Vecteurs et mouvement relatif

Débutant

Certaines grandeurs se décrivent par un seul nombre : une masse de 2 kg, une durée de 10 s, une température de 20 °C. Ce sont des scalaires. D'autres exigent aussi une direction : « la gare est à 2 km » ne vous dit pas quelle rue prendre. La valeur de la vitesse (à quelle allure) est un scalaire ; le vecteur vitesse (à quelle allure et vers où) est un vecteur, comme le déplacement et la force. On dessine un vecteur comme une flèche : sa longueur indique la valeur, sa pointe le sens.

Petit test : « 15 m/s vers le sud », est-ce une simple valeur ou un vecteur vitesse ? (Un vecteur : il y a une direction.)

Pour additionner deux vecteurs, on place l'origine de la seconde flèche à la pointe de la première ; la somme va du tout premier point au tout dernier. Marchez 3 m vers l'est puis 4 m vers le nord : vous voilà à 5 m du départ. Vous avez parcouru 7 m, mais votre déplacement est la flèche de 5 m.

Les vitesses s'additionnent de la même façon. Sur un tapis roulant, vous marchez à 1 m/s et le tapis vous porte à 2 m/s : quelqu'un posté à côté vous voit passer à 3 m/s. Marchez à reculons à 2 m/s et vous restez à sa hauteur : les vitesses s'annulent.

Petit test : vous marchez à 1,5 m/s vers l'arrière d'un train qui roule à 20 m/s. À quelle vitesse passez-vous devant une personne sur le quai ? (18,5 m/s, dans le sens du train.)

Dans l'animation, un bateau traverse une rivière large de 60 m. Le rameur vise droit la rive d'en face, mais l'eau entraîne le bateau sur une ligne oblique. Les points gris le montrent dérivant de 9 m toutes les 3 secondes, 36 m en tout. La traversée dure pourtant 12 secondes, comme en eau calme : le courant ajoute un mouvement de côté, pas un retard.

Intermédiaire

Scalaires, vecteurs et composantes

Une masse de 2 kg ou une durée de 12 s est entièrement décrite par un nombre et une unité. Ces grandeurs sont des scalaires et s'additionnent comme des nombres ordinaires. Le déplacement, la vitesse, l'accélération et la force exigent en plus une direction : ce sont des vecteurs. On note un vecteur avec une flèche, $\vec{A}$ ; sa taille, la norme, se note $|\vec{A}|$ ou simplement $A$ et n'est jamais négative. La valeur de la vitesse est la norme du vecteur vitesse.

Pour calculer avec un vecteur, on choisit deux axes perpendiculaires et l'on projette la flèche sur chacun. Si $\vec{A}$ fait un angle $\theta$ avec l'axe $x$, mesuré vers l'axe $y$, ses composantes et sa norme sont liées par

• $A_x=A\cos \theta ,A_y=A\sin \theta$
• $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

Les composantes ont un signe : $A_x$ est négative quand la flèche pointe vers les $x$ négatifs. La seconde ligne est le théorème de Pythagore, et la direction se retrouve avec $\tan \theta =A_y/A_x$. Dans cette leçon, $x$ pointe vers l'aval, le long de la rivière, et $y$ droit vers l'autre rive.

Additionner et soustraire des vecteurs

Pour additionner deux vecteurs, on place l'origine du second à la pointe du premier ; la somme, ou résultante, va de la première origine à la dernière pointe. En composantes, la règle est une simple addition, axe par axe : si $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, alors $C_x=A_x+B_x$ et $C_y=A_y+B_y$, quel que soit l'ordre.

Les normes ne s'additionnent que pour des flèches parallèles. Un déplacement de 5 m suivi d'un déplacement de 3 m donne 8 m s'ils vont dans le même sens, 2 m s'ils sont opposés, et $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5,83\mathrm{m}$ à angle droit ; tout autre angle donne une valeur intermédiaire. Soustraire revient à ajouter la flèche opposée, $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$ : dessinée à partir d'un point de départ commun, elle va de la pointe de $\vec{B}$ à la pointe de $\vec{A}$.

Vitesse relative : une chaîne de référentiels

Une vitesse se mesure toujours par rapport à quelque chose. Notons $\vec{v}{}^{\prime }$ la vitesse du bateau par rapport à l'eau, $\vec{u}$ celle de l'eau par rapport à la rive (le courant) et $\vec{v}$ celle du bateau par rapport à la rive. Chaque seconde, le bateau avance de $\vec{v}{}^{\prime }$ dans l'eau tandis que l'eau l'entraîne de $\vec{u}$ le long de la rive, et les deux déplacements s'ajoutent bout à bout :
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$

Une règle sur les indices évite de se tromper d'ordre : ${\vec{v}}_{bateau/rive}={\vec{v}}_{bateau/eau}+{\vec{v}}_{eau/rive}$. Les indices intérieurs sont identiques et se simplifient, il reste bateau par rapport à rive. Permuter deux indices inverse la flèche : par rapport à l'eau, la rive se déplace vers l'amont avec la vitesse $-\vec{u}$.

Avec $x$ vers l'aval et $y$ vers l'autre rive, un bateau qui vise droit vers l'autre rive a $\vec{v}{}^{\prime }=(0;v^{\prime })$, le courant est $\vec{u}=(u;0)$, donc $\vec{v}=(u;v^{\prime })$. Les composantes agissent indépendamment : la composante transversale seule fait traverser une rivière de largeur $d$, la composante longitudinale seule l'entraîne vers l'aval. La valeur de sa vitesse par rapport à la rive, la durée de la traversée et la dérive valent donc
$|\vec{v}|=\sqrt{v^{\prime 2}+u^2}$
$t=\frac{d}{v^{\prime }},x=\frac{ud}{v^{\prime }}$

Exemple résolu : le bateau de l'animation

Le rameur avance à $v^{\prime }=5m/s$ dans l'eau, le courant s'écoule à $u=3m/s$ et la rivière est large de $d=60\mathrm{m}$. Le bateau vise droit vers l'autre rive.
$|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5,83m/s$
$t=\frac{60}{5}=12\mathrm{s},x=3\cdot 12=36\mathrm{m}$

La trajectoire fait un angle $\phi$ avec la droite perpendiculaire à la rive, avec $\tan \phi =u/v^{\prime }=3/5$, donc $\phi \approx 31^{\circ }$ vers l'aval. Sur sa trajectoire oblique, le bateau parcourt $\sqrt{60^2+36^2}\approx 70\mathrm{m}$, soit aussi $5,83\cdot 12$. Ce sont les valeurs finales affichées : $y=v^{\prime }t$ et $x=ut$ croissent régulièrement et s'arrêtent à 60 m et 36 m quand $t$ atteint 12 s.

Les flèches portées par le bateau dessinent la somme : la flèche dorée $\vec{v}{}^{\prime }$ pointe droit vers l'autre rive, la bleue $\vec{u}$ part de sa pointe, et la verte $\vec{v}$ ferme le triangle le long de la trajectoire en pointillés. Les points gris, toutes les 3 s, montrent la dérive qui grandit de 9 m à chaque fois, jusqu'à 9, 18, 27 et 36 m, tandis que le bateau progresse de 15 m vers l'autre rive : la trajectoire est rectiligne parce qu'aucune des deux composantes ne change.

Exemple résolu : un avion dans un vent de travers

Un avion léger vole à 250 km/h par rapport à l'air vers un aérodrome situé à 360 km plein nord, tandis que le vent souffle vers l'est à 70 km/h. L'air joue le rôle de l'eau : $v^{\prime }=250km/h$, $u=70km/h$ et $d=360\mathrm{km}$.

Si la pilote se contente de pointer vers le nord, l'avion met $360/250=1,44\mathrm{h}$ pour parcourir 360 km vers le nord, et pendant ce temps le vent l'entraîne de $70\cdot 1,44\approx 101\mathrm{km}$ à l'est de l'aérodrome. Pour suivre une trajectoire rectiligne plein nord, elle doit pointer en partie contre le vent, de sorte que la composante vers l'ouest de $\vec{v}{}^{\prime }$ annule le vent. La vitesse par rapport à l'air est maintenant l'hypoténuse :
$\sin \alpha =\frac{u}{v^{\prime }},t=\frac{d}{\sqrt{v^{\prime 2}-u^2}}$

Ici, $\sin \alpha =70/250=0,28$, donc elle prend un cap de $\alpha \approx 16,3^{\circ }$ à l'ouest du nord. La vitesse par rapport au sol vaut $\sqrt{250^2-70^2}=240km/h$ et le vol dure $360/240=1,5\mathrm{h}$. La correction coûte 3,6 minutes et supprime l'écart de 101 km. Les pilotes appellent $\alpha$ l'angle de correction de dérive.

Lire le triangle des vitesses

Tout problème de vitesse relative se ramène à un triangle formé de $\vec{v}{}^{\prime }$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ; il faut d'abord décider quel côté est l'hypoténuse. Quand le bateau vise droit vers l'autre rive, $\vec{v}{}^{\prime }$ et $\vec{u}$ sont les côtés de l'angle droit et la vitesse par rapport à la rive est l'hypoténuse, plus longue que chacun des deux : 5,83 m/s. Quand le bateau doit se déplacer perpendiculairement à la rive, $\vec{v}$ devient un côté de l'angle droit et $\vec{v}{}^{\prime }$ l'hypoténuse : la vitesse utile tombe à $\sqrt{5^2-3^2}=4m/s$ et la traversée dure 15 s. C'est ce que fait le second bateau de la vue experte.

Le long de la rivière, le triangle s'aplatit en un segment : en ramant vers l'aval, le bateau fait $5+3=8m/s$ par rapport à la rive, en ramant vers l'amont seulement $5-3=2m/s$. Si le courant était plus rapide que le rameur, $u>v^{\prime }$, aucun cap ne pourrait maintenir le bateau sur la perpendiculaire à la rive menée de son point de départ.

Erreurs fréquentes

• Additionner des valeurs de vitesse comme de simples nombres. Les 5 m/s du rameur et les 3 m/s du courant ne donnent 8 m/s que si les deux pointent vers l'aval ; à angle droit, ils donnent 5,83 m/s.
• Croire que le courant retarde la traversée. Il n'a aucune composante perpendiculaire à la rive : le bateau qui vise droit vers l'autre rive met donc toujours $60/5=12\mathrm{s}$ ; le courant change l'endroit où il accoste, pas le moment.
• Confondre cap et trajectoire. Le bateau pointe selon $\vec{v}{}^{\prime }$ mais se déplace selon $\vec{v}$, ici 31° plus en aval : la proue indique le cap, le tracé en pointillés la trajectoire.
• Intervertir sinus et cosinus. Le cosinus va avec le côté adjacent à l'angle : une corde qui tire avec 50 N à 20° au-dessus de l'horizontale donne $50\cos 20^{\circ }\approx 47\mathrm{N}$ horizontalement et $50\sin 20^{\circ }\approx 17\mathrm{N}$ verticalement.
• S'attendre à ce qu'un courant s'annule sur un aller-retour. Ramer 60 m vers l'amont à 2 m/s puis revenir à 8 m/s prend $30+7,5=37,5\mathrm{s}$, contre 24 s en eau calme : le trajet lent dure plus longtemps, donc il pèse davantage.

Où on le rencontre

Les pilotes et les équipages de bacs corrigent l'effet du vent et du courant, et l'on conseille à un nageur pris dans un courant d'arrachement de nager parallèlement à la plage, en travers du flux. Une pluie qui tombe à la verticale à 6 m/s trace sur les vitres latérales d'une voiture roulant à 18 m/s des traînées inclinées d'environ 72° par rapport à la verticale, car, par rapport à la voiture, les gouttes se déplacent aussi vers l'arrière. Les vaisseaux spatiaux s'arriment à une station en ajustant leur vitesse à la sienne, et non à celle de la Terre.

Ce même outillage revient dans toute la mécanique. Dans Mouvement d'un projectile, un lancer se décompose en deux mouvements indépendants, l'un horizontal et l'autre vertical, comme les mouvements transversal et longitudinal du bateau ; dans Les lois de Newton, la force est traitée comme un vecteur ; et Mouvement circulaire montre qu'une vitesse peut changer par le seul fait de tourner.

Avancé

Ce qui fait qu'une grandeur est un vecteur

On présente d'habitude un vecteur comme une grandeur dotée d'une norme et d'une direction. C'est un bon début, mais le critère exact est autre : il porte sur la façon dont les composantes de la grandeur se comportent quand on fait tourner les axes. Ce critère compte, car c'est lui qui permet d'écrire une loi vectorielle dans les axes de votre choix.

Légende

$\vec{r}$	Un déplacement : la même flèche dans les deux dessins.	$\mathrm{m}$
$x$	Composante de $\vec{r}$ le long du premier axe d'origine.	$\mathrm{m}$
$y$	Composante de $\vec{r}$ le long du second axe d'origine.	$\mathrm{m}$
$\bar{x}$	Composante de $\vec{r}$ le long du premier axe tourné.	$\mathrm{m}$
$\bar{y}$	Composante de $\vec{r}$ le long du second axe tourné.	$\mathrm{m}$
$\beta$	Angle dont les axes ont tourné, dans le sens trigonométrique.	$\mathrm{rad}$

La figure 1 représente deux fois un même déplacement $\vec{r}$. À gauche, des perpendiculaires en pointillés menées depuis la pointe de $\vec{r}$ rencontrent les deux axes ; les distances de l'origine à leurs pieds sont les composantes $x$ et $y$. À droite, les axes ont tourné dans le sens trigonométrique d'un angle $\beta$, tandis que la flèche $\vec{r}$ n'a pas bougé. La même construction, avec des perpendiculaires aux nouveaux axes, donne de nouvelles composantes $\bar{x}$ et $\bar{y}$. La flèche existe avant que l'on trace des axes ; ses composantes, non.

Pour trouver les nouvelles composantes, décomposez $\vec{r}$ en ses deux anciens morceaux, $x$ le long de l'ancien premier axe et $y$ le long de l'ancien second axe, puis projetez chaque morceau sur les nouveaux axes. Le nouveau premier axe fait l'angle $\beta$ avec l'ancien premier axe et $90^{\circ }-\beta$ avec l'ancien second, si bien que les morceaux apportent $x\cos \beta$ et $y\sin \beta$. Le nouveau second axe fait $90^{\circ }+\beta$ avec l'ancien premier axe et $\beta$ avec l'ancien second, si bien que les morceaux apportent $-x\sin \beta$ et $y\cos \beta$. Au total :
$\bar{x}=x\cos \beta +y\sin \beta ,\bar{y}=-x\sin \beta +y\cos \beta$

Cette règle est la véritable définition. Un vecteur est toute grandeur dont les composantes changent avec les axes exactement comme celles d'un déplacement.

La vitesse passe le test. C'est un déplacement $\Delta \vec{r}$ divisé par la durée $\Delta t$, et $\Delta t$ est un scalaire, le même dans tous les systèmes d'axes ; diviser par lui laisse donc la règle intacte. L'accélération, variation de vitesse divisée par une durée, passe le test pour la même raison, et la force aussi. Prenons maintenant une équation vectorielle comme $\vec{F}=m\vec{a}$ ou $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$. Elle affirme que les composantes de ses deux membres sont égales. Les deux membres changent selon la même règle linéaire quand les axes tournent ; s'ils sont égaux dans un système d'axes, ils le sont donc dans tous. Prendre $x$ le long de la rivière est une commodité, pas de la physique.

Certaines combinaisons de composantes ne changent pas du tout quand les axes tournent ; on les appelle des invariants. La longueur en est un : en élevant au carré les deux équations ci-dessus et en les additionnant, les termes croisés s'annulent et ${\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$, donc ${\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=x^2+y^2$. Plus généralement, le produit scalaire de deux vecteurs, $\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y=AB\cos \gamma$, où $\gamma$ est l'angle entre les flèches, est le même dans tous les systèmes d'axes.

Prenons le bateau de cette leçon, qui vise droit vers l'autre rive d'une rivière large de 60 m. Par rapport à l'eau, il se déplace à $\vec{v}{}^{\prime }=(0;5)m/s$, le courant vaut $\vec{u}=(3;0)m/s$, et par rapport à la rive il se déplace à $\vec{v}=(3;5)m/s$, de norme $\sqrt{34}\approx 5,83m/s$. Alors $\vec{v}{}^{\prime }\cdot \vec{v}=0\cdot 3+5\cdot 5=25{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, et $\cos \gamma =25/(5\cdot 5,83)\approx 0,857$ donne $\gamma \approx 31^{\circ }$. C'est l'angle entre la direction où pointe le bateau et celle où il va réellement, trouvé à partir des seules composantes, sans dessin. Tournez les axes de $\beta \approx 59^{\circ }$ pour que $\bar{x}$ soit porté par la trajectoire, et la vitesse par rapport à la rive s'écrit $(5,83;0)m/s$ : d'autres nombres, la même flèche, la même longueur.

Une norme et une direction ne suffisent donc pas tout à fait. Une rotation d'un livre de 90° autour d'un axe possède les deux, un axe et un angle ; pourtant, deux rotations de ce genre autour d'axes différents ne s'additionnent pas comme des vecteurs : si l'on inverse l'ordre, le livre finit dans une autre position, alors que $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$. Seules les très petites rotations commutent, au premier ordre en l'angle. C'est pourquoi la vitesse angulaire, qui mesure le rythme de très petites rotations, est un vecteur, alors qu'une rotation finie n'en est pas un.

Changer de référentiel : la transformation de Galilée

La figure 1 faisait tourner les axes. Le mouvement relatif demande ce qui se passe quand les axes se déplacent : comment les positions, vitesses et accélérations mesurées depuis une plateforme mobile se comparent-elles à celles mesurées depuis le sol ? La réponse est la transformation de Galilée, et elle indique sur quelles grandeurs tous les observateurs s'accordent.

Légende

$S$	Référentiel de la rive : axes noirs immobiles par rapport au sol.
$S^{\prime }$	Référentiel de l'eau : axes violets, parallèles à ceux de $S$, qui dérivent avec le courant.
$\vec{u}t$	Distance dont l'origine de $S^{\prime }$ a été emportée pendant la durée $t$.	$\mathrm{m}$
$P$	Le bateau à la date $t$.
$\vec{r}{}^{\prime }$	Position du bateau dans le référentiel de l'eau, repérée depuis l'origine de $S^{\prime }$.	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	Position du bateau dans le référentiel de la rive, repérée depuis l'origine de $S$.	$\mathrm{m}$
$\vec{u}$	Vitesse du référentiel de l'eau par rapport à la rive : le courant.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Vitesse du bateau par rapport à l'eau.	$m/s$
$\vec{v}$	Vitesse du bateau par rapport à la rive.	$m/s$

Un référentiel est un système d'axes muni d'une horloge. La figure 2 en utilise deux. Le référentiel de la rive $S$ a des axes noirs fixés au sol. Le référentiel de l'eau $S^{\prime }$ a des axes violets, parallèles à ceux de $S$, qui dérivent avec le courant à la vitesse constante $\vec{u}$. Les deux systèmes d'axes coïncident à $t=0$, et les deux référentiels lisent la même horloge, si bien que $t$ a le même sens dans les deux.

La partie gauche de la figure 2 est un instantané à la date $t$. L'origine de $S^{\prime }$ a été emportée d'une distance $\vec{u}t$ le long de la rivière : pour le courant de 3 m/s, 36 m vers l'aval au bout de 12 s. Le bateau, au point $P$, est parti de l'origine commune en visant droit vers l'autre rive. Dans le référentiel de l'eau, il est repéré par $\vec{r}{}^{\prime }$ depuis l'origine de $S^{\prime }$, 60 m tout droit le long de l'axe violet. Dans le référentiel de la rive, il est repéré par $\vec{r}$ depuis l'origine de $S$. Les trois flèches forment un triangle : aller de l'origine de $S$ directement à $P$ revient à aller d'abord à l'origine de $S^{\prime }$, puis de là jusqu'à $P$. Un point situé en $\vec{r}{}^{\prime }$ dans $S^{\prime }$ se trouve donc, dans $S$, en
$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$

Dérivons par rapport à $t$. Comme $\vec{u}$ est constant, $d(\vec{u}t)/dt=\vec{u}$, et les vitesses s'additionnent :
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$
Pour le bateau, qui se déplace uniformément depuis l'origine commune, chaque côté du triangle de gauche vaut $t$ fois une vitesse ; diviser chaque côté par $t$ donne donc le triangle des vitesses dessiné à droite de la figure 2. Dérivons encore une fois. La constante $\vec{u}$ a une dérivée nulle, elle disparaît donc complètement :
$\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }$

Les vitesses dépendent de l'observateur ; les accélérations, non. Les observateurs s'accordent aussi sur les masses et les forces, donc si $\vec{F}=m\vec{a}$ est vraie dans $S$, elle l'est dans $S^{\prime }$. Un référentiel dans lequel les lois de Newton sont vérifiées est dit galiléen. Le résultat montre que tout référentiel en mouvement à vitesse constante par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen, et qu'aucune expérience de mécanique menée entièrement à l'intérieur ne peut révéler ce mouvement. C'est le principe de relativité de la mécanique. Galilée l'a illustré avec la cabine d'un navire qui avance sans à-coups : les gouttes qui tombent d'une bouteille descendent droit vers le bas, exactement comme au port.

La transformation est aussi un outil : résolvez le problème dans le référentiel où il est le plus simple, puis ajoutez $\vec{u}$. Dans le référentiel de l'eau, la rivière est un lac immobile. Le bateau va droit vers l'autre rive à 5 m/s et met $60/5=12\mathrm{s}$, tandis que la rive défile vers l'amont à 3 m/s. La dérive de 36 m n'est autre que la longueur de rive qui défile pendant la traversée. Le même triangle des vitesses incline la lumière des étoiles. La Terre parcourt son orbite autour du Soleil à 30 km/s, si bien que la lumière, qui arrive à la vitesse $c$, semble venir d'une direction décalée d'un angle pouvant atteindre $v/c\approx 10^{-4}\mathrm{rad}$, soit environ 20 secondes d'arc. C'est l'aberration de la lumière, découverte par James Bradley dans les années 1720.

Tous les caps à la fois : le diagramme des vitesses

Le rameur ne choisit que le cap ; le courant est imposé. Quelles vitesses par rapport à la rive le bateau peut-il atteindre, et quel cap est le meilleur pour un objectif donné ? Un seul dessin, le diagramme des vitesses, répond pour tous les caps à la fois. Il est tracé ici pour $u<v^{\prime }$, comme le courant de 3 m/s et le rameur à 5 m/s de la leçon.

Légende

$x$	Axe le long de la rivière, orienté vers l'aval.
$y$	Axe perpendiculaire à la rivière, orienté vers l'autre rive.
$O$	Point de départ du diagramme, d'où partent $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\vec{u}$	Vitesse du courant, tracée depuis $O$.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Vitesse du bateau par rapport à l'eau : sa longueur vaut toujours $v^{\prime }$, donc sa pointe reste sur le cercle.	$m/s$
$\vec{v}$	Vitesse du bateau par rapport à la rive, $\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$.	$m/s$
$\theta$	Cap : angle dont $\vec{v}{}^{\prime }$ pointe vers l'amont par rapport à la perpendiculaire à la rive (la verticale en pointillés).	$\mathrm{rad}$

Construisez la figure 3 en trois étapes. Tracez d'abord le courant $\vec{u}$ à partir d'un point $O$. Accrochez ensuite à la pointe de $\vec{u}$ la vitesse du bateau par rapport à l'eau, $\vec{v}{}^{\prime }$. Sa longueur est fixée à $v^{\prime }$, mais le rameur peut l'orienter dans n'importe quelle direction ; sa pointe peut donc se trouver n'importe où sur le cercle en pointillés de rayon $v^{\prime }$ centré sur la pointe de $\vec{u}$. Enfin, la vitesse par rapport à la rive $\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$ va de $O$ à ce point du cercle.

La figure montre un seul cap. La verticale en pointillés qui passe par la pointe de $\vec{u}$ indique la perpendiculaire à la rive, et $\vec{v}{}^{\prime }$ penche à sa gauche, vers l'amont, de l'angle $\theta$. Regardez maintenant où se trouve $O$. Comme $u<v^{\prime }$, $O$ est à l'intérieur du cercle ; une droite issue de $O$ dans n'importe quelle direction rencontre donc le cercle : toutes les directions de $\vec{v}$ sont possibles, y compris la perpendiculaire à la rive. Le sommet du cercle donne la plus grande composante transversale, $v^{\prime }$ elle-même, et donc la traversée la plus rapide.

Pour passer du dessin aux nombres, utilisez les axes dessinés dans le coin de la figure : $x$ vers l'aval et $y$ en travers, vers l'autre rive. Pencher vers l'amont signifie pointer vers les $x$ négatifs, donc
$\vec{v}{}^{\prime }=(-v^{\prime }\sin \theta ;v^{\prime }\cos \theta ),\vec{v}=(u-v^{\prime }\sin \theta ;v^{\prime }\cos \theta )$
Seule la composante transversale $v^{\prime }\cos \theta$ fait franchir au bateau la largeur $d$ ; c'est donc elle qui fixe la durée de la traversée. Pendant ce temps, la composante longitudinale emporte le bateau vers l'aval sur la distance de dérive $x$ :
$t(\theta )=\frac{d}{v^{\prime }\cos \theta },x(\theta )=\frac{(u-v^{\prime }\sin \theta )d}{v^{\prime }\cos \theta }$

La traversée est la plus rapide pour $\theta =0$, où $\cos \theta$ est maximal, quel que soit le courant : $60/5=12\mathrm{s}$, avec $3\cdot 12=36\mathrm{m}$ de dérive. La dérive s'annule quand la partie de $\vec{v}{}^{\prime }$ dirigée vers l'amont compense le courant, $v^{\prime }\sin \theta =u$. Appelons ce cap $\alpha$ : $\sin \alpha =u/v^{\prime }=0,6$, donc $\alpha \approx 36,9^{\circ }$. Alors $\cos \alpha =0,8$, la vitesse par rapport à la rive est $\vec{v}=(0;4)m/s$, un triangle 3–4–5, et la traversée dure $60/4=15\mathrm{s}$. Les caps intermédiaires échangent du temps contre de la dérive. Pour $\theta =20^{\circ }$, le bateau traverse en $60/(5\cos 20^{\circ })\approx 12,8\mathrm{s}$ et accoste $(3-5\sin 20^{\circ })\cdot 12,8\approx 16,5\mathrm{m}$ en aval. C'est le cap tracé à l'échelle sur la figure 3.

Le graphique du niveau Avancé de l'animation ne montre que le mouvement transversal. Chaque courbe $y(t)$ est une droite dont la pente est la vitesse transversale du bateau : 5 m/s pour le bateau qui vise droit vers l'autre rive, qui atteint la droite en pointillés $y=d$ au bout de 12 s, et 4 m/s pour le bateau violet dont le cap est à 36,9° vers l'amont, qui arrive au bout de 15 s. Le graphique ne peut pas montrer la dérive. Sur l'autre rive, le premier bateau accoste 36 m en aval, et le second exactement en face de son point de départ.

Quand le courant n'est pas uniforme

Jusqu'ici, le courant était le même partout. Une vraie rivière coule le plus vite au milieu et presque plus du tout près des rives. Cela change-t-il le point d'accostage ? Étonnamment peu, et la raison mérite d'être vue.

Prenons le profil $u(y)=4u_{\mathrm{m}}(y/d)(1-y/d)$. Il est nul sur les deux rives, $y=0$ et $y=d$, et atteint sa plus grande valeur $u_{\mathrm{m}}$ au milieu, $y=d/2$ ; prenons $u_{\mathrm{m}}=4,5m/s$. Un bateau qui vise droit vers l'autre rive a toujours la vitesse transversale $v^{\prime }$, car le courant ne pousse que le long de la rivière. Donc $y=v^{\prime }t$, et il traverse toujours en 12 s. Le long de la rivière, sa vitesse est le courant local, $dx/dt=u(y)$. Comme $y$ croît régulièrement, il est plus simple de suivre le bateau en fonction de $y$ qu'en fonction de $t$ : avec $dt=dy/v^{\prime }$, chaque pas en travers ajoute $dx=u(y)dy/v^{\prime }$, et la somme des pas sur toute la largeur donne
$x=\frac{1}{v^{\prime }}{\int }_0^{d}u(y)dy=\frac{\bar{u}d}{v^{\prime }}$
où $\bar{u}$ est le courant moyenné sur la largeur.

Pour cette parabole, la moyenne vaut $\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{\mathrm{m}}=3m/s$, donc le bateau accoste de nouveau 36 m en aval. Sa trajectoire, en revanche, est maintenant une courbe. Sur les rives, le courant est nul : le bateau part et arrive en se déplaçant perpendiculairement à la rive ; au milieu, il s'incline le plus, d'un angle $\phi$ par rapport à la perpendiculaire, avec $\tan \phi =4,5/5$, soit environ 42°. Seul le courant moyenné sur la largeur décide de la dérive.

Il en va de même pour un cap fixe. Le bateau dont le cap est à 36,9° vers l'amont se déplace dans l'eau à 3 m/s vers l'amont et à 4 m/s en travers. Près des rives, le courant est plus faible que 3 m/s et le bateau gagne du terrain vers l'amont ; au milieu, il est plus fort et le bateau en perd. Comme la moyenne vaut exactement 3 m/s, le bateau accoste toujours exactement en face au bout de 15 s, mais en chemin il s'écarte de 4,3 m vers l'amont près de la première rive et de 4,3 m vers l'aval près de la seconde. Pour rester sur la droite tout du long, il faudrait faire tourner le cap sans cesse, de sorte que $v^{\prime }\sin \theta =u(y)$ en chaque point. Cela exige jusqu'à 64° au milieu, où $\sin \theta =0,9$, et la vitesse transversale plus faible porte la durée de la traversée à environ 17,9 s.

Problème résolu : une rivière en crue

Après de fortes pluies, le courant monte à $u=6,25m/s$, plus rapide que les 5 m/s du rameur. Le bateau peut-il encore accoster en face de son point de départ ? Sinon, quel cap l'en rapproche le plus, et combien de temps cela coûte-t-il ?

Légende

$x$	Axe le long de la rivière, orienté vers l'aval.
$y$	Axe perpendiculaire à la rivière, orienté vers l'autre rive.
$O$	Point de départ du diagramme, d'où partent $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\vec{u}$	Vitesse du courant de crue, tracée depuis $O$.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Vitesse du bateau par rapport à l'eau pour le meilleur cap ; sa pointe est le point où la tangente touche le cercle.	$m/s$
$\vec{v}$	Vitesse du bateau par rapport à la rive, le long de la tangente : la direction de plus petite dérive.	$m/s$
$\theta$	Meilleur cap : angle entre $\vec{v}{}^{\prime }$ et la perpendiculaire à la rive (la verticale en pointillés).	$\mathrm{rad}$

La figure 4 est le diagramme des vitesses de la figure 3, retracé pour la crue. La flèche $\vec{u}$ est maintenant plus longue que le rayon du cercle, 5 m/s, donc $O$ est à l'extérieur du cercle. Toute flèche $\vec{v}$ allant de $O$ au cercle pointe donc en partie vers l'aval : accoster en face est impossible. La formule le confirme, puisqu'il faudrait $\sin \theta =u/v^{\prime }=6,25/5=1,25$. Viser droit vers l'autre rive donne encore la traversée la plus rapide, 12 s, mais avec $6,25\cdot 12=75\mathrm{m}$ de dérive.

Quel cap donne la plus petite dérive ? Le bateau se déplace selon $\vec{v}$, et la dérive vaut $d$ fois la tangente de l'angle entre $\vec{v}$ et la perpendiculaire à la rive. Le meilleur $\vec{v}$ est donc celui qui penche le plus vers l'amont tout en atteignant le cercle : la tangente au cercle issue de $O$, tracée sur la figure 4. Le calcul le confirme. En dérivant $x(\theta )$ selon la règle de dérivation d'un quotient et en utilisant ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ :
$\frac{dx}{d\theta }=\frac{u\sin \theta -v^{\prime }}{v^{\prime }{\cos }^2\theta }d=0\Rightarrow \sin \theta =\frac{v^{\prime }}{u}=0,8$

Le bateau met donc le cap à $\theta \approx 53,1^{\circ }$ vers l'amont, l'angle marqué sur la figure 4, et $\cos \theta =0,6$. Sa vitesse transversale vaut $5\cdot 0,6=3m/s$ et sa vitesse vers l'aval $6,25-5\cdot 0,8=2,25m/s$. La traversée dure $60/3=20\mathrm{s}$, et la dérive vaut $2,25\cdot 20=45\mathrm{m}$. En général, $x_{\min }=d\sqrt{u^2-v^{\prime 2}}/v^{\prime }$.

L'angle droit marqué sur la figure 4 n'a rien d'un hasard. Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact, et ici le rayon est $\vec{v}{}^{\prime }$ ; le meilleur $\vec{v}$ est donc perpendiculaire à $\vec{v}{}^{\prime }$. Le produit scalaire le vérifie : avec $\vec{v}{}^{\prime }=(-4;3)m/s$ et $\vec{v}=(2,25;3)m/s$, $(-4)(2,25)+3\cdot 3=0$. Par rapport à la visée droit vers l'autre rive, mettre le cap vers l'amont fait gagner 30 m de dérive et coûte 8 s.

Le référentiel de l'eau fournit une vérification indépendante. Le bateau s'y déplace à 5 m/s dans la direction de son cap pendant 20 s, soit un déplacement $\vec{r}{}^{\prime }=(-80;60)\mathrm{m}$, tandis que l'eau emporte tout de $6,25\cdot 20=125\mathrm{m}$ vers l'aval. Alors $\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$ donne le point d'accostage $(45;60)\mathrm{m}$, comme avant.

Limites de validité

La règle $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ repose sur deux hypothèses : le référentiel mobile garde une vitesse constante sans tourner, et tous les observateurs partagent une même horloge et une même règle graduée. Chacune tombe en défaut quelque part, et il est utile de savoir où.

Supposons que le référentiel $S^{\prime }$ accélère avec $\vec{A}$ par rapport à $S$. La transformation gagne un terme $\frac{1}{2}\vec{A}{t}^2$, et en dérivant deux fois on obtient $\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }+\vec{A}$ : les observateurs ne s'accordent plus sur les accélérations. Dans un train qui freine à 2 m/s², une balle lâchée n'a pas d'accélération horizontale par rapport au sol ; par rapport au train, elle part donc vers l'avant à 2 m/s², comme poussée par une force que rien n'exerce. On appelle ces forces apparentes forces fictives, ou forces d'inertie. Un référentiel tournant en ajoute deux autres, liées aux accélérations centrifuge et de Coriolis.

La Terre est un tel référentiel tournant, mais elle tourne lentement, $\Omega \approx 7,29\times 10^{-5}rad/s$. Pour le bateau à 5,83 m/s à une latitude de 45°, l'accélération latérale de Coriolis $2\Omega v\sin 45^{\circ }$ vaut environ $6\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$. Sur les 12 s de la traversée, elle décale le bateau de $\frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{-4}\cdot 12^2\approx 4\mathrm{cm}$. Pour les courants océaniques et les tempêtes, qui durent des jours et s'étendent sur des milliers de kilomètres, elle est déterminante.

Plus profondément encore, la cinématique galiléenne suppose une seule horloge pour tous les observateurs et des longueurs sur lesquelles tous s'accordent. La lumière n'y obéit pas : sa vitesse vaut $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ dans tout référentiel galiléen. La relativité restreinte remplace la somme des vitesses portées par une même droite par
$v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}$
qui ne dépasse jamais $c$. Une sonde lancée vers l'avant à $0,6c$ depuis un vaisseau qui se déplace à $0,6c$ voyage à $1,2c/1,36\approx 0,88c$, et non à $1,2c$. Pour le bateau, la correction est de l'ordre de $v^{\prime }u/c^2\approx 1,7\times 10^{-16}$, bien en deçà de tout ce qui est mesurable : l'addition galiléenne est la limite des faibles vitesses de la loi relativiste.

Ce qui vient ensuite

Dans Mouvement d'un projectile, un lancer se décompose en un mouvement horizontal uniforme et un mouvement vertical uniformément accéléré, indépendants l'un de l'autre comme les mouvements longitudinal et transversal du bateau. Dans Les lois de Newton, $\vec{F}=m\vec{a}$ est une loi vectorielle, valable dans les référentiels galiléens rencontrés ici. Dans Mouvement circulaire, on trouve l'accélération d'un corps qui tourne à vitesse constante en soustrayant des vecteurs vitesse ; dans Travail, énergie et puissance, on utilise le produit scalaire, $W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$. Dans Quantité de mouvement et chocs, on passe souvent dans le référentiel du centre de masse par ce même décalage galiléen, et dans Le son et l'effet Doppler, tout dépend des vitesses de la source et de l'auditeur par rapport à l'air.

Une question reste ouverte. Dans Force magnétique sur une charge en mouvement, la force $q\vec{v}\times \vec{B}$ fait intervenir une vitesse : par rapport à quel référentiel ? La leçon Relativité restreinte y répond : dès que l'on renonce à l'horloge commune, les champs électrique et magnétique se mélangent d'un référentiel à l'autre.