Princípio de Bernoulli

Onde um fluido em escoamento acelera, sua pressão cai: continuidade, $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ , e a equação de Bernoulli, $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ , em um tubo de Venturi.

A água escoa por um tubo de Venturi: ela acelera na garganta estreita, onde a coluna de água acima do tubo fica mais baixa.

Antes deste tema: Pressão nos fluidos e princípio de Pascal, Trabalho, energia e potência

Iniciante

Ideias principais

Onde um tubo fica mais estreito, a água precisa se mover mais rápido: a mesma quantidade passa por todo ponto a cada segundo.
Onde a água se move mais rápido, a pressão é menor; onde ela desacelera de novo, a pressão sobe.
Acelerar exige um empurrão: a pressão maior atrás da água a empurra para dentro da parte estreita.
A altura da água em um tubo fino sobre o cano mostra a pressão naquele ponto.

Vamos construir a ideia de Bernoulli um pequeno passo de cada vez.

Passo 1: o que entra tem de sair. A água não pode se acumular dentro de um tubo cheio, então a cada segundo a mesma quantidade de água precisa passar por todo ponto. Onde o tubo fica mais estreito, a água tem de se apressar. É por isso que a água jorra mais rápido quando você aperta a ponta de uma mangueira de jardim.

Passo 2: pressão é um empurrão. A pressão mostra o quanto a água empurra cada pedacinho de superfície que toca. Um tubo fino de vidro em pé sobre o cano mostra isso: quanto maior o empurrão, mais alto a água sobe no tubo.

Passo 3: acelerar exige um empurrão por trás. Um pedaço de água que entra na parte estreita acelera, então algo precisa empurrá-lo para a frente. Esse empurrão vem da água atrás dele, então a pressão atrás (na parte larga) tem de ser maior que a pressão à frente (na parte estreita). Água rápida, pressão baixa; água lenta, pressão alta. Dá também para ver como uma troca: a água ganha energia de movimento e paga por ela com pressão.

Na animação, os pontos brancos são pequenos pedaços de água. Acompanhe o vermelho: ele se afasta dos vizinhos, dispara pela cintura estreita e depois desacelera de novo. A coluna de água acima da cintura é a mais baixa.

Teste você mesmo: dois barcos andando rápido lado a lado, bem próximos, tendem a se aproximar um do outro. Por quê? (Resposta: a água espremida entre eles flui mais rápido que a água de fora, então a pressão ali é menor, e a pressão maior do lado de fora empurra os barcos um contra o outro.)

Intermediário

Ideias principais

Continuidade: $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ ; reduzir à metade o diâmetro de um tubo redondo faz a água ficar quatro vezes mais rápida.
Bernoulli para um tubo horizontal: $p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$ , ou seja, a pressão é trocada por velocidade.
Exemplo: de 1,0 a 3,41 m/s a pressão cai 5,3 kPa, então a coluna na garganta fica $Δ h \approx 0, 54 m$ mais baixa.
Um medidor de Venturi lê $Δ h$ e usa as duas equações para achar a velocidade e a vazão.

O que flui, e o que medimos

Esta lição acompanha um escoamento permanente de um líquido ou de um gás: a velocidade em cada ponto fixo nunca muda, embora o fluido continue passando por ele, e cada porção percorre uma linha fixa chamada linha de corrente. A água é tratada como um fluido ideal, incompressível, com densidade constante $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ , e sem atrito, o que é um bom modelo para um tubo curto e liso.

Quatro grandezas descrevem um escoamento em tubo: a velocidade do escoamento $v$ (m/s), média sobre uma seção transversal; a área da seção transversal $A$ (m²), com $A = π d^{2} /4$ para um tubo redondo de diâmetro $d$ ; a vazão volumétrica $Q$ (m³/s), o volume que atravessa uma seção a cada segundo; e a pressão $p$ , o empurrão da água sobre cada metro quadrado da parede, em pascal ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ).

Um tubo fino vertical sobre o cano, um tubo piezométrico, mostra a pressão como altura: a água sobe até que o peso da sua coluna equilibre a pressão embaixo, $p = ρ g h$ . Todas as pressões aqui são pressões manométricas, medidas acima da atmosfera de 101 kPa, que se cancela em toda diferença.

Continuidade: o que entra tem de sair

Em um tempo $Δ t$ , a água que atravessa uma seção avança $v Δ t$ e preenche um cilindro de volume $A v Δ t$ . Dividindo pelo tempo, obtemos a vazão:
$Q = A v$

A água não pode se acumular dentro de um tubo cheio nem desaparecer dele, então o mesmo $Q$ deve passar por cada seção, larga ou estreita:
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$

A velocidade é, portanto, inversamente proporcional à área. Como a área de um tubo redondo cresce com o quadrado do diâmetro, reduzir o diâmetro à metade divide a área por 4 e faz a água ficar quatro vezes mais rápida, e não duas vezes.

Equação de Bernoulli: trocar pressão por velocidade

Uma porção que entra em um estreitamento acelera, então uma força resultante precisa empurrá-la para a frente. Em um tubo horizontal, essa força só pode vir da pressão da água ao redor, então a pressão atrás da porção deve ser maior que a pressão à frente dela: escoamento rápido anda com pressão baixa.

A energia torna isso exato: o trabalho que as forças de pressão realizam sobre uma porção que se move de alta para baixa pressão se torna energia cinética, ou potencial se a porção sobe. Por unidade de volume, essas energias são $p$ , $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ e $ρ g h$ , todas em pascal ( $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ), e ao longo de uma linha de corrente a soma delas não muda:
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

Em um tubo horizontal os termos de altura se cancelam, então a queda de pressão é igual ao ganho de energia cinética por unidade de volume. Dois tubos piezométricos mostram isso como diferença de alturas:
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}$

A altura também conta. Em um tubo uniforme que sobe 10 m, a velocidade não pode mudar, então a pressão cai $ρ g h = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 10 \approx 98 kPa$ , quase uma atmosfera. É por isso que prédios altos precisam de bombas.

Exemplo resolvido: o tubo de Venturi da animação

Na escala da animação, que é a mesma para o tubo e para as colunas, o raio do tubo é 24 cm na entrada e 13 cm na garganta, e a água entra com $v_{1} = 1, 0 m/s$ e pressão manométrica de 7,85 kPa, que sustenta a primeira coluna a 0,80 m acima do eixo.

Continuidade, a equação de Bernoulli e a regra do tubo piezométrico dão:
$v_{2} = v_{1} \frac{A _{1}}{A _{2}} = 1, 0 \cdot (\frac{24}{13})^{2} \approx 3, 41 m/s$
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3, 4 1^{2} - 1, 0^{2}) \approx 5, 31 kPa$
$Δ h = \frac{5310}{1000 \cdot 9 , 81} \approx 0, 541 m$

A pressão na garganta é $7, 85 - 5, 31 = 2, 54 kPa$ , então a coluna dela fica apenas 0,26 m acima do eixo. Estes são os números da animação: os rótulos $v_{1} = 1, 0 m/s$ e $v_{2} = 3, 4 m/s$ , a seta roxa $Δ h$ abaixo do nível tracejado da entrada, e as leituras, em que $v$ sobe de 1,00 para 3,41 m/s enquanto $p$ cai de 7,85 para 2,54 kPa quando a porção vermelha entra na garganta, e sua seta azul de velocidade cresce 3,41 vezes.

Depois da garganta, tudo se inverte, e nesse fluido ideal a última coluna sobe de volta a 0,80 m. A vazão, $Q = π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 1, 0 \approx 0, 181 m^{3} /s$ , ou 181 litros por segundo, é a mesma na garganta: $π \cdot 0, 1 3^{2} \cdot 3, 41 \approx 0, 181 m^{3} /s$ .

Exemplo resolvido: lendo um medidor de Venturi

Um medidor de Venturi é um tubo desses instalado em uma tubulação para medir a vazão. Suponha que uma adutora de água de 12 cm de diâmetro se estreite para uma garganta de 6 cm, e que as colunas sobre as duas seções difiram em 30 cm. Com que velocidade a água escoa, e quanto passa a cada segundo?

A queda de pressão é $ρ g Δ h = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 0, 30 \approx 2, 94 kPa$ . Reduzir o diâmetro à metade divide a área por quatro, então $v_{2} = 4 v_{1}$ , e a equação de Bernoulli fica $ρ g Δ h = \frac{1}{2} ρ (16 - 1) v_{1}^{2}$ . A densidade se cancela, e em geral
$v_{1} = \frac{2 g Δ h}{( A _{1} / A _{2} ) ^{2} - 1} = \frac{2 \cdot 9 , 81 \cdot 0 , 30}{15} \approx 0, 63 m/s$

Então $v_{2} = 4 \cdot 0, 63 \approx 2, 5 m/s$ e $Q = π \cdot 0, 0 6^{2} \cdot 0, 63 \approx 7, 1 \times 1 0^{- 3} m^{3} /s$ , cerca de 7 litros por segundo. Alimentada com os 0,541 m da animação e a razão de áreas 3,41, a mesma fórmula devolve o seu 1,0 m/s. Observe que $Δ h$ cresce com o quadrado da vazão: o dobro da vazão daria 1,20 m, então cada medidor serve a uma faixa limitada.

Lendo as colunas e os pontos

O topo de cada coluna fica $p / (ρ g)$ acima do eixo, uma altura chamada carga de pressão. Some a carga de velocidade $v^{2} / (2 g)$ , 0,05 m na entrada e 0,59 m na garganta, e cada seção atinge a mesma carga total, 0,85 m: essa é a equação de Bernoulli dividida por $ρ g$ . Em tubulações reais, o atrito faz esse nível descer.

Os pontos brancos entram em ritmo constante, então a distância entre vizinhos em uma fila é a velocidade vezes um tempo fixo: na garganta, as distâncias se abrem 3,41 vezes, e as três filas se fecham, porque as linhas de corrente se concentram onde o escoamento é rápido.

Erros comuns

A pressão baixa na garganta não suga a água. A água é empurrada por trás, por 7,85 kPa na entrada contra 2,54 kPa na garganta.
Eleve as velocidades ao quadrado antes de subtraí-las: para a animação, $\frac{1}{2} ρ (v_{2} - v_{1})^{2}$ dá 2,90 kPa em vez dos corretos 5,31 kPa.
Um estreitamento não aumenta a pressão dentro dele. Um dedo sobre a mangueira aumenta a pressão atrás dele ao segurar o escoamento, mas, para uma dada vazão em um tubo horizontal, a seção mais estreita tem a menor pressão.
A pressão não é consumida na garganta. Em um fluido ideal ela se recupera totalmente, então a última coluna volta a 0,80 m; em um tubo real o atrito a deixa alguns centímetros mais baixa.

Onde você encontra isso

Medidores de Venturi medem vazões de água, combustível e gás. Carburadores e borrifadores de perfume usam a pressão baixa de um jato de ar rápido para puxar líquido por um tubo, e uma bomba de jato de água de laboratório retira o ar de um frasco da mesma forma. Um tubo de Pitot em uma aeronave compara a pressão do ar levado ao repouso com a pressão estática para achar a velocidade do ar, e dois navios que navegam lado a lado são empurrados um contra o outro pela água mais rápida entre eles.

A lição se apoia em Pressão nos fluidos e princípio de Pascal, para as colunas, e em Trabalho, energia e potência, para a conservação da energia. O atrito que ela deixa de fora, a viscosidade, é o assunto de Arrasto e velocidade terminal.

Avançado

Ideias principais

$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ : o trabalho da pressão sobre um tubo de corrente é igual à energia que o fluido ganha.
Mesmo em escoamento permanente, uma porção acelera ao se mover, por $(v \cdot \nabla) v$ ; a força vem de $- \nabla p$ .
A soma é constante ao longo de uma linha de corrente (permanente, não viscoso, incompressível); se $\nabla \times v = 0$ , uma só constante vale em todo lugar.
A viscosidade faz a altura cair ao longo de um tubo real; gases precisam da forma compressível acima de Mach 0,3; pressão baixa pode causar cavitação.
Um tanque se esvazia com o $v = 2 g h$ de Torricelli, a velocidade de uma queda livre a partir da superfície: energia potencial vira cinética.

Linhas de corrente, tubos de corrente e porções

Esta seção estabelece a linguagem do escoamento de fluidos e a usa para responder a uma primeira pergunta: por que a água acelera em um tubo que se estreita, e qual é a sua aceleração? O exemplo que acompanha a seção é o tubo de Venturi da animação. Água de densidade $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ entra em um tubo largo de raio 24 cm a 1,0 m/s, com pressão manométrica (pressão acima da atmosférica) de 7,85 kPa, suficiente para sustentar uma coluna de água de 0,80 m de altura. Em seguida, passa por uma garganta de raio 13 cm e volta a se alargar.

Um escoamento é descrito pelo seu campo de velocidades $v (r, t)$ : a velocidade do fluido que está no ponto $r$ no instante $t$ . O escoamento é permanente quando esse campo não muda com o tempo em nenhum ponto fixo, $\partial v / \partial t = 0$ . Uma linha de corrente é uma linha tangente a $v$ em cada um dos seus pontos. Em um escoamento permanente, as linhas de corrente permanecem fixas, e cada pequena porção de fluido percorre uma delas.

A Figura 1 mostra um tubo que se estreita. As linhas azuis finas são linhas de corrente, e a velocidade em qualquer ponto é tangente à linha de corrente que passa por ele. A parede também é uma linha de corrente, porque nenhum fluido a atravessa: a seta $v$ no ponto sobre a parede fica ao longo da parede. As duas linhas mais grossas delimitam um tubo de corrente, um feixe de linhas de corrente vizinhas. Como nenhum fluido cruza uma linha de corrente, também não cruza a lateral do tubo: o que entra por uma seção 1, de área $A_{1}$ , tem de sair por uma seção 2, de área $A_{2}$ .

Para um líquido, a densidade é constante, então o volume que entra por segundo deve ser igual ao volume que sai por segundo. Essa vazão volumétrica é $Q = A v$ , com $v$ a velocidade média na seção, logo
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
Como $A_{2}$ é menor que $A_{1}$ , a velocidade $v_{2}$ é maior que $v_{1}$ , pelo fator $A_{1} / A_{2}$ . Observe as linhas de corrente na Figura 1: elas se concentram onde o tubo é estreito. Volumes iguais fluem entre linhas vizinhas, então o espaçamento delas é uma imagem da velocidade: linhas próximas, fluido rápido. As duas setas $v_{1}$ e $v_{2}$ estão desenhadas na razão $A_{1} / A_{2}$ . Na animação, $A_{1} / A_{2} = (24/13)^{2} \approx 3, 41$ , então a água alcança 3,41 m/s na garganta. A forma local dessa lei é $\nabla \cdot v = 0$ : um fluido de densidade constante não pode se acumular nem se rarefazer em lugar nenhum.

Permanente não significa sem aceleração. O campo da animação nunca muda, mas a porção vermelha acelera de 1,0 para 3,41 m/s, porque entra em uma região onde o campo é mais rápido. A taxa de variação da velocidade da própria porção é a derivada material:
$\frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v$
O primeiro termo é a variação do campo em um ponto fixo; ele é zero em um escoamento permanente. O segundo, o termo convectivo, é a variação que a porção encontra por causa do seu movimento: no tempo $d t$ ela percorre $v d t$ até um lugar onde o campo é diferente. No eixo do tubo, a velocidade aponta ao longo do eixo, que chamamos de $x$ , então o termo convectivo é simplesmente $v d v / d x$ . Na animação, ele chega a cerca de 25 m/s², algo como $2, 5 g$ , perto do fim do estreitamento, e a seção que se alarga freia a porção com até 21 m/s².

Balanço de energia em um tubo de corrente

Por que um fluido mais rápido deveria estar a uma pressão menor? Para acelerar, uma porção precisa de uma força resultante para a frente, e em um tubo horizontal só a pressão pode fornecê-la: a pressão atrás da porção deve superar a pressão à frente. Esta seção transforma essa ideia em um balanço de energia exato, a equação de Bernoulli.

A Figura 2 mostra um tubo de corrente que se estreita e sobe, da seção 1, na altura $h_{1}$ , até a seção 2, na altura $h_{2}$ , ambas medidas até o eixo do tubo. Acompanhe o fluido dentro do tubo por um breve tempo $d t$ . Na seção 1 entra uma fatia de comprimento $v_{1} d t$ , com a massa $d M = ρ A_{1} v_{1} d t$ e o volume $d V = d M / ρ$ . Na seção 2 sai uma fatia de comprimento $v_{2} d t$ . Pela continuidade, ela tem a mesma massa e o mesmo volume, então é a mais longa das duas, porque o tubo é mais fino ali.

Entre as duas fatias nada mudou: o escoamento é permanente, então cada ponto continua com fluido movendo-se com a mesma velocidade de antes. O efeito global do intervalo $d t$ é, portanto, que a fatia $d V$ foi retirada da seção 1 e colocada na seção 2, com a velocidade e a altura da seção 2. Sua energia cresceu em
$d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2}) + d M g (h_{2} - h_{1})$

O que pagou esse ganho? Não foi a pressão na lateral do tubo: ela atua perpendicularmente ao escoamento e não realiza trabalho. O trabalho é feito nas duas extremidades. O fluido atrás empurra a fatia que entra com a força $p_{1} A_{1}$ ao longo da distância $v_{1} d t$ , que é o trabalho $p_{1} A_{1} v_{1} d t = p_{1} d V$ . Na seção 2, o fluido à frente empurra de volta com a força $p_{2} A_{2}$ enquanto a fatia que sai avança $v_{2} d t$ contra ela, que é o trabalho $- p_{2} d V$ . Sem atrito, o teorema trabalho-energia iguala o trabalho total ao ganho de energia:
$(p_{1} - p_{2}) d V = d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2} + g h_{2} - g h_{1})$

Divida por $d V$ , use $d M / d V = ρ$ e reúna os termos de cada seção do seu próprio lado: $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$ . As seções 1 e 2 eram duas seções quaisquer, então ao longo do tubo
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

Cada termo é uma energia por unidade de volume, medida em pascal (1 Pa = 1 J/m³). $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ é energia cinética e $ρ g h$ é energia potencial. O termo de pressão $p$ é o trabalho necessário para empurrar uma unidade de volume de fluido para uma região que já está cheia, chamado trabalho de escoamento. No tubo de Venturi horizontal, $h$ é o mesmo em toda parte, e elevar a velocidade de 1,0 para 3,41 m/s custa $\frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) \approx 5, 31 kPa$ de pressão.

Em um gás, a energia interna por unidade de massa, $u$ , entra no balanço, e a soma conservada por unidade de massa passa a ser $u + p / ρ + \frac{1}{2} v^{2} + g h$ . Seus dois primeiros termos juntos formam a entalpia específica. Sem troca de calor e sem trabalho de eixo, essa é a equação da energia em regime permanente de um bocal. Em um líquido sem atrito, $u$ permanece constante e desaparece.

Equação de Euler: ao longo e através do escoamento

O argumento energético trata de um tubo de corrente inteiro de uma vez. A segunda lei de Newton, aplicada a cada pequeno volume de fluido, dá o mesmo resultado na forma local, mostra onde a constante vale e acrescenta uma segunda regra para a pressão através das linhas de corrente.

Considere um pequeno cubo de fluido. A pressão empurra para dentro em cada face, e as forças em faces opostas se cancelam, exceto pela diferença de pressão entre elas. Por unidade de volume, a força de pressão resultante é, portanto, $- \nabla p$ , apontando da pressão alta para a baixa. Somando a gravidade, $ρ g$ por unidade de volume, e igualando o total à densidade vezes a derivada material, obtemos a equação de Euler:
$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + ρ g$

Três passos a transformam na equação de Bernoulli. Primeiro, em um escoamento permanente $\partial v / \partial t = 0$ . Segundo, uma identidade vetorial separa o termo convectivo: $(v \cdot \nabla) v = \nabla (\frac{1}{2} v^{2}) - v \times Ω$ , em que $Ω = \nabla \times v$ é a vorticidade, duas vezes a velocidade angular local com que o fluido gira. Terceiro, a gravidade aponta para baixo, enquanto $h$ é medido para cima, então para densidade constante $ρ g = - \nabla (ρ g h)$ . Passando todos os gradientes para a esquerda,
$\nabla (p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h) = ρ v \times Ω$

O lado direito é um produto vetorial com $v$ , portanto perpendicular a $v$ . O gradiente da soma não tem, portanto, componente ao longo do escoamento: a soma é constante ao longo de cada linha de corrente, como encontramos com a Figura 2, mas linhas de corrente diferentes podem ter constantes diferentes. Se o escoamento é irrotacional, $Ω = 0$ , todo o gradiente se anula, e uma só constante vale em toda parte. Um fluido ideal que parte do repouso, ou de um escoamento uniforme como a água que entra no tubo de Venturi, permanece irrotacional, então na prática uma única constante costuma bastar.

Através do escoamento, a equação de Euler diz outra coisa. Onde as linhas de corrente se curvam com raio $R$ , cada porção precisa da aceleração centrípeta $v^{2} / R$ em direção ao centro de curvatura, e, deixando de lado a gravidade, só uma diferença de pressão através das linhas de corrente pode fornecê-la:
$\frac{\partial p}{\partial n} = \frac{ρ v ^{2}}{R}$
Aqui $n$ é a distância através das linhas de corrente, medida afastando-se do centro de curvatura. A pressão, portanto, aumenta ao se afastar do centro de uma curva, de modo que o ar que se curva sobre uma asa tem pressão menor junto a ela do que mais longe. Onde as linhas de corrente são retas e paralelas, $R$ é infinito e a pressão não muda através delas, exceto pela variação hidrostática com a altura. Por isso uma tomada na parede de um trecho reto mede a pressão no eixo.

Lendo o gráfico de pressões

O gráfico da animação mostra a equação de Bernoulli em ação ao longo de todo o tubo. Suas inclinações mostram também a equação de Euler e explicam por que os tubos de Venturi reais têm a forma que têm.

A Figura 3 redesenha o gráfico de pressões da animação sob um esboço do tubo, com a posição $x$ ao longo do tubo crescendo para a direita. A seção 1 é a entrada larga e a seção 2 é o meio da garganta, e o gráfico acompanha a porção vermelha ao longo do tubo. A pressão estática $p$ (roxo) cai de 7,85 para 2,54 kPa através do estreitamento, permanece plana ao longo da garganta e se recupera no trecho que se alarga. A pressão dinâmica $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ (azul) faz o contrário: sobe de 0,50 para 5,81 kPa e volta a cair. A soma delas (verde) permanece plana em 8,35 kPa. As três curvas compartilham uma só escala, então qualquer altura que a curva azul ganhe, a roxa perde. Expressa como a altura da coluna de água que ela poderia sustentar, $(p + \frac{1}{2} ρ v^{2}) / (ρ g)$ , a soma é 0,851 m, chamada carga total.

Agora observe as inclinações. No eixo, a equação de Euler fica $- d p / d x = ρ v d v / d x = ρ a$ , com $a$ a aceleração da porção. Assim, a inclinação descendente da curva roxa é a força resultante por unidade de volume sobre a porção, e ela é igual à inclinação ascendente da curva azul. É mais acentuada, cerca de 25 kPa por metro, onde a porção acelera mais, nos flancos íngremes das curvas da Figura 3. É nula na garganta, onde a velocidade é constante.

No trecho que se alarga, a pressão sobe ao longo do escoamento: a curva roxa sobe à direita. Esse aumento se chama gradiente de pressão adverso, porque empurra contra o movimento. O fluido ideal simplesmente desacelera. Em um fluido real, a camada junto à parede já foi freada pelo atrito e pode não ter energia cinética para subir o aumento de pressão; ela para, e o escoamento se descola da parede. Por isso os tubos de Venturi se alargam mais suavemente do que se estreitam: aqui, em mais de 60 cm, contra 50 cm no estreitamento.

Tanques, jatos e tubos de Pitot

A equação de Bernoulli também relaciona pontos em alturas diferentes e pontos em que o fluido é levado ao repouso. Cada caso dá um resultado simples e útil.

A Figura 4 mostra um tanque largo esvaziando-se por um pequeno orifício. Acompanhe a linha de corrente tracejada do ponto 1, na superfície livre, até o ponto 2, no jato logo fora do orifício, a uma profundidade $H$ abaixo. Nas duas extremidades a pressão é atmosférica: no ponto 1, a superfície está aberta ao ar, e no ponto 2 as linhas de corrente do jato são retas e paralelas, então a pressão dentro dele é igual à do ar ao redor. A superfície quase não se move, porque é muito mais larga que o orifício. Assim, os termos de pressão se cancelam, o termo cinético no ponto 1 é desprezível, e a energia potencial $ρ g H$ perdida por unidade de volume se transforma toda na energia cinética $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ do jato:
$v = 2 g H (Torricelli)$

O jato sai tão rápido quanto uma pedra solta da altura $H$ . Esse é o $v = 2 g h$ da lista de fórmulas, com a profundidade escrita como $H$ porque ela muda à medida que o tanque esvazia.

Quanto tempo o tanque leva para esvaziar? Se o nível desce devagar, o escoamento é quase permanente a cada instante (quase estacionário), e o resultado de Torricelli vale para a profundidade atual. A continuidade então liga as duas extremidades da linha de corrente: a superfície livre, de área $A_{T}$ , desce à taxa $d H / d t$ , que é negativa, enquanto o jato sai do orifício, de área $a$ , com a velocidade $v$ :
$A_{T} \frac{d H}{d t} = - a v = - a 2 g H$
Como $A_{T} / a$ é grande, a superfície rasteja enquanto o jato dispara para fora, o que explica por que a Figura 4 não pode estar em escala. Separe as variáveis, $d H / H = - (a / A_{T}) 2 g d t$ , e integre da profundidade inicial $H_{0}$ até 0. O lado esquerdo dá $- 2 H_{0}$ , então $2 H_{0} = (a / A_{T}) 2 g t$ , e o tanque esvazia em
$t = \frac{A _{T}}{a} \frac{2 H _{0}}{g}$

Um barril de 0,25 m² de área, cheio até 0,80 m de profundidade e drenado por um orifício de 1 cm², tem $A_{T} / a = 2500$ e esvazia em $2500 \cdot 1, 6/9, 81 \approx 1, 0 \times 1 0^{3} s$ , cerca de 17 minutos. O nível cai depressa no início e devagar no fim, já que a velocidade do jato varia com $H$ .

Um tubo de Pitot mede a velocidade com um ponto de estagnação. Sua extremidade aberta fica de frente para o escoamento, e o fluido que chega ali é levado ao repouso, $v = 0$ ; na mesma altura, a pressão na boca é, portanto, $p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ , a pressão de estagnação. Pequenos furos na lateral do tubo, por onde o escoamento passa em paralelo, leem a pressão estática $p$ . A diferença é $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ , da qual se obtém $v$ . No eixo da animação, a extremidade aberta leria em toda parte os 8,35 kPa verdes, enquanto as tomadas na parede leem a curva roxa. Uma aeronave a 60 m/s, em ar de densidade 1,2 kg/m³, vê uma diferença de $\frac{1}{2} \cdot 1, 2 \cdot 6 0^{2} = 2, 16 kPa$ .

Exemplo resolvido: quando a garganta suga e ferve

Mantenha o tubo da animação e sua pressão manométrica de entrada de 7,85 kPa, mas aumente a vazão. Com que velocidade de entrada a garganta atinge a pressão atmosférica, e com que velocidade a água ferve ali? Considere 101,3 kPa para a atmosfera e 2,34 kPa para a pressão de vapor da água a 20 °C.

O tubo é horizontal, então a equação de Bernoulli entre a entrada e a garganta é $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ . A continuidade dá $v_{2} = (A_{1} / A_{2}) v_{1}$ , com $A_{1} / A_{2} = 3, 41$ . Substituindo $v_{2}$ , obtemos a pressão manométrica na garganta
$p_{2} = p_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{A _{1}}{A _{2}})^{2} - 1] = 7, 85 - 5, 31 v_{1}^{2}$
com $p_{2}$ em kPa e $v_{1}$ em m/s; o 5,31 é $\frac{1}{2} ρ (3, 4 1^{2} - 1)$ nessas unidades.

A pressão manométrica na garganta é zero, portanto a garganta está à pressão atmosférica quando $v_{1} = 7, 85/5, 31 \approx 1, 22 m/s$ . Em velocidades maiores, a garganta fica abaixo da pressão atmosférica, de modo que um tubo aberto ali puxa ar ou líquido para dentro em vez de sustentar uma coluna. É assim que funcionam uma bomba de jato d'água e um carburador.

A cavitação, ebulição em temperatura ambiente, começa quando a pressão absoluta na garganta cai até a pressão de vapor. A pressão absoluta é a manométrica mais a atmosférica, então isso acontece na pressão manométrica $2, 34 - 101, 3 \approx - 99, 0 kPa$ . Fazendo $7, 85 - 5, 31 v_{1}^{2} = - 99, 0$ , obtemos
$v_{1} = \frac{7 , 85 + 99 , 0}{5 , 31} \approx 4, 49 m/s, v_{2} = 3, 41 \cdot 4, 49 \approx 15, 3 m/s$

O tubo transporta então $π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 4, 49 \approx 0, 81 m^{3} /s$ , quatro vezes e meia a vazão da animação. Na prática, as bolhas se formam um pouco antes, em bolsões minúsculos de gás e em redemoinhos turbulentos. Arrastadas para o trecho que se alarga, onde a pressão se recupera, elas colapsam violentamente, e esses colapsos repetidos são o que corrói os rotores de bombas e as hélices de navios.

Limites de validade

A equação de Bernoulli repousa sobre três idealizações: ausência de atrito, densidade constante e escoamento permanente. Cada uma falha em algum lugar, e vale a pena saber onde.

A viscosidade, o atrito interno do fluido, é a primeira a falhar. O número de Reynolds $ρ v d / η$ compara a inércia do fluido com suas forças viscosas; aqui $d$ é o diâmetro do tubo e $η$ a viscosidade da água, cerca de $1, 0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ . Para a animação ele vale $1000 \cdot 1, 0 \cdot 0, 48/ (1, 0 \times 1 0^{- 3}) \approx 5 \times 1 0^{5}$ , muito acima dos poucos milhares em que o escoamento em tubo se torna turbulento, então o escoamento real seria turbulento. Ainda assim, o atrito quase não importa em um estreitamento curto e liso, e os medidores de Venturi concordam com a fórmula ideal com diferença de poucos por cento. Ao longo de todo o tubo, porém, um Venturi real perde permanentemente de 5 a 20 % da sua queda de pressão, de modo que a coluna depois do alargamento ficaria de 3 a 11 cm abaixo da primeira.

A incompressibilidade é excelente para líquidos. A queda de 5,3 kPa da animação altera a densidade da água na fração $Δ p / K \approx 2, 4 \times 1 0^{- 6}$ , em que $K \approx 2, 2 GPa$ é o seu módulo de compressibilidade volumétrica, a pressão necessária por unidade de variação fracionária de volume. Os gases também servem enquanto o escoamento estiver bem abaixo da velocidade do som. Em Mach 0,3, três décimos da velocidade do som, ou cerca de 100 m/s no ar, a densidade muda cerca de 4,5 %, e a fórmula incompressível prevê uma leitura de Pitot cerca de 2 % menor.

O regime permanente falha quando uma válvula fecha rapidamente. O termo $\partial v / \partial t$ então domina, e uma onda de pressão, chamada golpe de aríete, percorre o tubo. Parar abruptamente o escoamento de 1,0 m/s da animação elevaria a pressão em cerca de $ρ c Δ v \approx 1000 \cdot 1400 \cdot 1, 0 \approx 1, 4 MPa$ , em que $c$ é a velocidade da onda no tubo cheio de água e $Δ v$ a variação súbita da velocidade.

Para onde isso leva

A equação de Bernoulli é o teorema trabalho-energia de Trabalho, energia e potência, escrito por unidade de volume. O jato de Torricelli sai com a velocidade da Queda livre e traça a parábola do Lançamento oblíquo, e $\partial p / \partial n = ρ v^{2} / R$ é a força centrípeta do Movimento circular aplicada a um fluido. Para gases, a forma com entalpia leva à Primeira lei da termodinâmica e às máquinas térmicas, e a velocidade do som, que limita o modelo incompressível, reaparece em Som e efeito Doppler.

A sustentação costuma ser mal explicada. Uma afirmação popular diz que o ar sobre a asa precisa se reencontrar com o ar de baixo na borda de fuga e, por isso, precisa se mover mais rápido pelo caminho superior mais longo. Isso é falso: o ar de cima chega primeiro. Além disso, um escoamento ideal permanente sem circulação não exerce força resultante alguma sobre um corpo. O que a asa faz é estabelecer uma circulação $Γ = \oint v \cdot d l$ , a integral da velocidade ao longo de um laço que envolve a asa: um redemoinho somado à corrente que chega. Seu valor é fixado pela borda de fuga afiada, que o escoamento precisa deixar suavemente. Em uma corrente de velocidade $U$ , a sustentação por unidade de envergadura é então $ρ U Γ$ , e a equação de Bernoulli transforma o escoamento mais rápido acima da asa e o mais lento abaixo dela na diferença de pressão que a sustenta. A viscosidade que seleciona essa circulação e causa o arrasto é o assunto de Arrasto e velocidade terminal.

Fórmulas principais

Vazão volumétrica

Q = A v

Em um tempo $Δ t$ , o fluido que atravessa uma seção avança $v Δ t$ e preenche um cilindro de volume $A v Δ t$ ; dividindo pelo tempo, obtemos o volume por segundo. Multiplicado pela densidade, torna-se a vazão mássica, $ρ A v$ em kg/s.

Símbolos
$Q$	vazão volumétrica através da seção	$m^{3} /s$
$A$	área da seção transversal, perpendicular ao escoamento	$m^{2}$
$v$	velocidade do escoamento, média na seção	$m/s$

Quando vale: Vale para qualquer fluido, desde que $v$ seja a velocidade média na seção e $A$ seja medida perpendicularmente ao escoamento.

Exemplo: A entrada da animação: $Q = π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 1, 0 \approx 0, 181 m^{3} /s$ , 181 litros a cada segundo.

Equação da continuidade

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

A água não pode se acumular dentro de um tubo cheio nem desaparecer dele, então o volume que entra a cada segundo deve sair por todas as outras seções: $Q$ é o mesmo em toda parte. A velocidade é, portanto, inversamente proporcional à área. Para um tubo redondo, $A \propto d^{2}$ , então reduzir o diâmetro à metade torna a água quatro vezes mais rápida.

Símbolos
$A_{1}$	área da seção transversal na parte larga	$m^{2}$
$v_{1}$	velocidade do escoamento na parte larga	$m/s$
$A_{2}$	área da seção transversal na parte estreita	$m^{2}$
$v_{2}$	velocidade do escoamento na parte estreita	$m/s$

Quando vale: Escoamento permanente de um fluido incompressível (um líquido, ou um gás bem abaixo da velocidade do som), sem vazamentos nem ramificações. Para um gás compressível, o que permanece constante é a vazão mássica $ρ A v$ .

Exemplo: Na animação, a garganta tem área 3,41 vezes menor, então $v_{2} = 3, 41 \cdot 1, 0 = 3, 41 m/s$ .

Equação de Bernoulli

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const

Cada termo é uma energia por unidade de volume, em pascal ( $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ): $p$ é o trabalho que a pressão pode realizar, $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ a energia cinética e $ρ g h$ a energia potencial. As forças de pressão realizam trabalho sobre uma porção que se move de alta para baixa pressão, e esse trabalho se torna energia cinética ou potencial, então a soma não muda ao longo de uma linha de corrente. Mais rápido à mesma altura significa, portanto, menor pressão.

Símbolos
$p$	pressão estática	$Pa$
$ρ$	densidade do fluido	$kg/ m^{3}$
$v$	velocidade do escoamento	$m/s$
$g$	aceleração da gravidade	$m/ s^{2}$
$h$	altura acima de um nível de referência escolhido	$m$

Quando vale: Escoamento permanente, não viscoso e incompressível, ao longo de uma linha de corrente; a mesma constante vale entre linhas de corrente diferentes apenas se o escoamento for irrotacional. Em um tubo real, o atrito faz a soma cair ao longo do escoamento.

Exemplo: Na animação, a soma é $7, 85 + 0, 50 = 8, 35 kPa$ na entrada e $2, 54 + 5, 81 = 8, 35 kPa$ na garganta.

Queda de pressão em um tubo horizontal

p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

Sem mudança de altura, os termos $ρ g h$ se cancelam, e a pressão cai exatamente pelo ganho de energia cinética por unidade de volume. A diferença de pressão é a causa da aceleração, não o seu resultado: o fluido acelera porque a pressão atrás dele é maior que a pressão à frente. Eleve as velocidades ao quadrado antes de subtraí-las.

Símbolos
$p_{1}$	pressão na parte larga	$Pa$
$p_{2}$	pressão na parte estreita	$Pa$
$ρ$	densidade do fluido	$kg/ m^{3}$
$v_{1}$	velocidade do escoamento na parte larga	$m/s$
$v_{2}$	velocidade do escoamento na parte estreita	$m/s$

Quando vale: Tubo horizontal e escoamento ideal permanente. Se o tubo sobe de $h_{1}$ até $h_{2}$ , some $ρ g (h_{2} - h_{1})$ ao lado direito.

Exemplo: De 1,0 a 3,41 m/s na água: $p_{1} - p_{2} = 500 \cdot (3, 4 1^{2} - 1) \approx 5, 31 kPa$ .

Diferença de pressão lida como altura de coluna

Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}

Um tubo vertical fino sobre o cano se enche até que o peso de sua coluna equilibre a pressão abaixo dele, $p = ρ g h$ , a regra hidrostática de Pressão nos fluidos e princípio de Pascal. Dois desses tubos transformam, portanto, uma diferença de pressão em uma diferença de altura: a cada 9,81 kPa de pressão corresponde um metro de água.

Símbolos
$Δ h$	diferença entre as alturas das duas colunas	$m$
$p_{1}$	pressão sob a primeira coluna	$Pa$
$p_{2}$	pressão sob a segunda coluna	$Pa$
$ρ$	densidade do líquido nas colunas	$kg/ m^{3}$
$g$	aceleração da gravidade	$m/ s^{2}$

Quando vale: As colunas contêm o próprio líquido do tubo, em repouso, com as tomadas rentes à parede onde as linhas de corrente são retas. Um tubo em U de um líquido mais pesado, como mercúrio sob água, exige a diferença das duas densidades no lugar de $ρ$ .

Exemplo: A animação: $Δ h = 5310/ (1000 \cdot 9, 81) \approx 0, 541 m$ , o $Δ h$ marcado.

Lei de Torricelli

v = 2 g h (Torricelli)

Siga uma linha de corrente da superfície livre de um tanque largo, onde a água está quase em repouso, até o jato logo fora de um orifício a uma profundidade $h$ abaixo. Os dois pontos estão à pressão atmosférica, então os termos de pressão se cancelam, e a energia potencial $ρ g h$ se torna a energia cinética $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ . O jato sai com a velocidade de um corpo que caiu em queda livre por uma altura $h$ .

Símbolos
$v$	velocidade do jato que sai do orifício	$m/s$
$g$	aceleração da gravidade	$m/ s^{2}$
$h$	profundidade do orifício abaixo da superfície livre	$m$

Quando vale: Tanque muito mais largo que o orifício (caso contrário, o movimento da superfície importa) e perdas desprezadas. Um jato real é um pouco mais lento e, logo fora de um orifício de borda afiada, se estreita, de modo que a vazão é menor que a velocidade do jato vezes a área do orifício.

Exemplo: Um orifício 0,80 m abaixo da superfície: $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 0, 80 \approx 3, 96 m/s$ .

Glossário

Escoamento permanente: Um escoamento em que a velocidade em cada ponto fixo permanece a mesma ao longo do tempo, embora cada porção possa acelerar ou desacelerar ao se mover. O escoamento da animação é permanente: o padrão nunca muda, mas cada porção acelera para a garganta.
Linha de corrente: Uma linha tangente em toda parte à velocidade do escoamento. Em escoamento permanente, é também o caminho que uma porção segue; linhas de corrente nunca se cruzam e se concentram onde o escoamento é rápido.
Tubo de corrente: Um feixe de linhas de corrente vizinhas formando um tubo. Nenhum fluido atravessa suas paredes, então a mesma massa passa por cada seção a cada segundo; um cano é um tubo de corrente com paredes sólidas.
Fluido ideal: Um fluido modelo, incompressível (densidade constante) e não viscoso (sem atrito interno). A equação de Bernoulli em sua forma simples só é exata para um fluido desses; a água em um tubo curto e liso se aproxima disso.
Escoamento irrotacional: Um escoamento cuja vorticidade $\nabla \times v$ é nula em toda parte, de modo que pequenas porções de fluido se movem sem girar. A soma de Bernoulli tem então o mesmo valor em todas as linhas de corrente, e não apenas ao longo de cada uma.
Área da seção transversal: A área $A$ de um corte do tubo perpendicular ao escoamento, em m². Para um tubo redondo de diâmetro $d$ , $A = π d^{2} /4$ , de modo que reduzir o diâmetro à metade divide a área por 4.
Equação da continuidade: A conservação da massa em um escoamento. Para um fluido incompressível, a vazão volumétrica $Q = A v$ é a mesma através de cada seção, de modo que o fluido se move mais rápido onde o tubo é mais estreito.
Princípio de Bernoulli: Ao longo de uma linha de corrente de um escoamento ideal permanente, $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h$ permanece constante, de modo que, onde um fluido acelera à mesma altura, sua pressão cai. É a conservação da energia aplicada a um fluido em movimento.
Efeito Venturi: A queda de pressão na parte estreita, ou garganta, de um tubo, onde o fluido se move mais rápido. Um medidor de Venturi lê essa queda como uma diferença de alturas de coluna e a transforma em uma vazão.
Pressão manométrica: Pressão medida acima da pressão atmosférica, cerca de 101 kPa, e não acima do vácuo. As leituras da animação são pressões manométricas: os 2,54 kPa da garganta equivalem a cerca de 104 kPa absolutos.
Carga: Uma pressão ou energia por unidade de volume expressa como altura do líquido: $p / (ρ g)$ é a carga de pressão e $v^{2} / (2 g)$ a carga de velocidade. Em escoamento ideal, sua soma mais a altura do ponto é a mesma ao longo de uma linha de corrente; o atrito faz essa carga total cair ao longo de um tubo real, o que se chama perda de carga.
Cavitação: A ebulição local de um líquido onde sua pressão cai abaixo da pressão de vapor, cerca de 2,3 kPa absolutos para a água a 20 °C. As bolhas de vapor colapsam violentamente ao atingir pressão maior e podem erodir rotores de bombas e hélices de navios.

Grandezas
$p$	Pressão estática	$Pa$	A força por unidade de área que o fluido em movimento exerce sobre a parede do tubo, lida por um tubo piezométrico ou por uma tomada na parede; $1 Pa = 1 N/ m^{2} = 1 J/ m^{3}$ .
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	Pressão dinâmica	$Pa$	A energia cinética por unidade de volume do escoamento, e o aumento de pressão onde o escoamento é levado ao repouso: 0,50 kPa na entrada da animação, 5,81 kPa na garganta.
$v$	Velocidade do escoamento	$m/s$	Quão rápido o fluido se move, média sobre a seção transversal em um cálculo de tubo: 1,0 m/s na entrada da animação e 3,41 m/s na garganta.
$ρ$	Densidade	$kg/ m^{3}$	Massa por unidade de volume: 1000 kg/m³ para a água e cerca de 1,2 kg/m³ para o ar em condições ambientes. Permanece constante em um escoamento incompressível.
$Q$	Vazão volumétrica	$m^{3} /s$	O volume que atravessa uma seção a cada segundo, $Q = A v$ : 0,181 m³/s, ou 181 litros por segundo, na animação.
$h$	Altura	$m$	A altura de um ponto acima de um nível de referência escolhido, que entra como energia potencial por unidade de volume $ρ g h$ . Na lei de Torricelli, é a profundidade do orifício abaixo da superfície livre.
$g$	Aceleração da gravidade	$m/ s^{2}$	Cerca de $9, 81 m/ s^{2}$ perto da superfície da Terra. Transforma uma altura de líquido em uma pressão, $p = ρ g h$ .
$Δ h$	Diferença de alturas das colunas	$m$	O quanto mais baixo o líquido fica no tubo piezométrico sobre a garganta do que sobre a entrada. Mede a queda de pressão, $p_{1} - p_{2} = ρ g Δ h$ : 0,541 m na animação.

Quiz

Iniciante Água escoa por um cano que vai ficando mais estreito. Na parte estreita, a água…
1. se move mais devagar
2. se move mais rápido
3. para
4. mantém a mesma velocidade
Mostrar resposta
Resposta: B. se move mais rápido
A mesma quantidade de água precisa passar por todo ponto a cada segundo, então ela tem de se mover mais rápido onde o cano é estreito.
Iniciante Em um cano horizontal, onde a água flui mais rápido, sua pressão é…
1. a mais alta
2. igual à de todo o resto
3. a mais baixa
4. exatamente zero
Mostrar resposta
Resposta: C. a mais baixa
Acelerar exige um empurrão de pressão maior por trás, então a pressão é menor onde a água está mais rápida.
Iniciante Por que a água sai mais longe quando você põe o polegar na ponta de uma mangueira?
1. O polegar dá energia à água
2. O polegar deixa a água mais pesada
3. A gravidade é mais fraca no bico
4. A pressão se acumula atrás do polegar e empurra a água para fora mais rápido
Mostrar resposta
Resposta: D. A pressão se acumula atrás do polegar e empurra a água para fora mais rápido
Com a ponta totalmente aberta, a água sai facilmente e a pressão na ponta da mangueira permanece baixa. O polegar estreita a saída, então a pressão se acumula atrás dele e empurra a água pela pequena abertura muito mais rápido, assim como a pressão maior na parte larga do cano da animação acelera a água na parte estreita. Sai menos água a cada segundo do que antes, mas ela sai muito mais rápido e voa mais longe. O polegar não acrescenta energia: ele apenas estreita a saída.
Intermediário Um cano se estreita de 10 cm para 5 cm de diâmetro. A água entra a 2 m/s. Com que velocidade ela escoa na parte estreita?
1. 4 m/s
2. 8 m/s
3. 1 m/s
4. 2 m/s
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Resposta: B. 8 m/s
A ∝ d², então reduzir o diâmetro à metade divide a área por 4. De A₁·v₁ = A₂·v₂, v₂ = 4 × 2 = 8 m/s. Usar só a razão dos diâmetros dá o resultado errado de 4 m/s.
Intermediário Em um tubo de Venturi horizontal, a água acelera de 1 m/s para 3 m/s (ρ = 1000 kg/m³). Quanto cai a pressão?
1. 4 kPa
2. 2 kPa
3. 1 kPa
4. 9 kPa
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Resposta: A. 4 kPa
p₁ − p₂ = ½·ρ·(v₂² − v₁²) = 500 × (9 − 1) = 4000 Pa = 4 kPa. Esquecer de elevar as velocidades ao quadrado dá 1 kPa.
Intermediário Duas folhas de papel pendem paralelas, a alguns centímetros uma da outra. Você sopra forte entre elas. Elas…
1. se afastam
2. ficam paradas
3. se aproximam uma da outra
4. caem
Mostrar resposta
Resposta: C. se aproximam uma da outra
O ar rápido entre as folhas tem pressão menor que o ar parado do lado de fora, então o ar externo empurra as folhas uma contra a outra.
Avançado Qual condição NÃO é necessária para aplicar p + ½·ρ·v² + ρ·g·h = const ao longo de uma única linha de corrente?
1. Escoamento permanente
2. Viscosidade desprezível
3. Fluido incompressível
4. Escoamento irrotacional
Mostrar resposta
Resposta: D. Escoamento irrotacional
Ao longo de uma única linha de corrente, basta um escoamento permanente, não viscoso e incompressível. A irrotacionalidade só é necessária para usar a mesma constante em linhas de corrente diferentes.
Avançado Um tanque aberto e largo tem um pequeno orifício 1,8 m abaixo da superfície da água. Desprezando perdas, com que velocidade a água sai pelo orifício? (g = 9,81 m/s²)
1. cerca de 3,5 m/s
2. cerca de 5,9 m/s
3. cerca de 17,7 m/s
4. cerca de 1,3 m/s
Mostrar resposta
Resposta: B. cerca de 5,9 m/s
Bernoulli entre a superfície parada e o jato (ambos à pressão atmosférica) dá a lei de Torricelli: v = √(2·g·h) = √(2 × 9,81 × 1,8) ≈ 5,9 m/s.

$A_{1}$	Seção transversal do tubo de corrente na seção 1, onde ele é largo.	$m^{2}$
$A_{2}$	Seção transversal do mesmo tubo na seção 2, onde ele é estreito.	$m^{2}$
$v_{1}$	Velocidade do fluido através da seção 1.	$m/s$
$v_{2}$	Velocidade através da seção 2: maior, já que $A_{2} v_{2} = A_{1} v_{1}$ .	$m/s$
$v$	Velocidade em um ponto da parede, que é ela mesma uma linha de corrente: tangente à parede ali.	$m/s$

$p_{1} A_{1}$	Força com que o fluido atrás empurra a fatia que entra para a frente: pressão vezes área.	$N$
$p_{2} A_{2}$	Força com que o fluido à frente empurra de volta a fatia que sai.	$N$
$v_{1} d t$	Comprimento da fatia que entra: a distância que o fluido percorre em $d t$ na seção 1.	$m$
$v_{2} d t$	Comprimento da fatia que sai, maior já que $v_{2} > v_{1}$ .	$m$
$d V$	Volume de cada fatia, o mesmo nas duas seções.	$m^{3}$
$h_{1}$	Altura do eixo do tubo na seção 1 acima de um nível de referência.	$m$
$h_{2}$	Altura do eixo do tubo na seção 2 acima do mesmo nível.	$m$

$x$	Posição ao longo do tubo, na direção do escoamento.	$m$
$p$	Pressão estática (manométrica) sobre o eixo do tubo.	$Pa$
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	Pressão dinâmica: energia cinética por unidade de volume.	$Pa$
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$	A soma delas, a mesma ao longo de todo o tubo.	$Pa$

$H$	Profundidade da superfície livre acima do orifício.	$m$
$A_{T}$	Área da superfície livre do tanque.	$m^{2}$
$a$	Área do orifício.	$m^{2}$
$v$	Velocidade do jato logo fora do orifício.	$m/s$
$d H / d t$	Taxa de variação do nível: negativa, já que o nível desce.	$m/s$