विवर्तन और द्वि-झिरी

शुरुआती

चरण 1, प्रकाश थोड़ा-सा कोनों के चारों ओर मुड़ सकता है। हम चीज़ों को उनके सहारे देखकर एक सीध में रखते हैं, क्योंकि प्रकाश सामान्यतः सीधा चलता है। पर यदि प्रकाश को बहुत सँकरे छिद्र से निकालें, तो वह दूसरी ओर पंखे की तरह फैल जाता है। इस फैलाव को विवर्तन कहते हैं। ध्वनि खुले दरवाज़े से होकर ऐसे ही फैलती है, इसीलिए आप कोने के पीछे से लोगों की आवाज़ सुन लेते हैं; प्रकाश के लिए छिद्र बहुत छोटा होना चाहिए, क्योंकि प्रकाश-तरंगें बहुत छोटी होती हैं। छिद्र जितना सँकरा, फैलाव उतना अधिक। छोटी गोलियाँ सीधी निकल जातीं; केवल तरंगें ऐसे फैलती हैं।

चरण 2, दो झिरियाँ। अब प्रकाश को पास-पास स्थित दो सँकरी झिरियों से गुज़ारें। प्रत्येक झिरी अपनी वृत्ताकार लहरें भेजती है, और दोनों समूह आपस में मिलते हैं। जहाँ एक झिरी की शिखा दूसरी की शिखा से मिलती है, वे मिलकर बल देती हैं और पर्दा चमकीला होता है। जहाँ शिखा गर्त से मिलती है, वे एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं और पर्दा अंधेरा रहता है। तरंगों के इस योग को व्यतिकरण कहते हैं।

एनिमेशन में सीधी तरंगें बाएँ से आती हैं, दोनों झिरियों से फैलती हैं, और पर्दा चमकीली और अंधेरी धारियों से भर जाता है; नारंगी पट्टियाँ दिखाती हैं कि प्रत्येक बिंदु कितना चमकीला है।

चरण 3, धारियाँ क्यों बनती हैं। बीच की धारी चमकीली है क्योंकि वह दोनों झिरियों से बराबर दूरी पर है, इसलिए तरंगें एक साथ (समान कला में) पहुँचती हैं। थोड़ा ऊपर जाएँ तो एक पथ लंबा हो जाता है: आधा तरंगदैर्ध्य लंबा होने पर अंधेरा होता है, और पूरा तरंगदैर्ध्य लंबा होने पर अगली चमकीली धारी।

थॉमस यंग ने यह प्रयोग लगभग 1801 में किया, और इससे भौतिकविदों को विश्वास हो गया कि प्रकाश एक तरंग है: प्रकाश में प्रकाश मिलाने से अंधेरा हो सकता है। एक झिरी ढक दें तो धारियाँ लुप्त हो जाती हैं और एक चिकना धब्बा रह जाता है।

स्वयं जाँचें: पर्दे के एक बिंदु पर एक पथ दूसरे से ठीक दो तरंगदैर्ध्य लंबा है। चमकीला या अंधेरा? (चमकीला: शिखाएँ फिर से एक साथ पहुँचती हैं।)

मध्यम

विवर्तन: तरंगें छिद्रों से होकर फैलती हैं

प्रकाश सीधी रेखाओं में चलता प्रतीत होता है, इसीलिए छायाओं के किनारे तीखे होते हैं। फिर भी किसी भी छिद्र से गुज़रने के बाद हर तरंग फैलती है: यही विवर्तन है। हाइगेंस के सिद्धांत के अनुसार तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु नई उपतरंगिकाओं का स्रोत होता है, और आगे की तरंग उन सबका योग होती है। चौड़ा छिद्र सीधी किरण फिर से बना देता है; सँकरा छिद्र लगभग एकल स्रोत की तरह काम करता है, और तरंग वृत्तों में फैल जाती है।

तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और छिद्र की चौड़ाई $a$ के लिए फैलाव लगभग $\lambda /a$ रेडियन होता है। लगभग 1 m तरंगदैर्ध्य वाली ध्वनि दरवाज़े से होकर पूरे कमरे में फैल जाती है; हरा प्रकाश, जिसका $\lambda \approx 500\mathrm{nm}$ है, 1 mm चौड़े छेद से प्रति मीटर केवल आधा मिलीमीटर फैलता है। प्रकाश का विवर्तन दिखाने के लिए झिरी की चौड़ाई मिलीमीटर के एक अंश जितनी होनी चाहिए।

एक ही तरंग से प्रकाशित दो झिरियाँ

एनिमेशन में सीधी शिखाएँ दूरी $d$ पर स्थित दो सँकरी झिरियों तक पहुँचती हैं, और उनके पीछे $L$ दूरी पर पर्दा है। वही शिखा दोनों झिरियों तक एक साथ पहुँचती है, इसलिए वे समान कला में उपतरंगिकाएँ भेजती हैं: वे संगत स्रोत हैं। पर्दे पर एक बिंदु, जो झिरियों से $r_1$ और $r_2$ दूरी पर है, पथांतर $\Delta r=r_2-r_1$ पर निर्भर करते हुए चमकीला या अंधेरा होता है।

जहाँ एक पथ पूर्ण तरंगदैर्ध्यों की पूर्ण संख्या जितना लंबा है, वहाँ शिखा शिखा से मिलती है; जहाँ वह विषम संख्या में अर्ध-तरंगदैर्ध्य जितना लंबा है, वहाँ शिखा गर्त से मिलती है:

• $\Delta r=m\lambda \text{(bright)}$
• $\Delta r=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$

यहाँ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ धारी की कोटि है। केंद्रीय धारी, $m=0$, चमकीली है क्योंकि अक्ष दोनों झिरियों से बराबर दूरी पर है; अक्ष के नीचे कोटियाँ ऋणात्मक और ऊपर धनात्मक होती हैं, जैसा एनिमेशन के पाठ्यांक में दिखता है।

पथांतर से कोण तक

दूर के पर्दे से देखने पर ($L\gg d$), किसी बिंदु तक के दोनों पथ लगभग समांतर होते हैं और केंद्रीय अक्ष से कोण $\theta$ बनाते हैं। ऊपरी झिरी से निचले पथ पर डाला गया लंब एक छोटा समकोण त्रिभुज काटता है, जिसका कर्ण $d$ है और कोण $\theta$ के सामने की भुजा अतिरिक्त पथ है,
$\Delta r=d\sin \theta$

अतः चमकीली और अंधेरी धारियों की शर्तें कोण पर शर्तें बन जाती हैं:
$d\sin \theta =m\lambda \text{(bright)}$
$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$
चूँकि $\sin \theta \le 1$, प्रत्येक ओर अधिकतम $d/\lambda$ कोटियाँ आ सकती हैं।

अक्ष के निकट लघु-कोण सन्निकटन $\sin \theta \approx \tan \theta =y/L$ लागू होता है, जहाँ $y$ पर्दे पर ऊँचाई है; इसलिए कोटि $m$ की चमकीली धारी $y_m=m\lambda L/d$ पर होती है और धारियाँ समान अंतराल पर होती हैं:
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
लाल प्रकाश, निकट की झिरियाँ, या दूर का पर्दा, सभी धारियों को चौड़ा कर देते हैं।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन का प्रतिरूप

चित्र पैमाने पर नहीं है। पिक्सेल में इसका $\lambda =8$, $d=50$ और $L=220$ है, इसलिए झिरियाँ केवल 6.25 तरंगदैर्ध्य दूर हैं, जबकि वास्तविक झिरियाँ सैकड़ों तरंगदैर्ध्य दूर होती हैं। लघु-कोण सूत्र देता है
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{8\cdot 220}{50}=35.2\mathrm{px}$

पहली चमकीली धारी पर $\sin {\theta }_1=\lambda /d=0.16$, अतः ${\theta }_1=9.2^{\circ }$। इसकी सटीक स्थिति, जहाँ $r_2-r_1=\lambda$ है, केंद्र से ऊपर 35.9 px पर है, जो पर्दे के बगल के $\Delta y$ चिह्न की लंबाई है: 9° पर लघु-कोण सूत्र केवल 2 % कम है।

जाँच-बिंदु को पर्दे पर ऊपर ले जाएँ; हरा पथ $r_1$ ऊपरी झिरी से और बैंगनी पथ $r_2$ निचली झिरी से है। इसका पाठ्यांक नीचे $-1.76\lambda$ से शुरू होकर केंद्रीय धारी पर 0, पहली अंधेरी धारी पर 0.50, पहली चमकीली धारी पर 1.00 और दूसरी अंधेरी धारी पर 1.50 से होकर ऊपर 1.76 तक जाता है। अतः पर्दे पर तीन चमकीली धारियाँ ($m=0,\pm 1$) और चार अंधेरी धारियाँ हैं; दूसरी कोटि, 18.7° पर, 16.5° की सीमा से बस बाहर है।

नारंगी पट्टियाँ दिखाती हैं कि किनारे की धारियाँ केंद्रीय ऊँचाई के लगभग तीन-चौथाई ही हैं: विशेषज्ञ स्तर पर देखी गई प्रत्येक झिरी की चौड़ाई इन्हें मंद करती है।

हल किया गया उदाहरण: प्रकाश का तरंगदैर्ध्य मापना

$\lambda =600\mathrm{nm}$ का प्रकाश $d=0.25\mathrm{mm}$ दूर की झिरियों पर पड़ता है, और पर्दा $L=1.0\mathrm{m}$ दूर है। सभी लंबाइयाँ मीटर में लेने पर,
$\Delta y=\frac{600\times 10^{-9}\cdot 1.0}{0.25\times 10^{-3}}=2.4\times 10^{-3}\mathrm{m}=2.4\mathrm{mm}$
पहली धारी ${\theta }_1=\lambda /d=2.4\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, लगभग 0.14° पर है, जहाँ लघु-कोण सन्निकटन बहुत उत्तम है। इतनी बारीक धारियाँ ही इस प्रभाव के इतने लंबे समय तक अनदेखे रहने का एक कारण हैं।

इसे उलटकर, $\lambda =d\Delta y/L$ से तरंगदैर्ध्य मापा जाता है। उन्हीं झिरियों और पर्दे से, लेज़र पॉइंटर की धारियों की दस दूरियाँ 26 mm तक फैलती हैं (एक साथ कई दूरियाँ मापने से त्रुटि घटती है), अतः $\Delta y=2.6\mathrm{mm}$ और
$\lambda =\frac{d\Delta y}{L}=\frac{(0.25\times 10^{-3})\cdot (2.6\times 10^{-3})}{1.0}=6.5\times 10^{-7}\mathrm{m}=650\mathrm{nm}$

श्वेत प्रकाश में सभी तरंगदैर्ध्य एक साथ होते हैं। केंद्रीय धारी सफ़ेद है, पर बैंगनी (400 nm) की धारियाँ 1.6 mm और लाल (700 nm) की 2.8 mm दूर होती हैं, इसलिए प्रत्येक प्रथम-कोटि की धारी एक छोटा स्पेक्ट्रम है, बैंगनी भीतर और लाल बाहर; दो-तीन कोटियों के बाद रंग मिलकर सफ़ेदी लिए चमक बना देते हैं।

पर्दे पर धारियाँ कैसे पढ़ें

धारियाँ और नारंगी पट्टियाँ तीव्रता $I$ दिखाती हैं, यानी पर्दे के प्रत्येक वर्ग मीटर पर पहुँचने वाली शक्ति। दो सँकरी, समान झिरियों के लिए यह एक चिकने ${\cos }^2$ वक्र का अनुसरण करती है: बराबर चौड़ाई की चमकीली पट्टियाँ और अंधेरे अंतराल, जिसमें हर अंधेरी धारी दो चमकीली धारियों के ठीक बीच में होती है। एनिमेशन में पहली अंधेरी धारी केंद्र से 17.8 px पर और पहली चमकीली धारी 35.9 px पर है।

आयाम जुड़ते हैं, और तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुपात में होती है: चमकीली धारी पर आयाम दोगुना होता है और तीव्रता एक झिरी की $2^2=4$ गुना; जबकि अंधेरी धारी पर वह शून्य है। अनेक धारियों पर औसत लें तो वह एक झिरी की ठीक दोगुनी होती है, क्योंकि अंधेरी धारियों से गायब प्रकाश चमकीली धारियों में चला गया है। एक झिरी ढक दें तो धारियाँ एक चौड़े, चिकने धब्बे में लुप्त हो जाती हैं।

सामान्य गलतियाँ

• अंधेरी धारियाँ झिरियों के बीच की दीवार की छाया नहीं हैं: दोनों झिरियाँ पहली अंधेरी धारी को प्रकाशित करती हैं, और किसी एक को ढकने से वह स्थान केंद्रीय शिखर का एक-चौथाई चमकीला रह जाता है।
• झिरियों को एक-दूसरे से दूर ले जाने पर धारियाँ फैलती नहीं, बल्कि सिकुड़ती हैं। अंतराल $1/d$ के अनुपात में होता है, इसलिए $d$ को 0.25 mm से घटाकर 0.125 mm करने पर $\Delta y$ 2.4 mm से बढ़कर 4.8 mm हो जाता है।
• सूत्र $\Delta y=\lambda L/d$ केवल लघु कोणों पर लागू होता है: दो तरंगदैर्ध्य दूर की झिरियों के लिए प्रथम कोटि 30° पर है, जहाँ $y=L\tan 30^{\circ }=0.58L$ है, न कि $0.5L$।
• दो अलग-अलग लैंप, या यहाँ तक कि दो लेज़र, दिखाई देने वाली धारियाँ नहीं बनाते: उनकी कलाएँ इतनी तेज़ी से बदलती हैं कि आँख उन्हें पकड़ नहीं सकती, इसलिए केवल उनकी तीव्रताओं का योग बचता है। दोनों झिरियों को एक ही तरंग से प्रकाशित होना चाहिए।

इसका उपयोग कहाँ होता है

प्रति मिलीमीटर सैकड़ों रेखाओं वाली ग्रेटिंग अधिकांश स्पेक्ट्रोमीटरों में तरंगदैर्ध्य मापती है, और CD पर इंद्रधनुष उसके 1.6 µm दूर के ट्रैकों से बनता है। विवर्तन तीक्ष्णता को भी सीमित करता है: व्यास $D$ वाले दूरबीन या आँख की पुतली से गुज़रने वाला प्रकाश लगभग $\lambda /D$ फैलता है, जैसा कि आँख, कैमरा और दूरदर्शी में समझाया गया है।

लगभग 0.1 nm तरंगदैर्ध्य वाली X-किरणें किसी क्रिस्टल में परमाणुओं की पंक्तियों से विवर्तित होती हैं और दिखाती हैं कि परमाणु कहाँ स्थित हैं। इलेक्ट्रॉन और यहाँ तक कि पूरे अणु भी एक-एक करके यही धारियाँ बनाते हैं, जो तरंग-कण द्वैतता की शुरुआत है। अगला, प्रकाश का ध्रुवण प्रकाश-तरंगों के एक और गुण की ओर मुड़ता है: उनके कंपन की दिशा।

उन्नत

दो क्षेत्रों का जोड़

दो-झिरी की धारियाँ तरंगों की चमकों के जोड़ से नहीं, बल्कि तरंगों के स्वयं जुड़ने से बनती हैं, इसलिए पहला काम दोनों क्षेत्रों को सही ढंग से जोड़ना है। मान लें झिरियाँ दूरी $d$ पर हैं, और सामने से कोण $\theta$ पर स्थित एक दूरस्थ बिंदु को देखें, जिसकी दूरियाँ दोनों झिरियों से $r_1$ और $r_2$ हैं। प्रत्येक झिरी समान आयाम $E_0$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ का क्षेत्र देती है: पहली से $E_0\cos (\omega t-k{r}_1)$ और दूसरी से $E_0\cos (\omega t-k{r}_2)$, जहाँ $k=2\pi /\lambda$ तरंग-संख्या है। पद $\omega t$ दोनों में समान है, इसलिए केवल कला-अंतर मायने रखता है:
$\phi =k(r_2-r_1)=kd\sin \theta$
अंतिम चरण दूरस्थ-क्षेत्र का पथांतर $r_2-r_1=d\sin \theta$ प्रयोग करता है; अगला भाग जाँचता है कि यह कितना सटीक है।

संकेत-सूची

$E_0$	एक झिरी के क्षेत्र का आयाम; दोनों झिरियों का समान।	$V/m$
$\phi$	दोनों क्षेत्रों का कला-अंतर, $\phi =kd\sin \theta$: पहले तीर के बिंदीदार विस्तार से दूसरे तीर तक का घुमाव।	$\mathrm{rad}$
$\phi /2$	कला-अंतर का आधा: परिणामी और पहले फ़ेज़र के बीच का कोण।	$\mathrm{rad}$
$E$	परिणामी (कुल क्षेत्र): दोनों फ़ेज़रों का योग, जो त्रिभुज को बंद करता है।	$V/m$

चित्र 1 दोनों क्षेत्रों को फ़ेज़र के रूप में जोड़ता है। फ़ेज़र एक तीर है जिसकी लंबाई दोलन के आयाम के बराबर होती है और जिसका कोण उसकी कला है; एक ही आवृत्ति के दो दोलनों को जोड़ना दो तीरों को सिर-से-पूँछ जोड़ने के बराबर है। नीला तीर पहली झिरी का क्षेत्र है, जिसकी लंबाई $E_0$ है। हरा तीर उसके सिरे से शुरू होता है और दूसरी झिरी का क्षेत्र है: उसकी लंबाई भी $E_0$ है, पर वह नीले तीर के बिंदीदार विस्तार से $\phi$ घूमा हुआ है। बैंगनी तीर $E$ नीले तीर के आरंभ को हरे तीर के सिरे से जोड़ता है, इसलिए यही कुल क्षेत्र है।

अब आकार देखें। दो समान भुजाएँ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं, इसलिए उसके दोनों आधार-कोण बराबर हैं, और उनका योग जोड़ पर बाहरी कोण $\phi$ के बराबर है: प्रत्येक $\phi /2$ है। जोड़ से खिंची बिंदीदार ऊँचाई $E$ से समकोण पर मिलती है और त्रिभुज को दो सर्वसम समकोण त्रिभुजों में बाँटती है, जिनमें से प्रत्येक का कर्ण $E_0$ है और नीले तीर की पूँछ पर कोण $\phi /2$ है। अतः परिणामी का आधा $E_0\cos (\phi /2)$ है, और पूरा
$E=2E_0|\cos (\phi /2)|$
मापांक $E$ को धनात्मक रखता है जब $\phi$ के $\pi$ से आगे निकलने पर कोसाइन ऋणात्मक हो जाता है। दो जाँच: $\phi =0$ पर तीर एक रेखा में हैं और $E=2E_0$; $\phi =\pi$ पर वे विपरीत दिशाओं में हैं और एक-दूसरे को निरस्त करते हैं।

संसूचक क्षेत्र के तेज़ दोलन का अनुसरण नहीं कर सकता। वह तीव्रता मापता है, जो क्षेत्र के वर्ग के समय-माध्य के समानुपाती है, इसलिए $I\propto E^2$। $E$ का वर्ग लेकर और $\phi /2=\pi d\sin \theta /\lambda$ लिखकर मिलता है
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right)$

यहाँ $I_0$ केंद्र की तीव्रता है, जहाँ दोनों क्षेत्र समान कला में पहुँचते हैं। वहाँ आयाम दोगुना होता है, इसलिए $I_0$ अकेली एक झिरी की तीव्रता $I_1$ का चार गुना है। (व्यतिकरण और अध्यारोपण में $I_0$ का अर्थ एक स्रोत था; यहाँ इसका अर्थ केंद्रीय शिखर है।) ऊर्जा उत्पन्न नहीं होती: अनेक धारियों पर ${\cos }^2$ का माध्य $\frac{1}{2}$ है, इसलिए औसत तीव्रता $I_0/2=2I_1$ है, जो ठीक वही है जो दोनों झिरियाँ मिलकर देती हैं। व्यतिकरण केवल प्रकाश को अंधेरी धारियों से चमकीली धारियों में ले जाता है।

पथांतर कितना सटीक है?

ऊपर के परिणाम में $r_2-r_1=d\sin \theta$ प्रयोग हुआ, जो बिंदु तक की दोनों किरणों को समांतर मानता है। यह केवल अनंत दूरी पर ठीक है, इसलिए वास्तविक पर्दे पर त्रुटि जानना उपयोगी है।

झिरियों के मध्यबिंदु से दूरी $R$ और कोण $\theta$ मापें। कोसाइन नियम प्रत्येक सटीक दूरी देता है, $r^2=R^2+d^2/4\pm Rd\sin \theta$, जहाँ दूर वाली झिरी के लिए धन चिह्न है। प्रत्येक वर्गमूल को $d/R$ की घातों में फैलाएँ। दोनों दूरियों में एक ही द्वितीय-कोटि पद $d^2{\cos }^2\theta /(8R)$ है, जो अंतर में रद्द हो जाता है; पहला बचा हुआ संशोधन तृतीय कोटि का है:
$\Delta r=d\sin \theta \left(1-\frac{d^2{\cos }^2\theta }{8R^2}\right)$
अतः सापेक्ष त्रुटि अधिकतम $(d/R{)}^2/8$ है: वह $d/R$ के वर्ग के साथ घटती है।

एनिमेशन में पहली चमकीली धारी पर $d/R\approx 0.22$ है, इसलिए संशोधन केवल 0.6 % है। पर्दे पर, सटीक वक्र $r_2-r_1=\lambda$ (एक अतिपरवलय) उसे 35.9 px पर काटता है; $y=L\tan \theta$ वाला दूरस्थ-क्षेत्र सूत्र 35.7 px देता है, और लघु-कोण सूत्र $y=\lambda L/d$ 35.2 px देता है।

परिमित चौड़ाई वाली एकल झिरी

अब तक हर झिरी एक बिंदु मानी गई थी, जो हर दिशा में समान आयाम $E_0$ भेजती है। वास्तविक झिरी की चौड़ाई $a$ होती है, और उसका हर भाग एक स्रोत है, इसलिए उसकी चमक दिशा पर निर्भर करती है। इन भागों का योग धारियों के नीचे का धीमा आवरण देता है।

संकेत-सूची

$E_0$	चाप की लंबाई: सामने का आयाम, जहाँ सभी पट्टियाँ समान कला में हैं।	$V/m$
$E$	पट्टियों का परिणाम: चाप के आरंभ से अंत तक की जीवा।	$V/m$
$\rho$	चाप की त्रिज्या (बिंदीदार), क्षेत्र की इकाइयों में।	$V/m$
$\beta$	चाप द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा; $2\beta =ka\sin \theta$ झिरी के किनारों के बीच का कला-अंतर है।	$\mathrm{rad}$

चित्र 2 एकल झिरी के भागों को फ़ेज़र से जोड़ता है। झिरी को अनेक संकरी पट्टियों में काटें; प्रत्येक पट्टी एक छोटा फ़ेज़र भेजती है, जिसे नीले वक्र पर बिंदु दिखाते हैं। दिशा $\theta$ में प्रत्येक पट्टी का पथ अपने पड़ोसी से उतना ही अधिक लंबा है, इसलिए हर फ़ेज़र पिछले से उतने ही छोटे कोण से घूमा है। समान लंबाई के, समान कोण से घूमते तीरों की श्रृंखला एक समान रूप से मुड़ती है: वह एक वृत्त के चाप पर चलती है, जिसकी त्रिज्या $\rho$ है (बिंदीदार त्रिज्याएँ)।

चाप कितना घूमता है? झिरी के दो किनारों का पथांतर $a\sin \theta$ है, इसलिए पहले और अंतिम फ़ेज़र का कला-अंतर $ka\sin \theta$ है। चाप की दिशा उतने ही कोण से घूमती है जितना चाप केंद्र पर बनाता है, इसलिए वह केंद्रीय कोण $ka\sin \theta$ है। इसे $2\beta$ कहें; चित्र 2 इसे बिंदीदार समद्विभाजक के दोनों ओर $\beta$ वाले दो भागों में दिखाता है। $k=2\pi /\lambda$ रखने पर
$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$

अब चाप की तुलना जीवा से करें। सामने, $\theta =0$ पर, सभी पट्टियाँ समान कला में हैं, श्रृंखला एक सीधी रेखा है, और उसकी लंबाई पूरा आयाम $E_0$ है। किसी अन्य दिशा में सूक्ष्म फ़ेज़र उतने ही लंबे हैं, इसलिए चाप की लंबाई अब भी $E_0$ है; और चूँकि चाप की लंबाई त्रिज्या गुणा कोण है, $E_0=2\rho \beta$। परिणामी बैंगनी जीवा $E$ है, जो चाप के आरंभ से अंत तक जाती है। बिंदीदार समद्विभाजक उसे $\rho \sin \beta$ वाले दो आधे भागों में बाँटता है, इसलिए $E=2\rho \sin \beta$। दोनों को भाग देकर $\rho$ हटा दें:
$E=E_0\frac{\sin \beta }{\beta }$

जीवा सदा चाप से छोटी होती है, और जब चाप बंद होता है तो वह शून्य हो जाती है। जब $2\beta =2\pi$ होता है, श्रृंखला चित्र 2 के दाईं ओर के पूर्ण वृत्त में लिपट जाती है, उसका अंत आरंभ (बैंगनी बिंदु) पर लौट आता है, और $E=0$। यह तब होता है जब किनारों का पथांतर एक तरंगदैर्ध्य हो:
$a\sin \theta =\lambda \text{(first envelope zero)}$
फ़ेज़र के बिना भी जोड़ियाँ बनाने का तर्क वही शून्य देता है। झिरी को ऊपरी और निचले आधे में बाँटें। ऊपरी आधे की प्रत्येक पट्टी का नीचे $a/2$ दूरी पर एक साथी है, जिसका पथ $\lambda /2$ लंबा है, इसलिए दोनों रद्द हो जाते हैं, और हर युग्म भी।

दोहरी झिरी में प्रत्येक झिरी दिशा $\theta$ में समान आयाम $E_0\sin \beta /\beta$ भेजती है। चित्र 1 के परिणाम में $E_0$ की जगह यह रखने पर दो-झिरी का प्रतिरूप तेज़ धारियों और धीमे आवरण का गुणनफल बन जाता है:
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right){\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$

यही एनिमेशन के विशेषज्ञ स्तर का ग्राफ़ है, जिसका सूत्र $\sin \theta$ को $y/L$ लिखता है। वहाँ $a=14\mathrm{px}=1.75\lambda$ और $d=6.25\lambda$ है। सुनहरे वक्र के पहले पार्श्व शिखर केंद्रीय ऊँचाई के 0.77 तक पहुँचते हैं, जहाँ वे बिंदीदार आवरण को छूते हैं; आवरण पर्दे के किनारों पर 0.37 तक गिर जाता है, और उसका पहला शून्य 34.8° पर है, जो पर्दे से बहुत दूर है।

जो चमकीली धारी ठीक आवरण के शून्य पर पड़ती है, वह गायब हो जाती है। $d=3a$ के साथ तीसरी कोटि $\sin \theta =3\lambda /d=\lambda /a$ पर है, जो पहला आवरण-शून्य है, इसलिए वह लुप्त हो जाती है। सामान्यतः जब $d/a$ पूर्ण संख्या $n$ हो, तो कोटियाँ $n$, $2n$, … अनुपस्थित होती हैं।

फ़ूरियर रूपांतरण के रूप में प्रतिरूप

चित्र 1 और 2 के फ़ेज़र-योग एक ही नियम की दो स्थितियाँ हैं: दूरस्थ-क्षेत्र का आयाम द्वारक का फ़ूरियर रूपांतरण है। यह नियम तुरंत बताता है कि दोनों गुणक क्यों गुणा होते हैं, और छोटी संरचनाएँ चौड़े प्रतिरूप क्यों देती हैं।

संकेत-सूची

$A$	द्वारक का संप्रेषण: झिरी के भीतर 1, दीवार पर 0।
$x$	द्वारक में वह स्थिति, जो झिरियों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश है।	$\mathrm{m}$
$a$	प्रत्येक झिरी की चौड़ाई।	$\mathrm{m}$
$d$	दोनों झिरियों के केंद्रों के बीच की दूरी।	$\mathrm{m}$
$I$	दिशा $\theta$ में प्रतिरूप की तीव्रता: बिंदीदार आवरण के नीचे सुनहरी धारियाँ।	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\sin \theta$	निकलते प्रकाश के कोण $\theta$ (सामने से मापा गया) की ज्या; प्रतिरूप की क्षैतिज अक्ष।
$\lambda /d$	धारी-आवर्त: $\sin \theta$ में पड़ोसी चमकीली धारियों का अंतराल।
$\lambda /a$	आवरण के पहले शून्य पर $\sin \theta$ का मान, जो वृत्तों से चिह्नित है जहाँ धारी लुप्त है।

चित्र 3 एक द्वारक को उसके दूरस्थ-क्षेत्र प्रतिरूप के ऊपर रखता है। ऊपरी ग्राफ़ द्वारक के आर-पार संप्रेषण $A$ को स्थिति $x$ के साथ दिखाता है: हर झिरी के भीतर $A=1$ और उनके बीच की दीवार पर $A=0$। दोनों झिरियों की चौड़ाई $a$ (बैंगनी पट्टी) है, और उनके केंद्र $d$ दूरी पर हैं (सुनहरी पट्टी)। निचला ग्राफ़ तीव्रता $I$ को $\sin \theta$ के साथ दिखाता है: बैंगनी बिंदीदार आवरण के नीचे सुनहरी धारियाँ। रंगों का मिलान करें। सुनहरा अंतराल $d$ सुनहरी धारियों का आवर्त $\lambda /d$ तय करता है, और बैंगनी चौड़ाई $a$ बैंगनी आवरण तय करती है, जिसके पहले शून्य $\sin \theta =\pm \lambda /a$ पर हैं। यहाँ $d=3a$ है, इसलिए दोनों ओर की तीसरी धारी आवरण-शून्य पर पड़ती है और लुप्त होती है, जो वृत्तों से चिह्नित है।

नियम यह है। द्वारक से दूर, $x$ पर चौड़ाई $dx$ वाली एक पट्टी का पथ, $x=0$ वाली पट्टी से $x\sin \theta$ अधिक है (वही ज्यामिति जो दो झिरियों के लिए थी), इसलिए उसका कला-अंतर $kx\sin \theta$ है। हर योगदान को सम्मिश्र चरघातांकी के रूप में लिखें, उसे संप्रेषण $A(x)$ से भारित करें, और सभी पट्टियों पर जोड़ें:
$E(\theta )\propto \int A(x)e^{-iqx}dx,q=k\sin \theta$
यह समाकल $A(x)$ का फ़ूरियर रूपांतरण है, जिसमें $q$ स्थानिक आवृत्ति की भूमिका निभाता है।

यह दोनों पिछले परिणाम दोहराता है। दो अति-सँकरी झिरियाँ $x=\pm d/2$ पर $e^{-iqd/2}+e^{iqd/2}=2\cos (qd/2)$ देती हैं, और चूँकि $qd/2=\pi d\sin \theta /\lambda$, उसका वर्ग वही ${\cos }^2$ धारियाँ हैं। $-a/2$ से $a/2$ तक की चौड़ाई $a$ वाली एकल झिरी $a\sin (qa/2)/(qa/2)=a\sin \beta /\beta$ देती है, क्योंकि $qa/2=\beta$: यही आवरण है।

दो चौड़ी झिरियाँ एक चौड़ी झिरी को दो स्थानों पर दोहराने जैसी हैं। रूपांतरणों की भाषा में, द्वारक एकल झिरी का दो सँकरी झिरियों के साथ संवलन है, और संवलन का रूपांतरण रूपांतरणों का गुणनफल है। इसीलिए धारी-गुणक और आवरण गुणा होते हैं।

रूपांतरण सभी विवर्तन के पीछे का व्युत्क्रम संबंध भी दिखाता है: द्वारक में आकार $s$ की एक विशेषता कोणीय पैमाने $\lambda /s$ पर संरचना बनाती है। चित्र 3 में बड़ा अंतराल $d$ बारीक धारियाँ बनाता है, और छोटी चौड़ाई $a$ चौड़ा आवरण। लेंस अपने फोकस तल में, एक परिमित दूरी पर, दूरस्थ-क्षेत्र प्रतिरूप बनाता है; और जिन X-किरण प्रतिरूपों ने क्रिस्टलों की संरचनाएँ उजागर कीं, वे क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉन घनत्व के रूपांतरण के परिमाण के वर्ग हैं।

अनेक झिरियाँ: विवर्तन ग्रेटिंग

समान अंतराल पर और झिरियाँ जोड़ने से चमकीली धारियाँ उन्हीं स्थानों पर रहती हैं, पर वे कहीं अधिक तीक्ष्ण और चमकीली हो जाती हैं। यही तीक्ष्णता ग्रेटिंग को तरंगदैर्ध्य मापने का सटीक उपकरण बनाती है।

संकेत-सूची

$E_0$	एक झिरी के क्षेत्र का आयाम: हर फ़ेज़र की लंबाई।	$V/m$
$\phi$	पड़ोसी झिरियों के बीच कला-अंतर, $\phi =kd\sin \theta$: एक फ़ेज़र से अगले तक का घुमाव।	$\mathrm{rad}$
$E$	सभी फ़ेज़रों का परिणाम: बहुभुज की समापन भुजा।	$V/m$

चित्र 4 के बाएँ आधे भाग में $N=5$ समान झिरियों के क्षेत्र जोड़े गए हैं, जिनका अंतराल $d$ है। प्रत्येक नीला तीर $E_0$ लंबा है और पिछले से उतने ही कोण $\phi =kd\sin \theta$ से घूमा है; यह कोण एक जोड़ पर अंकित है। समान लंबाई और समान घुमाव वाले तीर एक नियमित बहुभुज का भाग बनाते हैं, अतः सभी कोने एक ही वृत्त (बिंदीदार) पर होते हैं। बैंगनी परिणामी $E$ बहुभुज की समापन भुजा है, जो पहली पूँछ से अंतिम सिर तक जाती है।

वृत्त से $E$ की लंबाई मिलती है। त्रिज्या $\rho$ वाले वृत्त में केंद्र पर कोण $\alpha$ बनाने वाली जीवा की लंबाई $2\rho \sin (\alpha /2)$ होती है। प्रत्येक भुजा $\phi$ घूमती है, इसलिए चित्र 2 की तरह वह केंद्र पर $\phi$ कोण बनाती है, और $E_0=2\rho \sin (\phi /2)$। समापन भुजा सभी $N$ भुजाओं को समेटती है और केंद्र पर $N\phi$ कोण बनाती है, अतः $E=2\rho |\sin (N\phi /2)|$। भाग देकर $\rho$ हटाएँ और वर्ग करें, तो
$I=I_1{\left(\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right)}^2$
जहाँ $I_1$ एक झिरी से आई तीव्रता है। $N=2$ के लिए अनुपात $\sin \phi /\sin (\phi /2)=2\cos (\phi /2)$ है, अतः यह फिर से $4I_1{\cos }^2(\phi /2)$ है, यानी दो-झिरी का परिणाम।

जब भी $\phi$, $2\pi$ का पूर्ण गुणज होता है, सभी तीर एक ही दिशा में और एक रेखा में होते हैं: $E=N{E}_0$, और तीव्रता $N^2{I}_1$ तक पहुँचती है। ये मुख्य उच्चिष्ठ $d\sin \theta =m\lambda$ पर ही रहते हैं, ठीक दो झिरियों की तरह। किसी उच्चिष्ठ से दूर जाने पर श्रृंखला मुड़ने लगती है और $\phi =2\pi /N$ पर पहली बार बंद होती है: यह चित्र 4 का दायाँ आधा भाग है, एक बंद पंचभुज, जिसमें $E=0$ है (बैंगनी बिंदु)। अतः प्रत्येक उच्चिष्ठ की अर्ध-चौड़ाई, उसके शिखर से पहले शून्य तक, उच्चिष्ठों के बीच के $2\pi$ अंतराल का $1/N$ है, यानी दो झिरियों की तुलना में $N/2$ गुना सँकरी। दो पड़ोसी उच्चिष्ठों के बीच $N-1$ शून्य और $N-2$ दुर्बल द्वितीयक शिखर होते हैं। प्रकाश केंद्रित होता है, उत्पन्न नहीं होता: औसत तीव्रता अब भी $N{I}_1$ है।

प्रति मिलीमीटर 500 रेखाओं वाली ग्रेटिंग का अंतराल 2.0 µm है। 600 nm प्रकाश के लिए $\lambda /d=0.3$ है, इसलिए पहली तीन कोटियों में $\sin \theta =m\lambda /d$ 0.3, 0.6 और 0.9 है: ये क्रमशः 17.5°, 36.9° और 64.2° पर निकलती हैं। चौथी कोटि के लिए $\sin \theta =1.2$ चाहिए, अतः वह अस्तित्व में नहीं है।

दो निकट के तरंगदैर्ध्य तब पृथक माने जाते हैं जब एक का उच्चिष्ठ दूसरे के पहले शून्य पर पड़े। $\lambda +\Delta \lambda$ के कोटि-$m$ उच्चिष्ठ का कोण लें, जहाँ $d\sin \theta =m(\lambda +\Delta \lambda )$। वहाँ $\lambda$ के लिए कला-अंतर $2\pi m+2\pi m\Delta \lambda /\lambda$ है, और यह $2\pi m$ से उतना अधिक होना चाहिए जितना पहले शून्य का चरण $2\pi /N$ है। $m\Delta \lambda /\lambda =1/N$ रखने पर विभेदन-क्षमता मिलती है
$\lambda /\Delta \lambda =mN$
पीली सोडियम रेखाएँ, 589.0 और 589.6 nm, प्रथम कोटि में लगभग 1000 रेखाएँ माँगती हैं। इस ग्रेटिंग के 2 cm भाग में 10,000 रेखाएँ हैं, और यह प्रथम कोटि में 600 nm पर 0.06 nm दूर की रेखाओं को अलग कर देती है।

हल किया गया प्रश्न: प्रतिरूप से झिरियों के आकार

600 nm का लेज़र प्रकाश एक द्वि-झिरी से गुज़रता है, और 1.0 m दूर का पर्दा 2.4 mm दूर की धारियाँ दिखाता है। धारियाँ किनारों की ओर फीकी पड़ती हैं, और दोनों ओर ±12 mm पर पाँचवीं धारी अनुपस्थित है, जिससे केंद्रीय पट्टी में नौ धारियाँ बचती हैं। झिरियों का अंतराल $d$, झिरी की चौड़ाई $a$, और प्रत्येक धारी की चमक ज्ञात कीजिए।

धारियों का अंतराल झिरियों की दूरी देता है। पड़ोसी चमकीली धारियों के पथ में एक तरंगदैर्ध्य का अंतर होता है, इसलिए लघु कोणों के लिए $\Delta y=\lambda L/d$ है, और
$d=\lambda L/\Delta y=(600\times 10^{-9}\cdot 1.0)/(2.4\times 10^{-3})=0.25\mathrm{mm}$

लुप्त धारी से झिरी की चौड़ाई मिलती है। लुप्त धारी आवरण के पहले शून्य $a\sin \theta =\lambda$ पर है, जो लघु कोणों के लिए $y=\lambda L/a=12\mathrm{mm}$ पर है, अतः
$a=(600\times 10^{-9}\cdot 1.0)/(12\times 10^{-3})=0.050\mathrm{mm}$
इस प्रकार $d=5a$ है, इसीलिए पाँचवीं कोटि लुप्त है। दूरस्थ-क्षेत्र की जाँच: $a^2/\lambda =4.2\mathrm{mm}$, जो 1.0 m से बहुत कम है, इसलिए दूरस्थ-क्षेत्र सूत्र लागू होते हैं।

कोटि-$m$ की धारी पर $\sin \theta =m\lambda /d$, अतः $\beta =\pi a\sin \theta /\lambda =\pi ma/d=\pi m/5$। हर चमकीली धारी पर ${\cos }^2=1$ है, इसलिए उसकी चमक केवल आवरण तय करता है: $(\sin \beta /\beta {)}^2$ केंद्र के सापेक्ष $m=0$ से 4 तक 1, 0.88, 0.57, 0.25 और 0.05 देता है, और $m=5$ पर 0। अंतराल के पार धारियाँ एक पार्श्व पट्टी में लौटती हैं, जिसकी सबसे चमकीली धारी भी केंद्र के 5 % से कम रहती है।

एनिमेशन में $d/a=50/14=3.57$ है, पूर्ण संख्या नहीं, इसलिए कोई कोटि पूरी तरह लुप्त नहीं होती। इसकी पहली कोटियाँ 0.77 तक पहुँचती हैं, दूसरी 0.31, और तीसरी केवल 0.033, जो आवरण के $m=3.57$ पर शून्य के ठीक भीतर है; पर्याप्त चौड़ा पर्दा केंद्रीय पट्टी में सात धारियाँ दिखा देता। झिरियों की चौड़ाई $a=d/3\approx 16.7\mathrm{px}$ करने पर तीसरी कोटि ठीक लुप्त हो जाती।

एक बार में एक क्वांटम

वही प्रतिरूप तब भी बना रहता है जब प्रकाश इतना मंद हो कि फ़ोटॉन एक-एक करके आएँ, और यह इलेक्ट्रॉनों के लिए भी दिखता है। यहाँ क्षेत्रों को जोड़ने का नियम क्वांटम यांत्रिकी का केंद्रीय नियम बन जाता है।

प्रकाश को इतना मंद करें कि फ़ोटॉन एक-एक करके पहुँचें: पर्दा यादृच्छिक बिंदुओं पर अकेली चमक दर्ज करता है, फिर भी हज़ारों चमकों के बाद वे उन्हीं ${\cos }^2$ धारियों में जमा हो जाती हैं। इलेक्ट्रॉन भी यही करते हैं, डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda =h/p$ के साथ, जहाँ $p$ संवेग है और $h$ प्लांक नियतांक। 100 V से त्वरित इलेक्ट्रॉन का $\lambda =0.123\mathrm{nm}$ है, इसलिए 1 µm दूर की झिरियाँ 1 m दूर के पर्दे पर 0.12 mm दूर की धारियाँ देंगी।

नियम क्षेत्रों वाला ही है, पर प्रायिकता-आयामों पर लागू। किसी बिंदु तक पहुँचने के हर रास्ते का एक सम्मिश्र आयाम है, एक झिरी से ${\varphi }_1$ और दूसरी से ${\varphi }_2$; वहाँ पहुँचने की प्रायिकता उनके योग के परिमाण का वर्ग है:
$P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2=|{\varphi }_1{|}^2+|{\varphi }_2{|}^2+2|{\varphi }_1||{\varphi }_2|\cos (k\Delta r)$
पहले दो पद एकल-झिरी प्रतिरूप हैं। अंतिम पद व्यतिकरण है, जहाँ $k=p/\hslash$ और $\hslash =h/(2\pi )$; इसके बिना झिरियाँ केवल अपने-अपने एकल-झिरी प्रतिरूप जोड़तीं, और कोई धारियाँ न बनतीं।

हर कण कौन-सी झिरी से गुज़रा, यह दर्ज करने से क्रॉस पद हट जाता है, और धारियाँ भी उसके साथ गायब हो जाती हैं। कारण मापन से लगने वाला धक्का है। जो प्रकाश दोनों झिरियों को अलग पहचान सके, उसका तरंगदैर्ध्य लगभग $d$ से कम होना चाहिए, इसलिए उसके हर फ़ोटॉन का संवेग कम से कम लगभग $h/d$ है। एक फ़ोटॉन को बिखेरने से कण का पथ अधिकतम लगभग $(h/d)/p=\lambda /d$ तक मुड़ता है, जो कोण में एक धारी-अंतराल है, और यादृच्छिक आकार के धक्के धारियों को धुँधला कर देते हैं, जैसा “तरंग-कण द्वैतता” में समझाया गया है।

वैधता की सीमाएँ

यहाँ प्रयुक्त अदिश सिद्धांत प्रकाश को एकल तरंग-आयाम मानता है, विद्युत क्षेत्र की दिशा को अनदेखा करता है, और झिरियों को पूर्णतः अपारदर्शी पर्दे के छिद्र मानता है। यह कुछ तरंगदैर्ध्य चौड़ी झिरियों के लिए ठीक काम करता है। एक तरंगदैर्ध्य से सँकरी झिरी में आवरण-शून्य नहीं होता ($a\sin \theta =\lambda$ के लिए $a\ge \lambda$ चाहिए), वह अपने पीछे प्रकाश लगभग समान रूप से फैला देती है, और झिरी के समांतर और लंबवत क्षेत्रों के लिए प्रकाश को अलग-अलग मात्रा में संप्रेषित करती है, जो एक ध्रुवण प्रभाव है और अदिश चित्र में नहीं आता।

धारियों के लिए संगतता भी चाहिए: तरंगों की कलाओं का संबंध स्थिर रहना चाहिए। तरंगदैर्ध्यों का प्रसार $\Delta \lambda$ संगतता-लंबाई को लगभग ${\lambda }^2/\Delta \lambda$ तक सीमित करता है, यानी वह पथांतर जिस तक कला स्थिर रहती है। श्वेत प्रकाश के लिए यह लगभग 1 µm है, यानी केवल दो-एक तरंगदैर्ध्य, इसलिए केवल पहली दो-एक कोटियाँ रंग दिखाती हैं, जबकि सेंटीमीटर से मीटर तक संगत लेज़र दूर तक की धारियाँ देता है।

कोणीय आकार $\alpha$ वाला स्रोत भी प्रतिरूप को धुँधला करता है। स्रोत का हर बिंदु अपनी दिशा से कोण में खिसकी हुई अपनी प्रतिलिपि बनाता है, और जब $\alpha$ धारी-अंतराल $\lambda /d$ के निकट पहुँचता है, तो प्रतिलिपियाँ मिट जाती हैं। हल किए गए प्रश्न की 0.25 mm वाली झिरियों के लिए वह 2.4 mrad है, परंतु सूर्य 9.3 mrad फैला है, इसलिए सीधी धूप केवल लगभग 0.06 mm से सँकरी झिरियों से ही धारियाँ बनाती है: इसीलिए पारंपरिक व्यवस्थाओं के सामने पिनहोल या एकल झिरी रखी जाती है। आंशिक संगतता दृश्यता $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })$ को 1 से नीचे ले जाती है।

अंत में, आवरण सूत्र दूरस्थ-क्षेत्र मानता है, $L\gg a^2/\lambda$; निकट के फ़्रेस्नेल क्षेत्र में प्रतिरूप दूरी के साथ आकार बदलता है। दोहरी झिरी की धारी-स्थितियों के लिए केवल $d\ll L$ चाहिए, जैसा पथांतर वाले अनुभाग में दिखाया गया। इसीलिए एनिमेशन की धारियाँ $d\sin \theta =m\lambda$ का पालन करती हैं, यद्यपि $d^2/\lambda =312\mathrm{px}$, $L=220\mathrm{px}$ से अधिक है।

इससे आगे

अनेक झिरियाँ अधिकांश स्पेक्ट्रोमीटरों के केंद्र में स्थित ग्रेटिंग बनाती हैं, और वे जो रेखा-स्पेक्ट्रम दर्ज करती हैं वे “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” की ओर ले जाते हैं। व्यास $D$ वाला वृत्ताकार द्वारक प्रकाश को कोणीय त्रिज्या $1.22\lambda /D$ वाले धब्बे में फैला देता है, जो “आँख, कैमरा और दूरदर्शी” की विभेदन-सीमा है। यहाँ जुड़ने वाले क्षेत्र “विद्युत चुंबकीय तरंगें” के हैं, और उनके दोलन की दिशा “प्रकाश का ध्रुवण” का विषय है।

प्रायिकता-आयाम नियम $P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2$ क्वांटम यांत्रिकी का मूल है: “तरंग-कण द्वैतता” उसे अकेले इलेक्ट्रॉनों से खड़ा करती है, और “श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन” उसे पदार्थ के लिए तरंग-समीकरण में बदल देता है।