Auftrieb und archimedisches Prinzip

Einsteiger

Tauchst du auf den Grund eines Schwimmbeckens, spürst du das Wasser auf deinen Ohren drücken. Wasser drückt auf alles, was in ihm ist, von allen Seiten, und je tiefer du kommst, desto stärker drückt es, denn das Wasser unter dir trägt das ganze Wasser über dir.

Stell dir jetzt einen Klotz unter Wasser vor. Seine Unterseite liegt tiefer als seine Oberseite, also drückt das Wasser unten stärker nach oben, als es oben nach unten drückt. Der Unterschied ist eine Kraft nach oben: die Auftriebskraft.

Wie stark ist sie? Stell dir einen dünnen Plastikbeutel vor, der mit Wasser gefüllt im Becken hängt. Er sinkt nicht und steigt nicht, also muss das umgebende Wasser genau sein Gewicht tragen. Ersetzt du den Beutel durch einen Stein gleicher Form, merkt das Wasser keinen Unterschied und drückt genauso stark. Das ist das archimedische Prinzip: Die Auftriebskraft entspricht dem Gewicht der Flüssigkeit, die der Körper verdrängt. Jeder verdrängte Liter ergibt etwa 9,8 N Auftrieb, deshalb wiegt ein Körper unter Wasser nur noch sein Gewicht minus diesen Schub.

Ein Körper, der mehr wiegt als das Wasser, das er verdrängen kann, sinkt. Einer, der weniger wiegt, schwimmt und sinkt gerade so weit ein, dass das verdrängte Wasser genauso viel wiegt wie er. In der Animation wippt der Holzklotz und kommt zur Ruhe, wenn er zu 60 % unter Wasser liegt, sobald der „Wasser drückt nach oben“-Pfeil genauso lang ist wie der Gewichtspfeil. Auch Luft ist ein Fluid: Ein Heißluftballon steigt auf, weil er weniger wiegt als die Luft, die er verdrängt.

Kontrollfrage: Ein Stein mit 3 Litern Volumen liegt am Grund eines Sees. Wie viel leichter fühlt er sich an, wenn du ihn unter Wasser hochhebst? Antwort: um das Gewicht von 3 Litern Wasser, also etwa 29 N.

Mittelstufe

Was Dichte und Druck messen

Ob etwas schwimmt, entscheidet die Dichte, also die Masse pro Volumen:
$\rho =\frac{m}{V}$

Sie wird in kg/m³ gemessen. Süßwasser hat 1000 kg/m³, ein Liter hat also eine Masse von 1 kg; Eis hat 920 kg/m³ und Stahl etwa 7850 kg/m³. Bei einem hohlen oder aus mehreren Stoffen bestehenden Körper ist $\rho$ die mittlere Dichte: die Gesamtmasse, geteilt durch das ganze Volumen innerhalb seiner äußeren Oberfläche.

Druck ist Kraft pro Fläche, gemessen in Pascal ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$). Eine ruhende Flüssigkeit drückt senkrecht auf jede Fläche, und zwar mit der Tiefe stärker, weil jede Schicht das Gewicht der Flüssigkeit darüber trägt:
$p=p_0+\rho gh$

Dabei ist $p_0$ der Druck an der Oberfläche, etwa 101 kPa, und $h$ die Tiefe. Wasser fügt etwa 9,8 kPa pro Meter hinzu, wie in „Druck in Flüssigkeiten und das pascalsche Prinzip“ gezeigt wird.

Woher die Auftriebskraft kommt

Nimm einen Quader der Höhe $H$ mit waagerechter Ober- und Unterseite der Fläche $A$, ganz unter Wasser. Seine Unterseite liegt um $H$ tiefer, also ist der Druck dort um $\rho gH$ höher, und der Druck nach oben auf die Unterseite übertrifft den Druck nach unten auf die Oberseite:
$F_{\mathrm{up}}-F_{\mathrm{down}}=\rho gHA=\rho gV$

Die Seitenkräfte heben sich paarweise auf, und $p_0$ sowie die Tiefe des Quaders fallen heraus: Die Nettokraft zeigt nach oben, entspricht dem Gewicht des verdrängten Wassers und ist in jeder Tiefe gleich groß.

Bei jeder anderen Form stell dir vor, der Platz des Körpers wäre mit Wasser gefüllt. Dieses Wasserpaket bleibt in Ruhe, also hält das umgebende Wasser es mit genau seinem Gewicht, ohne dass es darauf ankommt, was innerhalb dieser Oberfläche liegt. Das ist das archimedische Prinzip: Ein Körper in einer Flüssigkeit wird mit einer Auftriebskraft nach oben gedrückt, die dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit entspricht,
$F_b={\rho }_{\mathrm{fluid}}{V}_{\mathrm{sub}}g$

Dabei nimmt man die Dichte der Flüssigkeit, nicht die des Körpers, und nur das Volumen $V_{\mathrm{sub}}$ unterhalb der Oberfläche.

Sinken, schwimmen oder schweben

Vollständig eingetaucht gilt $V_{\mathrm{sub}}=V$: Dem Gewicht ${\rho }_{\mathrm{object}}Vg$ steht ein Schub ${\rho }_{\mathrm{fluid}}Vg$ gegenüber, also zählen nur die beiden Dichten.

• Ist ${\rho }_{\mathrm{object}}>{\rho }_{\mathrm{fluid}}$, setzt sich das Gewicht in jeder Tiefe durch, und der Körper sinkt, egal wie groß er ist.
• Ist ${\rho }_{\mathrm{object}}<{\rho }_{\mathrm{fluid}}$, gewinnt der Schub, und der Körper steigt, bis ein Teil von ihm herausragt.
• Sind die beiden Dichten gleich, schwebt der Körper in jeder Tiefe, wie ein Fisch oder ein gut austariertes U-Boot.

Ein schwimmender Körper sinkt nur so weit ein, bis die verdrängte Flüssigkeit so viel wiegt wie er, ${\rho }_{\mathrm{fluid}}{V}_{\mathrm{sub}}g={\rho }_{\mathrm{object}}Vg$. Der Anteil unter der Oberfläche ist daher das Verhältnis der Dichten:
$\frac{V_{\mathrm{sub}}}{V}=\frac{{\rho }_{\mathrm{object}}}{{\rho }_{\mathrm{fluid}}}$

Eis liegt in Süßwasser zu 92 % unter Wasser. In Meerwasser mit etwa 1025 kg/m³ liegt bei einem Eisberg $920/1025\approx 0,90$ seines Volumens unter Wasser: Nur ein Zehntel ist sichtbar.

Durchgerechnetes Beispiel: der Klotz aus der Animation

In den Beschriftungen ist $h$ nicht eine Tiefe, sondern die Höhe des Klotzes, 0,5 m. Der Querschnitt ist $A=0,7\mathrm{m}\times 0,1\mathrm{m}=0,07{\mathrm{m}}^2$, also $V=0,035{\mathrm{m}}^3$, und ${\rho }_b=600kg/{\mathrm{m}}^3$ ist die Dichte des Holzes (${\rho }_w$ ist die des Wassers). Masse und Gewicht sind
$m={\rho }_{b}V=600\cdot 0,035=21\mathrm{kg},mg=21\cdot 9,81\approx 206\mathrm{N}$
das ist der grüne Pfeil $mg$. Vollständig unter Wasser würde der Klotz mit $1000\cdot 0,035\cdot 9,81\approx 343\mathrm{N}$ nach oben gedrückt, mehr als sein Gewicht, deshalb schwimmt er.

Im Gleichgewicht gilt $F_b=mg$, also $V_{\mathrm{sub}}=206/(1000\cdot 9,81)=0,021{\mathrm{m}}^3$, und die eingetauchte Tiefe ist $d=V_{\mathrm{sub}}/A=0,30\mathrm{m}=0,6h$: das Verhältnis $600/1000$ der Schwimmregel, auf Höhe der gestrichelten Linie. Der Druck stimmt überein: Die Unterseite, 0,30 m tief, erfährt $1000\cdot 9,81\cdot 0,30\approx 2943\mathrm{Pa}$ mehr als die Oberseite, und $2943\cdot 0,07\approx 206\mathrm{N}$.

Die Anzeigen folgen $F_b={\rho }_{w}gAd$: 6,9 N mehr für jeden Zentimeter Tiefe. Aus 5 cm über dem Wasser losgelassen, trifft der Klotz mit etwa 1 m/s auf und taucht über die Gleichgewichtslage hinaus ein; er bleibt etwa eine Viertelsekunde ganz unter Wasser. Dabei erreicht $d$ 50 cm und $F_b$ seinen Höchstwert von 343 N, der den Klotz wieder nach oben wirft. Nach einigen kleiner werdenden Schwingungen zeigen die Anzeigen am Ende $d\approx 30\mathrm{cm}$ und ein $F_b$ innerhalb weniger Newton von 206 N.

Durchgerechnetes Beispiel: einen Stein im Wasser wiegen

Ein Stein an einer Federwaage zeigt 24,5 N in Luft und 14,7 N, wenn er ganz unter Wasser ist. Wie groß sind sein Volumen und seine Dichte?

Unter Wasser zeigt die Waage das scheinbare Gewicht, also das wahre Gewicht minus die Auftriebskraft. Daher $F_b=24,5-14,7=9,8\mathrm{N}$, das Gewicht des verdrängten Wassers:
$V=\frac{F_b}{{\rho }_{\mathrm{fluid}}g}=\frac{9,8}{1000\cdot 9,81}\approx 1,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$
also ein Liter. Die Masse ist $24,5/9,81\approx 2,5\mathrm{kg}$, also $\rho =m/V\approx 2500kg/{\mathrm{m}}^3$, typisch für Gestein. Noch schneller geht es: Das Gewicht geteilt durch den Verlust im Wasser, $24,5/9,8=2,5$, ist die Dichte bezogen auf Wasser.

Der Legende nach prüfte Archimedes die Krone eines Königs anhand des verdrängten Wassers. Reines Gold (19 300 kg/m³) verliert bei gleichem Gewicht im Wasser nur 1,3 N; wird Gold mit leichterem Silber gemischt, verrät es sich, weil es mehr verliert.

Die Pfeile und die gestrichelte Linie lesen

Der grüne Pfeil $mg$ behält seine Länge, während der rote Pfeil $F_b$ mit der eingetauchten Tiefe wächst. Liegt die Unterseite des Klotzes oberhalb der gestrichelten Linie, ist der rote Pfeil kürzer und die Nettokraft zeigt nach unten; darunter zeigt sie nach oben. Jeder Zentimeter Abstand zur Linie ergibt 6,9 N Rückstellkraft, so wie es eine Feder mit der Steifigkeit 687 N/m täte. Der Klotz schwingt über die Linie hinaus, weil er dort noch in Bewegung ist, und der Wasserwiderstand verkleinert jede Schwingung.

Im Diagramm von Druck gegen Tiefe steigt eine Gerade von $p_0$ aus um $\rho g$ pro Meter. Der Unterschied zwischen den beiden Flächen eines eingetauchten Körpers, $\rho gH$, ist überall gleich groß.

Häufige Fehler

• Die Dichte des Körpers in $F_b$ verwenden: Für den Klotz ergibt das $600\cdot 0,021\cdot 9,81\approx 124\mathrm{N}$ statt der richtigen 206 N.
• Das gesamte Volumen eines schwimmenden Körpers nehmen: Das Volumen des Klotzes von 0,035 m³ ergäbe 343 N, aber nur die 0,021 m³ unterhalb der Wasserlinie zählen.
• Erwarten, dass der Schub in der Tiefe größer wird: Ein vollständig eingetauchter 2-Liter-Stein spürt $1000\cdot 0,002\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$ bei 1 m wie bei 10 m, weil Ober- und Unterseite denselben Druckzuwachs erhalten.
• Glauben, schwere Dinge sinken immer: Eine 1 g schwere Stahlkugel sinkt, ein Stahlschiff mit 50 000 Tonnen schwimmt dagegen, weil sein luftgefüllter Rumpf im Mittel weniger dicht ist als Wasser.
• Vergessen, Liter umzurechnen: Zwei Liter sind 0,002 m³, und setzt man 2 ein, ergibt sich 19 620 N.

Wo man ihm begegnet

Schiffe liegen in Süßwasser etwa 2,5 % tiefer als im Meer, weshalb Rümpfe für beide getrennte Lademarken tragen. U-Boote fluten oder leeren Ballasttanks, um zu sinken, zu schweben oder aufzutauchen. Ein Aräometer schwimmt in einer weniger dichten Flüssigkeit tiefer, sodass sein Schaft die Dichte von Milch oder Wein anzeigt. Auf 100 °C erhitzt hat Luft etwa 0,95 kg/m³, gegenüber 1,20 kg/m³ außen bei 20 °C; deshalb hebt jeder Kubikmeter eines Heißluftballons nur etwa 0,25 kg.

Auftrieb treibt die Konvektion an, das Aufsteigen warmer Flüssigkeit, in „Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung“, und er bestimmt die Sinkgeschwindigkeit von Körnern in „Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit“. Der wippende Klotz ist ein Oszillator wie die in „Harmonische Schwingung“, und wenn die Flüssigkeit strömt, hängt der Druck nicht mehr allein von der Tiefe ab: Das ist Thema von „Das Bernoulli-Prinzip“.

Fortgeschritten

Druck in einer ruhenden Flüssigkeit

Auftrieb ist nichts anderes als Druck: Die Kraft nach oben auf einen eingetauchten Körper ist die Summe aller Druckkräfte, die die umgebende Flüssigkeit auf seine Oberfläche ausübt. Wir beginnen daher damit, wie sich der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit verhält. Bezeichnungen: ${\rho }_f$ ist die Dichte der Flüssigkeit, was auch immer sie ist; ist die Flüssigkeit Wasser, schreiben wir ${\rho }_w$, und wie in der Animation ist ${\rho }_b$ die Dichte des Klotzes. $g\approx 9,81m/{\mathrm{s}}^2$ ist die Fallbeschleunigung, und $p_0$ ist der Luftdruck an der Wasseroberfläche.

Legende

$p_1$	Druck auf die Oberseite, in der Tiefe $h$.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Druck auf die Unterseite, in der Tiefe $h+\ell$; größer als $p_1$.	$\mathrm{Pa}$
$h$	Tiefe der Oberseite unter der Oberfläche.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Höhe des Quaders.	$\mathrm{m}$
$V$	Volumen des Quaders, $\ell A$, wobei $A$ die Fläche seiner Ober- oder Unterseite ist.	${\mathrm{m}}^3$
${\vec{F}}_b$	Resultierende Druckkraft auf den Quader, nach oben: $(p_2-p_1)A={\rho }_{f}gV$.	$\mathrm{N}$

Abbildung 1 zeigt einen Quader der Höhe $\ell$ und des Volumens $V$ mit je einer Ober- und Unterseite der Fläche $A$ (also $V=\ell A$), ganz unter Wasser gehalten, wobei seine Oberseite in der Tiefe $h$ liegt. Schau zuerst auf die Richtungen der Pfeile: Auf jeder Fläche treffen sie senkrecht auf. Eine ruhende Flüssigkeit kann keine Schubspannung aufnehmen, also keine Kraft entlang einer Fläche, die ihre Schichten gegeneinander verschieben würde; sie kann nur senkrecht auf eine Fläche drücken.

Schau nun auf ihre Längen. Die Pfeile werden mit der Tiefe länger, weil jede Wasserschicht das Gewicht des ganzen Wassers darüber trägt. Nur dieser tiefenabhängige Anteil ist eingezeichnet: Die Luft fügt jeder Fläche denselben Druck $p_0$ hinzu, und ein gleichmäßiger Druck ergibt auf einen geschlossenen Quader keine Nettokraft, wie wir unten zeigen.

Die beiden Seiten liegen in gleichen Tiefen, daher heben sich ihre Pfeile paarweise auf. Übrig bleiben die Oberseite, die mit $p_{1}A$ nach unten gedrückt wird, und die Unterseite, die mit $p_{2}A$ nach oben gedrückt wird. Die Unterseite liegt um $\ell$ tiefer, also übertrifft $p_2$ den Druck $p_1$ um das Gewicht einer Wassersäule der Höhe $\ell$ auf der Einheitsfläche, ${\rho }_f(\ell A)g/A$:
$p_2-p_1={\rho }_{f}g\ell$
Die Nettokraft auf den Quader zeigt daher nach oben:
$F_b=(p_2-p_1)A={\rho }_{f}g\ell A={\rho }_{f}gV$
Das ist das Gewicht des Wassers, das den Quader ausfüllen würde. Die Tiefe $h$ ist herausgefallen: Solange sich Wasser nicht zusammendrücken lässt, ist die Auftriebskraft in jeder Tiefe gleich.

Druck als Feld

Der Beweis am Quader nutzte zwei Tatsachen ohne Herleitung: dass der Druck an einem Punkt in alle Richtungen gleich wirkt und dass er mit der Tiefe stetig wächst. Beides folgt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz, angewandt auf winzige Stücke ruhender Flüssigkeit. Die allgemeine Form erlaubt es später, Körper beliebiger Form zu behandeln, und sogar beschleunigte Behälter.

Zuerst die Richtung. Schreibe die Kraft der Flüssigkeit auf ein kleines Flächenelement der Fläche $dA$ als $-p\hat{n}dA$, wobei $\hat{n}$ der Einheitsvektor senkrecht zum Element ist, der aus dem Körper heraus zeigt; das Minuszeichen besagt, dass die Flüssigkeit nach innen drückt. Ist $p$ unabhängig davon, wie das Element ausgerichtet ist? Betrachte einen kleinen dreieckigen Keil aus Flüssigkeit. Die Kräfte auf seine Flächen wachsen mit dem Quadrat seiner Größe, sein Gewicht mit der dritten Potenz. Wenn der Keil schrumpft, wird das Gewicht vernachlässigbar, und die Flächenkräfte allein müssen sich aufheben; bei einem Dreieck ist das nur möglich, wenn der Druck auf allen Flächen gleich ist. Also hängt $p$ nicht von der Richtung ab: Druck ist ein Skalarfeld $p(\vec{r})$, eine einzige Zahl in jedem Punkt.

Dann die Abhängigkeit vom Ort. Betrachte einen kleinen Würfel mit den Kantenlängen $dx$, $dy$, $dz$. Die Flüssigkeit auf seiner linken Fläche drückt ihn mit $p(x)dydz$ in $+x$-Richtung; die Flüssigkeit auf seiner rechten Fläche drückt mit $p(x+dx)dydz$ zurück. Die Nettokraft in $x$-Richtung ist die Differenz, $-(\partial p/\partial x)dxdydz$. Dasselbe gilt für $y$ und $z$, also ist die Druckkraft pro Volumeneinheit $-\nabla p$: Druckunterschiede treiben Flüssigkeit von hohem zu niedrigem Druck.

Bei ruhender Flüssigkeit muss diese Kraft die Schwerkraft ausgleichen, die auf jede Volumeneinheit mit ${\rho }_f\vec{g}$ wirkt. Mit $z$ nach oben gemessen, sodass $\vec{g}$ in Richtung $-z$ zeigt,
$\nabla p={\rho }_f\vec{g},\frac{dp}{dz}=-{\rho }_{f}g$
Bei konstanter Dichte ergibt die Integration von der Oberfläche nach unten $p=p_0+{\rho }_{f}gh$ in der Tiefe $h$; die $p_1$ und $p_2$ aus Abbildung 1 sind dies in den Tiefen $h$ und $h+\ell$. Da $\nabla p$ in Richtung $\vec{g}$ zeigt, ändert sich der Druck nur in vertikaler Richtung: Flächen gleichen Drucks, darunter die freie Oberfläche, stehen senkrecht zu $\vec{g}$, sind also waagerecht.

Drei Wege zum archimedischen Prinzip

Das archimedische Prinzip besagt, dass ein Körper in einer ruhenden Flüssigkeit eine Auftriebskraft nach oben spürt, die dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit entspricht. Der Quader hat dies für eine Form bewiesen. Drei Argumente beweisen es für beliebige Formen, und jedes bringt etwas Neues: das erste ist eine Rechnung in einer Zeile, das zweite sagt außerdem, wo die Kraft angreift, und das dritte zeigt, warum nur die mittlere Dichte zählt.

Legende

$S$	Oberfläche des Körpers; rechts umschließt dieselbe Oberfläche Wasser.
$V$	Von $S$ umschlossenes Volumen.	${\mathrm{m}}^3$
$p$	Druck auf $S$: senkrecht dazu, größer, wo $S$ tiefer liegt.	$\mathrm{Pa}$
$B$	Schwerpunkt des von $S$ umschlossenen Volumens: der Auftriebsmittelpunkt.
${\vec{F}}_b$	Druckkraft auf $S$, nach oben durch $B$; in beiden Bildern gleich.	$\mathrm{N}$
$W$	Gewicht des Wassers, das $S$ ausfüllt, ${\rho }_{f}Vg$, nach unten durch $B$.	$\mathrm{N}$

Abbildung 2 enthält die Schlüsselidee. Links liegt ein Körper beliebiger Form in ruhendem Wasser; $S$ ist seine Oberfläche, $V$ das Volumen in ihr, und die Pfeile stellen den Druck $p$ auf $S$ dar, senkrecht zu $S$ und länger, wo $S$ tiefer liegt. Rechts ist der Körper entfernt, und dieselbe Oberfläche $S$ umschließt nun Wasser. Vergleiche die Pfeile: Sie sind identisch. Der Druck an jedem Punkt von $S$ wird durch dessen Tiefe im umgebenden Wasser bestimmt, und das hat sich nicht geändert; er kann also nicht davon abhängen, was innerhalb von $S$ liegt. Was auch immer $S$ ausfüllt, die gesamte Druckkraft darauf, ${\vec{F}}_b$, ist dieselbe.

Weg 1, mit Analysis. Die Auftriebskraft ist die Summe der Druckkräfte über die geschlossene Oberfläche $S$. Der hydrostatische Druck ist nur eine Funktion der Höhe und lässt sich daher in das Volumen $V$ fortsetzen, das der Körper einnimmt. Der Gradientensatz, ein naher Verwandter des Divergenzsatzes, verwandelt dann das Oberflächenintegral von $p\hat{n}$ in ein Volumenintegral von $\nabla p$, und die hydrostatische Gleichung liefert $\nabla p$:
${\vec{F}}_b=-{\oint }_{S}p\hat{n}dA=-{\int }_V\nabla pdV=-{\rho }_f\vec{g}V$
Die Kraft zeigt entgegen $\vec{g}$, also nach oben, mit dem Betrag ${\rho }_{f}gV$: dem Gewicht eines Volumens $V$ Flüssigkeit. Der Oberflächendruck $p_0$ ist herausgefallen, weil sein Gradient null ist; das ist der Beweis, dass ein gleichmäßiger Druck auf eine geschlossene Oberfläche keine Nettokraft ausübt.

Bei einem schwimmenden Körper ist nur ein Teil der Oberfläche nass. Man betrachte den Druck über $p_0$ hinaus: Der Luftdruck $p_0$ wirkt auf die gesamte geschlossene Oberfläche und hebt sich auf. Dieser Überdruck ist in der Ebene der Wasserlinie null, daher ändert das Schließen der benetzten Oberfläche mit dem Flächenstück dieser Ebene im Körperinneren nichts, und derselbe Satz ergibt ${\rho }_{w}g{V}_{\mathrm{sub}}$, wobei $V_{\mathrm{sub}}$ das eingetauchte Volumen ist.

Weg 2, über das Gleichgewicht, ohne Analysis; er nutzt das rechte Bild. Das Wasser innerhalb von $S$ ruht unter der Wirkung zweier Kräfte: seines Gewichts $W={\rho }_{f}Vg$, das durch seinen Schwerpunkt nach unten wirkt, und der Druckkraft ${\vec{F}}_b$ des umgebenden Wassers. Da es nicht beschleunigt, heben sich die Kräfte auf, also $F_b=W$, nach oben gerichtet. Da es sich nicht zu drehen beginnt, haben die beiden Kräfte kein Gesamtdrehmoment, daher wirkt ${\vec{F}}_b$ auf derselben Lotlinie wie $W$. Bei gleichmäßigem Wasser ist der Schwerpunkt der geometrische Mittelpunkt des Volumens innerhalb von $S$, hier $B$ genannt.

Gehe nun zurück zum linken Bild. Der Druck auf $S$ ist derselbe, also spürt der Körper dieselbe Kraft auf derselben Linie. Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit und wirkt durch $B$, den Schwerpunkt des verdrängten Volumens, den Auftriebsmittelpunkt. Dieses Argument braucht nicht einmal konstante Dichte: In einer Flüssigkeit, deren Dichte mit der Tiefe variiert, ist die Kraft immer noch das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit, $g{\int }_V{\rho }_{f}dV$, nun wirkend durch den Schwerpunkt dieser Flüssigkeit.

Weg 3, über die Energie. Hebe den Körper um eine kleine Höhe $\delta z$. Seine eigene potentielle Energie wächst um $mg\delta z$. Flüssigkeit fließt in den Raum, den er unten verlässt, und die Nettowirkung auf die Flüssigkeit ist, dass ein Volumen $V$ davon mit der Masse ${\rho }_{f}V$ um $\delta z$ nach unten gewandert ist und dabei ${\rho }_{f}Vg\delta z$ verliert. Insgesamt
$\delta U=(m-{\rho }_{f}V)g\delta z$
Eine Kraft ist minus die Steigung der potentiellen Energie, also ist die Nettokraft nach oben $-\delta U/\delta z={\rho }_{f}Vg-mg$: Auftrieb minus Gewicht. Nur Masse und Volumen des Körpers gehen ein, also seine mittlere Dichte $m/V$. Deshalb schwimmt ein Stahlrumpf, obwohl Stahl fast achtmal dichter ist als Wasser: Er umschließt genug Luft, um die mittlere Dichte unter die des Wassers zu drücken.

Das Wasser als Feder

Ein schwimmender Körper, der nach unten gedrückt und losgelassen wird, wippt auf und ab. Dieser Abschnitt zeigt, dass das Wasser in der Nähe seiner Schwimmlage wie eine lineare Feder auf ihn wirkt, und bestimmt die Periode des Wippens.

Nimm den Klotz aus der Animation. Er hat senkrechte Seitenwände, daher ist die Fläche seines waagerechten Querschnitts, $A=0,70\mathrm{m}\cdot 0,10\mathrm{m}=0,07{\mathrm{m}}^2$, in jeder Höhe gleich. Ab hier ist $h$ die Höhe des Klotzes, $h=0,50\mathrm{m}$, nicht eine Tiefe wie in Abbildung 1. Seine Dichte ist ${\rho }_b=0,6{\rho }_w$, also ist seine Masse $m={\rho }_{b}Ah=21\mathrm{kg}$ und sein Gewicht 206 N. Im Schwimmzustand ist der Auftrieb gleich dem Gewicht, ${\rho }_{w}gAd={\rho }_{b}gAh$, also ist die Schwimmtiefe (der Tiefgang) $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h=0,30\mathrm{m}$.

Drücke den Klotz nun um eine weitere Strecke $x$ unter seine Schwimmtiefe. Er verdrängt zusätzlich das Volumen $Ax$, daher wächst die Auftriebskraft um ${\rho }_{w}gAx$, während das Gewicht gleich bleibt. Die Nettokraft ist eine Rückstellkraft $-kx$ mit der Steifigkeit $k={\rho }_{w}gA$, für den Klotz etwa 687 N/m. Das ist das Hookesche Gesetz, die Bewegung ist also harmonisch. Mit $m={\rho }_{b}Ah$ und dann $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h$ ist seine Kreisfrequenz
${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{{\rho }_{w}g}{{\rho }_{b}h}}=\sqrt{\frac{g}{d}}$
Die Fläche hat sich herausgekürzt, und das Ergebnis ist schlicht: Ein schwimmender Körper mit senkrechten Wänden wippt mit der Periode eines Fadenpendels von der Länge seiner Schwimmtiefe. Für $d=0,30\mathrm{m}$ ist ${\omega }_0\approx 5,7rad/s$ und $T_0=2\pi \sqrt{d/g}\approx 1,10\mathrm{s}$, unabhängig von der Fläche. Ein Schiff mit senkrechten Wänden und 9 m Tiefgang würde etwa alle 6 s einmal wippen.

Die Feder ist nur linear, solange der Klotz teilweise unter Wasser ist. Sobald er ganz eingetaucht ist, kann sein verdrängtes Volumen nicht weiter wachsen, und die Auftriebskraft ebenso wenig. Der Graph der Bewegung zeigt beide Bereiche.

Den Graphen y(t) lesen

Der Klotz in der Animation wird von dieser Feder zusammen mit einem Wasserwiderstand angetrieben. Sein Graph prüft das Federmodell: wo es gilt, wo es versagt und wie schnell die Bewegung abklingt.

Legende

$y$	Höhe des Klotzes über seiner Schwimmlage.	$\mathrm{m}$
$t$	Zeit seit dem Loslassen.	$\mathrm{s}$
$y_0$	Anfangshöhe beim Loslassen.	$\mathrm{m}$
$d-h$	Höhe, bei der die Oberseite des Klotzes mit dem Wasser abschließt ($d$ ist die Schwimmtiefe, $h$ die Höhe des Klotzes); darunter ist der ganze Klotz eingetaucht.	$\mathrm{m}$
$T$	Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden oberen Umkehrpunkten.	$\mathrm{s}$
$e^{-\gamma t}$	Faktor, um den die Schwingungen mit der Zeit kleiner werden; $\gamma$ ist die Dämpfungsrate.

Abbildung 3 trägt die Höhe $y$ des Klotzes über seiner Schwimmlage gegen die Zeit $t$ auf; die waagerechte $t$-Achse, $y=0$, ist die Schwimmlage selbst. Der Klotz wird bei $y_0=35\mathrm{cm}$ losgelassen, sodass seine Unterseite 5 cm über dem Wasser liegt, da er 30 cm tief schwimmt.

Verfolge die erste Schwingung: Sie ist nicht harmonisch. Der Klotz fällt durch die Luft, taucht dann tief ein, vorbei an der gestrichelten Linie $d-h=-20\mathrm{cm}$, bei der seine Oberseite bündig mit dem Wasser ist, bis auf $-24,5\mathrm{cm}$ bei 0,55 s. Unterhalb von $d-h$ ist die Feder gesättigt: $F_b$ kann den Auftrieb des gesamten Klotzes, ${\rho }_{w}gV=343\mathrm{N}$, nicht überschreiten. Nach dieser Schwingung bleibt die eingetauchte Tiefe zwischen etwa 15 und 40 cm, innerhalb der Höhe des Klotzes, wo die Kraft linear ist.

Lies nun die oberen Umkehrpunkte nach dem ersten: +15.2, +6.7, +2.9, +1.3 und +0.55 cm. Sie liegen etwa 1,11 s auseinander, dem Abstand $T$, der in der Abbildung markiert ist, und jeder beträgt etwa das 0,44-Fache des vorherigen. Ein konstantes Verhältnis pro Schwingung bedeutet exponentielles Abklingen, also liegen die Scheitel auf der gestrichelten Hüllkurve $\pm y_0{e}^{-\gamma t}$ der gedämpften Schwingung $y\approx y_0{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t)$, die den Graphen in der Animation beschriftet; hier ist $\omega$ die gedämpfte Kreisfrequenz ${\omega }_d$. Eine Periode multipliziert die Amplitude mit $e^{-\gamma T}\approx 0,44$, also
$\gamma \approx \ln (1/0,44)/1,11\approx 0,74{\mathrm{s}}^{-1}$
nahe am $\gamma =0,75{\mathrm{s}}^{-1}$, das im Modell für den Wasserwiderstand festgelegt ist.

Die Dämpfung bremst das Schwingen kaum: ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}\approx 5,67rad/s$ liegt nur etwa 1 % unter ${\omega }_0$, deshalb ist $T$ so nahe an $T_0$. Der Gütefaktor $Q={\omega }_0/(2\gamma )\approx 3,8$ zeigt, dass die Dämpfung gering ist: Der Klotz macht einige sichtbare Schwingungen, bevor er zur Ruhe kommt.

Stabilität und das Metazentrum

Schwimmen allein reicht nicht: Ein Schiff muss auch aufrecht bleiben. Dieser Abschnitt fragt, wann eine kleine Neigung, eine Krängung, ein Drehmoment erzeugt, das den Körper zurückdreht, und findet eine Länge, die Metazenterhöhe $GM$, die das beantwortet.

Legende

$\theta$	Krängungswinkel: wie weit der Rumpf aus der Senkrechten gedreht ist.	$\mathrm{rad}$
$G$	Schwerpunkt des Rumpfes auf seiner Mittellinie; hier wirkt das Gewicht.
$B$	Auftriebsmittelpunkt, als der Rumpf aufrecht war, ein im Rumpf fester Punkt.
$B^{\prime }$	Auftriebsmittelpunkt jetzt: der Schwerpunkt des eingetauchten Teils, zur tiefen Seite verschoben.
$M$	Metazentrum: wo die Senkrechte durch $B^{\prime }$ die Mittellinie schneidet.
$GM$	Metazenterhöhe: der Abstand von $G$ hinauf zu $M$; das Rückstellmoment ist $mgGM\sin \theta$.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Gewicht des Rumpfes, nach unten durch $G$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_b$	Auftriebskraft, nach oben durch $B^{\prime }$; betragsmäßig gleich dem Gewicht.	$\mathrm{N}$

Abbildung 4 zeigt einen kastenförmigen Rumpf, um den Winkel $\theta$ gekrängt, viel größer gezeichnet als eine echte Krängung, damit die Geometrie deutlich wird. Zwei Kräfte wirken darauf. Das Gewicht $m\vec{g}$ wirkt nach unten durch den Schwerpunkt $G$, einen im Rumpf festen Punkt. Die Auftriebskraft ${\vec{F}}_b$ wirkt nach oben durch den Auftriebsmittelpunkt, den Schwerpunkt des eingetauchten Teils. Als der Rumpf aufrecht war, lag dieser Schwerpunkt bei $B$ auf der Mittellinie, der Symmetrielinie des Rumpfes durch $G$. Bei einem Schiff liegt $B$ oft unterhalb von $G$, wie hier, und das allein ist nicht gefährlich.

Nun schau auf die Wasserlinie. Die Krängung hebt auf der hohen Seite einen Keil des Rumpfes aus dem Wasser und drückt auf der tiefen Seite einen Keil hinein. Das eingetauchte Volumen bleibt gleich, aber seine Form verschiebt sich zur tiefen Seite, und mit ihr sein Schwerpunkt: Der Auftriebsmittelpunkt wandert von $B$ nach $B^{\prime }$, und ${\vec{F}}_b$ wirkt nun entlang der Senkrechten durch $B^{\prime }$. Verfolge diese Senkrechte nach oben: Sie kreuzt die Mittellinie im Metazentrum $M$.

Wie hoch liegt $M$? Sei $I$ das Flächenmoment zweiten Grades der Wasserlinienfläche, also der Fläche, die die Wasseroberfläche aus dem Rumpf schneidet, bezogen auf die Krängungsachse, die Linie, um die er kippt. Ein Streifen der Wasserlinienfläche im Abstand $y$ von dieser Achse gewinnt oder verliert eine eingetauchte Höhe $y\theta$, sodass die Keile ein Volumenmoment $I\theta$ von einer Seite zur anderen tragen, und $B$ verschiebt sich seitlich um $I\theta /V_{\mathrm{sub}}$. Für einen kleinen Winkel entspricht diese Verschiebung $BM\theta$, also liegt $M$ in fester Höhe
$BM=\frac{I}{V_{\mathrm{sub}}}$
über $B$.

In Abbildung 4 liegt $M$ über $G$, im Abstand $GM$. Das Gewicht durch $G$ und der Auftrieb durch $B^{\prime }$ sind gleich groß und entgegengesetzt, aber nicht in einer Linie; sie bilden daher ein Kräftepaar. Sein Hebelarm ist $GM\sin \theta$, und sein Moment, $mgGM\sin \theta$, dreht den Rumpf zurück in die Senkrechte. Läge $M$ unter $G$, würden dieselben beiden Kräfte ihn weiter kippen. Ein schwimmender Körper ist also gegen eine kleine Krängung stabil, wenn $M$ über $G$ liegt, das heißt, wenn $GM>0$ ist.

Für einen kastenförmigen Rumpf der Breite $b$, Länge $L$ und Schwimmtiefe $d$ gilt $I=L{b}^3/12$ und $V_{\mathrm{sub}}=Lbd$, also
$BM=\frac{b^2}{12d}$
Die Breite hilft mit ihrem Quadrat. Alles, was $G$ anhebt, wirkt gegen die Stabilität: hoch verstautes Ladungsgut und frei über das Deck schwappendes Wasser, das zur tiefen Seite läuft und wie ein angehobenes $G$ wirkt, eine klassische Ursache für Kenterungen.

Aufgabe: würde der Klotz aufrecht bleiben?

Wende dies auf den Klotz der Animation an: Höhe $h=0,50\mathrm{m}$, Schwimmtiefe $d=0,30\mathrm{m}$, 0,70 m breit und 0,10 m dick. Höhen werden von seiner Unterseite aus gemessen. Der Klotz ist gleichmäßig, daher liegt $G$ auf halber Höhe, bei 0,25 m, und $B$ in der Mitte des eingetauchten Teils, bei der halben Schwimmtiefe, 0,15 m.

Bei einer Krängung in der Bildebene ist die Wasserlinie 0,70 m breit:
$BM=\frac{b^2}{12d}=\frac{0,70^2}{12\cdot 0,30}\approx 0,136\mathrm{m}$
Also liegt $M$ bei $0,15+0,136\approx 0,286\mathrm{m}$ über dem Boden, 3,6 cm über $G$: Der Klotz ist in dieser Richtung stabil. Bei 5° Krängung, wo $\sin \theta \approx 0,087$, ist das aufrichtende Moment $206\cdot 0,036\cdot 0,087\approx 0,65\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

Bei einer Krängung quer zur 0,10 m dicken Seite ist die Wasserlinie nur 0,10 m breit, und $BM=0,10^2/(12\cdot 0,30)\approx 0,003\mathrm{m}$. Nun liegt $M$ 9,7 cm unter $G$, also ist $GM<0$, und der Klotz ist instabil. Ein echter Klotz dieser Proportionen würde umkippen und auf seiner breiten Seite schwimmen, 6 cm tief (0,6 seiner 0,10 m Dicke). Nur die zweidimensionale Animation, die den Klotz auf und ab, aber nicht zum Rollen bringt, hält ihn aufrecht.

Dieselbe Überlegung ergibt eine allgemeine Regel. Für einen gleichmäßigen Klotz mit relativer Dichte $s={\rho }_b/{\rho }_w$, der Höhe $h$ und Breite $b$ in der Ebene der Krängung, liegt $G$ bei $h/2$, $B$ bei $d/2=sh/2$, und $BM=b^2/(12sh)$. Verlangt man, dass $M$ über $G$ liegt, also $sh/2+b^2/(12sh)>h/2$, und formt man um, erhält man die Bedingung für aufrechtes Schwimmen:
$\frac{b}{h}>\sqrt{6s(1-s)}$
Für $s=0,6$ verlangt dies $b/h>1,2$: Die Breite ergibt 1,4 und besteht den Test, die Dicke nur 0,2 und besteht ihn nicht. Ein quadratischer Balken, $b=h$, besteht den Test für kein $s$ zwischen etwa 0,21 und 0,79, weshalb quadratische Hölzer aus gewöhnlichem Holz schräg statt flach auf der Seite schwimmen.

Beschleunigte und kompressible Fluide

Bisher war der Behälter in Ruhe und die Flüssigkeit nicht kompressibel. Lässt man eine dieser Annahmen fallen, ändert sich der Auftrieb auf lehrreiche Weise.

In einem Behälter, der mit $\vec{a}$ beschleunigt, muss die Flüssigkeit, die relativ zu ihm ruht, mitbeschleunigen. Das zweite Newtonsche Gesetz pro Volumeneinheit lautet dann $-\nabla p+{\rho }_f\vec{g}={\rho }_f\vec{a}$, also $\nabla p={\rho }_f(\vec{g}-\vec{a})$. Dies ist die hydrostatische Gleichung mit $\vec{g}$ ersetzt durch die effektive Schwerkraft $\vec{g}-\vec{a}$, sodass alles oben Gesagte übertragbar ist: Der Auftrieb zeigt entgegen $\vec{g}-\vec{a}$.

Daraus folgen drei Konsequenzen. In einem Aufzug, der mit 2 m/s² nach oben beschleunigt, wachsen das scheinbare Gewicht $m(g+a)$ und der Auftrieb beide um den Faktor $11,81/9,81$, daher behält ein schwimmender Klotz seine Tiefe. In einem Auto, das beschleunigt, kippt die effektive Schwerkraft nach hinten, daher neigt sich ein Heliumballon an der Schnur nach vorn, während die Insassen nach hinten gedrückt werden. Im freien Fall ist $\vec{g}-\vec{a}=0$: kein Druckgradient, kein Auftrieb, und in einer Raumstation auf der Umlaufbahn steigen Blasen in einem Getränk nicht auf.

In einer kompressiblen Flüssigkeit ändert sich ${\rho }_f$ mit der Höhe. Eine isotherme Atmosphäre hat $\rho ={\rho }_0{e}^{-z/H}$, wobei die Skalenhöhe $H\approx 8,4\mathrm{km}$ bei 15 °C die Höhe ist, über die die Dichte um den Faktor $e$ abnimmt. Ein geschlossener, starrer Ballon, dessen mittlere Dichte halb so groß ist wie die der Luft am Boden, steigt, bis die Luft um ihn herum genauso dicht ist, also dort, wo $e^{-z/H}=1/2$ gilt, nahe $H\ln 2\approx 5,8\mathrm{km}$. Dort bleibt er stabil stehen: Wird er höher gedrückt, trifft er auf dünnere Luft, sein Auftrieb sinkt unter sein Gewicht und er sinkt zurück; wird er tiefer gedrückt, geschieht das Umgekehrte.

Ein kompressibler Körper in einer Flüssigkeit verhält sich umgekehrt. Ein Taucher in einem Schaumgummianzug, der tiefer driftet, wird vom zusätzlichen Druck zusammengedrückt, verdrängt weniger Wasser und sinkt daher schneller. Neutraler Auftrieb ist also bei allem instabil, was sich leichter zusammendrücken lässt als Wasser; deshalb müssen Taucher, Fische und U-Boote ihn ständig nachregeln.

Grenzen der Gültigkeit

Alles oben Gesagte beruht auf Idealisierungen. Hier steht, wann jede davon versagt und um wie viel.

Wasser ist leicht kompressibel, mit einem Kompressionsmodul von etwa 2,2 GPa: In 4000 m Tiefe, unter rund 40 MPa, ist Meerwasser etwa 2 % dichter als an der Oberfläche, und der Auftrieb eines starren Körpers wächst um den gleichen Betrag.

Die Hydrostatik setzt außerdem voraus, dass der Körper von allen Seiten von Flüssigkeit umgeben ist. Ein Körper, der flach auf dem Grund liegt, ohne Flüssigkeit darunter, erfährt keinen Schub von unten und wird vom Druck auf seine Oberseite nach unten gedrückt.

Die Oberflächenspannung $\sigma$ erzeugt eine Kraft, die proportional zur Länge der Linie ist, an der die Wasseroberfläche den Körper berührt, während Gewicht und Auftrieb mit dem Volumen wachsen. Beide sind für Objekte von der Größe der Kapillarlänge vergleichbar, $\sqrt{\sigma /(\rho g)}\approx 2,7\mathrm{mm}$ für Wasser, weshalb Insekten und eine trockene Stahlnadel auf der Oberfläche liegen können.

Ein beschleunigter Körper muss außerdem einen Teil der umgebenden Flüssigkeit mitbeschleunigen. Für eine Kugel beträgt diese mitbewegte Masse $\frac{1}{2}{\rho }_{f}V$. Daher beginnt eine aus der Ruhe losgelassene Blase, deren eigene Masse vernachlässigbar ist, mit etwa ${\rho }_{f}Vg/(\frac{1}{2}{\rho }_{f}V)=2g$ nach oben zu steigen, nicht mit der enormen Beschleunigung, die ihre winzige Masse nahelegt. Mitbewegte Masse und die Wellen, die ein echter Klotz aussendet, lassen ihn langsamer wippen und schneller zur Ruhe kommen, als das Federmodell vorhersagt.

Schließlich ist Auftrieb ein Kontinuumseffekt, und bei sehr kleinen Teilchen konkurriert die Wärmebewegung damit. Körner mit 10 nm Durchmesser und doppelter Dichte wie Wasser werden durch die Wärmebewegung über etwa 0,8 m Höhe verteilt, also bis zu der Höhe, bei der das Anheben eines Korns gegen sein Gewicht abzüglich Auftrieb die typische thermische Energie $k_{B}T$ kostet; sie setzen sich daher kaum ab.

Wohin das führt

Auftrieb taucht überall dort auf, wo sich Dichten unterscheiden. In „Strömungswiderstand und Endgeschwindigkeit“ erreicht eine kleine Kugel, die durch eine Flüssigkeit sinkt, eine Endgeschwindigkeit, die proportional zur Dichtedifferenz ${\rho }_s-{\rho }_f$ ist, weil der Auftrieb vom Gewicht abgezogen wird. Warme Flüssigkeit, die aufsteigt, und kühle, die sinkt, ist Konvektion, behandelt in „Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung“. Strömende Flüssigkeiten, bei denen der Druck nicht mehr allein von der Tiefe abhängt, sind Gegenstand von „Das Bernoulli-Prinzip“. Der wippende Klotz mit $Q\approx 3,8$ ist ein Fall von „Dämpfung und Resonanz“, und der Ballon, der sich in einem beschleunigten Auto nach vorn neigt, zeigt, dass sich Schwerkraft und Beschleunigung nicht unterscheiden lassen. Das ist der Ausgangspunkt von „Gravitation als gekrümmte Raumzeit“.