Théorème de Bernoulli

Débutant

Construisons l'idée de Bernoulli pas à pas.

Étape 1 : tout ce qui entre doit sortir. L'eau ne peut pas s'entasser dans un tuyau plein : à chaque seconde, la même quantité d'eau doit passer en chaque point. Là où le tuyau se rétrécit, l'eau doit se dépêcher. C'est pour cela que l'eau jaillit plus vite quand on pince le bout d'un tuyau d'arrosage.

Étape 2 : la pression est une poussée. Elle indique avec quelle force l'eau pousse sur chaque morceau de surface qu'elle touche. Un fin tube de verre dressé sur le tuyau la rend visible : plus la poussée est forte, plus l'eau monte haut dans le tube.

Étape 3 : pour accélérer, il faut être poussé par derrière. Une portion d'eau qui entre dans la partie étroite accélère, donc quelque chose la pousse vers l'avant. Cette poussée vient de l'eau située derrière elle : la pression derrière (dans la partie large) doit être plus forte que la pression devant (dans la partie étroite). Eau rapide, pression basse ; eau lente, pression haute. On peut aussi y voir un échange : l'eau gagne de l'énergie de mouvement et la paie avec de la pression.

Dans l'animation, les points blancs sont de petites portions d'eau. Suivez le point rouge : il s'éloigne de ses voisins, traverse à toute vitesse l'étranglement, puis ralentit. La colonne d'eau au-dessus de l'étranglement est la plus basse.

Vérifiez-vous : deux bateaux qui avancent vite côte à côte, tout près l'un de l'autre, ont tendance à se rapprocher. Pourquoi ? (Réponse : l'eau resserrée entre eux s'écoule plus vite que l'eau à l'extérieur, sa pression est donc plus basse, et la pression plus forte sur les flancs extérieurs pousse les bateaux l'un vers l'autre.)

Intermédiaire

Ce qui s'écoule, et ce que l'on mesure

Cette leçon étudie un écoulement permanent d'un liquide ou d'un gaz : la vitesse en chaque point fixe ne change jamais, bien que le fluide continue de le traverser, et chaque particule de fluide suit une ligne fixe appelée ligne de courant. L'eau est traitée comme un fluide parfait, incompressible, de masse volumique constante $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$, et sans frottement, ce qui est un bon modèle pour un tuyau court et lisse.

Quatre grandeurs décrivent un écoulement dans un tuyau : la vitesse d'écoulement $v$ (m/s), moyennée sur la section ; l'aire $A$ de la section (m²), avec $A=\pi d^2/4$ pour un tuyau circulaire de diamètre $d$ ; le débit volumique $Q$ (m³/s), le volume qui traverse une section chaque seconde ; et la pression $p$, la poussée de l'eau sur chaque mètre carré de la paroi, en pascals ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$).

Un fin tube vertical branché sur le tuyau, un tube piézométrique, traduit la pression en hauteur : l'eau y monte jusqu'à ce que le poids de sa colonne équilibre la pression en dessous, $p=\rho gh$. Toutes les pressions considérées ici sont des pressions relatives, mesurées au-dessus des 101 kPa de l'atmosphère, qui s'éliminent dans chaque différence.

Continuité : ce qui entre doit sortir

Pendant une durée $\Delta t$, l'eau qui traverse une section avance de $v\Delta t$ et remplit un cylindre de volume $Av\Delta t$. En divisant par la durée, on obtient le débit :
$Q=Av$

L'eau ne peut ni s'accumuler dans un tuyau plein ni en disparaître : le même débit $Q$ doit donc traverser chaque section, large ou étroite :
$A_1{v}_1=A_2{v}_2$

La vitesse est donc inversement proportionnelle à l'aire. Comme l'aire d'un tuyau circulaire croît comme le carré de son diamètre, diviser le diamètre par deux divise l'aire par 4 et rend l'eau quatre fois plus rapide, et non deux fois.

Équation de Bernoulli : échanger pression et vitesse

Une particule qui entre dans un rétrécissement accélère : une force nette doit donc la pousser vers l'avant. Dans un tuyau horizontal, cette force ne peut venir que de la pression de l'eau environnante ; la pression derrière la particule doit donc être plus forte que la pression devant elle : un écoulement rapide s'accompagne d'une basse pression.

L'énergie rend cela exact : le travail des forces de pression sur une particule qui passe d'une haute à une basse pression devient de l'énergie cinétique, ou potentielle si la particule monte. Par unité de volume, ces énergies valent $p$, $\frac{1}{2}\rho v^2$ et $\rho gh$, toutes en pascals ($1\mathrm{Pa}=1J/{\mathrm{m}}^3$), et le long d'une ligne de courant leur somme reste la même :
$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\mathrm{const}$

Dans un tuyau horizontal, les termes de hauteur s'éliminent : la chute de pression est égale au gain d'énergie cinétique par unité de volume. Deux tubes piézométriques la traduisent en différence de hauteurs :
$p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)$
$\Delta h=\frac{p_1-p_2}{\rho g}$

La hauteur compte aussi. Dans un tuyau uniforme qui monte de 10 m, la vitesse ne peut pas changer : la pression baisse donc de $\rho gh=1000\cdot 9,81\cdot 10\approx 98\mathrm{kPa}$, presque une atmosphère, ce qui explique pourquoi les grands immeubles ont besoin de pompes.

Exemple résolu : le tube de Venturi de l'animation

À l'échelle de l'animation, la même pour le tuyau et pour les colonnes, le rayon du tuyau vaut 24 cm à l'entrée et 13 cm dans le col, et l'eau entre à $v_1=1,0m/s$ sous une pression relative de 7,85 kPa, qui maintient la première colonne à 0,80 m au-dessus de l'axe.

La conservation du débit, l'équation de Bernoulli et la règle du tube piézométrique donnent :
$v_2=v_1\frac{A_1}{A_2}=1,0\cdot {\left(\frac{24}{13}\right)}^2\approx 3,41m/s$
$p_1-p_2=\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot (3,41^2-1,0^2)\approx 5,31\mathrm{kPa}$
$\Delta h=\frac{5310}{1000\cdot 9,81}\approx 0,541\mathrm{m}$

La pression dans le col vaut $7,85-5,31=2,54\mathrm{kPa}$ : sa colonne ne monte donc qu'à 0,26 m au-dessus de l'axe. Ce sont les nombres de l'animation : les étiquettes $v_1=1,0m/s$ et $v_2=3,4m/s$, la flèche violette $\Delta h$ sous le niveau d'entrée en pointillés, et les valeurs affichées, où $v$ passe de 1,00 à 3,41 m/s tandis que $p$ tombe de 7,85 à 2,54 kPa quand la particule rouge entre dans le col et que sa flèche de vitesse bleue devient 3,41 fois plus longue.

Après le col, tout se déroule en sens inverse, et dans ce fluide parfait la dernière colonne remonte à 0,80 m. Le débit, $Q=\pi \cdot 0,24^2\cdot 1,0\approx 0,181{\mathrm{m}}^3/s$, soit 181 litres par seconde, est le même dans le col : $\pi \cdot 0,13^2\cdot 3,41\approx 0,181{\mathrm{m}}^3/s$.

Exemple résolu : lire un débitmètre de Venturi

Un débitmètre de Venturi est un tube de ce genre intégré à une canalisation pour en mesurer le débit. Supposons qu'une conduite d'eau de 12 cm de diamètre se rétrécisse en un col de 6 cm, et que les colonnes au-dessus des deux sections diffèrent de 30 cm. À quelle vitesse l'eau s'écoule-t-elle, et quel volume passe chaque seconde ?

La chute de pression vaut $\rho g\Delta h=1000\cdot 9,81\cdot 0,30\approx 2,94\mathrm{kPa}$. Diviser le diamètre par deux divise l'aire par quatre, donc $v_2=4v_1$, et l'équation de Bernoulli devient $\rho g\Delta h=\frac{1}{2}\rho (16-1)v_1^2$. La masse volumique s'élimine et, en général,
$v_1=\sqrt{\frac{2g\Delta h}{(A_1/A_2{)}^2-1}}=\sqrt{\frac{2\cdot 9,81\cdot 0,30}{15}}\approx 0,63m/s$

On en déduit $v_2=4\cdot 0,63\approx 2,5m/s$ et $Q=\pi \cdot 0,06^2\cdot 0,63\approx 7,1\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3/s$, soit environ 7 litres par seconde. Avec les 0,541 m de l'animation et son rapport d'aires de 3,41, la même formule redonne ses 1,0 m/s. Notez que $\Delta h$ croît comme le carré du débit : un débit double donnerait 1,20 m, si bien que chaque débitmètre ne convient qu'à une plage de débits limitée.

Lire les colonnes et les points

Le sommet de chaque colonne se trouve à $p/(\rho g)$ au-dessus de l'axe, hauteur appelée charge de pression. Ajoutez la charge de vitesse $v^2/(2g)$, soit 0,05 m à l'entrée et 0,59 m dans le col, et chaque section atteint la même charge totale, 0,85 m : c'est l'équation de Bernoulli divisée par $\rho g$. Dans les canalisations réelles, le frottement fait descendre ce niveau d'amont en aval.

Les points blancs entrent à cadence régulière : l'écart entre deux voisins d'une même rangée est donc la vitesse multipliée par une durée fixe. Dans le col, les écarts deviennent 3,41 fois plus grands et les trois rangées se resserrent, car les lignes de courant se serrent là où l'écoulement est rapide.

Erreurs fréquentes

• La basse pression du col n'aspire pas l'eau. L'eau est poussée par l'arrière, par 7,85 kPa à l'entrée contre 2,54 kPa dans le col.
• Élevez les vitesses au carré avant de les soustraire : pour l'animation, $\frac{1}{2}\rho (v_2-v_1{)}^2$ donne 2,90 kPa au lieu des 5,31 kPa corrects.
• Un rétrécissement n'augmente pas la pression qui y règne. Un pouce sur un tuyau d'arrosage augmente la pression en amont en freinant l'écoulement, mais, pour un débit donné dans un tuyau horizontal, la section la plus étroite a la pression la plus basse.
• La pression ne s'use pas dans le col. Dans un fluide parfait, elle se rétablit entièrement, si bien que la dernière colonne revient à 0,80 m ; dans un vrai tuyau, le frottement la laisse plusieurs centimètres plus bas.

Où on le rencontre

Les débitmètres de Venturi mesurent des débits d'eau, de carburant et de gaz. Les carburateurs et les vaporisateurs de parfum utilisent la basse pression d'un jet d'air rapide pour faire monter un liquide dans un tube, et une trompe à eau de laboratoire aspire l'air d'un flacon de la même manière. Un tube de Pitot d'avion compare la pression de l'air ramené au repos à la pression statique pour trouver la vitesse de l'avion par rapport à l'air, et deux bateaux qui naviguent côte à côte, tout près l'un de l'autre, sont poussés l'un vers l'autre par l'eau plus rapide qui passe entre eux.

La leçon s'appuie sur Pression dans les fluides et principe de Pascal, pour les colonnes, et sur Travail, énergie et puissance, pour la conservation de l'énergie. Le frottement qu'elle néglige, la viscosité, est le sujet de Traînée et vitesse limite.

Avancé

Lignes et tubes de courant, particule en mouvement

Cette partie installe le vocabulaire des écoulements et s'en sert pour répondre à une première question : pourquoi l'eau accélère-t-elle dans un tuyau qui se rétrécit, et quelle est son accélération ? L'exemple suivi tout du long est le tube de Venturi de l'animation. De l'eau de masse volumique $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$ entre à 1,0 m/s dans un large tuyau de 24 cm de rayon, avec une pression relative (l'excès de pression sur la pression atmosphérique) de 7,85 kPa, de quoi soutenir une colonne d'eau de 0,80 m de haut. Elle traverse ensuite un col de 13 cm de rayon, puis le tuyau s'élargit de nouveau.

Un écoulement se décrit par son champ de vitesse $\vec{v}(\vec{r},t)$ : la vitesse du fluide qui se trouve au point $\vec{r}$ à l'instant $t$. L'écoulement est permanent quand ce champ ne varie dans le temps en aucun point fixe, $\partial \vec{v}/\partial t=0$. Une ligne de courant est une ligne tangente à $\vec{v}$ en chacun de ses points. Dans un écoulement permanent, les lignes de courant restent fixes, et chaque petite particule de fluide en suit une.

Légende

$A_1$	Section du tube de courant en 1, là où il est large.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Section du même tube en 2, là où il est étroit.	${\mathrm{m}}^2$
$v_1$	Vitesse du fluide à travers la section 1.	$m/s$
$v_2$	Vitesse à travers la section 2 : plus grande, puisque $A_2{v}_2=A_1{v}_1$.	$m/s$
$\vec{v}$	Vitesse en un point de la paroi, elle-même ligne de courant : tangente à la paroi en ce point.	$m/s$

La figure 1 montre un tuyau qui se rétrécit. Les fines lignes bleues sont des lignes de courant, et la vitesse en chaque point est tangente à la ligne de courant qui y passe. La paroi est elle aussi une ligne de courant, puisque aucun fluide ne la traverse : la flèche $\vec{v}$, au point marqué sur la paroi, est dirigée le long de celle-ci. Les deux lignes plus épaisses délimitent un tube de courant, un faisceau de lignes de courant voisines. Comme aucun fluide ne traverse une ligne de courant, aucun ne traverse non plus la paroi latérale du tube : tout ce qui y entre par la section 1, d'aire $A_1$, doit en sortir par la section 2, d'aire $A_2$.

Pour un liquide, la masse volumique est constante : le volume qui entre chaque seconde doit donc égaler celui qui sort chaque seconde. Ce débit volumique vaut $Q=Av$, où $v$ est la vitesse moyenne sur la section, donc
$A_1{v}_1=A_2{v}_2$
Comme $A_2$ est plus petite que $A_1$, la vitesse $v_2$ est plus grande que $v_1$, dans le rapport $A_1/A_2$. Regardez les lignes de courant de la figure 1 : elles se resserrent là où le tube est étroit. Entre deux lignes voisines passe le même débit, si bien que leur écartement donne une image de la vitesse : lignes serrées, fluide rapide. Les deux flèches $v_1$ et $v_2$ sont dessinées dans le rapport $A_1/A_2$. Dans l'animation, $A_1/A_2=(24/13{)}^2\approx 3,41$ : l'eau atteint donc 3,41 m/s dans le col. La forme locale de cette loi est $\nabla \cdot \vec{v}=0$ : un fluide de masse volumique constante ne peut nulle part ni s'accumuler ni se raréfier.

Permanent ne veut pas dire sans accélération. Le champ de l'animation ne change jamais, et pourtant la particule rouge accélère de 1,0 à 3,41 m/s, parce qu'elle entre dans une région où le champ est plus rapide. Le taux de variation de la vitesse propre de la particule est la dérivée matérielle :
$\frac{D\vec{v}}{Dt}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$
Le premier terme est la variation du champ en un point fixe ; il est nul dans un écoulement permanent. Le second, le terme convectif, est la variation que la particule rencontre parce qu'elle se déplace : pendant la durée $dt$, elle parcourt $\vec{v}dt$ jusqu'à un endroit où le champ est différent. Sur l'axe du tuyau, la vitesse est dirigée selon l'axe, appelons-le $x$, et le terme convectif se réduit à $vdv/dx$. Dans l'animation, il atteint environ 25 m/s², soit quelque $2,5g$, vers la fin du rétrécissement, et l'élargissement freine la particule jusqu'à 21 m/s².

Bilan d'énergie sur un tube de courant

Pourquoi un fluide plus rapide serait-il à plus basse pression ? Pour accélérer, une particule a besoin d'une force nette vers l'avant, et dans un tuyau horizontal seule la pression peut la fournir : la pression derrière la particule doit dépasser la pression devant elle. Cette partie transforme cette idée en un bilan d'énergie exact, l'équation de Bernoulli.

Légende

$p_1{A}_1$	Force avec laquelle le fluide situé derrière pousse la tranche entrante vers l'avant : pression multipliée par aire.	$\mathrm{N}$
$p_2{A}_2$	Force avec laquelle le fluide situé devant repousse la tranche sortante.	$\mathrm{N}$
$v_{1}dt$	Longueur de la tranche entrante : la distance parcourue par le fluide pendant $dt$ à la section 1.	$\mathrm{m}$
$v_{2}dt$	Longueur de la tranche sortante, plus grande puisque $v_2>v_1$.	$\mathrm{m}$
$dV$	Volume de chaque tranche, le même aux deux sections.	${\mathrm{m}}^3$
$h_1$	Hauteur de l'axe du tube à la section 1 au-dessus d'un niveau de référence.	$\mathrm{m}$
$h_2$	Hauteur de l'axe du tube à la section 2 au-dessus du même niveau.	$\mathrm{m}$

La figure 2 montre un tube de courant qui se rétrécit et qui monte, de la section 1, à la hauteur $h_1$, jusqu'à la section 2, à la hauteur $h_2$, toutes deux mesurées jusqu'à l'axe du tube. Suivez le fluide du tube pendant une courte durée $dt$. À la section 1 entre une tranche de longueur $v_{1}dt$, de masse $dM=\rho A_1{v}_{1}dt$ et de volume $dV=dM/\rho$. À la section 2 sort une tranche de longueur $v_{2}dt$. Par conservation du débit, elle a la même masse et le même volume ; c'est donc la plus longue des deux, puisque le tube y est plus mince.

Entre les deux tranches, rien n'a changé : l'écoulement est permanent, donc chaque point contient toujours du fluide animé de la même vitesse qu'avant. Le bilan de la durée $dt$ revient donc à ceci : la tranche $dV$ a été prise à la section 1 et déposée à la section 2, avec la vitesse et la hauteur de la section 2. Son énergie a augmenté de
$dM\left(\frac{1}{2}{v}_2^2-\frac{1}{2}{v}_1^2\right)+dMg(h_2-h_1)$

Qu'est-ce qui a payé ce gain ? Pas la pression sur la paroi latérale du tube : elle s'exerce perpendiculairement à l'écoulement et ne travaille pas. Le travail se fait aux deux extrémités. Le fluide situé derrière pousse la tranche entrante avec la force $p_1{A}_1$ sur la distance $v_{1}dt$, ce qui donne le travail $p_1{A}_1{v}_{1}dt=p_{1}dV$. À la section 2, le fluide situé devant repousse avec la force $p_2{A}_2$ pendant que la tranche sortante avance de $v_{2}dt$ contre elle, ce qui donne le travail $-p_{2}dV$. Sans frottement, le théorème de l'énergie cinétique, où le travail du poids est compté comme énergie potentielle, égale le travail net au gain d'énergie :
$(p_1-p_2)dV=dM\left(\frac{1}{2}{v}_2^2-\frac{1}{2}{v}_1^2+g{h}_2-g{h}_1\right)$

Divisez par $dV$, utilisez $dM/dV=\rho$ et rassemblez les termes de chaque section de son côté : $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_2$. Les sections 1 et 2 étant deux sections quelconques, on a, le long du tube,
$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\mathrm{const}$

Chaque terme est une énergie par unité de volume, mesurée en pascals (1 Pa = 1 J/m³). Le terme $\frac{1}{2}\rho v^2$ est l'énergie cinétique et $\rho gh$ l'énergie potentielle. Le terme de pression $p$ est le travail nécessaire pour faire entrer une unité de volume de fluide dans une région déjà pleine ; on l'appelle travail de transvasement. Dans le tube de Venturi horizontal, $h$ est partout la même, et porter la vitesse de 1,0 à 3,41 m/s coûte $\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)\approx 5,31\mathrm{kPa}$ de pression.

Dans un gaz, l'énergie interne massique $u$ entre dans le bilan, et la somme conservée par unité de masse devient $u+p/\rho +\frac{1}{2}{v}^2+gh$. Ses deux premiers termes forment ensemble l'enthalpie massique. Sans échange de chaleur ni travail technique, c'est l'équation d'énergie d'une tuyère en régime permanent. Dans un liquide sans frottement, $u$ reste constante et disparaît du bilan.

Équation d'Euler : le long et à travers l'écoulement

Le raisonnement énergétique traite tout un tube de courant d'un seul coup. La deuxième loi de Newton, appliquée à chaque petit volume de fluide, donne le même résultat sous forme locale, montre où la constante est valable et ajoute une seconde règle, pour la pression à travers les lignes de courant.

Considérez un petit cube de fluide. La pression pousse vers l'intérieur sur chaque face, et les forces sur deux faces opposées se compensent, à la différence de pression près entre elles. Par unité de volume, la force de pression nette vaut donc $-\nabla p$, dirigée des hautes vers les basses pressions. En ajoutant la pesanteur, $\rho \vec{g}$ par unité de volume, et en égalant le total à la masse volumique multipliée par la dérivée matérielle, on obtient l'équation d'Euler :
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}$

Trois étapes la transforment en équation de Bernoulli. D'abord, dans un écoulement permanent, $\partial \vec{v}/\partial t=0$. Ensuite, une identité vectorielle décompose le terme convectif : $(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}=\nabla (\frac{1}{2}{v}^2)-\vec{v}\times \vec{\Omega }$, où $\vec{\Omega }=\nabla \times \vec{v}$ est la vorticité, le double de la vitesse angulaire locale avec laquelle le fluide tourne sur lui-même. Enfin, la pesanteur est dirigée vers le bas alors que $h$ est compté vers le haut ; pour une masse volumique constante, $\rho \vec{g}=-\nabla (\rho gh)$. En faisant passer tous les gradients à gauche,
$\nabla \left(p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh\right)=\rho \vec{v}\times \vec{\Omega }$

Le membre de droite est un produit vectoriel par $\vec{v}$ : il est donc perpendiculaire à $\vec{v}$. Le gradient de la somme n'a par conséquent aucune composante le long de l'écoulement : la somme est constante le long de chaque ligne de courant, comme on l'a trouvé avec la figure 2, mais des lignes différentes peuvent porter des constantes différentes. Si l'écoulement est irrotationnel, $\vec{\Omega }=0$, le gradient entier s'annule et une seule constante vaut partout. Un fluide parfait qui part du repos, ou d'un courant uniforme comme l'eau qui entre dans le tube de Venturi, reste irrotationnel : en pratique, une seule constante suffit donc généralement.

À travers l'écoulement, l'équation d'Euler dit autre chose. Là où les lignes de courant se courbent avec un rayon $R$, chaque particule a besoin de l'accélération centripète $v^2/R$, dirigée vers le centre de courbure, et, la pesanteur mise à part, seule une différence de pression à travers les lignes de courant peut la fournir :
$\frac{\partial p}{\partial n}=\frac{\rho v^2}{R}$
Ici, $n$ est la distance à travers les lignes de courant, comptée en s'éloignant du centre de courbure. La pression augmente donc quand on s'éloigne du centre d'un virage : l'air qui s'incurve au-dessus d'une aile a, à son contact, une pression plus basse que plus loin. Là où les lignes de courant sont droites et parallèles, $R$ est infini et la pression ne varie pas à travers elles, en dehors de la variation hydrostatique avec la hauteur. C'est pourquoi une prise de pression percée dans la paroi d'une partie droite indique la pression sur l'axe.

Lire le graphe des pressions

Le graphe de l'animation montre l'équation de Bernoulli à l'œuvre tout le long du tube. Ses pentes montrent aussi l'équation d'Euler et expliquent pourquoi les vrais tubes de Venturi ont la forme qu'ils ont.

Légende

$x$	Position le long du tube, dans le sens de l'écoulement.	$\mathrm{m}$
$p$	Pression statique (relative) sur l'axe du tube.	$\mathrm{Pa}$
$\frac{1}{2}\rho v^2$	Pression dynamique : énergie cinétique par unité de volume.	$\mathrm{Pa}$
$p+\frac{1}{2}\rho v^2$	Leur somme, la même tout le long du tube.	$\mathrm{Pa}$

La figure 3 reprend le graphe des pressions de l'animation sous un croquis du tube, la position $x$ le long du tuyau croissant vers la droite. La section 1 est l'entrée large et la section 2 le milieu du col, et le graphe suit la particule rouge le long du tuyau. La pression statique $p$ (en violet) tombe de 7,85 à 2,54 kPa dans le rétrécissement, reste constante le long du col et se rétablit dans l'élargissement. La pression dynamique $\frac{1}{2}\rho v^2$ (en bleu) fait l'inverse : elle monte de 0,50 à 5,81 kPa puis redescend. Leur somme (en vert) reste constante à 8,35 kPa. Les trois courbes ont la même échelle : tout ce que la courbe bleue gagne en hauteur, la violette le perd. Exprimée comme la hauteur de la colonne d'eau qu'elle pourrait soutenir, $(p+\frac{1}{2}\rho v^2)/(\rho g)$, la somme vaut 0,851 m ; on l'appelle la charge totale.

Regardez maintenant les pentes. Sur l'axe, l'équation d'Euler s'écrit $-dp/dx=\rho vdv/dx=\rho a$, où $a$ est l'accélération de la particule. La pente descendante de la courbe violette est donc la force nette par unité de volume qui s'exerce sur la particule, et elle est égale à la pente montante de la courbe bleue. Elle est la plus raide, environ 25 kPa par mètre, là où la particule accélère le plus, sur les flancs raides des courbes de la figure 3. Elle est nulle le long du col, où la vitesse est constante.

Dans l'élargissement, la pression augmente dans le sens de l'écoulement : la courbe violette remonte à droite. Une telle hausse s'appelle un gradient de pression adverse, parce qu'elle s'oppose au mouvement. Le fluide parfait se contente de ralentir. Dans un fluide réel, la couche voisine de la paroi a déjà été ralentie par le frottement et peut manquer d'énergie cinétique pour remonter la hausse de pression ; elle s'arrête, et l'écoulement décolle de la paroi. C'est pourquoi les tubes de Venturi s'élargissent plus doucement qu'ils ne se rétrécissent : ici sur 60 cm, contre 50 cm pour le rétrécissement.

Réservoirs, jets et tubes de Pitot

L'équation de Bernoulli relie aussi des points situés à des hauteurs différentes, et des points où le fluide est ramené au repos. Chaque cas donne un résultat simple et utile.

Légende

$H$	Profondeur de la surface libre au-dessus du trou.	$\mathrm{m}$
$A_T$	Aire de la surface libre du réservoir.	${\mathrm{m}}^2$
$a$	Aire du trou.	${\mathrm{m}}^2$
$v$	Vitesse du jet juste à la sortie du trou.	$m/s$
$dH/dt$	Taux de variation du niveau : négatif, puisque le niveau baisse.	$m/s$

La figure 4 montre un large réservoir qui se vide par un petit trou. Suivez la ligne de courant en pointillés depuis le point 1, sur la surface libre, jusqu'au point 2, dans le jet juste à la sortie du trou, situé $H$ plus bas. Aux deux extrémités, la pression est atmosphérique : en 1, la surface est à l'air libre, et en 2, les lignes de courant du jet sont droites et parallèles, si bien que la pression à l'intérieur du jet égale celle de l'air qui l'entoure. La surface est presque immobile, car elle est beaucoup plus large que le trou. Les termes de pression se compensent donc, le terme cinétique en 1 est négligeable, et l'énergie potentielle $\rho gH$ perdue par unité de volume devient tout entière l'énergie cinétique $\frac{1}{2}\rho v^2$ du jet :
$v=\sqrt{2gH}\text{(Torricelli)}$

Le jet sort aussi vite qu'une pierre lâchée de la hauteur $H$. C'est le $v=\sqrt{2gh}$ de la liste des formules, avec la profondeur notée $H$ parce qu'elle varie pendant que le réservoir se vide.

Combien de temps le réservoir met-il à se vider ? Si le niveau baisse lentement, l'écoulement est presque permanent à chaque instant (quasi permanent), et le résultat de Torricelli vaut pour la profondeur du moment. La conservation du débit relie alors les deux extrémités de la ligne de courant : la surface libre, d'aire $A_T$, baisse au rythme $dH/dt$, qui est négatif, tandis que le jet sort du trou, d'aire $a$, à la vitesse $v$ :
$A_T\frac{dH}{dt}=-av=-a\sqrt{2gH}$
Comme $A_T/a$ est grand, la surface descend à peine pendant que le jet jaillit, et c'est pourquoi la figure 4 ne peut pas être à l'échelle. Séparez les variables, $dH/\sqrt{H}=-(a/A_T)\sqrt{2g}dt$, et intégrez depuis la profondeur initiale $H_0$ jusqu'à 0. Le membre de gauche donne $-2\sqrt{H_0}$, d'où $2\sqrt{H_0}=(a/A_T)\sqrt{2g}t$, et le réservoir se vide en
$t=\frac{A_T}{a}\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$

Un tonneau de 0,25 m² rempli sur 0,80 m de hauteur, qui se vide par un trou de 1 cm², a $A_T/a=2500$ et se vide en $2500\cdot \sqrt{1,6/9,81}\approx 1,0\times 10^3\mathrm{s}$, soit environ 17 minutes. Le niveau baisse vite au début et lentement à la fin, puisque la vitesse du jet varie comme $\sqrt{H}$.

Un tube de Pitot mesure une vitesse grâce à un point d'arrêt. Son extrémité ouverte fait face à l'écoulement, et le fluide qui y arrive est ramené au repos, $v=0$ ; à la même hauteur, la pression à l'embouchure vaut donc $p+\frac{1}{2}\rho v^2$, la pression d'arrêt. De petits trous percés sur le côté du tube, que l'écoulement longe parallèlement, indiquent la pression statique $p$. La différence vaut $\frac{1}{2}\rho v^2$, d'où l'on tire $v$. Sur l'axe de l'animation, l'extrémité ouverte indiquerait partout les 8,35 kPa de la courbe verte, alors que les prises de pression de la paroi suivent la courbe violette. Un avion à 60 m/s dans un air de masse volumique 1,2 kg/m³ voit une différence de $\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 60^2=2,16\mathrm{kPa}$.

Problème résolu : quand le col aspire et bout

Gardez le tube de l'animation et sa pression relative d'entrée de 7,85 kPa, mais augmentez le débit. À quelle vitesse d'entrée la pression du col atteint-elle la pression atmosphérique, et à quelle vitesse l'eau y bout-elle ? Prenez 101,3 kPa pour l'atmosphère et 2,34 kPa pour la pression de vapeur saturante de l'eau à 20 °C.

Le tube est horizontal : l'équation de Bernoulli entre l'entrée et le col s'écrit donc $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$. La conservation du débit donne $v_2=(A_1/A_2)v_1$, avec $A_1/A_2=3,41$. En remplaçant $v_2$, on obtient la pression relative au col
$p_2=p_1-\frac{1}{2}\rho v_1^2\left[{\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}^2-1\right]=7,85-5,31v_1^2$
avec $p_2$ en kPa et $v_1$ en m/s ; le coefficient 5,31 est $\frac{1}{2}\rho (3,41^2-1)$ exprimé dans ces unités.

La pression relative au col est nulle, et le col est donc à la pression atmosphérique, quand $v_1=\sqrt{7,85/5,31}\approx 1,22m/s$. Aux vitesses plus élevées, le col est sous la pression atmosphérique : un tube ouvert à cet endroit aspire alors de l'air ou du liquide au lieu de soutenir une colonne. C'est le principe de la trompe à eau et du carburateur.

La cavitation, une ébullition à température ambiante, commence quand la pression absolue au col tombe à la pression de vapeur saturante. La pression absolue est la pression relative augmentée de la pression atmosphérique ; cela se produit donc à la pression relative $2,34-101,3\approx -99,0\mathrm{kPa}$. En posant $7,85-5,31v_1^2=-99,0$, on obtient
$v_1=\sqrt{\frac{7,85+99,0}{5,31}}\approx 4,49m/s,v_2=3,41\cdot 4,49\approx 15,3m/s$

Le tuyau débite alors $\pi \cdot 0,24^2\cdot 4,49\approx 0,81{\mathrm{m}}^3/s$, quatre fois et demie le débit de l'animation. En pratique, des bulles se forment un peu plus tôt, autour de minuscules poches de gaz et dans les tourbillons turbulents. Entraînées dans l'élargissement, où la pression se rétablit, elles implosent violemment, et ce sont ces implosions répétées qui criblent de piqûres les roues de pompes et les hélices de navires.

Limites de validité

L'équation de Bernoulli repose sur trois idéalisations : pas de frottement, une masse volumique constante et un écoulement permanent. Chacune tombe en défaut quelque part, et il est utile de savoir où.

La première à tomber en défaut est l'absence de viscosité, le frottement interne du fluide. Le nombre de Reynolds $\rho vd/\eta$ compare l'inertie du fluide à ses forces visqueuses ; ici, $d$ est le diamètre du tuyau et $\eta$ la viscosité de l'eau, environ $1,0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$. Pour l'animation, il vaut $1000\cdot 1,0\cdot 0,48/(1,0\times 10^{-3})\approx 5\times 10^5$, bien au-dessus des quelques milliers à partir desquels l'écoulement dans un tuyau devient turbulent : l'écoulement réel serait donc turbulent. Pourtant, le frottement compte peu dans un rétrécissement court et lisse, et les débitmètres de Venturi concordent avec la formule idéale à quelques pour cent près. Sur l'ensemble du tube, en revanche, un Venturi réel perd définitivement 5 à 20 % de sa chute de pression ; la colonne placée après l'élargissement serait donc de 3 à 11 cm plus basse que la première.

L'incompressibilité est excellente pour les liquides. La chute de 5,3 kPa de l'animation modifie la masse volumique de l'eau d'une fraction $\Delta p/K\approx 2,4\times 10^{-6}$, où $K\approx 2,2\mathrm{GPa}$ est son module de compressibilité, la pression nécessaire par unité de variation relative de volume. Les gaz conviennent tant que l'écoulement reste bien en dessous de la vitesse du son. À Mach 0,3, c'est-à-dire aux trois dixièmes de la vitesse du son, soit environ 100 m/s dans l'air, la masse volumique varie d'environ 4,5 %, et la formule incompressible prévoit pour un tube de Pitot une indication trop faible d'environ 2 %.

La permanence tombe en défaut quand une vanne se ferme rapidement. Le terme $\partial \vec{v}/\partial t$ domine alors, et une onde de pression, appelée coup de bélier, parcourt le tuyau. Arrêter brusquement l'écoulement de 1,0 m/s de l'animation ferait monter la pression d'environ $\rho c\Delta v\approx 1000\cdot 1400\cdot 1,0\approx 1,4\mathrm{MPa}$, où $c$ est la vitesse de l'onde dans le tuyau rempli d'eau et $\Delta v$ la variation brusque de vitesse.

Ce qui vient ensuite

L'équation de Bernoulli est le théorème de l'énergie cinétique de la leçon Travail, énergie et puissance, écrit par unité de volume. Le jet de Torricelli sort avec la vitesse étudiée dans la leçon Chute libre et trace la parabole de la leçon Mouvement d'un projectile, et $\partial p/\partial n=\rho v^2/R$ est la force centripète de la leçon Mouvement circulaire appliquée à un fluide. Pour les gaz, la forme avec l'enthalpie conduit à la leçon Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques, et la vitesse du son, qui borne le modèle incompressible, revient dans la leçon Le son et l'effet Doppler.

La portance est souvent mal expliquée. Une explication répandue affirme que l'air qui passe au-dessus d'une aile doit retrouver au bord de fuite l'air passé en dessous, et qu'il doit donc aller plus vite le long du trajet supérieur, plus long. C'est faux : l'air du dessus arrive le premier. De plus, un écoulement parfait permanent sans circulation n'exerce aucune force nette sur un corps. Ce que fait une aile, c'est créer une circulation $\Gamma =\oint \vec{v}\cdot d\vec{l}$, l'intégrale de la vitesse le long d'une boucle qui entoure l'aile : une rotation d'ensemble ajoutée au courant incident. Sa valeur est fixée par le bord de fuite aigu, que l'écoulement doit quitter sans à-coup. Dans un courant de vitesse $U$, la portance par unité d'envergure vaut alors $\rho U\Gamma$, et l'équation de Bernoulli transforme l'écoulement plus rapide au-dessus de l'aile et plus lent au-dessous en la différence de pression qui la porte. La viscosité qui sélectionne cette circulation, et qui cause la traînée, est le sujet de la leçon Traînée et vitesse limite.