विखंडन, संलयन और E = mc²

भारी नाभिकों का टूटना और हल्के नाभिकों का जुड़ना, दोनों ऊर्जा मुक्त करते हैं, क्योंकि उत्पाद अधिक दृढ़ता से बँधे और थोड़े हल्के होते हैं: खोया द्रव्यमान $Δ m$ ऊर्जा $Q = Δ m c^{2}$ के रूप में बाहर निकलता है।

एक न्यूट्रॉन यूरेनियम नाभिक को तोड़कर शृंखला अभिक्रिया शुरू करता है (बाएँ), जबकि दो हाइड्रोजन नाभिक मिलकर हीलियम बनाते हैं (दाएँ); दोनों में उत्पादों का भार कम होता है और द्रव्यमान का अंतर ऊर्जा बनकर निकलता है।

इस विषय से पहले: रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु, विशिष्ट आपेक्षिकता

शुरुआती

मुख्य विचार

नाभिक प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों का सघन गुच्छा है; प्रोटॉनों की संख्या तत्व तय करती है, और उसे केवल नाभिकीय अभिक्रिया बदल सकती है।
विखंडन: न्यूट्रॉन भारी यूरेनियम नाभिक को दो छोटे नाभिकों में तोड़ता है, ऊर्जा की चमक और 2 या 3 नए न्यूट्रॉन के साथ।
ये न्यूट्रॉन और नाभिक तोड़ते हैं, जिससे और न्यूट्रॉन मुक्त होते हैं: शृंखला अभिक्रिया जो 1, 2, 4, … बढ़ती है।
संलयन: दो हल्के नाभिक बहुत अधिक चाल से टकराकर हीलियम बनाते हैं; सूर्य इसी से चमकता है।
ऊर्जा शून्य से नहीं बनती: बाद में टुकड़े थोड़े हल्के होते हैं, और खोया द्रव्यमान ऊर्जा बन जाता है, $E = m c^{2}$ ।

चरण 1. हर परमाणु के केंद्र में एक नन्हा नाभिक होता है, प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों का सघन गुच्छा। प्रोटॉनों की संख्या बताती है कि तत्व कौन-सा है: 92 का अर्थ यूरेनियम, 1 का अर्थ हाइड्रोजन। रासायनिक अभिक्रियाएँ केवल बाहर के इलेक्ट्रॉनों को इधर-उधर करती हैं; नाभिक बदलने के लिए नाभिकीय अभिक्रिया चाहिए।

चरण 2. विखंडन का अर्थ है टूटना। ऐनिमेशन में एक नीला न्यूट्रॉन सुनहरे यूरेनियम-235 नाभिक की ओर उड़ता है। नाभिक उसे निगल लेता है, काँपता है और ऊर्जा की चमक के साथ दो छोटे नाभिकों में टूट जाता है, और दो या तीन नए न्यूट्रॉन निकलते हैं। दोनों टुकड़े विपरीत दिशाओं में छिटक जाते हैं।

चरण 3. हर नया न्यूट्रॉन एक और यूरेनियम नाभिक को तोड़ सकता है: यह शृंखला अभिक्रिया है। बिंदुकित पथों को शाखाओं में बँटते देखें, 1, 2, 4… बिजलीघर में नियंत्रक छड़ें फ़ालतू न्यूट्रॉन सोख लेती हैं, ताकि हर विखंडन केवल एक और विखंडन कराए।

चरण 4. संलयन का अर्थ है जुड़ना। दाईं ओर भारी हाइड्रोजन के दो नाभिक एक-दूसरे की ओर दौड़ते हैं। दोनों धनात्मक हैं, इसलिए प्रतिकर्षित होकर धीमे पड़ते हैं; केवल बहुत अधिक चाल से, लाखों डिग्री पर, हुई टक्कर ही उन्हें मिलाकर हीलियम और एक तेज़ न्यूट्रॉन बनाती है। सूर्य भी संलयन से चमकता है: वह साधारण हाइड्रोजन को जोड़कर हीलियम बनाता है।

चरण 5. ऊर्जा कभी शून्य से नहीं बनती; वह केवल रूप बदलती है। तो यह कहाँ से आती है? सब कुछ बहुत सटीकता से तौलें: किसी भी अभिक्रिया के बाद टुकड़े थोड़े हल्के होते हैं। खोया द्रव्यमान ऊर्जा बन गया है, $E = m c^{2}$ । प्रकाश की चाल $c$ बहुत बड़ी है, इसलिए ज़रा-सा द्रव्यमान भी बहुत ऊर्जा देता है: एक किलोग्राम यूरेनियम-235 पूरी तरह टूटने पर लगभग 2,700 टन कोयले जितनी ऊष्मा देता है।

ख़ुद जाँचें: हीलियम नाभिक और न्यूट्रॉन का भार उन दो भारी हाइड्रोजन नाभिकों से अधिक है या कम, जिनसे वे बने? (कम: अंतर ऊर्जा बनकर निकल गया।)

मध्यम

मुख्य विचार

$Q = Δ m c^{2}$ , जहाँ $1 u \cdot c^{2} = 931.5 MeV$ और $Δ m$ = अभिकारकों का द्रव्यमान − उत्पादों का द्रव्यमान।
$n +^{235} U \to^{141} Ba +^{92} Kr + 3 n$ : $Δ m = 0.186 u$ , $Q \approx 173 MeV$ , अधिकांश ऊर्जा दोनों खंड ले जाते हैं, हल्का खंड तेज़।
$^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n$ : $Q = 17.6 MeV$ ; बराबर संवेग पर $K = p^{2} / (2 m)$ से 4 गुना हल्के न्यूट्रॉन को 4/5 भाग मिलता है।
गुणन गुणांक $k$ : $N_{g} = N_{0} k^{g}$ , अतः $k < 1$ समाप्त, $k = 1$ स्थिर रिएक्टर और $k > 1$ हर पीढ़ी बढ़ती है।
कोई न्यूक्लिऑन नष्ट नहीं होता: दोनों ओर $A$ संतुलित है। द्रव्यमान इसलिए घटता है कि उत्पाद अधिक दृढ़ता से बँधे हैं।

हम क्या मापते हैं: नाभिक, द्रव्यमान, ऊर्जाएँ

नाभिक को दो पूर्ण संख्याओं से वर्णित करते हैं: प्रोटॉन संख्या $Z$ , जो तत्व तय करती है, और न्यूट्रॉन संख्या $N$ । उनका योग $A = Z + N$ , द्रव्यमान संख्या, न्यूक्लिऑनों को गिनता है। यूरेनियम-235, $^{235} U$ , में $Z = 92$ प्रोटॉन और $N = 143$ न्यूट्रॉन हैं। समस्थानिकों में $Z$ समान पर $N$ भिन्न होता है: ड्यूटेरियम, $^{2} H$ , और ट्रिटियम, $^{3} H$ , क्रमशः एक और दो न्यूट्रॉन वाले हाइड्रोजन हैं।

नाभिकीय द्रव्यमान परमाणु द्रव्यमान मात्रक में दिए जाते हैं, $1 u = 1.6605 \times 1 0^{- 27} kg$ , यानी कार्बन-12 परमाणु का बारहवाँ भाग। नाभिकीय ऊर्जाएँ मेगा-इलेक्ट्रॉनवोल्ट में दी जाती हैं, $1 MeV = 1.602 \times 1 0^{- 13} J$ , यानी दस लाख इलेक्ट्रॉनवोल्ट, जबकि रासायनिक आबंध में कुछ ही इलेक्ट्रॉनवोल्ट होते हैं। सारणी के द्रव्यमान उदासीन परमाणुओं के होते हैं; इन अभिक्रियाओं में इलेक्ट्रॉन कट जाते हैं।

द्रव्यमान क्षति: ऊर्जा कहाँ से आती है

अभिक्रिया की ऊर्जा कहाँ से आती है? विशिष्ट आपेक्षिकता उत्तर देती है: विराम में पिंड में विराम ऊर्जा होती है
$E = m c^{2}$
अतः जो निकाय ऊर्जा दे देता है, वह उस ऊर्जा को $c^{2}$ से भाग देने जितना हल्का हो जाता है। चूँकि $c^{2} = 8.99 \times 1 0^{16} J/kg$ है, द्रव्यमान की नन्ही कमी भी विशाल ऊर्जा ले जाती है।

द्रव्यमान क्षति $Δ m$ अभिकारकों के कुल द्रव्यमान में से उत्पादों का द्रव्यमान घटाने पर मिलती है, और मुक्त हुई ऊर्जा, $Q$ मान, है
$Q = Δ m c^{2}, 1 u \cdot c^{2} = 931.5 MeV$
ऋणात्मक $Q$ का अर्थ है कि अभिक्रिया के होने के लिए ऊर्जा चाहिए।

कुछ भी नष्ट नहीं होता: न्यूक्लिऑन और आवेश संरक्षित हैं (विखंडन में $1 + 235 = 141 + 92 + 3$ और $92 = 56 + 36$ ), पर न्यूक्लिऑन अधिक दृढ़ता से बँध जाते हैं। नाभिक को मुक्त प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों में खींचकर अलग करने की ऊर्जा उसकी बंधन ऊर्जा है; प्रति न्यूक्लिऑन यह ड्यूटेरियम में 1.1 MeV से बढ़कर लोहे-56 के पास लगभग 8.8 MeV होती है, फिर यूरेनियम में 7.6 MeV तक घटती है। विखंडन और संलयन दोनों न्यूक्लिऑनों को इस शिखर की ओर ले जाते हैं, और अतिरिक्त बंधन ऊर्जा बनकर निकलता है।

प्रमुख समीकरण

$Q = Δ m c^{2}$ के अलावा चार संबंध अधिकांश काम करते हैं: ऐनिमेशन की दो अभिक्रियाएँ, शृंखला अभिक्रिया की वृद्धि, और द्रव्यमान $m$ तथा संवेग $p$ वाले पिंड की गतिज ऊर्जा:

$n +^{235} U \to^{141} Ba +^{92} Kr + 3 n + 173 MeV$
$^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n + 17.6 MeV$
$N_{g} = N_{0} k^{g}$
$K = \frac{p ^{2}}{2 m}$

अभिक्रिया की ऊर्जा निकालने के लिए उसे संतुलित करें (दोनों ओर समान द्रव्यमान संख्याएँ और आवेश), द्रव्यमानों के योग घटाएँ और प्रति u 931.5 MeV से गुणा करें। यह ऊर्जा कौन ले जाता है, यह संवेग से पता चलता है: लगभग विराम में स्थित अभिकारक बराबर और विपरीत संवेग वाले उत्पाद देते हैं, और $K = p^{2} / (2 m)$ के कारण हल्के उत्पाद को अधिक मिलती है।

हल किया उदाहरण: ऐनिमेशन की अभिक्रियाएँ

पहले विखंडन लें। परमाणु द्रव्यमान: यूरेनियम-235 का 235.0439 u, बेरियम-141 का 140.9144 u, क्रिप्टन-92 का 91.9262 u और न्यूट्रॉन का 1.0087 u:
$m_{before} = 235.0439 + 1.0087 = 236.0526 u$
$m_{after} = 140.9144 + 91.9262 + 3 \cdot 1.0087 = 235.8667 u$
$Δ m = 236.0526 - 235.8667 \approx 0.186 u, Q \approx 0.186 \cdot 931.5 \approx 173 MeV$

पहले विखंडन पर यही $Δ m$ और $Q$ के लेबल हैं। फिर विखंडन काउंटर 3 और 7 तक चढ़ता है (बीच में थोड़ी देर 5) और ऊर्जा सूचक 520 और 1213 MeV तक: प्रति विखंडन एक $Q$ । 173 MeV उस 4 eV का चार करोड़ गुना है जो एक कार्बन परमाणु के जलने से मिलता है।

लगभग 160 MeV दोनों खंडों की गतिज ऊर्जा बनती है। शेष 13 MeV तीन न्यूट्रॉनों (लगभग 6 MeV) और तात्क्षणिक गामा किरणों (लगभग 7 MeV) को जाती है। यूरेनियम व्यावहारिक रूप से विराम में था, इसलिए खंड बराबर और विपरीत संवेग से निकलते हैं और हल्का क्रिप्टन बड़ा भाग लेता है: $160 \cdot 141/233 \approx 97 MeV$ , जबकि बेरियम को 63 MeV। उनकी चालें, $0.048 c$ और $0.031 c$ , उसी गुणक $141/92 \approx 1.5$ से भिन्न हैं जो दोनों हरे $v$ तीर दिखाते हैं। ईंधन जल्द ही खंडों को रोक देता है, और उनकी ऊर्जा ऊष्मा बन जाती है।

संलयन भी इसी तरह काम करता है, पर द्रव्यमान क्षति दस गुना छोटी है, इसलिए अधिक दशमलव चाहिए: ड्यूटेरियम का 2.014102 u, ट्रिटियम का 3.016049 u, हीलियम-4 का 4.002603 u और न्यूट्रॉन का 1.008665 u।
$Δ m = 5.030151 - 5.011268 = 0.018883 u, Q = 0.018883 \cdot 931.5 \approx 17.6 MeV$

फिर संवेग बराबर और विपरीत हैं। न्यूट्रॉन हीलियम नाभिक से चार गुना हल्का है, इसलिए चार गुना तेज़ चलता है और ऊर्जा का चार-पाँचवाँ भाग लेता है, $\frac{4}{5} \cdot 17.6 \approx 14.1 MeV$ , जबकि हीलियम को 3.5 MeV: उत्पादों के पास के दो ऊर्जा लेबल।

हल किया उदाहरण: बिजलीघर में एक वर्ष

एक बड़ा रिएक्टर 3000 MW ऊष्मा बनाता है, जिसे उसकी टरबाइनें लगभग 1000 MW बिजली में बदलती हैं। वह एक वर्ष में कितना यूरेनियम-235 तोड़ता है, और कितना द्रव्यमान लुप्त होता है? एक वर्ष में $3.156 \times 1 0^{7} s$ के साथ,
$E = Pt = 3.0 \times 1 0^{9} W \cdot 3.156 \times 1 0^{7} s = 9.47 \times 1 0^{16} J$
प्रति विखंडन लगभग 200 MeV, यानी $3.20 \times 1 0^{- 11} J$ (खंडों के बाद के क्षय सहित) लेने पर विखंडनों की संख्या है
$N_{fis} = \frac{9.47 \times 1 0 ^{16} J}{3.20 \times 1 0 ^{- 11} J} = 2.96 \times 1 0^{27}$

यह $2.96 \times 1 0^{27} / (6.02 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}) = 4.91 \times 1 0^{3} mol$ यूरेनियम-235 है, यानी $4.91 \times 1 0^{3} mol \cdot 0.235 kg/mol \approx 1150 kg$ । जो द्रव्यमान लुप्त होता है वह इससे बहुत कम है, $Δ m = E / c^{2} \approx 1.05 kg$ , टूटे यूरेनियम का लगभग हज़ारवाँ भाग।

इतनी ही ऊष्मा देने वाला कोयला-बिजलीघर, 30 MJ प्रति किलोग्राम पर, तीस लाख टन से अधिक कोयला जलाएगा, फिर भी उतना ही 1.05 kg द्रव्यमान खोएगा।

तीरों और काउंटरों को पढ़ना

हर हरा तीर एक वेग है। शुरू में कुल संवेग लगभग शून्य होने से दो उत्पाद विपरीत दिशाओं में चलते हैं, और उनकी चालों का अनुपात द्रव्यमानों के व्युत्क्रम अनुपात में होता है: क्रिप्टन और बेरियम के लिए 141 : 92, न्यूट्रॉन और हीलियम नाभिक के लिए 4 : 1। संलयन की ओर आने वाले तीरों का अनुपात 3 : 2 है, क्योंकि हल्के ड्यूटेरियम नाभिक को ट्रिटियम नाभिक के संवेग के बराबर होने के लिए तेज़ चलना पड़ता है। धनात्मक नाभिकों के बीच प्रतिकर्षण से दोनों धीमे होते जाते हैं।

बिंदुकित रेखाएँ न्यूट्रॉन पथ हैं। शुरुआती हर विखंडन तीन न्यूट्रॉन छोड़ता है, जिनमें से दो नए नाभिक तोड़ते हैं, इसलिए हर विखंडन $k = 2$ नए विखंडन कराता है। तब पीढ़ी $g$ में $N_{g} = N_{0} k^{g} = 2^{g}$ विखंडन होते हैं, $N_{0} = 1$ से शुरू: 1, 2 और 4। बम सघन धातु में $k > 1$ वाली शृंखला है, जिसकी पीढ़ियों में लगभग दस नैनोसेकंड का अंतर होता है। शक्ति रिएक्टर को $k = 1$ पर रखा जाता है: बोरॉन या कैडमियम की नियंत्रक छड़ें फ़ालतू न्यूट्रॉन सोखती हैं, और जल जैसा मंदक बाकी को धीमा करता है, क्योंकि मंद न्यूट्रॉन यूरेनियम-235 को कहीं अधिक आसानी से तोड़ते हैं।

सामान्य ग़लतियाँ

न्यूक्लिऑन नष्ट नहीं होते। द्रव्यमान संख्या संतुलित रहती है, $1 + 235 = 141 + 92 + 3$ ; द्रव्यमान इसलिए घटता है कि खंड लगभग 0.8 MeV प्रति न्यूक्लिऑन अधिक दृढ़ता से बँधे हैं।
$E = m c^{2}$ केवल नाभिकों के लिए विशेष नहीं है। कोयला जलने पर भी द्रव्यमान घटता है, लगभग $3 \times 1 0^{- 10}$ भाग; विखंडन में लगभग हज़ारवाँ और D–T संलयन में चार हज़ारवाँ भाग।
विखंडन और संलयन एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते। दोनों न्यूक्लिऑनों को लोहे के पास के बंधन शिखर की ओर ले जाते हैं; लोहे को तोड़ने या उससे आगे जोड़ने में ऊर्जा लगेगी।
हर कण गिनें। विखंडन समीकरण में बाहर जाने वाले तीन न्यूट्रॉन छोड़ देने पर $Δ m = 3.21 u$ और लगभग 3000 MeV मिलता है, यानी सत्रह गुना अधिक।
मात्रकों का ध्यान रखें। u में द्रव्यमान को 931.5 MeV से गुणा करें, या पहले किलोग्राम में बदलें: $0.0189 \cdot 1.66 \times 1 0^{- 27} kg \cdot 8.99 \times 1 0^{16} m^{2} / s^{2} = 2.82 \times 1 0^{- 12} J$ , जो फिर 17.6 MeV है।

यह कहाँ मिलता है

दुनिया की लगभग दसवें भाग बिजली विखंडन रिएक्टरों से आती है। सूर्य हाइड्रोजन को हीलियम में संलयित करता है और हर सेकंड लगभग 43 लाख टन द्रव्यमान को प्रकाश में बदलता है; संलयन प्रयोग D–T ईंधन से पृथ्वी पर यही करना चाहते हैं। विखंडन के खंड रेडियोऐक्टिव होते हैं, जो रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु से जुड़ता है, और विराम ऊर्जा $m c^{2}$ विशिष्ट आपेक्षिकता से आती है। आगे, श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन समझाता है कि नाभिक कूलॉम रोधिका से कैसे निकल जाते हैं, और कण और बल: मानक मॉडल दिखाता है कि प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों को क्या बाँधे रखता है।

उन्नत

मुख्य विचार

द्रव्यमान कुल ऊर्जा मापता है, इसलिए बंधित नाभिक अपने मुक्त न्यूक्लिऑनों से हल्का होता है: $B = (Z m_{p} + N m_{n} - M) c^{2}$ ।
$Z$ और $N$ संरक्षित हैं, अतः $Q = \sum B (after) - \sum B (before)$ : लोहे के पास $B / A$ शिखर की ओर जाने पर दोनों ओर से ऊर्जा मुक्त होती है।
द्रव-बूँद: आयतन $\propto A$ घटा पृष्ठ $\propto A^{2/3}$ और कूलॉम $\propto Z^{2} / A^{1/3}$ ; कूलॉम प्रतिकर्षण भारी नाभिकों को तोड़ने की ओर धकेलता है।
भारी बूँद में विखंडन-रोधिका होती है (यूरेनियम के लिए ≈ 6 MeV); मंद न्यूट्रॉन ग्रहण $^{236} U^{*}$ को 6.5 MeV तक उठाकर पार करा देता है।
~10 keV पर D–T नाभिक ≈ 0.4 MeV कूलॉम रोधिका में सुरंगन करते हैं; रिएक्टर को $n T τ$ लगभग $3 \times 1 0^{21} keV \cdot s/ m^{3}$ से ऊपर चाहिए।

द्रव्यमान: संचित ऊर्जा

विखंडन और संलयन दोनों न्यूक्लिऑनों को पुनर्व्यवस्थित करके ऊर्जा मुक्त करते हैं, और कितनी ऊर्जा, यह केवल द्रव्यमानों से पढ़ा जा सकता है। चित्र 1 इसका कारण दिखाता है। यह ऐनिमेशन के विखंडन, $n +^{235} U \to^{141} Ba +^{92} Kr + 3 n$ , का पैमाने पर बना ऊर्जा-लेखा है।

सबसे ऊपरी रेखा से शुरू करें। अभिक्रिया में भाग लेने वाले सभी $Z = 92$ प्रोटॉन और $N = 144$ न्यूट्रॉन लें (यूरेनियम के 143 और आने वाला एक), और कल्पना करें कि वे दूर-दूर और विराम में हैं। तब उनकी ऊर्जा केवल उनकी विराम ऊर्जा, $Z m_{p} c^{2} + N m_{n} c^{2}$ , है, जहाँ $m_{p}$ और $m_{n}$ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमान हैं।

अब न्यूक्लिऑनों को मिलकर नाभिक बनने दें। प्रबल नाभिकीय बल उन्हें खींचता है, इसलिए ऊर्जा घटती है। इस गिरावट का माप बंधन ऊर्जा $B$ है: वह ऊर्जा जो न्यूक्लिऑनों को फिर अलग करने के लिए देनी पड़े। बाईं ओर अभिकारक, $^{235} U$ नाभिक और न्यूट्रॉन $n$ , स्तर $E_{i}$ पर हैं, ऊपरी रेखा से $B_{i}$ नीचे। दाईं ओर उत्पाद, $^{141} Ba$ , $^{92} Kr$ और तीन मुक्त न्यूट्रॉन, स्तर $E_{f}$ पर हैं, उससे $B_{f}$ नीचे। दोनों निचले स्तरों के बीच की छोटी सीढ़ी वह ऊर्जा है जो परिवेश को दी गई:
$Q = E_{i} - E_{f} = B_{f} - B_{i}$
ध्यान दें यह कितनी छोटी है: किसी भी गहराई का लगभग दसवाँ भाग। न्यूक्लिऑन टूटने से पहले भी लगभग उतनी ही दृढ़ता से बँधे थे जितना बाद में; विखंडन उन्हें बस थोड़ा और कस देता है।

यह ऊर्जा द्रव्यमान के बदलाव के रूप में क्यों दिखनी चाहिए? एक बंद डिब्बे की कल्पना करें जिसकी दीवारें पूर्ण ऊष्मारोधी हैं, जिसमें यूरेनियम-235 नाभिक और एक मंद न्यूट्रॉन है, और जो तराज़ू पर रखा है। भीतर विखंडन होने दें। खंड छिटकते हैं और उनकी गतिज ऊर्जा दीवारों में ऊष्मा बन जाती है, पर डिब्बे से कुछ बाहर नहीं जाता, इसलिए उसकी कुल ऊर्जा नहीं बदली, और द्रव्यमान भी नहीं। अब खिड़की खोलकर ऊष्मा बाहर जाने दें: डिब्बा ठीक $Q / c^{2}$ हल्का हो जाता है। लुप्त द्रव्यमान, यानी द्रव्यमान क्षति, नष्ट नहीं हुई; वह मुक्त हुई ऊर्जा द्वारा ले जाया गया द्रव्यमान है।

सामान्य नियम यह है कि किसी भी संयुक्त पिंड का द्रव्यमान उसकी कुल आंतरिक ऊर्जा को $c^{2}$ से भाग देने पर मिलता है: उसके अंगों की विराम ऊर्जाएँ और उनकी गतिज तथा स्थितिज ऊर्जाएँ। नाभिक के भीतर प्रबल बल स्थितिज ऊर्जा को बड़ा और ऋणात्मक बना देता है, इसलिए नाभिक अपने मुक्त न्यूक्लिऑनों से हल्का होता है। यह कमी, $c^{2}$ से गुणा करने पर, बंधन ऊर्जा है, चित्र 1 की ऊपरी रेखा से किसी स्तर की गहराई:
$B = (Z m_{p} + N m_{n} - M) c^{2}$
यहाँ $M$ नाभिक का द्रव्यमान है। सारणियाँ उदासीन परमाणुओं के द्रव्यमान देती हैं, इलेक्ट्रॉन सहित; उनके साथ $m_{p}$ की जगह हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $m_{H}$ लें, ताकि इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान कट जाएँ।

अब हिसाब। परिभाषा को हर नाभिक के लिए $M c^{2} = Z m_{p} c^{2} + N m_{n} c^{2} - B$ लिखें, और अभिक्रिया से पहले और बाद के इन्हें जोड़ें। विखंडन और ड्यूटेरियम का ट्रिटियम से संलयन (D–T संलयन, $^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n$ ), प्रोटॉनों की कुल संख्या और न्यूट्रॉनों की कुल संख्या अलग-अलग बनाए रखते हैं। अतः न्यूक्लिऑनों की विराम ऊर्जाएँ दोनों ओर समान हैं और कट जाती हैं; मुक्त न्यूट्रॉन को बस $B = 0$ वाला नाभिक मानें। केवल बंधन ऊर्जाएँ बचती हैं:
$Q = \sum B (after) - \sum B (before)$
चित्र 1 के प्रतीकों में $B_{i} = \sum B (before)$ और $B_{f} = \sum B (after)$ , अतः यह वही $Q = B_{f} - B_{i}$ है। अभिक्रिया तब ऊर्जा मुक्त करती है जब उसके उत्पाद अभिकारकों से अधिक दृढ़ता से बँधे हों, और द्रव्यमानों की सारणी यह बताने को पर्याप्त है कि कितनी, चाहे बलों का ब्योरा या नाभिक के टूटने का ढंग जो भी हो।

बंधन-ऊर्जा वक्र को पढ़ना

बंधन-ऊर्जा वक्र बताता है कि हर नाभिक कितनी दृढ़ता से बँधा है, और इसलिए कौन-सी अभिक्रियाएँ ऊर्जा मुक्त कर सकती हैं। चित्र 2 प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा $B / A$ को द्रव्यमान संख्या $A$ के विरुद्ध, यानी न्यूक्लिऑनों की संख्या के विरुद्ध, लघुगणकीय अक्ष पर दिखाता है ताकि हल्के और भारी नाभिक दोनों समा जाएँ। बिंदु मापे गए नाभिक हैं। बैंगनी वक्र अगले अनुभाग का द्रव-बूँद सूत्र है, जो $A = 10$ से खींचा गया है (ऐनिमेशन का विशेषज्ञ ग्राफ़ यही आलेख दिखाता है, वक्र सुनहरे में)।

इसे बाएँ से दाएँ पढ़ें। सबसे हल्के नाभिकों में यह तेज़ी से चढ़ता है: ड्यूटेरियम, $^{2} H$ , के लिए 1.112 MeV प्रति न्यूक्लिऑन, ट्रिटियम, $^{3} H$ , के लिए 2.827 MeV और हीलियम-4 के लिए 7.074 MeV। यह लोहे-56, $^{56} Fe$ , के पास 8.790 MeV पर शिखर बनाता है, फिर धीरे-धीरे यूरेनियम-235 के लिए 7.591 MeV तक घटता है। जो भी अभिक्रिया न्यूक्लिऑनों को वक्र पर ऊपर ले जाए, वह ऊर्जा मुक्त करती है। तीखी बाईं ढलान पर इसका अर्थ है हल्के नाभिकों को जोड़ना: संलयन। मंद दाईं ढलान पर इसका अर्थ है भारी नाभिकों को तोड़ना: विखंडन।

चित्र 2 के तीर ऐनिमेशन की दोनों अभिक्रियाएँ हैं, जिनके चिह्न इसी प्रकार वक्र पर चढ़ते हैं। संलयन के तीर $^{2} H$ और $^{3} H$ से ऊपर $^{4} He$ तक जाते हैं। विखंडन के तीर $^{235} U$ से उसके दो खंडों तक जाते हैं, क्रिप्टन-92 पर 8.513 MeV और बेरियम-141 पर 8.326 MeV, दोनों यूरेनियम से ऊँचे। चूँकि $B / A$ गुणा $A$ नाभिक की बंधन ऊर्जा $B$ है, नियम $Q = \sum B (after) - \sum B (before)$ बिना किसी द्रव्यमान के दोनों ऊर्जाएँ देता है, मुक्त न्यूट्रॉन शून्य गिने जाते हैं:
$Q_{fus} = 4 \cdot 7.074 - 2 \cdot 1.112 - 3 \cdot 2.827 = 17.59 MeV$
$Q_{fis} = 141 \cdot 8.326 + 92 \cdot 8.513 - 235 \cdot 7.591 = 173.3 MeV$

प्रति न्यूक्लिऑन दोनों प्रक्रियाएँ बहुत भिन्न हैं। D–T संलयन अपने पाँचों न्यूक्लिऑनों में हर एक के लिए लगभग 3.5 MeV मुक्त करता है, एक ही तीखी चढ़ाई में। विखंडन में प्रति न्यूक्लिऑन लाभ बहुत कम है। यूरेनियम के 235 न्यूक्लिऑनों में से 233 खंडों में बँधे रहते हैं, हर एक पहले से लगभग 0.81 MeV अधिक दृढ़ता से (खंडों का औसत $B / A$ 8.400 MeV, घटा 7.591 MeV)। शेष दो मुक्त न्यूट्रॉन बनकर निकलते हैं और अपनी 7.591 MeV बंधन ऊर्जा छोड़ देते हैं। इन सबका योग, $233 \cdot 0.809 - 2 \cdot 7.591 \approx 173 MeV$ , वही $Q$ है: विखंडन का बड़ा कुल मान न्यूक्लिऑनों की बड़ी संख्या से आता है, प्रति न्यूक्लिऑन बड़े लाभ से नहीं।

दोनों के लिए सीमा लोहा तय करता है। शिखर से आगे नाभिकों को जोड़ना, या उससे नीचे के नाभिकों को तोड़ना, न्यूक्लिऑनों को ढलान पर नीचे, कम दृढ़ बंधन की ओर ले जाता है, इसलिए अभिक्रिया ऊर्जा मुक्त करने के बजाय ऊर्जा लेती है।

वक्र में शिखर क्यों: द्रव-बूँद

वक्र का आकार दो बलों की होड़ से आता है: नाभिकीय बल, जो हर न्यूक्लिऑन को उसके पड़ोसियों से बाँधता है, और प्रोटॉनों के बीच विद्युत प्रतिकर्षण। नाभिक को आवेशित द्रव की बूँद मानने वाला सरल मॉडल दोनों को पकड़ लेता है और चित्र 2 का वक्र देता है।

नाभिकीय बल से शुरू करें। यह प्रबल पर लघु-परास है, केवल लगभग $1 0^{- 15} m$ पर कार्य करता है, और संतृप्त होता है: हर न्यूक्लिऑन केवल अपने निकटतम पड़ोसियों से बँधता है, चाहे और कितने भी हों। इससे दो बातें निकलती हैं। पहली, न्यूक्लिऑन हर नाभिक में एक ही ढंग से संकुलित होते हैं, इसलिए सभी नाभिकों का घनत्व लगभग समान होता है; आयतन $A$ के अनुपात में बढ़ता है, और त्रिज्या $R = r_{0} A^{1/3}$ है, $r_{0} \approx 1.2 \times 1 0^{- 15} m$ । दूसरी, बंधन द्रव जैसा व्यवहार करता है। भीतर का हर न्यूक्लिऑन समान योगदान देता है, इसलिए बंधन आयतन के साथ बढ़ता है, $a_{V} A$ की तरह। सतह के न्यूक्लिऑनों के पड़ोसी कम होते हैं, अतः पृष्ठ क्षेत्रफल के अनुपाती पद, $a_{S} A^{2/3}$ , घटाया जाता है। हल्के नाभिकों में न्यूक्लिऑनों का बड़ा भाग सतह पर होता है: इसीलिए वक्र बाईं ओर इतना तेज़ चढ़ता है।

फिर प्रतिकर्षण। त्रिज्या $R$ के गोले में समान रूप से फैला आवेश $Z e$ विद्युत ऊर्जा $\frac{3}{5} Z^{2} e^{2} / (4 π ε_{0} R)$ संचित करता है। $R = r_{0} A^{1/3}$ रखने पर पद $a_{C} Z^{2} / A^{1/3}$ मिलता है, गुणांक के साथ
$a_{C} = \frac{3}{5} \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r _{0}} \approx 0.72 MeV$

अंत में, पाउली अपवर्जन सिद्धांत: कोई दो न्यूट्रॉन, या कोई दो प्रोटॉन, एक ही अवस्था में नहीं रह सकते, इसलिए हर प्रकार अपनी ऊर्जा-स्तरों की सीढ़ी भरता है। प्रोटॉनों से अधिक न्यूट्रॉन वाले नाभिक को अतिरिक्त न्यूट्रॉन ऊँची सीढ़ियों पर रखने पड़ते हैं, जिसमें ऊर्जा लगती है। यह असममिति पद $N = Z$ होने पर शून्य हो जाता है। चारों पद मिलकर देते हैं
$B = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - \frac{a _{C} Z ^{2}}{A ^{1/3}} - \frac{a _{A} ( N - Z ) ^{2}}{A}$
जहाँ $a_{V} = 15.75$ , $a_{S} = 17.8$ , $a_{C} = 0.711$ और $a_{A} = 23.7 MeV$ , मापे गए द्रव्यमानों से फ़िट किए गए; चित्र 2 के वक्र के पीछे यही मान हैं। फ़िट किया $a_{C}$ ऊपर के आकलन से अच्छा मेल खाता है।

अब शिखर। अकेला आयतन पद हर न्यूक्लिऑन को समान बंधन देता और $B / A$ को समतल बना देता। पृष्ठ पद $B / A$ को सबसे अधिक हल्के नाभिकों में घटाता है। कूलॉम पद इसे सबसे अधिक भारी नाभिकों में घटाता है: $Z$ लगभग $A$ के अनुपाती होने से यह लगभग $A^{5/3}$ की तरह बढ़ता है, आयतन पद से तेज़। यूरेनियम-235 में यह कुल बंधन 1784 MeV में से 975 MeV ले लेता है। इन दो हानियों के बीच लोहे के पास अधिकतम है। दो छोटे नाभिक वही 92 प्रोटॉन कुल मिलाकर कम विद्युत ऊर्जा से धारण करते हैं, क्योंकि अब हर प्रोटॉन केवल अपने खंड के प्रोटॉनों से प्रतिकर्षित होता है; पृष्ठ ऊर्जा थोड़ी बढ़ती है, पर कूलॉम बचत बड़ी है, और विखंडन अंतर को मुक्त करता है।

यही होड़ बताती है कि भारी नाभिकों में अतिरिक्त न्यूट्रॉन क्यों होते हैं। कूलॉम पद कम प्रोटॉन चाहता है, असममिति पद $N = Z$ चाहता है, और नाभिक बड़े होने पर संतुलन न्यूट्रॉनों की ओर खिसकता है: यूरेनियम-235 में 92 प्रोटॉन के लिए 143 न्यूट्रॉन हैं। खंड यह आधिक्य विरासत में पाते हैं। बेरियम-141 में 85 न्यूट्रॉन हैं, जबकि सबसे भारी स्थायी बेरियम, बेरियम-138, में केवल 82; अपने आकार के लिए बहुत अधिक न्यूट्रॉन होने से खंड रेडियोऐक्टिव होते हैं।

विखंडन-रोधिका

वक्र कहता है कि यूरेनियम टूटकर ऊर्जा मुक्त करेगा, तो यूरेनियम नाभिक अपने आप क्यों नहीं टूटता? चित्र 3 इसका उत्तर देता है। यह नाभिक की ऊर्जा $E$ , गोले की ऊर्जा से मापी गई, उसके दीर्घन $ε$ के विरुद्ध दिखाता है: एक छोटी संख्या जो बताती है कि बूँद समान आयतन के गोले से लंबी आकृति में कितनी खिंची है। अक्ष के नीचे की आकृतियाँ गोला, खिंची बूँद और टूटने को तैयार बूँद दिखाती हैं।

खिंचने पर द्रव-बूँद के दो पद बदलते हैं। पृष्ठ बढ़ता है, इसलिए पृष्ठ ऊर्जा $E_{S}$ बढ़ती है, $\frac{2}{5} ε^{2} E_{S}$ से। प्रोटॉन औसतन दूर-दूर हो जाते हैं, इसलिए कूलॉम ऊर्जा $E_{C}$ घटती है, $\frac{1}{5} ε^{2} E_{C}$ से। कुल परिवर्तन, $(\frac{2}{5} E_{S} - \frac{1}{5} E_{C}) ε^{2}$ , तब तक धनात्मक है जब तक $E_{C} < 2 E_{S}$ : तब वक्र गोले से ऊपर की ओर उठता है, और छोटा खिंचाव वापस खिंच जाता है। द्रव-बूँद से $E_{C} / E_{S} = (a_{C} / a_{S}) Z^{2} / A$ , इसलिए शर्त है $Z^{2} / A < 2 a_{S} / a_{C} \approx 50$ ।

$Z^{2} / A \approx 36$ वाला यूरेनियम इस परीक्षा में पास होता है: वह चित्र 3 के बाएँ गड्ढे में बैठा है। टूटने के लिए उसे पहले उभार, यानी विखंडन-रोधिका, के ऊपर खिंचना होगा, जिसकी ऊँचाई $E_{B}$ लगभग 6 MeV है। शिखर के पार कूलॉम ऊर्जा जीतती है, और नाभिक के गर्दन बनाकर दो में टूटने तक ऊर्जा लगातार घटती है: दाईं ओर नीचे जाता तीर।

रोधिका पार करने की ऊर्जा कहाँ से आती है? ग्रहण किया न्यूट्रॉन अपनी बंधन ऊर्जा को उत्तेजन ऊर्जा के रूप में नाभिक में लाता है, और चित्र 3 के दो नीले तीर दिखाते हैं कितनी। यूरेनियम-235 और मंद न्यूट्रॉन $^{236} U^{*}$ बनाते हैं (तारा उत्तेजित नाभिक दर्शाता है) जिसकी उत्तेजन ऊर्जा 6.5 MeV है, रोधिका से अधिक: उसका तीर उभार के पार निकल जाता है, और नाभिक टूट जाता है। यही ऐनिमेशन में नाभिक का क्षणिक कंपन है। यूरेनियम-238 और मंद न्यूट्रॉन $^{239} U^{*}$ बनाते हैं जिसकी ऊर्जा केवल 4.8 MeV है: उसका तीर उभार की दीवार से टकराकर रुक जाता है। अंतर युग्मन का है। न्यूक्लिऑन जोड़ों में अधिक दृढ़ता से बँधते हैं, और यूरेनियम-235 में जुड़ा न्यूट्रॉन एक जोड़ा पूरा करता है, जबकि यूरेनियम-238 में जुड़ा अकेला रह जाता है। यूरेनियम-238 को तोड़ने के लिए आने वाले न्यूट्रॉन को कमी की ऊर्जा गतिज ऊर्जा के रूप में लानी होगी, लगभग 1 MeV।

इसीलिए रिएक्टर दुर्लभ समस्थानिक यूरेनियम-235 पर चलते हैं, जो प्राकृतिक यूरेनियम का केवल 0.7 % है: वह किसी भी ऊर्जा के न्यूट्रॉन से टूटता है। मंद न्यूट्रॉन उसके द्वारा तेज़ न्यूट्रॉनों की तुलना में कहीं अधिक आसानी से ग्रहण होते हैं, इसलिए रिएक्टर अपने न्यूट्रॉनों को धीमा करते हैं।

शृंखला अभिक्रिया और विलंबित न्यूट्रॉन

हर विखंडन दो या तीन न्यूट्रॉन मुक्त करता है, ऐनिमेशन की अभिक्रिया में तीन, और ये और नाभिक तोड़ सकते हैं। गुणन गुणांक $k$ एक विखंडन के उन न्यूट्रॉनों की औसत संख्या है जो आगे एक और विखंडन कराते हैं। $g$ पीढ़ियों के बाद $N_{0}$ न्यूट्रॉन $N_{g} = N_{0} k^{g}$ हो जाते हैं। $k < 1$ पर शृंखला समाप्त हो जाती है, $k = 1$ पर स्थिर रहती है, और $k > 1$ पर बढ़ती है। रिएक्टर $k = 1$ पर चलता है।

शृंखला कितनी तेज़ बढ़ती है, यह पीढ़ियों के बीच के समय पर निर्भर है। यदि हर न्यूट्रॉन विखंडन के क्षण ही उत्सर्जित होता (तात्क्षणिक न्यूट्रॉन), तो एक पीढ़ी लगभग $1 0^{- 4} s$ की होती, यानी प्रति सेकंड $1 0^{4}$ पीढ़ियाँ। तब $k = 1.001$ भी एक सेकंड में शक्ति को $1.00 1^{1 0^{4}} \approx 2 \times 1 0^{4}$ गुना कर देता, किसी यांत्रिक नियंत्रण के लिए बहुत तेज़।

नियंत्रण विलंबित न्यूट्रॉनों पर टिका है। विखंडन न्यूट्रॉनों का लगभग 0.65 % टूटने के क्षण नहीं, बल्कि कुछ सेकंड बाद खंडों के क्षय से उत्सर्जित होता है। उनकी प्रतीक्षा औसत पीढ़ी को लगभग 0.1 s तक खींच देती है, इसलिए वही $k = 1.001$ शक्ति को केवल लगभग 1 % प्रति सेकंड बढ़ाता है, नियंत्रक छड़ें हिलाने के लिए पर्याप्त धीमा। यह तब तक ही चलता है जब तक शृंखला को विलंबित न्यूट्रॉन चाहिए। $k \approx 1.0065$ से ऊपर तात्क्षणिक न्यूट्रॉन ही शृंखला को बढ़ाते रहते हैं और तेज़ गुणन लौट आता है, इसलिए रिएक्टर को इस मान से नीचे ही रहना चाहिए।

संलयन: कूलॉम रोधिका और सुरंगन

संलयन के सामने उलटी समस्या है। जोड़े जाने वाले नाभिक दोनों धनात्मक हैं, इसलिए एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं, और नाभिकीय बल तभी पकड़ता है जब वे छू लें। चित्र 4 बाधा दिखाता है। यह ड्यूटेरियम–ट्रिटियम युग्म की स्थितिज ऊर्जा $U$ को उनके केंद्रों के बीच दूरी $r$ के विरुद्ध दिखाता है। दूर होने पर $U$ उनका विद्युत प्रतिकर्षण $e^{2} / (4 π ε_{0} r)$ है: लाल वक्र, बाईं ओर चढ़ता हुआ। संपर्क दूरी $r_{n}$ , लगभग 3.5 fm, पर नाभिकीय बल हावी होता है और युग्म नीचे बाईं ओर गहरे नाभिकीय कूप में गिर जाता है। लाल पहाड़ी का शिखर, $r_{n}$ पर, कूलॉम रोधिका $U_{C}$ है। $e^{2} / (4 π ε_{0}) = 1.44 MeV fm$ के साथ,
$U_{C} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r _{n}} = \frac{1.44 MeV fm}{3.5 fm} \approx 0.4 MeV$

अब दाईं ओर से टक्कर ऊर्जा $E$ के साथ आते युग्म को देखें, बैंगनी तीर। चिरसम्मत रूप से वह पहाड़ी पर तब तक चढ़ता है जब तक उसकी सारी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा न बन जाए, जहाँ $U = E$ ; यह मोड़-बिंदु $r_{t}$ है, जहाँ वह रुककर लौट जाता है। $1.2 \times 1 0^{8} K$ के प्लाज़्मा में ऊष्मीय ऊर्जा $k_{B} T = 10 keV$ है। 10 keV वाला सीधी टक्कर का युग्म $r_{t} = 1.44 MeV fm /0.010 MeV = 144 fm$ पर लौट जाता है, $r_{n}$ से लगभग 40 गुना दूर। चिरसम्मत रूप से वह कभी संलयित नहीं होता।

क्वांटम यांत्रिकी इसे बदल देती है। नाभिक तरंग की तरह भी व्यवहार करता है, और तरंग उस क्षेत्र से रिस सकती है जिसमें कण चिरसम्मत रूप से नहीं घुस सकता। यही सुरंगन है: चित्र 4 का $r_{t}$ से $r_{n}$ तक का बिंदुकित तीर, जिसे प्रायिकता $P$ से पार किया जाता है। ऐनिमेशन में यह सुरंगन नामक चरण है, जहाँ धीमे हुए नाभिक अंतिम खंड कूद जाते हैं। टक्कर ऊर्जा $E$ पर D–T के लिए,
$P \approx e^{- E_{G} / E}$
जहाँ गैमो ऊर्जा $E_{G} \approx 1.2 MeV$ युग्म के आवेशों और द्रव्यमानों से तय एक नियतांक है। $P$ बहुत छोटी है पर ऊर्जा के साथ तेज़ी से बढ़ती है: 10 keV पर $2 \times 1 0^{- 5}$ , 30 keV पर $2 \times 1 0^{- 3}$ ।

इसलिए दो प्रभाव प्रतिस्पर्धा करते हैं। प्लाज़्मा में तेज़ नाभिक दुर्लभ होते हैं, और ऊर्जा बढ़ने पर उनकी संख्या तेज़ी से घटती है; मंद नाभिक अधिक होते हैं पर शायद ही कभी सुरंगन करते हैं। दोनों का गुणनफल ऊष्मीय ऊर्जा से काफ़ी ऊपर शिखर बनाता है, इसलिए 10 keV के प्लाज़्मा में अधिकांश संलयन उन थोड़े युग्मों से आते हैं जिनकी ऊर्जा 30 keV के पास है।

संलयन प्लाज़्मा खोई ऊर्जा से अधिक ऊर्जा तभी देता है जब वह पर्याप्त सघन, पर्याप्त गर्म और पर्याप्त देर तक बँधा रखा जाए। शर्त घनत्व $n$ , ताप $T$ और परिरोध-काल $τ$ के गुणनफल पर है: $n T τ$ लगभग $3 \times 1 0^{21} keV \cdot s/ m^{3}$ तक पहुँचना चाहिए, जैसे 10 keV पर प्रति घन मीटर $1 0^{20}$ आयन, 3 s तक बँधे।

हल किया प्रश्न: खंडों को क्या अलग धकेलता है

प्रश्न: ऐनिमेशन के विखंडन में दोनों खंड लगभग 160 MeV गतिज ऊर्जा ले जाते हैं, यानी 173 MeV का अधिकांश; शेष न्यूट्रॉन और गामा किरणें ले जाती हैं। यह ऊर्जा कौन-सा बल देता है, अलग होते समय खंड कितनी दूर हैं, और वे ऊर्जा कैसे बाँटते हैं?

बल को नाभिकीय बल के परास से बहुत बड़ी दूरियों पर कार्य करना होगा, अतः यह बेरियम के 56 और क्रिप्टन के 36 प्रोटॉनों के बीच विद्युत प्रतिकर्षण है। खंडों को दो आवेश मानें जो विराम से शुरू होते हैं और जिनके केंद्र दूरी $d$ पर हैं। जैसे-जैसे वे दूर उड़ते हैं, उनकी विद्युत स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह गतिज ऊर्जा बन जाती है:
$K_{tot} = \frac{Z _{1} Z _{2} e ^{2}}{4 π ε _{0} d} = \frac{56 \cdot 36 \cdot 1.44 MeV fm}{d} = \frac{2903 MeV fm}{d}$

चरण 1, पृथक्करण। यदि खंड छूते हुए गोले होते, त्रिज्याएँ $r_{0} A^{1/3} = 6.2$ और $5.4 fm$ , तो $d = 11.7 fm$ होता, और सूत्र लगभग 250 MeV देता, पूरे $Q$ से अधिक। वास्तविक 160 MeV के लिए बड़ी आरंभिक दूरी चाहिए, $d = 2903/160 = 18.1 fm$ । अतः अलग होते समय खंड गोले नहीं, बल्कि पतली गर्दन से जुड़ी लंबी आकृतियाँ हैं, जिनके केंद्र छूते गोलों से लगभग 6 fm अधिक दूर हैं। उनकी विरूपण ऊर्जा खोती नहीं: वह खंडों को गर्म करती है, जो न्यूट्रॉन उबालकर ठंडे होते हैं।

चरण 2, बँटवारा। विखंडित होता नाभिक लगभग विराम में है, इसलिए खंड बराबर और विपरीत संवेग से उड़ते हैं। $K = p^{2} / (2 m)$ और समान $p$ के साथ गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए हल्का खंड बड़ा भाग लेता है: $K_{Kr} = 160 \cdot 141/233 = 97 MeV$ और $K_{Ba} = 63 MeV$ । दोनों का संवेग समान है, $p = 2 m K \approx 4070 MeV / c$ ।

चरण 3, कितनी जल्दी। पृथक्करण $r$ पर गतिज ऊर्जा अब तक खोई स्थितिज ऊर्जा के बराबर है, $K (r) = K_{tot} (1 - d / r)$ । अतः खंडों के पास अपनी 90 % ऊर्जा $r = 10 d \approx 180 fm$ तक आ जाती है, जो परमाणु के इलेक्ट्रॉन-बादल के भीतर ही है, जिसका विस्तार लगभग $1 0^{5} fm$ है। विखंडन की ऊर्जा विद्युत प्रतिकर्षण द्वारा, लगभग पूरी तरह नाभिक के आसपास एक नन्हे क्षेत्र में, पहुँचाई जाती है।

वैधता की सीमाएँ

द्रव-बूँद एक फ़िट है, सिद्धांत नहीं। यह भारी नाभिकों से लगभग 0.5 % तक मेल खाती है (यूरेनियम-235 के लिए 1786 MeV, मापे 1784 MeV के विरुद्ध), पर कोश संरचना की उपेक्षा करती है: परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की तरह न्यूक्लिऑन कोश भरते हैं, और 2, 8, 20, 28, 50, 82 या 126 प्रोटॉन या न्यूट्रॉन वाले नाभिक, जादुई संख्याएँ, अतिरिक्त स्थायी होते हैं। इसलिए बूँद $^{4} He$ को मापे 28.3 MeV की जगह केवल 16 MeV बंधन देती है, ऐनिमेशन के विखंडन के लिए 173 MeV की जगह 162 MeV बताती है, और यूरेनियम को दो बराबर हिस्सों में तोड़ती, जबकि कोश प्रभावों से वह असमान टूटता है, अधिकतर $A = 95$ और $A = 140$ के पास के खंडों में।

हिसाब के दो भाग भी सन्निकटन हैं। $K = p^{2} / (2 m)$ से ऊर्जा बाँटना अनापेक्षिक है। D–T संलयन में न्यूट्रॉन 17.59 MeV का चार-पाँचवाँ भाग, यानी 14.07 MeV, लेता है और $0.17 c$ से चलता है; वास्तविक द्रव्यमानों से सटीक आपेक्षिक द्वि-पिंड गणना 14.03 MeV देती है, 0.3 % कम। और $Q$ को बंधन ऊर्जाओं के अंतर के रूप में लिखने के लिए $Z$ और $N$ का अलग-अलग संरक्षित होना ज़रूरी है। जहाँ दुर्बल बल प्रोटॉनों को न्यूट्रॉनों में बदलता है, जैसे सूर्य की कुल अभिक्रिया $4^{1} H \to^{4} He + 2 e^{+} + 2 ν$ में, न्यूट्रॉन और हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान-अंतर, 0.78 MeV, हर बदले प्रोटॉन के लिए जुड़ता है: मुक्त हुई ऊर्जा $28.3 - 2 \cdot 0.78 = 26.7 MeV$ है, द्रव्यमान का 0.7 %। इन ऊर्जाओं पर जो सटीक रहता है वह ऊर्जा, संवेग, आवेश और न्यूक्लिऑन संख्या का संरक्षण है।

यह आगे कहाँ ले जाता है

श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन गुणक $e^{- E_{G} / E}$ को गणना में बदलता है। कण और बल: मानक मॉडल दिखाता है कि नाभिकीय बल कहाँ से आता है, यानी क्वार्कों को ग्लूऑनों से बाँधने वाली प्रबल अंतर्क्रिया के अवशिष्ट प्रभाव के रूप में, और उस दुर्बल बल का वर्णन करता है जिससे सूर्य प्रोटॉनों को न्यूट्रॉनों में बदलता है। पीछे देखें तो विशिष्ट आपेक्षिकता $E = m c^{2}$ देती है, रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु उन क्षयित होते खंडों का वर्णन करती है जो विलंबित न्यूट्रॉन देते हैं, कूलॉम का नियम रोधिका देता है, और संवेग और संघट्ट ऊर्जा को उत्पादों में बाँटता है।

मुख्य सूत्र

द्रव्यमान–ऊर्जा तुल्यता

E = m c^{2}

विराम में पिंड में उसके द्रव्यमान के अनुपाती ऊर्जा होती है, जिसका गुणक प्रकाश की चाल का वर्ग है। उलटे पढ़ें तो किसी भी निकाय का द्रव्यमान उसकी कुल आंतरिक ऊर्जा को $c^{2}$ से भाग देने पर मिलता है: उसे गर्म करें तो वह भारी हो जाता है, ऊर्जा निकलने दें तो हल्का। अभिक्रिया में मुक्त हुई ऊर्जा द्रव्यमान की हानि गुणा $c^{2}$ होती है।

चिह्न
$E$	पिंड की विराम ऊर्जा	$J$
$m$	पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: विराम में पिंड के लिए सटीक; गतिमान पिंड की कुल ऊर्जा $γm c^{2}$ होती है। द्रव्यमान का परिवर्तन व्यावहारिक रूप से केवल नाभिकीय ऊर्जाओं पर मापा जा सकता है: विखंडन में द्रव्यमान का लगभग $1 0^{- 3}$ , कोयला जलने पर $3 \times 1 0^{- 10}$ ।

उदाहरण: एक किलोग्राम द्रव्यमान $8.99 \times 1 0^{16} J$ के तुल्य है: 3000 MW ऊष्मा बनाने वाला रिएक्टर एक वर्ष में लगभग 1.05 kg को ऊर्जा में बदलता है।

द्रव्यमान क्षति से निकली ऊर्जा

Q = Δ m c^{2}, 1 u \cdot c^{2} = 931.5 MeV

अभिक्रिया के उत्पाद अभिकारकों से $Δ m$ हल्के होते हैं, और वह द्रव्यमान ऊर्जा के रूप में निकल गया है, अधिकतर उत्पादों की गतिज ऊर्जा के रूप में। रूपांतरण गुणक एक परमाणु द्रव्यमान मात्रक की विराम ऊर्जा है, $1.6605 \times 1 0^{- 27} kg$ गुणा $c^{2}$ , जो $1.492 \times 1 0^{- 10} J$ या 931.5 MeV है। ऋणात्मक $Q$ का अर्थ है कि अभिक्रिया के होने के लिए ऊर्जा चाहिए।

चिह्न
$Q$	एक अभिक्रिया में मुक्त हुई ऊर्जा	$J$
$Δ m$	अभिकारकों का द्रव्यमान घटा उत्पादों का द्रव्यमान	$kg$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$
$u$	परमाणु द्रव्यमान मात्रक, $1.6605 \times 1 0^{- 27} kg$	$kg$
$MeV$	मेगा-इलेक्ट्रॉनवोल्ट, $1.602 \times 1 0^{- 13} J$	$J$

कब लागू होता है: किसी भी अभिक्रिया के लिए, नाभिकीय या रासायनिक। सर्वत्र नाभिकीय द्रव्यमान लें, या परमाणु द्रव्यमान जब दोनों ओर इलेक्ट्रॉन संतुलित हों, जैसा इस पाठ की अभिक्रियाओं में होता है।

उदाहरण: D–T संलयन: $Δ m = 0.018883 u$ , अतः $Q = 0.018883 \cdot 931.5 \approx 17.6 MeV$ ।

नाभिक की बंधन ऊर्जा

B = (Z m_{p} + N m_{n} - M) c^{2}

नाभिक अपने अलग-अलग प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों से हल्का होता है, क्योंकि प्रबल बल ने उन्हें खींचकर पास लाते समय ऊर्जा मुक्त की थी। वह कमी गुणा प्रकाश की चाल का वर्ग बंधन ऊर्जा है, यानी नाभिक को तोड़ने के लिए देनी पड़ने वाली ऊर्जा। द्रव्यमान संख्या से भाग देने पर यह नापती है कि हर न्यूक्लिऑन कितनी दृढ़ता से बँधा है।

चिह्न
$B$	नाभिक की बंधन ऊर्जा	$J$
$Z$	प्रोटॉनों की संख्या
$m_{p}$	मुक्त प्रोटॉन का द्रव्यमान	$kg$
$N$	न्यूट्रॉनों की संख्या
$m_{n}$	मुक्त न्यूट्रॉन का द्रव्यमान	$kg$
$M$	नाभिक का द्रव्यमान	$kg$
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: $M$ नग्न नाभिक का द्रव्यमान है। परमाणु द्रव्यमानों के साथ $m_{p}$ की जगह हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $m_{H}$ लें ताकि इलेक्ट्रॉन कट जाएँ; उनकी अपनी छोटी बंधन ऊर्जा की उपेक्षा की गई है।

उदाहरण: हीलियम-4: $(2 \cdot 1.007825 + 2 \cdot 1.008665 - 4.002603) \cdot 931.5 = 28.3 MeV$ , यानी 7.07 MeV प्रति न्यूक्लिऑन।

बंधन ऊर्जाओं से निकली ऊर्जा

Q = \sum B (after) - \sum B (before)

हर नाभिकीय द्रव्यमान को उसके मुक्त न्यूक्लिऑनों के द्रव्यमान घटा उसकी बंधन ऊर्जा लिखें। जब अभिक्रिया प्रोटॉनों की और न्यूट्रॉनों की संख्या अलग-अलग बनाए रखती है, तो मुक्त न्यूक्लिऑनों के द्रव्यमान दोनों ओर समान होकर कट जाते हैं, और मुक्त हुई ऊर्जा कुल बंधन ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है। मुक्त न्यूट्रॉन $B = 0$ के साथ गिने जाते हैं। $B / A$ वक्र पर लोहे के पास के शिखर की ओर हर गति ऊर्जा मुक्त करती है।

चिह्न
$Q$	अभिक्रिया में मुक्त हुई ऊर्जा	$J$
$B$	एक नाभिक की बंधन ऊर्जा	$J$
$\sum$	अभिक्रिया के एक ओर के सभी नाभिकों पर योग

कब लागू होता है: केवल तब जब प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों की संख्याएँ दोनों अलग-अलग संरक्षित हों, जैसे विखंडन और D–T संलयन में। जब दुर्बल बल प्रोटॉनों को न्यूट्रॉनों में बदलता है, जैसे सूर्य में, तब न्यूट्रॉन और हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान-अंतर ध्यान में लेना होता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन का विखंडन: $141 \cdot 8.326 + 92 \cdot 8.513 - 235 \cdot 7.591 = 173.3 MeV$ ।

यूरेनियम-235 का बेरियम और क्रिप्टन में विखंडन

n +^{235} U \to^{141} Ba +^{92} Kr + 3 n + 173 MeV

यूरेनियम-235 एक मंद न्यूट्रॉन को अवशोषित करता है, और उत्तेजित यूरेनियम-236 बेरियम-141 और क्रिप्टन-92 में टूटकर तीन न्यूट्रॉन मुक्त करता है। द्रव्यमान संख्याएँ संतुलित हैं, $1 + 235 = 141 + 92 + 3$ , और आवेश भी, $92 = 56 + 36$ । 173 MeV द्रव्यमान क्षति 0.186 u गुणा $c^{2}$ है; यह उसी नाभिक के टूटने के अनेक तरीक़ों में से केवल एक है।

चिह्न
$n$	न्यूट्रॉन
$^{235} U$	यूरेनियम-235 नाभिक (92 प्रोटॉन, 143 न्यूट्रॉन)
$^{141} Ba$	बेरियम-141 नाभिक (56 प्रोटॉन, 85 न्यूट्रॉन)
$^{92} Kr$	क्रिप्टन-92 नाभिक (36 प्रोटॉन, 56 न्यूट्रॉन)

कब लागू होता है: खंड एक विखंडन से दूसरे में बदलते हैं, अधिकतर द्रव्यमान संख्या 95 और 140 के पास, औसतन 2.4 न्यूट्रॉन के साथ। रेडियोऐक्टिव खंडों के बाद के क्षय सहित, एक विखंडन कुल मिलाकर लगभग 200 MeV मुक्त करता है।

उदाहरण: 173 MeV में से खंड लगभग 160 MeV लेते हैं: क्रिप्टन 97 MeV और बेरियम 63 MeV, द्रव्यमानों के व्युत्क्रम अनुपात में। शेष तीन न्यूट्रॉनों और तात्क्षणिक गामा किरणों को जाता है।

ड्यूटेरियम–ट्रिटियम संलयन

^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n + 17.6 MeV

ड्यूटेरियम नाभिक (एक प्रोटॉन, एक न्यूट्रॉन) और ट्रिटियम नाभिक (एक प्रोटॉन, दो न्यूट्रॉन) संलयित होकर हीलियम-4 और एक मुक्त न्यूट्रॉन बनाते हैं। उत्पाद 0.0189 u हल्के हैं, जिससे 17.6 MeV मिलता है। चूँकि उत्पाद बराबर और विपरीत संवेग से उड़ते हैं, चार गुना हल्का न्यूट्रॉन ऊर्जा का चार-पाँचवाँ भाग ले जाता है।

चिह्न
$^{2} H$	ड्यूटेरियम नाभिक
$^{3} H$	ट्रिटियम नाभिक
$^{4} He$	हीलियम-4 नाभिक (ऐल्फ़ा कण)
$n$	न्यूट्रॉन

कब लागू होता है: नाभिकों को लगभग 0.4 MeV की कूलॉम रोधिका में सुरंगन करना पड़ता है, इसलिए अभिक्रिया केवल लगभग $1 0^{8} K$ के प्लाज़्मा में चलती है। यह सबसे आसानी से प्रज्वलित होने वाली संलयन अभिक्रिया है, इसीलिए संलयन रिएक्टर इसी के लिए बनाए जाते हैं।

उदाहरण: न्यूट्रॉन: $\frac{4}{5} \cdot 17.6 \approx 14.1 MeV$ ; हीलियम नाभिक: 3.5 MeV।

शृंखला अभिक्रिया की वृद्धि

N_{g} = N_{0} k^{g}

हर विखंडन औसतन $k$ नए विखंडन कराता है, इसलिए हर पीढ़ी विखंडनों की संख्या को $k$ से गुणा करती है। $g$ पीढ़ियों के बाद $N_{0}$ विखंडन $N_{0} k^{g}$ हो जाते हैं: $k > 1$ के लिए चरघातांकी वृद्धि, $k = 1$ के लिए स्थिर दर और $k < 1$ के लिए समाप्त होती शृंखला।

चिह्न
$N_{g}$	पीढ़ी $g$ में विखंडनों की संख्या
$N_{0}$	पहली पीढ़ी में विखंडनों की संख्या
$k$	गुणन गुणांक: प्रति विखंडन नए विखंडन
$g$	पीढ़ी संख्या, 0 से गिनी हुई

कब लागू होता है: मानता है कि हर पीढ़ी में $k$ समान है। वास्तविक रिएक्टर में $k$ ताप, नियंत्रक छड़ों और ईंधन के जलने से बदलता है, और विलंबित न्यूट्रॉन पीढ़ियों के बीच का समय लगभग 0.1 s तक खींच देते हैं।

उदाहरण: ऐनिमेशन: $N_{0} = 1$ और $k = 2$ पीढ़ी 0, 1 और 2 में 1, 2 और 4 विखंडन देते हैं, कुल 7, जैसा काउंटर दिखाता है।

द्रव-बूँद (अर्ध-आनुभविक) बंधन ऊर्जा

B = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - \frac{a _{C} Z ^{2}}{A ^{1/3}} - \frac{a _{A} ( N - Z ) ^{2}}{A}

नाभिक को आवेशित बूँद माना जाता है। आयतन पद हर न्यूक्लिऑन का उसके पड़ोसियों से बंधन गिनता है; पृष्ठ पद सतह के न्यूक्लिऑनों के लिए उसका कुछ भाग घटाता है; कूलॉम पद त्रिज्या $r_{0} A^{1/3}$ के गोले में $Z$ प्रोटॉनों की विद्युत ऊर्जा है; असममिति पद प्रोटॉनों से अधिक न्यूट्रॉन होने की पाउली-सिद्धांत से लगने वाली ऊर्जा-लागत है। इनका संतुलन $B / A$ का शिखर लोहे के पास बनाता है।

चिह्न
$B$	नाभिक की बंधन ऊर्जा	$J$
$A$	द्रव्यमान संख्या
$Z$	प्रोटॉनों की संख्या
$N$	न्यूट्रॉनों की संख्या
$a_{V}$	आयतन गुणांक, लगभग 15.75 MeV	$J$
$a_{S}$	पृष्ठ गुणांक, लगभग 17.8 MeV	$J$
$a_{C}$	कूलॉम गुणांक, लगभग 0.711 MeV	$J$
$a_{A}$	असममिति गुणांक, लगभग 23.7 MeV	$J$

कब लागू होता है: मापे गए द्रव्यमानों पर फ़िट: भारी नाभिकों के लिए लगभग 0.5 % तक सही, पर कोश प्रभाव और युग्मन छोड़ देता है, इसलिए सबसे हल्के नाभिकों में विफल है (हीलियम-4 के लिए 28.3 MeV की जगह 16 MeV)।

उदाहरण: यूरेनियम-235 ( $Z = 92$ , $N = 143$ ): $3701 - 678 - 975 - 262 = 1786 MeV$ , मापे 1784 MeV के विरुद्ध।

शब्दावली

न्यूक्लिऑन: प्रोटॉन या न्यूट्रॉन, वे दो कण जिनसे नाभिक बनता है। उनकी संख्या द्रव्यमान संख्या $A = Z + N$ है; नाभिकीय अभिक्रियाएँ न्यूक्लिऑनों को पुनर्व्यवस्थित करती हैं, न बनाती हैं न नष्ट।
समस्थानिक (आइसोटोप): वे नाभिक जिनमें प्रोटॉन संख्या समान, इसलिए तत्व समान, पर न्यूट्रॉन संख्या भिन्न हो। यूरेनियम-235 और यूरेनियम-238 यूरेनियम के समस्थानिक हैं; ड्यूटेरियम $^{2} H$ और ट्रिटियम $^{3} H$ हाइड्रोजन के भारी समस्थानिक हैं।
द्रव्यमान–ऊर्जा तुल्यता: विराम में हर पिंड में विराम ऊर्जा $E = m c^{2}$ होती है, इसलिए ऊर्जा देने वाला निकाय $E / c^{2}$ हल्का हो जाता है। यह रासायनिक और नाभिकीय अभिक्रियाओं पर समान रूप से लागू है; केवल ऊर्जा का परिमाण भिन्न होता है।
द्रव्यमान क्षति (mass defect): अभिक्रिया से पहले का कुल द्रव्यमान घटा बाद का कुल द्रव्यमान, $Δ m$ ; अभिक्रिया $Q = Δ m c^{2}$ मुक्त करती है। एक नाभिक के लिए यह उसके मुक्त न्यूक्लिऑनों का द्रव्यमान घटा उसका अपना द्रव्यमान है। कुछ नष्ट नहीं हुआ: लुप्त द्रव्यमान ऊर्जा बनकर निकल गया।
बंधन ऊर्जा: नाभिक को मुक्त प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों में खींचकर अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा, जो उसकी द्रव्यमान क्षति गुणा $c^{2}$ के बराबर है। प्रति न्यूक्लिऑन, $B / A$ , यह लोहे-56 के पास लगभग 8.8 MeV पर शिखर बनाती है; जितनी अधिक, नाभिक उतना दृढ़ बँधा।
नाभिकीय विखंडन: भारी नाभिक का, प्रायः न्यूट्रॉन अवशोषित करने के बाद, दो मध्यम आकार के खंडों और कुछ न्यूट्रॉनों में टूटना। यूरेनियम-235 का एक विखंडन कुल लगभग 200 MeV मुक्त करता है, अधिकांश खंडों की गतिज ऊर्जा के रूप में।
नाभिकीय संलयन: दो हल्के नाभिकों का जुड़कर भारी, अधिक दृढ़ता से बँधा नाभिक बनाना। ड्यूटेरियम–ट्रिटियम संलयन प्रति अभिक्रिया 17.6 MeV मुक्त करता है; सूर्य में हाइड्रोजन संलयित होकर हीलियम बनाती है।
शृंखला अभिक्रिया: ऐसा क्रम जिसमें हर विखंडन के न्यूट्रॉन और विखंडन कराते हैं। गुणन गुणांक $k$ के साथ शृंखला समाप्त होती है ( $k < 1$ , अवक्रांतिक), स्थिर चलती है ( $k = 1$ , क्रांतिक) या बढ़ती है ( $k > 1$ , अतिक्रांतिक)।
प्रबल नाभिकीय बल: न्यूक्लिऑनों के बीच वह आकर्षण जो नाभिक को उसके प्रोटॉनों के प्रतिकर्षण के विरुद्ध थामे रखता है। यह विद्युत बल से बहुत प्रबल है पर केवल लगभग $1 0^{- 15} m$ पर कार्य करता है, इसलिए हर न्यूक्लिऑन केवल अपने पड़ोसियों से बँधता है।
द्रव-बूँद मॉडल: नाभिक को नाभिकीय द्रव की आवेशित बूँद मानने का चित्र, जिसमें आयतन, पृष्ठ, कूलॉम और असममिति ऊर्जाएँ हैं। यह भारी नाभिकों की बंधन ऊर्जाएँ 1 % से बेहतर देता है और बताता है कि वे क्यों टूट सकते हैं।
विखंडन-रोधिका: वह ऊर्जा का उभार जिसे भारी नाभिक को खिंचते समय चढ़ना पड़ता है, इससे पहले कि विद्युत प्रतिकर्षण हावी होकर उसे अलग खींच दे; यूरेनियम के लिए लगभग 6 MeV। यूरेनियम-235 द्वारा ग्रहण किया मंद न्यूट्रॉन 6.5 MeV देता है, जो आवश्यकता से अधिक है।
कूलॉम रोधिका: वह विद्युत प्रतिकर्षण जिसे दो नाभिकों को संलयन के लिए पर्याप्त पास आने को पार करना पड़ता है, ड्यूटेरियम और ट्रिटियम के लिए लगभग 0.4 MeV। संलयन के तापों पर, 10 keV के पास, नाभिक इसे ऊपर से नहीं, क्वांटम सुरंगन से पार करते हैं।

राशियाँ
$E$	विराम ऊर्जा	$J$	वह ऊर्जा जो पिंड अपने द्रव्यमान के कारण रखता है, $m c^{2}$ ; एक ग्राम $9.0 \times 1 0^{13} J$ के तुल्य है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	पिंड या निकाय का द्रव्यमान, जो उसकी कुल आंतरिक ऊर्जा मापता है। परमाणु और नाभिकीय द्रव्यमान प्रायः परमाणु द्रव्यमान मात्रक में दिए जाते हैं, $1 u = 1.6605 \times 1 0^{- 27} kg$ , विराम ऊर्जा 931.5 MeV।
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$	$2.998 \times 1 0^{8} m/s$ ; इसका वर्ग, $8.99 \times 1 0^{16} J/kg$ , द्रव्यमान को ऊर्जा में बदलता है।
$Δ m$	द्रव्यमान क्षति	$kg$	अभिकारकों का द्रव्यमान घटा उत्पादों का द्रव्यमान, प्रायः u में: ऐनिमेशन के विखंडन के लिए 0.186 u, D–T संलयन के लिए 0.0189 u।
$Q$	मुक्त हुई ऊर्जा (Q मान)	$J$	एक अभिक्रिया में मुक्त हुई ऊर्जा, $Δ m c^{2}$ , प्रायः MeV में दी जाती है, $1 MeV = 1.602 \times 1 0^{- 13} J$ ; ऊर्जा मुक्त होने पर धनात्मक।
$B$	बंधन ऊर्जा	$J$	नाभिक को उसके मुक्त न्यूक्लिऑनों में अलग करने की ऊर्जा: हीलियम-4 के लिए 28.3 MeV, यूरेनियम-235 के लिए 1784 MeV।
$Z$	परमाणु क्रमांक		नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या; यह तत्व और नाभिकीय आवेश $Z e$ तय करती है।
$N$	न्यूट्रॉन संख्या		नाभिक में न्यूट्रॉनों की संख्या; यूरेनियम-235 में 143, यूरेनियम-238 में 146।
$A$	द्रव्यमान संख्या		न्यूक्लिऑनों की संख्या, $A = Z + N$ ; u में नाभिक का द्रव्यमान $A$ के निकट होता है।
$k$	गुणन गुणांक		एक विखंडन के न्यूट्रॉनों से होने वाले नए विखंडनों की औसत संख्या: ऐनिमेशन में $k = 2$ , स्थिर चलते रिएक्टर में $k = 1$ ।

क्विज़

शुरुआती नाभिकीय विखंडन में यूरेनियम-235 जैसे भारी नाभिक का क्या होता है?
1. वह दो छोटे नाभिकों में टूटता है और कुछ न्यूट्रॉन मुक्त करता है
2. वह दूसरे नाभिक से जुड़कर भारी नाभिक बनाता है
3. वह अपने इलेक्ट्रॉन खोकर आयन बन जाता है
4. वह कोयले की तरह ऑक्सीजन के साथ जलता है
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उत्तर: A. वह दो छोटे नाभिकों में टूटता है और कुछ न्यूट्रॉन मुक्त करता है
विखंडन का अर्थ है टूटना: न्यूट्रॉन अवशोषित करने के बाद यूरेनियम-235 नाभिक दो मध्यम आकार के नाभिकों और 2 या 3 न्यूट्रॉनों में टूटता है, और ऊर्जा मुक्त करता है। नाभिकों का जुड़ना संलयन है, और इलेक्ट्रॉन खोना या जलना रासायनिक प्रक्रियाएँ हैं।
शुरुआती एक अकेला न्यूट्रॉन यूरेनियम-235 में शृंखला अभिक्रिया क्यों शुरू कर सकता है?
1. वही न्यूट्रॉन नाभिक से नाभिक टकराता हुआ हमेशा चलता रहता है
2. हर विखंडन 2 या 3 नए न्यूट्रॉन मुक्त करता है जो और नाभिक तोड़ सकते हैं
3. हर यूरेनियम नाभिक एक ही क्षण अपने आप टूट जाता है
4. ऊर्जा की चमक आसपास के परमाणुओं को नया यूरेनियम बना देती है
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उत्तर: B. हर विखंडन 2 या 3 नए न्यूट्रॉन मुक्त करता है जो और नाभिक तोड़ सकते हैं
हर विखंडन 2 या 3 नए न्यूट्रॉन छोड़ता है। यदि उनमें से कम से कम एक और नाभिक तोड़े, तो प्रक्रिया अपने आप चलती रहती है; यदि दो तोड़ें, तो ऐनिमेशन की तरह 1 से 2, फिर 4 विखंडन और आगे बढ़ती है।
शुरुआती सूर्य किससे चमकता है?
1. ऑक्सीजन के साथ जलती हाइड्रोजन गैस से
2. उसके क्रोड में यूरेनियम के विखंडन से
3. हाइड्रोजन नाभिकों के हीलियम में संलयन से
4. जन्म के समय बची ऊष्मा से, जो धीरे-धीरे रिस रही है
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उत्तर: C. हाइड्रोजन नाभिकों के हीलियम में संलयन से
सूर्य के क्रोड में, लगभग 1.5 करोड़ डिग्री पर, हाइड्रोजन नाभिक संलयित होकर हीलियम बनाते हैं। हीलियम उन हाइड्रोजन नाभिकों से थोड़ी हल्की होती है जिनसे वह बनी, और लुप्त द्रव्यमान ऊर्जा के रूप में निकलता है। साधारण जलने से सूर्य कुछ हज़ार वर्षों में समाप्त हो जाता।
मध्यम किसी नाभिकीय अभिक्रिया में उत्पाद अभिकारकों से 0.0189 u हल्के हैं। कितनी ऊर्जा मुक्त होती है? (1 u·c² = 931.5 MeV)
1. 1.76 MeV
2. 176 MeV
3. 0.0189 MeV
4. 17.6 MeV
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उत्तर: D. 17.6 MeV
Q = Δm·c² = 0.0189 × 931.5 MeV ≈ 17.6 MeV, D–T संलयन की ऊर्जा। 1.76 MeV और 176 MeV में दस की घात की चूक है, और 0.0189 MeV में द्रव्यमान को ऊर्जा में बदलना भूल गए।
मध्यम नाभिकीय रिएक्टर नियत शक्ति पर स्थिर चल रहा है। उसका गुणन गुणांक k क्या है?
1. k = 2, जैसा बढ़ती शृंखला में
2. k = 3, छोड़े गए हर न्यूट्रॉन के लिए एक
3. औसतन k = 1
4. k, 1 से थोड़ा कम, ताकि वह कभी बेक़ाबू न हो सके
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उत्तर: C. औसतन k = 1
नियत शक्ति पर हर विखंडन को औसतन ठीक एक और विखंडन कराना चाहिए: k = 1 (क्रांतिक)। k > 1 पर विखंडनों की संख्या हर पीढ़ी बढ़ती है; k < 1 पर वह समाप्त हो जाती है। नियंत्रक छड़ें न्यूट्रॉन सोखकर k को साधती हैं।
मध्यम D–T संलयन, ²H + ³H → ⁴He + n, 17.6 MeV मुक्त करता है। न्यूट्रॉन को लगभग 14.1 MeV, हीलियम नाभिक से कहीं अधिक, क्यों मिलता है?
1. वह 4 गुना हल्का है: बराबर संवेग पर K = p²/(2m) 4 गुना बड़ा होता है
2. वह पहले बनता है और हीलियम नाभिक बनने से पहले निकल जाता है
3. न्यूट्रॉन हर नाभिकीय अभिक्रिया की 80 % ऊर्जा ले जाते हैं
4. हीलियम नाभिक अपनी अधिकांश ऊर्जा अपने विद्युत आवेश के कारण खो देता है
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उत्तर: A. वह 4 गुना हल्का है: बराबर संवेग पर K = p²/(2m) 4 गुना बड़ा होता है
अभिकारक लगभग विराम में हैं, इसलिए उत्पाद बराबर और विपरीत संवेग p से उड़ते हैं। तब K = p²/(2m) द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है: न्यूट्रॉन (A = 1) को 17.6 MeV का लगभग 4/5 ≈ 14.1 MeV मिलता है और ⁴He नाभिक (A = 4) को शेष 3.5 MeV।
उन्नत हल्के नाभिकों का संलयन और भारी नाभिकों का विखंडन, दोनों ऊर्जा मुक्त क्यों करते हैं?
1. कुछ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन नष्ट होकर ऊर्जा बन जाते हैं
2. B/A का शिखर लोहे के पास है, इसलिए दोनों अधिक दृढ़ बँधे नाभिक बनाते हैं
3. हल्के और भारी नाभिकों की बंधन ऊर्जा ऋणात्मक होती है
4. दोनों अभिक्रियाएँ इलेक्ट्रॉन मुक्त करती हैं जो ऊर्जा ले जाते हैं
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उत्तर: B. B/A का शिखर लोहे के पास है, इसलिए दोनों अधिक दृढ़ बँधे नाभिक बनाते हैं
B/A ²H के लिए 1.1 MeV से बढ़कर ⁵⁶Fe के पास लगभग 8.8 MeV होता है, फिर ²³⁵U के लिए 7.6 MeV तक घटता है। किसी भी ओर से शिखर की ओर जाने पर कुल बंधन ऊर्जा बढ़ती है, इसलिए Q = ΣB(after) − ΣB(before) > 0। न्यूक्लिऑनों की संख्या वही रहती है; केवल उनके बँधने की दृढ़ता बदलती है।
उन्नत ²³⁵U मंद (ऊष्मीय) न्यूट्रॉनों से टूटता है, जबकि ²³⁸U को तेज़ न्यूट्रॉन चाहिए। ऐसा क्यों?
1. ²³⁸U नाभिक मंद न्यूट्रॉनों के लिए बहुत छोटा लक्ष्य हैं
2. केवल ²³⁵U रेडियोऐक्टिव है; ²³⁸U पूरी तरह स्थायी है
3. मंद न्यूट्रॉन ²³⁸U के अतिरिक्त न्यूट्रॉनों से प्रतिकर्षित होते हैं
4. ग्रहण ²³⁶U* को उसकी विखंडन-रोधिका से ऊपर उठाता है, पर ²³⁹U* को नहीं
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उत्तर: D. ग्रहण ²³⁶U* को उसकी विखंडन-रोधिका से ऊपर उठाता है, पर ²³⁹U* को नहीं
संयुक्त नाभिक को अपनी विखंडन-रोधिका से ऊपर उत्तेजित होना चाहिए। प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों की सम संख्या वाला ²³⁶U बनते समय अतिरिक्त युग्मन ऊर्जा पाता है, इसलिए मंद न्यूट्रॉन पर्याप्त है। ²³⁹U में एक विषम न्यूट्रॉन रह जाता है और लगभग 1.7 MeV कम मिलता है, इसलिए न्यूट्रॉन को लगभग 1 MeV गतिज ऊर्जा लानी पड़ती है। (²³⁸U स्वयं रेडियोऐक्टिव है, अर्ध-आयु 4.5 अरब वर्ष।)

$A$	द्रव्यमान संख्या: नाभिक में न्यूक्लिऑनों की संख्या।
$B / A$	प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा: कुल बंधन ऊर्जा $B$ को $A$ से भाग, एक न्यूक्लिऑन का औसत बंधन। बिंदुकित रेखा $8 MeV$ दर्शाती है।	$J$
$^{2} H$	ड्यूटेरियम, $B / A = 1.112 MeV$ के साथ।
$^{3} H$	ट्रिटियम, $B / A = 2.827 MeV$ के साथ।
$^{4} He$	हीलियम-4, $B / A = 7.074 MeV$ के साथ: D–T संलयन का उत्पाद।
$^{56} F e$	लोहा-56, $B / A = 8.790 MeV$ के साथ, वक्र के शिखर के पास।
$^{92} Kr$	क्रिप्टन-92, $B / A = 8.513 MeV$ के साथ: एक विखंडन खंड।
$^{141} B a$	बेरियम-141, $B / A = 8.326 MeV$ के साथ: दूसरा खंड।
$^{235} U$	यूरेनियम-235, $B / A = 7.591 MeV$ के साथ: विखंडित होता नाभिक।

$E$	ऊर्जा; अक्ष अधिक ऊर्जा की ओर संकेत करता है।	$J$
$Z m_{p} c^{2}$	अभिक्रिया के $Z$ प्रोटॉनों की विराम ऊर्जा, दूर-दूर और विराम में।	$J$
$N m_{n} c^{2}$	अभिक्रिया के $N$ न्यूट्रॉनों की विराम ऊर्जा, दूर-दूर और विराम में।	$J$
$E_{i}$	अभिकारकों की विराम ऊर्जा: नाभिक $^{235} U$ और एक न्यूट्रॉन।	$J$
$E_{f}$	उत्पादों की विराम ऊर्जा: $^{141} Ba$ , $^{92} Kr$ और तीन न्यूट्रॉन।	$J$
$B_{i}$	अभिकारकों की बंधन ऊर्जा, $\sum B (before)$ : उनका स्तर मुक्त न्यूक्लिऑनों से कितना नीचे है।	$J$
$B_{f}$	उत्पादों की बंधन ऊर्जा, $\sum B (after)$ : उनका स्तर मुक्त न्यूक्लिऑनों से कितना नीचे है।	$J$
$Q$	अभिक्रिया में मुक्त हुई ऊर्जा: $Q = E_{i} - E_{f} = B_{f} - B_{i}$ ।	$J$
$^{235} U$	यूरेनियम-235 नाभिक, 92 प्रोटॉन और 143 न्यूट्रॉन के साथ।
$^{141} B a$	बेरियम-141 नाभिक, एक विखंडन खंड।
$^{92} Kr$	क्रिप्टन-92 नाभिक, दूसरा खंड।
$n$	न्यूट्रॉन (नीला); $3 n$ तीन मुक्त न्यूट्रॉन हैं।

$ε$	दीर्घन: बूँद गोले से समान आयतन की लंबी आकृति में कितनी खिंची है।
$E$	उस आकृति पर नाभिक की ऊर्जा, गोले की ऊर्जा से मापी हुई।	$J$
$E_{B}$	गोले के ऊपर विखंडन-रोधिका की ऊँचाई: यूरेनियम के लिए लगभग 6 MeV।	$J$
$^{236} U^{*}$	$^{236} U^{*}$ की उत्तेजन ऊर्जा, जो $^{235} U$ और मंद न्यूट्रॉन से बना: 6.5 MeV, रोधिका से ऊपर।	$J$
$^{239} U^{*}$	$^{239} U^{*}$ की उत्तेजन ऊर्जा, जो $^{238} U$ और मंद न्यूट्रॉन से बना: 4.8 MeV, रोधिका से नीचे।	$J$

$r$	दोनों नाभिकों के केंद्रों के बीच की दूरी।	$m$
$U$	युग्म की स्थितिज ऊर्जा: $r_{n}$ के बाहर विद्युत प्रतिकर्षण, भीतर नाभिकीय आकर्षण।	$J$
$U_{C}$	संपर्क पर कूलॉम पहाड़ी की ऊँचाई: लगभग 0.4 MeV।	$J$
$E$	युग्म की टक्कर ऊर्जा: पाठ के उदाहरण में 10 keV।	$J$
$r_{n}$	संपर्क दूरी, जहाँ नाभिकीय बल पकड़ता है: लगभग 3.5 fm।	$m$
$r_{t}$	मोड़-बिंदु, जहाँ $U = E$ : 10 keV के लिए लगभग 144 fm।	$m$
$P$	प्रायिकता कि युग्म $r_{t}$ से $r_{n}$ तक रोधिका में सुरंगन करे।