु के लिए सच है, इसलिए स्थिति $x$ पर समय $t$ में पाई जाने वाली ऊँचाई वही है जो समय शून्य पर $x - v t$ पर थी:
$y (x, t) = f (x - v t)$

सब कुछ एक ही संयोजन $x - v t$ पर निर्भर है। इसे स्थिर रखें, $x - v t = x_{1}$ , तो आकृति की एक विशेषता, जैसे कोई शिखर, चुनी जाती है, और वह $x = x_{1} + v t$ पर होती है: यह चाल $v$ से आगे बढ़ती है, जैसा होना चाहिए। उसी तर्क से $- x$ की ओर चलने वाली आकृति का रूप $g (x + v t)$ होता है।

सबसे महत्वपूर्ण आकृति ज्या-तरंग है। इसका तरंगदैर्घ्य $λ$ हो, यानी पड़ोसी शिखरों के बीच की दूरी, और आवर्तकाल $T$ , यानी जितना समय एक बिंदु को एक पूर्ण चक्र में लगता है। ज्या का तर्क, जिसे कला कहते हैं, $2 π$ बढ़ना चाहिए: $x$ के $λ$ बढ़ने पर, और $t$ के $T$ बढ़ने पर भी। दोनों शर्तें इस रूप से पूरी होती हैं:
$y (x, t) = A sin (k x - ω t)$
$k = \frac{2 π}{λ}$
$ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f$
जहाँ $A$ आयाम है और $f = 1/ T$ अब आवृत्ति है। तरंग संख्या $k$ प्रति मीटर रस्सी में कला के रेडियन गिनती है, और कोणीय आवृत्ति $ω$ प्रति सेकंड कला के रेडियन। चाल ज्ञात करने के लिए $k$ को कला से बाहर निकालें: $k x - ω t = k (x - (ω / k) t)$ । अतः इस ज्या की $x$ और $t$ पर निर्भरता केवल $x - v t$ के माध्यम से है, जहाँ
$v = \frac{ω}{k} = f λ$

ऐनिमेशन में $k = π rad/m$ और $ω = π rad/s$ है, इसलिए तरंगदैर्घ्य 2 m, आवर्तकाल 2 s और चाल 1 m/s है। $x$ को हाथ से मापते हुए रस्सी $y = 0.3 sin (π x - π t)$ है, मीटर और सेकंड में। कला-स्थिरांक जोड़ना, यानी $A sin (k x - ω t + φ)$ , केवल यह बदलता है कि तरंग चक्र के किस बिंदु से शुरू होती है।

डोरी के टुकड़े के लिए न्यूटन का नियम

अब तक हमने केवल एक चलती आकृति का वर्णन किया है। अब प्रश्न है कि डोरी पर विक्षोभ क्यों चलता है, और उसकी चाल किससे तय होती है। उत्तर डोरी के एक छोटे टुकड़े पर न्यूटन के द्वितीय नियम को लगाने से मिलता है।

चित्र 2 में $x$ और $x + d x$ के बीच डोरी का एक छोटा टुकड़ा दिखाया गया है, जहाँ डोरी मुड़ी हुई है। यदि $μ$ इकाई लंबाई पर द्रव्यमान है, तो टुकड़े का द्रव्यमान $μ d x$ है। शेष डोरी इसके दोनों सिरों पर तनाव $F$ से खींचती है, सदा डोरी की दिशा में, जो क्षैतिज से क्रमशः $θ_{1}$ और $θ_{2}$ कोण पर हैं।

प्रत्येक खिंचाव को क्षैतिज और पार्श्व भागों में बाँटें; हर सिरे पर बिंदुदार रेखाएँ इस विभाजन को दिखाती हैं। जब कोण छोटे होते हैं, तो दोनों क्षैतिज भाग लगभग $F$ के बराबर होते हैं और विपरीत दिशाओं में होते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। हर खिंचाव का पार्श्व भाग $F sin θ$ है। छोटे कोण के लिए $sin θ \approx tan θ$ , और $tan θ$ ठीक डोरी की ढलान $\partial y / \partial x$ है। अतः हर सिरे पर पार्श्व भाग उस सिरे पर डोरी की ढलान गुणा $F$ है।

चित्र में बाएँ सिरे पर ढलान ऋणात्मक है और दाएँ सिरे पर धनात्मक, इसलिए दोनों पार्श्व भाग ऊपर की ओर हैं और जुड़ते हैं। सामान्यतः बायाँ सिरा $- x$ की ओर और दायाँ सिरा $+ x$ की ओर खिंचा जाता है, इसलिए उनके पार्श्व भाग विपरीत चिह्न के साथ आते हैं: कुल पार्श्व बल $F$ गुणा $x + d x$ पर ढलान, में से $F$ गुणा $x$ पर ढलान घटाने के बराबर है। लंबाई $d x$ पर ढलानों का यह अंतर $(\partial^{2} y / \partial x^{2}) d x$ है, इसलिए
$F_{y} = F \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} d x$

अतः सीधे टुकड़े पर कोई शुद्ध बल नहीं लगता, जबकि मुड़ा हुआ टुकड़ा अपनी वक्रता के भीतरी ओर खिंचता है, जैसा तीर $F_{y}$ दिखाता है। टुकड़े के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम $μ d x \partial^{2} y / \partial t^{2} = F_{y}$ है, और $μ d x$ से भाग देने पर
$\frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = \frac{F}{μ} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}$

यही तरंग समीकरण है। शब्दों में: डोरी का हर भाग अपने स्थान पर डोरी की वक्रता के अनुपात में त्वरित होता है। क्या पहले खंड की सरकती आकृति $y = f (x - v t)$ (जहाँ $f$ फिर केवल आकृति का नाम है) इसे संतुष्ट करती है? $t$ के सापेक्ष हर अवकलन शृंखला नियम से एक गुणक $- v$ देता है, और $x$ के सापेक्ष हर अवकलन गुणक 1 देता है, इसलिए $\partial^{2} y / \partial t^{2} = v^{2} f^{''}$ और $\partial^{2} y / \partial x^{2} = f^{''}$ , जहाँ $f^{''}$ आकृति का द्वितीय अवकलज है। तब समीकरण $v^{2} f^{''} = (F / μ) f^{''}$ बन जाता है। यह हर आकृति के लिए तभी सही है जब
$v = \frac{F}{μ}$

तनाव प्रत्यानयन बल देता है और इकाई लंबाई का द्रव्यमान जड़त्व, ठीक वैसे ही जैसे स्प्रिंग पर दोलक में कठोरता और द्रव्यमान की भूमिका होती है: अधिक कसी डोरी तरंगों को तेज़ चलाती है, और भारी डोरी उन्हें धीमा चलाती है। इस व्युत्पत्ति में दो सन्निकटन छिपे हैं। खिंचावों के क्षैतिज भाग $F cos θ \approx F$ को निरस्त माना गया, इसलिए टुकड़ा केवल पार्श्व रूप से चलता है; और तनाव हर जगह समान माना गया। दोनों के लिए छोटी ढलानें, $∣ \partial y / \partial x ∣ ≪ 1$ , चाहिए।

ध्वनि: गैस में वही नियम

ध्वनि भी यांत्रिकी है। हवा में प्रत्यानयन बल तनाव के बजाय दाब से आता है, और गैस संचरण की दिशा के अनुदिश चलती है, न कि उसके लंबवत। यह खंड गैस के लिए तरंग समीकरण और उससे ध्वनि की चाल की व्युत्पत्ति करता है।

**चित्र 3.** $x$ और $x + d x$ के बीच गैस की एक परत, स्थिर अवस्था में (ऊपर) और ध्वनि तरंग से विस्थापित (नीचे)। इसके फलक अलग-अलग मात्रा, $s$ और $s + d s$ , से विस्थापित हैं, इसलिए यह अब $d x + d s$ मोटी है: यहाँ यह दबी हुई है। पैमाने पर नहीं।

ध्वनि तरंग में गैस की हर पतली परत $x$ की दिशा में आगे-पीछे चलती है, जैसे ऐनिमेशन में स्प्रिंग की कुंडलियाँ। मान लें $s (x, t)$ उस परत का $x$ की दिशा में विस्थापन है जो $x$ पर स्थित है। चित्र 3 गैस के स्थिर होने पर $x$ और $x + d x$ के बीच की एक परत को दिखाता है (ऊपरी पंक्ति)। निचली पंक्ति में ध्वनि तरंग ने गैस को विस्थापित किया है। परत का बायाँ फलक $s$ और दायाँ फलक $s + d s$ विस्थापित हुआ है, यानी दोनों अलग-अलग मात्रा में, इसलिए परत अब $d x + d s$ मोटी है। चित्र में $d s$ ऋणात्मक है: दायाँ फलक पीछे हटा है, परत दब गई है और उसमें गैस अधिक सघन है।

इस चित्र से तरंग समीकरण तक तीन कड़ियाँ जाती हैं।

पहली, द्रव्यमान संरक्षित रहता है। दोनों फलकों के विस्थापन में अंतर $d s = (\partial s / \partial x) d x$ है, इसलिए वही द्रव्यमान अब $(1 + \partial s / \partial x) d x$ मोटाई घेरता है। घनत्व मोटाई का व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए छोटे $\partial s / \partial x$ के लिए यह $δ ρ \approx - ρ_{0} \partial s / \partial x$ से बदलता है, जहाँ $ρ_{0}$ स्थिर अवस्था का घनत्व है।

दूसरी, दाब घनत्व पर निर्भर करता है। छोटे परिवर्तन के लिए $δ P = (d P / d ρ)_{0} δ ρ$ , जहाँ निचला सूचकांक 0 दर्शाता है कि अवकलज स्थिर गैस में लिया गया है।

तीसरी, परत के लिए न्यूटन का नियम। प्रति इकाई क्षेत्रफल परत का द्रव्यमान $ρ_{0} d x$ है। बाएँ फलक पर दाब उसे $+ x$ की ओर धकेलता है और दाएँ फलक का दाब $- x$ की ओर, इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल शुद्ध बल उसके आर-पार दाब में गिरावट है, $- (\partial δ P / \partial x) d x$ । $d x$ से भाग देने पर $ρ_{0} \partial^{2} s / \partial t^{2} = - \partial δ P / \partial x$ है: परत अधिक दाब वाली ओर से दूर धकेली जाती है।

तीनों को जोड़ें: $δ ρ$ को $δ P$ में और $δ P$ को न्यूटन के नियम में रखें, फिर $ρ_{0}$ से भाग दें:
$\frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}}, c^{2} = (\frac{d P}{d ρ})_{0}$

यह डोरी के समान तरंग समीकरण है, और $c$ ध्वनि की चाल है। कौन-सा अवकलज $d P / d ρ$ सही है, यह इस पर निर्भर है कि गैस के संपीड़ित होने पर ताप कैसे बदलता है। न्यूटन ने माना कि ताप स्थिर रहता है, इसलिए $P \propto ρ$ ; तब $c = P_{0} / ρ_{0} \approx 290 m/s$ , यानी 20 °C पर हवा के लिए, जो मापे गए 343 m/s से लगभग 15% कम है। लाप्लास ने दोष पकड़ा: ऊष्मा के पास उन संपीड़नों से, जो गर्म होते हैं, विरलनों तक, जो ठंडे होते हैं, बहने का समय नहीं होता। 1 kHz पर ऊष्मा आधे आवर्तकाल में लगभग 0.1 mm फैलती है, जबकि एक संपीड़न और अगला विरलन 17 cm दूर हैं। अतः हर परत बिना ऊष्मा का आदान-प्रदान किए दबती है, यानी यह रुद्धोष्म प्रक्रिया है, जिसमें हवा के लिए $P \propto ρ^{γ}$ और $γ = 1.40$ है। तब $d P / d ρ = γ P / ρ$ और
$c = \frac{γ P _{0}}{ρ _{0}} = \frac{γ k _{B} T}{m}$

दूसरा रूप आदर्श गैस नियम $P_{0} = ρ_{0} k_{B} T / m$ का उपयोग करता है। यहाँ $T$ निरपेक्ष ताप है, आवर्तकाल नहीं; $m$ एक अणु का द्रव्यमान है और $k_{B}$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है। दाब विलुप्त हो जाता है, क्योंकि स्थिर ताप पर अधिक दाब का अर्थ है समानुपाती रूप से अधिक घनत्व। ध्वनि की चाल केवल गैस और उसके ताप पर निर्भर है: 0 °C पर 331 m/s और 20 °C पर 343 m/s। अणुओं से तुलना करें: उनकी वर्ग-माध्य-मूल चाल $3 k_{B} T / m$ (देखें गैसों का अणुगति सिद्धांत) है, जो 20 °C पर 502 m/s है, इसलिए $c$ उसका लगभग $γ /3 \approx 0.68$ गुना है। टक्करों से एक अणु से दूसरे तक आगे बढ़ने वाला दाब-संकेत, उन अणुओं से कुछ धीमा चलता है जो उसे ले जाते हैं।

स्नैपशॉट, इतिहास और ग्राफ़

तरंग दो चरों पर निर्भर करती है, इसलिए उसे दो तरीकों से आलेखित किया जा सकता है: किसी एक क्षण पर पूरी रस्सी, या रस्सी के एक बिंदु का समय के साथ परिवर्तन। यह खंड दिखाता है कि एक चलती तरंग के लिए ये दोनों ग्राफ़ एक ही वक्र हैं, और इससे पता चलता है कि हर बिंदु कैसे चलता है।

$y (x, t)$ को $(x, t)$ तल पर एक सतह मानें; चित्र 4 इसे दो तरीकों से काटता है। ऊपरी वक्र स्नैपशॉट है, एक क्षण का काट: $t = 0$ पर रस्सी, $y = 0.3 sin (π x)$ । निचला वक्र इतिहास है, एक स्थान का काट: $x_{0} = 3 m$ पर लाल मनका, यानी उन्नत दृश्य का ग्राफ़। चूँकि $sin (3 π - a) = sin a$ , मनका $y = 0.3 sin (3 π - π t) = 0.3 sin (π t)$ की तरह चलता है: 2 s आवर्तकाल वाली एक ज्या जो शून्य से शुरू होकर ऊपर उठती है। हाथ, $x = 0$ पर, $- 0.3 sin (π t)$ की तरह चलता है, यानी वही वक्र उलटा। बिंदुदार रेखा $t = 0$ पर मनके की दोनों उपस्थितियों को जोड़ती है।

दोनों काट क्यों संबंधित हैं? क्योंकि $y$ केवल $x - v t$ के माध्यम से $x$ और $t$ पर निर्भर करता है, शृंखला नियम से $\partial y / \partial x = f^{'}$ और $\partial y / \partial t = - v f^{'}$ आता है। अतः
$\frac{\partial y}{\partial t} = - v \frac{\partial y}{\partial x}$

रस्सी का कोई बिंदु तरंग-चाल और स्थानीय ढलान के गुणनफल के ऋणात्मक मान की चाल से चलता है। यह समझ में आता है: जहाँ रस्सी $+ x$ की ओर नीचे झुकती है, वहाँ पीछे का ऊँचा भाग पहुँच रहा होता है, इसलिए बिंदु ऊपर उठता है। चित्र 4 में $x$ और $t$ अक्षों की मापनी समान है और $v = 1 m/s$ है, इसलिए निचला वक्र ऊपरी वक्र का बाएँ-दाएँ पलटा रूप है, बिंदुदार रेखा के आर-पार दर्पण-प्रतिबिंब। मनके पर दोनों स्पर्श-रेखाएँ देखें: स्नैपशॉट में ढलान नीचे की ओर है, $\partial y / \partial x = - k A$ ; इतिहास में ढलान ऊपर की ओर है, $\partial y / \partial t = + ω A$ ।

जहाँ रस्सी साम्य रेखा को काटती है, जैसे मनके पर, उसकी ढलान का परिमाण सबसे बड़ा होता है, $k A$ , और उस बिंदु की चाल भी, $v k A = ω A$ ; शिखर पर दोनों शून्य होते हैं। ऐनिमेशन में $k A = 0.3 π \approx 0.94$ है, इसलिए मनका 0.94 m/s पर सबसे तेज़ होता है, जो लगभग तरंग-चाल के बराबर है, और उसका आलेख उसी ढलान से शुरू होता है।

यह नियम दो बार लगाने पर तरंग समीकरण $\partial^{2} y / \partial t^{2} = v^{2} \partial^{2} y / \partial x^{2}$ वापस मिलता है: किसी बिंदु का त्वरण वहाँ रस्सी की वक्रता का $v^{2}$ गुना है। शिखर, जहाँ वक्रता सबसे अधिक है, नीचे की ओर सबसे अधिक त्वरित होता है, $ω^{2} A = 0.3 π^{2} \approx 2.96 m/ s^{2}$ । ज्या के लिए $\partial^{2} y / \partial x^{2} = - k^{2} y$ है, इसलिए हर बिंदु $\partial^{2} y / \partial t^{2} = - ω^{2} y$ का पालन करता है। तरंग सरल आवर्त गति के दोलकों की एक पंक्ति है, जिनमें से हर एक अपने पड़ोसी से थोड़ा पीछे है।

अध्यारोपण: तरंगों को जोड़ना

तरंग समीकरण रैखिक है: $y$ और उसके अवकलज केवल पहली घात में आते हैं। अतः यदि दो फलन इसे संतुष्ट करते हैं, तो उनका योग भी करता है। एक-दूसरे की ओर बढ़ते दो स्पंद जहाँ एक-दूसरे को ढकते हैं वहाँ जुड़ते हैं और आगे अपनी आकृति बनाए रखते हुए निकल जाते हैं; लंबी डोरी पर सामान्य हल $f (x - v t) + g (x + v t)$ है, जहाँ $f$ और $g$ कोई भी दो आकृतियाँ हैं, जैसा डी'अलेम्बर्ट ने 1747 में दिखाया था। व्यतिकरण, विस्पंद और अप्रगामी तरंगें सभी अध्यारोपण हैं।

रैखिकता उल्टी दिशा में भी काम करती है: कोई भी आकृति ज्याओं के योग के रूप में बनाई जा सकती है। हर ज्या अपनी $ω / k$ से चलती है; आदर्श डोरी पर सभी के लिए यह समान $v$ है, इसलिए उनका योग, और उसके साथ आकृति, बिना बदले चलती है। प्रकाश भी वही समीकरण मानता है, जो न्यूटन के नियम के बजाय मैक्सवेल के समीकरणों से निकलता है।

तरंग द्वारा वहन की गई ऊर्जा

ऊर्जा आकृति के साथ चलती है। प्रति मीटर डोरी के टुकड़े की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} μ (\partial y / \partial t)^{2}$ है। उसकी स्थितिज ऊर्जा $\frac{1}{2} F (\partial y / \partial x)^{2}$ भी है, क्योंकि झुका हुआ टुकड़ा $d x$ से लगभग $\frac{1}{2} (\partial y / \partial x)^{2} d x$ लंबा होता है और तनाव ने उसे खींचने में कार्य किया। एक चलती तरंग के लिए $\partial y / \partial t = - v \partial y / \partial x$ और $F = μ v^{2}$ दोनों को हर बिंदु पर बराबर बनाते हैं।

ज्या के लिए प्रति मीटर गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} cos^{2} (k x - ω t)$ है, जिसका एक चक्र पर औसत $\frac{1}{4} μ ω^{2} A^{2}$ है। समान स्थितिज ऊर्जा जोड़ने पर कुल प्रति मीटर $\frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2}$ है। यह ऊर्जा $v$ से आगे बढ़ती है, इसलिए किसी भी बिंदु से गुज़रने वाली औसत शक्ति है
$\overset{ˉ}{P} = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} v$

यह $A^{2}$ और $ω^{2}$ के अनुपात में बढ़ती है। जहाँ दो रस्सियाँ मिलती हैं, वहाँ गुणनफल $μv$ में अचानक बदलाव तरंग का कुछ भाग वापस भेज देता है। मध्यम स्तर के उदाहरण की रस्सियों के लिए $μv$ दोगुना होता है, 1.2 से 2.4 kg/s; परावर्तित आयाम आपतित आयाम का $(1.2 - 2.4) / (1.2 + 2.4) = - 1/3$ है, यानी आयाम का एक-तिहाई उल्टा लौटता है; और चूँकि शक्ति आयाम के वर्ग के अनुपात में होती है, शक्ति का एक-नवांश परावर्तित होता है।

उदाहरण: रस्सी को ऊर्जा देना

मान लें ऐनिमेशन की रस्सी, $A = 0.3 m$ , $ω = π rad/s$ और $v = 1 m/s$ के साथ, $μ = 0.2 kg/m$ है और चिकने फर्श पर पड़ी है, पार्श्व रूप से हिलाई जाती है ताकि गुरुत्व की भूमिका न हो। उसे कितना तनाव चाहिए, हाथ को कितनी शक्ति देनी होगी, और यदि हाथ दोगुनी बार हिलाए तो क्या बदलेगा?

तनाव $v = F / μ$ से आता है, और शक्ति ऊपर के सूत्र से:
$F = μ v^{2} = 0.2 \cdot 1^{2} = 0.2 N$
$\overset{ˉ}{P} = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} v = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \cdot π^{2} \cdot 0. 3^{2} \cdot 1 \approx 0.089 W$

ऊर्जा गिनकर शक्ति की जाँच करें। रस्सी प्रति मीटर $\frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} \approx 0.089 J$ रखती है, इसलिए एक तरंगदैर्घ्य, यानी 2 m रस्सी, लगभग 0.18 J रखती है। हर 2 s के आवर्तकाल में हाथ $0.089 \cdot 2 \approx 0.18 J$ देता है, ठीक वही राशि: हर आवर्तकाल में हाथ रस्सी के एक और तरंगदैर्घ्य को ऊर्जा से भर देता है।

अब उसी आयाम पर 1 Hz पर हिलाएँ। चाल $F$ और $μ$ से ही तय होती है, इसलिए वह अब भी 1 m/s है, और तरंगदैर्घ्य $λ = v / f = 1 m$ हो जाता है। शक्ति $ω^{2}$ के अनुपात में बढ़ती है, चार गुना, लगभग 0.36 W। 89 mW बनाए रखने के लिए $ω A$ स्थिर रहना चाहिए, इसलिए आयाम आधा होकर 0.15 m हो जाना चाहिए। तब अधिकतम ढलान $k A$ 0.94 रहती है, और मनके की अधिकतम चाल $ω A$ भी। किसी दिए गए माध्यम में शक्ति चलते बिंदुओं की शिखर-चाल, $ω A$ , से तय होती है, न कि केवल आयाम से।

वैधता की सीमाएँ

रास्ते में तीन मान्यताएँ बनाई गई थीं: छोटी ढलानें, एक सतत चिकना माध्यम, और सभी आवृत्तियों के लिए एक ही चाल।

छोटी ढलानें। हर चरण में $sin θ \approx tan θ$ और $cos θ \approx 1$ का प्रयोग हुआ। 0.1 ढलान पर छोड़े गए पद लगभग आधा प्रतिशत हैं; ऐनिमेशन की 0.94 ढलान पर, जो दिखने के लिए बड़ी बनाई गई है, वे दसियों प्रतिशत के स्तर पर होंगे। वास्तविक गिटार की डोरी, 1 mm आयाम और 1.3 m तरंगदैर्घ्य वाली, में $k A \approx 0.005$ है। ध्वनि के लिए वही शर्त $δ P ≪ P_{0}$ है: यहाँ तक कि कष्टदायक 120 dB ध्वनि का दाब-आयाम केवल लगभग 28 Pa है, यानी वायुमंडलीय दाब का $3 \times 1 0^{- 4}$ गुना। विस्फोट में शर्त टूट जाती है: संपीड़ित और गर्म हुए भाग तेज़ चलते हैं और अपने आगे के भागों को पीछे छोड़ देते हैं, और अग्र भाग तीखा होकर आघात तरंग बन जाता है।

सतत माध्यम। गैस को चिकना मानने के लिए तरंगदैर्घ्य माध्य मुक्त पथ से बहुत बड़ा होना चाहिए, यानी दो टक्करों के बीच अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी, जो हवा में लगभग 70 nm है। श्रव्य ध्वनि, जिसका तरंगदैर्घ्य 1.7 cm से 17 m है, सुरक्षित है; पर 1 GHz के आसपास का अल्ट्रासाउंड, जिसका $λ \approx 0.34 μ m$ है, थोड़ी दूरी में ही अवशोषित हो जाता है।

सभी आवृत्तियों के लिए एक चाल। आकृति तभी बनी रहती है जब $v$ आवृत्ति पर निर्भर न करे। गहरे जल की तरंगों के लिए $v = g λ / (2 π)$ है: 2 m तरंगदैर्घ्य पर 1.8 m/s और 8 m पर 3.5 m/s; काँच में प्रकाश नीले के लिए लाल की तुलना में धीमा है। ऐसी तरंगों को परिक्षेपी कहते हैं: स्पंद चलते-चलते फैलता है, और उसकी ऊर्जा समूह वेग $d ω / d k$ से चलती है, जो गहरे जल के लिए शिखर-चाल की आधी है।

आगे का मार्ग

ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव चलते स्रोतों और प्रेक्षकों का अध्ययन करता है; प्रबलता, तीव्रता और डेसिबल $\overset{ˉ}{P} \propto A^{2}$ को डेसिबल में बदलता है; अप्रगामी तरंगें और व्यतिकरण और अध्यारोपण रैखिकता लागू करते हैं; परावर्तन और अपवर्तन, तथा प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग, उन चालों से संबंधित हैं जो माध्यमों के बीच या आवृत्ति के साथ बदलती हैं। विद्युत चुंबकीय तरंगें प्रकाश की चाल उसी समीकरण से निकालती हैं। तरंग-कण द्वैत में आवृत्ति ऊर्जा के और तरंग संख्या संवेग के समानुपाती हो जाती है, और श्रोडिंगर समीकरण तथा सुरंगन स्वभावतः परिक्षेपी तरंगों का वर्णन करते हैं।

मुख्य सूत्र

तरंग चाल, आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य

v = f λ

एक आवर्तकाल में माध्यम का हर बिंदु एक दोलन पूरा करता है, और उसी समय में प्रारूप ठीक एक तरंगदैर्घ्य आगे बढ़ जाता है। अतः चाल $λ / T$ है, यानी $f λ$ । यह संबंध तीनों राशियों को जोड़ता है, पर यह नहीं बताता कि कौन-सी स्थिर है: माध्यम $v$ तय करता है, स्रोत $f$ तय करता है, और $λ$ उन्हीं से निकलता है।

चिह्न
$v$	तरंग चाल	$m/s$
$f$	आवृत्ति	$Hz$
$λ$	तरंगदैर्घ्य	$m$

कब लागू होता है: हर आवर्ती तरंग के लिए मान्य। परिक्षेपी माध्यम में $v$ शिखरों की चाल है, जो ऊर्जा के चलने की चाल से भिन्न हो सकती है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की रस्सी: $v = 0.5 \cdot 2 = 1 m/s$ । उस रस्सी पर जहाँ $v = 30 m/s$ है, 5 Hz की तरंग का $λ = 6 m$ है।

आवृत्ति और आवर्तकाल

f = \frac{1}{T}

आवृत्ति हर सेकंड किसी बिंदु के पूर्ण दोलनों की गिनती है, और आवर्तकाल वह समय है जो एक दोलन में लगता है; दोनों एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। एक हर्ट्ज़ का अर्थ है प्रति सेकंड एक चक्र। $f$ स्रोत तय करता है, और माध्यम का हर बिंदु उसी आवृत्ति पर दोलन करता है।

चिह्न
$f$	आवृत्ति	$Hz$
$T$	आवर्तकाल, एक दोलन का समय	$s$

कब लागू होता है: किसी भी आवर्ती गति के लिए मान्य। एक एकल स्पंद, जो दोहराता नहीं, का कोई आवर्तकाल या एकल आवृत्ति नहीं होती।

उदाहरण: लाल मनका हर 2 s पर अपनी गति दोहराता है, इसलिए $f = 1/2 = 0.5 Hz$ ।

तरंग संख्या

k = \frac{2 π}{λ}

ज्या-तरंग की कला एक तरंगदैर्घ्य में $2 π$ रेडियन बदलती है, इसलिए तरंग संख्या प्रति मीटर प्राप्त कला है। जो काम कोणीय आवृत्ति समय के लिए करती है, वही यह स्थान के लिए करती है। बड़ा $k$ छोटी तरंगों को दर्शाता है।

चिह्न
$k$	तरंग संख्या	$rad/m$
$λ$	तरंगदैर्घ्य	$m$

कब लागू होता है: ज्या-तरंगों के लिए परिभाषित। कोई भी अन्य आकृति कई $k$ मानों वाली ज्याओं का योग होती है।

उदाहरण: $λ = 2 m$ के लिए: $k = 2 π /2 = π \approx 3.14 rad/m$ ।

कोणीय आवृत्ति

ω = 2 π f

ज्या-तरंग का हर बिंदु प्रति दोलन $2 π$ रेडियन की कला से गुज़रता है, इसलिए एक सेकंड में यह $2 π f$ रेडियन तय करता है। सरल आवर्त गति में यही $ω$ है, क्योंकि माध्यम का हर बिंदु एक सरल आवर्त दोलक है। $k$ के साथ मिलकर यह चाल देता है, $v = ω / k$ ।

चिह्न
$ω$	कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$f$	आवृत्ति	$Hz$

कब लागू होता है: किसी भी आवर्ती दोलन के लिए परिभाषित; यह आवृत्ति है जिसे चक्रों के बजाय रेडियन में मापा गया है।

उदाहरण: $f = 0.5 Hz$ से $ω = π \approx 3.14 rad/s$ ; $k = π rad/m$ के साथ $v = ω / k = 1 m/s$ ।

+x की ओर चलती ज्या-तरंग

y (x, t) = A sin (k x - ω t)

विस्थापन स्थिति और समय पर केवल कला $k x - ω t$ के माध्यम से निर्भर करता है। शिखर स्थिर कला का बिंदु है, इसलिए वह $x = x_{1} + (ω / k) t$ के अनुसार चलता है, $+ x$ की ओर $v = ω / k$ से। एक निश्चित $x$ पर बिंदु आवर्तकाल $T$ से दोलन करता है; एक निश्चित $t$ पर रस्सी तरंगदैर्घ्य $λ$ की ज्या होती है। $- ω t$ के बजाय $+ ω t$ हो तो तरंग $- x$ की ओर चलती है।

चिह्न
$y$	समय $t$ पर $x$ पर स्थित बिंदु का विस्थापन	$m$
$x$	गति की दिशा के अनुदिश स्थिति	$m$
$t$	समय	$s$
$A$	आयाम	$m$
$k$	तरंग संख्या	$rad/m$
$ω$	कोणीय आवृत्ति	$rad/s$

कब लागू होता है: एक ही आवृत्ति की आदर्श तरंग जो अनंत तक चलती है, बिना हानि या परिक्षेपण वाले माध्यम में। ज्या के अंदर कला-स्थिरांक $φ$ चक्र के आरंभ का स्थान तय करता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन में, $x$ को हाथ से मापते हुए: $y = 0.3 sin (π x - π t)$ । लाल मनके पर, $x = 3 m$ के लिए, यह $y = 0.3 sin (π t)$ बन जाता है।

तनी हुई डोरी पर तरंग चाल

v = \frac{F}{μ}

डोरी के एक छोटे टुकड़े पर न्यूटन का द्वितीय नियम: तनाव उसे सीधी रेखा की ओर वापस खींचता है, बल उसकी वक्रता के अनुपात में होता है, और उसका द्रव्यमान इस गति का विरोध करता है। परिणाम $v^{2} = F / μ$ के साथ तरंग समीकरण है। अधिक तनाव तेज़ तरंगें देता है, भारी डोरी धीमी तरंगें; न आवृत्ति और न आयाम इसमें प्रवेश करते हैं।

चिह्न
$v$	तरंग चाल	$m/s$
$F$	डोरी में तनाव	$N$
$μ$	इकाई लंबाई पर द्रव्यमान	$kg/m$

कब लागू होता है: छोटी ढलानें, पूर्णतः लचीली डोरी, और एकसमान $μ$ । कठोर डोरियाँ, जैसे मोटे पियानो तार, उच्च आवृत्तियों को थोड़ा तेज़ चलाते हैं।

उदाहरण: 0.040 kg/m की रस्सी पर 36 N: $v = 36/0.040 = 30 m/s$ ; चार गुना भारी रस्सी पर 15 m/s।

शब्दावली

तरंग: एक ऐसा विक्षोभ जो एक स्थान से दूसरे स्थान तक चलता है और ऊर्जा व संवेग ले जाता है, जबकि जिस माध्यम से वह गुज़रता है वह केवल अपनी साम्य स्थिति के इर्द-गिर्द दोलन करता है। तालाब पर लहर दौड़ती है; पानी वहीं रहता है।
माध्यम: वह पदार्थ जिससे होकर यांत्रिक तरंग चलती है: रस्सी, हवा, पानी, चट्टान। उसकी कठोरता और जड़त्व तरंग-चाल तय करते हैं। प्रकाश को माध्यम की आवश्यकता नहीं: निर्वात में भी उसके क्षेत्र दोलन करते हैं।
अनुप्रस्थ तरंग: ऐसी तरंग जिसमें माध्यम संचरण की दिशा के लंबवत चलता है, जैसे ऐनिमेशन की रस्सी; प्रकाश भी अनुप्रस्थ है। गैसें और द्रव अपने भीतर ऐसी तरंगें नहीं ले जा सकते, क्योंकि वे कर्तन का विरोध नहीं करते।
अनुदैर्घ्य तरंग: ऐसी तरंग जिसमें माध्यम संचरण की दिशा के अनुदिश आगे-पीछे चलता है, जैसे स्प्रिंग या हवा में ध्वनि। यह संपीड़न और विरलन की एकांतर शृंखला है।
शिखर और गर्त: अनुप्रस्थ तरंग के सबसे ऊँचे और सबसे नीचे बिंदु, साम्य रेखा से $+ A$ और $- A$ पर। पड़ोसी शिखर एक तरंगदैर्घ्य दूर होते हैं; शिखर और अगला गर्त आधा तरंगदैर्घ्य दूर।
संपीड़न और विरलन: अनुदैर्घ्य तरंग में वे स्थान जहाँ माध्यम दबकर इकट्ठा होता है या फैलकर बिखर जाता है। ध्वनि तरंग में वहाँ दाब क्रमशः थोड़ा अधिक और थोड़ा कम होता है, और वे आधा तरंगदैर्घ्य दूर होते हैं।
ज्या-तरंग: वह तरंग जिसका आकार ज्या-वक्र $y = A sin (k x - ω t)$ है, ताकि माध्यम का हर बिंदु सरल आवर्त गति करे। कोई भी अन्य आकृति ऐसी तरंगों को जोड़कर बनाई जा सकती है।
तरंग की कला: ज्या का तर्क $k x - ω t$ , जो बताता है कि कोई बिंदु अपने चक्र में कहाँ है। पूर्ण संख्या में तरंगदैर्घ्यों की दूरी पर स्थित बिंदु समान कला में चलते हैं; विषम संख्या में आधे तरंगदैर्घ्यों की दूरी पर स्थित बिंदु, जैसे हाथ और 3 m दूर का लाल मनका, विपरीत कला में चलते हैं।
तरंग समीकरण: समीकरण $\partial^{2} y / \partial t^{2} = v^{2} \partial^{2} y / \partial x^{2}$ , जो डोरी या गैस के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम से निकलता है। कोई भी आकृति जो किसी भी दिशा में चाल $v$ से खिसकती है, इसे हल करती है।
अध्यारोपण का सिद्धांत: जहाँ दो तरंगें एक-दूसरे पर पड़ती हैं, वहाँ उनके विस्थापन जुड़ते हैं, $y = y_{1} + y_{2}$ , और बाद में हर तरंग ऐसे आगे बढ़ती है मानो दूसरी थी ही नहीं। यह इसलिए मान्य है क्योंकि तरंग समीकरण रैखिक है, जिसके लिए छोटे आयाम चाहिए।
परिक्षेपण: तरंग-चाल का आवृत्ति पर निर्भर होना, जैसे गहरे जल की तरंगों या काँच में प्रकाश के लिए। अनेक आवृत्तियों से बना स्पंद तब फैल जाता है, और उसकी ऊर्जा शिखरों की चाल के बजाय समूह वेग $d ω / d k$ से चलती है।
आघात तरंग: एक अत्यंत तीखा अग्र भाग जो तब बनता है जब प्रबल तरंग के संपीड़ित, अधिक गर्म भाग अपने आगे के भागों से तेज़ चलकर उन्हें पकड़ लेते हैं। विस्फोट और पराध्वनिक विमान इन्हें उत्पन्न करते हैं; इस पाठ का रैखिक सिद्धांत तब लागू नहीं होता।

राशियाँ
$y$	विस्थापन	$m$	किसी क्षण पर माध्यम के किसी बिंदु का उसकी साम्य स्थिति से दूरी, एक ओर धनात्मक और दूसरी ओर ऋणात्मक। ऐनिमेशन का लाल रीडिंग मनके के लिए इसे दिखाता है।
$x$	स्थिति	$m$	गति की दिशा के अनुदिश वह स्थान जहाँ विस्थापन पढ़ा जाता है, यहाँ हाथ से मापा गया: लाल मनका $x = 3 m$ पर है।
$t$	समय	$s$	वह क्षण जिस पर विस्थापन पढ़ा जाता है; एक स्थिर $x$ पर विस्थापन हर आवर्तकाल $T$ पर दोहराता है।
$A$	आयाम	$m$	अधिकतम विस्थापन, साम्य रेखा से शिखर तक: ऐनिमेशन में 0.3 m। वहन की गई ऊर्जा $A^{2}$ के अनुपात में बढ़ती है।
$λ$	तरंगदैर्घ्य	$m$	दिक् में एक पूर्ण चक्र की लंबाई, जैसे शिखर से शिखर तक: ऐनिमेशन में 2 m।
$T$	आवर्तकाल	$s$	एक बिंदु को एक पूर्ण दोलन में लगने वाला समय, जो वह समय भी है जिसमें तरंग एक तरंगदैर्घ्य आगे बढ़ती है: ऐनिमेशन में 2 s।
$f$	आवृत्ति	$Hz$	प्रति सेकंड दोलनों की संख्या, $f = 1/ T$ । इसे स्रोत तय करता है, और यह माध्यम बदलने पर नहीं बदलती।
$v$	तरंग चाल	$m/s$	प्रारूप के चलने की गति, $v = f λ$ , जो माध्यम से तय होती है। यह माध्यम के अपने कणों की चाल नहीं है।
$k$	तरंग संख्या	$rad/m$	प्रति मीटर कला, $k = 2 π / λ$ : ऐनिमेशन में $π rad/m$ । बड़ा $k$ छोटी तरंगों को दर्शाता है।
$ω$	कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	प्रति सेकंड कला, $ω = 2 π f$ : ऐनिमेशन में $π rad/s$ । तरंग संख्या के साथ यह चाल देती है, $v = ω / k$ ।
$F$	तनाव	$N$	वह बल जो डोरी या रस्सी को खींचता है। यह प्रत्यानयन बल देता है, इसलिए अधिक तनाव का अर्थ है तेज़ तरंगें।
$μ$	रैखिक द्रव्यमान घनत्व	$kg/m$	एक मीटर डोरी या रस्सी का द्रव्यमान। यह जड़त्व देता है, इसलिए भारी रस्सी धीमी तरंगें ले जाती है।

क्विज़

शुरुआती एक बत्तख तालाब पर तैर रही है और उसके नीचे से लहरें गुज़रती हैं। बत्तख क्या करती है?
1. वह लहरों के साथ किनारे तक बह जाती है
2. वह ऊपर-नीचे झूलती है और लगभग अपनी जगह पर रहती है
3. वह लहरों की चाल से स्रोत से दूर धकेल दी जाती है
4. वह बिल्कुल स्थिर रहती है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. वह ऊपर-नीचे झूलती है और लगभग अपनी जगह पर रहती है
तरंग ऊर्जा ले जाती है, पानी नहीं। बत्तख के नीचे का पानी, और उसके साथ बत्तख, हर लहर गुज़रने पर केवल ऊपर-नीचे (और थोड़ा आगे-पीछे) चलते हैं।
शुरुआती हवा में ध्वनि तरंग में वायु के अणु कैसे चलते हैं?
1. ध्वनि के संचरण की दिशा के अनुदिश आगे-पीछे
2. ऊपर-नीचे, संचरण की दिशा के समकोण पर
3. स्रोत से आपके कान तक पूरी दूरी तक
4. वे बिल्कुल नहीं चलते
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. ध्वनि के संचरण की दिशा के अनुदिश आगे-पीछे
ध्वनि अनुदैर्घ्य तरंग है: अणु संचरण की दिशा के अनुदिश आगे-पीछे दोलन करते हैं, संपीड़न और विरलन बनाते हुए, बिना आपके कान तक यात्रा किए।
शुरुआती आप रस्सी का सिरा अधिक तेज़ी से हिलाते हैं, बिना उसके कसाव को बदले। तरंगों का क्या होता है?
1. तरंगें तेज़ चलती हैं
2. शिखर एक-दूसरे से अधिक दूर हो जाते हैं
3. शिखर एक-दूसरे के पास आ जाते हैं
4. तरंगें अपने आप ऊँची हो जाती हैं
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. शिखर एक-दूसरे के पास आ जाते हैं
चाल केवल रस्सी और उसके तनाव पर निर्भर करती है। एक ही चाल पर उच्च आवृत्ति का अर्थ है छोटा तरंगदैर्घ्य, इसलिए शिखर एक-दूसरे के पास होते हैं।
मध्यम रस्सी पर पड़ोसी शिखर 0.8 m दूर हैं, और रस्सी का कोई बिंदु अपनी सबसे ऊँची स्थिति से सबसे नीची तक जाने में 0.2 s लेता है। तरंग कितनी तेज़ चलती है?
1. 4 m/s
2. 1 m/s
3. 0.16 m/s
4. 2 m/s
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. 2 m/s
सबसे ऊँचे से सबसे नीचे तक एक अर्ध-दोलन है, अतः T = 2 × 0.2 s = 0.4 s और v = λ/T = 0.8 m ÷ 0.4 s = 2 m/s। यदि 0.2 s को पूर्ण आवर्तकाल मानें तो 4 m/s मिलता है, यदि चतुर्थांश आवर्तकाल मानें तो 1 m/s, और 0.16 λ को समय से गुणा करने से आता है।
मध्यम ध्वनि 340 m/s से चलती है। 170 Hz के स्वर का तरंगदैर्घ्य कितना है?
1. 2 m
2. 0.5 m
3. 57 800 m
4. 170 m
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. 2 m
λ = v/f = 340 ÷ 170 = 2 m। v को f से गुणा करना, या अनुपात उलटना (0.5 m), आम भूलें हैं।
मध्यम एक हल्की रस्सी पर तरंग एक भारी रस्सी में जाती है, जहाँ वह धीमी चलती है। कौन-सी राशि वही रहती है?
1. तरंगदैर्घ्य
2. चाल
3. आवृत्ति
4. कोई नहीं: तीनों बदलती हैं
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. आवृत्ति
दूसरी रस्सी का हर बिंदु पहली से उसी दर पर प्रेरित होता है, इसलिए f नहीं बदलती। चूँकि v घटती है, λ = v/f भी घटती है।
उन्नत रस्सी पर एक तरंग y = 0.02·sin(4x − 20t) है, SI इकाइयों में। उसकी चाल कितनी है?
1. 80 m/s
2. 5 m/s
3. 0.2 m/s
4. 20 m/s
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. 5 m/s
यहाँ k = 4 rad/m और ω = 20 rad/s है, इसलिए v = ω/k = 5 m/s, +x की ओर। 80 k और ω को गुणा करने से आता है, और 20 ω को v मान लेने से।
उन्नत कौन-सा व्यंजक ऐसी स्थिर-आकृति वाले स्पंद को दर्शाता है जो −x की ओर चाल v से चलता है?
1. y = g(x − v·t)
2. y = g(x)·e^(−v·t)
3. y = g(x·v·t)
4. y = g(x + v·t)
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. y = g(x + v·t)
y = g(x + vt) के लिए तर्क का स्थिर मान x = स्थिरांक − vt देता है, यानी −x की ओर गति। g(x − vt) +x की ओर चलता है; अन्य दो आकृति बदल देते हैं और तरंग समीकरण को संतुष्ट नहीं करते।

$y$	रस्सी का उसकी साम्य रेखा से विस्थापन।	$m$
$x$	रस्सी के अनुदिश स्थिति; बिंदुदार स्पंद पर बिंदु $x$ पर है।	$m$
$t$	समय: ठोस स्पंद $t = 0$ पर रस्सी है, बिंदुदार एक समय $t$ बाद।	$s$
$v$	तरंग की चाल, $+ x$ की ओर।	$m/s$
$v t$	समय $t$ में आकृति द्वारा तय की गई दूरी।	$m$
$x - v t$	ठोस स्पंद पर बिंदु की स्थिति, जिसकी ऊँचाई अब $x$ पर पाई जाती है।	$m$

$x$	बाएँ सिरे की स्थिति।	$m$
$x + d x$	दाएँ सिरे की स्थिति।	$m$
$d x$	$x$ के अनुदिश टुकड़े की लंबाई।	$m$
$μ d x$	टुकड़े का द्रव्यमान, जहाँ $μ$ इकाई लंबाई पर द्रव्यमान है।	$kg$
$F$	तनाव: शेष डोरी का खिंचाव, हर सिरे पर डोरी के अनुदिश।	$N$
$θ_{1}$	बाएँ सिरे पर खिंचाव और क्षैतिज के बीच का कोण।	$rad$
$θ_{2}$	दाएँ सिरे पर खिंचाव और क्षैतिज के बीच का कोण।	$rad$
$F_{y}$	टुकड़े पर शुद्ध पार्श्व बल: दोनों खिंचावों के पार्श्व भागों का योग।	$N$

$x$	परत के बाएँ फलक की स्थिर स्थिति।	$m$
$x + d x$	परत के दाएँ फलक की स्थिर स्थिति।	$m$
$d x$	स्थिर अवस्था में परत की मोटाई।	$m$
$s$	बाएँ फलक का अपनी स्थिर स्थिति से $x$ के अनुदिश विस्थापन।	$m$
$s + d s$	दाएँ फलक का विस्थापन; $d s$ वह अतिरिक्त दूरी है जितनी यह बाएँ फलक से अधिक चला।	$m$
$d x + d s$	विस्थापित होने पर परत की मोटाई।	$m$

$y$	रस्सी का उसकी साम्य रेखा से विस्थापन।	$m$
$x$	रस्सी के अनुदिश स्थिति, हाथ से मापी गई।	$m$
$t$	समय।	$s$
$x_{0}$	लाल मनके की स्थिति।	$m$
$v$	तरंग की चाल, $+ x$ की ओर।	$m/s$
$\partial y / \partial x$	स्नैपशॉट में मनके पर रस्सी की ढलान: ऊपरी स्पर्श-रेखा।
$\partial y / \partial t$	मनके का वेग: उसके इतिहास की ढलान, यानी निचली स्पर्श-रेखा।	$m/s$