विद्युत चुंबकीय प्रेरण

कुंडली से गुजरते बदलते चुंबकीय फ़्लक्स $Φ$ से विद्युत वाहक बल $ε = - N d Φ/ d t$ कैसे उत्पन्न होता है: फैराडे का नियम, उसकी दिशा के लिए लेंज़ का नियम, और जनित्र।

एक छड़ चुंबक को कुंडली में धकेला जाता है और फिर बाहर खींचा जाता है; मीटर की सुई एक ओर झूलती है, फिर दूसरी ओर, और चुंबक स्थिर होने पर शून्य पर टिक जाती है।

इस विषय से पहले: गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल

शुरुआती

मुख्य विचार

चुंबक को कुंडली में धकेलें तो बिना बैटरी के धारा बहती है; उसे बाहर खींचें तो धारा विपरीत दिशा में बहती है।
केवल परिवर्तन मायने रखता है: चुंबक कुंडली के अंदर स्थिर रखा हो, चाहे कितना भी शक्तिशाली हो, तो कोई धारा नहीं बनती।
किसी तार को चुंबक के क्षेत्र में आर-पार चलाने से भी यही होता है: उसके साथ चलने वाले आवेश तार के अनुदिश धकेले जाते हैं।
प्रेरित धारा परिवर्तन का विरोध करती है, इसलिए चुंबक को चलाने के लिए आपको कार्य करना पड़ता है: वही कार्य विद्युत ऊर्जा बनता है।
तेज़ गति, शक्तिशाली चुंबक या अधिक फेरे से बड़ी धारा मिलती है; जनित्र और साइकिल डायनेमो इसी का उपयोग करते हैं।

तार की एक कुंडली को संवेदी धारामापी से जोड़ें। कहीं भी बैटरी नहीं है, इसलिए सुई शून्य पर टिकी रहती है। अब एक छड़ चुंबक को कुंडली में धकेलें: सुई एक ओर झटका खाती है। चुंबक को कुंडली के भीतर स्थिर रखें, तो सुई वापस शून्य पर आ जाती है। उसे बाहर खींचें, तो सुई दूसरी ओर झटका खाती है।

यह विद्युत चुंबकीय प्रेरण है, जिसकी खोज माइकल फैराडे ने 1831 में की थी। नियम सरल है: धारा केवल तब तक बहती है जब तक कुंडली से गुजरने वाला चुंबकत्व बदल रहा होता है। स्थिर पड़ा एक विशाल चुंबक कुछ नहीं करता; तेज़ी से चलाया गया छोटा चुंबक प्रभाव डालता है। एनिमेशन तीन चरण दिखाता है: चुंबक का अंदर आना, चुंबक का रुकना, और चुंबक का बाहर जाना।

इसका कारण आप पहले ही जानते हैं। चुंबक चलते आवेशों पर पार्श्व बल लगाता है। किसी तार को चुंबक के क्षेत्र में आर-पार चलाएँ तो तार के भीतर के आवेश उसके साथ बह जाते हैं, इसलिए वे तार के अनुदिश धकेले जाते हैं: यही धक्का प्रेरित धारा है। इससे फ़र्क नहीं पड़ता कि चुंबक चल रहा है या तार, दोनों का परिणाम समान है।

प्रेरित धारा सदैव उस परिवर्तन का विरोध करती है जिसने उसे पैदा किया। चुंबक अंदर आते समय कुंडली एक छोटे चुंबक जैसी बन जाती है जो उसे वापस धकेलती है; बाहर जाते समय कुंडली उसे रोकने की कोशिश करती है। इसलिए चुंबक को चलाने के लिए आपको कार्य करना पड़ता है, और यही कार्य वह स्रोत है जहाँ से विद्युत ऊर्जा आती है।

तेज़ चलने, शक्तिशाली चुंबक लेने या अधिक फेरे लगाने से बड़ी धारा मिलती है। बिजली संयंत्रों के जनित्र, साइकिल डायनेमो और वायरलेस चार्जर, सभी इसी पर निर्भर करते हैं।

स्वयं जाँचें: एक चुंबक एक ऐसी कुंडली के अंदर स्थिर पड़ा है जो मीटर से जुड़ी है। मीटर क्या दिखाएगा? (शून्य: कुछ भी नहीं बदल रहा।)

मध्यम

मुख्य विचार

फ़्लक्स $Φ = B A cos θ$ ( $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ ) मापता है कि कितना क्षेत्र किसी लूप से होकर गुजरता है।
फैराडे का नियम: $ε = - N ΔΦ/Δ t$ । केवल बदलता फ़्लक्स ही विद्युत वाहक बल उत्पन्न करता है, चाहे $Φ$ कितना भी बड़ा हो।
$B$ , क्षेत्रफल $A$ या कोण $θ$ में कोई भी परिवर्तन फ़्लक्स बदलता है और विद्युत वाहक बल प्रेरित करता है।
लेंज़ का नियम: प्रेरित धारा फ़्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है, इसलिए चुंबक को चलाने में कार्य लगता है, जो विद्युत ऊर्जा बनता है।

चुंबकीय फ़्लक्स: कितना क्षेत्र किसी लूप से गुजरता है

प्रेरण किसी चुंबकीय क्षेत्र मात्र से नहीं होता, बल्कि इस बदलाव से होता है कि किसी परिपथ से कितना क्षेत्र गुजरता है: चुंबकीय फ़्लक्स। एकसमान क्षेत्र $B$ में क्षेत्रफल $A$ के एक समतल लूप के लिए,
$Φ = B A cos θ$
जहाँ $θ$ क्षेत्र और अभिलंब के बीच का कोण है, यानी वह रेखा जो लूप के तल के लंबवत है। यदि क्षेत्र लूप के आर-पार सीधा हो तो $θ = 0$ और $Φ = B A$ होता है; यदि क्षेत्र तल में हो तो $Φ = 0$ होता है, क्योंकि कोई भी क्षेत्र रेखा लूप को पार नहीं करती।

फ़्लक्स को वेबर में मापा जाता है, $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ , और इसका चिह्न होता है: क्षेत्र उलटने या लूप पलटने पर फ़्लक्स का चिह्न बदल जाता है। एनिमेशन के 200 फेरों जैसी $N$ फेरों वाली कुंडली फ़्लक्स-संबंध $N Φ$ पर प्रतिक्रिया देती है, क्योंकि हर फेरा एक ही फ़्लक्स वहन करता है।

फैराडे का नियम: केवल परिवर्तन मायने रखता है

फैराडे का नियम कहता है कि बदलता फ़्लक्स $N$ फेरों की कुंडली में विद्युत वाहक बल (EMF) प्रेरित करता है:
$ε = - \frac{N ΔΦ}{Δ t}$
वोल्ट में मापा जाने वाला विद्युत वाहक बल उस ऊर्जा के बराबर है जो परिपथ का एक चक्कर लगाने वाले हर कूलॉम आवेश को मिलती है, और यह सूत्र समय-अंतराल $Δ t$ पर उसका औसत देता है। प्रतिरोध $R$ वाले परिपथ में यह धारा $I = ε / R$ चलाता है।

फ़्लक्स $Φ = B A cos θ$ तीन तरीकों से बदल सकता है, और इनमें से हर एक विद्युत वाहक बल प्रेरित करता है:

क्षेत्र $B$ बदलें: चुंबक चलाएँ, या विद्युत चुंबक चालू या बंद करें।
क्षेत्रफल $A$ बदलें: लूप खींचें, या किसी छड़ को पटरियों पर खिसकाएँ।
कोण $θ$ बदलें: कुंडली घुमाएँ, जिससे जनित्र काम करता है।

फ़्लक्स का परिमाण स्वयं मायने नहीं रखता। जब चुंबक कुंडली के भीतर स्थिर रहता है, 2.6 s से 4.6 s तक, तब $Φ$ रीडआउट 0.20 mWb पर टिका रहता है और $ε$ रीडआउट 0 mV दिखाता है।

लेंज़ का नियम: ऋण चिह्न

ऋण चिह्न लेंज़ के नियम का द्योतक है: प्रेरित धारा उस फ़्लक्स-परिवर्तन का विरोध करती है जिसने उसे उत्पन्न किया। जब उत्तरी ध्रुव पास आता है, तो फ़्लक्स बढ़ता है, इसलिए धारा विपरीत दिशा का क्षेत्र बनाती है: कुंडली का वह सिरा जो चुंबक की ओर है, उत्तरी ध्रुव बन जाता है और उसे प्रतिकर्षित करता है। जब चुंबक निकलता है, तो फ़्लक्स घटता है, धारा उलट जाती है, और वही सिरा दक्षिणी ध्रुव बन जाता है जो चुंबक को वापस खींचता है। दाएँ हाथ का नियम दिशा देता है: अँगूठा उस क्षेत्र की दिशा में रखें जो धारा को बनाना होगा, और उँगलियाँ उस दिशा में मोड़ें जिसमें धारा बहती है।

लेंज़ का नियम वास्तव में ऊर्जा संरक्षण का ही एक रूप है। क्योंकि कुंडली चुंबक को पीछे धकेलती है, आपको चुंबक चलाने के लिए कार्य करना पड़ता है, और वही कार्य परिपथ में विद्युत ऊर्जा बनता है। यदि कुंडली गति में सहायता करती, तो एक हल्का धक्का चुंबक को अपने-आप भागने लगाता: बिना स्रोत के ऊर्जा।

उदाहरण: एनिमेशन की कुंडली

जब चुंबक पूरी तरह अंदर हो, तब क्षेत्र $B = 0.20 T$ कुंडली की अक्ष के अनुदिश ( $θ = 0$ ) क्षेत्रफल $A = 10 c m^{2} = 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ से होकर गुजरता है:
$Φ = B A = 0.20 \cdot 1.0 \times 1 0^{- 3} = 2.0 \times 1 0^{- 4} Wb = 0.20 mWb$
$Φ$ रीडआउट 2.6 s पर यह मान पहुँचता है। यह 0.00 से शुरू होता है, क्योंकि 125 mm दूरी से चुंबक कुंडली से केवल लगभग 0.0025 mWb फ़्लक्स भेजता है।

धक्का 2.0 s तक चलता है, 0.6 s से 2.6 s तक, इसलिए इस धक्के पर विद्युत वाहक बल का औसत है
$∣ ε ∣ = \frac{N ΔΦ}{Δ t} = \frac{200 \cdot 0.20 \times 1 0 ^{- 3}}{2.0} = 0.020 V$
अर्थात 20 mV। फिर भी $ε$ रीडआउट $t \approx 2.2 s$ पर लगभग $- 89 mV$ तक गिर जाता है, क्योंकि फ़्लक्स एक समान दर से नहीं बढ़ता। 1.7 s पर यह अब भी केवल लगभग 0.02 mWb है; फिर जब उत्तरी सिरा कुंडली में प्रवेश करता है, तो 2.3 s तक यह लगभग 0.18 mWb तक चढ़ जाता है। इस 0.6 s के अंतराल में औसत $200 \cdot 0.16 \times 1 0^{- 3} /0.6 \approx 53 mV$ है, और औसत कभी भी शिखर से अधिक नहीं हो सकता।

चिह्न लेंज़ के नियम का पालन करता है: जब फ़्लक्स बढ़ता है तब रीडिंग ऋणात्मक होती है, और जब चुंबक निकलते समय फ़्लक्स घटता है तब यह $+ 89 mV$ तक पहुँचती है।

उदाहरण: पटरियों पर फिसलती छड़

दो समांतर पटरियाँ 25 cm दूर हैं और एक सिरे पर 0.50 Ω प्रतिरोधक से जुड़ी हैं। एक धात्विक छड़ इन पर आड़ी रखी है, और वह उनके तल के लंबवत 0.40 T के एकसमान क्षेत्र में है। आप छड़ को 2.0 m/s की स्थिर चाल से पटरियों पर खींचते हैं।

समय $Δ t$ में पटरियों के बीच की $L = 0.25 m$ लंबी छड़ परिपथ में $Lv Δ t$ क्षेत्रफल जोड़ती है, इसलिए $ΔΦ = B Lv Δ t$ , और $N = 1$ लेकर फैराडे का नियम देता है
$ε = B Lv$
$ε = 0.40 \cdot 0.25 \cdot 2.0 = 0.20 V$
और धारा $I = ε / R = 0.20/0.50 = 0.40 A$ ।

क्षेत्र में धारा वाली होने के कारण छड़ पर $F = B I L = 0.40 \cdot 0.40 \cdot 0.25 = 0.040 N$ का बल लगता है, जो लेंज़ के नियम के अनुसार गति के विपरीत, पीछे की ओर है। छड़ को 2.0 m/s पर रखने के लिए $F v = 0.080 W$ की शक्ति चाहिए, जो ठीक वही $I^{2} R = 0.080 W$ है जिसे प्रतिरोधक ऊष्मा में बदलता है: हर जूल आपके खींचने से आया।

मीटर, तीरों और ग्राफ़ को पढ़ना

हरा $Φ$ रीडआउट 0.00 से 0.20 mWb तक S-आकार की वृद्धि में चढ़ता है: पहले धीरे, फिर तेज़, और चुंबक स्थिर होते समय फिर धीमा। $ε$ रीडआउट, मीटर की सुई का कोण और बैंगनी तीर $I$ की लंबाई, सभी विद्युत वाहक बल के अनुपात में चलते हैं। कुंडली के बाएँ सिरे के पास का N या S वह ध्रुव है जो प्रेरित धारा बनाती है।

$Φ$ बनाम $t$ के ग्राफ़ पर विद्युत वाहक बल ढाल का $- N$ गुना होता है: वृद्धि पर ऋणात्मक, किसी समतल भाग पर शून्य (चाहे वह कितनी भी ऊँचाई पर हो), और गिरावट पर धनात्मक। वृद्धि के सबसे तीव्र बिंदु, लगभग 2.2 s के पास, की ढाल लगभग 0.45 mWb/s है, और $200 \cdot 0.45 \approx 89 mV$ ही शिखर रीडिंग है।

सामान्य गलतियाँ

प्रबल क्षेत्र का अर्थ बड़ा विद्युत वाहक बल नहीं है। चुंबक कुंडली के अंदर स्थिर हो, तो 0.20 mWb हर फेरे से गुजरता है और विद्युत वाहक बल ठीक शून्य होता है।
प्रेरित धारा परिवर्तन का विरोध करती है, क्षेत्र का नहीं। जब चुंबक निकलता है, तो प्रेरित क्षेत्र चुंबक के अपने क्षेत्र जैसी दिशा में होता है, और घटते फ़्लक्स को सहारा देता है।
कोण $θ$ अभिलंब से मापा जाता है, तल से नहीं। यदि कुंडली का तल क्षेत्र से 30° पर है, तो $θ = 6 0^{\circ}$ होता है, और इसलिए एनिमेशन के आँकड़ों से $Φ = B A cos 6 0^{\circ} = 0.10 mWb$ होगा, 0.17 mWb नहीं।
गुणक $N$ न भूलें, और $1 c m^{2} = 1 0^{- 4} m^{2}$ से परिवर्तन करें। $N$ छोड़ देने से एनिमेशन का 20 mV औसत 0.1 mV बन जाएगा; 10 cm² को $1 0^{- 2} m^{2}$ मानने से यह 200 mV बन जाएगा।
विद्युत वाहक बल धारा नहीं है। खुले सिरों वाली कुंडली के सिरों के बीच पूरा विद्युत वाहक बल होता है, पर उसमें कोई धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई भी अवरोधी बल नहीं लगता।

इसका उपयोग कहाँ होता है

दुनिया की अधिकांश बिजली उन जनित्रों से आती है जो चुंबकों को कुंडलियों के पास घुमाकर 50 या 60 Hz की प्रत्यावर्ती धारा बनाते हैं। ट्रांसफ़ॉर्मर प्रेरण से वोल्टता बदलते हैं, वायरलेस फ़ोन चार्जर लगभग 100–200 kHz पर एक अंतराल के पार ऊर्जा भेजते हैं, इंडक्शन हॉब भंवर धाराओं से बर्तन गर्म करते हैं, और गिटार पिकअप व धातु-संसूचक चलती या छिपी धातु को महसूस करते हैं। कुछ रेलगाड़ियाँ भंवर धाराओं से ब्रेक लगाती हैं, और इलेक्ट्रिक कारें अपनी मोटरों को जनित्र की तरह चलाकर ऊर्जा वापस पाती हैं।

ये मशीनें “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर” का विषय हैं। फैराडे का नियम प्रकाश की क्रियाविधि का भी आधा हिस्सा है: बदलते चुंबकीय और विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को उत्पन्न करते हैं और साथ-साथ यात्रा करते हैं, जिसे “विद्युत चुंबकीय तरंगें” कहते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

$\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ : बदलता $B$ एक घूमता हुआ, असंरक्षी $E$ बनाता है, जो स्थिर परिपथ में आवेशों को घुमाता है।
स्पंद का क्षेत्रफल $\int ε d t = - N ΔΦ$ फ़्लक्स परिवर्तन से तय होता है; चले गए आवेश $Q = N ∣ΔΦ∣/ R$ हैं, चाल चाहे जो हो।
चलते चालक में विद्युत वाहक बल उसके आवेशों पर लगने वाला चुंबकीय बल है: पटरियों पर रखी छड़ के लिए $ε = \oint (v \times B) \cdot d l = B Lv$ ।
फिसलने वाले संपर्कों (फैराडे चक्रिका) के साथ फ़्लक्स नियम विफल हो सकता है; $ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$ सदैव सही रहता है।
एकसमान क्षेत्र में घूमती कुंडली $ε = NB A ω sin ω t$ देती है: फ़्लक्स सबसे अधिक होने पर शून्य, और फ़्लक्स शून्य होने पर शिखर।

विद्युत वाहक बल और फ़्लक्स की सटीक परिभाषा

फैराडे का नियम दो राशियों को जोड़ता है: किसी परिपथ के चारों ओर विद्युत वाहक बल और उससे गुजरता चुंबकीय फ़्लक्स। इसलिए नियम बताने से पहले दोनों की सटीक परिभाषा चाहिए। किसी बंद पथ $C$ का एक चक्कर छोटे चरणों $d l$ में लगाइए। उस पथ का विद्युत वाहक बल $ε$ इस एक चक्कर में उस बल द्वारा, जो आवेश को आगे धकेलता है, प्रति एकांक आवेश किया गया कार्य है। यदि आवेश $q$ पर बल $F$ लगता है, तो
$ε = \oint (F / q) \cdot d l$
विद्युत वाहक बल विभवांतर नहीं है। स्थिर आवेशों का विद्युत क्षेत्र किसी बंद लूप पर ले जाए गए आवेश पर कुल कार्य नहीं करता, क्योंकि आवेश उसी विभव पर लौट आता है जहाँ से चला था: उस क्षेत्र का परिसंचरण शून्य होता है। इसलिए जब किसी बंद पथ पर विद्युत वाहक बल होता है, तो कोई अन्य धक्का भी कार्य कर रहा होता है, और यह पाठ इसी पर है कि वह धक्का कहाँ से आता है।

चित्र 1 ज्यामिति दिखाता है। $C$ पर तीर पथ के चलने की दिशा देते हैं, और एक छोटा चरण $d l$ दिखाया गया है। फ़्लक्स मापने के लिए हमें एक ऐसी सतह $S$ चाहिए जिसका किनारा $C$ हो; चित्र में समतल सतह ली गई है। $S$ को छोटे खंडों में बाँटिए और हर खंड को एक सदिश $d A$ से वर्णित कीजिए: उसकी लंबाई खंड का क्षेत्रफल है, और वह खंड के लंबवत होता है। खंड की दो भुजाएँ होती हैं, और दाएँ हाथ का नियम एक भुजा चुनता है: दाएँ हाथ की उँगलियाँ $d l$ की दिशा में मोड़िए, तो अँगूठा $d A$ की दिशा देता है। यह नियम फ़्लक्स के चिह्न को उस दिशा से जोड़ता है जिसमें विद्युत वाहक बल गिना जाता है।

अब खंड को ही देखिए। वहाँ के क्षेत्र $B$ और $d A$ के बीच कोण $θ$ है, इसलिए केवल उसका घटक $B cos θ$ खंड को पार करता है, और खंड $B d A cos θ = B \cdot d A$ फ़्लक्स जोड़ता है। सभी खंडों को जोड़ने पर $C$ से गुजरने वाला फ़्लक्स मिलता है:
$Φ = \int B \cdot d A$
सतह का चुनाव क्यों मायने नहीं रखता? क्योंकि $\nabla \cdot B = 0$ है: चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ न शुरू होती हैं न खत्म होती हैं; इसलिए समतल सतह को पार करने वाली हर रेखा उसी किनारे पर खड़े गुंबद को भी पार करती है। $C$ से बँधी हर सतह में एक ही फ़्लक्स होता है, अतः $Φ$ स्वयं पथ का गुण है।

दोनों राशियाँ परिभाषित होने पर फैराडे का नियम कहता है कि विद्युत वाहक बल फ़्लक्स के परिवर्तन की दर का ऋण है। स्थिर पथ के लिए एकमात्र धक्का विद्युत क्षेत्र है, और नियम है
$\oint E \cdot d l = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d A$
$N$ फेरों की कुंडली $N$ ऐसे पथों का श्रेणीक्रम है, जिनमें से हर एक में वही फ़्लक्स है, इसलिए उसका विद्युत वाहक बल है
$ε = - N \frac{d Φ}{d t}$
ऋण चिह्न लेंज़ का नियम है। धनात्मक विद्युत वाहक बल धारा को $d l$ की दिशा में चलाता है, और दाएँ हाथ के नियम से उस धारा का क्षेत्र $S$ को $d A$ की दिशा में भेदता है, जिससे धनात्मक फ़्लक्स जुड़ता है। अतः बढ़ते फ़्लक्स को ऋणात्मक विद्युत वाहक बल मिलता है, जिसकी धारा फ़्लक्स घटाती है और इस प्रकार उसकी वृद्धि का विरोध करती है।

स्टोक्स प्रमेय $E$ के $C$ के चारों ओर परिसंचरण को $S$ से होकर $\nabla \times E$ के फ़्लक्स में बदल देता है। चूँकि नियम हर लूप के लिए, चाहे कितना भी छोटा हो, लागू होता है, वह हर बिंदु पर भी लागू होता है:
$\nabla \times E = - \partial B / \partial t$
बदलते चुंबकीय क्षेत्र के चारों ओर एक घूमता हुआ विद्युत क्षेत्र होता है, चाहे वहाँ कोई तार उसे महसूस करने के लिए हो या न हो।

गति-जनित विद्युत वाहक बल: स्थिर क्षेत्र में चलता परिपथ

किसी परिपथ से गुजरता फ़्लक्स दो बिल्कुल अलग कारणों से बदल सकता है: परिपथ किसी स्थिर क्षेत्र में चलता है, या क्षेत्र बदलता है और परिपथ स्थिर रहता है। फैराडे का नियम दोनों को एक सूत्र से ढकता है, पर इनके पीछे की भौतिकी अलग है। पहले चलते परिपथ को लीजिए, क्योंकि वहाँ नियम एक ऐसे बल से निकलता है जिसे आप पहले से जानते हैं।

चित्र 2 सबसे सरल चलते परिपथ को दिखाता है। लंबाई $L$ की एक छड़ दो पटरियों को आर-पार छूती है, जिनका बायाँ सिरा जुड़ा है, और छड़ वेग $v$ से दाईं ओर खिसकती है। चुंबकीय क्षेत्र $B$ हर जगह पन्ने के भीतर की ओर है (क्रॉस)। छड़ के आवेश उसके साथ चलते हैं, इसलिए हर आवेश पर चुंबकीय बल $q v \times B$ लगता है; धनात्मक आवेश के लिए यह बल $F$ है, जो छड़ के अनुदिश ऊपर की ओर है। विद्युत वाहक बल इस बल का परिपथ पर प्रति एकांक आवेश किया गया कार्य है:
$ε = \oint (v \times B) \cdot d l$
केवल छड़ चलती है, इसलिए केवल वही योगदान देती है। उसके अनुदिश $v \times B$ का परिमाण $v B$ है और दिशा छड़ के अनुदिश है, अतः विद्युत वाहक बल का परिमाण $B Lv$ है।

अब इसे फ़्लक्स से जोड़िए। छोटे समय $d t$ में अवयव $d l$ $v d t$ दूरी तय करता है और छायांकित पट्टी बनाता है, जिसका क्षेत्रफल सदिश $d A = v d t \times d l$ है; पूरी छड़ $Lv d t$ क्षेत्रफल बनाती है। चूँकि $\nabla \cdot B = 0$ है, परिपथ से गुजरता फ़्लक्स ठीक उतना ही बढ़ता है जितना इन पट्टियों से गुजरता फ़्लक्स। $d t$ से भाग देने पर:
$\frac{d Φ}{d t} = \oint B \cdot (v \times d l) = - \oint (v \times B) \cdot d l$
दूसरा चरण सदिश त्रिक गुणनफल के चक्रीय गुण $B \cdot (v \times d l) = d l \cdot (B \times v)$ और $B \times v = - v \times B$ का उपयोग करता है। दाईं ओर विद्युत वाहक बल का ऋण है, इसलिए $ε = - d Φ/ d t$ । स्थिर क्षेत्र में चलते परिपथ के लिए फ़्लक्स नियम कोई नया नियम नहीं है: वह चलते आवेशों पर लगने वाले चुंबकीय बल का परिणाम है।

चित्र 2 के चिह्न इसकी पुष्टि करते हैं। अवयव $d l$ छड़ के अनुदिश नीचे की ओर है, यानी परिपथ में चलने की दिशा में (घड़ी की दिशा में)। दाएँ हाथ के नियम से $d A$ पन्ने के भीतर की ओर है, जो $B$ की दिशा है; अतः फ़्लक्स धनात्मक और बढ़ता है। बल $F$ छड़ पर ऊपर की ओर है, यानी $d l$ के विपरीत, अतः विद्युत वाहक बल ऋणात्मक है: बढ़ता फ़्लक्स और ऋणात्मक विद्युत वाहक बल, जैसा लेंज़ का नियम माँगता है।

बदलता क्षेत्र: प्रेरित विद्युत क्षेत्र

अब परिपथ को स्थिर रखिए और क्षेत्र बदलिए, जैसे कुंडली के बजाय चुंबक को चलाकर। स्थिर आवेशों पर चुंबकीय बल नहीं लगता, इसलिए चुंबकीय बल धक्का नहीं हो सकता। धक्का एक सर्वथा नए विद्युत क्षेत्र से आता है, जिसका परिसंचरण शून्य नहीं है: $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ । चुंबकीय बल के नियम में इसका कोई संकेत नहीं है। यह प्रकृति का एक अलग नियम है, जिसे प्रयोग से खोजा गया।

फिर भी दोनों क्रियाविधियाँ सदैव एक ही विद्युत वाहक बल देते हैं, इसलिए केवल चुंबक और कुंडली की आपेक्षिक गति मायने रखती है। आइंस्टीन का 1905 का आपेक्षिकता पर शोधपत्र इसी उदाहरण से शुरू होता है। चुंबक के निर्देश तंत्र में कुंडली के आवेश गति करते हैं और $q v \times B$ बल महसूस करते हैं; कुंडली के निर्देश तंत्र में वे स्थिर होते हैं और $q E$ महसूस करते हैं। आपेक्षिकता दिखाती है कि ये दो अलग-अलग तंत्रों से देखा गया एक ही क्षेत्र है: उसका विद्युत और चुंबकीय भागों में बँटवारा प्रेक्षक पर निर्भर करता है।

विद्युत वाहक बल स्पंद: उसकी ऊँचाई और क्षेत्रफल

जब एनिमेशन का चुंबक कुंडली में धकेला जाता है, तो विद्युत वाहक बल एक एकल स्पंद के रूप में आता है। स्पंद की दो विशेषताएँ भौतिकी को वहन करती हैं: उसकी ऊँचाई इससे तय होती है कि फ़्लक्स कितनी तेज़ी से बदलता है, और उसका क्षेत्रफल इससे कि फ़्लक्स का कुल परिवर्तन कितना है।

चित्र 3 एनिमेशन के उसी मॉडल से बना है। ऊपरी ग्राफ़ चुंबक के अंदर धकेले जाने के समय एक फेरे से गुजरने वाला फ़्लक्स $Φ (t)$ है: वह $ΔΦ$ तक बढ़ता है, $Φ_{m a x}$ तक पहुँचता है, और फिर समतल रहता है। निचला ग्राफ़ विद्युत वाहक बल $ε (t)$ है, जो फैराडे के नियम से ऊपरी ग्राफ़ की ढाल का $- N$ गुना है। फ़्लक्स वक्र के बिंदु को देखिए: वहाँ स्पर्श-रेखा सबसे तीव्र ढलान वाली है, और उसके ढाल-त्रिभुज की भुजाएँ $d t$ और $d Φ$ हैं। बिंदुकित रेखा सीधे नीचे खींचिए, तो विद्युत वाहक बल अपने स्पंद के निचले सिरे पर है, जिसकी गहराई $ε_{m a x}$ है। जहाँ $Φ$ समतल है, यानी चुंबक के पहुँचने से पहले और अंदर आकर रुकने के बाद, वहाँ विद्युत वाहक बल शून्य है, चाहे फ़्लक्स कितना भी बड़ा हो।

पहले ऊँचाई लीजिए। मॉडल में, एक फेरे से गुजरता फ़्लक्स चुंबक और कुंडली के केंद्रों के बीच की दूरी $s$ पर इस प्रकार निर्भर करता है
$Φ (s) = Φ_{m a x} [1 + (s / a)^{2}]^{- 3/2}$
जहाँ $Φ_{m a x} = 0.20 mWb$ और $a = 30 mm$ है। फ़्लक्स का समय पर निर्भर होना केवल $s$ के ज़रिए है, इसलिए श्रृंखला नियम विद्युत वाहक बल को दो गुणकों में बाँटता है: एक गुणक क्षेत्र के आकार से तय होता है और दूसरा चाल से:
$ε = - N \frac{d Φ}{d s} \frac{d s}{d t}$
ढाल $d Φ/ d s$ , $(s / a) [1 + (s / a)^{2}]^{- 5/2}$ के समानुपाती है। इसके अवकलज को शून्य रखने पर $1 + (s / a)^{2} = 5 (s / a)^{2}$ मिलता है, अतः ढाल $s = \pm a /2$ पर सबसे तीव्र है, जहाँ उसका परिमाण $0.86 Φ_{m a x} / a$ है। चुंबक प्रवेश के समय 78 mm/s की स्थिर चाल से चलता है, और $t \approx 2.2 s$ पर $s = - 15 mm$ पार करता है। अतः स्पंद की गहराई है
$ε_{m a x} = 200 \cdot 0.86 \cdot (0.20 \times 1 0^{- 3} /0.030) \cdot 0.078 \approx 0.089 V$
जो ग्राफ़ का $- 89 mV$ का गर्त है। स्पंद नुकीला है: 2 s के धक्के में यह अपनी आधी से अधिक गहराई पर केवल 0.37 s तक रहता है।

अब क्षेत्रफल। पूरे स्पंद पर फैराडे के नियम का समाकलन करने पर
$\int ε d t = - N \int d Φ = - N ΔΦ$
मिलता है। क्षेत्रफल केवल फ़्लक्स के कुल परिवर्तन पर निर्भर है, इस पर नहीं कि वह कितनी जल्दी हुआ। यहाँ फ़्लक्स 0.0025 mWb (जब चुंबक 125 mm दूर था) से बढ़कर 0.20 mWb हो जाता है, अतः क्षेत्रफल $- 200 \cdot (0.20 - 0.0025) mWb \approx - 39.5 mV \cdot s$ है (एक वोल्ट-सेकंड एक वेबर के बराबर है)। चुंबक को बाहर खींचने पर वही क्षेत्रफल, पर विपरीत चिह्न वाला स्पंद बनता है। दोगुनी तेज़ी से धकेलने पर स्पंद दोगुना ऊँचा और आधा चौड़ा होता है, पर क्षेत्रफल वही रहता है।

इस क्षेत्रफल का व्यावहारिक उपयोग है। $R$ प्रतिरोध वाले परिपथ से बहने वाला आवेश $Q = \int ε d t / R$ है, अतः $Q = N ∣ΔΦ∣/ R$ : 20 Ω के साथ प्रति स्पंद लगभग 2.0 mC। यह परिणाम तब भी सटीक रहता है जब कुंडली का अपना प्रेरकत्व महत्वपूर्ण हो, क्योंकि स्पंद से पहले और बाद में धारा शून्य होती है, इसलिए प्रेरित विद्युत वाहक बल का समाकल शून्य होता है। इसलिए चार्ज मीटर से जुड़ी एक खोज कुंडली, उसे चलाने वाले हाथ की गति चाहे जो हो, एक चुंबकीय क्षेत्र माप सकती है।

घूर्णी कुंडली: एक जनित्र

जनित्र घुमाव से फ़्लक्स बदलता है: एक कुंडली स्थिर क्षेत्र में एकसमान गति से घूमती है। मान लीजिए वह एकसमान क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $ω$ से घूमती है, ताकि चित्र 1 का कोण $θ$ , जो $B$ और कुंडली के क्षेत्रफल-सदिश के बीच है, $θ = ω t$ के अनुसार बढ़ता है। क्षेत्रफल $A$ का हर फेरा तब $Φ = B A cos ω t$ वहन करता है, और फैराडे का नियम देता है
$ε = - N \frac{d Φ}{d t} = NB A ω sin ω t$
जब कुंडली क्षेत्र के सीधे सामने होती है और फ़्लक्स सबसे अधिक होता है, तब विद्युत वाहक बल शून्य होता है, क्योंकि कोसाइन अपने शिखर पर समतल होता है। एक चौथाई चक्कर बाद विद्युत वाहक बल सबसे अधिक होता है, जब कुंडली क्षेत्र के समांतर होती है, फ़्लक्स शून्य से गुज़रता है और सबसे तेज़ी से बदलता है। फ़्लक्स और विद्युत वाहक बल एक चौथाई चक्र के अंतर पर होते हैं, जैसे सरल आवर्त गति में स्थिति और वेग।

एनिमेशन की कुंडली, जिसमें $N = 200$ और $A = 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ है, 0.20 T के क्षेत्र में प्रति सेकंड 50 बार घुमाइए, तब $ω = 2 π \cdot 50 \approx 314 rad/s$ होगा। शिखर विद्युत वाहक बल है
$NB A ω = 200 \cdot 0.20 \cdot 1.0 \times 1 0^{- 3} \cdot 314 \approx 12.6 V$
नियम का औसत रूप इसकी जाँच करता है। हर अर्ध-चक्कर में फ़्लक्स $+ 0.20$ से $- 0.20 mWb$ तक 0.010 s में जाता है, इसलिए विद्युत वाहक बल का औसत है $200 \cdot 0.40 \times 1 0^{- 3} /0.010 = 8.0 V$ । यह शिखर का $2/ π$ है, यानी आधी साइन तरंग का माध्य मान, जैसा होना चाहिए। शिखर हाथ से धकेले गए चुंबक के 89 mV का 140 गुना है, इसके दो कारण हैं: अब फ़्लक्स केवल प्रकट नहीं होता बल्कि पूरी तरह उलट जाता है, और यह ऐसा प्रति सेकंड सौ बार करता है।

प्रेरित धाराएँ पीछे धकेलती हैं

एक बार प्रेरित विद्युत वाहक बल धारा चलाता है, तो वह धारा चुंबकीय क्षेत्र में होती है और उस पर बल लगता है। लेंज़ के नियम से यह बल सदैव उस गति का विरोध करता है जिससे वह उत्पन्न हुआ, इसलिए प्रेरण एक ब्रेक का काम करता है। पटरियों पर रखी छड़ इसे मात्रात्मक बनाती है।

छड़ को धकेलकर छोड़ दीजिए। चाल $v$ पर विद्युत वाहक बल $B Lv$ परिपथ के प्रतिरोध $R$ से होकर धारा $I = B Lv / R$ चलाता है, और क्षेत्र छड़ पर $B I L = B^{2} L^{2} v / R$ बल से पीछे धकेलता है। द्रव्यमान $m$ की छड़ के लिए न्यूटन का दूसरा नियम तब है
$m \frac{d v}{d t} = - \frac{B ^{2} L ^{2}}{R} v$
अवरोधी बल चाल के समानुपाती है, इसलिए चाल घातांकी रूप से घटती है, $v = v_{0} e^{- t / τ}$ , जिसका समय-स्थिरांक $τ = m R / (B^{2} L^{2})$ है। मध्यम स्तर के उदाहरण की पटरियाँ लीजिए, जिनमें $B = 0.40 T$ , $L = 0.25 m$ और $R = 0.50 Ω$ है, तथा 20 g की छड़: $τ = 0.020 \cdot 0.50/ (0.4 0^{2} \cdot 0.2 5^{2}) = 1.0 s$ । 2.0 m/s से छोड़ी गई छड़ दूरी $v_{0} τ = 2.0 m$ तक सरकती है ( $v$ का सभी समय पर समाकल), और उसकी 0.040 J गतिज ऊर्जा पूरी तरह प्रतिरोधक में ऊष्मा बनकर खत्म हो जाती है।

ठोस धातु में धारा को मार्गदर्शन देने के लिए कोई तार नहीं होता: प्रेरित विद्युत क्षेत्र धातु के भीतर ही बंद लूपों में भंवर धाराएँ चलाता है। ये इंडक्शन हॉब पर बर्तन को गर्म करती हैं, रेलगाड़ियों को बिना घिसावट के रोकती हैं, और तांबे की नली में चुंबक को धीरे-धीरे नीचे गिराती हैं। ट्रांसफ़ॉर्मर के क्रोड पतली विद्युतरोधी पत्तियों से बनाए जाते हैं, जिन्हें पटल कहते हैं; ये इन लूपों को तोड़ते हैं और हानि घटाते हैं। कुंडली अपनी ही धारा में होने वाले परिवर्तनों का भी विरोध करती है, क्योंकि उस धारा का फ़्लक्स कुंडली को ही भेदता है। यही स्व-प्रेरण है, और इसी कारण बड़ी कुंडली की धारा अचानक तोड़ने पर चिंगारी निकल सकती है।

उदाहरण: कुंडली के बीच से गिरता चुंबक

एनिमेशन का चुंबक विराम से छोड़िए, उसकी अक्ष ऊर्ध्वाधर हो और उसका केंद्र कुंडली के केंद्र से 20 cm ऊपर हो, ताकि वह सीधा उसके बीच से गुज़रे। पहले कुंडली खुली रहने दीजिए: कोई धारा नहीं बहती, इसलिए गिरावट को कुछ भी नहीं रोकता। प्रवेश और निकास स्पंद की तुलना कैसे होती है? फिर कुंडली को 20 Ω से बंद कीजिए: इससे कितनी अधिक रुकावट आती है?

शिखर ऊँचाइयाँ। हर स्पंद वहाँ सबसे गहरा होता है जहाँ ढाल $d Φ/ d s$ सबसे तीव्र है, यानी $s = \pm 15 mm$ पर, इसलिए
$∣ ε_{m a x} ∣ \approx N \cdot 0.86 (Φ_{m a x} / a) v = 200 \cdot 0.86 \cdot (0.20 \times 1 0^{- 3} /0.030) v \approx 1.15 v$
जहाँ $v$ m/s में और वोल्ट में परिणाम। चुंबक का केंद्र 0.185 m गिरने के बाद $s = - 15 mm$ पर पहुँचता है, जहाँ $v = 2 \cdot 9.81 \cdot 0.185 \approx 1.91 m/s$ ; और 0.215 m गिरने के बाद $s = + 15 mm$ पर, लगभग 2.05 m/s पर। अतः प्रवेश स्पंद का शिखर लगभग $- 2.2 V$ पर है और निकास स्पंद का लगभग $+ 2.35 V$ पर, जो केवल 15 ms बाद आता है।

चौड़ाई। हर स्पंद का क्षेत्रफल $N Φ_{m a x} \approx 40 mV \cdot s$ है, क्योंकि फ़्लक्स लगभग शून्य से $Φ_{m a x}$ तक बढ़ता है और फिर वापस गिरता है। समान क्षेत्रफल होने पर ऊँचा निकास स्पंद अनिवार्य रूप से संकरा होगा: क्षेत्रफल को ऊँचाई से भाग देने पर प्रवेश स्पंद के लिए लगभग 18 ms और निकास स्पंद के लिए लगभग 17 ms मिलता है। दोनों स्पंद एनिमेशन की तुलना में लगभग 25 गुना ऊँचे और 25 गुना संकरे हैं, जो चालों का अनुपात है।

ब्रेकिंग। अब कुंडली को 20 Ω से बंद कीजिए। ऊष्मा में बदलने वाली शक्ति $ε^{2} / R$ है, और दोनों स्पंदों पर इसका समाकल $\int ε^{2} d t / R$ , संख्यात्मक रूप से हल करने पर, लगभग 5.8 mJ है। 50 g का चुंबक $m g h = 0.050 \cdot 9.81 \cdot 0.20 \approx 0.098 J$ गतिज ऊर्जा लेकर पहुँचता है, इसलिए वह अपनी ऊर्जा का लगभग 6% खोता है। उसकी चाल ऊर्जा के वर्गमूल के अनुपात में होती है, इसलिए वह केवल लगभग 3% घटती है: पहले भाग में ब्रेकिंग को नज़रअंदाज़ करना उचित था। तांबे की नली में प्रतिरोध बहुत कम होता है, धाराएँ बड़ी होती हैं, और ब्रेकिंग इतनी प्रबल होती है कि चुंबक एक धीमी अंतिम चाल पर टिक जाता है।

वैधता की सीमाएँ: फ़्लक्स नियम कब विफल होता है

फ़्लक्स नियम तब काम करता है जब धारा का पथ उस पदार्थ के साथ चलता हो जो उसे वहन करता है, जैसे पटरियों पर छड़ करती है। एक घूमती चक्रिका दिखाती है कि जब ऐसा न हो तो क्या गड़बड़ होती है, और उसके बदले क्या प्रयोग करना चाहिए।

चित्र 4 त्रिज्या $r$ की एक तांबे की चक्रिका दिखाता है, जो अपनी धुरी के अनुदिश क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $ω$ से घूम रही है, क्षेत्र पन्ने से बाहर की ओर है (बिंदु)। एक ब्रश धुरी को और एक परिधि को छूता है, और दोनों से तार एक मीटर तक जाते हैं, जो विद्युत वाहक बल $ε$ पढ़ता है। धारा तारों, मीटर और ब्रशों के बीच चक्रिका की एक त्रिज्या से होकर बहती है। चक्रिका घूमने पर यह पथ अपनी जगह रहता है, इसलिए उससे गुजरने वाला फ़्लक्स कभी नहीं बदलता, और फ़्लक्स नियम के अनुसार कोई भी विद्युत वाहक बल नहीं होना चाहिए। फिर भी मीटर एक मान दर्शाता है।

बल का नियम इस रीडिंग को समझाता है। चक्रिका की धातु गति करती है, इसलिए उसमें आवेशों पर $q v \times B$ लगता है। धुरी से दूरी $ρ$ पर धातु की चाल $ω ρ$ है, इसलिए चित्र 4 में त्रिज्या के अनुदिश तीर $v$ $ρ$ के अनुपात में बढ़ते हैं, और उनके सिरे केंद्र से होकर जाने वाली एक सीधी बिंदुकित रेखा पर स्थित होते हैं। धनात्मक आवेश पर बल $F$ त्रिज्या के अनुदिश है, धुरी से दूर (यह बाईं त्रिज्या पर दर्शाया गया है)। अतः त्रिज्या का एक छोटा भाग $d ρ$ विद्युत वाहक बल में $B ω ρ d ρ$ जोड़ता है, और धुरी से परिधि तक का योग उस सीधी रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है, जो एक त्रिभुज है:
$ε = \int_{0}^{r} B ω ρ d ρ = \frac{1}{2} B ω r^{2}$
10 cm त्रिज्या की, 0.50 T में प्रति सेकंड 50 बार घूमती चक्रिका के लिए यह 0.79 V है। जो नियम कभी विफल नहीं होता, वह स्वयं बल का नियम है, जिसमें आवेशों के वास्तविक पथ के साथ प्रति एकांक आवेश पर बल का समाकलन किया जाता है:
$ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$

परिपथ का चित्र भी अपनी सीमाएँ रखता है। यह मानता है कि विद्युत वाहक बल पूरे लूप में एक साथ प्रकट होता है, जिसके लिए परिपथ परिवर्तनशील क्षेत्र की तरंगदैर्घ्य $c / f$ से बहुत छोटा होना चाहिए: 50 Hz पर यह 6000 km है, पर 1 GHz पर केवल 30 cm, जहाँ तार एंटीना की तरह विकिरण करने लगते हैं। हमने कुंडली के अपने क्षेत्र को भी नज़रअंदाज़ किया है। एनिमेशन की कुंडली, जिसकी लंबाई $ℓ = 60 mm$ है, उसके प्रेरकत्व का लंबी परिनालिका वाला अनुमान $μ_{0} N^{2} A / ℓ$ 1 mH से कम आता है, और 20 Ω के साथ समय-स्थिरांक लगभग 40 µs होता है: 0.4 s के स्पंद के सामने नगण्य, पर उच्च आवृत्तियों पर प्रबल।

$E$ और $v \times B$ के बीच धक्के का बँटवारा संदर्भ तंत्र पर निर्भर करता है। कम गति पर, वेग $v$ से चलता तंत्र विद्युत क्षेत्र को $E^{'} = E + v \times B$ के रूप में देखता है; एनिमेशन की 78 mm/s चाल पर इस नियम की त्रुटि केवल लगभग $(v / c)^{2} \approx 7 \times 1 0^{- 20}$ है।

दूसरे छोर पर एक अतिचालक वलय है। शून्य प्रतिरोध वाले लूप में कुल विद्युत वाहक बल शून्य होना ही चाहिए, अन्यथा धारा असीमित रूप से बढ़ती; इसलिए वलय से गुजरने वाला फ़्लक्स, जिसमें उसकी अपनी धारा का फ़्लक्स भी शामिल है, बिल्कुल नहीं बदल सकता। यह फ़्लक्स केवल फ़्लक्स-क्वांटम $h /2 e \approx 2.07 \times 1 0^{- 15} Wb$ के पूर्ण गुणकों में भी आता है। कुंडली का 0.20 mWb लगभग $1 0^{11}$ क्वांटम है; SQUID, यानी अतिचालक क्वांटम व्यतिकरण युक्तियाँ, एक क्वांटम के छोटे भाग को भी पढ़ लेती हैं, जो मस्तिष्क के चुंबकीय क्षेत्रों को रिकॉर्ड करने के लिए पर्याप्त है।

इसके आगे

“गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल” ने इस पाठ का $v \times B$ वाला हिस्सा दिया। “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर” इस नियम को काम में लगाता है: ट्रांसफ़ॉर्मर एक बदलते फ़्लक्स को साझा करने वाली दो कुंडलियाँ हैं, और मोटर उल्टी चलाया गया जनित्र है, जिसमें लेंज़ के नियम द्वारा अनुमानित प्रतिविद्युत वाहक बल होता है। “घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा” उस ऊर्जा को सॉकेट तक ले जाता है, और भंवर-धारा ब्रेक “अवमंदन और अनुनाद” में एक रैखिक अवमंदक के रूप में फिर प्रकट होता है।

मैक्सवेल का सुधार जोड़िए, कि बदलता विद्युत क्षेत्र भी चुंबकीय क्षेत्र बनाता है, तो दोनों क्षेत्र खाली स्थान में एक-दूसरे को पुनः उत्पन्न करते हैं और $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ की चाल से आगे बढ़ते हैं: यही “विद्युत चुंबकीय तरंगें” का विषय है। और चूँकि केवल चुंबक और कुंडली की आपेक्षिक गति मायने रखती है, यह मार्ग “विशिष्ट आपेक्षिकता” तक भी ले जाता है।

मुख्य सूत्र

समतल कुंडली से गुजरता चुंबकीय फ़्लक्स

Φ = B A cos θ

चुंबकीय फ़्लक्स मापता है कि कुंडली से कितना चुंबकीय क्षेत्र गुजरता है: क्षेत्र को क्षेत्रफल से गुणा किया जाता है, और क्षेत्र झुका हो तो $cos θ$ से भी गुणा किया जाता है। केवल अभिलंब दिशा का क्षेत्र-घटक कुंडली से गुजरता है; कुंडली के तल में पड़ा घटक किनारे से निकल जाता है। चिह्न इस पर निर्भर करता है कि कुंडली का कौन-सा पक्ष धनात्मक माना गया है, और क्षेत्र उलटने या कुंडली पलटने पर यह बदल जाता है।

चिह्न
$Φ$	लूप से गुजरता चुंबकीय फ़्लक्स	$Wb$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र, लूप पर एकसमान	$T$
$A$	लूप का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$θ$	क्षेत्र और लूप के अभिलंब के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: एकसमान क्षेत्र में समतल लूप के लिए। अन्यथा सतह पर क्षेत्र का योग लें, $Φ = \int B \cdot d A$ ; $N$ फेरों की कुंडली के लिए फ़्लक्स-संबंध पाने हेतु इसे $N$ से गुणा करें।

उदाहरण: एनिमेशन की कुंडली, जिसके अक्ष पर $B = 0.20 T$ और $A = 10 c m^{2}$ है: $Φ = 0.20 \cdot 1.0 \times 1 0^{- 3} = 2.0 \times 1 0^{- 4} Wb = 0.20 mWb$ ।

फैराडे का नियम: औसत विद्युत वाहक बल

ε = - \frac{N ΔΦ}{Δ t}

कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल फेरों की संख्या और हर फेरे से गुजरने वाले फ़्लक्स के परिवर्तन की दर के गुणनफल के बराबर होता है। सीमित अंतराल पर सूत्र औसत विद्युत वाहक बल देता है। ऋण चिह्न लेंज़ का नियम है: विद्युत वाहक बल से बनी धारा का अपना क्षेत्र इस परिवर्तन का विरोध करता है। स्थिर फ़्लक्स पर विद्युत वाहक बल शून्य होता है, चाहे वह कितना भी बड़ा हो।

चिह्न
$ε$	औसत प्रेरित विद्युत वाहक बल	$V$
$N$	फेरों की संख्या
$ΔΦ$	एक फेरे से गुजरने वाले फ़्लक्स में परिवर्तन	$Wb$
$Δ t$	परिवर्तन की अवधि	$s$

कब लागू होता है: यह $Δ t$ पर औसत देता है; किसी क्षण का विद्युत वाहक बल $- N d Φ/ d t$ है। यह मानता है कि हर फेरे का फ़्लक्स समान है और धारा का पथ चालक पदार्थ के साथ चलता है, जैसे पटरियों पर रखी छड़ के लिए।

उदाहरण: एनिमेशन का धक्का: $200 \cdot 0.20 \times 1 0^{- 3} /2.0 = 0.020 V$ , यानी औसतन 20 mV, जबकि रीडिंग का शिखर लगभग 89 mV पर है।

फैराडे का नियम: किसी क्षण का विद्युत वाहक बल

ε = - \frac{N d Φ}{d t}

$Δ t$ को शून्य की ओर ले जाने पर हर क्षण का विद्युत वाहक बल मिलता है: यह $Φ (t)$ ग्राफ़ की ढाल का $- N$ गुना है। तीव्र ढाल वाले भाग बड़ा विद्युत वाहक बल देते हैं और समतल भाग कोई विद्युत वाहक बल नहीं। समय पर समाकलित करने पर विद्युत वाहक बल स्पंद के नीचे का क्षेत्रफल $- N ΔΦ$ होता है, चाहे परिवर्तन कितनी भी जल्दी हुआ हो।

चिह्न
$ε$	समय $t$ पर विद्युत वाहक बल	$V$
$N$	फेरों की संख्या
$Φ$	एक फेरे से गुजरने वाला फ़्लक्स	$Wb$
$t$	समय	$s$

कब लागू होता है: जब भी धारा का पथ चालक पदार्थ के साथ चलता हो, तब यह लागू होता है, चाहे क्षेत्र बदले या परिपथ चले। जब पदार्थ किसी स्थिर पथ पर फिसलता है, जैसे ब्रशों वाली घूमती चक्रिका में, तब इसके बजाय बल का नियम $ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$ प्रयोग करें।

उदाहरण: एनिमेशन के फ़्लक्स की अधिकतम ढाल लगभग 0.45 mWb/s है, जो $200 \cdot 0.45 \approx 89 mV$ देती है, यही शिखर रीडिंग है।

सरकती छड़ का गति-जनित विद्युत वाहक बल

ε = B Lv

क्षेत्र को पार करती छड़ अपने आवेश साथ ले जाती है, और चुंबकीय बल $q v B$ उन्हें छड़ के अनुदिश धकेलता है। लंबाई $L$ पर प्रति एकांक आवेश किया गया कार्य $B Lv$ है। फैराडे का नियम वही परिणाम देता है, क्योंकि छड़ $Lv$ की दर से क्षेत्रफल घेरती जाती है।

चिह्न
$ε$	छड़ के सिरों के बीच विद्युत वाहक बल	$V$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$L$	क्षेत्र को आर-पार काटती छड़ की लंबाई	$m$
$v$	छड़ की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: जब छड़, उसका वेग और क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हों और क्षेत्र एकसमान हो। अन्यथा केवल लंबवत घटक गिने जाते हैं: छड़ के अनुदिश $ε = \int (v \times B) \cdot d l$ ।

उदाहरण: 0.40 T में 2.0 m/s पर चलती 25 cm की छड़: $ε = 0.40 \cdot 0.25 \cdot 2.0 = 0.20 V$ ।

एकसमान क्षेत्र में घूमती कुंडली का विद्युत वाहक बल

ε = NB A ω sin ω t

कोणीय वेग $ω$ से घूमती कुंडली के हर फेरे में फ़्लक्स $B A cos ω t$ होता है, और $- N d Φ/ d t$ से आयाम $NB A ω$ का ज्यावक्रीय विद्युत वाहक बल मिलता है। कुंडली क्षेत्र के सामने हो, जहाँ फ़्लक्स सबसे अधिक है, तब विद्युत वाहक बल शून्य होता है; और एक चौथाई चक्कर बाद, जब फ़्लक्स शून्य से गुजरता है, तब विद्युत वाहक बल शिखर पर होता है। दोगुनी तेज़ी से घुमाने पर आयाम और आवृत्ति दोनों दोगुने हो जाते हैं।

चिह्न
$ε$	समय $t$ पर विद्युत वाहक बल	$V$
$N$	फेरों की संख्या
$B$	चुंबकीय क्षेत्र, एकसमान	$T$
$A$	एक फेरे का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$ω$	कुंडली का कोणीय वेग	$rad/s$
$t$	कुंडली के क्षेत्र के सामने आने के बाद बीता समय	$s$

कब लागू होता है: एकसमान क्षेत्र और स्थिर कोणीय वेग के लिए, जहाँ $t = 0$ पर कुंडली क्षेत्र के सामने है। वास्तविक जनित्र क्षेत्र को आकार देते हैं और कई कुंडलियाँ प्रयोग करते हैं, पर आयाम अब भी $ω$ के अनुपात में बढ़ता है।

उदाहरण: एनिमेशन की कुंडली प्रति सेकंड 50 बार घूमती है ( $ω \approx 314 rad/s$ ): $ε_{0} = 200 \cdot 0.20 \cdot 1.0 \times 1 0^{- 3} \cdot 314 \approx 12.6 V$ ।

फैराडे के नियम का समाकल रूप

\oint E \cdot d l = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d A

किसी भी बंद पथ के चारों ओर स्पर्शरेखीय विद्युत क्षेत्र का योग उस पथ को किनारा मानने वाली किसी भी सतह से गुजरने वाले चुंबकीय फ़्लक्स के समय-अवकलज के ऋण के बराबर है। अतः बदलते चुंबकीय क्षेत्र के चारों ओर एक घूमता विद्युत क्षेत्र होता है, खाली स्थान में भी, और यह स्थिर परिपथ में आवेशों को चलाता है। स्टोक्स प्रमेय से यह $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ के समतुल्य है।

चिह्न
$E$	विद्युत क्षेत्र	$V/m$
$d l$	बंद पथ का एक अवयव	$m$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$d A$	पथ से घिरी सतह का एक अवयव, जिसका अभिलंब दाएँ हाथ के नियम से तय होता है	$m^{2}$
$t$	समय	$s$

कब लागू होता है: स्थिर पथ के लिए सटीक है: यह मैक्सवेल के समीकरणों में से एक है। चलते परिपथ के लिए विद्युत वाहक बल में $\oint (v \times B) \cdot d l$ भी जुड़ता है।

उदाहरण: एक चौड़ी परिनालिका के भीतर, जहाँ क्षेत्र 0.50 T/s की दर से बढ़ता है, $r = 10 cm$ त्रिज्या के समाक्ष वृत्त के लिए $2 π r E = π r^{2} d B / d t$ है, इसलिए $E = (r /2) d B / d t = 0.025 V/m$ ।

शब्दावली

विद्युत चुंबकीय प्रेरण: बदलते चुंबकीय फ़्लक्स से विद्युत वाहक बल, और इस प्रकार बंद परिपथ में धारा, का उत्पन्न होना। स्थिर फ़्लक्स, चाहे कितना भी बड़ा हो, कुछ प्रेरित नहीं करता; माइकल फैराडे ने यह प्रभाव 1831 में खोजा।
चुंबकीय फ़्लक्स: किसी सतह से गुजरने वाले चुंबकीय क्षेत्र की मात्रा, $Φ = \int B \cdot d A$ ; एकसमान क्षेत्र में समतल लूप के लिए $B A cos θ$ । यह स्वयं क्षेत्र नहीं है: एक बड़े लूप से गुजरता कमज़ोर क्षेत्र, छोटे लूप से गुजरते प्रबल क्षेत्र से अधिक फ़्लक्स दे सकता है।
फ़्लक्स-संबंध: एक फेरे का फ़्लक्स गुणा फेरों की संख्या, यानी $N Φ$ , जब हर फेरे में वही फ़्लक्स हो। विद्युत वाहक बल इसके परिवर्तन की दर का ऋण है; एनिमेशन में यह $200 \cdot 0.20 mWb = 40 mWb$ तक पहुँचता है।
विद्युत वाहक बल (EMF): परिपथ में एक बार चलने पर प्रति एकांक आवेश किया गया कार्य, जो वोल्ट में मापा जाता है। नाम के बावजूद यह बल नहीं है, और विभवांतर के विपरीत यह एक बंद लूप के चारों ओर शून्येतर हो सकता है।
फैराडे का विद्युत चुंबकीय प्रेरण नियम: परिपथ के चारों ओर विद्युत वाहक बल फ़्लक्स-संबंध के परिवर्तन की दर के ऋण के बराबर है, $ε = - N d Φ/ d t$ । यह तब भी लागू होता है जब क्षेत्र बदले और तब भी जब परिपथ चले या विकृत हो।
लेंज़ का नियम: प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि वह उस फ़्लक्स-परिवर्तन का विरोध करे जिसने उसे उत्पन्न किया; यही फैराडे के नियम का ऋण चिह्न है। यह परिवर्तन का विरोध करता है, क्षेत्र का नहीं, और यह ऊर्जा संरक्षण की अभिव्यक्ति है।
गति-जनित विद्युत वाहक बल: चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में उसके आवेशों पर लगने वाले चुंबकीय बल $q v \times B$ के कारण उत्पन्न विद्युत वाहक बल। $B$ क्षेत्र को $v$ चाल से पार करती $L$ लंबाई की छड़ के लिए, $ε = B Lv$ ।
प्रेरित विद्युत क्षेत्र: बदलते चुंबकीय क्षेत्र के चारों ओर का विद्युत क्षेत्र, जो $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ का पालन करता है। इसकी क्षेत्र-रेखाएँ स्वयं में बंद होती हैं, इसलिए यह किसी विभव की प्रवणता नहीं है और यह आवेशों को लूप में चला सकता है।
भंवर धाराएँ: किसी ठोस चालक के भीतर बदलते या गतिमान क्षेत्र द्वारा बंद लूपों में प्रेरित धाराएँ। ये धातु को गर्म करती हैं, जैसे इंडक्शन हॉब में, और उसकी गति को रोकती हैं; ट्रांसफ़ॉर्मर के क्रोड में पतली विद्युतरोधी पत्तियाँ इन्हें छोटा रखती हैं।
जनित्र: एक ऐसी मशीन जो यांत्रिक कार्य को प्रेरण द्वारा विद्युत ऊर्जा में बदलती है, आमतौर पर कुंडलियों और चुंबकों को एक-दूसरे के सापेक्ष घुमाकर। एकसमान क्षेत्र में $ω$ से घूमती कुंडली $NB A ω sin ω t$ का प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल देती है।
स्व-प्रेरण: कुंडली की अपनी धारा में परिवर्तनों से उसमें प्रेरित विद्युत वाहक बल, जो उसके अपने फ़्लक्स को बदलते हैं। लेंज़ के नियम से यह धारा के परिवर्तन का विरोध करता है; कुंडली का प्रेरकत्व इसकी शक्ति मापता है।
फैराडे चक्रिका: धुरी के समांतर क्षेत्र में घूमती एक धातु की चक्रिका, जिसकी धुरी और परिधि पर फिसलने वाले संपर्क होते हैं। धारा के पथ से गुजरने वाला फ़्लक्स कभी नहीं बदलता, फिर भी यह स्थिर विद्युत वाहक बल $\frac{1}{2} B ω r^{2}$ देती है: यह वह स्थिति है जहाँ फ़्लक्स नियम विफल होता है और बल का नियम प्रयोग करना पड़ता है।

राशियाँ
$Φ$	चुंबकीय फ़्लक्स	$Wb$	कुंडली के एक फेरे से गुजरने वाला फ़्लक्स, जहाँ $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ । एनिमेशन में यह चुंबक के प्रवेश के साथ लगभग शून्य से बढ़कर 0.20 mWb हो जाता है।
$ΔΦ$	फ़्लक्स में परिवर्तन	$Wb$	विचाराधीन अवधि में एक फेरे के अंतिम फ़्लक्स में से प्रारंभिक फ़्लक्स घटाया गया मान। अकेले यही विद्युत वाहक बल स्पंद का क्षेत्रफल, $- N ΔΦ$ , तय करता है।
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$	चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता, जिसे चुंबकीय फ़्लक्स-घनत्व भी कहते हैं: उसके लंबवत एक वर्ग मीटर सतह से गुजरने वाला फ़्लक्स। कुंडली के भीतर चुंबक का क्षेत्र 0.20 T है।
$N$	फेरों की संख्या		तार कुंडली के चारों ओर कितनी बार लिपटा है। हर फेरा समान विद्युत वाहक बल देता है, इसलिए कुल विद्युत वाहक बल एक फेरे का $N$ गुना है; एनिमेशन की कुंडली में 200 फेरे हैं।
$ε$	विद्युत वाहक बल (EMF)	$V$	परिपथ में प्रेरित विद्युत वाहक बल; चुनी गई धनात्मक दिशा के सापेक्ष इसका चिह्न बताता है कि यह किस दिशा में धारा चलाता है। एनिमेशन में इसका शिखर लगभग 89 mV है।
$Δ t$	समय-अंतराल	$s$	वह समय जिसमें फ़्लक्स बदलता है; सीमित अंतराल पर फैराडे का नियम उसमें औसत विद्युत वाहक बल देता है।
$L$	छड़ की लंबाई	$m$	चलते चालक की वह लंबाई जो क्षेत्र को आर-पार काटती है, उदाहरण के लिए दो पटरियों के बीच की छड़ का भाग।
$v$	छड़ की चाल	$m/s$	क्षेत्र को आर-पार काटते चालक की चाल, जो छड़ और क्षेत्र दोनों के लंबवत है।
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$	जनित्र की कुंडली कितनी तेज़ घूमती है, $ω = 2 π f$ : प्रति सेकंड 50 चक्कर लगभग 314 rad/s के बराबर है।
$E$	प्रेरित विद्युत क्षेत्र	$V/m$	बदलते चुंबकीय क्षेत्र के चारों ओर का विद्युत क्षेत्र; किसी बंद पथ पर इसका परिसंचरण उस पथ का विद्युत वाहक बल है।

क्विज़

शुरुआती एक चुंबक एक ऐसी कुंडली के अंदर स्थिर पड़ा है जो धारा मीटर से जुड़ी है। मीटर क्या दिखाएगा?
1. एक बड़ी स्थिर धारा
2. शून्य धारा
3. लगातार बढ़ती धारा
4. आगे-पीछे उलटती धारा
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उत्तर: B. शून्य धारा
प्रेरित धारा केवल तभी बनती है जब कुंडली से गुजरने वाला चुंबकत्व बदलता है। स्थिर चुंबक, चाहे कितना भी शक्तिशाली हो, कुछ प्रेरित नहीं करता।
शुरुआती इनमें से कौन-सी स्थिति मीटर की सुई को और अधिक झुकाती है?
1. चुंबक को तेज़ी से अंदर ले जाना
2. चुंबक को धीरे अंदर ले जाना
3. चुंबक को कुंडली के अंदर स्थिर रखना
4. कम फेरों वाली कुंडली लेना
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उत्तर: A. चुंबक को तेज़ी से अंदर ले जाना
तेज़ परिवर्तन से बड़ी प्रेरित धारा बनती है। अधिक फेरे और शक्तिशाली चुंबक भी मदद करते हैं; चुंबक को स्थिर रखने से कोई धारा नहीं बनती।
शुरुआती आप एक चुंबक को कुंडली में धकेलते हैं और मीटर की सुई बाईं ओर झुकती है। चुंबक को बाहर खींचने पर क्या होगा?
1. फिर बाईं ओर झुकेगी
2. अपनी जगह से नहीं हिलेगी
3. दाईं ओर झुकेगी
4. बाईं ओर झुककर वहीं टिकी रहेगी
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उत्तर: C. दाईं ओर झुकेगी
चुंबक को बाहर खींचने पर चुंबकत्व का परिवर्तन विपरीत दिशा में होता है, इसलिए धारा और सुई दोनों उलट जाते हैं।
मध्यम 100 फेरों वाली कुंडली से गुजरने वाला फ़्लक्स 0.10 s में 0 से 2.0 mWb हो जाता है। औसत प्रेरित विद्युत वाहक बल क्या है?
1. 0.02 V
2. 0.2 V
3. 2.0 V
4. 20 V
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उत्तर: C. 2.0 V
|ε| = N·ΔΦ/Δt = 100 × 2.0 × 10⁻³ / 0.10 = 2.0 V। गुणक N भूल जाने पर 0.02 V मिलता है।
मध्यम चुंबक के उत्तरी ध्रुव को कुंडली की ओर धकेला जाता है। लेंज़ के नियम के अनुसार, कुंडली का वह सिरा जो चुंबक की ओर है, बन जाता है:
1. उत्तरी ध्रुव, जो चुंबक को प्रतिकर्षित करता है
2. दक्षिणी ध्रुव, जो चुंबक को आकर्षित करता है
3. अचुंबकीय
4. उत्तरी ध्रुव, जो चुंबक को आकर्षित करता है
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उत्तर: A. उत्तरी ध्रुव, जो चुंबक को प्रतिकर्षित करता है
प्रेरित धारा परिवर्तन का विरोध करती है: आते उत्तरी ध्रुव का विरोध करने के लिए कुंडली एक उत्तरी ध्रुव बनाती है, जो उसे प्रतिकर्षित करता है।
मध्यम 0.02 m² क्षेत्रफल की एक समतल कुंडली 0.5 T के क्षेत्र के लंबवत है। प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला फ़्लक्स क्या है?
1. 0.04 Wb
2. 0.01 Wb
3. 25 Wb
4. 0.1 Wb
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उत्तर: B. 0.01 Wb
Φ = B·A = 0.5 × 0.02 = 0.01 Wb। गुणा की जगह भाग करने पर 25 Wb मिलता।
उन्नत एक जनित्र की कुंडली एकसमान क्षेत्र में घूमती है। जिस क्षण कुंडली से गुजरने वाला फ़्लक्स अधिकतम है, प्रेरित विद्युत वाहक बल है:
1. वह भी अधिकतम
2. शिखर का आधा
3. शिखर पर, पर चिह्न उलटा
4. शून्य
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उत्तर: D. शून्य
ε = −N·dΦ/dt इस पर निर्भर करता है कि Φ कितनी तेज़ी से बदलता है, न कि उसके परिमाण पर। Φ = B·A·cos ωt उस समय शिखर पर होता है जब कुंडली का तल क्षेत्र के लंबवत होता है (ωt = 0); ठीक उसी बिंदु पर उसकी ढाल (जो sin ωt के समानुपाती है) शून्य होती है। विद्युत वाहक बल एक चौथाई चक्कर बाद सबसे अधिक होता है, जब कुंडली से गुजरने वाला फ़्लक्स शून्य होता है।
उन्नत एक ही कुंडली में चुंबक को दो बार धकेला जाता है, एक बार धीरे और एक बार तेज़ी से। दोनों स्पंदों के समय-समाकल ∫ε dt की तुलना कैसे होती है?
1. दोनों बराबर हैं, दोनों −N·ΔΦ
2. तेज़ धक्के का बड़ा है
3. धीमे धक्के का बड़ा है
4. दोनों के लिए शून्य है
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उत्तर: A. दोनों बराबर हैं, दोनों −N·ΔΦ
∫ε dt = −N·∫dΦ = −N·ΔΦ केवल प्रारंभिक और अंतिम फ़्लक्स पर निर्भर करता है। तेज़ धक्का अधिक ऊँचा और संकरा स्पंद देता है, पर उसका क्षेत्रफल समान रहता है।

$C$	बंद पथ, यानी परिपथ, जिस पर छोटे चरणों में चला जाता है।
$S$	एक सतह जिसका किनारा $C$ है; हर ऐसी सतह में वही फ़्लक्स होता है।
$d l$	$C$ के साथ एक छोटा चरण, तीरों द्वारा दर्शाई दिशा में।	$m$
$d A$	$S$ का एक छोटा खंड सदिश के रूप में: उसकी लंबाई खंड का क्षेत्रफल है, वह खंड के लंबवत है, और उसकी ओर दाएँ हाथ का नियम तय करता है।	$m^{2}$
$B$	खंड पर चुंबकीय क्षेत्र।	$T$
$θ$	$B$ और $d A$ के बीच का कोण।	$rad$

$B$	चुंबकीय क्षेत्र, पन्ने के भीतर की ओर (क्रॉस)।	$T$
$v$	छड़ का वेग, दाईं ओर।	$m/s$
$L$	पटरियों के बीच छड़ की लंबाई।	$m$
$v d t$	छोटे समय $d t$ में छड़ कितनी दूर खिसकती है।	$m$
$d l$	छड़ का एक छोटा अवयव, परिपथ की दिशा में: घड़ी की दिशा में, यानी छड़ के अनुदिश नीचे।	$m$
$d A$	समय $d t$ में $d l$ द्वारा बनाई गई पट्टी, क्षेत्रफल-सदिश $v d t \times d l$ के रूप में; यह पन्ने के भीतर की ओर है।	$m^{2}$
$F$	छड़ के साथ चलते धनात्मक आवेश $q$ पर चुंबकीय बल $q v \times B$ ; यह छड़ के अनुदिश ऊपर की ओर है।	$N$

$t$	समय।	$s$
$Φ$	कुंडली के एक फेरे से गुजरने वाला फ़्लक्स।	$Wb$
$Φ_{m a x}$	सबसे अधिक फ़्लक्स, जो चुंबक के कुंडली के भीतर स्थिर होने पर पहुँचता है।	$Wb$
$ΔΦ$	धक्के के दौरान फ़्लक्स की कुल वृद्धि।	$Wb$
$d t$	एक छोटा समय-अंतराल: ढाल-त्रिभुज की क्षैतिज भुजा।	$s$
$d Φ$	स्पर्श-रेखा के अनुदिश $d t$ में $Φ$ का परिवर्तन: ऊर्ध्वाधर भुजा।	$Wb$
$ε$	$N$ फेरों की पूरी कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल।	$V$
$ε_{m a x}$	स्पंद की गहराई, $Φ$ के सबसे तीव्र बिंदु के नीचे; वहाँ विद्युत वाहक बल स्वयं ऋणात्मक है।	$V$
$N ΔΦ$	स्पंद के नीचे छायांकित क्षेत्र का आकार: $N$ फेरे गुणा वृद्धि $ΔΦ$ ।	$V \cdot s$

$B$	धुरी के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र, पन्ने से बाहर की ओर (बिंदु)।	$T$
$ω$	चक्रिका का कोणीय वेग।	$rad/s$
$r$	चक्रिका की त्रिज्या: धुरी से परिधि तक की दूरी।	$m$
$d ρ$	त्रिज्या का एक छोटा भाग, धुरी से $ρ$ दूरी पर।	$m$
$v$	त्रिज्या के एक बिंदु पर धातु का वेग, जिसका परिमाण $ω ρ$ है: यह धुरी से दूरी के अनुपात में बढ़ता है।	$m/s$
$F$	धातु में धनात्मक आवेश पर चुंबकीय बल $q v \times B$ : त्रिज्या के अनुदिश, धुरी से दूर।	$N$
$ε$	ब्रशों के बीच विद्युत वाहक बल, जो मीटर पढ़ता है।	$V$