मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर

चुंबकीय क्षेत्र में धारा पर लगने वाला बल $F = B I L$ मोटर को चलाता है; $ω$ से घूमती कुंडली विद्युत वाहक बल $ε = NB A ω sin ω t$ वाला प्रत्यावर्ती वोल्टेज बनाती है; और ट्रांसफ़ॉर्मर फेरों के अनुपात $N_{s} / N_{p}$ में वोल्टेज बदलता है।

कुंडली एक चुंबक के ध्रुवों के बीच घूमती है और प्रत्यावर्ती वोल्टेज बनाती है, जिसे ट्रांसफ़ॉर्मर बढ़ाकर एक बल्ब जलाता है।

इस विषय से पहले: विद्युत चुंबकीय प्रेरण, घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा

शुरुआती

मुख्य विचार

चुंबक के ध्रुवों के बीच धारा वाली कुंडली की एक भुजा ऊपर और दूसरी नीचे धकेली जाती है, इसलिए वह घूमती है।
मोटर को एक ही दिशा में घुमाए रखने के लिए, एक विभाजित वलय हर आधे चक्कर में कुंडली की धारा उलट देता है।
कुंडली को बाहर से घुमाएँ तो वह जनित्र बन जाती है: उसकी धारा हर आधे चक्कर में उलटती है, यही प्रत्यावर्ती धारा (AC) है।
ट्रांसफ़ॉर्मर की दोनों कुंडलियाँ एक लोहे के छल्ले पर होती हैं: आउटपुट कुंडली पर अधिक फेरे अधिक वोल्टेज देते हैं, पर धारा कम।
बिजली की लाइनों में बहुत ऊँचा वोल्टेज रखा जाता है, इसलिए धारा कम रहती है और केबल को गर्म करने में ऊर्जा की हानि बहुत घट जाती है।

चुंबक के ध्रुवों के बीच तार का एक लूप रखें और उसमें धारा भेजें। लूप की एक भुजा ऊपर धकेली जाती है और दूसरी नीचे, इसलिए लूप मुड़ जाता है। अकेला छोड़ देने पर, लूप तब तक घूमता है जब तक चुंबक के साथ सीधा न हो जाए और रुक न जाए। उसे घुमाते रहने के लिए, लूप की धारा हर आधे चक्कर में उलटनी होगी; लूप के साथ घूमता और दो स्थिर संपर्कों पर रगड़ खाता एक विभाजित वलय ठीक यही करता है। अब आपके पास विद्युत मोटर है, जो ड्रिल, पंखे या इलेक्ट्रिक कार का मुख्य भाग है।

मशीन को उल्टा चलाएँ तो वह जनित्र बन जाती है। एनीमेशन में एक कुंडली चुंबक के N और S ध्रुवों के बीच लगातार घूमती रहती है, जैसे बिजलीघर का टरबाइन उसे घुमाता है। उसकी भुजाएँ चुंबकत्व को काटती हैं और परिपथ में धारा बहाती हैं। तार पर लाल तीर देखें: यह हर आधे चक्कर में बढ़ता है, घटता है और उल्टी दिशा में इंगित करता है। यह प्रत्यावर्ती धारा (AC) है, जैसी आपके सॉकेट में होती है, और बल्ब हर चक्कर में दो बार चमकता है।

फिर धारा एक ट्रांसफ़ॉर्मर तक पहुँचती है: एक लोहे के छल्ले पर दो कुंडलियाँ। पहली कुंडली में बदलती धारा लोहे में बदलता चुंबकत्व बनाती है, जो दूसरी कुंडली में धारा चलाता है। दूसरी कुंडली पर अधिक फेरे अधिक वोल्टेज देते हैं, पर कभी अधिक शक्ति नहीं: दस गुना वोल्टेज का मतलब है एक दसवाँ भाग धारा। इसीलिए बिजली बहुत ऊँचे वोल्टेज पर भेजी जाती है: केबल में छोटी धारा गर्मी के रूप में बहुत कम ऊर्जा बर्बाद करती है।

खुद जाँचें: एक ट्रांसफ़ॉर्मर में अंदर 50 फेरे और बाहर 500 फेरे हैं। अंदर 12 V AC जाए तो बाहर क्या निकलेगा? (120 V, धारा एक दसवाँ भाग।)

मध्यम

मुख्य विचार

क्षेत्र में तार पर $F = B I L sin θ$ बल लगता है; कुंडली की दो भुजाएँ मिलकर बल-आघूर्ण $τ = NB I A sin θ$ देती हैं, जो मोटर को चलाता है।
$ω$ से घूमती कुंडली में $ε = NB A ω sin ω t$ : जब तल $B$ के अनुदिश हो तब अधिकतम, और $B$ के सम्मुख हो तब शून्य।
आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: $V_{s} / V_{p} = N_{s} / N_{p}$ और $V_{p} I_{p} = V_{s} I_{s}$ , अतः वोल्टेज बढ़ाने पर धारा उसी गुणक से घटती है।
ट्रांसफ़ॉर्मर को प्रत्यावर्ती धारा चाहिए: स्थिर दिष्ट धारा में फ्लक्स नहीं बदलता, इसलिए द्वितीयक में वोल्टेज नहीं बनता।
एनीमेशन में $ε_{0} = NB A ω \approx 6.3 V$ ; $N_{s} / N_{p} = 2$ पर बल्ब का वोल्टेज 12.6 V शिखर तक जाता है, और समान कला में रहता है।

तार पर बल, कुंडली पर बल-आघूर्ण

चुंबकीय क्षेत्र आवेशों पर, और इसलिए धारा वाले तार पर भी, पार्श्व बल लगाता है। लंबाई $L$ के सीधे तार में धारा $I$ एकसमान क्षेत्र $B$ में हो, तो बल होता है
$F = B I L sin θ$
जहाँ $θ$ तार और क्षेत्र के बीच का कोण है: तार क्षेत्र को समकोण पर काटे तो बल सबसे अधिक होता है, और क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश हो तो शून्य। बल दोनों के लंबवत होता है, और उसकी दिशा फ्लेमिंग के बाएँ हाथ के नियम से मिलती है: तर्जनी क्षेत्र की ओर, मध्यमा धारा की ओर, और अंगूठा बल की ओर। अतः 1 T का क्षेत्र, उसे समकोण पर काटने वाले, 1 A धारा वाले हर मीटर तार पर 1 N बल लगाता है।

तार को $N$ फेरों और क्षेत्रफल $A$ की आयताकार कुंडली बनाकर चुंबक के ध्रुवों के बीच एक धुरी पर लगाइए। उसकी दोनों लंबी भुजाओं में विपरीत धाराएँ होती हैं और वे विपरीत दिशाओं में धकेली जाती हैं, इसलिए कुंडली पर बल-आघूर्ण लगता है
$τ = NB I A sin θ$
जहाँ अब $θ$ क्षेत्र और कुंडली के अभिलंब के बीच का कोण है। कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश हो तो बल-आघूर्ण सबसे अधिक होता है, और कुंडली क्षेत्र के सम्मुख हो तो शून्य; वहाँ अकेली छोड़ी कुंडली रुक जाती है। दिष्ट धारा मोटर दिक्परिवर्तक (कम्यूटेटर) की बदौलत घूमती रहती है: यह धुरी पर लगा एक विभाजित वलय है, जिसे दो ब्रश छूते हैं, और जो हर आधे चक्कर में धारा उलट देता है, ठीक तब जब बल-आघूर्ण उलटने ही वाला होता है।

जनित्र: उल्टी चलती मोटर

बैटरी हटाइए और कुंडली को स्थिर कोणीय वेग $ω$ से घुमाइए। उस स्थिति से कोण मापें जहाँ कुंडली क्षेत्र के सम्मुख है; तब हर फेरे से गुजरने वाला फ्लक्स $Φ = B A cos ω t$ है, और फैराडे का नियम, $ε = - N d Φ/ d t$ , विद्युत वाहक बल और उसका शिखर मान देता है:

$ε = NB A ω sin ω t$
$ε_{0} = NB A ω$

इस प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल की आवृत्ति $f = ω /2 π$ है। यह सबसे बड़ा तब होता है जब कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश हो: तब भुजाएँ क्षेत्र-रेखाओं को समकोण पर काटती हैं, और फ्लक्स, शून्य से गुजरते हुए, सबसे तेज़ी से बदलता है। यह शून्य तब होता है जब कुंडली क्षेत्र के सम्मुख हो, जहाँ फ्लक्स सबसे बड़ा है पर क्षण भर के लिए स्थिर। स्लिप रिंग तारों को मरोड़े बिना विद्युत वाहक बल बाहर ले जाते हैं; उनकी जगह दिक्परिवर्तक हो तो स्पंदित दिष्ट धारा मिलती है। मीटर वर्ग-माध्य-मूल (rms) मान दिखाते हैं, जो ज्या-तरंग के लिए शिखर को $2$ से भाग देने पर मिलता है: 230 V की आपूर्ति का शिखर लगभग 325 V होता है।

ट्रांसफ़ॉर्मर: दो कुंडलियाँ, एक फ्लक्स

ट्रांसफ़ॉर्मर में कोई चलने वाला भाग नहीं होता: $N_{p}$ फेरों की प्राथमिक कुंडली और $N_{s}$ फेरों की द्वितीयक कुंडली एक ही बंद लोहे का क्रोड साझा करती हैं। प्राथमिक में प्रत्यावर्ती धारा एक प्रत्यावर्ती फ्लक्स बनाती है, जिसे लोहा द्वितीयक से होकर निर्देशित करता है। किसी भी कुंडली का हर फेरा एक ही बदलते फ्लक्स से जुड़ा रहता है और उसे समान विद्युत वाहक बल मिलता है, इसलिए वोल्टेज फेरों के अनुपात में होते हैं, और बिना हानि के इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है:

$\frac{V _{s}}{V _{p}} = \frac{N _{s}}{N _{p}}$
$V_{p} I_{p} = V_{s} I_{s}$

स्टेप-अप ट्रांसफ़ॉर्मर ( $N_{s} > N_{p}$ ) वोल्टेज बढ़ाता है और धारा उसी गुणक से घटाता है, इसलिए कोई ऊर्जा नहीं बनती। स्थिर दिष्ट धारा स्थिर फ्लक्स बनाती है, जो कुछ प्रेरित नहीं करता, इसलिए ट्रांसफ़ॉर्मर को प्रत्यावर्ती धारा चाहिए। बड़े ट्रांसफ़ॉर्मर 99 % से अधिक दक्ष होते हैं।

उदाहरण: एनीमेशन की मशीन

कुंडली में $N = 200$ फेरे हैं, क्षेत्रफल $A = 0.020 m^{2}$ (20 cm × 10 cm) है, और वह $B = 0.50 T$ के क्षेत्र में है; वह हर 2 s में एक चक्कर लगाती है, इसलिए $ω = 2 π /2 = π \approx 3.14 rad/s$ । तब
$Φ_{m a x} = B A = 0.50 \cdot 0.020 = 0.010 Wb$
$ε_{0} = NB A ω = 200 \cdot 0.50 \cdot 0.020 \cdot π \approx 6.28 V$

$t = 0$ पर कुंडली क्षेत्र के सम्मुख है: $Φ$ रीडिंग 10.0 mWb दिखाती है और $ε$ रीडिंग शून्य। एक-आठवें चक्कर बाद, $t = 0.25 s$ पर, फ्लक्स $10 cos 4 5^{\circ} \approx 7.1 mWb$ है और विद्युत वाहक बल $6.28 sin 4 5^{\circ} \approx 4.44 V$ । $t = 0.5 s$ पर कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश है, $Φ$ शून्य से गुजरता है और $ε$ 6.28 V के शिखर पर पहुँचता है। $t = 1 s$ पर फ्लक्स −10.0 mWb है और विद्युत वाहक बल फिर शून्य।

$N_{p} = 100$ और $N_{s} = 200$ के साथ द्वितीयक $V_{s} = 2 ε$ देता है, जिसका शिखर $V_{s}$ रीडिंग पर 12.57 V (लगभग 12.6 V) है, और यह $ε$ के समान कला में है। बल्ब की शक्ति $V_{s}^{2}$ के अनुसार बढ़ती है, इसलिए वह दोनों शिखरों पर चमकता है, धनात्मक और ऋणात्मक दोनों पर: हर चक्कर में दो बार।

तीरों को पढ़ना: जनित्र प्रतिरोध क्यों करता है

नीले $v$ तीर दिखाते हैं कि लंबी भुजाएँ अपने वृत्त पर कैसे घूमती हैं: $t = 0$ पर वे क्षेत्र $B$ के अनुदिश सरकती हैं और कुछ नहीं काटतीं; $t = 0.5 s$ पर वे उसे समकोण पर काटती हैं। केवल क्षेत्र को पार करने वाली गति आवेशों को चलाती है, इसलिए $sin ω t$ आता है। बैंगनी $F$ तीर जनित्र के भीतर मोटर-प्रभाव हैं: क्षेत्र प्रेरित धारा पर $F = B I L$ बल लगाता है, जो हमेशा गति के विरुद्ध होता है। यही लेंज़ का नियम है; यदि ये बल सहायक होते, तो कुंडली अपने आप तेज़ होती और बिना स्रोत के ऊर्जा बनती।

बल्ब को 25 Ω का प्रतिरोधक मानें। शिखर पर उसमें $12.57/25 \approx 0.50 A$ धारा बहती है, इसलिए आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर को कुंडली में उसका दोगुना, लगभग 1.0 A चाहिए। तब बल-आघूर्ण $τ = NB I A = 200 \cdot 0.50 \cdot 1.0 \cdot 0.020 = 2.0 N \cdot m$ होता है, और $π rad/s$ पर इसके विरुद्ध घुमाने में $τ ω \approx 6.3 W$ शक्ति लगती है, जो बल्ब की शिखर शक्ति $12.57 \cdot 0.50 \approx 6.3 W$ के बराबर है। बल्ब हटा दें तो कुंडली बिना रुकावट घूमती है।

उदाहरण: उच्च-वोल्टेज बिजली लाइनें

एक पवन ऊर्जा फार्म 4.0 Ω कुल प्रतिरोध वाली लाइनों से 20 MW भेजता है। वे $I^{2} R$ की दर से गर्म होती हैं, और दी गई शक्ति के लिए धारा $I = P / V$ है, इसलिए
$P_{loss} = I^{2} R = (\frac{P}{V})^{2} R$

जनित्रों के अपने 11 kV पर धारा $20 \times 1 0^{6} / (11 \times 1 0^{3}) \approx 1818 A$ होती, और हानि $181 8^{2} \cdot 4.0 \approx 13.2 MW$ : दो-तिहाई शक्ति केवल तारों को गर्म करती। 1 : 12 फेरा-अनुपात वाला स्टेप-अप ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टेज को 132 kV तक बढ़ाता है। धारा घटकर 151.5 A हो जाती है और हानि $151. 5^{2} \cdot 4.0 \approx 92 kW$ , जो 0.5 % से कम है: वोल्टेज बारह गुना, और हानि $1 2^{2} = 144$ गुना कम। घरों के पास के स्टेप-डाउन ट्रांसफ़ॉर्मर इसे फिर 230 V तक ले आते हैं।

सामान्य गलतियाँ

ट्रांसफ़ॉर्मर स्थिर दिष्ट धारा पर काम नहीं करता: 12 V की बैटरी चालू करते समय क्षण भर का झटका देती है, फिर द्वितीयक पर 0 V।
कुंडली जब चुंबकों के सम्मुख हो, तब विद्युत वाहक बल अधिकतम नहीं होता: वहाँ फ्लक्स (एनीमेशन में 10 mWb) अधिकतम है पर क्षण भर स्थिर, इसलिए $ε = 0$ । विद्युत वाहक बल का 6.28 V शिखर तब आता है जब $Φ = 0$ ।
स्टेप-अप ट्रांसफ़ॉर्मर ऊर्जा नहीं बनाता: बल्ब को कुंडली का दोगुना वोल्टेज मिलता है पर आधी धारा, 0.50 A बनाम 1.0 A, इसलिए दोनों ओर 6.3 W।
दो कोण, दोनों $θ$ कहलाते हैं, पर अलग हैं: $F = B I L sin θ$ में यह तार और क्षेत्र के बीच है, और $τ = NB I A sin θ$ में क्षेत्र और अभिलंब के बीच; इसलिए क्षेत्र के अनुदिश पड़ी कुंडली पर बल-आघूर्ण सबसे बड़ा होता है।

इनका उपयोग कहाँ होता है

विद्युत मोटरें पंखे, लिफ़्ट, पंप और इलेक्ट्रिक कारें चलाती हैं, और दुनिया की लगभग आधी बिजली इन्हीं में खपती है। इलेक्ट्रिक कार की मोटर ब्रेक लगाते समय जनित्र का भी काम करती है। बिजलीघर का दो-ध्रुव वाला जनित्र 3000 rpm पर घूमकर यूरोपीय ग्रिड की 50 Hz धारा देता है, और ट्रांसफ़ॉर्मर हर बिजली लाइन के दोनों सिरों पर तथा फ़ोन चार्जर के भीतर लगे होते हैं। “घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा” में मिलने वाला 230 V एक वर्ग-माध्य-मूल मान है, और हर ट्रांसफ़ॉर्मर के पीछे का बदलता क्षेत्र हमें “विद्युत चुंबकीय तरंगें” तक ले जाता है।

उन्नत

मुख्य विचार

हर भुजा का गतिक विद्युत वाहक बल $B Lv sin ω t$ जुड़कर $ε = NB A ω sin ω t$ देता है, जो $Φ = B A cos ω t$ के साथ $- N d Φ/ d t$ के बराबर है।
ऊर्जा संतुलन: प्रतिघूर्ण के लिए शक्ति $τ ω = ε I$ चाहिए; मोटर में पश्च विद्युत वाहक बल $ε_{b} \propto ω$ है, अतः $I = (V - ε_{b}) / R$ ।
जब पूरा फ्लक्स लोहे के क्रोड में हो, तो $V_{p} = N_{p} d Φ/ d t$ और $V_{s} = N_{s} d Φ/ d t$ ; प्राथमिक से भार $R$ लगभग $(N_{p} / N_{s})^{2} R$ जैसा दिखता है।
लाइन की हानि $P_{loss} = P^{2} R / V^{2}$ : वोल्टेज दस गुना करने पर हानि सौवें भाग रह जाती है।
असली क्रोड में हिस्टेरिसिस और भँवर धाराओं से ऊर्जा जाती है; पटलित क्रोड भँवर धाराएँ घटाता है, और बड़े ट्रांसफ़ॉर्मर 99 % से अधिक दक्ष होते हैं।

दो रास्ते, एक ही विद्युत वाहक बल

जनित्र $N$ फेरों की एक कुंडली है, जो एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थिर कोणीय चाल $ω$ से घुमाई जाती है। फैराडे का फ्लक्स नियम उसका विद्युत वाहक बल एक पंक्ति में दे देता है, पर यह नहीं बताता कि परिपथ में आवेशों को वास्तव में कौन धकेलता है। इसलिए हम पहले चलते तार के भीतर आवेशों पर चुंबकीय बल से विद्युत वाहक बल निकालते हैं, फिर जाँचते हैं कि फ्लक्स नियम वही उत्तर देता है। मान लें हर फेरा एक आयत है, जिसकी दो लंबी भुजाएँ लंबाई $L$ की हैं और धुरी के समांतर हैं, तथा दो छोटे सिरे लंबाई $w$ के हैं, जो कुंडली की चौड़ाई है, ताकि उसका क्षेत्रफल $A = L w$ हो।

चित्र 1 धुरी की ओर से देखता है, जो पृष्ठ के भीतर की ओर इंगित करती है। तब हर लंबी भुजा एक छोटे वृत्त जैसी दिखती है, और पूरी कुंडली उन दोनों वृत्तों को जोड़ने वाली रेखा जैसी। चुंबकीय क्षेत्र $B$ पृष्ठ के आर-पार क्षैतिज है, और कुंडली $ω$ से दक्षिणावर्त घूमती है।

पहले एक लंबी भुजा की गति लें। वह धुरी से $w /2$ दूरी पर है, इसलिए त्रिज्या $w /2$ के बिंदुकित वृत्त पर चाल $v = ω w /2$ से चलती है। उसका वेग $v$ उस वृत्त की स्पर्श-रेखा है। समय वहाँ से गिनें जब भुजाएँ क्षेत्र-रेखाओं के अनुदिश चल रही हों, यानी $v$ और $B$ समांतर हों। वेग कुंडली के साथ घूमता है, इसलिए समय $t$ तक वह कोण $θ = ω t$ घूम चुका है, जो चित्र में $v$ और ऊपरी भुजा की क्षैतिज बिंदुकित रेखा के बीच दर्शाया गया है।

अब बल। भुजा द्वारा ले जाया गया धनात्मक आवेश $q$ चुंबकीय बल $F = q v \times B$ महसूस करता है। $v$ और $B$ दोनों पृष्ठ-तल में हैं, इसलिए उनका सदिश गुणनफल पृष्ठ के लंबवत, यानी तार के अनुदिश है। ऊपरी भुजा पर यह पृष्ठ से बाहर (बिंदु) की ओर है; निचली भुजा पर, जहाँ वेग उलट गया है, यह पृष्ठ के भीतर (क्रॉस) की ओर है। चूँकि $θ$ , $v$ और $B$ के बीच का कोण है, बल का परिमाण $q v B sin θ = q v B sin ω t$ है।

अब कार्य। विद्युत वाहक बल वह कार्य है जो एक इकाई आवेश को परिपथ में एक चक्कर घुमाने पर होता है। एक लंबी भुजा के साथ, प्रति इकाई आवेश बल $v B sin ω t$ है और तार के अनुदिश पूरी लंबाई $L$ पर है, इसलिए प्रति इकाई आवेश कार्य $B Lv sin ω t$ है। छोटे सिरे पृष्ठ-तल में हैं; उनके आवेशों पर बल धुरी के अनुदिश है, तार के लंबवत, इसलिए उन पर कोई कार्य नहीं होता।

अंत में, एक फेरे का एक चक्कर लें। ऊपरी भुजा के साथ हम पृष्ठ से बाहर की ओर चलते हैं, जो वहाँ के बल की दिशा है। निचली भुजा के साथ हम पृष्ठ के भीतर लौटते हैं, और वहाँ का बल भी भीतर की ओर है, इसलिए वह भी हमारी गति की दिशा में धकेलता है। दोनों भुजाएँ जुड़ती हैं, घटती नहीं, और हर फेरा $2 B Lv sin ω t$ देता है। $N$ फेरे श्रेणी में जुड़े हैं, इसलिए उनके विद्युत वाहक बल भी जुड़ते हैं:
$ε = 2 NB L \frac{ω w}{2} sin ω t = NB A ω sin ω t$
जहाँ अंतिम चरण $A = L w$ का उपयोग करता है।

फ्लक्स मार्ग छोटा है। क्षेत्रफल सदिश $A$ का परिमाण $A$ है और वह कुंडली के तल के लंबवत है। चित्र 1 में वह ऊपरी भुजा के वेग के समांतर है, क्योंकि वह वेग भी कुंडली के लंबवत है। अतः $A$ , $v$ के साथ घूमता है और $B$ से वही कोण $θ = ω t$ बनाता है। इसलिए एक फेरे से गुजरने वाला फ्लक्स $Φ = B A cos ω t$ है, जो $t = 0$ पर अधिकतम है, जब कुंडली क्षेत्र के सम्मुख होती है। फैराडे का नियम देता है
$ε = - N \frac{d Φ}{d t} = - NB A \frac{d}{d t} cos ω t = NB A ω sin ω t$
वही परिणाम।

एनीमेशन के आँकड़े लें। इसकी कुंडली की धुरी के अनुदिश $L = 0.20 m$ और आर-पार $w = 0.10 m$ है, इसलिए $A = 0.020 m^{2}$ ; $N = 200$ फेरे $B = 0.50 T$ में हैं, और कुंडली $ω = π rad/s$ (हर 2 s में एक चक्कर) पर घूमती है। हर लंबी भुजा $v = π \cdot 0.05 \approx 0.157 m/s$ से चलती है और अधिकतम $B Lv = 0.50 \cdot 0.20 \cdot 0.157 \approx 15.7 mV$ देती है। 200 फेरों में 400 लंबी भुजाएँ हैं, सब श्रेणी में, इसलिए शिखर विद्युत वाहक बल $400 \cdot 15.7 mV \approx 6.28 V$ है, जो $NB A ω = 200 \cdot 0.50 \cdot 0.020 \cdot π$ के समान है।

दोनों मार्ग एक ही उत्तर देते हैं, पर वे अलग भौतिकी बताते हैं। जनित्र में तार गति करता है, और उसके गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल धकेलता है; फ्लक्स नियम उसी बल का संक्षिप्त सार है। ट्रांसफ़ॉर्मर में कुछ नहीं चलता, इसलिए वहाँ $q v \times B$ जैसा कोई बल होता ही नहीं। इसके बजाय बदलता फ्लक्स क्रोड के चारों ओर घूमने वाला एक विद्युत क्षेत्र बनाता है
$\oint E \cdot d l = - \frac{d Φ}{d t}$
और यही विद्युत क्षेत्र द्वितीयक कुंडली के आवेशों को चलाता है। एक ही नियम इतने भिन्न दो तंत्रों को समेटता है, जो संकेत देता है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक ही क्षेत्र के दो पहलू हैं, जिसे आपेक्षिकता सटीक बनाती है।

ग्राफ़ पढ़ना: फ्लक्स विद्युत वाहक बल से आगे

एनीमेशन का ग्राफ़ फ्लक्स और विद्युत वाहक बल दोनों साथ दिखाता है। उसे ठीक से पढ़ने का अर्थ है फैराडे के नियम को ढलानों के बारे में कथन की तरह देखना; यही किसी भी प्रेरित विद्युत वाहक बल का आलेख उसके फ्लक्स से बनाने का सबसे तेज़ तरीका है।

चित्र 2 उस ग्राफ़ को एक आवर्तकाल $T$ में फिर से बनाता है — यानी कुंडली के एक चक्कर का समय — यहाँ $T = 2 π / ω = 2 s$ । हरा वक्र एक फेरे से गुजरने वाला फ्लक्स $Φ (t)$ है, जिसका पैमाना विद्युत वाहक बल की ऊँचाई के बराबर रखा गया है ताकि तुलना आसान हो। लाल वक्र विद्युत वाहक बल $ε (t)$ है। सुनहरा वक्र, जिस पर हम आगे आएँगे, जनित्र से चलने वाले ट्रांसफ़ॉर्मर का आउटपुट $V_{s} (t)$ है।

पहले शिखरों की स्थिति की तुलना करें। फ्लक्स $Φ = B A cos ω t$ का शिखर $t = 0$ पर है, और विद्युत वाहक बल का पहला शिखर एक चौथाई आवर्तकाल बाद, $T /4 = 0.5 s$ पर आता है। फ्लक्स विद्युत वाहक बल से एक चौथाई चक्र आगे है, यानी $9 0^{\circ}$ कला-अंतर। यह प्रतिरूप हर आवर्तकाल में दोहराया जाता है, इसलिए फ्लक्स 2 s, 4 s आदि पर फिर शिखर पर होता है।

अब कारण देखें। फैराडे का नियम, $ε = - N d Φ/ d t$ , कहता है कि विद्युत वाहक बल हरे वक्र के ढलान का ऋण $N$ गुना है। $Φ$ के शिखर या गर्त पर वक्र क्षण भर के लिए सपाट होता है, इसलिए वहाँ $ε = 0$ है, भले फ्लक्स स्वयं सबसे बड़ा हो। जहाँ $Φ$ शून्य को पार करता है, यानी $T /4$ पर, उसकी ढलान सबसे अधिक है; बिंदुकित स्पर्श-रेखा वह ढलान दिखाती है, और वहाँ $ε$ अपने शिखर $+ ε_{0} = + 6.28 V$ पर है। आधे आवर्तकाल बाद $Φ$ उतनी ही तेज़ ढलान से शून्य को ऊपर की ओर पार करता है, और $ε = - 6.28 V$ ।

संख्याएँ इसकी पुष्टि करती हैं। एक फेरे से गुजरने वाले फ्लक्स का आयाम $B A = 0.50 \cdot 0.020 = 10 mWb$ है, इसलिए फ्लक्स-बंधन $N Φ$ का आयाम $200 \cdot 10 mWb = 2.0 Wb$ है। आयाम $a$ और कोणीय आवृत्ति $ω$ वाले कोज्या-फलन की अधिकतम ढलान $aω$ है, यहाँ $2.0 \cdot π \approx 6.28 Wb/s$ । चूँकि $1 Wb/s = 1 V$ , यही शिखर विद्युत वाहक बल $ε_{0}$ है।

सुनहरा वक्र $V_{s} (t)$ वही शून्य और शिखर रखता है जो $ε (t)$ रखता है, पर दोगुना ऊँचा है, और उसका शिखर $2 ε_{0}$ है। आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर तरंगरूप की नकल करता है, उसे फेरों के अनुपात ( $N_{s} / N_{p} = 2$ यहाँ) से गुणा करता है, और कोई कला-अंतर नहीं जोड़ता; चित्र 4 इसका कारण दिखाता है।

अंत में, ऐसे वोल्टेज के लिए कौन-सा एकल मान बताना चाहिए। $ε_{0} sin ω t$ से चलाए गए प्रतिरोधक $R$ की शक्ति $(ε_{0}^{2} / R) sin^{2} ω t$ है। एक चक्र में $sin^{2} ω t$ का औसत $\frac{1}{2}$ है, क्योंकि $sin^{2}$ और $cos^{2}$ का औसत समान है और उनका योग 1 है। अतः औसत शक्ति शिखर शक्ति की आधी है, जैसी कि स्थिर वोल्टेज $ε_{0} / 2$ देता। यही वर्ग-माध्य-मूल (rms) मान है, यहाँ $6.28/ 2 \approx 4.44 V$ ।

ऊर्जा संतुलन: जनित्र बल-आघूर्ण से कीमत चुकाता है

जनित्र यांत्रिक कार्य को विद्युत ऊर्जा में बदलता है, इसलिए कोई बल घूर्णन का विरोध करना चाहिए; वरना कुंडली बिना कीमत के शक्ति देती। वह बल उसी धारा पर लगने वाला चुंबकीय बल है, जिसे कुंडली देती है।

मान लें कुंडली विद्युत वाहक बल के साथ समकला में धारा $I$ देती है, जैसे किसी प्रतिरोधक में। हर फेरे में एक लंबी भुजा लंबाई $L$ में धारा $I$ लेकर $B$ के लंबवत चलती है, इसलिए उस पर $B I L$ बल लगता है, जो $B$ के लंबवत और चित्र 1 के पृष्ठ-तल में है। केवल इस बल का वह अंश, जो भुजा के वेग $v$ के अनुदिश है, कुंडली को घुमाता है। चूँकि $v$ और $B$ के बीच कोण $ω t$ है, यह अंश $B I L sin ω t$ है; लेंज़ के नियम के अनुसार यह $v$ के विरुद्ध है, और इसकी बल-भुजा $w /2$ है। हर फेरे में दो भुजाएँ और $N$ फेरे मिलकर प्रतिघूर्ण देते हैं
$τ = 2 N (B I L sin ω t) \frac{w}{2} = NB I A sin ω t$
कुंडली को स्थिर $ω$ से चलाए रखने के लिए जो भी उसे चला रहा है, उसे यह बल-आघूर्ण देना होगा, इसलिए दी गई यांत्रिक शक्ति है
$τ ω = (NB I A sin ω t) ω = (NB A ω sin ω t) I = ε I$
जो हर क्षण दी गई विद्युत शक्ति के ठीक बराबर है।

कौन-सा बल कार्य करता है? चुंबकीय बल नहीं: वह हर आवेश के कुल वेग के लंबवत रहता है, जो कुंडली की गति और तार के अनुदिश आवेश के अपवाह का योग है, इसलिए वह कोई कार्य नहीं करता। वह केवल कार्य की दिशा बदलता है। कुंडली की गति से उत्पन्न बल का अंश आवेशों को तार के अनुदिश धकेलता है और धारा चलाता है; उनके तार के अनुदिश अपवाह से उत्पन्न अंश तार को पार्श्व में धकेलता है और घूर्णन का विरोध करता है। ये दोनों कार्य परिमाण में बराबर और चिह्न में विपरीत हैं, इसलिए सारी विद्युत ऊर्जा उस व्यक्ति से आती है जो शाफ़्ट घुमाता है।

मोटर: पश्च विद्युत वाहक बल और बल-आघूर्ण रेखा

वही मशीन जब मोटर की तरह चलती है, तो युग्मन उलट जाता है। आपूर्ति धारा चलाती है, उस धारा पर बल कुंडली को घुमाता है, और घूमती कुंडली, जो स्वयं जनित्र भी है, आपूर्ति के विरुद्ध एक विद्युत वाहक बल बनाती है। यही पश्च विद्युत वाहक बल मोटर की धारा और चाल तय करता है, और हर चाल पर वह कितना बल-आघूर्ण दे सकती है, यह भी।

चित्र 3 एक स्थिर आपूर्ति वोल्टेज $V$ के लिए (जो कुंडली के प्रतिरोध $R$ के ज़रिए जुड़ा है) मोटर द्वारा दिए जाने वाले बल-आघूर्ण $τ$ को उसके शाफ़्ट की चाल $ω$ के विरुद्ध दिखाता है। यह ग्राफ़ सीधी रेखा क्यों है, यह देखने के लिए मोटर का प्रतिरूप बनाएँ। रोटर पर कई कुंडलियाँ हैं और एक दिक्परिवर्तक हर कुंडली को सही क्षण पर जोड़ता है, इसलिए पश्च विद्युत वाहक बल $ε_{b}$ लगभग स्थिर है और चाल के समानुपाती है। तब तीन समीकरण इस मोटर का वर्णन करते हैं:
$V = ε_{b} + I R, ε_{b} = kω, τ = k I$
पहला परिपथ का समीकरण है: आपूर्ति वोल्टेज पश्च विद्युत वाहक बल और कुंडली में वोल्टेज-पात के बीच बँटता है। दूसरा और तीसरा एक ही स्थिरांक $k$ रखते हैं, और उन्हें ऐसा ही होना चाहिए: ऊपर का ऊर्जा संतुलन $ε_{b} I = τ ω$ तभी सही होता है जब $ε_{b}$ को $ω$ से जोड़ने वाला स्थिरांक और $τ$ को $I$ से जोड़ने वाला स्थिरांक बराबर हों।

पहले समीकरण से धारा $I = (V - kω) / R$ मिलती है, और तीसरा उसे बल-आघूर्ण में बदलता है:
$τ = \frac{k ( V - kω )}{R}$
यही ग्राफ़ की गिरती रेखा है। उसके बाएँ सिरे पर शाफ़्ट थमा हुआ है, $ω = 0$ , इसलिए कोई पश्च विद्युत वाहक बल नहीं, और धारा केवल कुंडली का प्रतिरोध $V / R$ तक सीमित करता है; तब बल-आघूर्ण स्टॉल बल-आघूर्ण $τ_{0} = kV / R$ है। चाल बढ़ने पर पश्च विद्युत वाहक बल बढ़ता है, इसलिए धारा घटती है और उसके साथ बल-आघूर्ण भी। दाहिने सिरे पर, शून्य-भार चाल $ω_{0} = V / k$ पर, पश्च विद्युत वाहक बल आपूर्ति वोल्टेज तक पहुँच जाता है, कोई धारा नहीं बचती, और बल-आघूर्ण शून्य होता है।

यांत्रिक शक्ति $P = τ ω$ है। ग्राफ़ पर यह उस आयत का क्षेत्रफल है जिसका एक कोना मूल-बिंदु पर है और सामने का कोना रेखा पर, जैसे छायांकित आयत। रेखा को $τ = τ_{0} (1 - ω / ω_{0})$ लिखें तो
$P = τ_{0} ω (1 - \frac{ω}{ω _{0}})$
जो रेखा के दोनों सिरों पर शून्य है। यह $ω$ में एक परवलय है, जो उसके दो शून्यों के मध्यबिंदु के सापेक्ष सममित है, इसलिए यह $ω = ω_{0} /2$ पर अधिकतम है, जहाँ बल-आघूर्ण $τ_{0} /2$ है। अतः शिखर शक्ति $(τ_{0} /2) (ω_{0} /2) = V^{2} / (4 R)$ है।

इनपुट का कितना भाग कार्य बनता है? मोटर विद्युत शक्ति $V I$ लेती है और उसमें से $ε_{b} I$ को यांत्रिक शक्ति में बदलती है, इसलिए घर्षण को छोड़ दें तो उसकी दक्षता $ε_{b} / V = ω / ω_{0}$ है। शिखर शक्ति की चाल पर $ε_{b} = V /2$ : लिए गए विद्युत इनपुट का केवल आधा यांत्रिक शक्ति बनता है, और बाकी आधा कुंडली को गर्म करता है। शून्य-भार चाल के पास, जहाँ आयत चौड़ा पर नीचा है, दक्षता ऊँची है।

12 V, $R = 0.50 Ω$ की एक मोटर लें। स्टार्ट-अप पर $ω = 0$ है, इसलिए कोई पश्च विद्युत वाहक बल नहीं और $I = 12/0.50 = 24 A$ । 3000 rpm पर चलने पर, यानी $ω = 3000 \cdot 2 π /60 \approx 314 rad/s$ , उसका पश्च विद्युत वाहक बल $ε_{b} = 11 V$ है, और वह केवल $(12 - 11) /0.50 = 2.0 A$ खींचती है। लिए गए 24 W में से $ε_{b} I = 22 W$ यांत्रिक कार्य बनता है और $I^{2} R = 2 W$ कुंडली को गर्म करता है, यानी 92 % दक्षता।

यही चालू बिंदु मोटर-स्थिरांक भी देता है, $k = ε_{b} / ω = 11/314 \approx 0.035 V \cdot s/rad$ , इसलिए बल-आघूर्ण $τ = k I = 0.035 \cdot 2.0 = 0.070 N \cdot m$ ; जाँच के लिए, $τ ω = 0.070 \cdot 314 \approx 22 W$ । अब इस मोटर को चित्र 3 पर रखें। इसका स्टॉल बल-आघूर्ण $τ_{0} = kV / R = 0.035 \cdot 12/0.50 \approx 0.84 N \cdot m$ है, और शून्य-भार चाल $ω_{0} = V / k \approx 343 rad/s$ , लगभग 3270 rpm। अतः 3000 rpm रेखा के दाहिने सिरे के पास है, जहाँ बल-आघूर्ण कम और दक्षता $ω / ω_{0}$ ऊँची है। बल-आघूर्ण चाल के साथ 0.84 N·m से शून्य तक रैखिक रूप से गिरता है, और यांत्रिक शक्ति शून्य-भार चाल की आधी चाल (लगभग 1640 rpm) पर चरम पर होती है, $V^{2} / (4 R) = 72 W$ । वहाँ मोटर $(12 - 6) /0.50 = 12 A$ , यानी 144 W खींचती है, इसलिए केवल 50 % कार्य बनता है।

ट्रांसफ़ॉर्मर के भीतर

ट्रांसफ़ॉर्मर बिना किसी चलने वाले भाग के प्रत्यावर्ती वोल्टेज का परिमाण बदल देता है, इसीलिए बिजली के ग्रिड AC पर चलते हैं। इसका सारा व्यवहार एक तथ्य से निकलता है: लोहे का क्रोड दोनों कुंडलियों के हर फेरे से एक ही फ्लक्स गुजारता है।

चित्र 4 भार वाले ट्रांसफ़ॉर्मर को दिखाता है। स्रोत $N_{p}$ फेरों वाली प्राथमिक कुंडली पर वोल्टेज $V_{p}$ लगाता है और उन फेरों में धारा $I_{p}$ चलाता है। लोहे का क्रोड बंद पथ में फ्लक्स $Φ$ ले जाता है, हरे तीरों के अनुदिश, ताकि वही $Φ$ द्वितीयक कुंडली के सभी $N_{s}$ फेरों से गुजरे। द्वितीयक भार $R$ पर वोल्टेज $V_{s}$ लगाता है और उसमें धारा $I_{s}$ चलाता है।

चूँकि दोनों कुंडलियों का हर फेरा एक ही फ्लक्स से जुड़ा है, हर फेरे में वही विद्युत वाहक बल है, जिसका परिमाण $d Φ/ d t$ है। श्रेणी के फेरे जुड़ते हैं, और कुंडलियों के प्रतिरोध को नगण्य मानें तो हर कुंडली का सिरा-वोल्टेज उसके विद्युत वाहक बल के बराबर है, इसलिए परिमाण में
$V_{p} = N_{p} \frac{d Φ}{d t}, V_{s} = N_{s} \frac{d Φ}{d t}$
दोनों को भाग देने पर $d Φ/ d t$ कट जाता है और फेरा-अनुपात $V_{s} / V_{p} = N_{s} / N_{p}$ बचता है। दोनों वोल्टेज एक ही $d Φ/ d t$ का पालन करते हैं, इसलिए वे एक साथ बढ़ते-घटते हैं, बिना कला-अंतर के, जैसा चित्र 2 में दिखा।

अब पहले समीकरण को उलटी ओर से पढ़ें: प्राथमिक वोल्टेज फ्लक्स तय करता है, भार चाहे जो हो। शिखर $V_{0}$ वाले ज्यावक्रीय वोल्टेज के लिए फ्लक्स भी ज्यावक्र है, जिसका शिखर $Φ_{0} = V_{0} / (N_{p} ω)$ है, क्योंकि ज्या-फलन का अवकलज उसके आयाम को $ω$ से गुणा कर देता है। 230 V, 50 Hz और 1000 फेरों वाली प्राथमिक के लिए $V_{0} \approx 325 V$ और $ω \approx 314 rad/s$ है, इसलिए $Φ_{0} \approx 1.04 mWb$ । लोहे को लगभग 1.2 T से नीचे रखने के लिए क्रोड का अनुप्रस्थ काट $Φ_{0} / B \approx 8.6 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ चाहिए, यानी लगभग 8.6 cm²। आवश्यक क्षेत्रफल $1/ ω$ के अनुपात में घटता है: विमानों में प्रयुक्त 400 Hz पर उसका लगभग आठवाँ भाग काफ़ी है, और दसियों किलोहर्ट्ज़ पर स्विच करने वाले चार्जर छोटे फ़ेराइट क्रोड इस्तेमाल करते हैं।

भार जुड़ने पर प्राथमिक धारा क्यों बढ़ती है? भार धारा $I_{s}$ द्वितीयक के फेरों में बहती है और अकेले होती, तो वह क्रोड को $I_{p}$ से उलटी दिशा में चुंबकित करती; चित्र 4 में दोनों धाराएँ क्रोड के चारों ओर विपरीत दिशाओं में घूमती हैं। पर फ्लक्स $V_{p}$ से तय है। इसलिए प्राथमिक को एक अतिरिक्त धारा खींचनी होगी जिसका चुंबकीय प्रभाव (धारा गुणा फेरे) द्वितीयक के प्रभाव को निरस्त करे: $N_{p} I_{p} = N_{s} I_{s}$ , उस छोटी चुंबकीय धारा को छोड़कर जो स्वयं फ्लक्स बनाती है। इसे वोल्टेज-अनुपात से गुणा करने पर $V_{p} I_{p} = V_{s} I_{s}$ मिलता है: इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर।

इस तरह ट्रांसफ़ॉर्मर प्रतिरोधों को भी बदलता है। प्राथमिक से देखने पर भार $V_{p} / I_{p}$ जैसा लगता है। $V_{p} = (N_{p} / N_{s}) V_{s}$ और $I_{p} = (N_{s} / N_{p}) I_{s}$ रखने पर
$\frac{V _{p}}{I _{p}} = (\frac{N _{p}}{N _{s}})^{2} R$
यही वह तरीका है जिससे ट्रांसफ़ॉर्मर लाउडस्पीकर को एम्प्लिफ़ायर से मिलाता है।

दो सीमांत स्थितियाँ चित्र को पूरा करती हैं। द्वितीयक खुला हो तो कोई धारा $I_{s}$ नहीं बहती, और द्वितीयक वोल्टेज केवल प्राथमिक धारा से तय होता है, परिमाण में $V_{s} = M d I_{p} / d t$ , जहाँ $M$ दोनों कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरकत्व है। दिष्ट धारा पर $d Φ/ d t = 0$ है: किसी भी कुंडली में कुछ प्रेरित नहीं होता, कुछ भी द्वितीयक में नहीं जाता, और प्राथमिक धारा को केवल तांबे का छोटा प्रतिरोध सीमित करता है।

कार्य-उदाहरण: जनित्र पर भार डालना

एनीमेशन वाले ट्रांसफ़ॉर्मर ( $N_{p} = 100$ , $N_{s} = 200$ ) के द्वितीयक से 25 Ω का बल्ब (सादा प्रतिरोधक मानकर) जोड़ें, जिसकी प्राथमिक जनित्र से चलती है, और कुंडलियों का प्रतिरोध नगण्य मानें। जनित्र कुंडली में कितनी धारा बहती है, उसे कितने बल से घुमाना होगा, और ट्रांसफ़ॉर्मर न होता तो क्या बदलता?

पहले, कुंडली को भार कैसा दिखता है। प्राथमिक से बल्ब $(N_{p} / N_{s})^{2} R = (100/200)^{2} \cdot 25 = 6.25 Ω$ जैसा लगता है। कुंडली अपना विद्युत वाहक बल (शिखर 6.28 V) इस प्रतिरोध में चलाती है, इसलिए कुंडली की धारा विद्युत वाहक बल के समकला में ज्या-तरंग है, जिसका शिखर $6.28/6.25 \approx 1.01 A$ है। द्वितीयक वोल्टेज दोगुना और धारा आधी करता है, इसलिए बल्ब 12.57 V के शिखर पर लगभग 0.50 A शिखर धारा ले जाता है।

फिर बल-आघूर्ण। ऊर्जा संतुलन ने प्रतिघूर्ण $NB A I sin ω t$ दिया था, जहाँ अब $I$ प्राथमिक धारा $I_{p}$ है, जो स्वयं $sin ω t$ के समानुपाती है। $NB A = 200 \cdot 0.50 \cdot 0.020 = 2.0 Wb$ और $1 Wb \cdot A = 1 N \cdot m$ लेकर
$τ = NB A I_{p} sin ω t \approx 2.0 sin^{2} ω t N \cdot m$
यह 2.0 N·m पर शिखर पर होता है जब कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश हो, जहाँ विद्युत वाहक बल और धारा सबसे बड़े हैं, और उसका औसत उसका आधा, 1.0 N·m है। जाँच के लिए, औसत यांत्रिक शक्ति $\overset{τ}{ˉ} ω = 1.005 \cdot π \approx 3.16 W$ है, जो बल्ब की औसत शक्ति के बराबर है: शिखर वोल्टेज का आधा गुणा शिखर धारा, $\frac{1}{2} \cdot 12.57 \cdot 0.503 \approx 3.16 W$ ।

ट्रांसफ़ॉर्मर के बिना बल्ब सीधे स्लिप रिंगों पर होता, 6.25 Ω की जगह 25 Ω का भार। वह केवल $ε_{0}^{2} / (2 R) = 6.2 8^{2} /50 \approx 0.79 W$ लेता, यानी एक-चौथाई, और कुंडली चार गुना आसानी से घूमती। ट्रांसफ़ॉर्मर ऊर्जा नहीं बनाता: बल्ब को चार गुना छोटे प्रतिरोध जैसा दिखाकर वह कुंडली को उसी विद्युत वाहक बल पर चार गुना धारा देने देता है, और इस तरह चार गुना शक्ति; यह सारी शक्ति उस व्यक्ति से आती है जो कुंडली घुमाता है।

अंत में ध्यान दें कि बल-आघूर्ण $sin^{2} ω t = \frac{1}{2} (1 - cos 2 ω t)$ के अनुसार बदलता है: यह घूर्णन आवृत्ति के दोगुने पर धड़कता है, जो एकल-कला मशीन को हिलाता है। बिजलीघर तीन कुंडली-समूहों को $12 0^{\circ}$ पर रखकर इससे बचते हैं। उनके तीनों बल-आघूर्णों के $cos 2 ω t$ भाग एक-तिहाई चक्र के अंतर पर हैं और इसलिए निरस्त हो जाते हैं, क्योंकि
$sin^{2} θ + sin^{2} (θ - 12 0^{\circ}) + sin^{2} (θ + 12 0^{\circ}) = \frac{3}{2}$
इसलिए संतुलित त्रि-कला जनित्र पूर्णतः स्थिर बल-आघूर्ण और शक्ति देता है।

वैधता की सीमाएँ

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर तीन बातें मानता है: सारा फ्लक्स दोनों कुंडलियों से जुड़ता है, फेरों का प्रतिरोध शून्य है, और लोहा बिना ऊर्जा-हानि के मुफ़्त में चुंबकित होता है। असली क्रोड दो तरह से ऊर्जा खोते हैं। हिस्टेरिसिस में लोहे का चुंबकत्व उलटने पर हर बार एक निश्चित ऊर्जा जाती है, इसलिए उसकी शक्ति-हानि लगभग आवृत्ति के अनुपात में बढ़ती है। भँवर धाराएँ लोहे में ही प्रेरित धाराएँ हैं; वे आवृत्ति और लोहे की पट्टियों की मोटाई, दोनों के वर्ग के अनुपात में बढ़ती हैं, इसीलिए क्रोड लगभग 0.3 mm मोटी विद्युतरोधी पट्टियों (पटलों) से बनते हैं। बड़े ट्रांसफ़ॉर्मर 99.5 % दक्षता तक पहुँचते हैं, फिर भी 500 MVA की इकाई 2.5 MW ऊष्मा छोड़ती है, इसलिए उसमें तेल की टंकी और रेडिएटर लगते हैं। सिलिकॉन स्टील लगभग 1.5 से 2 T पर संतृप्त हो जाता है: उसके आगे अधिक धारा लगभग कोई अतिरिक्त फ्लक्स नहीं जोड़ती। चूँकि फ्लक्स $Φ_{0} = V_{0} / (N_{p} ω)$ से तय है, डिज़ाइन आवृत्ति से नीचे या डिज़ाइन वोल्टेज से ऊपर चलाया गया ट्रांसफ़ॉर्मर क्रोड को संतृप्ति में धकेलता है और भारी धारा खींचता है।

यह विश्लेषण अर्ध-स्थिर भी है: मान लिया जाता है कि क्षेत्र हर जगह एक साथ कार्य करते हैं। 50 Hz पर तरंगदैर्घ्य $c / f = 6000 km$ है, इसलिए कोई भी मशीन उसके सामने छोटी है; पर 1000 km की लाइन तरंगदैर्घ्य का छठा भाग है और उसे संचरण लाइन की तरह विश्लेषित करना होगा। घूमती डिस्क जनित्र जैसे उदाहरण में, जहाँ चालक पदार्थ स्थिर संपर्क पर फिसलता है, फ्लक्स नियम के साथ भी सावधानी चाहिए, क्योंकि यह अनिश्चित है कि फ्लक्स किस लूप से गिना जाए। तब बल $q v \times B$ ही भरोसेमंद मार्गदर्शक है।

प्रत्यावर्ती धारा हमेशा सर्वोत्तम नहीं होती। लंबी केबल में बड़ी धारिता होती है, और प्रत्यावर्ती धारा को उसे बार-बार चार्ज और डिस्चार्ज करना पड़ता है। समुद्र के नीचे लगभग 50 से 100 km से अधिक की केबल, या कई सौ किलोमीटर की ओवरहेड लाइन के आगे, इलेक्ट्रॉनिक कन्वर्टरों वाली उच्च-वोल्टेज दिष्ट धारा (HVDC) बेहतर रहती है। इन्सुलेशन, और चालकों के चारों ओर हवा में कोरोना डिस्चार्ज, सबसे ऊँचे संचरण वोल्टेज को लगभग 1 MV पर रोक देते हैं।

इसके आगे

‘चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशों पर बल’ से धाराओं पर बल, और ‘विद्युत चुंबकीय प्रेरण’ से फ्लक्स नियम, बिजली के ग्रिड के लिए आवश्यक पूरी भौतिकी हैं। हर ट्रांसफ़ॉर्मर का प्रेरित विद्युत क्षेत्र, अपने साथी, यानी बदलते विद्युत क्षेत्र से बने चुंबकीय क्षेत्र, के साथ जुड़कर ‘विद्युत चुंबकीय तरंगें’ की स्व-पोषित तरंगें देता है। कुंडली की एक भुजा के साथ चलते फ्रेम में, जनित्र का चुंबकीय धक्का विद्युत क्षेत्र बन जाता है: ‘विशिष्ट आपेक्षिकता’ की ओर पहली झलक। प्रत्यावर्ती आपूर्ति के वर्ग-माध्य-मूल मान और शक्ति-गुणांक ‘घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा’ में देखे गए थे, और ब्रशलेस मोटरों व HVDC लिंकों के पीछे के दिष्टकारी व इन्वर्टर ‘अर्धचालक, डायोड और एलईडी’ से आते हैं।

मुख्य सूत्र

धारा वाले तार पर बल

F = B I L sin θ

तार में हर गतिमान आवेश पर एक पार्श्व चुंबकीय बल लगता है; लंबाई $L$ के सभी आवेशों का बल जोड़ें तो बल धारा के समानुपाती होता है। केवल वही भाग गिना जाता है जो क्षेत्र को काटता है, इसलिए $sin θ$ आता है। बल तार और क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है (फ्लेमिंग का बायाँ-हाथ नियम); धारा या क्षेत्र में से किसी एक की दिशा उलटने पर बल भी उलट जाता है।

चिह्न
$F$	तार पर बल	$N$
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$I$	तार में धारा	$A$
$L$	क्षेत्र के भीतर तार की लंबाई	$m$
$θ$	तार और क्षेत्र के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: सीधे तार और एकसमान क्षेत्र के लिए। मुड़े तार या असमान क्षेत्र के लिए छोटे खंडों पर $I d l \times B$ जोड़ें।

उदाहरण: 4.0 A धारा वाला 15 cm लंबा तार 0.25 T के क्षेत्र को समकोण पर काटता है: $F = 0.25 \cdot 4.0 \cdot 0.15 = 0.15 N$ ।

कुंडली पर बल-आघूर्ण

τ = NB I A sin θ

हर फेरे की दो भुजाएँ जो क्षेत्र को काटती हैं, बराबर और विपरीत बल $B I L$ महसूस करती हैं, जो $w$ दूरी पर हैं; इनसे हर फेरे में बल-आघूर्ण $B I L w sin θ = B I A sin θ$ आता है, और $N$ फेरे इसे गुणा करते हैं। कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश हो ( $θ = 9 0^{\circ}$ ) तो बल-आघूर्ण सबसे अधिक होता है, और कुंडली क्षेत्र के सम्मुख हो तो शून्य, क्योंकि तब बल केवल उसे खींचते हैं।

चिह्न
$τ$	कुंडली पर बल-आघूर्ण	$N \cdot m$
$N$	फेरों की संख्या
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$I$	कुंडली में धारा	$A$
$A$	कुंडली का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$θ$	क्षेत्र और कुंडली के अभिलंब के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: एकसमान क्षेत्र में किसी भी आकार की समतल कुंडली के लिए। असली मोटरों में बल-आघूर्ण लगभग स्थिर रखने के लिए वक्र ध्रुव-खंड और कई कुंडलियाँ होती हैं; तब सूत्र हर कुंडली पर बल-आघूर्ण देता है।

उदाहरण: 0.40 T में रखी, 2.0 A धारा वाली, 0.0020 m² क्षेत्रफल की 50 फेरों वाली कुंडली पर अधिकतम $τ = 50 \cdot 0.40 \cdot 2.0 \cdot 0.0020 = 0.080 N \cdot m$ ।

घूमती कुंडली का विद्युत वाहक बल

ε = NB A ω sin ω t

स्थिर $ω$ से घूमती कुंडली में हर फेरे से गुजरने वाला फ्लक्स $Φ = B A cos ω t$ है, और फैराडे का नियम, $ε = - N d Φ/ d t$ , इसे ज्या-तरंग में बदल देता है। समतुल्य रूप से, क्षेत्र में गतिमान हर भुजा का गतिक विद्युत वाहक बल $B Lv sin ω t$ है। $t = 0$ वह क्षण है जब कुंडली क्षेत्र के सम्मुख होती है, इसलिए विद्युत वाहक बल शून्य से शुरू होता है।

चिह्न
$ε$	समय $t$ पर विद्युत वाहक बल	$V$
$N$	फेरों की संख्या
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$A$	कुंडली का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$ω$	कुंडली का कोणीय वेग	$rad/s$
$t$	कुंडली के क्षेत्र के सम्मुख होने के बाद का समय	$s$

कब लागू होता है: एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में, उसके लंबवत अक्ष पर स्थिर चाल से घूमती समतल कुंडली के लिए। असमान क्षेत्र या बदलती चाल ज्या-तरंग को विकृत कर देती है।

उदाहरण: एनीमेशन की कुंडली: $ε = 6.28 sin π t$ (वोल्ट में, $t$ सेकंड में), तो $t = 0.25 s$ पर $ε \approx 4.44 V$ ।

जनित्र का शिखर विद्युत वाहक बल

ε_{0} = NB A ω

प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल का सबसे बड़ा परिमाण, जो हर चक्कर में दो बार आता है (दोनों चिह्नों में एक-एक बार): जब कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश होता है और फ्लक्स, शून्य से गुजरते हुए, सबसे तेज़ बदलता है। यह चारों गुणकों में से हर एक के समानुपाती है, इसलिए दोगुनी चाल पर शिखर और आवृत्ति दोनों दोगुने हो जाते हैं।

चिह्न
$ε_{0}$	शिखर विद्युत वाहक बल	$V$
$N$	फेरों की संख्या
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$A$	कुंडली का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$ω$	कुंडली का कोणीय वेग	$rad/s$

कब लागू होता है: ज्या-नियम जैसी ही शर्तों में। यह शिखर मान है: प्रत्यावर्ती धारा का मीटर वर्ग-माध्य-मूल मान, $ε_{0} / 2$ , दिखाता है।

उदाहरण: एनीमेशन की कुंडली: $ε_{0} = 200 \cdot 0.50 \cdot 0.020 \cdot π \approx 6.28 V$ , वर्ग-माध्य-मूल मान 4.44 V।

ट्रांसफ़ॉर्मर का वोल्टेज-अनुपात

\frac{V _{s}}{V _{p}} = \frac{N _{s}}{N _{p}}

लोहे का क्रोड दोनों कुंडलियों के हर फेरे से एक ही बदलता फ्लक्स गुजारता है, इसलिए हर फेरे का विद्युत वाहक बल $d Φ/ d t$ है। कुंडली के सिरों का वोल्टेज इस विद्युत वाहक बल का उसके फेरों की संख्या से गुणा है, इसलिए अनुपात बनता है। द्वितीयक में अधिक फेरे वोल्टेज बढ़ाते हैं; कम फेरे घटाते हैं।

चिह्न
$V_{s}$	द्वितीयक कुंडली के सिरों पर वोल्टेज	$V$
$V_{p}$	प्राथमिक कुंडली के सिरों पर वोल्टेज	$V$
$N_{s}$	द्वितीयक के फेरे
$N_{p}$	प्राथमिक के फेरे

कब लागू होता है: केवल प्रत्यावर्ती धारा और आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर के लिए: सारा फ्लक्स दोनों कुंडलियों से जुड़ा हो, और कुंडली-प्रतिरोध नगण्य। स्थिर दिष्ट धारा पर द्वितीयक वोल्टेज शून्य होता है।

उदाहरण: एनीमेशन में: शिखर पर $V_{s} = (200/100) \cdot 6.28 \approx 12.6 V$ ।

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर का शक्ति-संतुलन

V_{p} I_{p} = V_{s} I_{s}

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर न ऊर्जा संचित करता है, न व्यर्थ करता है, इसलिए हर क्षण इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है। जो भी गुणक वोल्टेज बढ़ाता है, वही धारा उसी गुणक से घटाता है: धाराएँ फेरों के व्युत्क्रम अनुपात में हैं, $I_{s} / I_{p} = N_{p} / N_{s}$ ।

चिह्न
$V_{p}$	प्राथमिक कुंडली के सिरों पर वोल्टेज	$V$
$I_{p}$	प्राथमिक कुंडली में धारा	$A$
$V_{s}$	द्वितीयक कुंडली के सिरों पर वोल्टेज	$V$
$I_{s}$	द्वितीयक कुंडली में धारा	$A$

कब लागू होता है: असली ट्रांसफ़ॉर्मरों में तांबे और क्रोड में कुछ ऊर्जा जाती है: बड़े 99 % से अधिक दक्ष होते हैं, छोटे उल्लेखनीय रूप से कम।

उदाहरण: एनीमेशन के द्वितीयक पर लगा 25 Ω का बल्ब 12.6 V के शिखर पर लगभग 0.50 A लेता है, इसलिए कुंडली लगभग 1.0 A, 6.28 V पर देती है: दोनों ओर लगभग 6.3 W।

लाइन में खोई शक्ति

P_{loss} = I^{2} R = (\frac{P}{V})^{2} R

लाइन की धारा अपने प्रतिरोध को $I^{2} R$ की दर से गर्म करती है। दी गई शक्ति के लिए धारा $P / V$ है, इसलिए हानि वोल्टेज के वर्ग के व्युत्क्रम में घटती है: दस गुना वोल्टेज पर हानि सौवें भाग रह जाती है। इसीलिए ग्रिड दूर भेजने से पहले ट्रांसफ़ॉर्मरों से वोल्टेज बढ़ाते हैं।

चिह्न
$P_{loss}$	ऊष्मा में बदलने वाली लाइन की शक्ति	$W$
$I$	लाइन में धारा	$A$
$R$	लाइन के चालकों का कुल प्रतिरोध	$Ω$
$P$	लाइन से भेजी गई शक्ति	$W$
$V$	जिस वोल्टेज पर शक्ति भेजी जाती है	$V$

कब लागू होता है: लाइन को एक ही प्रतिरोध मानता है जो पूरी धारा ले जाता है, और धारा तथा वोल्टेज कला-समान हैं; तीन-कला लाइनों और कला-अंतर वाली धाराओं के लिए सुधार चाहिए।

उदाहरण: 4.0 Ω पर 20 MW भेजने पर: 11 kV पर हानि 13.2 MW, 132 kV पर केवल 92 kW।

शब्दावली

मोटर प्रभाव: धारा वाले तार पर चुंबकीय क्षेत्र का पार्श्व धक्का, $F = B I L sin θ$ , जो तार और क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है। फ्लेमिंग का बायाँ-हाथ नियम इसकी दिशा देता है।
विद्युत मोटर: वह मशीन जिसमें मोटर प्रभाव कुंडली को घुमाता है और विद्युत ऊर्जा को यांत्रिक कार्य में बदलता है। छोटी दिष्ट धारा मोटरें दिक्परिवर्तक से धारा उलटती हैं; कई आधुनिक मोटरें कुंडलियों को इलेक्ट्रॉनिक रूप से स्विच करती हैं।
दिक्परिवर्तक (कम्यूटेटर): शाफ़्ट पर लगा एक विभाजित वलय, जिसे दो स्थिर ब्रश छूते हैं, और जो हर आधे चक्कर में कुंडली के संयोजन उलट देता है। मोटर में यह कुंडली को घुमाने वाले बल-आघूर्ण की दिशा एक ही बनाए रखता है; जनित्र में यह प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल को स्पंदित दिष्ट धारा में बदलता है।
पश्च विद्युत वाहक बल: मोटर की अपनी घूमती कुंडलियों से बना विद्युत वाहक बल, जो चाल के समानुपाती है और आपूर्ति के विरुद्ध है। इसी से मोटर स्टार्ट-अप पर बड़ी धारा और पूरी चाल पर छोटी धारा लेती है: $I = (V - ε_{b}) / R$ ।
फैराडे का प्रेरण नियम: कुंडली से गुजरते चुंबकीय फ्लक्स का बदलना उसमें विद्युत वाहक बल प्रेरित करता है, जो फेरों की संख्या और फ्लक्स के परिवर्तन-दर के गुणनफल के बराबर है: $ε = - N d Φ/ d t$ । केवल परिवर्तन गिना जाता है, फ्लक्स का परिमाण नहीं।
लेंज़ का नियम: प्रेरित धारा उस परिवर्तन का विरोध करने वाली दिशा में बहती है जो उसे उत्पन्न करता है। जनित्र में इससे प्रेरित धारा पर लगे बल घूर्णन का विरोध करते हैं, इसलिए दिए गए हर जूल के लिए यांत्रिक कार्य चुकाना पड़ता है।
जनित्र: वह मशीन जो कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र में चलाकर, या चुंबक को कुंडली के पास से घुमाकर, यांत्रिक कार्य को विद्युत ऊर्जा में बदलती है। यह मोटर की तरह बनी होती है और उसी का उल्टा चलना है।
स्लिप रिंग और ब्रश: जनित्र की धुरी पर लगे दो पूर्ण वलय, जिनमें से हर एक को एक फिसलता ब्रश छूता है; ये घूमती कुंडली से प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल तारों को मरोड़े बिना बाहर लाते हैं।
प्रत्यावर्ती धारा (AC): वह धारा जो आवर्ती रूप से अपनी दिशा उलटती है, आमतौर पर ज्या-तरंग के रूप में। चुंबकीय क्षेत्र में घूमती कुंडली इसे स्वाभाविक रूप से बनाती है; बिजली ग्रिड 50 Hz या 60 Hz पर चलते हैं।
वर्ग-माध्य-मूल मान: वह स्थिर मान जो किसी प्रतिरोधक को वही औसत शक्ति दे। ज्या-तरंग के लिए यह शिखर को $2$ से भाग देने पर मिलता है: 230 V आपूर्ति का शिखर लगभग 325 V है।
ट्रांसफ़ॉर्मर: एक साझा लोहे के क्रोड पर दो कुंडलियाँ; एक में प्रत्यावर्ती धारा दूसरी में वोल्टेज प्रेरित करती है, उनके फेरों के अनुपात में। स्टेप-अप ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टेज बढ़ाता है और धारा घटाता है, स्टेप-डाउन इसका उल्टा करता है; दोनों स्थिर दिष्ट धारा पर काम नहीं करते।
भँवर धाराएँ: किसी ठोस धातु में बदलते फ्लक्स से प्रेरित घूमती धाराएँ। ट्रांसफ़ॉर्मर के क्रोड में ये ऊष्मा के रूप में ऊर्जा बर्बाद करती हैं, इसलिए क्रोड पतले, विद्युतरोधी पटलों से बनते हैं जिन्हें लैमिनेशन कहते हैं।

राशियाँ
$B$	चुंबकीय क्षेत्र	$T$	चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता (चुंबकीय फ्लक्स घनत्व): 1 T का क्षेत्र, उसे समकोण पर काटने वाले, हर मीटर में 1 A धारा वाले तार पर 1 N बल लगाता है। एनीमेशन का चुंबक 0.50 T देता है।
$I$	धारा	$A$	हर सेकंड किसी बिंदु से गुजरने वाला आवेश। जनित्र में यह विद्युत वाहक बल से चलती है; मोटर में यह आपूर्ति वोल्टेज घटा पश्च विद्युत वाहक बल से तय होती है। ट्रांसफ़ॉर्मर पर $I_{p}$ और $I_{s}$ प्राथमिक और द्वितीयक धाराएँ हैं।
$F$	तार पर बल	$N$	क्षेत्र का धारा वाले तार पर पार्श्व धक्का, $B I L sin θ$ : वह बल जो मोटर चलाता है और जनित्र को ब्रेक लगाता है। यहाँ $L$ क्षेत्र में तार की लंबाई (m में) है और $θ$ उसका क्षेत्र से कोण; कुंडली पर ये बल बल-आघूर्ण $τ = NB I A sin θ$ (N·m में) देते हैं, जहाँ $θ$ अभिलंब से मापा जाता है।
$N$	फेरों की संख्या		तार कुंडली के चारों ओर कितनी बार लिपटा है। हर फेरा समान विद्युत वाहक बल या समान बल-आघूर्ण जोड़ता है, और ट्रांसफ़ॉर्मर के दोनों वोल्टेज उसकी दो कुंडलियों के फेरों के अनुपात में होते हैं। यहाँ $N_{p}$ और $N_{s}$ प्राथमिक और द्वितीयक के फेरे हैं, और $V_{p}$ , $V_{s}$ उनके वोल्टेज (V में)।
$Φ$	चुंबकीय फ्लक्स	$Wb$	क्षेत्र गुणा वह क्षेत्रफल जिसे वह समकोण पर पार करता है; समतल कुंडली के लिए $B A cos θ$ ; $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ । एनीमेशन में यह प्रति फेरा +10 और −10 mWb के बीच झूलता है। यहाँ $A$ कुंडली का क्षेत्रफल (m² में) और $θ$ क्षेत्र तथा कुंडली के अभिलंब के बीच का कोण है।
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$	कुंडली कितनी तेज़ घूमती है, $ω = 2 π f$ ; यह उसकी बनाई प्रत्यावर्ती धारा की कोणीय आवृत्ति भी है। हर 2 s में एक चक्कर का अर्थ $ω = π rad/s$ है। $sin ω t$ में, $t$ (s में) कुंडली के क्षेत्र के सम्मुख होने के बाद का समय है।
$ε$	विद्युत वाहक बल (EMF)	$V$	प्रेरण द्वारा परिपथ में धकेले गए प्रति कूलॉम आवेश को दी गई ऊर्जा। घूमती कुंडली के लिए यह $sin ω t$ के अनुसार बदलता है।
$ε_{0}$	शिखर विद्युत वाहक बल	$V$	प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल का सबसे बड़ा मान, $NB A ω$ : एनीमेशन में 6.28 V, और वर्ग-माध्य-मूल मान $ε_{0} / 2 \approx 4.44 V$ । इसे विद्युत पाठों की निर्वात विद्युतशीलता $ε_{0}$ से न मिलाएँ।
$P$	संचारित शक्ति	$W$	वह दर जिस पर लाइन ऊर्जा देती है, $P = V I$ , जहाँ $V$ वह वोल्टेज है जिस पर उसे भेजा जाता है (V में)। दिए गए $P$ के लिए ऊँचे वोल्टेज का अर्थ छोटी धारा है।
$P_{loss}$	लाइन में खोई शक्ति	$W$	वह दर जिस पर लाइन के चालक ऊर्जा को ऊष्मा में बदलते हैं, $I^{2} R$ , जहाँ $R$ लाइन का कुल प्रतिरोध है (Ω में)। दी गई शक्ति के लिए यह संचरण वोल्टेज के वर्ग के व्युत्क्रम में घटती है।

क्विज़

शुरुआती जनित्र क्या करता है?
1. विद्युत को गति में बदलता है
2. गति को विद्युत में बदलता है
3. बैटरी की तरह बिजली जमा करता है
4. चुंबक को और शक्तिशाली बनाता है
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उत्तर: B. गति को विद्युत में बदलता है
जनित्र गति (टरबाइन, इंजन या क्रैंक) से एक कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र में घुमाता है, जिससे परिपथ में धारा बहती है। मोटर इसका उल्टा करती है।
शुरुआती चुंबकों के बीच घूमती कुंडली से निकलने वाली धारा की दिशा लगातार क्यों बदलती है?
1. चुंबकों के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव बार-बार बदलते हैं
2. बल्ब धारा को वापस धकेलता है
3. कुंडली की हर भुजा हर चक्कर में क्षेत्र को बारी-बारी से एक दिशा में और फिर दूसरी दिशा में पार करती है
4. तार गर्म होकर धारा रोक देते हैं
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उत्तर: C. कुंडली की हर भुजा हर चक्कर में क्षेत्र को बारी-बारी से एक दिशा में और फिर दूसरी दिशा में पार करती है
हर आधे चक्कर में कुंडली की हर भुजा क्षेत्र में अपनी गति की दिशा उलट देती है, इसलिए आवेशों पर धक्का भी उलट जाता है। यही प्रत्यावर्ती धारा है।
शुरुआती लंबी दूरी की बिजली केबलों में इतना ऊँचा वोल्टेज क्यों रखा जाता है?
1. केबल गर्म करने में बहुत कम ऊर्जा बर्बाद होती है
2. ऊँचे वोल्टेज पर बिजली तेज़ चलती है
3. घरेलू उपकरणों को काम करने के लिए इतना ऊँचा वोल्टेज चाहिए
4. जनित्र केवल ऊँचा वोल्टेज बना सकते हैं
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उत्तर: A. केबल गर्म करने में बहुत कम ऊर्जा बर्बाद होती है
समान शक्ति के लिए ऊँचे वोल्टेज पर धारा छोटी होती है, और केबल का ऊष्मीय क्षय धारा के वर्ग के अनुपात में होता है। घरों के पास के ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टेज फिर घटाते हैं।
मध्यम 0.40 m लंबे तार में 5.0 A धारा बह रही है और वह 0.30 T के चुंबकीय क्षेत्र के समकोण पर है। उस पर कितना बल लगता है?
1. 6.0 N
2. 0.12 N
3. 3.75 N
4. 0.60 N
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उत्तर: D. 0.60 N
F = B·I·L = 0.30 × 5.0 × 0.40 = 0.60 N। धारा को भूल जाने पर 0.12 N मिलता; L से गुणा करने के बजाय भाग देने पर 3.75 N।
मध्यम एक ट्रांसफ़ॉर्मर की प्राथमिक कुंडली में 200 फेरे और द्वितीयक में 50 फेरे हैं। प्राथमिक पर 240 V AC हो, तो द्वितीयक वोल्टेज क्या है?
1. 960 V
2. 60 V
3. 240 V
4. 4.8 V
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उत्तर: B. 60 V
Vs = Vp·Ns/Np = 240 × 50 / 200 = 60 V: यह स्टेप-डाउन ट्रांसफ़ॉर्मर है। अनुपात उलटने पर 960 V मिलता।
मध्यम एक स्थिर चाल से एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में घूमती कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल किस स्थिति में सबसे बड़ा होता है?
1. जब कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश हो, तब उसकी भुजाएँ क्षेत्र-रेखाओं को सीधे काटती हैं
2. जब कुंडली का तल क्षेत्र के सम्मुख हो, तब उससे गुजरने वाला फ्लक्स सबसे अधिक होता है
3. उन दो स्थितियों के बीच में
4. विद्युत वाहक बल हर स्थिति में समान होता है
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उत्तर: A. जब कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश हो, तब उसकी भुजाएँ क्षेत्र-रेखाओं को सीधे काटती हैं
ε = N·B·A·ω·sin ωt तब सबसे बड़ा होता है जब फ्लक्स Φ = B·A·cos ωt सबसे तेज़ी से बदलता है, यानी जब फ्लक्स स्वयं शून्य से गुजरता है और कुंडली का तल क्षेत्र के अनुदिश होता है। जब फ्लक्स सबसे बड़ा होता है, तब वह क्षण भर स्थिर होता है और ε = 0।
उन्नत दिष्ट धारा मोटर के चालू होते समय धारा बहुत अधिक होती है, पर पूरी चाल से चलने पर बहुत कम। ऐसा क्यों?
1. ऊँची चाल पर दिक्परिवर्तक कुंडली को अलग कर देता है
2. मोटर गर्म होने पर घर्षण घट जाता है
3. घूमती कुंडली एक पश्च विद्युत वाहक बल बनाती है, जो चाल के साथ बढ़ता है और आपूर्ति के विरुद्ध होता है
4. मोटर गर्म होने पर चुंबक कमज़ोर हो जाते हैं
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उत्तर: C. घूमती कुंडली एक पश्च विद्युत वाहक बल बनाती है, जो चाल के साथ बढ़ता है और आपूर्ति के विरुद्ध होता है
घूमती कुंडली भी एक जनित्र है। उसका पश्च विद्युत वाहक बल ε_b ∝ ω आपूर्ति के विरुद्ध है, इसलिए I = (V − ε_b)/R चाल बढ़ने पर घटता है; स्टार्ट-अप पर ε_b = 0 होता है और धारा केवल कुंडली के छोटे प्रतिरोध से सीमित रहती है।
उन्नत एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर का Np : Ns = 1 : 10 है और उसके द्वितीयक पर 500 Ω का भार है। स्रोत को प्राथमिक पर कितना प्रतिरोध दिखता है?
1. 50 Ω
2. 50 000 Ω
3. 5000 Ω
4. 5 Ω
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उत्तर: D. 5 Ω
Vp = Vs·Np/Ns और Ip = Is·Ns/Np, इसलिए Vp/Ip = (Np/Ns)²·Vs/Is = (1/10)² × 500 Ω = 5 Ω। वर्ग भूल जाने पर 50 Ω मिलता; Ns/Np के उपयोग से 5000 Ω या 50 000 Ω।

$ω$	मोटर शाफ़्ट की चाल।	$rad/s$
$τ$	मोटर द्वारा दिया गया बल-आघूर्ण; $ω$ बढ़ने पर रैखिक रूप से घटता है।	$N \cdot m$
$τ_{0}$	स्टॉल बल-आघूर्ण $kV / R$ : शाफ़्ट थमा होने पर, $ω = 0$ पर बल-आघूर्ण।	$N \cdot m$
$ω_{0}$	शून्य-भार चाल $V / k$ : पश्च विद्युत वाहक बल आपूर्ति वोल्टेज के बराबर, कोई धारा नहीं, बल-आघूर्ण शून्य।	$rad/s$
$\frac{ω _{0}}{2}$	शून्य-भार चाल का आधा, जहाँ यांत्रिक शक्ति सबसे अधिक है।	$rad/s$
$\frac{τ _{0}}{2}$	स्टॉल बल-आघूर्ण का आधा: $ω_{0} /2$ पर बल-आघूर्ण।	$N \cdot m$
$P$	यांत्रिक शक्ति $τ ω$ , छायांकित आयत का क्षेत्रफल; $ω_{0} /2$ पर अधिकतम मान $V^{2} / (4 R)$ ।	$W$

$B$	चुंबकीय क्षेत्र, आकृति के तल में क्षैतिज और एकसमान।	$T$
$ω$	कुंडली की कोणीय चाल, यहाँ दक्षिणावर्त।	$rad/s$
$\frac{w}{2}$	वह त्रिज्या जिस पर हर लंबी भुजा चलती है: कुंडली की चौड़ाई $w$ का आधा।	$m$
$v$	लंबी भुजा का वेग, उसके वृत्त की स्पर्श-रेखा, परिमाण $ω w /2$ ।	$m/s$
$θ$	$v$ और $B$ के बीच का कोण, और $A$ और $B$ के बीच भी: $θ = ω t$ ।	$rad$
$A$	कुंडली का क्षेत्रफल सदिश: परिमाण $A = L w$ , कुंडली के लंबवत, इसलिए ऊपरी भुजा के $v$ के समांतर।	$m^{2}$
$F$	धनात्मक आवेश $q$ पर लंबी भुजा में चुंबकीय बल $q v \times B$ । यह तार के अनुदिश है: ऊपरी भुजा पर पृष्ठ से बाहर (बिंदु), निचली पर भीतर (क्रॉस)।	$N$

$Φ$	एक फेरे से गुजरने वाला फ्लक्स $B A cos ω t$ , $ε_{0}$ की ऊँचाई के पैमाने पर आलेखित।	$Wb$
$ε$	कुंडली का विद्युत वाहक बल $- N d Φ/ d t$ ।	$V$
$ε_{0}$	कुंडली का शिखर विद्युत वाहक बल $NB A ω$ ।	$V$
$V_{s}$	ट्रांसफ़ॉर्मर की द्वितीयक कुंडली का वोल्टेज; $N_{s} / N_{p} = 2$ के लिए इसका शिखर $2 ε_{0}$ है।	$V$
$t$	समय।	$s$
$T$	आवर्तकाल: कुंडली के एक चक्कर का समय।	$s$
$\frac{T}{4}$	एक-चौथाई आवर्तकाल: वह समय जिससे फ्लक्स विद्युत वाहक बल से आगे रहता है, यानी $9 0^{\circ}$ कला-अंतर।	$s$

$V_{p}$	प्राथमिक कुंडली के सिरों पर स्रोत का वोल्टेज।	$V$
$I_{p}$	प्राथमिक कुंडली में धारा।	$A$
$N_{p}$	प्राथमिक कुंडली के फेरों की संख्या।
$Φ$	क्रोड में चुंबकीय फ्लक्स, जो दोनों कुंडलियों के हर फेरे से गुजरता है।	$Wb$
$N_{s}$	द्वितीयक कुंडली के फेरों की संख्या।
$I_{s}$	द्वितीयक कुंडली और भार में धारा।	$A$
$V_{s}$	द्वितीयक कुंडली और भार के सिरों पर वोल्टेज।	$V$
$R$	द्वितीयक पर भार का प्रतिरोध।	$Ω$