ताप और ऊष्मा

ताप $T$ , ऊष्मा $Q$ और विशिष्ट ऊष्माधारिता $c$ : गर्म वस्तु क्यों ठंडी होती है और ठंडी वस्तु क्यों गर्म होती है, जब तक दोनों का ताप बराबर न हो जाए, और इसमें कितनी ऊर्जा लगती है, $Q = m c Δ T$ ।

एक गर्म और एक ठंडा ब्लॉक एक-दूसरे को छू रहे हैं: ऊष्मा गर्म से ठंडे की ओर बहती है, जब तक दोनों का ताप समान न हो जाए।

शुरुआती

मुख्य विचार

ताप बताता है कि किसी वस्तु के सूक्ष्म कण औसतन कितनी तेज़ी से कंपन करते हैं; तापमापी इसे °C या केल्विन में दिखाता है।
ताप ऊर्जा की मात्रा नहीं है: गुनगुने पानी से भरे टब में उसी पानी के एक चम्मच से कहीं अधिक ऊर्जा होती है।
ऊष्मा गतिमान ऊर्जा है: यह अपने-आप केवल गर्म से ठंडे की ओर बहती है, जब तक दोनों का ताप बराबर न हो जाए।
कुछ पदार्थों को गर्म करना कठिन होता है: प्रति किलोग्राम, जल को लोहे से लगभग नौ गुना ऊर्जा चाहिए।

चरण 1. कोई चीज़ कितनी गर्म है? थर्मामीटर एक संख्या बताता है: उसका ताप। सेल्सियस पैमाने पर पानी 0 °C पर जमता है और 100 °C पर उबलता है। वैज्ञानिक केल्विन पैमाना भी इस्तेमाल करते हैं, जो परम शून्य (लगभग −273 °C) से शुरू होता है, जो संभव सबसे कम ताप है; एक केल्विन और एक डिग्री सेल्सियस का अंतर बराबर है।

चरण 2. थर्मामीटर वास्तव में क्या मापता है? हर चीज़ सूक्ष्म कणों से बनी है, जो कभी कंपन करना बंद नहीं करते। ताप बताता है कि हर कण औसतन कितनी तेज़ी से कंपन करता है: वस्तु जितनी गर्म होगी, उसके कण उतनी ही तेज़ी से चलेंगे।

चरण 3. ताप ऊर्जा की मात्रा के समान नहीं है। गुनगुने पानी का एक टब और उसी पानी का एक चम्मच, दोनों का ताप एक-सा है, लेकिन टब में हज़ारों गुना अधिक कण होते हैं, इसलिए उसमें हज़ारों गुना अधिक कंपन-ऊर्जा होती है।

चरण 4. ऊष्मा गतिमान ऊर्जा है। जब गर्म वस्तु किसी ठंडी वस्तु को छूती है, तो उसके तेज़ कण धीमे कणों से टकराते हैं और अपनी गति का कुछ भाग उन्हें दे देते हैं। ऊर्जा अपने-आप गर्म से ठंडे की ओर बहती है, उल्टी दिशा में नहीं, जब तक दोनों का ताप बराबर न हो जाए: यह ऊष्मीय साम्य है। एनिमेशन में गर्म ब्लॉक के कण शुरू में अधिक तेज़ी से कंपन करते हैं; तापमापियों के बराबर होते ही ऊष्मा का तीर छोटा होता जाता है और दोनों ब्लॉकों के समान गर्म होने पर गायब हो जाता है।

चरण 5. कुछ पदार्थों को दूसरों की तुलना में गर्म करना कहीं कठिन होता है। 1 kg पानी को एक डिग्री गर्म करने में लगभग 4200 जूल लगते हैं; 1 kg लोहे को केवल लगभग 450 जूल। इसीलिए रेत आपके पैर जला सकती है, जबकि समुद्र ठंडा रहता है।

जाँच करें: फुलझड़ी की चिंगारियाँ 1000 °C से अधिक गर्म होती हैं, फिर भी हाथ पर गिरने पर उनसे मुश्किल से चोट लगती है। क्यों? (हर चिंगारी बहुत छोटी होती है: बहुत गर्म, पर उसमें बहुत कम ऊर्जा होती है।)

मध्यम

मुख्य विचार

$Q = m c Δ T$ द्रव्यमान $m$ का ताप बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा (जूल में) देता है, बशर्ते कुछ पिघले या उबले नहीं।
1 °C का परिवर्तन 1 K के परिवर्तन के बराबर है; $T (K) = T (^{\circ} C) + 273.15$ ।
रोधित निकाय में गर्म वस्तु द्वारा खोई ऊष्मा = ठंडी वस्तु द्वारा प्राप्त ऊष्मा; इससे अंतिम ताप तय होता है।
समान ऊष्मा से समान ताप-परिवर्तन नहीं होता: जिस वस्तु का $m c$ बड़ा है, उसका ताप कम बदलता है।

ताप, ऊष्मा और उनकी इकाइयाँ

ताप वह है जो थर्मामीटर दिखाता है। सेल्सियस पैमाने पर पानी 0 °C पर जमता है और 100 °C पर उबलता है। केल्विन पैमाने (इकाई K) के अंतराल समान आकार के हैं, पर यह परम शून्य, −273.15 °C, से शुरू होता है, जो संभव सबसे कम ताप है:
$T (K) = T (^{\circ} C) + 273.15$

इसलिए ताप-परिवर्तन $Δ T$ का मान दोनों पैमानों पर समान होता है: 20 °C से 30 °C तक का परिवर्तन 10 K है। केवल केल्विन पैमाना एक वास्तविक शून्य से शुरू होता है, इसलिए जब तापमानों का गुणा, भाग या घात किया जाए, तब केल्विन का प्रयोग करें।

ऊष्मा $Q$ जूल (J) में मापी गई ऊर्जा है, जो तापांतर के कारण एक वस्तु से दूसरी में जाती है। कोई वस्तु ऊष्मा “धारण” नहीं करती: उसमें आंतरिक ऊर्जा $U$ होती है, यानी उसके कणों की यादृच्छिक गति और उनके बीच के बलों की ऊर्जा। कार्य की तरह ऊष्मा भी गतिमान ऊर्जा है; वस्तु में प्रवेश करने पर यह धनात्मक और बाहर निकलने पर ऋणात्मक मानी जाती है।

विशिष्ट ऊष्माधारिता

जब तक कुछ पिघले, उबले या अभिक्रिया न करे, किसी वस्तु का ताप बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा और वस्तु की ऊष्माधारिता होती है

$Q = m c Δ T$
$C = m c$

यहाँ $m$ द्रव्यमान है, $Δ T$ अंतिम ताप में से प्रारंभिक ताप घटाने पर मिलता है, और $c$ विशिष्ट ऊष्माधारिता है: वह ऊर्जा जो उस पदार्थ के 1 kg को 1 K गर्म करे, इकाई J/(kg·K)। पूरी वस्तु की ऊष्माधारिता $C = m c$ J/K में होती है। जब वस्तु ठंडी होती है, तो $Δ T$ और $Q$ दोनों ऋणात्मक होते हैं।

J/(kg·K) में कुछ विशिष्ट मान: जल 4180, बर्फ़ 2100, एल्युमिनियम 900, सूखी रेत लगभग 800, लोहा 450, ताँबा 385 और सीसा 130 हैं। प्रति किलोग्राम, समान ताप-वृद्धि के लिए जल को लोहे से लगभग नौ गुना ऊर्जा चाहिए। इसीलिए समुद्र धीरे गर्म और धीरे ठंडा होता है।

ऊष्मा-संतुलन और अंतिम ताप

जब एक गर्म और एक ठंडी वस्तु अच्छे रोधन के भीतर एक-दूसरे को छूती हैं, तो दोनों एक उभयनिष्ठ ताप $T$ तक पहुँचने तक ऊष्मा का प्रवाह होता है; तब गर्म वस्तु द्वारा खोई ऊष्मा, ठंडी वस्तु द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होती है:
$m_{1} c_{1} (T_{1} - T) = m_{2} c_{2} (T - T_{2})$
$T$ के लिए हल करने पर, यानी साम्य-ताप, मिलता है
$T_{eq} = \frac{m _{1} c _{1} T _{1} + m _{2} c _{2} T _{2}}{m _{1} c _{1} + m _{2} c _{2}}$

यह प्रारंभिक तापमानों का, ऊष्माधारिता से भारित, औसत है: यह दोनों के बीच होता है, उस वस्तु के अधिक निकट जिसका $m c$ बड़ा है। भारित औसत पैमाने के शून्य की स्थिति पर निर्भर नहीं करता, इसलिए सूत्र °C में भी उतना ही लागू होता है जितना केल्विन में। दोगुनी ऊष्माधारिता वाली वस्तु का ताप केवल आधा बदलता है।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन के ब्लॉक

लोहे का 1 kg ब्लॉक ( $c_{1} = 450 J/ (kg \cdot K)$ , अतः $C_{1} = 450 J/K$ ) 327 °C पर, और 1 kg का एल्युमिनियम ब्लॉक ( $c_{2} = 900 J/ (kg \cdot K)$ , $C_{2} = 900 J/K$ ) 27 °C पर एक-दूसरे को छूते हैं। बिना हानि के, खोई ऊष्मा प्राप्त ऊष्मा के बराबर है:
$450 (327 - T) = 900 (T - 27)$
$1350 T = 147150 + 24300 = 171450, T = 127^{\circ} C$

लोहा 200 K ठंडा होता है, जबकि एल्युमिनियम केवल 100 K गर्म होता है, क्योंकि उसकी ऊष्माधारिता दोगुनी है। संपर्क-सतह से गुज़री ऊष्मा $Q = 450 \cdot 200 = 900 \cdot 100 = 90000 J = 90 kJ$ है। रीडआउट पर यही अंतिम मान दिखते हैं: $T_{1}$ और $T_{2}$ 127 °C पर मिलते हैं, जबकि $Q$ 90 kJ तक बढ़ता है।

रीडआउट यह भी दिखाते हैं कि आदान-प्रदान धीमा पड़ता है: 1 s के बाद वे लगभग 217 °C, 82 °C और 50 kJ दिखाते हैं, यानी आधे से अधिक ऊष्मा पहले सेकंड में ही गुज़र जाती है। $d Q / d t$ लिखा नारंगी-लाल तीर, जो वाट में ऊष्मा-प्रवाह की दर है, उसकी लंबाई $T_{1} - T_{2}$ के समानुपाती है। जब रीडआउट लगभग 227 °C और 77 °C तक पहुँचते हैं, तो यह आधा लंबा होता है, और तापमापियों के बराबर होने पर फीका पड़ जाता है; लोहे का स्तंभ सदा एल्युमिनियम के स्तंभ के उठने से दोगुनी तेज़ी से गिरता है।

हल किया गया उदाहरण: स्नान के लिए पानी भरना

आप 38 °C पर 80 kg का स्नान-जल चाहते हैं, जिसके लिए 60 °C के गर्म पानी को 12 °C के ठंडे पानी के साथ मिलाते हैं। आपको कितना गर्म पानी चाहिए, और बॉयलर ने उसे गर्म करने में कितनी ऊर्जा लगाई? हानियों को नगण्य मानें।

दोनों जल हैं, इसलिए $c$ निरस्त हो जाता है: $m_{h} (60 - 38) = m_{c} (38 - 12)$ । $m_{h} + m_{c} = 80 kg$ के साथ, $m_{h} = 80 \cdot 26/48 \approx 43.3 kg$ गर्म पानी और 36.7 kg ठंडा पानी मिलता है; गर्म पानी अधिक है, क्योंकि 38 °C, 60 °C के अधिक निकट है। बॉयलर ने गर्म पानी को 12 °C से 60 °C तक गर्म किया:
$Q = m c Δ T = 43.3 \cdot 4180 \cdot 48 \approx 8.7 \times 1 0^{6} J$

यह 8.7 MJ है, लगभग 2.4 kWh (1 kWh = 3.6 MJ), या 3 kW हीटर के लगभग 50 मिनट के बराबर।

ऊष्मा कितनी तेज़ी से बहती है: सिकुड़ता तीर

ऊष्मा-संतुलन अंतिम स्थिति देता है, उसमें लगने वाला समय नहीं। एनिमेशन में ऊष्मा संपर्क-सतह से $d Q / d t = k (T_{1} - T_{2})$ की दर से बहती है, ऊष्मीय चालकता $k = 240 W/K$ के साथ: शुरू में 72 kW, फिर अंतर बंद होने के साथ लगातार कम। चूँकि प्रवाह अंतर के समानुपाती है, अंतर समान समयों में समान भाग से घटता है, लगभग हर 0.87 s में आधा, और कभी पूरी तरह शून्य नहीं होता।

तापमान $T_{env}$ वाले विशाल कमरे में ठंडी होती वस्तु इसी नियम का पालन करती है, जिसे न्यूटन का शीतलन नियम कहते हैं:
$\frac{d T}{d t} = - \frac{T - T _{env}}{τ}$
बाईं ओर ताप के परिवर्तन की दर है, और समय-स्थिरांक $τ$ वस्तु की ऊष्माधारिता के साथ बढ़ता है। अतिरिक्त ताप $T - T_{env} = (T_{0} - T_{env}) e^{- t / τ}$ के अनुसार घटता है: 20 °C के कमरे में 80 °C की चाय, जिसका अतिरिक्त ताप हर 12 मिनट में आधा होता है, 12, 24 और 36 मिनट बाद 50 °C, 35 °C और 27.5 °C दिखाती है।

सामान्य गलतियाँ

ऊष्मा किसी वस्तु में संचित नहीं होती, और ठंड नहीं बहती: एनिमेशन का 90 kJ वह ऊर्जा है जो लोहे से एल्युमिनियम में गई।
अंतिम ताप नहीं, ताप-परिवर्तन का उपयोग करें। 0.5 kg के एल्युमिनियम के बर्तन को 20 °C से 120 °C तक गर्म करने में $0.5 \cdot 900 \cdot 100 = 45 kJ$ लगते हैं, 54 kJ नहीं।
समान ऊष्मा का अर्थ समान ताप-परिवर्तन नहीं है। वही 90 kJ लोहे को 200 K ठंडा करता है, पर एल्युमिनियम को केवल 100 K गर्म करता है।
सेल्सियस तापमानों की अनुपात में तुलना नहीं हो सकती: 54 °C, 27 °C से दोगुना गर्म नहीं है, क्योंकि 327 K, 300 K से केवल 9 % अधिक है।
एक ही 20 °C पर धातु का हैंडल लकड़ी के हैंडल से ठंडा लगता है, केवल इसलिए कि धातु, जो ऊष्मा सैकड़ों गुना बेहतर चलाती है, आपकी त्वचा से कहीं तेज़ी से ऊष्मा खींचती है: त्वचा ऊष्मा की हानि को महसूस करती है, ताप को नहीं।

आप इसे कहाँ देखते हैं

पानी की बड़ी विशिष्ट ऊष्माधारिता तटीय कस्बों की सर्दियाँ हल्की और गर्मियाँ ठंडी रखती है; ग्रीनहाउस गैसों द्वारा रोकी गई अतिरिक्त ऊर्जा का लगभग नौ-दसवाँ भाग महासागरों ने सोखा है। इंजनों को पानी से ठंडा किया जाता है, भंडारण हीटर घने ईंटों में ऊष्मा रखते हैं, और भोजन की ऊर्जा कैलोरीमीटर में भोजन जलाकर मापी जाती है; एक भोजन कैलोरी 4.18 kJ के बराबर है।

जो ऊष्मा ताप बढ़ाने के बजाय पिघलाती या उबालती है, वह “अवस्था परिवर्तन और गुप्त ऊष्मा” का विषय है, और ऊष्मा कैसे चलती है, यह “चालन, संवहन और विकिरण” का। “ऊष्मीय प्रसार” दिखाता है कि गर्म होने पर आकार पर क्या असर होता है, “गैसों का अणुगति सिद्धांत” ताप को अणुओं की गति के रूप में समझाता है, और “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” ऊष्मा और कार्य को एक ऊर्जा-संतुलन में जोड़ता है।

उन्नत

मुख्य विचार

जब कुछ न बदले, तब जो वस्तुएँ ताप साझा करती हैं, वही ऊष्मीय साम्य है; टक्करें औसत ऊर्जा को बराबर करती हैं, प्रति द्विघात स्वातंत्र्य कोटि $\frac{1}{2} k_{B} T$ ।
प्रथम नियम: $Δ U = Q - W$ ; ऊष्मा सूक्ष्म टकरावों या विकिरण द्वारा वहन की गई ऊर्जा है, जो तापांतर से प्रेरित होती है।
दो युग्मित वस्तुएँ: $Δ T = Δ T_{0} e^{- t / τ}$ , $1/ τ = k (1/ C_{1} + 1/ C_{2})$ , $C_{1} T_{1} + C_{2} T_{2}$ अचर; $C_{2} \to \infty$ से न्यूटन का शीतलन नियम मिलता है।
द्वितीय नियम: ऊष्मा अपने-आप केवल गर्म से ठंडे की ओर बहती है, और इससे एन्ट्रॉपी $δ Q (1/ T_{2} - 1/ T_{1}) > 0$ बढ़ती है।

साम्य की शर्त के रूप में ताप

ताप को मापने से पहले उसे परिभाषित करना होता है, और परिभाषा एक प्रयोग से आती है। दो वस्तुओं को ऊष्मीय संपर्क में रखें, ताकि वे ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकें पर पदार्थ का नहीं, और प्रतीक्षा करें। कुछ समय तक उनके गुण बदलते हैं: लंबाई, दाब और विद्युत प्रतिरोध खिसकते हैं। फिर बदलाव रुक जाते हैं। अब वस्तुएँ ऊष्मीय साम्य में हैं, और हम परिभाषा के अनुसार कहते हैं कि उनका ताप समान है।

ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम एक तथ्य और जोड़ता है: यदि दो वस्तुएँ प्रत्येक एक तीसरी वस्तु के साथ साम्य में हैं, तो वे आपस में भी साम्य में हैं। इसी से तापमापी भरोसेमंद बनता है। तापमापी ही तीसरी वस्तु है: यदि यह A और B दोनों के संपर्क में समान पाठ्यांक देता है, तो A और B के छूने पर भी कुछ नहीं बदलेगा। इसके लिए इसकी ऊष्माधारिता इतनी छोटी होनी चाहिए कि वह जिस ताप को मापता है उसे विचलित न करे।

यह परिभाषा बताती है कि दो ताप कब बराबर हैं, पर यह नहीं बताती कि उन्हें संख्या कैसे दी जाए। पारद, प्रतिरोध और तापयुग्म तापमापी अपने अंशांकन बिंदुओं पर सहमत होते हैं, पर बीच में थोड़े भिन्न होते हैं, क्योंकि हर एक अपने पदार्थ के किसी गुण पर निर्भर करता है। विरल गैस यह निर्भरता हटा देती है: स्थिर आयतन पर इसका दाब एक ऐसे ताप के समानुपाती होता है जो पर्याप्त कम घनत्व पर हर गैस के लिए समान है। यही केल्विन पैमाना है। 2019 से केल्विन को बोल्ट्ज़मान नियतांक को एक सटीक मान देकर तय किया गया है, जो हर ताप $T$ को एक ऊर्जा $k_{B} T$ से जोड़ता है:
$k_{B} = 1.380649 \times 1 0^{- 23} J/K$

टक्करें ऊर्जा कैसे बाँटती हैं

समान ताप का अर्थ अणु-स्तर पर भी है: यह वह स्थिति है जिसमें टक्करें औसतन ऊर्जा को एक वस्तु से दूसरी में नहीं ले जातीं। एक विचार-प्रयोग इसका कारण दिखाता है।

एक बक्से में दो अलग-अलग गैसें लीजिए, जिन्हें एक मुक्त-फिसलने वाले पिस्टन से अलग किया गया है। पिस्टन जल्द ही उस स्थान पर ठहर जाता है जहाँ उसके दोनों फलकों पर दाब संतुलित हों, पर वह पूरी तरह स्थिर नहीं रहता: व्यक्तिगत अणु-प्रहारों से वह काँपता रहता है। इस कंपन से, जिस ओर के अणु औसतन अधिक ज़ोर से टकराते हैं, वह दूसरी ओर ऊर्जा पहुँचाता है। यह लेन-देन तभी रुकता है जब दोनों ओर प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा समान हो जाए। मिश्रण में टक्करें यही काम सीधे अणु से अणु तक करती हैं। इसलिए साम्य में भारी अणु हल्के अणुओं की तुलना में धीमे चलते हैं, फिर भी सबका औसत $\frac{1}{2} m v^{2}$ समान होता है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी इसे ऊर्जा-समविभाजन प्रमेय में बदल देती है। साम्य में, किसी कण की ऊर्जा का हर वह पद जो किसी एक वेग-घटक या एक निर्देशांक में द्विघात है, जैसे $\frac{1}{2} m v_{x}^{2}$ , का औसत समान होता है: $\frac{1}{2} k_{B} T$ । एकपरमाणुक गैस के एक अणु में ऐसे तीन पद होते हैं, हर दिशा के लिए एक गतिज पद, इसलिए उसकी औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k_{B} T$ है। किसी ठोस में एक परमाणु के तीन गतिज पद और तीन स्थितिज पद होते हैं, क्योंकि उसके बंधन उसे हर दिशा में उसकी साम्य स्थिति की ओर खींचते हैं; इसलिए उसकी औसत ऊर्जा $3 k_{B} T$ है।

एक साधारण ठोस के एक मोल के लिए, जिसमें $N_{A}$ परमाणु हैं और $R = N_{A} k_{B}$ , ऊर्जा $3 RT$ है, इसलिए मोलर ऊष्माधारिता हर तत्व के लिए समान है:
$C_{m} = 3 R \approx 25 J/ (mol \cdot K)$
यह डुलोंग–पेती नियम है, जिसे 1819 में प्रयोग से खोजा गया। लोहे और एल्युमिनियम के मोलर द्रव्यमान 0.0558 और 0.0270 kg/mol से $3 R$ को भाग देने पर लगभग 447 और 924 J/(kg·K) विशिष्ट ऊष्माधारिताएँ मिलती हैं, जो एनिमेशन में प्रयुक्त 450 और 900 के निकट हैं। एल्युमिनियम का मान लोहे का लगभग दोगुना है, क्योंकि इसके परमाणु लगभग आधे भारी हैं: एक किलोग्राम एल्युमिनियम में लगभग दोगुने परमाणु होते हैं, और हर परमाणु समान ऊर्जा संचित करता है।

परमाणु कितना कंपन करता है

समविभाजन बताता है कि किसी परमाणु के कंपन में कितनी ऊर्जा होती है। चित्र 1 उस ऊर्जा को दूरी में बदलता है, यानी परमाणु के कंपन का आकार, और दिखाता है कि यह ताप के साथ कैसे बढ़ता है।

चित्र 1 किसी ठोस के एक परमाणु को एक दिशा में गति करते हुए दिखाता है, जिसका अपनी साम्य-स्थिति से विस्थापन $x$ है। छोटे विस्थापनों के लिए उसके बंधन $k_{s}$ दृढ़ता वाले स्प्रिंग की तरह काम करते हैं, इसलिए उसकी प्रत्यास्थ ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k_{s} x^{2}$ है: चित्र में परवलयाकार गड्ढा। (यहाँ $U$ इस एक परमाणु की बंधनों में ऊर्जा है, पूरे ब्लॉक की आंतरिक ऊर्जा नहीं।) समविभाजन के अनुसार $U$ का औसत $\frac{1}{2} k_{B} T$ है। हर क्षैतिज रेखा एक ताप के लिए इस औसत पर खींची गई है: गर्म वस्तु के लिए ऊपर की रेखा $\frac{1}{2} k_{B} T_{1}$ पर, और ठंडी वस्तु के लिए नीचे की रेखा $\frac{1}{2} k_{B} T_{2}$ पर, जहाँ $T_{1} = 2 T_{2}$ , जैसा एनिमेशन में है।

अब देखें कि हर रेखा गड्ढे को कहाँ काटती है। वहाँ $\frac{1}{2} k_{s} x^{2} = \frac{1}{2} k_{B} T$ , इसलिए रेखा गड्ढे को $x = \pm k_{B} T / k_{s}$ पर काटती है, केंद्र के दोनों ओर एक-एक बिंदु पर। अक्ष के नीचे के कोष्ठक इस कटान को केंद्र से मापते हैं: $T_{1}$ के लिए $x_{1}$ और $T_{2}$ के लिए $x_{2}$ । इन दूरियों का भौतिक अर्थ है: चूँकि $\frac{1}{2} k_{s} x^{2}$ का औसत $\frac{1}{2} k_{B} T$ है, $x^{2}$ का औसत $k_{B} T / k_{s}$ है, इसलिए हर कटान ठीक वर्ग-माध्य-मूल विस्थापन है: उस ताप पर कंपन का विशिष्ट आकार।

गड्ढे का आकार तय करता है कि यह आकार कैसे बढ़ता है। चूँकि $U$ , $x^{2}$ के साथ बढ़ता है, रेखा की ऊँचाई को दोगुना करने पर कटान केवल $2$ गुना दूर खिसकता है: चित्र में $x_{1} = 2 x_{2}$ । कंपन $T$ के अनुसार बढ़ता है, $T$ के अनुसार नहीं। एनिमेशन अपने कणों को इसी नियम से बनाता है: 600 K पर लोहे के कण, 300 K पर एल्युमिनियम के कणों की तुलना में लगभग $2 \approx 1.4$ गुना चौड़ा कंपन करते हैं।

ऊष्मा, कार्य और प्रथम नियम

ताप बताता है कि ऊर्जा किस दिशा में बहेगी; ऊष्मा उस प्रवाह का नाम है। ऊष्मा को कभी एक द्रव समझा गया था, जिसे कैलोरिक कहा गया, और जो वस्तुओं में संचित रहता था। 1840 के दशक में जेम्स जूल ने दिखाया कि पानी में एक चप्पू-चक्र घुमाने वाले गिरते भार उसे उतना ही गर्म करते हैं जितना ऊष्मा देना, और प्रति कैलोरी लगभग 4.2 J कार्य के स्थिर अनुपात में। इसलिए ऊष्मा कोई पदार्थ नहीं, बल्कि स्थानांतरित हो रही ऊर्जा है, और इसे सम्मिलित करने वाली ऊर्जा-संरक्षण का नियम प्रथम नियम है:
$Δ U = Q - W$

यहाँ $U$ निकाय की आंतरिक ऊर्जा है, $Q$ वह ऊष्मा है जो उसे मिलती है, और $W$ वह कार्य है जो वह अपने परिवेश पर करता है; यह चिह्न-परिपाटी पाठ “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” की है। यदि $W$ को निकाय पर किया गया कार्य माना जाए, तो नियम $Δ U = Q + W$ हो जाता है।

दोनों प्रकार के स्थानांतरण अलग ढंग से होते हैं। कार्य वह ऊर्जा है जो किसी स्थूल बल द्वारा दूरी पर लगकर पहुँचाई जाती है, जैसे पिस्टन का गैस को धकेलना। ऊष्मा वह ऊर्जा है जो सूक्ष्म टक्करों या विकिरण से, तापांतर के कारण, पहुँचती है। केवल $U$ वस्तु की अवस्था का गुण है। एक गर्म ब्लॉक को ज्वाला से गर्म किया गया हो सकता है, जो ऊष्मा है, या रगड़ से, जो कार्य है, और ब्लॉक में यह दर्ज नहीं होता कि कौन सा हुआ; इसलिए “वस्तु में निहित ऊष्मा” का कोई अर्थ नहीं।

ठोस और द्रव के लिए, फैलते समय वायुमंडल के विरुद्ध किया गया कार्य नगण्य है, इसलिए उनके द्वारा ग्रहण की गई ऊष्मा $Q = C Δ T$ वस्तुतः उनके आंतरिक ऊर्जा-परिवर्तन $Δ U$ के बराबर है। गैसें भिन्न हैं: आदर्श गैस को स्थिर दाब पर गर्म करने पर वह फैलते हुए कार्य भी करती है, इसलिए उसकी स्थिर-दाब मोलर ऊष्माधारिता, स्थिर-आयतन वाली से ठीक $R$ अधिक होती है।

संपर्क में दो ब्लॉक: घातांकीय समीपन

प्रथम नियम बताता है कि आदान-प्रदान कहाँ समाप्त होता है; समय के साथ उसे समझने के लिए हमें यह मॉडल चाहिए कि ऊष्मा संपर्क को कितनी तेज़ी से पार करती है। हर ब्लॉक को समरूप मानिए, जिसका पूरे भीतर एक ही ताप है: गर्म ब्लॉक की ऊष्माधारिता $C_{1}$ और ताप $T_{1} (t)$ है, ठंडे की $C_{2}$ और $T_{2} (t)$ । मान लीजिए संपर्क तापांतर के समानुपाती ऊष्मा-प्रवाह $k (T_{1} - T_{2})$ ले जाता है, जहाँ $k$ संपर्क की ऊष्मीय चालकता है, W/K में। हर ब्लॉक की ऊर्जा केवल इसी प्रवाह से बदलती है, इसलिए
$C_{1} \frac{d T _{1}}{d t} = - k (T_{1} - T_{2}), C_{2} \frac{d T _{2}}{d t} = k (T_{1} - T_{2})$

इससे दो परिणाम निकलते हैं। पहला, दोनों समीकरण जोड़ने पर $d (C_{1} T_{1} + C_{2} T_{2}) / d t = 0$ मिलता है: एक ब्लॉक जो खोता है, दूसरा पाता है, इसलिए $C_{1} T_{1} + C_{2} T_{2}$ अपने आरंभिक मान पर रहता है। अंत में दोनों ताप बराबर होते हैं, और इससे अंतिम ताप तय होता है:
$T_{eq} = \frac{C _{1} T _{1} ( 0 ) + C _{2} T _{2} ( 0 )}{C _{1} + C _{2}}$

दूसरा, हर समीकरण को उसकी ऊष्माधारिता से भाग देकर, पहले में से दूसरा घटाने पर केवल तापांतर $Δ T = T_{1} - T_{2}$ का समीकरण मिलता है:
$\frac{d Δ T}{d t} = - k (\frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}) Δ T$
अंतर अपने ही आकार के अनुपात में घटता है, जो घातांकीय क्षय का लक्षण है। $Δ T_{0}$ से आरंभ करने पर,
$Δ T = Δ T_{0} e^{- t / τ}, τ = \frac{C _{1} C _{2}}{k ( C _{1} + C _{2} )}$
जब ब्लॉक बड़े हों या संपर्क कमज़ोर हो, तो समय-स्थिरांक $τ$ बड़ा होता है। संयोजन $C_{1} C_{2} / (C_{1} + C_{2})$ सदा किसी भी एक ऊष्माधारिता से छोटा होता है, इसलिए छोटा ब्लॉक गति तय करता है।

एनिमेशन में 600 K (327 °C) पर 1 kg लोहा है, इसलिए $C_{1} = 450 J/K$ ; और 300 K (27 °C) पर 1 kg एल्युमिनियम, इसलिए $C_{2} = 900 J/K$ । तब $T_{eq} = (450 \cdot 600 + 900 \cdot 300) /1350 = 400 K$ , यानी 127 °C, और लोहा एल्युमिनियम को $450 \cdot 200 = 90 kJ$ देता है। $C_{1} C_{2} / (C_{1} + C_{2}) = 300 J/K$ और $k = 240 W/K$ के साथ समय-स्थिरांक $τ = 300/240 = 1.25 s$ है ( $1/ τ = 0.8 s^{- 1}$ )। प्रवाह $k Δ T_{0} = 240 \cdot 300 = 72 kW$ से शुरू होता है, अंतर हर $τ ln 2 \approx 0.87 s$ में आधा होता है, और $τ ln 300 \approx 7.1 s$ बाद 1 K तक घट जाता है।

दो वक्रों को पढ़ना

यह हल चित्र के रूप में सबसे आसानी से समझ आता है। चित्र 2 दिखाता है कि दोनों ताप कहाँ पहुँचते हैं, वे कितनी तेज़ी से शुरू होते हैं, और ग्राफ़ पर $τ$ का क्या अर्थ है।

चित्र 2 एनिमेशन के विशेषज्ञ ग्राफ़ के दोनों वक्र उनकी संख्याओं के साथ बनाता है। नारंगी-लाल वक्र $T_{1}$ लोहे के 327 °C से शुरू होकर गिरता है; नीला वक्र $T_{2}$ एल्युमिनियम के 27 °C से शुरू होकर बढ़ता है। बाईं ओर का कोष्ठक प्रारंभिक अंतर $Δ T_{0}$ , यानी 300 K, को दर्शाता है।

पहले देखें कि वक्र कहाँ जाते हैं। दोनों हरी बिंदुकित रेखा $T_{eq}$ की ओर झुकते हैं, जो 127 °C पर है। यह रेखा कोष्ठक को 2 : 1 के अनुपात में बाँटती है, और सिकुड़ते अंतर को भी उसी अनुपात में बाँटती रहती है: चूँकि $C_{1} T_{1} + C_{2} T_{2}$ सदा $(C_{1} + C_{2}) T_{eq}$ के बराबर है, इसलिए $C_{1} (T_{1} - T_{eq}) = C_{2} (T_{eq} - T_{2})$ , अतः आधी ऊष्माधारिता वाला लोहा सदा $T_{eq}$ से एल्युमिनियम की तुलना में दोगुनी दूरी पर रहता है। हर क्षण $T_{1} - T_{eq} = \frac{2}{3} Δ T$ और $T_{eq} - T_{2} = \frac{1}{3} Δ T$ : लोहे का वक्र एल्युमिनियम के वक्र का बिंदुकित रेखा में दर्पण-प्रतिबिंब है, जिसे दोगुनी ऊँचाई तक खींचा गया है।

अब देखें कि वे कैसे शुरू होते हैं। दो धूसर बिंदुकित रेखाएँ $t = 0$ पर स्पर्श-रेखाएँ हैं, और उनकी ढलानें प्रारंभिक दरें हैं: लोहे के लिए $- k Δ T_{0} / C_{1} = - 160 K/s$ और एल्युमिनियम के लिए $+ k Δ T_{0} / C_{2} = + 80 K/s$ । दोनों स्पर्श-रेखाएँ एक ही क्षण $t = τ$ पर रेखा $T_{eq}$ तक पहुँचती हैं, जो समय-अक्ष पर चिह्नित है: यदि अपनी प्रारंभिक दर बनाए रखें, तो लोहा 1.25 s में अपने 200 K और एल्युमिनियम अपने 100 K तय कर लेगा। $τ$ का यही अर्थ है: वह समय जो कोई ताप, अपनी प्रारंभिक दर बनाए रखे तो, $T_{eq}$ तक पहुँचने में लेता। वास्तव में दर बचे अंतर के अनुपात में घटती है, इसलिए $τ$ के बाद लगभग 37 % अंतर बचता है, और $4 τ$ के बाद केवल लगभग 2 %।

यदि दूसरी वस्तु बहुत बड़ी है ( $C_{2} \to \infty$ , जैसे कोई कमरा या झील), तो उसका ताप $T_{env}$ से लगभग नहीं बदलता, $τ$ बन जाता है $C_{1} / k$ , और पहला समीकरण न्यूटन के शीतलन नियम में बदल जाता है:
$\frac{d T}{d t} = - \frac{T - T _{env}}{τ}$

ऊष्मा गर्म से ठंडे की ओर क्यों बहती है

प्रथम नियम में प्रवाह की दिशा तय नहीं होती: यदि 90 kJ एल्युमिनियम से वापस लोहे में चला जाए, तो भी ऊर्जा उतनी ही संरक्षित रहेगी। दिशा ऊष्मागतिकी के द्वितीय नियम से आती है: किसी पृथक निकाय की कुल एन्ट्रॉपी कभी घट नहीं सकती। एकसमान ताप $T$ पर स्थित कोई वस्तु जब थोड़ी-सी ऊष्मा $δ Q$ ग्रहण करती है, तो उसकी एन्ट्रॉपी $δ Q / T$ बढ़ती है। चित्र 3 इसी नियम को ब्लॉकों के बीच एक छोटे स्थानांतरण पर लगाता है।

चित्र 3 ऊष्मा की एक छोटी मात्रा $δ Q$ को गर्म ब्लॉक ( $T_{1}$ ) से ठंडे ब्लॉक ( $T_{2}$ ) तक जाते हुए दिखाता है; यह मात्रा इतनी छोटी है कि स्थानांतरण के दौरान दोनों में से कोई ताप नहीं बदलता। गर्म ब्लॉक एन्ट्रॉपी $δ Q / T_{1}$ खोता है, ऊपर की पट्टी; ठंडा ब्लॉक $δ Q / T_{2}$ प्राप्त करता है, नीचे की पट्टी। ऊष्मा दोनों ओर समान है, पर ठंडी ओर वह एक छोटे ताप से भाग दी जाती है, इसलिए वह पट्टी लंबी है: यहाँ दोगुनी, क्योंकि $T_{1} = 2 T_{2}$ । नीचे की पट्टी का जो हिस्सा ऊपर की पट्टी से आगे निकलता है, $d S$ , वही इस स्थानांतरण द्वारा उत्पन्न एन्ट्रॉपी है:
$d S = δ Q (\frac{1}{T _{2}} - \frac{1}{T _{1}})$

$δ Q > 0$ के लिए यह ठीक तभी धनात्मक है जब $T_{1} > T_{2}$ । अतः गर्म से ठंडे की ओर ऊष्मा का प्रवाह कुल एन्ट्रॉपी बढ़ाता है, और उल्टा प्रवाह उसे घटाता, जिसे द्वितीय नियम वर्जित करता है। आणविक स्तर पर उल्टा प्रवाह किसी गति-नियम का उल्लंघन नहीं करता; रोज़मर्रा के आकार की वस्तुओं के लिए यह बस अत्यंत असंभाव्य है।

एनिमेशन के पूरे आदान-प्रदान के लिए ऐसे चरणों को जोड़ें। हर ब्लॉक की एन्ट्रॉपी $d S = C d T / T$ से बदलती है, जहाँ $T$ केल्विन में है, और प्रारंभिक तापों से $T_{eq} = 400 K$ तक समाकलन करने पर मिलता है
$Δ S = C_{1} ln \frac{T _{eq}}{T _{1} ( 0 )} + C_{2} ln \frac{T _{eq}}{T _{2} ( 0 )} = 450 ln \frac{400}{600} + 900 ln \frac{400}{300} \approx 76 J/K$
लोहा 182 J/K खोता है, पर एल्युमिनियम 259 J/K प्राप्त करता है: उसे वही 90 kJ मिलता है, पर कम ताप पर, इसलिए हर जूल उसे अधिक एन्ट्रॉपी देता है।

द्वितीय नियम ताप को उसकी सबसे गहरी परिभाषा भी देता है। एक उत्क्रमणीय इंजन लीजिए जो $T_{h}$ ताप के भंडार से ऊष्मा $Q_{h}$ लेता है और $T_{c}$ ताप के भंडार को ऊष्मा $Q_{c}$ देता है। उसके कार्यकारी पदार्थ चाहे जो हों, $Q_{h} / Q_{c} = T_{h} / T_{c}$ होता है, इसलिए यह अनुपात एक ऐसा तापमान-पैमाना परिभाषित करता है जो किसी पदार्थ पर निर्भर नहीं है, और यह आदर्श गैस वाले केल्विन पैमाने से मेल खाता है। सांख्यिकीय भौतिकी में यही विचार आयतन स्थिर रहने पर $1/ T = \partial S / \partial U$ के रूप में लिखा जाता है: व्युत्क्रम ताप वह एन्ट्रॉपी है जो कोई वस्तु प्रति जूल ऊष्मा प्राप्त करने पर पाती है। ऊष्मा इसीलिए ठंडी वस्तु की ओर बहती है: वहाँ हर जूल अधिक एन्ट्रॉपी लाता है।

हल किया गया प्रश्न: दो ब्लॉकों के बीच एक इंजन

प्रत्यक्ष संपर्क तापांतर से कार्य प्राप्त करने का अवसर खो देता है। यह प्रश्न पूछता है कि कितना कार्य प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए दोनों ब्लॉक एक-दूसरे को छूने के बजाय एक उत्क्रमणीय इंजन चलाते हैं, जो लोहे से ऊष्मा लेता है, एल्युमिनियम को ऊष्मा देता है और कार्य देता है, जब तक दोनों एक उभयनिष्ठ ताप $T_{f}$ पर न पहुँच जाएँ। लोहे का आरंभिक ताप $T_{1} = 600 K$ है और एल्युमिनियम का $T_{2} = 300 K$ । $T_{f}$ क्या है, और कितना कार्य प्राप्त होता है?

चित्र 4 तापमान–एन्ट्रॉपी आरेख पर इंजन को दिखाता है। मान लीजिए $s$ वह एन्ट्रॉपी है जो अब तक लोहे से निकल चुकी है; यह क्षैतिज अक्ष पर चलती है। उत्क्रमणीय इंजन एन्ट्रॉपी नहीं बनाता, इसलिए वही $s$ एल्युमिनियम में प्रवेश कर चुका है। चूँकि हर ब्लॉक के लिए $d S = C d T / T$ है, $s$ खोता लोहा $T_{1} e^{- s / C_{1}}$ के अनुसार ठंडा होता है, यानी नारंगी-लाल वक्र; और $s$ प्राप्त करता एल्युमिनियम $T_{2} e^{s / C_{2}}$ के अनुसार गर्म होता है, यानी नीला वक्र। दोनों वक्र बिंदुकित स्तर $T_{f}$ पर मिलते हैं; वहाँ कोई तापांतर नहीं बचता और इंजन रुक जाता है।

अब कार्य पढ़ें। एक छोटे चरण $d s$ में लोहा अपने ताप के गुणनफल $d s$ के बराबर ऊष्मा देता है, और एल्युमिनियम अपने (कम) ताप के गुणनफल $d s$ के बराबर ग्रहण करता है। इंजन इस अंतर को कार्य में बदलता है, जो आरेख पर दोनों वक्रों के बीच की एक पतली ऊर्ध्वाधर पट्टी है। सभी पट्टियों को जोड़ने पर कार्य $W$ दोनों वक्रों के बीच का छायांकित क्षेत्रफल है, जो ताप एक-दूसरे के निकट आते-आते एक बिंदु में सिमट जाता है।

वक्र तब मिलते हैं जब दोनों ब्लॉकों की एन्ट्रॉपी-परिवर्तन एक-दूसरे को निरस्त कर दें, क्योंकि कुल एन्ट्रॉपी नहीं बदलती: $C_{1} ln (T_{f} / T_{1}) + C_{2} ln (T_{f} / T_{2}) = 0$ । $ln T_{f}$ के लिए हल करने पर मिलता है
$T_{f} = T_{1}^{C_{1} / (C_{1} + C_{2})} T_{2}^{C_{2} / (C_{1} + C_{2})} = 60 0^{1/3} \cdot 30 0^{2/3} = 300 \cdot 2^{1/3} \approx 378 K$
यानी लगभग 105 °C। तब तक $s = C_{1} ln (T_{1} / T_{f}) \approx 208 J/K$ एक ब्लॉक से दूसरे में जा चुका है। इस युग्म से इंजन के अतिरिक्त कोई ऊष्मा बाहर नहीं निकलती, इसलिए कार्य वही आंतरिक ऊर्जा है जो दोनों ब्लॉक मिलकर खोते हैं:
$W = C_{1} (T_{1} - T_{f}) - C_{2} (T_{f} - T_{2}) \approx 99.9 - 70.2 = 29.7 kJ$

इंजन लोहे से 99.9 kJ लेता है, जो प्रत्यक्ष संपर्क की 90 kJ से अधिक है, और उसका लगभग 30% कार्य में बदलता है; उसकी तात्कालिक दक्षता, वर्तमान तापों के लिए $1 - T_{2} / T_{1}$ , प्रारंभ में 50% से घटकर अंत में शून्य हो जाती है। दोनों ब्लॉक प्रत्यक्ष संपर्क के 400 K से 22 K नीचे पर समाप्त होते हैं, क्योंकि उत्क्रमणीय अंतिम बिंदु आरंभिक तापों का भारित ज्यामितीय माध्य है, जबकि संपर्क भारित अंकगणितीय माध्य देता है, जो सदा अधिक होता है। कोई भी तापांतर कार्य दे सकता है; ऊष्मा को सीधे पार होने देना उसे व्यर्थ करता है और ऊपर मिली 76 J/K एन्ट्रॉपी उत्पन्न करता है।

वास्तविक ब्लॉक और मॉडल की सीमाएँ

दो-ब्लॉक मॉडल मानता है कि हर ब्लॉक एकसमान रहता है, जिसके लिए ज़रूरी है कि ब्लॉक के भीतर ऊष्मा संपर्क को पार करने से तेज़ फैले। किसी वस्तु के भीतर ऊष्मा तापमान-प्रवणता के अनुसार बहती है, फ़ूरियर के चालन नियम के अनुसार:
$q = - κ \nabla T$
यहाँ $q$ W/m² में ऊष्मा-फ़्लक्स है और $κ$ ऊष्मीय चालकता, जो लोहे के लिए लगभग 80 W/(m·K) है। ऊर्जा-संरक्षण के साथ मिलाने पर यह विसरण समीकरण $\partial T / \partial t = α \nabla^{2} T$ देता है, जहाँ लोहे के लिए ऊष्मीय विसरणशीलता $α = κ / (ρ c) \approx 2.3 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$ है, और $ρ$ घनत्व है। ऊष्मा को दूरी $L$ तय करने में लगभग $L^{2} / α$ समय लगता है: भुजा $L \approx 5 cm$ वाले 1 kg लोहे के घन में लगभग 110 s। यह एनिमेशन के $τ$ (1.25 s) से कहीं अधिक है, इसलिए वास्तविक ब्लॉक एकसमान नहीं रहेंगे और स्थिर होने में मिनट लगेंगे; एनिमेशन उन्हें आदर्श बनाता है।

गर्म वस्तुएँ विकिरण भी करती हैं। क्षेत्रफल $A$ और उत्सर्जकता $ε$ वाली सतह शक्ति
$P = ε σ A T^{4}$
उत्सर्जित करती है, जहाँ $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/ (m^{2} \cdot K^{4})$ है, और वह $T_{0}$ ताप वाले परिवेश से भी विकिरण अवशोषित करती है, इसलिए उसकी शुद्ध हानि $ε σ A (T^{4} - T_{0}^{4})$ है। लोहे के मुक्त फलकों का क्षेत्रफल 0.013 m² है और $ε \approx 0.6$ ; 300 K के परिवेश में 600 K पर वे लगभग 50 W शुद्ध हानि करते हैं, इसलिए रोधन केवल सन्निकट है। छोटे तापांतरों के लिए $T^{4} - T_{0}^{4} \approx 4 T_{0}^{3} Δ T$ होता है, और विकिरण न्यूटन के शीतलन नियम जैसा व्यवहार करता है; पर 600 K और 300 K के बीच ऊष्मा-प्रवाह इस रैखिक अनुमान का लगभग चार गुना है।

ऊष्माधारिताएँ भी स्थिर नहीं हैं: लोहे का $c$ 300 K से 600 K के बीच एक-चौथाई से अधिक बढ़ जाता है। निम्न तापों पर ऊर्जा-समविभाजन विफल हो जाता है। कंपन की ऊर्जाएँ क्वांटीकृत हैं, और जब $k_{B} T$ उनके स्तर-अंतर की तुलना में छोटा होता है, तो कंपन “जम” जाते हैं; तब निरपेक्ष शून्य के निकट उनकी ऊष्माधारिता $T^{3}$ के अनुसार गिरती है। कठोर हीरा कमरे के ताप पर भी यह दिखाता है: लगभग 510 J/(kg·K), जबकि डुलोंग–पेती मान 2080 है। अंत में, ताप स्वयं साम्य के निकट बड़ी संख्या में कणों की माँग करता है: एक अकेले अणु के पास ऊर्जा होती है, ताप नहीं।

यह कहाँ ले जाता है

“गैसों का अणुगति सिद्धांत” $\frac{3}{2} k_{B} T$ को दाब और अणुओं की चाल में बदलता है। “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” ऊर्जा-संतुलन पर इंजन बनाता है, और “ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी” यहाँ मिली 76 J/K को सामान्य रूप देता है। “चालन, संवहन और विकिरण” फ़ूरियर नियम और विकिरण को विकसित करता है; “अवस्था परिवर्तन और गुप्त ऊष्मा” उस ऊष्मा से निपटता है जो ताप के बजाय अवस्था बदलती है; और “ऊष्मीय प्रसार” दिखाता है कि गर्म होने से आकार पर क्या असर होता है। समविभाजन की विफलता ने क्वांटम युग खोला, जैसा “कृष्णिका विकिरण और क्वांटम” समझाता है।

मुख्य सूत्र

ऊष्मा और ताप-परिवर्तन

Q = m c Δ T

किसी वस्तु का ताप बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा उसके द्रव्यमान, ताप-परिवर्तन और पदार्थ के एक गुण, यानी विशिष्ट ऊष्माधारिता $c$ , के अनुपात में होती है। जल की 4180 J/(kg·K) सबसे बड़े मानों में है, इसीलिए जल धीरे गर्म और धीरे ठंडा होता है। चूँकि $Δ T$ अंतिम मान में से प्रारंभिक मान घटाने से मिलता है, वस्तु ठंडी होकर ऊष्मा देती है तो $Q$ ऋणात्मक होता है।

चिह्न
$Q$	वस्तु द्वारा ग्रहण की गई ऊष्मा (यदि वह ऊष्मा दे तो ऋणात्मक)	$J$
$m$	वस्तु का द्रव्यमान	$kg$
$c$	पदार्थ की विशिष्ट ऊष्माधारिता	$J/ (kg \cdot K)$
$Δ T$	ताप-परिवर्तन, अंतिम मान में से प्रारंभिक मान घटाकर	$K$

कब लागू होता है: केवल तब तक जब कुछ न पिघले, न उबले और न अभिक्रिया करे, और उस परास में जहाँ $c$ लगभग स्थिर रहे। अवस्था-परिवर्तन पर ऊष्मा $Δ T = 0$ के साथ बहती है, और विस्तृत परासों में $c$ स्वयं ताप के साथ बदलता है।

उदाहरण: एनिमेशन के लोहे के ब्लॉक को 327 °C से 127 °C तक ठंडा करना: $Q = 1 \cdot 450 \cdot (- 200) = - 90 kJ$ , यही 90 kJ एल्युमिनियम ग्रहण करता है।

वस्तु की ऊष्माधारिता

C = m c

ऊष्माधारिता $C$ वह ऊष्मा है जो पूरी वस्तु का ताप 1 K बढ़ाती है, इसलिए $Q = C Δ T$ । यह दिखाती है कि कितना पदार्थ है और पदार्थ कैसा है: बड़ा द्रव्यमान और छोटा $c$ , छोटे द्रव्यमान और बड़े $c$ के बराबर हो सकता है। कई भागों से बनी वस्तु के लिए भागों की ऊष्माधारिताएँ जोड़ी जाती हैं।

चिह्न
$C$	पूरी वस्तु की ऊष्माधारिता	$J/K$
$m$	वस्तु का द्रव्यमान	$kg$
$c$	पदार्थ की विशिष्ट ऊष्माधारिता	$J/ (kg \cdot K)$

कब लागू होता है: एक ही पदार्थ की वस्तु के लिए; मिश्रित वस्तु के लिए भागों पर $m c$ जोड़ें। $c$ की तरह यह भी ताप के साथ कुछ बदलती है।

उदाहरण: 1 kg एल्युमिनियम की $C = 900 J/K$ है, जो 1 kg लोहे के 450 J/K की दोगुनी है, इसलिए समान ऊष्मा उसका ताप आधा बदलती है।

केल्विन और सेल्सियस ताप

T (K) = T (^{\circ} C) + 273.15

केल्विन और सेल्सियस डिग्री का आकार समान है, पर केल्विन पैमाना जल के हिमांक पर नहीं, बल्कि परम शून्य, −273.15 °C, पर शुरू होता है। इसलिए ताप का रूपांतरण करते समय 273.15 जोड़ा जाता है, जबकि तापांतर का मान दोनों पैमानों पर समान रहता है।

चिह्न
$T (K)$	केल्विन में ताप	$K$
$T (^{\circ} C)$	उसी ताप को सेल्सियस डिग्री में	$^{\circ} C$

कब लागू होता है: परिभाषा से सटीक। अनुपात, घातों और गैस-नियमों के लिए केल्विन का प्रयोग करें: 600 K, 300 K का दोगुना है, पर 327 °C, 27 °C का बारह गुना नहीं है।

उदाहरण: 600 K पर लोहे का ब्लॉक $600 - 273.15 = 326.85^{\circ} C$ पर है, यानी लगभग 327 °C।

संपर्क में दो वस्तुओं का अंतिम ताप

T_{eq} = \frac{m _{1} c _{1} T _{1} + m _{2} c _{2} T _{2}}{m _{1} c _{1} + m _{2} c _{2}}

गर्म वस्तु की खोई ऊष्मा को ठंडी वस्तु की प्राप्त ऊष्मा के बराबर रखकर उभयनिष्ठ अंतिम ताप निकालने पर, प्रारंभिक तापों का ऊष्माधारिताओं $m c$ से भारित औसत मिलता है। यह दोनों के बीच होता है, उस वस्तु के अधिक निकट जिसकी ऊष्माधारिता बड़ी है। चूँकि यह भारित औसत है, इसे °C और केल्विन दोनों में प्रयोग किया जा सकता है।

चिह्न
$T_{eq}$	उभयनिष्ठ अंतिम (साम्य) ताप	$K$
$m_{1}$	वस्तु 1 का द्रव्यमान	$kg$
$c_{1}$	वस्तु 1 की विशिष्ट ऊष्माधारिता	$J/ (kg \cdot K)$
$T_{1}$	वस्तु 1 का प्रारंभिक ताप	$K$
$m_{2}$	वस्तु 2 का द्रव्यमान	$kg$
$c_{2}$	वस्तु 2 की विशिष्ट ऊष्माधारिता	$J/ (kg \cdot K)$
$T_{2}$	वस्तु 2 का प्रारंभिक ताप	$K$

कब लागू होता है: केवल तब जब दोनों वस्तुएँ किसी और चीज़ के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान न करें और न पिघलें, न उबलें, न अभिक्रिया करें। कई वस्तुओं के लिए सभी वस्तुओं के $m c T$ और $m c$ का योग लें।

उदाहरण: 327 °C पर लोहा ( $C = 450 J/K$ ) और 27 °C पर एल्युमिनियम ( $C = 900 J/K$ ): $T_{eq} = (450 \cdot 327 + 900 \cdot 27) /1350 = 127^{\circ} C$ ।

न्यूटन का शीतलन नियम

\frac{d T}{d t} = - \frac{T - T _{env}}{τ}

कोई वस्तु अपने परिवेश के साथ अपने अतिरिक्त ताप के अनुपात में ऊष्मा का आदान-प्रदान करती है, इसलिए उसके ताप का परिवर्तन $T - T_{env}$ के अनुपात में होता है। हल एक घातांकी है, $T = T_{env} + (T_{0} - T_{env}) e^{- t / τ}$ : समान समयों में अतिरिक्त ताप एक ही गुणक से घटता है। ऋण चिह्न गर्म वस्तु को ठंडा और ठंडी वस्तु को गर्म करता है।

चिह्न
$T$	समय $t$ पर वस्तु का ताप	$K$
$t$	समय	$s$
$T_{env}$	परिवेश का ताप, स्थिर माना गया	$K$
$τ$	समय-स्थिरांक: वस्तु की ऊष्माधारिता को उसकी परिवेश के साथ ऊष्मीय चालकता से भाग देने पर	$s$

कब लागू होता है: अच्छा काम करता है जब ऊष्मा मुख्यतः चालन या बलपूर्वक संवहन से निकले, अतिरिक्त ताप सीमित हो, और वस्तु के भीतर लगभग एकसमान ताप हो। विकिरण ( $\propto T^{4}$ ) और प्राकृतिक संवहन में दर तापांतर से तेज़ बढ़ती है।

उदाहरण: 20 °C के कमरे में 80 °C की चाय, जिसका $τ = 20 min$ है: 20 मिनट बाद 60 K का अतिरिक्त ताप घटकर $60/ e \approx 22 K$ हो जाता है, इसलिए चाय लगभग 42 °C पर है।

फ़ूरियर का ऊष्मा-चालन नियम

q = - κ \nabla T

ऊष्मा तापमान-प्रवणता के अनुसार, गर्म से ठंडे की ओर बहती है, और उसका फ़्लक्स इस पर निर्भर करता है कि स्थान के साथ ताप कितनी तीव्रता से बदलता है। सदिश $q$ प्रति सेकंड प्रति इकाई क्षेत्रफल पार होने वाली ऊष्मा देता है, और ऋण चिह्न उसे कम ताप की ओर इंगित कराता है। मोटाई $d$ की समतल परत के लिए यह $q = κ Δ T / d$ हो जाता है।

चिह्न
$q$	ऊष्मा-फ़्लक्स घनत्व: प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय की ऊष्मा	$W/ m^{2}$
$κ$	पदार्थ की ऊष्मीय चालकता	$W/ (m \cdot K)$
$\nabla T$	तापमान-प्रवणता, जो अधिक ताप की ओर इंगित करती है	$K/m$

कब लागू होता है: ठोसों और स्थिर द्रवों में चालन के लिए, जहाँ हर छोटा क्षेत्र साम्य के निकट हो। यह संवहन या विकिरण का वर्णन नहीं करता, और $κ$ स्वयं ताप के साथ बदलती है।

उदाहरण: 2 cm मोटा लकड़ी का तख़्ता ( $κ \approx 0.15 W/ (m \cdot K)$ ), जिसके दोनों फलकों के बीच 20 K का अंतर है, $q = 0.15 \cdot 20/0.02 = 150 W/ m^{2}$ ऊष्मा-फ़्लक्स देता है।

ऊष्मीय विकिरण का स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान नियम

P = ε σ A T^{4}

हर सतह विद्युत चुंबकीय ऊर्जा इस दर से विकिरित करती है जो उसके परम ताप की चौथी घात के साथ बढ़ती है। एक आदर्श उत्सर्जक, कृष्णिका, के लिए $ε = 1$ है; वास्तविक सतहों के लिए $0 < ε < 1$ । वस्तु अपने परिवेश के $T_{0}$ ताप से भी विकिरण अवशोषित करती है, इसलिए उसकी शुद्ध हानि $ε σ A (T^{4} - T_{0}^{4})$ है।

चिह्न
$P$	सतह द्वारा विकिरित शक्ति	$W$
$ε$	सतह की उत्सर्जकता, 0 और 1 के बीच
$σ$	स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान नियतांक, $5.67 \times 1 0^{- 8}$	$W/ (m^{2} \cdot K^{4})$
$A$	विकिरण करने वाली सतह का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$T$	सतह का परम ताप	$K$

कब लागू होता है: $T$ केल्विन में होना चाहिए। सूत्र कुल उत्सर्जन देता है; $ε$ तरंगदैर्ध्य और ताप पर निर्भर हो सकता है, और शुद्ध विनिमय परिवेश के ताप और आकार पर भी निर्भर करता है।

उदाहरण: 600 K पर एक काली सतह $σ T^{4} = 5.67 \times 1 0^{- 8} \cdot 60 0^{4} \approx 7.3 kW/ m^{2}$ विकिरित करती है, जो 300 K पर की तुलना में सोलह गुना है।

शब्दावली

ताप: वह राशि जो ऊष्मीय साम्य में वस्तुओं के लिए समान होती है और जिसे तापमापी से °C या केल्विन में पढ़ा जाता है। कणों के स्तर पर यह अनियमित गति की औसत ऊर्जा मापता है (गैस के प्रति अणु $\frac{3}{2} k_{B} T$ स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा), न कि वस्तु में संचित कुल ऊर्जा।
परम शून्य: संभव सबसे निम्न ताप, 0 K या −273.15 °C, जहाँ कणों की अनियमित गति में वह न्यूनतम ऊर्जा होती है जिसे क्वांटम यांत्रिकी अनुमति देती है। केल्विन पैमाना यहीं से शुरू होता है, इसलिए केवल केल्विन ताप अनुपात में तुलना किए जा सकते हैं।
ऊष्मीय साम्य: ऊष्मीय संपर्क में आई वस्तुओं की वह अवस्था जिसमें कुछ भी और नहीं बदलता: उनके ताप बराबर होते हैं और कोई शुद्ध ऊष्मा प्रवाह नहीं होता। शून्यवाँ नियम कहता है कि यदि दो वस्तुएँ प्रत्येक एक तीसरी वस्तु के साथ साम्य में हों, तो वे आपस में भी साम्य में हैं, और यही तापमापियों को काम करने देता है।
ऊष्मा: ताप-अंतर के कारण कणों की टक्करों या विकिरण से एक वस्तु से दूसरी में स्थानांतरित ऊर्जा, जिसे जूल में मापा जाता है। यह गतिमान ऊर्जा है, वस्तु में संचित कोई चीज़ नहीं, और यह स्वयं केवल गर्म से ठंडे की ओर बहती है।
आंतरिक ऊर्जा: किसी वस्तु के कणों की अनियमित गति और उनके बीच के बलों की कुल ऊर्जा, $U$ । ऊष्मा और कार्य दोनों इसे बदलते हैं; एक ही ताप वाली दो वस्तुओं की आंतरिक ऊर्जा बहुत भिन्न हो सकती है।
ऊष्मा-संतुलन (कैलोरीमिति): पृथक निकाय में, गर्म वस्तुओं की खोई ऊष्मा ठंडी वस्तुओं की प्राप्त ऊष्मा के बराबर होती है। यह अंतिम ताप तय करता है: 327 °C पर 1 kg लोहा और 27 °C पर 1 kg एल्युमिनियम दोनों 127 °C पर समाप्त होते हैं।
ऊर्जा-समविभाजन: शास्त्रीय ऊष्मीय साम्य में, कण की ऊर्जा का हर द्विघात पद औसतन $\frac{1}{2} k_{B} T$ वहन करता है। सरल ठोसों के लिए यह लगभग 25 J/(mol·K) देता है, और निम्न तापों पर विफल हो जाता है, जहाँ क्वांटम प्रभाव गति को “जमा” देते हैं।
ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम: ऊष्मा सहित ऊर्जा-संरक्षण: $Δ U = Q - W$ , जहाँ $Q$ निकाय द्वारा ग्रहण की गई ऊष्मा है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य। कुछ पुस्तकें निकाय पर किया गया कार्य गिनती हैं और $Δ U = Q + W$ लिखती हैं।
ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम: ऊष्मा कभी अपने-आप ठंडी वस्तु से गर्म वस्तु की ओर नहीं बहती; समतुल्य रूप से, किसी पृथक निकाय की कुल एन्ट्रॉपी कभी नहीं घटती। $T_{1}$ से ठंडे $T_{2}$ की ओर $δ Q$ का स्थानांतरण एन्ट्रॉपी को $δ Q (1/ T_{2} - 1/ T_{1})$ से बढ़ाता है।
न्यूटन का शीतलन नियम: किसी वस्तु का ताप परिवेश के ताप तक जिस दर से पहुँचता है, वह अंतर के समानुपाती होती है, इसलिए अतिरिक्त ताप समय-स्थिरांक $τ$ के साथ घातांकी रूप से घटता है। स्थिर चालकता वाले संपर्क के लिए यह ठीक-ठीक लागू होता है, और मापे गए गुणांक $h$ के साथ हवा या पानी से ठंडी होती सतहों के लिए लगभग, बशर्ते तापांतर सीमित हों।
चालन: पदार्थ के माध्यम से ऊष्मा का स्थानांतरण, पड़ोसी कणों की टक्करों से, बिना पदार्थ के स्वयं गति किए। फ़ूरियर नियम फ़्लक्स देता है, $q = - κ \nabla T$ : धातुएँ अच्छी चालक हैं, जबकि लकड़ी, फ़ोम और स्थिर वायु खराब चालक हैं।
ऊष्मीय विकिरण: विद्युत चुंबकीय तरंगें जो हर वस्तु अपने ताप के कारण उत्सर्जित करती है; ये निर्वात से होकर भी ऊष्मा ले जाती हैं। उत्सर्जित शक्ति $T^{4}$ के अनुसार बढ़ती है (स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान नियम), इसलिए परम ताप दोगुना करने पर यह 16 गुना हो जाती है।

राशियाँ
$T$	परम ताप	$K$	परम शून्य से गिना गया परम ताप: $T (K) = T (^{\circ} C) + 273.15$ । जब भी ताप का गुणा, भाग या घात करनी हो, केल्विन का प्रयोग करें।
$Δ T$	ताप-परिवर्तन	$K$	अंतिम ताप में से प्रारंभिक ताप घटाने पर; यह केल्विन और सेल्सियस दोनों में एक ही मान रखता है, और वस्तु ठंडी होने पर ऋणात्मक होता है।
$Q$	ऊष्मा	$J$	तापांतर के कारण स्थानांतरित ऊर्जा, वस्तु में प्रवाह होने पर धनात्मक। 1 kJ लगभग 0.24 kg जल को 1 K गर्म करता है।
$U$	आंतरिक ऊर्जा	$J$	वस्तु के कणों की अनियमित गति और अंतःक्रियाओं की ऊर्जा: यह उसकी अवस्था का गुण है, जिसे ऊष्मा और कार्य दोनों बदलते हैं।
$c$	विशिष्ट ऊष्माधारिता	$J/ (kg \cdot K)$	1 kg पदार्थ को 1 K गर्म करने के लिए आवश्यक ऊष्मा: जल के लिए 4180, एल्युमिनियम के लिए 900, लोहे के लिए 450।
$C$	ऊष्माधारिता	$J/K$	पूरी वस्तु को 1 K गर्म करने के लिए आवश्यक ऊष्मा, $C = m c$ : एनिमेशन में लोहे के ब्लॉक के लिए 450 J/K, एल्युमिनियम के लिए 900 J/K। यहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है, kg में।
$T_{eq}$	साम्य ताप	$K$	केवल एक-दूसरे के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान करने वाली वस्तुओं का उभयनिष्ठ अंतिम ताप: ऊष्माधारिता से भारित प्रारंभिक तापों का औसत।
$k$	ऊष्मीय चालकता (संपर्क)	$W/K$	संपर्क से प्रति केल्विन तापांतर पर बहने वाला ऊष्मा-प्रवाह, $d Q / d t = k (T_{1} - T_{2})$ ; एनिमेशन में 240 W/K। इसे पदार्थ की ऊष्मीय चालकता से न मिलाएँ, जो यहाँ $κ$ लिखी गई है और “चालन, संवहन और विकिरण” में $k$ , और न ही बोल्ट्ज़मान नियतांक $k_{B}$ से।
$τ$	समय-स्थिरांक	$s$	घातांकी निकटन में वह समय जिसमें तापांतर $e \approx 2.72$ गुना घट जाता है; एनिमेशन में 1.25 s। न्यूटन के शीतलन नियम में, स्थिर ताप $T_{env}$ वाले परिवेश में ऊष्मा खोती वस्तु के लिए $τ = C / k$ ; $t$ बीता हुआ समय है।
$κ$	ऊष्मीय चालकता	$W/ (m \cdot K)$	किसी पदार्थ में प्रति इकाई ताप-प्रवणता का ऊष्मा-फ़्लक्स: ताँबे के लिए लगभग 400, लोहे के लिए 80, लकड़ी के लिए 0.15 और स्थिर वायु के लिए 0.025। यह फ़ूरियर नियम $q = - κ \nabla T$ के द्वारा ऊष्मा-फ़्लक्स घनत्व $q$ (W/m² में) तय करती है।
$P$	विकिरित शक्ति	$W$	क्षेत्रफल $A$ (m² में) और उत्सर्जकता $ε$ (0 और 1 के बीच) वाली सतह द्वारा परम ताप $T$ पर विकिरित शक्ति: $P = ε σ A T^{4}$ , जहाँ $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/ (m^{2} \cdot K^{4})$ ।

क्विज़

शुरुआती आप एक ठंडा धातु का चम्मच गर्म चाय के कप में डालते हैं। क्या होता है?
1. ठंडक चम्मच से चाय में बहती है
2. ऊष्मा चाय से चम्मच में बहती है, जब तक दोनों का ताप समान न हो जाए
3. ऊष्मा चम्मच से चाय में बहती है
4. कुछ नहीं, क्योंकि धातु ऊष्मा ग्रहण नहीं करती
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उत्तर: B. ऊष्मा चाय से चम्मच में बहती है, जब तक दोनों का ताप समान न हो जाए
ऊर्जा हमेशा अपने-आप गर्म वस्तु से ठंडी वस्तु की ओर बहती है। “ठंडक” का कोई प्रवाह नहीं होता; चाय बस चम्मच को ऊर्जा देती है, जब तक दोनों का ताप बराबर न हो जाए।
शुरुआती कणों के स्तर पर ताप क्या मापता है?
1. कितने कण हैं
2. वस्तु में संचित कुल ऊष्मा
3. कण कितनी तेज़ी से कंपन करते हैं
4. कण कितने बड़े हैं
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उत्तर: C. कण कितनी तेज़ी से कंपन करते हैं
ताप कणों की अनियमित गति की औसत ऊर्जा मापता है। वस्तु में संचित कुल ऊर्जा इस पर भी निर्भर करती है कि कितना पदार्थ है।
शुरुआती गर्म धूप वाले दिन समुद्र ठंडा क्यों रहता है, जबकि समुद्र तट की रेत बहुत गर्म हो जाती है?
1. उतना ही ताप बढ़ाने के लिए जल को रेत से कहीं अधिक ऊर्जा चाहिए
2. रेत में दिन की शुरुआत से ही अधिक ऊष्मा होती है
3. जल सूर्य का प्रकाश सोख नहीं सकता
4. पानी का नमक ऊष्मा को रोक देता है
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उत्तर: A. उतना ही ताप बढ़ाने के लिए जल को रेत से कहीं अधिक ऊर्जा चाहिए
जल की विशिष्ट ऊष्माधारिता बहुत बड़ी है, इसलिए वही धूप उसका ताप रेत की तुलना में कहीं कम बढ़ाती है। लहरें गर्माहट को मीटरों गहरे पानी में भी फैला देती हैं, जबकि रेत की केवल ऊपरी पतली परत गर्म होती है।
मध्यम 2 kg जल (c = 4200 J/(kg·K)) का ताप 20 °C से 30 °C तक बढ़ाने के लिए कितनी ऊष्मा चाहिए?
1. 8.4 kJ
2. 840 kJ
3. 252 kJ
4. 84 kJ
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उत्तर: D. 84 kJ
Q = m·c·ΔT = 2 × 4200 × 10 = 84 000 J = 84 kJ। यदि ताप-परिवर्तन ΔT = 10 K की जगह अंतिम ताप (30) लें, तो 252 kJ मिलता है।
मध्यम एक रोधित फ़्लास्क में 80 °C का 1 kg जल और 20 °C का 1 kg जल मिलाए जाते हैं। अंतिम ताप क्या है?
1. 100 °C
2. 50 °C
3. 60 °C
4. 80 °C
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उत्तर: B. 50 °C
गर्म जल की खोई ऊष्मा ठंडे जल की प्राप्त ऊष्मा के बराबर है: 1 × c × (80 − T) = 1 × c × (T − 20), इसलिए T = 50 °C। तापमान सीधे जोड़े नहीं जाते।
उन्नत ऊष्माधारिता C₁ और C₂ वाली दो वस्तुएँ दर k·(T₁ − T₂) से ऊष्मा का आदान-प्रदान करती हैं। उनका तापांतर कैसे बदलता है?
1. यह 1/τ = k·(1/C₁ + 1/C₂) के साथ घातांकी रूप से घटता है
2. यह रैखिक रूप से घटता है और सीमित समय में शून्य हो जाता है
3. यह C₂ चाहे जो हो, τ = C₁/k के साथ घातांकी रूप से घटता है
4. शून्य पर स्थिर होने से पहले यह दोलन करता है
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उत्तर: A. यह 1/τ = k·(1/C₁ + 1/C₂) के साथ घातांकी रूप से घटता है
दोनों ऊर्जा-संतुलन समीकरणों को घटाने पर dΔT/dt = −k·(1/C₁ + 1/C₂)·ΔT मिलता है, जो एक प्रथम-कोटि रैखिक समीकरण है और जिसका हल घातांकी क्षय है।
उन्नत 20 °C के कमरे में कॉफ़ी 10 मिनट में 90 °C से 55 °C हो जाती है। यदि वह न्यूटन के शीतलन नियम का पालन करती है, तो 10 मिनट और बीतने पर उसका ताप क्या होगा?
1. 20 °C
2. 45 °C
3. 27.5 °C
4. 37.5 °C
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उत्तर: D. 37.5 °C
कमरे के ताप से अधिक का भाग समान समयों में एक ही गुणक से घटता है: 70 K → 35 K 2 गुना घटाव है, इसलिए 35 K → 17.5 K, यानी 37.5 °C। 35 °C की स्थिर गिरावट मान लेना गलत तरीके से 20 °C देगा।
मध्यम 20 °C के कमरे में धातु का हैंडल आपके हाथ को लकड़ी के हैंडल से कहीं अधिक ठंडा लगता है। क्यों?
1. धातु का ताप लकड़ी से कम है
2. लकड़ी स्वयं थोड़ी ऊष्मा उत्पन्न करती है
3. धातु आपकी त्वचा से लकड़ी की तुलना में कहीं तेज़ी से ऊष्मा खींचती है
4. धातु से ठंडक आपके हाथ में बहती है
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उत्तर: C. धातु आपकी त्वचा से लकड़ी की तुलना में कहीं तेज़ी से ऊष्मा खींचती है
कमरे में कई घंटे रहने के बाद दोनों 20 °C पर होते हैं। त्वचा यह महसूस करती है कि वह कितनी तेज़ी से ऊष्मा खो रही है, न कि वस्तु का ताप: धातु, एक अच्छी चालक होने के कारण, गर्म हाथ से लकड़ी की तुलना में कहीं तेज़ी से ऊष्मा खींच लेती है।

$U$	बंधनों में एक परमाणु की प्रत्यास्थ ऊर्जा, $\frac{1}{2} k_{s} x^{2}$ , जहाँ $k_{s}$ बंधनों की दृढ़ता है।	$J$
$x$	एक दिशा में, साम्य-स्थिति से परमाणु का विस्थापन।	$m$
$\frac{1}{2} k_{B} T_{1}$	उच्च ताप $T_{1}$ पर एक दिशा में माध्य प्रत्यास्थ ऊर्जा, रेखा के रूप में।	$J$
$\frac{1}{2} k_{B} T_{2}$	निम्न ताप $T_{2}$ पर एक दिशा में माध्य प्रत्यास्थ ऊर्जा, रेखा के रूप में।	$J$
$x_{1}$	जहाँ स्तर $\frac{1}{2} k_{B} T_{1}$ गड्ढे से मिलता है: $T_{1}$ पर वर्ग-माध्य-मूल विस्थापन, यानी कंपन का विशिष्ट आकार।	$m$
$x_{2}$	$T_{2}$ पर वही; $T_{1} = 2 T_{2}$ होने पर यह $x_{1}$ से $2$ गुना छोटा होता है।	$m$

$T$	किसी ब्लॉक का ताप।	$K$
$t$	ब्लॉकों के संपर्क में आने के बाद का समय।	$s$
$T_{1}$	गर्म ब्लॉक, लोहे, का ताप; यह अपने प्रारंभिक मान से गिरता है।	$K$
$T_{2}$	ठंडे ब्लॉक, एल्युमिनियम, का ताप; यह अपने प्रारंभिक मान से बढ़ता है।	$K$
$T_{e q}$	उभयनिष्ठ अंतिम ताप, वह स्तर जिसे दोनों वक्र छूते हैं।	$K$
$Δ T_{0}$	प्रारंभिक ताप-अंतर $T_{1} - T_{2}$ ; इसके बाद अंतर $e^{- t / τ}$ के अनुसार घटता है।	$K$
$τ$	समय-स्थिरांक: वह समय जिस पर दोनों प्रारंभिक स्पर्श-रेखाएँ $T_{eq}$ तक पहुँचती हैं।	$s$

$T_{1}$	गर्म ब्लॉक का ताप।	$K$
$T_{2}$	ठंडे ब्लॉक का ताप।	$K$
$δ Q$	गर्म ब्लॉक से ठंडे ब्लॉक को जाती ऊष्मा की एक छोटी मात्रा।	$J$
$δ Q / T_{1}$	गर्म ब्लॉक द्वारा खोई एन्ट्रॉपी।	$J/K$
$δ Q / T_{2}$	ठंडे ब्लॉक द्वारा प्राप्त एन्ट्रॉपी।	$J/K$
$d S$	स्थानांतरण से उत्पन्न एन्ट्रॉपी: नीची पट्टी का अतिरिक्त भाग, $δ Q (1/ T_{2} - 1/ T_{1})$ ।	$J/K$

$T$	किसी ब्लॉक का ताप।	$K$
$s$	अब तक लोहे से निकली एन्ट्रॉपी; उतनी ही एल्युमिनियम में जा चुकी है।	$J/K$
$T_{1}$	लोहे का प्रारंभिक ताप, 600 K; लोहा नारंगी-लाल वक्र के अनुसार ठंडा होता है।	$K$
$T_{2}$	एल्युमिनियम का प्रारंभिक ताप, 300 K; यह नीले वक्र के अनुसार गर्म होता है।	$K$
$T_{f}$	उभयनिष्ठ अंतिम ताप, जहाँ दोनों वक्र मिलते हैं।	$K$
$W$	इंजन द्वारा दिया गया कार्य: वक्रों के बीच का क्षेत्रफल।	$J$