Cantidad de movimiento y choques

Principiante

¿Por qué cuesta tanto frenar un carro de supermercado lleno de botellas, aunque vaya despacio, mientras que una pelota de ping-pong rápida se atrapa sin esfuerzo? Cuatro pasos.

Paso 1. Multiplica la masa de un objeto por su velocidad y obtendrás su cantidad de movimiento, que se mide en kilogramos por metro por segundo. Como la velocidad, tiene dirección. Un objeto pesado y lento y uno ligero y rápido pueden llevar la misma: un carrito de 4 kg a 1 m/s tiene tanta como uno de 1 kg a 4 m/s.

Paso 2. Para cambiar la cantidad de movimiento hay que empujar durante cierto tiempo, y cuanto más dura el empujón, más suave puede ser. Por eso doblamos las rodillas al saltar desde un muro: la frenada dura más y la fuerza que recibes es menor.

Paso 3. En un choque, los dos objetos se empujan con la misma fuerza, en sentidos opuestos y exactamente durante el mismo tiempo. Así, lo que pierde uno lo gana el otro, y el total no cambia mientras no intervenga nada de fuera, como el rozamiento o una pared. Es la conservación de la cantidad de movimiento.

Paso 4. La animación muestra el mismo choque dos veces: un carrito ligero y rápido golpea a uno pesado en reposo. Con un parachoques de muelle, el ligero rebota y el pesado se aleja; con una almohadilla adhesiva, siguen juntos, más despacio. La cantidad de movimiento total es la misma en los dos casos. Solo cambia la energía del movimiento: el rebote elástico la conserva y el choque adhesivo convierte parte de ella en calor, ruido y abolladuras.

Comprueba lo aprendido: un petardo en reposo estalla en dos mitades iguales. Una sale hacia el este. ¿Qué hace la otra? (Sale hacia el oeste con la misma rapidez, así que el total sigue siendo cero.)

Intermedio

Cantidad de movimiento: masa por velocidad

La cantidad de movimiento de un cuerpo es su masa multiplicada por su velocidad:
$p=mv$

Se mide en kilogramos metro por segundo (kg·m/s). La cantidad de movimiento tiene dirección y sentido: elige un sentido positivo a lo largo del carril, y todo lo que se mueva en el sentido contrario tendrá cantidad de movimiento negativa. Masa y rapidez pueden compensarse: el carrito de 1 kg de la animación, que llega a 4 m/s, lleva $1\cdot 4=4\mathrm{kg}\cdot m/s$, tanto como llevarían los dos carritos juntos, 4 kg, a 1 m/s.

La cantidad de movimiento no es la energía cinética. $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ no tiene dirección y crece con el cuadrado de la rapidez: el carrito de 1 kg a 4 m/s tiene 8 J, pero esos mismos 4 kg·m/s, llevados por 4 kg a 1 m/s, son solo 2 J.

El impulso y la gráfica fuerza–tiempo

Una fuerza cambia la cantidad de movimiento, y el cambio depende de cuánto tiempo actúa. Para una fuerza constante, la segunda ley de Newton, $F=ma=m\Delta v/\Delta t$, se convierte en $F\Delta t=\Delta p$. El producto $F\Delta t$ es el impulso $J$, en newton segundos (1 N·s = 1 kg·m/s); cuando la fuerza varía, el impulso es el área bajo la gráfica fuerza–tiempo.

Una misma área puede ser alta y estrecha, o baja y ancha. Una persona de 70 kg que salta desde 1 m de altura toca el suelo a unos 4,4 m/s, así que el suelo tiene que quitarle unos 310 kg·m/s. Si cae con las piernas rígidas, el cuerpo se detiene en unos 0,02 s, lo que exige una fuerza neta media cercana a 15 kN, más de 20 veces su peso; si flexiona las rodillas, la frenada se alarga hasta 0,3 s y la fuerza baja a cerca de 1 kN.

Por qué se conserva la cantidad de movimiento total

Cuando dos carritos chocan, cada uno empuja al otro. Por la tercera ley de Newton, las dos fuerzas son iguales y opuestas en cada instante, y actúan durante el mismo tiempo, el que dura el contacto. Sus gráficas fuerza–tiempo son imagen especular una de otra, así que los impulsos son iguales y opuestos: toda la cantidad de movimiento que gana el carrito 2 la pierde el carrito 1. El total es el mismo antes y después:
$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$

Las primas marcan las velocidades posteriores al choque, y cada velocidad conserva su signo. A la ley le da igual que las fuerzas entre los carritos provengan de un muelle, de un adhesivo o de una explosión. Solo exige que ninguna fuerza externa actúe a lo largo del carril, o que las fuerzas externas sean demasiado débiles o breves para importar: un rozamiento de rodadura de 0,3 N que actúe durante los 0,16 s del contacto cambia la cantidad de movimiento en unos 0,05 kg·m/s, cerca del 1 % del total.

Choques elásticos e inelásticos

La conservación de la cantidad de movimiento es una sola ecuación, pero un choque frontal tiene dos velocidades finales desconocidas; la segunda condición se refiere a la energía cinética. En un choque elástico se conserva, como con bolas de acero o parachoques de muelle. En un choque inelástico, parte de ella se convierte en calor, sonido y deformación. En un choque perfectamente inelástico, los cuerpos quedan pegados y comparten una misma velocidad.

Para estos dos casos hay fórmulas directas para las velocidades finales; las del choque elástico suponen que el cuerpo 2 parte del reposo.

• $v^{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}$
• $v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$

La primera solo necesita la conservación de la cantidad de movimiento; la segunda usa las dos leyes, e implica que los cuerpos elásticos se separan con la misma rapidez con la que se acercaban. Masas iguales intercambian sus velocidades, como en el péndulo de Newton. Un cuerpo ligero que choca con otro mucho más pesado rebota casi con toda su rapidez, igual que una pelota contra una pared; un cuerpo pesado que choca con uno ligero apenas se frena, y el ligero sale despedido a casi $2v_1$.

Ejemplo resuelto: los dos carriles de la animación

Los dos carriles empiezan igual: $m_1=1\mathrm{kg}$ llega a $v_1=4m/s$ y $m_2=3\mathrm{kg}$ espera en reposo. La cantidad de movimiento total es $1\cdot 4=4\mathrm{kg}\cdot m/s$ y la energía cinética, $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4^2=8\mathrm{J}$.

En el carril B, la almohadilla adhesiva une los carritos, que pasan a compartir una misma velocidad:
$v^{\prime }=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{1+3}=1m/s$
Su energía cinética es ahora $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{J}$: 6 J se han ido en calor y en aplastar la almohadilla. En el carril A, el parachoques de muelle hace que el choque sea elástico:
$v_1^{\prime }=\frac{(1-3)\cdot 4}{1+3}=-2m/s$
$v_2^{\prime }=\frac{2\cdot 1\cdot 4}{1+3}=2m/s$
Comprobación: $1\cdot (-2)+3\cdot 2=4\mathrm{kg}\cdot m/s$ y $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2^2=8\mathrm{J}$. Los carritos se acercaban a 4 m/s y se separan a $2-(-2)=4m/s$.

Fíjate en las flechas. La flecha azul $p_1$ empieza midiendo 4 unidades, una por cada kg·m/s; en el carril B se encoge hasta 1, y en el A se encoge hasta cero y reaparece apuntando a la izquierda, con 2 unidades. La flecha dorada $p_2$ crece hasta 3 unidades en B y hasta 6 en A. Puestas una a continuación de la otra, siempre suman 4 unidades, y las dos lecturas marcan $p_1+p_2=4,0\mathrm{kg}\cdot m/s$ todo el tiempo, incluso durante el contacto. El rebote exige el doble de impulso: en los mismos 0,16 s, el carrito 2 gana 6 kg·m/s en A, con una fuerza media de $6/0,16=37,5\mathrm{N}$, pero solo 3 kg·m/s en B, con 18,75 N.

Ejemplo resuelto: un choque por alcance

Un coche de 1500 kg que circula a 20 m/s alcanza por detrás a otro de 1000 kg que va en el mismo sentido a 10 m/s, y quedan enganchados. Durante los 0,1 s que dura el choque, el rozamiento con la carretera es despreciable, así que la cantidad de movimiento se conserva:
$v^{\prime }=\frac{1500\cdot 20+1000\cdot 10}{1500+1000}=16m/s$

La energía cinética baja de $\frac{1}{2}\cdot 1500\cdot 20^2+\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot 10^2=350\mathrm{kJ}$ a $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 16^2=320\mathrm{kJ}$: 30 kJ se van en chapa arrugada.

Supón ahora que el coche pequeño viene en sentido contrario, a $v_2=-10m/s$. Los restos se mueven a $(1500\cdot 20-1000\cdot 10)/2500=8m/s$ y conservan solo $\frac{1}{2}\cdot 2500\cdot 8^2=80\mathrm{kJ}$: se pierden 270 kJ, nueve veces más, porque los coches se acercan a 30 m/s en lugar de a 10 m/s. Los dos soportan la misma fuerza media de 180 kN, pero la velocidad del coche pequeño cambia en 18 m/s en 0,1 s, una deceleración de unas 18 veces la aceleración de la gravedad, y la del grande solo en 12 m/s.

Errores frecuentes

• Olvidar el signo. En el carril A, el carrito pequeño rebota a $-2m/s$; si se tomara esa velocidad como positiva, las cantidades de movimiento sumarían $2+6=8\mathrm{kg}\cdot m/s$ en lugar de 4.
• Creer que un choque adhesivo destruye cantidad de movimiento. Los carritos unidos del carril B siguen llevando 4 kg·m/s; lo que desaparece es energía cinética, 6 de los 8 J.
• Pensar que el cuerpo más pesado o más rápido empuja con más fuerza. Las fuerzas son iguales y opuestas, 37,5 N sobre cada carrito en el carril A; el carrito más ligero simplemente cambia más su velocidad, en 6 m/s frente a 2 m/s.
• Ignorar una fuerza externa que sigue actuando. Una pelota de 0,5 kg que cae durante 1 s gana unos 4,9 kg·m/s porque la gravedad tira de ella; solo la pelota y la Tierra juntas mantienen constante el total. Deja siempre dentro del sistema a los dos cuerpos que chocan.
• Usar las fórmulas del choque elástico para cualquier choque. Suponen que no se pierde energía cinética y que el blanco está en reposo; en el carril B predecirían $-2$ y $+2m/s$ en lugar de la velocidad común de 1 m/s.

Dónde aparece

Los airbags, los cascos y las zonas de deformación programada alargan los choques para que el mismo cambio de cantidad de movimiento requiera una fuerza menor. Las armas retroceden: un fusil de 4 kg que dispara una bala de 10 g a 800 m/s retrocede a $0,01\cdot 800/4=2m/s$. Los cohetes lanzan gases hacia atrás para avanzar, sin aire en el que apoyarse. A continuación, la lección Trabajo, energía y potencia sigue la pista a la energía cinética que los choques conservan o pierden, y la lección El momento angular y su conservación aplica la misma idea a los cuerpos que giran.

Avanzado

La segunda ley en forma de cantidad de movimiento

Esta sección reescribe la segunda ley de Newton en términos de la cantidad de movimiento. Es la forma que se puede generalizar: sirve para impactos cuya fuerza nadie puede medir, para sistemas de muchos cuerpos y, más adelante en la lección, para cohetes.

La forma general de la segunda ley no es $F=ma$, sino $\vec{F}=d\vec{p}/dt$, con $\vec{p}=m\vec{v}$: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual al ritmo con que cambia su cantidad de movimiento. Con masa constante, las dos formas coinciden, porque la masa puede salir de la derivada: $d(m\vec{v})/dt=md\vec{v}/dt=m\vec{a}$. La forma con la cantidad de movimiento es además la que sobrevive más allá de la mecánica newtoniana: en la relatividad especial, $\gamma m\vec{v}$ sustituye a $m\vec{v}$, y en el electromagnetismo los propios campos llevan cantidad de movimiento.

Multiplica los dos miembros por $dt$ y suma a lo largo de todo el contacto, desde el instante en que empieza hasta el instante en que acaba. El miembro de la izquierda se convierte en el impulso $\vec{J}$, y el de la derecha en el cambio total de la cantidad de movimiento. Es el teorema del impulso y la cantidad de movimiento:
$\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$

Su valor está en lo que no necesita. La fuerza durante un impacto sube y baja en una fracción de segundo y rara vez se conoce en detalle; sin embargo, solo su integral decide el movimiento posterior. Una pelota de golf de 46 g sale del palo a 70 m/s tras unos 0,5 ms de contacto. Su cantidad de movimiento cambia en $0,046\cdot 70\approx 3,2\mathrm{kg}\cdot m/s$, así que la fuerza media es $0,046\cdot 70/0,0005\approx 6400\mathrm{N}$, sea cual sea la forma del pulso. Como el teorema es una ecuación vectorial, vale para cada componente por separado: un impulso horizontal solo cambia $p_x$ y deja $p_y$ como estaba.

Las fuerzas internas se anulan por pares

¿Por qué la cantidad de movimiento total de dos carritos que chocan sigue siendo la misma, por mucho que se empujen? Porque cada empujón viene acompañado de otro igual y de sentido contrario. En la animación, un carrito 1 de 1 kg llega a 4 m/s y choca con un carrito 2 de 3 kg en reposo; en el carril A se encuentran a través de un parachoques de muelle, y en el carril B a través de una almohadilla adhesiva. La figura 1 muestra el carril A durante el contacto; la demostración general viene después.

Leyenda

$t$	Tiempo, el mismo eje para las tres gráficas.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Duración del contacto.	$\mathrm{s}$
$F$	Fuerza del parachoques sobre el carrito 2; el carrito 1 recibe $-F$. Aquí es constante y es la pendiente de la rampa de $p_2$.	$\mathrm{N}$
$p$	Cantidad de movimiento a lo largo del carril: el eje vertical de la gráfica central.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$p_1$	Cantidad de movimiento del carrito 1: de 4 a $-2$ durante el contacto.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$p_2$	Cantidad de movimiento del carrito 2: de 0 a 6 durante el contacto.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$P$	Cantidad de movimiento total $p_1+p_2$ (discontinua): plana en 4 todo el tiempo.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$K$	Energía cinética total de los dos carritos.	$\mathrm{J}$
$A$	Carril A, parachoques de muelle: $K$ baja a 2 J a mitad del contacto y luego vuelve a 8 J.
$B$	Carril B, almohadilla adhesiva (discontinua): $K$ cae a 2 J y ahí se queda.

La figura 1 sigue el contacto, que dura $\Delta t$; el eje del tiempo $t$ está estirado para que el contacto ocupe el centro de la imagen. Léela de arriba abajo. La franja superior es la fuerza: el parachoques empuja el carrito 2 hacia delante con $F$ y el carrito 1 hacia atrás con $-F$. Por la tercera ley, las dos son iguales y opuestas en cada instante. En esta figura, además, la fuerza es constante mientras dura el contacto.

La gráfica central muestra las cantidades de movimiento. Como $dp/dt$ es igual a la fuerza, la pendiente de cada gráfica de cantidad de movimiento es la fuerza sobre ese carrito, y una fuerza constante dibuja una rampa recta. La cantidad $p_2$ sube con pendiente $F$ de 0 a 6, y $p_1$ baja con pendiente $-F$ de 4 a $-2\mathrm{kg}\cdot m/s$: el carrito 1 rebota. El carrito 2 gana 6 kg·m/s en $\Delta t=0,16\mathrm{s}$, así que $F=6/0,16=37,5\mathrm{N}$. Fíjate ahora en la línea discontinua $P=p_1+p_2$. Las dos rampas son imagen especular una de otra, de modo que lo que gana un carrito lo pierde el otro en el mismo instante, y $P$ se mantiene en 4 kg·m/s durante todo el choque, no solo antes y después. La vista experta de la animación representa las mismas curvas.

La línea plana no depende de que la fuerza sea constante. Un muelle real empuja más cuanto más se comprime, y eso curva las rampas en forma de S; siguen siendo imagen especular una de otra, y su suma sigue siendo plana.

La misma contabilidad funciona para cualquier número de cuerpos. La fuerza sobre el cuerpo $i$ es la suma de las fuerzas ${\vec{F}}_{ij}$ que ejerce sobre él cada uno de los demás cuerpos $j$ del sistema (fuerzas internas) y de lo que actúa desde fuera (fuerzas externas). Suma $d{\vec{p}}_i/dt$ para todos los cuerpos. Cada par interno aparece dos veces en la suma, una como ${\vec{F}}_{ij}$ y otra como ${\vec{F}}_{ji}$, y la tercera ley hace que ${\vec{F}}_{ij}+{\vec{F}}_{ji}=0$. Solo sobreviven las fuerzas externas. Llamando $\vec{P}$ a la cantidad de movimiento total, $M$ a la masa total, ${\vec{v}}_{\mathrm{cm}}$ a la velocidad del centro de masas y ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$ a la suma de todas las fuerzas externas, se obtiene:
$\frac{d\vec{P}}{dt}={\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$
$\vec{P}={\sum }_i{m}_i{\vec{v}}_i=M{\vec{v}}_{\mathrm{cm}}$
La segunda línea es la definición del centro de masas, ${\vec{r}}_{\mathrm{cm}}={\sum }_i{m}_i{\vec{r}}_i/M$, derivada una vez.

Así que la cantidad de movimiento total solo cambia por las fuerzas externas, y el centro de masas se mueve como una sola partícula de masa $M$ empujada por su suma. Si ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}=0$, $\vec{P}$ es constante, por complicadas que sean las fuerzas internas. Si solo se anula una componente de ${\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$, por ejemplo la horizontal cuando la gravedad actúa en vertical, esa componente de $\vec{P}$ se sigue conservando.

La energía cinética se oculta, la cantidad de movimiento no

La gráfica inferior de la figura 1 muestra la energía cinética total $K$ de los dos carritos, que se comporta de forma muy distinta a $P$. En el carril A, $K$ baja durante el contacto, hasta 2 J en el instante en que los dos carritos se mueven a 1 m/s, y luego vuelve a subir a 8 J cuando el parachoques los separa. Los 6 J que faltan no se perdieron: durante un momento estuvieron almacenados en el muelle comprimido del parachoques. En el carril B, con la almohadilla adhesiva, $K$ cae a 2 J y ahí se queda (línea discontinua): los 6 J se han ido en deformar y calentar la almohadilla.

El carril B necesita además menos fuerza. La pareja sale junta a 1 m/s, así que el carrito 2 solo gana $3\cdot 1=3\mathrm{kg}\cdot m/s$, y en los mismos 0,16 s la fuerza media es $3/0,16=18,75\mathrm{N}$, la mitad que en el carril A. Las dos gráficas juntas transmiten el mensaje principal: la energía puede quedar guardada dentro de los cuerpos, como energía del muelle o como calor, pero la cantidad de movimiento no tiene dónde esconderse, y su balance cuadra en cada instante.

La conservación a partir de la simetría

La conservación de la cantidad de movimiento también se puede deducir sin la tercera ley, a partir de dos afirmaciones sobre la simetría. Esto importa porque la tercera ley no es exacta (consulta Límites de validez, más abajo), mientras que nunca se ha visto fallar la conservación de la cantidad de movimiento; el argumento de simetría muestra de dónde sale realmente la ley.

Leyenda

$S$	Sistema de referencia del suelo (fila superior).
$S^{\prime }$	Sistema de un coche que acompaña a la bola de la derecha, a $-v$ respecto al suelo (fila inferior).
$m$	Masa de cada una de las dos bolas idénticas; pegadas, tienen $2m$.	$\mathrm{kg}$
$v$	Rapidez de cada bola en $S$; $+v$ es el desplazamiento de todas las velocidades de $S$ a $S^{\prime }$. Todas las flechas tienen la misma escala, así que $2v$ mide el doble que $v$.	$m/s$

La figura 2 muestra un mismo choque visto desde dos sistemas de referencia, antes a la izquierda y después a la derecha. La primera hipótesis es la simetría especular. En la fila superior, en el sistema $S$ del suelo, dos bolas idénticas de masa $m$ se acercan a $v$ y $-v$ y quedan pegadas. Nada en esta situación prefiere la izquierda a la derecha, así que la pareja pegada, de masa $2m$, no puede moverse hacia ningún lado: se queda en reposo.

La segunda hipótesis es la relatividad de Galileo: un observador que se mueve a velocidad constante encuentra las mismas leyes de la física, con todas las velocidades desplazadas en la misma cantidad. Toma como $S^{\prime }$ el sistema de un coche que acompaña a la bola de la derecha, que se mueve a $-v$ respecto al suelo. Vista desde ese coche, cada velocidad es mayor en $v$, como indica la flecha $+v$ entre las filas. De ahí sale la fila inferior: la bola de la derecha está en reposo, la de la izquierda llega a $2v$ y la pareja, que estaba quieta en $S$, sale a $v$.

Así, una masa $m$ a $2v$ que choca con otra igual en reposo da $2m$ a $v$, y la fila inferior cuadra: $m\cdot 2v=2m\cdot v$. Las velocidades por sí solas no cuadran ($2v$ antes, $v$ después), ni tampoco la energía cinética ($2m{v}^2$ antes, $m{v}^2$ después); lo que cuadra es el producto de la masa por la velocidad. Si se construyen cuerpos de otras masas con unidades iguales y se repite el mismo cambio de sistema, el resultado se extiende a cualquier pareja de masas, y la magnitud que siempre sale igual es $\sum mv$.

El argumento también funciona al revés. Cualquier choque entre dos cuerpos, visto desde el sistema que se mueve con el centro de masas, tiene cantidad de movimiento total nula: los cuerpos llegan con cantidades de movimiento iguales y opuestas, como en la fila superior. Para los carritos de la animación, ese sistema se mueve a 1 m/s. En él, el carrito 1 aporta $+3$ y el carrito 2, $-3\mathrm{kg}\cdot m/s$, y en el carril B la pareja pegada simplemente se detiene.

El enunciado general es el teorema de Noether (1918): toda simetría continua de las leyes de la física lleva asociada una magnitud conservada. Si las leyes son las mismas en todas partes, de modo que trasladar todo el montaje a otro lugar no cambia nada (el espacio es homogéneo), se conserva la cantidad de movimiento. La invariancia frente a desplazamientos en el tiempo da la conservación de la energía, y la invariancia frente a giros, la del momento angular. Como se apoya en una simetría y no en la tercera ley, la conservación de la cantidad de movimiento se cumple incluso donde falla la tercera ley.

La energía en el sistema del centro de masas

¿Cuánta energía cinética puede quitar un choque y cuáles son las velocidades finales? Las dos preguntas se vuelven sencillas en el sistema que se mueve con el centro de masas. Esta sección divide la energía cinética en una parte que ningún choque puede tocar y otra que sí, y halla las velocidades finales sin resolver una ecuación de segundo grado.

Leyenda

$v$	Velocidad: las posiciones sobre el eje son velocidades.	$m/s$
$V$	Velocidad del centro de masas (línea discontinua), escrita $v_{\mathrm{cm}}$ en las ecuaciones.	$m/s$
$m_1$	Masa del carrito 1 (un bloque de ancho).	$\mathrm{kg}$
$m_2$	Masa del carrito 2 (tres bloques de ancho).	$\mathrm{kg}$
$v_1$	Velocidad del carrito 1 antes del choque.	$m/s$
$v_2$	Velocidad del carrito 2 antes del choque.	$m/s$
$u_1$	Velocidad del carrito 1 respecto al centro de masas, $v_1-V$.	$m/s$
$u_2$	Velocidad del carrito 2 respecto al centro de masas, $v_2-V$.	$m/s$
$v_1^{\prime }$	Velocidad del carrito 1 después del choque.	$m/s$
$v_2^{\prime }$	Velocidad del carrito 2 después del choque.	$m/s$
$u_1^{\prime }$	Velocidad del carrito 1 respecto al centro de masas después del choque: $-e{u}_1$, aquí $-u_1$.	$m/s$
$u_2^{\prime }$	Velocidad del carrito 2 respecto al centro de masas después del choque: $-e{u}_2$, aquí $-u_2$.	$m/s$

La figura 3 coloca las velocidades de los carritos de la animación sobre un mismo eje $v$: el carrito 1, $m_1=1\mathrm{kg}$, a $v_1=4m/s$, y el carrito 2, $m_2=3\mathrm{kg}$, a $v_2=0$; la anchura de cada bloque indica su masa. La línea discontinua marca la velocidad del centro de masas, llamada $V$ en la figura y $v_{\mathrm{cm}}$ en las ecuaciones:
$v_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{1\cdot 4+3\cdot 0}{4}=1m/s$

Medidas desde la línea discontinua, las velocidades de los carritos son $u_1=v_1-v_{\mathrm{cm}}=+3m/s$ y $u_2=v_2-v_{\mathrm{cm}}=-1m/s$: son las dos flechas de la fila superior. En este sistema la cantidad de movimiento total es nula, $m_1{u}_1+m_2{u}_2=1\cdot 3+3\cdot (-1)=0$, así que las flechas son inversamente proporcionales a las masas, y el carrito pesado está tres veces más cerca de $V$ que el ligero.

Un choque no puede mover la línea discontinua, porque las fuerzas internas no cambian la cantidad de movimiento total ni, con ella, $v_{\mathrm{cm}}$. Solo puede cambiar $u_1$ y $u_2$, y después del choque deben seguir cumpliendo $m_1{u}_1^{\prime }+m_2{u}_2^{\prime }=0$. Por tanto, las dos se multiplican por el mismo factor. Los carritos se separan en vez de atravesarse, así que el factor es negativo o nulo, y lo escribimos como $-e$:
$u_i^{\prime }=-e{u}_i$
El número $e$ es el coeficiente de restitución. Como $u_1-u_2=v_1-v_2=v_{\mathrm{rel}}$, la velocidad relativa, también se puede escribir como $e=-v_{\mathrm{rel}}^{\prime }/v_{\mathrm{rel}}$: la fracción del movimiento relativo que sobrevive al choque, desde 1 en un choque elástico hasta 0 en uno adhesivo.

La fila inferior de la figura 3 es el caso elástico, $e=1$: $u_1^{\prime }$ y $u_2^{\prime }$ son las flechas de antes dadas la vuelta, así que las velocidades finales $v_1^{\prime }$ y $v_2^{\prime }$ son las imágenes especulares de $v_1$ y $v_2$ respecto a la línea discontinua. Para volver al sistema del carril, suma de nuevo $v_{\mathrm{cm}}$:
$v_i^{\prime }=v_{\mathrm{cm}}+u_i^{\prime }=v_{\mathrm{cm}}-e(v_i-v_{\mathrm{cm}})$
$v_i^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_i$
Para $e=1$ esto da $v_1^{\prime }=2\cdot 1-4=-2m/s$ y $v_2^{\prime }=2\cdot 1-0=+2m/s$, el resultado del carril A. Un $e$ menor acorta las dos flechas por el mismo factor; con $e=0$ desaparecen, y los dos carritos salen juntos a $V$, como en el carril B.

Ahora, la energía cinética. Sustituye $v_i=v_{\mathrm{cm}}+u_i$ en $K={\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$ y desarrolla el cuadrado:
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{cm}}^2+v_{\mathrm{cm}}{\sum }_i{m}_i{u}_i+{\sum }_i\frac{1}{2}{m}_i{u}_i^2$
El término central es nulo, porque ${\sum }_i{m}_i{u}_i=0$. Lo que queda es
$K=\frac{1}{2}M{v}_{\mathrm{cm}}^2+K_{\mathrm{rel}}$
con $M=m_1+m_2$. El primer término es la energía del centro de masas, y ninguna fuerza interna puede cambiarla, porque la cantidad de movimiento fija $v_{\mathrm{cm}}$. El segundo, $K_{\mathrm{rel}}$, es la energía del movimiento relativo al centro de masas, y un choque solo actúa sobre él. Para dos cuerpos, solo depende de la velocidad relativa. De $m_1{u}_1+m_2{u}_2=0$ y $u_1-u_2=v_{\mathrm{rel}}$ se deduce $u_1=m_2{v}_{\mathrm{rel}}/M$ y $u_2=-m_1{v}_{\mathrm{rel}}/M$; entonces $\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{m}_2(m_2+m_1)v_{\mathrm{rel}}^2/M^2$, que se simplifica en
$K_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{rel}}^2,\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$
donde $\mu$ se llama masa reducida.

Como $K_{\mathrm{rel}}$ es proporcional a $v_{\mathrm{rel}}^2$, un choque la multiplica por $e^2$. Para la animación, $M=4\mathrm{kg}$, $v_{\mathrm{cm}}=1m/s$, $\mu =0,75\mathrm{kg}$ y $v_{\mathrm{rel}}=4m/s$. Los 8 J se reparten, por tanto, en $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\mathrm{J}$ que ningún choque puede tocar y $\frac{1}{2}\cdot 0,75\cdot 4^2=6\mathrm{J}$ de movimiento relativo. Un parachoques elástico devuelve los 6 J completos. Quedar pegados ($e=0$) elimina los 6 J, la mayor pérdida que permite la conservación de la cantidad de movimiento, y los 2 J restantes son lo que conserva el carril B.

Problema resuelto: un parachoques semielástico

Equipa los carritos con un parachoques de $e=0,5$: mismas masas, y el carrito 1 vuelve a llegar a 4 m/s contra el carrito 2 en reposo. Halla (a) las velocidades finales, (b) la energía cinética perdida, (c) la fuerza media si el contacto sigue durando 0,16 s y (d) el valor de $e$ que deja el carrito 1 en reposo.

(a) El centro de masas sigue moviéndose a $v_{\mathrm{cm}}=1m/s$, y $1+e=1,5$:
$v_1^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_1=1,5\cdot 1-0,5\cdot 4=-0,5m/s$
$v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}-e{v}_2=1,5\cdot 1-0=1,5m/s$
El carrito 1 rebota despacio. Comprobación de la cantidad de movimiento: $1\cdot (-0,5)+3\cdot 1,5=4\mathrm{kg}\cdot m/s$, como antes.

(b) Los 2 J del centro de masas se quedan, y los 6 J de movimiento relativo se multiplican por $e^2=0,25$: $K=2+0,25\cdot 6=3,5\mathrm{J}$, así que se pierden $8-3,5=4,5\mathrm{J}$. Directamente: $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,5^2+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1,5^2=0,125+3,375=3,5\mathrm{J}$.

(c) El carrito 2 gana $3\cdot 1,5=4,5\mathrm{kg}\cdot m/s$. Con $v_2=0$, la fórmula da $v_2^{\prime }=(1+e)v_{\mathrm{cm}}$, así que esto es $(1+e)$ veces los 3 kg·m/s del caso adhesivo. En 0,16 s, eso exige una fuerza media de $4,5/0,16\approx 28\mathrm{N}$, entre los 18,75 N del carril B ($e=0$) y los 37,5 N del carril A ($e=1$).

(d) El carrito 1 se detiene cuando $v_1^{\prime }=0$, es decir, cuando $(1+e)v_{\mathrm{cm}}=e{v}_1$, o $1+e=4e$, luego $e=1/3$. El carrito 2 se lleva entonces los 4 kg·m/s, a $4/3\approx 1,33m/s$, y $K=2+6/9\approx 2,67\mathrm{J}$. En general, con el blanco en reposo, el cuerpo incidente se detiene cuando $e=m_1/m_2$. Por eso, que el cuerpo incidente se pare en seco solo indica un choque elástico cuando las masas son iguales; aquí hace falta un parachoques que pierda bastante energía.

Choques oblicuos

En dos o tres dimensiones, la conservación de la cantidad de movimiento es una ecuación por componente. Para dos cuerpos en un plano, la cantidad de movimiento da dos ecuaciones y la energía, si el choque es elástico, una tercera, pero las dos velocidades finales tienen cuatro componentes. El dato que falta es la geometría del impacto: un choque que no es frontal tiene que decidir las direcciones además de las rapideces.

Leyenda

$m$	Masa de cada una de las dos bolas idénticas.	$\mathrm{kg}$
$b$	Parámetro de impacto: distancia entre la trayectoria de la bola 1 y la paralela que pasa por el centro de la bola 2.	$\mathrm{m}$
${\vec{v}}_1$	Velocidad de la bola 1 antes del choque; la bola 2 está en reposo.	$m/s$
${\vec{v}}_1^{\prime }$	Velocidad de la bola 1 después del choque, perpendicular a la línea de centros.	$m/s$
${\vec{v}}_2^{\prime }$	Velocidad de la bola 2 después del choque, a lo largo de la línea de centros.	$m/s$

La figura 4 muestra un choque elástico descentrado entre dos bolas idénticas de masa $m$, con la bola 2 en reposo. La bola 1 llega con velocidad ${\vec{v}}_1$ por una trayectoria que pasa a una distancia $b$ del centro de la bola 2 (el parámetro de impacto). Por eso, en el momento del contacto, la recta que une los dos centros está inclinada respecto a la trayectoria. Para bolas lisas y sin giro, la fuerza de contacto actúa a lo largo de esta línea de centros, y nada actúa perpendicularmente a ella.

Descompón cada velocidad en una componente a lo largo de la línea de centros y otra perpendicular a ella. En la dirección perpendicular no hay fuerza, así que esas componentes no cambian. A lo largo de la línea, el choque es un choque frontal elástico entre masas iguales, que intercambia las dos velocidades: la bola 1 cede a la bola 2 toda su componente a lo largo de la línea. Así, la bola 2 sale a lo largo de la línea de centros con ${\vec{v}}_2^{\prime }$, y la bola 1 conserva solo su componente perpendicular a la línea, ${\vec{v}}_1^{\prime }$, que es perpendicular a ${\vec{v}}_2^{\prime }$. Si las bolas tienen radio $R$, la línea de centros forma con la trayectoria de llegada un ángulo $\phi$ tal que $\sin \phi =b/(2R)$, y las rapideces después del choque son $v_2^{\prime }=v_1\cos \phi$ y $v_1^{\prime }=v_1\sin \phi$. Un golpe de frente ($b=0$) se lo pasa todo a la bola 2; un roce ($b$ cercano a $2R$) deja la bola 1 casi sin alterar.

El triángulo de la derecha llega al ángulo recto sin ninguna geometría del contacto. La conservación de la cantidad de movimiento, una vez simplificadas las masas iguales, da ${\vec{v}}_1={\vec{v}}_1^{\prime }+{\vec{v}}_2^{\prime }$: las tres velocidades cierran un triángulo. La conservación de la energía da $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}$. Al elevar al cuadrado la primera ecuación se obtiene $v_1^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}+2{\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }$, y al compararla con la segunda queda ${\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }=0$. Los dos catetos se cortan en ángulo recto: tras un choque elástico oblicuo entre masas iguales, con una de ellas en reposo, las bolas salen en ángulo recto entre sí (en un golpe de frente, la bola 1 simplemente se para). Una bola de billar golpeada sin efecto casi lo cumple, y lo mismo hacen las trazas de protones lentos que chocan con protones en reposo.

Cohetes y masa variable

Un cohete cambia su propia masa a medida que quema combustible, así que no se le puede aplicar directamente $\vec{F}=m\vec{a}$. El camino seguro es la conservación de la cantidad de movimiento para el cohete junto con los gases que expulsa.

Toma un cohete de masa $m$ que se mueve a $v$, lejos de otras fuerzas, y que expulsa gases hacia atrás a una rapidez $w$ respecto a sí mismo. En un tiempo breve $dt$, su masa cambia en $dm$ (una cantidad negativa), su velocidad en $dv$, y una masa $-dm$ de gases sale con velocidad $v-w$. La cantidad de movimiento antes y después debe coincidir:
$mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-w)$
Al desarrollar los productos, $mv$ aparece en los dos lados, los dos términos $vdm$ se cancelan, y el producto $dmdv$ de dos cambios pequeños es despreciable. Queda $mdv=-wdm$. Dividiendo por $m$ e integrando desde la masa inicial $m_0$ hasta la masa final $m_f$ se obtiene
$\Delta v=w\ln \frac{m_0}{m_f}$

Solo importan la rapidez de expulsión y el cociente de masas, y este solo entra a través de un logaritmo. Con $w=3km/s$ y nueve décimas partes de la masa de lanzamiento en forma de propergol, $m_0/m_f=10$ y $\Delta v=3\ln 10\approx 6,9km/s$. Eso se queda corto frente a los 7,8 km/s de una órbita baja, incluso antes de descontar las pérdidas por la gravedad y por la resistencia del aire. Soltar los depósitos vacíos por el camino reduce la masa que queda por acelerar, y por eso los cohetes se construyen por etapas.

Límites de validez

La cantidad de movimiento newtoniana $mv$ es una aproximación, válida para velocidades muy inferiores a la de la luz, $c\approx 3,00\times 10^{8}m/s$. La magnitud que realmente se conserva es $\gamma mv$, con $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. A $0,6c$, $\gamma =1,25$, así que la verdadera cantidad de movimiento ya es un 25 % mayor que $mv$, y en los choques de partículas la energía cinética puede incluso convertirse en la masa de partículas nuevas. Para los carritos a 4 m/s, la corrección es del orden de $v^2/c^2\approx 2\times 10^{-16}$.

Tampoco la tercera ley es exacta. Dos cargas que se mueven perpendicularmente entre sí ejercen una sobre otra fuerzas magnéticas que no son iguales y opuestas, así que su cantidad de movimiento mecánica conjunta cambia. El total solo cuadra si se cuenta también la cantidad de movimiento almacenada en el campo electromagnético. La propia luz lleva cantidad de movimiento, $p=E/c$ para una luz de energía $E$. La luz solar por encima de la atmósfera aporta 1361 W/m²; sobre una lámina que la absorbe, eso da una presión de $1361/(3,00\times 10^8)\approx 4,5\times 10^{-6}N/{\mathrm{m}}^2$, unos 4,5 µN en cada metro cuadrado, suficiente para gobernar una vela solar.

En mecánica cuántica, la cantidad de movimiento está ligada a la longitud de onda, $p=h/\lambda$, y su conservación se ha cumplido en todas las interacciones observadas. Incluso ha predicho partículas. En la desintegración beta, el electrón emitido parecía violar la conservación de la energía, porque su energía variaba de una desintegración a otra. En 1930, Pauli propuso que una partícula neutra, sin detectar, se llevaba la diferencia. Medidas posteriores del núcleo en retroceso mostraron que también se lleva cantidad de movimiento: el electrón y el núcleo no salían despedidos con cantidades de movimiento iguales y opuestas. El neutrino se detectó en 1956.

Lo que viene después

La invariancia frente a rotaciones lleva a la lección El momento angular y su conservación, y la forma rotacional de la segunda ley, a Dinámica de rotación y momento de fuerza. El lado energético de los choques está en Trabajo, energía y potencia. La presión de un gas es la cantidad de movimiento que innumerables impactos moleculares entregan a cada metro cuadrado de las paredes cada segundo, como muestra Teoría cinética de los gases, y $\gamma mv$, junto con la conversión de energía en masa, pertenece a Relatividad especial. En Partículas y fuerzas: el modelo estándar, el balance de cantidad de movimiento y energía revela partículas que no dejan huella.