तरल दाब और पास्कल का नियम

दाब $p = F / A$ गहराई के साथ $p = p_{0} + ρ g h$ के अनुसार बढ़ता है, और द्रव किसी भी जोड़े गए धक्के को बिना घटे हर बिंदु तक पहुँचाता है, इसलिए एक पतले पिस्टन पर लगा छोटा बल एक कार को उठा सकता है।

एक टंकी की तीन गहराइयों से पानी फुहारों में निकलता है, और जब पतले पिस्टन को दबाया जाता है तो हाइड्रोलिक प्रेस एक कार को उठा देता है।

इस विषय से पहले: न्यूटन के गति के नियम

शुरुआती

मुख्य विचार

दाब बताता है कि द्रव सतह के प्रत्येक हिस्से को कितनी ज़ोर से धकेलता है: उसके गतिमान अणु अपने संपर्क में आई हर चीज़ से टकराते रहते हैं।
स्थिर द्रव में दाब गहराई के साथ बढ़ता है, क्योंकि ऊपर से अधिक द्रव नीचे दबाता है; अधिक घनत्व वाला द्रव अधिक ज़ोर से दबाता है।
केवल गहराई मायने रखती है: पतली नली और चौड़ी झील की समान गहराई पर दाब एक ही होता है।
बंद द्रव पर दबाव डालें तो अतिरिक्त दाब हर बिंदु तक पहुँचता है, इसलिए छोटा पिस्टन चौड़े पिस्टन पर रखी कार को उठा सकता है।
कुछ भी मुफ़्त नहीं है: छोटे पिस्टन को कार के उठने की दूरी से कहीं अधिक दूरी तय करनी पड़ती है।

दाब बताता है कि द्रव किसी सतह के प्रत्येक हिस्से को कितनी ज़ोर से धकेलता है। पानी और हवा असंख्य सूक्ष्म अणुओं से बने हैं जो कभी गति करना नहीं छोड़ते। वे अपने संपर्क में आई हर चीज़ से टकराते हैं: गिलास की दीवारों, आपकी त्वचा, आपके कान के पर्दों से। हर टक्कर एक छोटा-सा धक्का है, और ये सभी धक्के मिलकर, किसी क्षेत्रफल पर फैलकर, दाब बनाते हैं। इसीलिए सतह जिस भी दिशा में मुड़ी हो, द्रव उस पर धक्का देता है।

चरण 1: दाब गहराई के साथ बढ़ता है। स्थिर द्रव में आप जितने गहरे जाते हैं, आपके ऊपर उतना ही अधिक द्रव होता है, और उसका भार नीचे की हर चीज़ पर दबाव डालता है। इसीलिए तरणताल की तली में आपके कान दुखते हैं, और इसीलिए बाँध का आधार ऊपरी हिस्से से कहीं अधिक मोटा बनाया जाता है। अधिक घनत्व वाला द्रव, जैसे समुद्री जल, उसी गहराई पर थोड़ा अधिक ज़ोर से दबाता है।

चरण 2: केवल गहराई मायने रखती है। पतली नली और चौड़ी झील, दोनों एक ही स्तर तक भरे हों, तो एक ही गहराई पर उनका दाब समान होता है; पानी की मात्रा से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

स्वयं जाँचें: एनिमेशन में तीन छेदों में से कौन-सा सबसे तेज़ फुहार छोड़ता है, और क्यों? उत्तर: सबसे निचला, क्योंकि वहाँ पानी सबसे गहरा है और सबसे ज़ोर से दबाता है।

चरण 3: बंद द्रव धक्के को आगे पहुँचाता है। किसी एक जगह दबाव डालें, तो अतिरिक्त दाब द्रव के हर बिंदु तक समान रूप से पहुँचता है (पास्कल का सिद्धांत)। एनिमेशन में पतले पिस्टन पर लगा धक्का, चौड़े पिस्टन पर खड़ी कार को उठा देता है। चौड़े पिस्टन का क्षेत्रफल चार गुना है, इसलिए उसे चार गुना बल मिलता है।

चरण 4: कुछ भी मुफ़्त नहीं मिलता। कार को उठाने के लिए पतले पिस्टन को कार के ऊपर उठने की दूरी से चार गुना दूरी तय करनी होगी।

मध्यम

मुख्य विचार

दाब प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है: $p = F / A$ , पास्कल में ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ); समुद्र तल पर वायु का दाब लगभग 101 kPa है।
स्थिर द्रव गहराई के साथ $p = ρ g h$ जोड़ता है, चाहे पात्र का आकार कुछ भी हो: पानी के हर 10 m पर लगभग 98 kPa।
प्रेस में $F_{1} / A_{1} = F_{2} / A_{2}$ , इसलिए $F_{2} = F_{1} A_{2} / A_{1}$ ; पिस्टन का व्यास दोगुना करने से बल चार गुना हो जाता है।
समान आयतन, $A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}$ : प्रेस बल को गुणित करता है पर दूरी को विभाजित करता है, इसलिए $F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}$ और कोई ऊर्जा नहीं बनती।

दाब क्या मापता है

दाब वह बल है जो कोई द्रव अपने संपर्क में आई सतह के प्रत्येक वर्ग मीटर पर लगाता है:
$p = \frac{F}{A}$
इसकी इकाई पास्कल है, $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ । हमारे चारों ओर की वायु लगभग 101 kPa से दबाती है, यानी हर वर्ग मीटर पर लगभग 10 टन भार, परंतु हमारे शरीर के भीतर के द्रव भी उतनी ही ज़ोर से वापस धकेलते हैं।

दाब बल नहीं है और उसकी अपनी कोई दिशा नहीं होती। स्थिर द्रव के किसी बिंदु पर, चाहे कोई छोटी सतह किसी भी दिशा में हो, उसका मान समान रहता है, और उससे उत्पन्न बल $F = p A$ सदैव उस सतह के लंबवत होता है। निरपेक्ष दाब निर्वात से गिना जाता है, जबकि गेज दाब वायुमंडल के 101 kPa से: टायर गेज पर 220 kPa पढ़ा जाना लगभग 321 kPa निरपेक्ष दाब के बराबर है।

दाब गहराई के साथ क्यों बढ़ता है

घनत्व $ρ$ वाले स्थिर द्रव में, गहराई $h$ पर एक छोटे क्षेत्रफल $A$ के ऊपर द्रव के ऊर्ध्वाधर स्तंभ की कल्पना करें। उसका भार $ρ A h g$ है, और चूँकि उसकी पार्श्व सतहों पर दाब क्षैतिज है, इसलिए इस भार को केवल नीचे का द्रव सहारा दे सकता है; क्षेत्रफल से भाग देने पर गहराई $h$ पर गेज दाब मिलता है:
$p = ρ g h$
मुक्त पृष्ठ पर लगे दाब $p_{0}$ (जो सामान्यतः वायुमंडल का होता है) को जोड़ने पर निरपेक्ष दाब मिलता है:
$p = p_{0} + ρ g h$

पानी में दाब प्रति मीटर 9.81 kPa बढ़ता है, इसलिए 10 m लगभग 98 kPa जोड़ते हैं, लगभग एक वायुमंडल: 10 m पर एक गोताखोर पर सतह के दाब का दोगुना दाब होता है। पारा 13.6 गुना घना है, इसलिए वायुदाब मापी में केवल $101325/ (13600 \cdot 9.81) \approx 0.76 m$ का पारद-स्तंभ वायुमंडल को संतुलित कर देता है; जल-स्तंभ के लिए 10.3 m चाहिए होते, जो किसी भी चूषण पंप की सीमा है।

केवल गहराई मायने रखती है, न कि पात्र के आकार या द्रव की मात्रा: एक ही स्तर तक भरी पतली नली और चौड़ी झील की समान गहराई पर दाब समान होता है। यही जलस्थैतिक विरोधाभास है। इस प्रकार एक जुड़े हुए स्थिर द्रव के एक ही स्तर के सभी बिंदुओं का दाब एक होता है, और जुड़े हुए पात्र एक ही ऊँचाई तक भरते हैं।

पास्कल का सिद्धांत और हाइड्रोलिक प्रेस

पास्कल का सिद्धांत कहता है कि किसी बंद द्रव पर लगाए गए दाब-परिवर्तन को द्रव के हर बिंदु और उसकी दीवारों तक बिना किसी कमी के संचरित किया जाता है। द्रव का भार $ρ g h$ के माध्यम से केवल दाबों के अंतर तय करता है, इसलिए सीमा पर लगा धक्का हर दाब को समान मात्रा में बढ़ाना चाहिए।

हाइड्रोलिक प्रेस इसी का उपयोग करता है। इसके दो पिस्टन, जिनके क्षेत्रफल $A_{1}$ और $A_{2}$ हैं, लगभग एक ही ऊँचाई पर हैं, इसलिए उनके नीचे के दाब समान हैं, $F_{1} / A_{1} = F_{2} / A_{2}$ , अतः
$F_{2} = \frac{F _{1} A _{2}}{A _{1}}$
वृत्ताकार पिस्टनों के लिए क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के अनुपात में होता है: व्यास दोगुना करने पर बल चार गुना हो जाता है।

इसकी कीमत दूरी है। द्रव लगभग संपीड़ित नहीं होता, इसलिए पतले बेलन से बाहर धकेला गया आयतन चौड़े बेलन में जाना ही चाहिए:
$A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}$
बलों के अनुपात के साथ मिलाने पर यह देता है
$F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}$
लगाया गया कार्य निकाले गए कार्य के बराबर होता है: लीवर की तरह, प्रेस बल को गुणित करता है पर दूरी को विभाजित करता है, कभी ऊर्जा नहीं बनाता।

उदाहरण: एनिमेशन की टंकी और प्रेस

टंकी भरी रखी गई है, जिसके छेद सतह के नीचे 15, 35 और 55 cm पर हैं। बैंगनी लेबल हर छेद पर $ρ g h$ देते हैं; सबसे निचले के लिए
$p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.55 \approx 5400 Pa = 5.4 kPa$
और ऊपर के दो के लिए क्रमशः 1.5 और 3.4 kPa। केवल यही गेज भाग धाराओं को चलाता है, क्योंकि वायुमंडल भी हर छेद के बाहरी ओर दाब डालता है। यह धक्का चाल में बदलता है, $v = 2 g h$ (देखें बरनौली का सिद्धांत): लगभग 1.7, 2.6 और 3.3 m/s, इसलिए सबसे निचली धारा सबसे तेज़ है।

दाईं ओर, चौड़ा पिस्टन पतले पिस्टन से दोगुना चौड़ा है, इसलिए $A_{2} = 4 A_{1}$ । 1000 kg की कार को उठाए रखने के लिए उसे $F_{2} = 1000 \cdot 9.81 = 9810 N$ के बल से धकेलना होगा, इसलिए हाथ को केवल
$F_{1} = \frac{F _{2} A _{1}}{A _{2}} = \frac{9810}{4} \approx 2450 N$
चाहिए। ये लेबल के 2.45 kN और 9.81 kN हैं, और चौड़े पिस्टन के नीचे का हरा तीर हैंडल के ऊपर के लाल तीर से चार गुना लंबा है।

जैसे-जैसे हैंडल नीचे जाता है, रीडिंग दिखाती हैं कि $d_{1}$ 48 cm तक पहुँचता है जबकि $d_{2}$ केवल 12 cm, यानी एक-चौथाई। कार्य मेल खाते हैं: $F_{1} d_{1} = 2452.5 \cdot 0.48 \approx 1177 J$ और $F_{2} d_{2} = 9810 \cdot 0.12 \approx 1177 J$ , यह वही ऊर्जा है जो कार को 12 cm ऊपर उठाती है।

उदाहरण: एक्वेरियम का सामने का काँच

एक्वेरियम 60 cm गहराई तक भरा है, और उसका सामने का पैनल 1.5 m चौड़ा है। काँच पर गेज दाब सतह पर शून्य से बढ़कर तली पर $1000 \cdot 9.81 \cdot 0.60 \approx 5890 Pa$ हो जाता है, इसलिए पैनल पर इसका औसत $\overset{p}{ˉ}$ बीच की गहराई वाला मान है, लगभग 2940 Pa। भीगे क्षेत्रफल $1.5 \cdot 0.60 = 0.90 m^{2}$ के साथ,
$F = \overset{p}{ˉ} A \approx 2943 \cdot 0.90 \approx 2650 N$
जो 270 kg द्रव्यमान के भार के बराबर है। वायुमंडल काँच के दोनों फलकों पर दाब डालता है और वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

यह धक्का इस पर निर्भर नहीं करता कि टंकी काँच के पीछे कितनी दूर तक फैली है: सामने से पीछे केवल 5 cm की टंकी भी उतना ही धक्का देती है। गहराई को 1.20 m तक दोगुना करने पर औसत दाब और क्षेत्रफल दोनों दोगुने हो जाते हैं, इसलिए बल चार गुना होकर लगभग 10.6 kN हो जाता है। चूँकि इसका अधिकांश भाग नीचे की ओर कार्य करता है, इसलिए टंकियाँ और बाँध तली पर सबसे मज़बूत बनाए जाते हैं।

दाब-गहराई आरेख पढ़ना

गहराई के विरुद्ध आलेखित करने पर दाब एक सीधी रेखा होती है जिसकी ढलान $ρ g$ है: पानी में प्रति मीटर 9.81 kPa, परंतु वायु में प्रति मीटर केवल 12 Pa। गेज-दाब रेखा शून्य से शुरू होती है; निरपेक्ष-दाब रेखा वही रेखा है जो $p_{0} \approx 101 kPa$ ऊपर उठा दी गई है।

दीवार पर खींचे गए तीर, प्रत्येक गहराई पर एक और वहाँ के दाब जितने लंबे, एक त्रिभुज की रूपरेखा बनाते हैं; उसका क्षेत्रफल दीवार की चौड़ाई से गुणा करने पर कुल बल मिलता है: इसीलिए एक्वेरियम का औसत तली के मान का आधा होता है। किसी डूबी वस्तु के चारों ओर, नीचे के तीर ऊपर के तीरों से लंबे होते हैं, और उनका योग ऊपर की ओर लगने वाला उत्प्लावन बल है।

आम गलतियाँ

अधिक पानी का अर्थ अधिक दाब नहीं है: पतली नली और झील, दोनों 10 m गहरी, तली पर एक ही 98 kPa देती हैं।
दाब बल नहीं है: सबसे निचले छेद पर 5.4 kPa, 1 cm² के डाट पर 0.54 N से धकेलता है, परंतु 10 cm² वाले पर 5.4 N से।
गेज दाब और निरपेक्ष दाब को अलग रखें: झील में 20 m नीचे पानी 196 kPa जोड़ता है, पर निरपेक्ष दाब 297 kPa है।
क्षेत्रफलों का अनुपात लें, व्यासों का नहीं: 3 cm और 12 cm व्यास वाले पिस्टन बल को $(12/3)^{2} = 16$ गुना करते हैं, 4 गुना नहीं।

यह कहाँ दिखाई देता है

कार लिफ़्ट, जैक, हाइड्रोलिक ब्रेक और उत्खननकर्ता (एक्सकेवेटर) पास्कल के सिद्धांत पर चलते हैं, आमतौर पर कई मेगापास्कल दाब वाले तेल के साथ। पानी की टंकियाँ ऊँची बनाई जाती हैं, क्योंकि ऊँचाई के हर मीटर पर नीचे के नल पर 9.81 kPa जुड़ता है; और खड़े होने पर आपके पैरों में रक्तचाप आपके हृदय की तुलना में लगभग 100 mmHg (13 kPa) अधिक होता है। आगे, उत्प्लावन और आर्किमिडीज़ का सिद्धांत नीचे से आने वाले अतिरिक्त धक्के को उस बल में बदलता है जो जहाजों को तैराता है, और बरनौली का सिद्धांत दाब को गतिमान द्रवों तक ले जाता है।

उन्नत

मुख्य विचार

स्थिर द्रव में कोई अपरूपण नहीं होता, इसलिए उसका प्रतिबल हर सतह के लंबवत और सभी दिशाओं में समान होता है: दाब एक अदिश राशि $p$ है।
केवल दाब में अंतर ही धक्का देता है: प्रति इकाई आयतन बल $- \nabla p$ है, और गुरुत्व के साथ संतुलन से $\nabla p = ρ g$ मिलता है, इसलिए $p = p_{0} + ρ g h$ ।
$\nabla p = - ρ \nabla ϕ$ से, समदाब पृष्ठ क्षैतिज समविभव पृष्ठ होते हैं; किसी क्षैतिज तल पर घनत्व बदलता हो तो द्रव स्थिर नहीं रह सकता और संवहन करता है।
गैस का दाब अणुओं के आघात से बनता है, $p = nk T$ ; समतापी वायुमंडल $p = p_{0} e^{- z / H}$ के अनुसार विरल होता जाता है, $H \approx 8.4 km$ ।
केवल $\nabla p$ मायने रखता है, इसलिए एकसमान $Δ p$ हर जगह $p$ को बदल देता है (पास्कल); आदर्श प्रेस में कार्य संरक्षित रहता है, $W_{1} = Δ p V = W_{2}$ ।

दाब की कोई दिशा क्यों नहीं होती

द्रव ऐसा पदार्थ है जो अपरूपण का विरोध नहीं कर सकता: पानी की एक परत को बग़ल से चाहे कितनी भी धीरे से धकेलें, वह बहने लगती है। शहद जैसा श्यान द्रव अपरूपण की दर का विरोध करता है, परंतु स्थिर होने पर उसमें कोई अपरूपण प्रतिबल नहीं होता। अतः स्थिर द्रव के भीतर किसी भी छोटे पृष्ठ के पार बल उस पृष्ठ के लंबवत होता है, और प्रति इकाई क्षेत्रफल के इस बल को दाब कहते हैं। यह खंड दिखाता है कि किसी बिंदु पर दाब एक ही संख्या है, जो सतह की दिशा चाहे जो हो, समान रहती है; पाठ के बाद के सभी भाग इसी तथ्य पर टिके हैं।

चित्र 1 में तरल की एक छोटी फाँक को बग़ल से देखा गया दिखाया गया है। उसके तीनों फलकों को देखें। बायाँ फलक ऊर्ध्वाधर है, अतः उसका अभिलंब $x$ के अनुदिश है; नीचे का फलक क्षैतिज है, अतः उसका अभिलंब $z$ के अनुदिश है; तिरछे फलक का क्षेत्रफल $d A$ है और उसका बाहर की ओर इकाई अभिलंब $\overset{n}{^}$ है जिसके घटक $n_{x}$ और $n_{z}$ हैं। बायाँ और नीचे का फलक, तिरछे फलक के क्रमशः $x$ और $z$ के लंबवत तलों पर प्रक्षेप हैं, इसलिए उनके क्षेत्रफल $n_{x} d A$ और $n_{z} d A$ हैं। चित्र में $n_{x} = 0.6$ और $n_{z} = 0.8$ है, अतः तीनों फलकों के क्षेत्रफलों का अनुपात $0.6 : 0.8 : 1$ है और उन पर क्रमशः 3, 4 और 5 समान तीर बने हैं। फाँक के दो त्रिकोणीय सिरे, जो पृष्ठ के समांतर हैं, केवल $y$ के अनुदिश धक्का देते हैं, इसलिए $x$ या $z$ के संतुलन में उनकी कोई भूमिका नहीं है।

तीनों फलकों पर दाबों को $p_{x}$ , $p_{z}$ और $p_{n}$ कहें, बिना यह माने कि वे बराबर हैं। बाहरी द्रव हर फलक को भीतर की ओर धकेलता है। $x$ के अनुदिश, बायाँ फलक $+ x$ की ओर $p_{x} n_{x} d A$ बल से धकेला जाता है। तिरछा फलक $- \overset{n}{^}$ के अनुदिश $p_{n} d A$ बल से धकेला जाता है, और उस धक्के का $x$ -घटक $p_{n} n_{x} d A$ है, जो $- x$ की ओर है। नीचे का फलक केवल $z$ के अनुदिश धकेलता है। फाँक स्थिर है, इसलिए $x$ के अनुदिश बल एक-दूसरे को निरस्त करते हैं:
$p_{x} n_{x} d A = p_{n} n_{x} d A$
अतः $p_{x} = p_{n}$ ।

$z$ के अनुदिश वही गणना $p_{z} n_{z} d A$ ऊपर और $p_{n} n_{z} d A$ नीचे देती है, परंतु फाँक का भार भी जुड़ता है। भार फाँक के आयतन के अनुपात में होता है, जो उसके आकार के घन के साथ घटता है, जबकि पृष्ठ-बल केवल वर्ग के साथ घटते हैं। संतुलन-समीकरण को $d A$ से भाग दें और फाँक को एक बिंदु तक सिकुड़ने दें: भार वाला पद शून्य हो जाता है, और $p_{z} = p_{n}$ ।

अतः $p_{x} = p_{z} = p_{n}$ , और चूँकि फलक का झुकाव मनमाना था, किसी बिंदु पर दाब उस बिंदु से गुज़रने वाली हर सतह पर समान है। दाब एक अदिश क्षेत्र $p (r)$ है: हर बिंदु पर एक संख्या, जिसकी अपनी कोई दिशा नहीं होती। दाब-बल की दिशा सतह से आती है। क्षेत्रफल $d A$ वाले और बाहर की ओर इकाई अभिलंब $\overset{n}{^}$ वाले सतह-अवयव पर द्रव $d F = - p \overset{n}{^} d A$ के साथ धकेलता है, जिसमें ऋण चिह्न भीतर की ओर का द्योतक है।

जलस्थैतिकी का समीकरण

दाब बिंदु-दर-बिंदु बदलता है, और यही परिवर्तन द्रव को उसके अपने भार के विरुद्ध थामे रखता है। यह खंड इस विचार को एक समीकरण में बदलता है जो स्थिर द्रव में हर जगह का दाब देता है।

चित्र 2 में स्थिर द्रव का एक छोटा खंड दिखाया गया है, जिसकी चौड़ाई $d x$ , ऊँचाई $d z$ और पृष्ठ में गहराई $d y$ है, इसलिए उसका आयतन $d V = d x d y d z$ है। तीरों के सम्मुख जोड़ों की तुलना करें। एकसमान दाब खंड को सम्मुख दिशाओं से समान रूप से दबाता है और कोई शुद्ध बल नहीं देता; उसे केवल सम्मुख फलकों के बीच का अंतर ही धकेल सकता है।

पहले बग़ल के फलक लें। दोनों बग़ल के फलक समान ऊँचाई पर हैं और उन पर समान दाब $p$ है, इसलिए उनके धक्के बराबर और विपरीत हैं, और वे निरस्त हो जाते हैं।

अब ऊपर और नीचे के फलक। नीचे का फलक, ऊँचाई $z$ पर, $p (z) d x d y$ के साथ ऊपर की ओर धकेला जाता है; ऊपर का फलक, ऊँचाई $z + d z$ पर, $p (z + d z) d x d y$ के साथ नीचे की ओर धकेला जाता है। छोटी ऊँचाई $d z$ पर दाब में परिवर्तन $p (z + d z) - p (z) = (\partial p / \partial z) d z$ है, इसलिए ऊपर की ओर शुद्ध धक्का है
$[p (z) - p (z + d z)] d x d y = - \frac{\partial p}{\partial z} d V$
नीचे दाब अधिक है, अतः तीर $p (z)$ तीर $p (z + d z)$ से लंबा है और शुद्ध धक्का ऊपर की ओर है। हरा तीर $ρ g d V$ खंड का भार है, जहाँ $ρ$ घनत्व और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। स्थिर अवस्था में शुद्ध धक्का और भार बराबर होने चाहिए, और चित्र में भार का तीर दोनों दाब-तीरों की लंबाई के अंतर जितना ही लंबा खींचा गया है।

यही गणना हर फलक-युग्म पर लागू होती है। $x$ के लंबवत फलक $x$ के अनुदिश $- (\partial p / \partial x) d V$ का शुद्ध धक्का छोड़ते हैं, जो चित्र के दो समान पार्श्व तीरों के लिए शून्य है, और $y$ के लंबवत फलक $- (\partial p / \partial y) d V$ छोड़ते हैं। तीनों युग्म मिलकर प्रति इकाई आयतन $- \nabla p$ का दाब-बल देते हैं। साम्यावस्था में यह प्रति इकाई आयतन भार $ρ g$ को निरस्त करता है, अतः
$\nabla p = ρ g$
यही जलस्थैतिकी का समीकरण है। प्रति इकाई द्रव्यमान गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $ϕ = g z$ के साथ, जिसके लिए $g = - \nabla ϕ$ , यह $\nabla p = - ρ \nabla ϕ$ रूप लेता है। जब $z$ ऊपर की ओर मापा जाता है, तब $g$ का केवल एक $z$ -घटक होता है, जो $- g$ के बराबर है, इसलिए समीकरण का ऊर्ध्वाधर भाग है
$\frac{d p}{d z} = - ρ g$
और क्षैतिज भाग, $\partial p / \partial x = \partial p / \partial y = 0$ , बताते हैं कि दाब किसी एक स्तर पर हर जगह समान है।

द्रव के लिए घनत्व लगभग स्थिर है, और समीकरण तुरंत $p + ρ g z = const$ में समाकलित हो जाता है। सीमा-प्रतिबंध स्थिरांक तय करता है: मुक्त पृष्ठ पर, जो विचाराधीन बिंदु से $h$ ऊँचाई पर है, दाब वायुमंडलीय दाब $p_{0}$ है, अतः
$p = p_{0} + ρ g h$
यहाँ $h$ पृष्ठ से नीचे की ओर मापी गई गहराई है। $d p / d z$ ऋणात्मक होने के बावजूद दाब $h$ के साथ बढ़ता है; दोनों कथन मेल खाते हैं, क्योंकि $z$ ऊपर की ओर और $h$ नीचे की ओर इंगित करता है।

एनिमेशन के विशेषज्ञ-स्तर में एक डूबता प्रोब इस नियम को आलेखित करता है। वह गेज दाब $p - p_{0}$ , यानी वायुमंडलीय दाब से ऊपर का दाब, को गहराई $h$ के विरुद्ध आलेखित करता है: मूल बिंदु से गुज़रने वाली एक सीधी रेखा जिसकी ढलान $ρ g \approx 9.81 kPa/m$ है, और प्रोब के सबसे गहरे बिंदु (71 cm नीचे) पर लगभग 7.0 kPa तक पहुँचती है। निरपेक्ष दाब $p$ वही रेखा देता, जो $p_{0} \approx 101 kPa$ ऊपर उठा दी गई हो। दोनों रेखाओं की ढलान समान है, और केवल ढलान, यानी $p$ की प्रवणता, ही द्रव पर शुद्ध बल लगाती है।

समदाब पृष्ठ, स्तर और संवहन

जलस्थैतिकी का समीकरण केवल यह नहीं बताता कि दाब गहराई के साथ कैसे बढ़ता है। यह समान दाब वाले पृष्ठों का आकार तय करता है, और यह भी बताता है कि द्रव कब बिल्कुल स्थिर नहीं रह सकता।

चूँकि $\nabla p = - ρ \nabla ϕ$ , इसलिए हर बिंदु पर $p$ की प्रवणता $ϕ$ की प्रवणता के समांतर है। प्रवणता उन पृष्ठों के लंबवत होती है जिन पर उसकी राशि स्थिर रहती है, अतः समान दाब वाले पृष्ठ, यानी समदाब पृष्ठ, $ϕ$ स्थिर रखने वाले पृष्ठ भी हैं: गुरुत्व के समविभव पृष्ठ। प्रयोगशाला में ये क्षैतिज तल होते हैं; ग्रह के पैमाने पर वे शांत समुद्र के वक्र आकार का अनुसरण करते हैं। इसीलिए जुड़े हुए पात्र एक ही स्तर तक भरते हैं: उनमें से हर एक का मुक्त पृष्ठ उसी समदाब पृष्ठ, $p = p_{0}$ , का हिस्सा है।

वही समीकरण यह भी दिखाता है कि विराम की कोई अवस्था कब संभव नहीं है। किसी प्रवणता का कर्ल सदैव शून्य होता है, अतः $\nabla p$ का कर्ल शून्य है, और $ρ \nabla ϕ$ का कर्ल भी शून्य होना चाहिए:
$\nabla \times (ρ \nabla ϕ) = \nabla ρ \times \nabla ϕ = 0$
कोई सदिश गुणनफल तभी शून्य होता है जब उसके दोनों सदिश समांतर हों, इसलिए घनत्व की प्रवणता ऊर्ध्वाधर होनी चाहिए: $ρ$ हर क्षैतिज स्तर पर समान होना चाहिए। कमरे के एक ओर, या पानी के बर्तन के एक ओर को गर्म करें, और घनत्व किसी स्तर के साथ बदल जाता है। तब कोई भी दाब-क्षेत्र गुरुत्व को संतुलित नहीं कर सकता, और द्रव को गति करनी पड़ती है। यह गति संवहन है; यह समुद्री हवाएँ चलाती है और रेडिएटर की ऊष्मा को कमरे में फैलाती है।

पास्कल का सिद्धांत और प्रेस का कार्य

एक हाइड्रोलिक प्रेस हाथ के धक्के से कार उठा देता है। इसकी व्याख्या दो संक्षिप्त तर्कों से होती है: एक दाब-क्षेत्र से, और एक ऊर्जा से।

पहले दाब-क्षेत्र। समीकरण $\nabla p = ρ g$ में केवल $p$ की प्रवणता है, इसलिए यह दाब को केवल एक जुड़े हुए स्थिरांक तक निर्धारित करता है, जिसे सीमा तय करती है। असंपीड्य द्रव की सीमा पर दाब को $Δ p$ से बढ़ाएँ, तो पूरा क्षेत्र $Δ p$ से उठ जाता है, जबकि उसकी प्रवणता $ρ g$ ही रहती है। द्रव के हर बिंदु पर वही वृद्धि महसूस होती है: यही पास्कल का सिद्धांत है। वास्तविक द्रव में यह वृद्धि एक साथ हर जगह नहीं पहुँचती। यह ध्वनि की चाल से दाब-तरंग के रूप में फैलती है, पानी में लगभग 1480 m/s, इसलिए यह एनिमेशन के 1.5 m चौड़े प्रेस को लगभग एक मिलीसेकंड में पार कर लेती है।

अब ऊर्जा, जो दाब का उल्लेख किए बिना ही बल-अनुपात देती है। क्षेत्रफल $A_{1}$ वाले छोटे पिस्टन को थोड़ी दूरी $δ d_{1}$ तक नीचे धकेलें। द्रव संपीड़ित नहीं होता, इसलिए छोटे बेलन से निकला आयतन $A_{1} δ d_{1}$ क्षेत्रफल $A_{2}$ वाले बड़े बेलन को भरता है, जिसका पिस्टन $δ d_{2} = (A_{1} / A_{2}) δ d_{1}$ ऊपर उठता है। घर्षण-रहित आदर्श प्रेस में, लगाया गया कार्य निकाले गए कार्य के बराबर होता है, $F_{1} δ d_{1} = F_{2} δ d_{2}$ , और इसलिए
$F_{2} = F_{1} \frac{A _{2}}{A _{1}}$
यह वही परिणाम है जो पास्कल का सिद्धांत देता है, जहाँ $F_{1} = Δ p A_{1}$ और $F_{2} = Δ p A_{2}$ । यह तर्क आभासी कार्य के सिद्धांत पर आधारित है, वही जो लीवर की व्याख्या करता है: प्रेस दूरी के बदले बल प्राप्त करता है।

पूरे स्ट्रोक में हर पिस्टन समान आयतन बुहारता है, $V = A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}$ , इसलिए दोनों कार्य $Δ p V$ के बराबर हैं। एनिमेशन में छोटा पिस्टन 26 cm व्यास का है और उसे 2452.5 N से धकेला जाता है, इसलिए उसके नीचे का दाब $Δ p = 2452.5/ (π \cdot 0.1 3^{2}) \approx 46.2 kPa$ है। उसका क्षेत्रफल $0.0531 m^{2}$ है और उसका स्ट्रोक 0.48 m है, इसलिए वह $V \approx 0.0531 \cdot 0.48 \approx 0.0255 m^{3}$ आयतन बुहारता है, और $W_{1} = W_{2} = Δ p V \approx 1177 J$ । स्ट्रोक के अंत में दोनों कार्य पाठ्यांक यही उच्चतम मान छूते हैं।

गैसें और घातांकी वायुमंडल

द्रव में घनत्व दाब के साथ लगभग नहीं बदलता; गैस में वह लगभग दाब के समानुपाती होता है। यह देखने के लिए कि इससे जलस्थैतिकी के समीकरण पर क्या असर पड़ता है, पहले गैस के दाब को उसके अणुओं के पदों में समझना होगा।

गैस का दाब वह संवेग है जो अणु प्रति इकाई समय और प्रति इकाई क्षेत्रफल में किसी दीवार पर पहुँचाते हैं। $x$ के लंबवत एक दीवार लें। द्रव्यमान $m$ का एक अणु, जो वेग-घटक $v_{x}$ के साथ उससे टकराता है, $- v_{x}$ से वापस उछलता है, इसलिए वह संवेग $2 m v_{x}$ सौंपता है। किसी दिए गए $v_{x}$ वाले वे अणु जो समय $d t$ में क्षेत्रफल $d A$ से टकराते हैं, वे हैं जो उससे $v_{x} d t$ दूरी के भीतर हैं, और उनकी संख्या $v_{x}$ के समानुपाती है, अतः हर समूह का योगदान $v_{x}^{2}$ के अनुपात में होता है। केवल दीवार की ओर गति करने वाले आधे अणु पहुँचते हैं, जिससे गुणांक 2 निरस्त हो जाता है, और सभी अणुओं पर औसत लेने से
$p = nm \overline{v_{x}^{2}}$
मिलता है, जहाँ $n$ प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या है और $\overline{v_{x}^{2}}$ , $v_{x}^{2}$ का माध्य है। ऊष्मीय साम्य में हर अणु की $x$ के अनुदिश गति की औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} k T$ होती है, जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप। अतः $m \overline{v_{x}^{2}} = k T$ , और
$p = nk T$
101 kPa और 288 K पर वायु के लिए यह $n \approx 2.55 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ देता है।

अब वायुमंडल, जहाँ $m$ वायु-अणु का औसत द्रव्यमान है। घनत्व $ρ = nm$ है, अतः एकसमान ताप पर $ρ = m p / (k T)$ : जो दाब के समानुपाती है। जलस्थैतिकी का समीकरण बन जाता है
$\frac{d p}{d z} = - \frac{m g}{k T} p$
दाब अपने ही समानुपाती दर से घटता है, इसलिए वह ऊँचाई के साथ घातांकी रूप से घटता है। अब $p_{0}$ समुद्र तल, $z = 0$ , पर दाब है:
$p = p_{0} e^{- z / H}, H = \frac{k T}{m g} \approx 8.4 km$
288 K पर वायु के लिए। $H$ पैमाना-ऊँचाई है, वह चढ़ाई जिस पर दाब $e$ गुना घट जाता है। गुणक $e^{- m g z / (k T)}$ बोल्ट्ज़मान गुणक है, जो एक अणु की स्थितिज ऊर्जा $m g z$ की तुलना ऊष्मीय ऊर्जा $k T$ से करता है; यहाँ यह यांत्रिक पक्ष से प्रकट होता है।

यह नियम अच्छी तरह ठहरता है। एवरेस्ट के शिखर पर, 8.85 km ऊपर, यह लगभग 35 kPa का अनुमान देता है, जो वहाँ मापे गए 34 kPa के निकट है; वास्तविक वायु 288 K से ठंडी है, जिससे दाब थोड़ा और घट जाता है। 1648 में पास्कल के अनुरोध पर एक पारद वायुदाब मापी (बैरोमीटर) को पुए दे दोम (Puy de Dôme) पर ले जाया गया, और उसका पारद-स्तंभ लगभग 8 cm नीचे गिरा, क्योंकि ऊपर से नीचे दबाने वाली वायु कम थी।

त्वरित द्रव और उत्प्लावन

यदि हम स्वयं पात्र के निर्देश-तंत्र में कार्य करें, तो जलस्थैतिकी का समीकरण त्वरित होते पात्र पर भी लागू होता है। यह बताता है कि हिलते हुए टैंक की सतह क्यों झुकती है, और एक कदम और आगे जाकर यह भी कि उत्प्लावन कहाँ से आता है।

**चित्र 3.** $a$ से त्वरित लॉरी पर रखी एक टंकी। टंकी के निर्देश-तंत्र में दाब $g - a$ के अनुदिश बढ़ता है, इसलिए मुक्त पृष्ठ और हर समदाब पृष्ठ (टूटी रेखाएँ) उसके लंबवत हैं, और $g$ तथा $g - a$ के बीच के कोण $θ$ जितने झुके हैं। पैमाने पर नहीं।

$a$ से त्वरित निर्देश-तंत्र में द्रव का हर अंश अपने भार के अतिरिक्त प्रति इकाई आयतन $- ρ a$ का जड़त्वीय बल महसूस करता है, अतः समीकरण बन जाता है
$\nabla p = ρ (g - a)$
द्रव ऐसे व्यवहार करता है मानो गुरुत्व $g - a$ हो, यही प्रभावी गुरुत्व है। चित्र 3 में एक लॉरी पर रखी टंकी दिखाई गई है जो $a$ से दाईं ओर त्वरित हो रही है। चित्र के दाईं ओर, $g - a$ को $g$ (सीधा नीचे) और $- a$ (पीछे की ओर) जोड़कर बनाया गया है: परिणाम नीचे और पीछे की ओर इंगित करता है। दाब $g - a$ के अनुदिश बढ़ता है, इसलिए टूटी रेखाओं से दिखाए गए समदाब पृष्ठ उसके लंबवत हैं। मुक्त पृष्ठ उन्हीं में से एक समदाब पृष्ठ है, $p = p_{0}$ , अतः वह उनके साथ झुकता है, और पानी टंकी के पिछले हिस्से में जमा हो जाता है।

झुकाव ज्ञात करने के लिए पृष्ठ और क्षैतिज के बीच का कोण $θ$ देखें। पृष्ठ $g - a$ के लंबवत है और क्षैतिज $g$ के लंबवत है, अतः $θ$ $g$ और $g - a$ के बीच का कोण भी है। दाईं ओर के सदिश त्रिभुज में $θ$ के सम्मुख भुजा $a$ है और उसके निकट की भुजा $g$ है, अतः
$tan θ = a / g$
चित्र में झुकाव को आसानी से देखने के लिए $a = g /2$ लिया गया है। 3 m/s² से त्वरित लॉरी पर रखी टंकी का पानी कोण $θ$ पर ढलता है, $tan θ = 3/9.81 \approx 0.31$ , यानी लगभग 17°।

उत्प्लावन उसी क्षेत्र से आता है। सतह के नीचे किसी पिंड पर कुल दाब-बल उसकी बंद सतह पर $- p \overset{n}{^} d A$ का योग है। सदिश कलन का एक प्रमेय इस पृष्ठ-समाकल को उस स्थान पर $\nabla p$ के आयतन-समाकल में बदल देता है जिसे पिंड घेरता है, अतः स्थिर द्रव के लिए
$- \oint p \overset{n}{^} d A = - \int \nabla p d V = - ρ g V$
जहाँ $V$ पिंड का आयतन है। यह बल ऊपर की ओर इंगित करता है और पिंड द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है: आर्किमिडीज़ का सिद्धांत। सतह पर दाब इस पर निर्भर नहीं करता कि उसके भीतर क्या भरा है, इसलिए यह परिणाम किसी भी पिंड पर लागू होता है। त्वरित टंकी में वही समाकल $- ρ (g - a) V$ देता है, जिसमें आगे की ओर एक घटक है; इसीलिए कार के तेज़ होने पर उसमें रखा हीलियम गुब्बारा आगे की ओर झुक जाता है।

उदाहरण: प्रेस में द्रव का भार

ऊपर प्रेस के विश्लेषण में द्रव का अपना भार नज़रअंदाज़ किया गया था। यह प्रश्न उसे वापस जोड़ता है, ताकि दिखाया जा सके कि यह संशोधन कितना बड़ा है और ऊर्जा कहाँ जाती है।

चित्र 4 में एनिमेशन का वह प्रेस दिखाया गया है जो पानी से भरा है, स्ट्रोक की शुरुआत पर। पहले दोनों पिस्टन-तलों को देखें। छोटे पिस्टन का तल, ऊँचाई $z_{1}$ पर, बड़े पिस्टन के तल से, जो ऊँचाई $z_{2}$ पर है, 40 cm ऊपर है। स्ट्रोक के दौरान छोटा पिस्टन 48 cm नीचे जाता है और बड़ा 12 cm ऊपर उठता है, इसलिए अंत में छोटे पिस्टन का तल दूसरे से 20 cm नीचे होता है।

बड़ा पिस्टन कार का भार उठाता है, इसलिए द्रव को इसे कार के भार $F_{2}$ के बराबर बल से ऊपर धकेलना होगा। क्षेत्रफल $A_{2}$ पर इसके लिए दाब $p_{2} = F_{2} / A_{2} \approx 46.19 kPa$ चाहिए, और यह पूरे स्ट्रोक के दौरान। दाब ऊँचाई के साथ घटता है, जैसा जलस्थैतिकी का समीकरण कहता है, इसलिए छोटे पिस्टन के नीचे का दाब, जो $z_{1} - z_{2}$ ऊपर है, कम है:
$p_{1} = p_{2} - ρ g (z_{1} - z_{2})$
चित्र में यही छोटा तीर $p_{1}$ है। तब हाथ को $F_{1} = p_{1} A_{1}$ से धकेलना होगा।

आरंभ में $ρ g (z_{1} - z_{2}) = 9810 \cdot 0.40 \approx 3.92 kPa$ है; अंत में ऊँचाई का अंतर $- 0.20 m$ है और यह पद $- 1.96 kPa$ है। $A_{1} = 0.0531 m^{2}$ के साथ हाथ को आरंभ में
$F_{1} = (46.19 - 3.92) kPa \cdot 0.0531 m^{2} \approx 2.24 kN$
और अंत में
$F_{1} = (46.19 + 1.96) kPa \cdot 0.0531 m^{2} \approx 2.56 kN$
बल से धकेलना होगा, जबकि द्रव का भार न गिनने पर मिला स्थिर 2.45 kN बल पर्याप्त था।

स्ट्रोक के दौरान ऊँचाई का अंतर $0.40$ से $- 0.20 m$ तक रैखिक रूप से बदलता है, और छोटे पिस्टन के नीचे का दाब भी। अतः हाथ का कार्य बुहारे गए आयतन और औसत दाब के गुणनफल के बराबर है। औसत ऊँचाई-अंतर 0.10 m है, इसलिए हाथ का कार्य
$W_{1} = V (p_{2} - ρ g \cdot 0.10 m) = 0.02548 m^{3} \cdot 45.21 kPa \approx 1152 J$
है।

यह कार द्वारा प्राप्त 1177 J से 25 J कम है, और यह अंतर पानी के अपने कारण है। धकेला गया 25.5 kg पानी छोटे बेलन के ऊपरी भाग के एक स्तंभ से आता है, जिसका केंद्र छोटे पिस्टन के आरंभिक स्तर से 24 cm नीचे है, और वह बड़े पिस्टन के नीचे एक परत बनकर समाप्त होता है, जिसका केंद्र उस पिस्टन के आरंभिक स्तर से 6 cm ऊपर है, जो 40 cm नीचे था। इसलिए उसका द्रव्यमान-केंद्र $0.40 - 0.24 - 0.06 = 0.10 m$ नीचे गिरता है और $25.5 \cdot 9.81 \cdot 0.10 \approx 25 J$ मुक्त करता है: द्रव को गिनने पर ऊर्जा संरक्षित रहती है। यहाँ संशोधन बल का 8.5 % तक पहुँचता है; वास्तविक जैक मेगापास्कल दाब पर काम करते हैं, जहाँ $ρ g Δ z$ के कुछ किलोपास्कल नगण्य हैं।

वैधता की सीमाएँ

ऊपर का हर परिणाम कुछ धारणाओं पर टिका है, और उनमें से हर एक कहीं न कहीं विफल हो जाती है।

पहली है अपरूपण की अनुपस्थिति, जो केवल स्थिर द्रव या ठोस पिंड की तरह गतिमान द्रव (जैसे लॉरी का पानी) पर लागू होती है। बहते द्रव में दाब चाल पर भी निर्भर करता है, और श्यानता अपरूपण-प्रतिबल वापस ले आती है।

दूसरी है स्थिर घनत्व। यह द्रवों पर बहुत अच्छी तरह लागू होता है: पानी प्रति वायुमंडल लगभग 0.005 % संपीड़ित होता है, और सबसे गहरी समुद्री खाई की तली पर भी, लगभग 11 km नीचे और लगभग 110 MPa दाब पर, वह केवल कुछ प्रतिशत अधिक घना होता है। गैस के लिए यह केवल उन ऊँचाइयों पर मान्य है जो पैमाना-ऊँचाई $H$ की तुलना में छोटी हों: 10 m के कमरे में वायु-दाब 0.12 % बदलता है, परंतु पर्वत-शृंखला के आर-पार घातांकी नियम की आवश्यकता होती है।

तीसरी है कि सतहें समतल हैं। जहाँ द्रव की सतह वक्र हो, वहाँ पृष्ठ-तनाव उसके आर-पार दाब में अचानक अंतर जोड़ता है। त्रिज्या $r = 0.5 mm$ की पानी से भरी काँच की नली में, पृष्ठ-तनाव $γ \approx 0.072 N/m$ वक्र सतह के ठीक नीचे के दाब को $2 γ / r$ , यानी लगभग 0.3 kPa, घटा देता है, जो पानी को नली में लगभग 3 cm ऊपर खींचने के लिए पर्याप्त है।

अंतिम है सतत माध्यम की धारणा स्वयं। एक सुचारु क्षेत्र $p (r)$ के लिए द्रव-अवयव उपकरण की तुलना में छोटे होने चाहिए, फिर भी उनमें बहुत-से अणु होने चाहिए। समुद्र तल पर एक वायु-अणु दो टकरावों के बीच लगभग 70 nm चलता है, इसलिए वहाँ यह आसान है; लगभग 120 km से ऊपर वह एक मीटर से अधिक चलता है, और सतत माध्यम का चित्र विफल हो जाता है।

इसके आगे

स्थिर द्रव में दाब कई अन्य पाठों का प्रारंभ-बिंदु है। डूबे पिंड पर इसका समाकलन उत्प्लावन और आर्किमिडीज़ के सिद्धांत का विषय है। बरनौली का सिद्धांत $p + ρ g z = const$ को $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ जोड़कर गतिमान द्रवों तक विस्तृत करता है, और यहीं से धारा की चाल $2 g h$ आती है; और कर्षण और सीमांत वेग वह अपरूपण वापस लाता है जो स्थिर द्रव में नहीं होता। $p = nk T$ का आणविक आधार गैसों का अणुगति सिद्धांत में निकाला गया है, संवहन चालन, संवहन और विकिरण में फिर आता है, और प्रेस का बल के बदले दूरी देने का व्यापार सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर में मिलता है। अंत में, ध्वनि दाब में एक छोटी और तेज़ लहर है, जो ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव का विषय है।

मुख्य सूत्र

दाब की परिभाषा

p = \frac{F}{A}

दाब प्रति इकाई क्षेत्रफल लंबवत बल है। यह एक अदिश राशि है: किसी बिंदु पर इसका मान सतह का अभिविन्यास चाहे जो हो, समान रहता है, और यह लगाया गया बल $F = p A$ सदैव सतह के लंबवत धकेलता है। छोटे क्षेत्रफल पर वही बल अधिक दाब देता है, इसीलिए चाकू काटता है और हिम-जूते आपको बर्फ़ के ऊपर टिकाए रखते हैं।

चिह्न
$p$	सतह पर दाब	$Pa$
$F$	सतह के लंबवत बल	$N$
$A$	सतह का क्षेत्रफल	$m^{2}$

कब लागू होता है: यह क्षेत्रफल पर औसत दाब देता है। जब दाब सतह पर बदलता है, जैसे बाँध पर, तो इसके बजाय $p d A$ का योग कीजिए; केवल सतह के लंबवत बल-घटक ही गिना जाता है।

उदाहरण: एनिमेशन में 52 cm व्यास वाले पिस्टन पर रखी 1000 kg की कार: $p = 9810/0.212 \approx 46 kPa$ ।

गहराई पर जलस्थैतिक दाब

p = ρ g h

क्षेत्रफल $A$ पर खड़े ऊँचाई $h$ के द्रव-स्तंभ का भार $ρ A h g$ है; उसे $A$ पर फैलाने पर वही भार गहराई $h$ पर अतिरिक्त दाब $ρ g h$ है। यह केवल गहराई पर निर्भर है, पात्र के आकार या माप पर नहीं। यह गेज दाब है, जो मुक्त पृष्ठ के दाब से ऊपर गिना जाता है।

चिह्न
$p$	गहराई $h$ पर गेज दाब	$Pa$
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$h$	मुक्त पृष्ठ के नीचे की गहराई	$m$

कब लागू होता है: स्थिर घनत्व वाले, विराम में पड़े द्रव के लिए, जो द्रवों पर बहुत अच्छी तरह लागू होता है। गैस में बड़ी ऊँचाइयों पर घनत्व बदलता है, और तब दाब घातांकी रूप से घटता है।

उदाहरण: एनिमेशन का सबसे निचला छेद, 55 cm नीचे: $p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.55 \approx 5.4 kPa$ ।

गहराई पर निरपेक्ष दाब

p = p_{0} + ρ g h

गहराई $h$ पर दाब मुक्त पृष्ठ पर दाब $p_{0}$ (सामान्यतः वायुमंडल का) और प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊपर के द्रव के भार का योग है। यह पृष्ठ से नीचे की ओर $d p / d z = - ρ g$ का समाकलन है, जिसका समाकलन-स्थिरांक $p_{0}$ है। गहराई के विरुद्ध आलेखित करने पर यह $p_{0}$ से शुरू होने वाली, ढलान $ρ g$ की एक सीधी रेखा है।

चिह्न
$p$	गहराई $h$ पर निरपेक्ष दाब	$Pa$
$p_{0}$	मुक्त पृष्ठ पर दाब	$Pa$
$ρ$	द्रव का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$h$	मुक्त पृष्ठ के नीचे की गहराई	$m$

कब लागू होता है: स्थिर घनत्व, स्थिर द्रव, और पृष्ठ तथा बिंदु के बीच द्रव का एक ही जुड़ा हुआ पिंड। यदि पृष्ठ बंद है, तो $p_{0}$ उस वस्तु का दाब है जो उस पर दबाव डालती है।

उदाहरण: झील में 20 m नीचे: $p = 101 + 196 = 297 kPa$ , लगभग तीन वायुमंडल।

हाइड्रोलिक प्रेस में बल का गुणन

F_{2} = \frac{F _{1} A _{2}}{A _{1}}

पास्कल के सिद्धांत से दोनों पिस्टनों के नीचे दाब समान है, $F_{1} / A_{1} = F_{2} / A_{2}$ , अतः निर्गत बल, निवेश बल को क्षेत्रफलों के अनुपात से गुणा करने पर मिलता है। वृत्ताकार पिस्टनों के लिए क्षेत्रफल-अनुपात व्यास-अनुपात का वर्ग होता है, इसलिए व्यास में दोगुने पिस्टन पर चार गुना बल मिलता है।

चिह्न
$F_{2}$	बड़े पिस्टन द्वारा लगाया गया बल	$N$
$F_{1}$	छोटे पिस्टन पर लगाया गया बल	$N$
$A_{2}$	बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$A_{1}$	छोटे पिस्टन का क्षेत्रफल	$m^{2}$

कब लागू होता है: आदर्श प्रेस के लिए: पिस्टन एक ही ऊँचाई पर हों (अन्यथा दाब $ρ g Δ h$ से भिन्न होंगे), कोई घर्षण न हो, कोई रिसाव न हो और गति धीमी हो।

उदाहरण: एनिमेशन में $A_{2} = 4 A_{1}$ है, इसलिए छोटे पिस्टन पर 2.45 kN कार के 9.81 kN को उठाए रखता है।

पिस्टनों द्वारा बुहारे गए समान आयतन

A_{1} d_{1} = A_{2} d_{2}

दाब के अंतर्गत द्रव का आयतन लगभग नहीं बदलता, इसलिए पतले बेलन से बाहर धकेला गया आयतन, $A_{1} d_{1}$ , चौड़े पिस्टन के नीचे $A_{2} d_{2}$ के रूप में फिर प्रकट होना चाहिए। अतः बड़ा पिस्टन छोटे पिस्टन की यात्रा का केवल $A_{1} / A_{2}$ भाग ही चलता है।

चिह्न
$A_{1}$	छोटे पिस्टन का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$d_{1}$	छोटे पिस्टन द्वारा तय की गई दूरी	$m$
$A_{2}$	बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$d_{2}$	बड़े पिस्टन द्वारा तय की गई दूरी	$m$

कब लागू होता है: असंपीड्य द्रव, कठोर दीवारों और बिना रिसाव के लिए। फँसे हुए वायु-बुलबुले संपीड़ित होकर इसे बिगाड़ देते हैं, इसीलिए हाइड्रोलिक ब्रेकों से हवा निकालनी (ब्लीड) पड़ती है।

उदाहरण: एनिमेशन में $d_{1} = 48 cm$ और $A_{2} = 4 A_{1}$ से $d_{2} = 12 cm$ मिलता है।

आदर्श प्रेस में कार्य-संतुलन

F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}

बल-अनुपात को समान आयतनों के साथ मिलाने पर, छोटे पिस्टन पर किया गया कार्य बड़े पिस्टन द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है। प्रेस बल को और दूरी को उसी अनुपात में गुणित और विभाजित करता है, इसलिए वह कभी ऊर्जा नहीं बनाता; प्रत्येक कार्य दाब गुणा बुहारा गया आयतन है, $W = Δ p V$ ।

चिह्न
$F_{1}$	छोटे पिस्टन पर लगाया गया बल	$N$
$d_{1}$	छोटे पिस्टन द्वारा तय की गई दूरी	$m$
$F_{2}$	बड़े पिस्टन द्वारा लगाया गया बल	$N$
$d_{2}$	बड़े पिस्टन द्वारा तय की गई दूरी	$m$

कब लागू होता है: केवल आदर्श प्रेस के लिए। घर्षण निवेशित कार्य को निर्गत कार्य से बड़ा कर देता है, और जब पिस्टन अलग-अलग ऊँचाई पर हों तो द्रव का भार एक छोटा संशोधन जोड़ता है।

उदाहरण: एनिमेशन में $2452.5 \cdot 0.48 \approx 9810 \cdot 0.12 \approx 1177 J$ , वे मान जो $W_{1}$ और $W_{2}$ के पाठ्यांक स्ट्रोक के अंत में छूते हैं।

जलस्थैतिकी का समीकरण

\frac{d p}{d z} = - ρ g

मोटाई $d z$ वाली द्रव की एक पतली क्षैतिज परत को उसके निचले और ऊपरी फलकों के दाबों का अंतर थामे रखता है, जो प्रति इकाई क्षेत्रफल उसके भार $ρ g d z$ के बराबर होना चाहिए। $z$ ऊपर की ओर मापने पर दाब ऊँचाई के साथ घटता है। यह $\nabla p = ρ g$ का ऊर्ध्वाधर घटक है, और $p = p_{0} + ρ g h$ के विपरीत, यह तब भी मान्य रहता है जब घनत्व ऊँचाई के साथ बदलता है।

चिह्न
$p$	ऊँचाई $z$ पर दाब	$Pa$
$z$	ऊँचाई, ऊपर की ओर मापी गई	$m$
$ρ$	द्रव का स्थानीय घनत्व	$kg/ m^{3}$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: गुरुत्व के अधीन कोई भी स्थिर द्रव, जिसमें बदलते घनत्व वाली गैस भी शामिल है; इसे $ρ (z)$ के साथ समाकलित कीजिए, या $ρ$ को $p$ के फलन के रूप में लिखकर। त्वरित पात्र में $g - a$ , $g$ का स्थान लेता है।

उदाहरण: समुद्र तल पर वायु, $ρ \approx 1.2 kg/ m^{3}$ : दाब लगभग 12 Pa प्रति मीटर घटता है, 100 m ऊँचे टावर पर 1.2 kPa।

शब्दावली

तरल: ऐसा पदार्थ जो बहता है और स्थिर होने पर अपरूपण का विरोध नहीं कर सकता: द्रव और गैसें। द्रव अपना आयतन बनाए रखता है और उसकी मुक्त सतह होती है; गैस अपने पात्र को भर देती है और आसानी से संपीड़ित होती है।
दाब: द्रव किसी सतह पर प्रति इकाई क्षेत्रफल जो लंबवत बल लगाता है, $p = F / A$ । यह अदिश राशि है: स्थिर द्रव के किसी बिंदु पर यह सभी दिशाओं में समान होता है, और केवल इससे उत्पन्न बल की एक दिशा होती है, जो सतह के लंबवत है।
वायुमंडलीय दाब: पृथ्वी की सतह पर वायु का दाब, समुद्र तल पर लगभग 101 kPa: हर वर्ग मीटर के ऊपर लगभग 10 टन वायु का भार। एकसमान 288 K की वायु में यह लगभग हर 8.4 km पर $e$ के गुणक से घटता है।
गेज दाब: वायुमंडलीय दाब से ऊपर मापा गया दाब, $p - p_{0}$ : वह जो टायर गेज या एनिमेशन का ग्राफ दिखाता है। निरपेक्ष दाब इसके बजाय निर्वात से गिना जाता है; झील में 20 m नीचे गेज दाब 196 kPa और निरपेक्ष दाब 297 kPa है।
जलस्थैतिक दाब: स्थिर द्रव में ऊपर के द्रव के भार से उत्पन्न दाब, गहराई $h$ पर $ρ g h$ । पानी में यह प्रति मीटर 9.81 kPa बढ़ता है, इसलिए 10 m पानी लगभग एक वायुमंडल जोड़ता है।
जलस्थैतिक विरोधाभास: पात्र की तली का दाब केवल द्रव की गहराई पर निर्भर करता है, न कि उसकी मात्रा या पात्र के आकार पर। एक ही ऊँचाई तक भरी पतली नली और चौड़ी टंकी अपनी तलियों के समान क्षेत्रफलों पर समान ज़ोर से दबाती हैं।
जुड़े हुए पात्र: ऐसे पात्र जो द्रव की सतह के नीचे आपस में जुड़े हों। स्थिर द्रव उनमें से सभी में एक ही स्तर पर रहता है, चाहे उनके आकार कुछ भी हों, क्योंकि जुड़े हुए द्रव के एक स्तर के बिंदुओं का दाब समान होता है।
पास्कल का सिद्धांत: स्थिर बंद द्रव पर लगाया गया दाब-परिवर्तन द्रव के हर बिंदु और उसके पात्र की दीवारों तक बिना किसी कमी के पहुँचता है। यह इसलिए मान्य है क्योंकि द्रव का भार केवल दाबों के अंतर तय करता है, उनका सामान्य स्तर नहीं।
हाइड्रोलिक प्रेस: भिन्न क्षेत्रफल वाले दो जुड़े हुए बेलन, जो पिस्टनों से बंद हैं। दोनों के नीचे समान दाब से $F_{2} = F_{1} A_{2} / A_{1}$ मिलता है, जबकि बड़ा पिस्टन छोटे पिस्टन का केवल $A_{1} / A_{2}$ गुना चलता है, इसलिए लगाया गया कार्य निकाले गए कार्य के बराबर होता है।
असंपीड्य द्रव: ऐसा द्रव जिसका घनत्व दाब के साथ नहीं बदलता। द्रव इसके निकट हैं: पानी प्रति अतिरिक्त वायुमंडल केवल लगभग 0.005 % सिकुड़ता है, इसलिए हाइड्रोलिक नली लगभग बिना ढील के धक्का आगे पहुँचाती है।
समदाब पृष्ठ: ऐसा पृष्ठ जिस पर दाब हर जगह एक ही मान रखता है। स्थिर द्रव में समदाब पृष्ठ समान गुरुत्वीय विभव के पृष्ठ होते हैं, अतः क्षैतिज होते हैं, और मुक्त पृष्ठ उनमें से एक है।
संवहन: घनत्व के अंतर से प्रेरित द्रव की गति, जैसे रेडिएटर के ऊपर उठती गर्म वायु। यह तब शुरू होता है जब घनत्व किसी क्षैतिज स्तर के साथ बदलता है, क्योंकि तब कोई भी दाब-क्षेत्र गुरुत्व को संतुलित नहीं कर सकता और द्रव स्थिर नहीं रह सकता।

राशियाँ
$p$	दाब	$Pa$	द्रव में किसी बिंदु पर प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लंबवत बल $F$ , $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ । संदर्भ के अनुसार यह निरपेक्ष (निर्वात से गिना) या गेज (वायुमंडल से गिना) हो सकता है।
$p_{0}$	पृष्ठ दाब	$Pa$	द्रव की मुक्त सतह पर कार्य करने वाला दाब, सामान्यतः वायुमंडल का, लगभग 101 kPa: वह बिंदु जहाँ गहराई के विरुद्ध दाब की रेखा शुरू होती है।
$ρ$	घनत्व	$kg/ m^{3}$	द्रव के प्रति इकाई आयतन का द्रव्यमान: ताज़े पानी के लिए 1000 kg/m³, समुद्री जल के लिए लगभग 1025 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और समुद्र तल पर वायु के लिए 1.2 kg/m³।
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$	पृथ्वी की सतह के निकट लगभग $9.81 m/ s^{2}$ । यह प्रति इकाई द्रव्यमान भार भी है, 9.81 N/kg, और इसी रूप में यह $ρ g h$ में आता है।
$h$	गहराई	$m$	मुक्त पृष्ठ के नीचे की ऊर्ध्वाधर दूरी, नीचे की ओर मापी गई। जलस्थैतिक दाब केवल यही दूरी तय करती है, पात्र का आकार नहीं।
$z$	ऊँचाई	$m$	किसी चुने हुए स्तर से ऊपर की ओर मापा गया ऊर्ध्वाधर निर्देशांक। ऊँचाई $z_{s}$ वाली सतह के नीचे गहराई $h = z_{s} - z$ है, और इसीलिए $d p / d z$ ऋणात्मक है।
$F_{1}$	निवेश बल	$N$	प्रेस के छोटे पिस्टन (क्षेत्रफल $A_{1}$ ) पर लगाया गया बल: एनिमेशन में 2.45 kN।
$F_{2}$	निर्गत बल	$N$	बड़े पिस्टन (क्षेत्रफल $A_{2}$ ) द्वारा लगाया गया बल, निवेश बल का $A_{2} / A_{1}$ गुना: एनिमेशन में 9.81 kN, यानी 1000 kg की कार का भार।
$d_{1}$	छोटे पिस्टन की यात्रा	$m$	छोटे पिस्टन को कितनी दूर धकेला जाता है: एनिमेशन में 48 cm।
$d_{2}$	बड़े पिस्टन की यात्रा	$m$	बड़ा पिस्टन और उसका भार कितनी दूर ऊपर उठते हैं, $d_{1} A_{1} / A_{2}$ : एनिमेशन में 12 cm।

क्विज़

शुरुआती स्विमिंग पूल में पानी का दाब सबसे अधिक कहाँ होता है?
1. सतह पर
2. बीच की गहराई पर
3. तली पर
4. हर जगह समान
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उत्तर: C. तली पर
दाब गहराई के साथ बढ़ता है, क्योंकि ऊपर से अधिक पानी दबाता है; इसलिए तली पर दाब सबसे अधिक होता है।
शुरुआती पानी से भरी एक टंकी की एक तरफ़ की दीवार में अलग-अलग ऊँचाइयों पर तीन छेद बने हैं। पानी सबसे तेज़ किस छेद से निकलता है?
1. सबसे ऊँचे छेद से
2. बीच वाले छेद से
3. तीनों से बराबर
4. सबसे निचले छेद से
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उत्तर: D. सबसे निचले छेद से
सबसे निचला छेद सबसे गहरा है, जहाँ पानी सबसे ज़ोर से दबता है, इसलिए पानी वहीं से सबसे तेज़ निकलता है।
शुरुआती हाइड्रोलिक जैक में बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल छोटे पिस्टन के क्षेत्रफल का 10 गुना है। छोटे पिस्टन पर धक्का देने पर बड़ा पिस्टन किस बल से धकेलेगा?
1. उतना ही बल
2. 10 गुना कम बल
3. 10 गुना अधिक बल
4. 100 गुना अधिक बल
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उत्तर: C. 10 गुना अधिक बल
दोनों पिस्टनों के नीचे दाब समान है, इसलिए बल क्षेत्रफल के अनुपात में बढ़ता है: 10 गुना क्षेत्रफल, 10 गुना बल।
मध्यम झील की सतह के 20 m नीचे गेज दाब कितना है? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9.81 m/s²)
1. 20 kPa
2. 101 kPa
3. 297 kPa
4. 196 kPa
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उत्तर: D. 196 kPa
p = ρ·g·h = 1000 × 9.81 × 20 = 196 200 Pa ≈ 196 kPa। वायुमंडल के 101 kPa को जोड़ने पर निरपेक्ष दाब 297 kPa मिलेगा।
मध्यम एक पतली नली और एक चौड़ी टंकी एक ही ऊँचाई तक पानी से भरी हैं। उनकी तली पर दाब…
1. चौड़ी टंकी में अधिक
2. पतली नली में अधिक
3. दोनों में समान
4. पतली नली में शून्य
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उत्तर: C. दोनों में समान
जलस्थैतिक दाब केवल गहराई पर निर्भर करता है: p = ρ·g·h। पानी की मात्रा और पात्र का आकार मायने नहीं रखते।
मध्यम एक प्रेस के वृत्ताकार पिस्टनों के व्यास 2 cm और 10 cm हैं। छोटे पिस्टन पर 100 N बल लगाने से बड़े पिस्टन पर उत्पन्न बल होगा…
1. 500 N
2. 2500 N
3. 1000 N
4. 100 N
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उत्तर: B. 2500 N
क्षेत्रफल का अनुपात व्यास के अनुपात का वर्ग है: (10 ÷ 2)² = 25, इसलिए F₂ = 25 × 100 N = 2500 N। केवल व्यास के अनुपात का उपयोग करने पर गलत 500 N मिलता है।
उन्नत A₂ = 4·A₁ वाले हाइड्रोलिक प्रेस में छोटे पिस्टन को 40 cm नीचे धकेला जाता है। बड़ा पिस्टन कितना ऊपर उठेगा, और कार्यों की तुलना कैसे होगी?
1. 10 cm, और W₂ = W₁
2. 40 cm, और W₂ = 4·W₁
3. 10 cm, और W₂ = 4·W₁
4. 160 cm, और W₂ = W₁
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उत्तर: A. 10 cm, और W₂ = W₁
द्रव असंपीड्य है, इसलिए A₁·d₁ = A₂·d₂ से d₂ = 10 cm मिलता है। तब F₂·d₂ = 4·F₁ × d₁/4 = F₁·d₁: प्रेस कार्य संरक्षित रखता है।
उन्नत झील में गहराई h के विरुद्ध निरपेक्ष दाब p के ग्राफ पर रेखा…
1. मूल बिंदु से गुज़रती है, ढलान ρ·g
2. ढलान ρ·g और अंतःखंड p₀ ≈ 101 kPa
3. ढलान g/ρ और अंतःखंड p₀
4. गहराई के साथ मुड़कर समतल हो जाती है
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उत्तर: B. ढलान ρ·g और अंतःखंड p₀ ≈ 101 kPa
असंपीड्य पानी के लिए dp/dz = −ρ·g का समाकलन p = p₀ + ρ·g·h देता है: वायुमंडलीय दाब से शुरू होने वाली, ढलान ρ·g की सीधी रेखा। केवल गेज दाब मूल बिंदु से गुज़रता है।

$\overset{n}{^}$	तिरछे फलक के लंबवत इकाई सदिश, फाँक के बाहर की ओर।
$p_{x}$	$x$ के लंबवत फलक पर दाब।	$Pa$
$p_{z}$	$z$ के लंबवत फलक पर दाब।	$Pa$
$p_{n}$	तिरछे फलक पर दाब।	$Pa$
$d A$	तिरछे फलक का क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$n_{x} d A$	$x$ के लंबवत फलक का क्षेत्रफल: तिरछे फलक का उस पर प्रक्षेप, जहाँ $n_{x}$ , $\overset{n}{^}$ का $x$ -घटक है।	$m^{2}$
$n_{z} d A$	$z$ के लंबवत फलक का क्षेत्रफल: तिरछे फलक का उस पर प्रक्षेप, जहाँ $n_{z}$ , $\overset{n}{^}$ का $z$ -घटक है।	$m^{2}$
$x$	क्षैतिज निर्देशांक अक्ष।	$m$
$z$	ऊर्ध्वाधर निर्देशांक अक्ष, ऊपर की ओर।	$m$

$d x$	$x$ के अनुदिश खंड की चौड़ाई।	$m$
$d z$	खंड की ऊँचाई।	$m$
$p (z)$	नीचे के फलक पर दाब, ऊँचाई $z$ पर; यह ऊपर की ओर धकेलता है।	$Pa$
$p (z + d z)$	ऊपरी फलक पर दाब, ऊँचाई $z + d z$ पर; यह नीचे की ओर धकेलता है और दोनों में छोटा है।	$Pa$
$p$	हर बग़ली फलक पर दाब; दोनों पर समान, क्योंकि वे एक ही ऊँचाई पर हैं।	$Pa$
$ρ g d V$	खंड का भार: घनत्व $ρ$ गुणा $g$ गुणा उसका आयतन $d V = d x d y d z$ ।	$N$
$x$	क्षैतिज निर्देशांक अक्ष।	$m$
$z$	ऊँचाई, ऊपर की ओर मापी गई।	$m$

$a$	लॉरी और उसकी टंकी का त्वरण; $g - a$ बनाने के लिए इसे उलटा, $- a$ के रूप में, भी खींचा जाता है।	$m/ s^{2}$
$g$	गुरुत्वीय त्वरण, नीचे की ओर।	$m/ s^{2}$
$g - a$	टंकी के निर्देश-तंत्र में प्रभावी गुरुत्व; दाब इसी के अनुदिश बढ़ता है।	$m/ s^{2}$
$θ$	क्षैतिज से मुक्त पृष्ठ का झुकाव, जो $g$ और $g - a$ के बीच के कोण के बराबर है; $tan θ = a / g$ ।	$rad$

$A_{1}$	छोटे पिस्टन का क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$A_{2}$	बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल, $A_{1}$ का चार गुना।	$m^{2}$
$F_{1}$	हाथ द्वारा छोटे पिस्टन पर लगाया गया बल।	$N$
$F_{2}$	द्रव द्वारा बड़े पिस्टन पर लगाया गया बल, जो कार के भार के बराबर है।	$N$
$p_{1}$	छोटे पिस्टन के नीचे द्रव का दाब।	$Pa$
$p_{2}$	बड़े पिस्टन के नीचे द्रव का दाब, $F_{2} / A_{2}$ ।	$Pa$
$z_{1}$	छोटे पिस्टन के तल की ऊँचाई।	$m$
$z_{2}$	बड़े पिस्टन के तल की ऊँचाई।	$m$
$z_{1} - z_{2}$	छोटे पिस्टन का तल कितना ऊपर है; उसके नीचे का दाब $ρ g (z_{1} - z_{2})$ कम है।	$m$