La gravitation, courbure de l'espace-temps

Débutant

Lâchez un marteau et une plume là où il n'y a pas d'air, comme l'a fait un astronaute sur la Lune : ils touchent le sol ensemble. Tout objet tombe avec la même accélération, quels que soient sa masse et son matériau. Einstein, en 1915, y a vu un indice : si tout tombe pareil, la chute n'est peut-être pas quelque chose que l'on fait subir aux objets, mais une propriété de l'espace et du temps eux-mêmes.

Pensez à un vaisseau en orbite. Il n'échappe pas à la gravitation : il tombe sans cesse autour de la Terre, et l'équipage et ses crayons tombent avec lui, d'où leur flottement. Imaginez maintenant une cabine fermée. Si elle tombe librement, vous flottez comme si la pesanteur avait disparu. Si c'est une fusée qui accélère loin de toute planète, vous êtes plaqué au plancher comme par la pesanteur. De l'intérieur, impossible de faire la différence : c'est le principe d'équivalence.

La réponse d'Einstein est la relativité générale : la masse et l'énergie courbent l'espace et le temps, et un corps laissé à lui-même suit le chemin le plus droit possible dans cet espace-temps courbe. La toile élastique de l'animation l'illustre : l'étoile creuse la grille, la bille bleue tourne autour du creux et le rayon de lumière doré s'écarte de la droite en pointillés.

Le temps aussi est courbé. L'horloge lente posée sur l'étoile fait trois tours pendant que l'horloge rapide, au loin, en fait quatre. Sur Terre l'effet est minuscule, mais les satellites GPS doivent le corriger, sinon les positions dériveraient d'environ 10 km par jour. Poussée à l'extrême, la théorie prédit les trous noirs, qui piègent la lumière, et les ondes gravitationnelles, détectées pour la première fois en 2015.

Vérifiez : une astronaute flotte dans la Station spatiale. N'y a-t-il pas de pesanteur là-haut ? (Si, presque autant qu'au sol : elle flotte parce qu'elle tombe avec la station.)

Intermédiaire

Ce qui change, et ce que l'on mesure

Tous les corps tombent avec la même accélération, quels que soient leur masse ou leur matériau : les expériences le confirment à environ une part sur $10^{15}$. La relativité générale d'Einstein (1915) prend ce fait au pied de la lettre : si le mouvement ne dépend pas du corps, c'est qu'il appartient à l'espace et au temps. La masse et l'énergie courbent l'espace-temps, et un corps en chute libre, qui ne ressent aucune force, suit le chemin le plus droit possible à travers lui. Debout sur le sol, vous faites exception : il vous écarte de votre trajectoire de chute libre, et vous ressentez cette poussée comme votre poids.

Deux sortes de temps interviennent dans les formules. Le temps propre $\tau$ est ce qu'indique une horloge à l'endroit où elle se trouve, et tous les processus qui s'y déroulent suivent son rythme. Le temps lointain $t$ est l'indication d'une horloge au repos loin de toute masse, une référence commune. La distance $r$ au centre d'une masse $M$ se définit par la circonférence, $r=C/2\pi$, car dans un espace courbe une règle posée à partir du centre donne un peu plus. Les constantes $G$ et $c$ interviennent par $GM/c^2$, qui est une longueur.

Le rayon de Schwarzschild donne l'échelle

Le double de cette longueur est le rayon de Schwarzschild,
$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

Il vaut 2,95 km pour le Soleil et 8,9 mm pour la Terre, et croît en proportion de la masse : 29,5 km pour un trou noir de 10 masses solaires. Un corps comprimé à l'intérieur de son propre $r_s$ ne laisse plus rien en sortir, pas même la lumière, et $r_s$ devient le rayon de son horizon des événements. Pour le Soleil, dont le rayon est de 696 000 km, les 2,95 km ne sont qu'une échelle, pas une surface.

Le rapport $r_s/r$ mesure l'intensité de la gravitation à la distance $r$ : $1,4\times 10^{-9}$ à la surface de la Terre, $4,2\times 10^{-6}$ à celle du Soleil, environ 0,34 sur une étoile à neutrons et 1 sur un horizon. Toute correction relativiste est de cet ordre, ce qui explique que la théorie de Newton serve si bien dans le Système solaire.

Les formules de travail

Quatre formules répondent à la plupart des questions pratiques. La première est exacte ; les trois autres ne valent qu'en gravitation faible, et la troisième que pour des vitesses très inférieures à $c$ :

• $\tau =t\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx \frac{gh}{c^2}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx -\frac{v^2}{2c^2}$
• $\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}$

La première donne le rythme d'une horloge au repos à la distance $r$, comparé au temps lointain ; il tombe à zéro à l'horizon. Pour de petits $r_s/r$, la racine carrée est proche de $1-GM/(r{c}^2)$ ; près d'une planète, une horloge située en $r+h$ gagne donc sur une horloge située en $r$ la fraction $GMh/(r^2{c}^2)=gh/c^2$ : c'est la deuxième formule. Une horloge placée 1 m plus haut avance de $1,1\times 10^{-16}$ ; 1 km plus haut, elle gagne 9,4 ns par jour.

La troisième est le ralentissement des horloges en mouvement, issu de la relativité restreinte. Les variations relatives de rythme s'additionnent avec leur signe : la hauteur fait gagner une horloge, la vitesse la fait perdre. La quatrième donne la déviation d'un rayon dont la trajectoire rectiligne passerait à la distance $b$ du centre, le paramètre d'impact ; avec $r_s$, elle s'écrit $\delta =2r_s/b$, en radians. En frôlant le Soleil, cela fait 1,75″, comme on l'a mesuré lors de l'éclipse de 1919. La loi de Newton, appliquée à une particule qui va à la vitesse $c$, donne la moitié ; l'autre moitié vient de la courbure de l'espace.

Exemple résolu : les horloges et le rayon de l'animation

L'animation exagère : le rayon de son étoile n'est que de $1,8r_s$. L'horloge de l'étoile se trouve en $r_1=2,16r_s$ et l'horloge lointaine en $r_2=22r_s$, d'où les rythmes
$\sqrt{1-1/2,16}=\sqrt{0,537}\approx 0,733$
$\sqrt{1-1/22}=\sqrt{0,955}\approx 0,977$

Le rapport vaut $0,733/0,977=0,750$, exactement 3/4. En une boucle, le temps lointain avance de $12,0/0,977=12,28\mathrm{s}$ ; l'horloge lointaine indique donc ${\tau }_2=12,0\mathrm{s}$ et celle de l'étoile ${\tau }_1=0,733\cdot 12,28=9,0\mathrm{s}$ : ce sont les valeurs finales des affichages rouge ${\tau }_1$ et vert ${\tau }_2$. Chaque aiguille fait un tour toutes les 3 s de son propre temps : trois tours sur l'étoile, quatre au loin.

Le rayon doré passe à $b=8r_s$. La formule de champ faible donne $\delta \approx 2/8=0,25\mathrm{rad}$, soit 14,3°, mais le trajet exact tracé est dévié de 17,8° : si près de l'étoile, la formule est en défaut. La bille bleue tourne en $r=10,4r_s$. Comme $GM=r_s{c}^2/2$, sa vitesse $\sqrt{GM/r}$ vaut $c/\sqrt{20,8}\approx 0,22c$, la valeur newtonienne d'une orbite circulaire, exacte ici lorsque le temps est compté en secondes lointaines.

Exemple résolu : les horloges du GPS

Les satellites de navigation orbitent à 20 200 km au-dessus du sol, donc en $r=6371+20200=26571\mathrm{km}$ du centre de la Terre, l'horloge au sol étant au rayon terrestre $R=6371\mathrm{km}$. Pour la Terre, $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$. En comparant les rythmes aux deux rayons, l'horloge du satellite gagne sur une horloge au sol la fraction
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=4,435\mathrm{mm}\times \left(\frac{1}{6371\mathrm{km}}-\frac{1}{26571\mathrm{km}}\right)\approx 5,29\times 10^{-10}$
ce qui, sur un jour de 86 400 s, représente $+45,7\mu \mathrm{s}$.

Le satellite se déplace aussi à $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{3,986\times 10^{14}/(2,657\times 10^7)}\approx 3,87km/s$, ce qui ralentit son horloge de $v^2/(2c^2)\approx 8,3\times 10^{-11}$, soit $-7,2\mu \mathrm{s}$ par jour. L'effet net est $+45,7-7,2=+38,5\mu \mathrm{s}$ par jour. Les positions sont déduites des temps de trajet des signaux, et la lumière parcourt $c\cdot 38,5\mu \mathrm{s}\approx 11,5\mathrm{km}$ pendant ce temps : sans correction, les positions dériveraient de plusieurs kilomètres en une journée. Les horloges des satellites sont donc construites pour battre trop lentement, d'environ $4,5\times 10^{-10}$.

Lire l'image de la toile élastique

La grille est le plan orbital, et la profondeur du creux est dessinée proportionnelle au potentiel newtonien $\Phi =-GM/r$ (adouci près de l'étoile). Cette profondeur indique aussi de combien les horloges ralentissent, puisqu'en champ faible $d\tau /dt\approx 1+\Phi /c^2$. La ligne grise en pointillés est la trajectoire de la lumière sans l'étoile, la barre noire marque $b$, et $\delta$ désigne l'angle entre cette ligne et le rayon doré. La vue experte ajoute la prédiction de Newton sous la forme d'une trajectoire violette en pointillés.

Lisez la toile comme une image, non comme la théorie. Une bille ne roule dans un vrai creux que parce que la pesanteur de la Terre l'attire vers le bas : l'analogie utilise donc la gravitation pour expliquer la gravitation. Elle ne montre en outre que la courbure de l'espace, alors que, pour les corps lents, presque toute la gravitation vient de la courbure du temps ; la courbure de l'espace compte surtout pour les corps rapides, comme la lumière.

Erreurs fréquentes

• S'attendre à ce qu'une horloge lente se sente lente. À côté de l'horloge de l'étoile, en $2,16r_s$, votre montre, votre cœur et vos atomes fonctionnent tous normalement ; seule une comparaison montre que vous vieillissez de 9 ans pendant qu'un observateur lointain en vieillit 12.
• Se tromper de signes pour le GPS. La gravitation plus faible fait gagner 45,7 µs par jour à l'horloge du satellite et sa vitesse lui en fait perdre 7,2 µs ; le bilan est donc de +38,5 µs, et non de 52,9 µs.
• Employer $gh/c^2$ pour de grandes hauteurs. Pour le GPS, on obtient $9,81\cdot 2,02\times 10^7/c^2\approx 2,2\times 10^{-9}$, quatre fois trop, car $g$ s'affaiblit avec la hauteur ; il faut utiliser $GM/c^2(1/R-1/r)$.
• Prendre $r_s$ pour la taille d'un corps, ou un trou noir pour un aspirateur. Les 2,95 km du Soleil se trouvent profondément à l'intérieur de lui, et un trou noir de la masse du Soleil laisserait l'orbite de la Terre inchangée, car, à l'extérieur de la masse, seule $M$ compte.

Où on le rencontre

Chaque position donnée par un GPS dépend de ces corrections, et les horloges atomiques optiques remarquent aujourd'hui une élévation de quelques centimètres. Les lentilles gravitationnelles grossissent des galaxies lointaines et cartographient la matière noire invisible. On photographie l'ombre de trous noirs depuis 2019, et l'on enregistre depuis 2015 les ondes gravitationnelles de trous noirs qui fusionnent.

Cette leçon fait le lien entre Relativité restreinte, qui fournit le temps propre et le terme de vitesse, et Gravitation et orbites, sa limite de champ faible. Et comme l'énergie a une masse, ainsi que l'explique Fission, fusion et E = mc², toute forme d'énergie courbe l'espace-temps, lumière et pression comprises.

Avancé

Mesurer la courbure de l'intérieur

Comment des êtres qui vivent à l'intérieur d'un espace pourraient-ils savoir qu'il est courbe, sans en sortir ? Ils peuvent mesurer. Tracez une sphère autour d'un peu de matière et mesurez l'aire $A$ de sa surface. Dans l'espace plat, l'aire fixe le rayon : $A=4\pi r^2$, donc le rayon doit valoir $\sqrt{A/4\pi }$. Mesurez maintenant le rayon directement, en posant des règles bout à bout du centre jusqu'à la sphère. Si les règles indiquent plus que $\sqrt{A/4\pi }$, l'espace est courbe, et la différence, appelée excès de rayon, mesure de combien.

Légende

$M$	Masse contenue dans la sphère.	$\mathrm{kg}$
$A$	Aire de la sphère que représente l'anneau.	${\mathrm{m}}^2$
$\sqrt{A/4\pi }$	Rayon que donnerait l'espace plat pour l'aire $A$.	$\mathrm{m}$
$r$	Rayon mesuré avec des règles posées de $M$ jusqu'à l'anneau, le long de la nappe.	$\mathrm{m}$
$\Delta r$	Excès de rayon, $r-\sqrt{A/4\pi }$ ; pour une matière de masse volumique à peu près uniforme, il vaut $GM/(3c^2)$.	$\mathrm{m}$

La figure 1 montre le même test avec une dimension de moins, pour qu'on puisse le dessiner. La nappe courbe est l'espace, l'anneau représente la sphère d'aire $A$, et la masse $M$ se trouve au fond de la cuvette. La nappe est dessinée comme une portion de sphère, car c'est la forme que prend l'espace à l'intérieur d'une matière de masse volumique uniforme. Regardez d'abord la ligne en pointillés : c'est la distance horizontale de l'axe à l'anneau, le rayon $\sqrt{A/4\pi }$ que l'espace plat donnerait pour un anneau de cette taille. Suivez maintenant la courbe notée $r$ : une règle posée de $M$ à l'anneau ne peut pas couper à travers la cuvette, elle doit suivre la pente de la nappe, et indique donc une distance plus longue. La barre du dessous met les deux longueurs côte à côte, $r=\sqrt{A/4\pi }+\Delta r$. Le morceau en plus, $\Delta r$, est l'excès de rayon que mesureraient des êtres vivant dans la nappe.

La loi de la gravitation d'Einstein, sous sa forme la plus simple, met un nombre sur cet excès. Prenez une petite sphère autour d'une matière de masse volumique à peu près uniforme, avec une masse $M$ à l'intérieur. Le rayon mesuré dépasse alors la valeur de l'espace plat de
$\Delta r=r-\sqrt{A/4\pi }=\frac{GM}{3c^2}$

Ici $G$ est la constante gravitationnelle de Newton et $c$ la vitesse de la lumière. Comme $G/c^2$ est très petit, l'effet est minuscule. Pour la Terre, supposée uniforme, $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$, donc l'excès de rayon n'est que d'environ 1,5 mm ; pour Jupiter, il est de 0,47 m. Aucune campagne de mesure ne pourrait détecter de tels écarts. La force de la règle tient à sa généralité.

La loi complète l'exige pour toute petite sphère, autour de tout événement (un point de l'espace à un instant donné) et pour tout observateur, quel que soit son mouvement. Pour écrire toutes ces conditions à la fois, il faut trois ingrédients. La métrique est la table qui convertit des pas de coordonnées en temps et en longueurs que mesurent réellement horloges et règles. Le tenseur d'Einstein $G_{\mu \nu }$ rassemble la courbure ; il est construit à partir des dérivées secondes de la métrique, comme la courbure d'une courbe vient de la dérivée seconde de son graphe. Le tenseur énergie-impulsion $T_{\mu \nu }$ rassemble la densité et le flux d'énergie et d'impulsion. La loi s'écrit alors
$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

La courbure est à gauche, la matière à droite. Le couplage $8\pi G/c^4\approx 2,1\times 10^{-43}{\mathrm{N}}^{-1}$ est extrêmement petit : l'espace-temps est donc très raide, et des densités d'énergie énormes ne produisent qu'une faible courbure. Dans le vide, $T_{\mu \nu }=0$, donc $G_{\mu \nu }=0$, et pourtant l'espace-temps n'y est pas plat, car $G_{\mu \nu }$ ne contient qu'une partie de la courbure. La partie qui reste est le champ de marée, qui étire un nuage de poussière en chute libre le long de la droite qui mène à la masse et le comprime latéralement.

Rythme des horloges et principe d'équivalence

La gravitation ne fait pas que courber l'espace ; elle modifie aussi le rythme du temps : les horloges situées plus haut vont plus vite. Cela découle du seul principe d'équivalence : dans une petite pièce fermée, aucune expérience ne distingue un champ de gravitation uniforme d'une accélération constante.

Légende

$g$	Accélération de la fusée (à gauche) ; intensité du champ de gravitation au sol, dirigé vers le bas (à droite).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$c$	Vitesse de l'impulsion lumineuse envoyée de l'horloge du plancher à celle du plafond.	$m/s$
$h$	Hauteur de la cabine : distance entre les deux horloges.	$\mathrm{m}$
$gh/c$	Vitesse que gagne le plafond pendant la montée de l'impulsion ; elle fixe le décalage Doppler $gh/c^2$.	$m/s$

La figure 2 raconte l'argument deux fois. Commencez à gauche. Loin de toute planète, une cabine de fusée de hauteur $h$ accélère vers le haut à $g$, avec une horloge au plancher et une au plafond. L'horloge du plancher envoie vers le haut une impulsion lumineuse à la vitesse $c$. L'impulsion met un temps d'environ $h/c$ à arriver, et pendant ce temps le plafond prend de la vitesse : $g\cdot (h/c)$. Quand il la reçoit, le plafond s'éloigne donc plus vite que ne le faisait le plancher à l'émission, de la vitesse $gh/c$ (la courte flèche du haut). Un récepteur qui s'éloigne voit la lumière décalée par effet Doppler vers une fréquence plus basse, de la fraction (vitesse)/$c$, ici $gh/c^2$.

Supposez que l'horloge du plancher envoie une impulsion à chaque battement. Aucune impulsion n'est perdue en route, et pourtant le plafond les reçoit à un rythme inférieur à celui de ses propres battements, de la fraction $gh/c^2$. Les impulsions envoyées vers le bas depuis le plafond arrivent à une fréquence plus élevée, parce que le plancher va à leur rencontre. Tous les passagers s'accordent donc : l'horloge du plafond va vite et celle du plancher lentement, de la fraction $gh/c^2$.

À droite, la même cabine repose sur le sol, dans un champ de gravitation $g$ dirigé vers le bas. D'après le principe d'équivalence, rien à l'intérieur ne distingue cette pièce de la fusée ; le résultat doit donc être le même : dans un champ de gravitation, une horloge plus haute de $h$ va plus vite de $gh/c^2$.

Près du sol, $gh$ est l'augmentation du potentiel gravitationnel $\Phi$, l'énergie potentielle par unité de masse. La règle vaut donc pour tout potentiel statique, pris nul à l'infini. Pendant qu'une horloge lointaine enregistre un temps $dt$, une horloge au repos au potentiel $\Phi$ enregistre son propre temps, le temps propre $d\tau$, et
$\frac{d\tau }{dt}\approx 1+\frac{\Phi }{c^2}$

Comme $\Phi$ est négatif près d'une masse, les horloges y vont lentement. Autour d'une masse $M$, $\Phi =-GM/r$, et la règle est la forme au premier ordre du rythme exact établi plus bas, $\sqrt{1-r_s/r}\approx 1-GM/(r{c}^2)$, où $r_s=2GM/c^2$ est le rayon de Schwarzschild de la masse.

La conservation de l'énergie donne la même réponse. Une lumière d'énergie $E$ a une masse $E/c^2$ ; en tombant d'une hauteur $h$, elle gagne l'énergie $Egh/c^2$, soit la fraction $gh/c^2$ de son énergie ; en montant, elle perd cette fraction. L'énergie d'un photon est proportionnelle à sa fréquence, donc sa fréquence baisse de la même fraction.

Pound et Rebka ont mesuré ce décalage en 1960 sur une tour de 22,5 m : une fraction de seulement $2,5\times 10^{-15}$. En 1976, une horloge à maser à hydrogène envoyée à environ 10 000 km d'altitude l'a confirmé avec une bien meilleure précision.

Le graphe de l'horloge en orbite

Les satellites embarquent des horloges, et pour elles les deux effets comptent : la hauteur fait aller une horloge plus vite, la vitesse la fait aller plus lentement. Le graphe de la vue experte applique les deux à une horloge en orbite circulaire de rayon $r$, mesuré à partir du centre de la Terre, comparée à une horloge au sol, au rayon terrestre $R$.

Hauteur : le potentiel passe de $-GM/R$ au sol à $-GM/r$ en orbite ; d'après la règle ci-dessus, l'horloge en orbite gagne donc la fraction $GM/c^2(1/R-1/r)$ de chaque seconde (courbe verte). Vitesse : la relativité restreinte ralentit une horloge en mouvement du facteur $\sqrt{1-v^2/c^2}\approx 1-v^2/(2c^2)$, et sur une orbite circulaire $v^2=GM/r$, de sorte que l'horloge perd $GM/(2r{c}^2)$ de chaque seconde (courbe bleue). Le total (courbe rouge) est
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{3}{2r}\right)$

Le graphe multiplie ces fractions par les 86 400 secondes d'un jour. Une orbite rasante, en $r=R$, ne gagne rien par la hauteur et perd 30,1 µs par jour, uniquement à cause de la vitesse. Avec l'altitude, le gain vert monte vers 60,1 µs par jour, sa valeur pour une horloge infiniment éloignée, tandis que la perte bleue diminue en $1/r$. La courbe rouge coupe zéro là où $1/R=3/(2r)$, c'est-à-dire en $r=1,5R$, à environ 3 190 km d'altitude : les orbites plus basses perdent du temps, les plus hautes en gagnent. La Station spatiale, à 400 km, perd 24,7 µs par jour, de sorte que six mois à bord rendent un astronaute plus jeune d'environ 4,5 ms. Les horloges GPS, à environ 20 200 km, gagnent 38,5 µs par jour, et le bord droit du graphe, à 25 000 km, atteint 41,8 µs.

Chute libre et temps propre maximal

Newton décrit la chute avec des forces. La relativité générale les remplace par une seule règle sur les horloges : entre deux événements, un corps libre suit la ligne d'univers (son trajet à travers l'espace et le temps) le long de laquelle sa propre horloge enregistre le plus de temps. Dans l'espace-temps plat, cette ligne d'univers est droite, à vitesse constante ; c'est pourquoi le jumeau voyageur de la relativité restreinte, qui fait demi-tour, rentre plus jeune.

Près du sol, deux effets s'opposent, comme dans la section précédente : la hauteur fait aller une horloge plus vite de $gh/c^2$, et la vitesse la fait aller plus lentement de $v^2/(2c^2)$. Le long d'un trajet de hauteur $h(t)$ et de vitesse $v(t)$, le temps propre est donc
$\tau =\int \left(1+\frac{gh}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\right)dt$

La hauteur rapporte, la vitesse coûte. Le meilleur trajet monte assez haut pour gagner du temps, mais pas assez vite pour que sa vitesse mange le gain.

Légende

$t$	Temps écoulé depuis le lancer.	$\mathrm{s}$
$h$	Hauteur de la balle au-dessus du sol.	$\mathrm{m}$
$T$	Durée entre le lancer et la prise.	$\mathrm{s}$
$H_1$	Hauteur maximale d'un trajet bas, $H_2/2$.	$\mathrm{m}$
$H_2$	Hauteur maximale du trajet de chute libre, $g{T}^2/8$.	$\mathrm{m}$
$H_3$	Hauteur maximale d'un trajet haut, $2H_2=g{T}^2/4$.	$\mathrm{m}$
$H$	Hauteur maximale d'un trajet.	$\mathrm{m}$
$\Delta \tau$	Temps propre qu'une horloge sur le trajet gagne sur une horloge restée au sol.	$\mathrm{s}$

La figure 3 met la règle à l'épreuve avec une balle lancée vers le haut et rattrapée un temps $T$ plus tard. Le panneau de gauche montre trois trajets entre les deux mêmes événements, tous des arcs $h=4H(t/T)(1-t/T)$ qui ne diffèrent que par leur hauteur maximale $H$ : un trajet bas, $H_1$ ; le trajet de chute libre, celui que la balle suit réellement, $H_2$ ; et un trajet haut, $H_3$. Lequel donne le plus de temps à une horloge qui l'accompagne ?

Calculez le temps $\Delta \tau$ que l'horloge voyageuse gagne sur une horloge restée au sol en moyennant les deux termes sur le vol. La hauteur moyenne d'un tel arc vaut les deux tiers de son maximum, $2H/3$. La vitesse est $v=dh/dt=(4H/T)(1-2t/T)$, et la moyenne de $(1-2t/T{)}^2$ sur le vol vaut $1/3$, de sorte que la moyenne de $v^2/2$ est $8H^2/(3T^2)$. En multipliant chaque moyenne par la durée du vol $T$ et en divisant par $c^2$, on obtient
$\Delta \tau =\frac{T}{c^2}\left(\frac{2}{3}gH-\frac{8H^2}{3T^2}\right)$

Le panneau de droite trace ce gain en fonction de $H$ : une parabole tournée vers le bas. Elle culmine là où sa pente, $2g/3-16H/(3T^2)$, s'annule, en $H_2=g{T}^2/8$. C'est exactement la hauteur de la chute libre : une balle qui monte pendant $T/2$ sous l'effet de la gravitation s'élève de $\frac{1}{2}g(T/2{)}^2=g{T}^2/8$. Pour $T=3\mathrm{s}$, le maximum est de 11,0 m et le gain vaut $g^2{T}^3/(24c^2)\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{s}$. Le trajet bas $H_1$, deux fois moins haut, gagne les trois quarts de cette valeur. Le trajet $H_3=g{T}^2/4$, deux fois plus haut, ne gagne rien : sa vitesse supplémentaire annule exactement le bénéfice de la hauteur.

La même démarche vaut pour tout potentiel, en remplaçant $gh$ par $\Phi$. Multipliez l'intégrande par $-m{c}^2$ : l'intégrale devient $\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$. Le premier terme ajoute la même quantité à tous les trajets ; rendre $\tau$ aussi grand que possible revient donc à rendre $\int (\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$ aussi petit que possible. C'est le principe de moindre action de la mécanique newtonienne, dont l'équation du mouvement est $\vec{a}=-\nabla \Phi$. La masse $m$ s'y simplifie, de sorte que tous les corps tombent de la même façon : l'universalité de la chute libre est inscrite dans la géométrie. À strictement parler, $\tau$ n'est maximal que par rapport aux trajets voisins.

La géométrie de Schwarzschild

Les règles vues jusqu'ici sont des approximations de champ faible. À l'extérieur d'une masse sphérique non tournante, comme une étoile ou un trou noir, l'équation de champ a une solution exacte, trouvée par Karl Schwarzschild en 1916. C'est une métrique : elle donne le temps propre $d\tau$ entre deux événements voisins à partir de leurs écarts de coordonnées,
$c^{2}d{\tau }^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-r_s/r}-r^{2}d{\Omega }^2$

Ici $t$ est le temps d'une horloge lointaine, $r$ est choisi de sorte qu'un cercle autour du centre ait pour circonférence $2\pi r$, $d\Omega$ est le petit angle entre les deux événements vu du centre, et $r_s=2GM/c^2$. Deux lectures en découlent aussitôt. Pour une horloge au repos, $dr=d\Omega =0$, et la métrique donne $d\tau =\sqrt{1-r_s/r}dt$ : le rythme exact de l'horloge. Pour une règle posée le long du rayon, $dt=d\Omega =0$, et la longueur qu'elle mesure est $dr/\sqrt{1-r_s/r}$, supérieure à $dr$. Cet étirement des distances radiales est l'excès de rayon de la première section.

La déviation de la lumière

La lumière qui passe près d'une masse est déviée, et l'ampleur de la déviation distingue la relativité générale de la théorie de Newton : le raisonnement newtonien ne donne que la moitié de ce qu'on observe.

Légende

$M$	Masse qui dévie le rayon.	$\mathrm{kg}$
$b$	Paramètre d'impact : distance de $M$ à la droite d'arrivée du rayon.	$\mathrm{m}$
$c$	Vitesse de la lumière, le long du rayon.	$m/s$
$\delta$	Déviation en relativité générale, $4GM/(c^{2}b)=2{\delta }_N$.	$\mathrm{rad}$
${\delta }_N$	Déviation due à la seule partie temporelle, comme dans la théorie de Newton : $2GM/(c^{2}b)$.	$\mathrm{rad}$

La figure 4 suit un rayon de lumière qui passe près de la masse $M$. Loin à gauche, le rayon se propage en ligne droite à la vitesse $c$ ; le paramètre d'impact $b$ est la distance de $M$ à cette droite d'arrivée. Loin à droite, les deux trajets dessinés sont de nouveau rectilignes, le long des droites en pointillés, mais tournés : l'un d'un angle ${\delta }_N$, l'autre de $\delta$, deux fois plus grand. La suite de cette section explique ce facteur deux.

La lumière se déplace avec $d\tau =0$. Décrivez son trajet par $u=1/r$ en fonction de l'angle $\phi$ autour de la masse, le prime désignant $d/d\phi$. En posant $d\tau =0$ dans la métrique de Schwarzschild et en utilisant l'énergie et le moment cinétique, qui se conservent, on obtient
$u^{\prime \prime }+u=\frac{3GM}{c^2}{u}^2$

Sans le membre de droite, la solution est une droite ; le petit terme de droite la courbe. C'est l'équation que l'animation intègre pour son rayon doré.

Pour comprendre le facteur deux, regardez la métrique en champ faible. Le facteur devant $c^{2}d{t}^2$ y est $g_{tt}\approx 1+2\Phi /c^2$, et le facteur devant le carré du pas d'espace est $g_{rr}\approx -(1-2\Phi /c^2)$ : tous deux diffèrent de l'espace plat de la même quantité, $2\Phi /c^2$. Un corps lent parcourt très peu d'espace par unité de temps ; seule la partie temporelle agit donc sur lui, et cette partie suffit à donner la gravitation de Newton. Appliquée à la lumière, la partie temporelle seule donnerait un trajet dévié de ${\delta }_N=2GM/(c^{2}b)$, l'angle que donne la théorie de Newton pour une particule qui va à $c$. Mais la lumière traverse autant d'espace que de temps, $|d\vec{x}|=cdt$ : la partie spatiale agit donc sur elle aussi fortement que la partie temporelle, et la déviation double :
$\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}=2{\delta }_N$

Comme $4GM/c^2=2r_s$, c'est aussi $\delta =2r_s/b$. Dans l'animation, le rayon passe à $b=8r_s$ : le trajet violet de Newton est dévié de 7,2°, cette formule donne $0,25\mathrm{rad}=14,3°$, et le rayon doré exact tourne de 17,8°, car si près de la masse la formule de champ faible est insuffisante. Au bord du Soleil, $b\approx 2,4\times 10^5{r}_s$, la formule donne 1,75″, que les radiotélescopes confirment à mieux que 0,1 %.

Mercure et les rayons du champ fort

Pour une planète, le même terme supplémentaire apparaît dans son équation d'orbite, $u^{\prime \prime }+u=GM/{\ell }^2+3GM{u}^2/c^2$, où $\ell$ est le moment cinétique par unité de masse. Sans le dernier terme, les solutions sont les ellipses de Newton, qui se referment après un tour. Le terme supplémentaire fait tourner l'ellipse un peu vers l'avant à chaque tour : son point le plus proche du Soleil avance de
$\Delta \phi =\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$

où $a$ est le demi-grand axe de l'ellipse et $e$ son excentricité. Pour Mercure, avec $a=5,79\times 10^{10}\mathrm{m}$ et $e=0,206$, cela fait $5,0\times 10^{-7}\mathrm{rad}$ par orbite, soit 43″ sur les 415 orbites d'un siècle : exactement la part de l'avance de Mercure que les attractions des autres planètes ne pouvaient pas expliquer.

Dans les champs forts, les mêmes équations délimitent trois rayons. À l'horizon, $r_s$, le rythme $\sqrt{1-r_s/r}$ d'une horloge au repos tombe à zéro. À la sphère de photons, $1,5r_s$, la lumière peut tourner autour de la masse, mais de façon instable. À la dernière orbite circulaire stable, $3r_s$, les orbites stables s'arrêtent ; elle forme le bord intérieur des disques de gaz chaud autour des trous noirs.

Problème résolu : une horloge embarquée sur la bille

Quel est exactement le rythme d'une horloge en orbite ? Plaçons une horloge sur la bille bleue de l'animation, qui tourne autour de l'étoile en $r=10,4r_s$ avec la vitesse angulaire $\omega$. En temps lointain, la loi de Kepler est exacte pour les orbites circulaires de cette géométrie : ${\omega }^2=GM/r^3$. Sur l'orbite, $r$ est constant, donc $dr=0$, et l'angle avance de $d\Omega =\omega dt$. En reportant dans la métrique et en divisant par $c^{2}d{t}^2$, on obtient
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}-\frac{r^2{\omega }^2}{c^2}}$

Avec la loi de Kepler et $GM=r_s{c}^2/2$, le dernier terme vaut $r^2{\omega }^2/c^2=GM/(r{c}^2)=r_s/(2r)$, donc
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}$
En $r=10,4r_s$, cela donne $\sqrt{1-1,5/10,4}=\sqrt{0,856}\approx 0,925$.

Un tour dure 12,28 s de temps lointain, donc l'horloge de la bille indique $0,925\cdot 12,28\approx 11,4\mathrm{s}$. Comparez avec les deux horloges immobiles de l'animation. L'horloge lointaine, à $22r_s$, va au rythme $\sqrt{1-1/22}=0,977$ et indique 12,0 s ; l'horloge de l'étoile, à $2,16r_s$, va à 0,733 et indique 9,0 s. L'horloge de la bille prend du retard sur l'horloge lointaine, mais reste bien en avance sur celle de l'étoile.

Le rythme se décompose en un facteur pour chaque effet. Le facteur de gravitation, $\sqrt{1-1/10,4}=0,951$, est le rythme d'une horloge au repos à ce rayon. Le facteur de mouvement, $\sqrt{1-0,231^2}=0,973$, est le ralentissement de la relativité restreinte pour la vitesse $0,231c$ que mesure un observateur statique à côté de l'orbite. Leur produit vaut $0,951\cdot 0,973\approx 0,925$. Cette vitesse dépasse la valeur newtonienne $\sqrt{GM/r}=0,219c$ parce que l'horloge de l'observateur statique va lentement : il chronomètre la bille sur moins de secondes.

Comparez maintenant une horloge en orbite à une horloge immobile au rayon $R$, dont le rythme est $\sqrt{1-r_s/R}$. L'horloge en orbite va plus vite quand $1-3r_s/(2r)>1-r_s/R$, c'est-à-dire quand $r>1,5R$. C'est le zéro de la courbe rouge de la Terre, à 3 190 km d'altitude, mais ici le résultat est exact et vaut aussi en champ fort. Pour l'horloge de l'étoile, en $2,16r_s$, l'orbite où les deux horloges vont au même rythme se trouve en $3,24r_s$, juste à l'extérieur de la dernière orbite stable, en $3r_s$.

Limites de validité

Les formules de champ faible exigent $r_s/r\ll 1$ et $v\ll c$. Près de l'étoile de l'animation, elles échouent de façon visible : pour l'horloge de l'étoile, le rythme de champ faible $1-r_s/(2r)$ donne 0,769 au lieu de l'exact 0,733, et la formule de déviation manque les 17,8° exacts de 3,5°. Dans le Système solaire, les erreurs sont de l'ordre de $(r_s/r{)}^2$, soit environ $2\times 10^{-11}$ même à la surface du Soleil. Une étoile à neutrons est différente : avec 1,4 masse solaire dans un rayon de 12 km, elle a $r_s/r=0,34$, et une horloge à sa surface va au rythme 0,81. Le graphe de la Terre néglige aussi un petit effet, la rotation de l'horloge au sol, qui vaut environ 0,1 µs par jour.

La théorie a réussi tous les tests à ce jour : déviation de la lumière et retards radio près du Soleil, orbite de Mercure, horloges, rétrécissement des orbites des pulsars binaires et, depuis 2015, ondes gravitationnelles. La première onde détectée venait de la fusion de deux trous noirs d'environ 36 et 29 masses solaires ; elle a modifié d'environ $4\times 10^{-18}\mathrm{m}$ les bras de 4 km des détecteurs LIGO.

La vraie limite est quantique. La théorie prédit des singularités, à l'intérieur des trous noirs et au début de l'univers en expansion, où la courbure croît sans limite. Bien avant, près de la longueur de Planck, $\sqrt{\hslash G/c^3}\approx 1,6\times 10^{-35}\mathrm{m}$, les effets quantiques de la gravitation doivent prendre le relais, et aucune théorie testée ne les décrit encore.

Ce qui vient ensuite

La leçon Relativité restreinte donne la limite plate, sans gravitation, et son effet des jumeaux revient ici comme la règle du plus long temps propre. La leçon Gravitation et orbites en est la limite de champ faible et de mouvement lent. De même que les charges accélérées rayonnent dans Ondes électromagnétiques, les masses accélérées émettent des ondes gravitationnelles à la vitesse $c$, mais seulement par des quadripôles variables, la conservation de l'impulsion interdisant le rayonnement dipolaire. La leçon Fission, fusion et E = mc² explique pourquoi toute forme d'énergie compte dans $T_{\mu \nu }$.

Si l'on y ajoute la théorie quantique, un trou noir doit briller comme les corps noirs étudiés dans Rayonnement du corps noir et quanta, à la température $T=\hslash c^3/(8\pi GM{k}_B)$, soit environ $6\times 10^{-8}\mathrm{K}$ pour une masse solaire. La leçon Particules et forces : le modèle standard décrit toutes les interactions connues sauf la gravitation ; les réunir est le grand problème ouvert.