Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit

Einsteiger

Lass uns Schritt für Schritt herausfinden, was Luftwiderstand bewirkt.

Schritt 1: Flüssigkeiten drücken zurück. Halte deine Hand aus dem Fenster eines fahrenden Autos, und die Luft schiebt sie nach hinten. Luft, Wasser und jede andere Flüssigkeit drücken gegen alles, das sich durch sie bewegt. Diese Gegenkraft heißt Widerstand oder Luftwiderstand. Sie wächst schnell mit der Geschwindigkeit (doppelt so schnell bedeutet etwa die vierfache Kraft) und mit der Fläche, die der Strömung zugewandt ist.

Schritt 2: Ein fallender Körper wird nicht mehr schneller. Beobachte den Springer. Kurz nach dem Absprung ist die Geschwindigkeit gering, also ist der Luftwiderstand (roter Pfeil, nach oben) klein, und das Gewicht (grüner Pfeil, nach unten) setzt sich durch: Der Springer wird schneller, und die blaue Geschwindigkeitsanzeige steigt. Aber mehr Geschwindigkeit bedeutet mehr Luftwiderstand. Nach etwa zehn Sekunden ist der rote Pfeil so lang wie der grüne. Die Kräfte heben sich auf, also ändert sich die Geschwindigkeit nicht mehr: Der Springer fällt gleichmäßig mit etwa 200 km/h, der Endgeschwindigkeit.

Schritt 3: Der Fallschirm. Die offene Kappe hat eine riesige Fläche, daher wird der Luftwiderstand plötzlich viel größer als das Gewicht, und der Springer wird langsamer. Sobald die Geschwindigkeit sinkt, sinkt auch die Gegenkraft, bis sie das Gewicht wieder ausgleicht, bei sanften 18 km/h.

Schritt 4: Form und Viskosität. Eine glatte, spitze Form lässt die Flüssigkeit sich hinter ihr schließen, sodass sie wenig Widerstand spürt: denk an Fische und Rennradfahrer. Dicke Flüssigkeiten wie Honig widerstehen selbst langsamer Bewegung; diese innere Klebrigkeit heißt Viskosität.

Prüf dich selbst: Ein Regentropfen fällt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Ist der Luftwiderstand auf ihn kleiner, gleich oder größer als sein Gewicht? (Antwort: gleich. Gleichbleibende Geschwindigkeit bedeutet, dass sich die Kräfte aufheben.)

Mittelstufe

Was Widerstand ist und wovon er abhängt

Widerstand ist die Kraft, die eine Flüssigkeit auf einen Körper ausübt, der sich durch sie bewegt. Sie wirkt entgegen der Geschwindigkeit des Körpers relativ zur Flüssigkeit: Ein Radfahrer, der mit 10 m/s in einen 5 m/s starken Gegenwind fährt, trifft die Luft mit 15 m/s.

Für Bälle, Autos und Springer folgt der Widerstand dem quadratischen Gesetz
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
Dabei ist $\rho$ die Dichte der Flüssigkeit (1,2 kg/m³ für Luft in Bodennähe), $A$ die der Strömung zugewandte Stirnfläche und $v$ die Geschwindigkeit. Der Widerstandsbeiwert $C_d$ ist eine reine Zahl, die durch die Form bestimmt wird: etwa 0,05 für einen Tropfen, 0,3 für ein modernes Auto, 0,47 für eine Kugel und 1,5 für einen runden Fallschirm.

Warum das Quadrat? Pro Sekunde schiebt der Körper eine Flüssigkeitsmasse von etwa $\rho Av$ zur Seite und versetzt sie in eine Geschwindigkeit, die mit $v$ vergleichbar ist. Der pro Sekunde übertragene Impuls, also die Kraft, ist dann etwa $\rho A{v}^2$: doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Widerstand.

Viskosität und die Welt des Kleinen und Langsamen

Viskosität, $\eta$, ist die innere Reibung einer Flüssigkeit, der Widerstand ihrer Schichten gegen das Aneinander-Vorbeigleiten, gemessen in Pascalsekunden (Pa·s). Bei 20 °C hat Luft $1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, Wasser $1,0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, Olivenöl etwa 0,08 Pa·s und Glycerin 1,4 Pa·s; warme Flüssigkeiten sind dünnflüssiger.

Winzige oder langsame Objekte wie Staub, Nebeltröpfchen oder eine Perle, die in Honig sinkt, spüren stattdessen einen Widerstand, der proportional zu $v$ ist. Für eine Kugel mit dem Radius $r$ gilt das Stokes-Gesetz,
$F_d=6\pi \eta rv\text{(Stokes, }\mathrm{Re}\ll 1\text{)}$
Die Dichte taucht nicht auf: Die Flüssigkeit wird nicht zur Seite geschleudert, sondern geschert, Schicht gegen Schicht.

Welches Gesetz gilt, entscheidet die Reynoldszahl, gebildet aus Dichte und Viskosität der Flüssigkeit, der Geschwindigkeit und der Größe $L$ des Körpers:
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Sie vergleicht die Trägheit der Flüssigkeit mit ihrer Viskosität. Unter etwa 1 gilt das Stokes-Gesetz, über etwa 1000 das quadratische Gesetz, mit einem $C_d$, das vor allem von der Form abhängt. Ein Nebeltröpfchen hat $\mathrm{Re}\approx 0,02$; der Springer, mit $L\approx 0,5\mathrm{m}$, etwa 2 Millionen.

Fallen mit Widerstand: Endgeschwindigkeit

Wir wählen „nach unten“ als positive Richtung. Ein fallender Körper spürt sein Gewicht $mg$ nach unten und den Widerstand nach oben, also lautet Newtons zweites Gesetz
$ma=mg-F_d$
Am Anfang ist $v=0$, es gibt keinen Widerstand, und $a=g$. Während der Körper schneller wird, wächst der Widerstand und die Beschleunigung wird kleiner, bis der Widerstand gleich dem Gewicht ist. Von da an ist $a=0$, und der Körper fällt mit konstanter Geschwindigkeit, der Endgeschwindigkeit. Mit $\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2=mg$ folgt
$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{d}A}}$

Für eine kleine Kugel im Stokes-Bereich wird das um den Auftrieb verminderte Gewicht (siehe Auftrieb und archimedisches Prinzip) durch $6\pi \eta rv$ ausgeglichen, was
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }\text{(Stokes sphere)}$
ergibt, wobei ${\rho }_s$ und ${\rho }_f$ die Dichten von Kugel und Flüssigkeit sind. In Luft beträgt der Auftrieb nur etwa 0,1 % des Gewichts eines Springers, und wir vernachlässigen ihn. Ein Körper gleicher Form und gleichen Materials, aber doppelt so groß, fällt mit quadratischem Widerstand $\sqrt{2}\approx 1,41$-mal so schnell ($m\propto r^3$, $A\propto r^2$), was kleinen Tieren hilft, Stürze zu überleben, im Stokes-Bereich aber viermal so schnell ($v_t\propto r^2$).

Gerechnetes Beispiel: der Springer aus der Animation

Der Springer hat $m=80\mathrm{kg}$ und bäuchlings $C_{d}A=0,43{\mathrm{m}}^2$, in Luft mit $\rho =1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. Das Gewicht ist $mg=80\cdot 9,81=785\mathrm{N}$, die grüne Linie unter den Anzeigen, und die Endgeschwindigkeit ist
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 785}{1,2\cdot 0,43}}\approx \sqrt{3040}\approx 55,2m/s$
etwa 199 km/h.

Da $mg=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}_t^2$ gilt, ist der Widerstand bei jeder Geschwindigkeit $F_d=mg(v/v_t{)}^2$. Wenn die Anzeige $v$ 30 m/s zeigt, bei $t\approx 3,4\mathrm{s}$, ist $F_d=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,43\cdot 30^2\approx 232\mathrm{N}$ und $a=(785-232)/80\approx 6,9m/{\mathrm{s}}^2$. Die Annäherung ist langsam: Bei 13 s, wenn sich der Schirm öffnet, zeigen die Anzeigen $v\approx 54,1m/s$, $F_d\approx 755\mathrm{N}$ und $a\approx 0,4m/{\mathrm{s}}^2$. Die Anzeige $t$ zählt echte Sekunden; die Animation läuft mit doppelter Geschwindigkeit.

Der Schirm hat $C_{d}A=52,5{\mathrm{m}}^2$, das 122-Fache, sodass $v_t$ um den Faktor $\sqrt{122}\approx 11$ sinkt, auf $55,2/11,05\approx 5,0m/s$ (18 km/h), wie es die Schirm-Zeile unter den Formeln angibt. Während sich die Kappe füllt, erreicht der Widerstand bei $t\approx 14\mathrm{s}$ einen Höchstwert von etwa 3340 N, also dem 4,3-Fachen des Gewichts, und die Anzeige $a$ sinkt auf etwa $-32m/{\mathrm{s}}^2$, eine Verzögerung von 3,3 g. Gegen 19 s pendeln sich die Anzeigen bei $v=5,0m/s$, $F_d=785\mathrm{N}$ und $a=0$ ein.

Gerechnetes Beispiel: Nebeltröpfchen und Regentropfen

Warum schweben Wolken, während Regen fällt? Ein Nebeltröpfchen mit dem Radius $r=10\mu \mathrm{m}$ fällt durch Luft ($\eta =1,8\times 10^{-5}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$), mit ${\rho }_s=1000kg/{\mathrm{m}}^3$ und ${\rho }_f=1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. Die Stokes-Formel liefert
$v_t=\frac{2\cdot (10^{-5}{)}^2\cdot 998,8\cdot 9,81}{9\cdot 1,8\times 10^{-5}}\approx 0,012m/s$
nur 1,2 cm/s. Prüfe das Regime: $\mathrm{Re}=1,2\cdot 0,012\cdot 2\times 10^{-5}/(1,8\times 10^{-5})\approx 0,016$, weit unter 1, also war das Stokes-Gesetz die richtige Wahl. Ein Aufwind von einigen Zentimetern pro Sekunde hält solche Tröpfchen in der Luft.

Ein Regentropfen mit 1 mm Radius ist 100-mal größer. Das Stokes-Gesetz würde $10^4$-mal mehr ergeben, 121 m/s, bei einer Reynoldszahl von etwa 16 000, weit außerhalb seines Gültigkeitsbereichs. Mit dem quadratischen Gesetz hingegen gilt $C_d\approx 0,5$, $m={\rho }_s\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4,19\times 10^{-6}\mathrm{kg}$ und $A=\pi r^2=3,14\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$:
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 4,19\times 10^{-6}\cdot 9,81}{1,2\cdot 0,5\cdot 3,14\times 10^{-6}}}\approx 6,6m/s$
nahe den 6,5 m/s, die für Tropfen mit 2 mm Durchmesser gemessen wurden, bei $\mathrm{Re}\approx 900$. Erst das Regime bestimmen, dann das Gesetz wählen.

Die Kraftpfeile lesen

Die beiden Pfeile teilen sich einen Maßstab in Pixeln pro Newton. Der grüne Pfeil $mg$ ändert sich nie; der rote Pfeil $F_d$ erzählt die Geschichte in vier Phasen.

• Beschleunigen: Rot kürzer als Grün, die Nettokraft zeigt nach unten, und $a$ schrumpft von $g$ gegen null.
• Endgeschwindigkeit: Beide Pfeile gleich lang, keine Nettokraft, eine konstante Geschwindigkeit nahe 55 m/s.
• Öffnen: Rot etwa 4,3-mal so lang wie Grün, die Nettokraft zeigt nach oben, und $a$ wird negativ, während der Springer noch fällt.
• Wieder im Gleichgewicht: Rot wieder so lang wie Grün, bei 5,0 m/s, und die grauen Luftschlieren kriechen kaum vorbei.

Häufige Fehler

• Ausgeglichene Kräfte bedeuten nicht Ruhe: Bei der Endgeschwindigkeit ist die Nettokraft null, und doch fällt der Springer mit 55 m/s.
• Ein sich öffnender Fallschirm zieht den Springer nicht nach oben, egal was Videos von einem Kameramann, der noch fällt, nahelegen: Die Geschwindigkeit bleibt nach unten gerichtet und sinkt von 54 auf 5 m/s, während die Beschleunigung nach oben zeigt, im Maximum etwa $-32m/{\mathrm{s}}^2$.
• Alltäglicher Widerstand ist nicht proportional zur Geschwindigkeit: Bei der halben Endgeschwindigkeit, 27,6 m/s, ist der Widerstand auf den Springer ein Viertel des Gewichts, 196 N, nicht die Hälfte.
• Schwerere Körper fallen in Luft schneller, aber nur mit $\sqrt{m}$: 40 kg zusätzliche Ausrüstung bei gleichem $C_{d}A$ erhöhen $v_t$ um den Faktor $\sqrt{1,5}\approx 1,22$, auf 67,5 m/s.
• Viskosität ist nicht Dichte: Olivenöl schwimmt auf Wasser, ist aber etwa 80-mal zähflüssiger.

Wo dir das begegnet

Der Widerstand bestimmt die Energiekosten jedes Fahrzeugs. Wer sich gleichmäßig durch ruhige Luft bewegt, braucht die Leistung
$P=F_{d}v=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^3$
Für ein Auto mit $C_{d}A=0,66{\mathrm{m}}^2$ bei 90 km/h (25 m/s) ergibt das $\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 0,66\cdot 25^3\approx 6,2\mathrm{kW}$; bei 130 km/h sind es 18,6 kW, dreimal so viel, und jeder Kilometer kostet etwa die doppelte Energie.

Radfahrer ducken sich, um $C_{d}A$ zu senken, Golfbälle haben Dellen, um den Widerstand zu verringern, und Fallschirme nutzen ihn aus, während Zentrifugen das langsame Absinken der Blutzellen beschleunigen. Das Bernoulli-Prinzip erklärt den Druck $\frac{1}{2}\rho v^2$ hinter dem Widerstandsgesetz, Dämpfung und Resonanz behandelt Widerstand, der eine Schwingung bremst, und Arbeit, Energie und Leistung verfolgt, wohin die Energie geht.

Fortgeschritten

Viskosität: Impuls, der zwischen Schichten fließt

Viskosität ist der Widerstand einer Flüssigkeit dagegen, dass ihre Schichten übereinander gleiten. Jede Widerstandskraft in dieser Lektion geht direkt oder indirekt darauf zurück, deshalb beginnen wir mit der einfachsten Strömung, an der sie sich messen lässt.

Legende

$d$	Breite des Spalts zwischen den beiden Platten.	$\mathrm{m}$
$A$	Fläche der oberen Platte.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Kraft, die die obere Platte mit konstanter Geschwindigkeit zieht.	$\mathrm{N}$
$v_0$	Geschwindigkeit der oberen Platte; die untere Platte ruht.	$m/s$
$v(y)$	Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Höhe $y$ über der unteren Platte: null unten, $v_0$ oben.	$m/s$
$\eta$	Viskosität der Flüssigkeit: die Spannung, die pro Geschwindigkeitsgradient nötig ist.	$\mathrm{Pa}\mathrm{s}$

Abbildung 1 zeigt diese Strömung. Eine Flüssigkeit füllt den Spalt der Breite $d$ zwischen zwei großen, parallelen Platten. Die untere Platte wird festgehalten. Die obere Platte mit der Fläche $A$ wird von einer Kraft $F$ gezogen und gleitet mit der gleichmäßigen Geschwindigkeit $v_0$. Jeder blaue Pfeil gibt die Geschwindigkeit $v(y)$ der Flüssigkeit in der Höhe $y$ über der unteren Platte an.

Zwei Tatsachen legen die Länge der Pfeile fest. Erstens bewegt sich Flüssigkeit, die eine feste Oberfläche berührt, mit dieser Oberfläche mit. Das ist die Haftbedingung, und sie gilt für jede gewöhnliche Flüssigkeit. Der Pfeil unten hat also die Länge null, der oben die Länge $v_0$. Zweitens ziehen benachbarte Schichten einander mit einer Kraft pro Flächeneinheit, die proportional dazu ist, wie schnell sich die Geschwindigkeit mit der Höhe ändert, $\eta dv/dy$. Dadurch wird die Viskosität $\eta$ definiert. In stationärer Strömung wird keine Schicht schneller, also muss der Zug der schnelleren Schicht darüber den Widerstand der langsameren darunter ausgleichen: Die Spannung und mit ihr $dv/dy$ ist in jeder Höhe gleich.

Deshalb wachsen die Pfeile in gleichen Schritten, und die gestrichelte Linie durch ihre Spitzen ist gerade. Die Geschwindigkeit steigt über den Spalt $d$ um $v_0$, also gilt überall $dv/dy=v_0/d$, und die Kraft pro Flächeneinheit der Platte ist
$\frac{F}{A}=\eta \frac{v_0}{d}$
Doppelte Plattengeschwindigkeit oder halber Spalt verdoppelt die Kraft. Da $F/A$ eine Spannung ist, wird $\eta$ in Pa·s gemessen.

Dasselbe Gesetz liest sich tiefer als Impulsstrom. Jede Schicht zieht die langsamere Schicht darunter nach vorn und wird im Gegenzug von ihr zurückgehalten. Impuls in Strömungsrichtung wandert daher von schneller zu langsamer Flüssigkeit, mit einer Rate, die durch $\eta$ bestimmt wird. In Abbildung 1 tritt er an der bewegten Platte ein, durchquert jede Schicht nach unten und verlässt die ruhende Platte; $F$ ist die Rate in Impuls pro Sekunde, mit der die obere Platte ihn einspeist.

Dieses Bild erklärt, wie die Viskosität vom Zustand der Flüssigkeit abhängt. In einem Gas wird der Impuls von Molekülen getragen, die zwischen den Schichten hin- und herspringen: Ein Molekül aus einer schnelleren Schicht bringt zusätzlichen Vorwärtsimpuls in eine langsamere. Die kinetische Theorie liefert $\eta \approx \frac{1}{3}\rho \bar{v}\lambda$. Dabei ist $\rho$ die Gasdichte, $\bar{v}$ die mittlere Molekülgeschwindigkeit und $\lambda$ die mittlere freie Weglänge, also der mittlere Abstand, den ein Molekül zwischen zwei Stößen zurücklegt. Weil $\lambda \propto 1/\rho$ gilt, bleibt das Produkt $\rho \lambda$ beim Verdichten eines Gases gleich: Die Gasviskosität hängt nicht vom Druck ab. Sie steigt mit der Temperatur, weil $\bar{v}$ steigt. Flüssigkeiten verhalten sich umgekehrt: Ihre Moleküle werden von den Nachbarn festgehalten, Wärme hilft ihnen, sich zu lösen, und die Viskosität sinkt beim Erwärmen stark. Wasser hat bei 0 °C 1,79 mPa·s, bei 100 °C aber nur 0,28 mPa·s.

Die Viskositätskraft vervollständigt auch die Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit. Für eine ideale Flüssigkeit ist Newtons zweites Gesetz pro Volumeneinheit die Eulergleichung: Dichte mal Beschleunigung ist gleich der Druckkraft $-\nabla p$ plus dem Gewicht $\rho \vec{g}$, wobei $p$ der Druck ist. In einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die resultierende Viskositätskraft pro Volumeneinheit $\eta {\nabla }^2\vec{v}$. Der Laplace-Operator ${\nabla }^2$ misst, wie stark die Geschwindigkeit an einem Punkt vom Mittelwert ihrer Umgebung abweicht; diese Kraft zieht jedes Flüssigkeitsteilchen also zur Bewegung seiner Nachbarn hin. Mit ihr ergibt sich die Navier-Stokes-Gleichung:
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}+\eta {\nabla }^2\vec{v}$
Die Klammer ist die Beschleunigung eines Flüssigkeitsteilchens: die Geschwindigkeitsänderung an einem festen Punkt plus die Änderung, die daher rührt, dass man an einen Ort mit anderer Strömung gelangt. Gelöst wird die Gleichung mit der Haftbedingung aus Abbildung 1: An jeder festen Oberfläche bewegt sich die Flüssigkeit mit der Oberfläche, also ist $\vec{v}=0$ an einem ruhenden Körper.

Dimensionsanalyse und die Reynoldszahl

Die Strömung um einen realen Körper ist viel zu kompliziert, um sie aus der Navier-Stokes-Gleichung zu berechnen. Die Dimensionsanalyse zeigt, wie viel sich ohne Lösung sagen lässt, und liefert die eine Zahl, die jede Strömung einordnet.

Für einen Körper gegebener Form kann der Widerstand $F$ nur von seiner Größe $L$, seiner Geschwindigkeit $v$ durch die Flüssigkeit sowie der Dichte $\rho$ und der Viskosität $\eta$ der Flüssigkeit abhängen. Diese fünf Größen setzen sich aus nur drei Einheiten zusammen, dem Kilogramm, dem Meter und der Sekunde, lassen sich also zu nur $5-3=2$ unabhängigen dimensionslosen Zahlen kombinieren. Ein praktisches Paar ist $F/(\rho v^2{L}^2)$ und die Reynoldszahl
$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$
Ein physikalisches Gesetz darf nicht von der Wahl der Einheiten abhängen, es muss also eine Beziehung zwischen diesen beiden Zahlen sein: Die erste ist eine Funktion der zweiten. Ersetzt man $L^2$ durch die Frontalfläche $A$ des Körpers und fügt den üblichen Faktor $\frac{1}{2}$ hinzu, ergibt sich das Widerstandsgesetz
$F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d(\mathrm{Re})$
Der Widerstandsbeiwert $C_d$ ist eine reine Zahl. Die ganze schwierige Physik steckt nun in einer Funktion einer Variablen, die für jede Form nur einmal gemessen werden muss.

Physikalisch vergleicht $\mathrm{Re}$ Trägheit mit Viskosität. Die Geschwindigkeit ändert sich über Strecken der Größe $L$ um etwa $v$, also ist der Trägheitsterm $\rho (\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$ etwa $\rho v^2/L$ und der Viskositätsterm $\eta {\nabla }^2\vec{v}$ etwa $\eta v/L^2$. Ihr Verhältnis ist $\mathrm{Re}$. Bei großem $\mathrm{Re}$ dominiert die Trägheit, bei kleinem $\mathrm{Re}$ die Viskosität.

Daraus folgt, dass Strömungen um geometrisch ähnliche Körper bei gleichem $\mathrm{Re}$ maßstabsgetreue Kopien voneinander sind; genau das macht Modellversuche möglich. Mit der kinematischen Viskosität $\nu =\eta /\rho$ gilt $\mathrm{Re}=vL/\nu$; $\nu$ beträgt $1,0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ für Wasser und $1,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/s$ für Luft. Ein Modell im Maßstab 1 : 10 hat ein Zehntel der Länge; im Wasser stimmt es mit dem echten Auto in Luft überein, wenn seine Geschwindigkeit $10{\nu }_{\mathrm{water}}/{\nu }_{\mathrm{air}}\approx 0,67$ der Geschwindigkeit des Autos beträgt. Der Bereich von $\mathrm{Re}$ in der Natur ist riesig: etwa $10^{-4}$ für ein schwimmendes Bakterium, 0,016 für ein Nebeltröpfchen, 900 für einen Regentropfen und $2\times 10^6$ für den Fallschirmspringer.

Stokes-Strömung und die Widerstandskurve

Die Funktion $C_d(\mathrm{Re})$ wurde für viele Formen gemessen. Die Kugel ist das Standardbeispiel, und ihre Kurve zeigt die beiden sehr verschiedenen Widerstandsbereiche.

Legende

$C_d$	Widerstandsbeiwert, definiert durch $F_d=\frac{1}{2}\rho v^{2}A{C}_d$.
$Re$	Reynoldszahl der Strömung, $\rho vL/\eta$, mit $L$ dem Durchmesser der Kugel.
$R{e}_c$	Reynoldszahl der Widerstandskrise, etwa $3\times 10^5$.

Abbildung 2 trägt den Widerstandsbeiwert $C_d$ einer glatten Kugel gegen die Reynoldszahl $\mathrm{Re}$ auf, bezogen auf den Kugeldurchmesser. Beide Achsen sind logarithmisch: Jeder Faktor 10 nimmt dieselbe Strecke ein, sodass ein Potenzgesetz $C_d\propto {\mathrm{Re}}^n$ als Gerade mit der Steigung $n$ erscheint. Die gestrichelte Linie ist $C_d=24/\mathrm{Re}$, mit der Steigung $-1$.

Folgt man der gemessenen Kurve von links nach rechts: Für $\mathrm{Re}\ll 1$ verläuft sie entlang der gestrichelten Linie. Nahe $\mathrm{Re}\approx 1$ weicht sie nach oben davon ab, und zwischen $\mathrm{Re}\approx 10^3$ und $2\times 10^5$ flacht sie zu einem Plateau bei 0,4 bis 0,5 ab. Bei ${\mathrm{Re}}_c\approx 3\times 10^5$ stürzt sie auf etwa 0,1 ab: die Widerstandskrise. Danach erholt sie sich teilweise auf etwa 0,2 bei $\mathrm{Re}\approx 10^7$. Das Plateau und der Absturz entstehen aus der Form des Nachlaufs, dem Thema des nächsten Abschnitts.

Der gerade Teil ist die Stokes-Strömung. Bei $\mathrm{Re}\ll 1$ ist der Trägheitsterm vernachlässigbar, daher fällt die Dichte $\rho$ aus dem Problem heraus. Der Widerstand einer Kugel mit Radius $r$ kann dann nur von $\eta$, $v$ und $r$ abhängen, und das einzige Produkt davon mit der Einheit einer Kraft ist $\eta rv$. Die Lösung der Gleichungen für langsame Strömung liefert den Zahlenfaktor:
$F_d=6\pi \eta rv$
Dividiert man durch $\frac{1}{2}\rho v^2\pi r^2$, ergibt sich $C_d=12\eta /(\rho vr)=24\eta /(\rho v\cdot 2r)=24/\mathrm{Re}$, die gestrichelte Linie.

Eine kleine Kugel, die durch eine Flüssigkeit sinkt, erreicht ihre Endgeschwindigkeit, wenn dieser Widerstand das Gewicht minus den Auftrieb ausgleicht, $\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_s-{\rho }_f)g$. Dabei ist ${\rho }_s$ die Dichte der Kugel und ${\rho }_f$ die der Flüssigkeit. Setzt man beides gleich, folgt
$v_t=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }$
proportional zu $r^2$: Eine doppelt so breite Kugel sinkt viermal so schnell. Die Messung der Sinkzeit einer Kugel und das Auflösen nach $\eta$ ist ein Standardverfahren zur Bestimmung der Viskosität von Ölen.

Ablösung, Nachlauf und die Widerstandskrise

Warum hört $C_d$ auf zu fallen und flacht ab, und warum sinkt es plötzlich nahe ${\mathrm{Re}}_c$? Die Antwort liegt in einer dünnen Flüssigkeitsschicht direkt an der Oberfläche des Körpers.

Legende

$v$	Geschwindigkeit des Stroms weit stromauf.	$m/s$
$r$	Radius der Kugel.	$\mathrm{m}$
$\delta$	Dicke der Grenzschicht, über die die Geschwindigkeit von null an der Oberfläche auf die des Stroms steigt. Viel zu dick gezeichnet.	$\mathrm{m}$
$S_1$	Punkt, an dem sich die laminare Grenzschicht ablöst, etwa 80° von der Vorderseite entfernt.
$S_2$	Punkt, an dem sich die turbulente Grenzschicht ablöst, weiter hinten, etwa 120° von der Vorderseite entfernt.
$w_1$	Breite des Nachlaufs hinter der Kugel bei laminarer Grenzschicht.	$\mathrm{m}$
$w_2$	Breite des Nachlaufs bei turbulenter Grenzschicht.	$\mathrm{m}$

Abbildung 3 zeigt die Strömung um eine Kugel mit Radius $r$ in einem Strom der Geschwindigkeit $v$. An der Oberfläche ruht die Flüssigkeit (Haftbedingung). Die dünne Schicht, in der ihre Geschwindigkeit auf die des Stroms ansteigt, ist die Grenzschicht mit der Dicke $\delta$; sie ist viel dicker gezeichnet, als sie tatsächlich ist. Über die vordere Hälfte der Kugel fällt der Druck, was die Schicht mitzieht. Hinter der breitesten Stelle steigt der Druck wieder, und die langsame Flüssigkeit nahe der Wand hat nicht genug Impuls, um dagegen anzukommen.

Im oberen Bild ist die Grenzschicht laminar, also glatt und geordnet. Sie verliert früh an Impuls und löst sich bei $S_1$ ab, etwa 80° vom vorderen Staupunkt entfernt: Sie verlässt die Oberfläche tangential als freie Scherschicht. Dahinter liegt ein breiter Nachlauf aus langsamer, wirbelnder Flüssigkeit mit niedrigem Druck, der Breite $w_1$. Im unteren Bild ist die Grenzschicht turbulent. Ihre Wirbel mischen schnelle Flüssigkeit von außen zur Wand hin, sodass sie länger an der Oberfläche haftet und weiter hinten bei $S_2$ ablöst, etwa 120° vom vorderen Staupunkt entfernt. Der Nachlauf mit der Breite $w_2$ ist viel schmaler.

Nun zurück zu Abbildung 2. Oberhalb von $\mathrm{Re}\approx 10^3$ hat die Strömung die obere Form: Sie kann der Rückseite des Körpers nicht folgen. Die Vorderseite spürt nahezu den vollen Staudruck $\frac{1}{2}\rho v^2$, während der breite Nachlauf dahinter unter niedrigem Druck steht. Dieser Unterschied, der Druckwiderstand, hängt nicht von $\eta$ ab, deshalb flacht $C_d$ ab: das ist das Plateau. Nahe ${\mathrm{Re}}_c$ wird die Grenzschicht turbulent, bevor sie sich ablösen kann. Die Strömung wechselt zur unteren Form, der Nachlauf wird schmaler, der Druck dahinter erholt sich teilweise, und $C_d$ fällt auf etwa 0,1: das ist die Widerstandskrise.

Golfball-Dellen machen die Grenzschicht viel früher turbulent und lösen die Krise bei etwa $\mathrm{Re}\approx 5\times 10^4$ aus. Ein Abschlag deckt $\mathrm{Re}\approx 10^5$ bis $2\times 10^5$ ab, sodass die Dellen den Widerstand während des gesamten Flugs ungefähr halbieren. Körper mit scharfen Kanten, etwa eine ebene Platte, ein ausgebreiteter Springer oder ein Schirm, verhalten sich anders: Die Strömung löst sich an ihren Kanten bei jedem hohen $\mathrm{Re}$ ab, sodass ihr $C_d$ nahezu konstant bleibt. Deshalb kann die Animation für jede Phase des Sprungs einen einzigen Wert von $C_{d}A$ verwenden. Das $v^2$-Gesetz fasst eine komplizierte Strömung über einen begrenzten Bereich von $\mathrm{Re}$ zusammen; es ist kein Naturgesetz wie $F=ma$.

Die Grenzschicht löst auch ein altes Rätsel. Eine ideale Flüssigkeit mit $\eta =0$, die stationär an einem Körper vorbeiströmt, schließt sich hinter ihm vollständig und übt keinerlei Widerstand aus: das d'Alembertsche Paradoxon von 1752. Man könnte erwarten, dass reale Strömungen sich dem für $\eta \to 0$ annähern, doch das tun sie nicht. In der Navier-Stokes-Gleichung multipliziert $\eta$ den Term mit den höchsten Ableitungen. Lässt man diesen Term weg, sinkt die Ordnung der Gleichung, und die verbleibende Gleichung kann die Haftbedingung nicht erfüllen. So klein $\eta$ auch ist, die Geschwindigkeitsänderung drängt sich daher in eine Grenzschicht zusammen, das $\delta$ aus Abbildung 3, wo die Gradienten steil genug sind, damit die Viskosität eine Rolle spielt. Ihre Dicke schrumpft nur mit $L/\sqrt{\mathrm{Re}}$; beim Fallschirmspringer beträgt sie einen Bruchteil eines Millimeters. Die Schicht löst sich trotzdem ab, der Nachlauf bleibt bestehen, und der Widerstand bleibt endlich. Null Viskosität ist ein singulärer Grenzfall, wie Prandtls Grenzschichttheorie von 1904 gezeigt hat.

Integration des Falls: der Tangens hyperbolicus

Der Fallschirmspringer der Animation (Masse 80 kg, bäuchlings) fällt bei Reynoldszahlen um $2\times 10^6$, wo $C_d$ konstant ist und der Widerstand mit $v^2$ wächst. Dieser Abschnitt löst die Bewegung exakt.

Schreibe $k=\frac{1}{2}\rho C_{d}A$, sodass der Widerstand $k{v}^2$ ist, und wähle „nach unten“ als positive Richtung. Das Gewicht $mg$ wirkt nach unten, der Widerstand nach oben, also lautet Newtons zweites Gesetz $mdv/dt=mg-k{v}^2$. Der Springer hört auf zu beschleunigen, wenn sich beide Kräfte ausgleichen, bei der Endgeschwindigkeit $v_t$ mit $v_t^2=mg/k$. Division durch $m$ und Verwendung dieser Definition ergibt $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$. Nun können Geschwindigkeit und Zeit auf gegenüberliegende Seiten gebracht und vom Absprung an integriert werden, bei $t=0$ und $v=0$:
${\int }_0^v\frac{du}{1-u^2/v_t^2}=v_t\mathrm{artanh}(v/v_t)=gt$
Auflösen nach $v$ ergibt
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
Da das Integral von $\tanh$ gleich $\ln \cosh$ ist, liefert eine weitere Integration den zurückgelegten Fallweg $x(t)=(v_t^2/g)\ln \cosh (gt/v_t)$.

Die natürliche Zeitskala ist $\tau =v_t/g$, die Zeit, die der freie Fall bräuchte, um $v_t$ zu erreichen. Für den Springer der Animation mit $v_t=55,2m/s$ beträgt sie $\tau =5,6\mathrm{s}$. Für $t\ll \tau$ gilt $\tanh s\approx s$, also $v\approx gt$: Die ersten Sekunden sind fast freier Fall. Für $t\gg \tau$ gilt $\tanh s\approx 1-2e^{-2s}$ und $\ln \cosh s\approx s-\ln 2$, also
$v\approx v_t(1-2e^{-2t/\tau }),x\approx v_{t}t-(v_t^2/g)\ln 2$
Der Springer liegt am Ende um feste 215 m hinter einem gedachten Gefährten, der von Anfang an mit $v_t$ gefallen wäre.

Vergleiche den linearen Widerstand $mdv/dt=mg-bv$: Er ergibt $v=v_t(1-e^{-t/\tau })$, wieder mit $\tau =v_t/g$, hier gleich $m/b$. Der Anfang ist derselbe, mit Steigung $g$, aber die Annäherung am Ende ist langsamer: Der Abstand zu $v_t$ schrumpft mit der Rate $1/\tau$ statt $2/\tau$. Bei der Endgeschwindigkeit wird nichts schneller, doch die Schwerkraft leistet weiterhin Arbeit mit der Rate $mg{v}_t=785\cdot 55,2\approx 43\mathrm{kW}$. Diese Leistung fließt vollständig in das Verwirbeln der Luft, deren Wirbel sie schließlich in Wärme verwandeln.

Die Graphen lesen: Annäherung und Öffnungsstoß

Die Formeln werden auf den Graphen der Animation anschaulich. Steigungen und Flächen zeigen, wie schnell der Springer beschleunigt und abbremst, wie weit er fällt und wie stark der Schirm zieht.

Legende

$v$	Geschwindigkeit des Springers.	$m/s$
$t$	Zeit seit dem Absprung.	$\mathrm{s}$
$v_t$	Endgeschwindigkeit des bäuchlings fallenden Springers, 55,2 m/s.	$m/s$
$v_t^{\prime }$	Endgeschwindigkeit unter dem offenen Schirm, 5,0 m/s.	$m/s$
$gt$	Geschwindigkeit, die der freie Fall erreichen würde: die Tangente an $v(t)$ bei $t=0$, mit Steigung $g$.	$m/s$
$\tau$	Zeitskala $v_t/g=5,6\mathrm{s}$: Die Tangente $gt$ trifft die Linie $v_t$ bei $t=\tau$.	$\mathrm{s}$
$t_1$	Moment, in dem sich der Schirm zu öffnen beginnt, 13 s nach dem Absprung.	$\mathrm{s}$
$x$	Fallweg vor $t_1$: die schraffierte Fläche unter $v(t)$.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 ist der Geschwindigkeitsgraph der Expertenansicht der Animation, aus demselben Modell gezeichnet. Die blaue Kurve ist die Geschwindigkeit des Springers $v(t)$. Sie startet im Ursprung entlang der grünen Tangente $gt$ mit der Steigung $g$, die bei $t=\tau =5,6\mathrm{s}$ die obere gestrichelte Linie $v_t$ trifft, die erste gestrichelte Senkrechte. Schau auf den unteren Punkt dort: Die Kurve hat erst $\tanh 1\approx 0,76$ von $v_t$ erreicht, also 42 m/s, weil der Widerstand die ganze Zeit gewachsen ist. Nach $2\tau$ erreicht sie 96 % von $v_t$, und bis $t_1=13\mathrm{s}$, der zweiten gestrichelten Senkrechten, wo sich der Schirm zu öffnen beginnt, 54,1 m/s. Die Animation zeigt außerdem einen zweiten Graphen, hier nicht abgebildet: den Widerstand $F_d(t)=mg{\tanh }^2(gt/v_t)$ in Rot. Er beginnt flach, weil der Widerstand mit $v^2$ wächst, und kriecht auf die gestrichelte Linie $mg$ zu.

Bei $t_1$ beginnt der Durchmesser des Schirms 4 s lang stetig zu wachsen. Seine Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers, also wächst das zusätzliche $C_{d}A$ mit dem Quadrat der Zeit seit dem Öffnen. Zunächst steigt $C_{d}A$ schneller, als $v^2$ fällt, deshalb schießt der Widerstand hoch, auf ein Maximum von etwa 3340 N, also $4,3mg$, bei $t\approx 14,0\mathrm{s}$ und $v\approx 37m/s$. Das ist der Öffnungsstoß. In Abbildung 4 biegt die blaue Kurve nach $t_1$ steil auf die untere gestrichelte Linie $v_t^{\prime }=5,0m/s$ ab und hat sie bis etwa 18 s erreicht. Die Annäherung ist schnell, weil die neue Zeitskala nur $v_t^{\prime }/g=0,51\mathrm{s}$ beträgt.

Auch die Flächen haben eine Bedeutung. Die Fläche unter $v(t)$ ist die verlorene Höhe: 505 m vor dem Öffnen (die schraffierte Fläche $x$ in Abbildung 4), 92 m während des Aufblasens und weitere 25 m mit der Endgeschwindigkeit bis 22 s, insgesamt 622 m. Im Widerstandsgraphen zeigt Newtons zweites Gesetz $mdv/dt=mg-F_d$, dass die Nettofläche zwischen $F_d(t)$ und der Linie $mg$ nach dem Öffnen der abgebauten Impuls ist: $m\Delta v=80\cdot (54,1-5,0)\approx 3930\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$.

Gerechnetes Beispiel: ein Schirm, der sofort öffnet

Warum muss sich ein Schirm allmählich öffnen? Angenommen, der voll geöffnete Schirm mit $C_{d}A=52,5{\mathrm{m}}^2$ erschiene sofort bei 13 s, wenn die Geschwindigkeit $v_0=54,1m/s$ beträgt. Mit diesem $C_{d}A$ ist die Endgeschwindigkeit $v_t^{\prime }=4,99m/s$, das heißt, der Widerstand ist bei $v_t^{\prime }$ gleich $mg$. Da der Widerstand mit $v^2$ wächst, würde er bei $v_0$ auf
$F_d=mg{\left(\frac{v_0}{v_t^{\prime }}\right)}^2=785\cdot {\left(\frac{54,1}{4,99}\right)}^2\approx 9,2\times 10^4\mathrm{N}$
springen. Das ist das 117-Fache des Gewichts. Zieht man das Gewicht ab, bleibt eine Nettokraft vom 116-Fachen des Gewichts, eine Verzögerung von etwa 116 g.

Wie schnell würde die Geschwindigkeit sinken? Nun gilt $v>v_t^{\prime }$, also übersteigt der Widerstand das Gewicht, und dieselbe Gleichung wie zuvor, $dv/dt=-g\left(v^2/(v_t^{\prime }{)}^2-1\right)$, lässt die Geschwindigkeit fallen. Oberhalb der Endgeschwindigkeit verwendet ihre Lösung $\coth$ statt $\tanh$. Mit $t$ ab dem Öffnen gerechnet gilt
$v(t)=v_t^{\prime }\coth \left(\frac{gt}{v_t^{\prime }}+u_0\right),\coth u_0=\frac{v_0}{v_t^{\prime }}$
Hier ist $\coth u_0=10,8$, also $u_0=0,093$. Die Geschwindigkeit ist auf $2v_t^{\prime }\approx 10m/s$ gesunken, wenn die Klammer $\mathrm{arcoth}2=0,549$ erreicht. Mit $v_t^{\prime }/g=0,509\mathrm{s}$ dauert das $(0,549-0,093)\cdot 0,509\approx 0,23\mathrm{s}$. Das Integral von $\coth$ ist $\ln \sinh$, also beträgt der zurückgelegte Weg $((v_t^{\prime }{)}^2/g)\ln (\sinh 0,549/\sinh 0,093)\approx 2,54\cdot 1,83\approx 4,6\mathrm{m}$.

Eine Energiebilanz liefert die mittlere Kraft. Zwischen 54,1 und 10 m/s verliert der Springer $\frac{1}{2}\cdot 80\cdot (54,1^2-10^2)\approx 113\mathrm{kJ}$ kinetische Energie. Der Widerstand muss diese aufnehmen, dazu die 3,6 kJ potentielle Energie, die unterwegs frei werden, und zwar innerhalb von 4,6 m: eine mittlere Kraft vom 32-Fachen des Gewichts. Der Schirm der Animation verteilt das Öffnen auf 4 s und 92 m. Dort nimmt der Widerstand die 116 kJ verlorener kinetischer Energie plus 72 kJ potentieller Energie auf, im Mittel $2,6mg$ mit einem Spitzenwert von $4,3mg$. Echte Fallschirme verwenden Schieber oder Reffleinen, um das Öffnen genau aus diesem Grund zu verlangsamen.

Grenzen der Gültigkeit

Das Modell hält $C_{d}A$ in jeder Phase fest und die Luftdichte $\rho$ über den ganzen Fall. Beides sind Näherungen. Kopfüber verringert ein Springer $C_{d}A$ auf etwa die Hälfte, und da $v_t\propto 1/\sqrt{C_{d}A}$ gilt, steigt die Endgeschwindigkeit um den Faktor $\sqrt{2}$ auf etwa 78 m/s. Da auch $v_t\propto 1/\sqrt{\rho }$ gilt, ändert sie sich mit der Höhe: In 4000 m, wo die Luftdichte etwa 0,82 kg/m³ statt 1,2 kg/m³ beträgt, fällt der bäuchlings liegende Springer mit $55,2\cdot \sqrt{1,2/0,82}\approx 67m/s$. Die Endgeschwindigkeit ist ein bewegliches Ziel.

Luft verhält sich nur so lange inkompressibel, wie die Machzahl, das Verhältnis von $v$ zur Schallgeschwindigkeit, unter etwa 0,3 bleibt; der Springer liegt bei 0,16. In 39 km Höhe ist die Luft etwa 250-mal dünner, sodass $v_t$ auf dem Papier etwa 16-mal höher ist. Rekordsprünge aus dieser Höhe haben die Schallgeschwindigkeit überschritten, wo Stoßwellen $C_d$ erhöhen.

Das Stokes-Gesetz braucht $\mathrm{Re}$ deutlich unter 1: Seine erste Korrektur, ein Faktor $1+3\mathrm{Re}/16$, addiert bei $\mathrm{Re}=0,5$ bereits etwa 10 %. Am anderen Ende der Größenskala sind Teilchen kleiner als etwa 0,1 μm mit der mittleren freien Weglänge der Luftmoleküle von 68 nm vergleichbar. Die Luft wirkt dann nicht mehr als kontinuierliches Fluid: Sie gleitet an ihrer Oberfläche, und die Brownsche Bewegung verschiebt sie stärker als das Absinken. Schließlich ignoriert das Modell instationäre Strömung, sodass das gleichmäßige Wachsen von $C_{d}A$ in der Animation nur den heftigen realen Öffnungsstoß annähert.

Wohin das führt

Das Bernoulli-Prinzip beschreibt die ideale Strömung außerhalb der Grenzschicht und erklärt, warum der Widerstand in Einheiten von $\frac{1}{2}\rho v^2$ gemessen wird. In Dämpfung und Resonanz wird ein linearer Widerstand $-bv$ zum Dämpfungsterm eines Oszillators. Die kinetische Gastheorie leitet die Viskosität eines Gases aus Molekülstößen ab. Elektrischer Strom und Widerstand hat dieselbe Struktur wie das Stokes-Absinken: Elektronen driften mit einer Endgeschwindigkeit, bei der Stöße die elektrische Kraft ausgleichen, sodass der Strom proportional zum Feld ist. Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung nutzt Grenzschichten, um zu erklären, wie Wind Wärme abführt, und die Bahnen des Schiefen Wurfs werden kürzer und unsymmetrisch, sobald man den Widerstand hinzunimmt.