Das Bernoulli-Prinzip

Einsteiger

Lass uns Bernoullis Idee Schritt für Schritt aufbauen.

Schritt 1: Was hineinfließt, muss auch hinausfließen. Wasser kann sich in einem vollen Rohr nicht stauen, also muss pro Sekunde durch jeden Punkt dieselbe Menge Wasser hindurch. Wird das Rohr enger, muss das Wasser sich beeilen. Deshalb spritzt Wasser schneller heraus, wenn man das Ende eines Gartenschlauchs zusammendrückt.

Schritt 2: Druck ist ein Schub. Druck sagt dir, wie stark das Wasser auf jedes Stück Fläche drückt, das es berührt. Ein dünnes Glasröhrchen auf dem Rohr zeigt es: Je stärker der Schub, desto höher steigt das Wasser im Röhrchen.

Schritt 3: Beschleunigen braucht einen Schub von hinten. Ein Wasserteilchen, das in den engen Teil eintritt, wird schneller, also muss etwas es nach vorn schieben. Dieser Schub kommt vom Wasser dahinter, also muss der Druck hinten (im weiten Teil) größer sein als der Druck vorn (im engen Teil). Schnelles Wasser, niedriger Druck; langsames Wasser, hoher Druck. Man kann es auch als Tausch sehen: Das Wasser gewinnt Bewegungsenergie und bezahlt dafür mit Druck.

In der Animation sind die weißen Punkte kleine Wasserteilchen. Verfolge das rote: Es löst sich von seinen Nachbarn, rast durch die enge Stelle und wird danach wieder langsamer. Die Wassersäule über der engen Stelle steht am tiefsten.

Teste dich selbst: Zwei Boote, die schnell und dicht nebeneinander fahren, driften tendenziell aufeinander zu. Warum? (Antwort: Das Wasser, das zwischen ihnen eingeschnürt wird, fließt schneller als das Wasser außen, sein Druck ist also niedriger, und der höhere Druck außen drückt die Boote zusammen.)

Mittelstufe

Was fließt, und was wir messen

Diese Lektion behandelt eine stationäre Strömung einer Flüssigkeit oder eines Gases: Die Geschwindigkeit an jedem festen Punkt ändert sich nie, obwohl das Fluid ständig hindurchfließt, und jedes Teilchen wandert auf einer festen Linie, die Stromlinie heißt. Wasser wird als ideale Flüssigkeit behandelt, inkompressibel, mit konstanter Dichte $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$ und reibungsfrei, was ein gutes Modell für ein kurzes, glattes Rohr ist.

Vier Größen beschreiben eine Rohrströmung: die Strömungsgeschwindigkeit $v$ (m/s), über einen Querschnitt gemittelt; die Querschnittsfläche $A$ (m²), mit $A=\pi d^2/4$ für ein rundes Rohr mit Durchmesser $d$; der Volumenstrom $Q$ (m³/s), das Volumen, das pro Sekunde einen Querschnitt passiert; und der Druck $p$, der Druck des Wassers auf jeden Quadratmeter der Wand, in Pascal ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$).

Ein dünnes senkrechtes Röhrchen auf dem Rohr, ein Standrohr, zeigt den Druck als Höhe: Das Wasser steigt, bis das Gewicht seiner Säule den Druck unten ausgleicht, $p=\rho gh$. Alle Drücke hier sind Überdrücke, gemessen über dem Luftdruck von 101 kPa, der sich bei jeder Differenz herausrechnet.

Kontinuität: Was hineinfließt, muss hinaus

In einer Zeit $\Delta t$ bewegt sich das Wasser, das einen Querschnitt passiert, um $v\Delta t$ vorwärts und füllt einen Zylinder mit dem Volumen $Av\Delta t$. Division durch die Zeit ergibt den Volumenstrom:
$Q=Av$

Wasser kann sich in einem vollen Rohr nicht stauen oder daraus verschwinden, also muss durch jeden Querschnitt, breit oder eng, dasselbe $Q$ fließen:
$A_1{v}_1=A_2{v}_2$

Die Geschwindigkeit ist daher umgekehrt proportional zur Fläche. Da die Fläche eines runden Rohres mit dem Quadrat des Durchmessers wächst, teilt das Halbieren des Durchmessers die Fläche durch 4 und macht das Wasser viermal so schnell, nicht doppelt so schnell.

Bernoulli-Gleichung: Druck gegen Geschwindigkeit tauschen

Ein Teilchen, das in eine Verengung eintritt, wird schneller, also muss eine Nettokraft es nach vorn schieben. In einem waagerechten Rohr kann diese Kraft nur vom Druck des umgebenden Wassers kommen, also muss der Druck hinter dem Teilchen größer sein als der Druck davor: Schnelle Strömung geht mit niedrigem Druck einher.

Die Energie macht das exakt: Die Arbeit, die die Druckkräfte an einem Teilchen verrichten, das von hohem zu niedrigem Druck wandert, wird zu kinetischer Energie, oder zu potenzieller Energie, wenn das Teilchen steigt. Pro Volumeneinheit sind diese Energien $p$, $\frac{1}{2}\rho v^2$ und $\rho gh$, alle in Pascal ($1\mathrm{Pa}=1J/{\mathrm{m}}^3$), und entlang einer Stromlinie bleibt ihre Summe gleich:
$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\mathrm{const}$

In einem waagerechten Rohr fallen die Höhenterme weg, also entspricht der Druckabfall dem Zuwachs an kinetischer Energie pro Volumeneinheit. Zwei Standrohre zeigen es als Höhenunterschied:
$p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)$
$\Delta h=\frac{p_1-p_2}{\rho g}$

Auch die Höhe zählt. In einem gleichmäßigen Rohr, das 10 m ansteigt, kann sich die Geschwindigkeit nicht ändern, also sinkt der Druck um $\rho gh=1000\cdot 9,81\cdot 10\approx 98\mathrm{kPa}$, fast eine Atmosphäre. Deshalb brauchen hohe Gebäude Pumpen.

Rechenbeispiel: das Venturi-Rohr der Animation

Im Maßstab der Animation, der für das Rohr und die Säulen gleich ist, beträgt der Radius des Rohres am Einlass 24 cm und im Engpass 13 cm. Das Wasser tritt mit $v_1=1,0m/s$ und einem Überdruck von 7,85 kPa ein, der die erste Säule 0,80 m über der Achse hält.

Kontinuität, bernoullische Gleichung und die Regel für das Standrohr ergeben:
$v_2=v_1\frac{A_1}{A_2}=1,0\cdot {\left(\frac{24}{13}\right)}^2\approx 3,41m/s$
$p_1-p_2=\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot (3,41^2-1,0^2)\approx 5,31\mathrm{kPa}$
$\Delta h=\frac{5310}{1000\cdot 9,81}\approx 0,541\mathrm{m}$

Der Druck im Engpass beträgt $7,85-5,31=2,54\mathrm{kPa}$, sodass seine Säule nur 0,26 m über der Achse steht. Das sind die Zahlen der Animation: die Beschriftungen $v_1=1,0m/s$ und $v_2=3,4m/s$, der violette $\Delta h$-Pfeil unter der gestrichelten Einlasshöhe und die Anzeigen, bei denen $v$ von 1,00 auf 3,41 m/s steigt, während $p$ von 7,85 auf 2,54 kPa fällt, wenn das rote Teilchen in den Engpass eintritt und sein blauer Geschwindigkeitspfeil um das 3,41-Fache wächst.

Hinter dem Engpass läuft alles umgekehrt ab, und in diesem idealen Fluid steigt die letzte Säule wieder auf 0,80 m. Der Volumenstrom $Q=\pi \cdot 0,24^2\cdot 1,0\approx 0,181{\mathrm{m}}^3/s$, also 181 Liter pro Sekunde, ist im Engpass derselbe: $\pi \cdot 0,13^2\cdot 3,41\approx 0,181{\mathrm{m}}^3/s$.

Rechenbeispiel: ein Venturi-Messgerät ablesen

Ein Venturi-Messgerät ist ein solches Rohr, das in eine Leitung eingebaut wird, um deren Durchfluss zu messen. Angenommen, eine Wasserleitung mit 12 cm Durchmesser verengt sich auf einen Engpass von 6 cm, und die Säulen über den beiden Querschnitten unterscheiden sich um 30 cm. Wie schnell fließt das Wasser, und wie viel fließt pro Sekunde hindurch?

Der Druckabfall beträgt $\rho g\Delta h=1000\cdot 9,81\cdot 0,30\approx 2,94\mathrm{kPa}$. Das Halbieren des Durchmessers viertelt die Fläche, also gilt $v_2=4v_1$, und die bernoullische Gleichung wird zu $\rho g\Delta h=\frac{1}{2}\rho (16-1)v_1^2$. Die Dichte kürzt sich heraus, und allgemein gilt
$v_1=\sqrt{\frac{2g\Delta h}{(A_1/A_2{)}^2-1}}=\sqrt{\frac{2\cdot 9,81\cdot 0,30}{15}}\approx 0,63m/s$

Dann ist $v_2=4\cdot 0,63\approx 2,5m/s$ und $Q=\pi \cdot 0,06^2\cdot 0,63\approx 7,1\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3/s$, etwa 7 Liter pro Sekunde. Mit den 0,541 m der Animation und dem Flächenverhältnis 3,41 liefert dieselbe Formel deren 1,0 m/s zurück. Beachte, dass $\Delta h$ mit dem Quadrat des Durchflusses wächst: Der doppelte Durchfluss ergäbe 1,20 m, daher eignet sich jedes Messgerät nur für einen begrenzten Bereich.

Die Säulen und die Punkte lesen

Jede Säulenoberseite steht $p/(\rho g)$ über der Achse, eine Höhe, die Druckhöhe heißt. Addiert man die Geschwindigkeitshöhe $v^2/(2g)$, im Einlass 0,05 m und im Engpass 0,59 m, erreicht jeder Querschnitt dieselbe Gesamthöhe, 0,85 m: Das ist die bernoullische Gleichung, geteilt durch $\rho g$. Entlang realer Leitungen lässt die Reibung diese Linie nach unten abfallen.

Die weißen Punkte treten mit gleichmäßiger Rate ein, daher ist der Abstand zwischen Nachbarn in einer Reihe die Geschwindigkeit mal einer festen Zeit: Im Engpass öffnen sich die Abstände um das 3,41-Fache, und die drei Reihen rücken enger zusammen, weil sich die Stromlinien dort drängen, wo die Strömung schnell ist.

Häufige Fehler

• Der niedrige Druck im Engpass saugt das Wasser nicht an. Das Wasser wird von hinten geschoben, mit 7,85 kPa am Einlass gegen 2,54 kPa im Engpass.
• Die Geschwindigkeiten quadrieren, bevor man sie subtrahiert: Für die Animation ergibt $\frac{1}{2}\rho (v_2-v_1{)}^2$ 2,90 kPa statt der richtigen 5,31 kPa.
• Eine Verengung erhöht den Druck in ihr nicht. Ein Daumen auf einem Schlauch erhöht den Druck dahinter, weil er den Fluss zurückhält; bei gegebenem Durchfluss durch ein waagerechtes Rohr hat aber der engste Querschnitt den niedrigsten Druck.
• Der Druck wird im Engpass nicht verbraucht. Im idealen Fluid erholt er sich vollständig, sodass die letzte Säule wieder bei 0,80 m steht; in einem realen Rohr lässt die Reibung sie einige Zentimeter tiefer stehen.

Wo man es antrifft

Venturi-Messgeräte messen Durchflüsse von Wasser, Kraftstoff und Gas. Vergaser und Parfümzerstäuber nutzen den niedrigen Druck eines schnellen Luftstroms, um Flüssigkeit in einem Rohr hochzuziehen, und eine Wasserstrahlpumpe im Labor saugt auf dieselbe Weise Luft aus einem Kolben. Ein Pitot-Rohr am Flugzeug vergleicht den Druck von zur Ruhe gebrachter Luft mit dem statischen Druck, um die Fluggeschwindigkeit zu bestimmen, und zwei Schiffe, die dicht nebeneinander fahren, werden durch das schnellere Wasser zwischen ihnen zusammengedrückt.

Die Lektion stützt sich für die Säulen auf Druck in Flüssigkeiten und das pascalsche Prinzip und für die Energieerhaltung auf Arbeit, Energie und Leistung. Die Reibung, die sie auslässt, die Viskosität, ist Thema von Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit.

Fortgeschritten

Stromlinien, Stromröhren und das bewegte Teilchen

Dieser Abschnitt führt die Sprache der Strömungslehre ein und benutzt sie, um eine erste Frage zu beantworten: Warum wird Wasser in einem sich verengenden Rohr schneller, und wie groß ist seine Beschleunigung? Das durchgehende Beispiel ist das Venturi-Rohr der Animation. Wasser mit der Dichte $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$ tritt mit 1,0 m/s in ein weites Rohr mit 24 cm Radius ein, mit einem Überdruck (Druck über dem Atmosphärendruck) von 7,85 kPa, der genügt, um eine Wassersäule von 0,80 m Höhe zu tragen. Danach durchströmt es einen Engpass mit 13 cm Radius und weitet sich wieder.

Eine Strömung wird durch ihr Geschwindigkeitsfeld $\vec{v}(\vec{r},t)$ beschrieben: die Geschwindigkeit des Fluids, das sich zur Zeit $t$ am Punkt $\vec{r}$ befindet. Die Strömung ist stationär, wenn dieses Feld sich an keinem festen Punkt mit der Zeit ändert, $\partial \vec{v}/\partial t=0$. Eine Stromlinie ist eine Linie, die an jedem ihrer Punkte tangential zu $\vec{v}$ verläuft. In einer stationären Strömung bleiben die Stromlinien fest, und jedes kleine Fluidteilchen wandert auf einer von ihnen.

Legende

$A_1$	Querschnitt der Stromröhre am Querschnitt 1, wo sie breit ist.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Querschnitt derselben Röhre am Querschnitt 2, wo sie eng ist.	${\mathrm{m}}^2$
$v_1$	Geschwindigkeit des Fluids durch Querschnitt 1.	$m/s$
$v_2$	Geschwindigkeit durch Querschnitt 2: größer, da $A_2{v}_2=A_1{v}_1$.	$m/s$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit an einem Punkt der Wand, die selbst eine Stromlinie ist: dort tangential zur Wand.	$m/s$

Abbildung 1 zeigt ein Rohr, das sich verengt. Die dünnen blauen Linien sind Stromlinien, und die Geschwindigkeit an jedem Punkt ist tangential zu der Stromlinie durch ihn. Auch die Wand ist eine Stromlinie, weil kein Fluid sie durchquert: Der Pfeil $\vec{v}$ am Punkt auf der Wand liegt längs der Wand. Die beiden dickeren Linien begrenzen eine Stromröhre, ein Bündel benachbarter Stromlinien. Da kein Fluid eine Stromlinie durchquert, tut es auch die Seite der Röhre nicht: Was durch Querschnitt 1 mit der Fläche $A_1$ eintritt, muss durch Querschnitt 2 mit der Fläche $A_2$ wieder austreten.

Bei einer Flüssigkeit ist die Dichte konstant, daher muss das Volumen, das pro Sekunde eintritt, gleich dem Volumen sein, das pro Sekunde austritt. Dieser Volumenstrom ist $Q=Av$, mit $v$ der über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit, also
$A_1{v}_1=A_2{v}_2$
Da $A_2$ kleiner ist als $A_1$, ist die Geschwindigkeit $v_2$ größer als $v_1$, um den Faktor $A_1/A_2$. Schau dir die Stromlinien in Abbildung 1 an: Sie drängen sich dort zusammen, wo das Rohr eng ist. Zwischen benachbarten Linien fließen gleiche Volumina, daher ist ihr Abstand ein Bild der Geschwindigkeit: enge Linien, schnelles Fluid. Die beiden Pfeile $v_1$ und $v_2$ sind im Verhältnis $A_1/A_2$ gezeichnet. In der Animation ist $A_1/A_2=(24/13{)}^2\approx 3,41$, sodass das Wasser im Engpass 3,41 m/s erreicht. Die lokale Form dieses Gesetzes ist $\nabla \cdot \vec{v}=0$: Ein Fluid konstanter Dichte kann sich nirgends stauen oder ausdünnen.

Stationär heißt nicht unbeschleunigt. Das Feld der Animation ändert sich nie, dennoch wird das rote Teilchen von 1,0 auf 3,41 m/s schneller, weil es in eine Region mit schnellerem Feld wandert. Die Änderungsrate der Geschwindigkeit des Teilchens selbst ist die materielle Ableitung:
$\frac{D\vec{v}}{Dt}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}$
Der erste Term ist die Änderung des Feldes an einem festen Punkt; in einer stationären Strömung ist er null. Der zweite, der konvektive Term, ist die Änderung, die das Teilchen erfährt, weil es sich bewegt: In der Zeit $dt$ legt es $\vec{v}dt$ zurück, an einen Ort, an dem das Feld ein anderes ist. Auf der Rohrachse zeigt die Geschwindigkeit längs der Achse, nennen wir sie $x$, also ist der konvektive Term einfach $vdv/dx$. In der Animation erreicht er am Ende der Verengung etwa 25 m/s², also etwa $2,5g$, und der sich weitende Abschnitt bremst das Teilchen mit bis zu 21 m/s².

Energiebilanz an einer Stromröhre

Warum sollte schnelleres Fluid einen niedrigeren Druck haben? Um zu beschleunigen, braucht ein Teilchen eine nach vorn gerichtete Nettokraft, und in einem waagerechten Rohr kann nur der Druck sie liefern: Der Druck hinter dem Teilchen muss den Druck davor übertreffen. Dieser Abschnitt macht daraus eine exakte Energiebilanz, die bernoullische Gleichung.

Legende

$p_1{A}_1$	Kraft, mit der das Fluid dahinter die eintretende Scheibe nach vorn schiebt: Druck mal Fläche.	$\mathrm{N}$
$p_2{A}_2$	Kraft, mit der das Fluid davor auf die austretende Scheibe zurückdrückt.	$\mathrm{N}$
$v_{1}dt$	Länge der eintretenden Scheibe: der Weg, den das Fluid in $dt$ am Querschnitt 1 zurücklegt.	$\mathrm{m}$
$v_{2}dt$	Länge der austretenden Scheibe, länger, da $v_2>v_1$.	$\mathrm{m}$
$dV$	Volumen jeder Scheibe, an beiden Querschnitten gleich.	${\mathrm{m}}^3$
$h_1$	Höhe der Achse der Röhre am Querschnitt 1 über einem Bezugsniveau.	$\mathrm{m}$
$h_2$	Höhe der Achse der Röhre am Querschnitt 2 über demselben Niveau.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 zeigt eine Stromröhre, die sich verengt und ansteigt, von Querschnitt 1 in der Höhe $h_1$ zu Querschnitt 2 in der Höhe $h_2$, beide bis zur Achse der Röhre gemessen. Verfolge das Fluid in der Röhre für eine kurze Zeit $dt$. Am Querschnitt 1 tritt eine Scheibe der Länge $v_{1}dt$ mit der Masse $dM=\rho A_1{v}_{1}dt$ und dem Volumen $dV=dM/\rho$ ein. Am Querschnitt 2 verlässt eine Scheibe der Länge $v_{2}dt$ die Röhre. Nach der Kontinuität hat sie dieselbe Masse und dasselbe Volumen, ist also die längere der beiden, weil die Röhre dort dünner ist.

Zwischen den beiden Scheiben hat sich nichts geändert: Die Strömung ist stationär, daher bewegt sich an jedem Punkt weiterhin Fluid mit derselben Geschwindigkeit wie zuvor. Die Nettowirkung des Intervalls $dt$ ist daher, dass die Scheibe $dV$ von Querschnitt 1 genommen und am Querschnitt 2 mit der Geschwindigkeit und der Höhe von Querschnitt 2 abgesetzt wurde. Ihre Energie ist um
$dM\left(\frac{1}{2}{v}_2^2-\frac{1}{2}{v}_1^2\right)+dMg(h_2-h_1)$
gewachsen.

Was hat diesen Gewinn bezahlt? Nicht der Druck an der Seite der Röhre: Er wirkt senkrecht zur Strömung und verrichtet keine Arbeit. Die Arbeit wird an den beiden Enden verrichtet. Das Fluid hinter der eintretenden Scheibe schiebt sie mit der Kraft $p_1{A}_1$ über die Strecke $v_{1}dt$, also mit der Arbeit $p_1{A}_1{v}_{1}dt=p_{1}dV$. Am Querschnitt 2 drückt das Fluid davor mit der Kraft $p_2{A}_2$ zurück, während die austretende Scheibe sich um $v_{2}dt$ nach vorn gegen sie bewegt, also mit der Arbeit $-p_{2}dV$. Ohne Reibung setzt der Arbeitssatz die Nettoarbeit gleich dem Energiezuwachs:
$(p_1-p_2)dV=dM\left(\frac{1}{2}{v}_2^2-\frac{1}{2}{v}_1^2+g{h}_2-g{h}_1\right)$

Dividiere durch $dV$, verwende $dM/dV=\rho$ und fasse die Terme jedes Querschnitts auf seiner eigenen Seite zusammen: $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_2$. Die Querschnitte 1 und 2 waren beliebige zwei Querschnitte, also gilt entlang der Röhre
$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\mathrm{const}$

Jeder Summand ist eine Energie pro Volumeneinheit, gemessen in Pascal (1 Pa = 1 J/m³). $\frac{1}{2}\rho v^2$ ist kinetische Energie und $\rho gh$ potenzielle Energie. Der Druckterm $p$ ist die Arbeit, die nötig ist, um eine Volumeneinheit Fluid in einen bereits gefüllten Bereich zu schieben, die sogenannte Verschiebearbeit. Im waagerechten Venturi-Rohr ist $h$ überall gleich, und die Erhöhung der Geschwindigkeit von 1,0 auf 3,41 m/s kostet $\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)\approx 5,31\mathrm{kPa}$ Druck.

In einem Gas kommt die innere Energie pro Masseneinheit, $u$, in die Bilanz, und die pro Masse erhaltene Summe wird $u+p/\rho +\frac{1}{2}{v}^2+gh$. Deren erste beide Terme bilden zusammen die spezifische Enthalpie. Ohne Wärmeaustausch und ohne Wellenarbeit ist dies die stationäre Energiegleichung einer Düse. In einer reibungsfreien Flüssigkeit bleibt $u$ konstant und fällt heraus.

Eulers Gleichung: längs und quer zur Strömung

Das Energieargument behandelt eine ganze Stromröhre auf einmal. Das zweite newtonsche Gesetz, auf jedes kleine Fluidvolumen angewandt, liefert dasselbe Ergebnis in lokaler Form, zeigt, wo die Konstante gilt, und fügt eine zweite Regel für den Druck quer zu den Stromlinien hinzu.

Betrachte einen kleinen Würfel aus Fluid. Der Druck drückt auf jede Fläche nach innen, und die Kräfte auf gegenüberliegende Flächen heben sich bis auf die Druckdifferenz zwischen ihnen auf. Pro Volumeneinheit ist die Nettodruckkraft daher $-\nabla p$, die vom hohen zum niedrigen Druck zeigt. Addiert man die Schwerkraft, $\rho \vec{g}$ pro Volumeneinheit, und setzt die Summe gleich der Dichte mal der materiellen Ableitung, erhält man die eulersche Gleichung:
$\rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}\right)=-\nabla p+\rho \vec{g}$

Drei Schritte machen daraus die bernoullische Gleichung. Erstens ist in einer stationären Strömung $\partial \vec{v}/\partial t=0$. Zweitens zerlegt eine Vektoridentität den konvektiven Term: $(\vec{v}\cdot \nabla )\vec{v}=\nabla (\frac{1}{2}{v}^2)-\vec{v}\times \vec{\Omega }$, wobei $\vec{\Omega }=\nabla \times \vec{v}$ die Wirbelstärke ist, die doppelte lokale Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das Fluid dreht. Drittens zeigt die Schwerkraft nach unten, während $h$ nach oben gemessen wird, also gilt für konstante Dichte $\rho \vec{g}=-\nabla (\rho gh)$. Bringt man alle Gradienten auf die linke Seite,
$\nabla \left(p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh\right)=\rho \vec{v}\times \vec{\Omega }$

Die rechte Seite ist ein Kreuzprodukt mit $\vec{v}$, steht also senkrecht auf $\vec{v}$. Der Gradient der Summe hat daher keine Komponente längs der Strömung: Die Summe ist entlang jeder Stromlinie konstant, wie bei Abbildung 2 festgestellt, aber verschiedene Stromlinien dürfen verschiedene Konstanten tragen. Ist die Strömung wirbelfrei, $\vec{\Omega }=0$, verschwindet der gesamte Gradient, und eine Konstante gilt überall. Ein ideales Fluid, das aus der Ruhe startet oder aus einer gleichförmigen Strömung wie dem Wasser, das in das Venturi-Rohr eintritt, bleibt wirbelfrei, sodass in der Praxis meist eine einzige Konstante genügt.

Quer zur Strömung sagt die eulersche Gleichung etwas anderes. Wo die Stromlinien mit dem Radius $R$ gekrümmt sind, braucht jedes Teilchen die Zentripetalbeschleunigung $v^2/R$ zum Krümmungsmittelpunkt hin, und abgesehen von der Schwerkraft kann nur eine Druckdifferenz quer zu den Stromlinien sie liefern:
$\frac{\partial p}{\partial n}=\frac{\rho v^2}{R}$
Hier ist $n$ der Abstand quer zu den Stromlinien, gemessen vom Krümmungsmittelpunkt weg. Der Druck steigt daher vom Mittelpunkt einer Kurve weg an, sodass Luft, die über einen Flügel gekrümmt wird, neben ihm einen niedrigeren Druck hat als weiter außen. Wo die Stromlinien gerade und parallel sind, ist $R$ unendlich, und der Druck ändert sich quer zu ihnen nicht, abgesehen von der hydrostatischen Änderung mit der Höhe. Deshalb zeigt eine Druckbohrung in der Wand eines geraden Abschnitts den Druck auf der Achse an.

Das Druckdiagramm lesen

Das Diagramm der Animation zeigt die bernoullische Gleichung über das ganze Rohr hinweg am Werk. Seine Steigungen zeigen auch die eulersche Gleichung und erklären, warum echte Venturi-Rohre so geformt sind, wie sie sind.

Legende

$x$	Position entlang des Rohres, in Strömungsrichtung.	$\mathrm{m}$
$p$	Statischer Druck (Überdruck) auf der Achse des Rohres.	$\mathrm{Pa}$
$\frac{1}{2}\rho v^2$	Dynamischer Druck: kinetische Energie pro Volumeneinheit.	$\mathrm{Pa}$
$p+\frac{1}{2}\rho v^2$	Ihre Summe, über das ganze Rohr gleich.	$\mathrm{Pa}$

Abbildung 3 zeichnet das Druckdiagramm der Animation unter eine Skizze des Rohres, wobei die Position $x$ längs des Rohres nach rechts verläuft. Querschnitt 1 ist der weite Einlass und Querschnitt 2 die Mitte des Engpasses, und das Diagramm verfolgt das rote Teilchen entlang des Rohres. Der statische Druck $p$ (violett) fällt durch die Verengung von 7,85 auf 2,54 kPa, bleibt im Engpass konstant und erholt sich im sich weitenden Abschnitt. Der dynamische Druck $\frac{1}{2}\rho v^2$ (blau) verhält sich umgekehrt: Er steigt von 0,50 auf 5,81 kPa und fällt wieder zurück. Ihre Summe (grün) bleibt bei 8,35 kPa konstant. Die drei Kurven teilen sich eine Skala, sodass alles, was die blaue Kurve an Höhe gewinnt, die violette verliert. Ausgedrückt als Höhe der Wassersäule, die sie tragen könnte, $(p+\frac{1}{2}\rho v^2)/(\rho g)$, beträgt die Summe 0,851 m und heißt Gesamthöhe.

Betrachte nun die Steigungen. Auf der Achse lautet die eulersche Gleichung $-dp/dx=\rho vdv/dx=\rho a$, mit $a$ der Beschleunigung des Teilchens. Das Gefälle der violetten Kurve ist also die Nettokraft pro Volumeneinheit auf das Teilchen, und es ist gleich dem Anstieg der blauen Kurve. Sie ist am steilsten, etwa 25 kPa pro Meter, dort, wo das Teilchen am stärksten beschleunigt, an den steilen Flanken der Kurven in Abbildung 3. Im Engpass ist sie null, weil die Geschwindigkeit dort konstant ist.

Im sich weitenden Abschnitt steigt der Druck längs der Strömung: Die violette Kurve klettert nach rechts. Ein solcher Anstieg heißt ungünstiger Druckgradient, weil er der Bewegung entgegenwirkt. Das ideale Fluid wird einfach langsamer. In einem realen Fluid hat die Schicht direkt an der Wand bereits durch Reibung an Schwung verloren und besitzt möglicherweise nicht genug kinetische Energie, um den Druckanstieg zu überwinden; sie kommt zum Stehen, und die Strömung löst sich von der Wand ab. Deshalb weiten sich Venturi-Rohre sanfter, als sie sich verengen: hier über 60 cm, gegenüber 50 cm bei der Verengung.

Tanks, Strahlen und Pitot-Rohre

Die bernoullische Gleichung verbindet auch Punkte in unterschiedlichen Höhen und Punkte, an denen das Fluid zur Ruhe gebracht wird. Jeder Fall liefert ein einfaches und nützliches Ergebnis.

Legende

$H$	Tiefe der freien Oberfläche über dem Loch.	$\mathrm{m}$
$A_T$	Fläche der freien Oberfläche des Tanks.	${\mathrm{m}}^2$
$a$	Fläche des Lochs.	${\mathrm{m}}^2$
$v$	Geschwindigkeit des Strahls direkt außerhalb des Lochs.	$m/s$
$dH/dt$	Änderungsrate des Pegels: negativ, da der Pegel sinkt.	$m/s$

Abbildung 4 zeigt einen weiten Tank, der durch ein kleines Loch leerläuft. Verfolge die gestrichelte Stromlinie von Punkt 1, an der freien Oberfläche, zu Punkt 2, im Strahl direkt außerhalb des Lochs, eine Tiefe $H$ tiefer. An beiden Enden herrscht Atmosphärendruck: Bei 1 ist die Oberfläche der Luft ausgesetzt, und bei 2 sind die Stromlinien des Strahls gerade und parallel, sodass der Druck im Strahl gleich dem der Luft ringsum ist. Die Oberfläche bewegt sich kaum, weil sie viel breiter ist als das Loch. Daher heben sich die Druckterme auf, der kinetische Term bei 1 ist vernachlässigbar, und die potenzielle Energie $\rho gH$, die pro Volumeneinheit verloren geht, wird vollständig zur kinetischen Energie $\frac{1}{2}\rho v^2$ des Strahls:
$v=\sqrt{2gH}\text{(Torricelli)}$

Der Strahl tritt so schnell aus wie ein Stein, der aus der Höhe $H$ fallen gelassen wird. Das ist das $v=\sqrt{2gh}$ der Formelliste, nur dass die Tiefe $H$ heißt, weil sie sich beim Leerlaufen des Tanks ändert.

Wie lange braucht der Tank zum Leerlaufen? Sinkt der Pegel langsam, ist die Strömung zu jedem Zeitpunkt nahezu stationär (quasistationär), und Torricellis Ergebnis gilt für die jeweilige Tiefe. Die Kontinuität verbindet dann die beiden Enden der Stromlinie: Die freie Oberfläche, mit der Fläche $A_T$, sinkt mit der Rate $dH/dt$, die negativ ist, während der Strahl das Loch mit der Fläche $a$ mit der Geschwindigkeit $v$ verlässt:
$A_T\frac{dH}{dt}=-av=-a\sqrt{2gH}$
Da $A_T/a$ groß ist, kriecht die Oberfläche, während der Strahl herausschießt, weshalb Abbildung 4 nicht maßstabsgetreu sein kann. Trenne die Variablen, $dH/\sqrt{H}=-(a/A_T)\sqrt{2g}dt$, und integriere von der Anfangstiefe $H_0$ bis 0. Die linke Seite ergibt $-2\sqrt{H_0}$, also $2\sqrt{H_0}=(a/A_T)\sqrt{2g}t$, und der Tank ist leer nach
$t=\frac{A_T}{a}\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$

Ein Fass mit 0,25 m² Grundfläche, 0,80 m tief gefüllt und durch ein Loch von 1 cm² entleert, hat $A_T/a=2500$ und ist nach $2500\cdot \sqrt{1,6/9,81}\approx 1,0\times 10^3\mathrm{s}$ leer, also etwa 17 Minuten. Der Pegel sinkt anfangs schnell und am Ende langsam, da die Strahlgeschwindigkeit mit $\sqrt{H}$ geht.

Ein Pitot-Rohr misst die Geschwindigkeit mit einem Staupunkt. Seine offene Seite zeigt gegen die Strömung, und das dort ankommende Fluid wird zur Ruhe gebracht, $v=0$; auf gleicher Höhe ist der Druck an der Mündung daher $p+\frac{1}{2}\rho v^2$, der Staupunktdruck. Kleine Löcher in der Seite des Rohres, an denen die Strömung parallel vorbeiläuft, messen den statischen Druck $p$. Die Differenz ist $\frac{1}{2}\rho v^2$, woraus $v$ folgt. Auf der Achse der Animation würde das offene Ende überall die grünen 8,35 kPa anzeigen, während die Wandbohrungen die violette Kurve anzeigen. Ein Flugzeug mit 60 m/s in Luft der Dichte 1,2 kg/m³ sieht eine Differenz von $\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 60^2=2,16\mathrm{kPa}$.

Rechenaufgabe: wenn der Engpass saugt und siedet

Behalte das Rohr der Animation und seinen Einlass-Überdruck von 7,85 kPa bei, drehe aber den Durchfluss auf. Bei welcher Einlassgeschwindigkeit erreicht der Engpass den Atmosphärendruck, und bei welcher Geschwindigkeit siedet das Wasser dort? Nimm 101,3 kPa für die Atmosphäre und 2,34 kPa für den Dampfdruck von Wasser bei 20 °C.

Das Rohr ist waagerecht, daher lautet die bernoullische Gleichung zwischen Einlass und Engpass $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$. Die Kontinuität liefert $v_2=(A_1/A_2)v_1$, mit $A_1/A_2=3,41$. Einsetzen von $v_2$ ergibt den Überdruck im Engpass
$p_2=p_1-\frac{1}{2}\rho v_1^2\left[{\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}^2-1\right]=7,85-5,31v_1^2$
mit $p_2$ in kPa und $v_1$ in m/s; die 5,31 ist in diesen Einheiten $\frac{1}{2}\rho (3,41^2-1)$.

Der Überdruck im Engpass ist null, der Engpass also auf Atmosphärendruck, wenn $v_1=\sqrt{7,85/5,31}\approx 1,22m/s$. Bei höheren Geschwindigkeiten liegt der Engpass unter dem Atmosphärendruck, sodass ein dort geöffnetes Rohr Luft oder Flüssigkeit ansaugt, statt eine Säule zu tragen. So arbeiten eine Wasserstrahlpumpe und ein Vergaser.

Kavitation, das Sieden bei Raumtemperatur, beginnt, wenn der absolute Druck im Engpass auf den Dampfdruck fällt. Absoluter Druck ist Überdruck plus Atmosphärendruck, also tritt dies beim Überdruck $2,34-101,3\approx -99,0\mathrm{kPa}$ auf. Mit $7,85-5,31v_1^2=-99,0$ ergibt sich
$v_1=\sqrt{\frac{7,85+99,0}{5,31}}\approx 4,49m/s,v_2=3,41\cdot 4,49\approx 15,3m/s$

Das Rohr führt dann $\pi \cdot 0,24^2\cdot 4,49\approx 0,81{\mathrm{m}}^3/s$, viereinhalbmal so viel wie der Durchfluss der Animation. In der Praxis bilden sich Blasen etwas früher, an winzigen Gastaschen und in turbulenten Wirbeln. Werden sie in den sich weitenden Abschnitt mitgerissen, wo sich der Druck erholt, fallen sie heftig zusammen, und genau diese wiederholten Zusammenbrüche sind es, die Pumpenlaufräder und Schiffspropeller zerfressen.

Grenzen der Gültigkeit

Die bernoullische Gleichung beruht auf drei Idealisierungen: keine Reibung, konstante Dichte und stationäre Strömung. Jede von ihnen versagt irgendwo, und es lohnt sich zu wissen, wo.

Die Viskosität, die innere Reibung des Fluids, versagt zuerst. Die Reynolds-Zahl $\rho vd/\eta$ vergleicht die Trägheit des Fluids mit seinen Zähigkeitskräften; dabei ist $d$ der Rohrdurchmesser und $\eta$ die Viskosität von Wasser, etwa $1,0\times 10^{-3}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$. Für die Animation ergibt sie $1000\cdot 1,0\cdot 0,48/(1,0\times 10^{-3})\approx 5\times 10^5$, weit über den wenigen Tausend, bei denen die Rohrströmung turbulent wird; die reale Strömung wäre also turbulent. Dennoch spielt die Reibung in einer kurzen, glatten Verengung kaum eine Rolle, und Venturi-Messgeräte stimmen mit der idealen Formel auf wenige Prozent überein. Über das ganze Rohr gesehen verliert ein reales Venturi-Rohr jedoch dauerhaft 5 bis 20 % seines Druckabfalls, sodass die Säule nach der Weitung etwa 3 bis 11 cm unter der ersten stehen würde.

Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten hervorragend erfüllt. Der Druckabfall der Animation von 5,3 kPa verändert die Dichte von Wasser um den Bruchteil $\Delta p/K\approx 2,4\times 10^{-6}$, wobei $K\approx 2,2\mathrm{GPa}$ sein Kompressionsmodul ist, also der Druck, der pro Einheit relativer Volumenänderung nötig ist. Gase erfüllen die Bedingung, solange die Strömung weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit bleibt. Bei Mach 0,3, also drei Zehntel der Schallgeschwindigkeit oder etwa 100 m/s in Luft, ändert sich die Dichte um etwa 4,5 %, und die inkompressible Formel sagt eine um etwa 2 % zu kleine Pitot-Anzeige voraus.

Die Stationarität versagt, wenn ein Ventil schnell schließt. Der Term $\partial \vec{v}/\partial t$ dominiert dann, und eine Druckwelle, der Wasserschlag, läuft durch das Rohr. Würde man die Strömung der Animation mit 1,0 m/s abrupt stoppen, stiege der Druck um etwa $\rho c\Delta v\approx 1000\cdot 1400\cdot 1,0\approx 1,4\mathrm{MPa}$, wobei $c$ die Geschwindigkeit der Welle im wassergefüllten Rohr und $\Delta v$ die plötzliche Änderung der Geschwindigkeit ist.

Wohin das führt

Die bernoullische Gleichung ist der Arbeitssatz aus Arbeit, Energie und Leistung, pro Volumeneinheit geschrieben. Torricellis Strahl tritt mit der Geschwindigkeit aus Freier Fall aus und zeichnet die Parabel aus Schiefer Wurf nach, und $\partial p/\partial n=\rho v^2/R$ ist die Zentripetalkraft aus Kreisbewegung, angewandt auf ein Fluid. Für Gase führt die Enthalpie-Form zu Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen, und die Schallgeschwindigkeit, die das inkompressible Modell begrenzt, kehrt in Schall und Doppler-Effekt zurück.

Der Auftrieb wird oft falsch erklärt. Eine beliebte Behauptung besagt, dass die Luft über einem Flügel an der Hinterkante wieder mit der Luft darunter zusammentreffen muss und deshalb auf dem längeren oberen Weg schneller sein muss. Das ist falsch: Die Luft oben kommt zuerst an. Außerdem übt eine stationäre ideale Strömung ohne Zirkulation überhaupt keine Nettokraft auf einen Körper aus. Ein Flügel baut eine Zirkulation$\Gamma =\oint \vec{v}\cdot d\vec{l}$ auf, das Integral der Geschwindigkeit längs einer Schleife, die den Flügel umschließt: ein zusätzlicher Wirbel, der der anströmenden Strömung überlagert wird. Ihr Wert wird durch die scharfe Hinterkante festgelegt, die die Strömung glatt verlassen muss. In einem Strom der Geschwindigkeit $U$ beträgt der Auftrieb pro Spannweiteneinheit dann $\rho U\Gamma$, und die bernoullische Gleichung übersetzt die schnellere Strömung über dem Flügel und die langsamere darunter in die Druckdifferenz, die ihn trägt. Die Viskosität, die diese Zirkulation auswählt und den Widerstand verursacht, ist Thema von Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit.