Уравнение Бернулли

Там, где поток ускоряется, давление падает: неразрывность, $S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ , и уравнение Бернулли, $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ , в трубке Вентури.

Вода течёт по трубке Вентури: в сужении она ускоряется, и столб воды над трубой там самый низкий.

Перед этой темой: Давление в жидкостях и закон Паскаля, Работа, энергия и мощность

Начальный

Главное

Где труба сужается, вода должна течь быстрее: через каждое сечение за секунду проходит одно и то же количество воды.
Где вода течёт быстрее, её давление ниже; где она снова замедляется, давление растёт.
Чтобы разогнаться, нужен толчок: более высокое давление позади вгоняет воду в узкую часть.
Высота воды в тонкой трубке над трубой показывает давление в этом месте.

Разберём идею Бернулли маленькими шагами.

Шаг 1: сколько вошло, столько и вышло. Вода не может скапливаться внутри заполненной трубы, поэтому каждую секунду через любое место трубы проходит одно и то же количество воды. Там, где труба сужается, воде приходится спешить. Вот почему струя бьёт сильнее, если зажать пальцем конец садового шланга.

Шаг 2: давление — это напор. Оно показывает, как сильно вода давит на каждый кусочек поверхности, которого касается. Это видно по тонкой стеклянной трубке, поставленной на трубу: чем сильнее давит вода, тем выше она поднимается в трубке.

Шаг 3: чтобы разогнаться, нужен толчок сзади. Порция воды, входя в узкую часть, ускоряется, значит, что-то толкает её вперёд. Толкает её вода, которая идёт следом, поэтому давление позади (в широкой части) должно быть больше, чем давление впереди (в узкой). Быстрая вода — низкое давление, медленная вода — высокое. Можно сказать и так: вода получает энергию движения и расплачивается за неё давлением.

В анимации белые точки — маленькие порции воды. Следите за красной: она отрывается от соседей, проносится через узкое место и снова замедляется. Столбик воды над сужением стоит ниже всех.

Проверьте себя: два судна, быстро идущие рядом борт к борту, начинает тянуть друг к другу. Почему? (Ответ: вода, зажатая между ними, течёт быстрее, чем снаружи, поэтому её давление ниже, и более высокое давление с внешних сторон прижимает суда друг к другу.)

Средний

Главное

Неразрывность: $S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ ; если диаметр круглой трубы уменьшить вдвое, вода потечёт в четыре раза быстрее.
Уравнение Бернулли для горизонтальной трубы: $p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$ — давление обменивается на скорость.
Пример: при разгоне с 1,0 до 3,41 м/с давление падает на 5,3 кПа, и столб над сужением ниже на $Δ h \approx 0, 54 м$ .
Расходомер Вентури измеряет $Δ h$ и по двум уравнениям находит скорость и расход.

Что течёт и что мы измеряем

Этот урок посвящён установившемуся течению жидкости или газа: скорость в каждой неподвижной точке не меняется, хотя сама жидкость всё время движется через неё, а каждая частица идёт по неизменной линии, которую называют линией тока. Воду мы считаем идеальной жидкостью: несжимаемой, с постоянной плотностью $ρ = 1000 кг / м^{3}$ , и без трения. Для короткой гладкой трубы это хорошая модель.

Течение в трубе описывают четыре величины: скорость течения $v$ (м/с), усреднённая по сечению; площадь поперечного сечения $S$ (м²), которая для круглой трубы диаметром $d$ равна $S = π d^{2} /4$ ; объёмный расход $Q$ (м³/с) — объём воды, проходящий через сечение за секунду; и давление $p$ — сила, с которой вода давит на каждый квадратный метр стенки, в паскалях ( $1 Па = 1 Н / м^{2}$ ).

Тонкая вертикальная трубка на трубе — пьезометр — показывает давление как высоту: вода поднимается, пока вес её столба не уравновесит давление снизу, $p = ρ g h$ . Все давления здесь избыточные, то есть отсчитанные от атмосферного (101 кПа), которое сокращается в любой разности.

Неразрывность: сколько вошло, столько и вышло

За время $Δ t$ вода, проходящая через сечение, смещается на $v Δ t$ и заполняет цилиндр объёмом $S v Δ t$ . Разделив на время, получаем расход:
$Q = S v$

Вода не может ни скапливаться в заполненной трубе, ни исчезать из неё, поэтому через любое сечение, широкое или узкое, проходит один и тот же расход $Q$ :
$S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$

Значит, скорость обратно пропорциональна площади. Площадь круглой трубы растёт как квадрат диаметра, поэтому при уменьшении диаметра вдвое площадь уменьшается в 4 раза, а вода течёт в четыре раза быстрее, а не в два.

Уравнение Бернулли: давление в обмен на скорость

Частица, входящая в сужающийся участок, ускоряется, а значит, её должна толкать вперёд равнодействующая сила. В горизонтальной трубе такая сила может возникнуть только из-за давления окружающей воды, поэтому давление позади частицы должно быть выше давления впереди: быстрому течению соответствует низкое давление.

Энергия делает этот вывод точным: работа сил давления над частицей, которая движется из области высокого давления в область низкого, превращается в кинетическую энергию или, если частица поднимается, в потенциальную. В расчёте на единицу объёма эти энергии равны $p$ , $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ и $ρ g h$ , все в паскалях ( $1 Па = 1 Дж / м^{3}$ ), а вдоль линии тока их сумма остаётся постоянной:
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

В горизонтальной трубе слагаемые с высотой сокращаются, и падение давления равно приросту кинетической энергии единицы объёма. Два пьезометра показывают его как разность высот:
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}$

Высота тоже важна. В однородной трубе, которая поднимается на 10 м, скорость измениться не может, поэтому давление падает на $ρ g h = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 10 \approx 98 кПа$ — почти на одну атмосферу. Вот почему в высоких зданиях нужны насосы.

Пример: трубка Вентури из анимации

В масштабе анимации, общем для трубы и для столбиков, радиус трубы равен 24 см на входе и 13 см в сужении. Вода входит со скоростью $v_{1} = 1, 0 м / с$ при избыточном давлении 7,85 кПа, которое удерживает первый столбик на 0,80 м выше оси.

Неразрывность, уравнение Бернулли и правило для столбика жидкости дают:
$v_{2} = v_{1} \frac{S _{1}}{S _{2}} = 1, 0 \cdot (\frac{24}{13})^{2} \approx 3, 41 м / с$
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3, 4 1^{2} - 1, 0^{2}) \approx 5, 31 кПа$
$Δ h = \frac{5310}{1000 \cdot 9 , 81} \approx 0, 541 м$

Давление в сужении равно $7, 85 - 5, 31 = 2, 54 кПа$ , поэтому его столбик стоит над осью всего на 0,26 м. Это числа анимации: подписи $v_{1} = 1, 0 м / с$ и $v_{2} = 3, 4 м / с$ , фиолетовая стрелка $Δ h$ под штриховой линией входного уровня и числовые индикаторы, на которых $v$ растёт с 1,00 до 3,41 м/с, а $p$ падает с 7,85 до 2,54 кПа, пока красная частица входит в сужение и её синяя стрелка скорости удлиняется в 3,41 раза.

За сужением всё происходит в обратном порядке, и в идеальной жидкости последний столбик снова поднимается до 0,80 м. Расход $Q = π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 1, 0 \approx 0, 181 м^{3} / с$ , то есть 181 литр в секунду, в сужении тот же: $π \cdot 0, 1 3^{2} \cdot 3, 41 \approx 0, 181 м^{3} / с$ .

Пример: расходомер Вентури

Расходомер Вентури — это такая трубка, встроенная в трубопровод для измерения расхода. Пусть водопроводная магистраль диаметром 12 см сужается до 6 см, а столбики над двумя сечениями отличаются по высоте на 30 см. Как быстро течёт вода и сколько её проходит за секунду?

Падение давления равно $ρ g Δ h = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 0, 30 \approx 2, 94 кПа$ . При уменьшении диаметра вдвое площадь уменьшается вчетверо, поэтому $v_{2} = 4 v_{1}$ , и уравнение Бернулли принимает вид $ρ g Δ h = \frac{1}{2} ρ (16 - 1) v_{1}^{2}$ . Плотность сокращается, и в общем случае
$v_{1} = \frac{2 g Δ h}{( S _{1} / S _{2} ) ^{2} - 1} = \frac{2 \cdot 9 , 81 \cdot 0 , 30}{15} \approx 0, 63 м / с$

Тогда $v_{2} = 4 \cdot 0, 63 \approx 2, 5 м / с$ , а $Q = π \cdot 0, 0 6^{2} \cdot 0, 63 \approx 7, 1 \times 1 0^{- 3} м^{3} / с$ , то есть около 7 литров в секунду. Если подставить в ту же формулу 0,541 м и отношение площадей 3,41 из анимации, получится её скорость 1,0 м/с. Обратите внимание, что $Δ h$ растёт как квадрат расхода: при вдвое большем расходе было бы 1,20 м, поэтому каждый расходомер рассчитан на ограниченный диапазон.

Как читать столбики и точки

Вершина каждого столбика стоит над осью на высоте $p / (ρ g)$ ; её называют пьезометрическим напором. Добавьте скоростной напор $v^{2} / (2 g)$ , равный 0,05 м на входе и 0,59 м в сужении, и в каждом сечении получится один и тот же полный напор, 0,85 м: это уравнение Бернулли, поделённое на $ρ g$ . В реальных трубопроводах из-за трения этот уровень понижается вдоль течения.

Белые точки входят в трубу с постоянной частотой, поэтому промежуток между соседними точками в ряду равен скорости, умноженной на неизменное время: в сужении промежутки увеличиваются в 3,41 раза, а три ряда сближаются, потому что линии тока сгущаются там, где течение быстрое.

Частые ошибки

Низкое давление в сужении не засасывает воду. Воду толкает сзади более высокое давление: 7,85 кПа на входе против 2,54 кПа в сужении.
Скорости нужно возводить в квадрат до вычитания: для анимации $\frac{1}{2} ρ (v_{2} - v_{1})^{2}$ даёт 2,90 кПа вместо правильных 5,31 кПа.
Сужение не повышает давление внутри себя. Палец на шланге повышает давление позади него, потому что задерживает поток, но при заданном расходе в горизонтальной трубе самое узкое сечение имеет самое низкое давление.
Давление не расходуется в сужении. В идеальной жидкости оно восстанавливается полностью, и последний столбик снова стоит на уровне 0,80 м; в реальной трубе трение оставляет его на несколько сантиметров ниже.

Где это встречается

Расходомеры Вентури измеряют расход воды, топлива и газа. Карбюраторы и пульверизаторы для духов используют низкое давление быстрой струи воздуха, чтобы поднять жидкость по трубке, а лабораторный водоструйный насос так же откачивает воздух из колбы. Трубка Пито на самолёте сравнивает давление заторможенного воздуха со статическим и по этой разности находит скорость полёта, а два корабля, идущие рядом на малом расстоянии, сближаются из-за более быстрого течения воды между ними.

Эта тема опирается на уроки «Давление в жидкостях и закон Паскаля» (для столбиков) и «Работа, энергия и мощность» (для закона сохранения энергии). Трение, которое здесь не учитывается, — вязкость — разбирается в уроке «Сопротивление среды и предельная скорость».

Продвинутый

Главное

$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$ : работа сил давления над трубкой тока равна энергии, полученной жидкостью.
Даже в установившемся потоке частица ускоряется при движении — член $(v \cdot \nabla) v$ ; сила — это $- \nabla p$ .
Сумма постоянна вдоль линии тока (стационарно, без вязкости, несжимаемо); если $\nabla \times v = 0$ , постоянная одна для всего потока.
Из-за вязкости напор вдоль реальной трубы падает; газам выше числа Маха 0,3 нужна сжимаемая форма; низкое давление грозит кавитацией.
Бак опорожняется со скоростью Торричелли $v = 2 g h$ , как при свободном падении с поверхности: потенциальная энергия становится кинетической.

Линии тока, трубки тока и движущаяся частица

В этом разделе вводится язык описания течений, и с его помощью мы ответим на первый вопрос: почему вода разгоняется в сужающейся трубе и как велико её ускорение? Сквозной пример — трубка Вентури из анимации. Вода плотностью $ρ = 1000 кг / м^{3}$ входит в широкую трубу радиусом 24 см со скоростью 1,0 м/с при избыточном давлении (превышении над атмосферным) 7,85 кПа — этого хватает, чтобы удерживать столб воды высотой 0,80 м. Затем она проходит сужение радиусом 13 см, и труба снова расширяется.

Течение описывают полем скоростей $v (r, t)$ — скоростью той жидкости, которая находится в точке $r$ в момент $t$ . Течение установившееся, если это поле не меняется со временем ни в одной неподвижной точке: $\partial v / \partial t = 0$ . Линия тока — это линия, касательная к $v$ в каждой своей точке. В установившемся течении линии тока неподвижны, и каждая малая частица жидкости движется вдоль одной из них.

**Рисунок 1.** Линии тока в сужающейся трубе. Две более толстые ограничивают трубку тока, которую жидкость не пересекает, поэтому через $A_{1}$ и $A_{2}$ за секунду проходит один и тот же объём, а линии сгущаются там, где жидкость быстрее; скорость $v$ у стенки, которая сама является линией тока, направлена вдоль неё.

На рисунке 1 показана сужающаяся труба. Тонкие синие линии — линии тока; скорость в любой точке направлена по касательной к линии тока, проходящей через неё. Стенка тоже является линией тока, потому что жидкость сквозь неё не проходит: стрелка $v$ у точки на стенке направлена вдоль стенки. Две более толстые линии ограничивают трубку тока — пучок соседних линий тока. Раз жидкость не пересекает линии тока, она не пересекает и боковую поверхность трубки: всё, что входит в неё через сечение 1 площадью $A_{1}$ , должно выйти через сечение 2 площадью $A_{2}$ . Здесь, как и на рисунках, площади обозначены буквой $A$ ; в ключевых формулах урока им соответствует $S$ .

Для жидкости плотность постоянна, поэтому объём, входящий за секунду, должен равняться объёму, выходящему за секунду. Этот объёмный расход равен $Q = A v$ , где $v$ — средняя скорость по сечению, поэтому
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
Поскольку $A_{2}$ меньше $A_{1}$ , скорость $v_{2}$ больше $v_{1}$ в $A_{1} / A_{2}$ раз. Посмотрите на линии тока на рисунке 1: там, где трубка узкая, они сгущаются. Между соседними линиями протекает одинаковый объём, поэтому расстояние между ними наглядно показывает скорость: чем гуще линии, тем быстрее жидкость. Стрелки $v_{1}$ и $v_{2}$ нарисованы в отношении $A_{1} / A_{2}$ . В анимации $A_{1} / A_{2} = (24/13)^{2} \approx 3, 41$ , так что в сужении вода разгоняется до 3,41 м/с. Локальная форма этого закона — $\nabla \cdot v = 0$ : жидкость постоянной плотности ни в одной точке не может ни скапливаться, ни разрежаться.

Установившееся не значит без ускорения. Поле в анимации никогда не меняется, и всё же красная частица разгоняется с 1,0 до 3,41 м/с, потому что попадает в область, где поле быстрее. Быстрота изменения собственной скорости частицы — это материальная производная:
$\frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v$
Первое слагаемое — изменение поля в неподвижной точке; в установившемся течении оно равно нулю. Второе, конвективное, — это изменение, которое частица встречает из-за того, что движется: за время $d t$ она смещается на $v d t$ туда, где поле другое. На оси трубы скорость направлена вдоль оси, назовём её $x$ , и конвективное слагаемое сводится к $v d v / d x$ . В анимации оно достигает примерно 25 м/с², около $2, 5 g$ , у конца сужающегося участка, а на расширяющемся участке частица тормозится с ускорением до 21 м/с².

Баланс энергии в трубке тока

Почему более быстрая жидкость должна иметь меньшее давление? Чтобы разогнаться, частице нужна результирующая сила, направленная вперёд, а в горизонтальной трубе её может создать только давление: давление позади частицы должно быть больше, чем впереди. В этом разделе эта мысль превращается в точный баланс энергии — уравнение Бернулли.

**Рисунок 2.** Сужающаяся и поднимающаяся трубка тока за короткое время $d t$ : слой объёмом $d V$ входит через сечение 1, а такой же слой, более длинный, потому что трубка тоньше, выходит через сечение 2. Силы $p_{1} A_{1}$ и $p_{2} A_{2}$ совершают суммарную работу $(p_{1} - p_{2}) d V$ . Не в масштабе.

На рисунке 2 показана трубка тока, которая сужается и поднимается: от сечения 1 на высоте $h_{1}$ до сечения 2 на высоте $h_{2}$ ; обе высоты отсчитаны до оси трубки. Проследим за жидкостью в трубке в течение короткого времени $d t$ . Через сечение 1 входит слой длиной $v_{1} d t$ , массой $d M = ρ A_{1} v_{1} d t$ и объёмом $d V = d M / ρ$ . Через сечение 2 выходит слой длиной $v_{2} d t$ . По неразрывности у него та же масса и тот же объём, поэтому он длиннее первого: трубка там тоньше.

Между двумя слоями ничего не изменилось: течение установившееся, и в каждой точке по-прежнему находится жидкость с той же скоростью, что и раньше. Поэтому итог промежутка $d t$ таков: слой $d V$ забрали у сечения 1 и перенесли к сечению 2, придав ему скорость и высоту сечения 2. Его энергия выросла на
$d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2}) + d M g (h_{2} - h_{1})$

Что оплатило этот прирост? Не давление на боковую поверхность трубки: оно действует перпендикулярно потоку и работы не совершает. Работа совершается на двух концах. Жидкость сзади толкает входящий слой с силой $p_{1} A_{1}$ на пути $v_{1} d t$ и совершает работу $p_{1} A_{1} v_{1} d t = p_{1} d V$ . У сечения 2 жидкость впереди давит навстречу с силой $p_{2} A_{2}$ , пока выходящий слой продвигается против неё на $v_{2} d t$ ; это работа $- p_{2} d V$ . Без трения, по теореме о кинетической энергии, где работа силы тяжести учтена через потенциальную энергию, суммарная работа равна приросту энергии:
$(p_{1} - p_{2}) d V = d M (\frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} v_{1}^{2} + g h_{2} - g h_{1})$

Разделите на $d V$ , учтите, что $d M / d V = ρ$ , и соберите слагаемые каждого сечения в своей части равенства: $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$ . Сечения 1 и 2 были любыми, поэтому вдоль трубки
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const$

Каждое слагаемое — это энергия единицы объёма, измеряемая в паскалях (1 Па = 1 Дж/м³). Слагаемое $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ — кинетическая энергия, $ρ g h$ — потенциальная. Слагаемое с давлением $p$ — это работа, которую нужно совершить, чтобы втолкнуть единичный объём жидкости в область, которая уже заполнена; её называют работой проталкивания. В горизонтальной трубке Вентури $h$ везде одинакова, и разгон с 1,0 до 3,41 м/с обходится в $\frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) \approx 5, 31 кПа$ давления.

В газе в баланс входит ещё внутренняя энергия единицы массы $u$ , и сумма, сохраняющаяся для единицы массы, принимает вид $u + p / ρ + \frac{1}{2} v^{2} + g h$ . Два первых её слагаемых вместе образуют удельную энтальпию. Без теплообмена и работы на валу это уравнение энергии стационарного потока для сопла. В жидкости без трения $u$ постоянна и выпадает из баланса.

Уравнение Эйлера: вдоль потока и поперёк

Энергетический довод рассматривает сразу всю трубку тока. Второй закон Ньютона, применённый к каждому малому объёму жидкости, даёт тот же результат в локальной форме, показывает, где сумма сохраняет постоянное значение, и добавляет второе правило — для давления поперёк линий тока.

Рассмотрим маленький кубик жидкости. Давление давит внутрь на каждую грань, и силы на противоположных гранях компенсируют друг друга, за исключением разности давлений между ними. Поэтому результирующая сила давления в расчёте на единицу объёма равна $- \nabla p$ и направлена от высокого давления к низкому. Добавив силу тяжести, $ρ g$ на единицу объёма, и приравняв сумму произведению плотности на материальную производную, получаем уравнение Эйлера:
$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + ρ g$

Три шага превращают его в уравнение Бернулли. Во-первых, в установившемся течении $\partial v / \partial t = 0$ . Во-вторых, векторное тождество разбивает конвективное слагаемое: $(v \cdot \nabla) v = \nabla (\frac{1}{2} v^{2}) - v \times Ω$ , где $Ω = \nabla \times v$ — завихрённость, удвоенная локальная угловая скорость, с которой вращается жидкость. В-третьих, сила тяжести направлена вниз, а $h$ отсчитывается вверх, поэтому при постоянной плотности $ρ g = - \nabla (ρ g h)$ . Перенеся все градиенты влево, получаем
$\nabla (p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h) = ρ v \times Ω$

Правая часть — векторное произведение на $v$ , поэтому она перпендикулярна $v$ . Значит, у градиента суммы нет составляющей вдоль потока: сумма постоянна вдоль каждой линии тока, как мы нашли с помощью рисунка 2, но для разных линий тока постоянные могут быть разными. Если течение безвихревое, $Ω = 0$ , обращается в нуль весь градиент, и одна постоянная годится везде. Идеальная жидкость, которая начала движение из покоя или из однородного потока, как вода на входе в трубку Вентури, остаётся безвихревой, поэтому на практике обычно хватает одной постоянной.

Поперёк потока уравнение Эйлера говорит другое. Там, где линии тока искривлены с радиусом $R$ , каждой частице нужно центростремительное ускорение $v^{2} / R$ , направленное к центру кривизны, и, не считая силы тяжести, создать его может только разность давлений поперёк линий тока:
$\frac{\partial p}{\partial n} = \frac{ρ v ^{2}}{R}$
Здесь $n$ — расстояние поперёк линий тока, отсчитываемое от центра кривизны. Поэтому давление растёт при удалении от центра изгиба, и у воздуха, обтекающего крыло сверху, давление у самой поверхности ниже, чем дальше от неё. Там, где линии тока прямые и параллельные, $R$ бесконечен, и давление поперёк них не меняется, если не считать гидростатического изменения с высотой. Именно поэтому отверстие для отбора давления в стенке прямого участка показывает давление на оси.

Как читать график давлений

График в анимации показывает уравнение Бернулли в действии вдоль всей трубки. Его наклоны показывают ещё и уравнение Эйлера и объясняют, почему настоящие трубки Вентури имеют именно такую форму.

**Рисунок 3.** Давления вдоль трубки Вентури в одном масштабе под эскизом трубки. Там, где трубка сужается, $p$ падает ровно на столько, на сколько растёт $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ , поэтому их сумма остаётся постоянной; точки отмечают значения в сечениях 1 и 2.

На рисунке 3 график давлений из анимации перерисован под эскизом трубки; координата $x$ вдоль трубы растёт вправо. Сечение 1 — широкий вход, сечение 2 — середина сужения, а график следует за красной частицей вдоль трубы. Статическое давление $p$ (фиолетовая кривая) падает с 7,85 до 2,54 кПа на сужающемся участке, остаётся постоянным вдоль сужения и восстанавливается на расширяющемся. Динамическое давление $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ (синяя кривая) ведёт себя наоборот: растёт с 0,50 до 5,81 кПа и снова падает. Их сумма (зелёная кривая) остаётся постоянной — 8,35 кПа. Все три кривые построены в одном масштабе, поэтому сколько высоты набирает синяя кривая, столько теряет фиолетовая. Если выразить сумму высотой столба воды, который она могла бы удержать, $(p + \frac{1}{2} ρ v^{2}) / (ρ g)$ , получится 0,851 м; эту величину называют полным напором.

Теперь посмотрите на наклоны. На оси уравнение Эйлера принимает вид $- d p / d x = ρ v d v / d x = ρ a$ , где $a$ — ускорение частицы. Значит, спад фиолетовой кривой — это результирующая сила на единицу объёма, действующая на частицу, и он равен подъёму синей кривой. Круче всего, примерно на 25 кПа на метр, кривые идут там, где частица ускоряется сильнее всего, — на крутых склонах кривых на рисунке 3. Вдоль сужения наклон равен нулю: там скорость постоянна.

На расширяющемся участке давление вдоль потока растёт: справа фиолетовая кривая поднимается. Такой рост называют неблагоприятным градиентом давления, потому что он противодействует движению. Идеальная жидкость просто замедляется. В реальной жидкости слой у стенки уже заторможен трением, и ему может не хватить кинетической энергии, чтобы преодолеть рост давления; он останавливается, и поток отрывается от стенки. Поэтому трубки Вентури расширяются плавнее, чем сужаются: здесь на протяжении 60 см против 50 см на сужение.

Баки, струи и трубки Пито

Уравнение Бернулли связывает также точки на разной высоте и точки, где жидкость останавливается. Каждый такой случай даёт простой и полезный результат.

**Рисунок 4.** Вода вытекает из широкого бака через маленькое отверстие. Штриховая линия тока идёт от неподвижной свободной поверхности (1) к струе (2) на глубине $H$ ниже, поэтому $v = 2 g H$ ; тем временем уровень опускается со скоростью $d H / d t$ , причём $A_{T} d H / d t = - a v$ . Не в масштабе.

На рисунке 4 показан широкий бак, из которого вода вытекает через маленькое отверстие. Пройдите по штриховой линии тока от точки 1 на свободной поверхности до точки 2, которая находится в струе сразу за отверстием, на $H$ ниже. На обоих концах давление атмосферное: в точке 1 поверхность открыта воздуху, а в точке 2 линии тока струи прямые и параллельные, поэтому давление внутри струи равно давлению окружающего воздуха. Поверхность почти неподвижна, потому что она гораздо шире отверстия. Значит, слагаемые с давлением сокращаются, кинетическим слагаемым в точке 1 можно пренебречь, и потенциальная энергия $ρ g H$ , которую теряет единица объёма, целиком переходит в кинетическую энергию струи $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ :
$v = 2 g H (Торричелли)$

Струя вытекает с той же скоростью, какую приобретает камень, упавший с высоты $H$ . Это формула $v = 2 g h$ из списка формул; глубина здесь обозначена $H$ , потому что она меняется по мере опорожнения бака.

Сколько времени бак будет опорожняться? Если уровень опускается медленно, течение в каждый момент почти установившееся (квазистационарное), и формула Торричелли верна для текущей глубины. Тогда неразрывность связывает два конца линии тока: свободная поверхность площадью $A_{T}$ опускается со скоростью $d H / d t$ , которая отрицательна, а струя выходит из отверстия площадью $a$ со скоростью $v$ :
$A_{T} \frac{d H}{d t} = - a v = - a 2 g H$
Поскольку отношение $A_{T} / a$ велико, поверхность едва ползёт, а струя бьёт вовсю; поэтому рисунок 4 и не может быть выполнен в масштабе. Разделите переменные, $d H / H = - (a / A_{T}) 2 g d t$ , и проинтегрируйте от начальной глубины $H_{0}$ до 0. Левая часть даёт $- 2 H_{0}$ , откуда $2 H_{0} = (a / A_{T}) 2 g t$ , и бак опустеет за время
$t = \frac{A _{T}}{a} \frac{2 H _{0}}{g}$

У бочки сечением 0,25 м², наполненной до глубины 0,80 м и опорожняемой через отверстие площадью 1 см², отношение $A_{T} / a = 2500$ , и она опустеет за $2500 \cdot 1, 6/9, 81 \approx 1, 0 \times 1 0^{3} с$ , то есть примерно за 17 минут. Уровень сначала падает быстро, а к концу медленно, потому что скорость струи пропорциональна $H$ .

Трубка Пито измеряет скорость с помощью точки торможения. Её открытый конец обращён навстречу потоку, и жидкость, подходящая к нему, останавливается, $v = 0$ ; поэтому на той же высоте давление у входа в трубку равно $p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ — давлению торможения. Маленькие отверстия в боковой стенке трубки, мимо которых поток течёт параллельно, показывают статическое давление $p$ . Разность равна $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ , и из неё находят $v$ . На оси трубы из анимации открытый конец показывал бы везде зелёные 8,35 кПа, а отборы давления в стенке — фиолетовую кривую. У самолёта, летящего со скоростью 60 м/с в воздухе плотностью 1,2 кг/м³, разность составляет $\frac{1}{2} \cdot 1, 2 \cdot 6 0^{2} = 2, 16 кПа$ .

Задача: когда сужение всасывает и вода закипает

Сохраним трубку из анимации и избыточное давление на входе 7,85 кПа, но увеличим расход. При какой скорости на входе давление в сужении сравняется с атмосферным и при какой скорости вода там закипит? Примите атмосферное давление равным 101,3 кПа, а давление насыщенных паров воды при 20 °C — 2,34 кПа.

Трубка горизонтальна, поэтому уравнение Бернулли между входом и сужением имеет вид $p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ . Из неразрывности $v_{2} = (A_{1} / A_{2}) v_{1}$ , где $A_{1} / A_{2} = 3, 41$ . Подставив $v_{2}$ , получаем избыточное давление в сужении
$p_{2} = p_{1} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{A _{1}}{A _{2}})^{2} - 1] = 7, 85 - 5, 31 v_{1}^{2}$
где $p_{2}$ выражено в кПа, а $v_{1}$ — в м/с; число 5,31 — это $\frac{1}{2} ρ (3, 4 1^{2} - 1)$ в этих единицах.

Избыточное давление в сужении равно нулю, то есть давление там атмосферное, при $v_{1} = 7, 85/5, 31 \approx 1, 22 м / с$ . При больших скоростях давление в сужении ниже атмосферного, и трубка, открытая в этом месте, не удерживает столбик, а втягивает воздух или жидкость. Так работают водоструйный насос и карбюратор.

Кавитация, то есть кипение при комнатной температуре, начинается, когда абсолютное давление в сужении падает до давления насыщенных паров. Абсолютное давление равно избыточному плюс атмосферное, поэтому это происходит при избыточном давлении $2, 34 - 101, 3 \approx - 99, 0 кПа$ . Приравняв $7, 85 - 5, 31 v_{1}^{2} = - 99, 0$ , получаем
$v_{1} = \frac{7 , 85 + 99 , 0}{5 , 31} \approx 4, 49 м / с, v_{2} = 3, 41 \cdot 4, 49 \approx 15, 3 м / с$

Тогда по трубе идёт $π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 4, 49 \approx 0, 81 м^{3} / с$ , в четыре с половиной раза больше, чем в анимации. На практике пузырьки появляются чуть раньше — вокруг мельчайших газовых включений и в турбулентных вихрях. Унесённые на расширяющийся участок, где давление восстанавливается, они схлопываются с огромной силой, и именно эти многократные схлопывания оставляют раковины на рабочих колёсах насосов и на гребных винтах кораблей.

Границы применимости

Уравнение Бернулли опирается на три идеализации: отсутствие трения, постоянную плотность и установившееся течение. Каждая из них где-то нарушается, и полезно знать, где именно.

Первым нарушается предположение об отсутствии вязкости — внутреннего трения жидкости. Число Рейнольдса $ρ v d / η$ сравнивает инерцию жидкости с силами вязкости; здесь $d$ — диаметр трубы, а $η$ — вязкость воды, около $1, 0 \times 1 0^{- 3} Па \cdot с$ . Для анимации оно равно $1000 \cdot 1, 0 \cdot 0, 48/ (1, 0 \times 1 0^{- 3}) \approx 5 \times 1 0^{5}$ — намного больше тех нескольких тысяч, при которых течение в трубе становится турбулентным, так что реальное течение было бы турбулентным. И всё же в коротком гладком сужении трение почти не играет роли, и расходомеры Вентури согласуются с идеальной формулой в пределах нескольких процентов. Но на всей своей длине реальная трубка Вентури необратимо теряет от 5 до 20 % перепада давления, так что столбик за расширением стоял бы на 3–11 см ниже первого.

Для жидкостей несжимаемость выполняется превосходно. Перепад 5,3 кПа в анимации изменяет плотность воды на долю $Δ p / K \approx 2, 4 \times 1 0^{- 6}$ , где $K \approx 2, 2 ГПа$ — её модуль объёмной упругости, то есть давление, необходимое на единицу относительного изменения объёма. Газы подходят, пока течение намного медленнее звука. При числе Маха 0,3, то есть при трёх десятых скорости звука, или около 100 м/с в воздухе, плотность меняется примерно на 4,5 %, и формула для несжимаемой жидкости даёт показание трубки Пито, заниженное примерно на 2 %.

Стационарность нарушается, если быстро закрыть вентиль. Тогда преобладает слагаемое $\partial v / \partial t$ , и по трубе бежит волна давления, называемая гидравлическим ударом. Резкая остановка потока со скоростью 1,0 м/с из анимации повысила бы давление примерно на $ρ c Δ v \approx 1000 \cdot 1400 \cdot 1, 0 \approx 1, 4 МПа$ , где $c$ — скорость этой волны в трубе с водой, а $Δ v$ — внезапное изменение скорости.

Что дальше

Уравнение Бернулли — это теорема о кинетической энергии из урока «Работа, энергия и мощность», записанная для единицы объёма. Струя Торричелли вылетает со скоростью, знакомой по уроку «Свободное падение», и описывает параболу из урока «Движение тела, брошенного под углом», а соотношение $\partial p / \partial n = ρ v^{2} / R$ — это центростремительная сила из урока «Движение по окружности», применённая к жидкости. Для газов форма с энтальпией ведёт к уроку «Первое начало термодинамики и тепловые двигатели», а скорость звука, которая ограничивает модель несжимаемой жидкости, возвращается в уроке «Звук и эффект Доплера».

Подъёмную силу часто объясняют неверно. Распространённое утверждение гласит, что воздух над крылом должен встретиться у задней кромки с воздухом под ним и поэтому обязан двигаться быстрее по более длинному верхнему пути. Это ложно: верхний воздух приходит первым. Более того, установившееся идеальное течение без циркуляции вообще не действует на тело результирующей силой. На самом деле крыло создаёт циркуляцию $Γ = \oint v \cdot d l$ — интеграл скорости по контуру, охватывающему крыло: общее закручивание, добавленное к набегающему потоку. Её величину задаёт острая задняя кромка, с которой поток должен сходить плавно. В потоке со скоростью $U$ подъёмная сила на единицу размаха равна $ρ U Γ$ , а уравнение Бернулли превращает более быстрое течение над крылом и более медленное под ним в разность давлений, которая и создаёт эту силу. Вязкость, которая выбирает эту циркуляцию и порождает сопротивление, разбирается в уроке «Сопротивление среды и предельная скорость».

Главные формулы

Объёмный расход

Q = S v

За время $Δ t$ жидкость, проходящая через сечение, смещается на $v Δ t$ и заполняет цилиндр объёмом $S v Δ t$ ; разделив на время, получаем объём за секунду. Умноженный на плотность, он превращается в массовый расход, $ρS v$ в кг/с.

Обозначения
$Q$	объёмный расход через сечение	$м^{3} / с$
$S$	площадь поперечного сечения, под прямым углом к течению	$м^{2}$
$v$	скорость течения, усреднённая по сечению	$м / с$

Когда верна: Верно для любой жидкости, если $v$ — скорость, усреднённая по сечению, а $S$ измерена под прямым углом к течению.

Пример: Вход в анимации: $Q = π \cdot 0, 2 4^{2} \cdot 1, 0 \approx 0, 181 м^{3} / с$ , то есть 181 литр каждую секунду.

Уравнение неразрывности

S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}

Вода не может ни скапливаться в заполненной трубе, ни исчезать из неё, поэтому объём, который входит за секунду, должен выходить через любое другое сечение: $Q$ везде одинаков. Значит, скорость обратно пропорциональна площади. Для круглой трубы $S \propto d^{2}$ , поэтому при уменьшении диаметра вдвое вода течёт в четыре раза быстрее.

Обозначения
$S_{1}$	площадь поперечного сечения в широкой части	$м^{2}$
$v_{1}$	скорость течения в широкой части	$м / с$
$S_{2}$	площадь поперечного сечения в узкой части	$м^{2}$
$v_{2}$	скорость течения в узкой части	$м / с$

Когда верна: Установившееся течение несжимаемой жидкости (жидкости или газа при скоростях, намного меньших скорости звука) без утечек и ответвлений. Для сжимаемого газа неизменным остаётся массовый расход $ρS v$ .

Пример: В анимации площадь сужения в 3,41 раза меньше, поэтому $v_{2} = 3, 41 \cdot 1, 0 = 3, 41 м / с$ .

Уравнение Бернулли

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const

Каждое слагаемое — это энергия единицы объёма, в паскалях ( $1 Па = 1 Дж / м^{3}$ ): $p$ — работа, которую может совершить давление, $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ — кинетическая энергия, а $ρ g h$ — потенциальная. Силы давления совершают работу над частицей, которая движется из области высокого давления в область низкого, и эта работа становится кинетической или потенциальной энергией, поэтому сумма вдоль линии тока не меняется. Быстрее на той же высоте — значит, ниже давление.

Обозначения
$p$	статическое давление	$Па$
$ρ$	плотность жидкости	$кг / м^{3}$
$v$	скорость течения	$м / с$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$
$h$	высота над выбранным нулевым уровнем	$м$

Когда верна: Установившееся течение несжимаемой жидкости без вязкости, вдоль одной линии тока; одна и та же постоянная для разных линий — только если течение безвихревое. В реальной трубе трение уменьшает сумму вдоль потока.

Пример: В анимации сумма равна $7, 85 + 0, 50 = 8, 35 кПа$ на входе и $2, 54 + 5, 81 = 8, 35 кПа$ в сужении.

Падение давления в горизонтальной трубе

p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

Если высота не меняется, слагаемые $ρ g h$ сокращаются, и давление падает ровно на прирост кинетической энергии единицы объёма. Разность давлений — причина ускорения, а не его следствие: жидкость разгоняется, потому что давление позади неё выше давления впереди. Скорости нужно возводить в квадрат до вычитания.

Обозначения
$p_{1}$	давление в широкой части	$Па$
$p_{2}$	давление в узкой части	$Па$
$ρ$	плотность жидкости	$кг / м^{3}$
$v_{1}$	скорость течения в широкой части	$м / с$
$v_{2}$	скорость течения в узкой части	$м / с$

Когда верна: Горизонтальная труба и идеальное установившееся течение. Если труба поднимается от $h_{1}$ до $h_{2}$ , к правой части нужно добавить $ρ g (h_{2} - h_{1})$ .

Пример: От 1,0 до 3,41 м/с в воде: $p_{1} - p_{2} = 500 \cdot (3, 4 1^{2} - 1) \approx 5, 31 кПа$ .

Разность давлений как разность высот столбиков

Δ h = \frac{p _{1} - p _{2}}{ρ g}

Тонкая вертикальная трубка на трубе заполняется, пока вес её столба не уравновесит давление под ним, $p = ρ g h$ , — это гидростатическое правило из урока «Давление в жидкостях и закон Паскаля». Две такие трубки превращают разность давлений в разность высот: каждые 9,81 кПа давления — это метр водяного столба.

Обозначения
$Δ h$	разность высот двух столбиков	$м$
$p_{1}$	давление под первым столбиком	$Па$
$p_{2}$	давление под вторым столбиком	$Па$
$ρ$	плотность жидкости в столбиках	$кг / м^{3}$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$

Когда верна: Столбики содержат ту же жидкость, что и труба, и находятся в покое; их отводы расположены вровень со стенкой там, где линии тока прямые. U-образная трубка с более тяжёлой жидкостью, например ртутью под водой, требует вместо $ρ$ разности двух плотностей.

Пример: В анимации $Δ h = 5310/ (1000 \cdot 9, 81) \approx 0, 541 м$ — это отмеченная $Δ h$ .

Закон Торричелли

v = 2 g h (Торричелли)

Проследим линию тока от свободной поверхности широкого бака, где вода почти покоится, до струи сразу за отверстием на глубине $h$ под поверхностью. В обеих точках давление атмосферное, поэтому слагаемые с давлением сокращаются, а потенциальная энергия $ρ g h$ становится кинетической энергией $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ . Струя вылетает со скоростью тела, свободно упавшего с высоты $h$ .

Обозначения
$v$	скорость струи, вытекающей из отверстия	$м / с$
$g$	ускорение свободного падения	$м / с^{2}$
$h$	глубина отверстия под свободной поверхностью	$м$

Когда верна: Бак намного шире отверстия (иначе нужно учитывать движение поверхности), потери не учитываются. Реальная струя немного медленнее, а сразу за отверстием с острыми краями она сужается, поэтому расход меньше, чем скорость струи, умноженная на площадь отверстия.

Пример: Отверстие на 0,80 м ниже поверхности: $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 0, 80 \approx 3, 96 м / с$ .

Глоссарий

Установившееся течение: Течение, при котором скорость в каждой неподвижной точке со временем не меняется, хотя каждая частица при движении может ускоряться или замедляться. Течение в анимации установившееся: картина не меняется, но каждая частица разгоняется при входе в сужение.
Линия тока: Линия, направление которой в каждой точке совпадает с направлением скорости течения. В установившемся потоке по ней движется частица; линии тока не пересекаются и сгущаются там, где течение быстрое.
Трубка тока: Пучок соседних линий тока, образующий трубку. Через её стенки жидкость не проходит, поэтому через каждое сечение за секунду проходит одна и та же масса; труба — это трубка тока с твёрдыми стенками.
Идеальная жидкость: Модельная жидкость, несжимаемая (с постоянной плотностью) и невязкая (без внутреннего трения). Простая форма уравнения Бернулли точна только для такой жидкости; вода в короткой гладкой трубе близка к ней.
Безвихревое течение: Течение, в котором завихрённость $\nabla \times v$ всюду равна нулю, так что малые частицы жидкости движутся, не вращаясь. Тогда сумма Бернулли имеет одно и то же значение на всех линиях тока, а не только вдоль каждой.
Площадь поперечного сечения: Площадь $S$ разреза трубы под прямым углом к течению, в м². Для круглой трубы диаметром $d$ она равна $S = π d^{2} /4$ , поэтому при уменьшении диаметра вдвое площадь уменьшается в 4 раза.
Уравнение неразрывности: Закон сохранения массы в потоке. Для несжимаемой жидкости объёмный расход $Q = S v$ одинаков в каждом сечении, поэтому жидкость быстрее всего течёт там, где труба уже всего.
Закон Бернулли: Вдоль линии тока установившегося идеального течения сумма $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h$ остаётся постоянной, поэтому там, где жидкость на той же высоте ускоряется, её давление падает. Это закон сохранения энергии для движущейся жидкости.
Эффект Вентури: Падение давления в самой узкой части трубы — сужении, — где жидкость движется быстрее всего. Расходомер Вентури считывает это падение как разность высот столбиков и превращает её в расход.
Избыточное давление: Давление, отсчитанное от атмосферного, около 101 кПа, а не от вакуума. Давления в анимации избыточные: 2,54 кПа в сужении — это около 104 кПа абсолютного давления.
Напор: Давление или энергия единицы объёма, выраженные как высота столба жидкости: $p / (ρ g)$ — пьезометрический напор, а $v^{2} / (2 g)$ — скоростной. В идеальном течении их сумма плюс высота точки одинакова вдоль всей линии тока; из-за трения этот полный напор вдоль реальной трубы убывает, и такое убывание называют потерей напора.
Кавитация: Местное вскипание жидкости там, где давление падает ниже давления насыщенных паров, для воды при 20 °C около 2,3 кПа абсолютного давления. Пузырьки пара с силой схлопываются, попав в область более высокого давления, и могут разъедать рабочие колёса насосов и гребные винты кораблей.

Величины
$p$	Статическое давление	$Па$	Сила на единицу площади, с которой движущаяся жидкость давит на стенку трубы; его показывает пьезометр или отбор давления в стенке; $1 Па = 1 Н / м^{2} = 1 Дж / м^{3}$ .
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	Динамическое давление	$Па$	Кинетическая энергия единицы объёма потока и прирост давления там, где поток тормозится до остановки: 0,50 кПа на входе анимации и 5,81 кПа в её сужении.
$v$	Скорость течения	$м / с$	Как быстро движется жидкость; в расчётах для труб её усредняют по сечению: 1,0 м/с на входе анимации и 3,41 м/с в сужении.
$ρ$	Плотность	$кг / м^{3}$	Масса единицы объёма: 1000 кг/м³ для воды и около 1,2 кг/м³ для воздуха при комнатных условиях. В несжимаемом потоке она остаётся постоянной.
$Q$	Объёмный расход	$м^{3} / с$	Объём, проходящий через сечение за секунду, $Q = S v$ : в анимации 0,181 м³/с, то есть 181 литр в секунду.
$h$	Высота	$м$	Высота точки над выбранным нулевым уровнем; она входит в уравнение как потенциальная энергия единицы объёма $ρ g h$ . В законе Торричелли это глубина отверстия под свободной поверхностью.
$g$	Ускорение свободного падения	$м / с^{2}$	Около $9, 81 м / с^{2}$ вблизи поверхности Земли. Оно превращает высоту столба жидкости в давление, $p = ρ g h$ .
$Δ h$	Разность высот столбиков	$м$	Насколько ниже стоит жидкость в пьезометре над сужением, чем над входом. Она измеряет падение давления, $p_{1} - p_{2} = ρ g Δ h$ : в анимации 0,541 м.

Тест

Начальный Вода течёт по трубе, которая сужается. В узкой части вода…
1. течёт медленнее
2. течёт быстрее
3. останавливается
4. течёт с той же скоростью
Показать ответ
Ответ: B. течёт быстрее
Через каждое сечение за секунду должно пройти одно и то же количество воды, поэтому в узкой части она движется быстрее.
Начальный В горизонтальной трубе там, где вода течёт быстрее всего, её давление…
1. наибольшее
2. такое же, как везде
3. наименьшее
4. равно нулю
Показать ответ
Ответ: C. наименьшее
Чтобы разогнаться, вода должна получить толчок от более высокого давления позади, поэтому давление ниже всего там, где вода быстрее всего.
Начальный Почему вода бьёт дальше, если зажать пальцем конец шланга?
1. Палец добавляет воде энергию
2. Палец делает воду тяжелее
3. У конца шланга тяготение слабее
4. Давление за пальцем растёт и выталкивает воду быстрее
Показать ответ
Ответ: D. Давление за пальцем растёт и выталкивает воду быстрее
Когда конец шланга открыт, вода выходит свободно и давление там остаётся низким. Палец сужает отверстие: давление за ним растёт и проталкивает воду через узкую щель гораздо быстрее — так же, как более высокое давление в широкой части разгоняет воду в узкой части трубы в анимации. Воды в секунду выходит меньше, чем раньше, но она вылетает гораздо быстрее и летит дальше. Палец не добавляет воде энергии, он лишь сужает выход.
Средний Диаметр трубы уменьшается с 10 см до 5 см. Вода входит со скоростью 2 м/с. С какой скоростью она течёт в узкой части?
1. 4 м/с
2. 8 м/с
3. 1 м/с
4. 2 м/с
Показать ответ
Ответ: B. 8 м/с
S ∝ d²: при уменьшении диаметра вдвое площадь уменьшается в 4 раза. Из S₁·v₁ = S₂·v₂ получаем v₂ = 4 · 2 = 8 м/с. Простое отношение диаметров дало бы неверные 4 м/с.
Средний В горизонтальной трубке Вентури вода разгоняется с 1 м/с до 3 м/с (ρ = 1000 кг/м³). На сколько падает давление?
1. 4 кПа
2. 2 кПа
3. 1 кПа
4. 9 кПа
Показать ответ
Ответ: A. 4 кПа
p₁ − p₂ = ½·ρ·(v₂² − v₁²) = 500 · (9 − 1) = 4000 Па = 4 кПа. Если забыть возвести скорости в квадрат, получится 1 кПа.
Средний Два листа бумаги висят параллельно в нескольких сантиметрах друг от друга. Вы сильно дуете между ними. Листы…
1. расходятся
2. не двигаются
3. сближаются
4. падают
Показать ответ
Ответ: C. сближаются
У быстрого воздуха между листами давление ниже, чем у неподвижного воздуха снаружи, поэтому наружный воздух прижимает листы друг к другу.
Продвинутый Какое условие НЕ обязательно, чтобы применять p + ½·ρ·v² + ρ·g·h = const вдоль одной линии тока?
1. Установившееся течение
2. Пренебрежимо малая вязкость
3. Несжимаемость жидкости
4. Безвихревое течение
Показать ответ
Ответ: D. Безвихревое течение
Вдоль одной линии тока достаточно установившегося течения невязкой несжимаемой жидкости. Безвихревость нужна, только чтобы постоянная была общей для разных линий тока.
Продвинутый В стенке широкого открытого бака на 1,8 м ниже уровня воды есть маленькое отверстие. С какой скоростью вытекает вода, если пренебречь потерями? (g = 9,81 м/с²)
1. около 3,5 м/с
2. около 5,9 м/с
3. около 17,7 м/с
4. около 1,3 м/с
Показать ответ
Ответ: B. около 5,9 м/с
Уравнение Бернулли для неподвижной поверхности и струи (обе при атмосферном давлении) даёт формулу Торричелли: v = √(2·g·h) = √(2 · 9,81 · 1,8) ≈ 5,9 м/с.

$A_{1}$	Площадь сечения трубки тока в сечении 1, где она широкая.	$м^{2}$
$A_{2}$	Площадь сечения той же трубки в сечении 2, где она узкая.	$м^{2}$
$v_{1}$	Скорость жидкости в сечении 1.	$м / с$
$v_{2}$	Скорость в сечении 2: больше, так как $A_{2} v_{2} = A_{1} v_{1}$ .	$м / с$
$v$	Скорость в точке стенки, которая сама является линией тока: направлена по касательной к стенке.	$м / с$

$p_{1} A_{1}$	Сила, с которой жидкость сзади толкает входящий слой вперёд: давление, умноженное на площадь.	$Н$
$p_{2} A_{2}$	Сила, с которой жидкость впереди давит навстречу выходящему слою.	$Н$
$v_{1} d t$	Длина входящего слоя: путь, который жидкость проходит за $d t$ в сечении 1.	$м$
$v_{2} d t$	Длина выходящего слоя; она больше, так как $v_{2} > v_{1}$ .	$м$
$d V$	Объём каждого слоя, одинаковый в обоих сечениях.	$м^{3}$
$h_{1}$	Высота оси трубки в сечении 1 над уровнем отсчёта.	$м$
$h_{2}$	Высота оси трубки в сечении 2 над тем же уровнем.	$м$

$x$	Координата вдоль трубки по направлению течения.	$м$
$p$	Статическое (избыточное) давление на оси трубки.	$Па$
$\frac{1}{2} ρ v^{2}$	Динамическое давление: кинетическая энергия единицы объёма.	$Па$
$p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$	Их сумма, одинаковая вдоль всей трубки.	$Па$

$H$	Глубина свободной поверхности над отверстием.	$м$
$A_{T}$	Площадь свободной поверхности в баке.	$м^{2}$
$a$	Площадь отверстия.	$м^{2}$
$v$	Скорость струи сразу за отверстием.	$м / с$
$d H / d t$	Скорость изменения уровня: отрицательна, так как уровень опускается.	$м / с$