ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन

ऊर्जा संरक्षित रहती है, $Δ U = Q - W$ ; ऊष्मा इंजन गर्म से ठंडे की ओर बहती ऊष्मा के एक भाग को कार्य में बदलता है, पूरे को कभी नहीं: अधिकतम केवल $η_{C} = 1 - T_{c} / T_{h}$ भाग।

कार्नो इंजन: गैस गर्म ऊष्मा-भंडार से ऊष्मा लेती है, पिस्टन पर कार्य करती है और अपशिष्ट ऊष्मा ठंडे भंडार को दे देती है।

इस विषय से पहले: गैसों का अणुगति सिद्धांत, कार्य, ऊर्जा और शक्ति

शुरुआती

मुख्य विचार

तापमान बताता है अणु कितनी तेज़ी से काँपते हैं; तापीय ऊर्जा उनकी कुल ऊर्जा है; ऊष्मा गर्म से ठंडे की ओर बहती ऊर्जा है।
ऊर्जा न बनती है, न नष्ट होती है: गैस को दी ऊष्मा उसे गरम करती है, पिस्टन धकेलती है, या दोनों करती है।
कार्य भी ऊष्मा बन सकता है: हाथ रगड़ने या टायर में हवा भरने से चीज़ें गरम हो जाती हैं।
ऊष्मा इंजन ऊष्मा को गर्म से ठंडे की ओर बहने देकर उसका एक भाग कार्य में पकड़ता है; बाकी अपशिष्ट ऊष्मा बनकर निकलता है।
गर्म और ठंडी ओर का अंतर जितना बड़ा, ऊष्मा का उतना बड़ा भाग कार्य बन सकता है।

अपने हाथ आपस में रगड़िए तो वे गरम हो जाते हैं; साइकिल के टायर में हवा भरिए तो पंप गरम हो जाता है। दोनों में कार्य ऊष्मा में बदल गया है।

चरण 1: तीन शब्द। तापमान बताता है कि किसी वस्तु के अणु औसतन कितनी तेज़ी से काँपते हैं। तापीय ऊर्जा उन सभी अणुओं की कुल ऊर्जा है। ऊष्मा चलती हुई ऊर्जा है, जो तापमान के अंतर के कारण गर्म वस्तु से ठंडी वस्तु की ओर बहती है।

चरण 2: पहला नियम। ऊर्जा न कभी बनती है, न नष्ट होती है; वह केवल एक जगह से दूसरी जगह जाती है या रूप बदलती है। बेलन में बंद गैस को गरम कीजिए तो आपकी दी हुई ऊर्जा दो में से एक काम करती है, या थोड़ा-थोड़ा दोनों: गैस को गरम करती है, या गैस को पिस्टन धकेलने देती है, जो कार्य है।

चरण 3: ऊष्मा इंजन। कार का इंजन या बिजलीघर ऊष्मा को गर्म स्थान से ठंडे स्थान की ओर बहने देता है और उसका एक भाग कार्य के रूप में पकड़ लेता है। कुछ ऊष्मा को हमेशा अपशिष्ट के रूप में ठंडी ओर बहना ही पड़ता है: इसीलिए कारों में रेडिएटर और बिजलीघरों में शीतलन टावर होते हैं।

चरण 4: गर्म और ठंडी ओर का अंतर जितना बड़ा होगा, ऊष्मा का उतना बड़ा भाग कार्य बन सकेगा।

खुद जाँचिए: आप गैस को 100 J ऊष्मा देते हैं और वह पिस्टन को धकेलकर 30 J कार्य करती है। बाकी 70 J कहाँ गए? (गैस में, जो अब अधिक गरम है।)

एनीमेशन में बेलन की गैस चार चरण दोहराती है: गरम होकर वह पिस्टन को ऊपर धकेलती है और फैलते-फैलते ठंडी हो जाती है; फिर उसे वापस दबाया जाता है और वह अपशिष्ट ऊष्मा ठंडी ओर दे देती है। ठंडी हुई गैस को दबाने में उतना कार्य नहीं लगता जितना गर्म गैस ने दिया था: यही अंतर उपयोगी कार्य है।

मध्यम

मुख्य विचार

पहला नियम: $Δ U = Q - W$ ; $Q$ गैस में जोड़ी ऊष्मा, $W$ गैस द्वारा किया कार्य।
आदर्श गैस: समतापी में $Δ U = 0$ , अतः $Q = W$ ; रुद्धोष्म में $Q = 0$ , अतः $W = - Δ U$ , फैलती गैस ठंडी होती है।
पूरे चक्र में $Δ U = 0$ , इसलिए कुल कार्य $W = Q_{h} - Q_{c}$ है।
दक्षता $η = W / Q_{h} = 1 - Q_{c} / Q_{h}$ ; एनीमेशन का कार्नो इंजन 500 K और 300 K के बीच 40 % पाता है।
$Q$ और $W$ मार्ग पर निर्भर हैं; $U$ अवस्था फलन है।

ऊष्मा, कार्य और आंतरिक ऊर्जा

ऊष्मागतिकी किसी निकाय (यहाँ बेलन की गैस) में आने-जाने वाली ऊर्जा का हिसाब रखती है, जिसके लिए जूल में मापी तीन राशियाँ हैं। आंतरिक ऊर्जा $U$ गैस में संचित ऊर्जा है; आदर्श गैस के लिए यह उसके अणुओं की गतिज ऊर्जा है। ऊष्मा $Q$ तापमान के अंतर के कारण सीमा पार करती है, और कार्य $W$ तब पार करता है जब कोई बल किसी चीज़ को खिसकाता है, जैसे गैस पिस्टन को धकेलती है।

गैस में ऊष्मा आने पर $Q$ धनात्मक है। $W$ गैस द्वारा किया कार्य है: फैलने पर धनात्मक, पिस्टन द्वारा दबाए जाने पर ऋणात्मक। नियत दाब पर $W = p Δ V$ , इसलिए 100 kPa पर 2 L फैलने वाली गैस $100 kPa \cdot 2 L = 200 J$ कार्य करती है, क्योंकि एक किलोपास्कल गुणा एक लीटर एक जूल होता है।

पहला नियम: ऊर्जा का लेखा-जोखा

ऊष्मा चलती हुई ऊर्जा है, इसलिए ऊष्मा के रूप में आई ऊर्जा या तो गैस में रह जाती है या कार्य बनकर निकल जाती है:
$Δ U = Q - W$

यही ऊष्मागतिकी का पहला नियम है। 1840 के दशक में जूल ने गिरते भारों से चलने वाले पैडलों से पानी गरम किया और पाया कि लगभग 4.2 J कार्य वही करता है जो एक कैलोरी ऊष्मा करती है।

आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए $U = \frac{3}{2} n RT$ , अतः $Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$ । एनीमेशन की गैस में $n R = 2 J/K$ है (लगभग 0.24 mol), इसलिए उसकी आंतरिक ऊर्जा प्रति केल्विन 3 J बदलती है। चार सरल प्रक्रम इसे अलग-अलग बाँटते हैं:

समतापी, नियत $T$ पर: $Δ U = 0$ , अतः $Q = W$ । एनीमेशन के पहले चरण में गैस 1099 J सोखती है और 1099 J कार्य करती है।
रुद्धोष्म, कोई ऊष्मा विनिमय नहीं: $Q = 0$ , अतः $W = - Δ U$ । दूसरे चरण में गैस 600 J कार्य करती है और 500 K से 300 K तक ठंडी हो जाती है; दबाने पर गैस गरम होती है, जैसे साइकिल के पंप में।
नियत आयतन: पिस्टन हिल नहीं सकता, अतः $W = 0$ और पूरी ऊष्मा तापमान बढ़ाती है, $Q = Δ U$ ।
नियत दाब: $W = p Δ V = n R Δ T$ । 1 mol एकपरमाणुक गैस को 10 K गरम करने में $Δ U = 125 J$ और $W = 83 J$ लगते हैं, अतः $Q = 208 J$ ।

ऊष्मा इंजन और दक्षता

ऊष्मा इंजन एक चक्र दोहराता है, जिसमें गैस अपनी आरंभिक अवस्था में लौट आती है, इसलिए हर चक्र में $Δ U = 0$ । वह गर्म भंडार से ऊष्मा $Q_{h}$ लेता है और ठंडे भंडार को ऊष्मा $Q_{c}$ देता है, दोनों धनात्मक राशियाँ मानकर। उसका कुल कार्य और उसकी दक्षता (ली गई ऊष्मा का वह भाग जो कार्य बनता है) ये हैं

$W = Q_{h} - Q_{c}$
$η = \frac{W}{Q _{h}} = 1 - \frac{Q _{c}}{Q _{h}}$

ऊष्मा-भंडार ऐसा पिंड है जो इतना बड़ा हो कि उसका तापमान न बदले, जैसे भट्ठी या नदी। निरपेक्ष तापमान $T_{h}$ और $T_{c}$ वाले भंडारों के बीच कोई इंजन कार्नो दक्षता से बेहतर नहीं हो सकता (विशेषज्ञ स्तर में कारण दिखाया गया है):
$η_{C} = 1 - \frac{T _{c}}{T _{h}}$
कुछ ऊष्मा हमेशा बाहर फेंकनी पड़ती है; तापमान का अंतर जितना बड़ा, उतना बड़ा भाग कार्य बन सकता है।

हल सहित उदाहरण: एनीमेशन का इंजन

एनीमेशन का इंजन $T_{h} = 500 K$ और $T_{c} = 300 K$ के बीच कार्नो चक्र चलाता है। चरण 1 में गैस गर्म भंडार पर 1 L से 3 L तक समतापी फैलती है। नियत तापमान पर आदर्श गैस कार्य $n RT ln (V_{f} / V_{i})$ करती है (विशेषज्ञ स्तर में व्युत्पन्न), और वह सब ऊष्मा के रूप में मिलता है:
$Q_{h} = 2 \cdot 500 \cdot ln 3 = 1098.6 J$

चरण 2 में ऊष्मारोधी गैस आगे 6.46 L तक फैलती है और 300 K तक ठंडी होते हुए $W = - Δ U = 3 \cdot 200 = 600 J$ कार्य करती है। चरण 3 में ठंडे भंडार पर उसे 6.46 L से 2.15 L तक, फिर 3 गुना, दबाया जाता है और वह $Q_{c} = 2 \cdot 300 \cdot ln 3 = 659.2 J$ बाहर देती है। रुद्धोष्म चरण 4 में 600 J लगते हैं और 1 L तथा 500 K लौट आते हैं। तब
$W = Q_{h} - Q_{c} = 1098.6 - 659.2 = 439.4 J, η = \frac{439.4}{1098.6} = 40 %$

यह ठीक $1 - 300/500$ है: कार्नो इंजन सीमा तक पहुँचता है। दोनों रुद्धोष्म चरण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, $+ 600$ और $- 600 J$ , क्योंकि प्रत्येक में वही 200 K का अंतर है।

चक्र को पढ़ना: पाठ्यांक और p–V आरेख

पाठ्यांक चक्र शुरू होने से अब तक के जोड़ हैं, जूल तक पूर्णांकित; $Δ U = Q - W$ हर क्षण सत्य रहता है। चरण 1 में लाल $Q_{h}$ तीर चालू है, $T$ 500 K पर रहता है, और $Q$ तथा $W$ साथ-साथ 1099 J तक चढ़ते हैं। चरण 2 में $Q$ स्थिर रहता है जबकि $W$ 1699 J तक चढ़ता है और $Δ U$ घटकर $- 600 J$ हो जाता है। चरण 3 में नीला $Q_{c}$ तीर आता है, और $Q$ तथा $W$ साथ-साथ घटकर 439 J और 1039 J हो जाते हैं। चरण 4 में $Q$ 439 J पर रहता है, $W$ घटकर 439 J हो जाता है और $Δ U$ फिर शून्य: सोखी गई कुल ऊष्मा पूरी कार्य बन गई। हरा $W$ तीर तब ऊपर रहता है जब गैस पिस्टन को धकेलती है और तब नीचे जब पिस्टन गैस को धकेलता है।

दाब–आयतन आरेख पर किसी चरण का कार्य उसके वक्र के नीचे का क्षेत्रफल होता है। लूप के ऊपरी भाग से जाते समय गैस 1698.6 J कार्य करती है; निचले भाग से लौटते समय पिस्टन उस पर 1259.2 J कार्य करता है, इसलिए लूप कुल 439.4 J घेरता है।

हल सहित उदाहरण: बिजलीघर

एक बिजलीघर 527 °C (800 K) पर भाप बनाता है, उसे 27 °C (300 K) के नदी जल से संघनित करता है, और अपनी 40 % ऊष्मा को 600 MW विद्युत शक्ति में बदलता है। चक्र के समीकरण प्रति सेकंड के लिए भी, मेगावाट में, सही हैं।

कार्नो सीमा $1 - 300/800 = 62.5 %$ है, इसलिए 40 % संभव है। ईंधन को $Q_{h} = W / η = 600/0.40 = 1500 MW$ देना होगा, और $Q_{c} = 1500 - 600 = 900 MW$ अपशिष्ट ऊष्मा बनकर निकलती है, बिजली से भी अधिक। पानी की विशिष्ट ऊष्मा 4186 J/(kg·K) है, इसलिए नदी को केवल 10 K गरम करने में हर सेकंड $900 \times 1 0^{6} / (4186 \cdot 10) \approx 21500 kg$ पानी लगता है। पूर्ण कार्नो इंजन को भी $600/0.625 = 960 MW$ ऊष्मा चाहिए होती और वह 360 MW बाहर फेंकता।

सामान्य भूलें

ऊष्मा किसी वस्तु में संचित नहीं रहती; वह पारगमन में ऊर्जा है, इसलिए $Q$ और $W$ मार्ग पर निर्भर हैं। 1 L, 1000 kPa से 3 L, 333 kPa तक गैस पहले नियत दाब पर फैले तो 2000 J कार्य करती है, पहले नियत आयतन पर ठंडी हो तो केवल 667 J, और दोनों बार $Δ U = 0$ ।
एक ही चिह्न-परिपाटी रखिए। रसायनशास्त्री अक्सर गैस पर किया कार्य गिनते हैं और $Δ U = Q + W$ लिखते हैं; दोनों तरह 250 J ऊष्मा अंदर और 90 J कार्य बाहर से $Δ U = 160 J$ आता है।
रुद्धोष्म का अर्थ समतापी नहीं: ऊष्मा विनिमय न होने पर चरण 2 की गैस 200 K ठंडी होती है। न ही समतापी का अर्थ ऊष्मा का न होना है: चरण 1 में गैस 1099 J सोखती है।
तापमान केल्विन में रखिए। 100 °C और 20 °C के बीच सीमा $1 - 293/373 = 21 %$ है, $1 - 20/100 = 80 %$ नहीं।
अपशिष्ट ऊष्मा डिज़ाइन की कमी नहीं है: 500 K और 300 K के बीच घर्षण-रहित इंजन को भी अपनी कम से कम 60 % ऊष्मा बाहर फेंकनी पड़ती है।

यह कहाँ मिलता है

कार के इंजन ईंधन की ऊर्जा का लगभग चौथाई से एक तिहाई कार्य में बदलते हैं; भाप बिजलीघर लगभग 40 % तक पहुँचते हैं, और संयुक्त-चक्र गैस संयंत्र बहुत अधिक गर्म गैस से शुरू करके लगभग 60 % तक। प्रशीतक और ऊष्मा पंप उलटे चलाए गए ऊष्मा इंजन हैं। ईंधन सेल और बैटरियाँ ऊष्मा से गुज़रे बिना विद्युत कार्य बनाती हैं, इसलिए कार्नो सीमा उन पर लागू नहीं होती। अगला पाठ, ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी, बताता है कि हर इंजन को ऊष्मा क्यों बाहर फेंकनी पड़ती है और अनुपात $Q / T$ को एन्ट्रॉपी में बदलता है।

उन्नत

मुख्य विचार

$d U = δ Q - δ W$ : $U$ अवस्था फलन ( $\oint d U = 0$ ), $Q$ और $W$ नहीं; चक्र कुल ऊष्मा को कार्य $W = \oint p d V$ में बदलता है।
केल्विन का कथन: कोई चक्र एक ही तापमान पर ली ऊष्मा को बिना अन्य परिवर्तन के कार्य में नहीं बदल सकता।
अतः कोई इंजन उत्क्रमणीय इंजन से बेहतर नहीं; $T_{h}$ और $T_{c}$ के बीच सब उत्क्रमणीय इंजनों की दक्षता समान, $η_{C} = 1 - T_{c} / T_{h}$ ।
$Q_{h} / T_{h} = Q_{c} / T_{c}$ : उत्क्रमणीय इंजन एन्ट्रॉपी अपरिवर्तित आगे देता है; वास्तविक इंजन एन्ट्रॉपी बनाते हैं और $η_{C}$ से नीचे रहते हैं।
उलटा चलाने पर यह प्रशीतक है: $COP = Q_{c} / W \leq T_{c} / (T_{h} - T_{c})$ , जो 1 से अधिक हो सकता है।

ऊष्मा और कार्य मार्ग पर निर्भर हैं

इंजन किसी गैस को अवस्थाओं के बंद लूप में बार-बार घुमाकर ऊष्मा को कार्य में बदलता है। यह पूछने से पहले कि यह कितना दक्ष हो सकता है, हमें देखना होगा कि लूप कोई कार्य दे ही क्यों पाता है। कारण यह है कि ऊर्जा के विपरीत ऊष्मा और कार्य उस मार्ग पर निर्भर करते हैं जिससे गैस एक अवस्था से दूसरी में जाती है।

पूरे समय गैस वही है जो एनीमेशन में है: एकपरमाणुक आदर्श गैस, लगभग 0.24 mol, ताकि $n R = 2.00 J/K$ हो, जहाँ $n$ गैस की मात्रा है और $R$ गैस नियतांक। उसकी अवस्था दाब $p$ और आयतन $V$ से तय होती है, और तब तापमान $p V = n RT$ से मिलता है। उसकी आंतरिक ऊर्जा $U$ , अर्थात उसके परमाणुओं की कुल गतिज ऊर्जा, $U = \frac{3}{2} n RT$ है। गैस में आने वाली ऊष्मा को $Q$ और गैस द्वारा किए कार्य को $W$ लिखिए। परिवर्तन अर्धस्थैतिक कहलाता है जब वह इतना धीमा हो कि गैस एकसमान रहे, ताकि हर क्षण $p$ और $T$ के निश्चित मान हों। एक छोटे अर्धस्थैतिक चरण के लिए पहला नियम, ऊर्जा संरक्षण, यह है
$d U = δ Q - δ W, δ W = p d V$
दूसरा सूत्र बल गुणा दूरी है: गैस क्षेत्रफल $A$ के पिस्टन को बल $p A$ से धकेलती है, और पिस्टन $d x$ बाहर जाए तो गैस कार्य $p A d x = p d V$ करती है। फैलने पर यह धनात्मक और दबने पर ऋणात्मक होता है।

आंतरिक ऊर्जा अवस्था का फलन है: $p$ और $V$ ज्ञात हों तो $U$ भी ज्ञात है (आदर्श गैस के लिए केवल $T$ ही इसे तय करता है)। अतः उसका परिवर्तन $d U$ यथार्थ अवकल है, और किसी भी बंद लूप में $\oint d U = 0$ । ऊष्मा और कार्य ऐसे नहीं हैं। चिह्न $δ$ उस छोटी मात्रा को दर्शाता है जिसका कुल योग मार्ग पर निर्भर है, इसलिए "गैस में निहित ऊष्मा" जैसे वाक्यांश का कोई अर्थ नहीं। चित्र 1 यह सीधे दिखाता है।

चित्र 1 में अवस्था 1 (1 L, 1000 kPa) से अवस्था 2 (3 L, 333 kPa) तक गैस के तीन मार्ग हैं। हर पैनल में $p$ ऊर्ध्वाधर और $V$ क्षैतिज अक्ष पर है। हर मार्ग के नीचे छायांकित क्षेत्रफल देखिए। हर छोटा चरण कार्य में $p d V$ जोड़ता है, यानी ऊँचाई $p$ और चौड़ाई $d V$ की पतली पट्टी, इसलिए मार्ग का कार्य उसके नीचे का क्षेत्रफल है। एक किलोपास्कल गुणा एक लीटर $1 0^{3} Pa \cdot 1 0^{- 3} m^{3} = 1 J$ है, अतः इन इकाइयों में क्षेत्रफल सीधे जूल में पढ़े जाते हैं।

मार्ग $a$ समतापी $p V = n RT = 2.00 \cdot 500 = 1000 J$ पर चलता है, जो दोनों अवस्थाओं से गुज़रने वाला 500 K का नियत-तापमान वक्र है। तीसरे खंड में निकाला गया उसका क्षेत्रफल $W_{a} = 1098.6 J$ है। मार्ग $b$ पहले 1000 kPa पर फैलता है और फिर नियत आयतन पर ठंडा होता है; ठंडा होने वाला चरण ऊर्ध्वाधर है और कोई क्षेत्रफल नहीं जोड़ता, इसलिए मार्ग $b$ के नीचे ऊँचाई 1000 kPa और चौड़ाई 2 L का आयत है: $W_{b} = 2000 J$ । मार्ग $c$ पहले नियत आयतन पर ठंडा होता है और फिर 333 kPa पर फैलता है, जिससे 333 kPa ऊँचाई का आयत बचता है: $W_{c} = 667 J$ ।

दोनों अवस्थाएँ 500 K समतापी पर हैं, इसलिए हर मार्ग पर $Δ U = 0$ , और पहला नियम $Q = W$ देता है: मार्ग के अनुसार गैस 1098.6 J, 2000 J या 667 J ऊष्मा लेती है। तीनों पैनलों में अंतिम अवस्थाएँ समान हैं, फिर भी कार्य और ऊष्मा भिन्न हैं। वे मार्ग के हैं, अवस्थाओं के नहीं।

चक्र इसी स्वतंत्रता का लाभ उठाता है। पूरे लूप के बाद गैस वहीं लौट आती है जहाँ से चली थी, इसलिए $\oint d U = 0$ और $\oint δ Q = \oint δ W$ । कार्य मार्ग पर निर्भर होने से एक मार्ग से जाने और दूसरे से लौटने पर कुल कार्य बचता है, जो लूप से घिरा क्षेत्रफल है:
$W = \oint p d V$
इस कुल कार्य की कीमत ऊष्मा की कुल खपत से चुकती है। हर ऊष्मा इंजन इसी तरह काम करता है।

p–V आरेख पर कार्नो लूप

कार्नो चक्र वह लूप है जो केवल दो निश्चित तापमानों पर ऊष्मा का विनिमय करता है। यह हर इंजन की ऊपरी सीमा तय करता है, इसलिए इसे ध्यान से पढ़ना सार्थक है। इसकी ऊष्मा दो भंडारों से आती है, ऐसे पिंड जो इतने बड़े हैं कि ऊष्मा देने-लेने पर उनका तापमान नहीं बदलता: एक गर्म $T_{h} = 500 K$ पर और एक ठंडा $T_{c} = 300 K$ पर। लूप दो प्रकार के चरणों से बना है। समतापी पर गैस भंडार से जुड़ी रहती है और अपना तापमान बनाए रखती है। रुद्धोष्म पर गैस ऊष्मारोधी परिवेश में है, इसलिए कोई ऊष्मा नहीं बहती।

चित्र 2 में एनीमेशन का कार्नो लूप पैमाने पर है। कोने 1 से दक्षिणावर्त चलिए। 1 से 2 तक गैस गर्म समतापी पर, $T_{h}$ पर, फैलती है और गर्म भंडार से ऊष्मा $Q_{h}$ लेती है। 2 से 3 तक वह रुद्धोष्म पर फैलती रहती है; ऊष्मा न आने से यह कार्य वह अपनी आंतरिक ऊर्जा से करती है, इसलिए $T_{c}$ तक ठंडी हो जाती है। 3 से 4 तक वह ठंडे समतापी पर, $T_{c}$ पर, दबती है और ठंडे भंडार को ऊष्मा $Q_{c}$ दे देती है। 4 से 1 तक दूसरा रुद्धोष्म उसे बिना ऊष्मा प्रवाह के दबाता है, और उस पर किया कार्य उसे फिर $T_{h}$ तक गरम कर देता है।

कोने ये हैं: $V_{1} = 1 L$ और 1000 kPa, $V_{2} = 3 L$ और 333 kPa, $V_{3} = 6.46 L$ और 93 kPa, तथा $V_{4} = 2.15 L$ और 279 kPa; $V_{3}$ और $V_{4}$ कहाँ से आए, यह अगला खंड दिखाता है। दोनों समतापी अतिपरवलय $p V = 1000 J$ और $p V = n R T_{c} = 600 J$ हैं।

अब किसी कोने पर वक्रों की तुलना कीजिए। रुद्धोष्म $p V^{γ} = const$ का पालन करता है (अगले खंड में व्युत्पन्न), जहाँ $γ$ , नियत दाब और नियत आयतन पर ऊष्मा धारिताओं का अनुपात, एकपरमाणुक गैस के लिए 5/3 है। अवकलन करने पर उसकी ढाल $d p / d V = - γ p / V$ है, जबकि उसी बिंदु से गुज़रते समतापी की $- p / V$ । अतः जहाँ दोनों मिलते हैं, रुद्धोष्म 5/3 गुना तीखा गिरता है। इसीलिए चित्र 2 में हर रुद्धोष्म गर्म समतापी से ठंडे समतापी तक कटता हुआ उतरता है और लूप को बंद कर देता है।

कार्य को क्षेत्रफलों से पढ़िए। दोनों प्रसार चरणों, 1 से 2 और 2 से 3, के नीचे क्षेत्रफल $1098.6 + 600 = 1698.6 J$ है; दोनों संपीडनों, 3 से 4 और 4 से 1, के नीचे $659.2 + 600 = 1259.2 J$ । उनके बीच छायांकित लूप कुल कार्य है, $W = 1698.6 - 1259.2 = 439.4 J$ । दोनों रुद्धोष्म क्षेत्रफल बराबर, 600 J प्रत्येक, हैं, क्योंकि रुद्धोष्म पर $Q = 0$ है, अतः कार्य $U$ के परिवर्तन के बराबर है, और दोनों रुद्धोष्म $U$ को $\frac{3}{2} n R (T_{h} - T_{c}) = 1.5 \cdot 2.00 \cdot 200 = 600 J$ बदलते हैं। लूप दक्षिणावर्त चलता है, इसलिए गैस उच्च दाब पर फैलते समय उससे अधिक कार्य करती है जितना निम्न दाब पर दबते समय उस पर होता है। वामावर्त चलाने पर वही लूप प्रशीतक है।

आदर्श गैस के लिए कार्नो दक्षता की व्युत्पत्ति

इंजन की दक्षता उसकी ली गई ऊष्मा का वह भाग है जो कार्य बनकर निकलता है, $η = W / Q_{h}$ । एक चक्र में $Δ U = 0$ , अतः $W = Q_{h} - Q_{c}$ और $η = 1 - Q_{c} / Q_{h}$ । इसलिए सब कुछ अनुपात $Q_{c} / Q_{h}$ पर टिका है, और चित्र 2 के चरण इसे तीन क़दमों में देते हैं।

पहला, समतापी। आदर्श गैस के लिए $U$ केवल $T$ पर निर्भर है, अतः समतापी पर $d U = 0$ और $δ Q = δ W = p d V$ । $p = n RT / V$ और $T$ नियत लेने पर,
$Q = \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{n RT}{V} d V = n RT ln \frac{V _{f}}{V _{i}}$
चित्र 2 में $V_{1}$ से $V_{2}$ तक गर्म समतापी $Q_{h} = n R T_{h} ln (V_{2} / V_{1}) = 1000 ln 3 = 1098.6 J$ लेता है। ठंडा समतापी $V_{3}$ से $V_{4}$ तक संपीडन है, इसलिए गैस ऊष्मा बाहर देती है; धनात्मक राशि गिनें तो $Q_{c} = n R T_{c} ln (V_{3} / V_{4})$ ।

दूसरा, रुद्धोष्म। रुद्धोष्म पर $δ Q = 0$ , अतः $d U = - p d V$ । $d U = \frac{3}{2} n R d T$ और $p = n RT / V$ रखिए, फिर $n RT$ से भाग दीजिए:
$\frac{3}{2} \frac{d T}{T} = - \frac{d V}{V}$
समाकलन से $\frac{3}{2} ln T + ln V = const$ , यानी $T V^{2/3} = const$ । किसी भी आदर्श गैस के लिए यही क़दम $T V^{γ - 1} = const$ देते हैं, और $T$ की जगह $p V / n R$ रखने पर यह $p V^{γ} = const$ बन जाता है, यहाँ $γ = 5/3$ ।

तीसरा, आयतन। 2 से 3 का रुद्धोष्म $T_{h}$ और आयतन $V_{2}$ से शुरू होकर $T_{c}$ और आयतन $V_{3}$ पर समाप्त होता है, अतः $T_{h} V_{2}^{2/3} = T_{c} V_{3}^{2/3}$ , जिससे $V_{3} / V_{2} = (T_{h} / T_{c})^{3/2}$ मिलता है। 4 से 1 का रुद्धोष्म वही दो तापमान जोड़ता है, इसलिए $V_{4} / V_{1}$ वही गुणक है। एक अनुपात को दूसरे से भाग देने पर,
$\frac{V _{3}}{V _{4}} = \frac{V _{2}}{V _{1}}$
एनीमेशन में गुणक $(5/3)^{3/2} = 2.15$ है: वह 3 L को 6.46 L और 1 L को 2.15 L बनाता है, यानी चित्र 2 में दोनों रुद्धोष्मों के आयतन-चरण।

अतः दोनों लघुगणक बराबर हैं, $ln (V_{3} / V_{4}) = ln (V_{2} / V_{1}) = ln 3$ , इसलिए $Q_{c} = 600 ln 3 = 659.2 J$ , और $Q_{h}$ को $Q_{c}$ से भाग देने पर केवल तापमान बचते हैं:
$\frac{Q _{h}}{T _{h}} = \frac{Q _{c}}{T _{c}} (Carnot)$
$η_{C} = 1 - \frac{T _{c}}{T _{h}}$
एनीमेशन में दोनों अनुपात $n R ln 3 = 2.197 J/K$ के बराबर हैं, और दक्षता $1 - 300/500 = 40 %$ है, चाहे आयतन या गैस की मात्रा कुछ भी हो। घातांक $γ$ भी हट गया: द्विपरमाणुक गैस को अन्य आयतन चाहिए होते पर वह उसी दक्षता पर पहुँचती। यह पहला संकेत है कि यह परिणाम किसी विशेष पदार्थ का नहीं है, और अगले दो खंड इसे सिद्ध करते हैं।

उत्क्रमणीय इंजन और दूसरा नियम

कोई प्रक्रम उत्क्रमणीय है यदि परिस्थितियों में मनमाने ढंग से छोटा परिवर्तन उसे उन्हीं अवस्थाओं से होकर उलटा चला सके, जिसमें ऊष्मा और कार्य का हर प्रवाह उलट जाए। इसके लिए दो बातें चाहिए: घर्षण नहीं, और ऊष्मा केवल नगण्य तापांतर के पार बहे। कार्नो का हर चरण इस पर खरा उतरता है। समतापी पर गैस भंडार के अपने ही तापमान पर होती है, और रुद्धोष्म पर कोई ऊष्मा बहती ही नहीं। इसलिए इंजन उलटा चल सकता है, 439.4 J कार्य लगाकर ठंडे भंडार से 659.2 J लेकर गर्म भंडार को 1098.6 J दे सकता है।

दूसरे नियम के लिए एक और तत्व चाहिए, यह कथन कि प्रकृति क्या मना करती है। केल्विन के रूप में, जिसे बाद में प्लांक ने परिष्कृत किया: कोई चक्र एक ही भंडार से ऊष्मा लेकर उसे बिना किसी अन्य परिवर्तन के कार्य में नहीं बदल सकता। यह साधारण-सा लगता है, पर अगला खंड दिखाता है कि अकेला यही किसी भी इंजन की सर्वोत्तम दक्षता तय कर देता है.

कोई इंजन उत्क्रमणीय इंजन से बेहतर क्यों नहीं

तर्क एक विचार-प्रयोग है। मान लीजिए कोई ऐसा इंजन $A$ बनाता है जो उन्हीं दो भंडारों के बीच कार्नो इंजन से बेहतर काम करे। उसे उलटे चलते कार्नो इंजन $C$ से जोड़िए और जो होता है उसका हिसाब लगाइए।

चित्र 3 में गर्म भंडार $T_{h} = 500 K$ पर ऊपर है और ठंडा $T_{c} = 300 K$ पर नीचे। ऊर्ध्वाधर तीर ऊष्मा ले जाते हैं, क्षैतिज तीर कार्य। इंजन $A$ गर्म भंडार से वही $Q_{h} = 1098.6 J$ लेता है जो कार्नो इंजन लेता, पर माना जाता है कि वह अधिक कार्य देता है, $W_{A} = 500 J$ , यानी 45.5 % दक्षता। तब पहले नियम से वह ठंडे भंडार को केवल $Q_{A} = 1098.6 - 500 = 598.6 J$ देता है। अब उस कार्य में से $W_{C} = 439.4 J$ प्रशीतक के रूप में चलते $C$ को दीजिए: वह ठंडे भंडार से $Q_{c} = 659.2 J$ लेता है और गर्म भंडार को $Q_{h} = 1098.6 J$ देता है।

तीरों का अनुसरण कीजिए और हिसाब रखिए। गर्म भंडार $A$ को $Q_{h}$ देता है और $C$ से वही $Q_{h}$ वापस पाता है, इसलिए वह ठीक वैसा ही रहता है। ठंडा भंडार $Q_{A}$ पाता है और $Q_{c}$ देता है, यानी कुल हानि $Q_{c} - Q_{A} = 659.2 - 598.6 = 60.6 J$ । इसी बीच $W_{A} - W_{C} = 500 - 439.4 = 60.6 J$ कार्य बच जाता है। साथ लेने पर दोनों मशीनें केवल ठंडे भंडार की ऊष्मा को बिना अन्य परिवर्तन के कार्य में बदल देती हैं। दूसरा नियम ठीक यही मना करता है, इसलिए इंजन $A$ अस्तित्व में नहीं हो सकता: कोई इंजन उत्क्रमणीय इंजन से बेहतर नहीं।

अब $A$ को भी उत्क्रमणीय मानिए। यदि वह $C$ से कम दक्ष होता, तो भूमिकाएँ बदलकर, $C$ से $A$ को उलटा चलवाने पर, वही तर्क फिर एक भंडार से कार्य देता। इसलिए एक ही दो तापमानों के बीच सब उत्क्रमणीय इंजनों की दक्षता समान है, कार्यकारी पदार्थ कुछ भी हो, और आदर्श गैस की गणना उसका मान पहले ही पा चुकी है: $η_{C} = 1 - T_{c} / T_{h}$ ।

यह सार्वभौमिकता बिना किसी तापमापी पदार्थ के निरपेक्ष तापमान परिभाषित करती है: दो पिंडों के बीच चलते किसी भी उत्क्रमणीय इंजन के लिए $T_{h} / T_{c} = Q_{h} / Q_{c}$ रखिए। आदर्श गैस की गणना दिखाती है कि यह पैमाना आदर्श-गैस पैमाने के अनुपाती है, इसलिए एक ही इकाई चुनने पर दोनों एकमत हैं। शून्यवाँ नियम (जो दो पिंड तीसरे के साथ साम्य में हों, वे आपस में साम्य में होते हैं) ही "भंडार का तापमान" को सार्थक नाम बनाता है।

अंत में, $Q_{h} / T_{h} = Q_{c} / T_{c}$ को संतुलन की तरह पढ़िए। इंजन गर्म भंडार से राशि $Q / T$ निकालता है और उतनी ही बिना बदले ठंडे भंडार को दे देता है। वह राशि एन्ट्रॉपी का परिवर्तन है, जो पाठ “ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी” का विषय है। एनीमेशन के उन्नत स्तर में पंक्ति $Δ S_{tot} = Q_{c} / T_{c} - Q_{h} / T_{h} = 0$ दर्ज करती है कि 2.197 J/K गर्म ओर से निकलकर ठंडी ओर पहुँचता है, कुछ बनाया नहीं जाता।

हल सहित प्रश्न: रुद्धोष्म-रहित चक्र

कार्नो का एक नियम तोड़ने की क्या कीमत है? एनीमेशन की गैस, भंडार और $V_{1} = 1 L$ से $V_{2} = 3 L$ के बीच के समतापी रखिए, पर रुद्धोष्मों को नियत-आयतन चरणों से बदल दीजिए: पिस्टन को कस दीजिए और बेलन को दूसरे भंडार पर ले जाइए। कार्य और दक्षता ज्ञात कीजिए, और यह भी कि कमी कहाँ जाती है।

चित्र 4 नया लूप पैमाने पर दिखाता है। 1 से 2 तक गैस गर्म समतापी ( $T_{h}$ ) पर फैलती है और 3 से 4 तक ठंडे ( $T_{c}$ ) पर दबती है, ठीक पहले जैसे, इसलिए समतापी अब भी 500 K पर 1098.6 J अंदर और 300 K पर 659.2 J बाहर देते हैं। दोनों ऊर्ध्वाधर चरण नए हैं। नियत आयतन पर गैस कोई कार्य नहीं करती, इसलिए उसकी विनिमय की गई ऊष्मा उसकी आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर है।

2 से 3 तक, 3 L पर, गैस 500 K से 300 K तक ठंडी होती है और उसका दाब 333 kPa से 200 kPa हो जाता है; वह ठंडे भंडार को $Q_{23} = \frac{3}{2} n R \cdot 200 = 600 J$ देती है। 4 से 1 तक, 1 L पर, फिर गरम होने के लिए उसे गर्म भंडार से $Q_{41} = 600 J$ लेना होगा, और उसका दाब 600 kPa से 1000 kPa हो जाता है। ऊर्ध्वाधर चरण क्षेत्रफल नहीं जोड़ते, इसलिए कुल कार्य कार्नो जितना ही है, पर अब गर्म भंडार $1098.6 + 600 = 1698.6 J$ देता है:
$W = 1098.6 - 659.2 = 439.4 J, η = \frac{439.4}{1098.6 + 600} = 25.9 %$

हानि सीमित तापांतर के पार ऊष्मा बहने से होती है, और एन्ट्रॉपी उसे मापती है। समतापी पर एन्ट्रॉपी प्रवाह कार्नो चक्र की तरह ठीक कट जाते हैं। ऊर्ध्वाधर चरणों पर नहीं। 1 L पर गरम होते समय गैस एन्ट्रॉपी $\int \frac{3}{2} n R d T / T = \frac{3}{2} n R ln (5/3) = 1.53 J/K$ पाती है, पर गर्म भंडार, जो स्थिर 500 K पर अपने 600 J देता है, केवल $600/500 = 1.20 J/K$ खोता है। 3 L पर ठंडी होते समय गैस 1.53 J/K खोती है, पर ठंडा भंडार $600/300 = 2.00 J/K$ पाता है। गैस अपनी आरंभिक अवस्था में लौटती है, इसलिए उसके अपने परिवर्तन कट जाते हैं, और हर चक्र भंडारों में $2.00 - 1.20 = 0.80 J/K$ एन्ट्रॉपी बनाता है।

खोया कार्य $T_{c}$ गुणा बनी एन्ट्रॉपी है, $300 \cdot 0.80 = 240 J$ । जाँचिए: उसी 1698.6 J पर कार्नो इंजन $0.40 \cdot 1698.6 = 679.4 J$ देता, और $679.4 - 439.4 = 240 J$ ठीक। उपाय पुनर्योजी (regenerator) है, एक सरंध्र ऊष्मा-भंडारक जो गैस के ठंडे होते समय 600 J परत-दर-परत सोख लेता है और गैस के गरम होते समय उसी तरह लौटा देता है। हर परत लगभग अपने तापमान की गैस से मिलती है, इसलिए एन्ट्रॉपी नहीं बनती, गर्म भंडार को केवल समतापी का 1098.6 J देना पड़ता है, और दक्षता फिर 40 % हो जाती है। स्टर्लिंग इंजन के पीछे यही विचार है।

प्रशीतक और ऊष्मा पंप

उलटा चलाने पर कार्नो इंजन ऊष्मा को ठंडे से गर्म की ओर, चढ़ाई पर, पंप करता है। प्रशीतक को निष्पादन गुणांक $COP$ से आँका जाता है, यानी प्रति जूल कार्य ठंडी ओर से निकाली ऊष्मा, $Q_{c} / W$ । $W = Q_{h} - Q_{c}$ और कार्नो अनुपात $Q_{h} / Q_{c} = T_{h} / T_{c}$ से सर्वोत्तम संभव मान है
$COP = \frac{Q _{c}}{W} \leq \frac{T _{c}}{T _{h} - T _{c}}$
एनीमेशन में $659.2/439.4 = 1.5 = 300/200$ । ऊष्मा पंप की तरह वही मशीन गर्म ओर $Q_{h}$ पहुँचाती है: $1098.6/439.4 = 2.5$ जूल ऊष्मा प्रति जूल कार्य, जो सीमा $T_{h} / (T_{h} - T_{c}) = 500/200$ है। 1 से अधिक मान कोई नियम नहीं तोड़ते: कार्य को जिस ऊष्मा को ले जाना है उसे बनाना नहीं पड़ता, केवल ऊपर उठाना पड़ता है।

वास्तविक इंजन पीछे क्यों रह जाते हैं

वास्तविक इंजन घर्षण के अलावा भी कारणों से हारते हैं। अधिकांश ऊष्मा सबसे गर्म तापमान पर पूरी लेने के बजाय तापमानों के एक परास में लेते हैं। आदर्श पेट्रोल-इंजन (ऑटो) चक्र दो रुद्धोष्मों को नियत आयतन पर गरम और ठंडा करने वाले चरणों से जोड़ता है। उसकी दक्षता $η = 1 - r^{1 - γ}$ है, जहाँ संपीडन अनुपात $r$ अधिकतम आयतन भाग न्यूनतम आयतन है: वायु ( $γ = 1.4$ ) के साथ $r = 10$ के लिए 60 %। यह उसके चरम गैस तापमान, लगभग 2500 K, और 300 K की अंतर्ग्रहण वायु के बीच कार्नो मान, लगभग 90 %, से बहुत कम है। घर्षण और ऊष्मा-रिसाव सहित वास्तविक पेट्रोल इंजन अधिकतम 35–40 % के आसपास पहुँचते हैं।

गति भी मायने रखती है। उत्क्रमणीय इंजन को नगण्य तापांतर के पार ऊष्मा विनिमय करना होता है, इसलिए वह अनंत धीमी गति से चलता है और कोई शक्ति नहीं देता। जो इंजन ऊष्मा के भीतर-बाहर बहने की गति से सीमित है, वह अपनी अधिकतम शक्ति $η = 1 - T_{c} / T_{h}$ के पास देता है, जो 800 K और 300 K के बीच 39 % है, और वास्तविक भाप बिजलीघर जो पाते हैं उसके निकट है।

वैधता की सीमाएँ

चरणों के सूत्र अर्धस्थैतिक परिवर्तन मानते हैं। दाब लगभग ध्वनि की चाल से एक-सा होता है, 10 cm के बेलन को लगभग 0.2 ms में पार करते हुए, जो 3000 rpm पर कार इंजन के एक चरण के 10 ms के भीतर आराम से है। ऊष्मा कहीं अधिक धीमी फैलती है, इसलिए तेज़ चरण लगभग रुद्धोष्म होते हैं और सचमुच समतापी चरण अव्यावहारिक; वास्तविक चक्र ऊष्मा लगभग नियत आयतन या नियत दाब पर जोड़ते हैं।

$U = \frac{3}{2} n RT$ और $γ = 5/3$ तनु एकपरमाणुक गैस के लिए ही सही हैं। कमरे के तापमान के निकट वायु का $γ = 1.4$ है, और घनी गैस में $U$ आयतन पर भी निर्भर है, फिर भी $η_{C}$ अप्रभावित रहता है, जैसा चित्र 3 का तर्क सुनिश्चित करता है। पहले नियम का कोई ज्ञात अपवाद नहीं है, पर सापेक्षता में ऊर्जा में विरामी ऊर्जा भी आती है। 1 kg पेट्रोल जलाने से लगभग 46 MJ निकलता है, इसलिए उत्पाद पेट्रोल और ऑक्सीजन से $46 \times 1 0^{6} / (3.00 \times 1 0^{8})^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 10} kg$ हल्के होते हैं, जो तौलने के लिए बहुत कम है।

नियम औसतों का वर्णन भी करते हैं। मुट्ठी भर अणुओं के लिए $Q$ और $W$ चक्र-दर-चक्र उतार-चढ़ाव करते हैं, और एक चक्र कार्नो को हरा भी सकता है। $N$ अणुओं के लिए आपेक्षिक उतार-चढ़ाव $1/ N$ की तरह घटते हैं, एनीमेशन की गैस के $1.4 \times 1 0^{23}$ परमाणुओं के लिए लगभग $3 \times 1 0^{- 12}$ , इसलिए दिखने योग्य किसी भी चीज़ के लिए नियम ठीक-ठीक लागू होते हैं। तीसरा नियम परम शून्य को अप्राप्य बनाता है, इसलिए $T_{c}$ कभी शून्य नहीं होता और $η_{C}$ सदा 1 से कम रहता है।

यहाँ से आगे

ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी $Q / T$ को एन्ट्रॉपी बनाता है, क्लॉज़ियस असमिका सिद्ध करता है और अणुओं की व्यवस्थाएँ गिनकर समझाता है कि ऊष्मा केवल ढलान से नीचे ही क्यों बहती है। गैसों का अणुगति सिद्धांत $U = \frac{3}{2} n RT$ और रुद्धोष्म तापन के आणविक कारण देता है। भाप इंजन अवस्था परिवर्तन और गुप्त ऊष्मा पर निर्भर हैं: उबलना और संघनन निश्चित तापमान पर होते हैं, इसलिए उनका ऊष्मा विनिमय स्वाभाविक रूप से समतापी है। चालन, संवहन और विकिरण तय करता है कि ऊष्मा इंजन तक कितनी तेज़ी से पहुँचती है, और इसलिए उसकी शक्ति; घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा ऊर्जा को बिजलीघर से सॉकेट तक ले जाता है; और कार्य, ऊर्जा और शक्ति वह जगह है जहाँ ऊर्जा संरक्षण शुरू हुआ।

मुख्य सूत्र

ऊष्मागतिकी का पहला नियम

Δ U = Q - W

ऊष्मा के रूप में निकाय में आई ऊर्जा या तो भीतर रहकर उसकी आंतरिक ऊर्जा बढ़ाती है या कार्य बनकर निकल जाती है। ऊष्मा को पारगमन में ऊर्जा मान लेने पर यही ऊर्जा संरक्षण है। $W$ निकाय द्वारा किया कार्य लेने पर, भीतर आती ऊष्मा और प्रसार धनात्मक गिने जाते हैं; जो पाठ निकाय पर किया कार्य लेते हैं वे $Δ U = Q + W$ लिखते हैं।

चिह्न
$Δ U$	निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन	$J$
$Q$	निकाय को मिली ऊष्मा	$J$
$W$	निकाय द्वारा परिवेश पर किया कार्य	$J$

कब लागू होता है: हमेशा, किसी भी निकाय और किसी भी प्रक्रम के लिए, तेज़ या धीमे, बशर्ते चिह्न एकसमान रखे जाएँ। पूरे चक्र में $Δ U = 0$ ।

उदाहरण: एनीमेशन के दूसरे चरण में $Q = 0$ है और गैस 600 J कार्य करती है: $Δ U = 0 - 600 = - 600 J$ , और उसका तापमान 200 K घट जाता है।

चक्र का कुल कार्य

W = Q_{h} - Q_{c}

पूरे चक्र के बाद कार्यकारी पदार्थ अपनी आरंभिक अवस्था में लौट आता है, इसलिए $Δ U = 0$ और पहला नियम कहता है कि कुल कार्य कुल ली गई ऊष्मा के बराबर है। दोनों ऊष्माओं को धनात्मक राशि मानने पर यह गर्म ओर से ली गई ऊष्मा घटा ठंडी ओर फेंकी ऊष्मा है।

चिह्न
$W$	प्रति चक्र किया गया कुल कार्य	$J$
$Q_{h}$	प्रति चक्र गर्म भंडार से ली गई ऊष्मा	$J$
$Q_{c}$	प्रति चक्र ठंडे भंडार को दी गई ऊष्मा	$J$

कब लागू होता है: किसी भी इंजन के लिए, उत्क्रमणीय हो या नहीं, चक्रों की पूर्ण संख्या में। चक्र के भीतर आंतरिक ऊर्जा बदलती है, इसलिए ऊष्मा और कार्य चरण-दर-चरण संतुलित नहीं होते।

उदाहरण: एनीमेशन का इंजन: प्रति चक्र $W = 1098.6 - 659.2 = 439.4 J$ ।

ऊष्मा इंजन की दक्षता

η = \frac{W}{Q _{h}} = 1 - \frac{Q _{c}}{Q _{h}}

दक्षता जो मिलता है, यानी कार्य, की तुलना उससे करती है जो चुकाना पड़ता है, यानी गर्म भंडार से ली ऊष्मा। दूसरा रूप $W = Q_{h} - Q_{c}$ से आता है: दक्षता 1 से ठीक उतनी कम है जितना फेंकी गई ऊष्मा का भाग है, इसलिए $η = 1$ के लिए $Q_{c} = 0$ चाहिए।

चिह्न
$η$	दक्षता (एक भिन्न, अक्सर प्रतिशत में)
$W$	प्रति चक्र किया गया कुल कार्य	$J$
$Q_{h}$	प्रति चक्र गर्म भंडार से ली गई ऊष्मा	$J$
$Q_{c}$	प्रति चक्र ठंडे भंडार को दी गई ऊष्मा	$J$

कब लागू होता है: किसी भी चक्रीय इंजन के लिए; प्रति चक्र या प्रति सेकंड लगाया जा सकता है। ली गई ऊष्मा से भाग दीजिए, फेंकी गई से नहीं। प्रशीतक और ऊष्मा पंप इसके बजाय निष्पादन गुणांक से आँके जाते हैं।

उदाहरण: हल सहित उदाहरण वाला बिजलीघर: $η = 600/1500 = 40 %$ , 900 MW बाहर फेंका गया।

कार्नो दक्षता

η_{C} = 1 - \frac{T _{c}}{T _{h}}

निरपेक्ष तापमान $T_{h}$ और $T_{c}$ वाले भंडारों के बीच कोई भी इंजन जो सबसे अधिक दक्षता पा सकता है, जिसे केवल उत्क्रमणीय इंजन पाता है। यह उत्क्रमणीय इंजनों के लिए $Q_{h} / T_{h} = Q_{c} / T_{c}$ से निकलती है और केवल दो तापमानों पर निर्भर है, डिज़ाइन या कार्यकारी पदार्थ पर नहीं।

चिह्न
$η_{C}$	कार्नो (अधिकतम संभव) दक्षता
$T_{c}$	ठंडे भंडार का निरपेक्ष तापमान	$K$
$T_{h}$	गर्म भंडार का निरपेक्ष तापमान	$K$

कब लागू होता है: ऊपरी सीमा, जिसके निकट केवल अनंत धीमे, घर्षण-रहित इंजन पहुँचते हैं जो नगण्य तापांतर के पार ऊष्मा विनिमय करते हैं। तापमान केल्विन में होने चाहिए।

उदाहरण: एनीमेशन: $1 - 300/500 = 40 %$ । 800 K की भाप और 300 K का नदी जल: $1 - 300/800 = 62.5 %$ ।

लूप के क्षेत्रफल के रूप में कार्य

W = \oint p d V

दाब $p$ के विरुद्ध हर छोटा प्रसार $d V$ कार्य $p d V$ करता है, इसलिए एक चरण का कार्य $p$ – $V$ आरेख पर उसके वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है। बंद चक्र में प्रसार और संपीडन के नीचे के क्षेत्रफल घटते हैं और लूप से घिरा क्षेत्रफल बचता है: दक्षिणावर्त लूप (इंजन) के लिए धनात्मक, वामावर्त (प्रशीतक) के लिए ऋणात्मक।

चिह्न
$W$	प्रति चक्र गैस द्वारा किया कुल कार्य	$J$
$p$	गैस का दाब	$Pa$
$V$	गैस का आयतन	$m^{3}$

कब लागू होता है: केवल अर्धस्थैतिक परिवर्तनों के लिए, जहाँ गैस का एक सुपरिभाषित दाब हो; निर्वात में दौड़ती गैस का आयतन बढ़ता है पर वह कार्य नहीं करती।

उदाहरण: दाब kPa में और आयतन लीटर में लेने पर क्षेत्रफल सीधे जूल में पढ़े जाते हैं: एनीमेशन का लूप $1698.6 - 1259.2 = 439.4 J$ घेरता है।

उत्क्रमणीय इंजन का ऊष्मा अनुपात

\frac{Q _{h}}{T _{h}} = \frac{Q _{c}}{T _{c}} (Carnot)

किसी भी उत्क्रमणीय इंजन के लिए दोनों भंडारों से विनिमय की ऊष्माएँ उनके निरपेक्ष तापमानों के अनुपात में होती हैं; यह अनुपात बिना किसी तापमापी पदार्थ के ऊष्मागतिक तापमान पैमाना परिभाषित करता है। संतुलन की तरह पढ़ें तो इंजन गर्म भंडार से $Q / T$ लेता है और उतना ही ठंडे को दे देता है: एन्ट्रॉपी आगे दी जाती है, बनाई नहीं जाती।

चिह्न
$Q_{h}$	प्रति चक्र गर्म भंडार से ली गई ऊष्मा	$J$
$T_{h}$	गर्म भंडार का निरपेक्ष तापमान	$K$
$Q_{c}$	प्रति चक्र ठंडे भंडार को दी गई ऊष्मा	$J$
$T_{c}$	ठंडे भंडार का निरपेक्ष तापमान	$K$

कब लागू होता है: केवल उत्क्रमणीय इंजनों के लिए। वास्तविक इंजन अधिक ऊष्मा फेंकता है, $Q_{c} / T_{c} > Q_{h} / T_{h}$ , और इस तरह एन्ट्रॉपी बनाता है।

उदाहरण: एनीमेशन: $1098.6/500 = 659.2/300 = 2.197 J/K$ ।

प्रशीतक का निष्पादन गुणांक

COP = \frac{Q _{c}}{W} \leq \frac{T _{c}}{T _{h} - T _{c}}

प्रशीतक कार्य $W$ लगाकर ठंडी ओर से ऊष्मा $Q_{c}$ खींचता है और गर्म ओर $Q_{c} + W$ फेंकता है। उसका निष्पादन गुणांक प्रति जूल कार्य निकाली गई ऊष्मा है, और उत्क्रमणीय सीमा $Q_{h} / T_{h} = Q_{c} / T_{c}$ से निकलती है। यह 1 से बहुत अधिक हो सकता है, क्योंकि कार्य ऊष्मा बनाता नहीं, केवल उसे ठंडे से गर्म तक उठाता है।

चिह्न
$COP$	निष्पादन गुणांक (प्रति इकाई कार्य निकाली गई ऊष्मा)
$Q_{c}$	प्रति चक्र ठंडी ओर से निकाली गई ऊष्मा	$J$
$W$	प्रति चक्र दिया गया कार्य	$J$
$T_{c}$	ठंडी ओर का निरपेक्ष तापमान	$K$
$T_{h}$	गर्म ओर का निरपेक्ष तापमान	$K$

कब लागू होता है: यह सीमा हर प्रशीतक पर लागू है और केवल उत्क्रमणीय प्रशीतक उसे पाता है। $T_{c}$ के $T_{h}$ के निकट आने पर यह असीम बढ़ती है और परम शून्य के निकट शून्य की ओर गिरती है। ऊष्मा पंप, जो दी गई ऊष्मा से आँका जाता है, $T_{h} / (T_{h} - T_{c})$ तक सीमित है।

उदाहरण: उलटा चलाया एनीमेटेड इंजन: $659.2/439.4 = 1.5 = 300/ (500 - 300)$ । 298 K की रसोई में 255 K का फ्रीज़र: अधिकतम $255/43 = 5.9$ ।

शब्दावली

ऊष्मागतिकी का पहला नियम: ऊष्मा सहित ऊर्जा संरक्षण। निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन उसे मिली ऊष्मा घटा उसके किए कार्य के बराबर है, $Δ U = Q - W$ , इसलिए कोई इंजन शून्य से कार्य नहीं दे सकता।
आंतरिक ऊर्जा: निकाय के भीतर अणुओं की गति और पारस्परिक क्रियाओं में संचित ऊर्जा। आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए यह $\frac{3}{2} n RT$ है और केवल तापमान पर निर्भर है।
ऊष्मा: तापमान के अंतर के कारण स्थानांतरित ऊर्जा; अपने आप यह सदा गर्म से ठंडे की ओर बहती है। पिंड में ऊष्मा नहीं होती: उसमें आंतरिक ऊर्जा होती है, जिसे ऊष्मा बढ़ा या घटा सकती है।
गैस द्वारा किया कार्य: गैस द्वारा पिस्टन खिसकाने पर स्थानांतरित ऊर्जा: नियत दाब पर $p Δ V$ , और व्यापक रूप में $p$ – $V$ आरेख पर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल। गैस के फैलने पर धनात्मक, दबने पर ऋणात्मक।
अवस्था फलन: ऐसी राशि जो केवल वर्तमान अवस्था से तय होती है, जैसे $U$ , $p$ , $V$ या $T$ , इसलिए किसी भी चक्र के बाद अपने आरंभिक मान पर लौट आती है। ऊष्मा और कार्य अवस्था फलन नहीं: वे मार्ग पर निर्भर हैं।
समतापी प्रक्रम: नियत तापमान पर परिवर्तन, जो भंडार से धीमे संपर्क से बना रहता है। आदर्श गैस के लिए $Δ U = 0$ , अतः ली गई ऊष्मा किए गए कार्य के बराबर है: एनीमेशन के पहले चरण में प्रत्येक 1099 J।
रुद्धोष्म प्रक्रम: बिना ऊष्मा विनिमय का परिवर्तन, $Q = 0$ , क्योंकि निकाय ऊष्मारोधी है या परिवर्तन इतना तेज़ है कि ऊष्मा बह नहीं पाती। कार्य आंतरिक ऊर्जा से निकलता है, इसलिए फैलती गैस ठंडी और दबती गैस गरम होती है।
ऊष्मा-भंडार: इतना बड़ा पिंड कि ऊष्मा देने-लेने से उसका तापमान न बदले, जैसे भट्ठी, नदी या वायुमंडल।
ऊष्मा इंजन: चक्र में चलने वाली युक्ति जो गर्म भंडार से ऊष्मा लेती है, उसका कुछ भाग कार्य में बदलती है और बाकी ठंडे भंडार को फेंक देती है। कार इंजन, भाप टरबाइन और जेट इंजन ऊष्मा इंजन हैं।
उत्क्रमणीय प्रक्रम: आदर्श, अनंत धीमा प्रक्रम, जिसमें घर्षण नहीं और सीमित तापांतर के पार ऊष्मा नहीं बहती, और जिसे मनमाना छोटा परिवर्तन उलटा चला सकता है। कोई इंजन उत्क्रमणीय इंजन से अधिक दक्ष नहीं।
कार्नो चक्र: दो समतापी और दो रुद्धोष्म का उत्क्रमणीय चक्र: ऊष्मा केवल $T_{h}$ पर आती है और केवल $T_{c}$ पर जाती है। उसकी दक्षता, $1 - T_{c} / T_{h}$ , उन तापमानों के बीच काम करते किसी भी इंजन की ऊपरी सीमा है।
प्रशीतक और ऊष्मा पंप: उलटा चलाया ऊष्मा इंजन: कार्य ऊष्मा को ठंडे स्थान से गर्म स्थान तक ले जाता है। प्रशीतक प्रति जूल कार्य निकाली ऊष्मा से और ऊष्मा पंप दी गई ऊष्मा से आँका जाता है; दोनों अनुपात 1 से अधिक हो सकते हैं।

राशियाँ
$Δ U$	आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन	$J$	निकाय की अंतिम घटा आरंभिक आंतरिक ऊर्जा। यह हर पूरे चक्र में शून्य है, और आदर्श गैस के लिए तब भी जब तापमान वहीं समाप्त हो जहाँ शुरू हुआ था।
$Q$	ऊष्मा	$J$	निकाय को मिली ऊष्मा; निकाय ऊष्मा देता हो तो ऋणात्मक।
$W$	निकाय द्वारा किया कार्य	$J$	निकाय द्वारा परिवेश पर किया कार्य, जैसे गैस का पिस्टन को धकेलना; परिवेश उस पर कार्य करे तो ऋणात्मक। इंजन के लिए प्रति चक्र कुल कार्य। $p$ – $V$ आरेख पर यह $\oint p d V$ है, जहाँ $p$ गैस का दाब पास्कल में और $V$ उसका आयतन घन मीटर में है (1 kPa गुणा 1 L बराबर 1 J)।
$Q_{h}$	गर्म भंडार से ऊष्मा	$J$	उच्च तापमान पर प्रति चक्र ली गई ऊष्मा, धनात्मक राशि मानकर: एनीमेशन में 1098.6 J।
$Q_{c}$	ठंडे भंडार को ऊष्मा	$J$	निम्न तापमान पर प्रति चक्र फेंकी गई ऊष्मा, धनात्मक राशि मानकर: एनीमेशन में 659.2 J।
$T_{h}$	गर्म भंडार का तापमान	$K$	वह निरपेक्ष तापमान जिस पर इंजन ऊष्मा लेता है: एनीमेशन में 500 K।
$T_{c}$	ठंडे भंडार का तापमान	$K$	वह निरपेक्ष तापमान जिस पर इंजन ऊष्मा फेंकता है: एनीमेशन में 300 K। दक्षता के सूत्रों में सेल्सियस अंश कभी नहीं जाते।
$η$	दक्षता		ली गई ऊष्मा का वह भाग जो कार्य बनता है, $W / Q_{h}$ , अक्सर प्रतिशत में।
$η_{C}$	कार्नो दक्षता		$T_{h}$ और $T_{c}$ के बीच सर्वोच्च संभव दक्षता, जिसे केवल उत्क्रमणीय इंजन पाता है: 500 K और 300 K के बीच 40 %।
$COP$	निष्पादन गुणांक		प्रशीतक के लिए प्रति इकाई कार्य ठंडी ओर से निकाली ऊष्मा, $Q_{c} / W$ । दक्षता के विपरीत यह 1 से बड़ा हो सकता है।

क्विज़

शुरुआती ऊष्मागतिकी का पहला नियम क्या व्यक्त करता है?
1. ऊर्जा संरक्षित है: वह न बनती है, न नष्ट होती है
2. ऊष्मा सदा ठंडे से गर्म की ओर बहती है
3. घर्षण-रहित इंजन 100 % दक्ष होता है
4. 0 °C से ठंडा कुछ नहीं हो सकता
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उत्तर: A. ऊर्जा संरक्षित है: वह न बनती है, न नष्ट होती है
पहला नियम, ΔU = Q − W, ऊष्मा और कार्य पर लागू ऊर्जा संरक्षण है।
शुरुआती हर कार इंजन को अपशिष्ट ऊष्मा बाहर क्यों निकालनी पड़ती है?
1. केवल चलते पुर्ज़ों के बीच घर्षण के कारण
2. क्योंकि पेट्रोल में इंजन के संचय से अधिक ऊर्जा होती है
3. ईंधन को जमने से बचाने के लिए
4. क्योंकि कोई भी ऊष्मा इंजन अपनी पूरी ऊष्मा को कार्य में नहीं बदल सकता
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उत्तर: D. क्योंकि कोई भी ऊष्मा इंजन अपनी पूरी ऊष्मा को कार्य में नहीं बदल सकता
दूसरा नियम अनिवार्य करता है कि हर ऊष्मा इंजन कुछ ऊष्मा किसी ठंडी जगह फेंके। घर्षण हानियाँ बढ़ाता है, पर आदर्श इंजन को भी रेडिएटर चाहिए।
शुरुआती कौन-सा परिवर्तन ऊष्मा इंजन को अपनी ऊष्मा का बड़ा भाग कार्य में बदलने देगा?
1. उन्हीं तापमानों पर बड़ा बेलन लगाना
2. गर्म ओर को और गर्म या ठंडी ओर को और ठंडा करना
3. इंजन को तेज़ चलाना
4. इंजन को काला रंग देना
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उत्तर: B. गर्म ओर को और गर्म या ठंडी ओर को और ठंडा करना
अधिकतम दक्षता केवल दो तापमानों पर निर्भर है, 1 − T_c/T_h: अंतर जितना बड़ा, प्रति इकाई ऊष्मा उतना अधिक कार्य।
उन्नत 1000 J ऊष्मा बीच में कोई इंजन लगाए बिना सीधे 500 K के भंडार से 250 K के भंडार में रिस जाती है। ब्रह्मांड की एन्ट्रॉपी में परिवर्तन क्या है?
1. 0 J/K, क्योंकि ऊर्जा संरक्षित है
2. −2 J/K
3. +2 J/K
4. +6 J/K
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उत्तर: C. +2 J/K
गर्म भंडार 1000/500 = 2 J/K खोता है और ठंडा 1000/250 = 4 J/K पाता है, अतः ΔS_ब्रह्मांड = +2 J/K > 0: तापांतर के पार ऊष्मा का बहना अनुत्क्रमणीय है। ऊर्जा संरक्षित है, एन्ट्रॉपी नहीं; परिमाण जोड़ने पर गलत 6 J/K आता है।
मध्यम एक इंजन प्रति चक्र 2000 J ऊष्मा लेता है और 1400 J फेंकता है। उसकी दक्षता क्या है?
1. 30 %
2. 70 %
3. 43 %
4. 143 %
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उत्तर: A. 30 %
W = 2000 − 1400 = 600 J, और η = W/Q_h = 600/2000 = 30 %। फेंकी ऊष्मा से भाग देने (600/1400) पर गलत 43 % आता है।
मध्यम आदर्श गैस पिस्टन को धकेलते हुए रुद्धोष्म फैलती है तो क्या होता है?
1. उसका तापमान नियत रहता है
2. गैस कार्य करती है और उसका तापमान गिरता है
3. ऊर्जा नियत रखने के लिए ऊष्मा भीतर आती है
4. उसकी आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है
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उत्तर: B. गैस कार्य करती है और उसका तापमान गिरता है
Q = 0 होने पर पहला नियम ΔU = −W देता है। फैलती गैस का किया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा से आता है, इसलिए वह ठंडी होती है।
उन्नत 327 °C और 27 °C के बीच चलते इंजन की अधिकतम संभव दक्षता क्या है?
1. 92 %
2. 100 %
3. 67 %
4. 50 %
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उत्तर: D. 50 %
केल्विन में लीजिए: η_C = 1 − 300/600 = 50 %। सेल्सियस (1 − 27/327) लेने पर गलत 92 % आता है।
उन्नत इंजन चक्र के p–V आरेख में लूप से घिरा क्षेत्रफल क्या दर्शाता है?
1. गर्म भंडार से सोखी गई ऊष्मा
2. एक चक्र में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन
3. प्रति चक्र किया गया कुल कार्य
4. प्रति चक्र उत्पन्न एन्ट्रॉपी
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उत्तर: C. प्रति चक्र किया गया कुल कार्य
W = ∮p·dV लूप का क्षेत्रफल है। चक्र में ΔU = 0, इसलिए यह क्षेत्रफल Q_h − Q_c के भी बराबर है, Q_h के नहीं।

$p$	गैस का दाब।	$Pa$
$V$	गैस का आयतन।	$m^{3}$
$a$	500 K समतापी के अनुदिश, नियत तापमान पर, मार्ग।
$b$	वह मार्ग जो पहले नियत दाब पर फैलता है, फिर नियत आयतन पर ठंडा होता है।
$c$	वह मार्ग जो पहले नियत आयतन पर ठंडा होता है, फिर नियत दाब पर फैलता है।
$W_{a}$	मार्ग $a$ पर गैस द्वारा किया कार्य: उसके नीचे का क्षेत्रफल।	$J$
$W_{b}$	मार्ग $b$ पर गैस द्वारा किया कार्य: उसके नीचे का क्षेत्रफल।	$J$
$W_{c}$	मार्ग $c$ पर गैस द्वारा किया कार्य: उसके नीचे का क्षेत्रफल।	$J$

$T_{h}$	गर्म भंडार का तापमान।	$K$
$T_{c}$	ठंडे भंडार का तापमान।	$K$
$A$	उत्क्रमणीय इंजन से अधिक दक्ष होने का दावा करने वाला इंजन।
$C$	कार्नो इंजन, प्रशीतक के रूप में उलटा चलाया गया।
$Q_{h}$	वह ऊष्मा जो $A$ गर्म भंडार से लेता है और $C$ उसे लौटाता है: समान मात्रा।	$J$
$Q_{A}$	वह ऊष्मा जो $A$ ठंडे भंडार को फेंकता है।	$J$
$Q_{c}$	वह ऊष्मा जो $C$ ठंडे भंडार से लेता है, $Q_{A}$ से अधिक।	$J$
$W_{A}$	वह कार्य जो $A$ प्रति चक्र देता है।	$J$
$W_{C}$	$W_{A}$ का वह भाग जो $C$ को चलाने में दिया गया।	$J$
$W_{A} - W_{C}$	बचा कार्य: ठंडे भंडार की खोई ऊष्मा, $Q_{c} - Q_{A}$ , कार्य में बदली हुई।	$J$