Beugung und Doppelspalt

Einsteiger

Schritt 1: Licht kann ein wenig um Ecken biegen. Wir richten Dinge aus, indem wir an ihnen entlang peilen, weil Licht normalerweise geradeaus läuft. Presst man Licht aber durch einen sehr engen Spalt, fächert es auf der anderen Seite auf. Diese Ausbreitung nennt man Beugung. Schall tut dasselbe durch eine offene Tür, deshalb hörst du Leute um eine Ecke herum; bei Licht muss der Spalt winzig sein, weil Lichtwellen so kurz sind. Je enger der Spalt, desto größer die Ausbreitung. Winzige Kugeln würden geradeaus durchfliegen; nur Wellen breiten sich so aus.

Schritt 2: zwei Spalte. Nun lassen wir das Licht durch zwei eng beieinanderliegende schmale Spalte fallen. Jeder sendet seine eigenen kreisförmigen Wellen aus, und die beiden Wellenfelder überlagern sich. Wo ein Wellenberg des einen Spalts auf einen Berg des anderen trifft, verstärken sie sich, und der Schirm ist hell. Wo ein Berg auf ein Tal trifft, löschen sie sich aus, und der Schirm bleibt dunkel. Dieses Aufaddieren von Wellen heißt Interferenz.

In der Animation kommen von links gerade Wellen, breiten sich von beiden Spalten aus, und der Schirm füllt sich mit hellen und dunklen Streifen; die orangen Balken zeigen, wie hell jeder Punkt ist.

Schritt 3: Warum Streifen? Der mittlere Streifen ist hell, weil er von beiden Spalten gleich weit entfernt ist, die Wellen also im Takt ankommen. Geht man ein Stück nach oben, wird ein Weg länger: eine halbe Welle länger ergibt Dunkelheit, eine ganze Welle länger den nächsten hellen Streifen.

Thomas Young führte dieses Experiment um 1801 durch, und es überzeugte Physiker davon, dass Licht eine Welle ist: Licht zu Licht addiert kann Dunkelheit ergeben. Deckt man einen Spalt ab, verschwinden die Streifen und ein einziger, gleichmäßiger Fleck bleibt.

Kontrollfrage: An einem Punkt auf dem Schirm ist ein Weg genau zwei Wellenlängen länger als der andere. Hell oder dunkel? (Hell: Die Berge treffen wieder gemeinsam ein.)

Mittelstufe

Beugung: Wellen breiten sich durch Öffnungen aus

Licht scheint sich geradlinig auszubreiten, deshalb haben Schatten scharfe Kanten. Doch jede Welle breitet sich nach dem Durchgang durch eine Öffnung aus: das ist Beugung. Nach dem huygensschen Prinzip wirkt jeder Punkt einer Wellenfront als Quelle neuer Elementarwellen, und die Welle weiter vorne ist deren Summe. Eine breite Öffnung erzeugt wieder einen geraden Strahl; eine schmale wirkt fast wie eine einzige Quelle, und die Welle fächert sich kreisförmig auf.

Für eine Wellenlänge $\lambda$ und eine Öffnung der Breite $a$ beträgt die Aufweitung etwa $\lambda /a$ Radiant. Schall mit Wellenlängen um 1 m strömt durch eine Tür in den ganzen Raum; grünes Licht mit $\lambda \approx 500\mathrm{nm}$ weitet sich aus einem 1 mm breiten Loch um nur einen halben Millimeter pro Meter. Damit man Beugung von Licht zeigen kann, muss ein Spalt einen Bruchteil eines Millimeters breit sein.

Zwei Spalte, beleuchtet von einer Welle

In der Animation erreichen gerade Wellenberge zwei schmale Spalte im Abstand $d$, dahinter ein Schirm im Abstand $L$. Derselbe Wellenberg trifft gleichzeitig auf beide Spalte, sie senden also Elementarwellen im Takt aus: sie sind kohärente Quellen. Ein Punkt auf dem Schirm mit den Abständen $r_1$ und $r_2$ zu den Spalten ist je nach Gangunterschied $\Delta r=r_2-r_1$ hell oder dunkel.

Ist ein Weg um eine ganze Zahl von Wellenlängen länger, trifft Berg auf Berg; ist er um eine ungerade Zahl halber Wellenlängen länger, trifft Berg auf Tal:

• $\Delta r=m\lambda \text{(bright)}$
• $\Delta r=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$

Hier ist $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ die Ordnung des Streifens. Der zentrale Streifen, $m=0$, ist hell, weil die Mittelachse von beiden Spalten gleich weit entfernt ist; die Ordnungen sind unterhalb der Achse negativ und oberhalb positiv, wie auf der Anzeige der Animation.

Vom Gangunterschied zum Winkel

Von einem fernen Schirm aus ($L\gg d$) gesehen, verlaufen die beiden Wege zu einem Punkt praktisch parallel, unter einem Winkel $\theta$ zur Mittelachse. Ein Lot vom oberen Spalt auf den unteren Weg schneidet ein kleines rechtwinkliges Dreieck ab, dessen Hypotenuse $d$ ist und dessen Gegenkathete zum Winkel $\theta$ der Zusatzweg ist,
$\Delta r=d\sin \theta$

Die Bedingungen für helle und dunkle Streifen werden damit zu Bedingungen für den Winkel:
$d\sin \theta =m\lambda \text{(bright)}$
$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$
Da $\sin \theta \le 1$ gilt, passen auf jede Seite höchstens $d/\lambda$ Ordnungen.

Nahe der Achse gilt die Kleinwinkelnäherung $\sin \theta \approx \tan \theta =y/L$, wobei $y$ die Höhe auf dem Schirm ist. Der helle Streifen der Ordnung $m$ liegt also bei $y_m=m\lambda L/d$, und die Streifen sind gleichmäßig verteilt:
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
Rotes Licht, enger beieinanderliegende Spalte und ein weiter entfernter Schirm ergeben alle breitere Streifen.

Durchgerechnetes Beispiel: das Muster der Animation

Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu. In Pixeln hat sie $\lambda =8$, $d=50$ und $L=220$, die Spalte liegen also nur 6,25 Wellenlängen auseinander, wo echte Spalte Hunderte sind. Die Kleinwinkelformel ergibt
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{8\cdot 220}{50}=35,2\mathrm{px}$

Der erste helle Streifen hat $\sin {\theta }_1=\lambda /d=0,16$, also ${\theta }_1=9,2^{\circ }$. Seine genaue Lage, wo $r_2-r_1=\lambda$ ist, liegt 35,9 px über der Mitte, der Länge der $\Delta y$-Markierung neben dem Schirm: bei 9° liegt die Kleinwinkelformel nur 2 % daneben.

Verfolge den Messpunkt den Schirm hinauf, wobei der grüne Weg $r_1$ vom oberen Spalt und der violette Weg $r_2$ vom unteren nachgezogen werden. Seine Anzeige läuft von $-1,76\lambda$ unten über 0 am zentralen Streifen, 0,50 am ersten dunklen Streifen, 1,00 am ersten hellen, 1,50 am zweiten dunklen, bis 1,76 oben. Der Schirm enthält also drei helle Streifen ($m=0,\pm 1$) und vier dunkle; die zweite Ordnung liegt bei 18,7° knapp jenseits des Randes bei 16,5°.

Die orangen Balken zeigen die Nebenstreifen mit nur etwa drei Vierteln der Höhe des Zentrums: die Breite jedes Spalts, auf Expertenebene behandelt, dämpft sie.

Durchgerechnetes Beispiel: Messung der Wellenlänge von Licht

Licht mit $\lambda =600\mathrm{nm}$ fällt auf Spalte mit $d=0,25\mathrm{mm}$ Abstand, und der Schirm ist $L=1,0\mathrm{m}$ entfernt. Mit allen Längen in Metern,
$\Delta y=\frac{600\times 10^{-9}\cdot 1,0}{0,25\times 10^{-3}}=2,4\times 10^{-3}\mathrm{m}=2,4\mathrm{mm}$
Der erste Streifen liegt bei ${\theta }_1=\lambda /d=2,4\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, etwa 0,14°, wo die Kleinwinkelnäherung ausgezeichnet ist. So feine Streifen sind ein Grund, warum der Effekt so lange unbemerkt blieb.

Umgekehrt misst $\lambda =d\Delta y/L$ Wellenlängen. Mit denselben Spalten und Schirm überspannen zehn Abstände der Streifen eines Laserpointers 26 mm (viele Abstände gleichzeitig zu messen, teilt den Fehler), also $\Delta y=2,6\mathrm{mm}$ und
$\lambda =\frac{d\Delta y}{L}=\frac{(0,25\times 10^{-3})\cdot (2,6\times 10^{-3})}{1,0}=6,5\times 10^{-7}\mathrm{m}=650\mathrm{nm}$

Weißes Licht enthält alle Wellenlängen gleichzeitig. Der zentrale Streifen ist weiß, aber Violett (400 nm) ergibt Streifen 1,6 mm auseinander und Rot (700 nm) 2,8 mm, sodass jeder Streifen erster Ordnung ein kleines Spektrum ist, Violett innen und Rot außen; nach zwei oder drei Ordnungen überlagern sich die Farben zu einem weißlichen Schimmer.

Die Streifen auf dem Schirm ablesen

Die Streifen und die orangen Balken zeigen die Intensität $I$, die Leistung, die auf jeden Quadratmeter des Schirms trifft. Für zwei schmale, gleich breite Spalte folgt sie einer glatten ${\cos }^2$-Kurve, helle Bänder und dunkle Lücken gleicher Breite, wobei jeder dunkle Streifen genau zwischen zwei hellen liegt: in der Animation liegt der erste dunkle Streifen 17,8 px von der Mitte entfernt, der erste helle 35,9 px.

Amplituden addieren sich, und die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude: am hellen Streifen verdoppelt sich die Amplitude, die Intensität ist $2^2=4$-mal die eines Spalts, am dunklen Streifen ist sie null. Über viele Streifen gemittelt ist sie genau das Doppelte eines Spalts, denn das Licht, das in den dunklen Streifen fehlt, ist in die hellen gewandert. Deckt man einen Spalt ab, verschwinden die Streifen zu einem breiten, gleichmäßigen Fleck.

Häufige Fehler

• Dunkle Streifen sind nicht Schatten der Wand zwischen den Spalten: beide Spalte beleuchten den ersten dunklen Streifen, und deckt man einen davon ab, ist dieser Punkt nur noch ein Viertel so hell wie das zentrale Maximum.
• Spalte weiter auseinanderzuschieben weitet die Streifen nicht, sondern verengt sie. Der Abstand ist proportional zu $1/d$, also verdoppelt sich $\Delta y$ von 2,4 mm auf 4,8 mm, wenn $d$ von 0,25 mm auf 0,125 mm halbiert wird.
• Die Formel $\Delta y=\lambda L/d$ gilt nur bei kleinen Winkeln: Für Spalte, die zwei Wellenlängen auseinanderliegen, liegt die erste Ordnung bei 30°, wo $y=L\tan 30^{\circ }=0,58L$ ist, nicht $0,5L$.
• Zwei getrennte Lampen oder auch zwei Laser erzeugen keine sichtbaren Streifen: ihre Phasen wandern viel schneller, als das Auge folgen kann, sodass nur die Summe ihrer Intensitäten bleibt. Beide Spalte müssen von derselben Welle beleuchtet werden.

Wo dir das begegnet

Gitter mit mehreren hundert Linien pro Millimeter messen in den meisten Spektrometern Wellenlängen, und der Regenbogen auf einer CD stammt von ihren Spuren, die 1,6 µm auseinanderliegen. Beugung begrenzt außerdem die Schärfe: Licht, das durch ein Teleskop oder die Pupille eines Auges mit Durchmesser $D$ tritt, weitet sich um etwa $\lambda /D$, wie in Auge, Kamera und Teleskop erklärt wird.

Röntgenstrahlen mit Wellenlängen um 0,1 nm werden an den Atomreihen eines Kristalls gebeugt und verraten, wo die Atome sitzen. Elektronen und sogar ganze Moleküle erzeugen dasselbe Muster Stück für Stück; das ist der Ausgangspunkt von Welle-Teilchen-Dualismus. Als Nächstes wendet sich Polarisation des Lichts einer anderen Eigenschaft von Lichtwellen zu: der Richtung, in der sie schwingen.

Fortgeschritten

Die beiden Felder addieren

Die Doppelspalt-Streifen entstehen durch Addition der Wellen selbst, nicht ihrer Helligkeiten, also müssen wir zuerst die beiden Felder richtig addieren. Die Spalte seien $d$ voneinander entfernt, und wir betrachten einen fernen Punkt in der Richtung $\theta$, gemessen von geradeaus, mit den Abständen $r_1$ und $r_2$ zu den beiden Spalten. Jeder Spalt liefert ein Feld derselben Amplitude $E_0$ und Kreisfrequenz $\omega$: $E_0\cos (\omega t-k{r}_1)$ vom ersten und $E_0\cos (\omega t-k{r}_2)$ vom zweiten, wobei $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl ist. Der Term $\omega t$ ist beiden gemeinsam, also zählt nur die Phasendifferenz:
$\phi =k(r_2-r_1)=kd\sin \theta$
Der letzte Schritt nutzt den Gangunterschied $r_2-r_1=d\sin \theta$ im Fernfeld; der nächste Abschnitt prüft, wie genau das ist.

Legende

$E_0$	Amplitude des Felds eines Spalts; beide Spalte liefern dieselbe.	$V/m$
$\phi$	Phasendifferenz der beiden Felder, $\phi =kd\sin \theta$: die Drehung von der gestrichelten Verlängerung des ersten Pfeils zum zweiten.	$\mathrm{rad}$
$\phi /2$	Halbe Phasendifferenz: der Winkel zwischen der Resultierenden und dem ersten Zeiger.	$\mathrm{rad}$
$E$	Resultierende (Gesamtfeld): die Summe der beiden Zeiger, die das Dreieck schließt.	$V/m$

Abbildung 1 addiert die beiden Felder als Zeiger. Ein Zeiger ist ein Pfeil, dessen Länge die Amplitude einer Schwingung und dessen Winkel ihre Phase ist; zwei Schwingungen gleicher Frequenz zu addieren heißt dann, zwei Pfeile Spitze an Anfang aneinanderzulegen. Der blaue Pfeil ist das Feld des ersten Spalts, mit der Länge $E_0$. Der grüne Pfeil beginnt an dessen Spitze und ist das Feld des zweiten Spalts: dieselbe Länge $E_0$, aber um $\phi$ gegen die gestrichelte Verlängerung des blauen Pfeils gedreht. Der violette Pfeil $E$ verbindet den Anfang des blauen mit der Spitze des grünen und ist damit das Gesamtfeld.

Schau dir nun die Form an. Zwei gleich lange Seiten bilden ein gleichschenkliges Dreieck, seine beiden Basiswinkel sind gleich, und zusammen ergeben sie den Außenwinkel $\phi$ an der Verbindungsstelle: jeder ist $\phi /2$. Die gestrichelte Höhe von der Verbindungsstelle trifft $E$ im rechten Winkel und teilt das Dreieck in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke, jedes mit Hypotenuse $E_0$ und dem Winkel $\phi /2$ am Anfang des blauen Pfeils. Die Hälfte der Resultierenden ist daher $E_0\cos (\phi /2)$, und das Ganze ist
$E=2E_0|\cos (\phi /2)|$
Der Betrag hält $E$ positiv, wenn $\phi$ über $\pi$ hinausgeht und der Cosinus negativ wird. Zwei Prüfungen: Bei $\phi =0$ liegen die Pfeile auf einer Linie, und $E=2E_0$; bei $\phi =\pi$ zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen und heben sich auf.

Ein Detektor kann der raschen Schwingung des Feldes nicht folgen. Er misst die Intensität, die proportional zum zeitlichen Mittel des quadrierten Feldes ist, also $I\propto E^2$. Quadriert man $E$ und schreibt $\phi /2=\pi d\sin \theta /\lambda$, folgt
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right)$

Dabei ist $I_0$ die Intensität in der Mitte, wo die beiden Felder im Takt ankommen. Dort ist die Amplitude doppelt, also ist $I_0$ viermal die Intensität $I_1$ eines einzelnen Spalts. (In Interferenz und Superposition bedeutete $I_0$ eine einzelne Quelle; hier bedeutet es das zentrale Maximum.) Es wird keine Energie erzeugt: Der Mittelwert von ${\cos }^2$ über viele Streifen ist $\frac{1}{2}$, die mittlere Intensität also $I_0/2=2I_1$, genau das, was beide Spalte zusammen liefern. Interferenz verschiebt Licht nur aus den dunklen Streifen in die hellen.

Wie genau ist der Gangunterschied?

Das obige Ergebnis verwendete $r_2-r_1=d\sin \theta$, was die beiden Strahlen zum Punkt als parallel behandelt. Das stimmt nur unendlich weit entfernt exakt, daher lohnt es sich, den Fehler an einem realen Schirm zu kennen.

Messe den Abstand $R$ und den Winkel $\theta$ von der Mitte zwischen den Spalten. Der Kosinussatz liefert jede exakte Entfernung, $r^2=R^2+d^2/4\pm Rd\sin \theta$, mit dem Pluszeichen für den weiter entfernten Spalt. Entwickle jede Quadratwurzel in Potenzen von $d/R$. Beide Entfernungen enthalten denselben Term zweiter Ordnung $d^2{\cos }^2\theta /(8R)$, der sich in der Differenz aufhebt; die erste verbleibende Korrektur ist von dritter Ordnung:
$\Delta r=d\sin \theta \left(1-\frac{d^2{\cos }^2\theta }{8R^2}\right)$
Der relative Fehler ist also höchstens $(d/R{)}^2/8$: Er schrumpft mit dem Quadrat von $d/R$.

In der Animation ist $d/R\approx 0,22$ am ersten hellen Streifen, die Korrektur also nur 0,6 %. Auf dem Schirm trifft die exakte Kurve $r_2-r_1=\lambda$ (eine Hyperbel) bei 35,9 px auf, die Fernfeldformel mit $y=L\tan \theta$ ergibt 35,7 px, und die Kleinwinkelformel $y=\lambda L/d$ ergibt 35,2 px.

Ein Spalt mit endlicher Breite

Bisher war jeder Spalt ein Punkt, der in jede Richtung dieselbe Amplitude $E_0$ aussendet. Ein echter Spalt hat eine Breite $a$, und jeder Teil davon wirkt als Quelle, sodass seine Helligkeit von der Richtung abhängt. Die Summe dieser Beiträge ergibt die langsam veränderliche Hüllkurve unter den Streifen.

Legende

$E_0$	Länge des Bogens: die Amplitude geradeaus, wo alle Streifen in Phase sind.	$V/m$
$E$	Resultierende der Streifen: die Sehne vom Anfang des Bogens bis zu seinem Ende.	$V/m$
$\rho$	Radius des Bogens (gestrichelt), in Feldeinheiten.	$V/m$
$\beta$	Halber Winkel, den der Bogen im Mittelpunkt aufspannt; $2\beta =ka\sin \theta$ ist die Phasendifferenz zwischen den Rändern des Spalts.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 2 addiert die Teile eines Spalts mit Zeigern. Zerschneide den Spalt in viele schmale Streifen gleicher Breite; jeder Streifen sendet einen winzigen Zeiger aus, dargestellt durch die Punkte auf der blauen Kurve. In Richtung $\theta$ ist der Weg jedes Streifens gegenüber seinem Nachbarn um denselben kleinen Betrag länger, also ist jeder Zeiger gegenüber dem vorherigen um denselben kleinen Winkel gedreht. Eine Kette gleich langer Pfeile, die jeweils um denselben Winkel gedreht sind, biegt sich gleichmäßig: Sie folgt einem Kreisbogen mit Radius $\rho$ (den gestrichelten Radien).

Wie weit dreht sich der Bogen? Die beiden Ränder des Spalts unterscheiden sich im Weg um $a\sin \theta$, also unterscheiden sich der erste und der letzte Zeiger in der Phase um $ka\sin \theta$. Die Richtung entlang eines Bogens dreht sich um denselben Winkel, den der Bogen im Mittelpunkt aufspannt, also ist dieser Zentriwinkel $ka\sin \theta$. Nenne ihn $2\beta$; Abbildung 2 zeichnet ihn als zwei Hälften $\beta$ beidseits der gestrichelten Mittellinie. Mit $k=2\pi /\lambda$ folgt
$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$

Vergleiche nun Bogen und Sehne. Geradeaus, bei $\theta =0$, sind alle Streifen in Phase, die Kette ist eine gerade Linie, und ihre Länge ist die volle Amplitude $E_0$. In jeder anderen Richtung sind die winzigen Zeiger ebenso lang, der Bogen hat also weiterhin die Länge $E_0$, und da Bogenlänge gleich Radius mal Winkel ist, gilt $E_0=2\rho \beta$. Die Resultierende ist die violette Sehne $E$ vom Anfang des Bogens zu seinem Ende. Die gestrichelte Mittellinie teilt sie in zwei Hälften von je $\rho \sin \beta$, also $E=2\rho \sin \beta$. Division der beiden entfernt $\rho$:
$E=E_0\frac{\sin \beta }{\beta }$

Die Sehne ist immer kürzer als der Bogen, und sie verschwindet, wenn sich der Bogen schließt. Bei $2\beta =2\pi$ rollt sich die Kette zum vollen Kreis auf, rechts in Abbildung 2; ihr Ende kehrt zu seinem Anfang zurück (der violette Punkt), und $E=0$. Das geschieht, wenn sich die Ränder im Weg um eine Wellenlänge unterscheiden:
$a\sin \theta =\lambda \text{(first envelope zero)}$
Ein Argument mit Paaren liefert dieselbe Nullstelle ohne Zeiger. Teile den Spalt in eine obere und eine untere Hälfte. Jeder Streifen der oberen Hälfte hat einen Partner $a/2$ tiefer, dessen Weg dann um $\lambda /2$ länger ist, sodass sich die beiden aufheben, und so jedes Paar.

Bei einem Doppelspalt sendet jeder Spalt in Richtung $\theta$ die Amplitude $E_0\sin \beta /\beta$, für beide gleich. Setzt man dies anstelle von $E_0$ in das Ergebnis von Abbildung 1 ein, wird das Doppelspaltmuster zu einem Produkt aus schnellen Streifen und langsamer Hüllkurve:
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right){\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$

Das ist der Graph auf der Expertenebene der Animation, deren Formel $\sin \theta$ als $y/L$ schreibt. Dort gilt $a=14\mathrm{px}=1,75\lambda$ und $d=6,25\lambda$. Die ersten Nebenmaxima der goldenen Kurve erreichen 0,77 der Mittelhöhe, wo sie die gestrichelte Hüllkurve berühren; die Hüllkurve ist an den Schirmrändern auf 0,37 gefallen, und ihre erste Nullstelle, bei 34,8°, liegt weit außerhalb des Schirms.

Ein helles Maximum, das genau auf eine Nullstelle der Hüllkurve fällt, fehlt. Bei $d=3a$ liegt die dritte Ordnung bei $\sin \theta =3\lambda /d=\lambda /a$, der ersten Nullstelle der Hüllkurve, und verschwindet. Allgemein fehlen, wenn $d/a$ eine ganze Zahl $n$ ist, die Ordnungen $n$, $2n$, …

Das Muster als Fourier-Transformation

Die Zeigersummen der Abbildungen 1 und 2 sind zwei Fälle einer Regel: Die Amplitude im Fernfeld ist die Fourier-Transformierte der Öffnung. Diese Regel erklärt auf einen Schlag, warum sich die beiden Faktoren multiplizieren und warum kleine Strukturen breite Muster ergeben.

Legende

$A$	Transmission der Öffnung: 1 innerhalb eines Spalts, 0 auf der Wand.
$x$	Position über die Öffnung, entlang der Linie zwischen den Spalten.	$\mathrm{m}$
$a$	Breite jedes Spalts.	$\mathrm{m}$
$d$	Abstand der Mittelpunkte der beiden Spalte.	$\mathrm{m}$
$I$	Intensität des Musters in Richtung $\theta$: goldene Streifen unter der gestrichelten Hüllkurve.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\sin \theta$	Sinus des Winkels $\theta$ des austretenden Lichts, von geradeaus gemessen; die horizontale Achse des Musters.
$\lambda /d$	Streifenperiode: der Abstand benachbarter heller Streifen in $\sin \theta$.
$\lambda /a$	Wert von $\sin \theta$ an den ersten Nullstellen der Hüllkurve, markiert durch Ringe, wo ein Streifen fehlt.

Abbildung 3 zeigt eine Öffnung über ihrem Fernfeldmuster. Der obere Graph ist die Transmission $A$ gegen die Position $x$ über die Öffnung: $A=1$ innerhalb jedes Spalts und $A=0$ auf der Wand dazwischen. Die Spalte haben die Breite $a$ (violette Leiste), und ihre Mittelpunkte liegen $d$ auseinander (goldene Leiste). Der untere Graph ist die Intensität $I$ gegen $\sin \theta$: goldene Streifen unter einer gestrichelten violetten Hüllkurve. Ordne die Farben einander zu. Der goldene Abstand $d$ legt die goldene Streifenperiode $\lambda /d$ fest, und die violette Breite $a$ die violette Hüllkurve, deren erste Nullstellen bei $\sin \theta =\pm \lambda /a$ liegen. Hier ist $d=3a$, daher fällt der dritte Streifen auf jeder Seite auf eine Nullstelle der Hüllkurve und fehlt, an den Ringen.

Hier ist die Regel. Fern von der Öffnung hat ein Streifen der Breite $dx$ an der Stelle $x$ einen Weg, der sich vom Weg des Streifens bei $x=0$ um $x\sin \theta$ unterscheidet, nach derselben Geometrie wie bei den zwei Spalten; seine Phase unterscheidet sich also um $kx\sin \theta$. Schreibe jeden Beitrag als komplexe Exponentialfunktion, gewichte ihn mit der Transmission $A(x)$ und addiere über alle Streifen:
$E(\theta )\propto \int A(x)e^{-iqx}dx,q=k\sin \theta$
Dieses Integral ist die Fourier-Transformierte von $A(x)$, wobei $q$ die Rolle der Ortsfrequenz spielt.

Es reproduziert beide früheren Ergebnisse. Zwei sehr schmale Spalte bei $x=\pm d/2$ ergeben $e^{-iqd/2}+e^{iqd/2}=2\cos (qd/2)$, und da $qd/2=\pi d\sin \theta /\lambda$ ist, ist ihr Quadrat die ${\cos }^2$-Streifen. Ein Spalt der Breite $a$, von $-a/2$ bis $a/2$, ergibt $a\sin (qa/2)/(qa/2)=a\sin \beta /\beta$, weil $qa/2=\beta$ ist: die Hüllkurve.

Zwei breite Spalte sind ein breiter Spalt, der an zwei Stellen kopiert wird. In der Sprache der Transformationen ist die Öffnung der Einzelspalt, gefaltet mit dem Paar schmaler Spalte, und die Transformierte einer Faltung ist das Produkt der Transformierten. Deshalb multiplizieren sich Streifenfaktor und Hüllkurve.

Die Transformation zeigt außerdem die Reziprozität, die allen Beugungserscheinungen zugrunde liegt: Eine Struktur der Größe $s$ in der Öffnung erzeugt Strukturen im Winkelmaßstab $\lambda /s$. In Abbildung 3 erzeugt der große Abstand $d$ die feinen Streifen und die kleine Breite $a$ die breite Hüllkurve. Eine Linse bildet das Fernfeldmuster in ihrer Brennebene ab, also in endlicher Entfernung, und die Röntgenmuster, die die Strukturen von Kristallen enthüllten, sind die quadrierten Beträge der Transformierten der Elektronendichte des Kristalls.

Viele Spalte: das Beugungsgitter

Mehr Spalte mit gleichem Abstand lassen die hellen Streifen an denselben Stellen, machen sie aber viel schärfer und heller. Diese Schärfe macht ein Gitter zu einem präzisen Werkzeug zur Wellenlängenmessung.

Legende

$E_0$	Amplitude des Felds eines Spalts: die Länge jedes Zeigers.	$V/m$
$\phi$	Phasenschritt zwischen benachbarten Spalten, $\phi =kd\sin \theta$: die Drehung von einem Zeiger zum nächsten.	$\mathrm{rad}$
$E$	Resultierende aller Zeiger: die schließende Seite des Vielecks.	$V/m$

Die linke Hälfte von Abbildung 4 addiert die Felder von $N=5$ gleichen Spalten mit Abstand $d$. Jeder blaue Pfeil hat die Länge $E_0$ und ist um denselben Winkel $\phi =kd\sin \theta$ gegenüber dem vorherigen gedreht; der Winkel ist an einer Verbindungsstelle markiert. Gleich lange Pfeile mit gleichen Drehungen zeichnen einen Teil eines regelmäßigen Vielecks, sodass alle Ecken auf einem Kreis liegen (gestrichelt). Die violette Resultierende $E$ ist die schließende Seite des Vielecks, vom Anfang des ersten bis zur Spitze des letzten Pfeils.

Der Kreis gibt die Länge von $E$. Eine Sehne, die im Mittelpunkt eines Kreises mit Radius $\rho$ den Winkel $\alpha$ aufspannt, hat die Länge $2\rho \sin (\alpha /2)$. Jede Seite dreht sich um $\phi$, also spannt sie im Mittelpunkt $\phi$ auf, und $E_0=2\rho \sin (\phi /2)$. Die schließende Seite überspannt alle $N$ Seiten und spannt $N\phi$ auf, also $E=2\rho |\sin (N\phi /2)|$. Division entfernt $\rho$, und Quadrieren ergibt
$I=I_1{\left(\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right)}^2$
wobei $I_1$ die Intensität eines einzelnen Spalts ist. Für $N=2$ ist das Verhältnis $\sin \phi /\sin (\phi /2)=2\cos (\phi /2)$, also ergibt sich wieder $4I_1{\cos }^2(\phi /2)$, das Doppelspaltergebnis.

Immer wenn $\phi$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ ist, zeigen alle Pfeile in dieselbe Richtung und liegen aneinander: $E=N{E}_0$, und die Intensität erreicht $N^2{I}_1$. Diese Hauptmaxima bleiben bei $d\sin \theta =m\lambda$, wie bei zwei Spalten. Entfernt man sich von einem Maximum, rollt sich die Kette auf und schließt sich zuerst bei $\phi =2\pi /N$: Das ist die rechte Hälfte von Abbildung 4, ein geschlossenes Fünfeck mit $E=0$ (der violette Punkt). Die Halbbreite jedes Maximums, von seinem Scheitel bis zur ersten Nullstelle, beträgt also $1/N$ des Abstands $2\pi$ zwischen den Maxima, $N/2$-mal schmaler als bei zwei Spalten. Zwischen benachbarten Maxima liegen $N-1$ Nullstellen und $N-2$ schwache Nebenmaxima. Das Licht wird konzentriert, nicht erzeugt: Die mittlere Intensität bleibt $N{I}_1$.

Ein Gitter mit 500 Linien pro Millimeter hat einen Abstand von 2,0 µm. Für 600-nm-Licht ist $\lambda /d=0,3$, also ist $\sin \theta =m\lambda /d$ gleich 0,3, 0,6 und 0,9 in den ersten drei Ordnungen: Sie treten unter 17,5°, 36,9° und 64,2° aus. Eine vierte Ordnung bräuchte $\sin \theta =1,2$ und existiert nicht.

Zwei nahe Wellenlängen gelten als getrennt, wenn das Maximum der einen auf die erste Nullstelle der anderen fällt. Nimm den Winkel des Maximums der Ordnung $m$ für $\lambda +\Delta \lambda$, wo $d\sin \theta =m(\lambda +\Delta \lambda )$ gilt. Dort ist der Phasenschritt für $\lambda$ gleich $2\pi m+2\pi m\Delta \lambda /\lambda$, und er muss $2\pi m$ um den Schritt zur ersten Nullstelle $2\pi /N$ übersteigen. Mit $m\Delta \lambda /\lambda =1/N$ folgt das Auflösungsvermögen
$\lambda /\Delta \lambda =mN$
Die gelben Natriumlinien, 589,0 und 589,6 nm, brauchen in erster Ordnung etwa 1000 Linien. 2 cm dieses Gitters enthalten 10.000 Linien und trennen in erster Ordnung bei 600 nm Linien, die 0,06 nm auseinanderliegen.

Gelöste Aufgabe: Spaltgrößen aus einem Muster

Laserlicht von 600 nm fällt auf einen Doppelspalt, und ein 1,0 m entfernter Schirm zeigt Streifen im Abstand von 2,4 mm. Die Streifen werden zu den Seiten hin schwächer, und der fünfte auf jeder Seite, bei ±12 mm, fehlt, sodass im zentralen Band neun Streifen bleiben. Bestimme den Spaltabstand $d$, die Spaltbreite $a$ und die Helligkeit jedes Streifens.

Der Streifenabstand liefert den Spaltabstand. Benachbarte helle Streifen unterscheiden sich im Weg um eine Wellenlänge, also gilt für kleine Winkel $\Delta y=\lambda L/d$, und
$d=\lambda L/\Delta y=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(2,4\times 10^{-3})=0,25\mathrm{mm}$

Die Lücke liefert die Spaltbreite. Der fehlende Streifen sitzt auf der ersten Nullstelle der Hüllkurve, $a\sin \theta =\lambda$, die für kleine Winkel bei $y=\lambda L/a=12\mathrm{mm}$ liegt, also
$a=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(12\times 10^{-3})=0,050\mathrm{mm}$
Somit gilt $d=5a$, deshalb fehlt gerade die fünfte Ordnung. Eine Kontrolle im Fernfeld: $a^2/\lambda =4,2\mathrm{mm}$, weit unter 1,0 m, also gelten die Fernfeldformeln.

Am Streifen der Ordnung $m$ ist $\sin \theta =m\lambda /d$, also $\beta =\pi a\sin \theta /\lambda =\pi ma/d=\pi m/5$. Jeder helle Streifen hat ${\cos }^2=1$, seine Helligkeit wird also allein von der Hüllkurve bestimmt: $(\sin \beta /\beta {)}^2$ ergibt 1, 0,88, 0,57, 0,25 und 0,05 der Mitte für $m=0$ bis 4, dann 0 für $m=5$. Jenseits der Lücke kehren die Streifen in einem Nebenband zurück, dessen hellster Streifen unter 5 % der Mitte bleibt.

Die Animation hat $d/a=50/14=3,57$, keine ganze Zahl, daher geht keine Ordnung ganz verloren. Ihre ersten Ordnungen erreichen 0,77, die zweite 0,31 und die dritte nur 0,033, knapp innerhalb der Nullstelle der Hüllkurve bei $m=3,57$; ein genügend breiter Schirm würde im zentralen Band sieben Streifen zeigen. Spalte mit $a=d/3\approx 16,7\mathrm{px}$ würden die dritte Ordnung genau entfernen.

Ein Quant nach dem anderen

Dasselbe Muster bleibt bestehen, wenn das Licht so schwach ist, dass es Photon für Photon ankommt, und es tritt auch bei Elektronen auf. Hier wird die Regel für die Addition von Feldern zur zentralen Regel der Quantenmechanik.

Dimmt man das Licht, bis Photonen einzeln ankommen, zeigt der Schirm einzelne Blitze an zufälligen Stellen; doch nach vielen tausend Blitzen häufen sie sich zu denselben ${\cos }^2$-Streifen. Elektronen verhalten sich ebenso, mit der de-Broglie-Wellenlänge $\lambda =h/p$, wobei $p$ der Impuls und $h$ das plancksche Wirkungsquantum ist. Nach Beschleunigung durch 100 V hat ein Elektron $\lambda =0,123\mathrm{nm}$, sodass Spalte im Abstand von 1 µm Streifen im Abstand von 0,12 mm auf einem 1 m entfernten Schirm ergeben würden.

Die Regel ist die für Felder, angewandt auf Wahrscheinlichkeitsamplituden. Jeder Weg zu einem Punkt hat eine komplexe Amplitude, ${\varphi }_1$ über den einen Spalt und ${\varphi }_2$ über den anderen, und die Wahrscheinlichkeit, dort anzukommen, ist das Betragsquadrat ihrer Summe:
$P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2=|{\varphi }_1{|}^2+|{\varphi }_2{|}^2+2|{\varphi }_1||{\varphi }_2|\cos (k\Delta r)$
Die ersten beiden Terme sind die Einzelspaltmuster. Der letzte Term ist die Interferenz, mit $k=p/\hslash$ und $\hslash =h/(2\pi )$; ohne ihn würden die Spalte einfach ihre Einzelspaltmuster addieren, ganz ohne Streifen.

Wird registriert, durch welchen Spalt jedes Teilchen geht, verschwindet der Kreuzterm und mit ihm die Streifen. Der Grund ist der Stoß, den die Messung verursacht. Licht, das die Spalte unterscheiden kann, muss eine Wellenlänge unterhalb von etwa $d$ haben, sodass jedes seiner Photonen einen Impuls von mindestens etwa $h/d$ trägt. Die Streuung eines Photons lenkt den Weg des Teilchens um bis zu etwa $(h/d)/p=\lambda /d$ ab, also um einen Streifenabstand im Winkel, und zufällige Stöße verschmieren die Streifen, wie Welle-Teilchen-Dualismus erklärt.

Grenzen der Gültigkeit

Die hier verwendete skalare Theorie behandelt Licht als eine einzige Wellenamplitude, ignoriert die Richtung seines elektrischen Feldes und behandelt die Spalte als Löcher in einem vollkommen schwarzen Schirm. Das funktioniert für Spalte, die mehrere Wellenlängen breit sind. Ein Spalt, der schmaler als eine Wellenlänge ist, hat keine Nullstelle der Hüllkurve ($a\sin \theta =\lambda$ braucht $a\ge \lambda$), verteilt das Licht dahinter fast gleichmäßig und überträgt Felder parallel zu ihm anders als quer dazu, ein Polarisationseffekt, den das skalare Bild weglässt.

Streifen brauchen außerdem Kohärenz: Die Wellen müssen eine feste Phasenbeziehung behalten. Ein Wellenlängenbereich $\Delta \lambda$ begrenzt die Kohärenzlänge, also die Wegdifferenz, über die die Phase stabil bleibt, auf etwa ${\lambda }^2/\Delta \lambda$. Für weißes Licht sind das etwa 1 µm, nur zwei oder so Wellenlängen, daher zeigen nur die ersten zwei oder so Ordnungen Farben, während ein Laser, kohärent über Zentimeter bis Meter, Streifen weit draußen erzeugt.

Eine Quelle mit Winkelgröße $\alpha$ verwischt das Muster ebenfalls. Jeder Punkt der Quelle erzeugt seine eigene, im Winkel durch seine Richtung verschobene Kopie des Musters, und die Kopien verwaschen, sobald $\alpha$ sich dem Streifenabstand $\lambda /d$ nähert. Für den Spaltabstand von 0,25 mm in der gelösten Aufgabe sind das 2,4 mrad, aber die Sonne überspannt 9,3 mrad, sodass direktes Sonnenlicht nur durch Spalte unter etwa 0,06 mm Abstand Streifen erzeugt: daher die Lochblende oder der Einzelspalt vor klassischen Aufbauten. Teilweise Kohärenz senkt die Sichtbarkeit $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })$ unter 1.

Schließlich setzt die Hüllkurvenformel das Fernfeld voraus, $L\gg a^2/\lambda$; näher, im Fresnel-Bereich, ändert das Muster mit der Entfernung seine Form. Die Positionen der Doppelspaltstreifen brauchen nur $d\ll L$, wie der Abschnitt über die Wegdifferenz zeigte. Deshalb gehorchen die Streifen der Animation $d\sin \theta =m\lambda$, obwohl $d^2/\lambda =312\mathrm{px}$ größer ist als $L=220\mathrm{px}$.

Wohin das führt

Viele Spalte bilden das Gitter im Herzen der meisten Spektrometer, und die Linienspektren, die sie aufzeichnen, führen zur Lektion Atommodelle: das bohrsche Atom. Eine runde Öffnung mit Durchmesser $D$ verteilt Licht zu einem Fleck mit Winkelradius $1,22\lambda /D$, der Auflösungsgrenze von Auge, Kamera und Teleskop. Die Felder, die hier addiert werden, sind die von Elektromagnetische Wellen, und ihre Schwingungsrichtung ist Gegenstand von Polarisation des Lichts.

Die Amplitudenregel $P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2$ ist der Kern der Quantenmechanik: Welle-Teilchen-Dualismus baut sie aus einzelnen Elektronen auf, und Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt machen daraus eine Wellengleichung für Materie.