伯努利原理

流动流体的流速越快，压强越低：连续性方程 $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ 与伯努利方程 $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ 适用于文丘里管。

学习本主题之前: 流体压强与帕斯卡原理, 功、能与功率

入门

核心概念

管道变窄处，水必须流得更快：每秒通过每个截面的水量相同。
水流得快的地方压强低；水流慢下来时压强升高。
加速需要推力：水后面较高的压强把水推入狭窄处。
管道上细玻璃管中水柱的高度，显示该处的压强。

我们一步一步来理解伯努利的想法。

第 1 步：进入的水与流出的水一样多。满管中的水不能堆积，所以每秒通过每一点的水量必须相同。管道变窄的地方，水就必须流得更快。这就是挤压花园水管的出口时，水喷得更快的原因。

第 2 步：压强就是推力。压强告诉你水对接触的每一小块表面有多大的推力。管道上竖立的细玻璃管可以显示这一点：推力越大，管中的水上升得越高。

第 3 步：加速需要后方的推力。进入狭窄部分的一小块水会加速，所以必须有东西推动它向前。这个推力来自它后面的水，因此后方（较宽部分）的压强必须高于前方（较窄部分）的压强。水流快，压强低；水流慢，压强高。你也可以把它看作一种交换：水获得了运动的能量，而它为此付出的代价是压强。

在动画中，白点是小块的水。跟着那个红点看：它离开了邻近的水，快速穿过狭窄的腰部，然后又慢下来。腰部上方的水柱最低。

自测：两艘船并排快速行驶、靠得很近时，往往会相互靠拢。为什么？（答案：两船之间被挤压的水流得比外侧的水快，所以压强更低；外侧较高的压强把两船推到一起。）

中级

核心概念

连续性： $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ ；圆管直径减半，水流速度变为原来的四倍。
水平管的伯努利方程： $p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$ ，即压强换取了速度。
例：流速从 1.0 增至 3.41 m/s 时，压强下降 5.3 kPa，因此喉部水柱低 $Δ h \approx 0.54 m$ 。
文丘里流量计读取 $Δ h$ ，再用这两个方程求出流速与流量。

流动的是什么，我们测量什么

本课讨论液体或气体的定常流动：每个固定点的速度都不随时间改变，尽管流体不断从此处流过；每个流体微团都沿着一条固定的曲线运动，这条曲线称为流线。水被视为理想流体：不可压缩，密度恒定 $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ ，且无摩擦。对于短而光滑的管道，这是一个很好的模型。

描述管道流动的有四个量：流速 $v$ （m/s），是对截面取平均的速度；横截面积 $A$ （m²），对于直径为 $d$ 的圆管， $A = π d^{2} /4$ ；体积流量 $Q$ （m³/s），即每秒通过某截面的体积；以及压强 $p$ ，即水对管壁每平方米的推力，单位为帕斯卡（ $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ ）。

管道上竖直的细管，即测压管，把压强显示为高度：水上升到其水柱的重量与下方压强相平衡为止，即 $p = ρ g h$ 。这里所有压强都是表压，即高出 101 kPa 大气压的部分；大气压在每个压强差中都会抵消。

连续性：流入多少，流出多少

在时间 $Δ t$ 内，穿过某截面的水向前移动 $v Δ t$ ，充满一个体积为 $A v Δ t$ 的圆柱。除以时间即得流量：
$Q = A v$

满管中的水既不能在管内堆积，也不能凭空消失，因此无论截面宽窄，同样的 $Q$ 都必须通过每个截面：
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$

因此流速与面积成反比。由于圆管的面积与直径的平方成正比，直径减半会使面积除以 4，水流速度因此变为原来的四倍，而不是两倍。

伯努利方程：以压强换速度

进入收缩段的流体微团会加速，因此必须有一个合力向前推它。沿水平管道，这个力只能来自周围水的压强，所以微团后方的压强必须高于其前方的压强：流速快对应压强低。

能量守恒使这一结论精确成立：压强对从高压向低压运动的微团所做的功，转化为动能；如果微团向上爬升，则转化为势能。按单位体积计算，这些能量分别为 $p$ 、 $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ 和 $ρ g h$ ，单位均为帕斯卡（ $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ）。沿流线，它们的和保持不变：
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

在水平管中，高度项相互抵消，因此压强降等于单位体积动能的增加。两根测压管以高度差的形式显示这一点：
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}$

高度同样有影响。在一根均匀截面、上升 10 m 的管道中，流速不能改变，因此压强下降 $ρ g h = 1000 \cdot 9.81 \cdot 10 \approx 98 kPa$ ，几乎等于一个大气压，这就是为什么高楼需要水泵。

例题：动画中的文丘里管

按动画的比例（管道与水柱使用相同比例），管道在入口处的半径为 24 cm，在喉部为 13 cm；水以 $v_{1} = 1.0 m/s$ 的速度进入，表压为 7.85 kPa，这一压强使第一根水柱高出轴线 0.80 m。

连续性方程、伯努利方程和测压管关系给出：
$v_{2} = v_{1} \frac{A _{1}}{A _{2}} = 1.0 \cdot (\frac{24}{13})^{2} \approx 3.41 m/s$
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3.4 1^{2} - 1. 0^{2}) \approx 5.31 kPa$
$Δ h = \frac{5310}{1000 \cdot 9.81} \approx 0.541 m$

喉部压强为 $7.85 - 5.31 = 2.54 kPa$ ，因此其水柱仅高出轴线 0.26 m。以上都是动画中的数值：标签 $v_{1} = 1.0 m/s$ 与 $v_{2} = 3.4 m/s$ ，虚线入口水位下方的紫色 $Δ h$ 箭头，以及读数：当红色微团进入喉部时， $v$ 从 1.00 增至 3.41 m/s， $p$ 从 7.85 降至 2.54 kPa，同时其蓝色速度箭头变长为原来的 3.41 倍。

流出喉部后，过程反过来，在这种理想流体中，最后一根水柱会回升到 0.80 m。流量 $Q = π \cdot 0.2 4^{2} \cdot 1.0 \approx 0.181 m^{3} /s$ ，即每秒 181 升，在喉部同样如此： $π \cdot 0.1 3^{2} \cdot 3.41 \approx 0.181 m^{3} /s$ 。

例题：读取文丘里流量计

文丘里流量计就是接入管路中、用来测量流量的这种管子。假设一根直径为 12 cm 的供水干管收缩为直径 6 cm 的喉部，两个截面上的水柱高度相差 30 cm。水流有多快？每秒通过多少水？

压强降为 $ρ g Δ h = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.30 \approx 2.94 kPa$ 。直径减半使面积变为四分之一，所以 $v_{2} = 4 v_{1}$ ，伯努利方程变为 $ρ g Δ h = \frac{1}{2} ρ (16 - 1) v_{1}^{2}$ 。密度相消，一般地有
$v_{1} = \frac{2 g Δ h}{( A _{1} / A _{2} ) ^{2} - 1} = \frac{2 \cdot 9.81 \cdot 0.30}{15} \approx 0.63 m/s$

然后 $v_{2} = 4 \cdot 0.63 \approx 2.5 m/s$ ， $Q = π \cdot 0.0 6^{2} \cdot 0.63 \approx 7.1 \times 1 0^{- 3} m^{3} /s$ ，约每秒 7 升。把动画中的 0.541 m 与面积比 3.41 代入同一公式，得到的正是其 1.0 m/s。注意 $Δ h$ 与流量的平方成正比：流量加倍会得到 1.20 m，因此每种流量计只适用于有限的范围。

读懂水柱与小点

每根水柱顶端高出轴线 $p / (ρ g)$ ，这一高度称为压强水头。再加上速度水头 $v^{2} / (2 g)$ （入口处为 0.05 m，喉部为 0.59 m），每个截面的总水头都是 0.85 m：这就是伯努利方程除以 $ρ g$ 的结果。沿实际管路，摩擦使这条水头线向下倾斜。

白点以恒定速率进入，因此同一行中相邻小点的间距等于速度乘以一个固定时间：在喉部，间距变为原来的 3.41 倍；而三行小点向内靠拢，因为流线在流速快的地方变密。

常见错误

喉部的低压并不会把水吸进来。水是从后方被推动的：入口处为 7.85 kPa，对比喉部的 2.54 kPa。
先把速度平方，再相减：对动画而言， $\frac{1}{2} ρ (v_{2} - v_{1})^{2}$ 得出 2.90 kPa，而正确值是 5.31 kPa。
收缩处本身并不会使其内部压强升高。手指堵在水管口会使其后方压强升高，因为它阻挡了水流；但对于水平管中给定的流量，最窄的截面压强最低。
压强并不会在喉部被“消耗”掉。在理想流体中它会完全恢复，因此最后一根水柱回到 0.80 m；在真实管道中，摩擦会使它低几厘米。

应用场合

文丘里流量计用于测量水、燃油和气体的流量。化油器和香水喷雾器利用快速气流的低压把液体吸上管道；实验室的水流喷射泵也以同样方式把烧瓶中的空气抽走。飞机上的皮托管比较滞止空气的压强与静压，从而求出空速；两艘并排航行的船，会被它们之间较快的水推到一起。

本课的基础是《流体压强与帕斯卡原理》（用于水柱）和《功、能与功率》（用于能量守恒）。它忽略的摩擦，即黏性，是《阻力与终端速度》一课的主题。

高级

核心概念

$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ ：压强对流管所做的功，等于流体获得的能量。
即使在定常流动中，流体微团沿途也会加速，加速度来自 $(v \cdot \nabla) v$ ；作用力来自 $- \nabla p$ 。
沿一条流线（定常、无黏、不可压缩），总和保持不变；若 $\nabla \times v = 0$ ，该常数处处成立。
黏性使真实管道中的水头沿程下降；马赫数高于 0.3 时，气体需要上面的可压缩形式；低压可能引发空化。
水箱放水的速度为托里拆利公式 $v = 2 g h$ ，即从液面自由下落的速度：势能转化为动能。

流线、流管与运动的微团

本节建立流体运动的语言，并用它回答第一个问题：水为什么在收缩的管道中加速，加速度又有多大？贯穿始终的例子是动画中的文丘里管。密度为 $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ 的水以 1.0 m/s 的速度进入半径为 24 cm 的宽管，表压（高出大气压的压强）为 7.85 kPa，这一压强足以支撑 0.80 m 高的水柱。随后水流经半径为 13 cm 的喉部，再重新扩张。

流动可以用速度场 $v (r, t)$ 描述：它表示在时刻 $t$ 位于点 $r$ 处的流体的速度。当该场在任一固定点都不随时间变化，即 $\partial v / \partial t = 0$ 时，流动是定常的。流线是在其每一点与 $v$ 相切的曲线。在定常流动中，流线保持不变，每个小流体微团都沿其中一条流线运动。

图 1 显示一根逐渐变窄的管道。细的蓝线是流线，任一点的速度都与经过该点的流线相切。管壁本身也是一条流线，因为没有流体穿过它：管壁上圆点处的速度箭头 $v$ 沿着管壁方向。两条较粗的线界定一根流管，即一束相邻的流线。由于没有流体穿过流线，也就没有流体穿过流管的侧面：从面积为 $A_{1}$ 的截面 1 进入的流体，必须从面积为 $A_{2}$ 的截面 2 流出。

对于液体，密度恒定，因此每秒进入的体积必须等于每秒流出的体积。体积流量为 $Q = A v$ ，其中 $v$ 是截面上的平均速度，于是
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
由于 $A_{2}$ 小于 $A_{1}$ ，速度 $v_{2}$ 大于 $v_{1}$ ，倍数为 $A_{1} / A_{2}$ 。观察图 1 中的流线：在管道狭窄处它们变得密集。相邻流线之间流过的体积相等，因此流线的疏密就是速度的图像：线密，流体快。两个箭头 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 按 $A_{1} / A_{2}$ 的比例绘制。在动画中 $A_{1} / A_{2} = (24/13)^{2} \approx 3.41$ ，因此水在喉部达到 3.41 m/s。该定律的局部形式为 $\nabla \cdot v = 0$ ：密度恒定的流体在任何地方都既不会堆积，也不会变稀。

定常并不意味着没有加速度。动画中的速度场从不改变，但红色微团仍从 1.0 加速到 3.41 m/s，因为它进入了速度场更大的区域。微团自身速度的变化率称为随体导数：
$\frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v$
第一项是固定点处场的变化，在定常流动中为零。第二项即对流项，是微团因移动而遇到的变化：在时间 $d t$ 内它移动 $v d t$ ，到达速度场不同的位置。在管道轴线上，速度沿轴线方向，设为 $x$ ，因此对流项就是 $v d v / d x$ 。在动画中，它在收缩末段达到约 25 m/s²，约 $2.5 g$ ；而扩张段会以高达 21 m/s² 的加速度使微团减速。

流管上的能量核算

为什么流速快的流体压强反而低？要加速，微团需要一个向前的合力，而在水平管中，只有压强能提供这个力：微团后方的压强必须大于前方的压强。本节将这一想法转化为精确的能量平衡，即伯努利方程。

图 2 所示为一根逐渐变窄并上升的流管，从截面 1（高度 $h_{1}$ ）到截面 2（高度 $h_{2}$ ），高度均自管轴线量起。考察流管中的流体在一个很短的时间 $d t$ 内的变化。在截面 1 处进入一段长度为 $v_{1} d t$ 的流体薄片，质量 $d M = ρ A_{1} v_{1} d t$ ，体积 $d V = d M / ρ$ 。在截面 2 处流出一段长度为 $v_{2} d t$ 的薄片。根据连续性，它的质量与体积相同，因此它更长，因为那里管道更细。

在这两个薄片之间，情况没有变化：流动是定常的，每一点处的流体仍以原来的速度运动。因此，在时间间隔 $d t$ 内的净效果是：薄片 $d V$ 从截面 1 移到了截面 2，并具有截面 2 处的速度与高度。它的能量增加了
$d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2}) + d M g (h_{2} - h_{1})$

这份能量增量由什么提供？不是流管侧壁上的压强：它垂直于流动方向，不做功。做功发生在两端。截面 1 后方的流体以 $p_{1} A_{1}$ 的力推动进入的薄片，使其前进 $v_{1} d t$ 的距离，做功 $p_{1} A_{1} v_{1} d t = p_{1} d V$ 。在截面 2，前方的流体以 $p_{2} A_{2}$ 的力反推，而离开的薄片逆着这个力向前移动 $v_{2} d t$ ，做功为 $- p_{2} d V$ 。忽略摩擦时，由动能定理，净功等于能量的增量：
$(p_{1} - p_{2}) d V = d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2} + g h_{2} - g h_{1})$

两边除以 $d V$ ，利用 $d M / d V = ρ$ ，并把每个截面的项归到同一侧： $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$ 。截面 1 和 2 是任意两个截面，因此沿流管有
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

式中每一项都是单位体积的能量，单位为帕斯卡（1 Pa = 1 J/m³）。 $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ 是动能， $ρ g h$ 是势能。压强项 $p$ 是把单位体积流体推入一个已经充满的区域所需的功，称为流动功。在水平文丘里管中 $h$ 处处相同，把速度从 1.0 m/s 提高到 3.41 m/s，需要付出 $\frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) \approx 5.31 kPa$ 的压强。

在气体中，单位质量的内能 $u$ 也要计入能量平衡，守恒量变为每单位质量的 $u + p / ρ + \frac{1}{2} v^{2} + g h$ 。其前两项合起来称为比焓。在没有热交换和轴功的情况下，这就是喷管的稳定流动能量方程。在无摩擦的液体中， $u$ 保持恒定，因此被消去。

欧拉方程：沿流动方向与垂直于流动方向

能量论证处理的是整根流管。对每一小块流体应用牛顿第二定律，可以得到相同结论的局部形式，说明常数成立的条件，并给出垂直于流线方向压强的第二条规律。

考虑一个小立方体流体。压强从各个面向内推，相对两面的力相互抵消，只剩下两面间的压强差。单位体积上的净压力为 $- \nabla p$ ，方向由高压指向低压。加上重力 $ρ g$ （单位体积），并令总和等于密度乘以随体加速度，得到欧拉方程：
$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + ρ g$

将其化为伯努利方程需要三步。第一，定常流动中 $\partial v / \partial t = 0$ 。第二，一个矢量恒等式把对流项拆开： $(v \cdot \nabla) v = \nabla (\frac{1}{2} v^{2}) - v \times Ω$ ，其中 $Ω = \nabla \times v$ 为涡量，是流体局部自转角速度的两倍。第三，重力向下，而 $h$ 向上量度，因此对恒定密度有 $ρ g = - \nabla (ρ g h)$ 。把所有梯度项移到左边，得
$\nabla (p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h) = ρ v \times Ω$

右边是 $v$ 的叉乘，因此与 $v$ 垂直。于是和的梯度在流动方向上没有分量：和沿每条流线为常数（与图 2 的推导一致），但不同流线可以有不同的常数。若流动无旋，即 $Ω = 0$ ，则整个梯度为零，同一常数处处成立。从静止或从均匀来流（如进入文丘里管的水）开始的理想流体保持无旋，因此实际中通常只需一个常数。

沿垂直于流动方向，欧拉方程给出另一个结论。若流线以半径 $R$ 弯曲，每个微团需要指向曲率中心的向心加速度 $v^{2} / R$ ，而在忽略重力的情况下，只有流线之间的压强差能提供它：
$\frac{\partial p}{\partial n} = \frac{ρ v ^{2}}{R}$
这里 $n$ 是垂直于流线的距离，自曲率中心量起。因此压强从弯道中心向外增加，机翼上方弯曲的空气，其靠近翼面处的压强比远处低。流线平直且平行时， $R$ 为无穷大，垂直于流线的压强不变，除了随高度变化的静水压强变化。这就是为什么直管段壁上的测压接头能读出轴线上的压强。

读懂压强图

动画中的压强图展示了伯努利方程在整根管道上的作用，其斜率还体现了欧拉方程，并解释了为什么真实的文丘里管要做成这种形状。

图 3 将动画中的压强图画在一幅管道示意图的下方，沿管道的位置 $x$ 向右增加。截面 1 是宽的入口，截面 2 位于喉部中段，图线沿红色微团的路径绘制。静压 $p$ （紫色）在收缩段从 7.85 降至 2.54 kPa，在喉部保持平坦，并在扩张段回升。动压 $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ （蓝色）则相反：它从 0.50 升至 5.81 kPa，然后又降下来。二者之和（绿色）保持在 8.35 kPa 不变。三条曲线使用同一刻度，因此蓝线上升多少，紫线就下降多少。若以能支撑的水柱高度表示，即 $(p + \frac{1}{2} ρ v^{2}) / (ρ g)$ ，这个和为 0.851 m，称为总水头。

再看斜率。在轴线上，欧拉方程为 $- d p / d x = ρ v d v / d x = ρ a$ ，其中 $a$ 是微团的加速度。因此紫色曲线的下降斜率就是单位体积微团所受的净力，它等于蓝色曲线的上升斜率。斜率在微团加速最剧烈处最陡，约为每米 25 kPa，即图 3 中曲线的陡峭侧面；在喉部，流速恒定，斜率为零。

在扩张段，压强沿流动方向上升：图中紫线在右侧上升。这种升高称为逆压梯度，因为它与运动方向相反。理想流体只是减速。在真实流体中，紧靠壁面的流体层已经因摩擦而减速，可能没有足够的动能爬上压强升高处；它会停下，流动便从壁面脱离。因此文丘里管的扩张段比收缩段平缓：这里延伸超过 60 cm，而收缩段只有 50 cm。

水箱、射流与皮托管

伯努利方程还能把不同高度的点联系起来，也能联系使流体静止的点。每种情形都给出简单而有用的结论。

图 4 显示一个大水箱经小孔放水。沿虚线流线，从自由液面上的点 1 追踪到紧贴小孔外射流中的点 2，二者深度相差 $H$ 。两端压强都是大气压：点 1 处液面与空气相通，点 2 处射流的流线平直平行，因此射流内部压强与周围空气相同。液面几乎静止，因为它比小孔宽得多。于是压强项相消，点 1 的动能项可忽略，每单位体积失去的势能 $ρ g H$ 全部转化为射流的动能 $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ ：
$v = 2 g H (Torricelli)$

射流离开小孔的速度，与物体从高度 $H$ 自由下落的速度相同。这就是公式表中的 $v = 2 g h$ ，只是因为水深在放水过程中会变化，这里写作 $H$ 。

水箱要多久才能放空？如果液面缓慢下降，流动在每一时刻几乎都是定常的（准定常），托里拆利结果适用于当前水深。连续性则把流线的两端联系起来：液面面积为 $A_{T}$ ，以速率 $d H / d t$ 下降，这一变化率为负，而射流以速度 $v$ 从面积为 $a$ 的小孔流出：
$A_{T} \frac{d H}{d t} = - a v = - a 2 g H$
由于 $A_{T} / a$ 很大，液面下降缓慢，而射流喷射迅速，因此图 4 不能按比例绘制。分离变量， $d H / H = - (a / A_{T}) 2 g d t$ ，从初始水深 $H_{0}$ 积分到 0。左边得 $- 2 H_{0}$ ，于是 $2 H_{0} = (a / A_{T}) 2 g t$ ，水箱放空所需时间为
$t = \frac{A _{T}}{a} \frac{2 H _{0}}{g}$

面积为 0.25 m² 的桶，装水深 0.80 m，经 1 cm² 的小孔放水，其 $A_{T} / a = 2500$ ，放空时间为 $2500 \cdot 1.6/9.81 \approx 1.0 \times 1 0^{3} s$ ，约 17 分钟。液面起初下降很快，最后很慢，因为射流速度与 $H$ 成正比。

皮托管利用滞止点测量流速。它的开口端正对流动方向，到达此处的流体被迫静止， $v = 0$ ；在同一高度处，开口处的压强因此为 $p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ ，即滞止压强。管侧的小孔与流动平行，测得的是静压 $p$ 。二者之差为 $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ ，由此可求出 $v$ 。在动画的轴线上，开口端处处读数为绿色的 8.35 kPa，而壁面测压孔读出的是紫色曲线。在密度为 1.2 kg/m³ 的空气中，以 60 m/s 飞行的飞机，所测得的差值为 $\frac{1}{2} \cdot 1.2 \cdot 6 0^{2} = 2.16 kPa$ 。

例题：喉部何时产生吸力并沸腾

保持动画中的管道和入口表压 7.85 kPa 不变，但增大流量。入口速度为多少时喉部达到大气压？水在何种速度下会在喉部沸腾？取大气压为 101.3 kPa，20 °C 时水的饱和蒸气压为 2.34 kPa。

管道水平，因此入口与喉部之间的伯努利方程为 $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ 。连续性给出 $v_{2} = (A_{1} / A_{2}) v_{1}$ ，其中 $A_{1} / A_{2} = 3.41$ 。代入 $v_{2}$ 得喉部表压
$p_{2} = p_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{A _{1}}{A _{2}})^{2} - 1] = 7.85 - 5.31 v_{1}^{2}$
式中 $p_{2}$ 单位为 kPa， $v_{1}$ 单位为 m/s；系数 5.31 即为这些单位下的 $\frac{1}{2} ρ (3.4 1^{2} - 1)$ 。

喉部表压为零，即喉部处于大气压时， $v_{1} = 7.85/5.31 \approx 1.22 m/s$ 。流速更高时，喉部压强低于大气压，因此在该处开口的管子会吸入空气或液体，而不是支撑一根水柱。水射流泵和化油器正是这样工作的。

空化（即室温下的局部沸腾）始于喉部绝对压强降至饱和蒸气压时。绝对压强等于表压加大气压，因此它发生在表压 $2.34 - 101.3 \approx - 99.0 kPa$ 时。令 $7.85 - 5.31 v_{1}^{2} = - 99.0$ ，得
$v_{1} = \frac{7.85 + 99.0}{5.31} \approx 4.49 m/s, v_{2} = 3.41 \cdot 4.49 \approx 15.3 m/s$

此时管道输送的流量为 $π \cdot 0.2 4^{2} \cdot 4.49 \approx 0.81 m^{3} /s$ ，约为动画流量的四倍半。实际上，气泡会稍早形成，出现在微小的气穴周围和湍流涡旋中。这些气泡被带入压强回升的扩张段后会剧烈溃灭，正是这种反复溃灭会使泵的叶轮和船用螺旋桨出现蚀损。

适用范围的限制

伯努利方程基于三个理想化假设：无摩擦、密度恒定、定常流动。每个假设都会在某些情况下失效，了解它们何时失效很有必要。

黏性，即流体的内摩擦，是最先失效的。雷诺数 $ρ v d / η$ 比较流体的惯性与黏性力，其中 $d$ 为管道直径， $η$ 为水的黏度，约为 $1.0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ 。对于动画中的管道，其值为 $1000 \cdot 1.0 \cdot 0.48/ (1.0 \times 1 0^{- 3}) \approx 5 \times 1 0^{5}$ ，远高于管流转为湍流时的数千，因此真实流动将是湍流。然而，在短而光滑的收缩段中，摩擦几乎不起作用，文丘里流量计与理想公式的结果相差在百分之几以内。不过，在整根管道上，真实的文丘里管会永久损失其压强降的 5% 到 20%，因此扩张段之后的水柱会比第一根低 3 到 11 cm。

不可压缩性对液体非常适用。动画中 5.3 kPa 的压降只会使水的密度改变 $Δ p / K \approx 2.4 \times 1 0^{- 6}$ ，其中 $K \approx 2.2 GPa$ 为其体积模量，即体积发生单位相对变化所需的压强。只要流速远低于声速，气体也适用。在马赫数 0.3 时，即声速的十分之三，在空气中约为 100 m/s，密度变化约 4.5%，而不可压缩公式预测的皮托管读数会偏小约 2%。

流动的定常性在阀门快速关闭时失效。此时 $\partial v / \partial t$ 项占主导，一种称为水锤的压力波沿管道传播。若突然停止动画中 1.0 m/s 的流动，压强将升高约 $ρ c Δ v \approx 1000 \cdot 1400 \cdot 1.0 \approx 1.4 MPa$ ，其中 $c$ 为波在充满水的管中的速度， $Δ v$ 为速度的突然变化。

知识延伸

伯努利方程是《功、能与功率》中的动能定理，按单位体积写出。托里拆利射流以《自由落体》中的速度离开，并沿《抛体运动》中的抛物线运动； $\partial p / \partial n = ρ v^{2} / R$ 则是《圆周运动》中向心力在流体上的应用。对于气体，焓形式通向《热力学第一定律与热机》，而限制不可压缩模型的声速，则在《声音与多普勒效应》中再次出现。

升力常被误解。一种流行的说法认为，绕过机翼上方的空气必须在后缘与下方的空气重新会合，因此必须沿较长的上方路径加速。这是错误的：上方的空气会先到达后缘。此外，无环量的定常理想流动对物体不产生任何净力。机翼的作用是产生环量 $Γ = \oint v \cdot d l$ ，即沿包围机翼的回路对速度的线积分，它相当于在来流上叠加一个净旋涡。其数值由锐利的后缘决定，流动必须从后缘平滑地离开。在速度为 $U$ 的气流中，单位展长的升力为 $ρ U Γ$ ，伯努利方程把机翼上方较快的流动与下方较慢的流动转化为承载机翼的压强差。选择该环量并产生阻力的黏性，正是《阻力与终端速度》一课讨论的内容。

核心公式

体积流量

Q = A v

在时间 $Δ t$ 内，穿过某截面的流体向前移动 $v Δ t$ ，充满一个体积为 $A v Δ t$ 的圆柱；除以时间即得每秒的体积。再乘以密度，即得质量流量 $ρ A v$ （单位 kg/s）。

符号
$Q$	通过该截面的体积流量	$m^{3} /s$
$A$	横截面积，与流动方向垂直	$m^{2}$
$v$	流速，对截面取平均	$m/s$

适用条件: 适用于任何流体，前提是 $v$ 为对截面取平均的速度，且 $A$ 与流动方向垂直测量。

示例: 动画中的入口： $Q = π \cdot 0.2 4^{2} \cdot 1.0 \approx 0.181 m^{3} /s$ ，即每秒 181 升。

连续性方程

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

水不能在满管中堆积，也不能凭空消失，因此每秒进入的体积必须从其他每个截面流出： $Q$ 处处相同。因此流速与面积成反比。对圆管 $A \propto d^{2}$ ，直径减半，水流速度就变为原来的四倍。

符号
$A_{1}$	宽截面处的横截面积	$m^{2}$
$v_{1}$	宽截面处的流速	$m/s$
$A_{2}$	窄截面处的横截面积	$m^{2}$
$v_{2}$	窄截面处的流速	$m/s$

适用条件: 定常流动的不可压缩流体（液体，或远低于声速的气体），且无泄漏、无分支。对于可压缩气体，保持不变的是质量流量 $ρ A v$ 。

示例: 动画中，喉部面积小 3.41 倍，因此 $v_{2} = 3.41 \cdot 1.0 = 3.41 m/s$ 。

伯努利方程

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const

每一项都是单位体积的能量，单位为帕斯卡（ $1 Pa = 1 J/ m^{3}$ ）： $p$ 是压强能够做的功， $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ 是动能， $ρ g h$ 是势能。压力对从高压向低压运动的微团做功，这份功转化为动能或势能，因此沿流线总和不变。同一高度上流速更快，压强就更低。

符号
$p$	静压	$Pa$
$ρ$	流体密度	$kg/ m^{3}$
$v$	流速	$m/s$
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$
$h$	相对于选定参考面的高度	$m$

适用条件: 定常、无黏、不可压缩的流动，沿一条流线；只有流动无旋时，同一常数才能横跨不同流线成立。在真实管道中，摩擦使总和沿流动方向减小。

示例: 在动画中，入口处为 $7.85 + 0.50 = 8.35 kPa$ ，喉部为 $2.54 + 5.81 = 8.35 kPa$ 。

水平管中的压强降

p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

高度不变时， $ρ g h$ 各项相消，压强降低的量恰好等于单位体积动能的增量。压强差是加速的原因，而不是结果：流体之所以加速，是因为其后方的压强高于前方的压强。先将速度平方，再相减。

符号
$p_{1}$	宽截面处的压强	$Pa$
$p_{2}$	窄截面处的压强	$Pa$
$ρ$	流体密度	$kg/ m^{3}$
$v_{1}$	宽截面处的流速	$m/s$
$v_{2}$	窄截面处的流速	$m/s$

适用条件: 水平管道与理想定常流动。若管道从 $h_{1}$ 升至 $h_{2}$ ，则在右边加上 $ρ g (h_{2} - h_{1})$ 。

示例: 水中的流速从 1.0 增至 3.41 m/s： $p_{1} - p_{2} = 500 \cdot (3.4 1^{2} - 1) \approx 5.31 kPa$ 。

以水柱高度表示的压强差

Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}

一根竖直细管接在管道上，直到其水柱的重量与下方压强平衡才停止上升，即 $p = ρ g h$ ，这就是《流体压强与帕斯卡原理》中的静力学规律。因此两根这样的管子可把压强差转化为高度差：每 9.81 kPa 的压强相当于一米水柱。

符号
$Δ h$	两根水柱高度之差	$m$
$p_{1}$	第一根水柱下方的压强	$Pa$
$p_{2}$	第二根水柱下方的压强	$Pa$
$ρ$	水柱中液体的密度	$kg/ m^{3}$
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$

适用条件: 水柱中盛放的是管道中的同种液体，处于静止状态，测压口与壁面齐平，并位于流线平直处。若使用较重的液体（例如水下的水银）组成 U 形管，则需用两种液体的密度之差代替 $ρ$ 。

示例: 动画： $Δ h = 5310/ (1000 \cdot 9.81) \approx 0.541 m$ ，即图中标出的 $Δ h$ 。

托里拆利定律

v = 2 g h (Torricelli)

沿流线从宽水箱的自由液面（水几乎静止）追踪到紧贴小孔外的射流，小孔比液面低 $h$ 。两点都处于大气压下，压强项相消，势能 $ρ g h$ 转化为动能 $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ 。射流的速度与物体从高度 $h$ 自由下落后的速度相同。

符号
$v$	从小孔流出的射流速度	$m/s$
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$
$h$	小孔低于自由液面的深度	$m$

适用条件: 水箱远宽于小孔（否则液面的运动也要计入），且忽略能量损失。真实射流略慢；在锐边小孔外，射流会收缩，因此流量小于射流速度乘以小孔面积。

示例: 小孔低于液面 0.80 m： $v = 2 \cdot 9.81 \cdot 0.80 \approx 3.96 m/s$ 。

词汇表

定常流动: 每个固定点的速度不随时间变化的流动，尽管每个流体微团可能在运动中加速或减速。动画中的流动是定常的：图案从不改变，但每个微团都会加速进入喉部。
流线: 处处与流动速度相切的线。在定常流动中，它也是流体微团运动的路径；流线不会相交，并且在流速快的地方变得密集。
流管: 由相邻流线围成的管状束。没有流体穿过其管壁，因此每秒通过每个截面的质量相同；管道是带固体管壁的流管。
理想流体: 不可压缩（密度恒定）且无黏（没有内摩擦）的模型流体。伯努利方程的简单形式只对这种流体严格成立；短而光滑管道中的水很接近这一模型。
无旋流动: 涡量 $\nabla \times v$ 处处为零的流动，小块流体运动时不自转。此时伯努利和在所有流线上都取同一值，而不仅是在每条流线内部保持不变。
截面积: 与流动方向垂直的管道截面的面积 $A$ ，单位为 m²。对于直径为 $d$ 的圆管， $A = π d^{2} /4$ ，因此直径减半，面积除以 4。
连续性方程: 流动中质量守恒的表述。对不可压缩流体，体积流量 $Q = A v$ 通过每个截面都相同，因此流体在管道最窄处流得最快。
伯努利原理: 沿定常理想流动的流线， $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h$ 保持不变，因此在同一高度上流体加速的地方压强降低。它是能量守恒在运动流体中的应用。
文丘里效应: 管道狭窄部分（即喉部）压强降低的现象，此处流体流速最快。文丘里流量计把这一压降读作两个水柱的高度差，并将其转换为流量。
表压: 以大气压（约 101 kPa）为基准测得的压强，而非以真空为基准。动画中的读数都是表压：喉部的 2.54 kPa 相当于绝对压强约 104 kPa。
水头: 用液柱高度表示的压强或单位体积能量： $p / (ρ g)$ 为压强水头， $v^{2} / (2 g)$ 为速度水头。在理想流动中，它们与该点高度之和沿流线处处相同；摩擦使真实管道中的这一总水头减小，称为水头损失。
空化: 液体压强降至饱和蒸气压以下时发生的局部沸腾；水在 20 °C 时的饱和蒸气压约为绝对压强 2.3 kPa。蒸气泡到达较高压强处时会剧烈溃灭，可能侵蚀泵的叶轮和船用螺旋桨。

物理量
$p$	静压	$Pa$	运动流体作用在管壁上的单位面积受力，可由测压管或壁面测压孔读出； $1 Pa = 1 N/ m^{2} = 1 J/ m^{3}$ 。
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	动压	$Pa$	流动单位体积的动能，也是流体被滞止时压强的升高量：动画入口处为 0.50 kPa，喉部为 5.81 kPa。
$v$	流速	$m/s$	流体运动的快慢，在管道计算中对截面取平均：动画入口处为 1.0 m/s，喉部为 3.41 m/s。
$ρ$	密度	$kg/ m^{3}$	单位体积的质量：水为 1000 kg/m³，常温下空气约为 1.2 kg/m³。在不可压缩流动中保持不变。
$Q$	体积流量	$m^{3} /s$	每秒通过某截面的体积， $Q = A v$ ：动画中为 0.181 m³/s，即每秒 181 升。
$h$	高度	$m$	某点相对于选定参考面的高度，以单位体积势能 $ρ g h$ 的形式出现。在托里拆利定律中，它是小孔低于自由液面的深度。
$g$	自由落体加速度	$m/ s^{2}$	在地球表面附近约为 $9.81 m/ s^{2}$ ，它把液柱高度转换为压强： $p = ρ g h$ 。
$Δ h$	水柱高度差	$m$	喉部测压管中的液面比入口处低多少，它度量压强降： $p_{1} - p_{2} = ρ g Δ h$ ；动画中为 0.541 m。

练习

入门水流经一根逐渐变窄的管道。在狭窄处，水……
1. 流动得更慢
2. 流动得更快
3. 停止
4. 保持相同的速度
显示答案
答案: B. 流动得更快
每秒通过每一点的水量必须相同，因此在管道狭窄处水必须流得更快。
入门在水平管道中，水流最快的地方，其压强……
1. 最高
2. 与其他地方相同
3. 最低
4. 恰好为零
显示答案
答案: C. 最低
加速需要来自后方较高压强的推力，因此水流最快处的压强最低。
入门为什么用拇指堵住水管口时，水喷得更远？
1. 拇指给水增加了能量
2. 拇指使水变重
3. 喷嘴处重力较弱
4. 拇指后方积聚压强，把水更快地推出
显示答案
答案: D. 拇指后方积聚压强，把水更快地推出
管口敞开时，水很容易流出，水管末端的压强保持较低。你的拇指使出口变窄，于是拇指后方积聚压强，把水以大得多的速度推过小缝隙，就像动画管道中宽处的较高压强使窄处的水加速一样。每秒流出的水比之前少，但流得快得多，因此喷得更远。拇指并没有增加能量，它只是使出口变窄。
中级一根水管的直径从 10 cm 收缩到 5 cm。水以 2 m/s 的速度进入。在狭窄处，水流速度是多少？
1. 4 m/s
2. 8 m/s
3. 1 m/s
4. 2 m/s
显示答案
答案: B. 8 m/s
A ∝ d²，因此直径减半会使面积除以 4。由 A₁·v₁ = A₂·v₂，得 v₂ = 4 × 2 = 8 m/s。仅用直径之比会得出错误的 4 m/s。
中级在水平文丘里管中，水的速度从 1 m/s 增至 3 m/s（ρ = 1000 kg/m³）。压强降低了多少？
1. 4 kPa
2. 2 kPa
3. 1 kPa
4. 9 kPa
显示答案
答案: A. 4 kPa
p₁ − p₂ = ½·ρ·(v₂² − v₁²) = 500 × (9 − 1) = 4000 Pa = 4 kPa。忘记把速度平方会得到 1 kPa。
中级两张纸平行悬挂，相距几厘米。你在它们之间用力吹气，它们会……
1. 彼此分开
2. 保持静止
3. 相互靠拢
4. 掉下来
显示答案
答案: C. 相互靠拢
两纸之间快速流动的空气，压强低于外侧静止的空气，因此外侧空气把纸压向彼此。
高级沿同一条流线应用 p + ½·ρ·v² + ρ·g·h = const 时，下列哪个条件不是必需的？
1. 定常流动
2. 可忽略的黏性
3. 不可压缩流体
4. 无旋流动
显示答案
答案: D. 无旋流动
沿同一条流线，定常、无黏、不可压缩的流动就足够了。只有需要对不同流线使用同一常数时，才需要无旋流动。
高级一个敞口大水箱，水面以下 1.8 m 处有一个小孔。忽略能量损失，水从小孔流出的速度是多少？（g = 9.81 m/s²）
1. 约 3.5 m/s
2. 约 5.9 m/s
3. 约 17.7 m/s
4. 约 1.3 m/s
显示答案
答案: B. 约 5.9 m/s
在静止液面与射流之间应用伯努利方程（两处均为大气压），得到托里拆利定律：v = √(2·g·h) = √(2 × 9.81 × 1.8) ≈ 5.9 m/s。

$A_{1}$	截面 1 处流管的横截面，此处较宽。	$m^{2}$
$A_{2}$	同一流管在截面 2 处的横截面，此处较窄。	$m^{2}$
$v_{1}$	流体通过截面 1 的速度。	$m/s$
$v_{2}$	通过截面 2 的速度：更大，因为 $A_{2} v_{2} = A_{1} v_{1}$ 。	$m/s$
$v$	管壁上某点的速度，管壁本身是一条流线：在该处与管壁相切。	$m/s$

$p_{1} A_{1}$	后方流体推动进入薄片向前的力：压强乘以面积。	$N$
$p_{2} A_{2}$	前方流体反推离开薄片的力。	$N$
$v_{1} d t$	进入薄片的长度：流体在截面 1 处于 $d t$ 内移动的距离。	$m$
$v_{2} d t$	离开薄片的长度，因 $v_{2} > v_{1}$ 而更长。	$m$
$d V$	每个薄片的体积，两个截面处相同。	$m^{3}$
$h_{1}$	截面 1 处管轴线相对参考面的高度。	$m$
$h_{2}$	截面 2 处管轴线相对同一参考面的高度。	$m$

$x$	沿管道的位置，沿流动方向。	$m$
$p$	管道轴线上的静压（表压）。	$Pa$
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	动压：单位体积的动能。	$Pa$
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$	二者之和，沿整根管道相同。	$Pa$

$H$	自由液面在小孔上方的深度。	$m$
$A_{T}$	水箱自由液面的面积。	$m^{2}$
$a$	小孔的面积。	$m^{2}$
$v$	紧贴小孔外的射流速度。	$m/s$
$d H / d t$	液面高度的变化率：为负，因为液面在下降。	$m/s$