उत्प्लावन और आर्किमिडीज़ का सिद्धांत

चीज़ें क्यों तैरती या डूबती हैं: द्रव किसी पिंड को ऊपर की ओर उतने बल से धकेलता है जितना उसके द्वारा हटाए गए द्रव का भार होता है, $F_{b} = ρ_{fluid} V_{sub} g$ ।

एक लकड़ी का गुटका (ρ = 600 kg/m³) पानी में डाला जाता है। वह ऊपर-नीचे झूलता है, फिर अपनी ऊँचाई के 60% हिस्से के डूबे रहने पर स्थिर हो जाता है, जहाँ उत्प्लावन बल F_b उसके भार mg को संतुलित करता है।

इस विषय से पहले: तरल दाब और पास्कल का नियम

शुरुआती

मुख्य विचार

पानी जितना गहरा, उतना अधिक दबाता है, इसलिए वस्तु की तली पर ऊपर का धक्का उसकी ऊपरी सतह पर नीचे के धक्के से अधिक होता है: यही उत्प्लावन बल है।
आर्किमिडीज़ का सिद्धांत: यह धक्का उस द्रव के भार के बराबर होता है जिसे वस्तु हटाती है, यानी हटाए गए हर लीटर पानी के लिए लगभग 9.8 N।
पानी के भीतर चीज़ें हल्की लगती हैं: आपको उनका भार घटा उत्प्लावन बल ही उठाना पड़ता है।
जो वस्तु अपने हटाए पानी से भारी हो, वह डूबती है; हल्की हो तो तैरती है और हटाए पानी का भार उसके भार के बराबर होने तक डूबती है।
हवा भी एक द्रव है: गर्म हवा या हीलियम का गुब्बारा ऊपर उठता है क्योंकि उसका भार उस हवा से कम होता है जिसे वह हटाता है।

स्विमिंग पूल की तली तक गोता लगाइए, तो आपको कानों पर पानी का दबाव महसूस होगा। पानी उसमें मौजूद हर चीज़ पर हर दिशा से दबाव डालता है, और आप जितना गहरे जाते हैं उतना ही अधिक दबाव होता है, क्योंकि नीचे का पानी ऊपर के सारे पानी को सँभाले रहता है।

अब पानी के भीतर एक गुटके की कल्पना कीजिए। उसकी तली उसकी ऊपरी सतह से अधिक गहराई पर है, इसलिए पानी तली को ऊपर की ओर जितने ज़ोर से धकेलता है, ऊपरी सतह को नीचे की ओर उससे कम ज़ोर से दबाता है। इस अंतर से जो ऊपर की ओर धक्का बनता है, वही उत्प्लावन बल है।

यह कितना बड़ा होता है? कल्पना कीजिए कि पानी से भरी एक पतली प्लास्टिक की थैली पूल में स्थिर लटकी है। वह न डूबती है न ऊपर उठती है, इसलिए आसपास का पानी उसका भार ठीक-ठीक सँभालता होगा। अब थैली की जगह उसी आकार का पत्थर रख दीजिए: पानी को कोई फ़र्क नहीं पड़ता और वह उतने ही ज़ोर से धक्का देता है। यही आर्किमिडीज़ का सिद्धांत है: उत्प्लावन बल वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है। हटाए गए हर लीटर पानी से लगभग 9.8 N का ऊपर उठाने वाला बल मिलता है, इसलिए पानी के भीतर आप वस्तु का भार घटा यह धक्का ही उठाते हैं।

जो वस्तु अपने हटाए जा सकने वाले पानी से अधिक भारी होती है, वह डूब जाती है। जो हल्की होती है, वह तैरती है और इतनी गहराई तक बैठती है कि हटाए गए पानी का भार उसके अपने भार के बराबर हो जाए। एनिमेशन में लकड़ी का गुटका ऊपर-नीचे झूलता है, फिर जब “पानी ऊपर धकेलता है” वाला तीर “भार” वाले तीर जितना लंबा हो जाता है, तो वह अपनी ऊँचाई के 60 % भाग तक पानी में डूबा हुआ टिक जाता है। हवा भी एक द्रव है: गर्म हवा का गुब्बारा इसलिए ऊपर उठता है क्योंकि उसका भार उस हवा से कम होता है जिसे वह हटाता है।

स्वयं जाँचिए: 3 लीटर आयतन की एक चट्टान झील की तली पर पड़ी है। पानी के भीतर उसे उठाते समय उसका भार कितना कम लगेगा? उत्तर: 3 लीटर पानी के भार जितना, लगभग 29 N।

मध्यम

मुख्य विचार

$F_{b} = ρ_{fluid} V_{sub} g$ : द्रव का घनत्व लीजिए और केवल निमग्न आयतन।
उत्प्लावन बल दाब के गहराई के साथ बढ़ने से आता है, $p = p_{0} + ρ g h$ : तली पर ऊपरी सतह की तुलना में अधिक दाब पड़ता है।
पूरी तरह डूबी हो तो यदि $ρ_{object} > ρ_{fluid}$ है तो वह डूबती है, यदि $ρ_{object} < ρ_{fluid}$ है तो ऊपर उठती है, और यदि दोनों बराबर हों तो बीच में स्थिर रहती है।
तैरती वस्तु के लिए $V_{sub} / V = ρ_{object} / ρ_{fluid}$ होता है: ताज़े पानी में बर्फ़ का 92% भाग डूबा रहता है।

घनत्व और दाब का अर्थ

कोई वस्तु तैरेगी या नहीं, यह घनत्व से तय होता है, यानी प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान:
$ρ = \frac{m}{V}$

इसे kg/m³ में मापा जाता है। ताज़े पानी का घनत्व 1000 kg/m³ है, इसलिए एक लीटर पानी का द्रव्यमान 1 kg होता है; बर्फ़ का घनत्व 920 kg/m³ और इस्पात का लगभग 7850 kg/m³ है। खोखली या मिश्रित वस्तु के लिए $ρ$ औसत घनत्व है: उसके बाहरी पृष्ठ के भीतर पूरे आयतन पर कुल द्रव्यमान।

दाब प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल है, जिसकी इकाई पास्कल है ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ )। स्थिर द्रव हर सतह पर लंबवत धक्का देता है, और गहराई के साथ यह दाब बढ़ता है, क्योंकि हर परत अपने ऊपर के द्रव का भार उठाती है:
$p = p_{0} + ρ g h$

यहाँ $p_{0}$ सतह पर दाब है, लगभग 101 kPa, और $h$ गहराई है; पानी में हर मीटर पर लगभग 9.8 kPa बढ़ता है, जैसा कि तरल दाब और पास्कल का नियम में दिखाया गया है।

उत्प्लावन बल कहाँ से आता है

ऊँचाई $H$ वाला एक डिब्बा लीजिए जिसका ऊपरी और निचला फलक क्षेत्रफल $A$ का है और जो पूरी तरह पानी के भीतर है। उसकी तली ऊपरी सतह से $H$ अधिक गहराई पर है, इसलिए वहाँ दाब $ρ g H$ अधिक है, और तली पर ऊपर की ओर का धक्का ऊपरी सतह पर नीचे की ओर के धक्के से अधिक होता है:
$F_{up} - F_{down} = ρ g H A = ρ g V$

पार्श्व धक्के जोड़ियों में निरस्त हो जाते हैं, और $p_{0}$ तथा डिब्बे की गहराई लुप्त हो जाते हैं: परिणामी धक्का ऊपर की ओर होता है, डिब्बे द्वारा हटाए गए पानी के भार के बराबर होता है, और हर गहराई पर समान रहता है।

किसी अन्य आकार के लिए, कल्पना कीजिए कि वस्तु की जगह पानी से भरी है। यह पानी का हिस्सा स्थिर रहता है, इसलिए आसपास का पानी उसे ठीक अपने भार जितने बल से सँभालता है, बिना यह जाने कि सतह के भीतर क्या है। यही आर्किमिडीज़ का सिद्धांत है: द्रव में डूबी वस्तु पर एक उत्प्लावन बल लगता है, जो उसके द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है,
$F_{b} = ρ_{fluid} V_{sub} g$

द्रव का घनत्व लीजिए, वस्तु का नहीं, और केवल सतह के नीचे का आयतन $V_{sub}$ लीजिए।

डूबना, तैरना या स्थिर रहना

पूरी तरह डूबी हो तो $V_{sub} = V$ : भार $ρ_{object} V g$ का सामना धक्के $ρ_{fluid} V g$ से होता है, इसलिए केवल दोनों घनत्व मायने रखते हैं।

यदि $ρ_{object} > ρ_{fluid}$ है, तो हर गहराई पर भार जीतता है और वस्तु चाहे कितनी भी बड़ी हो, डूब जाती है।
यदि $ρ_{object} < ρ_{fluid}$ है, तो धक्का जीतता है और वस्तु तब तक ऊपर उठती है जब तक उसका कुछ हिस्सा बाहर न निकल आए।
यदि दोनों घनत्व बराबर हों, तो वस्तु किसी भी गहराई पर स्थिर रहती है, जैसे मछली या संतुलित पनडुब्बी।

तैरती वस्तु तभी तक डूबती है जब तक हटाए गए द्रव का भार उसके अपने भार के बराबर न हो जाए, $ρ_{fluid} V_{sub} g = ρ_{object} V g$ , इसलिए सतह के नीचे का भाग घनत्वों का अनुपात होता है:
$\frac{V _{sub}}{V} = \frac{ρ _{object}}{ρ _{fluid}}$

बर्फ़ ताज़े पानी में 92 % डूबी हुई तैरती है। लगभग 1025 kg/m³ के समुद्री पानी में एक हिमखंड का $920/1025 \approx 0.90$ आयतन सतह के नीचे होता है: केवल एक-दसवाँ भाग दिखता है।

उदाहरण: एनिमेशन का गुटका

लेबलों में $h$ गहराई नहीं, बल्कि गुटके की ऊँचाई है, 0.5 m। अनुप्रस्थ काट $A = 0.7 m \times 0.1 m = 0.07 m^{2}$ है, इसलिए $V = 0.035 m^{3}$ , और $ρ_{b} = 600 kg/ m^{3}$ लकड़ी का घनत्व है ( $ρ_{w}$ पानी का है)। द्रव्यमान और भार हैं
$m = ρ_{b} V = 600 \cdot 0.035 = 21 kg, m g = 21 \cdot 9.81 \approx 206 N$
यही हरा $m g$ तीर है। पूरी तरह पानी में डूबे होने पर गुटके पर $1000 \cdot 0.035 \cdot 9.81 \approx 343 N$ का ऊपर का धक्का लगता, जो उसके भार से अधिक है, इसलिए वह तैरता है।

स्थिर अवस्था में $F_{b} = m g$ होता है, इसलिए $V_{sub} = 206/ (1000 \cdot 9.81) = 0.021 m^{3}$ और निमग्न गहराई $d = V_{sub} / A = 0.30 m = 0.6 h$ है, जो तैरने के नियम का अनुपात $600/1000$ है और बिंदीदार रेखा के स्तर पर है। दाब भी मेल खाता है: 0.30 m नीचे की तली पर ऊपरी फलक से $1000 \cdot 9.81 \cdot 0.30 \approx 2943 Pa$ अधिक दाब लगता है, और $2943 \cdot 0.07 \approx 206 N$ ।

रीडिंग $F_{b} = ρ_{w} g A d$ का अनुसरण करती हैं: गहराई का हर सेंटीमीटर बढ़ने पर 6.9 N अधिक। यदि गुटके को पानी से 5 cm ऊपर से छोड़ा जाए, तो वह लगभग 1 m/s की चाल से पानी से टकराता है और आगे निकल जाता है, लगभग एक-चौथाई सेकंड तक पूरा डूबा रहता है: $d$ 50 cm तक जाता है और $F_{b}$ अपने अधिकतम मान 343 N पर पहुँचता है, जो गुटके को ऊपर फेंक देता है। कुछ घटते दोलनों के बाद रीडिंग $d \approx 30 cm$ पर और $F_{b}$ 206 N से कुछ ही न्यूटन के अंतर के भीतर आकर ठहर जाती हैं।

उदाहरण: पानी में पत्थर तौलना

स्प्रिंग तुला पर एक पत्थर हवा में 24.5 N और पूरी तरह पानी में 14.7 N दिखाता है। उसका आयतन और घनत्व क्या है?

पानी में तुला आभासी भार दिखाती है, यानी वास्तविक भार घटा उत्प्लावन बल, इसलिए $F_{b} = 24.5 - 14.7 = 9.8 N$ , यानी हटाए गए पानी का भार:
$V = \frac{F _{b}}{ρ _{fluid} g} = \frac{9.8}{1000 \cdot 9.81} \approx 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$
यानी एक लीटर। द्रव्यमान $24.5/9.81 \approx 2.5 kg$ है, इसलिए $ρ = m / V \approx 2500 kg/ m^{3}$ , जो चट्टान के अनुरूप है। इससे भी तेज़ तरीका: भार को पानी में हुई कमी से भाग दें, $24.5/9.8 = 2.5$ , यही पानी के सापेक्ष घनत्व है।

कहा जाता है कि आर्किमिडीज़ ने राजा का मुकुट उसके हटाए पानी से परखा था। समान भार का शुद्ध सोना (19 300 kg/m³) पानी में केवल 1.3 N घटता है, इसलिए हल्की चाँदी मिला सोना अधिक घटने से अपना भेद खोल देता है।

तीरों और बिंदीदार रेखा को पढ़ना

हरा $m g$ तीर अपनी लंबाई बनाए रखता है, जबकि लाल $F_{b}$ तीर डूबी गहराई के अनुपात में बढ़ता है। जब गुटके की तली बिंदीदार रेखा के ऊपर होती है, तो लाल तीर छोटा होता है और परिणामी बल नीचे की ओर होता है; उसके नीचे परिणामी बल ऊपर की ओर होता है। रेखा से हर सेंटीमीटर पर 6.9 N का प्रत्यानयन बल लगता है, जैसे 687 N/m स्प्रिंग-स्थिरांक वाली स्प्रिंग लगाती। गुटका रेखा को पार कर जाता है क्योंकि रेखा पर वह अब भी गतिमान है, और पानी का कर्षण हर दोलन को घटाता जाता है।

दाब बनाम गहराई के ग्राफ़ पर सीधी रेखा $p_{0}$ से हर मीटर पर $ρ g$ चढ़ती है। डूबी वस्तु के दोनों फलकों के बीच का अंतर, $ρ g H$ , जहाँ भी हो एक समान रहता है।

सामान्य गलतियाँ

$F_{b}$ में वस्तु का घनत्व लेना: गुटके के लिए यह $600 \cdot 0.021 \cdot 9.81 \approx 124 N$ देता है, जबकि सही मान 206 N है।
तैरती वस्तु का पूरा आयतन लेना: गुटके का 0.035 m³ 343 N देगा, पर जलरेखा के नीचे का केवल 0.021 m³ गिना जाता है।
गहराई के साथ बड़ा धक्का अपेक्षित करना: डूबे 2 लीटर के पत्थर पर 1 m और 10 m पर $1000 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 19.62 N$ का बल लगता है, क्योंकि उसके ऊपरी और निचले फलकों पर दाब समान रूप से बढ़ता है।
यह सोचना कि भारी चीज़ें डूबती हैं: 1 g का इस्पात का बॉल-बेयरिंग डूबता है, जबकि 50 000 टन का इस्पात का जहाज़ तैरता है, क्योंकि उसका हवा भरा खोल औसतन पानी से कम घना है।
लीटर को घन मीटर में बदलना भूल जाना: दो लीटर 0.002 m³ होता है, और 2 रखने पर 19 620 N मिल जाता है।

यह कहाँ दिखता है

ताज़े पानी में जहाज़ समुद्री पानी की तुलना में लगभग 2.5 % अधिक आयतन हटाकर तैरते हैं, इसलिए जहाज़ों पर दोनों के लिए अलग भार-रेखाएँ अंकित होती हैं। पनडुब्बियाँ गिट्टी-टंकियों में पानी भरकर या खाली करके डूबती, स्थिर रहती या सतह पर आती हैं, और हाइड्रोमीटर कम घनत्व वाले द्रव में अधिक गहराई तक डूबता है, इसलिए उसकी डंडी दूध या शराब का घनत्व दिखाती है। 100 °C तक गर्म होने पर हवा का घनत्व लगभग 0.95 kg/m³ होता है, जबकि 20 °C पर बाहरी हवा 1.20 kg/m³ की होती है, इसलिए गर्म हवा के गुब्बारे का प्रत्येक घन मीटर केवल लगभग 0.25 kg ऊपर उठा पाता है।

उत्प्लावन संवहन को प्रेरित करता है, यानी गर्म द्रव के ऊपर उठने को, जिसकी चर्चा चालन, संवहन और विकिरण में है, और कर्षण और सीमांत वेग में यह कणों के अवसादन की गति तय करता है। ऊपर-नीचे झूलता गुटका सरल आवर्त गति के दोलकों जैसा एक दोलक है; और जब द्रव बहता है, तो दाब केवल गहराई पर निर्भर नहीं रहता: यही बरनौली का सिद्धांत है।

उन्नत

मुख्य विचार

वस्तु को उसी आकार के द्रव से बदलकर सोचिए: वह द्रव स्थिर रहता है, इसलिए सतह पर दाब का ऊर्ध्वगामी परिणामी ठीक उसके भार $ρ_{f} g V$ के बराबर होता है।
ऊर्जा का दृष्टिकोण: वस्तु को $δz$ ऊपर उठाने से आयतन $V$ का द्रव $δz$ नीचे आ जाता है, इसलिए $δ U = (m - ρ_{f} V) g δz$ : भार घटा उत्प्लावन।
तैरती वस्तु स्प्रिंग से लटके द्रव्यमान की तरह डोलती है: $k = ρ_{w} g A$ , अतः $ω_{0} = g / d$ , जहाँ $d$ उसकी तैरने की गहराई है।
झुका हुआ जहाज़ तभी सीधा होता है जब मेटासेंटर $M$ , जहाँ खिसके हुए उत्प्लावन केंद्र $B^{'}$ से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा मध्य-रेखा को काटती है, $G$ के ऊपर हो।
सीमाएँ: संपीड्य द्रव में $ρ_{f}$ ऊँचाई के साथ घटता है, गुब्बारा वहीं रुकता है; मुक्त पतन में ( $g_{eff} = 0$ ) उत्प्लावन नहीं रहता।

स्थिर द्रव में दाब

उत्प्लावन दाब के सिवा कुछ नहीं है: किसी डूबी वस्तु पर ऊपर की ओर लगने वाला बल, उसकी सतह पर आसपास के द्रव द्वारा लगाए गए सभी धक्कों का योग है। अतः हम पहले देखते हैं कि स्थिर द्रव में दाब कैसे व्यवहार करता है। संकेत: $ρ_{f}$ द्रव का घनत्व है, चाहे वह कोई भी हो; जब द्रव पानी हो तो हम $ρ_{w}$ लिखते हैं, और, एनिमेशन की तरह, $ρ_{b}$ गुटके का घनत्व है। $g \approx 9.81 m/ s^{2}$ गुरुत्वीय त्वरण है, और $p_{0}$ पानी की सतह पर हवा का दाब है।

चित्र 1 में ऊँचाई $ℓ$ और आयतन $V$ का एक डिब्बा दिखाया गया है, जिसके ऊपरी और निचले फलक का क्षेत्रफल प्रत्येक $A$ है (इसलिए $V = ℓ A$ ), जो पूरी तरह पानी में है और जिसका ऊपरी फलक गहराई $h$ पर है। पहले तीरों की दिशाएँ देखिए: हर फलक पर वे फलक से समकोण पर मिलते हैं। स्थिर द्रव अपरूपण प्रतिबल का विरोध नहीं कर सकता, यानी सतह के समांतर वह बल जो उसकी परतों को एक-दूसरे पर फिसलाए, इसलिए वह केवल सतह पर सीधे धक्का दे सकता है।

अब उनकी लंबाई देखिए। तीर गहराई के साथ बढ़ते हैं, क्योंकि पानी की हर परत अपने ऊपर के सारे पानी का भार उठाती है। केवल गहराई-निर्भर भाग ही खींचा गया है: हवा हर फलक पर समान दाब $p_{0}$ जोड़ती है, और समान दाब किसी बंद डिब्बे पर शुद्ध बल नहीं देता, जैसा हम नीचे सिद्ध करेंगे।

दोनों पार्श्व फलक समान गहराइयों पर हैं, इसलिए उनके तीर जोड़ियों में बराबर होकर निरस्त हो जाते हैं। शेष रहते हैं ऊपरी फलक, जिस पर $p_{1} A$ नीचे की ओर धक्का है, और निचला फलक, जिस पर $p_{2} A$ ऊपर की ओर धक्का है। तली $ℓ$ अधिक गहराई पर है, इसलिए $p_{2}$ , $p_{1}$ से उतना अधिक है जितना एकांक क्षेत्रफल पर खड़े $ℓ$ ऊँचे पानी के स्तंभ का भार, $ρ_{f} (ℓ A) g / A$ :
$p_{2} - p_{1} = ρ_{f} g ℓ$
अतः डिब्बे पर शुद्ध धक्का ऊपर की ओर है:
$F_{b} = (p_{2} - p_{1}) A = ρ_{f} g ℓ A = ρ_{f} g V$
यह उस पानी का भार है जो डिब्बे को भर देता। गहराई $h$ लुप्त हो गई: जब तक पानी असंपीड्य है, उत्प्लावन बल हर गहराई पर समान रहता है।

दाब एक क्षेत्र के रूप में

डिब्बे वाले तर्क में दो तथ्य बिना सिद्ध किए प्रयोग हुए: कि किसी बिंदु पर दाब हर दिशा में समान धक्का देता है, और यह गहराई के साथ लगातार बढ़ता है। दोनों न्यूटन के दूसरे नियम को स्थिर द्रव के सूक्ष्म भागों पर लगाने से निकलते हैं, और इसका सामान्य रूप ही हमें बाद में किसी भी आकार की वस्तुओं और यहाँ तक कि त्वरित पात्रों से निपटने देता है।

पहले दिशा। किसी छोटे सतह तत्व, जिसका क्षेत्रफल $d A$ है, पर द्रव के बल को $- p \overset{n}{^} d A$ लिखिए, जहाँ $\overset{n}{^}$ उस तत्व का लंबवत एकांक सदिश है जो वस्तु के बाहर की ओर इंगित करता है; ऋण चिह्न बताता है कि द्रव भीतर की ओर धक्का देता है। क्या तत्व का मुख किसी भी ओर हो, $p$ समान रहता है? एक छोटी त्रिकोणीय द्रव-फाँक पर विचार कीजिए। उसके फलकों पर बल उसके आकार के वर्ग के समानुपाती हैं, और उसका भार आकार के घन के समानुपाती। जैसे-जैसे फाँक सिकुड़ती है, भार नगण्य हो जाता है, इसलिए केवल फलक-बल ही संतुलित होने चाहिए, और त्रिकोण के लिए यह तभी संभव है जब हर फलक पर दाब समान हो। अतः $p$ दिशा पर निर्भर नहीं है: दाब एक अदिश क्षेत्र $p (r)$ है, यानी हर बिंदु पर एक ही संख्या।

दूसरा, यह कैसे बदलता है। भुजाओं $d x$ , $d y$ , $d z$ का एक छोटा घन लीजिए। उसके बाएँ फलक पर द्रव उसे $+ x$ दिशा में $p (x) d y d z$ से धकेलता है; दाएँ फलक पर द्रव उसे $p (x + d x) d y d z$ से वापस धकेलता है। $x$ के अनुदिश शुद्ध बल इनका अंतर है, $- (\partial p / \partial x) d x d y d z$ । $y$ और $z$ के अनुदिश भी यही है, इसलिए प्रति एकांक आयतन शुद्ध दाब बल $- \nabla p$ है: दाब में अंतर द्रव को उच्च दाब से निम्न दाब की ओर धकेलता है।

स्थिर द्रव के लिए यह बल गुरुत्व से संतुलित होना चाहिए, जो हर एकांक आयतन पर $ρ_{f} g$ से खींचता है। $z$ को ऊपर की ओर मापें, ताकि $g$ $- z$ के अनुदिश हो,
$\nabla p = ρ_{f} g, \frac{d p}{d z} = - ρ_{f} g$
नियत घनत्व के लिए सतह से नीचे समाकलन करने पर $p = p_{0} + ρ_{f} g h$ मिलता है, जो गहराई $h$ पर दाब है; चित्र 1 के $p_{1}$ और $p_{2}$ गहराई $h$ और $h + ℓ$ पर यही हैं। चूँकि $\nabla p$ $g$ के अनुदिश है, दाब केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में बदलता है: समान-दाब सतहें, जिनमें मुक्त सतह भी है, $g$ के लंबवत, यानी क्षैतिज हैं।

आर्किमिडीज़ के सिद्धांत तक तीन मार्ग

आर्किमिडीज़ का सिद्धांत कहता है कि स्थिर द्रव में रखी वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल लगता है, जो उसके द्वारा हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है। डिब्बे ने इसे एक आकार के लिए सिद्ध किया। तीन तर्क किसी भी आकार के लिए सिद्ध करते हैं, और हर एक कुछ जोड़ता है: पहला एक पंक्ति की गणना है, दूसरा बताता है कि बल कहाँ लगता है, और तीसरा दिखाता है कि केवल औसत घनत्व क्यों मायने रखता है।

चित्र 2 में मुख्य विचार है। बाईं ओर, किसी भी आकार की वस्तु स्थिर पानी में है; $S$ उसकी सतह है, $V$ उसके भीतर का आयतन है, और तीर $S$ पर दाब $p$ दर्शाते हैं, जो $S$ के लंबवत है और जहाँ $S$ अधिक गहराई पर है वहाँ अधिक लंबे तीर से दिखाया गया है। दाहिनी ओर वस्तु हटा दी गई है और वही सतह $S$ उसके बजाय पानी को घेरती है। तीरों की तुलना कीजिए: वे समान हैं। $S$ के हर बिंदु पर दाब उस बिंदु की आसपास के पानी में गहराई से तय होता है, जो बदला नहीं है, इसलिए वह $S$ के भीतर क्या है इस पर निर्भर नहीं कर सकता। $S$ के भीतर जो भी भरा हो, उस पर कुल दाब बल, $F_{b}$ , समान रहता है।

पहला मार्ग, कलन से। उत्प्लावन बल बंद सतह $S$ पर दाब-बलों का योग है। द्रवस्थैतिक दाब केवल ऊँचाई का फलन है, इसलिए उसे उस आयतन $V$ तक बढ़ाया जा सकता है जिसे वस्तु घेरती है। प्रवणता प्रमेय, जो अपसरण प्रमेय का निकट संबंधी है, $p \overset{n}{^}$ के पृष्ठ समाकल को $\nabla p$ के आयतन समाकल में बदल देता है, और द्रवस्थैतिक समीकरण $\nabla p$ देता है:
$F_{b} = - \oint_{S} p \overset{n}{^} d A = - \int_{V} \nabla p d V = - ρ_{f} g V$
बल $g$ के विपरीत है, यानी ऊपर की ओर, परिमाण $ρ_{f} g V$ के साथ: यानी आयतन $V$ के द्रव का भार। पृष्ठ दाब $p_{0}$ लुप्त हो गया क्योंकि उसकी प्रवणता शून्य है; यही प्रमाण है कि समान दाब किसी बंद सतह पर शुद्ध बल नहीं लगाता।

किसी तैरती वस्तु के लिए केवल सतह का एक भाग गीला होता है। $p_{0}$ से अधिक दाब लीजिए: वायु का $p_{0}$ पूरी बंद सतह पर लगता है और निरस्त हो जाता है। जलरेखा के तल पर यह अधिक दाब शून्य है, इसलिए गीली सतह को वस्तु के भीतर उस तल के टुकड़े से बंद करने से कुछ नहीं जुड़ता, और वही प्रमेय $ρ_{w} g V_{sub}$ देता है, जहाँ $V_{sub}$ निमग्न आयतन है।

दूसरा मार्ग, साम्य से, बिना कलन के; यह दाहिने चित्र का उपयोग करता है। $S$ के भीतर का पानी दो बलों के अधीन स्थिर है: उसका भार $W = ρ_{f} V g$ , जो अपने द्रव्यमान-केंद्र से होकर नीचे की ओर लगता है, और उसके चारों ओर के पानी का दाब-बल $F_{b}$ । चूँकि वह त्वरित नहीं होता, बल संतुलित होते हैं, इसलिए $F_{b} = W$ और यह ऊपर की ओर है। चूँकि वह घूमना शुरू नहीं करता, दोनों बलों का शुद्ध बल-आघूर्ण शून्य है, इसलिए $F_{b}$ और $W$ एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर लगते हैं। एकसमान पानी के लिए द्रव्यमान-केंद्र $S$ के भीतर आयतन का केंद्रक है, यानी ज्यामितीय केंद्र, जिसे $B$ लिखा गया है।

अब बाईं ओर के चित्र पर लौटिए। $S$ पर दाब वही है, इसलिए वस्तु पर वही बल उसी रेखा पर लगता है। उत्प्लावन हटाए गए द्रव के भार के बराबर है और $B$ से होकर लगता है, जो हटाए गए आयतन का केंद्रक है, जिसे उत्प्लावन केंद्र कहते हैं। इस तर्क में स्थिर घनत्व की भी आवश्यकता नहीं: ऐसे द्रव में जिसका घनत्व गहराई के साथ बदलता है, बल फिर भी हटाए गए द्रव का भार, $g \int_{V} ρ_{f} d V$ , है, जो अब उस द्रव के द्रव्यमान-केंद्र से होकर लगता है।

तीसरा मार्ग, ऊर्जा से। वस्तु को $δz$ ऊँचाई तक उठाइए। उसकी अपनी स्थितिज ऊर्जा $m g δz$ बढ़ती है। जिस स्थान को वह छोड़ती है, उसके नीचे द्रव बहकर भरता है, और द्रव पर शुद्ध प्रभाव यह है कि उसका आयतन $V$ , जिसका द्रव्यमान $ρ_{f} V$ है, $δz$ नीचे चला गया है, और उसकी ऊर्जा $ρ_{f} V g δz$ घटी है। कुल मिलाकर
$δ U = (m - ρ_{f} V) g δz$
बल स्थितिज ऊर्जा की ढाल का ऋण होता है, इसलिए शुद्ध ऊर्ध्वगामी बल $- δ U / δz = ρ_{f} V g - m g$ है: उत्प्लावन घटा भार। परिणाम में केवल वस्तु का द्रव्यमान और आयतन आते हैं, यानी उसका औसत घनत्व $m / V$ । इसीलिए इस्पात का पोत तैरता है, भले ही इस्पात पानी से लगभग आठ गुना घना हो: वह इतनी हवा घेरता है कि उसका औसत घनत्व पानी से कम हो जाता है।

पानी एक स्प्रिंग की तरह

पानी में नीचे दबाकर छोड़ी गई तैरती वस्तु ऊपर-नीचे झूलती है। यह खंड दिखाता है कि अपनी तैरने की स्थिति के निकट पानी उस पर एक रैखिक स्प्रिंग की तरह कार्य करता है, और झूलने का आवर्तकाल ज्ञात करता है।

एनिमेशन के गुटके को लीजिए। उसकी भुजाएँ ऊर्ध्वाधर हैं (दीवार-जैसी), इसलिए उसकी क्षैतिज काट का क्षेत्रफल, $A = 0.70 m \cdot 0.10 m = 0.07 m^{2}$ , हर ऊँचाई पर समान है। अब से $h$ गुटके की ऊँचाई है, $h = 0.50 m$ , न कि चित्र 1 की तरह गहराई। उसका घनत्व $ρ_{b} = 0.6 ρ_{w}$ है, इसलिए उसका द्रव्यमान $m = ρ_{b} A h = 21 kg$ और भार 206 N है। तैरते समय उत्प्लावन भार के बराबर होता है, $ρ_{w} g A d = ρ_{b} g A h$ , इसलिए तैरने की गहराई (निमज्जन गहराई) $d = (ρ_{b} / ρ_{w}) h = 0.30 m$ है।

अब गुटके को उसकी तैरने की गहराई से आगे $x$ दूरी तक दबाइए। वह अतिरिक्त आयतन $A x$ हटाता है, इसलिए उत्प्लावन बल $ρ_{w} g A x$ बढ़ता है जबकि भार वही रहता है। शुद्ध बल प्रत्यानयन बल $- k x$ है, जिसका स्प्रिंग-स्थिरांक $k = ρ_{w} g A$ है, गुटके के लिए लगभग 687 N/m। यह हुक का नियम है, अतः गति सरल आवर्त गति है। $m = ρ_{b} A h$ और फिर $d = (ρ_{b} / ρ_{w}) h$ का उपयोग करके इसकी कोणीय आवृत्ति है
$ω_{0} = \frac{k}{m} = \frac{ρ _{w} g}{ρ _{b} h} = \frac{g}{d}$
क्षेत्रफल लुप्त हो गया, और परिणाम सुंदर है: ऊर्ध्वाधर भुजाओं वाली तैरती वस्तु उतने ही लंबे सरल लोलक के आवर्तकाल से झूलती है जितनी उसकी तैरने की गहराई है। $d = 0.30 m$ के लिए $ω_{0} \approx 5.7 rad/s$ और $T_{0} = 2 π d / g \approx 1.10 s$ है, क्षेत्रफल चाहे जो हो; 9 m निमज्जन गहराई वाला ऊर्ध्वाधर भुजाओं का जहाज़ लगभग हर 6 s में एक बार ऊपर-नीचे होगा।

स्प्रिंग तभी तक रैखिक है जब तक गुटका आंशिक रूप से पानी में है। एक बार वह पूरी तरह डूब जाए, तो उसका विस्थापित आयतन और नहीं बढ़ सकता, और न उत्प्लावन बल। गति का ग्राफ़ दोनों अवस्थाएँ दिखाता है।

y(t) ग्राफ़ पढ़ना

एनिमेशन का गुटका इस स्प्रिंग और पानी के एक अवमंदक बल के संयुक्त प्रभाव में चलता है। उसका ग्राफ़ स्प्रिंग-मॉडल की जाँच करता है: कहाँ वह सही है, कहाँ विफल होता है, और गति कितनी तेज़ी से शांत होती है।

चित्र 3 गुटके की तैरते स्तर से ऊँचाई $y$ को समय $t$ के विरुद्ध दर्शाता है; क्षैतिज $t$ अक्ष, $y = 0$ , स्वयं तैरता स्तर है। गुटका $y_{0} = 35 cm$ पर छोड़ा गया है, जो उसकी तली को पानी से 5 cm ऊपर रखता है, क्योंकि वह 30 cm गहराई तक तैरता है।

पहले दोलन को देखिए: वह सरल आवर्त नहीं है। गुटका हवा में गिरता है, फिर पूरी तरह पानी के नीचे चला जाता है, बिंदीदार स्तर $d - h = - 20 cm$ से होकर, जहाँ उसका ऊपरी सिरा पानी के साथ समतल है, 0.55 s पर $- 24.5 cm$ तक। $d - h$ के नीचे स्प्रिंग संतृप्त हो जाती है: $F_{b}$ पूरे गुटके के उत्प्लावन $ρ_{w} g V = 343 N$ से अधिक नहीं हो सकता। इस दोलन के बाद निमग्न गहराई लगभग 15 से 40 cm के बीच रहती है, जो गुटके की ऊँचाई के भीतर है, जहाँ बल रैखिक है।

अब पहले दोलन के बाद के ऊपरी मोड़-बिंदु देखिए: +15.2, +6.7, +2.9, +1.3 और +0.55 cm। वे लगभग 1.11 s के अंतराल पर आते हैं, जो चित्र में अंकित अंतराल $T$ है, और हर एक पिछले का लगभग 0.44 गुना है। हर दोलन पर एक स्थिर अनुपात घातांकी क्षय का संकेत है, इसलिए शिखर बिंदीदार आवरण $\pm y_{0} e^{- γ t}$ पर पड़ते हैं, जो अवमंदित दोलन $y \approx y_{0} e^{- γ t} cos (ω t)$ का है और एनिमेशन में ग्राफ़ पर लिखा है; यहाँ $ω$ अवमंदित कोणीय आवृत्ति $ω_{d}$ है। एक आवर्तकाल में आयाम $e^{- γ T} \approx 0.44$ गुना हो जाता है, इसलिए
$γ \approx ln (1/0.44) /1.11 \approx 0.74 s^{- 1}$
यह मॉडल के पानी के कर्षण में बने $γ = 0.75 s^{- 1}$ के निकट है।

अवमंदन झूलने को बहुत कम धीमा करता है: $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2} \approx 5.67 rad/s$ केवल $ω_{0}$ से लगभग 1 % कम है, इसीलिए $T$ , $T_{0}$ के इतना निकट है। गुणता कारक $Q = ω_{0} / (2 γ) \approx 3.8$ बताता है कि अवमंदन हल्का है: गुटका शांत होने से पहले कुछ दिखाई देने वाले झूले लेता है।

स्थिरता और मेटासेंटर

तैरना पर्याप्त नहीं है: जहाज़ को सीधा भी रहना होगा। यह खंड पूछता है कि छोटा झुकाव, जिसे हील कहते हैं, कब ऐसा बल-आघूर्ण उत्पन्न करता है जो वस्तु को वापस घुमाए, और एक लंबाई खोजता है, मेटासेंटरिक ऊँचाई $GM$ , जो इसका उत्तर देती है।

चित्र 4 एक डिब्बा-आकार की पोत-काया दिखाता है जो कोण $θ$ से झुकी है, जिसे ज्यामिति स्पष्ट करने के लिए वास्तविक झुकाव से कहीं बड़ा बनाया गया है। उस पर दो बल लगते हैं। भार $m g$ गुरुत्व केंद्र $G$ से होकर नीचे की ओर लगता है, जो पोत-काया में स्थिर एक बिंदु है। उत्प्लावन बल $F_{b}$ उत्प्लावन केंद्र से होकर ऊपर की ओर लगता है, जो डूबे भाग का केंद्रक है। जब पोत-काया सीधी थी तब वह केंद्रक $B$ पर था, मध्य-रेखा पर, यानी $G$ से होकर जाने वाली पोत-काया की सममिति रेखा पर। जहाज़ में $B$ प्रायः $G$ से नीचे होता है, जैसा यहाँ है, और केवल इतने से कोई खतरा नहीं है।

अब जलरेखा देखिए। झुकाव पोत-काया का एक पच्चर ऊँचे पक्ष पर पानी से बाहर उठाता है और निचले पक्ष पर एक पच्चर भीतर धकेलता है। डूबा आयतन वही रहता है, पर उसका आकार निचले पक्ष की ओर खिसकता है, और उसका केंद्रक भी: उत्प्लावन केंद्र $B$ से $B^{'}$ तक खिसकता है, और $F_{b}$ अब $B^{'}$ से होकर ऊर्ध्वाधर रेखा पर लगता है। इस ऊर्ध्वाधर रेखा को ऊपर बढ़ाइए: वह मध्य-रेखा को मेटासेंटर $M$ पर काटती है।

$M$ कितना ऊँचा है? मान लीजिए $I$ जलतल-क्षेत्र का द्वितीय क्षेत्र-आघूर्ण है, यानी वह क्षेत्रफल जो जल-सतह पोत-काया से काटती है, उस झुकाव-अक्ष के सापेक्ष जिसके चारों ओर वह झुकती है। उस अक्ष से दूरी $y$ पर स्थित जलतल-क्षेत्र की एक पट्टी अपनी निमज्जित ऊँचाई $y θ$ जितनी बढ़ाती या घटाती है, इसलिए पच्चर एक ओर से दूसरी ओर आयतन-आघूर्ण $I θ$ ले जाते हैं, और $B$ पार्श्व दिशा में $I θ / V_{sub}$ खिसकता है। छोटे कोण के लिए यह विस्थापन $BM θ$ के बराबर है, इसलिए $M$ एक स्थिर ऊँचाई पर रहता है
$BM = \frac{I}{V _{sub}}$
अर्थात् $B$ के ऊपर।

चित्र 4 में $M$ , $G$ के ऊपर है, दूरी $GM$ पर। $G$ से होकर लगने वाला भार और $B^{'}$ से होकर लगने वाला उत्प्लावन परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत हैं, पर एक ही रेखा पर नहीं हैं, इसलिए वे एक युग्म बनाते हैं। इसकी भुजा $GM sin θ$ है, और इसका आघूर्ण $m g GM sin θ$ पोत-काया को सीधा कर देता है। यदि $M$ , $G$ के नीचे होता, तो यही दो बल उसे और अधिक झुका देते। अतः तैरती वस्तु छोटे झुकाव के विरुद्ध स्थिर होती है जब $M$ , $G$ के ऊपर हो, यानी जब $GM > 0$ ।

चौड़ाई $b$ , लंबाई $L$ और तैरने की गहराई $d$ वाली डिब्बा-आकार की पोत-काया के लिए $I = L b^{3} /12$ और $V_{sub} = L b d$ हैं, इसलिए
$BM = \frac{b ^{2}}{12 d}$
चौड़ाई का असर उसके वर्ग के अनुपात में होता है। $G$ को ऊपर उठाने वाली कोई भी चीज़ स्थिरता के विरुद्ध काम करती है: ऊँचाई पर रखा माल, और डेक पर मुक्त रूप से हिलता पानी, जो निचले पक्ष की ओर बहता है और ऊँचे $G$ की तरह काम करता है, जो जहाज़ों के पलटने का एक जाना-माना कारण है।

उदाहरण: क्या गुटका सीधा रहेगा?

इसे एनिमेशन के गुटके पर लागू कीजिए: ऊँचाई $h = 0.50 m$ , तैरने की गहराई $d = 0.30 m$ , 0.70 m चौड़ा और 0.10 m मोटा। ऊँचाइयाँ उसकी तली से नापिए। गुटका एकसमान है, इसलिए $G$ मध्य-ऊँचाई 0.25 m पर है, और $B$ डूबे भाग के बीच में है, यानी तैरने की गहराई के आधे, 0.15 m पर।

स्क्रीन के तल में झुकाने पर जलतल-क्षेत्र 0.70 m चौड़ा है:
$BM = \frac{b ^{2}}{12 d} = \frac{0.7 0 ^{2}}{12 \cdot 0.30} \approx 0.136 m$
अतः $M$ तली से $0.15 + 0.136 \approx 0.286 m$ ऊपर है, $G$ से 3.6 cm ऊपर: इस प्रकार गुटका स्थिर है। 5° के झुकाव पर, जहाँ $sin θ \approx 0.087$ , सीधा करने वाला आघूर्ण $206 \cdot 0.036 \cdot 0.087 \approx 0.65 N \cdot m$ है।

0.10 m मोटाई के आर-पार झुकाने पर जलतल-क्षेत्र केवल 0.10 m चौड़ा है, और $BM = 0.1 0^{2} / (12 \cdot 0.30) \approx 0.003 m$ । अब $M$ , $G$ से 9.7 cm नीचे है, इसलिए $GM < 0$ और गुटका अस्थिर है। इन अनुपातों का असली गुटका लुढ़क जाएगा और अपने चौड़े फलक पर, 6 cm गहराई तक (उसकी 0.10 m मोटाई का 0.6 गुना) तैरेगा। केवल द्वि-आयामी एनिमेशन, जो गुटके को ऊपर-नीचे चलने देता है पर लुढ़कने नहीं देता, उसे सीधा रखता है।

यही तर्क एक सामान्य नियम देता है। सापेक्ष घनत्व $s = ρ_{b} / ρ_{w}$ , ऊँचाई $h$ और झुकाव-तल में चौड़ाई $b$ वाले एकसमान गुटके के लिए $G$ , $h /2$ पर है, $B$ , $d /2 = s h /2$ पर है, और $BM = b^{2} / (12 s h)$ । $M$ का $G$ से ऊपर होना माँगने पर, $s h /2 + b^{2} / (12 s h) > h /2$ , और पुनर्व्यवस्था से सीधे तैरने की शर्त मिलती है:
$\frac{b}{h} > 6 s (1 - s)$
$s = 0.6$ के लिए यह $b / h > 1.2$ माँगती है: चौड़ाई 1.4 देती है, जो खरी उतरती है; मोटाई केवल 0.2 देती है, जो विफल होती है। एक वर्गाकार कड़ी, $b = h$ , किसी भी $s$ के लिए जो लगभग 0.21 और 0.79 के बीच है, इस परीक्षा में विफल होती है, इसीलिए साधारण लकड़ी की वर्गाकार कड़ियाँ सपाट होने के बजाय तिरछी तैरती हैं।

त्वरित और संपीड्य द्रव

अब तक पात्र स्थिर था और द्रव असंपीड्य था। इनमें से किसी भी धारणा को छोड़ने पर उत्प्लावन शिक्षाप्रद रूप से बदल जाता है।

त्वरण $a$ वाले पात्र में, उसके सापेक्ष स्थिर द्रव को उसके साथ त्वरित होना होगा। प्रति एकांक आयतन न्यूटन का दूसरा नियम तब $- \nabla p + ρ_{f} g = ρ_{f} a$ पढ़ा जाता है, यानी $\nabla p = ρ_{f} (g - a)$ । यह $g$ की जगह प्रभावी गुरुत्व $g - a$ रखे हुए द्रवस्थैतिक समीकरण है, इसलिए ऊपर की हर बात लागू होती है: उत्प्लावन $g - a$ के विपरीत लगता है।

तीन परिणाम निकलते हैं। 2 m/s² की दर से ऊपर त्वरित लिफ़्ट में प्रभावी भार $m (g + a)$ और उत्प्लावन दोनों $11.81/9.81$ गुना बढ़ जाते हैं, इसलिए तैरता गुटका अपनी गहराई बनाए रखता है। तेज़ होती कार में प्रभावी गुरुत्व पीछे की ओर झुकता है, इसलिए धागे से बँधा हीलियम का गुब्बारा आगे झुकता है, जबकि यात्रियों को पीछे दबाया जाता है। मुक्त पतन में $g - a = 0$ : कोई दाब-प्रवणता नहीं, कोई उत्प्लावन नहीं, और किसी परिक्रमा करते अंतरिक्ष स्टेशन पर किसी पेय में बुलबुले ऊपर नहीं उठते।

संपीड्य द्रव में $ρ_{f}$ ऊँचाई के साथ बदलता है। समतापीय वायुमंडल में $ρ = ρ_{0} e^{- z / H}$ होता है, जहाँ 15 °C पर मापक ऊँचाई $H \approx 8.4 km$ वह ऊँचाई है जिस पर घनत्व $e$ के गुणक से घट जाता है। एक सीलबंद, कठोर गुब्बारा जिसका औसत घनत्व भूतल की हवा के घनत्व का आधा है, तब तक ऊपर उठता है जब तक उसके चारों ओर की हवा उतनी ही घनी न हो जाए, जहाँ $e^{- z / H} = 1/2$ , यानी लगभग $H ln 2 \approx 5.8 km$ पर। वह वहाँ स्थायी संतुलन में ठहर जाता है: और ऊपर धकेला जाए तो उसे पतली हवा मिलती है, उसका उत्प्लावन भार से कम हो जाता है और वह वापस नीचे आ जाता है; नीचे धकेला जाए तो उल्टा होता है।

पानी में एक संपीड्य पिंड इसके विपरीत व्यवहार करता है। फ़ोम-रबर के सूट में एक गोताखोर जो और गहरे बह जाता है, अतिरिक्त दाब से दब जाता है, कम पानी हटाता है और इसलिए तेज़ी से डूबता है। अतः जो भी वस्तु पानी से अधिक आसानी से संपीड़ित होती है, उसके लिए उदासीन उत्प्लावन अस्थिर है, इसीलिए गोताखोरों, मछलियों और पनडुब्बियों को इसे लगातार समायोजित करना पड़ता है।

वैधता की सीमाएँ

ऊपर की हर बात आदर्शीकरणों पर टिकी है। यहाँ बताया गया है कि हर एक कब विफल होता है, और कितना।

पानी थोड़ा संपीड्य है, उसका आयतन-प्रत्यास्थता गुणांक लगभग 2.2 GPa है: 4000 m पर, लगभग 40 MPa दाब पर, समुद्री पानी सतह की तुलना में लगभग 2 % अधिक घना होता है, और किसी कठोर पिंड का उत्प्लावन भी उतना ही बढ़ता है।

द्रवस्थैतिकी यह भी मानती है कि पिंड के चारों ओर पूरा द्रव है। जो पिंड तली पर सपाट दबा हो, जिसके नीचे कोई द्रव न हो, उसे नीचे से कोई धक्का नहीं मिलता और वह अपने ऊपरी भाग पर दाब से नीचे दबा रहता है।

पृष्ठ तनाव $σ$ एक ऐसा बल जोड़ता है जो उस रेखा की लंबाई के समानुपाती है जहाँ जल-सतह वस्तु से मिलती है, जबकि भार और उत्प्लावन आयतन के साथ बढ़ते हैं। ये दोनों उन वस्तुओं के लिए तुलनीय हैं जिनका आकार केशिका लंबाई के लगभग बराबर है, जो पानी के लिए $σ / (ρ g) \approx 2.7 mm$ है, इसलिए कीड़े और सूखी इस्पात की सुई सतह पर टिक सकते हैं।

त्वरित पिंड को अपने चारों ओर के कुछ द्रव को भी त्वरित करना पड़ता है। गोले के लिए यह आभासी द्रव्यमान $\frac{1}{2} ρ_{f} V$ है, इसलिए स्थिर अवस्था से छोड़ा गया बुलबुला, जिसका अपना द्रव्यमान नगण्य है, लगभग $ρ_{f} V g / (\frac{1}{2} ρ_{f} V) = 2 g$ से ऊपर की ओर चलना शुरू करता है, न कि उस विशाल त्वरण से जो उसका छोटा द्रव्यमान सुझा सकता है। आभासी द्रव्यमान और वास्तविक गुटके द्वारा बाहर भेजी गई तरंगें इसे स्प्रिंग-मॉडल के अनुमान से अधिक धीरे डोलने वाला और जल्दी शांत होने वाला बना देती हैं।

अंत में, उत्प्लावन एक सतत-माध्यम प्रभाव है, और बहुत छोटे कणों के लिए ऊष्मीय गति इससे प्रतिस्पर्धा करती है। 10 nm व्यास और पानी से दोगुने घनत्व वाले कण ऊष्मीय गति से लगभग 0.8 m ऊँचाई तक फैले रहते हैं, वह ऊँचाई जिस पर एक कण को उसके भार घटा उत्प्लावन के विरुद्ध उठाने में प्रतिनिधि ऊष्मीय ऊर्जा $k_{B} T$ लगती है; इसलिए वे लगभग नहीं बैठते।

इसका आगे का विस्तार

उत्प्लावन वहाँ लौटता है जहाँ घनत्व भिन्न होते हैं। कर्षण और सीमांत वेग में, किसी द्रव में नीचे बैठती छोटी गेंद घनत्व-अंतर $ρ_{s} - ρ_{f}$ के समानुपाती सीमांत चाल तक पहुँचती है, क्योंकि उत्प्लावन भार में से घटा दिया जाता है। गर्म द्रव का ऊपर उठना और ठंडे द्रव का नीचे बैठना संवहन है, जो चालन, संवहन और विकिरण में है। बहते द्रवों के लिए, जिनमें दाब अब केवल गहराई से तय नहीं होता, देखिए बरनौली का सिद्धांत। $Q \approx 3.8$ वाला झूलता गुटका अवमंदन और अनुनाद का एक उदाहरण है, और त्वरित कार में आगे झुका गुब्बारा दिखाता है कि गुरुत्व और त्वरण को अलग नहीं किया जा सकता, यही वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व का आरंभ-बिंदु है।

मुख्य सूत्र

आर्किमिडीज़ का सिद्धांत

F_{b} = ρ_{fluid} V_{sub} g

द्रव किसी वस्तु को ऊपर की ओर उतने ही बल से धकेलता है जितना भार उस द्रव का होता है जो वस्तु के निमग्न भाग को भर सकता। यह बल इसलिए आता है कि गहराई के साथ दाब बढ़ता है: वस्तु की निचली सतह पर ऊपरी सतह की तुलना में अधिक ज़ोर पड़ता है, और पार्श्व धक्के निरस्त हो जाते हैं। इसमें घनत्व द्रव का होता है, कभी वस्तु का नहीं।

चिह्न
$F_{b}$	उत्प्लावन बल, दिशा ऊपर की ओर	$N$
$ρ_{fluid}$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$V_{sub}$	वस्तु का सतह के नीचे का आयतन (विस्थापित आयतन)	$m^{3}$
$g$	गुरुत्वीय त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: स्थिर द्रव में किसी भी आकार की वस्तु के लिए लागू है, बशर्ते द्रव वस्तु के निचले भाग तक पहुँचे। यह उस वस्तु के लिए विफल है जो तली पर सटी हो, गतिमान द्रव में कर्षण और उत्थापक बल भी जुड़ते हैं, और मुक्त पतन में यह शून्य हो जाता है।

उदाहरण: एनिमेशन में तैरता गुटका 0.021 m³ द्रव विस्थापित करता है: $F_{b} = 1000 \cdot 0.021 \cdot 9.81 \approx 206 N$ , जो उसके भार के बराबर है।

गहराई पर दाब

p = p_{0} + ρ g h

द्रव की हर परत अपने ऊपर के द्रव का भार उठाती है, इसलिए दाब सतह पर $p_{0}$ से शुरू होकर गहराई के समानुपात में बढ़ता है। केवल गहराई मायने रखती है, पात्र का आकार नहीं। वस्तु की तली और शीर्ष के बीच दाब-अंतर $ρ g H$ , जहाँ वस्तु की ऊँचाई $H$ है, वही उत्प्लावन बल पैदा करता है।

चिह्न
$p$	गहराई $h$ पर दाब	$Pa$
$p_{0}$	सतह पर दाब, सामान्यतः वायुमंडलीय दाब	$Pa$
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$g$	गुरुत्वीय त्वरण	$m/ s^{2}$
$h$	सतह के नीचे गहराई	$m$

कब लागू होता है: स्थिर द्रव के लिए, जिसका घनत्व नियत हो; द्रवों में यह लगभग सत्य होता है। वायुमंडल में घनत्व ऊँचाई के साथ घटता है, और दाब लगभग घातांकी रूप से घटता है।

उदाहरण: तैरते गुटके की तली पर, 0.30 m नीचे: $p - p_{0} = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.30 \approx 2.9 kPa$ ।

घनत्व

ρ = \frac{m}{V}

घनत्व प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान है, जो पदार्थ का गुण है, न कि उसकी मात्रा का। जिस वस्तु में खोखले भाग हों या जो कई पदार्थों से बनी हो, उसका कुल द्रव्यमान उसके कुल घिरे आयतन से भाग देने पर औसत घनत्व मिलता है, वही संख्या तय करती है कि वह तैरेगी या नहीं।

चिह्न
$ρ$	घनत्व (मिश्रित या खोखली वस्तु के लिए औसत घनत्व)	$kg/ m^{3}$
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$V$	आयतन	$m^{3}$

कब लागू होता है: परिभाषा के रूप में सदा सत्य। खोखली या मिश्रित वस्तु के लिए यह ऐसा औसत देता है जो उसके पदार्थ के घनत्व से बहुत अलग हो सकता है: हवा से भरा इस्पात का पोत औसतन पानी से कम घना होता है।

उदाहरण: एनिमेशन का गुटका: $ρ = 21/0.035 = 600 kg/ m^{3}$ ।

तैरती वस्तु का सतह के नीचे का भाग

\frac{V _{sub}}{V} = \frac{ρ _{object}}{ρ _{fluid}}

तैरती वस्तु तब तक डूबती है जब तक उसके द्वारा हटाए गए द्रव का भार उसके अपने भार के बराबर न हो जाए, $ρ_{fluid} V_{sub} g = ρ_{object} V g$ । दोनों पक्षों को $ρ_{fluid} V g$ से भाग देने पर घनत्वों का अनुपात बचता है: $g$ और वस्तु का आकार दोनों लुप्त हो जाते हैं।

चिह्न
$V_{sub}$	सतह के नीचे का आयतन	$m^{3}$
$V$	वस्तु का कुल आयतन	$m^{3}$
$ρ_{object}$	वस्तु का औसत घनत्व	$kg/ m^{3}$
$ρ_{fluid}$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$

कब लागू होता है: केवल तैरती वस्तु के लिए, $ρ_{object} < ρ_{fluid}$ ; 1 से अधिक अनुपात का अर्थ है वह डूबेगी। यह सूखे भाग पर हवा के उत्प्लावन की उपेक्षा करता है (लकड़ी या बर्फ़ के लिए 0.1 % से कम का सुधार, पर हल्के फ़ोम के लिए कुछ प्रतिशत) और पृष्ठ तनाव की भी, जो केवल कुछ मिलीमीटर की वस्तुओं के लिए महत्त्वपूर्ण है।

उदाहरण: समुद्री पानी में हिमखंड: $920/1025 \approx 0.90$ , अतः उसका 90 % सतह के नीचे है।

शब्दावली

द्रव (तरल): ऐसा पदार्थ जो बहता है, यानी कोई तरल पदार्थ या गैस, क्योंकि स्थिर अवस्था में वह अपरूपण बल का विरोध नहीं कर सकता। स्थिर अवस्था में वह केवल अपनी छूती हर सतह पर लंबवत धक्का दे सकता है।
द्रवस्थैतिक दाब: स्थिर द्रव में दाब। यह गहराई के साथ बढ़ता है, क्योंकि हर परत अपने ऊपर के द्रव का भार उठाती है, $p = p_{0} + ρ g h$ : पानी में लगभग 9.8 kPa प्रति मीटर।
उत्प्लावन बल: द्रव द्वारा उसमें रखी वस्तु पर लगने वाला शुद्ध ऊपर का बल, यानी वस्तु की पूरी सतह पर दाब-धक्कों का योग। यह इसलिए होता है क्योंकि वस्तु के नीचे का दाब उसके ऊपर के दाब से अधिक होता है।
आर्किमिडीज़ का सिद्धांत: कोई भी वस्तु जो द्रव में पूरी या आंशिक रूप से डूबी हो, उस पर ऊपर की ओर एक धक्का लगता है जो उसके द्वारा हटाए गए द्रव के भार जितना होता है, $F_{b} = ρ_{fluid} V_{sub} g$ । यह हर आकार और हर पदार्थ के लिए लागू है।
विस्थापित द्रव: वह द्रव जो वस्तु के डूबे भाग को भरता, यदि वस्तु हटा दी जाए। उसका आयतन $V_{sub}$ है और उसका भार उत्प्लावन बल है; पोत के लिए उसके द्रव्यमान को पोत का विस्थापन कहते हैं।
औसत घनत्व: वस्तु के कुल द्रव्यमान को उसकी बाहरी सतह के भीतर के पूरे आयतन से भाग देने पर मिलने वाला मान, जिसमें हवा के स्थान भी शामिल हैं। तैरने का निर्णय इसी से होता है, पदार्थ के घनत्व से नहीं: इस्पात का पोत इसलिए तैरता है क्योंकि उसके हवा भरे खोल का औसत घनत्व 1000 kg/m³ से कम है।
सापेक्ष घनत्व: किसी पदार्थ के घनत्व को पानी के घनत्व से भाग देने पर मिलने वाली शुद्ध संख्या, जिसे विशिष्ट गुरुत्व भी कहते हैं: एनिमेशन की लकड़ी के लिए 0.6, बर्फ़ के लिए 0.92, एक सामान्य पत्थर के लिए 2.5। पानी में तैरती वस्तु के लिए यह उसके आयतन के सतह के नीचे रहने वाले अंश के बराबर होता है।
आभासी भार: वस्तु द्रव में लटकी हो तब तुला जो दिखाती है: उसका वास्तविक भार घटा उत्प्लावन बल। 24.5 N भार वाला एक लीटर का पत्थर पानी में 14.7 N दिखाता है।
प्लवन साम्य: स्थिर अवस्था में तैरती वस्तु की वह स्थिति, जिसमें उसके डूबे भाग पर उत्प्लावन बल उसके भार के बराबर होता है। वस्तु उस गहराई पर टिकती है जहाँ विस्थापित द्रव का भार उसके अपने भार जितना होता है।
उदासीन उत्प्लावन: डूबी वस्तु की वह अवस्था जिसमें उसका औसत घनत्व द्रव के घनत्व के बराबर हो, ताकि भार और उत्प्लावन हर गहराई पर संतुलित रहें। मछलियाँ इसे वायु-आशय (स्विम ब्लैडर) से और पनडुब्बियाँ गिट्टी-टंकियों से समायोजित करती हैं।
उत्प्लावन केंद्र: वह बिंदु $B$ जिससे होकर उत्प्लावन बल लगता है: विस्थापित आयतन का केंद्रक। तैरती वस्तु के झुकने पर यह खिसकता है, और यही खिसकाव वस्तु को फिर से सीधा कर सकता है।
मेटासेंटर: किसी थोड़े झुके तैरते पिंड के लिए वह बिंदु $M$ जहाँ खिसके हुए उत्प्लावन केंद्र से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा पिंड की मध्य-रेखा को काटती है। यदि $M$ उसके गुरुत्व केंद्र $G$ के ऊपर हो, तो पिंड स्थिर है।

राशियाँ
$F_{b}$	उत्प्लावन बल	$N$	द्रव का शुद्ध ऊपर का धक्का, जो विस्थापित द्रव के भार के बराबर है; एनिमेशन के तैरते गुटके पर 206 N।
$ρ$	घनत्व	$kg/ m^{3}$	प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान, $m / V$ : ताज़े पानी के लिए 1000 kg/m³ और भूतल के पास हवा के लिए लगभग 1.2 kg/m³।
$ρ_{fluid}$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$	आसपास के द्रव या गैस का घनत्व, जो उत्प्लावन बल तय करता है; समुद्री पानी के लिए लगभग 1025 kg/m³।
$ρ_{object}$	वस्तु का घनत्व	$kg/ m^{3}$	वस्तु का औसत घनत्व, उसका कुल द्रव्यमान उसके कुल आयतन से भाग देने पर। $ρ_{fluid}$ से तुलना करने पर तय होता है कि वस्तु डूबेगी, तैरेगी या स्थिर रहेगी।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	वस्तु का द्रव्यमान, जिसका भार $m g$ है; एनिमेशन के गुटके के लिए 21 kg।
$V$	वस्तु का आयतन	$m^{3}$	वस्तु की बाहरी सतह से घिरा पूरा आयतन; एक लीटर 0.001 m³ है।
$V_{sub}$	निमग्न आयतन	$m^{3}$	वस्तु के आयतन का वह भाग जो द्रव की सतह के नीचे है, जो विस्थापित द्रव के आयतन के बराबर है। वस्तु के पूरी तरह डूबने पर यह $V$ के बराबर होता है।
$p$	दाब	$Pa$	प्रति इकाई क्षेत्रफल बल, जो द्रव की किसी भी सतह पर लंबवत लगता है; $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ।
$p_{0}$	सतह दाब	$Pa$	द्रव की मुक्त सतह पर दाब, सामान्यतः वायुमंडल का, लगभग 101 kPa। यह वस्तु पर हर ओर से लगता है और उत्प्लावन बल से निरस्त हो जाता है।
$h$	गहराई	$m$	सतह के नीचे कितनी दूरी पर दाब लिया गया है। एनिमेशन के लेबलों में $h$ इसके बजाय गुटके की ऊँचाई है।
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$	मुक्त पतन का त्वरण, पृथ्वी की सतह पर लगभग 9.81 m/s²। यह भार और उत्प्लावन बल, दोनों में गुणक के रूप में आता है, इसलिए तैरने के अनुपात से निरस्त हो जाता है; मुक्त पतन में, जहाँ प्रभावी $g$ शून्य है, उत्प्लावन भी लुप्त हो जाता है।

क्विज़

शुरुआती एक ठोस वस्तु जिसका घनत्व पानी से अधिक है, पानी में डाली जाती है। क्या होगा?
1. वह डूब जाएगी
2. वह तैरेगी, और उसका अधिकांश भाग पानी से ऊपर रहेगा
3. यदि वह काफ़ी बड़ी हो तो तैरेगी
4. वह बीच में स्थिर लटकी रहेगी
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उत्तर: A. वह डूब जाएगी
यदि वस्तु का घनत्व पानी से अधिक हो, तो पूरी तरह डूबी होने पर भी उसका भार पानी के दिए जा सकने वाले सबसे बड़े धक्के से अधिक होता है। उसे बड़ा करने से कुछ नहीं होता: उसका भार और धक्का साथ-साथ बढ़ते हैं।
शुरुआती आर्किमिडीज़ के सिद्धांत के अनुसार उत्प्लावन बल किसके बराबर होता है?
1. विस्थापित द्रव का भार
2. वस्तु का भार
3. वस्तु का आयतन
4. विस्थापित द्रव का द्रव्यमान
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उत्तर: A. विस्थापित द्रव का भार
ऊपर की ओर लगने वाला बल विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। यह वस्तु के अपने भार के बराबर तभी होता है जब वस्तु तैरती हो: डूबता पत्थर अपने भार से कम बल से ऊपर धकेला जाता है। यह न्यूटन में मापा जाने वाला बल है, इसलिए यह भार है, द्रव्यमान या आयतन नहीं।
शुरुआती 2 लीटर का एक पत्थर पूरी तरह पानी में डूबा है। उस पर कितना उत्प्लावन बल लगता है? (g = 9.81 m/s²)
1. 19.62 N
2. 19620 N
3. 2 N
4. 9.81 N
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उत्तर: A. 19.62 N
2 L = 0.002 m³, इसलिए F_b = 1000 × 0.002 × 9.81 = 19.62 N। यदि लीटर को m³ में बदलना भूल जाएँ, तो 19620 N मिलता है।
मध्यम पानी में डूबी वस्तु पर द्रव ऊपर की ओर धक्का क्यों देता है?
1. उसकी तली पर दाब उसके ऊपरी भाग से अधिक होता है
2. पानी के अणु वस्तु की ओर आकर्षित होते हैं
3. वस्तुएँ पानी में अपना कुछ द्रव्यमान खो देती हैं
4. उसके ऊपरी भाग पर दाब उसकी तली से अधिक होता है
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उत्तर: A. उसकी तली पर दाब उसके ऊपरी भाग से अधिक होता है
दाब गहराई के साथ बढ़ता है, p = p₀ + ρgh। तली अधिक गहरी है, इसलिए वहाँ ऊपर की ओर का धक्का ऊपरी सिरे पर नीचे की ओर के धक्के से अधिक होता है।
मध्यम बर्फ़ का घनत्व 920 kg/m³ है। ताज़े पानी में तैरते बर्फ़ के टुकड़े का कितना प्रतिशत पानी की सतह के नीचे है?
1. 92%
2. 8%
3. 50%
4. 100%
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उत्तर: A. 92%
डूबा अंश = ρ_बर्फ़/ρ_पानी = 920/1000 = 0.92, अतः 92% सतह के नीचे है और केवल 8% दिखता है।
मध्यम एक पत्थर जो डोरी से लटका है, झील में पूरी तरह डूबा है और फिर और गहराई में नीचे किया जाता है। उत्प्लावन बल का क्या होता है?
1. वह वही रहता है
2. वह बढ़ता है, क्योंकि गहराई पर दाब अधिक है
3. वह घटता है, क्योंकि उसके ऊपर अधिक पानी है
4. वह शून्य हो जाता है
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उत्तर: A. वह वही रहता है
ऊपरी और निचले सिरों पर दाब समान मात्रा में बढ़ते हैं, इसलिए उनका अंतर, और इस प्रकार F_b = ρgV, नहीं बदलता। पानी लगभग असंपीड्य है।
उन्नत इस्पात का पोत क्यों तैरता है, जबकि इस्पात पानी से लगभग 8 गुना घना है?
1. उसका खोल हवा को घेरे रहता है, इसलिए उसका औसत घनत्व पानी से कम है
2. इस्पात पानी में कम घना हो जाता है
3. उसके इंजन उसे लगातार ऊपर धकेलते हैं
4. समुद्री पानी इस्पात से अधिक घना है
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उत्तर: A. उसका खोल हवा को घेरे रहता है, इसलिए उसका औसत घनत्व पानी से कम है
मायने यह रखता है कि कुल द्रव्यमान को कुल घिरे आयतन से भाग देने पर क्या मिलता है। हवा भरा खोल इतना पानी विस्थापित करता है कि वह पोत के भार के बराबर हो जाता है।
उन्नत ऊँचाई H और क्षैतिज फलकों का क्षेत्रफल A वाला एक डिब्बा घनत्व ρ के द्रव में पूरी तरह डूबा है। द्रव-दाब का शुद्ध बल कितना है?
1. ρ·g·H·A, ऊपर की ओर
2. ρ·g·H·A, नीचे की ओर
3. p₀·A, ऊपर की ओर
4. शून्य, क्योंकि दाब निरस्त हो जाते हैं
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उत्तर: A. ρ·g·H·A, ऊपर की ओर
निचला फलक H अधिक गहरा है, इसलिए उसका दाब ऊपरी फलक से ρgH अधिक है। शुद्ध बल ρgH·A = ρgV ऊपर की ओर है; p₀ और पार्श्व बल निरस्त हो जाते हैं।

$p_{1}$	ऊपरी फलक पर दाब, गहराई $h$ पर।	$Pa$
$p_{2}$	निचले फलक पर दाब, गहराई $h + ℓ$ पर; $p_{1}$ से अधिक।	$Pa$
$h$	ऊपरी फलक की सतह के नीचे गहराई।	$m$
$ℓ$	डिब्बे की ऊँचाई।	$m$
$V$	डिब्बे का आयतन $ℓ A$ , जहाँ $A$ उसके ऊपरी या निचले फलक का क्षेत्रफल है।	$m^{3}$
$F_{b}$	डिब्बे पर शुद्ध दाब-बल, ऊपर की ओर: $(p_{2} - p_{1}) A = ρ_{f} g V$ ।	$N$

$S$	वस्तु की सतह; दाएँ चित्र में वही सतह पानी को घेरती है।
$V$	$S$ द्वारा घिरा आयतन।	$m^{3}$
$p$	$S$ पर दाब: सतह के लंबवत, और जहाँ $S$ अधिक गहराई पर है वहाँ अधिक।	$Pa$
$B$	$S$ के भीतर आयतन का केंद्रक: उत्प्लावन केंद्र।
$F_{b}$	$S$ पर दाब-बल, ऊपर की ओर $B$ से होकर; दोनों पैनलों में समान।	$N$
$W$	$S$ भरने वाले पानी का भार, $ρ_{f} V g$ , नीचे की ओर $B$ से होकर।	$N$

$y$	गुटके की तैरते स्तर से ऊँचाई।	$m$
$t$	छोड़े जाने के बाद बीता समय।	$s$
$y_{0}$	छोड़ते समय प्रारंभिक ऊँचाई।	$m$
$d - h$	वह ऊँचाई जिस पर गुटके का ऊपरी सिरा पानी के समतल होता है ( $d$ तैरने की गहराई है, $h$ गुटके की ऊँचाई); इससे नीचे पूरा गुटका पानी में होता है।	$m$
$T$	दो क्रमागत ऊपरी मोड़ बिंदुओं के बीच का समय।	$s$
$e^{- γ t}$	वह गुणक जिससे दोलन समय के साथ घटते हैं; $γ$ अवमंदन दर है।

$θ$	झुकाव कोण: पोत-काया सीधी स्थिति से कितनी घूमी है।	$rad$
$G$	पोत-काया का गुरुत्व केंद्र, मध्य-रेखा पर; भार यहाँ लगता है।
$B$	जब पोत-काया सीधी थी तब का उत्प्लावन केंद्र, जो पोत-काया में स्थिर एक बिंदु है।
$B^{'}$	अब का उत्प्लावन केंद्र: डूबे भाग का केंद्रक, जो निचले पक्ष की ओर खिसक गया है।
$M$	मेटासेंटर: $B^{'}$ से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का मध्य-रेखा से कटान बिंदु।
$GM$	मेटासेंटरिक ऊँचाई: $G$ से $M$ तक की दूरी; सीधा करने वाला युग्म $m g GM sin θ$ है।	$m$
$m g$	पोत-काया का भार, नीचे की ओर $G$ से होकर।	$N$
$F_{b}$	उत्प्लावन बल, ऊपर की ओर $B^{'}$ से होकर; परिमाण में भार के बराबर।	$N$