Grundlagen der Wellen

Einsteiger

Stell dir eine Welle im Stadion vor: Jeder Fan steht nur auf und setzt sich wieder, doch eine Woge aus hochgereckten Armen rast durch die ganze Tribüne. Genau das ist eine Welle: eine Störung, die von Ort zu Ort läuft und Energie transportiert, während das Material selbst an seinem Platz bleibt. Ein Boot auf dem See hebt und senkt sich, wenn Wellen vorbeiziehen, aber die Wellen tragen es nicht zum Ufer.

In der Animation schüttelt eine Hand das Ende eines Seils. Die goldenen Punkte reiten auf den Wellenbergen, den hohen Stellen, gleichmäßig nach rechts, während sich die rote Kugel nur auf ihrer gestrichelten Linie auf und ab bewegt.

Es gibt zwei Arten von Wellen. Beim Seil bewegt sich jedes Stück quer zur Ausbreitungsrichtung: eine Transversalwelle. In der Spiralfeder unten bewegen sich die Windungen vor und zurück in dieser Richtung, drängen sich zusammen und spreizen sich wieder: eine Longitudinalwelle. Schall in Luft ist von dieser Art.

Vier Begriffe beschreiben eine regelmäßige Welle. Die Wellenlänge ist der Abstand von einem Wellenberg zum nächsten; die Amplitude ist die Höhe, um die ein Wellenberg über die Ruhelinie ragt; die Frequenz ist die Anzahl der Wellenberge, die pro Sekunde an einem Punkt vorbeikommen, in Hertz (Hz); die Geschwindigkeit ist die Strecke, die ein Wellenberg in einer Sekunde zurücklegt. Wenn dir jede Sekunde 2 Wellenberge begegnen und sie 3 Meter auseinanderliegen, legt die Welle jede Sekunde $2\times 3=6$ Meter zurück: Geschwindigkeit = Frequenz × Wellenlänge.

Die Geschwindigkeit wird vom Medium bestimmt, nicht von der Hand. Schüttelst du schneller, starten jede Sekunde mehr Wellenberge, die dann enger beieinanderliegen müssen.

Prüf dich selbst: Du schüttelst das Seil dreimal so oft. Was passiert mit der Wellenlänge? (Sie wird dreimal kürzer; die Geschwindigkeit ändert sich nicht.)

Mittelstufe

Was sich bewegt und was wir messen

Eine Welle ist eine Störung, die sich durch ein Medium ausbreitet und Energie transportiert, während jeder Teil des Mediums nur um seine Ruhelage schwingt. Bei einem geschüttelten Seil gibt jedes Stück seinem Nachbarn einen Moment später die Bewegung weiter: Die Bewegung wandert, das Seil bleibt. In der Animation laufen die Wellenberge nach rechts, doch die rote Kugel bewegt sich nur auf und ab entlang ihrer gestrichelten Linie.

Beim Seil bewegt sich jedes Stück im rechten Winkel zur Ausbreitungsrichtung: eine Transversalwelle. In der Spiralfeder unten bewegen sich die Windungen vor und zurück in dieser Richtung, drängen sich zu Verdichtungen zusammen und spreizen sich zu Verdünnungen: eine Longitudinalwelle. Schall in Luft ist longitudinal, weil ein Gas dem Zusammendrücken widersteht, dem seitlichen Scheren aber nicht. Auch Licht ist transversal, wobei elektrische und magnetische Felder schwingen statt der Materie.

Die Auslenkung $y$ ist der Abstand eines Punktes von seiner Ruhelage (der gestrichelten Linie) in Metern; die Amplitude $A$ ist die größte Auslenkung, von der Ruhelinie bis zum Wellenberg. Die Wellenlänge $\lambda$ ist die Länge eines Zyklus im Raum, von Wellenberg zu Wellenberg. Die Periode $T$ ist die Zeit für eine volle Schwingung eines Punktes, und die Frequenz $f$ ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, in Hertz (Hz).

Eine Wellenlänge pro Periode

Beobachte einen einzelnen Wellenberg. Während der Punkt darunter eine volle Schwingung ausführt, erreicht der nächste Wellenberg die Stelle des ersten: In einer Periode $T$ wandert das Muster genau um eine Wellenlänge weiter, seine Geschwindigkeit ist also $\lambda /T$. Da die Frequenz die Anzahl der Perioden pro Sekunde ist, sind die beiden Kernbeziehungen dieser Lektion:

• $f=\frac{1}{T}$
• $v=f\lambda$

Sie gelten für jede periodische Welle, im Seil, in der Luft oder für Licht, und zwei beliebige der Größen $v$, $f$ und $\lambda$ bestimmen die dritte. Die Beziehung sagt aber nicht, welche Größe fest ist: Das entscheiden das Medium und die Quelle.

Das Medium bestimmt die Geschwindigkeit

Wie schnell eine Störung weitergegeben wird, hängt allein vom Medium ab: davon, wie stark es zurückzieht und wie viel Masse in Bewegung gesetzt werden muss. Für eine Saite oder ein Seil mit der Spannkraft $F$ in Newton und der Masse pro Meter $\mu$ in Kilogramm pro Meter gilt
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Stärker gespannt läuft die Welle schneller; ein schwereres Seil macht sie langsamer, und die vierfache Spannkraft verdoppelt die Geschwindigkeit. Schall läuft in Luft bei 20 °C mit etwa 343 m/s, in Wasser mit 1480 m/s und in Stahl mit 6000 m/s; Licht im Vakuum mit $3,00\times 10^{8}m/s$.

Die Quelle bestimmt die Frequenz: Hand oder Lautsprecher legen fest, wie viele Schwingungen pro Sekunde ausgehen, und die Wellenlänge folgt, $\lambda =v/f$. In einem neuen Medium wird jeder Punkt mit derselben Rate vom alten angetrieben, daher bleibt $f$ gleich, während sich $v$ und $\lambda$ gemeinsam ändern. Die transportierte Energie wächst mit dem Quadrat der Amplitude: Verdoppelst du $A$, transportierst du jede Sekunde die vierfache Energie.

Durchgerechnetes Beispiel: das Seil aus der Animation

Die rote Kugel macht alle 2 s eine Schwingung, und der lila Doppelpfeil umspannt eine Wellenlänge, 2 m. Also
$f=1/T=1/2=0,5\mathrm{Hz}$
$v=f\lambda =0,5\cdot 2=1m/s$
Das sind die Werte oben in der Animation. Der lila Pfeil wandert in jeder Periode 2 m mit den Wellenbergen weiter und springt dann zu der Stelle zurück, an der das Bild wieder gleich aussieht.

Die Kugel sitzt 3 m von der Hand entfernt, daher erreicht sie die Bewegung der Hand $3/1=3\mathrm{s}$ später, anderthalb Perioden: Die Kugel schwingt um eine halbe Schwingung versetzt, also gegenphasig. Wenn die Hand am tiefsten Punkt ist, bei $-0,3\mathrm{m}$, ist die Kugel am höchsten, bei $+0,3\mathrm{m}$; die rote Anzeige pendelt zwischen diesen beiden Werten, die Amplitude markiert der goldene Pfeil $A$. In jeder Periode legt die Kugel $4A=1,2\mathrm{m}$ auf und ab zurück, im Mittel 0,6 m/s quer zum Seil, während jeder Wellenberg 2 m daran entlangläuft. Auch die Verdichtungen der Spiralfeder liegen 2 m auseinander.

Durchgerechnetes Beispiel: zwei zusammengeknotete Seile

Ein leichtes Seil mit 0,040 kg pro Meter ist an ein schweres mit 0,160 kg pro Meter geknüpft, jedes 6 m lang, unter einer Spannkraft von 36 N. Du schüttelst das leichte Seil 5-mal pro Sekunde. Auf jedem Seil gilt
$v_1=\sqrt{36/0,040}=\sqrt{900}=30m/s,{\lambda }_1=30/5=6\mathrm{m}$
$v_2=\sqrt{36/0,160}=\sqrt{225}=15m/s,{\lambda }_2=15/5=3\mathrm{m}$
Die Frequenz ist auf beiden Seilen 5 Hz, weil die Verbindungsstelle das schwere Seil genauso oft bewegt, wie sie selbst bewegt wird. Die vierfache Masse pro Meter halbiert die Geschwindigkeit und damit die Wellenlänge.

Ein Wellenpuls durchläuft das leichte Seil in $6/30=0,2\mathrm{s}$ und das schwere in $6/15=0,4\mathrm{s}$, insgesamt 0,6 s. Ein Teil jeder Welle wird außerdem an der Verbindungsstelle zurückgeworfen: Hier beginnt die Reflexion.

Momentaufnahmen und Verläufe

Eine Momentaufnahme trägt $y$ gegen die Position $x$ zu einem Zeitpunkt auf, wie das Seil selbst, und zeigt Wellenlänge und Amplitude. Ein Verlauf trägt $y$ gegen die Zeit $t$ für einen Punkt auf, wie der Graph der roten Kugel in der Expertenansicht, und zeigt die Periode. Beide sind Sinuskurven derselben Höhe; die eine wiederholt sich alle 2 m, die andere alle 2 s. Ihr Verhältnis ergibt die Geschwindigkeit von 1 m/s.

Eine Longitudinalwelle wird genauso gezeichnet, wobei die Auslenkung längs der Spiralfeder nach oben aufgetragen wird, sodass die Kurve transversal aussieht. Lies sie sorgfältig: Eine Verdichtung liegt nicht dort, wo die Auslenkung am größten ist, sondern an einer Windung, die genau in ihrer Ruhelage sitzt, während beide Nachbarn auf sie zu gedrückt werden. Eine halbe Wellenlänge weiter werden sie auseinandergezogen: eine Verdünnung.

Häufige Fehler

• Schneller schütteln macht die Welle nicht schneller: Auf dem leichten Seil mit 36 N laufen 10 Schwingungen pro Sekunde weiterhin mit 30 m/s; nur die Wellenlänge schrumpft von 6 m auf 3 m.
• Die Wellengeschwindigkeit ist nicht die Geschwindigkeit des Mediums: Die rote Kugel bewegt sich im Mittel mit 0,6 m/s, und mehr, wenn die Amplitude wächst, während die Wellenberge gleichmäßig mit 1 m/s laufen.
• Die Amplitude wird von der Ruhelinie aus gemessen: Das Seil erstreckt sich vom tiefsten bis zum höchsten Punkt über 0,6 m, aber $A=0,3\mathrm{m}$.
• Von Wellenberg zu Wellental ist es eine halbe Wellenlänge, von oben nach unten eine halbe Periode: Ein Punkt, der 0,25 s braucht, um von oben nach unten zu gelangen, hat $T=0,5\mathrm{s}$ und $f=2\mathrm{Hz}$.

Wo dir Wellen begegnen

Schall braucht etwa 3 s pro Kilometer, daher verrät die Verzögerung zwischen Blitz und Donner die Entfernung eines Gewitters. Hörbarer Schall, 20 Hz bis 20 kHz, hat Wellenlängen von 17 m bis hinunter zu 1,7 cm; medizinischer Ultraschall mit 5 MHz hat in Gewebe mit etwa 1540 m/s Wellen von 0,3 mm, fein genug, um ein schlagendes Herz abzubilden. Erdbeben schicken beide Arten von Wellen durch den Boden, und die transversalen können den äußeren Erdkern nicht durchdringen, was zeigt, dass er flüssig ist.

Als Nächstes folgen Schall und Doppler-Effekt, Stehende Wellen, Interferenz und Superposition, Reflexion und Brechung sowie Elektromagnetische Wellen.

Fortgeschritten

Eine Form, die gleitet

Eine Welle ist eine Störung, die läuft, während das Medium an seinem Ort bleibt: Jeder Punkt des Seils bewegt sich nur auf und ab, doch eine Form läuft das Seil entlang. Um mit Wellen zu arbeiten, brauchen wir eine Funktion, die die Auslenkung jedes Punktes zu jedem Zeitpunkt angibt, und wir müssen wissen, welche Gestalt sie annimmt, wenn sich eine Form bewegt, ohne sich zu verändern.

Legende

$y$	Auslenkung des Seils aus der Ruhelinie.	$\mathrm{m}$
$x$	Ort entlang des Seils; der Punkt auf dem gestrichelten Puls liegt bei $x$.	$\mathrm{m}$
$t$	Zeit: Der durchgezogene Puls ist das Seil bei $t=0$, der gestrichelte eine Zeit $t$ später.	$\mathrm{s}$
$v$	Geschwindigkeit der Welle, in Richtung $+x$.	$m/s$
$vt$	Strecke, um die sich die Form in der Zeit $t$ verschoben hat.	$\mathrm{m}$
$x-vt$	Position des Punktes auf dem durchgezogenen Puls, dessen Höhe jetzt bei $x$ gefunden wird.	$\mathrm{m}$

Schreibe $y(x,t)$ für die seitliche Auslenkung des Seils an der Stelle $x$ zur Zeit $t$. Abbildung 1 zeigt einen unsymmetrischen Puls, auf seiner linken Seite steiler als auf der rechten, sodass du sehen kannst, wie die ganze Form unverändert mitgeführt wird. Die durchgezogene Kurve ist das Seil bei $t=0$; nenne seine Form $y=f(x)$, wobei $f$ hier eine Form bezeichnet, nicht eine Frequenz. Die gestrichelte Kurve ist dasselbe Seil eine Zeit $t$ später. In dieser Zeit hat sich die Form mit der Geschwindigkeit $v$ in Richtung $+x$ bewegt, also um die Strecke $vt$ verschoben, die unter der Achse markiert ist.

Betrachte nun die beiden Punkte. Der rechte liegt auf der gestrichelten Kurve an der Stelle $x$. Der linke liegt auf der durchgezogenen Kurve, eine Strecke $vt$ weiter hinten, bei $x-vt$. Die gestrichelte waagerechte Linie, die beide verbindet, zeigt, dass sie auf gleicher Höhe liegen: Die wandernde Form hat diese Höhe einfach um $vt$ nach vorn getragen. Dasselbe gilt für jeden Punkt, also ist die Höhe, die man bei $x$ zur Zeit $t$ findet, dieselbe, die zur Zeit null bei $x-vt$ war:
$y(x,t)=f(x-vt)$

Alles hängt von der einzigen Kombination $x-vt$ ab. Hält man sie fest, $x-vt=x_1$, so wählt man ein Merkmal der Form aus, etwa ein Maximum, und dieses Merkmal liegt bei $x=x_1+vt$: Es wandert mit der Geschwindigkeit $v$ nach vorn, wie es sein soll. Nach demselben Argument hat eine Form, die nach $-x$ wandert, die Gestalt $g(x+vt)$.

Die wichtigste Form ist eine Sinuskurve. Gib ihr eine Wellenlänge $\lambda$, den Abstand benachbarter Wellenberge, und eine Periode $T$, die Zeit, die ein Punkt für einen vollen Zyklus braucht. Das Argument der Sinusfunktion, die Phase genannt, muss dann um $2\pi$ wachsen, wenn $x$ um $\lambda$ zunimmt, und ebenso, wenn $t$ um $T$ zunimmt. Beide Forderungen erfüllt der Ansatz
$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$
$k=\frac{2\pi }{\lambda }$
$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$
wobei $A$ die Amplitude ist und $f=1/T$ nun die Frequenz. Die Wellenzahl $k$ zählt Radiant Phase pro Meter Seil, und die Kreisfrequenz $\omega$ zählt Radiant Phase pro Sekunde. Um die Geschwindigkeit zu finden, klammere $k$ aus der Phase aus: $kx-\omega t=k(x-(\omega /k)t)$. Die Sinusfunktion hängt also nur über $x-vt$ von $x$ und $t$ ab, mit
$v=\frac{\omega }{k}=f\lambda$

In der Animation gilt $k=\pi rad/m$ und $\omega =\pi rad/s$, also ist die Wellenlänge 2 m, die Periode 2 s und die Geschwindigkeit 1 m/s. Mit $x$ von der Hand aus gemessen, gilt für das Seil $y=0,3\sin (\pi x-\pi t)$, in Metern und Sekunden. Eine Phasenkonstante $A\sin (kx-\omega t+\phi )$ verschiebt nur den Punkt des Zyklus, an dem die Welle beginnt.

Newtons Gesetz für ein Saitenstück

Bisher haben wir nur eine wandernde Form beschrieben. Nun fragen wir, warum sich eine Störung auf einer Saite überhaupt bewegt und was ihre Geschwindigkeit bestimmt. Die Antwort liefert Newtons zweites Gesetz, angewandt auf ein winziges Saitenstück.

Legende

$x$	Position des linken Endes des Stücks.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Position des rechten Endes des Stücks.	$\mathrm{m}$
$dx$	Länge des Stücks entlang $x$.	$\mathrm{m}$
$\mu dx$	Masse des Stücks, mit $\mu$ der Masse pro Längeneinheit.	$\mathrm{kg}$
$F$	Spannkraft: der Zug des restlichen Seils am Stück, entlang der Saite, an jedem Ende.	$\mathrm{N}$
${\theta }_1$	Winkel zwischen dem Zug am linken Ende und der Waagerechten.	$\mathrm{rad}$
${\theta }_2$	Winkel zwischen dem Zug am rechten Ende und der Waagerechten.	$\mathrm{rad}$
$F_y$	Resultierende seitliche Kraft auf das Stück: die Summe der seitlichen Anteile der beiden Züge.	$\mathrm{N}$

Abbildung 2 zeigt ein kurzes Stück Saite zwischen $x$ und $x+dx$, an einer Stelle, an der die Saite gekrümmt ist. Ist $\mu$ die Masse pro Längeneinheit, hat das Stück die Masse $\mu dx$. Der Rest der Saite zieht an seinen beiden Enden mit der Spannkraft $F$, stets entlang der Saite, unter den Winkeln ${\theta }_1$ und ${\theta }_2$ zur Waagerechten.

Zerlege jeden Zug in einen waagerechten und einen seitlichen Anteil; die gestrichelten Linien an jedem Ende zeigen die Zerlegung. Bei kleinen Winkeln sind beide waagerechten Anteile sehr nahe bei $F$, und sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen, sodass sie sich aufheben. Der seitliche Anteil jedes Zuges ist $F\sin \theta$. Für einen kleinen Winkel gilt $\sin \theta \approx \tan \theta$, und $\tan \theta$ ist gerade die Steigung der Saite, $\partial y/\partial x$. Der seitliche Anteil an jedem Ende ist also $F$ mal die Steigung der Saite an diesem Ende.

In der Abbildung ist die Steigung am linken Ende negativ und am rechten positiv, daher zeigen beide seitlichen Anteile nach oben und addieren sich. Allgemein wird das linke Ende nach $-x$ und das rechte nach $+x$ gezogen, sodass ihre seitlichen Anteile mit entgegengesetzten Vorzeichen eingehen: Die resultierende seitliche Kraft ist $F$ mal die Steigung bei $x+dx$ minus $F$ mal die Steigung bei $x$. Diese Differenz der Steigungen über eine Länge $dx$ ist $({\partial }^{2}y/\partial x^2)dx$, also
$F_y=F\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}dx$

Ein gerades Stück spürt daher keine Nettokraft, ein gekrümmtes Stück wird zur Innenseite seiner Krümmung gezogen, wie der Pfeil $F_y$ zeigt. Newtons zweites Gesetz für das Stück lautet $\mu dx{\partial }^{2}y/\partial t^2=F_y$; Division durch $\mu dx$ ergibt
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{F}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Das ist die Wellengleichung. Mit Worten: Jedes Stück der Saite beschleunigt proportional dazu, wie stark die Saite dort gekrümmt ist. Erfüllt die gleitende Form aus dem ersten Abschnitt, $y=f(x-vt)$ mit $f$ wieder als Form, diese Gleichung? Jede Ableitung nach $t$ liefert nach der Kettenregel einen Faktor $-v$, jede Ableitung nach $x$ einen Faktor 1, also gilt ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{f}^{\prime \prime }$ und ${\partial }^{2}y/\partial x^2=f^{\prime \prime }$, wobei $f^{\prime \prime }$ die zweite Ableitung der Form ist. Die Gleichung lautet dann $v^2{f}^{\prime \prime }=(F/\mu )f^{\prime \prime }$. Sie gilt für jede Form, sofern
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

Die Spannkraft liefert die rücktreibende Kraft, die Masse pro Längeneinheit die Trägheit, genau wie Steifigkeit und Masse bei einem Oszillator an einer Feder: Eine straffere Saite trägt Wellen schneller, eine schwerere langsamer. In der Herleitung stecken zwei Näherungen. Die waagerechten Anteile der Züge, $F\cos \theta \approx F$, wurden als einander aufhebend angenommen, sodass sich das Stück nur seitlich bewegt; und die Spannkraft wurde überall als gleich groß angesetzt. Beides verlangt kleine Steigungen, $|\partial y/\partial x|\ll 1$.

Schall: dasselbe Gesetz im Gas

Schall ist ebenfalls Mechanik. In Luft kommt die rücktreibende Kraft vom Druck statt von der Spannkraft, und das Gas bewegt sich längs der Ausbreitungsrichtung statt quer dazu. Dieser Abschnitt leitet die Wellengleichung für ein Gas her und daraus die Schallgeschwindigkeit.

Legende

$x$	Ruhelage der linken Fläche der Schicht.	$\mathrm{m}$
$x+dx$	Ruhelage der rechten Fläche der Schicht.	$\mathrm{m}$
$dx$	Dicke der Schicht in Ruhe.	$\mathrm{m}$
$s$	Verschiebung der linken Fläche aus ihrer Ruhelage, längs $x$.	$\mathrm{m}$
$s+ds$	Verschiebung der rechten Fläche; $ds$ ist, um wie viel sie sich stärker verschoben hat als die linke.	$\mathrm{m}$
$dx+ds$	Dicke der Schicht nach der Verschiebung.	$\mathrm{m}$

In einer Schallwelle bewegt sich jede dünne Gasschicht vor und zurück längs $x$, wie die Windungen der Spiralfeder in der Animation. Sei $s(x,t)$ die Verschiebung längs $x$ der Schicht, die an der Stelle $x$ ruht. Abbildung 3 verfolgt eine Schicht zwischen $x$ und $x+dx$, solange das Gas ruht (obere Reihe). In der unteren Reihe hat eine Schallwelle das Gas verschoben. Die linke Fläche der Schicht ist um $s$ verschoben und die rechte um $s+ds$, also um einen anderen Betrag, sodass die Schicht nun $dx+ds$ dick ist. In der Abbildung ist $ds$ negativ: Die rechte Fläche ist zurückgewandert, die Schicht ist zusammengedrückt und das Gas darin dichter.

Drei Schritte führen von diesem Bild zu einer Wellengleichung.

Erstens bleibt die Masse erhalten. Die beiden Flächen sind um Beträge verschoben, die sich um $ds=(\partial s/\partial x)dx$ unterscheiden, sodass dieselbe Masse nun eine Dicke $(1+\partial s/\partial x)dx$ ausfüllt. Die Dichte ist umgekehrt proportional zur Dicke, daher ändert sie sich für ein kleines $\partial s/\partial x$ um $\delta \rho \approx -{\rho }_0\partial s/\partial x$, wobei ${\rho }_0$ die Dichte im Ruhezustand ist.

Zweitens hängt der Druck von der Dichte ab. Für eine kleine Änderung gilt $\delta P=(dP/d\rho {)}_0\delta \rho$, wobei der Index 0 bedeutet, dass die Ableitung im ruhenden Gas gebildet wird.

Drittens das newtonsche Gesetz für die Schicht. Pro Flächeneinheit hat sie die Masse ${\rho }_{0}dx$. Der Druck auf ihrer linken Fläche drückt sie nach $+x$, der Druck auf ihrer rechten Fläche nach $-x$, sodass die Nettokraft pro Flächeneinheit der Druckabfall über sie ist, $-(\partial \delta P/\partial x)dx$. Division durch $dx$ ergibt ${\rho }_0{\partial }^{2}s/\partial t^2=-\partial \delta P/\partial x$: Die Schicht wird von der Seite mit höherem Druck weggedrückt.

Setzt man die drei Schritte zusammen, $\delta \rho$ in $\delta P$ und $\delta P$ in das newtonsche Gesetz, und teilt durch ${\rho }_0$:
$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2},c^2={\left(\frac{dP}{d\rho }\right)}_0$

Das ist dieselbe Wellengleichung wie für die Saite, und $c$ ist die Schallgeschwindigkeit. Welche Ableitung $dP/d\rho$ die richtige ist, hängt davon ab, was die Temperatur beim Zusammendrücken des Gases tut. Newton nahm an, sie bleibe konstant, sodass $P\propto \rho$ gilt; das ergibt $c=\sqrt{P_0/{\rho }_0}\approx 290m/s$ für Luft bei 20 °C, rund 15 % unter den gemessenen 343 m/s. Laplace fand den Fehler: Die Wärme hat keine Zeit, von den Verdichtungen, die sich erwärmen, zu den Verdünnungen zu fließen, die sich abkühlen. Bei 1 kHz diffundiert die Wärme in einer halben Periode etwa 0,1 mm weit, während eine Verdichtung und die nächste Verdünnung 17 cm voneinander entfernt sind. Jede Schicht wird daher ohne Wärmeaustausch zusammengedrückt, also adiabatisch, wobei $P\propto {\rho }^{\gamma }$ mit $\gamma =1,40$ für Luft gilt. Dann ist $dP/d\rho =\gamma P/\rho$, und
$c=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma k_{B}T}{m}}$

Die zweite Form nutzt das ideale Gasgesetz, $P_0={\rho }_0{k}_{B}T/m$. Hier ist $T$ die absolute Temperatur, nicht die Periode, $m$ die Masse eines Moleküls und $k_B$ die Boltzmann-Konstante. Der Druck fällt heraus, denn bei fester Temperatur bedeutet höherer Druck eine proportional höhere Dichte. Die Schallgeschwindigkeit hängt nur vom Gas und seiner Temperatur ab: 331 m/s bei 0 °C und 343 m/s bei 20 °C. Zum Vergleich mit den Molekülen selbst: Ihre quadratisch gemittelte Geschwindigkeit, $\sqrt{3k_{B}T/m}$ (siehe Kinetische Gastheorie), beträgt bei 20 °C 502 m/s, also ist $c$ etwa $\sqrt{\gamma /3}\approx 0,68$ davon. Ein Drucksignal, das durch Stöße von Molekül zu Molekül weitergegeben wird, läuft etwas langsamer als die Moleküle, die es tragen.

Momentaufnahme, Verlauf und Graph

Eine Welle hängt von zwei Variablen ab, daher lässt sie sich auf zwei Arten darstellen: das ganze Seil zu einem Zeitpunkt oder ein einzelner Punkt des Seils über die Zeit. Dieser Abschnitt zeigt, dass für eine wandernde Welle beide Graphen dieselbe Kurve sind und was das darüber aussagt, wie sich jeder Punkt bewegt.

Legende

$y$	Auslenkung des Seils aus der Ruhelinie.	$\mathrm{m}$
$x$	Ort entlang des Seils, von der Hand aus gemessen.	$\mathrm{m}$
$t$	Zeit.	$\mathrm{s}$
$x_0$	Position der roten Kugel.	$\mathrm{m}$
$v$	Geschwindigkeit der Welle, in Richtung $+x$.	$m/s$
$\partial y/\partial x$	Steigung des Seils an der Kugel in der Momentaufnahme: die obere Tangente.
$\partial y/\partial t$	Geschwindigkeit der Kugel: die Steigung ihres Verlaufs, die untere Tangente.	$m/s$

Stell dir $y(x,t)$ als Fläche über der $(x,t)$-Ebene vor; Abbildung 4 schneidet sie auf zwei Arten. Die obere Kurve ist eine Momentaufnahme, ein Schnitt zu einem Zeitpunkt: das Seil bei $t=0$, $y=0,3\sin (\pi x)$. Die untere Kurve ist ein Verlauf, ein Schnitt an einem Ort: die rote Kugel bei $x_0=3\mathrm{m}$, der Graph der Expertenansicht. Da $\sin (3\pi -a)=\sin a$ gilt, bewegt sich die Kugel nach $y=0,3\sin (3\pi -\pi t)=0,3\sin (\pi t)$: eine Sinuskurve mit der Periode 2 s, die bei null beginnt und ansteigt. Die Hand bei $x=0$ bewegt sich nach $-0,3\sin (\pi t)$, also dieselbe Kurve auf dem Kopf. Die gestrichelte Linie verbindet die beiden Erscheinungen der Kugel bei $t=0$.

Warum hängen die beiden Schnitte zusammen? Weil $y$ nur über $x-vt$ von $x$ und $t$ abhängt, liefert die Kettenregel $\partial y/\partial x=f^{\prime }$ und $\partial y/\partial t=-v{f}^{\prime }$. Daher
$\frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}$

Ein Punkt des Seils bewegt sich mit minus der Wellengeschwindigkeit mal der lokalen Steigung. Das ist plausibel: Wo das Seil nach $+x$ hin abfällt, kommt der höhere Teil von hinten heran, also steigt der Punkt. In Abbildung 4 haben die $x$- und die $t$-Achse gleichen Maßstab und $v=1m/s$, daher ist die untere Kurve die obere von links nach rechts gespiegelt, ein Spiegelbild an der gestrichelten Linie. Betrachte die beiden Tangenten an der Kugel: Die Momentaufnahme fällt ab, $\partial y/\partial x=-kA$, und der Verlauf steigt an, $\partial y/\partial t=+\omega A$.

Dort, wo das Seil die Ruhelinie kreuzt, wie bei der Kugel, ist seine Steigung betragsmäßig am größten, $kA$, und ebenso die Geschwindigkeit des Punktes, $vkA=\omega A$; an einem Wellenberg sind beide null. In der Animation ist $kA=0,3\pi \approx 0,94$, die Kugel erreicht also 0,94 m/s, fast die Wellengeschwindigkeit, und ihr Graph startet mit dieser Steigung.

Die Regel zweimal angewendet liefert die Wellengleichung zurück, ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$: Die Beschleunigung eines Punktes ist $v^2$ mal die Krümmung des Seils dort. Ein Wellenberg, als die am stärksten gekrümmte Stelle, wird am stärksten nach unten beschleunigt, mit ${\omega }^{2}A=0,3{\pi }^2\approx 2,96m/{\mathrm{s}}^2$. Für eine Sinusfunktion gilt ${\partial }^{2}y/\partial x^2=-k^{2}y$, also erfüllt jeder Punkt ${\partial }^{2}y/\partial t^2=-{\omega }^{2}y$. Die Welle ist eine Reihe harmonischer Oszillatoren wie in Harmonische Schwingung, jeder etwas hinter seinem Nachbarn.

Überlagerung: Wellen addieren

Die Wellengleichung ist linear: $y$ und seine Ableitungen kommen nur in der ersten Potenz vor. Erfüllen also zwei Funktionen sie, so tut es auch ihre Summe. Zwei aufeinander zulaufende Pulse addieren sich, wo sie überlappen, und laufen danach mit unveränderter Form weiter; die allgemeine Lösung auf einem langen Seil ist $f(x-vt)+g(x+vt)$ mit zwei beliebigen Formen $f$ und $g$, wie d'Alembert 1747 zeigte. Interferenz, Schwebungen und stehende Wellen sind alle Überlagerungen.

Linearität gilt auch in der Gegenrichtung: Jede Form lässt sich als Summe von Sinuskurven darstellen. Jede Sinuskurve läuft mit ihrem eigenen $\omega /k$; auf dem idealen Seil ist das für alle dasselbe $v$, sodass die Summe und mit ihr die Form unverändert läuft. Licht gehorcht derselben Gleichung, hergeleitet aus den maxwellschen Gleichungen statt aus Newtons Gesetz.

Von der Welle transportierte Energie

Energie wandert mit der Form. Pro Meter hat ein Seilstück die kinetische Energie $\frac{1}{2}\mu (\partial y/\partial t{)}^2$. Außerdem hat es die potentielle Energie $\frac{1}{2}F(\partial y/\partial x{)}^2$, weil ein schräges Stück um etwa $\frac{1}{2}(\partial y/\partial x{)}^{2}dx$ länger ist als $dx$ und die Spannkraft beim Dehnen Arbeit verrichtet hat. Für eine wandernde Welle gilt $\partial y/\partial t=-v\partial y/\partial x$ und $F=\mu v^2$, und damit sind beide Energien an jedem Punkt gleich groß.

Für eine Sinuskurve ist die kinetische Energie pro Meter $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2{\cos }^2(kx-\omega t)$, was über einen Zyklus zu $\frac{1}{4}\mu {\omega }^2{A}^2$ mittelt. Verdoppelt man das für die gleich große potentielle Energie, ergibt sich eine Gesamtenergie von $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$ pro Meter. Diese Energie wandert mit $v$, daher ist die mittlere Leistung, die durch jeden Punkt fließt,
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$

Sie wächst mit $A^2$ und mit ${\omega }^2$. Wo zwei Seile aufeinandertreffen, schickt ein Sprung im Produkt $\mu v$ einen Teil der Welle zurück. Für die beiden Seile aus dem Beispiel der mittleren Stufe verdoppelt sich $\mu v$, von 1,2 auf 2,4 kg/s; die reflektierte Amplitude beträgt $(1,2-2,4)/(1,2+2,4)=-1/3$ der einlaufenden, also kehrt ein Drittel der Amplitude verkehrt herum zurück, und da die Leistung mit dem Quadrat der Amplitude geht, wird ein Neuntel der Leistung reflektiert.

Durchgerechnete Aufgabe: das Seil antreiben

Angenommen, das Seil aus der Animation mit $A=0,3\mathrm{m}$, $\omega =\pi rad/s$ und $v=1m/s$ hat $\mu =0,2kg/m$ und liegt auf einem glatten Boden, seitlich geschüttelt, sodass die Schwerkraft keine Rolle spielt. Welche Spannkraft braucht es, welche Leistung muss die Hand liefern, und was ändert sich, wenn die Hand doppelt so oft schüttelt?

Die Spannkraft folgt aus $v=\sqrt{F/\mu }$, die Leistung aus der obigen Formel:
$F=\mu v^2=0,2\cdot 1^2=0,2\mathrm{N}$
$\bar{P}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot {\pi }^2\cdot 0,3^2\cdot 1\approx 0,089\mathrm{W}$

Überprüfe die Leistung durch Abzählen der Energie. Das Seil enthält $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2\approx 0,089\mathrm{J}$ pro Meter, also enthält eine Wellenlänge, 2 m Seil, etwa 0,18 J. In jeder 2-s-Periode liefert die Hand $0,089\cdot 2\approx 0,18\mathrm{J}$, genau diesen Betrag: Bei jeder Periode füllt die Hand eine weitere Wellenlänge Seil mit Energie.

Schüttelst du nun mit 1 Hz bei gleicher Amplitude, bleibt die Geschwindigkeit, bestimmt allein durch $F$ und $\mu$, bei 1 m/s, und die Wellenlänge wird $\lambda =v/f=1\mathrm{m}$. Die Leistung wächst mit ${\omega }^2$, also auf das Vierfache, auf etwa 0,36 W. Um 89 mW zu halten, muss $\omega A$ gleich bleiben, also muss die Amplitude auf 0,15 m halbiert werden. Die größte Steigung $kA$ bleibt dann bei 0,94, ebenso die höchste Geschwindigkeit der Kugel, $\omega A$. In einem gegebenen Medium wird die Leistung durch die Spitzengeschwindigkeit der bewegten Punkte bestimmt, $\omega A$, nicht durch die Amplitude allein.

Grenzen der Gültigkeit

Auf dem Weg wurden drei Annahmen gemacht: kleine Steigungen, ein glattes, kontinuierliches Medium und eine Geschwindigkeit, die für alle Frequenzen gleich ist.

Kleine Steigungen. Jeder Schritt benutzte $\sin \theta \approx \tan \theta$ und $\cos \theta \approx 1$. Bei einer Steigung von 0,1 betragen die vernachlässigten Terme etwa ein halbes Prozent; bei den 0,94 der Animation, absichtlich groß gezeichnet, damit man sie sieht, wären es mehrere zehn Prozent. Eine echte Gitarrensaite mit 1 mm Amplitude und 1,3 m Wellenlänge hat $kA\approx 0,005$. Für Schall gilt dieselbe Bedingung $\delta P\ll P_0$: Selbst ein schmerzhaft lauter Schall von 120 dB hat eine Druckamplitude von nur etwa 28 Pa, $3\times 10^{-4}$ des Atmosphärendrucks. Bei einer Explosion ist die Bedingung verletzt: Die verdichteten, erhitzten Teile der Welle laufen schneller und überholen die Teile davor, und die Front wird zu einer steilen Stoßwelle.

Ein kontinuierliches Medium. Das Gas als Kontinuum zu behandeln, erfordert Wellenlängen, die weit größer sind als die mittlere freie Weglänge, also die mittlere Strecke, die ein Molekül zwischen zwei Stößen zurücklegt, in Luft etwa 70 nm. Hörbarer Schall mit Wellenlängen von 1,7 cm bis 17 m ist sicher, aber Ultraschall nahe 1 GHz, mit $\lambda \approx 0,34\mu \mathrm{m}$, wird auf kurzer Strecke absorbiert.

Eine Geschwindigkeit für alle Frequenzen. Eine Form bleibt nur erhalten, wenn $v$ nicht von der Frequenz abhängt. Wasserwellen in tiefem Wasser haben $v=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$, 1,8 m/s bei 2 m Wellenlänge und 3,5 m/s bei 8 m, und Licht in Glas ist für Blau langsamer als für Rot. Solche Wellen heißen dispersiv: Ein Puls zerfließt auf seinem Weg, und seine Energie wandert mit der Gruppengeschwindigkeit $d\omega /dk$, bei tiefem Wasser der halben Geschwindigkeit der Wellenberge.

Wie es weitergeht

Schall und Doppler-Effekt verfolgt bewegte Quellen und Beobachter; Lautstärke, Intensität und Dezibel übersetzt $\bar{P}\propto A^2$ in Dezibel; Stehende Wellen und Interferenz und Superposition wenden die Linearität an; Reflexion und Brechung sowie Prismen, Dispersion und Farbe behandeln Geschwindigkeiten, die sich zwischen Medien oder mit der Frequenz ändern. Elektromagnetische Wellen leitet die Lichtgeschwindigkeit aus derselben Gleichung her. Im Welle-Teilchen-Dualismus wird die Frequenz proportional zur Energie und die Wellenzahl proportional zum Impuls, und Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt beschreibt Wellen, die von Natur aus dispersiv sind.