चालन, संवहन और विकिरण

शुरुआती

चरण 1। ऊष्मा हमेशा गर्म स्थानों से ठंडे स्थानों की ओर जाती है, और यह तीन तरीकों से चल सकती है। गैस की लौ पर रखा पानी का बर्तन तीनों तरीके एक साथ दिखाता है।

चरण 2। चालन: ऊष्मा का किसी पदार्थ से स्पर्श द्वारा गुज़रना। बर्तन के गर्म तल के कण ज़ोर से काँपते हैं और अपने पड़ोसियों से टकराते हैं, जो भी और ज़ोर से काँपने लगते हैं, और इसी तरह धातु में ऊपर तक। काँपने के अलावा कुछ नहीं चलता। धातुएँ ऊष्मा को तेज़ी से आगे पहुँचाती हैं; लकड़ी, प्लास्टिक, ऊन और स्थिर हवा उसे धीरे पहुँचाते हैं, इसलिए उन्हें रोधक कहा जाता है। फूली हुई जैकेट आपको गर्म रखती है, क्योंकि वह हवा को फँसा लेती है।

चरण 3। संवहन: किसी गतिमान द्रव या गैस द्वारा ले जाई गई ऊष्मा। गर्म तल के पास का पानी गर्म होकर थोड़ा फैलता है और ऊपर के ठंडे पानी से हल्का हो जाता है, इसलिए ऊपर उठता है; ठंडा पानी उसकी जगह लेने नीचे आता है, और एक चक्र बन जाता है। लोग कहते हैं कि ऊष्मा ऊपर उठती है, पर असल में गर्म द्रव ऊपर उठता है।

चरण 4। विकिरण: अदृश्य अवरक्त प्रकाश द्वारा ले जाई गई ऊष्मा, जिसे किसी माध्यम की ज़रूरत नहीं होती। खाली अंतरिक्ष में से सूर्य का प्रकाश आपके चेहरे को इसी तरह गर्म करता है। गहरे रंग की, फीकी सतहें इस विकिरण को अच्छी तरह सोखती और छोड़ती हैं; चमकदार सतहें इसे परावर्तित करती हैं, इसीलिए आपातकालीन कंबल चाँदी जैसे होते हैं।

एनीमेशन में सुनहरे तीर बताते हैं कि ऊष्मा धातु के तल से गुज़र रही है, जहाँ कण काँप रहे हैं। पानी दो चक्रों में घूमता है: लाल धब्बे (गर्म) बीच में ऊपर उठते हैं और नीले धब्बे (ठंडे) किनारों के साथ नीचे आते हैं। बैंगनी लहरें लौ से विकिरण को दूर ले जाती हैं।

स्वयं जाँचें: किसी सॉसपैन का शरीर धातु का, पर उसका हैंडल अक्सर प्लास्टिक या लकड़ी का क्यों होता है? (धातु ऊष्मा को तेज़ी से भोजन तक पहुँचाती है; हैंडल कुचालक होना चाहिए ताकि आप उसे पकड़ सकें।)

मध्यम

ऊष्मा-प्रवाह और उसे चलाने वाला कारण

ऊष्मा वह ऊर्जा है जो तापांतर के कारण चलती है, और अपने आप हमेशा गर्म से ठंडे की ओर जाती है। ऊष्मा की मात्रा $Q$ जूल में, दर $Q/t$ वाट में, और प्रति वर्ग मीटर की दर, यानी ऊष्मा-फ़्लक्स $q$, W/m² में मापी जाती है। तापांतर $\Delta T$ का मान केल्विन और डिग्री सेल्सियस में एक-सा होता है; केवल विकिरण स्वयं तापों पर निर्भर करता है, इसलिए वहाँ ताप केल्विन में होने चाहिए।

ऊष्मा तीन तरीकों से चलती है: चालन, जिसमें ऊष्मा स्थिर रहने वाले पदार्थ में कण से कण तक जाती है; संवहन, जो गतिमान द्रव या गैस द्वारा ले जाई जाती है; और विकिरण, यानी विद्युत-चुंबकीय तरंगें, मुख्यतः अवरक्त, जिन्हें किसी माध्यम की ज़रूरत नहीं होती। एनीमेशन का बर्तन तीनों को एक साथ दिखाता है।

चालन: फ़ूरियर का नियम

क्षेत्रफल $A$ और मोटाई $d$ की समतल परत के आर-पार, जिसकी दोनों सतहों में $\Delta T$ का अंतर है, जब भीतर के ताप स्थिर हो जाते हैं, तब ऊष्मा-प्रवाह होता है
$\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{d}$

क्षेत्रफल दोगुना होने पर मार्ग भी दोगुने होते हैं, तापांतर दोगुना होने पर ज़ोर दोगुना होता है, और मोटाई दोगुनी होने पर प्रवाह आधा हो जाता है। पदार्थ का प्रभाव उसकी ऊष्मीय चालकता $k$ से आता है, जिसकी इकाई W/(m·K) है: तांबा लगभग 400, स्टेनलेस स्टील लगभग 16, ईंट लगभग 0.7, लकड़ी लगभग 0.15, खनिज ऊन लगभग 0.04 और स्थिर हवा लगभग 0.025। धातुएँ मुक्त इलेक्ट्रॉनों के कारण अच्छी चालक हैं; ऊन, फ़ोम और पंख हवा को ऐसे छोटे खानों में फँसाते हैं जहाँ वह घूम नहीं सकती, इसलिए वे रोधक हैं।

श्रेणी में जुड़ी परतें प्रतिरोधों की तरह जुड़ती हैं। प्रत्येक परत का प्रति वर्ग मीटर ऊष्मीय प्रतिरोध $R=d/k$ है, जिसकी इकाई m²·K/W है, और भवन-निर्माता इन्हें जोड़कर U-मान बनाते हैं:
$\frac{Q}{t}=UA\Delta T,U=\frac{1}{\sum (d/k)}$
कम $U$-मान का अर्थ है अच्छी रोधन क्षमता। एक ही परत के लिए $U=k/d$ है, इसलिए मोटाई दोगुनी होने पर हानि आधी हो जाती है।

हल किया गया उदाहरण: एनीमेशन का बर्तन

स्टील के तल के लिए $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, $A=0.03{\mathrm{m}}^2$ और $d=4\mathrm{mm}=0.004\mathrm{m}$ है, और लौ उसकी निचली सतह को ऊपरी सतह से 15 K अधिक गर्म रखती है, इसलिए
$\frac{Q}{t}=\frac{16\cdot 0.03\cdot 15}{0.004}=1800\mathrm{W}$

2 kg पानी को, जिसकी $c=4180J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ है, 20 °C से 80 °C तक गर्म करने में
$Q=mc\Delta T=2\cdot 4180\cdot 60=501600\mathrm{J}\approx 502\mathrm{kJ}$
लगती है, इसलिए बिना हानि के समय $t=501600/1800\approx 279\mathrm{s}$ है, यानी लगभग 4.6 मिनट।

ये रीडिंग पर अंतिम मान हैं: $t$ 4.6 मिनट तक पहुँचता है, पानी 80 °C पर है और $Q$ 502 kJ है; समय को संक्षिप्त करके इसे आठ सेकंड में दिखाया गया है। सुनहरे तीर तल से होकर स्थिर प्रवाह दिखाते हैं, जिन्हें 4 mm से कहीं मोटा बनाया गया है ताकि उनके काँपते परमाणु दिखें। स्टील मध्यम चालक है, परंतु 4 mm बहुत पतला है, इसलिए 15 K का तापांतर उसमें से 1800 W चला देता है। लकड़ी के तल, जिसकी $k=0.15W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ है, से लगभग सौ गुना कम ऊष्मा गुज़रती।

संवहन: बर्तन में चक्र

गर्म तल को छूने वाला पानी थोड़ा फैलता है और आसपास के ठंडे पानी से कम घना हो जाता है, जैसा कि दृश्य के घनत्व-लेबल में लिखा है; इसलिए उत्प्लावन उसे ऊपर उठाता है और अधिक घना पानी उसकी जगह लेने नीचे आता है। बिंदुकित हरी धाराएँ दो चक्र बनाती हैं जो लौ के ऊपर साथ-साथ उठते हैं और दीवारों के साथ नीचे आते हैं; हर पानी का टुकड़ा ऊपर जाते समय लाल और नीचे आते समय नीला होता है। यह प्राकृतिक संवहन है; पंखे या पंप से यह बलात् संवहन बन जाता है।

पूरे प्रवाह के लिए कोई सरल सूत्र नहीं है, इसलिए इंजीनियर किसी सतह और द्रव के बीच ऊष्मा के विनिमय को इस रूप में लिखते हैं
$\frac{Q}{t}=hA\Delta T$
जहाँ $\Delta T$ सतह और दूर के द्रव के बीच का तापांतर है, और $h$ एक मापा गया गुणांक है: शांत हवा के लिए लगभग 10 W/(m²·K), पंखे की हवा के लिए लगभग 100, और उबलते पानी के लिए दसियों हज़ार। यह न्यूटन का शीतलन-नियम है; हवा से लगने वाली ठंडक भी यही नियम है, बस हवा $h$ को बढ़ा देती है।

विकिरण: ताप की चौथी घात

हर सतह विकिरण करती है, कक्ष-ताप के पास मुख्यतः लगभग 10 µm का अवरक्त। स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मान नियम किसी क्षेत्रफल $A$ और निरपेक्ष ताप $T$ की सतह से निकलने वाली शक्ति देता है:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
जहाँ $\sigma =5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ है और उत्सर्जकता $\epsilon$ 0 (पूर्ण दर्पण) से 1 (कृष्णिका) तक होती है। किसी प्लेट को 27 °C से 327 °C (यानी 300 K से 600 K) तक गर्म करने पर $T$ दोगुना होता है और $P$ $2^4=16$ गुना हो जाता है।

कोई वस्तु अपने परिवेश से भी विकिरण सोखती है, और अच्छा उत्सर्जक उतना ही अच्छा अवशोषक होता है। यदि परिवेश का ताप $T_0$ है, तो शुद्ध हानि होती है
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$
306 K (33 °C) पर नग्न त्वचा, जिसकी $\epsilon \approx 0.97$ है और जिसका लगभग 1.5 m² विकिरण करता है, 293 K की दीवारों वाले कमरे में $0.97\cdot 5.67\times 10^{-8}\cdot 1.5\cdot (306^4-293^4)\approx 115\mathrm{W}$ खोती है, जो आराम में बैठे शरीर द्वारा उत्पन्न लगभग 100 W से अधिक है। बैंगनी लहरें लौ से ऊर्जा को बगल में ले जाती हैं, जहाँ चालन और संवहन लगभग कुछ नहीं पहुँचाते।

हल किया गया उदाहरण: एक-परत की खिड़की

1.5 m² की खिड़की में 4 mm मोटा एक काँच का पैनल है, जिसकी $k=1.0W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ है, और वह 20 °C के कमरे और 0 °C के बाहर के बीच है। केवल काँच के लिए फ़ूरियर का नियम $1.0\cdot 1.5\cdot 20/0.004=7500\mathrm{W}$ देता है, जो कई हीटरों की शक्ति के बराबर है। असल खिड़कियाँ बहुत कम हानि करती हैं: हर सतह से धीमी हवा की एक परत चिपकी रहती है, जो एक प्रतिरोध $1/h$ जोड़ती है; कमरे के भीतर $h\approx 8W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ (आधा संवहन, आधा विकिरण) और हल्की हवा में बाहर $h\approx 25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$।

प्रति वर्ग मीटर तीनों प्रतिरोध जुड़ते हैं:
$R=\frac{1}{8}+\frac{0.004}{1.0}+\frac{1}{25}=0.125+0.004+0.040=0.169{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
$\frac{Q}{t}=\frac{A\Delta T}{R}=\frac{1.5\cdot 20}{0.169}\approx 178\mathrm{W},U=\frac{1}{R}\approx 5.9W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$

काँच केवल लगभग 2 % प्रतिरोध देता है; रोधन का काम हवा की परतें करती हैं। प्रवाह $20/0.169\approx 118W/{\mathrm{m}}^2$ है, इसलिए भीतर की हवा की परत $118\cdot 0.125\approx 15\mathrm{K}$ ले लेती है, और काँच की भीतरी सतह लगभग 5 °C पर होती है, जो 50% आर्द्रता वाली कमरे की हवा के ओस-बिंदु (लगभग 9 °C) से नीचे है: एकल पैनल में संघनन होता है। $U\approx 1.2W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ वाली दोहरी खिड़की यहाँ लगभग 36 W खोएगी, और विशेषज्ञ दृश्य वाली ईंट-और-ऊन की दीवार केवल लगभग 11 W।

आम गलतियाँ

• “ऊष्मा ऊपर उठती है” आधा सच है: गर्म द्रव ऊपर उठता है, पर ऊष्मा स्वयं चालन और विकिरण से हर दिशा में फैलती है, इसलिए छत पर लगा हीटर 2 m नीचे के लोगों को भी गर्म करता है।
• रोधन ऊष्मा को रोकता नहीं, बस धीमा करता है। 10 cm मोटी खनिज ऊन की परत, जिसका $U=0.04/0.1=0.4W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ है, 20 K के अंतर पर भी प्रति वर्ग मीटर 8 W पार होने देती है।
• कमरे के ताप पर धातु और लकड़ी समान रूप से गर्म होते हैं। स्टील ठंडा लगता है, क्योंकि वह लगभग सौ गुना अच्छा चालक है (16 बनाम 0.15 W/(m·K)), इसलिए आपके हाथ से ऊष्मा तेज़ी से खींचता है।
• डिग्री सेल्सियस को कभी $T^4$ में न डालें। 27 °C से 327 °C तक विकिरित शक्ति 16 गुना बढ़ती है (300 K से 600 K), 12 गुना नहीं, और 21 000 गुना तो बिल्कुल नहीं।
• अंतर $T^4-T_0^4$, $(T-T_0{)}^4$ के बराबर नहीं है। 306 K और 293 K के लिए पहला प्रति वर्ग मीटर काली सतह पर लगभग 79 W देता है, दूसरा 0.002 W से भी कम।

इसका उपयोग कहाँ होता है

हर ताप-बिल दीवारों, छत और खिड़कियों पर $UA\Delta T$ पदों का योग है। निर्वात फ़्लास्क तीनों तंत्रों को रोकता है: निर्वात चालन और संवहन रोकता है, और परत चढ़ा काँच अधिकांश विकिरण रोकता है। मौसम बड़े पैमाने पर संवहन है, और पृथ्वी का ताप अवशोषित सूर्य-प्रकाश और अंतरिक्ष में विकिरित अवरक्त के बीच संतुलन से तय होता है। आगे, “गैसों का अणुगति सिद्धांत” अणु-दर-अणु चालन दिखाता है, “कृष्णिका विकिरण और क्वांटम” बताता है कि $\sigma T^4$ कहाँ से आता है, और “ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी” समझाता है कि ऊष्मा अपने आप केवल गर्म से ठंडे की ओर क्यों बहती है।

उन्नत

ऊष्मा-फ़्लक्स और ताप प्रवणता

समतल-परत का नियम $Q/t=kA\Delta T/d$ केवल उस समतल परत पर लागू होता है जिसके ताप स्थिर हो चुके हों। किसी भी आकार की वस्तुओं के लिए, और समय के साथ बदलते तापों के लिए, हमें ऐसा नियम चाहिए जो हर बिंदु पर सही हो। यह भाग उसी की स्थापना करता है।

हर बिंदु पर हम दो सदिश इस्तेमाल करते हैं। ऊष्मा-फ़्लक्स घनत्व $\vec{q}$ उस दिशा में इशारा करता है जिधर ऊर्जा बहती है; उसका परिमाण प्रति इकाई समय में, प्रवाह के लंबवत इकाई क्षेत्रफल से गुज़रने वाली ऊर्जा है, जिसकी इकाई W/m² है। ताप प्रवणता $\nabla T$ उस दिशा में इशारा करती है जिधर ताप सबसे तेज़ी से बढ़ता है; उसका परिमाण प्रति मीटर वह वृद्धि है, जिसकी इकाई K/m है। स्थानीय रूप में फ़ूरियर का नियम कहता है कि ऊष्मा ठीक प्रवणता की दिशा में नीचे बहती है, और उसकी दर चालकता $k$ से तय होती है:
$\vec{q}=-k\nabla T$
ऋण चिह्न का अर्थ है कि ऊष्मा गर्म से ठंडे की ओर, यानी प्रवणता के विपरीत, बहती है।

समतल परत के लिए प्रवणता सीधे $\Delta T/d$ होती है, और स्थानीय नियम समतल-परत के नियम पर वापस पहुँच जाता है। एनीमेशन के बर्तन में स्टील का तल 4 mm मोटा है, जिसकी $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ है, और उसकी निचली सतह ऊपरी सतह से 15 K अधिक गर्म है। इसलिए $|\nabla T|=15/0.004=3750K/m$ और $q=16\cdot 3750=60000W/{\mathrm{m}}^2$ है; तल के 0.03 m² क्षेत्रफल पर यही समतल-परत के नियम वाले 1800 W हैं।

यह नियम बिंदु पर लिखे गए ओम के नियम जैसा है, $\vec{J}=-{\sigma }_{\mathrm{el}}\nabla V$: यहाँ ताप विभव की भूमिका में है, $\vec{q}$ धारा-घनत्व की भूमिका में है, और $k$ विद्युत चालकता ${\sigma }_{\mathrm{el}}$ की भूमिका में है। ओम के नियम की तरह यह एक पदार्थ-नियम है जो मंद प्रवणताओं के लिए सही है, कोई मूलभूत सिद्धांत नहीं। रेशेदार या परतदार पदार्थों में $k$ दिशा पर निर्भर करता है: लकड़ी रेशे की दिशा में, आड़ी दिशा की तुलना में, लगभग दोगुना ऊष्मा चलाती है, इसलिए वहाँ $\vec{q}$ का ठीक प्रवणता की दिशा में होना आवश्यक नहीं।

ऊष्मा-चालन समीकरण की व्युत्पत्ति

फ़ूरियर का नियम किसी एक क्षण का प्रवाह देता है। यह जानने के लिए कि ताप-वितरण समय के साथ कैसे बदलेगा, हम इसे ऊर्जा-संरक्षण के साथ जोड़ते हैं। इससे प्राप्त ऊष्मा-चालन समीकरण इस पाठ की बाकी सभी समस्याओं पर लागू होता है।

संकेत-सूची

$x$	छड़ के अनुदिश स्थिति।	$\mathrm{m}$
$T$	एक क्षण पर छड़ के अनुदिश ताप-वितरण; स्पर्श-रेखाएँ बिंदुकित हैं।	$\mathrm{K}$
$dx$	पतले टुकड़े की मोटाई।	$\mathrm{m}$
$q(x)$	बाएँ फलक से टुकड़े में प्रवेश करता ऊष्मा-फ़्लक्स घनत्व।	$W/{\mathrm{m}}^2$
$q(x+dx)$	दाएँ फलक से निकलता ऊष्मा-फ़्लक्स घनत्व; $q(x)$ से छोटा।	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\rho c$	प्रति इकाई आयतन ऊष्मा-धारिता: घनत्व गुणा विशिष्ट ऊष्मा-धारिता।	$J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$
$\partial T/\partial t$	वह दर जिस पर टुकड़ा गर्म होता है।	$K/s$

चित्र 1 में एक छड़ है जिसमें ऊष्मा केवल $x$ के अनुदिश बहती है, और उसकी $dx$ मोटाई का एक पतला टुकड़ा। छड़ के ऊपर एक क्षण पर ताप-वितरण $T(x)$ है, और टुकड़े के दोनों फलकों पर बिंदुकित स्पर्श-रेखाएँ हैं। इन स्पर्श-रेखाओं को देखिए: बाईं वाली दाईं वाली से अधिक तीखी है, क्योंकि वितरण उत्तल है (ऊपर की ओर मुड़ा हुआ है)। हर फलक पर ऊष्मा-फ़्लक्स स्थानीय ढलान से तय होता है, $q=-k\partial T/\partial x$, इसलिए बाईं ओर प्रवेश करने वाला तीर $q(x)$ दाईं ओर से निकलने वाले तीर $q(x+dx)$ से लंबा है। भीतर आने वाली ऊष्मा बाहर जाने वाली से अधिक है, और बची हुई ऊष्मा हरे तीर वाली दर $\partial T/\partial t$ से टुकड़े को गर्म करती है।

अब ऊर्जा गिनिए, छड़ के अनुप्रस्थ-काट के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर। हर सेकंड टुकड़ा $q(x)-q(x+dx)$ प्राप्त करता है। पतले टुकड़े के लिए यह अंतर छड़ के अनुदिश $q$ के परिवर्तन की दर को मोटाई से गुणा करने के बराबर है, यानी $-(\partial q/\partial x)dx$। टुकड़े का प्रति इकाई क्षेत्रफल आयतन $dx$ है, और $\rho c$ प्रति इकाई आयतन ऊष्मा-धारिता है (घनत्व गुणा विशिष्ट ऊष्मा-धारिता), इसलिए उसे दर $\partial T/\partial t$ से गर्म करने में $\rho cdx\partial T/\partial t$ लगता है। प्राप्ति को संचय के बराबर रखकर और $dx$ काटकर:
$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

अब फ़ूरियर का नियम $q=-k\partial T/\partial x$ लगाइए। $k$ स्थिर होने पर $\partial q/\partial x=-k{\partial }^{2}T/\partial x^2$ होता है, और $\rho c$ से भाग देने पर ऊष्मा-चालन समीकरण मिलता है:
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\alpha =\frac{k}{\rho c}$

त्रि-आयामी छोटे घन के लिए भी यही गणना लागू होती है। प्रति इकाई आयतन शुद्ध बहिर्गामी ऊष्मा अपसरण $\nabla \cdot \vec{q}$ है, इसलिए $\rho c\partial T/\partial t=-\nabla \cdot \vec{q}$, और ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ लाप्लासियन ${\nabla }^{2}T$ बन जाता है। स्थिरांक $\alpha$ ऊष्मीय विसरणशीलता है, जिसकी इकाई m²/s है। यह $k$ के साथ बढ़ती है, क्योंकि यह ऊष्मा को तेज़ी से चलाती है, और $\rho c$ के साथ घटती है, क्योंकि हर केल्विन के लिए अधिक ऊष्मा चाहिए।

इस समीकरण का सरल अर्थ है। द्वितीय अवकलज ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ वितरण की वक्रता है, यानी चित्र 1 के टुकड़े के दोनों फलकों के बीच ढलान में परिवर्तन। जहाँ वितरण ऊपर की ओर मुड़ता है, वहाँ कोई बिंदु अपने पड़ोसियों के औसत ताप से ठंडा होता है, इसलिए वह गर्म होता है; जहाँ वह नीचे की ओर मुड़ता है, वहाँ बिंदु पड़ोसियों से गर्म होता है, इसलिए वह ठंडा होता है। अतः ताप-वितरण का हर उभार समय के साथ समतल हो जाता है।

ऊष्मा कितनी दूर और कितनी तेज़ फैलती है

कुछ भी हल करने से पहले ही ऊष्मा-चालन समीकरण हमें समस्या के समय-पैमाने बता देता है। अक्सर इंजीनियर को इतना ही चाहिए।

इस समीकरण में केवल एक स्थिरांक $\alpha$ है, जिसकी इकाई m²/s है। $\alpha$ और समय $t$ से बनने वाली एकमात्र लंबाई $\sqrt{\alpha t}$ है, इसलिए समय $t$ के बाद कोई गड़बड़ी लगभग $\sqrt{\alpha t}$ दूरी तक फैल चुकी होती है। उल्टे ढंग से देखें तो मोटाई $d$ की परत लगभग $d^2/\alpha$ समय में अपनी स्थिर अवस्था तक पहुँच जाती है। यह समय मोटाई के वर्ग के साथ बढ़ता है: दोगुनी मोटाई, चौगुना धीमापन।

तीन उदाहरण। बर्तन के स्टील तल का घनत्व 7900 kg/m³ और विशिष्ट ऊष्मा-धारिता 500 J/(kg·K) है, इसलिए $\alpha =16/(7900\cdot 500)\approx 4.1\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ है और वह लगभग $0.004^2/(4.1\times 10^{-6})\approx 4\mathrm{s}$ में स्थिर हो जाता है। यह 279 s के तापन-समय की तुलना में बहुत छोटा है, इसलिए बर्तन के लिए स्थिर समतल-परत नियम का उपयोग उचित था। बीस सेंटीमीटर मोटी ईंट, जिसकी $\alpha \approx 4.6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$ है, को लगभग 24 घंटे लगते हैं। बर्तन के 6.7 cm पानी को केवल चालन से पूरी तरह गर्म होने में लगभग 9 घंटे लगते; संवहन यह काम मिनटों में कर देता है।

चित्र में दीवार

एनीमेशन का उन्नत दृश्य एक दीवार को गर्म होते हुए दिखाता है। उसका अनुसरण करने पर ऊष्मा-चालन समीकरण कार्य करते हुए दिखता है: ऊष्मा धीरे-धीरे भीतर घुसती है, ऊर्जा संचित होती है, और अंत में स्थिर अवस्था आती है।

संकेत-सूची

$x$	भीतरी (कमरे की ओर) फलक से दूरी।	$\mathrm{m}$
$T$	आरंभ के छह घंटे बाद दीवार में ताप।	$\mathrm{K}$
$k_1$	ईंट की ऊष्मीय चालकता, भीतरी परत।	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	खनिज ऊन की ऊष्मीय चालकता, बाहरी परत।	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$\sqrt{\alpha t}$	समय $t$ के बाद तापन ईंट में कितनी दूर तक रेंगा है; वहाँ वितरण सतह-मान के लगभग आधे पर है।	$\mathrm{m}$
$E$	दीवार के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर ईंट में संचित ऊर्जा: छायांकित क्षेत्र गुणा $\rho c$।	$J/{\mathrm{m}}^2$
$T_{\infty }$	वह स्थिर वितरण जिस तक दीवार पहुँचती है, हर परत के भीतर सीधी रेखा।	$\mathrm{K}$

चित्र 2 शुरू होने के छह घंटे बाद की दीवार दिखाता है। यह कमरे की ओर 20 cm ईंट ($k_1=0.7W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) और बाहर की ओर 10 cm खनिज ऊन ($k_2=0.04W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) की बनी है, जिसे अक्ष $x$ के नीचे, उसी पैमाने पर पट्टियों के रूप में दिखाया गया है। आरंभ में सब कुछ 0 °C पर था; भीतरी फलक, $x=0$ पर, 20 °C पर रखा गया, जबकि बाहरी फलक 0 °C पर रहता है।

बाईं से दाईं ओर लाल ताप-वितरण $T(x)$ पढ़िए। यह भीतरी फलक के पास तीखा गिरता है और ऊन तक मुश्किल से पहुँचा है: गर्मी ईंट में लगभग $\sqrt{\alpha t}$ दूरी तक ही रेंगी है, जो अक्ष के नीचे चिह्नित है। $t=6\mathrm{h}=21600\mathrm{s}$ के बाद यह दूरी $\sqrt{4.6\times 10^{-7}\cdot 21600}\approx 0.10\mathrm{m}$ है। उस गहराई पर, जो बिंदु से दिखाई गई है, वितरण लगभग 10 °C पर है, यानी फलक के मान के लगभग आधे पर।

वितरण और प्रारंभिक 0 °C रेखा के बीच का छायांकित क्षेत्र संचित ऊर्जा नापता है: $\rho c$ से गुणा करने पर यह ईंट द्वारा दीवार के प्रति वर्ग मीटर में ली गई ऊष्मा $E$ है। ऊन का हिस्सा बहुत छोटा है, क्योंकि उसका $\rho c$ ईंट से 60 गुना छोटा है। यह सारी ऊर्जा भीतरी फलक से आई है और बाहरी फलक से नहीं निकली, इसलिए $E$ लगभग समय का वह समाकल है जो $q(0)-q(d)$ देता है: भीतरी फलक पर आने वाला फ़्लक्स, घटा बाहरी फलक ($x=d$) से निकलने वाला फ़्लक्स।

एनीमेशन की रीडिंग ये दो फ़्लक्स दिखाती हैं। भीतरी फलक का फ़्लक्स $q(0)$ शुरू में बहुत बड़ा होता है और लगभग $1/\sqrt{t}$ के अनुपात में गिरता है, जैसे किसी बहुत मोटे ईंट-खंड में जाने वाला फ़्लक्स, $\Delta T\sqrt{k\rho c/(\pi t)}$, जो एक घंटे के बाद लगभग 190 W/m² है। बाहरी फलक का फ़्लक्स $q(d)$ तब तक शून्य रहता है जब तक गर्मी वहाँ तक नहीं पहुँचती। चित्र 2 के छह घंटों पर वे लगभग 76 और 2.3 W/m² हैं: जो भीतर आ रहा है, उसका अधिकांश अभी भी ईंट को भर रहा है। दोनों 7.2 W/m² की ओर बढ़ते हैं, 48 घंटों के बाद 10% के भीतर और 72 घंटों के बाद 1% के भीतर।

बिंदुकित धूसर रेखा $T_{\infty }$ वह स्थिर अवस्था है जिस पर दीवार अंत में पहुँचती है। वहाँ $\partial T/\partial t=0$ है, इसलिए ऊष्मा-चालन समीकरण कहता है ${\partial }^{2}T/\partial x^2=0$: हर परत के भीतर वितरण सीधी रेखा है। स्थिर अवस्था में कहीं भी ऊर्जा जमा नहीं होती, इसलिए दोनों परतों से एक ही फ़्लक्स $q$ गुज़रता है। इसलिए हर परत का ढलान $q/k$ है, और ढलानों का अनुपात चालकताओं के व्युत्क्रम अनुपात में है; ऊन से होकर जाने वाली रेखा ईंट वाली से $k_1/k_2=17.5$ गुना अधिक तीखी है। फ़्लक्स दोनों परतों के प्रति वर्ग मीटर प्रतिरोधों $d/k$ को जोड़ने से मिलता है, जहाँ $d_1=0.20\mathrm{m}$ ईंट की और $d_2=0.10\mathrm{m}$ ऊन की मोटाई है:
$q=\frac{\Delta T}{d_1/k_1+d_2/k_2}=\frac{20}{0.286+2.5}\approx 7.2W/{\mathrm{m}}^2,U\approx 0.36W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$
हर परत में ताप में गिरावट उसके प्रतिरोध के $q$ गुना के बराबर है। ऊन का प्रतिरोध ईंट के लगभग नौ गुना है, इसलिए वह 20 K में से 17.9 K ले लेती है और ईंट केवल 2.1 K।

क्षय के प्रकार

दीवार अपने प्रारंभ को कितनी जल्दी भूलकर $T_{\infty }$ पर स्थिर होती है? इसका उत्तर ताप-वितरण को सरल आकारों में बाँटने से मिलता है, जिनमें से हर एक अपनी दर से क्षीण होता है।

ऊष्मा-चालन समीकरण रैखिक है: दो हलों का योग भी हल होता है। इसलिए स्थिर अवस्था से किसी भी विचलन को ज्यावक्रीय विधाओं (modes) के योग के रूप में लिखा जा सकता है, और हर विधा अपने आकार को बनाए रखते हुए स्वतंत्र रूप से क्षय होती है। तरंगदैर्घ्य $\lambda$ की विधा $\sin (2\pi x/\lambda )$ को ऊष्मा-चालन समीकरण में रखिए: $x$ के सापेक्ष दो अवकलज इसे $-(2\pi /\lambda {)}^2$ से गुणा करते हैं, इसलिए उसका आयाम $e^{-t/\tau }$ के अनुसार घटना चाहिए, जहाँ
$\tau =\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2\alpha }$
क्योंकि क्षय-समय ${\lambda }^2$ के अनुपात में है, बारीक झटके लगभग तुरंत मिट जाते हैं और केवल सबसे चौड़ी विधा शेष रहती है। जोसेफ़ फ़ूरियर ने अपनी 1822 की ऊष्मा-सिद्धांत की पुस्तक में, ठीक इसी समस्या के लिए, अपनी श्रेणी विकसित की थी, यानी ज्याओं का योग।

दीवार में सबसे धीमी विधा को ईंट के दोनों फलकों पर फिट होना होगा। भीतरी फलक पर ताप स्थिर रखा गया है, इसलिए वहाँ स्थिर अवस्था से विचलन शून्य है। बाहरी फलक पर ऊन लगभग पूरे प्रवाह को रोकती है, इसलिए वहाँ विचलन का ढलान लगभग शून्य है। ऐसी सबसे चौड़ी ज्या, जिसका एक सिरे पर शून्य हो और दूसरे सिरे पर सपाट शिखर हो, एक चौथाई तरंग है, $\lambda =4d$, जिससे $\tau =4d^2/({\pi }^2\alpha )\approx 9.7\mathrm{h}$ मिलता है। ऊन थोड़ा रिसाव करती है, इसलिए वास्तविक क्षय थोड़ा तेज़ है: दोनों रीडिंगों के बीच का अंतर लगभग हर 9 घंटे में $e$ के एक गुणक से घटता है, 48 घंटों पर 10% से नीचे से 72 घंटों पर 1% से नीचे तक।

ताप तरंगें

जब सतह का ताप हर दिन, या हर वर्ष, ऊपर-नीचे होता है, तो ऊष्मा-चालन समीकरण इस उतार-चढ़ाव को एक ऐसी तरंग में बदल देता है जो भीतर की ओर जाते हुए क्षीण होती जाती है। इसीलिए मोटी दीवारों और गहरे तहखानों का ताप लगभग स्थिर रहता है।

संकेत-सूची

$t$	समय।	$\mathrm{s}$
$T$	ताप, उसके माध्य से मापा गया।	$\mathrm{K}$
$T_0$	सतह का ताप, कोणीय आवृत्ति $\omega$ से दोलन करता हुआ।	$\mathrm{K}$
$T_x$	सतह के नीचे गहराई $x$ (यहाँ 20 cm) पर ताप।	$\mathrm{K}$
$A$	सतह के ताप का अपने माध्य के सापेक्ष दोलन।	$\mathrm{K}$
$A_x$	गहराई $x$ पर दोलन: $A{e}^{-x/\delta }$, जहाँ $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$।	$\mathrm{K}$
$\Delta t$	गहराई $x$ पर शिखर सतह की तुलना में कितनी देर से पहुँचता है: $x/(\delta \omega )$।	$\mathrm{s}$

चित्र 3 समय $t$ के विरुद्ध दो ताप दिखाता है, और दोनों को उनके माध्य से मापा गया है। बड़ा वक्र $T_0$ सतह है, जो कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आयाम $A$ से दोलन करता है। छोटा वक्र $T_x$ भीतर गहराई $x$ पर का ताप है। दो बातों पर ध्यान दीजिए: $T_x$ का दोलन कहीं कम है, केवल $A_x$, और उसके शिखर $\Delta t$ जितने बाद में आते हैं।

ये दोनों प्रभाव ऊष्मा-चालन समीकरण के एक ही हल से आते हैं, एक अवमंदित तरंग जो भीतर की ओर बढ़ती है:
$T(x,t)-T_{\mathrm{mean}}=A{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta ),\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$
यह देखने के लिए कि $\delta$ का यह मान क्यों है, तरंग को $A{e}^{i\omega t}{e}^{-(1+i)x/\delta }$ के वास्तविक भाग के रूप में लिखिए। समय-अवकलज इसे $i\omega$ से गुणा करता है; दो दिक्-अवकलज इसे $(1+i{)}^2/{\delta }^2=2i/{\delta }^2$ से गुणा करते हैं। तब ऊष्मा-चालन समीकरण माँगता है $i\omega =2i\alpha /{\delta }^2$, जो $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$ है।

हल को पद-दर-पद पढ़िए। हर दूरी $\delta$ पर आयाम $e$ गुना घटता है, इसलिए गहराई $x$ पर दोलन $A_x=A{e}^{-x/\delta }$ है। $\omega t$ में से घटाया गया कला-कोण $x/\delta$ बताता है कि हर शिखर सतह की तुलना में $\Delta t=x/(\delta \omega )$ जितना देर से पहुँचता है। धीमे चक्र अधिक गहराई तक पहुँचते हैं, क्योंकि $\delta$, $1/\sqrt{\omega }$ के अनुपात में बढ़ता है।

ईंट और दैनिक चक्र के लिए, $\omega =2\pi /(24\mathrm{h})$, गहराई $\delta$ लगभग 11 cm है। चित्र $x=20\mathrm{cm}$ के लिए बना है, जहाँ $x/\delta \approx 1.8$ है: मोटी ईंट-चिनाई में 20 cm भीतर दोलन लगभग छठा हिस्सा रह जाता है, $e^{-1.8}\approx 0.17$, और लगभग 7 घंटे देर से पहुँचता है। मिट्टी में, $\alpha \approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$ के साथ, वार्षिक तरंग की $\delta \approx 2.2\mathrm{m}$ है: 3 m नीचे का तहखाना सतह के दोलन का केवल एक चौथाई महसूस करता है, और लगभग ढाई महीने देर से।

स्थिर अवस्थाएँ और लाप्लास समीकरण

जब समय के साथ कुछ नहीं बदलता, तो ऊष्मा-प्रवाह वही गणितीय समस्या बन जाता है जो स्थिरविद्युत में है, इसलिए वहाँ मिले हर हल का पुनः उपयोग किया जा सकता है।

स्थिर अवस्था में $\partial T/\partial t=0$ है, और ऊष्मा-चालन समीकरण ${\nabla }^{2}T=0$ हो जाता है। यह लाप्लास समीकरण है, जिसका पालन निर्वात में स्थिरविद्युत विभव करता है। इसलिए हर स्थिरविद्युत हल एक ऊष्मा-प्रवाह का भी वर्णन करता है, जिसमें विभव की जगह ताप और क्षेत्र की जगह फ़्लक्स $\vec{q}$ होता है।

किसी बड़े खंड की गहराई में शक्ति $W$ का एक छोटा स्रोत लीजिए। स्थिर अवस्था में $W$ का पूरा भाग उसके चारों ओर त्रिज्या $r$ के हर गोले को पार करता है, इसलिए $q=W/(4\pi r^2)$, ठीक किसी बिंदु-आवेश के क्षेत्र जैसा। $q=-kdT/dr$ लेकर दूर से, जहाँ खंड अविचलित है, भीतर की ओर समाकलन करने पर ताप-वृद्धि $W/(4\pi kr)$ मिलती है। मिट्टी की गहराई में 10 W छोड़ने पर, जहाँ $k=1W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ है, 0.5 m दूर की मिट्टी $10/(4\pi \cdot 1\cdot 0.5)\approx 1.6\mathrm{K}$ गर्म होती है।

हल किया गया प्रश्न: रोधन भीतर या बाहर?

क्या इससे फ़र्क पड़ता है कि रोधन दीवार के किस ओर लगाया जाए? स्थिर ऊष्मा-हानि कहती है नहीं; संचित ऊष्मा और गर्म होने का समय कहते हैं हाँ, बहुत अधिक।

संकेत-सूची

$x$	कमरे की ओर वाले फलक से दूरी।	$\mathrm{m}$
$T$	स्थिर अवस्था में दीवार में ताप।	$\mathrm{K}$
$k_1$	ईंट की ऊष्मीय चालकता।	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	खनिज ऊन की ऊष्मीय चालकता।	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$T_m$	दो परतों के बीच अंतरापृष्ठ पर ताप।	$\mathrm{K}$
$\Delta T$	पूरी दीवार के आर-पार कुल तापांतर; दोनों ग्राफ़ों में समान।	$\mathrm{K}$
$E$	दीवार के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर ईंट में संचित ऊर्जा: छायांकित क्षेत्र गुणा $\rho c$।	$J/{\mathrm{m}}^2$

चित्र 4 स्थिर अवस्था में दोनों व्यवस्थाओं की तुलना करता है, जिसमें कमरा $x=0$ पर बाईं ओर है और दीवार पर वही कुल अंतर $\Delta T=20\mathrm{K}$ है। ऊपर का ग्राफ़ एनीमेशन की दीवार है: कमरे की ओर ईंट ($k_1$), बाहर ऊन ($k_2$)। नीचे का ग्राफ़ परतें बदल देता है: कमरे की ओर ऊन, बाहर ईंट। तुलना कीजिए कि अंतरापृष्ठ का ताप $T_m$ कहाँ है, और ईंट के वितरण के नीचे छायांकित क्षेत्र कितना बड़ा है।

चरण 1, स्थिर हानि। श्रेणी-प्रतिरोध किसी भी क्रम में जुड़ते हैं, इसलिए कुल अब भी $0.286+2.5=2.786{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$ है और हानि $q=7.2W/{\mathrm{m}}^2$ ही रहती है।

चरण 2, वितरण। हर परत के आर-पार ताप-गिरावट $qd/k$ है, इसलिए वह परत के साथ चलती है। ऊन बाहर होने पर (ऊपर का ग्राफ़), ईंट 20 °C से $T_m\approx 17.9{}^{\circ }\mathrm{C}$ तक जाती है। ऊन भीतर होने पर (नीचे का ग्राफ़), ऊन पहले अपना 17.9 K ले लेती है, इसलिए $T_m=20-7.18\cdot 2.5\approx 2.1{}^{\circ }\mathrm{C}$ है, और ईंट केवल 2.1 °C से 0 °C के बीच फैली है।

चरण 3, संचित ऊष्मा। प्रति वर्ग मीटर ईंट 0 °C से ऊपर अपने औसत ताप-वृद्धि का $\rho cd$ गुना संचित करती है, जहाँ $\rho c=1.51\times 10^{6}J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$ है; यही ऊर्जा $E$ है, यानी चित्र 4 के छायांकित क्षेत्र का $\rho c$ गुना। ऊन बाहर होने पर ईंट का औसत 19.0 °C है और वह $1.51\times 10^6\cdot 0.20\cdot 19.0\approx 5.7\mathrm{MJ}$ रखती है; ऊन भीतर होने पर उसका औसत लगभग 1 °C है और वह केवल 0.31 MJ रखती है। ऊन के कुछ सौवें मेगाजूल जोड़ने पर प्रति वर्ग मीटर कुल मान 5.8 और 0.34 MJ हैं, यानी 17 गुना का अंतर। ऊन बाहर होने पर, कमरे को दीवार के गर्म होने के दौरान ये 5.8 MJ देने होते हैं, और साथ में बाहरी फलक से जो निकलता है वह भी: यह स्थिर हानि के 9 दिनों जितना है।

चरण 4, समय। ऊन भीतर होने पर कमरे की ओर वाली परत हल्की है, जिसका $\alpha \approx 1.6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ है, और वह लगभग $d^2/\alpha =0.10^2/(1.6\times 10^{-6})\approx 1.75\mathrm{h}$ में स्थिर हो जाती है। दो घंटे बाद कमरे की ओर की हानि 7.8 W/m² है, अपने अंतिम मान के 10% के भीतर। ऊन बाहर होने पर $q(0)$ को उतने निकट आने में दो दिन लगते हैं।

निष्कर्ष। भीतर का रोधन उन कमरों के लिए उपयुक्त है जिन्हें कभी-कभार गर्म किया जाता है और जो कुछ घंटों में गर्म हो जाते हैं। बाहर का रोधन ईंट को एक गर्म भंडार बना देता है, जो रोज़ के उतार-चढ़ाव को समतल करता है। यह ईंट को गर्म भी रखता है: भीतर के रोधन के पीछे ईंट लगभग 0 से 2 °C पर रहती है, जहाँ कमरे की नमी दीवार के भीतर संघनित हो सकती है, जब तक कोई वाष्प-अवरोध उसे न रोके।

गुणांकों की उत्पत्ति

अब तक चालकता $k$, संवहन-गुणांक और विकिरण-विनिमय को दिया हुआ मान लिया गया है। सरल प्रतिरूप उनके आकार की व्याख्या करते हैं।

गैसें। गतिज सिद्धांत देता है $k\approx \frac{1}{3}n\bar{v}\ell c_1$: प्रति इकाई आयतन $n$ अणु हैं, जो औसत चाल $\bar{v}$ से चलते हैं, और हर अणु टकराने से पहले एक औसत मुक्त पथ $\ell$ तक अपनी ऊष्मा-धारिता $c_1$ ले जाता है। चूँकि $\ell \propto 1/n$ है, घनत्व कट जाता है: गैस आधे दाब पर भी उतना ही ऊष्मा चलाती है। यह तब तक रहता है जब तक $\ell$ पात्र के आकार के समान न हो जाए। 1 atm वायु में $\ell \approx 70\mathrm{nm}$ है, इसलिए निर्वात फ़्लास्क में $\ell$ को उसके कुछ मिलीमीटर के अंतराल से बड़ा करने और चालन को ढहाने के लिए लगभग 1 Pa से नीचे का दाब चाहिए।

धातुएँ। मुक्त इलेक्ट्रॉन आवेश के साथ-साथ ऊष्मा भी ले जाते हैं, इसीलिए अच्छे विद्युत-चालक ऊष्मा के भी अच्छे चालक होते हैं।

संवहन। नीचे से गर्म की गई गहराई $d$ की द्रव-परत तब परिसंचरण शुरू करती है जब उसकी रेले संख्या $g\beta \Delta T{d}^3/(\nu \alpha )$ एक क्रांतिक मान से अधिक हो जाती है: दो ठोस प्लेटों के बीच लगभग 1700, और ऊपरी सतह मुक्त होने पर, जैसे बर्तन में, लगभग 1100। यहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है, $\beta$ द्रव का प्रसार-गुणांक है और $\nu$ उसकी गतिक श्यानता है। यह संख्या उत्प्लावन की तुलना करती है, जो प्रवाह चलाती है, उन श्यानता और चालन से, जो उसे शांत करते हैं। बर्तन के 6.7 cm पानी के लिए परत के आर-पार एक केल्विन के हज़ारवें भाग से कम का अंतर भी पर्याप्त है।

विकिरण। छोटे अंतरों के लिए $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$ है, इसलिए विकिरण भी एक गुणांक की तरह व्यवहार करता है: कक्ष-ताप के पास लगभग काली सतह $4\sigma T_0^3\approx 6W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ का विनिमय करती है, जो हवा में प्राकृतिक संवहन के बराबर है।

वैधता की सीमाएँ

फ़ूरियर का नियम मानता है कि ऊष्मा के वाहक (अणु, जालक-कंपन या इलेक्ट्रॉन) उन दूरियों और समयों पर, जो हमारी रुचि के हैं, कई बार टकराते हैं। यह उन संरचनाओं में विफल होता है जो उनके औसत मुक्त पथ के बराबर हों; कमरे के ताप पर सिलिकॉन में जालक-कंपनों के लिए यह कुछ सौ नैनोमीटर है। ट्रांज़िस्टरों में, जिनका व्यास दसियों नैनोमीटर है, ऊष्मा आंशिक रूप से बिना टकराए, बैलिस्टिक ढंग से बहती है, और प्रभावी $k$ थोक मान से काफ़ी नीचे गिर जाता है। ऊष्मा-चालन समीकरण यह भी अनुमति देता है कि अचानक गर्म करने का असर, चाहे कितना भी हल्का हो, हर जगह तुरंत महसूस हो; यह पिकोसेकंड की समय-सीमाओं पर विफल होता है, वाहकों के टकराने से पहले।

चालकता ताप के साथ बदलती है, इसलिए विस्तृत ताप-परिसर में समीकरण अरैखिक हो जाता है। स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान नियम धूसर सतहें मानता है जो उत्सर्जित तरंगदैर्घ्य से कहीं बड़ी हों; कमरे के ताप पर ऊष्मीय तरंगदैर्घ्य लगभग 10 µm है। कहीं अधिक संकरे अंतरालों में, निकट-क्षेत्र विकिरण कृष्णिका-सीमा को कई गुना पार कर सकता है।

इसके आगे

आणविक विसरण उसी समीकरण का पालन करता है जो ऊष्मा का है; ऊष्मा का विद्युत-प्रतिरूप “विद्युत धारा और प्रतिरोध” है, और स्थिर ऊष्मा-प्रवाह “विद्युत क्षेत्र और विभव” को दोहराता है। “गैसों का अणुगति सिद्धांत” वह औसत मुक्त-पथ देता है जो $k$ के पीछे है, और “कृष्णिका विकिरण और क्वांटम” प्लांक के नियम से $\sigma$ व्युत्पन्न करता है। “ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी” दिखाता है कि तापांतर के आर-पार बहती ऊष्मा से एन्ट्रॉपी बनती है, दीवार में लगभग $7.2(1/273-1/293)\approx 1.8\times 10^{-3}W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, और “श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन” एक काल्पनिक गुणांक वाले विसरण समीकरण से मिलता है।