Travail, énergie et puissance

Débutant

Dans la vie courante, tenir une lourde valise pendant dix minutes, c'est un vrai travail. En physique, ce n'est aucun travail, car le mot a un sens précis : une force travaille quand elle déplace quelque chose dans le sens où elle pousse ou tire. Travail = force × distance, en joules (J). Poussez un chariot avec 10 N sur 3 m : vous fournissez un travail de 30 J.

Fournir un travail à un objet lui donne de l'énergie, c'est-à-dire la capacité de travailler à son tour. Deux formes nous intéressent ici. Un objet en hauteur possède une énergie de hauteur (énergie potentielle de pesanteur) : poids × hauteur. Montez un sac de farine de 20 N sur une étagère à 1,5 m : il stocke 30 J. Un objet en mouvement possède une énergie de mouvement (énergie cinétique), $\frac{1}{2}m{v}^2$. Comme la vitesse est au carré, une voiture deux fois plus rapide transporte quatre fois plus d'énergie : voilà pourquoi la vitesse compte tant dans un choc.

L'énergie ne se crée ni ne se détruit ; elle change seulement de forme. Lâchez une balle : elle perd de l'énergie de hauteur et gagne exactement autant d'énergie de mouvement. À l'impact, cette énergie écrase un instant la balle et le sol, et une partie devient chaleur et son : la balle ne remonte jamais jusqu'à son point de départ.

La puissance indique à quelle vitesse le travail est fourni, en watts : un watt, c'est un joule par seconde. Deux personnes qui montent la même caisse par le même escalier fournissent le même travail ; la plus rapide développe la plus grande puissance.

Testez-vous : vous portez une caisse à vitesse constante à travers une pièce de plain-pied. Quel travail votre poussée vers le haut fournit-elle à la caisse ? (Aucun : la caisse avance à l'horizontale, perpendiculairement à votre poussée.)

Dans l'animation, la barre bleue « hauteur » diminue et la barre dorée « mouvement » grandit pendant la chute, tandis que le total vert ne change pas.

Intermédiaire

Le travail : la force le long du déplacement

En physique, une force ne travaille que si l'objet se déplace pendant qu'elle agit, et seule compte la partie de la force qui est dirigée le long du mouvement. Pour une force constante $F$ et un déplacement rectiligne $d$ faisant un angle $\theta$ avec la force,
$W=Fd\cos \theta$

Le travail se mesure en joules, $1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ : c'est à peu près le travail qu'il faut pour soulever une pomme de 100 g d'un mètre. C'est un scalaire : il n'a pas de direction, mais il a un signe.

L'angle entre la force et le déplacement détermine ce signe :

• Dans le sens du mouvement, $\theta =0^{\circ }$ et $W=Fd$ : la force apporte de l'énergie à l'objet.
• À angle droit, $\theta =90^{\circ }$ et la force ne travaille pas : le sol sous une caisse qui glisse, ou le fil qui fait tourner une pierre en cercle.
• Contre le mouvement, $\theta =180^{\circ }$ et $W=-Fd$ : les frottements et les freins retirent de l'énergie au mouvement.

Quand plusieurs forces agissent, chacune fournit son propre travail, et le travail total est leur somme.

Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

Poussez un chariot de masse $m$ avec une force résultante constante $F$ sur une distance $d$. Avec $a=F/m$, la relation de cinématique $v^2=v_0^2+2ad$, multipliée par $m/2$, devient $Fd=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Ce que le travail modifie, c'est l'énergie cinétique,
$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$
et le travail total de toutes les forces est égal à sa variation. C'est le théorème de l'énergie cinétique :
$\sum W=\Delta E_c$

Un travail total positif accélère l'objet et un travail total négatif le ralentit. L'énergie cinétique n'est jamais négative, ne tient pas compte du sens du mouvement et croît comme le carré de la vitesse.

Énergie potentielle et conservation de l'énergie

Quand une balle de masse $m$ passe de la hauteur $h_1$ à une hauteur $h_2$ plus basse, son poids $mg$ fournit un travail $mg(h_1-h_2)$ quel que soit le trajet, car seule la partie verticale de chaque petit déplacement est alignée avec le poids. Un travail qui ne dépend que des extrémités peut être stocké puis restitué ; on le comptabilise donc comme une énergie potentielle :
$E_p=mgh$

La hauteur $h$ se mesure à partir d'un niveau que l'on choisit, car seules les variations de $E_p$ comptent. Le travail du poids est positif à la descente, où $E_p$ diminue, et négatif à la montée.

Si le poids, ou un ressort idéal, est la seule force qui travaille, chaque joule qui quitte $E_p$ se retrouve dans $E_c$, et l'énergie mécanique reste la même :
$E_m=E_c+E_p=\text{constante}\text{(sans frottements)}$

Ainsi, un objet lâché d'une hauteur $h$ arrive au sol à $v=\sqrt{2gh}$, puisque $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$. La masse se simplifie, et sur un toboggan sans frottement la forme de la piste ne compte pas non plus : la piste pousse perpendiculairement au mouvement et ne travaille pas.

Exemple résolu : la balle qui tombe dans l'animation

La balle de 2 kg est lâchée sans vitesse initiale à la hauteur $h_0=18\mathrm{m}$. Avec le sol pour origine $h=0$, toute son énergie est potentielle au départ :
$E=mg{h}_0=2\cdot 9,81\cdot 18\approx 353\mathrm{J}$

À mi-chemin, à $h=9\mathrm{m}$, la moitié a changé de forme : $E_p\approx 177\mathrm{J}$ et $E_c\approx 177\mathrm{J}$, donc $v=\sqrt{2E_c/m}\approx 13,3m/s$. Juste avant l'impact, $E_p=0$ et $E_c=E$ :
$v=\sqrt{2g{h}_0}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 18}\approx 18,8m/s$

Ce sont les valeurs affichées pour $E_p$, $E_c$ et $v$, et la dernière image, l'instant juste avant l'impact, montre $E_c=E$ et $E_p=0$. Pendant toute la chute, la barre bleue de $E_p$ et la barre dorée de $E_c$ s'additionnent pour donner la barre verte de $E$, tandis que la flèche de vitesse $v$ s'allonge.

La chute dure $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$, mais la mi-hauteur n'est franchie qu'à 1,35 s. À la moitié du temps, 0,96 s, la balle n'est tombée que de 4,5 m, et seul un quart de l'énergie, 88 J, a changé de forme. L'énergie se répartit selon la hauteur, non selon le temps, et la balle parcourt plus de hauteur à chaque seconde : ses images pâles, espacées de 0,4 s, s'écartent de plus en plus.

Exemple résolu : tirer une luge chargée

Un enfant tire une luge de 25 kg, initialement au repos, sur 20 m de neige horizontale. La corde fait un angle de $30^{\circ }$ avec le sol et sa tension vaut 60 N ; les frottements sur les patins valent 30 N. Quelle est la vitesse de la luge à l'arrivée ?

La corde fournit $60\cdot 20\cdot \cos 30^{\circ }\approx 1039\mathrm{J}$, et les frottements, dirigés vers l'arrière, fournissent $30\cdot 20\cdot \cos 180^{\circ }=-600\mathrm{J}$. Le poids et la réaction de la neige sont verticaux, donc perpendiculaires au mouvement : ils ne travaillent pas. Le travail total vaut 439 J et, à partir du repos, le théorème de l'énergie cinétique donne
$v=\sqrt{\frac{2\sum W}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 439}{25}}\approx 5,9m/s$

Les lois de Newton donnent le même résultat : la composante de la traction dirigée vers l'avant, $60\cos 30^{\circ }\approx 52\mathrm{N}$, laisse une force résultante de 22 N, donc $a\approx 0,88m/{\mathrm{s}}^2$ et $v^2=2\cdot 0,88\cdot 20\approx 35{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$. Le raisonnement par l'énergie n'a demandé ni l'accélération ni le temps.

Puissance et lecture des graphiques d'énergie

La puissance est le rythme auquel le travail est fourni, en watts, $1\mathrm{W}=1J/s$ :
$P=\frac{W}{t}$
Pour une force dirigée le long du mouvement, à la vitesse $v$, le travail fourni pendant un court intervalle $\Delta t$ vaut $Fv\Delta t$, donc $P=Fv$. À la fin de la traction, la corde fournit une puissance de $52\cdot 5,93\approx 308\mathrm{W}$, mais de 154 W seulement en moyenne sur les 6,7 s, puisque la luge est partie du repos.

Sur un graphique de la force en fonction de la distance, l'aire sous la courbe est le travail : un rectangle $Fd$ pour une force constante, un triangle $\frac{1}{2}k{x}^2$ pour un ressort dont la force croît avec l'allongement, $F=kx$. Sur un graphique de l'énergie en fonction du temps, la pente est la puissance. La puissance du poids sur la balle qui tombe, $mgv$, passe de zéro à $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$ à l'impact : la barre dorée se remplit donc lentement au début, puis de plus en plus vite.

Erreurs fréquentes

• Le travail n'est pas l'effort. Tenir une valise de 20 kg immobile pendant dix minutes ne lui fournit aucun travail ; vos muscles dépensent de l'énergie chimique simplement pour rester tendus.
• L'énergie cinétique n'est pas proportionnelle à la vitesse. De 15 m/s à 30 m/s, l'énergie cinétique d'une voiture de 1200 kg passe de 135 kJ à 540 kJ ; avec la même force de freinage, il faut donc une distance de freinage quatre fois plus grande.
• Le travail peut être négatif. Les frottements ont fourni $-600\mathrm{J}$ à la luge : cette énergie a quitté le mouvement et est réapparue sous forme de chaleur dans les patins et dans la neige.
• Une valeur de $E_p$ ne veut rien dire sans son niveau zéro. La balle a une énergie potentielle de 353 J par rapport au sol et de 0 J par rapport à son point de départ, et pourtant la chute libère 353 J dans les deux cas.
• Un objet plus lourd n'arrive pas plus vite quand seul le poids travaille. Une balle de 4 kg lâchée de 18 m possède 706 J, deux fois plus, mais arrive quand même à 18,8 m/s : la masse se simplifie.

Où on le rencontre

Les concepteurs de montagnes russes partent de $E_c+E_p$ : une rame lâchée sans vitesse à 40 m au-dessus du point le plus bas ne peut atteindre que $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 40}\approx 28m/s$, soit environ 100 km/h. Les centrales hydroélectriques transforment l'énergie potentielle de l'eau en électricité, environ 0,98 MJ par tonne qui tombe de 100 m.

Les leçons suivantes s'appuient sur la même comptabilité, avec Machines simples : leviers, poulies et engrenages (aucune machine ne restitue plus de travail qu'elle n'en reçoit), Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation (l'énergie d'un ressort étiré), Oscillations harmoniques, Théorème de Bernoulli, Champ et potentiel électriques, et Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques, qui ajoute la chaleur au bilan.

Avancé

Le travail comme intégrale curviligne

La règle $W=Fd\cos \theta$ suppose une force constante et une trajectoire rectiligne. Les forces réelles varient d'un point à l'autre et les trajectoires réelles sont courbes : il faut donc une définition du travail qui tienne compte des deux. Tout le reste de cette leçon repose sur elle.

Légende

$A$	Début de la trajectoire.
$B$	Fin de la trajectoire.
$d\vec{r}$	Un pas court le long de la trajectoire, de longueur $dr$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Force sur la particule au début du pas.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Angle entre $\vec{F}$ et le pas.	$\mathrm{rad}$
$F\cos \theta$	Composante de $\vec{F}$ le long du pas : la seule partie qui travaille.	$\mathrm{N}$

La figure 1 montre une particule qui se déplace le long d'une trajectoire courbe de $A$ à $B$, tandis que la force qu'elle subit change d'un point à l'autre. L'idée est de découper la trajectoire en pas si courts que chacun est pratiquement rectiligne et que la force y varie à peine. Sur un tel pas, la règle simple s'applique de nouveau.

Regardez le pas agrandi $d\vec{r}$ : une flèche de longueur $dr$ dirigée le long de la trajectoire. À son origine, la force vaut $\vec{F}$ et fait l'angle $\theta$ avec le pas. Les petits points le long de la courbe marquent le début des autres pas ; chacun a sa propre force et son propre angle.

Seule la partie de $\vec{F}$ dirigée le long du pas pousse la particule dans ce sens ; la partie perpendiculaire ne fait que la pousser de côté. Pour trouver la partie le long du pas, abaissez la perpendiculaire en pointillés depuis l'extrémité de $\vec{F}$ sur la droite du pas : le segment vert qu'elle découpe a pour longueur $F\cos \theta$. Le travail fourni sur ce seul pas est cette composante multipliée par la longueur du pas :
$dW=F\cos \theta dr=\vec{F}\cdot d\vec{r}$

Le produit scalaire apparaît parce qu'il est exactement cela : la composante d'un vecteur le long de l'autre, multipliée par la longueur de l'autre. Le travail total de $A$ à $B$ est la somme sur tous les pas. Quand les pas deviennent de plus en plus courts, la somme devient l'intégrale curviligne
$W={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^B\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)$
La seconde forme écrit le produit scalaire en composantes ; c'est ainsi que l'on calcule d'habitude l'intégrale.

Deux résultats en découlent immédiatement. Pour une force constante sur une trajectoire rectiligne, $\vec{F}$ sort de l'intégrale et les pas s'additionnent pour donner le déplacement, ce qui redonne $W=Fd\cos \theta$. Et en divisant $dW$ par la durée $dt$ du pas, avec $d\vec{r}/dt=\vec{v}$, on obtient la puissance que la force fournit à chaque instant, $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$.

Le travail n'est pas quelque chose que possède un corps. Il décrit un processus : une quantité d'énergie transmise de ce qui exerce la force au corps sur lequel elle s'exerce.

Démonstration du théorème de l'énergie cinétique

L'intégrale curviligne devient utile une fois reliée au mouvement. La deuxième loi de Newton fait le lien, et le résultat, le théorème de l'énergie cinétique, dit que la somme des travaux des forces appliquées à une particule est égale à la variation de son énergie cinétique $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Partons de la façon dont $E_c$ varie dans le temps. Le carré de la vitesse est le produit scalaire de la vitesse par elle-même, $v^2=\vec{v}\cdot \vec{v}$, et, d'après la règle de dérivation d'un produit, sa dérivée est $2\vec{v}\cdot d\vec{v}/dt$. Pour une particule de masse constante $m$, on a donc
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=m\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}=\left(\sum \vec{F}\right)\cdot \vec{v}$
La dernière étape est la deuxième loi de Newton, $md\vec{v}/dt=\sum \vec{F}$ : la dérivée de $E_c$ par rapport au temps est la puissance de la résultante des forces.

Intégrons maintenant par rapport au temps, du début à la fin. Pendant une durée $dt$, la particule effectue le pas $d\vec{r}=\vec{v}dt$ ; l'intégrale en temps de $\left(\sum \vec{F}\right)\cdot \vec{v}$ devient donc une intégrale curviligne le long de la trajectoire :
$\Delta E_c=\int \left(\sum \vec{F}\right)\cdot d\vec{r}=\sum W$

Cette démonstration ne suppose rien sur la force ni sur la trajectoire. Le théorème vaut donc pour la résultante des forces sur une particule, que cette force possède ou non une énergie potentielle.

Les forces qui ne travaillent pas

Certaines forces agissent en permanence sur un corps sans jamais changer la valeur de sa vitesse. Les repérer simplifie les problèmes d'énergie, car elles disparaissent du bilan.

Légende

$h$	Hauteur de départ au-dessus du sol : la hauteur dont la balle descend.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Poids de la balle, vertical vers le bas.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Poussée de la piste sur la balle, perpendiculaire à la piste.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Vitesse de la balle, le long de la piste.	$m/s$

La figure 2 montre une balle qui glisse sans vitesse initiale sur un toboggan sans frottement de forme quelconque, en partant de la hauteur $h$ au-dessus du sol. Deux forces s'exercent sur elle : son poids $m\vec{g}$, vertical vers le bas, et la poussée $\vec{N}$ de la piste. Une piste lisse ne peut pousser que perpendiculairement à sa propre surface. La balle se déplace le long de cette surface, donc sa vitesse $\vec{v}$ est dirigée le long de la piste. Le petit carré marque l'angle droit entre $\vec{N}$ et $\vec{v}$ : à chaque instant $\vec{N}\cdot \vec{v}=0$, la puissance de $\vec{N}$ est donc nulle, et la poussée ne travaille pas, quelle que soit la courbure de la piste.

Il en va de même en général. Décomposez une force quelconque en une partie le long de la vitesse et une partie perpendiculaire. Seule la partie le long de $\vec{v}$ change la valeur de la vitesse ; la partie perpendiculaire ne fait que courber la trajectoire. La poussée d'une piste sans frottement, la tension du fil d'un pendule et la force magnétique sur une charge en mouvement sont toutes perpendiculaires à $\vec{v}$ : aucune d'elles ne travaille. Dans la figure 2, seul le poids reste donc pour modifier l'énergie cinétique.

Pour trouver le travail du poids, notez $y$ la hauteur de la balle au-dessus du sol à un instant quelconque : $y=h$ au départ et $y=0$ à l'arrivée. Le poids est vertical vers le bas, donc seule la partie verticale de $\vec{v}$, qui vaut $dy/dt$, compte :
$m\vec{g}\cdot \vec{v}=-mg\frac{dy}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(mgy\right)$
Le signe moins vient de ce que le poids est dirigé vers le bas alors que $y$ est compté vers le haut. Sur l'ensemble de la descente, le poids fournit donc le travail $mgh$, qui ne dépend que du dénivelé et pas de la forme de la piste. Le théorème donne alors $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$ : un toboggan sans frottement de n'importe quelle forme donne la même vitesse en bas, $v=\sqrt{2gh}$.

Lisez l'équation de la puissance dans l'autre sens : le rythme auquel $E_c$ augmente est exactement le rythme auquel $mgy$ diminue. Si aucune autre force ne travaille, la somme $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy$ reste donc constante le long de n'importe quel trajet. La conservation de l'énergie n'est pas ici une hypothèse supplémentaire : elle découle de la deuxième loi de Newton et de la forme de la force.

Ce que montre le graphe d'énergie

Au niveau Avancé, l'animation trace ces énergies en fonction du temps pour la balle qui tombe dans cette leçon : on peut ainsi suivre la comptabilité de l'énergie au fur et à mesure.

La balle, de masse $m=2\mathrm{kg}$, est lâchée sans vitesse initiale de la hauteur $h_0=18\mathrm{m}$ et tombe en chute libre. Au bout d'un temps $t$, sa hauteur est $h=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$ et la valeur de sa vitesse $v=gt$. En reportant ces expressions dans $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$ et $E_p=mgh$, on obtient
$E_c(t)=\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2,E_p(t)=mg{h}_0-\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2$
Le coefficient vaut $\frac{1}{2}m{g}^2\approx 96,2J/{\mathrm{s}}^2$. La parabole dorée de $E_c$ a sa concavité tournée vers le haut, et la parabole bleue de $E_p$ en est l'image symétrique. Dans la somme, les termes en $t^2$ se compensent, si bien que le total vert reste plat à $mg{h}_0\approx 353\mathrm{J}$ : $dE/dt=0$.

La pente de la courbe de $E_c$ est la puissance que fournit la pesanteur, $d{E}_c/dt=m{g}^{2}t=mgv$, c'est-à-dire $\vec{F}\cdot \vec{v}$ pour le poids. Elle est nulle au lâcher, d'environ 184 W à mi-durée de la chute et de $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$ à l'impact. La chute dure $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$ ; la puissance moyenne vaut donc $353/1,92\approx 184\mathrm{W}$ : la moitié de la valeur finale, parce que $v$ croît proportionnellement au temps. La pente de $E_p(t)$ est exactement l'opposée, et c'est ainsi que le graphe exprime $W=-\Delta E_p$.

Tracées en fonction de la hauteur plutôt que du temps, les deux énergies seraient des droites, $E_p=mgh$ et $E_c=mg(h_0-h)$. La courbure en fonction du temps traduit seulement le fait que la balle parcourt plus de hauteur par seconde à mesure qu'elle accélère.

Forces conservatives et énergie potentielle

Le travail du poids ne dépendait que du point de départ et du point d'arrivée de la balle. Les forces qui ont cette propriété sont particulières : leur travail peut être stocké puis récupéré, et cette réserve est l'énergie potentielle.

Une force est conservative si son travail d'un point $A$ à un point $B$ est le même sur tous les trajets qui les relient. De façon équivalente, son travail sur tout circuit fermé est nul : allez par un trajet, revenez par un autre, et les deux contributions s'annulent. La pesanteur, les ressorts idéaux et les forces électrostatiques sont conservatives. Comme leur travail ne dépend que des extrémités, on peut l'écrire comme la diminution d'une fonction de la position, l'énergie potentielle $U$ :
$W_{A\to B}=-(U_B-U_A)$
Seules les différences de $U$ interviennent : $U$ est définie à une constante additive près, et l'on est libre de choisir où elle est nulle.

Pour la pesanteur, il existe aussi un raisonnement, sans aucune dynamique, qui montre pourquoi poids × hauteur est la bonne grandeur à suivre. Imaginez des machines idéales (leviers, poulies) qui descendent un poids pour en monter un autre, et appelez réversible une machine qui, fonctionnant à l'envers, défait exactement ce qu'elle a fait. Supposons qu'une machine puisse monter une charge plus haut qu'une machine réversible pour une même descente du poids moteur. Faites fonctionner la première dans le sens normal et la machine réversible à l'envers : le poids moteur revient à son point de départ, mais la charge se retrouve plus haut, sans rien dépenser. En répétant l'opération, on obtiendrait un mouvement perpétuel, ce qu'on n'observe jamais. Aucune machine ne fait donc mieux qu'une machine réversible, et toutes les machines réversibles font exactement la même chose. Un levier équilibré échange poids et hauteur dans une proportion exacte : ce que toutes conservent est donc le total poids × hauteur.

Lire un graphe d'énergie potentielle

Un graphe de $U$ en fonction de la position montre d'un coup d'œil où un corps peut aller, où il fait demi-tour et dans quel sens il est poussé, sans résoudre aucune équation du mouvement.

Légende

$x$	Position du corps sur la droite.	$\mathrm{m}$
$U$	Énergie potentielle du corps à la position $x$.	$\mathrm{J}$
$E$	Énergie totale $E_c+U$ : constante, représentée par la ligne de niveau.	$\mathrm{J}$
$KE$	Énergie cinétique $E_c$ : l'écart entre le niveau $E$ et la courbe $U$.	$\mathrm{J}$
$F$	Force $-dU/dx$ sur le corps au point marqué : elle pointe vers le bas de la pente et est plus grande là où la pente est plus raide. Nulle aux deux points marqués $F=0$.	$\mathrm{N}$
$x_1$	Point de rebroussement de gauche, où $U=E$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Point de rebroussement de droite, où $U=E$.	$\mathrm{m}$

La figure 3 représente l'énergie potentielle $U(x)$ d'un corps qui se déplace sur une droite, $x$ étant sa position. La droite horizontale est son énergie totale $E=E_c+U$, qui reste constante tant que seules des forces conservatives travaillent. Puisque $E_c=E-U$, l'énergie cinétique en chaque $x$ est la hauteur de l'écart doré, marqué $KE$ sur la figure, entre le niveau $E$ et la courbe en dessous.

L'énergie cinétique ne peut pas être négative : le corps ne peut se trouver que là où la courbe est au niveau de $E$ ou en dessous. L'écart se referme aux points de rebroussement $x_1$ et $x_2$, où $U=E$ : le corps s'y arrête un instant et repart en sens inverse, si bien qu'il fait la navette entre eux comme une bille dans un bol. La colline de droite monte au-dessus de $E$ : un corps qui a cette énergie ne peut pas la franchir.

Le graphe donne aussi la force. Quand le corps se déplace de $dx$, la force fournit le travail $Fdx$, et pour une force conservative ce travail est égal à la diminution de l'énergie potentielle, $-dU$. En écrivant $Fdx=-dU$, on obtient
$F=-\frac{dU}{dx}$
et à trois dimensions $\vec{F}=-\nabla U$. À cause du signe moins, sur tout graphe de $U(x)$ la force pointe vers le bas de la pente. Dans la figure 3, la flèche $F$, dessinée sur la pente entre le fond du puits et $x_2$, pointe vers le fond ; là où la courbe est plus raide, la force est plus grande. Là où la pente est nulle, la force s'annule : aux deux points marqués $F=0$.

Ces deux points sont des équilibres, mais de natures différentes. Le fond du puits est un minimum de $U$ : un petit déplacement dans un sens ou dans l'autre rencontre une force qui ramène le corps vers lui, l'équilibre est stable. Le sommet de la colline est un maximum : un petit déplacement rencontre une force qui éloigne encore davantage le corps, l'équilibre est instable. Vérification : l'énergie potentielle d'un ressort, $U=\frac{1}{2}k{x}^2$, redonne la loi de Hooke, $F=-kx$.

Frottements, chaleur et bilan d'énergie complet

Toutes les forces ne sont pas conservatives. Le frottement est l'exception de tous les jours, et le prendre en compte complète le bilan d'énergie.

Le travail du frottement de glissement croît avec la longueur du trajet, et il est négatif quel que soit le sens du glissement, car le frottement s'oppose toujours au glissement. Un aller-retour laisse donc un travail négatif, et non pas nul : aucune énergie potentielle ne peut le décrire. Séparez le travail total en la partie due aux forces conservatives, qui vaut $-\Delta U$, et le reste, $W_{\mathrm{nc}}$ (non conservatif). Le théorème de l'énergie cinétique, $\Delta E_c=-\Delta U+W_{\mathrm{nc}}$, devient alors
$\Delta E_c+\Delta U=W_{\mathrm{nc}}$
Le terme $W_{\mathrm{nc}}$ regroupe les frottements et la traînée, qui le rendent négatif, mais aussi des contributions positives comme la poussée d'un moteur ou des muscles.

Voici l'effet en chiffres. Un bloc de 2 kg lâché de la hauteur de 18 m de l'animation glisse sur un plan incliné rectiligne qui fait l'angle $\alpha$ avec l'horizontale, avec un coefficient de frottement de glissement $\mu =0,2$. La réaction normale vaut $mg\cos \alpha$, donc le frottement vaut $\mu mg\cos \alpha$, et il s'exerce sur toute la longueur du plan, $h_0/\sin \alpha$. Leur produit est le travail du frottement :
$W_{\mathrm{nc}}=-\mu mg\cos \alpha \cdot \frac{h_0}{\sin \alpha }=-\frac{\mu mg{h}_0}{\tan \alpha }$
Sur un plan incliné à $30^{\circ }$, cela donne $-122\mathrm{J}$, ce qui laisse $353-122=231\mathrm{J}$ d'énergie cinétique et une vitesse de 15,2 m/s en bas. Sur un plan à $60^{\circ }$, ce n'est que $-41\mathrm{J}$, et le bloc arrive à 17,7 m/s. Même dénivelé, trajets différents, travaux différents : c'est la signature d'une force non conservative.

L'énergie n'est pas détruite. Le frottement met en agitation les atomes des deux surfaces, et ce mouvement désordonné est de l'énergie thermique. À l'échelle des atomes, les forces sont conservatives ; le frottement ne fait que transformer un mouvement ordonné en mouvement désordonné. Un bloc qui glisse sur une distance $d$ sur un sol horizontal, appuyé contre lui par la réaction normale $N$, produit $\mu Nd$ d'énergie thermique. En la comptant, l'énergie se conserve exactement : c'est le premier principe de la thermodynamique vu depuis la mécanique. La chaleur ne se rassemble jamais d'elle-même pour redonner du mouvement au bloc, un sens unique que décrit le second principe de la thermodynamique.

Problème résolu : une balle qui tombe sur un ressort

Ce problème réunit la pesanteur et un ressort dans un même bilan d'énergie, et montre quelle force il faut pour arrêter sur une courte distance un corps qui tombe.

Légende

$m$	Masse de la balle.	$\mathrm{kg}$
$k$	Raideur du ressort.	$N/m$
$h_0$	Hauteur du point de lâcher au-dessus du sommet du ressort.	$\mathrm{m}$
$x$	Compression du ressort au point le plus bas de la chute.	$\mathrm{m}$
$h_0+x$	Distance totale parcourue en chute, du lâcher au point le plus bas.	$\mathrm{m}$

La figure 4 pose le problème. La balle de l'animation, de masse $m=2\mathrm{kg}$, est lâchée sans vitesse initiale à une hauteur $h_0=18\mathrm{m}$ au-dessus d'un ressort léger de raideur $k=5000N/m$, placé verticalement, dont l'extrémité supérieure est au niveau du sol. De quelle longueur $x$ le ressort est-il comprimé quand la balle s'arrête ? À droite de la figure, la balle tombe de $h_0$ pour atteindre le ressort, puis encore de $x$ pendant qu'elle le comprime : elle tombe donc de $h_0+x$ en tout. La figure n'est pas à l'échelle : la vraie valeur de $x$ est environ cinquante fois plus petite que $h_0$.

La balle part du repos et finit au repos, donc $\Delta E_c=0$. Sans pertes, tout le travail que fournit le poids sur l'ensemble de la chute doit se retrouver stocké dans le ressort : les 353 J de départ plus l'énergie supplémentaire $mgx$ libérée quand la balle s'enfonce sous le niveau du sol. D'où
$mg(h_0+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
Avec les valeurs numériques, c'est une équation du second degré en $x$, et sa racine positive est la réponse :
$2500x^2-19,62x-353,16=0,x\approx 0,380\mathrm{m}$

Le terme supplémentaire ne change la réponse que de 1 % : sans lui, $x=\sqrt{2\cdot 353/5000}\approx 0,376\mathrm{m}$. La force maximale sur la balle, $kx\approx 1900\mathrm{N}$, vaut environ 97 fois son poids. Les tapis de réception et les zones déformables des voitures font l'inverse : ils absorbent l'énergie sur une plus grande distance, et une distance deux fois plus grande donne une force moyenne deux fois plus petite.

Le même problème peut se lire sur un graphe d'énergie potentielle. Écrivez l'énergie potentielle en fonction de la compression $x$ à un instant quelconque pendant que la balle touche le ressort (la réponse ci-dessus est la plus grande valeur de $x$), avec $U=0$ au sommet du ressort :
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$
Le terme du ressort croît à mesure que le ressort est comprimé ; le terme de pesanteur décroît à mesure que la balle s'enfonce. Le minimum de $U$, où $dU/dx=kx-mg=0$, se trouve en $x=mg/k\approx 3,9\mathrm{mm}$ : là, la force du ressort équilibre le poids, et la balle pourrait reposer sur le ressort. Le point le plus bas de la chute n'est pas ce minimum mais le point de rebroussement où $U=E$, comme dans la figure 3. Sans pertes, la balle rebondirait, quitterait le ressort à 18,8 m/s et remonterait à 18 m.

Limites de validité

Les deux formules d'énergie de cette leçon sont des approximations, et le théorème lui-même porte sur des particules. Voici où chacun cesse de s'appliquer.

La formule $mgh$ est la forme, valable près de la surface, de l'énergie potentielle gravitationnelle $U=-GMm/r$, où $M$ est la masse de la Terre et $r$ la distance à son centre. Exactement, élever une masse depuis la surface, au rayon $R\approx 6371\mathrm{km}$, d'une hauteur $h$ demande $mghR/(R+h)$. La formule $mgh$ est donc trop grande d'une fraction d'environ $h/R$ : $3\times 10^{-6}$ pour la chute de 18 m, mais 6 % pour une montée jusqu'aux 400 km d'altitude de la station spatiale. En faisant croître $h$ sans limite, on obtient l'énergie nécessaire pour s'échapper complètement de la Terre, $mgR$, soit environ 62,5 MJ par kilogramme, ce qui correspond à une vitesse de libération de 11,2 km/s.

L'expression $\frac{1}{2}m{v}^2$ est la forme à faible vitesse de l'énergie cinétique relativiste $(\gamma -1)m{c}^2$, où $c$ est la vitesse de la lumière et $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. La première correction ajoute une fraction $\frac{3}{4}{v}^2/c^2$ à l'énergie : environ $3\times 10^{-15}$ pour la balle à 18,8 m/s, alors qu'à la moitié de la vitesse de la lumière la formule classique sous-estime l'énergie de 19 %. L'énergie a aussi une masse : les 353 J de la balle correspondent à $353/c^2\approx 4\times 10^{-15}\mathrm{kg}$.

Le théorème porte sur une particule. Pour un corps qui tourne sur lui-même, se déforme ou possède ses propres réserves d'énergie, l'intégrale $\int \left(\sum \vec{F}\right)\cdot d{\vec{r}}_G$, prise le long de la trajectoire du centre de masse, ne donne que la variation de l'énergie cinétique du mouvement du centre de masse. Quand vous sautez, le sol vous pousse vers le haut, mais le point où il pousse ne bouge pas : le sol ne travaille donc pas, et votre énergie cinétique vient de l'énergie chimique de vos muscles. Une boule pleine qui roule sans glisser depuis 18 m met deux septièmes de son énergie cinétique dans la rotation et arrive à 15,9 m/s au lieu de 18,8 m/s. À l'échelle des atomes, la mécanique quantique prend le relais : l'énergie reste conservée, mais les énergies des états liés prennent des valeurs discrètes, et une particule peut même se trouver là où $U>E$, ce que la mécanique classique interdit.

Ce qui vient ensuite

Emmy Noether a montré en 1918 que la conservation de l'énergie découle d'une symétrie : les lois de la physique sont les mêmes aujourd'hui et demain. Au sein de la mécanique, la même comptabilité traverse d'autres leçons : Quantité de mouvement et chocs classe les chocs selon que l'énergie cinétique se conserve ou non, Dynamique de rotation et moment de force ajoute l'énergie de rotation, et Gravitation et orbites utilise $U=-GMm/r$ pour les orbites et les vitesses de libération. Les leçons Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation et Oscillations harmoniques s'appuient sur $U=\frac{1}{2}k{x}^2$.

Au-delà de la mécanique, la leçon Champ et potentiel électriques transforme $U$ en énergie par unité de charge, Théorème de Bernoulli applique le bilan d'énergie à un fluide en écoulement, et Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques fait de la chaleur un membre à part entière du bilan. Relativité restreinte remplace $\frac{1}{2}m{v}^2$ par $(\gamma -1)m{c}^2$, Fission, fusion et E = mc² pèse l'énergie stockée dans les noyaux, et Équation de Schrödinger et effet tunnel montre ce qui se passe là où le mouvement classique exigerait une énergie cinétique négative.