Trabajo, energía y potencia

Principiante

En el habla cotidiana, sostener una maleta pesada durante diez minutos es mucho trabajo. En física no es ningún trabajo, porque la palabra tiene un sentido preciso: una fuerza realiza trabajo cuando mueve algo en la dirección en que empuja o tira. Trabajo = fuerza × distancia, medido en julios (J). Empuja un carrito con 10 N a lo largo de 3 m y realizas 30 J de trabajo.

Realizar trabajo sobre algo le da energía, es decir, la capacidad de realizar trabajo a su vez. Aquí importan dos tipos. Un objeto elevado tiene energía de altura (energía potencial gravitatoria): peso × altura. Sube un saco de harina de 20 N a un estante a 1,5 m y almacenará 30 J. Un objeto en movimiento tiene energía de movimiento (energía cinética), $\frac{1}{2}m{v}^2$. Como la rapidez va al cuadrado, un coche al doble de velocidad lleva cuatro veces más energía: por eso la velocidad importa tanto en un choque.

La energía no se crea ni se destruye; solo cambia de forma. Suelta una pelota: pierde energía de altura y gana exactamente la misma cantidad de energía de movimiento. Al llegar al suelo, esa energía aplasta un instante la pelota y el suelo, y una parte se convierte en calor y sonido, así que la pelota nunca rebota hasta su altura inicial.

La potencia indica lo deprisa que se realiza el trabajo, en vatios: un vatio es un julio por segundo. Dos personas que suben la misma caja por la misma escalera realizan el mismo trabajo; la más rápida desarrolla más potencia.

Compruébalo: llevas una caja a velocidad constante a través de una habitación de suelo llano. ¿Cuánto trabajo realiza sobre ella tu empuje hacia arriba? (Ninguno: la caja avanza en horizontal, perpendicular a tu empuje.)

En la animación, la barra azul «altura» se reduce y la barra dorada «movimiento» crece mientras la pelota cae, y el total verde no cambia.

Intermedio

Trabajo: la fuerza a lo largo del desplazamiento

En física, una fuerza realiza trabajo solo si el objeto se mueve mientras ella actúa, y solo cuenta la parte de la fuerza que va a lo largo del movimiento. Para una fuerza constante $F$ y un desplazamiento rectilíneo $d$ que forma un ángulo $\theta$ con la fuerza,
$W=Fd\cos \theta$

El trabajo se mide en julios, $1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, que es aproximadamente el trabajo necesario para subir una manzana de 100 g un metro. Es un escalar: no tiene dirección, pero sí signo.

El ángulo entre la fuerza y el desplazamiento decide ese signo:

• En el sentido del movimiento, $\theta =0^{\circ }$ y $W=Fd$: la fuerza aporta energía al objeto.
• En ángulo recto, $\theta =90^{\circ }$ y la fuerza no realiza trabajo: el suelo bajo una caja que se desliza, o la cuerda que hace girar una piedra en círculo.
• En contra del movimiento, $\theta =180^{\circ }$ y $W=-Fd$: el rozamiento y los frenos sacan energía del movimiento.

Cuando actúan varias fuerzas, cada una realiza su propio trabajo, y el trabajo neto es la suma de todos ellos.

Energía cinética y teorema del trabajo y la energía

Empuja un carrito de masa $m$ con una fuerza neta constante $F$ a lo largo de una distancia $d$. Con $a=F/m$, la relación cinemática $v^2=v_0^2+2ad$ multiplicada por $m/2$ se convierte en $Fd=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$. Lo que cambia el trabajo es la energía cinética,
$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$
y el trabajo neto de todas las fuerzas es igual a su variación. Es el teorema del trabajo y la energía:
$W_{\mathrm{neto}}=\Delta E_c$

Un trabajo neto positivo acelera un objeto y uno negativo lo frena. La energía cinética nunca es negativa, no depende del sentido del movimiento y crece con el cuadrado de la rapidez.

Energía potencial y conservación de la energía

Cuando una pelota de masa $m$ baja de una altura $h_1$ a otra $h_2$, su peso $mg$ realiza un trabajo $mg(h_1-h_2)$ sea cual sea el camino, porque solo la parte vertical de cada pequeño paso va en la dirección del peso. Un trabajo que solo depende de los puntos extremos puede almacenarse y devolverse, así que lo anotamos como energía potencial:
$E_p=mgh$

La altura $h$ se mide desde un nivel que tú eliges, porque solo importan las variaciones de $E_p$. El trabajo de la gravedad es positivo al bajar, cuando $E_p$ disminuye, y negativo al subir.

Si la gravedad, o un muelle ideal, es la única fuerza que realiza trabajo, cada julio que sale de $E_p$ aparece en $E_c$ y la energía mecánica se mantiene:
$E_c+E_p=\text{constante}\text{(sin rozamiento)}$

Así, un objeto soltado desde una altura $h$ llega al suelo con $v=\sqrt{2gh}$, a partir de $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$. La masa se cancela y, en un tobogán sin rozamiento, la forma de la pista tampoco importa: la pista empuja en ángulo recto con el movimiento y no realiza trabajo.

Ejemplo resuelto: la pelota que cae en la animación

La pelota de 2 kg se suelta desde el reposo a $h_0=18\mathrm{m}$. Tomando el suelo como $h=0$, toda su energía es potencial al principio:
$E=mg{h}_0=2\cdot 9,81\cdot 18\approx 353\mathrm{J}$

A mitad de la caída, en $h=9\mathrm{m}$, la mitad ha cambiado de forma: $E_p\approx 177\mathrm{J}$ y $E_c\approx 177\mathrm{J}$, así que $v=\sqrt{2E_c/m}\approx 13,3m/s$. Justo antes de tocar el suelo, $E_p=0$ y $E_c=E$:
$v=\sqrt{2g{h}_0}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 18}\approx 18,8m/s$

Son los valores que muestran las lecturas de $E_p$, $E_c$ y $v$, y el último fotograma, el instante justo antes de tocar el suelo, muestra $E_c=E$ y $E_p=0$. Durante toda la caída, la barra azul de $E_p$ y la barra dorada de $E_c$ suman la barra verde de $E$, mientras la flecha de velocidad $v$ se alarga.

La caída dura $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$, pero la pelota no pasa por la mitad de la altura hasta los 1,35 s. A la mitad del tiempo, 0,96 s, la pelota ha caído apenas 4,5 m y solo una cuarta parte de la energía, 88 J, ha cambiado de forma. La energía se reparte según la altura, no según el tiempo, y la pelota recorre más altura cada segundo: sus imágenes tenues, separadas 0,4 s, se alejan cada vez más entre sí.

Ejemplo resuelto: tirar de un trineo cargado

Una niña tira desde el reposo de un trineo de 25 kg a lo largo de 20 m de nieve llana. La cuerda forma un ángulo de $30^{\circ }$ con el suelo y su tensión es de 60 N; el rozamiento en los patines es de 30 N. ¿A qué velocidad va el trineo al final?

La cuerda realiza $60\cdot 20\cdot \cos 30^{\circ }\approx 1039\mathrm{J}$ de trabajo, y el rozamiento, que apunta hacia atrás, realiza $30\cdot 20\cdot \cos 180^{\circ }=-600\mathrm{J}$. El peso y el empuje de la nieve son verticales, en ángulo recto con el movimiento, así que no realizan trabajo. El trabajo neto es 439 J y, partiendo del reposo, el teorema del trabajo y la energía da
$v=\sqrt{\frac{2W_{\mathrm{neto}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 439}{25}}\approx 5,9m/s$

Las leyes de Newton coinciden: la componente del tirón en el sentido del movimiento, $60\cos 30^{\circ }\approx 52\mathrm{N}$, deja una fuerza neta de 22 N, de modo que $a\approx 0,88m/{\mathrm{s}}^2$ y $v^2=2\cdot 0,88\cdot 20\approx 35{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$. El camino de la energía no necesitó ni la aceleración ni el tiempo.

Potencia y lectura de las gráficas de energía

La potencia es el ritmo al que se realiza trabajo, y se mide en vatios, $1\mathrm{W}=1J/s$:
$P=\frac{W}{t}$
Para una fuerza en el sentido del movimiento y con rapidez $v$, el trabajo en un intervalo corto $\Delta t$ es $Fv\Delta t$, luego $P=Fv$. Al final del tirón, la cuerda entrega $52\cdot 5,93\approx 308\mathrm{W}$, pero solo 154 W de media durante los 6,7 s, porque el trineo partió del reposo.

En una gráfica de fuerza frente a distancia, el área bajo la línea es el trabajo: un rectángulo $Fd$ si la fuerza es constante, un triángulo $\frac{1}{2}k{x}^2$ para un muelle cuya fuerza crece con el estiramiento, $F=kx$. En una gráfica de energía frente al tiempo, la pendiente es la potencia. La potencia de la gravedad sobre la pelota que cae, $mgv$, sube desde cero hasta $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$ al llegar al suelo, así que la barra dorada se llena despacio al principio y cada vez más deprisa después.

Errores frecuentes

• El trabajo no es esfuerzo. Sostener una maleta de 20 kg quieta durante diez minutos no realiza trabajo sobre ella; tus músculos gastan energía química solo para mantenerse en tensión.
• La energía cinética no es proporcional a la rapidez. De 15 m/s a 30 m/s, la $E_c$ de un coche de 1200 kg pasa de 135 kJ a 540 kJ, así que, con la misma fuerza de frenado, necesita una distancia de frenado cuatro veces mayor.
• El trabajo puede ser negativo. El rozamiento realizó $-600\mathrm{J}$ sobre el trineo: esa energía salió del movimiento y reapareció como calor en los patines y en la nieve.
• Un valor de $E_p$ por sí solo no significa nada sin su nivel cero. La pelota tiene 353 J respecto al suelo y 0 J respecto a su punto de partida, pero la caída libera 353 J en ambos casos.
• Los objetos más pesados no llegan al suelo más rápido cuando solo trabaja la gravedad. Una pelota de 4 kg soltada desde 18 m lleva 706 J, el doble, pero sigue llegando a 18,8 m/s: la masa se cancela.

Dónde aparece

Quienes diseñan montañas rusas parten de $E_c+E_p$: un coche soltado desde el reposo a 40 m por encima del punto más bajo puede alcanzar como máximo $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 40}\approx 28m/s$, unos 100 km/h. Las centrales hidroeléctricas convierten la energía potencial del agua en electricidad: unos 0,98 MJ por cada tonelada que cae 100 m.

Las lecciones posteriores se apoyan en esta misma contabilidad: Máquinas simples: palancas, poleas y engranajes (ninguna máquina entrega más trabajo del que recibe); Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación (la energía de un muelle estirado); Movimiento armónico simple; Principio de Bernoulli; Campo y potencial eléctricos, y Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas, que añade el calor a la cuenta.

Avanzado

El trabajo como integral de línea

La regla $W=Fd\cos \theta$ exige una fuerza constante y una trayectoria recta. Las fuerzas reales cambian de un punto a otro y las trayectorias reales se curvan, así que necesitamos una definición de trabajo que sirva para ambas cosas. Todo lo demás en esta lección se apoya en ella.

Leyenda

$A$	Inicio de la trayectoria.
$B$	Final de la trayectoria.
$d\vec{r}$	Un paso corto a lo largo de la trayectoria, de longitud $dr$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Fuerza sobre la partícula al comienzo del paso.	$\mathrm{N}$
$\theta$	Ángulo entre $\vec{F}$ y el paso.	$\mathrm{rad}$
$F\cos \theta$	Componente de $\vec{F}$ a lo largo del paso: la única parte que realiza trabajo.	$\mathrm{N}$

La figura 1 muestra una partícula que se mueve por una trayectoria curva de $A$ a $B$ mientras la fuerza sobre ella cambia de un punto a otro. La idea es cortar la trayectoria en pasos tan cortos que cada uno sea prácticamente recto y la fuerza apenas varíe a lo largo de él. En uno de esos pasos vuelve a valer la regla sencilla.

Fíjate en el paso ampliado $d\vec{r}$: una flecha de longitud $dr$ que apunta a lo largo de la trayectoria. Donde empieza, la fuerza es $\vec{F}$ y forma el ángulo $\theta$ con el paso. Los puntitos a lo largo de la curva marcan dónde empiezan otros pasos; cada uno tiene su propia fuerza y su propio ángulo.

Solo la parte de $\vec{F}$ a lo largo del paso empuja la partícula en ese sentido; la parte perpendicular solo la empuja hacia un lado. Para hallar la parte a lo largo del paso, traza la perpendicular discontinua desde la punta de $\vec{F}$ hasta la recta del paso: la barra verde que recorta tiene longitud $F\cos \theta$. El trabajo en este único paso es esa componente por la longitud del paso:
$dW=F\cos \theta dr=\vec{F}\cdot d\vec{r}$

El producto escalar aparece porque es exactamente eso: la componente de un vector a lo largo del otro, multiplicada por la longitud del otro. El trabajo total de $A$ a $B$ es la suma sobre todos los pasos. A medida que los pasos se hacen cada vez más cortos, la suma se convierte en la integral de línea
$W={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_A^B\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)$
La segunda forma escribe el producto escalar por componentes, que es como suele calcularse la integral.

De aquí salen dos resultados inmediatos. Para una fuerza constante sobre una trayectoria recta, $\vec{F}$ sale de la integral y los pasos suman el desplazamiento, lo que devuelve $W=Fd\cos \theta$. Y al dividir $dW$ entre el tiempo $dt$ que dura el paso, con $d\vec{r}/dt=\vec{v}$, se obtiene la potencia que entrega la fuerza en cada instante, $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$.

El trabajo no es algo que un cuerpo tenga. Describe un proceso: una cantidad de energía que pasa de quien ejerce la fuerza al cuerpo sobre el que actúa.

Deducción del teorema del trabajo y la energía

La integral de línea se vuelve útil cuando se relaciona con el movimiento. La segunda ley de Newton establece el vínculo, y el resultado, el teorema del trabajo y la energía, dice que el trabajo neto sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Empieza por cómo cambia $E_c$ con el tiempo. El cuadrado de la rapidez es el producto escalar de la velocidad por sí misma, $v^2=\vec{v}\cdot \vec{v}$, y por la regla del producto su derivada es $2\vec{v}\cdot d\vec{v}/dt$. Para una partícula de masa constante $m$, por tanto,
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=m\vec{v}\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{neta}}\cdot \vec{v}$
El último paso es la segunda ley de Newton, $md\vec{v}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{neta}}$: el ritmo de cambio de $E_c$ es la potencia de la fuerza neta.

Ahora integra en el tiempo, del principio al final. En un tiempo $dt$ la partícula da el paso $d\vec{r}=\vec{v}dt$, así que la integral en el tiempo de ${\vec{F}}_{\mathrm{neta}}\cdot \vec{v}$ se convierte en una integral de línea a lo largo de la trayectoria:
$\Delta E_c=\int {\vec{F}}_{\mathrm{neta}}\cdot d\vec{r}=W_{\mathrm{neto}}$

En esta deducción no se supuso nada sobre la fuerza ni sobre la trayectoria. Por tanto, el teorema vale para la fuerza neta sobre una partícula, tenga o no esa fuerza una energía potencial.

Fuerzas que no realizan trabajo

Algunas fuerzas actúan sobre un cuerpo todo el tiempo y, sin embargo, nunca cambian su rapidez. Reconocerlas simplifica los problemas de energía, porque desaparecen del balance.

Leyenda

$h$	Altura inicial sobre el suelo: cuánto baja la pelota.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Peso de la pelota, vertical hacia abajo.	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	Empuje de la pista sobre la pelota, perpendicular a la pista.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Velocidad de la pelota, a lo largo de la pista.	$m/s$

La figura 2 muestra una pelota que se desliza desde el reposo por un tobogán sin rozamiento de cualquier forma, partiendo de la altura $h$ sobre el suelo. Sobre ella actúan dos fuerzas: su peso $m\vec{g}$, vertical hacia abajo, y el empuje $\vec{N}$ de la pista. Una pista lisa solo puede empujar perpendicularmente a su propia superficie. La pelota se mueve a lo largo de esa superficie, así que su velocidad $\vec{v}$ apunta a lo largo de la pista. El cuadradito marca el ángulo recto entre $\vec{N}$ y $\vec{v}$: en cada instante $\vec{N}\cdot \vec{v}=0$, de modo que la potencia de $\vec{N}$ es cero y el empuje no realiza trabajo, por mucho que se curve la pista.

Lo mismo ocurre en general. Descompón cualquier fuerza en una parte a lo largo de la velocidad y otra perpendicular a ella. Solo la parte a lo largo de $\vec{v}$ cambia la rapidez; la perpendicular solo curva la trayectoria. El empuje de una pista sin rozamiento, la tensión de la cuerda de un péndulo y la fuerza magnética sobre una carga en movimiento son perpendiculares a $\vec{v}$, así que ninguna de ellas realiza trabajo. En la figura 2, eso deja solo al peso para cambiar la energía cinética.

Para hallar el trabajo del peso, llama $y$ a la altura de la pelota sobre el suelo en cualquier momento: al principio $y=h$, y al final $y=0$. El peso apunta verticalmente hacia abajo, así que solo cuenta la parte vertical de $\vec{v}$, que es $dy/dt$:
$m\vec{g}\cdot \vec{v}=-mg\frac{dy}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(mgy\right)$
El signo menos aparece porque el peso apunta hacia abajo mientras que $y$ se mide hacia arriba. A lo largo de todo el tobogán, el peso realiza, por tanto, el trabajo $mgh$, que depende solo de la caída y no de la forma de la pista. El teorema da entonces $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$: un tobogán sin rozamiento de cualquier forma entrega la misma rapidez abajo, $v=\sqrt{2gh}$.

Lee la ecuación de la potencia al revés: el ritmo al que crece $E_c$ es exactamente el ritmo al que disminuye $mgy$. Si ninguna otra fuerza realiza trabajo, la suma $\frac{1}{2}m{v}^2+mgy$ permanece, por tanto, constante a lo largo de cualquier trayectoria. La conservación de la energía no es aquí una hipótesis adicional: se sigue de la segunda ley de Newton junto con la forma de la fuerza.

Qué muestra la gráfica de energía

En el nivel Avanzado, la animación representa estas energías frente al tiempo para la pelota que cae en esta lección, de modo que puedes ver la contabilidad de la energía mientras ocurre.

La pelota, de masa $m=2\mathrm{kg}$, se suelta desde el reposo a la altura $h_0=18\mathrm{m}$ y cae libremente. Al cabo de un tiempo $t$, su altura es $h=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$ y su rapidez $v=gt$. Al llevar estas expresiones a $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$ y $E_p=mgh$ se obtiene
$E_c(t)=\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2,E_p(t)=mg{h}_0-\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2$
El coeficiente es $\frac{1}{2}m{g}^2\approx 96,2J/{\mathrm{s}}^2$. La parábola dorada de $E_c$ se abre hacia arriba y la parábola azul de $E_p$ es su imagen especular. En la suma, los términos en $t^2$ se cancelan, así que el total verde permanece plano en $mg{h}_0\approx 353\mathrm{J}$: $dE/dt=0$.

La pendiente de la curva de $E_c$ es la potencia que entrega la gravedad, $d{E}_c/dt=m{g}^{2}t=mgv$, que es $\vec{F}\cdot \vec{v}$ para el peso. Es cero al soltar la pelota, unos 184 W a mitad del tiempo de caída y $2\cdot 9,81\cdot 18,8\approx 369\mathrm{W}$ al llegar al suelo. La caída dura $\sqrt{2h_0/g}\approx 1,92\mathrm{s}$, así que la potencia media es $353/1,92\approx 184\mathrm{W}$: la mitad del valor final, porque $v$ crece en proporción al tiempo. La pendiente de $E_p(t)$ es exactamente la opuesta, que es la forma en que la gráfica dice que $W=-\Delta E_p$.

Representadas frente a la altura en lugar de frente al tiempo, ambas energías serían rectas, $E_p=mgh$ y $E_c=mg(h_0-h)$. Las curvas en el tiempo solo reflejan que la pelota recorre más altura por segundo a medida que gana rapidez.

Fuerzas conservativas y energía potencial

El trabajo del peso dependía solo de dónde empezaba y dónde terminaba la pelota. Las fuerzas con esta propiedad son especiales: su trabajo puede almacenarse y recuperarse, y ese almacén es la energía potencial.

Una fuerza es conservativa si su trabajo de un punto $A$ a un punto $B$ es el mismo por cualquier camino entre ellos. De forma equivalente, su trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo: ve por un camino y vuelve por otro, y las dos contribuciones se cancelan. La gravedad, los muelles ideales y las fuerzas electrostáticas son conservativas. Como su trabajo depende solo de los extremos, puede escribirse como la disminución de una función de la posición, la energía potencial $U$:
$W_{A\to B}=-(U_B-U_A)$
Solo aparecen diferencias de $U$, así que $U$ está definida salvo una constante aditiva: somos libres de elegir dónde vale cero.

Para la gravedad hay, además, un argumento sin nada de dinámica que explica por qué peso por altura es la magnitud que conviene seguir. Imagina máquinas ideales (palancas, poleas) que bajan un peso para subir otro, y llama reversible a una máquina que, al hacerla funcionar hacia atrás, deshace exactamente lo que hizo. Supón que alguna máquina pudiera elevar una carga más alto que una reversible con el mismo descenso del peso motor. Ponla a funcionar hacia delante y la reversible hacia atrás: el peso motor vuelve a donde empezó, pero la carga queda más arriba, a cambio de nada. Repetido, sería un móvil perpetuo, algo que nunca se observa. Así que ninguna máquina supera a una reversible, y todas las máquinas reversibles hacen exactamente lo mismo. Una palanca equilibrada intercambia peso por altura en proporción exacta, de modo que lo que todas ellas mantienen sin cambio es el total de peso por altura.

Cómo leer una gráfica de energía potencial

Una gráfica de $U$ frente a la posición muestra de un vistazo adónde puede ir un cuerpo, dónde da la vuelta y hacia dónde se ve empujado, sin resolver ninguna ecuación del movimiento.

Leyenda

$x$	Posición del cuerpo a lo largo de la recta.	$\mathrm{m}$
$U$	Energía potencial del cuerpo en la posición $x$.	$\mathrm{J}$
$E$	Energía total $E_c+U$: constante, dibujada como línea de nivel.	$\mathrm{J}$
$KE$	Energía cinética $E_c$: el hueco entre el nivel $E$ y la curva $U$.	$\mathrm{J}$
$F$	Fuerza $-dU/dx$ sobre el cuerpo en el punto marcado: apunta cuesta abajo y es mayor donde la pendiente es más empinada. Nula en los dos puntos marcados $F=0$.	$\mathrm{N}$
$x_1$	Punto de retorno izquierdo, donde $U=E$.	$\mathrm{m}$
$x_2$	Punto de retorno derecho, donde $U=E$.	$\mathrm{m}$

La figura 3 representa la energía potencial $U(x)$ de un cuerpo que se mueve a lo largo de una recta, donde $x$ es su posición. La línea horizontal es su energía total $E=E_c+U$, que se mantiene constante mientras solo realicen trabajo fuerzas conservativas. Como $E_c=E-U$, la energía cinética en cada $x$ es la altura del hueco dorado (marcado $KE$ en la figura) entre el nivel $E$ y la curva que queda debajo.

La energía cinética no puede ser negativa, así que el cuerpo solo puede estar donde la curva queda a la altura de $E$ o por debajo. El hueco se cierra en los puntos de retorno $x_1$ y $x_2$, donde $U=E$: allí el cuerpo se detiene un instante y da la vuelta, de modo que va y viene entre ellos como una canica en un cuenco. La colina de la derecha sube por encima de $E$, así que un cuerpo con esta energía no puede superarla.

La gráfica también da la fuerza. Cuando el cuerpo se desplaza $dx$, la fuerza realiza el trabajo $Fdx$, y para una fuerza conservativa ese trabajo es igual a la disminución de energía potencial, $-dU$. Igualando $Fdx=-dU$ se obtiene
$F=-\frac{dU}{dx}$
y en tres dimensiones $\vec{F}=-\nabla U$. Por el signo menos, en cualquier gráfica de $U(x)$ la fuerza apunta cuesta abajo. En la figura 3, la flecha $F$, dibujada en la pendiente entre el fondo del pozo y $x_2$, apunta de vuelta hacia el fondo; donde la curva es más empinada, la fuerza es mayor. Donde la pendiente es cero, la fuerza se anula: en los dos puntos marcados $F=0$.

Esos dos puntos son equilibrios, pero de tipos distintos. El fondo del pozo es un mínimo de $U$: un pequeño desplazamiento hacia cualquier lado encuentra una fuerza que devuelve el cuerpo hacia él, así que el equilibrio es estable. La cima de la colina es un máximo: un pequeño desplazamiento encuentra una fuerza que aleja aún más el cuerpo, así que el equilibrio es inestable. Como comprobación, la energía potencial de un muelle, $U=\frac{1}{2}k{x}^2$, devuelve la ley de Hooke, $F=-kx$.

Rozamiento, calor y el balance completo de energía

No todas las fuerzas son conservativas. El rozamiento es la excepción cotidiana, e incluirlo completa la cuenta de la energía.

El trabajo del rozamiento cinético crece con la longitud del camino y es negativo sea cual sea el sentido en que se deslice el cuerpo, porque el rozamiento siempre se opone al deslizamiento. Un viaje de ida y vuelta deja, por tanto, un trabajo negativo, no nulo, así que ninguna energía potencial puede describirlo. Separa el trabajo neto en la parte que realizan las fuerzas conservativas, que es $-\Delta U$, y el resto, $W_{\mathrm{nc}}$ (no conservativo). El teorema del trabajo y la energía, $\Delta E_c=-\Delta U+W_{\mathrm{nc}}$, se convierte entonces en
$\Delta E_c+\Delta U=W_{\mathrm{nc}}$
El término $W_{\mathrm{nc}}$ recoge el rozamiento y el arrastre, que lo hacen negativo, y también aportaciones positivas como el empuje de un motor o de los músculos.

Veamos el efecto en números. Un bloque de 2 kg soltado desde los 18 m de altura de la animación se desliza por una rampa recta que forma el ángulo $\alpha$ con la horizontal, con coeficiente de rozamiento cinético $\mu =0,2$. La fuerza normal es $mg\cos \alpha$, así que el rozamiento es $\mu mg\cos \alpha$, y actúa a lo largo de toda la rampa, de longitud $h_0/\sin \alpha$. Su producto es el trabajo del rozamiento:
$W_{\mathrm{nc}}=-\mu mg\cos \alpha \cdot \frac{h_0}{\sin \alpha }=-\frac{\mu mg{h}_0}{\tan \alpha }$
En una rampa de $30^{\circ }$ vale $-122\mathrm{J}$, lo que deja $353-122=231\mathrm{J}$ de energía cinética y una rapidez de 15,2 m/s abajo. En una rampa de $60^{\circ }$ es solo $-41\mathrm{J}$, y el bloque llega a 17,7 m/s. Misma caída, caminos distintos, trabajos distintos: la firma de una fuerza no conservativa.

La energía no se destruye. El roce pone en agitación los átomos de ambas superficies, y ese movimiento aleatorio es energía térmica. A escala atómica las fuerzas son conservativas; el rozamiento solo convierte movimiento ordenado en movimiento desordenado. Un bloque que se desliza una distancia $d$ sobre un suelo horizontal, apretado contra él por la fuerza normal $N$, produce $\mu Nd$ de energía térmica. Contándola, la energía se conserva exactamente: es la primera ley de la termodinámica vista desde la mecánica. El calor nunca vuelve por sí solo a concentrarse en el movimiento del bloque, una calle de sentido único que describe la segunda ley de la termodinámica.

Problema resuelto: una pelota que cae sobre un muelle

Este problema reúne la gravedad y un muelle en un mismo balance de energía, y muestra qué fuerza tan grande hace falta para detener en poca distancia un cuerpo que cae.

Leyenda

$m$	Masa de la pelota.	$\mathrm{kg}$
$k$	Constante elástica del muelle.	$N/m$
$h_0$	Altura del punto de suelta sobre el extremo superior del muelle.	$\mathrm{m}$
$x$	Compresión del muelle en el punto más bajo de la caída.	$\mathrm{m}$
$h_0+x$	Distancia total recorrida en la caída, desde que se suelta hasta el punto más bajo.	$\mathrm{m}$

La figura 4 plantea el problema. La pelota de la animación, de masa $m=2\mathrm{kg}$, se suelta desde el reposo a una altura $h_0=18\mathrm{m}$ sobre un muelle ligero de constante $k=5000N/m$, colocado en vertical con su extremo superior a la altura del suelo. ¿Cuánto, $x$, se comprime el muelle cuando la pelota se detiene? A la derecha de la figura, la pelota cae $h_0$ hasta llegar al muelle y luego otros $x$ mientras lo comprime, así que cae $h_0+x$ en total. La figura no está a escala: el valor real de $x$ es unas cincuenta veces menor que $h_0$.

La pelota empieza y termina en reposo, así que $\Delta E_c=0$. Sin pérdidas, todo el trabajo que realiza el peso a lo largo de toda la caída debe acabar almacenado en el muelle: los 353 J originales más el término $mgx$ adicional que se libera al hundirse la pelota por debajo del nivel del suelo. Así pues,
$mg(h_0+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$
Con los números, es una ecuación de segundo grado en $x$, y su raíz positiva es la respuesta:
$2500x^2-19,62x-353,16=0,x\approx 0,380\mathrm{m}$

El término extra cambia la respuesta solo un 1 %: sin él, $x=\sqrt{2\cdot 353/5000}\approx 0,376\mathrm{m}$. La fuerza máxima sobre la pelota, $kx\approx 1900\mathrm{N}$, es unas 97 veces su peso. Las colchonetas y las zonas de deformación de los coches funcionan al revés: absorben la energía a lo largo de una distancia mayor, y el doble de distancia significa la mitad de fuerza media.

El mismo problema puede leerse en una gráfica de energía potencial. Escribe la energía potencial en función de la compresión $x$ en cualquier momento mientras la pelota toca el muelle (la respuesta de arriba es el mayor valor de $x$), con $U=0$ en el extremo superior del muelle:
$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$
El término del muelle crece a medida que se comprime; el término gravitatorio disminuye a medida que la pelota se hunde. El mínimo de $U$, donde $dU/dx=kx-mg=0$, está en $x=mg/k\approx 3,9\mathrm{mm}$: allí la fuerza del muelle equilibra el peso, y la pelota podría quedar en reposo sobre el muelle. El punto más bajo de la caída no es este mínimo, sino el punto de retorno donde $U=E$, como en la figura 3. Sin pérdidas, la pelota rebotaría, saldría del muelle a 18,8 m/s y subiría de nuevo hasta los 18 m.

Límites de validez

Las dos fórmulas de energía de esta lección son aproximaciones, y el propio teorema trata de partículas. Veamos dónde deja de funcionar cada una.

La expresión $mgh$ es la forma, válida cerca de la superficie, de la energía potencial gravitatoria $U=-GMm/r$, donde $M$ es la masa de la Tierra y $r$ la distancia a su centro. Con exactitud, elevar una masa una altura $h$ desde la superficie, que está en el radio $R\approx 6371\mathrm{km}$, cuesta $mghR/(R+h)$. Así que $mgh$ se pasa en una fracción de aproximadamente $h/R$: $3\times 10^{-6}$ para la caída de 18 m, pero un 6 % para una subida hasta los 400 km de altura de la estación espacial. Si se deja crecer $h$ sin límite, se obtiene la energía necesaria para escapar de la Tierra por completo, $mgR$, unos 62,5 MJ por kilogramo, que corresponde a una velocidad de escape de 11,2 km/s.

La expresión $\frac{1}{2}m{v}^2$ es la forma a bajas velocidades de la energía cinética relativista $(\gamma -1)m{c}^2$, donde $c$ es la velocidad de la luz y $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. La primera corrección añade una fracción $\frac{3}{4}{v}^2/c^2$ a la energía: unos $3\times 10^{-15}$ para la pelota a 18,8 m/s, mientras que a la mitad de la velocidad de la luz la fórmula clásica se queda un 19 % corta. La energía también tiene masa: los 353 J de la pelota corresponden a $353/c^2\approx 4\times 10^{-15}\mathrm{kg}$.

El teorema es un enunciado sobre una partícula. Para un cuerpo que gira, se deforma o tiene sus propias reservas de energía, la integral $\int {\vec{F}}_{\mathrm{neta}}\cdot d{\vec{r}}_{\mathrm{cm}}$, tomada a lo largo de la trayectoria del centro de masas, da solo la variación de la energía cinética del movimiento del centro de masas. Cuando saltas, el suelo te empuja hacia arriba, pero el punto donde empuja no se mueve, así que el suelo no realiza trabajo: tu energía cinética procede de la energía química de tus músculos. Una bola maciza que rueda sin deslizar desde 18 m pone dos séptimos de su energía cinética en el giro y llega a 15,9 m/s en lugar de 18,8 m/s. A escala atómica toma el relevo la mecánica cuántica: la energía se sigue conservando, pero las energías de los estados ligados forman niveles discretos, y una partícula puede incluso encontrarse donde $U>E$, algo que la mecánica clásica prohíbe.

Lo que viene después

Emmy Noether demostró en 1918 que la conservación de la energía se deriva de una simetría: las leyes de la física son las mismas hoy que mañana. Dentro de la mecánica, la misma contabilidad recorre otras lecciones: Cantidad de movimiento y choques clasifica los choques según si la energía cinética se conserva, Dinámica de rotación y momento de fuerza añade la energía del giro, y Gravitación y órbitas usa $U=-GMm/r$ para las órbitas y las velocidades de escape. Las lecciones Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación y Movimiento armónico simple se apoyan en $U=\frac{1}{2}k{x}^2$.

Más allá de la mecánica, Campo y potencial eléctricos convierte $U$ en energía por unidad de carga, Principio de Bernoulli aplica el balance de energía a un fluido en movimiento, y Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas hace del calor un miembro de pleno derecho de la cuenta. Relatividad especial sustituye $\frac{1}{2}m{v}^2$ por $(\gamma -1)m{c}^2$, Fisión, fusión y E = mc² pesa la energía almacenada en los núcleos, y Ecuación de Schrödinger y efecto túnel muestra qué ocurre donde el movimiento clásico necesitaría una energía cinética negativa.