阻力与终端速度

入门

我们一步一步来看空气阻力是怎么回事。

第 1 步：流体会推回来。把手伸出行驶中汽车的车窗外，空气会把手往后推。空气、水以及其他一切流体都会对在其中运动的物体施加推力。这种推力叫作阻力，或空气阻力。它随速度增长得很快（速度变为两倍，推力约变为四倍），也随迎流面积增大而增大。

第 2 步：下落的物体不再越来越快。看看跳伞者。刚跳下时速度很小，所以空气阻力（红色箭头，向上）很小，重力（绿色箭头，向下）占优：跳伞者加速，蓝色速度条不断上升。但速度越大，空气阻力也越大。大约十秒后，红色箭头与绿色箭头一样长。两个力相互抵消，速度不再变化：跳伞者以约 200 km/h 的速度匀速下落，这就是终端速度。

第 3 步：降落伞。打开的伞衣面积很大，因此空气阻力突然远大于重力，跳伞者迅速减速。速度下降后，阻力也随之减小，直到它再次与重力平衡，此时速度温和地降到 18 km/h。

第 4 步：形状与粘性。光滑、尖细的形状让流体能够在其后方迅速合拢，因而所受阻力很小：想想鱼和竞速自行车手。蜂蜜等粘稠液体即使在缓慢运动时也会产生阻力；这种内部的粘性叫作粘滞性。

自我检验：雨滴以恒定速度下落。它受到的空气阻力比重力小、相等，还是更大？（答案：相等。速度恒定意味着受力平衡。）

中级

阻力是什么及它取决于什么

阻力是流体作用于在其中运动的物体上的力。它的方向与物体相对于流体的速度相反：一名骑车人以 10 m/s 的速度迎着 5 m/s 的逆风骑行，他遇到的空气速度为 15 m/s。

对于球、汽车和跳伞者，阻力遵循二次方定律
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
其中 $\rho$ 为流体密度（近地面空气为 1.2 kg/m³），$A$ 为迎流的正面面积，$v$ 为速度。阻力系数 $C_d$ 是一个纯数，由形状决定：水滴形约为 0.05，现代汽车约为 0.3，球体为 0.47，圆形降落伞为 1.5。

为什么是平方？每秒钟，物体会推开质量约为 $\rho Av$ 的流体，并使其获得与 $v$ 相当的速度。每秒传递给流体的动量，即作用力，约为 $\rho A{v}^2$：速度加倍，阻力变为四倍。

粘滞性与微小、缓慢的世界

粘滞性，即 $\eta$，是流体的内摩擦，即其各层相互滑动时的阻力，单位为帕·秒（Pa·s）。在 20 °C 时，空气为 $1.8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$，水为 $1.0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$，橄榄油约为 0.08 Pa·s，甘油为 1.4 Pa·s；液体温度越高，流动越容易。

微小或缓慢的物体，如尘埃、雾滴或在蜂蜜中下沉的小珠，受到的阻力则与 $v$ 成正比。对于半径为 $r$ 的球体，这就是斯托克斯定律，
$F_d=6\pi \eta rv\text{(Stokes, }\mathrm{Re}\ll 1\text{)}$
其中不出现密度：流体不是被甩开，而是逐层被剪切。

决定适用哪条定律的是雷诺数，它由流体的密度和粘滞性、物体的速度及其尺寸 $L$ 构成：
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
它比较流体的惯性与粘滞性。在约 1 以下，斯托克斯定律成立；在约 1000 以上，二次方定律成立，其中 $C_d$ 主要由形状决定。雾滴的 $\mathrm{Re}\approx 0.02$；而跳伞者（$L\approx 0.5\mathrm{m}$）约为 200 万。

有阻力的下落：终端速度

取向下为正方向。下落物体受到向下的重力 $mg$ 与向上的阻力，因此牛顿第二定律写为
$ma=mg-F_d$
开始时 $v=0$，没有阻力，$a=g$。物体加速时，阻力增大，加速度减小，直到阻力等于重力。此后 $a=0$，物体以恒定速度下落，即终端速度。令 $\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2=mg$，得到
$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{d}A}}$

对于斯托克斯区的小球，重力减去浮力（参见《浮力与阿基米德原理》）由 $6\pi \eta rv$ 平衡，于是得到
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }\text{(Stokes sphere)}$
其中 ${\rho }_s$ 与 ${\rho }_f$ 分别为小球和流体的密度。在空气中，浮力只约为跳伞者重量的 0.1%，我们忽略不计。形状与材料相同、但尺寸为两倍的物体，在二次方阻力下的下落速度是原来的 $\sqrt{2}\approx 1.41$ 倍（$m\propto r^3$，$A\propto r^2$），这有助于小动物在跌落中存活；而在斯托克斯区，则是原来的四倍（$v_t\propto r^2$）。

例题：动画中的跳伞者

跳伞者质量 $m=80\mathrm{kg}$，腹部朝下时 $C_{d}A=0.43{\mathrm{m}}^2$，空气密度 $\rho =1.2kg/{\mathrm{m}}^3$。重力为 $mg=80\cdot 9.81=785\mathrm{N}$，即读数中的绿线，其终端速度为
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 785}{1.2\cdot 0.43}}\approx \sqrt{3040}\approx 55.2m/s$
约合 199 km/h。

由于 $mg=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2$，任一速度下的阻力为 $F_d=mg(v/v_t{)}^2$。当 $v$ 读数显示 30 m/s，即 $t\approx 3.4\mathrm{s}$ 时，$F_d=\frac{1}{2}\cdot 1.2\cdot 0.43\cdot 30^2\approx 232\mathrm{N}$，$a=(785-232)/80\approx 6.9m/{\mathrm{s}}^2$。接近过程很慢：在 13 s 伞衣打开时，读数显示 $v\approx 54.1m/s$，$F_d\approx 755\mathrm{N}$，$a\approx 0.4m/{\mathrm{s}}^2$。$t$ 读数计的是真实秒数；动画以两倍速播放。

伞衣的 $C_{d}A=52.5{\mathrm{m}}^2$，是原来的 122 倍，因此 $v_t$ 减小为原来的 $\sqrt{122}\approx 11$ 分之一，即 $55.2/11.05\approx 5.0m/s$（18 km/h），与公式中降落伞的数值一致。伞衣充气时，阻力在 $t\approx 14\mathrm{s}$ 时达到峰值，约 3340 N，为重力的 4.3 倍；$a$ 读数降至约 $-32m/{\mathrm{s}}^2$，即减速度为 3.3 g。约 19 s 时，读数稳定在 $v=5.0m/s$，$F_d=785\mathrm{N}$，$a=0$。

例题：雾滴与雨滴

为什么云会漂浮而雨会下落？半径 $r=10\mu \mathrm{m}$ 的雾滴在空气（$\eta =1.8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$）中下落，其中 ${\rho }_s=1000kg/{\mathrm{m}}^3$，${\rho }_f=1.2kg/{\mathrm{m}}^3$。斯托克斯公式给出
$v_t=\frac{2\cdot (10^{-5}{)}^2\cdot 998.8\cdot 9.81}{9\cdot 1.8\times 10^{-5}}\approx 0.012m/s$
即仅 1.2 cm/s。检验适用范围：$\mathrm{Re}=1.2\cdot 0.012\cdot 2\times 10^{-5}/(1.8\times 10^{-5})\approx 0.016$，远小于 1，因此斯托克斯定律是正确的选择。几厘米每秒的上升气流即可让此类雾滴悬浮于空中。

半径为 1 mm 的雨滴，半径是雾滴的 100 倍。斯托克斯定律会给出 $10^4$ 倍的终端速度，即 121 m/s，而此时雷诺数约为 16 000，远超其适用范围。改用二次方定律，取 $C_d\approx 0.5$，$m={\rho }_s\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4.19\times 10^{-6}\mathrm{kg}$，$A=\pi r^2=3.14\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$：
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 4.19\times 10^{-6}\cdot 9.81}{1.2\cdot 0.5\cdot 3.14\times 10^{-6}}}\approx 6.6m/s$
与直径 2 mm 的雨滴实测的 6.5 m/s 接近，此时 $\mathrm{Re}\approx 900$。应先判断流动区域，再选择定律。

读懂受力箭头

两个箭头使用同一比例尺（每牛顿对应的像素数）。绿色 $mg$ 箭头始终不变；红色 $F_d$ 箭头讲述了四个阶段的故事。

• 加速：红色箭头比绿色短，合力向下，$a$ 从 $g$ 逐渐减小至零。
• 终端速度：两箭头等长，合力为零，速度稳定在 55 m/s 左右。
• 打开：红色箭头约为绿色的 4.3 倍，合力向上，$a$ 变为负值，此时跳伞者仍在下落。
• 再次平衡：红色箭头恢复为绿色的长度，速度为 5.0 m/s，灰色气流线几乎缓慢地掠过。

常见误区

• 受力平衡不等于静止：在终端速度时合力为零，但跳伞者仍以 55 m/s 下落。
• 打开的降落伞并不会把跳伞者向上拉，无论某些由跟拍摄像员拍摄的视频怎样暗示：速度仍然向下，从 54 m/s 降到 5 m/s，而加速度向上，峰值约为 $-32m/{\mathrm{s}}^2$。
• 日常阻力并不与速度成正比：在终端速度一半即 27.6 m/s 时，跳伞者所受阻力为重力的四分之一，即 196 N，而不是一半。
• 较重的物体在空气中确实下落得更快，但只按 $\sqrt{m}$ 增加：同样 $C_{d}A$ 下增加 40 kg 装备，会使 $v_t$ 增大为 $\sqrt{1.5}\approx 1.22$ 倍，达到 67.5 m/s。
• 粘滞性不等于密度：橄榄油会浮在水面上，但其粘滞性约为水的 80 倍。

它出现在哪里

阻力决定了每种交通工具的能耗。以恒定速度穿过静止空气所需的功率为
$P=F_{d}v=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^3$
对于 $C_{d}A=0.66{\mathrm{m}}^2$ 的汽车，以 90 km/h（25 m/s）行驶时，此功率为 $\frac{1}{2}\cdot 1.2\cdot 0.66\cdot 25^3\approx 6.2\mathrm{kW}$；以 130 km/h 行驶时为 18.6 kW，是前者的三倍，而且每公里耗能约为原来的两倍。

骑车人会弯腰以减小 $C_{d}A$，高尔夫球的凹坑能降低阻力，降落伞则利用了阻力；离心机则加快血细胞缓慢的斯托克斯沉降。《伯努利原理》解释了阻力定律背后的压强 $\frac{1}{2}\rho v^2$，《阻尼与共振》研究使振荡衰减的阻力，《功、能与功率》则追踪能量的去向。

高级

粘滞性：在各层之间流动的动量

粘滞性是流体抵抗其各层相互滑动的性质。本课中的每一个阻力都直接或间接地源于它，因此我们从测量它的最简单流动开始。

图例

$d$	两板之间间隙的宽度。	$\mathrm{m}$
$A$	上板的面积。	${\mathrm{m}}^2$
$F$	使上板以恒定速度移动的力。	$\mathrm{N}$
$v_0$	上板的速度；下板静止。	$m/s$
$v(y)$	距下板高度 $y$ 处流体的速度：底部为零，顶部为 $v_0$。	$m/s$
$\eta$	流体的粘滞系数：单位速度梯度所需的应力。	$\mathrm{Pa}\mathrm{s}$

图 1 展示了这种流动。一种流体充满两块大平行板之间宽度为 $d$ 的间隙。下板保持静止。上板面积为 $A$，受力 $F$ 拉动，以恒定速度 $v_0$ 滑动。每个蓝色箭头给出距下板高度 $y$ 处的流体速度 $v(y)$。

两个事实决定了箭头的长度。第一，与固体表面接触的流体随表面一起运动，这就是无滑移条件，它对所有普通流体都成立。因此底部箭头长度为零，顶部箭头长度为 $v_0$。第二，相邻各层之间施加的力（单位面积上）与速度随高度的变化率成正比，即 $\eta dv/dy$。这正是粘滞系数 $\eta$ 的定义。在稳定流动中，没有哪一层在加速，因此上方较快层施加的拉力必须与下方较慢层施加的阻力平衡：应力，连同 $dv/dy$，在每个高度都相同。

这就是箭头以相等步长增长、穿过箭头尖端的虚线为直线的原因。速度在间隙 $d$ 内增加了 $v_0$，因此处处 $dv/dy=v_0/d$，平板单位面积所需的力为
$\frac{F}{A}=\eta \frac{v_0}{d}$
平板速度加倍，或间隙减半，力都会加倍。由于 $F/A$ 是应力，$\eta$ 的单位为 Pa·s。

同一规律可以更深入地解读为动量的流动。每一层都把它下方较慢的层向前拉，同时也被它往回拉。因此沿流动方向的动量从快的流体传向慢的流体，传递速率由 $\eta$ 决定。在图 1 中，动量从运动的平板进入，穿过每一层向下传递，并从静止的平板离开；$F$ 就是上板每秒输入动量的速率。

这一图景解释了粘滞性如何依赖于流体的状态。在气体中，动量由分子在各层之间跳跃来携带：从较快层飞来的分子把额外的前进动量带入较慢的层。动理论给出 $\eta \approx \frac{1}{3}\rho \bar{v}\lambda$。其中 $\rho$ 为气体密度，$\bar{v}$ 为分子的平均速率，$\lambda$ 为平均自由程，即分子两次碰撞之间的平均路程。由于 $\lambda \propto 1/\rho$，乘积 $\rho \lambda$ 在气体被压缩时保持不变，因此气体的粘滞性与压强无关。它随温度升高而增大，因为 $\bar{v}$ 增大。液体的行为则相反：分子被邻近分子束缚，受热有助于它们挣脱，粘滞性随加热急剧下降。水在 0 °C 时为 1.79 mPa·s，而在 100 °C 时仅为 0.28 mPa·s。

粘滞力也完成了流体的运动方程。对于理想流体，单位体积的牛顿第二定律就是欧拉方程：密度乘以加速度，等于压力 $-\nabla p$ 加上重力 $\rho \vec{g}$，其中 $p$ 为压强。在不可压缩流体中，单位体积的净粘滞力为 $\eta {\nabla }^2\vec{v}$。拉普拉斯算子 ${\nabla }^2$ 衡量某点的速度与其周围平均值之差，因此这个力把每个流体微团拉向其邻近流体的运动。加上它，就得到纳维–斯托克斯方程：
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}+\eta {\nabla }^2\vec{v}$
括号内是流体微团的加速度：固定点处速度的变化，加上由于移动到流动不同的位置而产生的变化。该方程用图 1 中的无滑移条件求解：在每个固体表面上，流体随表面一起运动，因此静止物体上 $\vec{v}=0$。

量纲分析与雷诺数

绕真实物体的流动过于复杂，无法由纳维–斯托克斯方程直接计算。量纲分析告诉我们，即使不求解方程，也能得出很多结论，并且它给出了划分所有流动的那个数。

对于给定形状的物体，阻力 $F$ 只能取决于物体的尺寸 $L$、它在流体中的速度 $v$，以及流体的密度 $\rho$ 与粘滞系数 $\eta$。这五个量由三个单位（千克、米、秒）组成，因此只能组合出 $5-3=2$ 个独立的无量纲数。一个方便的组合是 $F/(\rho v^2{L}^2)$ 与雷诺数
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
物理定律不能依赖于单位的选择，因此它必须是这两个数之间的关系：前者是后者的函数。把 $L^2$ 换成物体的迎流面积 $A$，并加上习惯上的因子 $\frac{1}{2}$，就得到阻力定律
$F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d(\mathrm{Re})$
阻力系数 $C_d$ 是一个纯数。所有困难的物理现在都隐藏在一个单变量函数之中，对每种形状只需测量一次。

从物理上看，$\mathrm{Re}$ 比较的是惯性与粘滞性。速度在约 $L$ 的距离内变化约 $v$，因此惯性项 $\rho (\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$ 约为 $\rho v^2/L$，而粘滞项 $\eta {\nabla }^2\vec{v}$ 约为 $\eta v/L^2$。二者之比即为 $\mathrm{Re}$。在大 $\mathrm{Re}$ 时惯性占主导；在小 $\mathrm{Re}$ 时粘滞性占主导。

由此可知，在相同 $\mathrm{Re}$ 下绕几何相似物体的流动互为放大或缩小的版本，这使模型试验得以成立。以运动粘滞系数 $\nu =\eta /\rho$ 表示，雷诺数为 $\mathrm{Re}=vL/\nu$；水的 $\nu$ 为 $1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$，空气为 $1.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$。1 : 10 的汽车模型尺寸为真车的十分之一，因此在水中，当其速度为真车速度的 $10{\nu }_{\mathrm{water}}/{\nu }_{\mathrm{air}}\approx 0.67$ 倍时，它与空气中的真车流动相匹配。自然界中 $\mathrm{Re}$ 的范围非常广：游动细菌约为 $10^{-4}$，雾滴为 0.016，雨滴为 900，跳伞者为 $2\times 10^6$。

斯托克斯流动与阻力曲线

函数 $C_d(\mathrm{Re})$ 已对许多形状测得。球体是标准例子，其曲线显示了阻力的两种截然不同的流动区间。

图例

$C_d$	阻力系数，由 $F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d$ 定义。
$Re$	流动的雷诺数，即 $\rho vL/\eta$，其中 $L$ 为球体直径。
$R{e}_c$	阻力危机的雷诺数，约为 $3\times 10^5$。

图 2 以球体直径为基准，绘制了光滑球体的阻力系数 $C_d$ 随雷诺数 $\mathrm{Re}$ 的变化。两个坐标轴均为对数坐标：每十倍的距离相同，因此幂律 $C_d\propto {\mathrm{Re}}^n$ 表现为斜率为 $n$ 的直线。虚线为 $C_d=24/\mathrm{Re}$，斜率为 $-1$。

沿测得的曲线从左向右看。在 $\mathrm{Re}\ll 1$ 时，它与虚线重合。在 $\mathrm{Re}\approx 1$ 附近，它向上弯离虚线；在 $\mathrm{Re}\approx 10^3$ 与 $2\times 10^5$ 之间，它趋于平台，数值为 0.4 到 0.5。在 ${\mathrm{Re}}_c\approx 3\times 10^5$ 处，它骤降到约 0.1：这就是阻力危机。之后曲线部分回升，在 $\mathrm{Re}\approx 10^7$ 时约为 0.2。平台与骤降源于尾流的形状，将在下一节讨论。

直线部分是斯托克斯流动。在 $\mathrm{Re}\ll 1$ 时惯性项可以忽略，因此密度 $\rho$ 不再出现在问题中。那么，半径为 $r$ 的球体所受阻力只能取决于 $\eta$、$v$ 和 $r$，而这些量中与力的单位相符的唯一组合是 $\eta rv$。求解慢流方程即可确定数值因子：
$F_d=6\pi \eta rv$
除以 $\frac{1}{2}\rho v^2\pi r^2$，得 $C_d=12\eta /(\rho vr)=24\eta /(\rho v\cdot 2r)=24/\mathrm{Re}$，即虚线。

小球在液体中下沉时，当此阻力与其重力减去浮力 $\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_s-{\rho }_f)g$ 相等时，达到终端速度，其中 ${\rho }_s$ 为小球密度，${\rho }_f$ 为流体密度。令二者相等，得到
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }$
与 $r^2$ 成正比：直径加倍的球，下沉速度变为四倍。测量下沉小球的速度并求解 $\eta$，是测定油类粘滞系数的标准方法。

分离、尾流与阻力危机

为什么 $C_d$ 不再下降而趋于平稳，又为什么在 ${\mathrm{Re}}_c$ 附近会突然下降？答案在于物体表面附近的一层薄流体。

图例

$v$	上游远处气流的速度。	$m/s$
$r$	球体的半径。	$\mathrm{m}$
$\delta$	边界层的厚度，速度在此从表面的零增加到气流速度。画得比实际厚得多。	$\mathrm{m}$
$S_1$	层流边界层分离的点，距前端约 80°。
$S_2$	湍流边界层分离的点，位置更靠后，距前端约 120°。
$w_1$	层流边界层时球体后方尾流的宽度。	$\mathrm{m}$
$w_2$	湍流边界层时尾流的宽度。	$\mathrm{m}$

图 3 展示了半径为 $r$ 的球体在速度为 $v$ 的气流中的绕流。在表面，流体静止（无滑移）。流体速度从零增加到气流速度的薄层称为边界层，厚度为 $\delta$；图中画得比实际厚得多。在球体前半部分，压强下降，推动边界层沿表面流动。在最宽处之后，压强重新升高，而靠近壁面的慢速流体没有足够的动量逆着压强运动。

在上图中，边界层是层流，即平滑、有序的。它过早失去动量，在距前端约 80° 处的 $S_1$ 点分离：它沿切线方向离开表面，成为自由剪切层。其后形成一个宽阔的尾流，充满缓慢、旋转、低压的流体，宽度为 $w_1$。在下图中，边界层是湍流。其涡旋不断把外部的快速流体卷向壁面，因此它更长时间地贴附在表面上，并在更靠后的 $S_2$ 点（距前端约 120°）才分离。尾流宽度为 $w_2$，明显更窄。

现在把这与图 2 联系起来。在 $\mathrm{Re}\approx 10^3$ 以上，流动属于上图那种：它无法跟随物体的后部。前部几乎承受全部滞止压强 $\frac{1}{2}\rho v^2$，而身后宽阔的尾流处于低压。这种压差即压差阻力，它不依赖于 $\eta$，因此 $C_d$ 趋于平稳：这就是平台。在 ${\mathrm{Re}}_c$ 附近，边界层在分离之前就变为湍流。流动转为下图那种，尾流变窄，身后压强部分恢复，$C_d$ 降至约 0.1：这就是阻力危机。

高尔夫球的凹坑使边界层更早变为湍流，从而在 $\mathrm{Re}\approx 5\times 10^4$ 时引发危机。一次开球覆盖的范围是 $\mathrm{Re}\approx 10^5$ 到 $2\times 10^5$，因此整个飞行过程中，凹坑约使阻力减半。具有锐利边缘的物体，如平板、张开四肢的跳伞者或伞衣，表现则不同：在任何高 $\mathrm{Re}$ 下，流动都在其边缘处分离，因此 $C_d$ 几乎保持不变。这就是为什么动画可以为跳跃的每个阶段使用一个 $C_{d}A$ 值。$v^2$ 定律概括的是有限 $\mathrm{Re}$ 范围内的复杂流动；它不像 $F=ma$ 那样是自然界的普适定律。

边界层还解开了一个古老的谜题。理想流体（$\eta =0$）稳定地流过物体时，在其后方完全闭合，且不产生任何阻力：这就是 1752 年的达朗贝尔佯谬。人们可能以为，真实流动在 $\eta \to 0$ 时会趋近于此，但事实并非如此。在纳维–斯托克斯方程中，$\eta$ 与最高阶导数项相乘。去掉该项会降低方程的阶数，剩下的方程无法满足无滑移条件。无论 $\eta$ 多小，速度的变化都会集中在一个边界层中，即图 3 中的 $\delta$，那里梯度足够陡，粘滞性开始起作用。其厚度仅以 $L/\sqrt{\mathrm{Re}}$ 的规律缩小；对于跳伞者而言，它只有不到一毫米。边界层仍然会分离，尾流依然存在，阻力保持有限。零粘滞性是一个奇异极限，正如普朗特 1904 年的边界层理论所示。

积分求解下落：双曲正切

动画中的跳伞者（质量 80 kg，腹部朝下）在雷诺数接近 $2\times 10^6$ 时下落，此时 $C_d$ 为常数，阻力随 $v^2$ 增长。本节精确求解其运动。

记 $k=\frac{1}{2}\rho C_{d}A$，使阻力为 $k{v}^2$，并取向下为正。重力 $mg$ 向下，阻力向上，因此牛顿第二定律为 $mdv/dt=mg-k{v}^2$。当两个力平衡时，跳伞者停止加速，此时速度即终端速度 $v_t$，其中 $v_t^2=mg/k$。除以 $m$ 并利用该定义，得 $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$。现在可以将速度与时间分置等式两侧，从跳下时（$t=0$，$v=0$）积分：
${\int }_0^v\frac{du}{1-u^2/v_t^2}=v_t\mathrm{artanh}(v/v_t)=gt$
解出 $v$，得
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
由于 $\tanh$ 的积分为 $\ln \cosh$，再积分一次即得下落距离 $x(t)=(v_t^2/g)\ln \cosh (gt/v_t)$。

自然的时间尺度为 $\tau =v_t/g$，即自由落体达到 $v_t$ 所需的时间。对于动画中的跳伞者，取 $v_t=55.2m/s$，则 $\tau =5.6\mathrm{s}$。当 $t\ll \tau$ 时，$\tanh s\approx s$，因此 $v\approx gt$：最初几秒几乎是自由落体。当 $t\gg \tau$ 时，$\tanh s\approx 1-2e^{-2s}$，$\ln \cosh s\approx s-\ln 2$，于是
$v\approx v_t(1-2e^{-2t/\tau }),x\approx v_{t}t-(v_t^2/g)\ln 2$
跳伞者最终会固定地落后于一个假想的同伴 215 m，该同伴从一开始就以 $v_t$ 下落。

比较线性阻力 $mdv/dt=mg-bv$，它给出 $v=v_t(1-e^{-t/\tau })$，其中同样 $\tau =v_t/g$，此处也等于 $m/b$。起始相同，斜率为 $g$，但最终接近更慢：与 $v_t$ 的差距以 $1/\tau$ 的速率缩小，而非 $2/\tau$。在终端速度时速度不再增加，然而重力仍以 $mg{v}_t=785\cdot 55.2\approx 43\mathrm{kW}$ 的速率做功。所有能量都用于搅动空气，其涡旋最终转化为热。

读图：接近与开伞冲击

公式在动画的图表中变得具体。图上的斜率与面积显示跳伞者加速和减速的快慢、下落的距离以及伞衣拉力的大小。

图例

$v$	跳伞者的速度。	$m/s$
$t$	自跳下后经过的时间。	$\mathrm{s}$
$v_t$	腹部朝下跳伞者的终端速度，55.2 m/s。	$m/s$
$v_t^{\prime }$	开伞后伞下的终端速度，5.0 m/s。	$m/s$
$gt$	自由落体能达到的速度：$v(t)$ 在 $t=0$ 处的切线，斜率为 $g$。	$m/s$
$\tau$	时间尺度 $v_t/g=5.6\mathrm{s}$：切线 $gt$ 与 $v_t$ 线相交于 $t=\tau$ 处。	$\mathrm{s}$
$t_1$	伞衣开始打开的时刻，跳下后 13 s。	$\mathrm{s}$
$x$	在 $t_1$ 之前的下落距离：$v(t)$ 下方的阴影面积。	$\mathrm{m}$

图 4 是动画专家视图中的速度图，由同一模型绘制。蓝色曲线为跳伞者的速度 $v(t)$。它沿绿色切线 $gt$（斜率为 $g$）离开原点，该切线在 $t=\tau =5.6\mathrm{s}$ 处与上方虚线 $v_t$ 相交，即第一条虚线竖线。看那里的下方圆点：曲线只达到 $v_t$ 的 $\tanh 1\approx 0.76$，即 42 m/s，因为阻力一直在增长。经过 $2\tau$ 后达到 $v_t$ 的 96%；到 $t_1=13\mathrm{s}$（第二条虚线竖线，伞衣开始打开）时为 54.1 m/s。动画还绘制了第二条曲线，此处未显示：红色的阻力 $F_d(t)=mg{\tanh }^2(gt/v_t)$。它起初平缓，因为阻力按 $v^2$ 增长，然后缓缓向虚线 $mg$ 靠近。

在 $t_1$ 时，伞衣直径开始稳定增长，持续 4 s。其面积随直径的平方增长，因此额外的 $C_{d}A$ 随开伞后时间的平方增长。起初 $C_{d}A$ 增长得比 $v^2$ 下降得快，因此阻力急剧上升，在 $t\approx 14.0\mathrm{s}$、$v\approx 37m/s$ 时达到约 3340 N 的峰值，即 $4.3mg$。这就是开伞冲击。在图 4 中，$t_1$ 之后蓝色曲线陡然下折，落到下方虚线 $v_t^{\prime }=5.0m/s$ 上，约 18 s 时到达。接近之所以迅速，是因为新的时间尺度仅为 $v_t^{\prime }/g=0.51\mathrm{s}$。

面积也具有意义。$v(t)$ 下方的面积即损失的高度：开伞前为 505 m（图 4 中阴影面积 $x$），充气期间为 92 m，之后以最终速度到 22 s 再下降 25 m，总计 622 m。在阻力图上，牛顿第二定律 $mdv/dt=mg-F_d$ 表明，开伞后 $F_d(t)$ 与 $mg$ 线之间的净面积即被移除的动量：$m\Delta v=80\cdot (54.1-5.0)\approx 3930\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$。

例题：瞬间张开的伞衣

为什么伞衣必须逐渐打开？设想完整的伞衣（$C_{d}A=52.5{\mathrm{m}}^2$）在 13 s、速度为 $v_0=54.1m/s$ 时瞬间出现。对于此 $C_{d}A$，终端速度为 $v_t^{\prime }=4.99m/s$，即在 $v_t^{\prime }$ 时阻力等于 $mg$。阻力按 $v^2$ 增长，因此在 $v_0$ 时它将跃升至
$F_d=mg{\left(\frac{v_0}{v_t^{\prime }}\right)}^2=785\cdot {\left(\frac{54.1}{4.99}\right)}^2\approx 9.2\times 10^4\mathrm{N}$
为重力的 117 倍。减去重力后，净力为重力的 116 倍，减速度约为 116 g。

速度会下降得多快？此时 $v>v_t^{\prime }$，阻力大于重力，同样的方程 $dv/dt=-g\left(v^2/(v_t^{\prime }{)}^2-1\right)$ 使速度下降。在终端速度以上，其解以 $\coth$ 代替 $\tanh$。以开伞时刻为起点计算 $t$，
$v(t)=v_t^{\prime }\coth \left(\frac{gt}{v_t^{\prime }}+u_0\right),\coth u_0=\frac{v_0}{v_t^{\prime }}$
此处 $\coth u_0=10.8$，因此 $u_0=0.093$。当括号内达到 $\mathrm{arcoth}2=0.549$ 时，速度降至 $2v_t^{\prime }\approx 10m/s$。由于 $v_t^{\prime }/g=0.509\mathrm{s}$，这需要 $(0.549-0.093)\cdot 0.509\approx 0.23\mathrm{s}$。$\coth$ 的积分为 $\ln \sinh$，因此所经过的距离为 $((v_t^{\prime }{)}^2/g)\ln (\sinh 0.549/\sinh 0.093)\approx 2.54\cdot 1.83\approx 4.6\mathrm{m}$。

能量守恒给出平均力。在 54.1 到 10 m/s 之间，跳伞者损失动能 $\frac{1}{2}\cdot 80\cdot (54.1^2-10^2)\approx 113\mathrm{kJ}$。阻力必须在 4.6 m 内吸收这些能量，再加上途中释放的 3.6 kJ 势能：平均力为重力的 32 倍。动画中的伞衣将开伞过程分散到 4 s 与 92 m 内。在那里，阻力吸收了损失的 116 kJ 动能以及 72 kJ 势能，平均为 $2.6mg$，峰值为 $4.3mg$。实际的降落伞正是为此而使用滑动环或收束绳来减缓开伞。

适用范围的限制

该模型假定每个阶段中 $C_{d}A$ 固定，且整个过程中空气密度 $\rho$ 固定。两者都只是近似。头朝下时，跳伞者的 $C_{d}A$ 大约减半；由于 $v_t\propto 1/\sqrt{C_{d}A}$，终端速度增大为 $\sqrt{2}$ 倍，约为 78 m/s。由于 $v_t\propto 1/\sqrt{\rho }$，它也随高度变化：在 4000 m 处，空气密度约为 0.82 kg/m³ 而非 1.2 kg/m³，腹部朝下的跳伞者下落速度为 $55.2\cdot \sqrt{1.2/0.82}\approx 67m/s$。终端速度是一个移动的目标。

只有当马赫数（即 $v$ 与声速之比）保持在约 0.3 以下时，空气才可近似视为不可压缩；此时跳伞者的马赫数为 0.16。在 39 km 处，空气约稀薄 250 倍，因此理论上 $v_t$ 约高 16 倍。从那里的纪录跳伞已超过声速，此时激波会使 $C_d$ 增大。

斯托克斯定律要求 $\mathrm{Re}$ 远小于 1：其第一修正因子 $1+3\mathrm{Re}/16$ 在 $\mathrm{Re}=0.5$ 时已增加约 10%。在尺寸的另一端，小于约 0.1 μm 的颗粒与空气分子 68 nm 的平均自由程相当。此时空气不再表现为连续流体：它会在颗粒表面滑移，布朗运动使颗粒的移动超过沉降。最后，该模型忽略非定常流动，因此动画中 $C_{d}A$ 的平滑增长只是对真实剧烈开伞冲击的近似。

延伸方向

《伯努利原理》描述边界层之外的理想流动，并解释了为何阻力以 $\frac{1}{2}\rho v^2$ 为单位来度量。在《阻尼与共振》中，线性阻力 $-bv$ 成为振子的阻尼项。《气体分子动理论》从分子碰撞推导出气体的粘滞性。《电流与电阻》与斯托克斯沉降结构相同：电子以一种终端速度漂移，此时碰撞与电场力平衡，因此电流与电场成正比。《热传导、对流与热辐射》利用边界层解释风如何带走热量，而加入阻力后，《抛体运动》的轨迹会变得更短且不对称。