Arrasto e velocidade terminal

Iniciante

Vamos descobrir o que a resistência do ar faz, um passo de cada vez.

Passo 1: os fluidos empurram de volta. Coloque a mão para fora da janela de um carro em movimento, e o ar a empurra para trás. Ar, água e qualquer outro fluido empurram contra tudo o que se move através deles. Esse empurrão se chama arrasto, ou resistência do ar. Ele cresce rapidamente com a velocidade (o dobro da velocidade significa cerca de quatro vezes o empurrão) e com a área voltada para o escoamento.

Passo 2: um corpo em queda para de acelerar. Observe o paraquedista. Logo após o salto a velocidade é baixa, então a resistência do ar (seta vermelha, para cima) é pequena e o peso (seta verde, para baixo) vence: o paraquedista acelera e a barra azul de velocidade sobe. Mas mais velocidade significa mais resistência do ar. Depois de cerca de dez segundos, a seta vermelha tem o mesmo comprimento da verde. As forças se cancelam, então a velocidade deixa de mudar: o paraquedista cai de forma constante a cerca de 200 km/h, a velocidade terminal.

Passo 3: o paraquedas. O paraquedas aberto tem uma área enorme, então a resistência do ar fica de repente muito maior que o peso, e o paraquedista desacelera. Conforme a velocidade cai, o empurrão também cai, até equilibrar o peso de novo, a suaves 18 km/h.

Passo 4: forma e pegajosidade. Uma forma lisa e pontuda deixa o fluido se fechar atrás dela, então ela sente pouco arrasto: pense em peixes e ciclistas de competição. Líquidos espessos como o mel resistem até a um movimento lento; essa pegajosidade interna se chama viscosidade.

Teste você mesmo: uma gota de chuva cai com velocidade constante. A resistência do ar sobre ela é menor, igual ou maior que o peso? (Resposta: igual. Velocidade constante significa que as forças se equilibram.)

Intermediário

O que é o arrasto e do que ele depende

Arrasto é a força que um fluido exerce sobre um corpo que se move através dele. Ele aponta contra a velocidade do corpo em relação ao fluido: um ciclista pedalando a 10 m/s contra um vento de frente de 5 m/s encontra o ar a 15 m/s.

Para bolas, carros e paraquedistas, o arrasto segue a lei quadrática
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
Aqui $\rho$ é a densidade do fluido (1,2 kg/m³ para o ar perto do solo), $A$ a área frontal voltada para o escoamento e $v$ a velocidade. O coeficiente de arrasto $C_d$ é um número puro definido pela forma: cerca de 0,05 para uma gota, 0,3 para um carro moderno, 0,47 para uma esfera e 1,5 para um paraquedas redondo.

Por que o quadrado? A cada segundo, o corpo empurra para o lado uma massa de fluido de cerca de $\rho Av$ e a põe em movimento com uma velocidade comparável a $v$. A quantidade de movimento transferida por segundo, que é a força, é então cerca de $\rho A{v}^2$: o dobro da velocidade, o quádruplo do arrasto.

Viscosidade e o mundo do pequeno e do lento

Viscosidade, $\eta$, é o atrito interno de um fluido, a resistência de suas camadas a deslizar umas sobre as outras, medida em pascal-segundo (Pa·s). A 20 °C, o ar tem $1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, a água $1,0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, o azeite de oliva cerca de 0,08 Pa·s e a glicerina 1,4 Pa·s; líquidos quentes são mais fluidos.

Objetos minúsculos ou lentos, como poeira, gotículas de neblina ou uma bolinha afundando no mel, sentem em vez disso um arrasto proporcional a $v$. Para uma esfera de raio $r$, essa é a lei de Stokes,
$F_d=6\pi \eta rv\text{(Stokes, }\mathrm{Re}\ll 1\text{)}$
A densidade não aparece: o fluido não é jogado para o lado, mas cisalhado, camada contra camada.

Quem decide qual lei vale é o número de Reynolds, construído com a densidade e a viscosidade do fluido, a velocidade e o tamanho $L$ do corpo:
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Ele compara a inércia do fluido com a sua viscosidade. Abaixo de cerca de 1, vale a lei de Stokes; acima de cerca de 1000, vale a lei quadrática, com um $C_d$ definido principalmente pela forma. Uma gotícula de neblina tem $\mathrm{Re}\approx 0,02$; o paraquedista, com $L\approx 0,5\mathrm{m}$, cerca de 2 milhões.

Queda com arrasto: velocidade terminal

Tome o sentido para baixo como positivo. Um corpo em queda sente seu peso $mg$ para baixo e o arrasto para cima, então a segunda lei de Newton fica
$ma=mg-F_d$
No início $v=0$, não há arrasto e $a=g$. À medida que o corpo acelera, o arrasto cresce e a aceleração diminui, até o arrasto igualar o peso. A partir daí $a=0$ e o corpo cai com velocidade constante, a velocidade terminal. Fazendo $\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2=mg$, obtemos
$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{d}A}}$

Para uma pequena esfera no regime de Stokes, o peso menos o empuxo (veja Empuxo e princípio de Arquimedes) é equilibrado por $6\pi \eta rv$, o que dá
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }\text{(Stokes sphere)}$
onde ${\rho }_s$ e ${\rho }_f$ são as densidades da esfera e do fluido. No ar, o empuxo é apenas cerca de 0,1 % do peso de um paraquedista, e o ignoramos. Um corpo da mesma forma e material, mas duas vezes maior, cai $\sqrt{2}\approx 1,41$ vezes mais rápido com arrasto quadrático ($m\propto r^3$, $A\propto r^2$), o que ajuda pequenos animais a sobreviver a quedas, mas quatro vezes mais rápido no regime de Stokes ($v_t\propto r^2$).

Exemplo resolvido: o paraquedista da animação

O saltador tem $m=80\mathrm{kg}$ e, de barriga para baixo, $C_{d}A=0,43{\mathrm{m}}^2$, no ar com $\rho =1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. O peso é $mg=80\cdot 9,81=785\mathrm{N}$, a linha verde entre os marcadores, e a velocidade terminal é
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 785}{1,2\cdot 0,43}}\approx \sqrt{3040}\approx 55,2m/s$
cerca de 199 km/h.

Como $mg=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2$, o arrasto em qualquer velocidade é $F_d=mg(v/v_t{)}^2$. Quando o marcador $v$ mostra 30 m/s, em $t\approx 3,4\mathrm{s}$, $F_d=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,43\cdot 30^2\approx 232\mathrm{N}$ e $a=(785-232)/80\approx 6,9m/{\mathrm{s}}^2$. A aproximação da velocidade terminal é lenta: em 13 s, quando o paraquedas abre, os marcadores mostram $v\approx 54,1m/s$, $F_d\approx 755\mathrm{N}$ e $a\approx 0,4m/{\mathrm{s}}^2$. O marcador $t$ conta segundos reais; a animação roda em velocidade dupla.

O paraquedas tem $C_{d}A=52,5{\mathrm{m}}^2$, 122 vezes mais, então $v_t$ cai por um fator de $\sqrt{122}\approx 11$, para $55,2/11,05\approx 5,0m/s$ (18 km/h), como indica a linha do paraquedas sob as fórmulas. Enquanto o paraquedas infla, o arrasto atinge um pico de cerca de 3340 N, 4,3 vezes o peso, em $t\approx 14\mathrm{s}$, e o marcador $a$ cai para cerca de $-32m/{\mathrm{s}}^2$, uma desaceleração de 3,3 g. Por volta de 19 s, os marcadores se estabilizam em $v=5,0m/s$, $F_d=785\mathrm{N}$ e $a=0$.

Exemplo resolvido: gotículas de neblina e gotas de chuva

Por que as nuvens flutuam enquanto a chuva cai? Uma gotícula de neblina de raio $r=10\mu \mathrm{m}$ cai pelo ar ($\eta =1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$), com ${\rho }_s=1000kg/{\mathrm{m}}^3$ e ${\rho }_f=1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. A fórmula de Stokes dá
$v_t=\frac{2\cdot (10^{-5}{)}^2\cdot 998,8\cdot 9,81}{9\cdot 1,8\times 10^{-5}}\approx 0,012m/s$
apenas 1,2 cm/s. Verifique o regime: $\mathrm{Re}=1,2\cdot 0,012\cdot 2\times 10^{-5}/(1,8\times 10^{-5})\approx 0,016$, bem abaixo de 1, então a lei de Stokes foi a escolha certa. Uma corrente de ar ascendente de alguns centímetros por segundo mantém essas gotículas no ar.

Uma gota de chuva de raio 1 mm é 100 vezes maior. A lei de Stokes daria $10^4$ vezes mais, 121 m/s, com um número de Reynolds de cerca de 16 000, muito fora de sua faixa de validade. Com a lei quadrática, em vez disso, $C_d\approx 0,5$, $m={\rho }_s\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4,19\times 10^{-6}\mathrm{kg}$ e $A=\pi r^2=3,14\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$:
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 4,19\times 10^{-6}\cdot 9,81}{1,2\cdot 0,5\cdot 3,14\times 10^{-6}}}\approx 6,6m/s$
perto dos 6,5 m/s medidos para gotas de 2 mm de diâmetro, com $\mathrm{Re}\approx 900$. Encontre o regime primeiro e só depois escolha a lei.

Lendo as setas de força

As duas setas compartilham uma escala em pixels por newton. A seta verde $mg$ nunca muda; a seta vermelha $F_d$ conta a história em quatro fases.

• Acelerando: vermelha mais curta que a verde, a força resultante aponta para baixo e $a$ diminui de $g$ em direção a zero.
• Velocidade terminal: as duas setas com o mesmo comprimento, força resultante zero, velocidade constante perto de 55 m/s.
• Abertura: vermelha cerca de 4,3 vezes mais longa que a verde, a força resultante aponta para cima, e $a$ fica negativa enquanto o paraquedista ainda cai.
• Equilíbrio de novo: vermelha com o comprimento da verde, a 5,0 m/s, com os traços cinzentos de ar passando devagar, quase parados.

Erros comuns

• Forças equilibradas não significam repouso: na velocidade terminal a força resultante é zero, mas o paraquedista ainda cai a 55 m/s.
• Um paraquedas que abre não puxa o paraquedista para cima, por mais que vídeos de um cinegrafista ainda em queda sugiram: a velocidade continua apontando para baixo, caindo de 54 para 5 m/s, enquanto a aceleração aponta para cima, cerca de $-32m/{\mathrm{s}}^2$ no pico.
• O arrasto do dia a dia não é proporcional à velocidade: com metade da velocidade terminal, 27,6 m/s, o arrasto sobre o paraquedista é um quarto do peso, 196 N, e não a metade.
• Corpos mais pesados caem mais rápido no ar, mas apenas com $\sqrt{m}$: 40 kg de equipamento extra com o mesmo $C_{d}A$ elevam $v_t$ por um fator de $\sqrt{1,5}\approx 1,22$, para 67,5 m/s.
• Viscosidade não é densidade: o azeite de oliva flutua sobre a água, mas é cerca de 80 vezes mais viscoso.

Onde você encontra isso

O arrasto define a conta de energia de todo veículo. Mover-se de forma constante pelo ar parado exige a potência
$P=F_{d}v=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^3$
Para um carro com $C_{d}A=0,66{\mathrm{m}}^2$ a 90 km/h (25 m/s), isso dá $\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,66\cdot 25^3\approx 6,2\mathrm{kW}$; a 130 km/h, são 18,6 kW, três vezes mais, e cada quilômetro custa cerca do dobro da energia.

Ciclistas se agacham para reduzir $C_{d}A$, as covinhas das bolas de golfe reduzem o arrasto e os paraquedas o aproveitam, enquanto centrífugas aceleram a lenta sedimentação de Stokes das células do sangue. O Princípio de Bernoulli explica a pressão $\frac{1}{2}\rho v^2$ por trás da lei do arrasto, Amortecimento e ressonância trata do arrasto que freia uma oscilação, e Trabalho, energia e potência acompanha para onde vai a energia.

Avançado

Viscosidade: quantidade de movimento fluindo entre camadas

A viscosidade é a resistência de um fluido a ter suas camadas deslizando umas sobre as outras. Toda força de arrasto desta lição vem dela, direta ou indiretamente, então começamos com o escoamento mais simples que a mede.

Legenda

$d$	Largura da folga entre as duas placas.	$\mathrm{m}$
$A$	Área da placa superior.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Força que puxa a placa superior em velocidade constante.	$\mathrm{N}$
$v_0$	Velocidade da placa superior; a placa inferior está em repouso.	$m/s$
$v(y)$	Velocidade do fluido na altura $y$ acima da placa inferior: zero embaixo, $v_0$ em cima.	$m/s$
$\eta$	Viscosidade do fluido: a tensão necessária por unidade de gradiente de velocidade.	$\mathrm{Pa}\mathrm{s}$

A Figura 1 mostra esse escoamento. Um fluido preenche a folga de largura $d$ entre duas placas paralelas e grandes. A placa inferior está parada. A placa superior, de área $A$, é puxada por uma força $F$ e desliza com a velocidade constante $v_0$. Cada seta azul dá a velocidade $v(y)$ do fluido na altura $y$ acima da placa inferior.

Dois fatos fixam o comprimento das setas. Primeiro, o fluido em contato com uma superfície sólida se move junto com ela. Essa é a condição de não deslizamento, e vale para todo fluido comum. Assim, a seta de baixo tem comprimento zero e a de cima tem comprimento $v_0$. Segundo, camadas vizinhas puxam uma à outra com uma força por unidade de área proporcional à rapidez com que a velocidade muda com a altura, $\eta dv/dy$. É isso que define a viscosidade $\eta$. Em um escoamento estacionário nenhuma camada acelera, então a força exercida pela camada mais rápida acima deve equilibrar o arrasto da camada mais lenta abaixo: a tensão, e com ela $dv/dy$, é a mesma em todas as alturas.

Por isso as setas crescem em passos iguais e a linha tracejada que passa por suas pontas é reta. A velocidade sobe $v_0$ ao longo da folga $d$, logo $dv/dy=v_0/d$ em toda parte, e a força necessária por unidade de área da placa é
$\frac{F}{A}=\eta \frac{v_0}{d}$
Dobrar a velocidade da placa, ou reduzir a folga à metade, dobra a força. Como $F/A$ é uma tensão, $\eta$ é medida em Pa·s.

A mesma lei pode ser lida de modo mais profundo, como um fluxo de quantidade de movimento. Cada camada puxa para frente a camada mais lenta abaixo dela e, em troca, é retida por ela. A quantidade de movimento na direção do escoamento passa, portanto, do fluido rápido para o lento, a uma taxa determinada por $\eta$. Na Figura 1 ela entra pela placa em movimento, atravessa cada camada para baixo e sai pela placa parada; $F$ é a taxa, em quantidade de movimento por segundo, com que a placa superior a alimenta.

Esse quadro explica como a viscosidade depende do estado do fluido. Em um gás, a quantidade de movimento é transportada por moléculas que saltam entre as camadas: uma molécula que chega de uma camada mais rápida leva quantidade de movimento extra para frente a uma camada mais lenta. A teoria cinética dá $\eta \approx \frac{1}{3}\rho \bar{v}\lambda$. Aqui $\rho$ é a densidade do gás, $\bar{v}$ a velocidade média das moléculas e $\lambda$ o livre caminho médio, a distância média que uma molécula percorre entre colisões. Como $\lambda \propto 1/\rho$, o produto $\rho \lambda$ permanece o mesmo quando o gás é comprimido, então a viscosidade do gás não depende da pressão. Ela aumenta com a temperatura, porque $\bar{v}$ aumenta. Os líquidos se comportam ao contrário: suas moléculas são seguradas pelas vizinhas, o calor ajuda a soltá-las, e a viscosidade cai acentuadamente com o aquecimento. A água tem 1,79 mPa·s a 0 °C, mas apenas 0,28 mPa·s a 100 °C.

A força viscosa também completa a equação de movimento de um fluido. Para um fluido ideal, a segunda lei de Newton por unidade de volume é a equação de Euler: densidade vezes aceleração é igual à força de pressão $-\nabla p$ mais o peso $\rho \vec{g}$, onde $p$ é a pressão. Em um fluido incompressível, a força viscosa resultante por unidade de volume é $\eta {\nabla }^2\vec{v}$. O laplaciano ${\nabla }^2$ mede quanto a velocidade em um ponto difere da média de seus arredores, então essa força puxa cada porção do fluido em direção ao movimento de suas vizinhas. Somando-a, obtemos a equação de Navier–Stokes:
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}+\eta {\nabla }^2\vec{v}$
O termo entre parênteses é a aceleração de uma porção do fluido: a variação da velocidade em um ponto fixo mais a variação que vem de passar para um lugar onde o escoamento é diferente. A equação é resolvida com a condição de não deslizamento da Figura 1: em toda superfície sólida o fluido se move com a superfície, então $\vec{v}=0$ sobre um corpo em repouso.

Análise dimensional e o número de Reynolds

O escoamento ao redor de um corpo real é complicado demais para ser calculado a partir da equação de Navier–Stokes. A análise dimensional mostra o quanto se pode dizer sem resolvê-la, e produz o único número que classifica todo escoamento.

Para um corpo de determinada forma, o arrasto $F$ pode depender apenas do tamanho $L$ do corpo, de sua velocidade $v$ através do fluido e da densidade $\rho$ e viscosidade $\eta$ do fluido. Essas cinco grandezas são construídas com três unidades, o quilograma, o metro e o segundo, então podem ser combinadas em apenas $5-3=2$ números adimensionais independentes. Um par conveniente é $F/(\rho v^2{L}^2)$ e o número de Reynolds
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Uma lei física não pode depender da escolha das unidades, então deve ser uma relação entre esses dois números: o primeiro é uma função do segundo. Substituindo $L^2$ pela área frontal $A$ do corpo e acrescentando o fator convencional $\frac{1}{2}$, obtemos a lei do arrasto
$F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d(\mathrm{Re})$
O coeficiente de arrasto $C_d$ é um número puro. Toda a física difícil agora está escondida em uma função de uma variável, que precisa ser medida apenas uma vez para cada forma.

Fisicamente, $\mathrm{Re}$ compara a inércia com a viscosidade. A velocidade muda de cerca de $v$ ao longo de distâncias de cerca de $L$, então o termo inercial $\rho (\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$ vale cerca de $\rho v^2/L$ e o termo viscoso $\eta {\nabla }^2\vec{v}$ vale cerca de $\eta v/L^2$. A razão entre eles é $\mathrm{Re}$. Com $\mathrm{Re}$ grande, a inércia domina; com $\mathrm{Re}$ pequeno, domina a viscosidade.

Disso decorre que escoamentos em torno de corpos geometricamente semelhantes, com o mesmo $\mathrm{Re}$, são cópias em escala uns dos outros, e é isso que torna possíveis os testes com modelos. Com a viscosidade cinemática $\nu =\eta /\rho$, o número de Reynolds é $\mathrm{Re}=vL/\nu$; $\nu$ vale $1,0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ para a água e $1,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ para o ar. Um modelo 1 : 10 de um carro tem um décimo do comprimento, então na água ele corresponde ao carro real no ar quando sua velocidade é $10{\nu }_{\mathrm{water}}/{\nu }_{\mathrm{air}}\approx 0,67$ da velocidade do carro. A faixa de $\mathrm{Re}$ na natureza é enorme: cerca de $10^{-4}$ para uma bactéria nadando, 0,016 para uma gotícula de neblina, 900 para uma gota de chuva e $2\times 10^6$ para o paraquedista.

Escoamento de Stokes e a curva de arrasto

A função $C_d(\mathrm{Re})$ foi medida para muitas formas. A esfera é o exemplo padrão, e sua curva mostra os dois regimes muito diferentes do arrasto.

Legenda

$C_d$	Coeficiente de arrasto, definido por $F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d$.
$Re$	Número de Reynolds do escoamento, $\rho vL/\eta$, com $L$ o diâmetro da esfera.
$R{e}_c$	Número de Reynolds da crise do arrasto, cerca de $3\times 10^5$.

A Figura 2 traça o coeficiente de arrasto $C_d$ de uma esfera lisa contra o número de Reynolds $\mathrm{Re}$, baseado no diâmetro da esfera. Os dois eixos são logarítmicos: cada fator 10 ocupa a mesma distância, então uma lei de potência $C_d\propto {\mathrm{Re}}^n$ aparece como uma reta de inclinação $n$. A linha tracejada é $C_d=24/\mathrm{Re}$, de inclinação $-1$.

Acompanhe a curva medida da esquerda para a direita. Para $\mathrm{Re}\ll 1$ ela segue a linha tracejada. Perto de $\mathrm{Re}\approx 1$ ela se curva acima dela, e entre $\mathrm{Re}\approx 10^3$ e $2\times 10^5$ ela se achata em um patamar de 0,4 a 0,5. Em ${\mathrm{Re}}_c\approx 3\times 10^5$ ela despenca para cerca de 0,1: esta é a crise do arrasto. Depois dela, a curva se recupera em parte, até cerca de 0,2 em $\mathrm{Re}\approx 10^7$. O patamar e a queda vêm da forma da esteira, assunto da próxima seção.

A parte reta é o escoamento de Stokes. Em $\mathrm{Re}\ll 1$ o termo inercial é desprezível, então a densidade $\rho$ sai do problema. O arrasto sobre uma esfera de raio $r$ pode então depender apenas de $\eta$, $v$ e $r$, e o único produto desses com a unidade de força é $\eta rv$. Resolver as equações do escoamento lento fixa o fator numérico:
$F_d=6\pi \eta rv$
Dividindo por $\frac{1}{2}\rho v^2\pi r^2$, obtemos $C_d=12\eta /(\rho vr)=24\eta /(\rho v\cdot 2r)=24/\mathrm{Re}$, que é a linha tracejada.

Uma pequena esfera afundando em um líquido atinge sua velocidade terminal quando esse arrasto equilibra seu peso menos o empuxo, $\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_s-{\rho }_f)g$, onde ${\rho }_s$ é a densidade da esfera e ${\rho }_f$ a do fluido. Igualando os dois, obtemos
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }$
proporcional a $r^2$: uma esfera duas vezes mais larga afunda quatro vezes mais rápido. Cronometrar uma bola afundando e resolver para $\eta$ é um método padrão para medir a viscosidade de óleos.

Separação, a esteira e a crise do arrasto

Por que $C_d$ deixa de cair e se nivela, e por que cai de repente perto de ${\mathrm{Re}}_c$? A resposta está em uma fina camada de fluido junto à superfície do corpo.

Legenda

$v$	Velocidade da corrente bem a montante.	$m/s$
$r$	Raio da esfera.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Espessura da camada limite, ao longo da qual a velocidade sobe de zero na superfície até a da corrente. Desenhada bem mais espessa do que na realidade.	$\mathrm{m}$
$S_1$	Ponto em que a camada limite laminar se separa, cerca de 80° da frente.
$S_2$	Ponto em que a camada limite turbulenta se separa, mais atrás, cerca de 120° da frente.
$w_1$	Largura da esteira atrás da esfera com camada limite laminar.	$\mathrm{m}$
$w_2$	Largura da esteira com camada limite turbulenta.	$\mathrm{m}$

A Figura 3 mostra o escoamento sobre uma esfera de raio $r$ em uma corrente de velocidade $v$. Na superfície o fluido está em repouso (não deslizamento). A fina camada em que sua velocidade sobe até a da corrente é a camada limite, de espessura $\delta$; ela está desenhada bem mais espessa do que é de fato. Na metade frontal da esfera a pressão cai, o que empurra a camada para frente. Atrás do ponto mais largo a pressão volta a subir, e o fluido lento junto à parede não tem quantidade de movimento para avançar contra ela.

Na figura de cima, a camada limite é laminar, ou seja, lisa e ordenada. Ela perde quantidade de movimento cedo e se separa em $S_1$, a cerca de 80° da frente, contados ao longo da superfície: sai da superfície tangencialmente como uma camada cisalhante livre. Atrás dela fica uma esteira larga de fluido lento, girando, com baixa pressão, de largura $w_1$. Na figura de baixo, a camada limite é turbulenta. Seus redemoinhos trazem continuamente fluido rápido de fora em direção à parede, então ela adere à superfície por mais tempo e se separa mais atrás, em $S_2$, a cerca de 120° da frente. A esteira, de largura $w_2$, é bem mais estreita.

Agora conecte isso com a Figura 2. Acima de $\mathrm{Re}\approx 10^3$ o escoamento é do tipo de cima: não consegue acompanhar a traseira do corpo. A frente sente quase toda a pressão de estagnação $\frac{1}{2}\rho v^2$, enquanto a larga esteira atrás está a baixa pressão. Essa diferença, o arrasto de pressão, não depende de $\eta$, então $C_d$ se nivela: esse é o patamar. Perto de ${\mathrm{Re}}_c$ a camada limite se torna turbulenta antes de poder se separar. O escoamento muda para o tipo de baixo, a esteira se estreita, a pressão atrás se recupera em parte, e $C_d$ cai para cerca de 0,1: essa é a crise do arrasto.

As covinhas de uma bola de golfe tornam a camada limite turbulenta bem mais cedo, provocando a crise em cerca de $\mathrm{Re}\approx 5\times 10^4$. Uma tacada cobre $\mathrm{Re}\approx 10^5$ a $2\times 10^5$, então, ao longo de todo o voo, as covinhas reduzem o arrasto quase à metade. Corpos com bordas vivas, como uma placa plana, um paraquedista de braços abertos ou um paraquedas aberto, se comportam de outro modo: o escoamento se separa nas bordas em qualquer $\mathrm{Re}$ alto, então seu $C_d$ permanece quase constante. É por isso que a animação pode usar um único valor de $C_{d}A$ para cada fase do salto. A lei de $v^2$ resume um escoamento complicado em uma faixa limitada de $\mathrm{Re}$; não é uma lei da natureza como $F=ma$.

A camada limite também resolve um antigo enigma. Um fluido ideal, com $\eta =0$, escoando em regime permanente sobre um corpo, se fecha perfeitamente atrás dele e não exerce arrasto algum: o paradoxo de d'Alembert, de 1752. Seria de esperar que escoamentos reais se aproximassem disso quando $\eta \to 0$, mas não se aproximam. Na equação de Navier–Stokes, $\eta$ multiplica o termo com as derivadas de ordem mais alta. Eliminando esse termo, a ordem da equação cai, e a equação restante não consegue satisfazer a condição de não deslizamento. Por menor que seja $\eta$, a variação da velocidade se concentra então em uma camada limite, o $\delta$ da Figura 3, onde os gradientes são íngremes o suficiente para a viscosidade importar. Sua espessura diminui apenas com $L/\sqrt{\mathrm{Re}}$; para o paraquedista, é uma fração de milímetro. A camada ainda se separa, a esteira sobrevive e o arrasto permanece finito. A viscosidade zero é um limite singular, como mostrou a teoria da camada limite de Prandtl, em 1904.

Integrando a queda: a tangente hiperbólica

O paraquedista da animação (massa de 80 kg, de barriga para baixo) cai com números de Reynolds perto de $2\times 10^6$, onde $C_d$ é constante e o arrasto cresce com $v^2$. Esta seção resolve o movimento de forma exata.

Escreva $k=\frac{1}{2}\rho C_{d}A$, de modo que o arrasto seja $k{v}^2$, e tome o sentido para baixo como positivo. O peso $mg$ atua para baixo e o arrasto para cima, então a segunda lei de Newton fica $mdv/dt=mg-k{v}^2$. O saltador deixa de acelerar quando as duas forças se equilibram, na velocidade terminal $v_t$, com $v_t^2=mg/k$. Dividindo por $m$ e usando essa definição, obtemos $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$. Agora podemos separar velocidade e tempo em lados opostos e integrar desde o salto, quando $t=0$ e $v=0$:
${\int }_0^v\frac{du}{1-u^2/v_t^2}=v_t\mathrm{artanh}(v/v_t)=gt$
Isolando $v$, obtemos
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
Como a integral de $\tanh$ é $\ln \cosh$, mais uma integração dá a distância percorrida na queda, $x(t)=(v_t^2/g)\ln \cosh (gt/v_t)$.

A escala de tempo natural é $\tau =v_t/g$, o tempo que a queda livre levaria para atingir $v_t$. Para o paraquedista da animação, com $v_t=55,2m/s$, ela vale $\tau =5,6\mathrm{s}$. Para $t\ll \tau$, $\tanh s\approx s$, então $v\approx gt$: os primeiros segundos são quase queda livre. Para $t\gg \tau$, $\tanh s\approx 1-2e^{-2s}$ e $\ln \cosh s\approx s-\ln 2$, logo
$v\approx v_t(1-2e^{-2t/\tau }),x\approx v_{t}t-(v_t^2/g)\ln 2$
No fim, o paraquedista fica para trás, a uma distância fixa de 215 m, de um companheiro imaginário que teria caído com $v_t$ desde o início.

Compare com o arrasto linear, $mdv/dt=mg-bv$, que dá $v=v_t(1-e^{-t/\tau })$, com novamente $\tau =v_t/g$, aqui igual a $m/b$. O começo é o mesmo, com inclinação $g$, mas a aproximação final é mais lenta: a diferença para $v_t$ diminui à taxa $1/\tau$ em vez de $2/\tau$. Na velocidade terminal nada mais acelera, mas a gravidade continua realizando trabalho à taxa $mg{v}_t=785\cdot 55,2\approx 43\mathrm{kW}$. Tudo isso vai para agitar o ar, cujos redemoinhos acabam transformando a energia em calor.

Lendo os gráficos: aproximação e o choque da abertura

As fórmulas se tornam concretas nos gráficos da animação. Inclinações e áreas neles mostram com que rapidez o paraquedista acelera e desacelera, quanto ele cai e com que força o paraquedas puxa.

Legenda

$v$	Velocidade do paraquedista.	$m/s$
$t$	Tempo desde o salto.	$\mathrm{s}$
$v_t$	Velocidade terminal do paraquedista de barriga para baixo, 55,2 m/s.	$m/s$
$v_t^{\prime }$	Velocidade terminal sob o paraquedas aberto, 5,0 m/s.	$m/s$
$gt$	Velocidade que a queda livre alcançaria: a tangente a $v(t)$ em $t=0$, de inclinação $g$.	$m/s$
$\tau$	Escala de tempo $v_t/g=5,6\mathrm{s}$: a tangente $gt$ encontra a reta $v_t$ em $t=\tau$.	$\mathrm{s}$
$t_1$	Momento em que o paraquedas começa a abrir, 13 s após o salto.	$\mathrm{s}$
$x$	Distância percorrida antes de $t_1$: a área sombreada sob $v(t)$.	$\mathrm{m}$

A Figura 4 é o gráfico de velocidade da visão de nível avançado da animação, traçado a partir do mesmo modelo. A curva azul é a velocidade do paraquedista $v(t)$. Ela parte da origem ao longo da tangente verde $gt$, de inclinação $g$, que encontra a linha tracejada superior $v_t$ em $t=\tau =5,6\mathrm{s}$, a primeira vertical tracejada. Observe o ponto inferior ali: a curva atingiu apenas $\tanh 1\approx 0,76$ de $v_t$, 42 m/s, porque o arrasto cresceu o tempo todo. Ela atinge 96 % de $v_t$ após $2\tau$, e 54,1 m/s até $t_1=13\mathrm{s}$, a segunda vertical tracejada, quando o paraquedas começa a abrir. A animação também desenha um segundo gráfico, não mostrado aqui: o arrasto $F_d(t)=mg{\tanh }^2(gt/v_t)$, em vermelho. Ele começa achatado, porque o arrasto cresce com $v^2$, e sobe lentamente em direção à linha tracejada $mg$.

Em $t_1$, o diâmetro do paraquedas começa a crescer de forma constante, por 4 s. Sua área cresce com o quadrado do diâmetro, então o $C_{d}A$ extra cresce com o quadrado do tempo desde a abertura. No início, $C_{d}A$ sobe mais depressa do que $v^2$ cai, e por isso o arrasto dispara, até um pico de cerca de 3340 N, ou $4,3mg$, em $t\approx 14,0\mathrm{s}$ e $v\approx 37m/s$. Esse é o choque da abertura. Na Figura 4, depois de $t_1$, a curva azul cai abruptamente sobre a linha tracejada inferior, $v_t^{\prime }=5,0m/s$, e a alcança por volta de 18 s. A aproximação é rápida porque a nova escala de tempo é de apenas $v_t^{\prime }/g=0,51\mathrm{s}$.

As áreas também têm significado. A área sob $v(t)$ é a altura perdida: 505 m antes da abertura (a área sombreada $x$ na Figura 4), 92 m durante o enchimento e mais 25 m à velocidade final até 22 s, 622 m no total. No gráfico de arrasto, a segunda lei de Newton $mdv/dt=mg-F_d$ mostra que a área líquida entre $F_d(t)$ e a linha $mg$ após a abertura é a quantidade de movimento retirada: $m\Delta v=80\cdot (54,1-5,0)\approx 3930\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$.

Problema resolvido: um paraquedas que abre de imediato

Por que um paraquedas precisa abrir gradualmente? Suponha que o paraquedas completo, com $C_{d}A=52,5{\mathrm{m}}^2$, aparecesse de repente em 13 s, quando a velocidade é $v_0=54,1m/s$. Com esse $C_{d}A$, a velocidade terminal é $v_t^{\prime }=4,99m/s$, o que significa que o arrasto iguala $mg$ em $v_t^{\prime }$. Como o arrasto cresce com $v^2$, em $v_0$ ele saltaria para
$F_d=mg{\left(\frac{v_0}{v_t^{\prime }}\right)}^2=785\cdot {\left(\frac{54,1}{4,99}\right)}^2\approx 9,2\times 10^4\mathrm{N}$
isso é 117 vezes o peso. Subtraindo o peso, sobra uma força resultante de 116 vezes o peso, uma desaceleração de cerca de 116 g.

Com que rapidez a velocidade cairia? Agora $v>v_t^{\prime }$, então o arrasto supera o peso, e a mesma equação de antes, $dv/dt=-g\left(v^2/(v_t^{\prime }{)}^2-1\right)$, faz a velocidade cair. Acima da velocidade terminal, sua solução usa $\coth$ no lugar de $\tanh$. Com $t$ contado a partir da abertura,
$v(t)=v_t^{\prime }\coth \left(\frac{gt}{v_t^{\prime }}+u_0\right),\coth u_0=\frac{v_0}{v_t^{\prime }}$
Aqui $\coth u_0=10,8$, logo $u_0=0,093$. A velocidade cai para $2v_t^{\prime }\approx 10m/s$ quando o argumento chega a $\mathrm{arcoth}2=0,549$. Com $v_t^{\prime }/g=0,509\mathrm{s}$, isso leva $(0,549-0,093)\cdot 0,509\approx 0,23\mathrm{s}$. A integral de $\coth$ é $\ln \sinh$, então a distância percorrida é $((v_t^{\prime }{)}^2/g)\ln (\sinh 0,549/\sinh 0,093)\approx 2,54\cdot 1,83\approx 4,6\mathrm{m}$.

Um balanço de energia dá a força média. Entre 54,1 e 10 m/s, o paraquedista perde $\frac{1}{2}\cdot 80\cdot (54,1^2-10^2)\approx 113\mathrm{kJ}$ de energia cinética. O arrasto precisa absorver isso, mais os 3,6 kJ de energia potencial liberados no caminho, dentro de 4,6 m: uma força média de 32 vezes o peso. O paraquedas da animação espalha a abertura por 4 s e 92 m. Ali, o arrasto absorve os 116 kJ de energia cinética perdidos mais 72 kJ de energia potencial, em média $2,6mg$, com pico de $4,3mg$. Paraquedas reais usam deslizadores ou linhas de redução para frear a abertura exatamente por esse motivo.

Limites de validade

O modelo mantém $C_{d}A$ fixo em cada fase e a densidade do ar $\rho$ fixa em todo o percurso. Ambas são aproximações. De cabeça para baixo, o paraquedista reduz $C_{d}A$ pela metade, e como $v_t\propto 1/\sqrt{C_{d}A}$, a velocidade terminal sobe pelo fator $\sqrt{2}$, para cerca de 78 m/s. Como também $v_t\propto 1/\sqrt{\rho }$, ela muda com a altitude: a 4000 m, onde a densidade do ar é cerca de 0,82 kg/m³ em vez de 1,2 kg/m³, o paraquedista de barriga para baixo cai a $55,2\cdot \sqrt{1,2/0,82}\approx 67m/s$. A velocidade terminal é um alvo que se move.

O ar se comporta como incompressível apenas enquanto o número de Mach, a razão entre $v$ e a velocidade do som, permanece abaixo de cerca de 0,3; o paraquedista está em 0,16. A 39 km, o ar é cerca de 250 vezes mais rarefeito, então $v_t$ fica cerca de 16 vezes maior no papel. Saltos recordes dessa altura já ultrapassaram a velocidade do som, onde ondas de choque elevam $C_d$.

A lei de Stokes exige $\mathrm{Re}$ bem abaixo de 1: sua primeira correção, um fator $1+3\mathrm{Re}/16$, já acrescenta cerca de 10 % em $\mathrm{Re}=0,5$. No outro extremo da escala de tamanho, partículas menores que cerca de 0,1 μm são comparáveis ao livre caminho médio de 68 nm das moléculas do ar. O ar então deixa de atuar como um fluido contínuo: ele escorrega na superfície delas, e o movimento browniano as desloca mais do que a sedimentação. Por fim, o modelo ignora o escoamento não estacionário, então o crescimento suave de $C_{d}A$ na animação apenas aproxima o violento choque real da abertura.

Onde isso leva

O Princípio de Bernoulli descreve o escoamento ideal fora da camada limite e explica por que o arrasto é medido em unidades de $\frac{1}{2}\rho v^2$. Em Amortecimento e ressonância, um arrasto linear $-bv$ se torna o termo de amortecimento de um oscilador. A Teoria cinética dos gases deriva a viscosidade de um gás a partir das colisões moleculares. Corrente elétrica e resistência tem a mesma estrutura da sedimentação de Stokes: os elétrons derivam com uma velocidade terminal em que as colisões equilibram a força elétrica, de modo que a corrente é proporcional ao campo. Condução, convecção e radiação usa camadas limite para explicar como o vento leva calor embora, e as trajetórias de Lançamento oblíquo ficam mais curtas e assimétricas quando se inclui o arrasto.