La gravedad como curvatura del espacio-tiempo

Principiante

Suelta un martillo y una pluma donde no haya aire, como hizo un astronauta en la Luna, y llegarán al suelo a la vez. Todo objeto cae con la misma aceleración, sean cuales sean su masa y su material. Einstein, en 1915, lo tomó como una pista: si todo cae igual, quizá caer no sea algo que se les hace a los objetos, sino una propiedad del propio espacio y del tiempo.

Piensa en una nave en órbita. No ha escapado de la gravedad: cae sin parar alrededor de la Tierra, y la tripulación y sus lápices caen con ella, por eso flotan. Imagina ahora una cabina cerrada. Si cae libremente, flotas como si la gravedad hubiera desaparecido. Si es un cohete que acelera lejos de cualquier planeta, te ves aplastado contra el suelo como por la gravedad. Desde dentro no hay forma de distinguirlo: es el principio de equivalencia.

La respuesta de Einstein es la relatividad general: la masa y la energía curvan el espacio y el tiempo, y un cuerpo libre sigue el camino más recto posible en ese espacio-tiempo curvo. La lámina elástica de la animación lo ilustra: la estrella hunde la malla, la bola azul gira alrededor del hueco y el rayo de luz dorado se aparta de la recta discontinua.

El tiempo también se curva. El reloj lento sobre la estrella da tres vueltas mientras el reloj rápido, lejos, da cuatro. En la Tierra el efecto es diminuto, pero los satélites GPS deben corregirlo, o las posiciones se desviarían unos 10 km al día. Llevada al extremo, la teoría predice los agujeros negros, que atrapan la luz, y las ondas gravitacionales, detectadas por primera vez en 2015.

Compruébalo: una astronauta flota dentro de la Estación Espacial. ¿Es que allí arriba no hay gravedad? (Sí la hay, casi tanta como en el suelo: flota porque cae junto con la estación.)

Intermedio

Qué cambia y qué medimos

Todos los cuerpos caen con la misma aceleración, sean cuales sean su masa y su material: los experimentos lo confirman con una precisión de aproximadamente una parte en $10^{15}$. La relatividad general de Einstein (1915) se toma esto al pie de la letra: si el movimiento no depende del cuerpo, pertenece al espacio y al tiempo. La masa y la energía curvan el espacio-tiempo, y un cuerpo en caída libre, que no siente ninguna fuerza, sigue por él el camino más recto posible. De pie en el suelo, tú eres la excepción: el suelo te saca de tu trayectoria de caída libre, y ese empujón es lo que notas como peso.

En las fórmulas aparecen dos clases de tiempo. El tiempo propio $\tau$ es lo que marca un reloj en su propio lugar, y todo proceso que ocurre allí transcurre al mismo ritmo. El tiempo lejano $t$ es la lectura de un reloj en reposo lejos de toda masa, una referencia común. La distancia $r$ al centro de una masa $M$ se define por la circunferencia, $r=C/2\pi$, porque en un espacio curvo una regla tendida desde el centro da algo más. Las constantes $G$ y $c$ entran a través de $GM/c^2$, que es una longitud.

El radio de Schwarzschild marca la escala

El doble de esa longitud es el radio de Schwarzschild,
$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

Es de 2,95 km para el Sol y de 8,9 mm para la Tierra, y crece en proporción a la masa: 29,5 km para un agujero negro de 10 masas solares. Un cuerpo comprimido dentro de su propio $r_s$ ya no deja escapar nada, ni siquiera la luz, y $r_s$ pasa a ser el radio de su horizonte de sucesos. Para el Sol, cuyo radio es de 696 000 km, los 2,95 km son solo una escala, no una superficie.

El cociente $r_s/r$ mide lo intensa que es la gravedad a una distancia $r$: $1,4\times 10^{-9}$ en la superficie de la Tierra, $4,2\times 10^{-6}$ en la del Sol, cerca de 0,34 en una estrella de neutrones y 1 en un horizonte. Toda corrección relativista es de este orden, y por eso la teoría de Newton funciona tan bien en el Sistema Solar.

Las fórmulas de trabajo

Cuatro fórmulas responden a la mayoría de las preguntas prácticas. La primera es exacta; las otras tres solo valen con gravedad débil, y la tercera solo para velocidades muy inferiores a $c$:

• $\tau =t\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx \frac{gh}{c^2}$
• $\frac{\Delta \tau }{\tau }\approx -\frac{v^2}{2c^2}$
• $\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}$

La primera da el ritmo de un reloj en reposo a una distancia $r$, comparado con el tiempo lejano; se anula en el horizonte. Para $r_s/r$ pequeño, la raíz cuadrada se parece mucho a $1-GM/(r{c}^2)$, de modo que cerca de un planeta un reloj situado en $r+h$ se adelanta respecto a otro situado en $r$ la fracción $GMh/(r^2{c}^2)=gh/c^2$, que es la segunda fórmula. Un reloj 1 m más alto va más deprisa en la fracción $1,1\times 10^{-16}$; a 1 km más arriba, se adelanta 9,4 ns al día.

La tercera es el retraso de los relojes en movimiento de la Relatividad especial. Las fracciones se suman con sus signos: la altura adelanta el reloj y la velocidad lo atrasa. La cuarta da la desviación de un rayo cuya trayectoria recta pasaría a una distancia $b$ del centro, el parámetro de impacto; con $r_s$ se escribe $\delta =2r_s/b$, en radianes. Rozando el Sol son 1,75″, como se midió durante el eclipse de 1919. La ley de Newton, aplicada a una partícula que viaja a $c$, da solo la mitad; la otra mitad procede del espacio curvo.

Ejemplo resuelto: los relojes y el rayo de la animación

La animación exagera: el radio de su estrella es solo $1,8r_s$. El reloj de la estrella está en $r_1=2,16r_s$ y el reloj lejano en $r_2=22r_s$, de modo que sus ritmos son
$\sqrt{1-1/2,16}=\sqrt{0,537}\approx 0,733$
$\sqrt{1-1/22}=\sqrt{0,955}\approx 0,977$

El cociente es $0,733/0,977=0,750$, exactamente 3/4. En un ciclo, el tiempo lejano avanza $12,0/0,977=12,28\mathrm{s}$, así que el reloj lejano marca ${\tau }_2=12,0\mathrm{s}$ y el de la estrella ${\tau }_1=0,733\cdot 12,28=9,0\mathrm{s}$: los valores finales de los indicadores ${\tau }_1$ (rojo) y ${\tau }_2$ (verde). Cada manecilla da una vuelta por cada 3 s de su propio tiempo: tres vueltas en la estrella y cuatro lejos.

El rayo dorado pasa a $b=8r_s$. La fórmula de campo débil da $\delta \approx 2/8=0,25\mathrm{rad}$, es decir, 14,3°, pero la trayectoria exacta dibujada se curva 17,8°: tan cerca de la estrella la fórmula se queda corta. La bola azul gira en $r=10,4r_s$. Como $GM=r_s{c}^2/2$, su velocidad $\sqrt{GM/r}$ es $c/\sqrt{20,8}\approx 0,22c$, el valor newtoniano para una órbita circular, que aquí resulta exacto si el tiempo se mide en segundos lejanos.

Ejemplo resuelto: los relojes del GPS

Los satélites de navegación orbitan a 20 200 km sobre el suelo, es decir, a $r=6371+20200=26571\mathrm{km}$ del centro de la Tierra, mientras que el reloj del suelo está en el radio terrestre $R=6371\mathrm{km}$. Para la Tierra, $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$. Si se comparan los ritmos en los dos radios, el reloj del satélite se adelanta respecto a uno en el suelo la fracción
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=4,435\mathrm{mm}\times \left(\frac{1}{6371\mathrm{km}}-\frac{1}{26571\mathrm{km}}\right)\approx 5,29\times 10^{-10}$
que a lo largo de un día de 86 400 s suma $+45,7\mu \mathrm{s}$.

Además, el satélite se mueve a $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{3,986\times 10^{14}/(2,657\times 10^7)}\approx 3,87km/s$, lo que atrasa su reloj la fracción $v^2/(2c^2)\approx 8,3\times 10^{-11}$, es decir, $-7,2\mu \mathrm{s}$ al día. El efecto neto es $+45,7-7,2=+38,5\mu \mathrm{s}$ al día. Las posiciones se calculan a partir de los tiempos de viaje de las señales, y en ese tiempo la luz recorre $c\cdot 38,5\mu \mathrm{s}\approx 11,5\mathrm{km}$, de modo que, sin corregir, las posiciones se desviarían kilómetros en un solo día. Por eso los relojes de los satélites se construyen para marchar más lentos en una fracción de unos $4,5\times 10^{-10}$.

Cómo leer la imagen de la lámina elástica

La cuadrícula es el plano orbital, y la profundidad del hueco se dibuja proporcional al potencial newtoniano $\Phi =-GM/r$ (suavizado cerca de la estrella). Esa profundidad indica también cuánto se atrasan los relojes, ya que en campos débiles $d\tau /dt\approx 1+\Phi /c^2$. La línea gris discontinua es la trayectoria de la luz sin la estrella, la barra negra marca $b$, y $\delta$ señala el ángulo entre esa línea y el rayo dorado. La vista experta añade la predicción de Newton como una trayectoria morada discontinua.

Lee la lámina como una imagen, no como la teoría. Una bola solo rueda hacia un hueco real porque la gravedad de la Tierra la atrae hacia abajo, así que la analogía usa la gravedad para explicar la gravedad. Además, solo muestra el espacio curvo, mientras que para los cuerpos lentos casi toda la gravedad procede de la curvatura del tiempo; la del espacio importa sobre todo para cuerpos rápidos, como la luz.

Errores frecuentes

• Esperar que un reloj lento se sienta lento. Junto al reloj de la estrella, en $2,16r_s$, tu reloj, tu corazón y tus átomos marchan con normalidad; solo al comparar se ve que tú envejeces 9 años mientras un observador lejano envejece 12.
• Equivocarse con los signos del GPS. La gravedad más débil adelanta el reloj del satélite 45,7 µs al día y la velocidad lo atrasa 7,2 µs, así que el balance es de +38,5 µs, no de 52,9 µs.
• Usar $gh/c^2$ para alturas grandes. Para el GPS da $9,81\cdot 2,02\times 10^7/c^2\approx 2,2\times 10^{-9}$, cuatro veces de más, porque $g$ disminuye con la altura; usa en su lugar $GM/c^2(1/R-1/r)$.
• Tomar $r_s$ por el tamaño de un cuerpo, o un agujero negro por una aspiradora. Los 2,95 km del Sol quedan muy dentro de él, y un agujero negro con la masa del Sol dejaría igual la órbita de la Tierra, porque fuera de la masa solo importa $M$.

Dónde aparece

Toda posición que da un navegador por satélite depende de estas correcciones, y los relojes atómicos ópticos ya detectan un ascenso de unos pocos centímetros. Las lentes gravitacionales amplían galaxias lejanas y permiten cartografiar la materia oscura, que no se ve. Desde 2019 se obtienen imágenes de las sombras de agujeros negros, y desde 2015 se registran ondas gravitacionales de agujeros negros que se fusionan.

Esta lección une la Relatividad especial, que aporta el tiempo propio y el término de la velocidad, con Gravitación y órbitas, que es el límite de campo débil de esta teoría. Y como la energía tiene masa, tal como explica Fisión, fusión y E = mc², toda forma de energía curva el espacio-tiempo, incluidas la luz y la presión.

Avanzado

Medir la curvatura desde dentro

¿Cómo podrían saber unos seres que viven dentro de un espacio que este es curvo, sin salir de él? Pueden medir. Traza una esfera alrededor de algo de materia y mide el área $A$ de su superficie. En el espacio plano, el área fija el radio: $A=4\pi r^2$, así que el radio tiene que ser $\sqrt{A/4\pi }$. Mide ahora el radio directamente, colocando reglas una a continuación de otra desde el centro hasta la esfera. Si las reglas marcan más que $\sqrt{A/4\pi }$, el espacio es curvo, y la diferencia, llamada exceso de radio, mide cuánto.

Leyenda

$M$	Masa dentro de la esfera.	$\mathrm{kg}$
$A$	Área de la esfera que representa el anillo.	${\mathrm{m}}^2$
$\sqrt{A/4\pi }$	Radio que daría el espacio plano para el área $A$.	$\mathrm{m}$
$r$	Radio medido con reglas tendidas desde $M$ a lo largo de la lámina hasta el anillo.	$\mathrm{m}$
$\Delta r$	Exceso de radio, $r-\sqrt{A/4\pi }$; para materia de densidad más o menos uniforme vale $GM/(3c^2)$.	$\mathrm{m}$

La figura 1 muestra la misma prueba con una dimensión menos, para poder dibujarla. La lámina curva es el espacio, el anillo representa la esfera de área $A$ y la masa $M$ está en el fondo de la hondonada. La lámina está dibujada como parte de una esfera, porque esa es la forma que adopta el espacio dentro de una materia de densidad uniforme. Fíjate primero en la línea discontinua: es la distancia horizontal desde el eje hasta el anillo, el radio $\sqrt{A/4\pi }$ que daría el espacio plano para un anillo de este tamaño. Sigue ahora la curva marcada $r$: una regla tendida desde $M$ hasta el anillo no puede atajar por encima de la hondonada, tiene que seguir la pendiente de la lámina, y por eso marca una distancia mayor. La barra de abajo pone las dos longitudes una junto a otra, $r=\sqrt{A/4\pi }+\Delta r$. El trozo sobrante, $\Delta r$, es el exceso de radio que medirían los seres que viven en la lámina.

La ley de la gravitación de Einstein, en su forma más sencilla, pone un número a este exceso. Toma una esfera pequeña alrededor de materia de densidad más o menos uniforme, con una masa $M$ en su interior. El radio medido supera entonces al valor del espacio plano en
$\Delta r=r-\sqrt{A/4\pi }=\frac{GM}{3c^2}$

Aquí $G$ es la constante de gravitación de Newton y $c$ la velocidad de la luz. Como $G/c^2$ es tan pequeño, el efecto es diminuto. Para la Tierra, tratada como uniforme, $GM/c^2=4,435\mathrm{mm}$, así que el exceso de radio es de solo 1,5 mm; para Júpiter, de 0,47 m. Ninguna medición podría detectarlo. La fuerza de la regla está en su generalidad.

La ley completa exige lo mismo para cada esfera pequeña, alrededor de cada suceso (un punto del espacio en un instante) y para todo observador, se mueva como se mueva. Escribir todas estas condiciones a la vez requiere tres ingredientes. La métrica es la tabla que convierte pasos de coordenadas en los tiempos y las longitudes que miden realmente los relojes y las reglas. El tensor de Einstein $G_{\mu \nu }$ reúne la curvatura; se construye con las derivadas segundas de la métrica, igual que la curvatura de una curva sale de la derivada segunda de su gráfica. El tensor de energía-impulso $T_{\mu \nu }$ reúne la densidad y el flujo de energía y de cantidad de movimiento. La ley se escribe entonces
$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

La curvatura está a la izquierda, la materia a la derecha. El acoplamiento $8\pi G/c^4\approx 2,1\times 10^{-43}{\mathrm{N}}^{-1}$ es extremadamente pequeño, así que el espacio-tiempo es muy rígido: densidades de energía enormes producen solo una curvatura leve. En el espacio vacío $T_{\mu \nu }=0$, luego $G_{\mu \nu }=0$, y sin embargo el espacio-tiempo no es plano allí, porque $G_{\mu \nu }$ contiene solo una parte de la curvatura. La parte que queda es el campo de marea, que estira una nube de polvo en caída a lo largo de la recta hacia la masa y la comprime hacia los lados.

Del principio de equivalencia al ritmo de los relojes

La gravedad no solo curva el espacio; también cambia el ritmo del tiempo, de modo que los relojes situados más arriba van más deprisa. Esto se deduce solo del principio de equivalencia: dentro de una habitación pequeña y cerrada, ningún experimento distingue un campo gravitatorio uniforme de una aceleración constante.

Leyenda

$g$	Aceleración del cohete (izquierda); intensidad del campo gravitatorio en el suelo, dirigido hacia abajo (derecha).	$m/{\mathrm{s}}^2$
$c$	Velocidad del pulso de luz enviado desde el reloj del suelo al reloj del techo.	$m/s$
$h$	Altura de la cabina: la distancia entre los dos relojes.	$\mathrm{m}$
$gh/c$	Velocidad que gana el techo mientras el pulso sube; fija el desplazamiento Doppler $gh/c^2$.	$m/s$

La figura 2 cuenta el argumento dos veces. Empieza por la izquierda. Lejos de cualquier planeta, una cabina de cohete de altura $h$ acelera hacia arriba con $g$, con un reloj en el suelo y otro en el techo. El reloj del suelo envía hacia arriba un pulso de luz a la velocidad $c$. El pulso tarda un tiempo de aproximadamente $h/c$ en llegar, y durante ese tiempo el techo gana velocidad: $g\cdot (h/c)$. Así que, cuando lo recibe, el techo se aleja más deprisa de lo que lo hacía el suelo al emitirlo, en la velocidad $gh/c$ (la flecha corta de arriba). Un receptor que se aleja ve la luz desplazada por efecto Doppler a una frecuencia menor, en la fracción (velocidad)/$c$, aquí $gh/c^2$.

Supón que el reloj del suelo envía un pulso por cada tic. No se pierde ningún pulso por el camino y, sin embargo, el techo los recibe a un ritmo menor que el de los tics de su propio reloj, en la fracción $gh/c^2$. Los pulsos enviados hacia abajo desde el techo llegan con una frecuencia mayor, porque el suelo se mueve hacia ellos. Por eso todos a bordo coinciden: el reloj del techo va deprisa y el del suelo despacio, en la fracción $gh/c^2$.

A la derecha, la misma cabina está en el suelo, en un campo gravitatorio $g$ dirigido hacia abajo. Por el principio de equivalencia, nada en el interior distingue esta habitación del cohete, así que el resultado debe ser el mismo: en un campo gravitatorio, un reloj situado $h$ más arriba va más deprisa en la fracción $gh/c^2$.

Cerca del suelo, $gh$ es el aumento del potencial gravitatorio $\Phi$, la energía potencial por unidad de masa. La regla vale, por tanto, para cualquier potencial estático, tomado como cero en el infinito. Mientras un reloj lejano registra un tiempo $dt$, un reloj en reposo en el potencial $\Phi$ registra su propio tiempo, el tiempo propio $d\tau$, y
$\frac{d\tau }{dt}\approx 1+\frac{\Phi }{c^2}$

Como $\Phi$ es negativo cerca de una masa, allí los relojes van despacio. Alrededor de una masa $M$, $\Phi =-GM/r$, y la regla es la forma de primer orden del ritmo exacto que se halla más abajo, $\sqrt{1-r_s/r}\approx 1-GM/(r{c}^2)$, donde $r_s=2GM/c^2$ es el radio de Schwarzschild de la masa.

La conservación de la energía da la misma respuesta. La luz de energía $E$ tiene masa $E/c^2$, así que al caer una altura $h$ gana la energía $Egh/c^2$, la fracción $gh/c^2$ de su energía; al subir, pierde esa fracción. La energía de un fotón es proporcional a su frecuencia, de modo que su frecuencia disminuye en la misma fracción.

Pound y Rebka midieron el desplazamiento en 1960 en una torre de 22,5 m: una fracción de solo $2,5\times 10^{-15}$. En 1976, un reloj máser de hidrógeno enviado a unos 10 000 km de altura lo confirmó con mucha mayor precisión.

La gráfica del reloj en órbita

Los satélites llevan relojes, y para ellos cuentan los dos efectos: la altura hace que un reloj vaya más deprisa, la velocidad hace que vaya más despacio. La gráfica de la vista experta aplica ambos a un reloj en una órbita circular de radio $r$, medido desde el centro de la Tierra, comparado con un reloj en el suelo, a la distancia del radio terrestre $R$.

Altura: el potencial pasa de $-GM/R$ en el suelo a $-GM/r$ en órbita, así que, por la regla de arriba, el reloj en órbita gana la fracción $GM/c^2(1/R-1/r)$ de cada segundo (curva verde). Velocidad: la relatividad especial retrasa un reloj en movimiento con el factor $\sqrt{1-v^2/c^2}\approx 1-v^2/(2c^2)$, y en una órbita circular $v^2=GM/r$, de modo que el reloj pierde $GM/(2r{c}^2)$ de cada segundo (curva azul). El total (curva roja) es
$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R}-\frac{3}{2r}\right)$

La gráfica multiplica estas fracciones por los 86 400 segundos de un día. Una órbita rasante, con $r=R$, no gana nada por la altura y pierde 30,1 µs al día, todo por la velocidad. Con la altura, la ganancia verde sube hacia 60,1 µs al día, su valor para un reloj infinitamente lejano, mientras que la pérdida azul disminuye como $1/r$. La curva roja corta el cero donde $1/R=3/(2r)$, es decir, en $r=1,5R$, a unos 3190 km de altura: las órbitas más bajas pierden tiempo y las más altas lo ganan. La Estación Espacial, a 400 km, pierde 24,7 µs al día, de modo que seis meses a bordo dejan a un astronauta unos 4,5 ms más joven. Los relojes GPS, a unos 20 200 km, ganan 38,5 µs al día, y el borde derecho de la gráfica, a 25 000 km, llega a 41,8 µs.

La caída libre maximiza el tiempo propio

Newton describe la caída con fuerzas. La relatividad general las sustituye por una sola regla sobre relojes: entre dos sucesos, un cuerpo libre sigue la línea de universo (su camino a través del espacio y el tiempo) a lo largo de la cual su propio reloj registra más tiempo. En el espacio-tiempo plano esa línea de universo es recta, a velocidad constante; por eso el gemelo viajero de la relatividad especial, que da la vuelta, vuelve más joven.

Cerca del suelo compiten dos efectos, como en la sección anterior: la altura hace que un reloj vaya más deprisa en $gh/c^2$, y la velocidad hace que vaya más despacio en $v^2/(2c^2)$. Así que, a lo largo de un camino de altura $h(t)$ y velocidad $v(t)$, el tiempo propio es
$\tau =\int \left(1+\frac{gh}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\right)dt$

La altura da, la velocidad cuesta. El mejor camino sube lo bastante alto para ganar tiempo, pero no tan deprisa como para que su velocidad se coma la ganancia.

Leyenda

$t$	Tiempo transcurrido desde el lanzamiento.	$\mathrm{s}$
$h$	Altura de la pelota sobre el suelo.	$\mathrm{m}$
$T$	Tiempo desde el lanzamiento hasta la recogida.	$\mathrm{s}$
$H_1$	Altura máxima de un camino bajo, $H_2/2$.	$\mathrm{m}$
$H_2$	Altura máxima del camino de caída libre, $g{T}^2/8$.	$\mathrm{m}$
$H_3$	Altura máxima de un camino alto, $2H_2=g{T}^2/4$.	$\mathrm{m}$
$H$	Altura máxima de un camino.	$\mathrm{m}$
$\Delta \tau$	Tiempo propio que gana un reloj que viaja por el camino sobre un reloj que se queda en el suelo.	$\mathrm{s}$

La figura 3 pone a prueba la regla con una pelota lanzada hacia arriba y recogida un tiempo $T$ después. El panel de la izquierda muestra tres caminos entre los mismos dos sucesos, todos arcos $h=4H(t/T)(1-t/T)$ que solo se diferencian en su altura máxima $H$: uno bajo, $H_1$; el de la caída libre, el que sigue realmente la pelota, $H_2$; y uno alto, $H_3$. ¿Cuál da más tiempo a un reloj que viaja con la pelota?

Calcula el tiempo $\Delta \tau$ que el reloj viajero gana sobre un reloj que se queda en el suelo promediando los dos términos a lo largo del vuelo. La altura media de un arco así es dos tercios de su máximo, $2H/3$. La velocidad es $v=dh/dt=(4H/T)(1-2t/T)$, y el promedio de $(1-2t/T{)}^2$ a lo largo del vuelo es $1/3$, de modo que el promedio de $v^2/2$ es $8H^2/(3T^2)$. Al multiplicar cada promedio por la duración del vuelo $T$ y dividir por $c^2$ se obtiene
$\Delta \tau =\frac{T}{c^2}\left(\frac{2}{3}gH-\frac{8H^2}{3T^2}\right)$

El panel de la derecha representa esta ganancia frente a $H$: una parábola invertida. Alcanza su máximo donde se anula su pendiente, $2g/3-16H/(3T^2)$, es decir, en $H_2=g{T}^2/8$. Esa es exactamente la altura de la caída libre: una pelota que sube durante $T/2$ bajo la gravedad asciende $\frac{1}{2}g(T/2{)}^2=g{T}^2/8$. Para $T=3\mathrm{s}$ el máximo es de 11,0 m y la ganancia es $g^2{T}^3/(24c^2)\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{s}$. El camino bajo $H_1$, la mitad de alto, gana tres cuartas partes de esa cantidad. El camino $H_3=g{T}^2/4$, el doble de alto, no gana nada: su velocidad extra cancela exactamente el beneficio de la altura.

Lo mismo vale para cualquier potencial, sustituyendo $gh$ por $\Phi$. Multiplica el integrando por $-m{c}^2$: la integral se convierte en $\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$. El primer término suma la misma cantidad a todos los caminos, así que hacer $\tau$ lo mayor posible equivale a hacer lo menor posible $\int (\frac{1}{2}m{v}^2-m\Phi )dt$. Ese es el principio de mínima acción de la mecánica newtoniana, cuya ecuación de movimiento es $\vec{a}=-\nabla \Phi$. La masa $m$ se cancela, de modo que todos los cuerpos caen igual: la universalidad de la caída libre está incorporada a la geometría. Estrictamente, $\tau$ es un máximo solo frente a caminos próximos.

La geometría de Schwarzschild

Las reglas vistas hasta ahora son aproximaciones de campo débil. Fuera de una masa esférica y sin rotación, como una estrella o un agujero negro, la ecuación de campo tiene una solución exacta, hallada por Karl Schwarzschild en 1916. Es una métrica: da el tiempo propio $d\tau$ entre dos sucesos próximos a partir de sus separaciones en las coordenadas,
$c^{2}d{\tau }^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-r_s/r}-r^{2}d{\Omega }^2$

Aquí $t$ es el tiempo de un reloj lejano, $r$ está elegido de modo que una circunferencia alrededor del centro mida $2\pi r$, $d\Omega$ es el ángulo pequeño entre los dos sucesos visto desde el centro y $r_s=2GM/c^2$. De ahí salen enseguida dos lecturas. Para un reloj en reposo, $dr=d\Omega =0$, y la métrica da $d\tau =\sqrt{1-r_s/r}dt$: el ritmo exacto del reloj. Para una regla tendida a lo largo del radio, $dt=d\Omega =0$, y la longitud que mide es $dr/\sqrt{1-r_s/r}$, mayor que $dr$. Este estiramiento de las distancias radiales es el exceso de radio de la primera sección.

La desviación de la luz

La luz que pasa junto a una masa se desvía, y el tamaño de la desviación distingue la relatividad general de la teoría de Newton: el razonamiento newtoniano da solo la mitad de lo que se observa.

Leyenda

$M$	Masa que desvía el rayo.	$\mathrm{kg}$
$b$	Parámetro de impacto: distancia de $M$ a la recta de entrada del rayo.	$\mathrm{m}$
$c$	Velocidad de la luz, a lo largo del rayo.	$m/s$
$\delta$	Desviación en la relatividad general, $4GM/(c^{2}b)=2{\delta }_N$.	$\mathrm{rad}$
${\delta }_N$	Desviación debida solo a la parte temporal, como en la teoría de Newton: $2GM/(c^{2}b)$.	$\mathrm{rad}$

La figura 4 sigue un rayo de luz que pasa junto a la masa $M$. Muy a la izquierda, el rayo viaja en línea recta a la velocidad $c$; el parámetro de impacto $b$ es la distancia de $M$ a esa recta de entrada. Muy a la derecha, los dos caminos dibujados vuelven a ser rectos, a lo largo de las rectas discontinuas, pero girados: uno el ángulo ${\delta }_N$, el otro $\delta$, el doble. El resto de esta sección explica ese factor dos.

La luz se mueve con $d\tau =0$. Describe su camino con $u=1/r$ en función del ángulo $\phi$ alrededor de la masa, donde la prima significa $d/d\phi$. Al hacer $d\tau =0$ en la métrica de Schwarzschild y usar la energía y el momento angular, que se conservan, se obtiene
$u^{\prime \prime }+u=\frac{3GM}{c^2}{u}^2$

Sin el miembro de la derecha, la solución es una recta; el pequeño término de la derecha la curva. Es la ecuación que la animación integra para su rayo dorado.

Para ver el factor dos, mira la métrica en un campo débil. Allí el factor que multiplica a $c^{2}d{t}^2$ es $g_{tt}\approx 1+2\Phi /c^2$, y el factor que multiplica al cuadrado del paso en el espacio es $g_{rr}\approx -(1-2\Phi /c^2)$: ambos se diferencian del espacio plano en la misma cantidad, $2\Phi /c^2$. Un cuerpo lento recorre muy poco espacio por unidad de tiempo, así que solo actúa sobre él la parte temporal, y esa parte por sí sola da la gravedad de Newton. Aplicada a la luz, la parte temporal sola daría un camino desviado el ángulo ${\delta }_N=2GM/(c^{2}b)$, el que da la teoría de Newton para una partícula que se mueve a $c$. Pero la luz recorre tanto espacio como tiempo, $|d\vec{x}|=cdt$, así que la parte espacial actúa sobre ella tan intensamente como la temporal, y la desviación se duplica:
$\delta =\frac{4GM}{c^{2}b}=2{\delta }_N$

Como $4GM/c^2=2r_s$, esto es también $\delta =2r_s/b$. En la animación el rayo pasa con $b=8r_s$: el camino morado de Newton se desvía 7,2°, esta fórmula da $0,25\mathrm{rad}=14,3°$ y el rayo dorado exacto gira 17,8°, porque tan cerca de la masa la fórmula de campo débil se queda corta. En el borde del Sol, $b\approx 2,4\times 10^5{r}_s$, la fórmula da 1,75″, que los radiotelescopios confirman con una precisión mejor que el 0,1 %.

Mercurio y los radios del campo fuerte

Para un planeta aparece el mismo término adicional en su ecuación de la órbita, $u^{\prime \prime }+u=GM/{\ell }^2+3GM{u}^2/c^2$, donde $\ell$ es el momento angular por unidad de masa. Sin el último término, las soluciones son las elipses de Newton, que se cierran tras una vuelta. El término adicional hace girar la elipse un poco hacia delante en cada vuelta: su punto más cercano al Sol avanza
$\Delta \phi =\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$

donde $a$ es el semieje mayor de la elipse y $e$ su excentricidad. Para Mercurio, con $a=5,79\times 10^{10}\mathrm{m}$ y $e=0,206$, son $5,0\times 10^{-7}\mathrm{rad}$ por órbita, o 43″ en las 415 órbitas de un siglo: justo la parte del avance de Mercurio que las atracciones de los demás planetas no lograban explicar.

En campos fuertes, las mismas ecuaciones señalan tres radios. En el horizonte, $r_s$, el ritmo $\sqrt{1-r_s/r}$ de un reloj en reposo cae a cero. En la esfera de fotones, $1,5r_s$, la luz puede girar alrededor de la masa, pero de forma inestable. En la última órbita circular estable, $3r_s$, terminan las órbitas estables; es el borde interior de los discos de gas caliente alrededor de los agujeros negros.

Problema resuelto: un reloj montado en la bola

¿Con qué ritmo exacto marcha un reloj en órbita? Coloca un reloj en la bola azul de la animación, que gira alrededor de la estrella en $r=10,4r_s$ con velocidad angular $\omega$. En tiempo lejano, la ley de Kepler es exacta para las órbitas circulares de esta geometría: ${\omega }^2=GM/r^3$. En la órbita $r$ es constante, así que $dr=0$, y el ángulo avanza $d\Omega =\omega dt$. Al llevarlo a la métrica y dividir por $c^{2}d{t}^2$ se obtiene
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}-\frac{r^2{\omega }^2}{c^2}}$

Con la ley de Kepler y $GM=r_s{c}^2/2$, el último término vale $r^2{\omega }^2/c^2=GM/(r{c}^2)=r_s/(2r)$, y por tanto
$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}$
Con $r=10,4r_s$ esto es $\sqrt{1-1,5/10,4}=\sqrt{0,856}\approx 0,925$.

Una vuelta dura 12,28 s de tiempo lejano, así que el reloj de la bola marca $0,925\cdot 12,28\approx 11,4\mathrm{s}$. Compáralo con los dos relojes que están quietos en la animación. El reloj lejano, a $22r_s$, marcha al ritmo $\sqrt{1-1/22}=0,977$ y marca 12,0 s; el reloj de la estrella, a $2,16r_s$, marcha a 0,733 y marca 9,0 s. El reloj de la bola se retrasa respecto al reloj lejano, pero queda muy por delante del reloj de la estrella.

El ritmo se separa en un factor por cada efecto. El factor de gravedad, $\sqrt{1-1/10,4}=0,951$, es el ritmo de un reloj en reposo en ese radio. El factor de movimiento, $\sqrt{1-0,231^2}=0,973$, es el retraso de la relatividad especial para la velocidad $0,231c$ que mide un observador estático junto a la órbita. Su producto es $0,951\cdot 0,973\approx 0,925$. Esa velocidad supera a la newtoniana $\sqrt{GM/r}=0,219c$ porque el reloj del observador estático va lento, y por eso cronometra la bola en menos segundos.

Compara ahora un reloj en órbita con otro en reposo en el radio $R$, cuyo ritmo es $\sqrt{1-r_s/R}$. El reloj en órbita va más deprisa cuando $1-3r_s/(2r)>1-r_s/R$, es decir, cuando $r>1,5R$. Es el cero de la curva roja de la Tierra, a 3190 km de altura, pero aquí el resultado es exacto y vale también en campos fuertes. Para el reloj de la estrella, en $2,16r_s$, la órbita en la que ambos relojes marchan al mismo ritmo está en $3,24r_s$, justo fuera de la última órbita estable, en $3r_s$.

Límites de validez

Las fórmulas de campo débil exigen $r_s/r\ll 1$ y $v\ll c$. Cerca de la estrella de la animación fallan a simple vista: para el reloj de la estrella, el ritmo de campo débil $1-r_s/(2r)$ da 0,769 en lugar del 0,733 exacto, y la fórmula de la desviación se queda 3,5° por debajo de los 17,8° exactos. En el Sistema Solar los errores son del orden de $(r_s/r{)}^2$, unos $2\times 10^{-11}$ incluso en la superficie del Sol. Una estrella de neutrones es distinta: con 1,4 masas solares dentro de un radio de 12 km tiene $r_s/r=0,34$, y un reloj en su superficie marcha al ritmo 0,81. La gráfica de la Tierra deja fuera además un pequeño efecto, la rotación del reloj del suelo, de unos 0,1 µs al día.

La teoría ha superado todas las pruebas hasta hoy: la desviación de la luz y los retrasos de las señales de radio cerca del Sol, la órbita de Mercurio, los relojes, la contracción de las órbitas de los púlsares binarios y, desde 2015, las ondas gravitacionales. La primera onda detectada procedía de la fusión de dos agujeros negros de unas 36 y 29 masas solares; modificó los brazos de 4 km de los detectores LIGO en unos $4\times 10^{-18}\mathrm{m}$.

El verdadero límite es cuántico. La teoría predice singularidades, dentro de los agujeros negros y en el comienzo del universo en expansión, donde la curvatura crece sin límite. Mucho antes, cerca de la longitud de Planck, $\sqrt{\hslash G/c^3}\approx 1,6\times 10^{-35}\mathrm{m}$, deben entrar en juego los efectos cuánticos de la gravedad, y ninguna teoría comprobada los describe todavía.

Lo que viene después

La lección Relatividad especial describe el límite plano, sin gravedad, y su efecto de los gemelos vuelve aquí como regla del mayor tiempo propio. La lección Gravitación y órbitas describe el límite de campo débil y movimiento lento. Igual que las cargas aceleradas radian en Ondas electromagnéticas, las masas aceleradas radian ondas gravitacionales a la velocidad $c$, aunque solo mediante cuadrupolos variables, porque la conservación de la cantidad de movimiento prohíbe la radiación dipolar. Fisión, fusión y E = mc² explica por qué toda forma de energía cuenta en $T_{\mu \nu }$.

Si se añade la teoría cuántica, un agujero negro debería brillar como los cuerpos negros de Radiación de cuerpo negro y cuantos, a la temperatura $T=\hslash c^3/(8\pi GM{k}_B)$, de unos $6\times 10^{-8}\mathrm{K}$ para una masa solar. La lección Partículas y fuerzas: el modelo estándar describe todas las interacciones conocidas salvo la gravedad; unirlas es el gran problema abierto.