Vectores y movimiento relativo

Principiante

Algunas magnitudes quedan descritas con un solo número: una masa de 2 kg, un tiempo de 10 s, una temperatura de 20 °C. Son escalares. Otras necesitan además una dirección: «la estación está a 2 km» no te dice qué calle tomar. La rapidez (lo deprisa que va algo) es un escalar; la velocidad (lo deprisa y hacia dónde) es un vector, como el desplazamiento y la fuerza. Un vector se dibuja como una flecha: su longitud indica el tamaño y su punta, la dirección.

Comprueba: «15 m/s hacia el sur», ¿es una rapidez o una velocidad? (Una velocidad: tiene dirección.)

Para sumar dos vectores, se coloca el origen de la segunda flecha en la punta de la primera; la suma va desde el primer punto hasta el último. Camina 3 m hacia el este y luego 4 m hacia el norte: terminas a 5 m del punto de partida. Has recorrido 7 m, pero tu desplazamiento es la flecha de 5 m.

Las velocidades se suman igual. En una cinta transportadora de aeropuerto caminas a 1 m/s mientras la cinta te lleva a 2 m/s, así que alguien que está al lado te ve pasar a 3 m/s. Camina en sentido contrario a 2 m/s y te quedas a su altura: las dos velocidades se anulan.

Comprueba: caminas a 1,5 m/s hacia la cola de un tren que va a 20 m/s. ¿A qué rapidez pasas junto a una persona en el andén? (18,5 m/s, en el sentido del tren.)

En la animación, una barca cruza un río de 60 m de ancho. El remero apunta directo a la otra orilla, pero el agua arrastra la barca en línea oblicua. Los puntos grises la muestran desviándose 9 m cada 3 segundos, 36 m en total. Aun así, el cruce dura 12 segundos, como en agua quieta: la corriente añade un movimiento lateral, no un retraso.

Intermedio

Escalares, vectores y componentes

Una masa de 2 kg o un tiempo de 12 s quedan completos con un número y una unidad. Estas magnitudes son escalares y se suman como los números corrientes. El desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerza necesitan además una dirección: son vectores. Un vector se escribe con una flecha, $\vec{A}$; su tamaño, el módulo, se escribe $|\vec{A}|$ o simplemente $A$ y nunca es negativo. La rapidez es el módulo del vector velocidad.

Para calcular con un vector, se eligen dos ejes perpendiculares y se proyecta la flecha sobre cada uno. Si $\vec{A}$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $x$, medido hacia el eje $y$, sus componentes y su módulo están relacionados por

• $A_x=A\cos \theta ,A_y=A\sin \theta$
• $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

Las componentes tienen signo: $A_x$ es negativa cuando la flecha apunta hacia $x$ negativo. La segunda línea es el teorema de Pitágoras, y la dirección se recupera con $\tan \theta =A_y/A_x$. En esta lección, $x$ apunta río abajo, a lo largo del río, e $y$ en línea recta a través de él, hacia la orilla opuesta.

Suma y resta de vectores

Para sumar dos vectores, se coloca el origen del segundo en la punta del primero; la suma, o resultante, va desde el origen del primero hasta la punta del último. En componentes la regla es una suma sencilla, eje por eje: si $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$, entonces $C_x=A_x+B_x$ y $C_y=A_y+B_y$, en cualquier orden.

Los módulos solo se suman cuando las flechas son paralelas y de igual sentido. Un paso de 5 m seguido de otro de 3 m da 8 m si los dos van en el mismo sentido, 2 m si van en sentidos opuestos y $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5,83\mathrm{m}$ en ángulo recto; cualquier otro ángulo da algo intermedio. Restar es sumar la flecha invertida, $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$: dibujada desde un punto de partida común, va de la punta de $\vec{B}$ a la punta de $\vec{A}$.

Velocidad relativa: una cadena de sistemas de referencia

Una velocidad se mide siempre respecto a algo. Sea $\vec{v}{}^{\prime }$ la velocidad de la barca respecto al agua, $\vec{u}$ la del agua respecto a la orilla (la corriente) y $\vec{v}$ la de la barca respecto a la orilla. Cada segundo la barca se desplaza $\vec{v}{}^{\prime }$ por el agua mientras el agua la arrastra $\vec{u}$ a lo largo de la orilla, y los dos desplazamientos se suman uno a continuación del otro:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$

Una regla con los subíndices mantiene el orden: ${\vec{v}}_{barca/orilla}={\vec{v}}_{barca/agua}+{\vec{v}}_{agua/orilla}$. Los subíndices interiores coinciden y se cancelan, y queda la barca respecto a la orilla. Intercambiar los dos subíndices invierte la flecha: respecto al agua, la orilla se mueve aguas arriba con $-\vec{u}$.

Con $x$ río abajo e $y$ a través, una barca que apunta directamente a la otra orilla tiene $\vec{v}{}^{\prime }=(0,v^{\prime })$ y la corriente es $\vec{u}=(u,0)$, de modo que $\vec{v}=(u,v^{\prime })$. Las componentes actúan por separado: solo la transversal lleva la barca por un río de anchura $d$, y solo la longitudinal la arrastra río abajo. Su rapidez respecto a la orilla, el tiempo de cruce y la deriva son, por tanto,
$|\vec{v}|=\sqrt{v^{\prime 2}+u^2}$
$t=\frac{d}{v^{\prime }},x=\frac{ud}{v^{\prime }}$

Ejemplo resuelto: la barca de la animación

El remero se mueve a $v^{\prime }=5m/s$ por el agua, la corriente fluye a $u=3m/s$ y el río tiene $d=60\mathrm{m}$ de ancho. La barca apunta directamente a la otra orilla.
$|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5,83m/s$
$t=\frac{60}{5}=12\mathrm{s},x=3\cdot 12=36\mathrm{m}$

La trayectoria forma un ángulo $\phi$ con la perpendicular a las orillas, con $\tan \phi =u/v^{\prime }=3/5$, de modo que $\phi \approx 31^{\circ }$ río abajo. Respecto a la orilla, la barca recorre $\sqrt{60^2+36^2}\approx 70\mathrm{m}$, que es también $5,83\cdot 12$. Son los valores finales de las lecturas: $y=v^{\prime }t$ y $x=ut$ crecen de forma constante y se detienen en 60 m y 36 m cuando $t$ llega a 12 s.

Las flechas que acompañan a la barca dibujan la suma: la $\vec{v}{}^{\prime }$ dorada apunta directamente a la otra orilla, la $\vec{u}$ azul sale de su punta y la $\vec{v}$ verde cierra el triángulo a lo largo de la trayectoria discontinua. Las marcas grises cada 3 s muestran la deriva creciendo 9 m cada vez, hasta 9, 18, 27 y 36 m, mientras la barca avanza 15 m hacia la otra orilla: la trayectoria es recta porque ninguna de las dos componentes cambia.

Ejemplo resuelto: una avioneta con viento cruzado

Una avioneta vuela a 250 km/h respecto al aire hacia un aeródromo situado 360 km al norte, mientras el viento sopla hacia el este a 70 km/h. El aire hace el papel del agua: $v^{\prime }=250km/h$, $u=70km/h$ y $d=360\mathrm{km}$.

Si la piloto se limita a apuntar al norte, la avioneta necesita $360/250=1,44\mathrm{h}$ para recorrer 360 km hacia el norte y, mientras tanto, el viento la desplaza $70\cdot 1,44\approx 101\mathrm{km}$ al este del aeródromo. Para seguir una trayectoria recta hacia el norte debe apuntar en parte contra el viento, de modo que la componente hacia el oeste de $\vec{v}{}^{\prime }$ anule el viento. La velocidad respecto al aire es ahora la hipotenusa:
$\sin \alpha =\frac{u}{v^{\prime }},t=\frac{d}{\sqrt{v^{\prime 2}-u^2}}$

Aquí $\sin \alpha =70/250=0,28$, así que orienta la avioneta $\alpha \approx 16,3^{\circ }$ al oeste del norte. La rapidez respecto al suelo es $\sqrt{250^2-70^2}=240km/h$ y el vuelo dura $360/240=1,5\mathrm{h}$. La corrección cuesta 3,6 minutos y elimina el error de 101 km. Los pilotos llaman a $\alpha$ ángulo de corrección por viento.

Cómo leer el triángulo de velocidades

Todo problema de velocidad relativa es un triángulo de $\vec{v}{}^{\prime }$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$; lo primero es decidir cuál es la hipotenusa. Cuando la barca apunta directamente a la otra orilla, $\vec{v}{}^{\prime }$ y $\vec{u}$ son los catetos y la velocidad respecto a la orilla es la hipotenusa, más larga que cualquiera de ellos: 5,83 m/s. Cuando la barca debe avanzar por la recta perpendicular a las orillas, $\vec{v}$ pasa a ser un cateto y $\vec{v}{}^{\prime }$ la hipotenusa, así que la rapidez útil se reduce a $\sqrt{5^2-3^2}=4m/s$ y el cruce dura 15 s. Eso es lo que hace la segunda barca de la vista experta.

A lo largo del río el triángulo se reduce a una línea: remando río abajo, la barca avanza $5+3=8m/s$ respecto a la orilla, y remando aguas arriba, solo $5-3=2m/s$. Si la corriente fuera más rápida que el remero, $u>v^{\prime }$, ningún rumbo podría mantener la barca sobre la recta que cruza el río en perpendicular.

Errores frecuentes

• Sumar rapideces como simples números. Los 5 m/s del remero y los 3 m/s de la corriente dan 8 m/s solo cuando ambos apuntan río abajo; en ángulo recto dan 5,83 m/s.
• Pensar que la corriente retrasa el cruce. No tiene componente a través del río, así que la barca que apunta directamente a la otra orilla sigue necesitando $60/5=12\mathrm{s}$; la corriente cambia dónde llega, no cuándo.
• Confundir rumbo y trayectoria. La barca apunta según $\vec{v}{}^{\prime }$ pero se mueve según $\vec{v}$, aquí 31° más río abajo: la proa indica el rumbo y la estela discontinua, la trayectoria.
• Intercambiar seno y coseno. El coseno va con el lado contiguo al ángulo: una cuerda que tira con 50 N a 20° por encima de la horizontal da $50\cos 20^{\circ }\approx 47\mathrm{N}$ en horizontal y $50\sin 20^{\circ }\approx 17\mathrm{N}$ en vertical.
• Esperar que una corriente se anule en un viaje de ida y vuelta. Remar 60 m aguas arriba a 2 m/s y volver a 8 m/s lleva $30+7,5=37,5\mathrm{s}$, frente a 24 s en agua quieta: el tramo lento dura más, así que pesa más.

Dónde aparece

Los pilotos y las tripulaciones de los transbordadores corrigen el efecto del viento y de la corriente, y a una bañista atrapada en una corriente de resaca se le aconseja nadar paralela a la playa, a través del flujo. La lluvia que cae en vertical a 6 m/s dibuja en las ventanillas laterales de un coche que va a 18 m/s trazos inclinados unos 72° respecto a la vertical, porque respecto al coche las gotas también se mueven hacia atrás. Las naves espaciales se acoplan igualando su velocidad a la de la estación, no a la de la Tierra.

La misma caja de herramientas reaparece en toda la mecánica. Tiro parabólico divide un lanzamiento en movimientos horizontal y vertical independientes, como los movimientos de la barca a través del río y a lo largo de él; Leyes de Newton trata la fuerza como un vector; y Movimiento circular muestra que una velocidad puede cambiar solo por girar.

Avanzado

Qué hace que una magnitud sea un vector

Un vector suele presentarse como una magnitud con un módulo y una dirección. Es un buen comienzo, pero la prueba exacta es otra: cómo se comportan las componentes de la magnitud cuando se giran los ejes. Esta prueba importa, porque es la razón por la que una ley vectorial puede escribirse en los ejes que quieras.

Leyenda

$\vec{r}$	Un desplazamiento: la misma flecha en los dos dibujos.	$\mathrm{m}$
$x$	Componente de $\vec{r}$ a lo largo del primer eje original.	$\mathrm{m}$
$y$	Componente de $\vec{r}$ a lo largo del segundo eje original.	$\mathrm{m}$
$\bar{x}$	Componente de $\vec{r}$ a lo largo del primer eje girado.	$\mathrm{m}$
$\bar{y}$	Componente de $\vec{r}$ a lo largo del segundo eje girado.	$\mathrm{m}$
$\beta$	Ángulo que han girado los ejes, en sentido antihorario.	$\mathrm{rad}$

La figura 1 dibuja dos veces un mismo desplazamiento $\vec{r}$. A la izquierda, unas perpendiculares discontinuas trazadas desde la punta de $\vec{r}$ llegan a los dos ejes; las distancias desde el origen hasta sus pies son las componentes $x$ e $y$. A la derecha, los ejes han girado en sentido antihorario un ángulo $\beta$, mientras que la flecha $\vec{r}$ no se ha movido. La misma construcción, con perpendiculares a los nuevos ejes, da las nuevas componentes $\bar{x}$ e $\bar{y}$. La flecha existe antes de dibujar ningún eje; sus componentes, no.

Para hallar las nuevas componentes, descompón $\vec{r}$ en sus dos piezas antiguas, $x$ a lo largo del antiguo primer eje e $y$ a lo largo del antiguo segundo eje, y proyecta cada pieza sobre los nuevos ejes. El nuevo primer eje forma el ángulo $\beta$ con el antiguo primer eje y $90^{\circ }-\beta$ con el antiguo segundo, así que las piezas aportan $x\cos \beta$ e $y\sin \beta$. El nuevo segundo eje forma $90^{\circ }+\beta$ con el antiguo primero y $\beta$ con el antiguo segundo, así que las piezas aportan $-x\sin \beta$ e $y\cos \beta$. En total:
$\bar{x}=x\cos \beta +y\sin \beta ,\bar{y}=-x\sin \beta +y\cos \beta$

Esta regla es la verdadera definición. Un vector es cualquier magnitud cuyas componentes cambian con los ejes exactamente como las de un desplazamiento.

La velocidad supera la prueba. Es un desplazamiento $\Delta \vec{r}$ dividido entre el tiempo $\Delta t$, y $\Delta t$ es un escalar, el mismo en cualquier sistema de ejes, así que dividir entre él deja la regla intacta. La aceleración, un cambio de velocidad dividido entre un tiempo, la supera por la misma razón, y también la fuerza. Toma ahora una ecuación vectorial como $\vec{F}=m\vec{a}$ o $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$. Afirma que las componentes de sus dos miembros son iguales. Ambos miembros cambian con la misma regla lineal cuando giran los ejes, así que, si son iguales en unos ejes, lo son en todos. Tomar $x$ a lo largo del río es una comodidad, no física.

Algunas combinaciones de componentes no cambian en absoluto al girar los ejes; se llaman invariantes. La longitud es uno de ellos: si elevas al cuadrado las dos ecuaciones anteriores y las sumas, los términos cruzados se cancelan y ${\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$, de modo que ${\bar{x}}^2+{\bar{y}}^2=x^2+y^2$. Más en general, el producto escalar de dos vectores, $\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y=AB\cos \gamma$, donde $\gamma$ es el ángulo entre las flechas, es el mismo en cualquier sistema de ejes.

Toma la barca de esta lección, que apunta directamente a la otra orilla de un río de 60 m de ancho. Respecto al agua se mueve a $\vec{v}{}^{\prime }=(0,5)m/s$, la corriente es $\vec{u}=(3,0)m/s$, y respecto a la orilla se mueve a $\vec{v}=(3,5)m/s$, de módulo $\sqrt{34}\approx 5,83m/s$. Entonces $\vec{v}{}^{\prime }\cdot \vec{v}=0\cdot 3+5\cdot 5=25{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$, y $\cos \gamma =25/(5\cdot 5,83)\approx 0,857$ da $\gamma \approx 31^{\circ }$. Es el ángulo entre hacia dónde apunta la barca y hacia dónde va de verdad, hallado solo con componentes, sin ningún dibujo. Gira los ejes un ángulo $\beta \approx 59^{\circ }$, de modo que $\bar{x}$ quede a lo largo de la trayectoria, y la velocidad respecto a la orilla se lee $(5,83;0)m/s$: otros números, la misma flecha, la misma longitud.

Así que un módulo y una dirección no bastan del todo. Un giro de un libro de 90° alrededor de algún eje tiene ambas cosas, un eje y un ángulo, y sin embargo dos giros así alrededor de ejes distintos no se suman como vectores: el libro acaba en otra posición si se cambia el orden, mientras que $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$. Solo los giros muy pequeños conmutan, en primer orden en el ángulo. Por eso la velocidad angular, que mide el ritmo de giros muy pequeños, es un vector, y un giro finito no lo es.

Cambio de sistema: la transformación de Galileo

La figura 1 giraba los ejes. El movimiento relativo pregunta qué ocurre cuando los ejes se mueven: ¿cómo se comparan las posiciones, velocidades y aceleraciones medidas desde una plataforma en movimiento con las medidas desde el suelo? La respuesta es la transformación de Galileo, y nos dice en qué magnitudes coinciden todos los observadores.

Leyenda

$S$	Sistema de la orilla: ejes negros en reposo respecto al suelo.
$S^{\prime }$	Sistema del agua: ejes morados, paralelos a los de $S$, que avanzan con la corriente.
$\vec{u}t$	Cuánto se ha desplazado el origen de $S^{\prime }$ en el tiempo $t$.	$\mathrm{m}$
$P$	La barca en el instante $t$.
$\vec{r}{}^{\prime }$	Posición de la barca en el sistema del agua, medida desde el origen de $S^{\prime }$.	$\mathrm{m}$
$\vec{r}$	Posición de la barca en el sistema de la orilla, medida desde el origen de $S$.	$\mathrm{m}$
$\vec{u}$	Velocidad del sistema del agua respecto a la orilla: la corriente.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Velocidad de la barca respecto al agua.	$m/s$
$\vec{v}$	Velocidad de la barca respecto a la orilla.	$m/s$

Un sistema de referencia es un conjunto de ejes junto con un reloj. La figura 2 usa dos. El sistema de la orilla $S$ tiene ejes negros fijos al suelo. El sistema del agua $S^{\prime }$ tiene ejes morados, paralelos a los de $S$, que avanzan con la corriente a la velocidad constante $\vec{u}$. Los dos conjuntos de ejes coinciden en $t=0$, y ambos sistemas leen el mismo reloj, así que $t$ significa lo mismo en los dos.

La parte izquierda de la figura 2 es una instantánea en el instante $t$. El origen de $S^{\prime }$ ha sido arrastrado una distancia $\vec{u}t$ a lo largo del río: con la corriente de 3 m/s, 36 m río abajo al cabo de 12 s. La barca, en el punto $P$, salió del origen común apuntando directamente a la otra orilla. En el sistema del agua está en $\vec{r}{}^{\prime }$ desde el origen de $S^{\prime }$, 60 m en línea recta hacia arriba por el eje morado. En el sistema de la orilla está en $\vec{r}$ desde el origen de $S$. Las tres flechas forman un triángulo: ir del origen de $S$ directamente a $P$ es lo mismo que ir primero al origen de $S^{\prime }$ y luego seguir hasta $P$. Así, un punto situado en $\vec{r}{}^{\prime }$ en $S^{\prime }$ está, en $S$, en
$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$

Derivemos respecto a $t$. Como $\vec{u}$ es constante, $d(\vec{u}t)/dt=\vec{u}$, y las velocidades se suman:
$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$
Para la barca, que se mueve uniformemente desde el origen común, cada lado del triángulo de la izquierda es $t$ por una velocidad, así que dividir cada lado entre $t$ da el triángulo de velocidades de la derecha de la figura 2. Derivemos una vez más. La constante $\vec{u}$ tiene derivada nula, así que desaparece por completo:
$\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }$

Las velocidades dependen del observador; las aceleraciones, no. Las masas y las fuerzas también coinciden, así que si $\vec{F}=m\vec{a}$ vale en $S$, vale en $S^{\prime }$. Un sistema en el que se cumplen las leyes de Newton se llama inercial. El resultado dice que cualquier sistema que se mueve con velocidad constante respecto a un sistema inercial es también inercial, y que ningún experimento mecánico realizado por completo en su interior puede revelar ese movimiento. Es el principio de relatividad de la mecánica. Galileo lo ilustró con la cabina de un barco que navega sin sacudidas: las gotas que caen de una botella bajan en vertical, igual que en el puerto.

La transformación es también una herramienta: resuelve el problema en el sistema donde es más sencillo y luego suma $\vec{u}$. En el sistema del agua, el río es un lago quieto. La barca va directamente a la otra orilla a 5 m/s y tarda $60/5=12\mathrm{s}$, mientras la orilla se desliza aguas arriba a 3 m/s. Los 36 m de deriva son simplemente el tramo de orilla que pasa por delante durante el cruce. El mismo triángulo de velocidades inclina la luz de las estrellas. La Tierra orbita alrededor del Sol a 30 km/s, así que la luz, que llega con rapidez $c$, parece venir de una dirección girada hasta $v/c\approx 10^{-4}\mathrm{rad}$, unos 20 segundos de arco. Es la aberración de la luz, que descubrió James Bradley en la década de 1720.

Todos los rumbos a la vez: el diagrama de velocidades

El remero solo elige el rumbo; la corriente viene dada. ¿Qué velocidades respecto a la orilla puede alcanzar la barca, y qué rumbo es el mejor para cada objetivo? Un solo dibujo, el diagrama de velocidades, lo responde para todos los rumbos a la vez. Aquí está dibujado para $u<v^{\prime }$, como la corriente de 3 m/s y el remero de 5 m/s de la lección.

Leyenda

$x$	Eje a lo largo del río, hacia río abajo.
$y$	Eje perpendicular al río, hacia la otra orilla.
$O$	Punto de partida del diagrama, donde empiezan $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
$\vec{u}$	Velocidad de la corriente, trazada desde $O$.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Velocidad de la barca respecto al agua: su longitud es siempre $v^{\prime }$, así que su punta se queda en la circunferencia.	$m/s$
$\vec{v}$	Velocidad de la barca respecto a la orilla, $\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$.	$m/s$
$\theta$	Rumbo: cuánto se desvía $\vec{v}{}^{\prime }$ aguas arriba respecto a la perpendicular a las orillas (la vertical discontinua).	$\mathrm{rad}$

Construye la figura 3 en tres pasos. Primero, traza la corriente $\vec{u}$ desde un punto $O$. Después, coloca en la punta de $\vec{u}$ la velocidad de la barca respecto al agua, $\vec{v}{}^{\prime }$. Su longitud está fijada en $v^{\prime }$, pero el remero puede orientarla hacia donde quiera, así que su punta puede estar en cualquier punto de la circunferencia discontinua de radio $v^{\prime }$ centrada en la punta de $\vec{u}$. Por último, la velocidad respecto a la orilla $\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}{}^{\prime }$ va de $O$ a ese punto de la circunferencia.

La figura muestra un solo rumbo. La vertical discontinua que pasa por la punta de $\vec{u}$ es la dirección perpendicular a las orillas, y $\vec{v}{}^{\prime }$ se inclina hacia su izquierda, aguas arriba, un ángulo $\theta$. Fíjate ahora en dónde está $O$. Como $u<v^{\prime }$, $O$ queda dentro de la circunferencia, así que una recta que sale de $O$ en cualquier dirección corta la circunferencia: cualquier dirección de $\vec{v}$ es posible, incluida la perpendicular a las orillas. La parte superior de la circunferencia da la mayor componente transversal, la propia $v^{\prime }$, y por tanto el cruce más rápido.

Para pasar del dibujo a los números, usa los ejes de la esquina de la figura: $x$ río abajo e $y$ a través del río, hacia la otra orilla. Inclinarse aguas arriba significa apuntar hacia las $x$ negativas, así que
$\vec{v}{}^{\prime }=(-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta ),\vec{v}=(u-v^{\prime }\sin \theta ,v^{\prime }\cos \theta )$
Solo la componente transversal $v^{\prime }\cos \theta$ lleva la barca a través de la anchura $d$, de modo que es la que fija el tiempo de cruce. Durante ese tiempo, la componente a lo largo del río arrastra la barca río abajo una deriva $x$:
$t(\theta )=\frac{d}{v^{\prime }\cos \theta },x(\theta )=\frac{(u-v^{\prime }\sin \theta )d}{v^{\prime }\cos \theta }$

El cruce más rápido se da con $\theta =0$, donde $\cos \theta$ es máximo, sea cual sea la corriente: $60/5=12\mathrm{s}$, con $3\cdot 12=36\mathrm{m}$ de deriva. La deriva se anula cuando la parte de $\vec{v}{}^{\prime }$ dirigida aguas arriba compensa la corriente, $v^{\prime }\sin \theta =u$. Llamemos $\alpha$ a ese rumbo: $\sin \alpha =u/v^{\prime }=0,6$, así que $\alpha \approx 36,9^{\circ }$. Entonces $\cos \alpha =0,8$, la velocidad respecto a la orilla es $\vec{v}=(0,4)m/s$, un triángulo 3–4–5, y el cruce dura $60/4=15\mathrm{s}$. Los rumbos intermedios cambian tiempo por deriva. Con $\theta =20^{\circ }$ la barca cruza en $60/(5\cos 20^{\circ })\approx 12,8\mathrm{s}$ y llega $(3-5\sin 20^{\circ })\cdot 12,8\approx 16,5\mathrm{m}$ río abajo. Es el rumbo dibujado a escala en la figura 3.

La gráfica del nivel Avanzado de la animación muestra solo el movimiento transversal. Cada $y(t)$ es una recta cuya pendiente es la velocidad transversal de esa barca: 5 m/s para la que apunta directamente a la otra orilla, que alcanza la recta discontinua $y=d$ a los 12 s, y 4 m/s para la barca morada que se orienta 36,9° aguas arriba, que llega a los 15 s. La gráfica no puede mostrar la deriva. En la otra orilla, la primera barca llega 36 m río abajo y la segunda, exactamente enfrente de su salida.

Cuando la corriente no es uniforme

Hasta ahora la corriente era la misma en todas partes. Un río real corre más deprisa por el centro y casi se detiene junto a las orillas. ¿Cambia eso el punto de llegada? Sorprendentemente poco, y merece la pena ver por qué.

Toma el perfil $u(y)=4u_{\mathrm{m}}(y/d)(1-y/d)$. Es nulo en las dos orillas, $y=0$ e $y=d$, y alcanza su valor máximo $u_{\mathrm{m}}$ en el centro, $y=d/2$; toma $u_{\mathrm{m}}=4,5m/s$. Una barca que apunta directamente a la otra orilla sigue teniendo la velocidad transversal $v^{\prime }$, porque la corriente solo empuja a lo largo del río. Así que $y=v^{\prime }t$, y sigue cruzando en 12 s. A lo largo del río, su velocidad es la corriente local, $dx/dt=u(y)$. Como $y$ crece de forma constante, es más fácil seguir la barca por $y$ que por $t$: con $dt=dy/v^{\prime }$, cada paso a través del río añade $dx=u(y)dy/v^{\prime }$, y al sumar los pasos en toda la anchura resulta
$x=\frac{1}{v^{\prime }}{\int }_0^{d}u(y)dy=\frac{\bar{u}d}{v^{\prime }}$
donde $\bar{u}$ es la corriente promediada en la anchura.

Para esta parábola la media es $\bar{u}=\frac{2}{3}{u}_{\mathrm{m}}=3m/s$, así que la barca vuelve a llegar 36 m río abajo. Su trayectoria, sin embargo, es ahora una curva. En las orillas la corriente es nula, así que la barca sale y llega moviéndose en perpendicular a ellas; en el centro es donde más se inclina, un ángulo $\phi$ respecto a la perpendicular con $\tan \phi =4,5/5$, unos 42°. La deriva la decide solo la corriente promediada en la anchura.

Lo mismo vale con un rumbo fijo. La barca que se orienta 36,9° aguas arriba se mueve respecto al agua a 3 m/s aguas arriba y a 4 m/s a través del río. Cerca de las orillas la corriente es menor que 3 m/s y la barca gana terreno aguas arriba; en el centro es mayor y lo pierde. Como la media es exactamente 3 m/s, la barca sigue llegando exactamente enfrente a los 15 s, pero por el camino se desvía 4,3 m aguas arriba cerca de la primera orilla y 4,3 m río abajo cerca de la segunda. Para mantener la línea recta todo el camino, el rumbo tendría que ir girando de modo que $v^{\prime }\sin \theta =u(y)$ en cada punto. Eso exige hasta 64° en el centro, donde $\sin \theta =0,9$, y la menor velocidad transversal hace que el cruce dure unos 17,9 s.

Problema resuelto: un río en crecida

Tras unas lluvias intensas la corriente sube hasta $u=6,25m/s$, más rápida que los 5 m/s del remero. ¿Puede la barca llegar todavía justo enfrente de su salida? Si no, ¿qué rumbo la acerca más, y cuánto tiempo cuesta?

Leyenda

$x$	Eje a lo largo del río, hacia río abajo.
$y$	Eje perpendicular al río, hacia la otra orilla.
$O$	Punto de partida del diagrama, donde empiezan $\vec{u}$ y $\vec{v}$.
$\vec{u}$	Velocidad de la corriente en crecida, trazada desde $O$.	$m/s$
$\vec{v}{}^{\prime }$	Velocidad de la barca respecto al agua con el mejor rumbo; su punta es donde la tangente toca la circunferencia.	$m/s$
$\vec{v}$	Velocidad de la barca respecto a la orilla, a lo largo de la tangente: la dirección de menor deriva.	$m/s$
$\theta$	Mejor rumbo: ángulo entre $\vec{v}{}^{\prime }$ y la perpendicular a las orillas (la vertical discontinua).	$\mathrm{rad}$

La figura 4 es el diagrama de velocidades de la figura 3, redibujado para la crecida. La flecha $\vec{u}$ es ahora más larga que el radio de la circunferencia, 5 m/s, así que $O$ queda fuera de la circunferencia. Por tanto, toda flecha $\vec{v}$ que va de $O$ a la circunferencia apunta en parte río abajo: llegar enfrente es imposible. La fórmula lo confirma, pues exigiría $\sin \theta =u/v^{\prime }=6,25/5=1,25$. Apuntar directamente a la otra orilla sigue dando el cruce más rápido, 12 s, pero con $6,25\cdot 12=75\mathrm{m}$ de deriva.

¿Qué rumbo da la menor deriva? La barca se mueve a lo largo de $\vec{v}$, y la deriva es $d$ por la tangente del ángulo entre $\vec{v}$ y la perpendicular a las orillas. Así que la mejor $\vec{v}$ es la que más se inclina aguas arriba sin dejar de llegar a la circunferencia: la tangente desde $O$ a la circunferencia, dibujada en la figura 4. El cálculo lo confirma. Derivando $x(\theta )$ con la regla del cociente y usando ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$:
$\frac{dx}{d\theta }=\frac{u\sin \theta -v^{\prime }}{v^{\prime }{\cos }^2\theta }d=0\Rightarrow \sin \theta =\frac{v^{\prime }}{u}=0,8$

Así, la barca se orienta $\theta \approx 53,1^{\circ }$ aguas arriba, el ángulo marcado en la figura 4, y $\cos \theta =0,6$. Su rapidez transversal es $5\cdot 0,6=3m/s$ y su rapidez río abajo, $6,25-5\cdot 0,8=2,25m/s$. El cruce dura $60/3=20\mathrm{s}$, y la deriva es $2,25\cdot 20=45\mathrm{m}$. En general, $x_{\min }=d\sqrt{u^2-v^{\prime 2}}/v^{\prime }$.

El ángulo recto marcado en la figura 4 no es casualidad. Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto, y aquí el radio es $\vec{v}{}^{\prime }$, así que la mejor $\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{v}{}^{\prime }$. El producto escalar lo comprueba: con $\vec{v}{}^{\prime }=(-4,3)m/s$ y $\vec{v}=(2,25;3)m/s$, $(-4)(2,25)+3\cdot 3=0$. Frente a apuntar directamente a la otra orilla, orientarse aguas arriba ahorra 30 m de deriva y cuesta 8 s.

El sistema del agua da una comprobación independiente. Allí la barca se mueve a 5 m/s en la dirección de su rumbo durante 20 s, un desplazamiento $\vec{r}{}^{\prime }=(-80,60)\mathrm{m}$, mientras el agua arrastra todo $6,25\cdot 20=125\mathrm{m}$ río abajo. Entonces $\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$ da el punto de llegada $(45,60)\mathrm{m}$, como antes.

Límites de validez

La regla $\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$ se apoya en dos supuestos: el sistema móvil mantiene una velocidad constante sin girar, y todos los observadores comparten un mismo reloj y una misma regla. Cada uno falla en algún sitio, y conviene saber dónde.

Supón que el sistema $S^{\prime }$ acelera con $\vec{A}$ respecto a $S$. La transformación gana un término $\frac{1}{2}\vec{A}{t}^2$, y al derivar dos veces resulta $\vec{a}=\vec{a}{}^{\prime }+\vec{A}$: los observadores ya no coinciden en las aceleraciones. En un tren que frena a 2 m/s², una pelota soltada no tiene aceleración horizontal respecto al suelo, así que respecto al tren se desvía hacia delante a 2 m/s², como si la empujara una fuerza que nadie ejerce. Estas fuerzas aparentes se llaman fuerzas ficticias o de inercia. Un sistema en rotación añade otras dos, ligadas a las aceleraciones centrífuga y de Coriolis.

La Tierra es un sistema en rotación de este tipo, pero gira despacio, $\Omega \approx 7,29\times 10^{-5}rad/s$. Para la barca a 5,83 m/s a una latitud de 45°, la aceleración lateral de Coriolis $2\Omega v\sin 45^{\circ }$ es de unos $6\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$. Durante los 12 s del cruce desplaza la barca $\frac{1}{2}\cdot 6\times 10^{-4}\cdot 12^2\approx 4\mathrm{cm}$. Para las corrientes oceánicas y las tormentas, que duran días y abarcan miles de kilómetros, es decisiva.

Más a fondo, la cinemática de Galileo supone un solo reloj para todos los observadores y longitudes en las que todos coinciden. La luz no se ajusta a ella: su rapidez es $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ en todos los sistemas inerciales. La relatividad especial sustituye la suma de velocidades a lo largo de una misma recta por
$v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}$
que nunca supera $c$. Una sonda lanzada hacia delante a $0,6c$ desde una nave que se mueve a $0,6c$ viaja a $1,2c/1,36\approx 0,88c$, no a $1,2c$. Para la barca, la corrección es del orden de $v^{\prime }u/c^2\approx 1,7\times 10^{-16}$, muy por debajo de cualquier medida: la suma galileana es el límite de baja velocidad de la ley relativista.

Lo que viene después

En la lección Tiro parabólico, un lanzamiento se descompone en un movimiento horizontal uniforme y otro vertical uniformemente acelerado, independientes entre sí como los movimientos de la barca a lo largo del río y a través de él. En Leyes de Newton, $\vec{F}=m\vec{a}$ se escribe como una ley vectorial que vale en los sistemas inerciales vistos aquí. En Movimiento circular se halla la aceleración de un cuerpo que gira con rapidez constante restando vectores velocidad, y en Trabajo, energía y potencia se usa el producto escalar, $W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$. En Cantidad de movimiento y choques se pasa a menudo al sistema del centro de masas con este mismo desplazamiento galileano, y en El sonido y el efecto Doppler todo depende de las velocidades de la fuente y del oyente respecto al aire.

Queda una pregunta abierta. En la lección Fuerza magnética sobre cargas en movimiento aparece una velocidad, $q\vec{v}\times \vec{B}$: ¿respecto a qué sistema? La respuesta está en la lección Relatividad especial: una vez que se renuncia al reloj común, los campos eléctrico y magnético se mezclan al pasar de un sistema a otro.