Principio de Bernoulli

Donde un fluido se acelera, su presión baja: la continuidad, $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ , y la ecuación de Bernoulli, $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ , en un tubo de Venturi.

El agua fluye por un tubo de Venturi: se acelera en la garganta estrecha, donde la columna de agua sobre el tubo es la más baja.

Antes de este tema: Presión en fluidos y principio de Pascal, Trabajo, energía y potencia

Principiante

Ideas clave

Donde el tubo se estrecha, el agua tiene que ir más rápido: por cada punto pasa la misma cantidad cada segundo.
Donde el agua va más rápido, su presión es menor; donde vuelve a frenarse, la presión sube.
Para acelerar hace falta un empuje: la presión más alta de detrás mete el agua en la parte estrecha.
La altura del agua en un tubo vertical fino indica la presión en ese punto del tubo.

Construyamos la idea de Bernoulli paso a paso.

Paso 1: lo que entra tiene que salir. El agua no puede amontonarse dentro de un tubo lleno, así que cada segundo debe pasar la misma cantidad de agua por cada punto. Donde el tubo se estrecha, el agua tiene que darse prisa. Por eso el agua sale con más fuerza cuando aprietas el extremo de una manguera.

Paso 2: la presión es un empuje. Indica con cuánta fuerza empuja el agua cada trocito de superficie que toca. Un tubo de vidrio fino colocado de pie sobre el tubo la hace visible: cuanto más fuerte empuja el agua, más alto sube en el tubito.

Paso 3: para acelerar hace falta un empujón por detrás. Una porción de agua que entra en la parte estrecha se acelera, así que algo la empuja hacia delante. Ese empuje viene del agua que va detrás, de modo que la presión detrás (en la parte ancha) debe ser mayor que la presión delante (en la parte estrecha). Agua rápida, presión baja; agua lenta, presión alta. También puedes verlo como un intercambio: el agua gana energía de movimiento y la paga con presión.

En la animación, los puntos blancos son pequeñas porciones de agua. Sigue el rojo: se separa de sus vecinos, cruza a toda velocidad el estrechamiento y luego vuelve a frenar. La columna de agua sobre el estrechamiento es la más baja.

Compruébalo: dos barcos que avanzan rápido uno junto al otro, muy cerca, tienden a acercarse. ¿Por qué? (Respuesta: el agua que pasa apretada entre ellos fluye más rápido que la de fuera, así que su presión es menor, y la presión mayor en los costados exteriores empuja los barcos uno hacia el otro.)

Intermedio

Ideas clave

Continuidad: $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ ; reducir a la mitad el diámetro de un tubo circular hace que el agua vaya cuatro veces más rápido.
Bernoulli para un tubo horizontal: $p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$ ; la presión se cambia por velocidad.
Ejemplo: de 1,0 a 3,41 m/s la presión baja 5,3 kPa, así que la columna de la garganta queda $Δ h \approx 0, 54 m$ más baja.
Un caudalímetro de Venturi mide $Δ h$ y, con las dos ecuaciones, obtiene la velocidad y el caudal.

Qué fluye y qué medimos

Esta lección sigue un flujo estacionario de un líquido o un gas: la velocidad en cada punto fijo nunca cambia, aunque el fluido no deja de moverse a través de él, y cada porción viaja por una línea fija llamada línea de corriente. Al agua la tratamos como un fluido ideal, incompresible, de densidad constante $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ , y sin rozamiento, un buen modelo para un tubo corto y liso.

Cuatro magnitudes describen el flujo en un tubo: la rapidez del flujo $v$ (m/s), promediada en una sección; el área de la sección $A$ (m²), con $A = π d^{2} /4$ en un tubo circular de diámetro $d$ ; el caudal $Q$ (m³/s), el volumen que atraviesa una sección cada segundo; y la presión $p$ , el empuje del agua sobre cada metro cuadrado de la pared, en pascales ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ).

Un tubo vertical fino montado sobre el tubo principal, un piezómetro, muestra la presión como una altura: el agua sube hasta que el peso de su columna equilibra la presión de abajo, $p = ρ g h$ . Todas las presiones de aquí son presiones manométricas, medidas por encima de los 101 kPa de la atmósfera, que se cancelan en cada diferencia.

Continuidad: lo que entra tiene que salir

En un tiempo $Δ t$ el agua que cruza una sección avanza $v Δ t$ y llena un cilindro de volumen $A v Δ t$ . Al dividir entre el tiempo se obtiene el caudal:
$Q = A v$

El agua no puede acumularse dentro de un tubo lleno ni desaparecer de él, así que por cada sección, ancha o estrecha, debe pasar el mismo $Q$ :
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$

La rapidez es, por tanto, inversamente proporcional al área. Como el área de un tubo circular crece con el cuadrado de su diámetro, reducir el diámetro a la mitad divide el área entre 4 y hace que el agua vaya cuatro veces más rápido, no el doble.

Ecuación de Bernoulli: presión a cambio de velocidad

Una porción que entra en un estrechamiento se acelera, así que alguna fuerza neta tiene que empujarla hacia delante. En un tubo horizontal esa fuerza solo puede venir de la presión del agua que la rodea, y por eso la presión detrás de la porción debe ser mayor que la de delante: flujo rápido, presión baja.

La energía lo hace exacto: el trabajo que realizan las fuerzas de presión sobre una porción que pasa de alta a baja presión se convierte en energía cinética, o en energía potencial si la porción asciende. Por unidad de volumen esas energías son $p$ , $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ y $ρ g h$ , todas en pascales ( $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ), y a lo largo de una línea de corriente su suma se mantiene:
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

En un tubo horizontal los términos de altura se cancelan, así que la caída de presión es igual al aumento de energía cinética por unidad de volumen. Dos tubos verticales lo muestran como una diferencia de alturas:
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}$

La altura también cuenta. En un tubo uniforme que sube 10 m la rapidez no puede cambiar, así que la presión baja $ρ g h = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 10 \approx 98 kPa$ , casi una atmósfera, y por eso los edificios altos necesitan bombas.

Ejemplo resuelto: el tubo de Venturi de la animación

En la escala de la animación, que es la misma para el tubo y para las columnas, el radio del tubo es de 24 cm a la entrada y de 13 cm en la garganta, y el agua entra con $v_{1} = 1, 0 m/s$ y una presión manométrica de 7,85 kPa, que sostiene la primera columna a 0,80 m por encima del eje.

La continuidad, la ecuación de Bernoulli y la regla del tubo vertical dan:
$v_{2} = v_{1} \frac{A _{1}}{A _{2}} = 1, 0 \cdot (\frac{24}{13})^{2} \approx 3, 41 m/s$
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3, 4 1^{2} - 1, 0^{2}) \approx 5, 31 kPa$
$Δ h = \frac{5310}{1000 \cdot 9 , 81} \approx 0, 541 m$

La presión en la garganta es $7, 85 - 5, 31 = 2, 54 kPa$ , así que su columna llega solo a 0,26 m por encima del eje. Son los números de la animación: las etiquetas $v_{1} = 1, 0 m/s$ y $v_{2} = 3, 4 m/s$ , la flecha morada de $Δ h$ por debajo del nivel de entrada, dibujado con trazos, y los indicadores, donde $v$ sube de 1,00 a 3,41 m/s mientras $p$ baja de 7,85 a 2,54 kPa cuando la porción roja entra en la garganta y su flecha azul de velocidad se hace 3,41 veces más larga.

Pasada la garganta, todo sucede al revés, y en este fluido ideal la última columna vuelve a subir hasta 0,80 m. El caudal, $Q = π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 1, 0 \approx 0, 181 m^{3} /s$ , o 181 litros por segundo, es el mismo en la garganta: $π \cdot 0, 1 3^{2} \cdot 3, 41 \approx 0, 181 m^{3} /s$ .

Ejemplo resuelto: lectura de un caudalímetro de Venturi

Un caudalímetro de Venturi es uno de estos tubos instalado en una tubería para medir su caudal. Supón que una tubería de agua de 12 cm de diámetro se estrecha hasta una garganta de 6 cm, y que las columnas sobre las dos secciones difieren en 30 cm. ¿A qué velocidad fluye el agua y cuánta pasa cada segundo?

La caída de presión es $ρ g Δ h = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 0, 30 \approx 2, 94 kPa$ . Reducir el diámetro a la mitad divide el área entre cuatro, así que $v_{2} = 4 v_{1}$ , y la ecuación de Bernoulli queda $ρ g Δ h = \frac{1}{2} ρ (16 - 1) v_{1}^{2}$ . La densidad se cancela y, en general,
$v_{1} = \frac{2 g Δ h}{( A _{1} / A _{2} ) ^{2} - 1} = \frac{2 \cdot 9 , 81 \cdot 0 , 30}{15} \approx 0, 63 m/s$

Entonces $v_{2} = 4 \cdot 0, 63 \approx 2, 5 m/s$ y $Q = π \cdot 0, 0 6^{2} \cdot 0, 63 \approx 7, 1 \times 1 0^{- 3} m^{3} /s$ , unos 7 litros por segundo. Con los 0,541 m de la animación y su relación de áreas 3,41, la misma fórmula devuelve sus 1,0 m/s. Fíjate en que $Δ h$ crece con el cuadrado del caudal: un caudal doble daría 1,20 m, de modo que cada caudalímetro sirve solo para un intervalo limitado.

Cómo leer las columnas y los puntos

Cada columna llega a una altura $p / (ρ g)$ sobre el eje, llamada altura de presión. Si se suma la altura de velocidad $v^{2} / (2 g)$ , de 0,05 m a la entrada y 0,59 m en la garganta, todas las secciones alcanzan la misma altura total, 0,85 m: es la ecuación de Bernoulli dividida entre $ρ g$ . A lo largo de una tubería real, el rozamiento hace que este nivel vaya descendiendo.

Los puntos blancos entran a un ritmo constante, así que la separación entre vecinos de una misma fila es la rapidez por un tiempo fijo: en la garganta los huecos se hacen 3,41 veces mayores y las tres filas se juntan, porque las líneas de corriente se aprietan donde el flujo es rápido.

Errores frecuentes

La baja presión de la garganta no succiona el agua. El agua es empujada desde atrás, por 7,85 kPa a la entrada frente a 2,54 kPa en la garganta.
Eleva al cuadrado las rapideces antes de restarlas: en la animación, $\frac{1}{2} ρ (v_{2} - v_{1})^{2}$ da 2,90 kPa en lugar de los 5,31 kPa correctos.
Un estrechamiento no hace subir la presión dentro de él. Un pulgar sobre una manguera aumenta la presión detrás porque frena el flujo, pero para un caudal dado por un tubo horizontal, la sección más estrecha es la de menor presión.
La presión no se gasta en la garganta. En un fluido ideal se recupera por completo, así que la última columna vuelve a 0,80 m; en un tubo real el rozamiento la deja varios centímetros más baja.

Dónde aparece

Los caudalímetros de Venturi miden caudales de agua, combustible y gas. Los carburadores y los pulverizadores de perfume aprovechan la baja presión de una corriente rápida de aire para subir un líquido por un tubito, y una trompa de agua de laboratorio extrae el aire de un matraz del mismo modo. Un tubo de Pitot en un avión compara la presión del aire llevado al reposo con la presión estática para hallar la velocidad respecto al aire, y dos barcos que navegan muy juntos son empujados el uno hacia el otro por el agua, más rápida, que pasa entre ellos.

La lección se apoya en Presión en fluidos y principio de Pascal, para las columnas, y en Trabajo, energía y potencia, para la conservación de la energía. El rozamiento que deja fuera, la viscosidad, es el tema de Fuerza de arrastre y velocidad terminal.

Avanzado

Ideas clave

$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ : el trabajo de la presión sobre un tubo de corriente iguala la energía que gana el fluido.
Incluso en flujo estacionario una partícula se acelera al moverse, por $(v \cdot \nabla) v$ ; la fuerza es $- \nabla p$ .
La suma es constante en una línea de corriente (estacionario, no viscoso, incompresible); si $\nabla \times v = 0$ , vale una constante en todo el flujo.
La viscosidad hace caer la carga a lo largo de un tubo real; sobre Mach 0,3 los gases requieren la forma compresible; la baja presión puede causar cavitación.
Un depósito se vacía a la velocidad de Torricelli $v = 2 g h$ , la de una caída libre desde la superficie: la energía potencial pasa a cinética.

Líneas y tubos de corriente, la porción en movimiento

Esta parte presenta el lenguaje de los flujos y lo usa para responder a una primera pregunta: ¿por qué el agua se acelera en un tubo que se estrecha, y cuánto vale su aceleración? El ejemplo que seguimos todo el tiempo es el tubo de Venturi de la animación. Agua de densidad $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ entra a 1,0 m/s en un tubo ancho de 24 cm de radio, con una presión manométrica (la presión por encima de la atmosférica) de 7,85 kPa, suficiente para sostener una columna de agua de 0,80 m de altura. Después atraviesa una garganta de 13 cm de radio, y el tubo vuelve a ensancharse.

Un flujo se describe con su campo de velocidades $v (r, t)$ : la velocidad del fluido que se encuentra en el punto $r$ en el instante $t$ . El flujo es estacionario cuando este campo no cambia con el tiempo en ningún punto fijo, $\partial v / \partial t = 0$ . Una línea de corriente es una línea tangente a $v$ en cada uno de sus puntos. En un flujo estacionario las líneas de corriente permanecen fijas, y cada pequeña porción de fluido recorre una de ellas.

La figura 1 muestra un tubo que se estrecha. Las líneas azules finas son líneas de corriente, y la velocidad en cualquier punto es tangente a la línea de corriente que pasa por él. La pared también es una línea de corriente, porque ningún fluido la atraviesa: la flecha $v$ , en el punto marcado sobre la pared, va a lo largo de ella. Las dos líneas más gruesas delimitan un tubo de corriente, un haz de líneas de corriente vecinas. Como ningún fluido cruza una línea de corriente, tampoco cruza la superficie lateral del tubo: todo lo que entra por la sección 1, de área $A_{1}$ , tiene que salir por la sección 2, de área $A_{2}$ .

En un líquido la densidad es constante, así que el volumen que entra cada segundo debe ser igual al que sale cada segundo. Este caudal volumétrico es $Q = A v$ , con $v$ la rapidez media en la sección, de modo que
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
Como $A_{2}$ es menor que $A_{1}$ , la rapidez $v_{2}$ es mayor que $v_{1}$ , en el factor $A_{1} / A_{2}$ . Fíjate en las líneas de corriente de la figura 1: se apiñan donde el tubo es estrecho. Entre líneas vecinas pasa el mismo caudal, así que su separación es una imagen de la rapidez: líneas juntas, fluido rápido. Las dos flechas $v_{1}$ y $v_{2}$ están dibujadas en la razón $A_{1} / A_{2}$ . En la animación $A_{1} / A_{2} = (24/13)^{2} \approx 3, 41$ , de modo que el agua alcanza 3,41 m/s en la garganta. La forma local de esta ley es $\nabla \cdot v = 0$ : un fluido de densidad constante no puede acumularse ni enrarecerse en ningún sitio.

Estacionario no significa sin aceleración. El campo de la animación nunca cambia y, sin embargo, la porción roja se acelera de 1,0 a 3,41 m/s, porque pasa a una región donde el campo es más rápido. El ritmo de cambio de la velocidad de la propia porción es la derivada material:
$\frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v$
El primer término es el cambio del campo en un punto fijo; es nulo en un flujo estacionario. El segundo, el término convectivo, es el cambio que encuentra la porción porque se mueve: en el tiempo $d t$ recorre $v d t$ hasta un lugar donde el campo es distinto. Sobre el eje del tubo la velocidad apunta a lo largo del eje, llamémoslo $x$ , así que el término convectivo es simplemente $v d v / d x$ . En la animación alcanza unos 25 m/s², cerca de $2, 5 g$ , hacia el final del estrechamiento, y el tramo que se ensancha frena la porción con hasta 21 m/s².

Balance de energía en un tubo de corriente

¿Por qué un fluido más rápido habría de estar a menor presión? Para acelerarse, una porción necesita una fuerza neta hacia delante, y en un tubo horizontal solo la presión puede proporcionarla: la presión detrás de la porción debe superar a la presión delante de ella. Esta parte convierte esa idea en un balance de energía exacto, la ecuación de Bernoulli.

La figura 2 muestra un tubo de corriente que se estrecha y sube, desde la sección 1, a la altura $h_{1}$ , hasta la sección 2, a la altura $h_{2}$ , ambas medidas hasta el eje del tubo. Sigue el fluido del tubo durante un tiempo corto $d t$ . Por la sección 1 entra una rebanada de longitud $v_{1} d t$ , con masa $d M = ρ A_{1} v_{1} d t$ y volumen $d V = d M / ρ$ . Por la sección 2 sale una rebanada de longitud $v_{2} d t$ . Por la continuidad, tiene la misma masa y el mismo volumen, así que es la más larga de las dos, porque allí el tubo es más delgado.

Entre las dos rebanadas nada ha cambiado: el flujo es estacionario, de modo que cada punto sigue conteniendo fluido que se mueve con la misma velocidad que antes. El efecto neto del intervalo $d t$ es, por tanto, que la rebanada $d V$ se ha tomado de la sección 1 y se ha colocado en la sección 2, con la rapidez y la altura de la sección 2. Su energía ha aumentado en
$d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2}) + d M g (h_{2} - h_{1})$

¿Qué ha pagado esta ganancia? No la presión sobre la pared lateral del tubo: actúa perpendicularmente al flujo y no realiza trabajo. El trabajo se realiza en los dos extremos. El fluido de detrás empuja la rebanada que entra con la fuerza $p_{1} A_{1}$ a lo largo de la distancia $v_{1} d t$ , lo que supone el trabajo $p_{1} A_{1} v_{1} d t = p_{1} d V$ . En la sección 2, el fluido de delante empuja hacia atrás con la fuerza $p_{2} A_{2}$ mientras la rebanada que sale avanza $v_{2} d t$ contra ella, lo que supone el trabajo $- p_{2} d V$ . Sin rozamiento, el teorema del trabajo y la energía iguala el trabajo neto a la ganancia de energía:
$(p_{1} - p_{2}) d V = d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2} + g h_{2} - g h_{1})$

Divide entre $d V$ , usa $d M / d V = ρ$ y agrupa los términos de cada sección en su propio lado: $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$ . Las secciones 1 y 2 eran dos secciones cualesquiera, así que a lo largo del tubo
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

Cada término es una energía por unidad de volumen, medida en pascales (1 Pa = 1 J/m³). El término $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ es la energía cinética y $ρ g h$ la energía potencial. El término de presión $p$ es el trabajo necesario para introducir una unidad de volumen de fluido en una región que ya está llena, y se llama trabajo de flujo. En el tubo de Venturi horizontal $h$ es la misma en todas partes, y elevar la rapidez de 1,0 a 3,41 m/s cuesta $\frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) \approx 5, 31 kPa$ de presión.

En un gas, la energía interna por unidad de masa, $u$ , entra en el balance, y la suma conservada por unidad de masa pasa a ser $u + p / ρ + \frac{1}{2} v^{2} + g h$ . Sus dos primeros términos forman juntos la entalpía específica. Sin intercambio de calor ni trabajo de eje, esta es la ecuación de energía de flujo estacionario de una tobera. En un líquido sin rozamiento $u$ se mantiene constante y desaparece del balance.

La ecuación de Euler: a lo largo y a través del flujo

El razonamiento energético trata de una vez todo un tubo de corriente. La segunda ley de Newton, aplicada a cada pequeño volumen de fluido, da el mismo resultado en forma local, muestra dónde vale la constante y añade una segunda regla, para la presión a través de las líneas de corriente.

Considera un pequeño cubo de fluido. La presión empuja hacia dentro sobre cada cara, y las fuerzas sobre caras opuestas se anulan salvo por la diferencia de presión entre ellas. Por unidad de volumen, la fuerza neta de presión es, por tanto, $- \nabla p$ , y apunta de la presión alta hacia la baja. Añadiendo la gravedad, $ρ g$ por unidad de volumen, e igualando el total a la densidad por la derivada material, se obtiene la ecuación de Euler:
$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + ρ g$

Tres pasos la convierten en la ecuación de Bernoulli. Primero, en un flujo estacionario $\partial v / \partial t = 0$ . Segundo, una identidad vectorial descompone el término convectivo: $(v \cdot \nabla) v = \nabla (\frac{1}{2} v^{2}) - v \times Ω$ , donde $Ω = \nabla \times v$ es la vorticidad, el doble de la velocidad angular local con la que gira el fluido. Tercero, la gravedad apunta hacia abajo mientras que $h$ se mide hacia arriba, así que, para una densidad constante, $ρ g = - \nabla (ρ g h)$ . Pasando todos los gradientes a la izquierda,
$\nabla (p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h) = ρ v \times Ω$

El miembro de la derecha es un producto vectorial con $v$ , así que es perpendicular a $v$ . Por tanto, el gradiente de la suma no tiene componente a lo largo del flujo: la suma es constante a lo largo de cada línea de corriente, como se halló con la figura 2, pero líneas distintas pueden llevar constantes distintas. Si el flujo es irrotacional, $Ω = 0$ , todo el gradiente se anula y una sola constante vale en todas partes. Un fluido ideal que parte del reposo, o de una corriente uniforme como el agua que entra en el tubo de Venturi, sigue siendo irrotacional, así que en la práctica suele bastar una sola constante.

A través del flujo, la ecuación de Euler dice algo distinto. Donde las líneas de corriente se curvan con radio $R$ , cada porción necesita la aceleración centrípeta $v^{2} / R$ hacia el centro de curvatura y, dejando aparte la gravedad, solo una diferencia de presión a través de las líneas de corriente puede suministrarla:
$\frac{\partial p}{\partial n} = \frac{ρ v ^{2}}{R}$
Aquí $n$ es la distancia a través de las líneas de corriente, medida alejándose del centro de curvatura. Por tanto, la presión aumenta al alejarse del centro de una curva, de modo que el aire que se curva sobre un ala tiene junto a ella una presión menor que más lejos. Donde las líneas de corriente son rectas y paralelas, $R$ es infinito y la presión no cambia a través de ellas, salvo por la variación hidrostática con la altura. Por eso una toma de presión en la pared de un tramo recto mide la presión del eje.

Cómo leer la gráfica de presiones

La gráfica de la animación muestra la ecuación de Bernoulli en acción a lo largo de todo el tubo. Sus pendientes muestran también la ecuación de Euler y explican por qué los tubos de Venturi reales tienen la forma que tienen.

La figura 3 vuelve a dibujar la gráfica de presiones de la animación bajo un esquema del tubo, con la posición $x$ a lo largo del tubo creciendo hacia la derecha. La sección 1 es la entrada ancha y la sección 2 el centro de la garganta, y la gráfica sigue a la porción roja a lo largo del tubo. La presión estática $p$ (morada) baja de 7,85 a 2,54 kPa en el estrechamiento, se mantiene plana a lo largo de la garganta y se recupera en el tramo que se ensancha. La presión dinámica $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ (azul) hace lo contrario: sube de 0,50 a 5,81 kPa y vuelve a bajar. Su suma (verde) se mantiene plana en 8,35 kPa. Las tres curvas comparten una misma escala, así que toda la altura que gana la curva azul la pierde la morada. Expresada como la altura de la columna de agua que podría sostener, $(p + \frac{1}{2} ρ v^{2}) / (ρ g)$ , la suma es 0,851 m, y se llama altura total.

Fíjate ahora en las pendientes. Sobre el eje, la ecuación de Euler dice $- d p / d x = ρ v d v / d x = ρ a$ , con $a$ la aceleración de la porción. Así, la pendiente descendente de la curva morada es la fuerza neta por unidad de volumen sobre la porción, y es igual a la pendiente ascendente de la curva azul. Es máxima, unos 25 kPa por metro, donde la porción se acelera más, en los flancos empinados de las curvas de la figura 3. Es nula a lo largo de la garganta, donde la rapidez es constante.

En el tramo que se ensancha la presión aumenta en el sentido del flujo: la curva morada sube por la derecha. Un aumento así se llama gradiente de presión adverso, porque empuja en contra del movimiento. El fluido ideal simplemente se frena. En un fluido real, la capa pegada a la pared ya ha sido frenada por el rozamiento y puede no tener energía cinética suficiente para remontar el aumento de presión; se detiene, y el flujo se desprende de la pared. Por eso los tubos de Venturi se ensanchan con más suavidad de lo que se estrechan: aquí a lo largo de 60 cm, frente a 50 cm del estrechamiento.

Depósitos, chorros y tubos de Pitot

La ecuación de Bernoulli relaciona también puntos a distintas alturas, y puntos donde el fluido queda en reposo. Cada caso da un resultado sencillo y útil.

La figura 4 muestra un depósito ancho que se vacía por un agujero pequeño. Sigue la línea de corriente discontinua desde el punto 1, en la superficie libre, hasta el punto 2, en el chorro justo a la salida del agujero, una profundidad $H$ más abajo. En ambos extremos la presión es la atmosférica: en 1 la superficie está abierta al aire, y en 2 las líneas de corriente del chorro son rectas y paralelas, de modo que la presión en su interior es igual a la del aire que lo rodea. La superficie está casi quieta, porque es mucho más ancha que el agujero. Así que los términos de presión se cancelan, el término cinético en 1 es despreciable, y la energía potencial $ρ g H$ perdida por unidad de volumen se convierte íntegramente en la energía cinética $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ del chorro:
$v = 2 g H (Torricelli)$

El chorro sale tan rápido como una piedra que cae desde la altura $H$ . Es la $v = 2 g h$ de la lista de fórmulas, con la profundidad escrita $H$ porque cambia a medida que el depósito se vacía.

¿Cuánto tarda el depósito en vaciarse? Si el nivel baja despacio, el flujo es casi estacionario en cada instante (cuasiestacionario), y el resultado de Torricelli vale para la profundidad de ese momento. La continuidad relaciona entonces los dos extremos de la línea de corriente: la superficie libre, de área $A_{T}$ , baja al ritmo $d H / d t$ , que es negativo, mientras el chorro sale del agujero, de área $a$ , con la rapidez $v$ :
$A_{T} \frac{d H}{d t} = - a v = - a 2 g H$
Como $A_{T} / a$ es grande, la superficie baja muy despacio mientras el chorro sale disparado, y por eso la figura 4 no puede estar a escala. Separa las variables, $d H / H = - (a / A_{T}) 2 g d t$ , e integra desde la profundidad inicial $H_{0}$ hasta 0. El lado izquierdo da $- 2 H_{0}$ , así que $2 H_{0} = (a / A_{T}) 2 g t$ , y el depósito se vacía en
$t = \frac{A _{T}}{a} \frac{2 H _{0}}{g}$

Un barril de 0,25 m² lleno hasta 0,80 m de altura, que se vacía por un agujero de 1 cm², tiene $A_{T} / a = 2500$ y se vacía en $2500 \cdot 1, 6/9, 81 \approx 1, 0 \times 1 0^{3} s$ , unos 17 minutos. El nivel baja deprisa al principio y despacio al final, porque la rapidez del chorro es proporcional a $H$ .

Un tubo de Pitot mide la rapidez con un punto de estancamiento. Su extremo abierto mira hacia el flujo, y el fluido que llega allí queda en reposo, $v = 0$ ; a la misma altura, la presión en la boca es, por tanto, $p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ , la presión de estancamiento. Unos orificios pequeños en el costado del tubo, junto a los que el flujo pasa en paralelo, miden la presión estática $p$ . La diferencia es $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ , y de ella se obtiene $v$ . Sobre el eje de la animación, el extremo abierto leería en todas partes los 8,35 kPa de la curva verde, mientras que las tomas de la pared siguen la curva morada. Un avión que vuela a 60 m/s en aire de densidad 1,2 kg/m³ ve una diferencia de $\frac{1}{2} \cdot 1, 2 \cdot 6 0^{2} = 2, 16 kPa$ .

Problema resuelto: cuando la garganta aspira y hierve

Conserva el tubo de la animación y su presión manométrica de entrada de 7,85 kPa, pero aumenta el caudal. ¿A qué rapidez de entrada llega la garganta a la presión atmosférica, y a qué rapidez hierve allí el agua? Toma 101,3 kPa para la atmósfera y 2,34 kPa para la presión de vapor del agua a 20 °C.

El tubo es horizontal, así que la ecuación de Bernoulli entre la entrada y la garganta es $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ . La continuidad da $v_{2} = (A_{1} / A_{2}) v_{1}$ , con $A_{1} / A_{2} = 3, 41$ . Sustituyendo $v_{2}$ se obtiene la presión manométrica de la garganta
$p_{2} = p_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{A _{1}}{A _{2}})^{2} - 1] = 7, 85 - 5, 31 v_{1}^{2}$
con $p_{2}$ en kPa y $v_{1}$ en m/s; el 5,31 es $\frac{1}{2} ρ (3, 4 1^{2} - 1)$ en estas unidades.

La presión manométrica de la garganta es cero, es decir, la garganta está a la presión atmosférica, cuando $v_{1} = 7, 85/5, 31 \approx 1, 22 m/s$ . A rapideces mayores la garganta queda por debajo de la presión atmosférica, así que un tubo abierto allí aspira aire o líquido en lugar de sostener una columna. Así funcionan la trompa de agua y el carburador.

La cavitación, una ebullición a temperatura ambiente, empieza cuando la presión absoluta de la garganta baja hasta la presión de vapor. La presión absoluta es la manométrica más la atmosférica, de modo que esto ocurre a la presión manométrica $2, 34 - 101, 3 \approx - 99, 0 kPa$ . Igualando $7, 85 - 5, 31 v_{1}^{2} = - 99, 0$ se obtiene
$v_{1} = \frac{7 , 85 + 99 , 0}{5 , 31} \approx 4, 49 m/s, v_{2} = 3, 41 \cdot 4, 49 \approx 15, 3 m/s$

El tubo transporta entonces $π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 4, 49 \approx 0, 81 m^{3} /s$ , cuatro veces y media el caudal de la animación. En la práctica, las burbujas se forman algo antes, alrededor de diminutas bolsas de gas y en remolinos turbulentos. Arrastradas hacia el tramo que se ensancha, donde la presión se recupera, colapsan con violencia, y son estos colapsos repetidos los que producen picaduras en los rodetes de las bombas y en las hélices de los barcos.

Límites de validez

La ecuación de Bernoulli se apoya en tres idealizaciones: ausencia de rozamiento, densidad constante y flujo estacionario. Cada una falla en algún lugar, y conviene saber dónde.

La primera en fallar es la ausencia de viscosidad, el rozamiento interno del fluido. El número de Reynolds $ρ v d / η$ compara la inercia del fluido con sus fuerzas viscosas; aquí $d$ es el diámetro del tubo y $η$ la viscosidad del agua, de unos $1, 0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ . Para la animación vale $1000 \cdot 1, 0 \cdot 0, 48/ (1, 0 \times 1 0^{- 3}) \approx 5 \times 1 0^{5}$ , muy por encima de los pocos miles a partir de los cuales el flujo en un tubo se vuelve turbulento, así que el flujo real sería turbulento. Aun así, el rozamiento apenas importa en un estrechamiento corto y liso, y los caudalímetros de Venturi concuerdan con la fórmula ideal con una diferencia de unos pocos por ciento. En todo el tubo, sin embargo, un Venturi real pierde de forma permanente entre el 5 y el 20 % de su caída de presión, de modo que la columna situada después del ensanchamiento quedaría unos 3 a 11 cm por debajo de la primera.

La incompresibilidad es excelente para los líquidos. La caída de 5,3 kPa de la animación cambia la densidad del agua en la fracción $Δ p / K \approx 2, 4 \times 1 0^{- 6}$ , donde $K \approx 2, 2 GPa$ es su módulo de compresibilidad, la presión necesaria por unidad de cambio relativo de volumen. Los gases la cumplen mientras el flujo esté muy por debajo de la velocidad del sonido. A Mach 0,3, tres décimas de la velocidad del sonido o unos 100 m/s en el aire, la densidad cambia alrededor de un 4,5 %, y la fórmula incompresible predice una lectura del tubo de Pitot alrededor de un 2 % demasiado baja.

La estacionariedad falla cuando se cierra una válvula deprisa. El término $\partial v / \partial t$ pasa entonces a dominar, y por el tubo viaja una onda de presión llamada golpe de ariete. Detener de golpe el flujo de 1,0 m/s de la animación elevaría la presión en unos $ρ c Δ v \approx 1000 \cdot 1400 \cdot 1, 0 \approx 1, 4 MPa$ , donde $c$ es la rapidez de la onda en el tubo lleno de agua y $Δ v$ el cambio brusco de rapidez.

Lo que viene después

La ecuación de Bernoulli es el teorema del trabajo y la energía de la lección Trabajo, energía y potencia, escrito por unidad de volumen. El chorro de Torricelli sale con la rapidez que se estudia en Caída libre y describe la parábola de Tiro parabólico, y $\partial p / \partial n = ρ v^{2} / R$ es la fuerza centrípeta de Movimiento circular aplicada a un fluido. En los gases, la forma con entalpía conduce a Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas, y la velocidad del sonido, que acota el modelo incompresible, reaparece en El sonido y el efecto Doppler.

La sustentación suele explicarse mal. Una afirmación popular dice que el aire que pasa por encima de un ala debe reunirse con el de debajo en el borde de salida, y que por eso tiene que moverse más deprisa por el camino superior, más largo. Es falso: el aire de arriba llega primero. Además, un flujo ideal estacionario sin circulación no ejerce ninguna fuerza neta sobre un cuerpo. Lo que hace un ala es crear una circulación $Γ = \oint v \cdot d l$ , la integral de la velocidad a lo largo de un lazo que rodea el ala: un giro neto añadido a la corriente incidente. Su valor lo fija el borde de salida afilado, que el flujo debe abandonar suavemente. En una corriente de rapidez $U$ , la sustentación por unidad de envergadura es entonces $ρ U Γ$ , y la ecuación de Bernoulli convierte el flujo más rápido sobre el ala y el más lento bajo ella en la diferencia de presión que la sostiene. La viscosidad que selecciona esa circulación, y que causa el arrastre, es el tema de Fuerza de arrastre y velocidad terminal.

Fórmulas clave

Caudal volumétrico

Q = A v

En un tiempo $Δ t$ el fluido que cruza una sección avanza $v Δ t$ y llena un cilindro de volumen $A v Δ t$ ; al dividir entre el tiempo se obtiene el volumen por segundo. Multiplicado por la densidad, se convierte en el flujo de masa, $ρ A v$ en kg/s.

Símbolos
$Q$	caudal volumétrico a través de la sección	$m^{3} /s$
$A$	área de la sección, perpendicular al flujo	$m^{2}$
$v$	rapidez del flujo, promediada en la sección	$m/s$

Cuándo es válida: Vale para cualquier fluido, siempre que $v$ sea la rapidez promediada en la sección y $A$ se mida perpendicularmente al flujo.

Ejemplo: La entrada de la animación: $Q = π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 1, 0 \approx 0, 181 m^{3} /s$ , 181 litros cada segundo.

Ecuación de continuidad

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

El agua no puede acumularse dentro de un tubo lleno ni desaparecer de él, así que el volumen que entra cada segundo debe salir por cualquier otra sección: $Q$ es el mismo en todas partes. La rapidez es, por tanto, inversamente proporcional al área. En un tubo circular $A \propto d^{2}$ , así que reducir el diámetro a la mitad hace que el agua vaya cuatro veces más rápido.

Símbolos
$A_{1}$	área de la sección ancha	$m^{2}$
$v_{1}$	rapidez del flujo en la sección ancha	$m/s$
$A_{2}$	área de la sección estrecha	$m^{2}$
$v_{2}$	rapidez del flujo en la sección estrecha	$m/s$

Cuándo es válida: Flujo estacionario de un fluido incompresible (un líquido, o un gas muy por debajo de la velocidad del sonido) sin fugas ni ramificaciones. En un gas compresible lo que se mantiene es el flujo de masa $ρ A v$ .

Ejemplo: En la animación el área de la garganta es 3,41 veces menor, así que $v_{2} = 3, 41 \cdot 1, 0 = 3, 41 m/s$ .

Ecuación de Bernoulli

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const

Cada término es una energía por unidad de volumen, en pascales ( $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ): $p$ es el trabajo que puede realizar la presión, $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ la energía cinética y $ρ g h$ la energía potencial. Las fuerzas de presión realizan trabajo sobre una porción que pasa de alta a baja presión, y ese trabajo se convierte en energía cinética o potencial, así que la suma no cambia a lo largo de una línea de corriente. Más rápido a la misma altura significa, por tanto, menos presión.

Símbolos
$p$	presión estática	$Pa$
$ρ$	densidad del fluido	$kg/ m^{3}$
$v$	rapidez del flujo	$m/s$
$g$	aceleración de la gravedad	$m/ s^{2}$
$h$	altura sobre un nivel de referencia elegido	$m$

Cuándo es válida: Flujo estacionario, no viscoso e incompresible, a lo largo de una línea de corriente; la misma constante vale en líneas distintas solo si el flujo es irrotacional. En un tubo real el rozamiento hace que la suma disminuya a lo largo del flujo.

Ejemplo: En la animación la suma es $7, 85 + 0, 50 = 8, 35 kPa$ a la entrada y $2, 54 + 5, 81 = 8, 35 kPa$ en la garganta.

Caída de presión en un tubo horizontal

p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

Sin cambio de altura los términos $ρ g h$ se cancelan, y la presión baja exactamente lo que aumenta la energía cinética por unidad de volumen. La diferencia de presión es la causa de la aceleración, no su resultado: el fluido se acelera porque la presión detrás de él es mayor que la de delante. Eleva al cuadrado las rapideces antes de restarlas.

Símbolos
$p_{1}$	presión en la sección ancha	$Pa$
$p_{2}$	presión en la sección estrecha	$Pa$
$ρ$	densidad del fluido	$kg/ m^{3}$
$v_{1}$	rapidez del flujo en la sección ancha	$m/s$
$v_{2}$	rapidez del flujo en la sección estrecha	$m/s$

Cuándo es válida: Tubo horizontal y flujo ideal estacionario. Si el tubo sube de $h_{1}$ a $h_{2}$ , hay que sumar $ρ g (h_{2} - h_{1})$ al miembro de la derecha.

Ejemplo: De 1,0 a 3,41 m/s en agua: $p_{1} - p_{2} = 500 \cdot (3, 4 1^{2} - 1) \approx 5, 31 kPa$ .

Diferencia de presión leída como altura de columna

Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}

Un tubo vertical fino conectado al tubo principal se llena hasta que el peso de su columna equilibra la presión de abajo, $p = ρ g h$ , la regla hidrostática de la lección Presión en fluidos y principio de Pascal. Dos tubos así convierten una diferencia de presión en una diferencia de alturas: cada 9,81 kPa de presión equivalen a un metro de agua.

Símbolos
$Δ h$	diferencia entre las alturas de las dos columnas	$m$
$p_{1}$	presión bajo la primera columna	$Pa$
$p_{2}$	presión bajo la segunda columna	$Pa$
$ρ$	densidad del líquido de las columnas	$kg/ m^{3}$
$g$	aceleración de la gravedad	$m/ s^{2}$

Cuándo es válida: Las columnas contienen el propio líquido del tubo, en reposo, con las tomas a ras de la pared, donde las líneas de corriente son rectas. Un tubo en U con un líquido más denso, como mercurio bajo agua, necesita la diferencia de las dos densidades en lugar de $ρ$ .

Ejemplo: La animación: $Δ h = 5310/ (1000 \cdot 9, 81) \approx 0, 541 m$ , el $Δ h$ marcado.

Ley de Torricelli

v = 2 g h (Torricelli)

Sigue una línea de corriente desde la superficie libre de un depósito ancho, donde el agua está casi en reposo, hasta el chorro justo fuera de un agujero situado a una profundidad $h$ más abajo. Ambos puntos están a la presión atmosférica, así que los términos de presión se cancelan y la energía potencial $ρ g h$ se convierte en la energía cinética $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ . El chorro sale con la rapidez de un cuerpo que ha caído libremente una altura $h$ .

Símbolos
$v$	rapidez del chorro que sale por el agujero	$m/s$
$g$	aceleración de la gravedad	$m/ s^{2}$
$h$	profundidad del agujero bajo la superficie libre	$m$

Cuándo es válida: Depósito mucho más ancho que el agujero (si no, hay que tener en cuenta el movimiento de la superficie) y pérdidas despreciables. Un chorro real es algo más lento y, justo fuera de un agujero de bordes afilados, se estrecha, por lo que el caudal es menor que la rapidez del chorro por el área del agujero.

Ejemplo: Un agujero a 0,80 m bajo la superficie: $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 0, 80 \approx 3, 96 m/s$ .

Glosario

Flujo estacionario: Un flujo en el que la velocidad en cada punto fijo no cambia con el tiempo, aunque cada porción pueda acelerarse o frenarse al moverse. El flujo de la animación es estacionario: el patrón nunca cambia, y aun así todas las porciones se aceleran al entrar en la garganta.
Línea de corriente: Una línea que en todos sus puntos es tangente a la velocidad del flujo. En flujo estacionario es también la trayectoria de una porción; las líneas de corriente nunca se cruzan y se juntan donde el flujo es rápido.
Tubo de corriente: Un haz de líneas de corriente vecinas que forman un tubo. Ningún fluido atraviesa sus paredes, así que por cada sección pasa la misma masa cada segundo; una tubería es un tubo de corriente de paredes sólidas.
Fluido ideal: Un fluido modelo que es incompresible (de densidad constante) y no viscoso (sin rozamiento interno). La ecuación de Bernoulli en su forma sencilla solo es exacta para un fluido así; el agua en un tubo corto y liso se le acerca mucho.
Flujo irrotacional: Un flujo cuya vorticidad $\nabla \times v$ es nula en todas partes, de modo que los pequeños trozos de fluido se mueven sin girar. La suma de Bernoulli tiene entonces el mismo valor en todas las líneas de corriente, y no solo a lo largo de cada una.
Área de la sección transversal: El área $A$ de un corte del tubo perpendicular al flujo, en m². En un tubo circular de diámetro $d$ es $A = π d^{2} /4$ , de modo que reducir el diámetro a la mitad divide el área entre 4.
Ecuación de continuidad: La conservación de la masa en un flujo. Para un fluido incompresible, el caudal $Q = A v$ es el mismo en todas las secciones, de modo que el fluido va más rápido donde el tubo es más estrecho.
Principio de Bernoulli: A lo largo de una línea de corriente de un flujo ideal estacionario, $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h$ se mantiene constante, así que donde un fluido se acelera a la misma altura, su presión baja. Es la conservación de la energía aplicada a un fluido en movimiento.
Efecto Venturi: La caída de presión en la parte estrecha, o garganta, de un tubo, donde el fluido se mueve más deprisa. Un caudalímetro de Venturi lee esta caída como una diferencia de alturas de columna y la convierte en un caudal.
Presión manométrica: La presión medida por encima de la presión atmosférica, de unos 101 kPa, y no por encima del vacío. Los indicadores de la animación muestran presiones manométricas: los 2,54 kPa de la garganta son unos 104 kPa absolutos.
Altura de carga: Una presión o una energía por unidad de volumen expresada como una altura de líquido: $p / (ρ g)$ es la altura de presión y $v^{2} / (2 g)$ , la altura de velocidad. En un flujo ideal su suma más la altura del punto es la misma a lo largo de toda una línea de corriente; el rozamiento hace que esta altura total disminuya a lo largo de un tubo real, y esa disminución se llama pérdida de carga.
Cavitación: La ebullición local de un líquido donde su presión baja de la presión de vapor, unos 2,3 kPa absolutos para el agua a 20 °C. Las burbujas de vapor colapsan con violencia cuando llegan a una presión mayor y pueden erosionar los rodetes de las bombas y las hélices de los barcos.

Magnitudes
$p$	Presión estática	$Pa$	La fuerza por unidad de área que el fluido en movimiento ejerce sobre la pared del tubo, que se lee con un tubo vertical o con una toma en la pared; $1 Pa = 1 N/ m^{2} = 1 J/ m^{3}$ .
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	Presión dinámica	$Pa$	La energía cinética por unidad de volumen del flujo, y el aumento de presión donde el flujo se lleva al reposo: 0,50 kPa a la entrada de la animación y 5,81 kPa en su garganta.
$v$	Rapidez del flujo	$m/s$	Lo deprisa que se mueve el fluido; en un cálculo de tuberías se toma su promedio sobre la sección: 1,0 m/s a la entrada de la animación y 3,41 m/s en la garganta.
$ρ$	Densidad	$kg/ m^{3}$	Masa por unidad de volumen: 1000 kg/m³ para el agua y unos 1,2 kg/m³ para el aire en condiciones ambientales. Se mantiene constante en un flujo incompresible.
$Q$	Caudal volumétrico	$m^{3} /s$	El volumen que atraviesa una sección cada segundo, $Q = A v$ : 0,181 m³/s, o 181 litros por segundo, en la animación.
$h$	Altura	$m$	La altura de un punto sobre un nivel de referencia elegido, que entra como la energía potencial por unidad de volumen $ρ g h$ . En la ley de Torricelli es la profundidad del agujero bajo la superficie libre.
$g$	Aceleración de la gravedad	$m/ s^{2}$	Unos $9, 81 m/ s^{2}$ cerca de la superficie terrestre. Convierte una altura de líquido en presión, $p = ρ g h$ .
$Δ h$	Diferencia de alturas de las columnas	$m$	Cuánto más baja queda el líquido en el tubo vertical sobre la garganta que sobre la entrada. Mide la caída de presión, $p_{1} - p_{2} = ρ g Δ h$ : 0,541 m en la animación.

Prueba

Principiante El agua fluye por un tubo que se estrecha. En la parte estrecha, el agua…
1. va más despacio
2. va más rápido
3. se detiene
4. mantiene la misma rapidez
Ver respuesta
Respuesta: B. va más rápido
Por cada punto debe pasar la misma cantidad de agua cada segundo, así que tiene que ir más rápido donde el tubo es estrecho.
Principiante En un tubo horizontal, donde el agua fluye más rápido, su presión es…
1. la más alta
2. la misma que en el resto
3. la más baja
4. exactamente cero
Ver respuesta
Respuesta: C. la más baja
Para acelerarse, el agua necesita el empujón de una presión mayor detrás, así que la presión es mínima donde el agua es más rápida.
Principiante ¿Por qué el agua llega más lejos cuando tapas con el pulgar parte del extremo de una manguera?
1. El pulgar le da energía al agua
2. El pulgar hace el agua más pesada
3. La gravedad es más débil en la boquilla
4. La presión sube detrás del pulgar y empuja el agua más rápido
Ver respuesta
Respuesta: D. La presión sube detrás del pulgar y empuja el agua más rápido
Con el extremo totalmente abierto, el agua sale con facilidad y la presión al final de la manguera es baja. El pulgar estrecha la salida: la presión sube detrás de él y empuja el agua por la pequeña abertura mucho más rápido, igual que la presión más alta de la parte ancha acelera el agua en la parte estrecha del tubo de la animación. Cada segundo sale algo menos de agua que antes, pero sale mucho más rápido y llega más lejos. El pulgar no añade energía: solo estrecha la salida.
Intermedio Un tubo se estrecha de 10 cm a 5 cm de diámetro. El agua entra a 2 m/s. ¿Con qué rapidez fluye en la parte estrecha?
1. 4 m/s
2. 8 m/s
3. 1 m/s
4. 2 m/s
Ver respuesta
Respuesta: B. 8 m/s
A ∝ d²: reducir el diámetro a la mitad divide el área entre 4. De A₁·v₁ = A₂·v₂, v₂ = 4 × 2 = 8 m/s. Usar solo la razón de diámetros da el valor erróneo de 4 m/s.
Intermedio En un tubo de Venturi horizontal, el agua pasa de 1 m/s a 3 m/s (ρ = 1000 kg/m³). ¿Cuánto baja la presión?
1. 4 kPa
2. 2 kPa
3. 1 kPa
4. 9 kPa
Ver respuesta
Respuesta: A. 4 kPa
p₁ − p₂ = ½·ρ·(v₂² − v₁²) = 500 × (9 − 1) = 4000 Pa = 4 kPa. Olvidar elevar las velocidades al cuadrado da 1 kPa.
Intermedio Dos hojas de papel cuelgan en paralelo, a pocos centímetros. Soplas con fuerza entre ellas. Las hojas…
1. se separan
2. no se mueven
3. se acercan
4. se caen
Ver respuesta
Respuesta: C. se acercan
El aire rápido entre las hojas tiene menos presión que el aire quieto de fuera, que las empuja una hacia la otra.
Avanzado ¿Qué condición NO es necesaria para aplicar p + ½·ρ·v² + ρ·g·h = const a lo largo de una sola línea de corriente?
1. Flujo estacionario
2. Viscosidad despreciable
3. Fluido incompresible
4. Flujo irrotacional
Ver respuesta
Respuesta: D. Flujo irrotacional
A lo largo de una línea de corriente basta con un flujo estacionario, no viscoso e incompresible. La irrotacionalidad solo hace falta para usar la misma constante en líneas de corriente distintas.
Avanzado Un depósito ancho y abierto tiene un pequeño agujero 1,8 m por debajo de la superficie del agua. Sin pérdidas, ¿con qué rapidez sale el agua? (g = 9,81 m/s²)
1. unos 3,5 m/s
2. unos 5,9 m/s
3. unos 17,7 m/s
4. unos 1,3 m/s
Ver respuesta
Respuesta: B. unos 5,9 m/s
Bernoulli entre la superficie en reposo y el chorro (ambos a presión atmosférica) da la ley de Torricelli: v = √(2·g·h) = √(2 × 9,81 × 1,8) ≈ 5,9 m/s.

$A_{1}$	Área del tubo de corriente en la sección 1, donde es ancho.	$m^{2}$
$A_{2}$	Área del mismo tubo en la sección 2, donde es estrecho.	$m^{2}$
$v_{1}$	Rapidez del fluido a través de la sección 1.	$m/s$
$v_{2}$	Rapidez a través de la sección 2: mayor, ya que $A_{2} v_{2} = A_{1} v_{1}$ .	$m/s$
$v$	Velocidad en un punto de la pared, que también es una línea de corriente: tangente a la pared en ese punto.	$m/s$

$p_{1} A_{1}$	Fuerza con la que el fluido de detrás empuja hacia delante la rebanada que entra: presión por área.	$N$
$p_{2} A_{2}$	Fuerza con la que el fluido de delante empuja hacia atrás la rebanada que sale.	$N$
$v_{1} d t$	Longitud de la rebanada que entra: la distancia que recorre el fluido en $d t$ en la sección 1.	$m$
$v_{2} d t$	Longitud de la rebanada que sale, mayor porque $v_{2} > v_{1}$ .	$m$
$d V$	Volumen de cada rebanada, el mismo en ambas secciones.	$m^{3}$
$h_{1}$	Altura del eje del tubo en la sección 1 sobre un nivel de referencia.	$m$
$h_{2}$	Altura del eje del tubo en la sección 2 sobre el mismo nivel.	$m$

$x$	Posición a lo largo del tubo, en el sentido del flujo.	$m$
$p$	Presión estática (manométrica) en el eje del tubo.	$Pa$
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	Presión dinámica: energía cinética por unidad de volumen.	$Pa$
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$	Su suma, la misma a lo largo de todo el tubo.	$Pa$

$H$	Profundidad de la superficie libre sobre el agujero.	$m$
$A_{T}$	Área de la superficie libre del depósito.	$m^{2}$
$a$	Área del agujero.	$m^{2}$
$v$	Rapidez del chorro justo a la salida del agujero.	$m/s$
$d H / d t$	Ritmo de cambio del nivel: negativo, ya que el nivel baja.	$m/s$