Der photoelektrische Effekt

Einsteiger

Richte Licht auf eine saubere Metallplatte in einer Vakuumröhre; mit dem richtigen Licht springen Elektronen aus ihrer Oberfläche, und ein Messgerät im Stromkreis zeigt dann einen Strom. Das ist der photoelektrische Effekt. Sammeln wir, was die Experimente zeigen, eine Beobachtung nach der anderen.

Beobachtung 1: Die Farbe entscheidet. In der Animation überflutet eine helle rote Lampe die Natriumplatte, und nichts passiert, egal wie lange wir warten. Schwaches violettes Licht wirkt sofort.
Beobachtung 2: Kein Warten. Schon sehr schwaches violettes Licht befreit Elektronen, sobald es ankommt.
Beobachtung 3: Die Helligkeit entscheidet, wie viele. Helleres violettes Licht löst mehr Elektronen aus, aber keines davon schneller.
Beobachtung 4: Blauer heißt schneller. Ultraviolettes Licht lässt Elektronen mit mehr Tempo herausspringen als violettes.

Eine Lichtwelle, die sich gleichmäßig über die Platte ausbreitet, erklärt nur die dritte Beobachtung. Einsteins Antwort von 1905: Licht kommt in winzigen Energiepaketen, den Photonen, und die Farbe bestimmt die Energie jedes Pakets. Rote Photonen tragen wenig, violette mehr, ultraviolette noch mehr. Ein Elektron nimmt jeweils ein Photon auf, ganz oder gar nicht. Um herauszukommen, muss es eine feste „Austrittsgebühr“ zahlen. Ein rotes Photon kann sie nicht zahlen, und mehr rote Photonen helfen nicht, so wie eine Gruppe, in der jeder eine Münze hat, kein Ticket für fünf Münzen kaufen kann. Was nach der Gebühr übrig bleibt, wird zur Geschwindigkeit des Elektrons.

Photomultiplier nutzen diesen Effekt, um einzelne Photonen zu zählen; Kamerasensoren und Solarzellen beruhen auf einem nahen Verwandten. Dafür erhielt Einstein den Nobelpreis.

Prüf dich selbst: Ultraviolettes Licht löst Elektronen aus einem Metall, und du machst es doppelt so hell. Kommen die Elektronen schneller heraus, oder kommen mehr heraus? (Mehr davon, mit derselben Höchstgeschwindigkeit.)

Mittelstufe

Was das Experiment misst

Zwei Metallelektroden stehen in einer evakuierten Glasröhre: eine Platte, auf die das Licht fällt, hier Natrium, und eine Auffangelektrode, die über eine Batterie und ein Amperemeter damit verbunden ist. Im Dunkeln zeigt das Messgerät null, weil nichts Ladung durch das Vakuum trägt. Licht passender Farbe lässt sofort einen Strom fließen: Elektronen, Photoelektronen genannt, verlassen die beleuchtete Platte und erreichen die Auffangelektrode.

Der Experimentator variiert zwei Eigenschaften des Lichts: seine Frequenz $f$, die wir als Farbe sehen, und seine Intensität, also die Leistung pro Quadratmeter. Gemessen werden zwei Dinge: der Photostrom $I$, der die pro Sekunde ankommenden Elektronen zählt, und die Energie der schnellsten Elektronen. Anders als im Wellenbild hängt davon, ob Elektronen austreten und wie schnell die schnellsten sind, nur die Frequenz ab; die Intensität bestimmt allein den Strom.

Licht in Paketen: das Photon

1905 schlug Einstein vor, dass Licht in Energiepaketen absorbiert wird und sich in ihnen ausbreitet, die man heute Photonen nennt. Ein Photon der Frequenz $f$ oder der Wellenlänge $\lambda =c/f$ trägt die Energie
$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$
wobei $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ das plancksche Wirkungsquantum und $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Helleres Licht einer Farbe bedeutet mehr Photonen pro Sekunde, nicht größere.

In der Atomphysik misst man solche Energien in Elektronenvolt, der Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von 1 V gewinnt: $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$. Mit dem Produkt
$hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$
ist die Photonenenergie in Elektronenvolt gleich 1240 geteilt durch die Wellenlänge in Nanometern: 3,10 eV für violettes Licht bei 400 nm.

Die Energiebilanz: Einsteins Gleichung

Leitungselektronen bewegen sich im Metall frei, aber schon das Befreien des am lockersten gebundenen kostet eine bestimmte Energie, die Austrittsarbeit $\phi$: etwa 2,1 eV für Cäsium, 2,28 eV für Natrium, 4,3 eV für Zink und 5,1 eV für Gold. Ein Elektron absorbiert ein ganzes Photon oder nichts. Ist $hf$ größer als $\phi$, zahlt das Elektron den Austritt und behält den Rest als kinetische Energie:
$K{E}_{\max }=hf-\phi$

Das Wort „maximal“ ist wichtig: Nur ein Elektron, das vom höchsten besetzten Energieniveau startet und auf dem Weg nach draußen nichts verliert, verlässt das Metall mit der vollen Energie $hf-\phi$. Elektronen aus tieferen Niveaus oder aus dem Inneren kommen mit weniger heraus, irgendwo zwischen null und $K{E}_{\max }$.

Ist $hf$ kleiner als $\phi$, kann kein einzelnes Photon ein Elektron befreien, und ein Elektron kann nicht mehrere Photonen sammeln: Es gibt seinen kleinen Gewinn als Wärme an das Metall ab, lange bevor das nächste Photon eintrifft. Der Grenzfall $hf=\phi$ definiert die Schwellenfrequenz und die Schwellenwellenlänge:

• $f_0=\frac{\phi }{h}$
• ${\lambda }_0=\frac{hc}{\phi }$

Die Schwelle ist eine minimale Frequenz, aber eine maximale Wellenlänge: Licht mit größerer Wellenlänge als ${\lambda }_0$ befreit nichts, egal wie intensiv es ist.

Rechenbeispiel: die Natriumplatte aus der Animation

Die Platte in der Animation ist Natrium, $\phi =2,28\mathrm{eV}$, also ${\lambda }_0=1240/2,28\approx 544\mathrm{nm}$, im Grün, und $f_0\approx 5,51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. Die helle rote Lampe bei 700 nm liefert $hf=1240/700=1,77\mathrm{eV}$ und $hf-\phi =1,77-2,28=-0,51\mathrm{eV}$. Keines ihrer 14 Photonen befreit ein Elektron, und eine rote Markierung zeigt keine Emission.

Violettes Licht bei 400 nm liefert $hf=3,10\mathrm{eV}$ und $K{E}_{\max }=3,10-2,28=0,82\mathrm{eV}$; ultraviolettes Licht bei 250 nm liefert $hf=4,96\mathrm{eV}$ und $K{E}_{\max }=2,68\mathrm{eV}$. Das sind die Werte auf den Anzeigen für $\lambda$, $hf$ und $hf-\phi$. Da $0,82\mathrm{eV}=1,31\times 10^{-19}\mathrm{J}$ ist, bewegen sich die schnellsten violetten Elektronen mit $v=\sqrt{2K{E}_{\max }/m}\approx 5,4\times 10^{5}m/s$; die schnellsten ultravioletten erreichen $9,7\times 10^{5}m/s$.

Die blauen Geschwindigkeitspfeile zeigen das. Eines von drei Elektronen verlässt das Metall mit $K{E}_{\max }$; die anderen haben im Metall Energie verloren und behalten 45 % oder 75 % davon, daher sind ihre Pfeile kürzer. Der Pfeil des schnellsten ultravioletten Elektrons ist $\sqrt{2,68/0,82}\approx 1,8$-mal so lang wie der des schnellsten violetten. Wird das violette Licht hell, befreien neun Photonen neun Elektronen statt drei, doch die Anzeige bleibt bei 0,82 eV.

Rechenbeispiel: eine Zinkplatte unter UV-Licht

Eine saubere Zinkplatte mit $\phi =4,3\mathrm{eV}$ wird mit der ultravioletten Linie einer Quecksilberlampe bei 254 nm beleuchtet. Wirkt sichtbares Licht darauf, wie schnell sind die schnellsten Elektronen, und wie groß ist der Strom?

Die Schwelle von Zink liegt bei ${\lambda }_0=1240/4,3\approx 288\mathrm{nm}$, schon im Ultravioletten; das violette Licht, das bei Natrium wirkt, befreit hier also nichts. Bei 254 nm gilt $hf=1240/254=4,88\mathrm{eV}$ und $K{E}_{\max }=4,88-4,3=0,58\mathrm{eV}$: Die schnellsten Elektronen bewegen sich mit etwa $4,5\times 10^{5}m/s$.

Angenommen, 1,0 mW dieses Lichts erreicht die Platte. Bei $4,88\mathrm{eV}=7,82\times 10^{-19}\mathrm{J}$ pro Photon kommen etwa $1,3\times 10^{15}$ Photonen pro Sekunde an. Ein blankes Metall wandelt sie schlecht um: Befreit eines von tausend ein Elektron, verlassen $1,3\times 10^{12}$ Elektronen pro Sekunde das Metall, und der Strom ist $I\approx 1,3\times 10^{12}\cdot 1,602\times 10^{-19}\approx 2\times 10^{-7}\mathrm{A}$, also 0,2 µA. Verdoppelt man die Leistung der Lampe, verdoppelt sich der Strom, aber die 0,58 eV bleiben gleich.

Energiediagramm und Graphen lesen

Ein Energiediagramm trägt die Energie eines Elektrons als Höhe auf. Die Elektronen füllen das Metall bis zu einem obersten Niveau, und ein ruhendes Elektron knapp außerhalb liegt $\phi$ höher. Ein Photon hebt ein Elektron um genau $hf$. Bei violettem Licht teilen sich die 3,10 eV in 2,28 eV zum Herausklettern und 0,82 eV Bewegung; das rote Photon mit 1,77 eV bleibt 0,51 eV zu kurz, und der Gewinn des Elektrons endet als Wärme.

Für eine Farbe oberhalb der Schwelle ist der Photostrom gegen die Intensität eine Gerade durch den Ursprung, während $K{E}_{\max }$ gegen die Intensität flach verläuft. $K{E}_{\max }$ gegen die Frequenz ist bis $f_0$ null und dann eine Gerade mit der Steigung $h$: dieselbe Steigung für jedes Metall, aber jeweils ab dessen eigener Schwelle $f_0=\phi /h$. Die erweiterte Ansicht der Animation zeichnet diesen Graphen.

Häufige Fehler

• Helleres Licht macht die Elektronen nicht schneller: Verdreifacht man das violette Licht in der Animation, werden dreimal so viele Elektronen befreit, jedes mit weiterhin höchstens 0,82 eV.
• Warten hilft unterhalb der Schwelle nicht: Die rote Lampe könnte stundenlang auf Natrium scheinen, und jedes Photon mit 1,77 eV bliebe unter 2,28 eV.
• Die Austrittsarbeit wird abgezogen, nicht addiert: Violette Photonen auf Natrium ergeben $3,10-2,28=0,82\mathrm{eV}$, nicht 5,38 eV.
• Die Schwelle gehört zum Metall, nicht zum Licht: 400-nm-Licht befreit Elektronen aus Natrium, aber nicht aus Zink, dessen Schwelle bei 288 nm liegt.
• Rechne Elektronenvolt in Joule um, bevor du $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$ verwendest: 0,82 eV sind $1,31\times 10^{-19}\mathrm{J}$ und ergeben 540 km/s, während 0,82 direkt eingesetzt $1,3\times 10^{15}m/s$ liefert, schneller als das Licht.

Wo dir das begegnet

Photomultiplier zählen einzelne Photonen in medizinischen Scannern, Teilchendetektoren und Teleskopen und vervielfachen jedes Photoelektron etwa eine Million Mal. Nachtsichtverstärker arbeiten genauso, und Raumfahrzeuge im Sonnenlicht laden sich auf einige Volt positiv auf, weil ultraviolettes Licht Elektronen aus ihrer Außenhaut löst. Solarzellen und Kamerasensoren nutzen den inneren photoelektrischen Effekt, bei dem das Photon ein Elektron innerhalb eines Halbleiters anhebt statt heraus.

Quanten von $hf$ durchziehen die restliche moderne Physik. In „Atommodelle: das bohrsche Atom“ senden und absorbieren Atome Photonen, die zur Lücke zwischen zwei Energieniveaus passen; „Halbleiter, Dioden und LEDs“ dreht den Effekt um; und „Welle-Teilchen-Dualismus“ gibt auch Elektronen eine Wellenlänge.

Fortgeschritten

Die Energie messen: das Stoppotential

Der photoelektrische Effekt wird durch zwei Messungen entschieden: wie viele Elektronen pro Sekunde aus einem beleuchteten Metall austreten und wie viel kinetische Energie die schnellsten von ihnen tragen. Die erste ist schlicht ein Strom. Die zweite braucht einen Trick, das Stoppotential, und Abbildung 1 zeigt, wie er funktioniert.

Legende

$I$	Photostrom: die Ladung pro Sekunde, die von den Elektronen getragen wird, die die Auffangelektrode erreichen.	$\mathrm{A}$
$V$	Spannung der Auffangelektrode gegenüber der beleuchteten Platte; negative Werte drücken die Elektronen zurück.	$\mathrm{V}$
$V_0$	Stoppotential für das violette Licht: Der Strom verschwindet bei $V=-V_0$.	$\mathrm{V}$
$V_0^{\prime }$	Stoppotential für das ultraviolette Licht; größer als $V_0$, weil jedes ultraviolette Photon mehr Energie trägt.	$\mathrm{V}$
$I_1$	Photostrom bei schwachem violettem Licht; sein Plateau ist der Sättigungsstrom.	$\mathrm{A}$
$I_2$	Photostrom bei hellem violettem Licht, mit dreimal so vielen Photonen pro Sekunde wie bei $I_1$.	$\mathrm{A}$
$I_3$	Photostrom bei ultraviolettem Licht, gezeichnet mit den meisten Photonen pro Sekunde.	$\mathrm{A}$

Der Aufbau ist eine Vakuumröhre mit zwei Elektroden: einer Natriumplatte, auf die das Licht fällt, und einer ihr gegenüberliegenden Auffangelektrode. An die Auffangelektrode wird eine Spannung $V$ gelegt, gemessen gegenüber der beleuchteten Platte, und ein Messgerät erfasst den Photostrom $I$, also die Ladung pro Sekunde, die von den Elektronen getragen wird, die die Auffangelektrode erreichen. Abbildung 1 zeigt drei Messungen: schwaches violettes Licht ($I_1$), helleres Licht derselben violetten Farbe ($I_2$) und ultraviolettes Licht ($I_3$).

Beginne rechts in Abbildung 1, wo $V$ positiv ist. Die Auffangelektrode zieht die Elektronen an, jedes Elektron, das die Platte verlässt, wird eingesammelt, und jede Kurve flacht zu einem Plateau ab, dem Sättigungsstrom. Ein Plateau zählt Elektronen pro Sekunde, daher ist es bei Licht einer Farbe proportional zur Zahl der pro Sekunde ankommenden Photonen: $I_2$ hat dreimal so viele Photonen wie $I_1$ und daher ein dreimal so hohes Plateau. Die ultraviolette Messung ist mit den meisten Photonen pro Sekunde gezeichnet, daher hat sie das höchste Plateau. Ein Plateau sagt dir, wie viele Elektronen austreten, nie, wie schnell sie sind.

Gehe nun nach links, wo $V$ negativ ist. Die Auffangelektrode stößt die Elektronen nun ab, und um anzukommen, muss ein Elektron einen Potentialberg der Höhe $e|V|$ erklimmen, wobei $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ die Elementarladung ist. Nur ein Elektron, das die Platte mit mehr kinetischer Energie als dieser verlässt, schafft es darüber. Die Elektronen treten mit einer Streuung von Energien und Richtungen aus (Abbildung 2 zeigt, woher die Streuung kommt), also werden bei immer negativerem $V$ zuerst die langsamsten umgekehrt, und der Strom sinkt allmählich. Er erreicht null bei $V=-V_0$, wo selbst die schnellsten Elektronen, die mit der größten kinetischen Energie $K{E}_{\max }$, gerade umgekehrt werden:
$e{V}_0=K{E}_{\max }$

Die Spannung $V_0$ ist das Stoppotential. Es verwandelt eine Energiemessung in eine Spannungsablesung: Ein Elektron, das durch genau 1 V gestoppt wird, hatte 1 eV kinetische Energie, wobei das Elektronenvolt, die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von 1 V gewinnt, $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$ entspricht. Für Natrium gilt $V_0=0,82\mathrm{V}$ bei violettem Licht von 400 nm und $2,68\mathrm{V}$ bei ultraviolettem Licht von 250 nm, die Werte auf der $V_0$-Anzeige der Animation. Die schnellsten Elektronen tragen also 0,82 eV bzw. 2,68 eV.

Vergleiche nun, wo die Kurven in Abbildung 1 null erreichen. Die beiden violetten Kurven unterscheiden sich in der Höhe um den Faktor drei, erreichen aber beide null bei demselben $-V_0$. Die ultraviolette Kurve $I_3$ erreicht null bei $-V_0^{\prime }$, weiter links, weil ihre Elektronen schneller sind. Dasselbe gilt für jede Reihe von Messungen: Jede Intensität einer Farbe stoppt bei derselben Spannung, und jede Farbe bei ihrer eigenen. Die Intensität bestimmt den Strom; die Frequenz bestimmt die Energie. Das ist das ganze Rätsel in einer Abbildung, und der Rest dieser Erklärung zeigt, warum.

Energieerhaltung für ein Photon

Warum sollte die Energie allein von der Farbe abhängen? Einsteins Antwort von 1905 lautete, dass Licht in ganzen Quanten absorbiert wird, den Photonen, von denen jedes die Energie $hf$ trägt; dabei ist $f$ die Frequenz des Lichts und $h=6,626\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ das plancksche Wirkungsquantum. Abbildung 2 verfolgt die Energie eines Photons von seiner Absorption, bis sein Elektron außerhalb des Metalls ist.

Legende

$E$	Energie eines Elektrons.	$\mathrm{J}$
$E_F$	Fermi-Energie: der höchste besetzte Elektronenzustand im Metall.	$\mathrm{J}$
$E_0$	Vakuumniveau: die Energie eines ruhenden Elektrons knapp außerhalb des Metalls.	$\mathrm{J}$
$\phi$	Austrittsarbeit: der Abstand von $E_F$ hinauf zu $E_0$, die geringste Energie, die ein Elektron befreit.	$\mathrm{J}$
$hf$	Energie des absorbierten Photons, für beide Elektronen gleich.	$\mathrm{J}$
$\epsilon$	Wie weit das zweite Elektron unter der Fermi-Energie startet: die zusätzliche Energie, die es zum Austritt aufwenden muss.	$\mathrm{J}$
$K{E}_{\max }$	Kinetische Energie außerhalb des Metalls des Elektrons, das auf der Fermi-Energie startet: $hf-\phi$.	$\mathrm{J}$
$KE$	Kinetische Energie außerhalb des Metalls des Elektrons, das $\epsilon$ tiefer startet: $hf-\phi -\epsilon$.	$\mathrm{J}$

Die vertikale Achse von Abbildung 2 ist die Energie $E$ eines Elektrons. Im Metall füllen die Leitungselektronen die verfügbaren Zustände von unten bis zu einem höchsten besetzten Niveau, der Fermi-Energie $E_F$; das schraffierte Band sind die besetzten Zustände. Ein ruhendes Elektron knapp außerhalb der Oberfläche hat die Energie des Vakuumniveaus $E_0$. Die Lücke zwischen beiden, $\phi =E_0-E_F$, ist die Austrittsarbeit: die geringste Energie, die ein Elektron aus dem Metall herausbringt. Für Natrium beträgt sie 2,28 eV.

Die Absorption eines Photons hebt ein Elektron um genau $hf$: die violetten Pfeile, für beide Elektronen gleich. Verfolge zuerst das linke Elektron. Es startet auf der Fermi-Energie, braucht also nur $\phi$, um das Vakuumniveau zu erreichen. Verliert es auf dem Weg nach draußen nichts, behält es den Rest als kinetische Energie, den blauen Pfeil über $E_0$. Kein Elektron kann mehr erreichen, daher ist dies das Maximum:
$K{E}_{\max }=hf-\phi$

Nun verfolge das rechte Elektron. Es startet um eine Energie $\epsilon$ unter der Fermi-Energie, muss also $\epsilon$ mehr aufwenden, um herauszukommen, und dasselbe Photon lässt es mit nur
$KE=hf-\phi -\epsilon$
zurück. Sein blauer Pfeil ist um $\epsilon$ kürzer. Elektronen aus tieferen Zuständen und Elektronen, die vor Erreichen der Oberfläche durch Stöße Energie verlieren, kommen noch langsamer heraus: Das ist die Streuung der Energien, durch die die Kurven in Abbildung 1 allmählich abfallen. Mit $\epsilon =0$ erhält man wieder $K{E}_{\max }=hf-\phi$. Einsteins Gleichung ist nichts weiter als die Energieerhaltung für ein Photon und ein Elektron; das Neue steckt vollständig in der Behauptung, dass Licht in Quanten der Größe $hf$ ankommt.

Die Pfeile sind maßstabsgetreu für ultraviolettes Licht auf Natrium gezeichnet: $hf=4,96\mathrm{eV}$ und $\phi =2,28\mathrm{eV}$ ergeben $K{E}_{\max }=2,68\mathrm{eV}$, genau das in Abbildung 1 gemessene $e{V}_0$, und das Elektron, das $\epsilon =0,9\mathrm{eV}$ tiefer startet, verlässt das Metall mit $1,78\mathrm{eV}$.

Ein Detail verbirgt sich in dieser Buchführung: Ein freies Elektron kann kein Photon absorbieren. Um das zu sehen, lass ein Elektron der Masse $m$ in Ruhe starten und ein Photon der Energie $E$ aufnehmen, das auch den Impuls $E/c$ trägt. Das Elektron hätte dann die Energie $m{c}^2+E$ und den Impuls $p=E/c$. Doch die Relativitätstheorie legt die Energie eines Teilchens über seinen Impuls fest: Das Quadrat der Energie muss $(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2=(m{c}^2{)}^2+E^2$ sein. Das Quadrat von $m{c}^2+E$ ist um $2m{c}^{2}E$ größer als das, daher können Energie und Impuls nicht zugleich erhalten bleiben. Etwas anderes muss den Impuls aufnehmen, das Kristallgitter oder die Oberfläche; der Effekt betrifft also Elektronen, die in einem Metall gebunden sind, nicht isolierte Elektronen.

Die Austrittsarbeit ist auch keine Konstante, die nur für Licht gilt. Dieselbe Barriere bestimmt die Glühemission, bei der Wärme die Elektronen befreit: Zufällige thermische Bewegung gibt einigen von ihnen genug Energie, um sie zu überwinden, und der Strom wird vom Faktor $e^{-\phi /kT}$ bestimmt, wobei $k$ die Boltzmann-Konstante und $T$ die absolute Temperatur ist. Bei Raumtemperatur gilt $kT\approx 0,025\mathrm{eV}$, und für Natrium liegt der Faktor unter $10^{-38}$: keine Emission überhaupt. Ein Wolframfaden ($\phi \approx 4,5\mathrm{eV}$) bei 2500 K hat $kT\approx 0,22\mathrm{eV}$, und der Faktor erreicht etwa $10^{-9}$, genug für einen nutzbaren Strom. Die Wärme zahlt die Austrittsgebühr durch Zufall, einige Elektronen auf einmal; ein Photon zahlt sie in einem Schritt.

Die Gerade und ihre Steigung

Die Gleichung von Einstein macht eine scharfe, überprüfbare Vorhersage: Gegen die Frequenz aufgetragen ist $K{E}_{\max }$ eine Gerade, deren Steigung für jedes Metall gleich ist. Abbildung 3 zeigt diese Vorhersage, und so wurde $h$ zuerst mit Licht gemessen.

Legende

$K{E}_{\max }$	Größte kinetische Energie der Photoelektronen, $hf-\phi$.	$\mathrm{J}$
$f$	Frequenz des Lichts.	$\mathrm{Hz}$
$f_0$	Schwellenfrequenz von Natrium, $\phi /h$: dort, wo seine Linie die $f$-Achse schneidet.	$\mathrm{Hz}$
$f_0^{\prime }$	Schwellenfrequenz von Zink, größer, weil seine Austrittsarbeit größer ist.	$\mathrm{Hz}$
$\phi$	Austrittsarbeit von Natrium: Die gestrichelte Fortsetzung schneidet die Energieachse bei $-\phi$.	$\mathrm{J}$
$\Delta f$	Ein Schritt entlang der Frequenzachse, überall auf der Linie gemacht.	$\mathrm{Hz}$
$h\Delta f$	Anstieg der Linie über diesen Schritt, überall gleich: Die Steigung der Linie ist $h$.	$\mathrm{J}$

Abbildung 3 trägt $K{E}_{\max }=hf-\phi$ gegen die Frequenz $f$ des Lichts auf; die dicke Linie gehört zu Natrium. Schau zuerst auf das kleine Dreieck darauf: Ein Schritt $\Delta f$ nach rechts hebt die Linie um $h\Delta f$, und das gilt überall auf der Linie, wo man den Schritt macht. Das bedeutet eine Steigung von $h$.

Sieh dir als Nächstes an, wo die Linie die Achsen schneidet. Sie schneidet die Frequenzachse bei der Schwellenfrequenz $f_0=\phi /h$, wo ein Photon gerade genug Energie hat, um ein Elektron zu befreien, ohne Überschuss. Unterhalb von $f_0$ werden keine Elektronen emittiert, egal wie hell das Licht ist, es gibt also nichts zu messen. Unterhalb von $f_0$ ist die Linie (gestrichelt) eine Extrapolation, keine Messung; sie schneidet die Energieachse bei $-\phi$, also um $\phi$ unter der Frequenzachse, und das Ablesen dieses Achsenabschnitts ist eine Methode, die Austrittsarbeit zu finden.

Die dünne Linie gehört zu einem Metall mit größerer Austrittsarbeit, Zink, mit $\phi \approx 4,3\mathrm{eV}$. Sie hat dieselbe Steigung $h$, verläuft also parallel zur Natriumlinie, beginnt aber bei der größeren Schwelle $f_0^{\prime }=4,3\mathrm{eV}/h\approx 1,04\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, schon im Ultravioletten.

Die erweiterte Ansicht der Animation zeichnet die Natriumlinie mit drei Punkten darauf. Der rote Punkt bei $4,28\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ liegt unter der Schwelle $f_0=5,51\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ und sitzt bei null: keine Elektronen. Der violette Punkt bei $7,49\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ liegt bei 0,82 eV, und der ultraviolette bei $1,20\times 10^{15}\mathrm{Hz}$ bei 2,68 eV: die beiden Stoppotentiale aus Abbildung 1. Die schwachen und die hellen violetten Messungen teilen sich einen einzigen Punkt, weil die Intensität in diesem Graphen überhaupt nicht erscheint.

Im Labor misst man $V_0$ statt $K{E}_{\max }$. Teilt man die Gleichung von Einstein durch $e$, erhält man
$V_0=\frac{h}{e}f-\frac{\phi }{e}$
eine Gerade mit der Steigung $h/e=4,14\times 10^{-15}\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$: Das Stoppotential steigt um etwa 0,41 V für jede $10^{14}\mathrm{Hz}$. Die Steigung ist universell, nur der Achsenabschnitt hängt vom Metall ab, daher verlaufen die Geraden für Cäsium, Natrium und Zink parallel, wie in Abbildung 3. Millikan, der an Einsteins Lichtquanten zweifelte, maß solche Geraden zwischen 1914 und 1916 und fand $h$ auf etwa 1 % des heutigen Werts genau. Einsteins Nobelpreis für 1921 würdigte dieses Gesetz, nicht die Relativitätstheorie.

Warum eine klassische Welle es nicht kann

Licht als klassische Welle erklärt Interferenz und Beugung perfekt, warum also wurde überhaupt eine neue Idee gebraucht? Weil das Wellenbild alle drei Beobachtungen aus Abbildung 1 falsch vorhersagt.

Die erste ist der Zeitablauf. Eine Welle liefert Energie kontinuierlich, verteilt über ihre ganze Front, und ein Elektron kann sie nur aus etwa der Fläche seines eigenen Atoms sammeln, rund $10^{-20}{\mathrm{m}}^2$. Bei schwachem Licht von 0,01 W/m² erhält diese Fläche $0,01\cdot 10^{-20}=10^{-22}\mathrm{W}$, sodass das Sammeln der Austrittsarbeit von Natrium, $2,28\mathrm{eV}=3,65\times 10^{-19}\mathrm{J}$, dauern würde
$t=\frac{3,65\times 10^{-19}\mathrm{J}}{10^{-22}\mathrm{W}}\approx 3650\mathrm{s}$
etwa eine Stunde. Experimente finden gar keine Verzögerung, bis hinunter zu den wenigen Nanosekunden, die sie auflösen können.

Die zweite betrifft die Energie. Helleres Licht hat ein stärkeres elektrisches Feld, das die Elektronen heftiger schütteln und sie schneller herausschicken sollte; Abbildung 1 zeigt aber, dass helleres Licht mehr Elektronen liefert, nicht schnellere. Die dritte betrifft die Schwelle. Gibt man einer Welle beliebiger Frequenz genug Zeit, sollte sie genug Energie liefern, doch unterhalb von $f_0$ kommt nichts heraus, wie lange man auch wartet. Alle drei Vorhersagen scheitern.

Mit Photonen folgen alle drei Tatsachen zugleich. Die Absorption geschieht ganz oder gar nicht, daher beginnt die Emission, sobald das erste Photon eintrifft. Die Energie $hf$ jedes Photons ist durch die Farbe festgelegt, also bedeutet helleres Licht mehr Photonen, nicht größere. Und ein Photon mit weniger Energie als $\phi$ befreit nichts, egal wie viele ankommen. Ein Photonenzähler macht die Körnigkeit hörbar: Dimmt man das Licht, klickt er nicht leiser; seine gleichen Klicks kommen einfach seltener.

Ein Photon trägt auch Impuls, $p=h/\lambda =E/c$, also gilt $E^2-(pc{)}^2=0$: Es ist ein Teilchen ohne Masse, wie die Relativitätstheorie es von allem verlangt, das sich mit $c$ bewegt. Comptons Streuung von Röntgenstrahlen an Elektronen bestätigte diesen Impuls 1923. Wo ein bestimmtes Photon auftrifft, lässt sich nur als Wahrscheinlichkeit vorhersagen, und diese Wahrscheinlichkeit folgt der Intensität der klassischen Welle, weshalb das Wellenbild die Interferenz weiterhin richtig beschreibt.

Eine Warnung: Ein semiklassisches Modell, in dem die Elektronen der Quantenmechanik gehorchen, das Licht aber eine klassische Welle bleibt, erzeugt ebenfalls die Schwelle, den zur Intensität proportionalen Strom und die sofortige Emission. Der photoelektrische Effekt spricht deshalb für Photonen, beweist sie aber nicht. Den Beweis lieferten Experimente mit einzelnen Photonen: das Antibunching 1977, bei dem man feststellte, dass Licht eines einzelnen Atoms nie zwei Photonen im selben Augenblick liefert, und 1986 der Befund, dass ein in einen Strahlteiler geschicktes Photon nie gleichzeitig auf beiden Seiten registriert wird.

Jenseits der Schwelle für ein einzelnes Photon

Das einfache Gesetz setzt ein Photon pro Elektron, ein kaltes Metall und ein Elektron voraus, das das Material verlassen muss. Lockert man jede dieser Annahmen oder kehrt man das Gesetz um, ergeben sich vier wichtige Erweiterungen.

• Intensive Laserpulse liefern Photonen so dicht, dass ein Elektron $n$ davon zugleich absorbieren kann: $K{E}_{\max }=nhf-\phi$. Die Rate wächst mit der $n$-ten Potenz der Intensität, daher braucht es sehr starkes Licht. Zwei Photonen des roten Lichts der Animation, $2\cdot 1,77=3,54\mathrm{eV}$, würden Elektronen aus Natrium mit bis zu 1,26 eV befreien, mehr als einzelne violette Photonen ergeben.
• Bei jeder Temperatur über dem absoluten Nullpunkt sitzen einige Elektronen etwas über der Fermi-Energie, daher ist die Schwelle nicht perfekt scharf, sondern über einige $kT$ verschmiert. Sorgfältige Messungen von $\phi$ passen zur Form dieses thermischen Ausläufers.
• Die Photoemissionsspektroskopie kehrt die Gleichung um. Bei bekanntem $hf$, meist ultraviolettem Licht oder Röntgenstrahlen, ergibt die gemessene kinetische Energie die Bindungsenergie $E_{\mathrm{b}}$ jedes Elektrons, seine Tiefe unter der Fermi-Energie (das $\epsilon$ aus Abbildung 2), über $KE=hf-E_{\mathrm{b}}-\phi$.
• In einem Halbleiter muss ein Photon das Elektron nicht aus dem Material befreien, sondern nur über die Bandlücke heben, also die Energielücke zwischen den besetzten Zuständen und den leeren Zuständen, in denen ein Elektron Strom tragen kann: 1,12 eV bei Silizium. Das Elektron bleibt im Material und trägt dort zum Strom bei. Silizium-Solarzellen und Kamerasensoren reagieren daher auf alle Wellenlängen kürzer als etwa 1100 nm.

Rechenbeispiel: das plancksche Wirkungsquantum messen

Die Gerade aus Abbildung 3 macht aus zwei Ablesungen des Stoppotentials eine Messung von $h$. Stell dir vor, du kennst weder $h$ noch $\phi$, nur die Anzeigen der Animation: 0,82 V bei 400 nm und 2,68 V bei 250 nm.

Zuerst die Frequenzen. Aus $f=c/\lambda$ folgen $7,495\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ und $1,1992\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, also $\Delta f=4,497\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, während $\Delta V_0=2,68-0,82=1,86\mathrm{V}$ ist.

Schreibe dann $e{V}_0=hf-\phi$ für jede Wellenlänge und subtrahiere. Die Austrittsarbeit steht in beiden Gleichungen gleich, sie fällt also heraus, und es bleibt $e\Delta V_0=h\Delta f$:
$h=\frac{e\Delta V_0}{\Delta f}=\frac{1,602\times 10^{-19}\cdot 1,86}{4,497\times 10^{14}}\approx 6,63\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$

Mit bekanntem $h$ liefert jede Ablesung $\phi$. Bei 400 nm ist die Photonenenergie $hc/\lambda =1240/400=3,10\mathrm{eV}$, mit $hc\approx 1240\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$, also $\phi =hf-e{V}_0=3,10-0,82=2,28\mathrm{eV}$. Die Gerade sagt nun das Stoppotential für jede andere Wellenlänge voraus, zum Beispiel $V_0=1240/300-2,28=1,85\mathrm{V}$ bei 300 nm.

Nimm nun die Auffangelektrode weg und bestrahle eine isolierte Natriumkugel mit dem Radius $R=1,0\mathrm{cm}$ mit dem ultravioletten Licht. Jedes entweichende Elektron lässt die Kugel positiver werden, daher muss jedes spätere Elektron das wachsende Potential $V$ der Kugel überwinden und verliert dabei $eV$. Die Emission endet, wenn $eV$ den Wert $K{E}_{\max }$ erreicht, also bei $V=2,68\mathrm{V}$: Die Kugel lädt sich bis zum Stoppotential auf. Das Potential einer Kugel ist $V=Q/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$, wobei ${\epsilon }_0$ die elektrische Feldkonstante ist und $4\pi {\epsilon }_0=1,11\times 10^{-10}F/m$ gilt; die Endladung ist daher
$Q=4\pi {\epsilon }_{0}RV=1,11\times 10^{-10}\cdot 0,010\cdot 2,68\approx 3,0\times 10^{-12}\mathrm{C}$
oder $Q/e\approx 1,9\times 10^7$ fehlende Elektronen. Helleres Licht lädt sie schneller auf, aber nie höher.

Grenzen der Gültigkeit

Das saubere Gesetz aus Abbildung 3 beruht auf Idealisierungen. In der Praxis zählen drei: die Oberfläche, die Röhre und der Bereich der Photonenenergien.

Die Austrittsarbeit gehört zu einer Oberfläche, nicht nur zu einem Metall: Sie ändert sich mit der freiliegenden Kristallfläche und sogar mit einer einzigen Lage adsorbierter Atome. Veröffentlichte Werte für Natrium reichen von etwa 2,3 bis 2,75 eV, und ein Cäsiumfilm kann eine Oberfläche unter 1,5 eV bringen. Auch die Ausbeute ist idealisiert: Die Animation befreit für jedes Photon oberhalb der Schwelle ein Elektron, während blanke Metalle deutlich weniger als ein Elektron pro hundert Photonen liefern und die besten Photomultiplier-Kathoden etwa eines pro vier.

Eine reale Röhre besteht meist aus zwei verschiedenen Metallen, der Platte und dem Kollektor, und zwischen zwei verschiedenen Metallen, die in einem Stromkreis verbunden sind, herrscht ein Kontaktpotential, das gleich der Differenz ihrer Austrittsarbeiten, geteilt durch $e$, ist. Es verschiebt den gemessenen Grenzwert: In einer idealen Röhre ist $e{V}_0$ tatsächlich $hf$ minus die Austrittsarbeit des Kollektors, nicht die der Platte. Die Verschiebung ist bei jeder Frequenz gleich, die Steigung $h/e$ bleibt also unberührt, und genau deshalb ist die Steigung das robuste Ergebnis.

Die Energien hier sind winzig gegenüber der Ruheenergie des Elektrons von 511 keV: Die schnellsten ultravioletten Elektronen mit 2,68 eV bewegen sich mit $9,7\times 10^{5}m/s$, also 0,3 % von $c$, sodass $\frac{1}{2}m{v}^2$ genau genug ist. Röntgenstrahlen mit einigen zehn keV schlagen Elektronen aus inneren Schalen heraus, die schnell genug sind, dass man die Relativitätstheorie braucht. Bei höheren Energien übernehmen andere Prozesse: Oberhalb von etwa 30 keV überholt die Comptonstreuung die Photoabsorption in Wasser und Weichgewebe, und oberhalb von 1,022 MeV, dem Doppelten der Ruheenergie des Elektrons, kann ein Photon ein Elektron-Positron-Paar erzeugen.

Wohin das führt

In „Schwarzkörperstrahlung und das Quant“ trat $h$ zuerst im Spektrum heißer Körper auf; hier wurde es zu einer Eigenschaft des Lichts selbst. „Atommodelle: das bohrsche Atom“ wendet $hf=E_2-E_1$ auf Spektrallinien an, „Halbleiter, Dioden und LEDs“ führt den inneren Effekt in umgekehrter Richtung aus, mit Photonen nahe der Bandlücke, und „Welle-Teilchen-Dualismus“ verfolgt einzelne Photonen durch einen Doppelspalt und gibt Elektronen die Wellenlänge $h/p$. Der Impuls eines Photons verbindet das Thema mit der „Speziellen Relativitätstheorie“ und mit „Impuls und Stöße“, und „Teilchen und Kräfte: das Standardmodell“ stellt das Photon als Träger der elektromagnetischen Kraft dar.