Quantité de mouvement et chocs

Débutant

Pourquoi un chariot de supermarché rempli de bouteilles, même lent, est-il si dur à arrêter, alors qu'une balle de ping-pong rapide se rattrape sans peine ? Quatre étapes.

Étape 1. Multipliez la masse d'un objet par sa vitesse : vous obtenez sa quantité de mouvement, en kilogrammes-mètres par seconde. Comme la vitesse, elle a une direction. Un objet lourd et lent et un objet léger et rapide peuvent en porter autant : un chariot de 4 kg à 1 m/s en a autant qu'un chariot de 1 kg à 4 m/s.

Étape 2. Pour changer la quantité de mouvement, il faut pousser pendant un certain temps, et plus la poussée dure, plus elle peut être douce. C'est pourquoi on plie les genoux en sautant d'un muret : l'arrêt dure plus longtemps, donc la force subie est plus faible.

Étape 3. Lors d'un choc, les deux objets se poussent l'un l'autre aussi fort, en sens opposés, pendant exactement la même durée. Ce que l'un perd, l'autre le gagne, et le total ne change pas, tant que rien d'extérieur, frottement ou mur, ne s'en mêle. C'est la conservation de la quantité de mouvement.

Étape 4. L'animation montre deux fois le même choc : un chariot léger et rapide heurte un chariot lourd immobile. Avec un pare-chocs à ressort, le léger rebondit et le lourd s'éloigne ; avec un tampon collant, ils repartent ensemble, plus lentement. La quantité de mouvement totale est la même dans les deux cas. Seule l'énergie du mouvement diffère : le rebond la garde, le choc collant en change une partie en chaleur, en bruit et en bosses.

À vous : un pétard immobile éclate en deux moitiés égales. L'une part vers l'est. Que fait l'autre ? (Elle part vers l'ouest à la même vitesse : le total reste nul.)

Intermédiaire

Quantité de mouvement : masse fois vitesse

La quantité de mouvement d'un corps est le produit de sa masse par sa vitesse :
$p=mv$

Elle s'exprime en kilogrammes-mètres par seconde (kg·m/s). La quantité de mouvement est orientée : choisissez un sens positif le long du rail, et tout ce qui se déplace dans l'autre sens a une quantité de mouvement négative. Masse et vitesse peuvent se compenser : le chariot de 1 kg de l'animation, qui arrive à 4 m/s, porte $1\cdot 4=4\mathrm{kg}\cdot m/s$, autant que les deux chariots réunis, soit 4 kg, en porteraient à 1 m/s.

La quantité de mouvement n'est pas l'énergie cinétique. $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ n'a pas de direction et croît comme le carré de la vitesse : le chariot de 1 kg à 4 m/s possède 8 J, alors que les mêmes 4 kg·m/s portés par 4 kg à 1 m/s ne représentent que 2 J.

L'impulsion et le graphique force–temps

Une force modifie la quantité de mouvement, et la variation dépend de la durée pendant laquelle elle agit. Pour une force constante, la deuxième loi de Newton $F=ma=m\Delta v/\Delta t$ devient $F\Delta t=\Delta p$. Le produit $F\Delta t$ est l'impulsion $J$, en newtons-secondes (1 N·s = 1 kg·m/s) ; quand la force varie, l'impulsion est l'aire sous la courbe du graphique force–temps.

Une même aire peut être haute et étroite, ou basse et large. Une personne de 70 kg qui saute d'une hauteur de 1 m touche le sol à environ 4,4 m/s : le sol doit donc lui retirer environ 310 kg·m/s. Si elle atterrit jambes raides, son corps s'arrête en 0,02 s environ, ce qui exige une force résultante moyenne proche de 15 kN, plus de 20 fois son poids ; en pliant les genoux, elle allonge l'arrêt à 0,3 s et la force tombe à environ 1 kN.

Pourquoi la quantité de mouvement totale se conserve

Quand deux chariots se heurtent, chacun pousse l'autre. D'après la troisième loi de Newton, les deux forces sont égales et opposées à chaque instant, et elles agissent pendant la même durée, celle du contact. Leurs graphiques force–temps sont symétriques par rapport à l'axe des temps, donc les impulsions sont égales et opposées : toute la quantité de mouvement que gagne le chariot 2, le chariot 1 la perd. Le total est le même avant et après :
$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$

Les vitesses primées sont celles d'après le choc, et chaque vitesse garde son signe. Cette loi ne dépend pas de la nature des forces entre les chariots, qu'elles viennent d'un ressort, d'un patin collant ou d'une explosion. Elle exige seulement qu'aucune force extérieure n'agisse le long du rail, ou que les forces extérieures soient trop faibles ou trop brèves pour compter : un frottement de roulement de 0,3 N qui agit pendant les 0,16 s du contact modifie la quantité de mouvement d'environ 0,05 kg·m/s, soit environ 1 % du total.

Chocs élastiques et inélastiques

La conservation de la quantité de mouvement fournit une seule équation, alors qu'un choc frontal comporte deux vitesses finales inconnues ; la seconde condition porte sur l'énergie cinétique. Dans un choc élastique, celle-ci se conserve, comme avec des billes d'acier ou des pare-chocs à ressort. Dans un choc inélastique, une partie de cette énergie se transforme en chaleur, en bruit et en déformation. Dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent collés et partagent une même vitesse.

Dans ces deux cas, les vitesses finales s'expriment par des formules explicites ; celles du choc élastique supposent que le corps 2 est initialement au repos.

• $v^{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}$
• $v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$

La première ne demande que la conservation de la quantité de mouvement ; la seconde utilise les deux lois, et elle implique que, dans un choc élastique, les corps se séparent aussi vite qu'ils se sont rapprochés. Des masses égales échangent leurs vitesses, comme dans le pendule de Newton. Un corps léger qui en heurte un beaucoup plus lourd rebondit avec presque toute sa vitesse, comme une balle sur un mur ; un corps lourd qui en heurte un léger ralentit à peine, et le léger s'envole à près de $2v_1$.

Exemple résolu : les deux rails de l'animation

Les deux rails partent de la même situation : $m_1=1\mathrm{kg}$ arrive à $v_1=4m/s$ et $m_2=3\mathrm{kg}$ attend au repos. La quantité de mouvement totale vaut $1\cdot 4=4\mathrm{kg}\cdot m/s$ et l'énergie cinétique $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4^2=8\mathrm{J}$.

Sur le rail B, le patin collant réunit les chariots, qui partagent ensuite une même vitesse :
$v^{\prime }=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{1+3}=1m/s$
Leur énergie cinétique n'est plus que de $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{J}$ : 6 J sont partis en chaleur et dans l'écrasement du patin. Sur le rail A, le pare-chocs à ressort rend le choc élastique :
$v_1^{\prime }=\frac{(1-3)\cdot 4}{1+3}=-2m/s$
$v_2^{\prime }=\frac{2\cdot 1\cdot 4}{1+3}=2m/s$
Vérification : $1\cdot (-2)+3\cdot 2=4\mathrm{kg}\cdot m/s$ et $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2^2=8\mathrm{J}$. Les chariots se rapprochaient à 4 m/s et s'éloignent à $2-(-2)=4m/s$.

Observez les flèches. La flèche bleue $p_1$ mesure d'abord 4 unités, à raison d'une unité par kg·m/s ; sur le rail B, elle se réduit à 1, tandis que sur le rail A elle raccourcit jusqu'à zéro, puis reparaît orientée vers la gauche, longue de 2 unités. La flèche dorée $p_2$ grandit jusqu'à 3 unités sur B et jusqu'à 6 sur A. Mises bout à bout, elles font toujours 4 unités, et les valeurs affichées sur les deux rails indiquent $p_1+p_2=4,0\mathrm{kg}\cdot m/s$ en permanence, même pendant le contact. Le rebond demande deux fois plus d'impulsion : pendant les mêmes 0,16 s, le chariot 2 gagne 6 kg·m/s sur A, soit une force moyenne de $6/0,16=37,5\mathrm{N}$, mais 3 kg·m/s sur B, soit 18,75 N.

Exemple résolu : une collision par l'arrière

Une voiture de 1 500 kg roulant à 20 m/s percute l'arrière d'une voiture de 1 000 kg qui roule dans le même sens à 10 m/s, et elles restent encastrées. Pendant les 0,1 s du choc, le frottement de la route est négligeable ; la quantité de mouvement se conserve donc :
$v^{\prime }=\frac{1500\cdot 20+1000\cdot 10}{1500+1000}=16m/s$

L'énergie cinétique passe de $\frac{1}{2}\cdot 1500\cdot 20^2+\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot 10^2=350\mathrm{kJ}$ à $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 16^2=320\mathrm{kJ}$ : 30 kJ partent dans la tôle froissée.

Supposons maintenant que la petite voiture arrive en sens inverse, à $v_2=-10m/s$. L'épave avance à $(1500\cdot 20-1000\cdot 10)/2500=8m/s$ et ne garde que $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 8^2=80\mathrm{kJ}$ : 270 kJ sont perdus, neuf fois plus, car les voitures se rapprochent à 30 m/s au lieu de 10 m/s. Les deux voitures subissent la même force moyenne de 180 kN, mais la vitesse de la petite varie de 18 m/s en 0,1 s, une décélération d'environ 18 g (dix-huit fois l'accélération de la pesanteur), alors que celle de la grosse ne varie que de 12 m/s.

Erreurs fréquentes

• Oublier le signe. Sur le rail A, le petit chariot rebondit à $-2m/s$ ; si l'on comptait les deux quantités de mouvement positivement, le total serait $2+6=8\mathrm{kg}\cdot m/s$ au lieu de 4.
• Croire qu'un choc collant détruit la quantité de mouvement. Les chariots collés du rail B portent toujours 4 kg·m/s ; ce qui disparaît, c'est de l'énergie cinétique, 6 des 8 J.
• Penser que le corps le plus lourd ou le plus rapide pousse plus fort. Les forces sont égales et opposées, 37,5 N sur chaque chariot du rail A ; la vitesse du chariot le plus léger change simplement davantage, de 6 m/s contre 2 m/s.
• Négliger une force extérieure qui continue d'agir. Une balle de 0,5 kg qui tombe pendant 1 s gagne environ 4,9 kg·m/s parce que la pesanteur l'attire ; seul l'ensemble formé par la balle et la Terre garde un total constant. Incluez toujours les deux corps qui se heurtent dans le système.
• Appliquer les formules du choc élastique à tous les chocs. Elles supposent qu'aucune énergie cinétique n'est perdue et que la cible est au repos ; sur le rail B, elles prédiraient $-2$ et $+2m/s$ au lieu de la vitesse commune de 1 m/s.

Où on le rencontre

Les airbags, les casques et les zones de déformation programmée allongent la durée des chocs, si bien que la même variation de quantité de mouvement exige une force plus faible. Les armes à feu reculent : un fusil de 4 kg qui tire une balle de 10 g à 800 m/s recule à $0,01\cdot 800/4=2m/s$. Les fusées rejettent leurs gaz vers l'arrière pour avancer, sans avoir besoin d'air sur lequel s'appuyer. Ensuite, la leçon Travail, énergie et puissance étudie l'énergie cinétique que les chocs conservent ou perdent, et la leçon Le moment cinétique et sa conservation applique la même idée aux corps en rotation.

Avancé

La deuxième loi en termes de quantité de mouvement

Cette section réécrit la deuxième loi de Newton en termes de quantité de mouvement. C'est la forme qui se généralise : elle s'applique aux impacts dont personne ne peut mesurer la force, aux systèmes de nombreux corps et, plus loin dans la leçon, aux fusées.

Sous sa forme générale, la deuxième loi ne s'écrit pas $F=ma$ mais $\vec{F}=d\vec{p}/dt$, avec $\vec{p}=m\vec{v}$ : la force résultante sur un corps est égale à la vitesse de variation de sa quantité de mouvement. Pour une masse constante, les deux écritures coïncident, car la masse peut sortir de la dérivée : $d(m\vec{v})/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$. La forme en quantité de mouvement est aussi celle qui survit au-delà de la mécanique newtonienne : en relativité restreinte, $\gamma m\vec{v}$ remplace $m\vec{v}$, et en électromagnétisme, les champs eux-mêmes portent une quantité de mouvement.

Multipliez les deux membres par $dt$ et additionnez sur toute la durée du contact, de l'instant où il commence à celui où il se termine. Le membre de gauche devient l'impulsion $\vec{J}$, et celui de droite la variation totale de la quantité de mouvement. C'est le théorème de l'impulsion :
$\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$

Son intérêt tient à ce dont il n'a pas besoin. Pendant un impact, la force monte et retombe en une fraction de seconde, et on la connaît rarement en détail ; pourtant, seule son intégrale décide du mouvement qui suit. Une balle de golf de 46 g quitte le club à 70 m/s après environ 0,5 ms de contact. Sa quantité de mouvement varie de $0,046\cdot 70\approx 3,2\mathrm{kg}\cdot m/s$, donc la force moyenne vaut $0,046\cdot 70/0,0005\approx 6400\mathrm{N}$, quelle que soit la forme de la courbe de force. Comme le théorème est une équation vectorielle, il vaut pour chaque composante séparément : une impulsion horizontale ne modifie que $p_x$ et laisse $p_y$ inchangée.

Les forces intérieures se compensent deux à deux

Pourquoi la quantité de mouvement totale de deux chariots qui se heurtent reste-t-elle la même, aussi fort qu'ils se poussent l'un l'autre ? Parce que chaque poussée s'accompagne d'une poussée égale et opposée en retour. Dans l'animation, un chariot 1 de 1 kg arrive à 4 m/s et heurte un chariot 2 de 3 kg au repos ; sur le rail A, ils se rencontrent par l'intermédiaire d'un pare-chocs à ressort, sur le rail B par un patin collant. La figure 1 montre le rail A pendant le contact ; la démonstration générale vient ensuite.

Légende

$t$	Temps, le même axe pour les trois graphiques.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Durée du contact.	$\mathrm{s}$
$F$	Force du pare-chocs sur le chariot 2 ; le chariot 1 subit $-F$. Constante ici, elle est la pente de la rampe de $p_2$.	$\mathrm{N}$
$p$	Quantité de mouvement le long du rail : l'axe vertical du graphique du milieu.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$p_1$	Quantité de mouvement du chariot 1 : de 4 à $-2$ pendant le contact.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$p_2$	Quantité de mouvement du chariot 2 : de 0 à 6 pendant le contact.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$P$	Quantité de mouvement totale $p_1+p_2$ (en pointillés) : constante, égale à 4 du début à la fin.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$K$	Énergie cinétique totale des deux chariots.	$\mathrm{J}$
$A$	Rail A, pare-chocs à ressort : $K$ descend à 2 J au milieu du contact, puis revient à 8 J.
$B$	Rail B, patin collant (en pointillés) : $K$ tombe à 2 J et y reste.

La figure 1 suit le contact, qui dure $\Delta t$ ; l'axe des temps $t$ est étiré pour que le contact occupe le milieu de l'image. Lisez-la de haut en bas. La bande du haut représente la force : le pare-chocs pousse le chariot 2 vers l'avant avec $F$ et le chariot 1 vers l'arrière avec $-F$. D'après la troisième loi, ces deux forces sont égales et opposées à chaque instant. Sur cette figure, la force est en outre constante pendant toute la durée du contact.

Le graphique du milieu montre les quantités de mouvement. Comme $dp/dt$ est égal à la force, la pente de chaque courbe de quantité de mouvement est la force exercée sur ce chariot, et une force constante trace une rampe rectiligne. La quantité $p_2$ monte avec la pente $F$ de 0 à 6, et $p_1$ descend avec la pente $-F$ de 4 à $-2\mathrm{kg}\cdot m/s$ : le chariot 1 rebondit. Le chariot 2 gagne 6 kg·m/s en $\Delta t=0,16\mathrm{s}$, donc $F=6/0,16=37,5\mathrm{N}$. Regardez maintenant la ligne en pointillés $P=p_1+p_2$. Les deux rampes sont symétriques l'une de l'autre : ce que gagne un chariot, l'autre le perd au même instant, et $P$ reste à 4 kg·m/s pendant toute la collision, pas seulement avant et après. La vue experte de l'animation trace les mêmes courbes.

La ligne plate ne dépend pas du fait que la force soit constante. Un vrai ressort pousse d'autant plus fort qu'il est comprimé, ce qui courbe les rampes en S ; elles restent symétriques l'une de l'autre, et leur somme reste plate.

Le même bilan vaut pour un nombre quelconque de corps. La force sur le corps $i$ est la somme des forces ${\vec{F}}_{ij}$ qu'exerce sur lui chacun des autres corps $j$ du système (forces intérieures) et de ce qui agit de l'extérieur (forces extérieures). Additionnez les $d{\vec{p}}_i/dt$ de tous les corps. Chaque paire intérieure apparaît deux fois dans la somme, une fois comme ${\vec{F}}_{ij}$ et une fois comme ${\vec{F}}_{ji}$, et la troisième loi impose ${\vec{F}}_{ij}+{\vec{F}}_{ji}=0$. Seules les forces extérieures subsistent. En notant $\vec{P}$ la quantité de mouvement totale, $M$ la masse totale, ${\vec{v}}_{\mathrm{cm}}$ la vitesse du centre de masse et ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ la somme de toutes les forces extérieures, on obtient :
$\frac{d\vec{P}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$
$\vec{P}={\sum }_i{m}_i{\vec{v}}_i=M{\vec{v}}_{\mathrm{cm}}$
La seconde ligne est la définition du centre de masse, ${\vec{r}}_{\mathrm{cm}}={\sum }_i{m}_i{\vec{r}}_i/M$, dérivée une fois.

La quantité de mouvement totale ne change donc que sous l'effet des forces extérieures, et le centre de masse se déplace comme un point matériel unique de masse $M$ soumis à leur somme. Si ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}=0$, $\vec{P}$ est constante, aussi compliquées que soient les forces intérieures. Si une seule composante de ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ est nulle, par exemple la composante horizontale quand la pesanteur agit verticalement, cette composante de $\vec{P}$ se conserve encore.

L'énergie cinétique se cache, la quantité de mouvement non

Le graphique du bas de la figure 1 montre l'énergie cinétique totale $K$ des deux chariots, et elle se comporte tout autrement que $P$. Sur le rail A, $K$ baisse pendant le contact, jusqu'à 2 J à l'instant où les deux chariots roulent à 1 m/s, puis remonte à 8 J quand le pare-chocs les repousse. Les 6 J manquants n'étaient pas perdus : pendant un instant, ils étaient stockés dans le ressort comprimé du pare-chocs. Sur le rail B, avec le patin collant, $K$ tombe à 2 J et y reste (en pointillés) : les 6 J ont servi à déformer et à échauffer le patin.

Le rail B demande aussi moins de force. Les deux chariots repartent ensemble à 1 m/s, donc le chariot 2 ne gagne que $3\cdot 1=3\mathrm{kg}\cdot m/s$, et sur les mêmes 0,16 s la force moyenne vaut $3/0,16=18,75\mathrm{N}$, la moitié de celle du rail A. Les deux graphiques réunis portent le message principal : l'énergie peut être mise en réserve à l'intérieur des corps, sous forme d'énergie élastique ou de chaleur, mais la quantité de mouvement n'a nulle part où se cacher, et son bilan est juste à chaque instant.

La conservation déduite de la symétrie

On peut aussi établir la conservation de la quantité de mouvement sans la troisième loi, à partir de deux énoncés de symétrie. C'est important, car la troisième loi n'est pas exacte (voir Limites de validité plus bas), alors que la conservation de la quantité de mouvement n'a jamais été prise en défaut ; l'argument de symétrie montre d'où vient réellement la loi.

Légende

$S$	Référentiel du sol (ligne du haut).
$S^{\prime }$	Référentiel d'une voiture qui accompagne la boule de droite, à $-v$ par rapport au sol (ligne du bas).
$m$	Masse de chacune des deux boules identiques ; collées, elles ont la masse $2m$.	$\mathrm{kg}$
$v$	Vitesse de chaque boule dans $S$ ; $+v$ est le décalage de toutes les vitesses de $S$ à $S^{\prime }$. Toutes les flèches sont à la même échelle : $2v$ est deux fois plus longue que $v$.	$m/s$

La figure 2 montre une même collision vue depuis deux référentiels, avant le choc à gauche et après à droite. La première hypothèse est la symétrie miroir. Sur la ligne du haut, dans le référentiel $S$ du sol, deux boules identiques de masse $m$ s'approchent l'une de l'autre à $v$ et $-v$ et restent collées. Rien dans cette situation ne privilégie la gauche par rapport à la droite, donc l'ensemble collé, de masse $2m$, ne peut partir d'aucun côté : il reste au repos.

La seconde hypothèse est la relativité galiléenne : un observateur qui se déplace à vitesse constante trouve les mêmes lois de la physique, toutes les vitesses étant décalées de la même quantité. Prenons pour $S^{\prime }$ le référentiel d'une voiture qui accompagne la boule de droite, laquelle se déplace à $-v$ par rapport au sol. Vue depuis cette voiture, chaque vitesse est plus grande de $v$, comme l'indique la flèche $+v$ entre les deux lignes. La ligne du bas s'en déduit : la boule de droite est au repos, celle de gauche arrive à $2v$, et l'ensemble, immobile dans $S$, repart à $v$.

Ainsi, une masse $m$ à $2v$ qui heurte une masse égale au repos donne $2m$ à $v$, et la ligne du bas est équilibrée : $m\cdot 2v=2m\cdot v$. Les vitesses seules ne s'équilibrent pas ($2v$ avant, $v$ après), l'énergie cinétique non plus ($2m{v}^2$ avant, $m{v}^2$ après) ; c'est le produit de la masse par la vitesse qui s'équilibre. En construisant des corps d'autres masses à partir d'unités égales et en répétant le même changement de référentiel, on étend le résultat à tout couple de masses, et la grandeur qui ressort toujours identique est $\sum mv$.

L'argument fonctionne aussi dans l'autre sens. Toute collision entre deux corps, observée depuis le référentiel qui se déplace avec le centre de masse, a une quantité de mouvement totale nulle : les corps arrivent avec des quantités de mouvement égales et opposées, comme sur la ligne du haut. Pour les chariots de l'animation, ce référentiel avance à 1 m/s. Le chariot 1 y apporte $+3$ et le chariot 2 $-3\mathrm{kg}\cdot m/s$, et sur le rail B l'ensemble collé s'arrête tout simplement.

L'énoncé général est le théorème de Noether (1918) : à toute symétrie continue des lois de la physique correspond une grandeur conservée. Si les lois sont les mêmes partout, de sorte que déplacer tout le dispositif ailleurs ne change rien (l'espace est homogène), la quantité de mouvement se conserve. L'invariance par translation dans le temps donne la conservation de l'énergie, et l'invariance par rotation celle du moment cinétique. Comme elle repose sur une symétrie et non sur la troisième loi, la conservation de la quantité de mouvement tient même là où la troisième loi est en défaut.

L'énergie dans le référentiel du centre de masse

Quelle part d'énergie cinétique un choc peut-il faire disparaître, et quelles sont les vitesses finales ? Les deux questions deviennent simples dans le référentiel qui se déplace avec le centre de masse. Cette section partage l'énergie cinétique en une part qu'aucun choc ne peut toucher et une part qu'il peut modifier, puis trouve les vitesses finales sans résoudre d'équation du second degré.

Légende

$v$	Vitesse : les positions sur l'axe sont des vitesses.	$m/s$
$V$	Vitesse du centre de masse (ligne en pointillés), notée $v_{\mathrm{cm}}$ dans les équations.	$m/s$
$m_1$	Masse du chariot 1 (un bloc de large).	$\mathrm{kg}$
$m_2$	Masse du chariot 2 (trois blocs de large).	$\mathrm{kg}$
$v_1$	Vitesse du chariot 1 avant le choc.	$m/s$
$v_2$	Vitesse du chariot 2 avant le choc.	$m/s$
$u_1$	Vitesse du chariot 1 par rapport au centre de masse, $v_1-V$.	$m/s$
$u_2$	Vitesse du chariot 2 par rapport au centre de masse, $v_2-V$.	$m/s$
$v_1^{\prime }$	Vitesse du chariot 1 après le choc.	$m/s$
$v_2^{\prime }$	Vitesse du chariot 2 après le choc.	$m/s$
$u_1^{\prime }$	Vitesse du chariot 1 par rapport au centre de masse après le choc : $-e{u}_1$, ici $-u_1$.	$m/s$
$u_2^{\prime }$	Vitesse du chariot 2 par rapport au centre de masse après le choc : $-e{u}_2$, ici $-u_2$.	$m/s$

La figure 3 place les vitesses des chariots de l'animation sur un même axe $v$ : le chariot 1, $m_1=1\mathrm{kg}$, à $v_1=4m/s$, et le chariot 2, $m_2=3\mathrm{kg}$, à $v_2=0$ ; la largeur de chaque bloc représente sa masse. La ligne en pointillés marque la vitesse du centre de masse, notée $V$ sur la figure et $v_{\mathrm{cm}}$ dans les équations :
$v_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{4}=1m/s$

Mesurées à partir de la ligne en pointillés, les vitesses des chariots sont $u_1=v_1-v_{\mathrm{cm}}=+3m/s$ et $u_2=v_2-v_{\mathrm{cm}}=-1m/s$ : ce sont les deux flèches de la ligne du haut. Dans ce référentiel, la quantité de mouvement totale est nulle, $m_1{u}_1+m_2{u}_2=1\cdot 3+3\cdot (-1)=0$ ; les flèches sont donc inversement proportionnelles aux masses, et le chariot lourd se trouve trois fois plus près de $V$ que le chariot léger.

Un choc ne peut pas déplacer la ligne en pointillés, car les forces intérieures laissent inchangée la quantité de mouvement totale, et avec elle $v_{\mathrm{cm}}$. Il ne peut modifier que $u_1$ et $u_2$, et après le choc celles-ci doivent encore vérifier $m_1{u}_1^{\prime }+m_2{u}_2^{\prime }=0$. Les deux sont donc multipliées par le même facteur. Les chariots se séparent au lieu de se traverser, si bien que ce facteur est négatif ou nul ; on l'écrit $-e$ :
$u_i^{\prime }=-e{u}_i$
Le nombre $e$ est le coefficient de restitution. Comme $u_1-u_2=v_1-v_2=v_{\mathrm{rel}}$, la vitesse relative, on peut aussi l'écrire $e=-v_{\mathrm{rel}}^{\prime }/v_{\mathrm{rel}}$ : c'est la part du mouvement relatif qui survit au choc, de 1 pour un choc élastique à 0 pour un choc collant.

La ligne du bas de la figure 3 représente le cas élastique, $e=1$ : $u_1^{\prime }$ et $u_2^{\prime }$ sont les anciennes flèches retournées, donc les vitesses finales $v_1^{\prime }$ et $v_2^{\prime }$ sont les symétriques de $v_1$ et $v_2$ par rapport à la ligne en pointillés. Pour revenir au référentiel du rail, on rajoute $v_{\mathrm{cm}}$ :
$v_i^{\prime }=v_{\mathrm{cm}}+u_i^{\prime }=v_{\mathrm{cm}}-e(v_i-v_{\mathrm{cm}})$
$v_i^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_i$
Pour $e=1$, on obtient $v_1^{\prime }=2\cdot 1-4=-2m/s$ et $v_2^{\prime }=2\cdot 1-0=+2m/s$, le résultat du rail A. Un $e$ plus petit raccourcit les deux flèches du même facteur ; pour $e=0$, elles disparaissent, et les deux chariots repartent ensemble à $V$, comme sur le rail B.

Passons à l'énergie cinétique. Remplacez $v_i$ par $v_{\mathrm{cm}}+u_i$ dans $K={\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$ et développez le carré :
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{cm}}^2+v_{\mathrm{cm}}{\sum }_i{m}_i{u}_i+{\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{u}_i^2$
Le terme du milieu est nul, car ${\sum }_i{m}_i{u}_i=0$. Il reste
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{cm}}^2+K_{\mathrm{rel}}$
avec $M=m_1+m_2$. Le premier terme est l'énergie du centre de masse, et aucune force intérieure ne peut la modifier, car la quantité de mouvement fixe $v_{\mathrm{cm}}$. Le second, $K_{\mathrm{rel}}$, est l'énergie du mouvement relatif au centre de masse, et un choc n'agit que sur lui. Pour deux corps, il ne dépend que de la vitesse relative. De $m_1{u}_1+m_2{u}_2=0$ et $u_1-u_2=v_{\mathrm{rel}}$, on tire $u_1=m_2{v}_{\mathrm{rel}}/M$ et $u_2=-m_1{v}_{\mathrm{rel}}/M$ ; alors $\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{m}_2(m_2+m_1)v_{\mathrm{rel}}^2/M^2$, ce qui se simplifie en
$K_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{rel}}^2,\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$
où $\mu$ est appelée la masse réduite.

Comme $K_{\mathrm{rel}}$ est proportionnelle à $v_{\mathrm{rel}}^2$, un choc la multiplie par $e^2$. Pour l'animation, $M=4\mathrm{kg}$, $v_{\mathrm{cm}}=1m/s$, $\mu =0,75\mathrm{kg}$ et $v_{\mathrm{rel}}=4m/s$. Les 8 J se partagent donc en $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{J}$ qu'aucun choc ne peut toucher et $\frac{1}{2}\cdot 0,75\cdot 4^2=6\mathrm{J}$ de mouvement relatif. Un pare-chocs élastique restitue la totalité des 6 J. En restant collés ($e=0$), les chariots perdent ces 6 J, la plus grande perte que permet la conservation de la quantité de mouvement, et les 2 J restants sont ce que garde le rail B.

Problème résolu : un pare-chocs à moitié élastique

Équipez les chariots d'un pare-chocs tel que $e=0,5$ : mêmes masses, et le chariot 1 arrive de nouveau à 4 m/s sur le chariot 2 au repos. Trouvez (a) les vitesses finales, (b) l'énergie cinétique perdue, (c) la force moyenne si le contact dure toujours 0,16 s, et (d) la valeur de $e$ qui laisse le chariot 1 au repos.

(a) Le centre de masse se déplace toujours à $v_{\mathrm{cm}}=1m/s$, et $1+e=1,5$ :
$v_1^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_1=1,5\cdot 1-0,5\cdot 4=-0,5m/s$
$v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_2=1,5\cdot 1-0=1,5m/s$
Le chariot 1 rebondit lentement. Vérification de la quantité de mouvement : $1\cdot (-0,5)+3\cdot 1,5=4\mathrm{kg}\cdot m/s$, comme avant.

(b) Les 2 J du centre de masse restent, et les 6 J de mouvement relatif sont multipliés par $e^2=0,25$ : $K=2+0,25\cdot 6=3,5\mathrm{J}$, donc $8-3,5=4,5\mathrm{J}$ sont perdus. Directement : $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,5^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1,5^2=0,125+3,375=3,5\mathrm{J}$.

(c) Le chariot 2 gagne $3\cdot 1,5=4,5\mathrm{kg}\cdot m/s$. Avec $v_2=0$, la formule donne $v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}$ : c'est donc $(1+e)$ fois les 3 kg·m/s du cas collant. Sur 0,16 s, il faut pour cela une force moyenne de $4,5/0,16\approx 28\mathrm{N}$, entre les 18,75 N du rail B ($e=0$) et les 37,5 N du rail A ($e=1$).

(d) Le chariot 1 s'arrête quand $v_1^{\prime }=0$, c'est-à-dire quand $(1+e)v_{\mathrm{cm}}=e{v}_1$, soit $1+e=4e$, donc $e=1/3$. Le chariot 2 emporte alors la totalité des 4 kg·m/s, à $4/3\approx 1,33m/s$, et $K=2+6/9\approx 2,67\mathrm{J}$. En général, quand la cible est au repos, le corps incident s'arrête pour $e=m_1/m_2$. Un corps incident qui s'arrête net n'est donc le signe d'un choc élastique qu'entre masses égales ; ici, il faut un pare-chocs qui dissipe beaucoup d'énergie.

Chocs obliques

En deux ou trois dimensions, la conservation de la quantité de mouvement fournit une équation par composante. Pour deux corps dans un plan, la quantité de mouvement donne deux équations et l'énergie, si le choc est élastique, une troisième, mais les deux vitesses finales ont quatre composantes. L'information manquante est la géométrie de l'impact : un choc qui n'est pas frontal doit fixer les directions autant que les valeurs des vitesses.

Légende

$m$	Masse de chacune des deux boules identiques.	$\mathrm{kg}$
$b$	Paramètre d'impact : distance entre la trajectoire de la boule 1 et la parallèle qui passe par le centre de la boule 2.	$\mathrm{m}$
${\vec{v}}_1$	Vitesse de la boule 1 avant le choc ; la boule 2 est au repos.	$m/s$
${\vec{v}}_1^{\prime }$	Vitesse de la boule 1 après le choc, perpendiculaire à la ligne des centres.	$m/s$
${\vec{v}}_2^{\prime }$	Vitesse de la boule 2 après le choc, le long de la ligne des centres.	$m/s$

La figure 4 montre un choc élastique excentré entre deux boules identiques de masse $m$, la boule 2 étant au repos. La boule 1 arrive avec la vitesse ${\vec{v}}_1$ sur une trajectoire qui passe à la distance $b$ du centre de la boule 2 (le paramètre d'impact). Au moment du contact, la droite qui joint les deux centres est donc inclinée par rapport à la trajectoire. Pour des boules lisses et sans rotation, la force de contact agit le long de cette ligne des centres, et rien n'agit perpendiculairement à elle.

Décomposez chaque vitesse en une composante le long de la ligne des centres et une composante perpendiculaire. Perpendiculairement à la ligne, il n'y a pas de force, donc ces composantes ne changent pas. Le long de la ligne, le choc est un choc frontal élastique entre masses égales, qui échange les deux vitesses : la boule 1 cède à la boule 2 toute sa composante le long de la ligne. La boule 2 part donc le long de la ligne des centres avec ${\vec{v}}_2^{\prime }$, et la boule 1 ne garde que sa composante perpendiculaire à la ligne, ${\vec{v}}_1^{\prime }$, qui est perpendiculaire à ${\vec{v}}_2^{\prime }$. Si les boules ont un rayon $R$, la ligne des centres fait avec la trajectoire incidente un angle $\phi$ tel que $\sin \phi =b/(2R)$, et les vitesses après le choc valent $v_2^{\prime }=v_1\cos \phi$ et $v_1^{\prime }=v_1\sin \phi$. Un choc frontal ($b=0$) transmet tout à la boule 2 ; un choc rasant ($b$ proche de $2R$) dévie à peine la boule 1.

Le triangle de droite retrouve l'angle droit sans aucune géométrie du contact. La conservation de la quantité de mouvement, une fois les masses égales simplifiées, donne ${\vec{v}}_1={\vec{v}}_1^{\prime }+{\vec{v}}_2^{\prime }$ : les trois vitesses forment un triangle fermé. La conservation de l'énergie donne $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}$. En élevant la première équation au carré, on obtient $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}+2{\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }$, et la comparaison avec la seconde laisse ${\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }=0$. Les deux côtés se rencontrent à angle droit : après un choc élastique oblique entre masses égales, l'une étant au repos, les boules repartent à angle droit l'une de l'autre (lors d'un choc frontal, la boule 1 s'arrête simplement). Une boule de billard frappée sans effet s'en approche beaucoup, tout comme les traces de protons lents qui heurtent des protons au repos.

Fusées et masse variable

Une fusée modifie sa propre masse en brûlant son carburant, si bien qu'on ne peut pas lui appliquer directement $\vec{F}=m\vec{a}$. La voie sûre est la conservation de la quantité de mouvement pour l'ensemble formé par la fusée et les gaz qu'elle éjecte.

Prenons une fusée de masse $m$ qui se déplace à $v$, loin de toute autre force, et qui éjecte des gaz vers l'arrière à la vitesse $w$ par rapport à elle-même. Pendant une courte durée $dt$, sa masse varie de $dm$ (une quantité négative), sa vitesse de $dv$, et une masse $-dm$ de gaz part à la vitesse $v-w$. La quantité de mouvement doit être la même avant et après :
$mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-w)$
En développant, $mv$ apparaît des deux côtés, les deux termes $vdm$ se compensent, et le produit $dmdv$ de deux petites variations est négligeable. Il reste $mdv=-wdm$. En divisant par $m$ et en intégrant de la masse initiale $m_0$ à la masse finale $m_f$, on obtient
$\Delta v=w\ln \frac{m_0}{m_f}$

Seuls comptent la vitesse d'éjection et le rapport des masses, et ce rapport n'intervient que par un logarithme. Avec $w=3km/s$ et des ergols qui représentent les neuf dixièmes de la masse au décollage, $m_0/m_f=10$ et $\Delta v=3\ln 10\approx 6,9km/s$. C'est moins que les 7,8 km/s d'une orbite basse, avant même les pertes dues à la pesanteur et à la traînée. Larguer les réservoirs vides en cours de route réduit la masse qui reste à accélérer : voilà pourquoi les fusées sont construites en étages.

Limites de validité

La quantité de mouvement newtonienne $mv$ est une approximation, valable pour des vitesses très inférieures à la vitesse de la lumière, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$. La grandeur réellement conservée est $\gamma mv$, avec $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. À $0,6c$, $\gamma =1,25$ : la vraie quantité de mouvement dépasse donc déjà $mv$ de 25 %, et dans les collisions de particules l'énergie cinétique peut même devenir la masse de nouvelles particules. Pour les chariots à 4 m/s, la correction est de l'ordre de $v^2/c^2\approx 2\times 10^{-16}$.

La troisième loi n'est pas exacte non plus. Deux charges qui se déplacent à angle droit l'une par rapport à l'autre exercent l'une sur l'autre des forces magnétiques qui ne sont pas égales et opposées, si bien que leur quantité de mouvement mécanique totale change. Le bilan ne tombe juste que si l'on compte aussi la quantité de mouvement stockée dans le champ électromagnétique. La lumière elle-même porte une quantité de mouvement, $p=E/c$ pour une lumière d'énergie $E$. Au-dessus de l'atmosphère, le rayonnement solaire apporte 1 361 W/m² ; sur une feuille qui l'absorbe, cela donne une pression de $1361/(3,00\times 10^8)\approx 4,5\times 10^{-6}N/{\mathrm{m}}^2$, soit environ 4,5 µN sur chaque mètre carré, de quoi orienter une voile solaire.

En mécanique quantique, la quantité de mouvement est liée à la longueur d'onde, $p=h/\lambda$, et sa conservation s'est vérifiée dans toutes les interactions observées jusqu'ici. Elle a même permis de prédire des particules. Dans la désintégration bêta, l'électron émis semblait violer la conservation de l'énergie, car son énergie variait d'une désintégration à l'autre. En 1930, Pauli a proposé qu'une particule neutre invisible emporte la différence. Des mesures ultérieures du noyau qui recule ont montré qu'elle emporte aussi de la quantité de mouvement : l'électron et le noyau ne partaient pas avec des quantités de mouvement égales et opposées. Le neutrino a été détecté en 1956.

Ce qui vient ensuite

L'invariance par rotation mène à la leçon Le moment cinétique et sa conservation ; la deuxième loi appliquée à la rotation fait l'objet de la leçon Dynamique de rotation et moment de force. Le versant énergétique des chocs est traité dans la leçon Travail, énergie et puissance. La pression d'un gaz est la quantité de mouvement que d'innombrables impacts de molécules transmettent chaque seconde à chaque mètre carré des parois, comme le montre la leçon Théorie cinétique des gaz ; $\gamma mv$ et la conversion de l'énergie en masse sont au programme de la leçon Relativité restreinte. Dans la leçon Particules et forces : le modèle standard, le bilan de la quantité de mouvement et de l'énergie révèle des particules qui ne laissent aucune trace.