Kernspaltung, Kernfusion und E = mc²

Einsteiger

Schritt 1. Im Zentrum jedes Atoms sitzt ein winziger Kern, ein dichtes Bündel aus Protonen und Neutronen. Die Anzahl der Protonen verrät das Element: 92 bedeutet Uran, 1 bedeutet Wasserstoff. Chemische Reaktionen verschieben nur die Elektronen außen; einen Kern zu verändern erfordert eine Kernreaktion.

Schritt 2. Spaltung heißt aufspalten. In der Animation fliegt ein blaues Neutron in einen goldenen Uran-235-Kern. Der Kern verschluckt es, wackelt und zerbricht in zwei kleinere Kerne, mit einem Energieblitz und zwei oder drei neuen Neutronen. Die beiden Bruchstücke schießen in entgegengesetzte Richtungen davon.

Schritt 3. Jedes neue Neutron kann einen weiteren Uran-Kern spalten: eine Kettenreaktion. Verfolge die gestrichelten Pfade, wie sie sich verzweigen, 1, 2, 4 … In einem Kraftwerk fangen Steuerstäbe die überschüssigen Neutronen ein, sodass jede Spaltung genau eine weitere auslöst.

Schritt 4. Fusion heißt verschmelzen. Rechts stürzen zwei schwere Wasserstoffkerne aufeinander zu. Beide sind positiv geladen, stoßen sich also ab und werden langsamer; nur ein Zusammenprall mit enormer Geschwindigkeit, bei Millionen Grad, lässt sie zu Helium und einem schnellen Neutron verschmelzen. Auch die Sonne leuchtet durch Fusion: Sie verschmilzt gewöhnlichen Wasserstoff zu Helium.

Schritt 5. Energie entsteht nie aus dem Nichts; sie wandelt nur ihre Form um. Woher kommt sie also? Wiege alles sehr genau: Nach beiden Reaktionen sind die Teile etwas leichter. Die fehlende Masse hat sich in Energie verwandelt, $E=m{c}^2$. Weil die Lichtgeschwindigkeit $c$ so groß ist, ergibt ein winziges Stück Masse viel: Ein Kilogramm Uran-235, vollständig gespalten, liefert so viel Wärme wie etwa 2.700 Tonnen Kohle.

Teste dich: Wiegen der Heliumkern und das Neutron mehr oder weniger als die beiden schweren Wasserstoffkerne, aus denen sie entstanden sind? (Weniger: Der Unterschied ist als Energie frei geworden.)

Mittelstufe

Was wir messen: Kerne, Massen und Energien

Ein Kern wird durch zwei ganze Zahlen beschrieben: die Protonenzahl $Z$, die das Element festlegt, und die Neutronenzahl $N$. Ihre Summe $A=Z+N$, die Massenzahl, zählt die Nukleonen. Uran-235, ${}^{235}\mathrm{U}$, hat $Z=92$ Protonen und $N=143$ Neutronen. Isotope haben dasselbe $Z$, unterscheiden sich aber in $N$: Deuterium, ${}^2\mathrm{H}$, und Tritium, ${}^3\mathrm{H}$, sind Wasserstoff mit einem bzw. zwei Neutronen.

Kernmassen werden in atomaren Masseneinheiten angegeben, $1\mathrm{u}=1,6605\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, ein Zwölftel der Masse eines Kohlenstoff-12-Atoms. Kernenergien werden in Megaelektronenvolt angegeben, $1\mathrm{MeV}=1,602\times 10^{-13}\mathrm{J}$, eine Million Elektronenvolt, verglichen mit den wenigen Elektronenvolt einer chemischen Bindung. Die tabellierten Massen sind die neutraler Atome; bei diesen Reaktionen heben sich die Elektronen auf.

Massendefekt: woher die Energie kommt

Woher stammt die Energie einer Reaktion? Die Spezielle Relativitätstheorie antwortet: Ein ruhender Körper besitzt die Ruheenergie
$E=m{c}^2$
ein System, das Energie abgibt, wird also um diese Energie geteilt durch $c^2$ leichter. Da $c^2=8,99\times 10^{16}J/kg$ ist, trägt ein winziger Masseverlust eine enorme Energie.

Der Massendefekt $\Delta m$ ist die Gesamtmasse der Ausgangsteilchen minus die der Produkte, und die freigesetzte Energie, der $Q$-Wert, ist
$Q=\Delta m{c}^2,1\mathrm{u}\cdot c^2=931,5\mathrm{MeV}$
Ein negativer $Q$-Wert bedeutet, dass die Reaktion Energie braucht, um abzulaufen.

Nichts geht verloren: Nukleonen und Ladung bleiben erhalten ($1+235=141+92+3$ und $92=56+36$ bei der Spaltung), aber die Nukleonen sind nun fester gebunden. Die Energie, die nötig ist, einen Kern in freie Protonen und Neutronen zu zerlegen, ist seine Bindungsenergie; pro Nukleon steigt sie von 1,1 MeV bei Deuterium auf etwa 8,8 MeV nahe Eisen-56 und sinkt dann auf 7,6 MeV bei Uran. Spaltung und Fusion bewegen beide Nukleonen auf dieses Maximum zu, und die zusätzliche Bindung wird als Energie frei.

Die Arbeitsgleichungen

Neben $Q=\Delta m{c}^2$ leisten vier Beziehungen die meiste Arbeit: die beiden Reaktionen der Animation, das Wachstum einer Kettenreaktion und die kinetische Energie eines Körpers mit Masse $m$ und Impuls $p$:

• $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n+173\mathrm{MeV}$
• ${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n+17,6\mathrm{MeV}$
• $N_g=N_0{k}^g$
• $K=\frac{p^2}{2m}$

Um die Energie einer Reaktion zu finden, gleicht man sie aus (gleiche Massenzahlen und Ladungen auf beiden Seiten), zieht die summierten Massen ab und multipliziert mit 931,5 MeV pro u. Um zu bestimmen, wer die Energie trägt, nutzt man den Impuls: Nahezu ruhende Ausgangsteilchen ergeben Produkte mit gleich großem, entgegengesetztem Impuls, und da $K=p^2/(2m)$ gilt, erhält das leichtere Produkt mehr.

Durchgerechnetes Beispiel: die Reaktionen in der Animation

Beginnen wir mit der Spaltung. Mit den Atommassen 235,0439 u für Uran-235, 140,9144 u für Barium-141, 91,9262 u für Krypton-92 und 1,0087 u für das Neutron:
$m_{\mathrm{before}}=235,0439+1,0087=236,0526\mathrm{u}$
$m_{\mathrm{after}}=140,9144+91,9262+3\cdot 1,0087=235,8667\mathrm{u}$
$\Delta m=236,0526-235,8667\approx 0,186\mathrm{u},Q\approx 0,186\cdot 931,5\approx 173\mathrm{MeV}$

Das sind die $\Delta m$- und $Q$-Anzeigen bei der ersten Spaltung. Der Spaltungszähler steigt dann auf 3 und 7 (und passiert dabei kurz die 5), die Energieanzeige auf 520 und 1213 MeV: ein $Q$ pro Spaltung. Die 173 MeV sind vierzig Millionen Mal so viel wie die 4 eV, die die Verbrennung eines Kohlenstoffatoms liefert.

Etwa 160 MeV werden zur kinetischen Energie der beiden Bruchstücke. Die übrigen 13 MeV gehen an die drei Neutronen (etwa 6 MeV) und an die prompten Gammastrahlen (etwa 7 MeV). Das Uran war praktisch in Ruhe, daher fliegen die Bruchstücke mit gleich großem, entgegengesetztem Impuls auseinander, und das leichtere Krypton erhält den größeren Anteil: $160\cdot 141/233\approx 97\mathrm{MeV}$ gegenüber 63 MeV für Barium. Ihre Geschwindigkeiten, $0,048c$ und $0,031c$, unterscheiden sich um den Faktor $141/92\approx 1,5$, den die beiden grünen $v$-Pfeile zeigen. Der Brennstoff bremst die Bruchstücke bald ab, und ihre Energie wird zu Wärme.

Die Fusion funktioniert genauso, nur ist der Massendefekt zehnmal kleiner, daher braucht man mehr Nachkommastellen: 2,014102 u für Deuterium, 3,016049 u für Tritium, 4,002603 u für Helium-4 und 1,008665 u für das Neutron.
$\Delta m=5,030151-5,011268=0,018883\mathrm{u},Q=0,018883\cdot 931,5\approx 17,6\mathrm{MeV}$

Auch hier sind die Impulse gleich groß und entgegengesetzt. Das Neutron ist viermal leichter als der Heliumkern, bewegt sich viermal schneller und trägt vier Fünftel der Energie, $\frac{4}{5}\cdot 17,6\approx 14,1\mathrm{MeV}$, gegenüber 3,5 MeV für das Helium: das sind die beiden Energieanzeigen neben den Produkten.

Durchgerechnetes Beispiel: ein Jahr im Kraftwerk

Ein großer Reaktor erzeugt 3000 MW Wärme, die seine Turbinen in etwa 1000 MW Strom verwandeln. Wie viel Uran-235 spaltet er in einem Jahr, und wie viel Masse verschwindet? Mit $3,156\times 10^7\mathrm{s}$ in einem Jahr,
$E=Pt=3,0\times 10^9\mathrm{W}\cdot 3,156\times 10^7\mathrm{s}=9,47\times 10^{16}\mathrm{J}$
Mit etwa 200 MeV, also $3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}$, pro Spaltung (die späteren Zerfälle der Bruchstücke eingerechnet), ist die Zahl der Spaltungen
$N_{\mathrm{fis}}=\frac{9,47\times 10^{16}\mathrm{J}}{3,20\times 10^{-11}\mathrm{J}}=2,96\times 10^{27}$

Das sind $2,96\times 10^{27}/(6,02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1})=4,91\times 10^3\mathrm{mol}$ Uran-235, oder $4,91\times 10^3\mathrm{mol}\cdot 0,235kg/mol\approx 1150\mathrm{kg}$. Die verschwindende Masse ist weit kleiner, $\Delta m=E/c^2\approx 1,05\mathrm{kg}$, etwa ein Tausendstel des gespaltenen Urans.

Ein Kohlekraftwerk, das dieselbe Wärme liefert, bei 30 MJ pro Kilogramm, würde über drei Millionen Tonnen verbrennen und doch dieselben 1,05 kg Masse verlieren.

Die Pfeile und Zähler lesen

Jeder grüne Pfeil ist eine Geschwindigkeit. Da zu Beginn kaum Gesamtimpuls vorhanden ist, bewegen sich zwei Produkte in entgegengesetzte Richtungen, mit Geschwindigkeiten im umgekehrten Massenverhältnis: 141 zu 92 bei Krypton und Barium, 4 zu 1 beim Neutron und Heliumkern. Auf der Fusionsseite stehen die einlaufenden Pfeile im Verhältnis 3 : 2, weil der leichtere Deuteriumkern schneller sein muss, um den Impuls des Tritiumkerns auszugleichen. Beide werden kürzer, während die Abstoßung zwischen den positiven Kernen sie bremst.

Die gestrichelten Linien sind Neutronenpfade. Jede frühe Spaltung setzt drei Neutronen frei, von denen zwei neue Kerne spalten, sodass jede Spaltung $k=2$ neue auslöst. Generation $g$ enthält dann $N_g=N_0{k}^g=2^g$ Spaltungen, ausgehend von $N_0=1$: 1, 2 und 4. Eine Bombe ist eine Kette mit $k>1$ in dichtem Metall, deren Generationen etwa zehn Nanosekunden auseinanderliegen. Ein Leistungsreaktor wird bei $k=1$ gehalten: Steuerstäbe aus Bor oder Cadmium absorbieren überschüssige Neutronen, und ein Moderator wie Wasser bremst den Rest, da langsame Neutronen Uran-235 weit leichter spalten.

Typische Fehler

• Nukleonen werden nicht vernichtet. Die Massenzahl bleibt erhalten, $1+235=141+92+3$; die Masse sinkt, weil die Bruchstücke fester gebunden sind, um etwa 0,8 MeV pro Nukleon.
• $E=m{c}^2$ gilt nicht nur für Kerne. Auch beim Verbrennen von Kohle geht Masse verloren, etwa $3\times 10^{-10}$ davon; bei der Spaltung ein Tausendstel, bei der D–T-Fusion vier Tausendstel.
• Spaltung und Fusion heben sich nicht auf. Beide bewegen Nukleonen zum Bindungsmaximum nahe Eisen; Eisen zu spalten oder jenseits davon zu verschmelzen, würde Energie kosten.
• Zähle jedes Teilchen. Lässt man die drei auslaufenden Neutronen in der Spaltungsgleichung weg, ergibt sich $\Delta m=3,21\mathrm{u}$ und fast 3000 MeV, siebzehnmal zu viel.
• Achte auf die Einheiten. Multipliziere eine Masse in u mit 931,5 MeV oder rechne zuerst in Kilogramm um: $0,0189\cdot 1,66\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot 8,99\times 10^{16}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2=2,82\times 10^{-12}\mathrm{J}$, also wieder 17,6 MeV.

Wo es uns begegnet

Rund ein Zehntel des weltweiten Stroms stammt aus Spaltungsreaktoren. Die Sonne verschmilzt Wasserstoff zu Helium und wandelt jede Sekunde etwa 4,3 Millionen Tonnen Masse in Licht um; Fusionsexperimente wollen dasselbe auf der Erde mit D–T-Brennstoff erreichen. Die Spaltprodukte sind radioaktiv, was an Radioaktivität und Halbwertszeit anknüpft, und die Ruheenergie $m{c}^2$ stammt aus der Speziellen Relativitätstheorie. Als Nächstes folgen Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt, die zeigen, wie Kerne durch die Coulomb-Barriere schlüpfen, und Teilchen und Kräfte: das Standardmodell, das erklärt, was Protonen und Neutronen zusammenhält.

Fortgeschritten

Masse als gespeicherte Energie

Legende

$E$	Energie; die Achse zeigt zu höherer Energie.	$\mathrm{J}$
$Z{m}_p{c}^2$	Ruheenergie der $Z$ Protonen der Reaktion, weit voneinander entfernt und in Ruhe.	$\mathrm{J}$
$N{m}_n{c}^2$	Ruheenergie der $N$ Neutronen der Reaktion, weit voneinander entfernt und in Ruhe.	$\mathrm{J}$
$E_i$	Ruheenergie der Ausgangsteilchen: der Kern ${}^{235}\mathrm{U}$ und ein Neutron.	$\mathrm{J}$
$E_f$	Ruheenergie der Produkte: ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ und drei Neutronen.	$\mathrm{J}$
$B_i$	Bindungsenergie der Ausgangsteilchen,$\sum B(\text{before})$: wie weit ihr Niveau unter den losen Nukleonen liegt.	$\mathrm{J}$
$B_f$	Bindungsenergie der Produkte, $\sum B(\text{after})$: wie weit ihr Niveau unter den losen Nukleonen liegt.	$\mathrm{J}$
$Q$	Von der Reaktion freigesetzte Energie: $Q=E_i-E_f=B_f-B_i$.	$\mathrm{J}$
${}^{235}U$	Uran-235-Kern mit 92 Protonen und 143 Neutronen.
${}^{141}Ba$	Barium-141-Kern, ein Spaltbruchstück.
${}^{92}Kr$	Krypton-92-Kern, das andere Bruchstück.
$n$	Neutron (blau); $3n$ sind drei freie Neutronen.

Sowohl Spaltung als auch Fusion setzen Energie frei, indem sie Nukleonen umordnen, und wie viel frei wird, lässt sich allein aus den Massen ablesen. Abbildung 1 zeigt, warum. Sie ist die Energiebilanz der Spaltung aus der Animation, $n+{}^{235}\mathrm{U}\to {}^{141}\mathrm{Ba}+{}^{92}\mathrm{Kr}+3n$, maßstabsgetreu gezeichnet.

Beginne auf der obersten Linie. Nimm alle $Z=92$ Protonen und $N=144$ Neutronen, die an der Reaktion teilnehmen (die 143 des Urans plus das einfallende Neutron), und stelle dir vor, sie seien weit voneinander entfernt und in Ruhe. Ihre Energie ist dann nur ihre Ruheenergie, $Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2$, wobei $m_p$ und $m_n$ die Massen von Proton und Neutron sind.

Nun lass die Nukleonen sich zu Kernen zusammenfinden. Die starke Kernkraft zieht sie an, also sinkt die Energie. Das Maß dieses Abfalls ist die Bindungsenergie $B$: die Energie, die man aufbringen müsste, um die Nukleonen wieder zu trennen. Links, bei den Ausgangsteilchen, liegen der Urankern ${}^{235}\mathrm{U}$ und das Neutron $n$ auf dem Niveau $E_i$, eine Tiefe $B_i$ unter der obersten Linie. Rechts, bei den Produkten, liegen ${}^{141}\mathrm{Ba}$, ${}^{92}\mathrm{Kr}$ und drei freie Neutronen auf dem Niveau $E_f$, eine Tiefe $B_f$ darunter. Der kurze Schritt zwischen den beiden unteren Niveaus ist die Energie, die an die Umgebung abgegeben wird:
$Q=E_i-E_f=B_f-B_i$
Beachte, wie klein er ist: etwa ein Zehntel einer der beiden Tiefen. Die Nukleonen sind vor der Spaltung fast genauso fest gebunden wie danach; die Spaltung zieht sie nur ein wenig enger zusammen.

Warum sollte sich diese Energie als Massenänderung zeigen? Stell dir eine versiegelte Box mit perfekt isolierenden Wänden vor, die einen Uran-235-Kern und ein langsames Neutron enthält und auf einer Waage steht. Lass die Spaltung im Inneren ablaufen. Die Bruchstücke fliegen auseinander, und ihre kinetische Energie wird in den Wänden zu Wärme, aber nichts verlässt die Box; also bleiben ihre Gesamtenergie und damit ihre Masse unverändert. Öffne nun ein Fenster und lass die Wärme hinaus: Die Box wird genau um $Q/c^2$ leichter. Der fehlende Anteil, der Massendefekt, ist nicht vernichtet worden; er ist die Masse, die mit der freigesetzten Energie davongetragen wurde.

Die allgemeine Regel lautet: Die Masse jedes zusammengesetzten Körpers ist seine gesamte innere Energie geteilt durch $c^2$, also die Ruheenergien seiner Teile plus ihre kinetischen und potenziellen Energien. Im Kern macht die starke Kraft die potenzielle Energie groß und negativ, daher wiegt ein Kern weniger als seine freien Nukleonen. Dieser Fehlbetrag mal $c^2$ ist die Bindungsenergie, die Tiefe eines Niveaus unter der obersten Linie von Abbildung 1:
$B=(Z{m}_p+N{m}_n-M)c^2$
Dabei ist $M$ die Masse des Kerns. Tabellen führen die Massen neutraler Atome auf, einschließlich der Elektronen; mit diesen verwendet man die Masse eines Wasserstoffatoms $m_{\mathrm{H}}$ anstelle von $m_p$, damit sich die Elektronenmassen aufheben.

Nun zur Buchführung. Forme die Definition für jeden Kern um zu $M{c}^2=Z{m}_p{c}^2+N{m}_n{c}^2-B$ und addiere diese Ausdrücke vor und nach der Reaktion. Spaltung und die D–T-Fusion (${}^2\mathrm{H}+{}^3\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+n$) erhalten die Gesamtzahl der Protonen und die Gesamtzahl der Neutronen getrennt. Die Ruheenergien der Nukleonen sind daher auf beiden Seiten gleich und heben sich auf; ein freies Neutron zählt einfach als Kern mit $B=0$. Es bleiben nur die Bindungsenergien:
$Q=\sum B(\text{after})-\sum B(\text{before})$
In den Symbolen von Abbildung 1 ist $B_i=\sum B(\text{before})$ und $B_f=\sum B(\text{after})$, also ist dies dasselbe $Q=B_f-B_i$. Eine Reaktion setzt Energie frei, wenn ihre Produkte fester gebunden sind als ihre Ausgangsteilchen, und eine Massentabelle genügt, um zu sagen, wie viel, unabhängig von Einzelheiten der Kräfte oder davon, wie der Kern zerbricht.

Die Bindungsenergiekurve lesen

Legende

$A$	Massenzahl: die Anzahl der Nukleonen im Kern.
$B/A$	Bindungsenergie pro Nukleon: die Gesamtbindung $B$ geteilt durch $A$, die mittlere Bindung eines Nukleons. Die gestrichelte Linie markiert $8\mathrm{MeV}$.	$\mathrm{J}$
${}^{2}H$	Deuterium, mit $B/A=1,112\mathrm{MeV}$.
${}^{3}H$	Tritium, mit $B/A=2,827\mathrm{MeV}$.
${}^{4}He$	Helium-4, mit $B/A=7,074\mathrm{MeV}$: das Produkt der D–T-Fusion.
${}^{56}Fe$	Eisen-56, mit $B/A=8,790\mathrm{MeV}$, nahe dem Gipfel der Kurve.
${}^{92}Kr$	Krypton-92, mit $B/A=8,513\mathrm{MeV}$: ein Spaltbruchstück.
${}^{141}Ba$	Barium-141, mit $B/A=8,326\mathrm{MeV}$: das andere Bruchstück.
${}^{235}U$	Uran-235, mit $B/A=7,591\mathrm{MeV}$: der sich spaltende Kern.

Die Bindungsenergiekurve zeigt, wie fest jeder Kern gebunden ist und damit, welche Reaktionen überhaupt Energie freisetzen können. Abbildung 2 trägt die Bindungsenergie pro Nukleon, $B/A$, gegen die Massenzahl $A$, also die Anzahl der Nukleonen, auf einer logarithmischen Achse auf, damit leichte und schwere Kerne beide Platz finden. Die Punkte sind gemessene Kerne. Die violette Kurve ist die Tröpfchenformel des nächsten Abschnitts, ab $A=10$ gezeichnet (der Expertengraph der Animation zeigt dieselbe Darstellung mit der Kurve in Gold).

Lies sie von links nach rechts. Sie steigt steil bei den leichtesten Kernen an: 1,112 MeV pro Nukleon für Deuterium, ${}^2\mathrm{H}$, 2,827 MeV für Tritium, ${}^3\mathrm{H}$, und 7,074 MeV für Helium-4. Sie erreicht ihr Maximum von 8,790 MeV nahe Eisen-56, ${}^{56}\mathrm{Fe}$, und sinkt dann langsam auf 7,591 MeV für Uran-235. Jede Reaktion, die Nukleonen die Kurve hinaufbewegt, setzt Energie frei. Auf der steilen linken Seite bedeutet das, leichte Kerne zu verbinden: Fusion. Auf der flachen rechten Seite bedeutet es, schwere Kerne zu spalten: Spaltung.

Die Pfeile in Abbildung 2 sind die beiden Reaktionen der Animation, deren Markierungen die Kurve auf die gleiche Weise hinaufklettern. Die Fusionspfeile laufen von ${}^2\mathrm{H}$ und ${}^3\mathrm{H}$ hinauf zu ${}^4\mathrm{He}$. Die Spaltungspfeile laufen von ${}^{235}\mathrm{U}$ zu seinen beiden Bruchstücken, Krypton-92 mit 8,513 MeV und Barium-141 mit 8,326 MeV, beide höher als Uran. Da $B/A$ mal $A$ die Bindungsenergie $B$ eines Kerns ergibt, liefert die Regel $Q=\sum B(\text{after})-\sum B(\text{before})$ beide Energien ohne eine einzige Masse, wobei freie Neutronen als null zählen:
$Q_{\mathrm{fus}}=4\cdot 7,074-2\cdot 1,112-3\cdot 2,827=17,59\mathrm{MeV}$
$Q_{\mathrm{fis}}=141\cdot 8,326+92\cdot 8,513-235\cdot 7,591=173,3\mathrm{MeV}$

Pro Nukleon unterscheiden sich die beiden Prozesse stark. D–T-Fusion setzt etwa 3,5 MeV für jedes ihrer fünf Nukleonen frei, in einem einzigen steilen Anstieg. Die Spaltung gewinnt pro Nukleon viel weniger. Von den 235 Nukleonen des Urans bleiben 233 in den Bruchstücken gebunden, jedes etwa 0,81 MeV fester als vorher (das mittlere $B/A$ der Bruchstücke von 8,400 MeV minus 7,591 MeV). Die beiden übrigen werden zu freien Neutronen und geben jeweils ihre 7,591 MeV Bindung ab. Die Bilanz, $233\cdot 0,809-2\cdot 7,591\approx 173\mathrm{MeV}$, ist dasselbe $Q$: Die große Gesamtenergie der Spaltung kommt von der großen Zahl der Nukleonen, nicht von einem großen Gewinn pro Nukleon.

Eisen setzt für beide die Grenze. Über das Maximum hinaus zu verschmelzen oder darunter zu spalten bewegt Nukleonen den Hang hinab, zu schwächerer Bindung, sodass die Reaktion Energie kostet, statt sie freizusetzen.

Warum die Kurve ein Maximum hat: das Tröpfchenmodell

Die Form der Kurve entsteht aus einem Wettstreit zweier Kräfte: der Kernkraft, die jedes Nukleon an seine Nachbarn bindet, und der elektrischen Abstoßung zwischen den Protonen. Ein einfaches Modell, das den Kern als Tropfen geladener Flüssigkeit behandelt, erfasst beide und liefert die Kurve von Abbildung 2.

Beginne mit der Kernkraft. Sie ist stark, aber kurzreichweitig; sie wirkt nur über etwa $10^{-15}\mathrm{m}$ und ist gesättigt: Jedes Nukleon bindet nur seine nächsten Nachbarn, egal wie viele andere da sind. Daraus folgen zwei Dinge. Erstens packen sich die Nukleonen in jedem Kern gleich, sodass alle Kerne ungefähr dieselbe Dichte haben; das Volumen wächst proportional zu $A$, und der Radius ist $R=r_0{A}^{1/3}$ mit $r_0\approx 1,2\times 10^{-15}\mathrm{m}$. Zweitens verhält sich die Bindung wie die einer Flüssigkeit. Jedes innere Nukleon trägt den gleichen Betrag bei, daher wächst die Bindung mit dem Volumen, als $a_{V}A$. Nukleonen an der Oberfläche haben weniger Nachbarn, daher wird ein Term proportional zur Oberfläche, $a_S{A}^{2/3}$, abgezogen. Bei leichten Kernen sitzt ein großer Anteil der Nukleonen an der Oberfläche; deshalb steigt die Kurve links so steil an.

Als Nächstes die Abstoßung. Eine Kugel mit Radius $R$ und gleichmäßig verteilter Ladung $Ze$ speichert die elektrische Energie $\frac{3}{5}{Z}^2{e}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$. Setzt man $R=r_0{A}^{1/3}$ ein, ergibt sich ein Term $a_C{Z}^2/A^{1/3}$ mit dem Koeffizienten
$a_C=\frac{3}{5}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\approx 0,72\mathrm{MeV}$

Schließlich das Pauli-Prinzip: Keine zwei Neutronen und keine zwei Protonen können denselben Zustand einnehmen, daher füllt jede Sorte ihre eigene Leiter von Energieniveaus. Ein Kern mit mehr Neutronen als Protonen muss seine überschüssigen Neutronen auf höhere Sprossen legen, was Energie kostet. Dieser Asymmetrieterm verschwindet, wenn $N=Z$ ist. Zusammen ergeben die vier Terme
$B=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\frac{a_C{Z}^2}{A^{1/3}}-\frac{a_A(N-Z{)}^2}{A}$
mit $a_V=15,75$, $a_S=17,8$, $a_C=0,711$ und $a_A=23,7\mathrm{MeV}$, angepasst an gemessene Massen; diese Werte stecken hinter der Kurve von Abbildung 2. Das angepasste $a_C$ stimmt gut mit der obigen Abschätzung überein.

Nun zum Maximum. Für sich genommen gibt der Volumenterm jedem Nukleon die gleiche Bindung und würde $B/A$ flach machen. Der Oberflächenterm drückt $B/A$ bei leichten Kernen am stärksten nach unten. Der Coulomb-Term drückt es bei schweren Kernen am stärksten nach unten: Da $Z$ ungefähr proportional zu $A$ ist, wächst er etwa wie $A^{5/3}$, schneller als der Volumenterm. Bei Uran-235 kostet er 975 MeV von einer Gesamtbindung von 1784 MeV. Zwischen diesen beiden Verlusten liegt das Maximum nahe Eisen. Zwei kleinere Kerne halten dieselben 92 Protonen mit insgesamt weniger elektrischer Energie, weil jedes Proton jetzt nur von den Protonen seines eigenen Bruchstücks abgestoßen wird; die Oberflächenenergie steigt ein wenig, aber die Coulomb-Ersparnis ist größer, und die Spaltung setzt die Differenz frei.

Derselbe Wettstreit erklärt, warum schwere Kerne zusätzliche Neutronen tragen. Der Coulomb-Term begünstigt weniger Protonen, der Asymmetrieterm begünstigt $N=Z$, und mit wachsendem Kern verschiebt sich das Gleichgewicht zugunsten der Neutronen: Uran-235 hat 143 Neutronen bei 92 Protonen. Die Bruchstücke erben diesen Überschuss. Barium-141 hat 85 Neutronen, während das schwerste stabile Barium, Barium-138, nur 82 hat; mit zu vielen Neutronen für ihre Größe sind die Bruchstücke radioaktiv.

Die Spaltbarriere

Legende

$\epsilon$	Dehnung: wie weit der Tropfen von einer Kugel zu einer länglichen Form gleichen Volumens gedehnt ist.
$E$	Energie des Kerns in dieser Form, gemessen von der der Kugel.	$\mathrm{J}$
$E_B$	Höhe der Spaltbarriere über der Kugel: etwa 6 MeV bei Uran.	$\mathrm{J}$
${}^{236}{U}^{\ast }$	Anregungsenergie von ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$, gebildet aus ${}^{235}\mathrm{U}$ und einem langsamen Neutron: 6,5 MeV, über der Barriere.	$\mathrm{J}$
${}^{239}{U}^{\ast }$	Anregungsenergie von ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$, gebildet aus ${}^{238}\mathrm{U}$ und einem langsamen Neutron: 4,8 MeV, unter der Barriere.	$\mathrm{J}$

Die Kurve sagt, dass Uran Energie gewinnen würde, wenn es sich spaltet. Warum spaltet sich ein Uran-Kern dann nicht von selbst? Abbildung 3 gibt die Antwort. Sie trägt die Energie $E$ des Kerns, gemessen von der der Kugel, gegen seine Dehnung $\epsilon$ auf: eine kleine Zahl, die angibt, wie weit der Tropfen von einer Kugel zu einer länglichen Form gleichen Volumens gedehnt wurde. Die Formen unter der Achse zeigen die Kugel, den gedehnten Tropfen und den Tropfen kurz vor dem Bruch.

Zwei Terme des Tröpfchenmodells ändern sich beim Dehnen. Die Oberfläche wächst, daher steigt die Oberflächenenergie $E_S$ um $\frac{2}{5}{\epsilon }^2{E}_S$. Die Protonen rücken im Mittel weiter auseinander, daher sinkt die Coulomb-Energie $E_C$ um $\frac{1}{5}{\epsilon }^2{E}_C$. Die Nettoänderung, $(\frac{2}{5}{E}_S-\frac{1}{5}{E}_C){\epsilon }^2$, ist positiv, solange $E_C<2E_S$ gilt: Dann steigt die Kurve von der Kugel aus an, und eine kleine Dehnung wird zurückgezogen. Aus dem Tröpfchenmodell folgt $E_C/E_S=(a_C/a_S)Z^2/A$, also lautet die Bedingung $Z^2/A<2a_S/a_C\approx 50$.

Uran besteht mit $Z^2/A\approx 36$ diesen Test: Es liegt in der Mulde links in Abbildung 3. Um sich zu spalten, muss es zuerst über den Buckel gedehnt werden, die Spaltbarriere, deren Höhe $E_B$ etwa 6 MeV beträgt. Jenseits des Gipfels gewinnt die Coulomb-Energie, und die Energie fällt stetig, während der Kern einen Hals bildet und in zwei Teile bricht: der nach unten laufende Pfeil rechts.

Woher kommt die Energie, um die Barriere zu überwinden? Ein eingefangenes Neutron bringt seine Bindungsenergie als Anregungsenergie in den Kern, und die beiden blauen Pfeile in Abbildung 3 zeigen, wie viel. Uran-235 und ein langsames Neutron bilden ${}^{236}{\mathrm{U}}^{\ast }$ (der Stern markiert einen angeregten Kern) mit 6,5 MeV Anregung, mehr als die Barriere: Sein Pfeil überwindet den Buckel, und der Kern spaltet sich. Dies ist das kurze Zittern des Kerns in der Animation. Uran-238 und ein langsames Neutron bilden ${}^{239}{\mathrm{U}}^{\ast }$ mit nur 4,8 MeV: Sein Pfeil läuft gegen die Wand des Buckels und bleibt stehen. Der Unterschied liegt an der Paarung. Nukleonen sind paarweise stärker gebunden, und das zu Uran-235 hinzukommende Neutron vervollständigt ein Paar, während das zu Uran-238 hinzukommende allein bleibt. Um Uran-238 zu spalten, muss das einfallende Neutron die fehlende Energie als kinetische Energie mitbringen, etwa 1 MeV.

Deshalb laufen Reaktoren mit dem seltenen Isotop Uran-235, das nur 0,7 % des natürlichen Urans ausmacht: Es spaltet sich mit Neutronen jeder Energie. Langsame Neutronen werden von ihm weit leichter eingefangen als schnelle, daher bremsen Reaktoren ihre Neutronen ab.

Kettenreaktionen und verzögerte Neutronen

Jede Spaltung setzt zwei oder drei Neutronen frei, in der Reaktion der Animation drei, und diese können weitere Kerne spalten. Der Multiplikationsfaktor $k$ ist die mittlere Zahl der Neutronen aus einer Spaltung, die ihrerseits eine weitere Spaltung auslösen. Nach $g$ Generationen sind aus $N_0$ Neutronen $N_g=N_0{k}^g$ geworden. Bei $k<1$ stirbt die Kette aus, bei $k=1$ bleibt sie konstant, und bei $k>1$ wächst sie. Ein Reaktor läuft bei $k=1$.

Wie schnell die Kette wächst, hängt von der Zeit zwischen den Generationen ab. Würde jedes Neutron im Moment der Spaltung ausgesandt (ein promptes Neutron), dauerte eine Generation etwa $10^{-4}\mathrm{s}$, also $10^4$ Generationen pro Sekunde. Dann würde selbst $k=1,001$ die Leistung in einer Sekunde um $1,001^{10^4}\approx 2\times 10^4$ vervielfachen, viel zu schnell für jede mechanische Regelung.

Die Regelung beruht auf verzögerten Neutronen. Etwa 0,65 % der Spaltneutronen werden nicht bei der Spaltung ausgesandt, sondern Sekunden später von Bruchstücken beim Zerfall. Wenn man auf sie wartet, dehnt sich die mittlere Generationszeit auf etwa 0,1 s, sodass dasselbe $k=1,001$ die Leistung nur um etwa 1 % pro Sekunde erhöht, langsam genug, um Steuerstäbe zu bewegen. Das funktioniert nur, solange die Kette die verzögerten Neutronen braucht. Oberhalb von $k\approx 1,0065$ halten die prompten Neutronen allein die Kette am Wachsen, und die schnelle Vervielfachung kehrt zurück; daher muss ein Reaktor immer unterhalb dieses Wertes bleiben.

Fusion: die Coulomb-Barriere und der Tunneleffekt

Legende

$r$	Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kerne.	$\mathrm{m}$
$U$	Potenzielle Energie des Paares: elektrische Abstoßung außerhalb von $r_n$, Kernanziehung innerhalb.	$\mathrm{J}$
$U_C$	Höhe des Coulomb-Hügels beim Kontakt: etwa 0,4 MeV.	$\mathrm{J}$
$E$	Stoßenergie des Paares: 10 keV im Beispiel des Textes.	$\mathrm{J}$
$r_n$	Kontaktabstand, bei dem die Kernkraft greift: etwa 3,5 fm.	$\mathrm{m}$
$r_t$	Umkehrpunkt, an dem $U=E$ gilt: etwa 144 fm bei 10 keV.	$\mathrm{m}$
$P$	Wahrscheinlichkeit, dass ein Paar von $r_t$ bis $r_n$ durch die Barriere tunnelt.

Die Fusion steht vor dem umgekehrten Problem. Die zu verbindenden Kerne sind beide positiv geladen und stoßen sich ab, und die Kernkraft packt erst zu, wenn sie sich berühren. Abbildung 4 zeigt das Hindernis. Sie trägt die potenzielle Energie $U$ eines Deuterium-Tritium-Paares gegen den Abstand $r$ zwischen ihren Mittelpunkten auf. Weit entfernt ist $U$ ihre elektrische Abstoßung, $e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$: die rote Kurve, die nach links ansteigt. Beim Kontaktabstand $r_n$, etwa 3,5 fm, übernimmt die Kernkraft, und das Paar fällt in die tiefe Kernmulde unten links. Die Spitze des roten Hügels bei $r_n$ ist die Coulomb-Barriere $U_C$. Mit $e^2/(4\pi {\epsilon }_0)=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}$
$U_C=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n}=\frac{1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{3,5\mathrm{fm}}\approx 0,4\mathrm{MeV}$

Nun verfolge ein Paar, das von rechts mit Stoßenergie $E$ kommt, der violette Pfeil. Klassisch klettert es den Hügel hinauf, bis seine gesamte kinetische Energie in potenzielle Energie umgewandelt ist, also wo $U=E$ gilt; das ist der Umkehrpunkt $r_t$, an dem es anhält und umkehrt. In einem Plasma bei $1,2\times 10^8\mathrm{K}$ beträgt die thermische Energie $k_{\mathrm{B}}T=10\mathrm{keV}$. Ein frontal auftreffendes Paar mit 10 keV kehrt bei $r_t=1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}/0,010\mathrm{MeV}=144\mathrm{fm}$ um, etwa 40-mal weiter draußen als $r_n$. Klassisch fusioniert es nie.

Die Quantenmechanik ändert das. Auch ein Kern verhält sich wie eine Welle, und eine Welle kann durch einen Bereich dringen, den ein Teilchen klassisch nicht betreten kann. Das ist der Tunneleffekt: der gestrichelte Pfeil in Abbildung 4 von $r_t$ nach $r_n$, der mit der Wahrscheinlichkeit $P$ überwunden wird. In der Animation ist es der Schritt mit der Bezeichnung Tunneln, bei dem die abgebremsten Kerne das letzte Stück überspringen. Für D–T bei Stoßenergie $E$ gilt
$P\approx e^{-\sqrt{E_G/E}}$
wobei die Gamow-Energie $E_G\approx 1,2\mathrm{MeV}$ eine Konstante ist, die durch die Ladungen und Massen des Paares festgelegt wird. $P$ ist winzig, steigt aber mit der Energie steil an: $2\times 10^{-5}$ bei 10 keV, $2\times 10^{-3}$ bei 30 keV.

Zwei Effekte wirken daher gegeneinander. In einem Plasma sind schnelle Kerne selten, und ihre Zahl fällt mit der Energie rasch ab; langsame Kerne sind häufig, tunneln aber kaum. Das Produkt der beiden hat ein Maximum weit über der thermischen Energie, sodass in einem Plasma bei 10 keV die meisten Fusionen von den wenigen Paaren mit Energien nahe 30 keV stammen.

Ein Fusionsplasma gibt nur dann mehr Energie ab, als es verliert, wenn es dicht genug, heiß genug und lange genug zusammengehalten wird. Die Bedingung betrifft das Produkt aus Dichte $n$, Temperatur $T$ und Einschlusszeit $\tau$: $nT\tau$ muss etwa $3\times 10^{21}\mathrm{keV}\cdot s/{\mathrm{m}}^3$ erreichen, zum Beispiel $10^{20}$ Ionen pro Kubikmeter bei 10 keV, für 3 s gehalten.

Durchgerechnet: was die Bruchstücke antreibt

Problem: Bei der Spaltung in der Animation tragen die beiden Bruchstücke etwa 160 MeV kinetische Energie, den größten Teil der 173 MeV; die Neutronen und Gammastrahlen nehmen den Rest. Welche Kraft liefert sie, wie weit sind die Bruchstücke voneinander entfernt, wenn sie sich trennen, und wie teilen sie sich die Energie?

Die Kraft muss über Entfernungen wirken, die weit größer sind als die Reichweite der Kernkraft, also ist es die elektrische Abstoßung zwischen den 56 Protonen des Bariums und den 36 des Kryptons. Man modelliert die Bruchstücke als zwei Ladungen, die ruhend mit einem Mittelpunktsabstand $d$ beginnen. Während sie auseinanderfliegen, wird ihre elektrische potenzielle Energie vollständig in kinetische Energie verwandelt:
$K_{\mathrm{tot}}=\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}d}=\frac{56\cdot 36\cdot 1,44\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}=\frac{2903\mathrm{MeV}\mathrm{fm}}{d}$

Schritt 1, die Trennung. Wären die Bruchstücke sich berührende Kugeln mit den Radien $r_0{A}^{1/3}=6,2$ und $5,4\mathrm{fm}$, dann wäre $d=11,7\mathrm{fm}$, und die Formel ergäbe etwa 250 MeV, mehr als das gesamte $Q$. Die tatsächlichen 160 MeV verlangen einen größeren Anfangsabstand, $d=2903/160=18,1\mathrm{fm}$. Wenn sie sich trennen, sind die Bruchstücke also keine Kugeln, sondern längliche Formen, die durch einen dünnen Hals verbunden sind, und ihre Mittelpunkte liegen etwa 6 fm weiter auseinander als bei sich berührenden Kugeln. Ihre Verformungsenergie geht nicht verloren: Sie heizt die Bruchstücke auf, die sich dann abkühlen, indem sie Neutronen abdampfen.

Schritt 2, die Aufteilung. Der spaltende Kern ist nahezu in Ruhe, daher fliegen die Bruchstücke mit gleich großem, entgegengesetztem Impuls davon. Mit $K=p^2/(2m)$ und gleichem $p$ ist die kinetische Energie umgekehrt proportional zur Masse, also erhält das leichtere Bruchstück den größeren Anteil: $K_{\mathrm{Kr}}=160\cdot 141/233=97\mathrm{MeV}$ und $K_{\mathrm{Ba}}=63\mathrm{MeV}$. Beide haben denselben Impuls, $p=\sqrt{2mK}\approx 4070\mathrm{MeV}/c$.

Schritt 3, wie schnell. Bei einem Abstand $r$ entspricht die kinetische Energie der bis dahin verlorenen potenziellen Energie, $K(r)=K_{\mathrm{tot}}(1-d/r)$. Die Bruchstücke haben also 90 % ihrer Energie bei $r=10d\approx 180\mathrm{fm}$ erreicht, noch tief in der Elektronenwolke des Atoms, die etwa $10^5\mathrm{fm}$ groß ist. Die Energie der Spaltung wird durch elektrische Abstoßung geliefert, fast ganz innerhalb eines winzigen Bereichs um den Kern.

Grenzen der Gültigkeit

Das Tröpfchenmodell ist eine Anpassung, keine Theorie. Es passt für schwere Kerne auf etwa 0,5 % (1786 MeV für Uran-235, gegenüber 1784 MeV gemessen), vernachlässigt aber die Schalenstruktur: Wie Elektronen in Atomen füllen Nukleonen Schalen, und Kerne mit 2, 8, 20, 28, 50, 82 oder 126 Protonen oder Neutronen, die sogenannten magischen Zahlen, sind zusätzlich stabil. Daher gibt das Modell für ${}^4\mathrm{He}$ nur 16 MeV Bindung statt der gemessenen 28,3 MeV, sagt für die Spaltung in der Animation 162 MeV statt 173 MeV voraus und würde Uran in zwei gleiche Hälften spalten, während Schaleneffekte dazu führen, dass es ungleich zerbricht, meist in Bruchstücke nahe $A=95$ und $A=140$.

Auch zwei Teile der Buchführung sind Näherungen. Die Aufteilung der Energie über $K=p^2/(2m)$ ist nichtrelativistisch. Bei der D–T-Fusion erhält das Neutron vier Fünftel der 17,59 MeV, also 14,07 MeV, und bewegt sich mit $0,17c$; die exakte relativistische Zweikörperrechnung mit den wahren Massen ergibt 14,03 MeV, 0,3 % weniger. Und die Darstellung von $Q$ als Differenz von Bindungsenergien setzt voraus, dass $Z$ und $N$ getrennt erhalten bleiben. Wo die schwache Kraft Protonen in Neutronen verwandelt, wie in der Nettoreaktion der Sonne $4{}^1\mathrm{H}\to {}^4\mathrm{He}+2e^{+}+2\nu$, geht für jedes umgewandelte Proton die Massendifferenz zwischen Neutron und Wasserstoffatom ein, 0,78 MeV: Die freigesetzte Energie ist $28,3-2\cdot 0,78=26,7\mathrm{MeV}$, 0,7 % der Masse. Exakt bleiben bei diesen Energien die Erhaltung von Energie, Impuls, Ladung und Nukleonenzahl.

Ausblick

Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt verwandelt den Faktor $e^{-\sqrt{E_G/E}}$ in eine Rechnung. Teilchen und Kräfte: das Standardmodell zeigt, woher die Kernkraft stammt, als Rest der starken Wechselwirkung, die Quarks mit Gluonen bindet, und beschreibt die schwache Kraft, die der Sonne erlaubt, Protonen in Neutronen zu verwandeln. Rückblickend liefert die Spezielle Relativitätstheorie $E=m{c}^2$, Radioaktivität und Halbwertszeit beschreibt die zerfallenden Bruchstücke, die die verzögerten Neutronen liefern, das coulombsche Gesetz liefert die Barriere, und Impuls und Stöße verteilt die Energie auf die Produkte.