गैसों का अणुगति सिद्धांत

असंख्य अणु उड़ते, टकराते और दीवारों से टकराकर लौटते हैं; इन टकरावों से दाब और ताप समझाए जाते हैं। ये टकराव $p V = N k T$ की व्याख्या करते हैं, और ताप अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k T$ को मापता है।

बंद डिब्बे में अणु टकराते हैं: दीवारों पर उनके आघात से दाब बनता है, और उन्हें गर्म करने पर दाब बढ़ता है।

इस विषय से पहले: ताप और ऊष्मा, संवेग और संघट्ट

शुरुआती

मुख्य विचार

गैस बहुत छोटे अणुओं का झुंड है, जो एक-दूसरे से काफ़ी दूर होते हैं, सीधी रेखाओं में उड़ते हैं और आपस में तथा दीवारों से टकराते हैं।
दीवार से हर टक्कर एक छोटा धक्का है; हर सेकंड की अनगिनत टक्करें मिलकर स्थिर दाब बनाती हैं।
उसी स्थान में अधिक गैस हो तो दीवार के हर हिस्से पर अधिक टक्करें होती हैं, इसलिए दाब बढ़ता है।
ताप बताता है कि अणु कितनी तेज़ी से चलते हैं: गैस गर्म करने पर वे ज़्यादा ज़ोर से और ज़्यादा बार टकराते हैं, जिससे दाब बढ़ता है।
परम शून्य (0 K, −273 °C) पर अणुओं की गति न्यूनतम होती है: इससे ठंडा कुछ नहीं हो सकता।

एक गुब्बारा स्थिर दिखता है, फिर भी उसके भीतर की हवा तेज़ी से दौड़ते अणुओं का झुंड है।

चरण 1: गैस क्या है। गैस में अणु एक-दूसरे से दूर होते हैं, उनके बीच ज़्यादातर खाली जगह होती है, और उन्हें कोई चीज़ बाँधकर नहीं रखती। हर अणु तब तक सीधी रेखा में उड़ता है जब तक वह किसी दूसरे अणु या दीवार से न टकराए; फिर वह उछलकर आगे बढ़ जाता है। इसी खाली जगह की वजह से आप साइकिल पंप में हवा दबा सकते हैं, पर पानी लगभग नहीं दबा सकते, और टोस्ट की महक कुछ ही मिनटों में पूरे घर में फैल जाती है।

चरण 2: दाब कहाँ से आता है। दीवार से टकराने वाला हर अणु उसे एक छोटा धक्का देता है। टिन की छत पर पड़ती बारिश के बारे में सोचें: कुछ बूँदें अलग-अलग टप-टप की आवाज़ करती हैं, पर मूसलाधार बारिश एक स्थिर गड़गड़ाहट बन जाती है। अणु इतने अधिक हैं कि उनकी टक्करें दीवार के हर हिस्से पर एक स्थिर धक्के में घुल जाती हैं: यही गैस का दाब है।

चरण 3: अधिक गैस, अधिक दाब। टायर में और हवा भरें, तो हर सेकंड अधिक अणु दीवार के हर हिस्से से टकराते हैं, और दाब बढ़ जाता है।

चरण 4: ताप ही गति है। गैस का ताप बताता है कि उसके अणु औसतन कितनी तेज़ी से चलते हैं। उसे गर्म करें तो अणु तेज़ होते हैं और दीवारों से ज़्यादा ज़ोर से और ज़्यादा बार टकराते हैं: दाब बढ़ने के ये दो कारण हैं। परम शून्य, यानी 0 K या −273 °C पर, गति सबसे कम संभव होगी।

ख़ुद जाँचें: धूप में रखा सील बंद हवा का डिब्बा गर्म होता है। क्या उसके भीतर अणुओं की संख्या बदलती है? क्या दाब बदलता है? (नहीं; हाँ, दाब बढ़ता है, क्योंकि वही अणु अब तेज़ चलते हैं।)

ऐनिमेशन में पीले चमकते बिंदु दीवारों पर टकराव दर्शाते हैं। लौ जलने पर गर्म फ़र्श को छूने वाले अणु नारंगी हो जाते हैं और तेज़ चलने लगते हैं, तथा दाब की सुई ऊपर चढ़ती है।

मध्यम

मुख्य विचार

आदर्श गैस नियम: $p V = n RT = N k T$ , जहाँ $T$ केल्विन में है, $R = 8.314 J/ (mol \cdot K)$ और $k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ ।
प्रति अणु औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k T$ है, जो दिए गए ताप पर हर गैस के लिए समान है।
स्थिर $V$ और $n$ पर $p / T$ नियत रहता है: केल्विन ताप दोगुना हो तो दाब भी दोगुना होता है।
$v_{rms} = 3 RT / M$ , जहाँ $M$ kg/mol में है: समान $T$ पर हल्के अणु तेज़ चलते हैं (300 K पर N₂ लगभग 517 m/s)।

आदर्श गैस और जो हम मापते हैं

गतिज सिद्धांत गैस को अत्यधिक बड़ी संख्या $N$ में अणुओं के रूप में देखता है, जो उनके बीच की दूरियों की तुलना में बहुत छोटे होते हैं और यादृच्छिक दिशाओं में सीधी रेखाओं में उड़ते हैं। वे दीवारों से और एक-दूसरे से प्रत्यास्थ रूप से टकराते हैं, और टकरावों के बीच कोई बल नहीं लगाते। यह मॉडल आदर्श गैस है; कमरे की परिस्थितियों में हवा लगभग 0.1 % की सीमा तक इसका पालन करती है।

चार राशियाँ पूरी गैस का वर्णन करती हैं। दाब $p$ दीवारों पर प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है, जिसका मात्रक पास्कल है ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ); आपके आसपास की हवा का दाब लगभग 101 kPa है। आयतन $V$ घन मीटर में है (1 L = 0.001 m³)। ताप $T$ केल्विन में होना चाहिए: सेल्सियस पाठ्यांक में 273.15 जोड़ें, इसलिए 27 °C का अर्थ 300 K है। मात्रा अणुओं की संख्या $N$ या मोलों की संख्या $n = N / N_{A}$ से व्यक्त होती है, जहाँ आवोगाद्रो नियतांक $N_{A} = 6.022 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$ है।

आदर्श गैस नियम

कई गैसों पर प्रयोग और आणविक मॉडल एक ही अवस्था-समीकरण पर पहुँचते हैं, साथ ही उसके दो नियतांकों का संबंध भी:

$p V = n RT = N k T$
$R = N_{A} k$

यहाँ $R = 8.314 J/ (mol \cdot K)$ एक मोल के लिए मोलर गैस नियतांक है और $k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है, जो एक अणु के लिए वही नियतांक है। यह नियम इस बात पर निर्भर नहीं करता कि गैस कौन-सी है: 300 K और 100 kPa पर एक मोल हीलियम या नाइट्रोजन $V = RT / p = 24.9 L$ घेरती है।

दो राशियाँ स्थिर रखने पर पुराने गैस नियम प्रकट होते हैं: स्थिर $V$ और $n$ पर $p / T$ नियत है; स्थिर $T$ पर $p V$ नियत है (बॉयल का नियम); स्थिर $p$ पर $V / T$ नियत है (चार्ल्स का नियम), इसलिए ठंडी बाहरी हवा में ले जाया गया गुब्बारा सिकुड़ जाता है। एक सरल तरीका: $V$ लीटर में हो तो $n RT / V$ का मात्रक J/L आता है, जो kPa के बराबर है; 300 K पर एक कठोर 10 L टैंक में दो मोल गैस का दाब $2 \cdot 8.314 \cdot 300/10 \approx 499 kPa$ है।

अणु-दर-अणु दाब और ताप

दाब टक्करों का सम्मिलित प्रभाव है। द्रव्यमान $m$ का अणु जो वेग-घटक $v_{x}$ के साथ दीवार से टकराता है, $- v_{x}$ के साथ लौटता है, और दीवार को $2 m v_{x}$ संवेग देता है। तेज़ अणु हर टक्कर में अधिक धक्का देता है और जल्दी लौटता है, इसलिए उसका योगदान $v_{x}^{2}$ के साथ बढ़ता है। सभी अणुओं को जोड़ने पर, यादृच्छिक गति $v^{2}$ को तीन दिशाओं में बराबर बाँटती है, और हम पाते हैं
$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m ⟨ v^{2} ⟩$
जहाँ $⟨ v^{2} ⟩$ अणुओं की चालों के वर्गों का औसत है।

इसकी तुलना $p V = N k T$ से करें। चूँकि $\frac{1}{3} m ⟨ v^{2} ⟩ = \frac{2}{3} ⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩$ , दोनों तभी मेल खाते हैं जब
$⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k T$
ताप केवल अणुओं की स्थानांतरीय गति की औसत गतिज ऊर्जा का माप है, और कुछ नहीं। 300 K पर हर गैस का अणु औसतन $\frac{3}{2} \cdot 1.38 \times 1 0^{- 23} \cdot 300 = 6.2 \times 1 0^{- 21} J$ ऊर्जा रखता है।

चाल के लिए हल करने पर हमें वर्ग-माध्य-मूल चाल मिलती है, यानी $⟨ v^{2} ⟩$ का वर्गमूल:
$v_{rms} = \frac{3 k T}{m} = \frac{3 RT}{M}$
जहाँ $M$ kg/mol में मोलर द्रव्यमान है। नाइट्रोजन के लिए $M = 0.028 kg/mol$ और 300 K पर $v_{rms} = 517 m/s$ है, जो ध्वनि की चाल से भी तेज़ है; हीलियम, जिसका $M = 0.004 kg/mol$ है, उसी ताप पर 1370 m/s तक पहुँचता है। समान ऊर्जा का अर्थ है कि हल्के अणु तेज़ चलते हैं, $1/ m$ के अनुपात में; और गर्म करने पर हर चाल $T$ के अनुपात में बढ़ती है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की गैस को गर्म करना

डिब्बे में 27 °C ( $T_{1} = 300 K$ ) और $p_{1} = 100 kPa$ पर नाइट्रोजन है, और जकड़ा हुआ पिस्टन $V$ और $n$ स्थिर रखता है। लौ जलने के बाद गर्म फ़र्श से पहली बार टकराने वाले अणु की गतिज ऊर्जा दोगुनी होकर लौटती है और उसकी चाल $2$ गुना हो जाती है। जब सभी अणु यह कर चुकते हैं, तो औसत गतिज ऊर्जा, और उसके साथ केल्विन ताप, दोगुना हो जाता है:
$T_{2} = 2 T_{1} = 600 K, p_{2} = p_{1} \frac{T _{2}}{T _{1}} = 100 \cdot \frac{600}{300} = 200 kPa$
$v_{rms} = 517 \cdot 2 \approx 731 m/s$
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $6.2 \times 1 0^{- 21}$ से बढ़कर $1.24 \times 1 0^{- 20} J$ हो जाती है।

पाठ्यांक देखें: नारंगी $T$ और नीला $p$ साथ-साथ बढ़ते हैं, और उनका अनुपात $\frac{1}{3} kPa/K$ पर स्थिर रहता है। हर अणु फ़र्श को पहली बार छूते ही नारंगी हो जाता है, और गर्म अणु का बैंगनी तीर $v$ लगभग 41 % बढ़ जाता है। ऐनिमेशन सभी अणुओं के फ़र्श तक पहुँचने से पहले ही रुक जाता है: सोलह में से दो अणु अभी भी नीले हैं, इसलिए पाठ्यांक लगभग 586 K और 195 kPa पर रुकते हैं, और दाब-मापी की सुई अपने 200 kPa निशान से ज़रा नीचे रहती है।

उदाहरण: टायर का गर्म होना

ठंडी सुबह 7 °C पर टायर-गेज 230 kPa दिखाता है; एक घंटे चलने के बाद भीतर की हवा 42 °C पर है। यदि आयतन लगभग नहीं बदलता, तो अब गेज क्या दिखाएगा, और 25 L के टायर में कितनी हवा है?

टायर-गेज वायुमंडल से अधिक दाब दिखाता है, इसलिए पहले इसे निरपेक्ष दाब और केल्विन में बदलें: $p_{1} = 230 + 101 = 331 kPa$ , $T_{1} = 280 K$ , $T_{2} = 315 K$ । स्थिर आयतन पर
$p_{2} = p_{1} \frac{T _{2}}{T _{1}} = 331 \cdot \frac{315}{280} \approx 372 kPa$
तो गेज $372 - 101 = 271 kPa$ दिखाता है। ताप 12.5 % बढ़ा, पर गेज का पाठ्यांक 18 % बढ़ा, क्योंकि वायुमंडल का हिस्सा वही रहता है; इसीलिए टायर का दाब ठंडी अवस्था में निर्दिष्ट किया जाता है।

हवा की मात्रा के लिए, किलोपास्कल गुणा लीटर से जूल मिलते हैं: $n = p V / (RT) = 331 \cdot 25/ (8.314 \cdot 280) \approx 3.55 mol$ , यानी लगभग $2.1 \times 1 0^{24}$ अणु। हवा का मोलर द्रव्यमान 0.029 kg/mol है, इसलिए यह लगभग 100 g हवा है, जो कार के भार के एक-चौथाई हिस्से को सहारा देती है।

दाब-ताप रेखा पढ़ना

एक सील बंद कठोर पात्र में दाब को ताप के विरुद्ध आलेखित करें, तो सीधी रेखा मिलती है। केल्विन के विरुद्ध यह मूल बिंदु से गुज़रती है और इसकी ढलान $n R / V$ है: ऐनिमेशन की गैस के लिए, 300 K पर 100 kPa से 600 K पर 200 kPa तक, ढलान $\frac{1}{3} kPa/K$ है। सेल्सियस के विरुद्ध यह −273 °C पर शून्य दाब तक पहुँचती है, और अलग-अलग मात्राओं की गैसों की रेखाएँ, भिन्न ढलानों के साथ, उसी एक ताप की ओर इशारा करती हैं। ऐसे अनुमानों से परम शून्य के पहले अनुमान मिले, यद्यपि वास्तविक गैसें उस तक पहुँचने से पहले द्रवित हो जाती हैं।

स्थिर ताप पर दाब-आयतन आलेख इसके बजाय एक अतिपरवलय है, $p = n RT / V$ , जो गर्म गैस के लिए ऊपर रहता है: आयतन आधा करें, तो दाब दोगुना हो जाता है।

सामान्य गलतियाँ

सेल्सियस का उपयोग करना। स्थिर आयतन पर 27 °C से 327 °C तक गर्म करने पर दाब केवल दोगुना होकर 200 kPa होता है, क्योंकि 300 K, 600 K बन जाता है; अनुपात 327/27 से बेतुका 1211 kPa मिलेगा।
गेज के पाठ्यांक को दाब मान लेना। 230 kPa दिखाने वाले टायर का वास्तविक दाब 331 kPa है; गेज मान से हवा की मात्रा लगभग 30 % कम निकलती है।
मोलर द्रव्यमान को ग्राम प्रति मोल में रखना। $M = 28$ के बजाय 0.028 रखें, तो $3 RT / M$ नाइट्रोजन के लिए 517 m/s के बजाय 16 m/s देता है।
यह मान लेना कि समान ताप पर समान चालें होती हैं। 300 K पर हीलियम और नाइट्रोजन की औसत गतिज ऊर्जा समान है, पर उनकी वर्ग-माध्य-मूल चालें लगभग 1370 m/s और 517 m/s हैं।
दाब को स्थिर अणुओं का एक-दूसरे को दूर धकेलना समझना। दाब टक्करों से आता है, और प्रत्यास्थ टक्कर भी दीवार को $2 m v_{x}$ देती है: प्रत्यास्थ का अर्थ है कि गतिज ऊर्जा नहीं खोती, न कि यह कि कोई संवेग विनिमय नहीं होता।

इसका उपयोग कहाँ होता है

टायर, साइकिल पंप, और ऊपर उठते मौसम-गुब्बारे जो पतली हवा में फूलते हैं, सभी $p V = n RT$ का पालन करते हैं। गर्म हवा का गुब्बारा इसलिए तैरता है, क्योंकि समान दाब पर 100 °C की हवा में प्रति घन मीटर लगभग 20 % कम अणु होते हैं, जितने 27 °C की हवा में होते हैं, क्योंकि $N / V = p / (k T)$ । यह अणु-ऊर्जा का विचार ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन की नींव है, और ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी बताता है कि ऊष्मा गर्म से ठंडी की ओर क्यों बहती है।

उन्नत

मुख्य विचार

पिस्टन पर अणुओं के टकराव से $p = \frac{2}{3} (N / V) ⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩$ मिलता है; $p V = N k T$ के साथ औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k T$ है, प्रति स्वातंत्र्य कोटि $\frac{1}{2} k T$ ।
धीरे-धीरे आगे बढ़ता पिस्टन उससे टकराने वाले अणुओं को तेज़ करता है: संपीड़न से गैस गर्म होती है, और परमाणु गैसों के लिए $p V^{γ} = const$ में $γ = 5/3$ होता है।
बोल्ट्ज़मान गुणक $e^{- E / k T}$ : ऊँचाई के साथ वायु का घनत्व $e^{- m g h / k T}$ के अनुसार घटता है, और चाल-वितरण $f (v) \propto v^{2} e^{- m v^{2} / (2 k T)}$ का पालन करता है।
$v_{p} < ⟨ v ⟩ < v_{rms}$ , तीनों $\propto T / m$ हैं: गर्म करने पर $f (v)$ का शिखर दाईं ओर खिसकता है और नीचा तथा चौड़ा हो जाता है।
जमे हुए कंपन N₂ का $C_{V}$ लगभग $\frac{5}{2} R$ रखते हैं, न कि शास्त्रीय $\frac{7}{2} R$ : यह क्वांटम यांत्रिकी का पहला संकेत था।

दाब को संवेग के प्रवाह के रूप में

गैस अपने पात्र को इसलिए दबाती है क्योंकि उसके अणु लगातार दीवारों से टकराते रहते हैं। हर टक्कर दीवार को थोड़ा संवेग देती है, और दाब कुछ और नहीं, बल्कि प्रति इकाई क्षेत्रफल पर संवेग पहुँचने की दर है। इस प्रवाह को चरण-दर-चरण देखने पर हम एक मापनीय राशि, दाब $p$ , को एक अदृश्य राशि, अणुओं की चालों, से जोड़ पाते हैं।

चित्र 1 क्षेत्रफल $A$ वाली दीवार के एक टुकड़े को देखता है, जो $x$ अक्ष के लंबवत है। धक्के के लिए केवल वेग-घटक $v_{x}$ मायने रखता है, यानी अणु के वेग का वह भाग जो सीधे दीवार की ओर है; दीवार के समांतर गति उसे कोई संवेग नहीं देती। अतः अणुओं को उनके $v_{x}$ के अनुसार समूहों में बाँटें, और दीवार की ओर जाते हुए $v_{x} > 0$ वाले एक समूह का अनुसरण करें। मान लें इस समूह में आयतन $V$ के $N$ अणुओं में से $Δ N$ अणु हैं, इसलिए प्रति इकाई आयतन $Δ N / V$ अणु।

एक छोटे समय $Δ t$ में इस समूह के कौन-से अणु इस टुकड़े तक पहुँचते हैं? हर अणु उस समय में दीवार की ओर $v_{x} Δ t$ दूरी तय करता है, इसलिए वही पहुँचता है जो इस दूरी के भीतर से शुरू करता है। ये अणु चित्र 1 की छायांकित पट्टी के भीतर हैं, जिसकी लंबाई $v_{x} Δ t$ और आयतन $A v_{x} Δ t$ है। इससे दूर के अणु बाद में पहुँचते हैं, और जो दीवार से दूर जा रहे हैं वे कभी नहीं पहुँचते। अतः इस पट्टी में समूह के $(Δ N / V) A v_{x} Δ t$ अणु हैं, और ये सभी टुकड़े से टकराते हैं।

चित्र 1 के नीचे बड़ा किया गया आघात दिखाता है कि हर आगमन क्या करता है। टक्कर प्रत्यास्थ है, इसलिए वेग-घटक $v_{x}$ से बदलकर $- v_{x}$ और संवेग $m v_{x}$ से बदलकर $- m v_{x}$ हो जाता है, जहाँ $m$ एक अणु का द्रव्यमान है। संवेग संरक्षित रहता है, इसलिए दीवार को अंतर, $2 m v_{x}$ , प्राप्त होता है।

अब टक्करों की संख्या को प्रति टक्कर संवेग से गुणा करें: $Δ t$ में समूह $(Δ N / V) A v_{x} Δ t \cdot 2 m v_{x}$ संवेग देता है। ध्यान दें कि $v_{x}$ दो बार आता है। तेज़ अणु अधिक बार पहुँचता है और ज़ोर से भी टकराता है, इसलिए धक्का $v_{x}^{2}$ के अनुपात में बढ़ता है। बल $F$ प्रति इकाई समय संवेग है, इसलिए $Δ t$ से भाग दें; दाब प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है, $p = F / A$ , इसलिए $A$ से भाग दें। समूह का दाब में हिस्सा $2 m (Δ N / V) v_{x}^{2}$ है।

दीवार की ओर जाने वाले सभी समूहों के हिस्से जोड़ने पर
$p = \frac{2 m}{V} \sum_{v_{x} > 0} Δ N v_{x}^{2}$
गति यादृच्छिक है, इसलिए हर $+ v_{x}$ वाले समूह के लिए उतना ही बड़ा $- v_{x}$ वाला समूह भी है। दीवार की ओर गति करने वाले आधे भाग का योग, सभी $N$ अणुओं के योग का आधा है, यानी $\frac{1}{2} N ⟨ v_{x}^{2} ⟩$ , जहाँ कोण-कोष्ठक सभी अणुओं पर औसत को दर्शाते हैं। यह आधा टक्कर के गुणक 2 को निरस्त कर देता है:
$p = \frac{N}{V} m ⟨ v_{x}^{2} ⟩$
अंत में, चाल का वर्ग $v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ है, और यादृच्छिक दिशाएँ किसी अक्ष को प्राथमिकता नहीं देतीं, इसलिए हर घटक का योगदान एक-तिहाई होता है: $⟨ v_{x}^{2} ⟩ = ⟨ v_{y}^{2} ⟩ = ⟨ v_{z}^{2} ⟩ = ⟨ v^{2} ⟩ /3$ । अतः
$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m ⟨ v^{2} ⟩$
यही वह सूत्र है जो ऐनिमेशन की विशेषज्ञ परत में लिखा है।

इस परिणाम की तीन विशेषताएँ आसानी से छूट जाती हैं। पहली, इसे केवल $v^{2}$ के माध्य की आवश्यकता है, चालों के किसी विशेष वितरण की नहीं। दूसरी, अणुओं के बीच की टक्करें इसे नहीं बदलतीं: टक्कर केवल संवेग को एक अणु से दूसरे को सौंपती है, और वह संवेग अंततः फिर भी दीवार तक पहुँचता है। तीसरी, मिश्रण में हर प्रकार का अणु अपना अलग पद जोड़ता है, इसलिए घटकों के आंशिक दाब जुड़कर कुल दाब बनाते हैं (डाल्टन का नियम)।

संख्याओं में रखने के लिए, मापे गए गैस नियम $p V = N k T$ का उपयोग करें, जहाँ $k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है। 300 K और 100 kPa पर नाइट्रोजन में प्रति घन मीटर $N / V = p / (k T) = 2.4 \times 1 0^{25}$ अणु होते हैं। दीवार के हर वर्ग सेंटीमीटर पर प्रति सेकंड लगभग $3 \times 1 0^{23}$ टक्करें होती हैं (दर $\frac{1}{4} (N / V) ⟨ v ⟩$ है, जहाँ औसत चाल $⟨ v ⟩$ नीचे ज्ञात की गई है)। इतने अलग-अलग आघातों के कारण धक्का पूरी तरह स्थिर लगता है।

ताप और ऊर्जा समविभाजन

दाब का सूत्र प्रयोग से मिलते ही केवल सूत्र नहीं रह जाता, क्योंकि यह हमें बताता है कि ताप वास्तव में क्या है। इसे $V$ से गुणा करें और $m ⟨ v^{2} ⟩$ को औसत गतिज ऊर्जा के दोगुने के रूप में लिखें:
$p V = \frac{2}{3} N ⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩$
प्रयोग कहता है $p V = N k T$ । दोनों की तुलना करने पर,
$⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k T$
ताप अणुओं की स्थान-स्थान पर होने वाली स्थानांतरीय गति की औसत गतिज ऊर्जा को मापता है: 300 K पर प्रति अणु यह $6.2 \times 1 0^{- 21} J$ , यानी 0.039 eV है। चूँकि तीनों दिशाएँ $⟨ v^{2} ⟩$ को बराबर बाँटती हैं, इसलिए हर दिशा का औसत हिस्सा $\frac{1}{2} k T$ है।

यह ऊर्जा समविभाजन का सबसे सरल रूप है: शास्त्रीय साम्यावस्था में अणु की ऊर्जा का हर ऐसा पद, जो वेग या निर्देशांक के वर्ग के अनुपात में हो, जैसे $\frac{1}{2} m v_{x}^{2}$ , का औसत $\frac{1}{2} k T$ होता है। नाइट्रोजन जैसा द्विपरमाणुक अणु अपने बंध के लंबवत दो अक्षों पर घूम भी सकता है, जिससे दो और वर्गीय पद जुड़ते हैं, इसलिए उसकी औसत ऊर्जा $\frac{5}{2} k T$ है। (बंध के अक्ष पर स्वयं घूमना नहीं गिना जाता: लगभग पूरा द्रव्यमान उसी अक्ष पर है, इसलिए उसका जड़त्व आघूर्ण बहुत छोटा है और, नीचे की सीमाओं में चर्चित कंपन की तरह, यह गति जमी रहती है।)

प्रति मोल के लिए, आवोगाद्रो संख्या $N_{A}$ से गुणा करें; मोलर गैस नियतांक $R = N_{A} k = 8.314 J/ (mol \cdot K)$ के साथ नाइट्रोजन की आंतरिक ऊर्जा $\frac{5}{2} RT$ है। अतः स्थिर आयतन पर ताप को 1 K बढ़ाने के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C_{V} = \frac{5}{2} R = 20.8 J/ (mol \cdot K)$ चाहिए, जबकि हीलियम या आर्गन के लिए, जिनके परमाणु केवल स्थान-स्थान पर गति करते हैं, $\frac{3}{2} R = 12.5 J/ (mol \cdot K)$ है।

भारी और हल्के अणु ऊर्जा कैसे बाँटते हैं

ऊर्जा समविभाजन एक साहसिक दावा करता है: मिश्रण में भारी और हल्का अणु समान औसत गतिज ऊर्जा रखते हैं, इसलिए भारी अणु को धीमा होना चाहिए। इसका कारण उनके बीच की टक्करें हैं, और एक टक्कर को सही तरीके से खींचने पर यह समझ आ जाता है।

चित्र 2 वेग-स्थान में बना है: हर वेग एक साझा मूल $O$ से निकलता तीर है, इसलिए अणु की गति उसके तीर के सिरे से पूरी तरह तय होती है। भारी अणु, जिसका द्रव्यमान $m_{1} = 2 m_{2}$ है, सुनहरा वेग $v_{1}$ रखता है; हल्का अणु, द्रव्यमान $m_{2}$ , नीला $v_{2}$ रखता है। $v_{2}$ के सिरे से $v_{1}$ के सिरे तक जाने वाला हरा तीर उनका आपेक्षिक वेग $w = v_{1} - v_{2}$ है।

नारंगी तीर द्रव्यमान-केंद्र वेग $V = (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) / M$ है, जहाँ $M = m_{1} + m_{2}$ । यह $v_{1}$ और $v_{2}$ का द्रव्यमान-भारित औसत है, इसलिए इसका सिरा $w$ पर है, और भारी सिरे के अधिक निकट है: दोनों सिरों से इसकी दूरियाँ द्रव्यमानों के व्युत्क्रम अनुपात में हैं, यानी भारी सिरे से $(m_{2} / M) ∣ w ∣$ और हल्के सिरे से $(m_{1} / M) ∣ w ∣$ । $m_{1} = 2 m_{2}$ होने पर यह भारी सिरे से $w$ के एक-तिहाई भाग पर होता है। $V$ के सिरे से चित्र पढ़ें,
$v_{1} = V + \frac{m _{2}}{M} w, v_{2} = V - \frac{m _{1}}{M} w$

टक्कर क्या बदल सकती है? कुल संवेग $M V$ संरक्षित है, इसलिए $V$ स्थिर रहता है। ऊपर के दोनों वेग रखने पर गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} (m_{1} m_{2} / M) w^{2}$ में बँट जाती है, इसलिए प्रत्यास्थ टक्कर, जो ऊर्जा संरक्षित रखती है, $w$ की लंबाई भी स्थिर रखती है। केवल $w$ की दिशा बदल सकती है: वह $w^{'}$ बन जाता है। चित्र 2 में दोनों सिरे इसलिए $V$ के सिरे के चारों ओर बिंदीदार चापों के साथ झूलते हैं: भारी सिरा $(m_{2} / M) ∣ w ∣$ त्रिज्या के छोटे चाप पर, और हल्का सिरा $(m_{1} / M) ∣ w ∣$ त्रिज्या के बड़े चाप पर।

अब साम्यावस्था की ओर का कदम। हर अणु प्रति सेकंड अरबों बार, हर दिशा से आए साथियों से टकराता है, इसलिए कुछ टक्करों के बाद $w$ की दिशा भूल जाती है कि वह कहाँ से शुरू हुई थी, और $V$ से उसका कोई संबंध नहीं रहता। दोनों असंबद्ध हो जाते हैं, और उनके डॉट गुणनफल का औसत शून्य है: $⟨ V \cdot w ⟩ = 0$ । गुणनफल खोलने पर
$M V \cdot w = m_{1} v_{1}^{2} - m_{2} v_{2}^{2} + (m_{2} - m_{1}) v_{1} \cdot v_{2}$
टकराने वाले दो अणुओं के वेग स्वतंत्र हैं और यादृच्छिक दिशाओं में हैं, इसलिए $⟨ v_{1} \cdot v_{2} ⟩ = 0$ भी लागू होता है। औसत लेने पर $m_{1} ⟨ v_{1}^{2} ⟩ = m_{2} ⟨ v_{2}^{2} ⟩$ बचता है: समान औसत गतिज ऊर्जा। भारी अणु ठीक उसी गुणक से धीमा है जिससे उसकी ऊर्जा बराबर रहती है; $m_{1} = 2 m_{2}$ होने पर उसकी वर्ग-माध्य-मूल चाल $2$ गुना कम है।

गैस को दबाना: चलता हुआ पिस्टन

ऊष्मा प्रवाहित होने दिए बिना पिस्टन को गैस में धकेलें, तो गैस गर्म हो जाती है। गतिज सिद्धांत ठीक दिखाता है कि पिस्टन का कार्य कहाँ जाता है: एक-एक उछाल के साथ तेज़ अणुओं में।

चित्र 3 में पिस्टन $u$ की चाल से भीतर की ओर बढ़ता है, जो अणु-चालों से बहुत कम है, और एक अणु $v_{x}$ की चाल से उसकी ओर आता है (ऊपरी तीर)। उछाल को पिस्टन के अपने निर्देश-तंत्र से देखना सबसे आसान है, जहाँ दीवार स्थिर है। वहाँ अणु $v_{x} + u$ पर आता है, क्योंकि पिस्टन उसकी ओर बढ़ रहा है; और स्थिर दीवार से उछाल वेग की दिशा उलट देती है पर उसका परिमाण नहीं बदलती, इसलिए अणु $v_{x} + u$ पर लौटता है। बक्से के निर्देश-तंत्र में वापस आकर, लौटने की दिशा में पिस्टन की अपनी चाल $u$ जोड़ें, तो अणु $v_{x}$ के बजाय $v_{x} + 2 u$ पर निकलता है। चित्र 3 के निचले तीर में नीला भाग पुराना $v_{x}$ है और नारंगी भाग वह अतिरिक्त $2 u$ है जो चलती दीवार जोड़ती है।

अतः हर आघात अणु की ऊर्जा को इतना बढ़ाता है
$\frac{1}{2} m (v_{x} + 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = 2 m v_{x} u + 2 m u^{2} \approx 2 m v_{x} u$
जहाँ अंतिम पद को छोड़ दिया गया है क्योंकि $u ≪ v_{x}$ है। चित्र 1 की तरह आघातों की गिनती करें: पिस्टन के फलक (क्षेत्रफल $A$ ) से एक समूह प्रति सेकंड $(Δ N / V) A v_{x}$ बार टकराता है, और हर टक्कर $2 m v_{x} u$ जोड़ती है। समूहों पर जोड़ने पर यह ठीक वही योग है जिसने दाब दिया था, गुणा $u A$ , इसलिए गैस ऊर्जा $p A u$ की दर से प्राप्त करती है। साथ ही पिस्टन हर सेकंड $A u$ आयतन बुहारता है, इसलिए आयतन की परिवर्तन दर $- A u$ है। दूसरे शब्दों में $d U = - p d V$ : पिस्टन का कार्य पूरे का पूरा तेज़ अणुओं के रूप में प्रकट होता है।

बिना ऊष्मा प्रवाह के, और केवल स्थान-स्थान गति करने वाले बिंदु-अणुओं के लिए $U = \frac{3}{2} N k T$ , तो $p = N k T / V$ को $d U = - p d V$ में रखें:
$\frac{3}{2} N k d T = - \frac{N k T}{V} d V$
$N k T$ से भाग देने पर $\frac{3}{2} d T / T = - d V / V$ मिलता है, और समाकलन करने पर $\frac{3}{2} ln T + ln V = const$ । चूँकि $T$ , $p V$ के अनुपात में है, इसका अर्थ है
$T V^{2/3} = const, p V^{5/3} = const$

यही चरण किसी भी अणु पर लागू होते हैं। यदि $f$ वर्गीय ऊर्जा-पद हों, तो $U = \frac{f}{2} N k T$ और $p V^{γ} = const$ , जहाँ $γ = 1 + 2/ f$ : परमाणु गैसों ( $f = 3$ ) के लिए 5/3, और नाइट्रोजन तथा ऑक्सीजन ( $f = 5$ ) के लिए 7/5। एक डीज़ल इंजन हवा को लगभग अठारह गुना संपीड़ित करता है; 300 K से शुरू करके यह उसे $300 \cdot 1 8^{0.4}$ , यानी लगभग 950 K तक गर्म कर देता है, जो बिना चिंगारी के ईंधन जलाने के लिए काफ़ी है।

दर्पण जैसी दीवारों वाले बक्से में प्रकाश का हिसाब भी यही है। फ़ोटॉन का संवेग $m v$ के बजाय $E / c$ होता है, और वह $c$ से चलता है, इसलिए जहाँ व्युत्पत्ति में संवेग को चाल से गुणा किया गया था, वहाँ $m v^{2}$ फ़ोटॉन की ऊर्जा $E$ बन जाती है। तब दाब प्रति इकाई आयतन ऊर्जा $ε$ का एक-तिहाई होता है, $p = ε /3$ । $U = ε V = 3 p V$ और नियम $d U = - p d V$ से $p V^{4/3} = const$ मिलता है: रुद्धोष्म घातांक 4/3।

बोल्ट्ज़मान गुणक

अब तक केवल औसत सामने आए हैं। यह देखने के लिए कि स्वयं चालें कैसे फैली हैं, हमें सांख्यिकी यांत्रिकी का एक व्यापक नियम चाहिए: ताप $T$ पर साम्यावस्था में, ऊर्जा $E$ वाली अवस्था की प्रायिकता बोल्ट्ज़मान गुणक $e^{- E / k T}$ के समानुपाती होती है। $k T$ से बहुत अधिक ऊर्जा वाली अवस्थाएँ दुर्लभ होती हैं।

स्थितिज ऊर्जा पर लागू करने पर, ऊँचाई $h$ पर स्थित अणु के पास अतिरिक्त ऊर्जा $m g h$ होती है, इसलिए प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या ऊँचाई के साथ $e^{- m g h / k T}$ के अनुसार घटती है। हर $k T / (m g)$ ऊँचाई पर यह $e$ गुना घट जाती है, जो 300 K पर नाइट्रोजन के लिए 9.1 km है। वास्तविक वायुमंडल ऊपर ठंडा है, जिससे गिरावट और तेज़ होती है; माउंट एवरेस्ट की चोटी पर दाब समुद्र-तल के मान का लगभग एक-तिहाई है।

गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})$ पर लागू करने पर, योग का चरघातांकी फलन चरघातांकी फलनों का गुणनफल होता है। इसलिए हर वेग-घटक दूसरों से स्वतंत्र है और शून्य पर केंद्रित अपने गाऊसी भार $e^{- m v_{x}^{2} / (2 k T)}$ का पालन करता है: किसी एक घटक के लिए, शून्य के पास के मान सबसे संभावित हैं।

चाल-वितरण

हर वेग-घटक सबसे अधिक संभावना से शून्य के पास होता है, फिर भी शायद ही कोई अणु लगभग स्थिर होता है। हर वेग के भार को चाल के वितरण में बदलने पर यह विरोधाभास हल होता है, और गैस की तीन विशिष्ट चालें मिलती हैं।

चित्र 4 चाल-वितरण $f (v)$ को दर्शाता है। इसका अर्थ पतली पट्टी से तय होता है: $f (v) d v$ उन अणुओं का अंश है जिनकी चाल $v$ और $v + d v$ के बीच है, जो वक्र के नीचे चौड़ाई $d v$ की पट्टी का क्षेत्रफल है। हर अणु की कोई न कोई चाल होती है, इसलिए हर वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 है।

$f (v)$ बनाने के लिए, वे सभी वेग इकट्ठा करें जिनकी लंबाई $v$ और $v + d v$ के बीच है। वेग-स्थान में ये तीर त्रिज्या $v$ और मोटाई $d v$ के एक पतले गोलीय कवच पर समाप्त होते हैं, जिसका आयतन $4 π v^{2} d v$ है। इनमें से हर एक का गाऊसी भार $e^{- m v^{2} / (2 k T)}$ है। दोनों को गुणा करें, और स्थिरांक ऐसा चुनें कि क्षेत्रफल 1 हो, तो मैक्सवेल–बोल्ट्ज़मान वितरण मिलता है
$f (v) = 4 π (\frac{m}{2 πk T})^{3/2} v^{2} e^{- m v^{2} / (2 k T)}$
दो गुणक विपरीत दिशाओं में खींचते हैं। गुणक $v^{2}$ शून्य चाल के पास के क्षेत्र को खाली करता है, क्योंकि छोटी लंबाई वाले वेग कम होते हैं, भले ही हर घटक अलग से शून्य के पास सबसे संभावित हो। चरघातांकी गुणक तेज़ पूँछ को काट देता है। शिखर इन दोनों के बीच होता है।

तीन चालें वक्र का सार देती हैं। सबसे संभावित चाल $v_{p}$ शिखर पर है, जहाँ $v^{2} e^{- m v^{2} / (2 k T)}$ की ढलान शून्य है: $2 v - (m / k T) v^{3} = 0$ , इसलिए $v_{p}^{2} = 2 k T / m$ । वर्ग-माध्य-मूल चाल $v_{rms} = ⟨ v^{2} ⟩$ सीधे $⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k T$ से निकलती है। औसत चाल $⟨ v ⟩$ , $f (v)$ से भारित $v$ का माध्य है, जो एक समाकलन से
$v_{p} = \frac{2 k T}{m} < ⟨ v ⟩ = \frac{8 k T}{πm} < v_{rms} = \frac{3 k T}{m}$
देता है। तीनों $T / m$ के समानुपाती हैं, और उनका स्थिर अनुपात 1 : 1.128 : 1.225 है; चित्र 4 की बिंदीदार रेखाएँ उन्हें इसी सही अनुपात में दिखाती हैं। 300 K पर नाइट्रोजन के लिए वे 422, 476 और 517 m/s हैं।

नारंगी वक्र उसी गैस का उच्च ताप $T_{2} = 2 T_{1}$ पर है। तीनों चालें $2$ गुना दाईं ओर खिसकती हैं, इसलिए वक्र $2$ गुना बग़ल में फैल जाता है। इसका क्षेत्रफल 1 रहना चाहिए, इसलिए इसका शिखर उसी गुणक से नीचा है।

हिस्टोग्राम पढ़ना

ऐनिमेशन की विशेषज्ञ परत $f (v)$ को आठ पट्टियों के रूप में दिखाती है, हर एक 200 m/s चौड़ी, 0 से 1600 m/s तक। उनकी ऊँचाइयाँ पाठ्यांक के ताप पर सूत्र से आती हैं, स्क्रीन पर दिखाए गए सोलह अणुओं को गिनकर नहीं, क्योंकि वे बहुत कम होंगे। 300 K पर सबसे ऊँची पट्टी (400 से 600 m/s) में 36 % अणु हैं, और बिंदीदार $v_{rms}$ चिह्न 517 m/s पर है। 586 K पर शिखर $v_{p} = 590 m/s$ तक खिसक गया है, 400–600 और 600–800 m/s की पट्टियाँ लगभग बराबर, 26 % प्रत्येक, हैं, और चिह्न तथा $v_{rms}$ पाठ्यांक 723 m/s दिखाते हैं, जो $586/300 = 1.40$ गुना बड़ा है।

चूँकि $f (v)$ के नीचे का क्षेत्रफल 1 रहता है, इसलिए फैलता हुआ वक्र अवश्य नीचे उतरता है, जैसे चित्र 4 का नारंगी वक्र करता है: शिखर की ऊँचाई $1/ T$ के अनुपात में गिरती है। सबसे अधिक बदलाव तेज़ पूँछ में होता है। 1000 m/s से तेज़ अणुओं का अंश 300 K पर 1.1 % से बढ़कर 586 K पर 12.5 % हो जाता है: $T$ दोगुने से कम बढ़ता है, फिर भी यह अंश दस गुने से अधिक हो जाता है। वाष्पन और रासायनिक अभिक्रियाओं के लिए न्यूनतम ऊर्जा चाहिए, और वह केवल इसी पूँछ के अणुओं के पास होती है, इसलिए उनकी दरें भी ताप के साथ तेज़ी से बढ़ती हैं।

हल किया गया प्रश्न: गैस को दो तरीकों से गर्म करना

ऐनिमेशन की नाइट्रोजन का एक मोल लें, जो 300 K और 100 kPa पर है, तो उसका आयतन $V_{1} = R T_{1} / p_{1} = 24.9 L$ है। (a) पिस्टन जकड़ा होने पर, गैस को 600 K तक लाने के लिए लौ को कितनी ऊष्मा देनी होगी? (b) बिना ऊष्मा विनिमय के कितना संपीड़न उसी 600 K तक पहुँचाएगा, और अंतिम दाब क्या होगा तथा कितना कार्य करना पड़ेगा?

(a) पिस्टन जकड़ा होने पर आयतन नहीं बदलता, इसलिए गैस कोई कार्य नहीं करती और सारी ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में जाती है। वास्तविक नाइट्रोजन प्रति अणु $\frac{5}{2} k T$ संचित करती है, या प्रति मोल $\frac{5}{2} RT$ , इसलिए
$Q = \frac{5}{2} R Δ T = 2.5 \cdot 8.314 \cdot 300 \approx 6.24 kJ$
इसमें से केवल 3.74 kJ, यानी स्थान-स्थान गति की $\frac{3}{2} R Δ T$ , चालों और दाब में दिखाई देता है; दाब 200 kPa तक दोगुना होता है क्योंकि स्थिर आयतन पर ताप दोगुना होता है। शेष 2.49 kJ अणुओं को घुमाता है, जो गति ऐनिमेशन के बिंदु-अणु नहीं दिखा सकते।

(b) बिना ऊष्मा विनिमय के $T V^{γ - 1}$ स्थिर रहता है, और नाइट्रोजन के लिए $γ = 7/5$ । आयतन-अनुपात के लिए हल करने पर,
$\frac{V _{2}}{V _{1}} = (\frac{T _{1}}{T _{2}})^{1/ (γ - 1)} = 2^{- 5/2} \approx 0.177$
और गैस नियम $p V = n RT$ अंतिम दाब देता है:
$p_{2} = p_{1} \frac{T _{2}}{T _{1}} \frac{V _{1}}{V _{2}} = 100 \cdot 2^{7/2} \approx 1131 kPa$
गैस को 24.9 L से 4.4 L तक संपीड़ित करना होगा, और वह (a) में पहुँचे दाब से पाँच गुने से भी अधिक दाब पर रहती है। कोई ऊष्मा प्रवाह नहीं होता, इसलिए पिस्टन का कार्य आंतरिक ऊर्जा की वृद्धि के बराबर है, फिर वही 6.24 kJ, क्योंकि अंतिम ताप वही है। एकपरमाण्विक गैस, जिसका $γ = 5/3$ है, के लिए केवल $V_{2} / V_{1} = 2^{- 3/2} \approx 0.354$ चाहिए, और 3.74 kJ कार्य के बाद वह 566 kPa पर होती।

वैधता की सीमाएँ

आदर्श गैस मानती है कि अणु छोटे हैं और एक-दूसरे से दूर हैं। 300 K और 100 kPa पर नाइट्रोजन के लिए यह अच्छी तरह लागू होता है: औसत अंतराल $(V / N)^{1/3}$ 3.5 nm है, जो अणु-व्यास के लगभग नौ गुने के बराबर है, और अणु स्वयं आयतन के केवल 0.06 % को भरते हैं। वान डर वाल्स समीकरण $(p + a n^{2} / V^{2}) (V - nb) = n RT$ , $n$ मोल के लिए, इन दोनों प्रभावों को सुधारता है: स्थिरांक $a$ अणुओं के बीच आकर्षण के लिए है, जो दाब घटाता है; और $b$ उनके अपने आयतन के लिए है, जो दाब बढ़ाता है। इन परिस्थितियों में हर सुधार लगभग 0.2 % है और दोनों लगभग एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। उच्च घनत्व पर या 77 K के क्वथनांक के पास ये बड़े हो जाते हैं और निरस्त नहीं होते; क्रांतिक ताप के नीचे यह समीकरण द्रव में संघनन का वर्णन भी करता है।

ऊर्जा समविभाजन एक शास्त्रीय परिणाम है, और उसकी विफलताएँ क्वांटम यांत्रिकी के शुरुआती संकेत थीं। एक कंपन करता बंध हर अणु में और $k T$ जोड़ेगा (उसकी गति के लिए एक वर्गीय पद, और उसके खिंचाव के लिए एक), और नाइट्रोजन का $C_{V}$ $\frac{7}{2} R$ तक ले जाएगा; पर कमरे के ताप पर वह $\frac{5}{2} R$ है। कारण: कंपन ऊर्जा 0.29 eV के क्वांटा में आती है, जो $k T = 0.026 eV$ का ग्यारह गुना है, इसलिए बोल्ट्ज़मान गुणक लगभग किसी भी अणु को उत्तेजित नहीं होने देता और कंपन जम जाता है। कुछ दर्जन केल्विन से नीचे हाइड्रोजन अपने घूर्णन भी खो देती है। जब तापीय डी ब्रॉली तरंगदैर्घ्य $h / 2 πmk T$ , यानी ताप $T$ पर अणु का क्वांटम आकार, अणुओं के बीच के अंतराल के निकट आ जाता है, तब शास्त्रीय चित्र पूरी तरह विफल हो जाता है। 300 K पर नाइट्रोजन के लिए यह 0.019 nm है, जो 3.5 nm से बहुत छोटा है; पर 2 K के आसपास द्रव हीलियम में, या धातु के इलेक्ट्रॉनों के लिए, ऐसा नहीं है।

अणुओं के बीच की टक्करें, जो ऐनिमेशन में छोड़ दी गई हैं, आदर्श गैस का दाब नहीं बदलतीं, पर उसके अन्य गुण तय करती हैं। अणु-व्यास $d \approx 0.37 nm$ पर, कमरे की परिस्थितियों में एक नाइट्रोजन अणु दो टक्करों के बीच औसतन $λ = k T / (2 π d^{2} p) \approx 68 nm$ का माध्य मुक्त पथ तय करता है; अपनी औसत चाल 476 m/s पर यह लगभग $7 \times 1 0^{9}$ टक्करें प्रति सेकंड है। ये टक्करें किसी भी प्रारंभिक वितरण को नैनोसेकंड में मैक्सवेल–बोल्ट्ज़मान रूप तक ले आती हैं, और ये विसरण, श्यानता और ऊष्मा चालन पर नियंत्रण रखती हैं; ऐनिमेशन की पट्टियाँ वही साम्यावस्था दिखाती हैं जो ये स्थापित करतीं। सापेक्षता की यहाँ कोई भूमिका नहीं है: $v_{rms} / c \approx 2 \times 1 0^{- 6}$ ।

यह कहाँ ले जाता है

ऊर्जा $U = \frac{f}{2} n RT$ , कार्य $- p d V$ और रुद्धोष्म रेखा, ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन के कार्यकारी अंग हैं। ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी में, अणुओं के बीच ऊर्जा बाँटने के तरीकों की गिनती, यानी बोल्ट्ज़मान गुणक के पीछे का विचार, एन्ट्रॉपी बन जाता है। कृष्णिका विकिरण और क्वांटम में समविभाजन गुहा में प्रकाश के मोड के लिए फिर विफल होता दिखता है, और अर्धचालक, डायोड और एलईडी में $e^{- E / k T}$ से चालन इलेक्ट्रॉनों की गिनती होती है। ध्वनि की चाल, $γ RT / M = 353 m/s$ , 300 K पर नाइट्रोजन के लिए (यहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है), ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव से जुड़ती है, और माध्य मुक्त पथ बताता है कि गैस की श्यानता, जो कर्षण और सीमांत वेग में कर्षण के पीछे है, उसके दाब पर लगभग निर्भर क्यों नहीं करती।

मुख्य सूत्र

आदर्श गैस नियम

p V = n RT = N k T

विरल गैस की अवस्था उसके दाब, आयतन, ताप और मात्रा से तय होती है, और एक ही समीकरण इन चारों को जोड़ता है। मोल के रूप में यह $R$ का उपयोग करता है, और प्रति अणु $k$ का; दोनों रूप समान हैं क्योंकि $n R = N k$ । गतिज सिद्धांत इसकी व्याख्या करता है: टकरावों का दाब $\frac{1}{3} (N / V) m ⟨ v^{2} ⟩$ होता है, जो $N k T / V$ के बराबर है, क्योंकि औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k T$ है।

चिह्न
$p$	गैस का निरपेक्ष दाब	$Pa$
$V$	गैस का आयतन	$m^{3}$
$n$	गैस की मात्रा मोल में	$mol$
$R$	मोलर गैस नियतांक, $8.314 J/ (mol \cdot K)$	$J/ (mol \cdot K)$
$T$	निरपेक्ष ताप	$K$
$N$	अणुओं की संख्या
$k$	बोल्ट्ज़मान नियतांक, $1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$	$J/K$

कब लागू होता है: विरल गैसों के लिए जो संघनन से दूर हैं, जिनका ताप केल्विन में और दाब निरपेक्ष हो। उच्च घनत्व पर या द्रवीकरण के निकट वान डर वाल्स समीकरण बेहतर परिणाम देता है।

उदाहरण: 300 K और 100 kPa पर एक मोल (किसी भी गैस का) $V = 8.314 \cdot 300/1 0^{5} \approx 0.0249 m^{3}$ घेरता है, यानी 24.9 L।

अणु-टक्करों से दाब

p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m ⟨ v^{2} ⟩

दीवार से टकराकर लौटने वाला हर अणु उसे $2 m v_{x}$ संवेग देता है, और तेज़ अणु अधिक बार लौटते हैं, इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल बल संख्या-घनत्व गुणा $m ⟨ v_{x}^{2} ⟩$ होता है। यादृच्छिक गति $⟨ v^{2} ⟩$ को तीन दिशाओं में बराबर बाँटती है, जिससे गुणक $\frac{1}{3}$ आता है। केवल $v^{2}$ का माध्य मायने रखता है, चाल-वितरण का आकार नहीं।

चिह्न
$p$	दीवारों पर दाब	$Pa$
$N$	अणुओं की संख्या
$V$	गैस का आयतन	$m^{3}$
$m$	एक अणु का द्रव्यमान	$kg$
$⟨ v^{2} ⟩$	अणु-चालों के वर्गों का माध्य	$m^{2} / s^{2}$

कब लागू होता है: आदर्श गैस के लिए जिसके अणु सभी दिशाओं में समान रूप से गति करते हों; अणुओं के बीच की टक्करें इसे नहीं बदलतीं। सघन गैस में अणुओं के बीच आकर्षण सुधार जोड़ता है।

उदाहरण: 300 K पर नाइट्रोजन: $N / V = 2.4 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ , $m = 4.65 \times 1 0^{- 26} kg$ और $⟨ v^{2} ⟩ = 51 7^{2} m^{2} / s^{2}$ से $p \approx 100 kPa$ मिलता है।

औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा

⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k T

टक्कर से मिले दाब के सूत्र की $p V = N k T$ से तुलना दिखाती है कि ताप अणुओं की स्थान-स्थान गति की औसत गतिज ऊर्जा का माप है: तीनों दिशाओं में से हर एक के लिए $\frac{1}{2} k T$ । द्रव्यमान इसमें नहीं आता, इसलिए दिए गए ताप पर हर गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान होती है, और हल्के अणु तेज़ चलते हैं।

चिह्न
$⟨ \frac{1}{2} m v^{2} ⟩$	एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा	$J$
$m$	एक अणु का द्रव्यमान	$kg$
$v$	अणु की चाल	$m/s$
$k$	बोल्ट्ज़मान नियतांक	$J/K$
$T$	निरपेक्ष ताप	$K$

कब लागू होता है: किसी भी शास्त्रीय प्रणाली में, जो ऊष्मीय साम्यावस्था में हो, अणुओं की स्थान-स्थान गति पर लागू होता है, गैस हो या द्रव। जहाँ क्वांटम प्रभाव हावी हों, जैसे धातु में इलेक्ट्रॉन या परम शून्य के पास हीलियम, वहाँ यह विफल होता है। घूर्णन और कंपन इसके अतिरिक्त ऊर्जा वहन करते हैं।

उदाहरण: 300 K पर: प्रति अणु $\frac{3}{2} \cdot 1.38 \times 1 0^{- 23} \cdot 300 \approx 6.2 \times 1 0^{- 21} J$ , हीलियम और नाइट्रोजन दोनों के लिए समान; ऐनिमेशन में 600 K पर यह दोगुना होकर $1.24 \times 1 0^{- 20} J$ हो जाता है।

वर्ग-माध्य-मूल चाल

v_{rms} = \frac{3 k T}{m} = \frac{3 RT}{M}

$\frac{1}{2} m ⟨ v^{2} ⟩ = \frac{3}{2} k T$ को चाल के लिए हल करने पर माध्य वर्ग चाल का वर्गमूल मिलता है। प्रति मोल, $k / m$ का स्थान $R / M$ ले लेता है, जो अधिक सुविधाजनक है क्योंकि मोलर द्रव्यमान सारणी में दिए होते हैं। चाल $T$ के अनुपात में बढ़ती है और $1/ m$ के अनुपात में घटती है।

चिह्न
$v_{rms}$	अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल	$m/s$
$k$	बोल्ट्ज़मान नियतांक	$J/K$
$T$	निरपेक्ष ताप	$K$
$m$	एक अणु का द्रव्यमान	$kg$
$R$	मोलर गैस नियतांक	$J/ (mol \cdot K)$
$M$	मोलर द्रव्यमान, किलोग्राम प्रति मोल में	$kg/mol$

कब लागू होता है: ऊष्मीय साम्यावस्था में किसी शास्त्रीय गैस के लिए, जिसमें $M$ kg/mol में हो। यह औसत चाल से थोड़ी बड़ी होती है: $⟨ v ⟩ \approx 0.92 v_{rms}$ ।

उदाहरण: 300 K पर नाइट्रोजन: $3 \cdot 8.314 \cdot 300/0.028 \approx 517 m/s$ ; ऐनिमेशन में 600 K तक गर्म करने पर, $517 \cdot 2 \approx 731 m/s$ ।

मैक्सवेल–बोल्ट्ज़मान चाल-वितरण

f (v) = 4 π (\frac{m}{2 πk T})^{3/2} v^{2} e^{- m v^{2} / (2 k T)}

हर वेग-घटक बोल्ट्ज़मान गुणक $e^{- m v_{x}^{2} / (2 k T)}$ से तय गाऊसी वितरण का पालन करता है। एक ही चाल वाली सभी दिशाओं को इकट्ठा करने पर यह वेग-स्थान में एक गोले के क्षेत्रफल $4 π v^{2}$ से गुणा होता है, इसलिए $f (v)$ शून्य से शुरू होता है, $v_{p} = 2 k T / m$ पर शिखर पर पहुँचता है और फिर चरघातांकी रूप से घटता है। पूर्व-गुणक कुल क्षेत्रफल 1 बनाता है, इसलिए $f (v) d v$ उन अणुओं का अंश है जिनकी चाल $v$ और $v + d v$ के बीच है।

चिह्न
$f (v)$	चाल के प्रति इकाई अंतराल में अणुओं का अंश	$s/m$
$v$	अणु की चाल	$m/s$
$m$	एक अणु का द्रव्यमान	$kg$
$k$	बोल्ट्ज़मान नियतांक	$J/K$
$T$	निरपेक्ष ताप	$K$

कब लागू होता है: साम्यावस्था में एक शास्त्रीय आदर्श गैस के लिए; टक्करें कुछ टक्कर-कालों के भीतर इसे स्थापित करती हैं। साम्यावस्था से बाहर की गैसें, जैसे आणविक पुंज, और बहुत निम्न ताप पर क्वांटम गैसें दूसरे वितरणों का पालन करती हैं।

उदाहरण: 300 K पर नाइट्रोजन 422 m/s पर शिखर पर होती है, और उसके केवल 1.1 % अणु 1000 m/s से तेज़ होते हैं; 586 K पर यह अंश 12.5 % है।

गैस नियतांक और बोल्ट्ज़मान नियतांक

R = N_{A} k

$R$ अणुओं के एक मोल के लिए गैस नियतांक है और $k$ एक अणु के लिए वही नियतांक, इसलिए दोनों एक मोल में अणुओं की संख्या के गुणक से भिन्न हैं। इसी से $n RT$ और $N k T$ बराबर होते हैं, क्योंकि $N = n N_{A}$ । नियतांक $k$ ताप को प्रति अणु एक प्रारूपिक ऊर्जा में बदलता है।

चिह्न
$R$	मोलर गैस नियतांक	$J/ (mol \cdot K)$
$N_{A}$	आवोगाद्रो नियतांक, प्रति मोल अणु	$mo l^{- 1}$
$k$	बोल्ट्ज़मान नियतांक	$J/K$

कब लागू होता है: सटीक: 2019 से SI $k = 1.380649 \times 1 0^{- 23} J/K$ और $N_{A} = 6.02214076 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$ तय करता है।

उदाहरण: $6.022 \times 1 0^{23} \cdot 1.3806 \times 1 0^{- 23} \approx 8.314 J/ (mol \cdot K)$ ।

शब्दावली

गतिज सिद्धांत: न्यूटन के नियमों को गैस के अणुओं पर लागू करके और अपार संख्या में अणुओं पर औसत लेकर गैस के सकल गुणों (दाब, ताप, ऊष्मा धारिता, श्यानता) की व्याख्या। दाब टक्करों से दिया गया संवेग बन जाता है, और ताप औसत गतिज ऊर्जा।
आदर्श गैस: बिंदु-समान अणुओं की एक मॉडल गैस, जो संक्षिप्त प्रत्यास्थ टक्करों को छोड़कर एक-दूसरे पर कोई बल नहीं लगाते। यह ठीक-ठीक $p V = n RT$ का पालन करती है; वास्तविक गैसें विरल होने और संघनन से दूर होने पर इसके निकट होती हैं, कमरे की परिस्थितियों में हवा लगभग 0.1 % तक।
गैस दाब: सतह पर गैस का स्थिर धक्का, जो अनगिनत अणु-टकरावों से बनता है, और जिनमें से हर एक दीवार को $2 m v_{x}$ संवेग देता है। यह सभी दिशाओं में समान रूप से लगता है और प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या तथा $⟨ v^{2} ⟩$ के साथ बढ़ता है।
प्रत्यास्थ टक्कर: ऐसी टक्कर जिसमें गतिज ऊर्जा नहीं खोई जाती। दीवार से प्रत्यास्थ रूप से टकराने वाला अणु अपनी चाल रखता है पर $v_{x}$ उलट जाता है, इसलिए वह फिर भी $2 m v_{x}$ संवेग स्थानांतरित करता है: प्रत्यास्थ का अर्थ यह नहीं कि कोई संवेग विनिमय नहीं होता।
परम शून्य: न्यूनतम संभव ताप, 0 K या −273.15 °C, जहाँ अणुओं की शास्त्रीय गति रुक जाती और आदर्श गैस कोई दाब नहीं डालती; क्वांटम यांत्रिकी एक छोटी शून्य-बिंदु गति छोड़ती है। गैस-नियमों के ताप इसी से केल्विन में गिने जाते हैं।
गैस नियम: बॉयल का नियम ( $T$ नियत पर $p V$ नियत), चार्ल्स का नियम ( $p$ नियत पर $V / T$ नियत) और दाब का नियम ( $V$ नियत पर $p / T$ नियत)। ये तीनों आदर्श गैस नियम की विशेष स्थितियाँ हैं, जिनमें $T$ केल्विन में है।
वर्ग-माध्य-मूल चाल: माध्य वर्ग चाल का वर्गमूल, $⟨ v^{2} ⟩$ , वह चाल जो औसत गतिज ऊर्जा तय करती है। 300 K पर नाइट्रोजन के लिए यह सामान्य औसत चाल से लगभग 9 % बड़ी है: 517 बनाम 476 m/s।
ऊर्जा समविभाजन: शास्त्रीय ऊष्मीय साम्यावस्था में अणु की ऊर्जा का हर वर्गीय पद, जैसे $\frac{1}{2} m v_{x}^{2}$ , का औसत $\frac{1}{2} k T$ होता है। उन गतियों के लिए यह विफल होता है जिनकी ऊर्जा-क्वांटा $k T$ से कहीं बड़ी हो, जैसे कमरे के ताप पर नाइट्रोजन का कंपन, जो जमा हुआ है।
बोल्ट्ज़मान गुणक: गुणक $e^{- E / k T}$ , जो ताप $T$ पर साम्यावस्था में ऊर्जा $E$ वाली अवस्था की सापेक्ष प्रायिकता देता है। यह ऊँचाई के साथ हवा को विरल करता है और बहुत तेज़ अणुओं को दुर्लभ बनाता है।
मैक्सवेल–बोल्ट्ज़मान वितरण: साम्यावस्था में गैस के अणुओं की चालों का वितरण, $f (v) \propto v^{2} e^{- m v^{2} / (2 k T)}$ । यह शून्य से शुरू होता है, $v_{p} = 2 k T / m$ पर शिखर बनाता है और एक लंबी तेज़ पूँछ रखता है; गर्म करने पर शिखर दाईं ओर खिसकता है और नीचा तथा चौड़ा हो जाता है।
रुद्धोष्म संपीड़न: बिना ऊष्मा विनिमय के संपीड़न। आगे बढ़ते पिस्टन से टकराकर अणु तेज़ी से लौटते हैं, इसलिए किया गया कार्य गैस को गर्म करता है और $p V^{γ}$ नियत रहता है, जहाँ परमाणु गैसों के लिए $γ = 5/3$ और हवा के लिए 7/5 है।
माध्य मुक्त पथ: दूसरे अणुओं से दो टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी, कमरे की परिस्थितियों में हवा में लगभग 68 nm। ये टक्करें आदर्श गैस का दाब नहीं बदलतीं, पर विसरण, श्यानता और ऊष्मा चालन को नियंत्रित करती हैं।

राशियाँ
$p$	दाब	$Pa$	गैस द्वारा किसी भी सतह पर प्रति इकाई क्षेत्रफल लगाया गया बल, $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ । समुद्र-तल की हवा का दाब लगभग 101 kPa है; गैस नियम को निरपेक्ष मान चाहिए, गेज का पाठ्यांक नहीं।
$V$	आयतन	$m^{3}$	वह स्थान जो गैस घेरती है, अर्थात उसके पात्र का आयतन; $1 L = 1 0^{- 3} m^{3}$ ।
$T$	निरपेक्ष ताप	$K$	परम शून्य से गिना गया ताप: सेल्सियस मान में 273.15 जोड़कर। यह अणुओं की स्थानांतरीय औसत गतिज ऊर्जा के अनुपात में है।
$n$	पदार्थ की मात्रा	$mol$	मोलों की संख्या, $n = N / N_{A}$ , जहाँ आवोगाद्रो नियतांक $N_{A} = 6.022 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$ एक मोल में अणुओं की संख्या है।
$N$	अणुओं की संख्या		गैस में कितने अणु हैं: कमरे की परिस्थितियों में हवा के हर घन मीटर में लगभग $2.4 \times 1 0^{25}$ ।
$k$	बोल्ट्ज़मान नियतांक	$J/K$	$k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ ताप को प्रति अणु ऊर्जा में बदलता है: 300 K पर $k T \approx 4.1 \times 1 0^{- 21} J$ । जिन पाठों में $k$ का कोई और अर्थ है, वहाँ इसे $k_{B}$ लिखा जाता है।
$R$	मोलर गैस नियतांक	$J/ (mol \cdot K)$	$R = 8.314 J/ (mol \cdot K)$ , पूरे एक मोल अणुओं के लिए बोल्ट्ज़मान नियतांक, $R = N_{A} k$ ।
$m$	अणु का द्रव्यमान	$kg$	एक अणु का द्रव्यमान: नाइट्रोजन के लिए $4.65 \times 1 0^{- 26} kg$ , जिसके अणु का द्रव्यमान 28 u है।
$M$	मोलर द्रव्यमान	$kg/mol$	एक मोल का द्रव्यमान, $M = N_{A} m$ । सूत्रों में यह kg/mol में होना चाहिए: नाइट्रोजन के लिए 0.028, 28 नहीं।
$v_{rms}$	वर्ग-माध्य-मूल चाल	$m/s$	$⟨ v^{2} ⟩$ , अणु की प्रारूपिक चाल: 300 K पर नाइट्रोजन के लिए 517 m/s, जो $T$ के अनुपात में बढ़ती है।

क्विज़

शुरुआती गैस का अपने पात्र की दीवारों पर दाब किस कारण होता है?
1. गैस का अपना भार नीचे दबाता है
2. स्थिर अणु एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं
3. अणु दीवारों से टकराते हैं और उछलकर लौटते हैं
4. दीवारें गैस को अपनी ओर खींचती हैं
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उत्तर: C. अणु दीवारों से टकराते हैं और उछलकर लौटते हैं
हर उछाल दीवार को एक छोटा सा धक्का देता है; हर सेकंड अनगिनत टक्करों का सम्मिलित प्रभाव प्रति इकाई क्षेत्रफल पर स्थिर बल है, यानी दाब।
शुरुआती एक सील बंद गैस-डिब्बे को गर्म किया जाता है। उसके अणुओं का क्या होता है?
1. वे औसतन तेज़ चलने लगते हैं
2. वे बड़े हो जाते हैं
3. उनकी संख्या बढ़ जाती है
4. वे धीमे हो जाते हैं और फैल जाते हैं
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उत्तर: A. वे औसतन तेज़ चलने लगते हैं
ताप अणुओं की गतिज ऊर्जा को मापता है। गर्म करने से अणु तेज़ होते हैं, वे दीवारों से ज़्यादा ज़ोर से और ज़्यादा बार टकराते हैं, और दाब बढ़ता है।
मध्यम एक कठोर पात्र में 27 °C और 100 kPa पर गैस है। इसे 327 °C तक गर्म किया जाता है। नया दाब क्या होगा?
1. 1211 kPa
2. 200 kPa
3. 100 kPa
4. 400 kPa
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उत्तर: B. 200 kPa
स्थिर आयतन पर p/T नियत है, जिसमें T केल्विन में है: 300 K → 600 K, यानी दाब दोगुना होकर 200 kPa। सेल्सियस (327/27) का उपयोग करने पर बेतुका 1211 kPa मिलेगा।
मध्यम हीलियम और नाइट्रोजन एक ही ताप पर हैं। कौन-सा कथन सही है?
1. नाइट्रोजन के अणु भारी होने के कारण तेज़ चलते हैं
2. दोनों प्रकार के अणुओं की औसत चाल समान है
3. हीलियम के अणुओं की गतिज ऊर्जा अधिक है क्योंकि वे हल्के हैं
4. उनके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान है, पर हीलियम के अणु तेज़ चलते हैं
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उत्तर: D. उनके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान है, पर हीलियम के अणु तेज़ चलते हैं
⟨½·m·v²⟩ = (3/2)·k·T केवल T पर निर्भर करता है। समान गतिज ऊर्जा होने पर हल्के हीलियम परमाणु अवश्य तेज़ चलते हैं।
मध्यम 300 K पर गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा कितनी है? (k = 1.38 × 10⁻²³ J/K)
1. 6.2 × 10⁻²¹ J
2. 4.1 × 10⁻²¹ J
3. 2.1 × 10⁻²¹ J
4. 1.2 × 10⁻²⁰ J
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उत्तर: A. 6.2 × 10⁻²¹ J
(3/2)·k·T = 1.5 × 1.38 × 10⁻²³ × 300 ≈ 6.2 × 10⁻²¹ J। अकेला k·T मान 4.1 × 10⁻²¹ J है।
उन्नत द्रव्यमान m और वेग-घटक vₓ वाला एक अणु x के लंबवत दीवार से प्रत्यास्थ रूप से टकराता है। वह दीवार को कितना संवेग स्थानांतरित करता है?
1. m·vₓ
2. शून्य, क्योंकि टक्कर प्रत्यास्थ है
3. 2m·vₓ
4. ½·m·vₓ²
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उत्तर: C. 2m·vₓ
उसका x-संवेग +m·vₓ से बदलकर −m·vₓ हो जाता है, यानी परिवर्तन 2m·vₓ है, जो दीवार ग्रहण करती है। प्रत्यास्थ का अर्थ है कि गतिज ऊर्जा संरक्षित है, न कि यह कि कोई संवेग विनिमय नहीं होता।
उन्नत गैस के अणु का हर वेग-घटक, जैसे vₓ, सबसे अधिक संभावना से शून्य के पास होता है, फिर भी मैक्सवेल–बोल्ट्ज़मान चाल-वितरण f(v), v → 0 पर शून्य हो जाता है। ऐसा क्यों?
1. दीवारों और अन्य अणुओं के साथ टक्करें धीमे अणुओं को लगातार तेज़ करती रहती हैं, इसलिए कोई भी अणु लगभग स्थिर नहीं रहता
2. v और v + dv के बीच चाल वाले वेग-सदिशों का गोलीय कवच 4π·v²·dv आयतन रखता है, जो v → 0 पर शून्य हो जाता है
3. बोल्ट्ज़मान गुणक e^(−m·v²/(2kT)) v = 0 पर शून्य है, इसलिए कोई अणु स्थिर नहीं पाया जा सकता
4. समविभाजन के अनुसार हर अणु के पास कम से कम (3/2)·k·T होता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा कभी शून्य नहीं हो सकती
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उत्तर: B. v और v + dv के बीच चाल वाले वेग-सदिशों का गोलीय कवच 4π·v²·dv आयतन रखता है, जो v → 0 पर शून्य हो जाता है
बोल्ट्ज़मान गुणक v = 0 पर सबसे बड़ा होता है (वहाँ वह 1 के बराबर है), और समविभाजन केवल औसत ऊर्जा तय करता है, न्यूनतम मान नहीं। पर v और v + dv के बीच चाल वाले वेग-सदिश 4π·v²·dv आयतन के गोलीय कवच को भरते हैं, जो v → 0 पर लुप्त हो जाता है, इसलिए f(v) ∝ v²·e^(−m·v²/(2kT)) शून्य से शुरू होता है और v_p = √(2kT/m) पर शिखर पर पहुँचता है।
उन्नत गैस के गर्म होने पर उसका मैक्सवेल–बोल्ट्ज़मान चाल-वितरण कैसे बदलता है?
1. शिखर उच्च चाल की ओर खिसकता है और ऊँचा हो जाता है
2. सभी अणुओं की अंततः एक ही, उच्च चाल हो जाती है
3. आकार नहीं बदलता; केवल अणुओं की संख्या बढ़ती है
4. शिखर उच्च चाल की ओर खिसकता है और नीचा तथा चौड़ा हो जाता है
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उत्तर: D. शिखर उच्च चाल की ओर खिसकता है और नीचा तथा चौड़ा हो जाता है
सबसे संभावित चाल √(2kT/m) बढ़ती है, और चूँकि f(v) के नीचे का क्षेत्रफल 1 रहता है, इसलिए चौड़ा वक्र नीचा भी होना चाहिए।

$A$	दीवार के टुकड़े का क्षेत्रफल, परिप्रेक्ष्य में खींचा गया।	$m^{2}$
$v_{x}$	दीवार के लंबवत, उसकी ओर, अणु का वेग-घटक।	$m/s$
$Δ t$	एक छोटा समय-अंतराल।	$s$
$v_{x} Δ t$	ऐसा अणु $Δ t$ में जितनी दूरी तय करता है: पट्टी की लंबाई, जिसका आयतन $A v_{x} Δ t$ है।	$m$
$m$	एक अणु का द्रव्यमान।	$kg$
$m v_{x}$	टक्कर से पहले अणु का संवेग; बाद में यह $- m v_{x}$ है, इसलिए दीवार को $2 m v_{x}$ मिलता है।	$kg \cdot m/s$
$F$	टुकड़े पर सभी आघातों का बल: प्रति इकाई समय स्थानांतरित संवेग।	$N$

$O$	वेग-स्थान का मूल: हर वेग-तीर यहीं से शुरू होता है।
$m_{1}$	भारी अणु का द्रव्यमान, सुनहरे रंग में।	$kg$
$m_{2}$	हल्के अणु का द्रव्यमान, नीले रंग में; यहाँ $m_{1} = 2 m_{2}$ ।	$kg$
$v_{1}$	टक्कर से पहले भारी अणु का वेग।	$m/s$
$v_{2}$	टक्कर से पहले हल्के अणु का वेग।	$m/s$
$w$	आपेक्षिक वेग $v_{1} - v_{2}$ : $v_{2}$ के सिरे से $v_{1}$ के सिरे तक का तीर।	$m/s$
$V$	द्रव्यमान-केंद्र वेग $(m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) / (m_{1} + m_{2})$ : यह $w$ पर, भारी सिरे के निकट होता है, और सिरों से इसकी दूरियाँ द्रव्यमानों के व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं।	$m/s$
$w^{'}$	टक्कर के बाद आपेक्षिक वेग: $w$ के समान लंबाई, नई दिशा में।	$m/s$

$u$	वह चाल जिससे पिस्टन गैस में आगे बढ़ता है; हर टक्कर अणु की चाल में $2 u$ जोड़ती है।	$m/s$
$v_{x}$	टक्कर से पहले पिस्टन की ओर अणु की चाल, बक्से में मापी गई।	$m/s$
$v_{x} + 2 u$	पिस्टन से निकलते समय अणु की चाल, बक्से में मापी गई।	$m/s$

$v$	अणु की चाल।	$m/s$
$f (v)$	चाल-वितरण: प्रति इकाई चाल अणुओं का अंश, इसलिए चौड़ाई $d v$ की पट्टी में $f (v) d v$ होता है।	$s/m$
$d v$	पट्टी की चौड़ाई: चालों का एक छोटा अंतराल।	$m/s$
$v_{p}$	सबसे संभावित चाल, $f (v)$ के शिखर पर।	$m/s$
$⟨ v ⟩$	औसत चाल: सभी अणुओं पर $v$ का माध्य।	$m/s$
$v_{r m s}$	वर्ग-माध्य-मूल चाल, $⟨ v^{2} ⟩$ : औसत गतिज ऊर्जा वाले अणु की चाल।	$m/s$
$T_{1}$	नीले वक्र का ताप।	$K$
$T_{2}$	नारंगी वक्र का उच्च ताप, यहाँ $2 T_{1}$ : वक्र नीचा और चौड़ा है, पर वही क्षेत्रफल घेरता है।	$K$