श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन

तरंग फलन $ψ (x)$ $∣ ψ ∣^{2}$ के ज़रिए कण मिलने की संभावना देता है, और श्रोडिंगर समीकरण उसका रूप तय करता है: एक बक्से में केवल ऊर्जाएँ $E_{n} \propto n^{2}$ ही अनुमत हैं; कण की ऊर्जा से ऊँचे अवरोध को भी पार किया जा सकता है, जिसकी संभावना चौड़ाई $a$ के साथ $e^{- 2 κa}$ की तरह घटती है।

एक इलेक्ट्रॉन तरंग-पैकेट एक पतले ऊर्जा-अवरोध से टकराता है: अधिकांश परावर्तित हो जाता है और कुछ हिस्सा सुरंगन करके पार निकल जाता है, जबकि बक्से में बंद इलेक्ट्रॉन अपनी तीन सबसे निम्न अप्रगामी तरंगें दिखाता है।

इस विषय से पहले: तरंग-कण द्वैतता

शुरुआती

मुख्य विचार

जिस गेंद में पहाड़ की चोटी तक पहुँचने जितनी ऊर्जा नहीं होती, वह हमेशा लौट आती है: उसकी ऊर्जा ही तय करती है कि वह कितनी ऊँचाई तक जा सकती है।
इलेक्ट्रॉन को एक तरंग से वर्णित किया जाता है: जहाँ तरंग बड़ी है, वहाँ इलेक्ट्रॉन मिलने की संभावना अधिक है।
इलेक्ट्रॉन की तरंग एक पतली दीवार से रिस सकती है जिसे वह चढ़ नहीं सकता: अधिकांश लौट जाता है, थोड़ा-सा पार निकल जाता है।
हर इलेक्ट्रॉन दीवार के एक ही ओर पूरा मिलता है; दीवार जितनी पतली या नीची होगी, उतने ही ज़्यादा इलेक्ट्रॉन पार होंगे।
बक्से में केवल पूरी अर्ध-तरंगें समाती हैं, इसलिए वहाँ बंद इलेक्ट्रॉन कुछ निश्चित ऊर्जाएँ ही रख सकता है।

चरण 1: ऊर्जा एक सीमा तय करती है। पहाड़ी पर चढ़ती गेंद अपनी गति को ऊँचाई में बदलती है। शिखर तक पहुँचने के लिए जितनी ऊर्जा चाहिए, उससे कम होने पर वह बीच में रुकती है और हर बार लौट आती है: ऊर्जा कहीं से अचानक नहीं आ सकती।

चरण 2: बहुत छोटी चीज़ें भी तरंग की तरह व्यवहार करती हैं। प्रकाश कभी तरंग की तरह और कभी कणों (फ़ोटॉन) की तरह व्यवहार करता है, और इलेक्ट्रॉन भी ऐसा ही करते हैं। इलेक्ट्रॉन को एक तरंग से वर्णित किया जाता है, जिसे $ψ$ (ग्रीक अक्षर साई) लिखा जाता है। जहाँ तरंग बड़ी है, वहाँ इलेक्ट्रॉन मिलने की संभावना अधिक है; जहाँ वह सपाट है, वहाँ लगभग कभी नहीं। एनिमेशन में नीली रेखा इलेक्ट्रॉन की तरंग है और छायादार उभार दिखाता है कि वह शायद कहाँ है।

चरण 3: तरंग एक पतली दीवार से रिस सकती है। सुनहरी रेखा इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा है और धूसर दीवार उससे ऊँची है, इसलिए गेंद हमेशा लौट आती। देखिए: अधिकांश तरंग वापस उछल जाती है, पर दीवार के उस पार एक छोटी तरंग प्रकट होती है और आगे बढ़ती है। हर इलेक्ट्रॉन फिर भी दीवार के एक ही ओर पूरा मिलता है; यहाँ लगभग हर पाँच में से एक पार निकलता है। इसे क्वांटम सुरंगन कहते हैं। प्रकाश भी ऐसा करता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन से काँच में फँसा प्रकाश एक बहुत पतले वायु-अंतराल को पार करके दूसरे ब्लॉक में जा सकता है।

स्व-जाँच: दीवार की मोटाई दोगुनी कर दी जाए। क्या अधिक इलेक्ट्रॉन पार होंगे या कम? उत्तर: बहुत कम, क्योंकि तरंग दीवार के भीतर तेज़ी से क्षीण हो जाती है। लेकिन नीची दीवार अधिक इलेक्ट्रॉन पार होने देती है।

चरण 4: बंधी तरंगों की ऊर्जाएँ निश्चित होती हैं। दाईं ओर के बक्से में तरंग को गिटार की तार की तरह दीवारों के बीच ठीक बैठना होता है, इसलिए केवल पूरी अर्ध-तरंगें अनुमत हैं, और हर एक की अपनी ऊर्जा है। परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन भी बंधे होते हैं, इसी से परमाणुओं में ऊर्जा स्तर होते हैं।

सुरंगन के कारण सूर्य के भीतर नाभिक संलयित हो पाते हैं, और फ़्लैश मेमोरी में फ़ोटो संग्रहीत रहती हैं।

मध्यम

मुख्य विचार

$∣ ψ ∣^{2}$ प्रायिकता घनत्व है: किसी क्षेत्र पर इसका क्षेत्रफल उस क्षेत्र में कण मिलने की संभावना है।
जहाँ $E > V$ , वहाँ $ψ$ $λ = h / p$ के साथ दोलन करता है; जहाँ $E < V$ , वहाँ यह $e^{- κ x}$ के अनुसार क्षय होता है, जिसमें $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ ।
चौड़े अवरोध के लिए $T \approx 16 (E / V_{0}) (1 - E / V_{0}) e^{- 2 κa}$ : चौड़ाई $a$ घातांक में होती है।
3 eV के इलेक्ट्रॉन और 4 eV, 0.25 nm के अवरोध के लिए $κ = 5.12 n m^{- 1}$ और $T \approx 0.22$ मिलता है; $a$ को दोगुना करने पर $T$ दस गुने से भी ज़्यादा घट जाता है।
चौड़ाई $L$ वाले बक्से में केवल $L = nλ /2$ संभव है, इसलिए $E_{n} = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ : स्तर 1 : 4 : 9 के अनुपात में होते हैं।

तरंग फलन और उसकी प्रायिकताएँ

क्वांटम यांत्रिकी में इलेक्ट्रॉन का कोई निश्चित पथ नहीं होता। उसकी अवस्था एक तरंग फलन $ψ (x)$ है, ऐसी तरंग जिसे सीधे कभी नहीं देखा जाता: एक डिटेक्टर पूरा इलेक्ट्रॉन एक ही स्थान पर पाता है, और तरंग फलन केवल बताता है कि हर स्थान की संभावना कितनी है।

बॉर्न नियम के अनुसार $∣ ψ ∣^{2}$ प्रति मीटर एक प्रायिकता है, और दो बिंदुओं के बीच कण मिलने की प्रायिकता उसके नीचे का क्षेत्रफल है:
$P = \int ∣ ψ ∣^{2} d x$

एनिमेशन में $∣ ψ ∣^{2}$ बैंगनी छाया है और नीली रेखा तरंग का वास्तविक भाग $Re ψ$ है। पाठ्यांक $P (left)$ , $P (barrier)$ और $P (right)$ तीन क्षेत्रों में छाया के क्षेत्रफल हैं, और पूरी रेखा पर इनका योग 1 होता है।

ऊर्जा-आरेख पर श्रोडिंगर समीकरण

निश्चित ऊर्जा $E$ वाले कण के लिए तरंग फलन समय-निरपेक्ष श्रोडिंगर समीकरण का पालन करता है:
$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} + V (x) ψ = E ψ$
यहाँ $m$ द्रव्यमान है, $V (x)$ स्थितिज ऊर्जा है और $ℏ = h /2 π$ समानीत प्लांक स्थिरांक है। इसे ऊर्जा-संतुलन की तरह पढ़िए: गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग $E$ के बराबर है, और गतिज भाग इस पर निर्भर करता है कि $ψ$ कितनी तीव्रता से मुड़ता है।

एनिमेशन एक ऊर्जा-आरेख है: स्थिति बाईं से दाईं ओर और ऊर्जा नीचे से ऊपर जाती है। धूसर अवरोध $V (x)$ है, जो दोनों ओर शून्य और भीतर $V_{0}$ है, तथा सुनहरी रेखा $E$ है, जिसके चारों ओर तरंग खींची गई है। जहाँ $E > V$ है, वहाँ तरंग दी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य के साथ दोलन करती है
$λ = \frac{h}{p}, p = 2 m (E - V)$
जैसा कि अवरोध के दोनों ओर की नीली तरंग करती है।

जहाँ $E < V$ है, वहाँ कोई शास्त्रीय कण कभी नहीं हो सकता, क्योंकि उसकी गतिज ऊर्जा ऋणात्मक होती। वहाँ भी समीकरण के हल होते हैं, पर वे तरंगें नहीं बल्कि घातांकीय फलन हैं, और क्षय होने वाला हल दीवार के भीतर धीरे-धीरे लुप्त हो जाता है।

अवरोध के भीतर: क्षय और पारगमन

ऊँचाई $V_{0}$ वाले मोटे अवरोध के भीतर तरंग $e^{- κ x}$ के अनुसार क्षय होती है, जिसका क्षय स्थिरांक है
$κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$
क्षय दूरी $1/ κ$ पर आयाम एक गुणक $e \approx 2.72$ से घट जाता है। बड़ा ऊर्जा-अंतर $V_{0} - E$ या भारी कण $κ$ को बड़ा और क्षय को तेज़ बना देता है।

पतला अवरोध दूसरी ओर भी कुछ तरंग छोड़ता है, जिसकी तरंगदैर्घ्य वही है पर आयाम छोटा है। जो इलेक्ट्रॉन पार निकलते हैं उनका अंश पारगमन प्रायिकता $T$ है, जो लौटते हैं उनका अंश $R$ है, और $R + T = 1$ । चौड़ाई $a$ वाले अवरोध के लिए, जो $1/ κ$ से कहीं बड़ी हो,
$T \approx 16 (\frac{E}{V _{0}}) (1 - \frac{E}{V _{0}}) e^{- 2 κa}$
आयाम $e^{- κa}$ से गुणा होता है और प्रायिकता उसके वर्ग से; पूर्व-गुणक, जो कभी 4 से अधिक नहीं होता, केवल $E / V_{0}$ पर निर्भर करता है।

चौड़ाई घातांक में होती है, इसलिए सुरंगन इसके प्रति अत्यंत संवेदनशील है: मोटाई में हर अतिरिक्त $1/ (2 κ)$ $T$ को $e$ से भाग देता है। कुछ इलेक्ट्रॉन-वोल्ट ऊँचे अवरोधों के लिए केवल अधिकतम कुछ नैनोमीटर मोटी परतें ही बड़ी संख्या में इलेक्ट्रॉन पार होने देती हैं।

उदाहरण: एनिमेशन का अवरोध

इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = 3 eV$ है और वह $V_{0} = 4 eV$ ऊँचे तथा $a = 0.25 nm$ चौड़े अवरोध से टकराता है, जो दृश्य में लिखे मान हैं। अवरोध का शीर्ष ऊर्जा से 1 eV, यानी $1.60 \times 1 0^{- 19} J$ ऊपर है, इसलिए
$κ = \frac{2 \cdot 9.11 \times 1 0 ^{- 31} \cdot 1.60 \times 1 0 ^{- 19}}{1.055 \times 1 0 ^{- 34}} \approx 5.12 \times 1 0^{9} m^{- 1} = 5.12 n m^{- 1}$
और क्षय दूरी $1/ κ = 0.195 nm$ अवरोध की चौड़ाई से थोड़ी कम है।

फिर $2 κa = 2 \cdot 5.12 \cdot 0.25 = 2.56$ और $e^{- 2.56} \approx 0.077$ । पूर्व-गुणक $16 \cdot 0.75 \cdot 0.25 = 3$ है, अतः
$T \approx 3 \cdot 0.077 \approx 0.23$
उन्नत स्तर का सटीक सूत्र 0.214 देता है, और ऊर्जाओं के थोड़े-से प्रसार वाला चलता पैकेट 0.218 देता है। पाठ्यांक इसी पर स्थिर होते हैं: $P (right) = 0.22$ और $P (left) = 0.78$ ।

अवरोध के बाहर $λ = h / 2 m E = 0.708 nm$ है, और पारगत तरंग की तरंगदैर्घ्य वही है, पर उसका आयाम आपतित आयाम का लगभग $0.22 \approx 0.47$ ही है। अवरोध के सामने आपतित और परावर्तित तरंगें $λ /2 = 0.354 nm$ दूरी वाली ऊँची धारियों में एक-दूसरे पर चढ़ती हैं। लगभग 4 s पर पाठ्यांक बाईं ओर 0.80, अवरोध में 0.10 और दाईं ओर 0.10 दिखाते हैं: कुछ क्षण के लिए प्रायिकता का दसवाँ हिस्सा दीवार के भीतर रहता है।

उदाहरण: स्कैनिंग सुरंगन सूक्ष्मदर्शी

एक नुकीली धातु की नोक को चालक सतह से एक नैनोमीटर के एक अंश जितनी दूरी पर रखा जाता है। भरे हुए स्तरों के शीर्ष के पास के इलेक्ट्रॉनों के लिए यह अंतराल एक ऐसा अवरोध है जिसका शीर्ष उनसे लगभग एक कार्य-फलन ऊपर है, यहाँ $V_{0} - E = 4.5 eV$ ; धारा पारगमन के समानुपाती है, $I \propto e^{- 2 κ d}$ , जहाँ $d$ अंतराल की चौड़ाई है। जब नोक 0.1 nm पास आती है तो धारा किस गुणक से बदलती है?

चूँकि $κ$ ऊर्जा-अंतर के वर्गमूल के साथ बढ़ता है, $κ = 5.12 \cdot 4.5 \approx 10.9 n m^{- 1}$ है, और पूर्व-गुणक अनुपात में निरस्त हो जाता है: $I_{2} / I_{1} = e^{2 κ Δ d} = e^{2 \cdot 10.9 \cdot 0.1} = e^{2.17} \approx 8.8$ । मोटे-से $κ \approx 10 n m^{- 1}$ के साथ यह $e^{2} \approx 7$ है: आधे परमाणु-व्यास से कम का विस्थापन भी धारा को कई गुना बढ़ा देता है।

केवल 0.01 nm ऊँचा उभार धारा को $e^{0.217} \approx 1.24$ से बदलता है, यानी 24 % की वृद्धि, जबकि 0.2 nm ऊँची परमाणु सीढ़ी उसे लगभग 77 गुना बदल देती है। फ़ीडबैक लूप स्कैन के दौरान नोक को इस तरह हिलाता है कि धारा स्थिर रहे, और तब नोक की ऊँचाई सतह को परमाणु-दर-परमाणु अंकित करती है।

बंधी तरंगें: बक्से में ऊर्जा स्तर

अब इलेक्ट्रॉन को चौड़ाई $L$ के बक्से में बाँधिए, जिसके भीतर $V = 0$ है और जिसकी दीवारें वह पार नहीं कर सकता। तरंग फलन को दोनों दीवारों पर शून्य होना चाहिए, गिटार की उस तार की तरह जो दोनों सिरों पर बँधी हो; इसलिए केवल पूरी अर्ध-तरंगें फिट होती हैं, $L = nλ /2$ । तब $p = h / λ = nh / (2 L)$ है, और गतिज ऊर्जा $p^{2} /2 m$ अनुमत ऊर्जाएँ देती है
$E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ अर्ध-तरंगों की गिनती करते हैं; $n = 0$ का अर्थ होगा कि कोई तरंग है ही नहीं, इसलिए न्यूनतम ऊर्जा कभी शून्य नहीं होती।

स्तर $n^{2}$ के अनुसार बढ़ते हैं, 1 : 4 : 9 के अनुपात में, जैसे एनिमेशन के बक्से में, जिन्हें $E_{1}$ , $4 E_{1}$ और $9 E_{1}$ नाम दिया गया है। हर अप्रगामी तरंग की एक स्थिर छाया $∣ ψ_{n} ∣^{2}$ होती है: निश्चित ऊर्जा की अवस्था स्थिर होती है। $L = 1 nm$ के लिए $E_{1} = (6.626 \times 1 0^{- 34})^{2} / (8 \cdot 9.11 \times 1 0^{- 31} \cdot 1 0^{- 18}) \approx 6.0 \times 1 0^{- 20} J = 0.38 eV$ है, इसलिए $E_{2} = 1.50 eV$ और $E_{3} = 3.38 eV$ । $n = 3$ से $n = 2$ पर कूदने पर $5 E_{1} = 1.88 eV$ मुक्त होता है, यानी लगभग 660 nm का लाल फ़ोटॉन। छोटा बक्सा स्तरों को $1/ L^{2}$ के अनुसार और दूर-दूर कर देता है।

सामान्य भूलें

इलेक्ट्रॉन अवरोध में ऊर्जा नहीं खोता। उसके बाहर भी तरंगदैर्घ्य 0.708 nm ही रहती है, इसलिए 3 eV का इलेक्ट्रॉन 3 eV के साथ बाहर आता है; केवल आयाम छोटा होता है।
इलेक्ट्रॉन टूटता नहीं। $P (right) = 0.22$ का अर्थ है कि हर 100 इलेक्ट्रॉनों में से लगभग 22 अवरोध के उस पार मिलते हैं, और हर एक पूरा।
पारगमन चौड़ाई के व्युत्क्रमानुपाती नहीं है: 0.25 nm से 0.5 nm तक $T$ 0.214 से घटकर 0.018 हो जाता है, यानी लगभग बारह गुना, क्योंकि चौड़ाई दोगुनी होने से घातांकीय गुणक का वर्ग हो जाता है।
द्रव्यमान भी ऊर्जा जितना ही मायने रखता है। उसी अवरोध पर उतनी ही 3 eV ऊर्जा वाले प्रोटॉन का $κ$ $1836 \approx 43$ गुना बड़ा है, इसलिए $2 κa \approx 110$ और $T \approx 6 \times 1 0^{- 48}$ ।

यह कहाँ दिखता है

फ़्लैश मेमोरी हर बिट को एक अलग किए गए गेट पर आवेश के रूप में संग्रहीत करती है, और इसे कुछ नैनोमीटर मोटी इन्सुलेटिंग परत के पार इलेक्ट्रॉनों को चलाकर लिखा और मिटाया जाता है। टनल डायोड, स्कैनिंग सुरंगन सूक्ष्मदर्शी और नाभिकों से α कणों का निकलना इसी पाठ के नियम का पालन करते हैं, और सूर्य के केंद्र में प्रोटॉन केवल सुरंगन की वजह से संलयित होते हैं।

यही तरंग-नियम प्रकाश पर भी लागू होते हैं: परावर्तन और अपवर्तन में पूर्ण परावर्तित किरण एक पतला अंतराल पार कर सकती है। रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु में नाभिक सुरंगन करते हैं, और विखंडन, संलयन और E = mc² में भी। अर्धचालक, डायोड और एलईडी इलेक्ट्रॉन तरंगों से ऊर्जा-बैंड बनाते हैं, और परमाणु मॉडल: बोर परमाणु में बक्से के स्तरों से मिलते-जुलते स्तर हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

स्थिर विभव में $ω = E /ℏ$ हर जगह एक समान है; $p^{2} /2 m = E - V$ स्थानीय तरंगदैर्घ्य तय करता है, और जहाँ $V > E$ है वहाँ तरंग $e^{- κ x}$ के अनुसार क्षय होती है।
दोनों किनारों पर $ψ$ और $ψ^{'}$ का मिलान करने पर $T = [1 + V_{0}^{2} sinh^{2} (κa) / (4 E (V_{0} - E))]^{- 1}$ मिलता है, और $∣ r ∣^{2} + ∣ t ∣^{2} = 1$ ।
$κa ≫ 1$ के लिए $T \approx 16 (E / V_{0}) (1 - E / V_{0}) e^{- 2 κa}$ : यही वह घातांकीय गिरावट है जो $T (a)$ आलेख में दिखती है।
बाधित पूर्ण आंतरिक परावर्तन इसका प्रकाशीय समरूप है: प्रकाश लगभग एक तरंगदैर्घ्य चौड़े अंतराल को अपने क्षीण होते क्षेत्र के सहारे पार करता है।
WKB सन्निकटन, $T \approx exp (- 2 \int κ d x)$ , बताता है कि 4–9 MeV की α ऊर्जाएँ अर्ध-आयु को माइक्रोसेकंड से लेकर अरबों वर्षों तक क्यों बदल देती हैं।

एक आवृत्ति, कई तरंगदैर्घ्य

सुरंगन एक तरंग-प्रभाव है, इसलिए निश्चित ऊर्जा वाले कण की तरंग से शुरू कीजिए और पूछिए कि स्थितिज ऊर्जा के बदलने पर वह उसके पथ में कैसे बदलती है। दो नियम आगे की लगभग हर बात तय कर देते हैं: आवृत्ति हर जगह एक समान है, और तरंगदैर्घ्य स्थानीय गतिज ऊर्जा के अनुसार समायोजित होता है। जहाँ गतिज ऊर्जा ऋणात्मक होगी, वहाँ तरंग अचानक नहीं रुकती; वह क्षीण होती जाती है।

चित्र 1 ऊर्जा $E$ वाली एक अवस्था (बैंगनी रेखा) को स्थितिज ऊर्जा $V (x)$ के तीन सपाट स्तरों (धूसर) के पार जाते हुए दिखाता है। नीचे नीली वक्र-रेखा किसी एक क्षण पर तरंग फलन $ψ$ है। सबसे निचले स्तर पर $V = 0$ है, और तरंग तरंगदैर्घ्य $λ_{1}$ से दोलन करती है। बीच के स्तर पर $V = \frac{3}{4} E$ है, इसलिए गतिज ऊर्जा $E - V$ पहले की केवल एक-चौथाई है: तरंग खिंचकर $λ_{2} = 2 λ_{1}$ हो जाती है, और उसके शिखर और ऊँचे हो जाते हैं। सबसे ऊँचे स्तर पर $V = \frac{5}{4} E$ है, जो $E$ से ऊपर है। वहाँ तरंग दोलन बंद कर देती है और दाईं ओर चिह्नित छोटी लंबाई $κ^{- 1}$ में अपने किनारे के मान के $1/ e$ तक गिर जाती है। दोनों पायदानों पर भी ध्यान दीजिए: वक्र वहाँ सतत है और उसमें कोई मोड़ नहीं है।

आवृत्ति साझी क्यों है। जब $V$ समय पर निर्भर नहीं करता, तब निश्चित ऊर्जा की अवस्था का रूप होता है $ψ (x) e^{- iω t}$ : अंतरिक्ष में एक स्थिर आकार, गुणा एक एकल दोलनशील गुणक, जिसकी कोणीय आवृत्ति $ω = E /ℏ$ हर $x$ पर समान है। स्थितिज ऊर्जा में समय के साथ कुछ नहीं बदलता, इसलिए तरंग का कोई एक भाग दूसरे से तेज़ चलने के लिए बाध्य नहीं हो सकता। काँच में प्रवेश करता प्रकाश भी इसी तरह व्यवहार करता है: वह अपनी आवृत्ति बनाए रखता है और केवल तरंगदैर्घ्य बदलता है। पूरी तरंग की एक आवृत्ति का अर्थ है पूरी गति की एक ऊर्जा। तरंगों की भाषा में यही ऊर्जा-संरक्षण है।

तरंगदैर्घ्य क्यों बदलता है। स्थिर ऊर्जा हर स्थान पर गतिज और स्थितिज ऊर्जा के बीच अलग तरह से बँटती है। $ℏ ω = p^{2} /2 m + V (x)$ लिखकर संवेग के लिए हल करने पर स्थानीय संवेग $p (x) = 2 m (E - V (x))$ मिलता है, और उसके साथ स्थानीय तरंगदैर्घ्य $h / p (x)$ । जहाँ $V$ नीचे जाता है, वहाँ $p$ बड़ा होता है और तरंगें एक-दूसरे के पास सिमट जाती हैं; जहाँ $V$ ऊपर उठता है, वहाँ वे खिंच जाती हैं। चित्र 1 के बीच के स्तर पर गतिज ऊर्जा एक-चौथाई है, इसलिए $p$ आधा हो जाता है और तरंगदैर्घ्य $λ_{1}$ से दोगुना होकर $λ_{2}$ हो जाता है। वहाँ शिखर इसलिए ऊँचे हैं कि धीमा कण अपने पथ के हर हिस्से पर अधिक समय बिताता है, इसलिए वहाँ उसके मिलने की संभावना अधिक होती है।

$V > E$ होने पर क्या होता है। कोई शास्त्रीय कण वहाँ कभी नहीं हो सकता, क्योंकि उसकी गतिज ऊर्जा $E - V$ ऋणात्मक होगी: यही शास्त्रीय रूप से निषिद्ध क्षेत्र है। सूत्र में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल काल्पनिक होता है, $p = i ℏ κ$ , जिसमें वास्तविक क्षय स्थिरांक है
$κ = \frac{2 m ( V - E )}{ℏ}$
इसे समतल तरंग $e^{i p x /ℏ}$ में रखने पर यह वास्तविक घातांकीय $e^{- κ x}$ बन जाती है। समीकरण बढ़ते हुए हल $e^{+ κ x}$ की भी अनुमति देता है, पर ऐसे निषिद्ध क्षेत्र में, जो अनंत तक चलता है, यह $ψ$ को अनिश्चित रूप से बढ़ा देता, इसलिए इसे अस्वीकार किया जाता है। अतः आयाम निषिद्ध क्षेत्र में प्रवेश करता है, पर वहाँ हर लंबाई $1/ κ$ पर $e$ के एक गुणक से क्षय होता है। चित्र 1 में ऊपरी स्तर का $V - E$ , बीच के स्तर के $E - V$ के बराबर है, इसलिए $κ$ बीच वाले स्तर की तरंग-संख्या $2 π / λ_{2}$ के बराबर है और क्षय दूरी $κ^{- 1} = λ_{2} /2 π$ है: तरंग लगभग एक-छठी तरंगदैर्घ्य के भीतर लुप्त हो जाती है।

प्रकाश भी इसी तरह क्षीण होता है, और यह प्रभाव प्रयोगशाला की मेज़ पर देखा जा सकता है। एक किरण अपवर्तनांक $n$ वाले काँच में चलती है, और उसकी सतह के अभिलंब से कोण $θ$ बनाती है जिसके आगे वायु है। सतह के साथ तरंग-प्रतिरूप दोनों ओर मेल खाना चाहिए, इसलिए तरंग-सदिश का सतह के समानांतर घटक $k_{y} = nω sin θ / c$ वायु में भी वही होता है। परंतु वायु में पूरा तरंग-सदिश केवल $ω / c$ लंबा होता है। क्रांतिक कोण से आगे, जहाँ $n sin θ > 1$ है, सतह के समानांतर घटक की लंबाई पहले से ही इससे अधिक होती है, इसलिए अंतराल के पार वाले घटक का वर्ग ऋणात्मक हो जाता है:
$k_{x}^{2} = (ω / c)^{2} - k_{y}^{2} = (ω / c)^{2} (1 - n^{2} sin^{2} θ)$
तब $k_{x} = iκ$ काल्पनिक होता है, और वायु में क्षेत्र $e^{- κ x}$ के अनुसार क्षय होता है। $n = 1.5$ और 60° के लिए $κ λ_{0} = 2 π n^{2} sin^{2} θ - 1 \approx 5.2$ है, जहाँ $λ_{0}$ निर्वात तरंगदैर्घ्य है। अतः 550 nm का हरा प्रकाश लगभग 0.1 µm में क्षय हो जाता है। इतने पास एक दूसरा काँच-ब्लॉक लगाइए, और कुछ प्रकाश अंतराल पार करके उसमें चला जाता है। इसे बाधित पूर्ण आंतरिक परावर्तन कहते हैं: फ़ोटॉनों के लिए अवरोध-भेदन।

सीमाओं पर मिलान: सटीक पारगमन

अब निषिद्ध क्षेत्र को परिमित बनाइए: एक ऐसा अवरोध, जिसके दोनों ओर अनुमत भूमि है। क्षय होती तरंग दूसरी ओर घटे हुए पर शून्य से भिन्न आयाम के साथ पहुँचती है, और वहाँ से फिर एक चलती तरंग शुरू होती है। यह मालूम करने के लिए कि कितना भाग पार निकलता है, हर क्षेत्र में तरंग-समीकरण हल कीजिए और टुकड़ों को सीमाओं पर जोड़िए।

चित्र 2 बाईं ओर से ऊँचाई $V_{0}$ और चौड़ाई $a$ वाले अवरोध की ओर आती इकाई आयाम की तरंग दिखाता है। यह $E = \frac{3}{4} V_{0}$ और $κa = 1.6$ के लिए बनाया गया है, यानी ऐसा अवरोध जिसकी मोटाई आधी तरंगदैर्घ्य से थोड़ी कम है। अवरोध के सामने आपतित तरंग (तीर 1) और परावर्तित तरंग (तीर $r$ ) एक-दूसरे पर चढ़कर लगभग अप्रगामी तरंग बनाती हैं। भीतर वक्र अक्ष से दूर मुड़ता है और नीचे धँसता है। अवरोध के पीछे केवल एक तरंग आयाम $t$ के साथ दाईं ओर जाती है, और उस ओर से कुछ भी लौटकर नहीं आता। तीरों की लंबाइयाँ आयाम हैं: यहाँ $∣ r ∣ = 0.94$ और $∣ t ∣ = 0.34$ । दो बिंदु सीमाओं को चिह्नित करते हैं, जहाँ $ψ$ और उसकी ढलान $ψ^{'}$ दोनों ओर समान मान रखने चाहिए।

वे समान क्यों होने चाहिए? श्रोडिंगर समीकरण को वक्रता के कथन में बदलिए:
$\frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} (V - E) ψ$
जहाँ $V < E$ है, वहाँ वक्रता का चिह्न $ψ$ के चिह्न से उलटा होता है, इसलिए वक्र हमेशा अक्ष की ओर मुड़ता है और दोलन करता है। जहाँ $V > E$ है, वहाँ चिह्न समान होता है, इसलिए वक्र अक्ष से दूर मुड़ता है, जैसे $e^{\pm κ x}$ । किसी सीमा पर $V$ एक परिमित मात्रा से उछलता है, इसलिए वक्रता भी उछलती है, पर वह परिमित ही रहती है। एक परिमित वक्रता जब शून्य-समान दूरी पर कार्य करती है, तो वह ढलान नहीं बदल सकती, इसलिए $ψ^{'}$ सतत है; और जिस वक्र की ढलान परिमित है, वह उछल नहीं सकता, इसलिए $ψ$ भी सतत है। चित्र 2 में वक्र बिना मोड़ के बिंदुओं से गुज़रता है, इसका यही कारण है।

अब गणना। अवरोध को $0 < x < a$ पर रखिए, जिसके बाहर $V = 0$ है। बाहर तरंग-संख्या $k = 2 m E /ℏ$ है; भीतर क्षय स्थिरांक $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ है। बाईं ओर $ψ = e^{ik x} + r e^{- ik x}$ है: इकाई आयाम की आपतित तरंग और परावर्तित तरंग का योग। भीतर $ψ = C e^{κ x} + D e^{- κ x}$ है; इस बार बढ़ने वाला पद अनुमत है, क्योंकि अवरोध उसके असीम बढ़ने से पहले समाप्त हो जाता है। दाईं ओर केवल $ψ = t e^{ik x}$ है, क्योंकि उस ओर से कुछ भी आता नहीं।

इस तरह चार अज्ञात हैं, $r$ , $C$ , $D$ और $t$ , और सीमाएँ चार शर्तें देती हैं: $x = 0$ और $x = a$ पर $ψ$ और $ψ^{'}$ सतत हैं। ये चार रैखिक समीकरण हैं, और $C$ तथा $D$ को हटाने पर बचता है
$t = \frac{e ^{- ika}}{c o s h κa + i \frac{κ ^{2} - k ^{2}}{2 kκ} s i n h κa}$
पारगमन प्रायिकता उसके परिमाण का वर्ग है, यानी हर का परिमाण-वर्ग का व्युत्क्रम:
$∣ t ∣^{2} = [cosh^{2} κa + (\frac{κ ^{2} - k ^{2}}{2 kκ})^{2} sinh^{2} κa]^{- 1}$
$cosh^{2}$ की जगह $1 + sinh^{2}$ रखिए। तब दोनों $sinh^{2}$ पद मिलकर गुणांक $1 + (κ^{2} - k^{2})^{2} / (2 kκ)^{2} = (κ^{2} + k^{2})^{2} / (2 kκ)^{2}$ देते हैं। चूँकि $κ^{2} + k^{2} = 2 m V_{0} / ℏ^{2}$ है, यह गुणांक $V_{0}^{2} / (4 E (V_{0} - E))$ है, और
$T = [1 + \frac{V _{0}^{2} s i n h ^{2} ( κa )}{4 E ( V _{0} - E )}]^{- 1}$

$∣ t ∣^{2}$ ही पार निकलने वाला भाग क्यों है? प्रायिकता धारा $j = (ℏ/ m) Im (ψ^{*} ψ^{'})$ मापती है कि प्रति सेकंड किसी बिंदु से कितनी प्रायिकता बहती है। एक स्थिर अवस्था में प्रायिकता कहीं जमा नहीं होती, इसलिए $j$ हर $x$ पर समान है। बाईं ओर वह $(ℏ k / m) (1 - ∣ r ∣^{2})$ है, यानी आपतित प्रवाह घटा परावर्तित प्रवाह; दाईं ओर वह $(ℏ k / m) ∣ t ∣^{2}$ है। इन्हें बराबर रखने पर $∣ r ∣^{2} + ∣ t ∣^{2} = 1$ मिलता है: हर कण या तो परावर्तित होता है या पारगत। दोनों ओर चाल $ℏ k / m$ समान है, इसलिए $T = ∣ t ∣^{2}$ पारगत अंश है। चित्र 2 में तीर $∣ r ∣^{2} = 0.88$ और $∣ t ∣^{2} = 0.12$ देते हैं, जिनका योग 1 है, और पार निकलने वाला 12 % ही $T$ है। सूत्र भी यही कहता है: $E = \frac{3}{4} V_{0}$ पर गुणक $V_{0}^{2} / (4 E (V_{0} - E))$ $4/3$ है, $sinh 1.6 = 2.38$ है, और $T = 1/ (1 + \frac{4}{3} \cdot 5.65) = 0.12$ ।

मोटे अवरोध $κa ≫ 1$ के लिए दो सरलीकरण लागू होते हैं। पहला, $sinh κa = \frac{1}{2} (e^{κa} - e^{- κa}) \approx \frac{1}{2} e^{κa}$ , क्योंकि दूसरा घातांक बहुत छोटा है। दूसरा, तब $sinh^{2}$ पद बहुत बड़ा होता है, इसलिए कोष्ठक का 1 नगण्य हो जाता है और कोष्ठक को सीधे उलटा जा सकता है:
$T \approx 16 (\frac{E}{V _{0}}) (1 - \frac{E}{V _{0}}) e^{- 2 κa}$
पूर्व-गुणक कभी 4 से अधिक नहीं होता, और उसका मान $E = \frac{1}{2} V_{0}$ पर अधिकतम 4 होता है, इसलिए निर्णायक घातांक है: चौड़ाई में हर अतिरिक्त क्षय-लंबाई $1/ κ$ $T$ को $e^{2} \approx 7.4$ से भाग देती है।

पारगमन चौड़ाई के साथ कैसे घटता है

सटीक सूत्र एक नज़र में पढ़ना कठिन है। चौड़ाई के विरुद्ध $T$ का आलेख इसके दो भाग दिखाता है: पतले अवरोधों के लिए मंद आरंभ और मोटे अवरोधों के लिए शुद्ध घातांक।

चित्र 3 $E = 3 eV$ और $V_{0} = 4 eV$ के लिए सटीक $T (a)$ को $a = 0.6 nm$ तक दिखाता है; एनिमेशन का उन्नत स्तर वही वक्र दिखाता है। यहाँ इसे लघुगणकीय पैमाने पर, $a$ के विरुद्ध $ln T$ के रूप में बनाया गया है, क्योंकि उस पैमाने पर घातांक सीधी रेखा बन जाता है। $V_{0} - E = 1 eV$ वाले इलेक्ट्रॉन के लिए $κ = 5.12 n m^{- 1}$ है, इसलिए एक क्षय-लंबाई लगभग 0.2 nm है।

बाईं ओर से ठोस वक्र $T$ का अनुसरण कीजिए। वह $T = 1$ से शुरू होता है, अर्थात् $ln T = 0$ से, क्योंकि अवरोध न हो तो परावर्तन भी नहीं होता। वह उस स्तर से धीरे-धीरे हटता है: छोटे $a$ के लिए $sinh κa \approx κa$ है, इसलिए $T \approx [1 + 1.33 (κa)^{2}]^{- 1}$ , जहाँ $1.33 = V_{0}^{2} / (4 E (V_{0} - E))$ है। सटीक मान 0.05 nm पर अब भी 0.92 और 0.1 nm पर 0.72 हैं। बिंदीदार चिह्न $κa = 2$ के आगे वक्र व्यावहारिक रूप से सीधी रेखा है। त्रिभुज उसकी ढलान पढ़ता है: चौड़ाई में $Δ a$ की वृद्धि $ln T$ को $Δ (ln T) = - 2 κ Δ a$ से घटाती है, इसलिए हर अतिरिक्त 0.1 nm $T$ को $e^{- 1.02} \approx 0.36$ से गुणा करता है। वृत्त एनिमेशन के अवरोध $a_{0} = 0.25 nm$ को चिह्नित करता है, जहाँ $T = 0.214$ है।

बिंदीदार रेखा मोटे-अवरोध का नियम है। इन ऊर्जाओं के लिए $16 (E / V_{0}) (1 - E / V_{0}) = 16 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = 3$ है, इसलिए $T \approx 3 e^{- 2 κa}$ : एक सीधी रेखा जो $ln 3 \approx 1.1$ से शुरू होती है, और जिसे सटीक वक्र जाकर मिलता है। पतले अवरोधों के लिए यह नियम अच्छा नहीं है। $a = 0$ पर यह 3 देता है, जो किसी भी प्रायिकता से अधिक है, और 0.25 nm पर यह 0.232 देता है, जो 8 % अधिक है। 0.4 nm से आगे यह 2 % के भीतर सहमत है।

एनिमेशन एक तरंग-पैकेट भेजता है, एकल ऊर्जा की तरंग नहीं: उसकी ऊर्जाएँ 3 eV के आसपास 0.34 eV तक फैली हैं। चूँकि $T$ $E$ के साथ तेज़ी से बढ़ता है (ऊँची ऊर्जा का अर्थ है छोटा $κ$ ), इसलिए तेज़ घटक आसानी से पार निकल जाते हैं। पैकेट का पारगमन 0.218 है, इसलिए वह 3 eV की तरंग के 0.214 से थोड़ा अधिक है, और पार निकले इलेक्ट्रॉनों की औसत ऊर्जा 3.08 eV है, जबकि परावर्तित इलेक्ट्रॉनों की 2.99 eV।

अगर ऊर्जा अवरोध से ऊपर हो, $E > V_{0}$ , तो? शास्त्रीय रूप से हर कण पार निकल जाता। सूत्र में अब $V_{0} - E$ ऋणात्मक है, इसलिए $κ$ काल्पनिक हो जाता है: $κ = i q$ , जहाँ $q = 2 m (E - V_{0}) /ℏ$ अवरोध के ऊपर वास्तविक तरंग-संख्या है। तब $sinh κa$ बन जाता है $i sin q a$ , और $sinh^{2} κa$ तथा $V_{0} - E$ दोनों के चिह्न बदल जाते हैं, इसलिए
$T = [1 + \frac{V _{0}^{2} s i n ^{2} ( q a )}{4 E ( E - V _{0} )}]^{- 1}$
अब $T$ चौड़ाई के साथ गिरने के बजाय दोलन करता है। वह केवल अनुनाद $q a = nπ$ पर 1 तक पहुँचता है, जहाँ अवरोध में पूरी संख्या में अर्ध-तरंगदैर्घ्य समाते हैं और उसके दो किनारों से परावर्तित तरंगें एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं। बाकी हर चौड़ाई पर कुछ तरंग परावर्तित होती है, भले ही कण के पास ऊर्जा अतिरिक्त हो। 2 eV ऊँचे अवरोध पर 3 eV के इलेक्ट्रॉन के लिए $q = 5.12 n m^{- 1}$ है: चौड़ाई बढ़ने पर $T$ 0.75 तक गिरता है और $a = 0.61 nm$ , 1.23 nm आदि पर फिर 1 हो जाता है।

चिकने अवरोध और α-क्षय

वास्तविक अवरोध शायद ही कभी आयताकार होते हैं: उनकी ऊँचाई पथ के साथ धीरे-धीरे बदलती है। मोटे-अवरोध का नियम उन पर टुकड़ा-दर-टुकड़ा लागू होता है, और उसका सबसे प्रसिद्ध उपयोग यह समझाता है कि कुछ नाभिक अरबों वर्षों तक क्यों टिकते हैं और कुछ एक माइक्रोसेकंड से भी कम।

चित्र 4 उस अवरोध को दिखाता है जो यूरेनियम-238 नाभिक के भीतर एक α कण को रोके रखता है। गति के अनुदिश निर्देशांक अब केंद्र से दूरी $r$ है, जो $x$ की भूमिका में है। ऊपरी पैनल स्थितिज ऊर्जा $V (r)$ और क्षय में मुक्त ऊर्जा $Q$ दिखाता है, जो $E$ की भूमिका निभाती है। नाभिकीय सतह $r_{1}$ के भीतर प्रबल बल एक गहरा गड्ढा बनाता है (केवल रेखाचित्र), और α कण $α$ उसमें फँसा है। $r_{1}$ के ठीक बाहर विद्युत प्रतिकर्षण $V$ को $Q$ से काफ़ी ऊपर कर देता है। यह $1/ r$ के अनुसार गिरता है और बाहरी मोड़-बिंदु $r_{2}$ पर फिर $Q$ से मिलता है, जहाँ अवरोध समाप्त होता है। निचला पैनल उसी परास में क्षय स्थिरांक $κ (r) = 2 m (V (r) - Q) /ℏ$ का आलेख है: यह $r_{1}$ पर सबसे बड़ा है और $r_{2}$ पर शून्य हो जाता है।

जिस अवरोध की ऊँचाई बदलती है, उसे संभालने के लिए उसे $d r$ चौड़ी पतली परतों में काटिए, जैसे सुनहरी पट्टी। यदि $κ$ एक क्षय-लंबाई में थोड़ा ही बदलता है, यानी $∣ d κ / d r ∣ ≪ κ^{2}$ , तो हर परत एक समान अवरोध के पतले टुकड़े की तरह व्यवहार करती है और आयाम को $e^{- κ d r}$ से गुणा करती है। सभी परतों के गुणकों को गुणा करने पर उनके घातांक जुड़ जाते हैं, इसलिए आयाम $e^{- \int κ d r}$ से घटता है, जहाँ $\int κ d r$ वक्र के नीचे का छायांकित क्षेत्रफल है। प्रायिकता आयाम का वर्ग है, जो घातांक को दोगुना कर देता है:
$T \approx exp (- 2 \int_{r_{1}}^{r_{2}} κ (r) d r)$
यह WKB अनुमान है, जिसका नाम वेंटज़ेल, क्रेमर्स और ब्रिलुइन के नाम पर है। यह 1 की कोटि वाला पूर्व-गुणक छोड़ देता है, जैसे आयताकार अवरोध का 3, क्योंकि निर्णायक घातांक ही है। आयताकार अवरोध के लिए क्षेत्रफल सीधा $κa$ है, और यह अनुमान $e^{- 2 κa}$ पर लौट आता है।

जॉर्ज गैमो ने 1928 में इसका उपयोग α-क्षय समझाने के लिए किया। प्रबल बल की पहुँच के बाहर, आवेश $Z e$ वाला संतति नाभिक, आवेश $2 e$ वाले α कण को प्रतिकर्षित करता है, और इसकी स्थितिज ऊर्जा है
$V = \frac{2 Z e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$
यह चित्र 4 का वक्र है। यूरेनियम-238 के लिए संतति नाभिक थोरियम है, $Z = 90$ । अवरोध नाभिकीय सतह के पास लगभग 28 MeV पर चरम पर पहुँचता है, केंद्र से लगभग 9 fm दूर, जबकि क्षय में मुक्त ऊर्जा केवल $Q = 4.27 MeV$ है। इसलिए α कण को वहाँ तक सुरंगन करना होगा जहाँ $V$ गिरकर $Q$ तक पहुँच जाए, यानी केंद्र से लगभग 61 fm पर। समाकलन $2 \int κ d r \approx 88$ देता है, इसलिए $T \approx e^{- 88} \approx 6 \times 1 0^{- 39}$ ।

इसे जीवनकाल में बदलने के लिए नीचे के उदाहरण वाला वही विचार लगता है। नाभिक के भीतर α कण प्रति सेकंड लगभग $1 0^{21}$ बार दीवार से टकराता है, और हर टक्कर पर उसके बचने की संभावना $T$ है। बचने की दर लगभग $1 0^{21} \cdot 6 \times 1 0^{- 39} = 6 \times 1 0^{- 18}$ प्रति सेकंड है, इसलिए वह लगभग $1 0^{17}$ s के बाद निकलता है: कुछ अरब वर्ष। मापी गई 4.5 अरब वर्ष की अर्ध-आयु के लिए यह सही कोटि है, जो 88 घातांक वाले अनुमान के लिए वास्तविक सफलता है।

घातांक ऊर्जा पर तीखी निर्भरता रखता है। पोलोनियम-212 8.95 MeV मुक्त करता है। इसका बाहरी मोड़-बिंदु 26 fm तक अंदर खिसक आता है, अवरोध पतला और नीचा हो जाता है, घातांक लगभग 33 पर गिर जाता है, और अर्ध-आयु केवल 0.3 µs रह जाती है। घातांक में 55 की कमी का अर्थ है $e^{55} \approx 1 0^{24}$ का गुणक: लगभग 4.3 से 9 MeV तक ऊर्जा दोगुनी करने से अर्ध-आयु लगभग $1 0^{24}$ गुना घट जाती है। यह तीखी प्रवृत्ति पहले से प्रयोगों में मापी जा चुकी थी, और इसे गाइगर–नटॉल नियम कहते हैं; सुरंगन इसकी व्याख्या करता है।

बाध्य अवस्थाएँ और शून्य-बिंदु ऊर्जा

वही मिलान शर्तें केवल पारगत कणों की गिनती से आगे जाती हैं। जब उन्हें दीवारों के बीच फँसे कण पर लगाया जाता है, तो वे उसके ऊर्जा स्तर उत्पन्न करती हैं।

पहले ऐसे बक्से से शुरू कीजिए जिसकी दीवारें अनंत ऊँची हों। तब दीवारों में $κ$ अनंत होता है, तरंग उनमें बिल्कुल प्रवेश नहीं कर सकती, और $ψ$ को $x = 0$ तथा $x = L$ पर शून्य होना होगा। भीतर, जहाँ $V = 0$ है, हल $sin k x$ और $cos k x$ हैं। $x = 0$ की शर्त केवल $sin k x$ रखती है, और $x = L$ की शर्त $k L = nπ$ माँगती है, जहाँ $n$ धनात्मक पूर्ण संख्या है: बक्से में अर्ध-तरंगदैर्घ्य की पूरी संख्या बैठनी चाहिए। इससे मिलता है
$ψ_{n} = 2/ L sin (nπ x / L)$
जहाँ गुणक $2/ L$ कुल प्रायिकता को 1 बनाता है। ऊर्जा गतिज ऊर्जा $ℏ^{2} k_{n}^{2} /2 m$ है, जहाँ $k_{n} = nπ / L$ :
$E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$

परिमित गहराई वाले गड्ढे में दीवारें पूरी तरह कठोर नहीं होतीं। भीतर हल दोलन करता है; बाहर उसे दोनों ओर क्षय होना होता है; और हर दीवार पर दोनों को समान मान और ढलान पर जुड़ना होता है। अधिकांश ऊर्जाओं के लिए भीतर की तरंग गलत ढलान के साथ दीवार तक पहुँचती है, और बाहर के भाग को असीम रूप से बढ़ना पड़ता। केवल विशेष ऊर्जाएँ ही दोनों जोड़ों को एक साथ सही बना सकती हैं: क्वांटीकरण एक सीमा-शर्त है, कोई अतिरिक्त धारणा नहीं। तरंग की पूँछें उसे दीवारों से थोड़ा बाहर भी फैलने देती हैं, मानो बक्सा थोड़ा चौड़ा हो, इसलिए तरंगदैर्घ्य लंबा और ऊर्जा कम होती है। 1 nm चौड़े और 4 eV गहरे गड्ढे के लिए निम्नतम स्तर 0.26 eV है, न कि अनंत बक्से के 0.38 eV।

निम्नतम स्तर कभी शून्य नहीं होता। $n = 0$ लेने पर हर जगह $ψ = 0$ होगा, जो कोई कण ही नहीं है। अनिश्चितता सिद्धांत भी यही कहता है। मूल अवस्था में स्थिति का प्रसार $Δ x = 0.18 L$ है, और संवेग का परिमाण किसी भी दिशा में $π ℏ/ L$ है, जिसका प्रसार $Δ p = π ℏ/ L$ है। इनका गुणनफल $Δ x Δ p \approx 0.57 ℏ$ है, जो सिद्धांत द्वारा अनुमत न्यूनतम $ℏ/2$ से थोड़ा ही ऊपर है। अतः किसी कण को आकार $L$ वाले क्षेत्र में सीमित करने में कोटि $ℏ^{2} / (m L^{2})$ की गतिज ऊर्जा लगती है, जिसे शून्य-बिंदु ऊर्जा कहते हैं। यही परमाणुओं को ढहने से रोकती है: किसी इलेक्ट्रॉन को नाभिक के पास खींचने से उसकी स्थितिज ऊर्जा घटती है, पर इस गतिज लागत को बढ़ा देती है।

उदाहरण: एक रिसता हुआ जाल

एनिमेशन के दो अवरोध, हर एक 4 eV ऊँचा और 0.25 nm मोटा, $L = 2 nm$ दूरी पर रखिए, और उनके बीच लगभग 3 eV का एक इलेक्ट्रॉन रखिए। इलेक्ट्रॉन कितनी देर तक फँसा रहता है, और यह दीवारों की मोटाई पर कैसे निर्भर करता है?

इलेक्ट्रॉन को उस कण की तरह लीजिए जो चाल $v = 2 E / m = 1.03 \times 1 0^{6} m/s$ से इधर-उधर उछल रहा है, यानी प्रति फेम्टोसेकंड 1.03 nm, और हर बार दीवार से टकराने पर उसके बचने की संभावना $T$ है। दो टक्करों के बीच वह अंतराल एक बार पार करता है, इसलिए हर $L / v = 1.95 fs$ पर दीवार से टकराता है। प्रति इकाई समय बचने की संभावना, यानी बचने की दर, इसलिए $Γ = T v / L$ है। प्रति इकाई समय स्थिर संभावना का अर्थ है कि भीतर बचे कणों की संख्या $e^{- Γ t}$ के अनुसार घटती है, जिसका औसत जीवनकाल $1/Γ$ है:
$τ = \frac{L}{v T} = \frac{1.95 fs}{T}$
एनिमेशन की 0.25 nm दीवारों के साथ $T = 0.214$ और $τ \approx 9 fs$ है। 1 nm मोटी दीवारों के साथ $T = 1.06 \times 1 0^{- 4}$ और $τ \approx 18 ps$ है। 2 nm दीवारों के साथ $T = 3.8 \times 1 0^{- 9}$ और $τ \approx 0.5 μ s$ है।

पैटर्न पर ध्यान दीजिए। मोटे-अवरोध के नियम से, दीवार का हर अतिरिक्त नैनोमीटर $T$ को विभाजित करता है, और इस तरह जीवनकाल को $e^{2 κ \cdot 1 nm} = e^{10.25}$ से गुणा करता है, जो लगभग 28,000 है: ठीक वही छलांग 18 ps से 0.5 µs तक की। उसी जाल में एक प्रोटॉन इससे कहीं बुरा हाल देखता। उसका द्रव्यमान 1836 गुना है, इसलिए उसी ऊर्जा पर वह 43 गुना धीमे चलता है और उसे 43 गुना बड़ा $κ$ मिलता है, क्योंकि दोनों $m$ के अनुपात में बदलते हैं। 0.25 nm दीवारों पर भी $T$ लगभग $6 \times 1 0^{- 48}$ तक गिर जाता है और $τ$ लगभग $1 0^{34}$ s तक बढ़ जाता है, जो ब्रह्मांड की आयु से कहीं अधिक है। उछलने वाली तस्वीर $T = 0.214$ पर केवल मोटा अनुमान है, जहाँ इलेक्ट्रॉन कुछ ही उछालों में निकल जाता है; और जब $T$ छोटा होता है, जैसे α-क्षय में, तब यह सटीक है।

वैधता की सीमाएँ

यहाँ सब कुछ अनापेक्षिकीय है। 3 eV का इलेक्ट्रॉन प्रकाश की गति के 0.34 % पर चलता है, और उसकी ऊर्जा उसकी विराम ऊर्जा 511 keV की केवल $6 \times 1 0^{- 6}$ है, इसलिए श्रोडिंगर समीकरण उसका बढ़िया वर्णन करता है। आयताकार अवरोध और अनंत बक्सा आदर्शीकरण हैं। उदाहरण के लिए, एक सुरंग संधि में इलेक्ट्रॉन पास की धातु में आवेश प्रेरित करता है और उसकी ओर आकर्षित होता है, और यह आकर्षण अवरोध को गोल और नीचा कर देता है। इससे $T$ बढ़ता है, पर चौड़ाई पर घातांकीय निर्भरता बनी रहती है।

मॉडल एक-आयामी भी है। त्रि-आयाम में केवल अवरोध के आर-पार की गति मायने रखती है, इसलिए कोण पर आने वाला इलेक्ट्रॉन, जिसकी उस दिशा में ऊर्जा कम है, कम सुरंगन करता है। ठोस के भीतर इलेक्ट्रॉन बल पर ऐसे प्रतिक्रिया देता है जैसे उसका द्रव्यमान अलग हो, जिसे प्रभावी द्रव्यमान कहते हैं और जो $m$ की जगह लेता है। गैलियम आर्सेनाइड में यह मुक्त द्रव्यमान का 0.067 है, जिससे $κ$ लगभग चार गुना घट जाता है और रेज़ोनेंट-टनलिंग डायोड में इलेक्ट्रॉन कुछ नैनोमीटर मोटी परतों से सुरंगन कर पाते हैं। अंत में, विभव को स्थिर और इलेक्ट्रॉन को अकेला माना गया था। बहुत छोटे संधियों में एक इलेक्ट्रॉन का आवेश विभव को इतना बदल देता है कि वह अगले इलेक्ट्रॉन को रोक दे।

यह कहाँ ले जाता है

तरंग–कण द्वैत ने आयाम और उसकी प्रायिकताएँ प्रस्तुत कीं; यह पाठ उसे एक समीकरण देता है। रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु उस घातांकीय क्षय-नियम को दिखाता है जो रिसता हुआ जाल उत्पन्न करता है, और विखंडन, संलयन और E = mc² वह सुरंगन दिखाता है जिससे तारों में नाभिक संलयित होते हैं। अर्धचालक, डायोड और एलईडी वही मिलान शर्तें आवर्ती विभव पर लगाता है, जहाँ वे ऊर्जा-बैंड देती हैं।

परावर्तन और अपवर्तन पूर्ण आंतरिक परावर्तन पर चर्चा करता है, जिसका बाधित रूप सुरंगन का प्रकाशीय समरूप है। परमाणु मॉडल: बोर परमाणु की कक्षाएँ त्रि-आयामी श्रोडिंगर समीकरण को रास्ता देती हैं, जिसका हाइड्रोजन के लिए हल वही $- 13.6 eV / n^{2}$ स्तर और कक्षकों के आकार देता है, और कण और बल: मानक मॉडल उसी तरंग-यांत्रिकी को आपेक्षिक बनाता है।

मुख्य सूत्र

समय-निरपेक्ष श्रोडिंगर समीकरण

- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} + V (x) ψ = E ψ

निश्चित ऊर्जा वाले कण के लिए समीकरण कहता है कि हर बिंदु पर गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग कुल ऊर्जा $E$ के बराबर है। गतिज भाग $ψ$ की वक्रता से तय होता है: जहाँ $E > V$ है वहाँ वक्र अक्ष की ओर मुड़कर दोलन करता है, और जहाँ $E < V$ है वहाँ वह अक्ष से दूर मुड़कर घातांकीय रूप से बढ़ता या घटता है। श्रोडिंगर ने इसे 1926 में पदार्थ के तरंग-समीकरण के रूप में प्रस्तावित किया था।

चिह्न
$ℏ$	समानीत प्लांक स्थिरांक	$J \cdot s$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$
$\frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}}$	तरंग फलन की वक्रता (दूसरा अवकलज)	$m^{- 5/2}$
$ψ$	तरंग फलन	$m^{- 1/2}$
$x$	रेखा के अनुदिश स्थिति	$m$
$V (x)$	स्थिति $x$ पर स्थितिज ऊर्जा	$J$
$E$	कण की कुल ऊर्जा	$J$

कब लागू होता है: गैर-आपेक्षिक कणों के लिए, जिनकी ऊर्जा $m c^{2}$ से बहुत कम है, और ऐसी स्थितिज ऊर्जा के लिए जो समय के साथ नहीं बदलती। बदलती स्थितिज ऊर्जा के लिए समय-आश्रित समीकरण चाहिए, और आपेक्षिक ऊर्जाओं के लिए डिराक समीकरण।

उदाहरण: एनिमेशन में अवरोध के बाहर $V = 0$ और $E = 3 eV$ है, और हल तरंगदैर्घ्य $h / 2 m E = 0.708 nm$ वाली तरंग है।

तरंग फलन से प्रायिकता (बॉर्न नियम)

P = \int ∣ ψ ∣^{2} d x

$∣ ψ ∣^{2}$ प्रति इकाई लंबाई प्रायिकता है, इसलिए किसी क्षेत्र में कण मिलने की प्रायिकता उस क्षेत्र पर $∣ ψ ∣^{2}$ के नीचे का क्षेत्रफल है। पूरी रेखा पर क्षेत्रफल 1 है। हर माप एक पूरा कण एक ही स्थान पर पाता है; $P$ बताता है कि कितने प्रयोगों में वह उस क्षेत्र में मिलेगा।

चिह्न
$P$	उस क्षेत्र में कण मिलने की प्रायिकता
$∣ ψ ∣^{2}$	प्रायिकता घनत्व	$m^{- 1}$
$ψ$	तरंग फलन	$m^{- 1/2}$
$d x$	रेखा के एक छोटे टुकड़े की चौड़ाई	$m$

कब लागू होता है: किसी भी सामान्यीकृत तरंग फलन के लिए लागू, जिसमें समाकलन रुचि के क्षेत्र पर लिया जाता है। त्रि-आयाम में $∣ ψ ∣^{2}$ प्रति इकाई आयतन प्रायिकता है और समाकलन एक आयतन पर होता है।

उदाहरण: एनिमेशन में टक्कर के बाद, अवरोध के दाईं ओर $∣ ψ ∣^{2}$ के नीचे का क्षेत्रफल $P (right) = 0.22$ है, और बाईं ओर 0.78।

बक्से में कण के ऊर्जा स्तर

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

तरंग फलन दोनों दीवारों पर शून्य होना चाहिए, इसलिए बक्से में अर्ध-तरंगदैर्घ्य की एक पूर्ण संख्या $n$ समाती है: $λ = 2 L / n$ । संवेग $h / λ = nh / (2 L)$ से गतिज ऊर्जा $p^{2} /2 m$ मिलती है। स्तर $n^{2}$ और $1/ L^{2}$ के अनुसार बढ़ते हैं, इसलिए छोटा बक्सा उन्हें और दूर-दूर कर देता है, और निम्नतम स्तर कभी शून्य नहीं होता।

चिह्न
$E_{n}$	स्तर $n$ की ऊर्जा	$J$
$n$	क्वांटम संख्या, यानी अर्ध-तरंगों की संख्या: $1, 2, 3, \dots$
$h$	प्लांक स्थिरांक	$J \cdot s$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$
$L$	बक्से की चौड़ाई	$m$

कब लागू होता है: केवल अनंत ऊँची दीवारों के लिए सटीक। वास्तविक दीवारें तरंग को उनमें रिसने देती हैं, इसलिए बक्सा प्रभावी रूप से चौड़ा होता है और स्तर नीचे आ जाते हैं: 1 nm चौड़े और 4 eV गहरे गड्ढे की मूल अवस्था के लिए 0.38 eV के बजाय 0.26 eV।

उदाहरण: 1 nm चौड़े बक्से में इलेक्ट्रॉन: $E_{1} = 0.38 eV$ , $E_{2} = 1.50 eV$ और $E_{3} = 3.38 eV$ ।

अवरोध के भीतर क्षय स्थिरांक

κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}

जहाँ $V_{0} > E$ है, श्रोडिंगर समीकरण के हल तरंगों के बजाय घातांकीय $e^{\pm κ x}$ होते हैं। यह काल्पनिक संवेग $p = i ℏ κ$ वाला डी ब्रॉग्ली संबंध है। ऊर्जा-कमी $V_{0} - E$ जितनी बड़ी और कण जितना भारी होगा, क्षय उतना ही तेज़ होगा: आयाम क्षय-लंबाई $1/ κ$ पर $e$ के एक गुणक से घटता है।

चिह्न
$κ$	आयाम का क्षय स्थिरांक	$m^{- 1}$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$
$V_{0}$	अवरोध की ऊँचाई	$J$
$E$	कण की ऊर्जा	$J$
$ℏ$	समानीत प्लांक स्थिरांक	$J \cdot s$

कब लागू होता है: केवल $E < V_{0}$ के लिए। $E > V_{0}$ पर वर्गमूल काल्पनिक होता है, और तरंग अवरोध के भीतर तरंग-संख्या $2 m (E - V_{0}) /ℏ$ के साथ दोलन करती है।

उदाहरण: इलेक्ट्रॉन के लिए, $κ = 5.12 n m^{- 1}$ गुणा $V_{0} - E$ (eV में) का वर्गमूल: एनिमेशन में 5.12 nm⁻¹, और सुरंगन सूक्ष्मदर्शी के 4.5 eV अंतराल के लिए 10.9 nm⁻¹।

मोटे अवरोध से पारगमन

T \approx 16 (\frac{E}{V _{0}}) (1 - \frac{E}{V _{0}}) e^{- 2 κa}

अवरोध के आर-पार आयाम $e^{- κa}$ से गुणा होता है, इसलिए प्रायिकता $e^{- 2 κa}$ से गुणा होती है। पूर्व-गुणक, जो अधिकतम 4 है, दोनों किनारों पर तरंगों के मिलान से आता है और केवल $E / V_{0}$ पर निर्भर करता है। चौड़ाई घातांक में होने के कारण उसे दोगुना करने पर घातांकीय गुणक का वर्ग हो जाता है।

चिह्न
$T$	पारगमन प्रायिकता
$E$	कण की ऊर्जा	$J$
$V_{0}$	अवरोध की ऊँचाई	$J$
$κ$	अवरोध के भीतर क्षय स्थिरांक	$m^{- 1}$
$a$	अवरोध की चौड़ाई	$m$

कब लागू होता है: मोटे अवरोधों के लिए, $κa ≫ 1$ ; $κa > 2$ होने पर सटीक परिणाम से 2 % के भीतर। पतले अवरोधों के लिए यह अधिक आँकता है, और $a \to 0$ पर 1 से भी अधिक हो जाता है, इसलिए वहाँ सटीक सूत्र लीजिए।

उदाहरण: एनिमेशन: $3 e^{- 2.56} \approx 0.23$ , सटीक 0.214 के मुकाबले; $a = 0.5 nm$ के लिए $3 e^{- 5.12} \approx 0.018$ ।

आयताकार अवरोध का सटीक पारगमन

T = [1 + \frac{V _{0}^{2} sinh ^{2} ( κa )}{4 E ( V _{0} - E )}]^{- 1}

दोनों किनारों पर $ψ$ और $ψ^{'}$ का मिलान परावर्तित, भीतरी और पारगत आयामों के लिए चार समीकरण देता है, और $T$ पारगत आयाम के परिमाण का वर्ग है। यह $a = 0$ पर 1 से शुरू होकर पहले धीरे-धीरे और फिर घातांकीय रूप से गिरता है। प्रायिकता-धारा का संरक्षण परावर्तन प्रायिकता $R = 1 - T$ देता है।

चिह्न
$T$	पारगमन प्रायिकता
$V_{0}$	अवरोध की ऊँचाई	$J$
$κ$	अवरोध के भीतर क्षय स्थिरांक	$m^{- 1}$
$a$	अवरोध की चौड़ाई	$m$
$E$	कण की ऊर्जा	$J$

कब लागू होता है: एक-आयामी आयताकार अवरोध और केवल एक ऊर्जा $E < V_{0}$ के लिए। अवरोध के ऊपर यह $T = [1 + V_{0}^{2} sin^{2} (q a) / (4 E (E - V_{0}))]^{- 1}$ बन जाता है, जहाँ $q = 2 m (E - V_{0}) /ℏ$ , और $T = 1$ केवल अनुनादों $q a = nπ$ पर।

उदाहरण: $E = 3 eV$ , $V_{0} = 4 eV$ , $a = 0.25 nm$ : $κa = 1.28$ और $sinh^{2} (κa) = 2.76$ , इसलिए $T = 1/ (1 + 1.33 \cdot 2.76) = 0.214$ , जो आलेख का वृत्तांकित बिंदु है।

शब्दावली

तरंग फलन: क्वांटम कण की अवस्था बताने वाली तरंग $ψ (x)$ । यह सामान्यतः सम्मिश्र होती है और इसे सीधे नहीं देखा जाता; इसके वर्ग का परिमाण बताता है कि कण कहाँ मिलेगा।
बॉर्न नियम: नियम कि $∣ ψ ∣^{2}$ एक प्रायिकता घनत्व है: किसी क्षेत्र में कण मिलने की संभावना उस क्षेत्र पर $∣ ψ ∣^{2}$ के नीचे का क्षेत्रफल है। हर माप एक पूरा कण पाता है; यह नियम कई प्रयोगों में मापों के वितरण का वर्णन करता है।
श्रोडिंगर समीकरण: गैर-आपेक्षिक क्वांटम यांत्रिकी का तरंग समीकरण। निश्चित ऊर्जा की अवस्था के लिए यह कहता है कि गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग $E$ है, जहाँ गतिज ऊर्जा $ψ$ की वक्रता से तय होती है।
स्थिर अवस्था: निश्चित ऊर्जा $E$ वाली अवस्था। इसका तरंग फलन समय के साथ केवल कला बदलता है, आवृत्ति $ω = E /ℏ$ पर, इसलिए $∣ ψ ∣^{2}$ नहीं बदलता; बक्से की अप्रगामी तरंगें इसके उदाहरण हैं।
शास्त्रीय निषिद्ध क्षेत्र: वह क्षेत्र जहाँ स्थितिज ऊर्जा कण की ऊर्जा से अधिक है, $V > E$ , इसलिए शास्त्रीय गतिज ऊर्जा ऋणात्मक होगी। वहाँ तरंग फलन शून्य नहीं है: वह लंबाई $1/ κ$ पर घातांकीय रूप से क्षय होता है।
क्षीण तरंग: वह तरंग जो चलती नहीं, बल्कि किसी सीमा से घातांकीय रूप से क्षय होती है, जैसे अवरोध के भीतर का तरंग फलन, या पूर्ण परावर्तक सतह के ठीक बाहर का प्रकाश। पहुँच में दूसरी सीमा हो तो यह पारगमन में बदल जाती है।
क्वांटम सुरंगन: कण का ऐसे अवरोध से होकर गुजरना जो उसकी ऊर्जा से ऊँचा है, जिसे शास्त्रीय भौतिकी निषिद्ध मानती है। कण अपनी ऊर्जा बनाए रखता है, और संभावना अवरोध की चौड़ाई के साथ घातांकीय रूप से घटती है: एनिमेशन के इलेक्ट्रॉन के लिए लगभग 22 %।
पारगमन और परावर्तन प्रायिकताएँ: $T$ और $R$ क्रमशः वे अंश हैं जो अवरोध पार करते हैं और जो वापस लौटते हैं। इनका योग 1 है; $E > V_{0}$ वाले कण भी सामान्यतः आंशिक रूप से परावर्तित होते हैं।
बक्से में कण: दो अभेद्य दीवारों के बीच, $L$ दूरी पर, सीमित कण। केवल पूर्ण संख्या में अर्ध-तरंगें समाती हैं, इसलिए उसकी ऊर्जाएँ $E_{n} = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ हैं, जो 1 : 4 : 9 के अनुपात में हैं।
शून्य-बिंदु ऊर्जा: सीमित कण की संभव सबसे निम्न ऊर्जा, जो कभी शून्य नहीं होती: 1 nm के बक्से में इलेक्ट्रॉन के लिए $E_{1} = 0.38 eV$ । यह अनिश्चितता सिद्धांत से आती है, और साधारण दाब पर हीलियम को परम शून्य तक भी द्रव रखती है।
बाधित पूर्ण आंतरिक परावर्तन: सुरंगन का प्रकाशीय समरूप: काँच के भीतर पूर्ण परावर्तित प्रकाश लगभग एक तरंगदैर्घ्य चौड़े अंतराल को पार करके दूसरे ब्लॉक में जाता है, जिसे सतह से परे क्षय होते क्षेत्र द्वारा ले जाया जाता है।
स्कैनिंग सुरंगन सूक्ष्मदर्शी: एक उपकरण जो एक तीखे सिरे को चालक सतह से एक नैनोमीटर के अंश भर ऊपर रखता है और दोनों के बीच सुरंगन धारा मापता है। अंतराल में हर 0.1 nm पर धारा लगभग दस गुना बदलती है, इसलिए यह सतहों का परमाणु-दर-परमाणु मानचित्र बनाता है।

राशियाँ
$ψ$	तरंग फलन	$m^{- 1/2}$	प्रत्येक बिंदु पर कण-तरंग का आयाम। एक-आयाम में $∣ ψ ∣^{2}$ प्रति मीटर प्रायिकता है, इसलिए $ψ$ का अपना मात्रक $m^{- 1/2}$ है। तरंग-कण द्वैत के शुद्ध संख्या वाले $ψ$ से अलग, इसका मात्रक होता है।
$P$	प्रायिकता		किसी दिए गए क्षेत्र में कण मिलने की संभावना, यानी उस क्षेत्र पर $∣ ψ ∣^{2}$ के नीचे का क्षेत्रफल; यह 0 और 1 के बीच होती है।
$E$	ऊर्जा	$J$	कण की कुल ऊर्जा, यानी गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग; स्थिर अवस्था में यह हर जगह एक समान होती है। आम तौर पर इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में दी जाती है: एनिमेशन में इलेक्ट्रॉन के लिए 3 eV।
$V_{0}$	अवरोध की ऊँचाई	$J$	अवरोध के भीतर स्थितिज ऊर्जा, जो दोनों ओर के स्तर से मापी जाती है: एनिमेशन में 4 eV। सामान्यतः स्थितिज ऊर्जा स्थिति का फलन है $V (x)$ ।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	कण का द्रव्यमान; इलेक्ट्रॉन के लिए $9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ । भारी कण का $κ$ बड़ा होता है और वह कम सुरंगन करता है।
$ℏ$	समानीत प्लांक स्थिरांक	$J \cdot s$	$ℏ = h /2 π = 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ । यह ऊर्जा को आवृत्ति से जोड़ता है, $E = ℏ ω$ , और संवेग को तरंग-संख्या से, $p = ℏ k$ ।
$h$	प्लांक स्थिरांक	$J \cdot s$	$h = 6.626 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ; यह डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य $λ = h / p$ तय करता है।
$κ$	स्थानिक क्षय स्थिरांक	$m^{- 1}$	अवरोध के भीतर आयाम कितनी तेज़ी से घटता है; $1/ κ$ क्षय-लंबाई है। अवरोध के शीर्ष से 1 eV नीचे वाले इलेक्ट्रॉन के लिए $κ = 5.12 n m^{- 1}$ ।
$a$	अवरोध की चौड़ाई	$m$	अवरोध की मोटाई, एनिमेशन में 0.25 nm। यह घातांक $- 2 κa$ के ज़रिए पारगमन में प्रवेश करती है।
$L$	बक्से की चौड़ाई	$m$	बक्से की दीवारों के बीच की दूरी; स्तर $1/ L^{2}$ के अनुपात में होते हैं: $L = 1 nm$ पर 0.38 eV।
$T$	पारगमन प्रायिकता		अवरोध पार करने वाले कणों का अंश: 3 eV पर एनिमेशन के अवरोध के लिए 0.214, और यदि वह दोगुना चौड़ा होता तो 0.018।
$E_{n}$	स्तर n की ऊर्जा	$J$	चौड़ाई $L$ वाले बक्से में कण की अनुमत ऊर्जा, $n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ : 1 nm बक्से में इलेक्ट्रॉन के लिए 0.38, 1.50 और 3.38 eV।

क्विज़

शुरुआती क्वांटम भौतिकी में किसी स्थान पर इलेक्ट्रॉन की तरंग का आकार हमें क्या बताता है?
1. वहाँ इलेक्ट्रॉन कितनी तेज़ी से चल रहा है
2. वहाँ इलेक्ट्रॉन मिलने की कितनी संभावना है
3. वहाँ इलेक्ट्रॉन कितना भारी है
4. वहाँ इलेक्ट्रॉन में कितनी ऊर्जा है
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उत्तर: B. वहाँ इलेक्ट्रॉन मिलने की कितनी संभावना है
तरंग संभावनाएँ तय करती है: जहाँ वह बड़ी है, वहाँ डिटेक्टर को इलेक्ट्रॉन मिलने की संभावना अधिक है; जहाँ वह सपाट है, वहाँ लगभग कभी नहीं। इलेक्ट्रॉन स्वयं हमेशा किसी एक स्थान पर पूरा ही मिलता है।
शुरुआती एक इलेक्ट्रॉन एक पतली दीवार से टकराता है, जिसे पार करने जितनी ऊर्जा उसके पास नहीं है। क्या हो सकता है?
1. वह हमेशा लौट आता है, जैसे पहाड़ी पर चढ़ती गेंद
2. वह हमेशा पार निकल जाता है, क्योंकि वह एक तरंग है
3. वह आम तौर पर लौट आता है, पर कभी-कभी दूसरी ओर दिख जाता है
4. वह दीवार के भीतर फँस जाता है
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उत्तर: C. वह आम तौर पर लौट आता है, पर कभी-कभी दूसरी ओर दिख जाता है
उसकी तरंग का अधिकांश भाग परावर्तित होता है, पर पतली दीवार से थोड़ा भाग रिस कर निकल जाता है। इसलिए हर इलेक्ट्रॉन के पास दीवार के उस पार मिलने की एक संभावना होती है, जो अक्सर छोटी होती है: इसे सुरंगन कहते हैं।
शुरुआती इनमें से कौन सी चीज़ क्वांटम सुरंगन पर निर्भर है?
1. साइकिल के डायनेमो का बल्ब जलाना
2. आवर्धक शीशे का सूरज की रोशनी को केंद्रित करना
3. प्रेशर कुकर का खाना जल्दी पकाना
4. फ़ोन में फ़ोटो सुरक्षित रखने वाली फ़्लैश मेमोरी
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उत्तर: D. फ़ोन में फ़ोटो सुरक्षित रखने वाली फ़्लैश मेमोरी
फ़्लैश मेमोरी को इलेक्ट्रॉनों को केवल कुछ नैनोमीटर मोटी इन्सुलेटिंग परत से सुरंगन कराकर लिखा और मिटाया जाता है। बाकी तीन को शास्त्रीय भौतिकी से समझाया जा सकता है।
मध्यम अनुमान T ≈ e^(−2κa) का उपयोग करते हुए, जब अवरोध की चौड़ाई दोगुनी कर दी जाती है, तो सुरंगन प्रायिकता का क्या होता है?
1. वह अपना वर्ग हो जाती है: 0.1 लगभग 0.01 हो जाता है
2. वह आधी हो जाती है: 0.1 हो जाता है 0.05
3. वह दोगुनी हो जाती है: 0.1 हो जाता है 0.2
4. वह नहीं बदलती, क्योंकि केवल ऊँचाई मायने रखती है
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उत्तर: A. वह अपना वर्ग हो जाती है: 0.1 लगभग 0.01 हो जाता है
चौड़ाई दोगुनी करने से घातांक दोगुना हो जाता है, और e^(−4κa) = (e^(−2κa))², इसलिए 0.1 लगभग 0.01 हो जाता है। इलेक्ट्रॉनों और कुछ इलेक्ट्रॉन-वोल्ट ऊँचे अवरोधों के लिए सुरंगन केवल तभी मायने रखता है जब अवरोध अधिकतम कुछ नैनोमीटर मोटा हो; इसका कारण यही घातांकीय संवेदनशीलता है।
मध्यम एक इलेक्ट्रॉन बक्से में बंद है। उसका न्यूनतम अनुमत ऊर्जा स्तर E₁ है। तीसरे स्तर, n = 3, की ऊर्जा कितनी है?
1. 3·E₁
2. 6·E₁
3. 9·E₁
4. E₁/9
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उत्तर: C. 9·E₁
E_n = n²·h²/(8mL²), इसलिए E₃ = 3² × E₁ = 9·E₁। बक्से में तीन अर्ध-तरंगें समाती हैं, इसलिए तरंगदैर्घ्य एक-तिहाई है, संवेग तीन गुना है, और ऊर्जा उसके वर्ग के अनुसार बढ़ती है।
मध्यम 3 eV ऊर्जा वाला एक इलेक्ट्रॉन 4 eV ऊँचे अवरोध को सुरंगन करता है। दूसरी ओर उसकी ऊर्जा कितनी है?
1. 3 eV से कम, क्योंकि उसने धक्का देकर पार होने में ऊर्जा खोई
2. 3 eV से अधिक, क्योंकि अवरोध ने उसे ऊर्जा दी
3. 4 eV, यानी अवरोध की ऊँचाई
4. अब भी 3 eV: अवरोध के उस पार तरंग की तरंगदैर्घ्य वही है
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उत्तर: D. अब भी 3 eV: अवरोध के उस पार तरंग की तरंगदैर्घ्य वही है
किसी स्थिर अवरोध से सुरंगन में ऊर्जा संरक्षित रहती है। अवरोध के उस पार V = 0 फिर से होता है, इसलिए तरंग की तरंगदैर्घ्य पहले जैसी, λ = h/√(2mE), ही रहती है; केवल आयाम, और इसलिए प्रायिकता, छोटी होती है।
उन्नत एक इलेक्ट्रॉन जिसकी ऊर्जा E, V₀ से अधिक है, एक आयताकार अवरोध से टकराता है। क्वांटम यांत्रिकी क्या पूर्वानुमान करती है?
1. वह हमेशा पार निकल जाता है, T = 1, गेंद की तरह
2. आम तौर पर वह आंशिक रूप से परावर्तित होता है; T = 1 केवल अनुनादों पर होता है, जब qa = nπ
3. वह हमेशा पूरी तरह परावर्तित होता है
4. T = E/V₀, चौड़ाई चाहे जो हो
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उत्तर: B. आम तौर पर वह आंशिक रूप से परावर्तित होता है; T = 1 केवल अनुनादों पर होता है, जब qa = nπ
अवरोध के ऊपर κ काल्पनिक हो जाता है और sinh(κa) एक साइन फलन बन जाता है: T = [1 + V₀²·sin²(qa)/(4E(E − V₀))]⁻¹, जहाँ q = √(2m(E − V₀))/ħ। T हर जगह 1 से कम रहता है, सिवाय qa = nπ के, जहाँ दोनों किनारों के परावर्तन एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
उन्नत एक स्कैनिंग सुरंगन सूक्ष्मदर्शी में अंतराल एक अवरोध की तरह काम करता है, जिसका κ ≈ 10 nm⁻¹ है। सिरा सतह के 0.1 nm और पास आ जाता है। सुरंगन धारा लगभग कैसे बदलती है?
1. वह लगभग 7 गुना बढ़ जाती है
2. वह लगभग 10 % बढ़ती है
3. वह दोगुनी हो जाती है
4. वह लगभग 7 गुना घट जाती है
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उत्तर: A. वह लगभग 7 गुना बढ़ जाती है
धारा e^(−2κd) के समानुपाती है, इसलिए 0.1 nm छोटे अंतराल पर वह e^(2 × 10 × 0.1) = e² ≈ 7.4 से गुणा होती है। यही तीखी निर्भरता STM को परमाणु से भी छोटे ऊँचाई-परिवर्तन महसूस करने देती है।

$ln T$	पारगमन प्रायिकता का प्राकृतिक लघुगणक; 0 का अर्थ $T = 1$ है।
$a$	अवरोध की चौड़ाई।	$m$
$T$	चौड़ाई $a$ वाले अवरोध के लिए सटीक पारगमन प्रायिकता।
$e^{- 2 κa}$	मोटे-अवरोध का नियम, यहाँ $T \approx 3 e^{- 2 κa}$ : बिंदीदार सीधी रेखा।
$κa$	क्षय-लंबाई $1/ κ$ में मापी गई चौड़ाई; $κa = 2$ पर बिंदीदार चिह्न वह स्थान है जहाँ से सीधी रेखा का नियम लागू हो जाता है।
$a_{0}$	एनिमेशन के अवरोध की चौड़ाई, 0.25 nm।	$m$
$Δ a$	अवरोध की चौड़ाई में एक कदम।	$m$
$Δ (ln T)$	इस कदम पर $ln T$ में परिवर्तन, $- 2 κ Δ a$ : $T$ गुणा होता है $e^{- 2 κ Δ a}$ से।

$E$	अवस्था की ऊर्जा: पूरी तरंग का एक ही मान।	$J$
$V (x)$	स्थिति $x$ पर स्थितिज ऊर्जा, धूसर रंग में: $0$ , $\frac{3}{4} E$ और $\frac{5}{4} E$ ।	$J$
$ψ$	तरंग फलन: किसी एक क्षण पर इसका वास्तविक भाग।	$m^{- 1/2}$
$x$	गति की रेखा के अनुदिश स्थिति।	$m$
$λ_{1}$	सबसे निचले स्तर पर तरंगदैर्घ्य, जहाँ $E - V$ सबसे बड़ा है।	$m$
$λ_{2}$	बीच के स्तर पर तरंगदैर्घ्य, जहाँ $E - V$ एक-चौथाई है: $λ_{2} = 2 λ_{1}$ ।	$m$
$κ^{- 1}$	जहाँ $V > E$ है वहाँ क्षय-लंबाई: इतनी दूरी में $ψ$ किनारे के मान के $1/ e$ तक गिर जाता है।	$m$

$V_{0}$	अवरोध की ऊँचाई।	$J$
$E$	तरंग की ऊर्जा, जो अवरोध के शीर्ष से नीचे है।	$J$
$a$	अवरोध की चौड़ाई।	$m$
$ψ$	तरंग फलन: किसी एक क्षण पर इसका वास्तविक भाग।	$m^{- 1/2}$
$x$	गति की रेखा के अनुदिश स्थिति।	$m$
$r$	आपतित तरंग का आयाम 1 होने पर परावर्तित तरंग का आयाम।
$t$	अवरोध के पीछे पारगत तरंग का आयाम, उसी पैमाने पर।

$V (r)$	केंद्र से दूरी $r$ पर α कण की स्थितिज ऊर्जा: भीतर गड्ढा, बाहर विद्युत प्रतिकर्षण।	$J$
$Q$	क्षय में मुक्त ऊर्जा: α कण की ऊर्जा, सूत्रों का $E$ ।	$J$
$α$	गड्ढे में फँसा α कण।
$r$	नाभिक के केंद्र से दूरी।	$m$
$r_{1}$	नाभिकीय सतह, जहाँ अवरोध शुरू होता है।	$m$
$r_{2}$	बाहरी मोड़-बिंदु, जहाँ $V = Q$ फिर से होता है और अवरोध समाप्त होता है।	$m$
$κ (r)$	दूरी $r$ पर क्षय स्थिरांक $2 m (V - Q) /ℏ$ ; $r_{2}$ पर शून्य।	$m^{- 1}$
$d r$	अवरोध की एक पतली परत की चौड़ाई; यह परत आयाम को $e^{- κ d r}$ से गुणा करती है।	$m$
$\int κ d r$	$r_{1}$ से $r_{2}$ तक $κ (r)$ के नीचे का क्षेत्रफल: $T \approx e^{- 2 \int κ d r}$ का घातांक।