Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt

Einsteiger

Schritt 1: Energie setzt eine Grenze. Ein Ball, der einen Hügel hinaufrollt, tauscht Tempo gegen Höhe. Mit zu wenig Energie, um die Kuppe zu erreichen, bleibt er irgendwo stehen und rollt jedes Mal zurück: Energie kann nicht aus dem Nichts entstehen.

Schritt 2: Winzige Dinge verhalten sich wie Wellen. Licht verhält sich mal wie eine Welle, mal wie Teilchen (Photonen), und Elektronen ebenso. Ein Elektron wird durch eine Welle beschrieben, geschrieben $\psi$ (der griechische Buchstabe Psi). Wo die Welle groß ist, wird das Elektron wahrscheinlich gefunden; wo sie flach ist, fast nie. In der Animation ist die blaue Linie die Welle des Elektrons, und der schattierte Buckel zeigt, wo es sich vermutlich aufhält.

Schritt 3: Eine Welle kann durch eine dünne Wand sickern. Die goldene Linie ist die Energie des Elektrons, und die graue Wand ist höher, sodass ein Ball immer zurückkäme. Schau: Der größte Teil der Welle wird zurückgeworfen, aber hinter der Wand erscheint eine kleinere Welle, die weiterläuft. Trotzdem wird jedes Elektron ganz auf der einen oder anderen Seite gefunden; hier kommt etwa eins von fünf hindurch. Das ist der Quanten-Tunneleffekt. Auch Licht tut das: Licht, das im Glas durch Totalreflexion gefangen ist, kann einen sehr dünnen Luftspalt in einen zweiten Block überqueren.

Kontrollfrage: Die Wand wird doppelt so dick. Kommen mehr oder weniger Elektronen durch? Antwort: viel weniger, weil die Welle in der Wand schnell abklingt. Eine niedrigere Wand lässt dagegen mehr hindurch.

Schritt 4: Eingeschlossene Wellen haben feste Energien. Im Kasten rechts muss die Welle zwischen den Wänden wie eine Gitarrensaite passen, also sind nur ganze Halbwellen erlaubt, jede mit eigener Energie. Auch Elektronen in Atomen sind eingeschlossen, deshalb haben Atome Energieniveaus.

Der Tunneleffekt lässt Atomkerne im Inneren der Sonne verschmelzen, und er speichert Fotos im Flash-Speicher.

Mittelstufe

Die Wellenfunktion und ihre Wahrscheinlichkeiten

In der Quantenmechanik hat ein Elektron keine feste Bahn. Sein Zustand ist eine Wellenfunktion $\psi (x)$, eine Welle, die man nie direkt sieht: Ein Detektor findet das ganze Elektron an einem Ort, und die Wellenfunktion sagt nur, wie wahrscheinlich jeder Ort ist.

Nach der Bornschen Regel ist $|\psi {|}^2$ eine Wahrscheinlichkeit pro Meter, und die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zwischen zwei Punkten zu finden, ist die Fläche darunter:
$P=\int |\psi {|}^{2}dx$

In der Animation ist $|\psi {|}^2$ die violette Schattierung, und die blaue Linie ist der Realteil der Welle, $\mathrm{Re}\psi$. Die Anzeigen $P(\text{left})$, $P(\text{barrier})$ und $P(\text{right})$ sind die Flächen der Schattierung in drei Bereichen, und über die ganze Linie addieren sie sich zu 1.

Die Schrödinger-Gleichung im Energiediagramm

Für ein Teilchen mit fester Energie $E$ gehorcht die Wellenfunktion der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung:
$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$
Dabei ist $m$ die Masse, $V(x)$ die potentielle Energie und $\hslash =h/2\pi$ das reduzierte Planck-Wirkungsquantum. Man liest sie als Energiebilanz: kinetische plus potentielle Energie ist gleich $E$, und der kinetische Anteil hängt davon ab, wie stark $\psi$ gekrümmt ist.

Die Animation ist ein Energiediagramm: Die Position läuft waagerecht, die Energie senkrecht nach oben. Die graue Barriere ist $V(x)$, null auf beiden Seiten und $V_0$ im Inneren, und die goldene Linie ist $E$, mit der Welle um sie herum gezeichnet. Wo $E>V$ gilt, schwingt die Welle mit der de-Broglie-Wellenlänge
$\lambda =\frac{h}{p},p=\sqrt{2m(E-V)}$
wie die blaue Welle auf beiden Seiten der Barriere.

Wo $E<V$ gilt, könnte ein klassisches Teilchen nie sein, denn seine kinetische Energie wäre negativ. Die Gleichung hat dort trotzdem Lösungen, aber es sind Exponentialfunktionen statt Wellen, und die abklingende nimmt innerhalb der Wand allmählich ab.

Im Inneren der Barriere: Abklingen und Transmission

In einer dicken Barriere der Höhe $V_0$ klingt die Welle als $e^{-\kappa x}$ ab, mit der Abklingkonstante
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$
Auf der Abklinglänge $1/\kappa$ fällt die Amplitude um den Faktor $e\approx 2,72$. Ein größerer Unterschied $V_0-E$ oder ein schwereres Teilchen macht $\kappa$ größer und den Abfall schneller.

Eine dünne Barriere lässt auf der anderen Seite noch Welle übrig, mit derselben Wellenlänge, aber kleinerer Amplitude. Der Anteil der Elektronen, der hindurchkommt, ist die Transmissionswahrscheinlichkeit $T$, der Anteil, der zurückkommt, ist $R$, und $R+T=1$. Für eine Barriere der Breite $a$, die viel größer ist als $1/\kappa$,
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
Die Amplitude wird mit $e^{-\kappa a}$ multipliziert und die Wahrscheinlichkeit mit deren Quadrat; der Vorfaktor, nie größer als 4, hängt nur von $E/V_0$ ab.

Die Breite steht im Exponenten, daher reagiert der Tunneleffekt extrem empfindlich darauf: Jede zusätzliche Dicke von $1/(2\kappa )$ teilt $T$ durch $e$. Bei Barrieren, die einige Elektronenvolt hoch sind, lassen nur Schichten von höchstens wenigen Nanometern Dicke viele Elektronen hindurch.

Rechenbeispiel: die Barriere der Animation

Das Elektron hat $E=3\mathrm{eV}$ und trifft auf eine Barriere, $V_0=4\mathrm{eV}$ hoch und $a=0,25\mathrm{nm}$ breit, die Werte, die in der Szene angegeben sind. Die Oberkante der Barriere liegt 1 eV, also $1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$, über der Energie, daher
$\kappa =\frac{\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 1,60\times 10^{-19}}}{1,055\times 10^{-34}}\approx 5,12\times 10^9{\mathrm{m}}^{-1}=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$
und die Abklinglänge $1/\kappa =0,195\mathrm{nm}$ ist etwas kürzer als die Barriere.

Dann ist $2\kappa a=2\cdot 5,12\cdot 0,25=2,56$ und $e^{-2,56}\approx 0,077$. Der Vorfaktor ist $16\cdot 0,75\cdot 0,25=3$, also
$T\approx 3\cdot 0,077\approx 0,23$
Die exakte Formel der Stufe Fortgeschritten ergibt 0,214, und das bewegte Paket, das eine kleine Streuung von Energien enthält, 0,218. Dort pendeln sich die Anzeigen ein: $P(\text{right})=0,22$ und $P(\text{left})=0,78$.

Außerhalb der Barriere ist $\lambda =h/\sqrt{2mE}=0,708\mathrm{nm}$, und die durchgelassene Welle hat dieselbe Wellenlänge, aber nur etwa $\sqrt{0,22}\approx 0,47$ der einfallenden Amplitude. Vor der Barriere überlagern sich einfallende und reflektierte Welle in hohen Streifen im Abstand $\lambda /2=0,354\mathrm{nm}$. Etwa 4 s nach Beginn zeigen die Anzeigen 0,80 links, 0,10 in der Barriere und 0,10 rechts: Für einen Moment steckt ein Zehntel der Wahrscheinlichkeit in der Wand.

Rechenbeispiel: ein Rastertunnelmikroskop

Eine scharfe Metallspitze wird einen Bruchteil eines Nanometers über einer leitenden Oberfläche gehalten. Für Elektronen nahe der Oberkante der gefüllten Zustände ist der Spalt eine Barriere, deren Oberkante etwa eine Austrittsarbeit über ihnen liegt, hier $V_0-E=4,5\mathrm{eV}$. Der Strom ist proportional zur Transmission, $I\propto e^{-2\kappa d}$, mit $d$ der Breite des Spalts. Um welchen Faktor ändert er sich, wenn die Spitze 0,1 nm näher kommt?

Da $\kappa$ mit der Wurzel aus der Differenz wächst, ist $\kappa =5,12\cdot \sqrt{4,5}\approx 10,9\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, und der Vorfaktor kürzt sich im Verhältnis heraus: $I_2/I_1=e^{2\kappa \Delta d}=e^{2\cdot 10,9\cdot 0,1}=e^{2,17}\approx 8,8$. Mit dem gerundeten Wert $\kappa \approx 10\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ ist es $e^2\approx 7$: Eine Verschiebung um weniger als den halben Durchmesser eines Atoms vervielfacht den Strom mehrfach.

Eine nur 0,01 nm hohe Erhebung ändert den Strom um $e^{0,217}\approx 1,24$, ein Anstieg um 24 %, während eine atomare Stufe von 0,2 nm Höhe ihn etwa 77-fach ändert. Eine Regelschleife bewegt die Spitze beim Abtasten so, dass der Strom konstant bleibt; die Höhe der Spitze zeichnet dann die Oberfläche Atom für Atom nach.

Gefangene Wellen: Energieniveaus im Kasten

Sperren wir das Elektron nun in einen Kasten der Breite $L$ mit $V=0$ im Inneren und undurchdringlichen Wänden. Die Wellenfunktion muss an beiden Wänden verschwinden, wie eine an beiden Enden befestigte Gitarrensaite, daher passen nur ganzzahlige Vielfache der halben Wellenlänge hinein, $L=n\lambda /2$. Dann ist $p=h/\lambda =nh/(2L)$, und die kinetische Energie $p^2/2m$ liefert die erlaubten Energien
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$
mit $n=1,2,3,\dots$, die die halben Wellen zählen. $n=0$ würde gar keine Welle bedeuten, daher ist die niedrigste Energie nie null.

Die Niveaus wachsen mit $n^2$, im Verhältnis 1 : 4 : 9, wie im Kasten der Animation, beschriftet als $E_1$, $4E_1$ und $9E_1$. Jede stehende Welle behält eine feste Schattierung $|{\psi }_n{|}^2$: Ein Zustand mit fester Energie ist stationär. Für $L=1\mathrm{nm}$ ist $E_1=(6,626\times 10^{-34}{)}^2/(8\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 10^{-18})\approx 6,0\times 10^{-20}\mathrm{J}=0,38\mathrm{eV}$, also $E_2=1,50\mathrm{eV}$ und $E_3=3,38\mathrm{eV}$. Ein Sprung von $n=3$ nach $n=2$ setzt $5E_1=1,88\mathrm{eV}$ frei, ein rotes Photon von etwa 660 nm. Ein kleinerer Kasten spreizt die Niveaus stärker, und zwar mit $1/L^2$.

Typische Fehler

• Das Elektron verliert in der Barriere keine Energie. Dahinter ist die Wellenlänge immer noch 0,708 nm, also kommt ein Elektron mit 3 eV auch mit 3 eV heraus; nur die Amplitude ist kleiner.
• Das Elektron teilt sich nicht. $P(\text{right})=0,22$ heißt, dass von je 100 Elektronen etwa 22 jenseits der Barriere gefunden werden, jedes davon ganz.
• Die Transmission ist nicht umgekehrt proportional zur Breite: Von 0,25 nm auf 0,5 nm fällt $T$ von 0,214 auf 0,018, also etwa zwölffach, weil die Verdopplung der Breite den Exponentialfaktor quadriert.
• Die Masse ist ebenso wichtig wie die Energie. Ein Proton mit derselben Energie von 3 eV an derselben Barriere hat ein um den Faktor $\sqrt{1836}\approx 43$ größeres $\kappa$, also $2\kappa a\approx 110$ und $T\approx 6\times 10^{-48}$.

Wo man ihm begegnet

Flash-Speicher speichert jedes Bit als Ladung auf einem isolierten Gate, das geschrieben und gelöscht wird, indem Elektronen durch eine isolierende Schicht von einigen Nanometern Dicke getrieben werden. Tunneldioden, Rastertunnelmikroskope und das Austreten von Alphateilchen aus Atomkernen folgen der Regel dieser Lektion, und im Sonnenkern verschmelzen Protonen nur dank des Tunneleffekts.

Dieselben Wellenregeln gelten für Licht in Reflexion und Brechung, wo ein total reflektierter Strahl einen dünnen Spalt überqueren kann. Atomkerne tunneln in Radioaktivität und Halbwertszeit sowie in Kernspaltung, Kernfusion und E = mc²; Halbleiter, Dioden und LEDs bauen Energiebänder aus Elektronenwellen auf, und Atommodelle: das bohrsche Atom hat Verwandte der Kastenniveaus.

Fortgeschritten

Eine Frequenz, viele Wellenlängen

Tunneln ist ein Wellenphänomen, also beginnen wir mit der Welle eines Teilchens mit fester Energie und fragen, wie sie sich ändert, wenn sich die potentielle Energie entlang seines Weges ändert. Zwei Regeln bestimmen fast alles Folgende: Die Frequenz ist überall dieselbe, und die Wellenlänge passt sich der lokalen kinetischen Energie an. Wo die kinetische Energie negativ wäre, bleibt die Welle nicht einfach stehen, sondern klingt ab.

Legende

$E$	Energie des Zustands: ein Wert für die ganze Welle.	$\mathrm{J}$
$V(x)$	Potentielle Energie am Ort $x$, grau gezeichnet: $0$, $\frac{3}{4}E$ und $\frac{5}{4}E$.	$\mathrm{J}$
$\psi$	Wellenfunktion: ihr Realteil zu einem Zeitpunkt.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Ort entlang der Bewegungslinie.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_1$	Wellenlänge auf dem untersten Niveau, wo $E-V$ am größten ist.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Wellenlänge auf dem mittleren Niveau, wo $E-V$ ein Viertel so groß ist: ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$.	$\mathrm{m}$
${\kappa }^{-1}$	Abklinglänge, wo $V>E$ gilt: über sie fällt $\psi$ auf $1/e$ seines Wertes am Rand.	$\mathrm{m}$

Abbildung 1 zeigt einen Zustand der Energie $E$ (die violette Linie), der drei flache Niveaus der potentiellen Energie $V(x)$ (grau) durchquert. Darunter ist die blaue Kurve die Wellenfunktion $\psi$ zu einem Zeitpunkt. Auf dem untersten Niveau gilt $V=0$, und die Welle schwingt mit der Wellenlänge ${\lambda }_1$. Auf dem mittleren Niveau gilt $V=\frac{3}{4}E$, also ist die kinetische Energie $E-V$ nur ein Viertel von vorher: Die Welle streckt sich auf ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$, und ihre Wellenberge werden höher. Auf dem obersten Niveau liegt $V=\frac{5}{4}E$ über $E$. Dort hört die Welle auf zu schwingen und klingt ab, auf $1/e$ ihres Wertes am Rand, über die kurze Länge ${\kappa }^{-1}$, die rechts markiert ist. Achte auch auf die beiden Stufen: Dort ist die Kurve stetig und hat keinen Knick.

Warum die Frequenz überall gleich ist. Wenn $V$ nicht von der Zeit abhängt, hat ein Zustand fester Energie die Form $\psi (x)e^{-i\omega t}$: eine feste Form im Raum mal einem einzigen schwingenden Faktor, mit derselben Kreisfrequenz $\omega =E/\hslash$ an jedem $x$. Nichts im Potential ändert sich mit der Zeit, also kann nichts einen Teil der Welle schneller antreiben als einen anderen. Licht, das in Glas eintritt, verhält sich genauso: Es behält seine Frequenz und ändert nur seine Wellenlänge. Eine Frequenz für die ganze Welle bedeutet eine Energie für die ganze Bewegung. Das ist in der Sprache der Wellen die Energieerhaltung.

Warum sich die Wellenlänge ändert. Die feste Energie verteilt sich von Ort zu Ort unterschiedlich auf kinetische und potentielle Energie. Mit $\hslash \omega =p^2/2m+V(x)$ und Auflösen nach dem Impuls erhält man den lokalen Impuls $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ und damit die lokale Wellenlänge $h/p(x)$. Wo $V$ abfällt, ist $p$ größer und die Wellen drängen sich zusammen; wo $V$ steigt, werden sie gedehnt. Auf dem mittleren Niveau der Abbildung 1 ist die kinetische Energie ein Viertel so groß, also ist $p$ halbiert und die Wellenlänge verdoppelt sich von ${\lambda }_1$ auf ${\lambda }_2$. Die Wellenberge sind dort höher, weil ein langsameres Teilchen auf jedem Wegabschnitt mehr Zeit verbringt und dort daher eher anzutreffen ist.

Was geschieht, wo $V>E$ gilt. Ein klassisches Teilchen kann dort nie sein, da seine kinetische Energie $E-V$ negativ wäre: Das ist der klassisch verbotene Bereich. In der Formel ist die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl imaginär, $p=i\hslash \kappa$, mit der reellen Abklingkonstante
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }$
In die ebene Welle $e^{ipx/\hslash }$ eingesetzt, wird daraus die reelle Exponentialfunktion $e^{-\kappa x}$. Die Gleichung erlaubt auch die anwachsende Lösung $e^{+\kappa x}$, doch in einem verbotenen Bereich, der ohne Ende weitergeht, würde sie $\psi$ grenzenlos anwachsen lassen, daher ist sie ausgeschlossen. Die Amplitude dringt also in den verbotenen Bereich ein, klingt dort aber ab, um einen Faktor $e$ auf jeder Länge $1/\kappa$. In Abbildung 1 ist $V-E$ auf dem obersten Niveau gleich $E-V$ auf dem mittleren Niveau, daher ist $\kappa$ gleich der Wellenzahl $2\pi /{\lambda }_2$ des mittleren Niveaus, und die Abklinglänge ist ${\kappa }^{-1}={\lambda }_2/2\pi$: Die Welle ist innerhalb von etwa einem Sechstel einer Wellenlänge verschwunden.

Licht klingt auf die gleiche Weise ab, und der Effekt lässt sich auf dem Labortisch zeigen. Ein Strahl läuft in Glas mit dem Brechungsindex $n$ unter dem Winkel $\theta$ zur Normalen einer Oberfläche, hinter der Luft liegt. Das Wellenmuster entlang der Oberfläche muss auf beiden Seiten übereinstimmen, daher ist die Komponente des Wellenvektors entlang der Oberfläche, $k_y=n\omega \sin \theta /c$, in der Luft dieselbe. In der Luft ist der gesamte Wellenvektor aber nur $\omega /c$ lang. Jenseits des Grenzwinkels, wo $n\sin \theta >1$ gilt, ist die Komponente entlang der Oberfläche bereits für sich länger als das, daher ist das Quadrat der Komponente über den Spalt hinweg negativ:
$k_x^2=(\omega /c{)}^2-k_y^2=(\omega /c{)}^2(1-n^2{\sin }^2\theta )$
Dann ist $k_x=i\kappa$ imaginär, und das Feld in der Luft klingt als $e^{-\kappa x}$ ab. Für $n=1,5$ bei 60° ist $\kappa {\lambda }_0=2\pi \sqrt{n^2{\sin }^2\theta -1}\approx 5,2$, wobei ${\lambda }_0$ die Wellenlänge im Vakuum ist. Grünes Licht von 550 nm klingt daher über etwa 0,1 µm ab. Bringt man einen zweiten Glasblock so nah heran, überquert ein Teil des Lichts den Spalt in ihn. Das ist die gestörte Totalreflexion: Barrierendurchdringung für Photonen.

Anpassung an den Rändern: die exakte Transmission

Nun machen wir den verbotenen Bereich endlich: eine Barriere mit erlaubten Bereichen auf beiden Seiten. Die abklingende Welle erreicht die andere Seite mit verminderter, aber nicht verschwindender Amplitude, und dort beginnt sie wieder als laufende Welle. Um zu finden, wie viel hindurchkommt, löst man die Wellengleichung in jedem Bereich und fügt die Stücke an den Rändern zusammen.

Legende

$V_0$	Höhe der Barriere.	$\mathrm{J}$
$E$	Energie der Welle, unter der Oberkante der Barriere.	$\mathrm{J}$
$a$	Breite der Barriere.	$\mathrm{m}$
$\psi$	Wellenfunktion: ihr Realteil zu einem Zeitpunkt.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Ort entlang der Bewegungslinie.	$\mathrm{m}$
$r$	Amplitude der reflektierten Welle, bei einer einfallenden Welle der Amplitude 1.
$t$	Amplitude der transmittierten Welle hinter der Barriere, im selben Maßstab.

Abbildung 2 zeigt eine Welle der Amplitude 1, die von links auf eine Barriere der Höhe $V_0$ und der Breite $a$ trifft. Sie ist für $E=\frac{3}{4}{V}_0$ und $\kappa a=1,6$ gezeichnet, eine Barriere, die knapp eine halbe Wellenlänge dick ist. Vor der Barriere überlagern sich die einfallende Welle (Pfeil 1) und die reflektierte Welle (Pfeil $r$) und bilden eine nahezu stehende Welle. Innen biegt sich die Kurve von der Achse weg und sinkt ab. Hinter der Barriere läuft eine einzige Welle der Amplitude $t$ nach rechts weiter, und von dort kommt nichts zurück. Die Pfeillängen sind die Amplituden: hier $|r|=0,94$ und $|t|=0,34$. Die beiden Punkte markieren die Ränder, an denen $\psi$ und seine Steigung ${\psi }^{\prime }$ auf beiden Seiten gleiche Werte haben müssen.

Warum müssen sie übereinstimmen? Man formt die Schrödinger-Gleichung zu einer Aussage über die Krümmung um:
$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\psi$
Wo $V<E$ gilt, hat die Krümmung das entgegengesetzte Vorzeichen zu $\psi$, die Kurve biegt sich also stets zur Achse zurück und schwingt. Wo $V>E$ gilt, hat sie dasselbe Vorzeichen, die Kurve biegt sich also von der Achse weg, wie $e^{\pm \kappa x}$. An einem Rand springt $V$ um einen endlichen Betrag, also springt auch die Krümmung, bleibt aber endlich. Eine endliche Krümmung, die über eine verschwindende Strecke wirkt, kann die Steigung nicht ändern, also ist ${\psi }^{\prime }$ stetig; und eine Kurve mit endlicher Steigung kann nicht springen, also ist auch $\psi$ stetig. Deshalb geht die Kurve in Abbildung 2 ohne Knick durch die Punkte.

Nun die Rechnung. Die Barriere liegt bei $0<x<a$, mit $V=0$ außerhalb. Außerhalb ist die Wellenzahl $k=\sqrt{2mE}/\hslash$; innen ist die Abklingkonstante $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$. Links gilt $\psi =e^{ikx}+r{e}^{-ikx}$: die einfallende Welle der Amplitude 1 plus die reflektierte Welle. Innen gilt $\psi =C{e}^{\kappa x}+D{e}^{-\kappa x}$; der anwachsende Term ist diesmal erlaubt, weil die Barriere endet, bevor er grenzenlos wachsen kann. Rechts gilt $\psi =t{e}^{ikx}$ allein, weil von dort nichts hereinkommt.

Damit gibt es vier Unbekannte, $r$, $C$, $D$ und $t$, und die Ränder liefern vier Bedingungen: $\psi$ und ${\psi }^{\prime }$ sind bei $x=0$ und bei $x=a$ stetig. Das sind vier lineare Gleichungen, und das Eliminieren von $C$ und $D$ ergibt
$t=\frac{e^{-ika}}{\cosh \kappa a+i\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\sinh \kappa a}$
Die Transmissionswahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat dieser Größe, also eins geteilt durch das Betragsquadrat des Nenners:
$|t{|}^2={\left[{\cosh }^2\kappa a+{\left(\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\right)}^2{\sinh }^2\kappa a\right]}^{-1}$
Man ersetzt ${\cosh }^2$ durch $1+{\sinh }^2$. Die beiden ${\sinh }^2$-Terme vereinigen sich dann mit dem Koeffizienten $1+({\kappa }^2-k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2=({\kappa }^2+k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2$. Da ${\kappa }^2+k^2=2m{V}_0/{\hslash }^2$ gilt, ist dieser Koeffizient $V_0^2/(4E(V_0-E))$, und
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]}^{-1}$

Warum ist $|t{|}^2$ der Anteil, der hindurchkommt? Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte $j=(\hslash /m)\mathrm{Im}({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime })$ misst, wie viel Wahrscheinlichkeit pro Sekunde durch einen Punkt fließt. In einem stationären Zustand sammelt sich nirgends Wahrscheinlichkeit an, daher ist $j$ an jedem $x$ gleich. Links ist es $(\hslash k/m)(1-|r{|}^2)$, der einfallende Fluss minus der reflektierte Fluss; rechts ist es $(\hslash k/m)|t{|}^2$. Setzt man beides gleich, folgt $|r{|}^2+|t{|}^2=1$: Jedes Teilchen wird entweder reflektiert oder transmittiert. Die Geschwindigkeit $\hslash k/m$ ist auf beiden Seiten dieselbe, also ist $T=|t{|}^2$ der transmittierte Anteil. In Abbildung 2 geben die Pfeile $|r{|}^2=0,88$ und $|t{|}^2=0,12$, die sich zu 1 addieren, und die 12 %, die hindurchkommen, sind $T$. Die Formel stimmt damit überein: Bei $E=\frac{3}{4}{V}_0$ ist der Faktor $V_0^2/(4E(V_0-E))$ gleich $4/3$, $\sinh 1,6=2,38$, und $T=1/(1+\frac{4}{3}\cdot 5,65)=0,12$.

Bei einer dicken Barriere, $\kappa a\gg 1$, gelten zwei Vereinfachungen. Erstens ist $\sinh \kappa a=\frac{1}{2}(e^{\kappa a}-e^{-\kappa a})\approx \frac{1}{2}{e}^{\kappa a}$, weil die zweite Exponentialfunktion winzig ist. Zweitens ist der ${\sinh }^2$-Term dann riesig, die 1 in der Klammer also vernachlässigbar, und die Klammer lässt sich direkt invertieren:
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
Der Vorfaktor ist nie größer als 4, sein Wert bei $E=\frac{1}{2}{V}_0$; daher entscheidet die Exponentialfunktion: Jede zusätzliche Abklinglänge $1/\kappa$ an Breite teilt $T$ durch $e^2\approx 7,4$.

Wie die Transmission mit der Breite abfällt

Die exakte Formel ist auf einen Blick schwer zu lesen. Ein Graph von $T$ gegen die Breite zeigt ihre beiden Bereiche: einen sanften Anfang für dünne Barrieren und eine reine Exponentialfunktion für dicke.

Legende

$\ln T$	Natürlicher Logarithmus der Transmissionswahrscheinlichkeit; 0 bedeutet $T=1$.
$a$	Breite der Barriere.	$\mathrm{m}$
$T$	Exakte Transmissionswahrscheinlichkeit für eine Barriere der Breite $a$.
$e^{-2\kappa a}$	Gesetz für dicke Barrieren, hier $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: die gestrichelte Gerade.
$\kappa a$	Breite in Abklinglängen $1/\kappa$; die gestrichelte Markierung bei $\kappa a=2$ ist die Stelle, an der die Gerade übernimmt.
$a_0$	Breite der Barriere der Animation, 0,25 nm.	$\mathrm{m}$
$\Delta a$	Ein Schritt in der Barrierenbreite.	$\mathrm{m}$
$\Delta (\ln T)$	Änderung von $\ln T$ über diesen Schritt, $-2\kappa \Delta a$: $T$ wird mit $e^{-2\kappa \Delta a}$ multipliziert.

Abbildung 3 trägt das exakte $T(a)$ für $E=3\mathrm{eV}$ und $V_0=4\mathrm{eV}$ bis $a=0,6\mathrm{nm}$ auf; die Stufe Fortgeschritten der Animation zeigt dieselbe Kurve. Hier ist sie logarithmisch gezeichnet, als $\ln T$ gegen $a$, weil eine Exponentialfunktion auf dieser Skala eine Gerade ist. Für ein Elektron mit $V_0-E=1\mathrm{eV}$ ist $\kappa =5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, also ist eine Abklinglänge etwa 0,2 nm.

Folgen wir der durchgezogenen Kurve $T$ von links. Sie beginnt bei $T=1$, also $\ln T=0$, denn ohne Barriere gibt es keine Reflexion. Von diesem Niveau löst sie sich sanft: Für kleine $a$ gilt $\sinh \kappa a\approx \kappa a$, also $T\approx [1+1,33(\kappa a{)}^2{]}^{-1}$, wobei $1,33=V_0^2/(4E(V_0-E))$ ist. Die exakten Werte sind bei 0,05 nm noch 0,92 und bei 0,1 nm 0,72. Jenseits der gestrichelten Markierung bei $\kappa a=2$ ist die Kurve praktisch eine Gerade. Das Dreieck liest deren Steigung ab: Ein Schritt $\Delta a$ senkt $\ln T$ um $\Delta (\ln T)=-2\kappa \Delta a$, also multipliziert jeder weitere Schritt von 0,1 nm $T$ mit $e^{-1,02}\approx 0,36$. Der Ring markiert die Barriere der Animation, $a_0=0,25\mathrm{nm}$, wo $T=0,214$ ist.

Die gestrichelte Linie ist das Gesetz für dicke Barrieren. Für diese Energien ist $16(E/V_0)(1-E/V_0)=16\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=3$, also $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: eine Gerade, die bei $\ln 3\approx 1,1$ beginnt und an die sich die exakte Kurve anschmiegt. Für dünne Barrieren taugt das Gesetz schlecht. Bei $a=0$ ergibt es 3, mehr als jede Wahrscheinlichkeit sein kann, und bei 0,25 nm ergibt es 0,232, also 8 % zu hoch. Ab 0,4 nm stimmt es auf 2 % genau.

Die Animation schickt ein Wellenpaket los, keine Welle mit einer einzigen Energie: Seine Energien streuen mit 0,34 eV um 3 eV. Da $T$ mit $E$ steil ansteigt (eine höhere Energie bedeutet ein kleineres $\kappa$), kommen die schnelleren Anteile leichter hindurch. Die Transmission des Pakets, 0,218, liegt daher etwas über den 0,214 einer Welle mit 3 eV, und die transmittierten Elektronen haben im Mittel 3,08 eV, die reflektierten 2,99 eV.

Was ist, wenn die Energie über der Barriere liegt, $E>V_0$? Klassisch würde jedes Teilchen passieren. In der Formel ist $V_0-E$ nun negativ, daher wird $\kappa$ imaginär: $\kappa =iq$, wobei $q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hslash$ die reelle Wellenzahl über der Barriere ist. Dann wird $\sinh \kappa a$ zu $i\sin qa$, und sowohl ${\sinh }^2\kappa a$ als auch $V_0-E$ wechseln das Vorzeichen, also
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sin }^2(qa)}{4E(E-V_0)}\right]}^{-1}$
Nun schwingt $T$ mit der Breite, statt abzufallen. Es erreicht 1 nur bei den Resonanzen $qa=n\pi$, wo die Barriere eine ganze Zahl halber Wellenlängen enthält und sich die an ihren beiden Rändern reflektierten Wellen auslöschen. Bei jeder anderen Breite wird ein Teil der Welle reflektiert, obwohl das Teilchen Energie übrig hat. Für ein 3-eV-Elektron über einer 2 eV hohen Barriere ist $q=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$: Mit wachsender Breite sinkt $T$ auf 0,75 und kehrt bei $a=0,61\mathrm{nm}$, bei 1,23 nm und so weiter auf 1 zurück.

Glatte Barrieren und Alphazerfall

Reale Barrieren sind selten rechteckig: Ihre Höhe ändert sich allmählich entlang des Weges. Das Gesetz für dicke Barrieren gilt auch für sie, Scheibe für Scheibe, und seine bekannteste Anwendung erklärt, warum manche Atomkerne Milliarden Jahre leben und andere weniger als eine Mikrosekunde.

Legende

$V(r)$	Potentielle Energie des Alphateilchens im Abstand $r$ vom Zentrum: ein Topf im Kern, elektrische Abstoßung außerhalb.	$\mathrm{J}$
$Q$	Bei dem Zerfall freigesetzte Energie: die Energie des Alphateilchens, das $E$ der Formeln.	$\mathrm{J}$
$\alpha$	Das Alphateilchen, im Topf gefangen.
$r$	Abstand vom Mittelpunkt des Kerns.	$\mathrm{m}$
$r_1$	Kernoberfläche, wo die Barriere beginnt.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Äußerer Umkehrpunkt, wo $V=Q$ wieder gilt und die Barriere endet.	$\mathrm{m}$
$\kappa (r)$	Abklingkonstante $\sqrt{2m(V-Q)}/\hslash$ im Abstand $r$; sie fällt bei $r_2$ auf null.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$dr$	Breite einer dünnen Scheibe der Barriere; die Scheibe multipliziert die Amplitude mit $e^{-\kappa dr}$.	$\mathrm{m}$
$\int \kappa dr$	Fläche unter $\kappa (r)$ von $r_1$ bis $r_2$: der Exponent in $T\approx e^{-2\int \kappa dr}$.

Abbildung 4 zeigt die Barriere, die ein Alphateilchen im Uran-238-Kern festhält. Die Koordinate entlang der Bewegung ist nun der Abstand $r$ vom Zentrum, in der Rolle von $x$. Das obere Feld zeigt die potentielle Energie $V(r)$ und die bei dem Zerfall freigesetzte Energie $Q$, die die Rolle von $E$ spielt. Innerhalb der Kernoberfläche $r_1$ erzeugt die starke Kraft einen tiefen Topf (nur skizziert), in dem das Alphateilchen $\alpha$ gefangen ist. Knapp außerhalb von $r_1$ setzt die elektrische Abstoßung $V$ weit über $Q$. Sie fällt wie $1/r$ ab und trifft $Q$ wieder am äußeren Umkehrpunkt $r_2$, wo die Barriere endet. Das untere Feld zeigt die Abklingkonstante $\kappa (r)=\sqrt{2m(V(r)-Q)}/\hslash$ über denselben Bereich: Sie ist bei $r_1$ am größten und fällt bei $r_2$ auf null.

Um eine Barriere zu behandeln, deren Höhe variiert, zerschneidet man sie in dünne Scheiben der Breite $dr$, wie den goldenen Streifen. Wenn sich $\kappa$ über eine Abklinglänge kaum ändert, also $|d\kappa /dr|\ll {\kappa }^2$ gilt, verhält sich jede Scheibe wie ein dünnes Stück einer gleichförmigen Barriere und multipliziert die Amplitude mit $e^{-\kappa dr}$. Multipliziert man die Faktoren aller Scheiben, addieren sich ihre Exponenten, und die Amplitude fällt um $e^{-\int \kappa dr}$, wobei $\int \kappa dr$ die schraffierte Fläche unter der Kurve ist. Die Wahrscheinlichkeit ist das Quadrat der Amplitude, was den Exponenten verdoppelt:
$T\approx \exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right)$
Dies ist die WKB-Abschätzung, benannt nach Wentzel, Kramers und Brillouin. Sie lässt einen Vorfaktor der Größenordnung 1 weg, wie die 3 bei der rechteckigen Barriere, weil der Exponent entscheidet. Bei einer rechteckigen Barriere ist die Fläche einfach $\kappa a$, und die Abschätzung ergibt wieder $e^{-2\kappa a}$.

George Gamow nutzte dies 1928, um den Alphazerfall zu erklären. Jenseits der Reichweite der starken Kraft stößt der Tochterkern mit der Ladung $Ze$ das Alphateilchen mit der Ladung $2e$ ab, mit
$V=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
die Kurve der Abbildung 4. Für Uran-238 ist der Tochterkern Thorium, $Z=90$. Die Barriere erreicht ihren Gipfel bei etwa 28 MeV an der Kernoberfläche, etwa 9 fm vom Zentrum, während die freigesetzte Energie nur $Q=4,27\mathrm{MeV}$ beträgt. Das Alphateilchen muss also bis dorthin tunneln, wo $V$ auf $Q$ gefallen ist, etwa 61 fm vom Zentrum. Das Integral ergibt $2\int \kappa dr\approx 88$, also $T\approx e^{-88}\approx 6\times 10^{-39}$.

Aus diesem Wert eine Lebensdauer zu machen, nutzt dieselbe Idee wie das unten stehende Rechenbeispiel. Im Kern trifft das Alphateilchen die Wand etwa $10^{21}$ Mal pro Sekunde, mit der Chance $T$, bei jedem Stoß zu entkommen. Die Austrittsrate beträgt etwa $10^{21}\cdot 6\times 10^{-39}=6\times 10^{-18}$ pro Sekunde, also entkommt es nach etwa $10^{17}$ s: einige Milliarden Jahre. Das ist die richtige Größenordnung für die gemessene Halbwertszeit von 4,5 Milliarden Jahren, ein echter Erfolg für eine Abschätzung, deren Exponent 88 ist.

Der Exponent hängt steil von der Energie ab. Polonium-212 setzt 8,95 MeV frei. Sein äußerer Umkehrpunkt rückt auf 26 fm vor, die Barriere wird dünner und niedriger, der Exponent fällt auf etwa 33, und die Halbwertszeit beträgt nur 0,3 µs. Ein Rückgang des Exponenten um 55 entspricht einem Faktor $e^{55}\approx 10^{24}$: Ungefähr eine Verdopplung der Energie, von 4,3 auf 9 MeV, verkürzt die Halbwertszeit etwa um den Faktor $10^{24}$. Dieser steile Trend war schon als empirische Geiger-Nuttall-Regel gemessen worden; der Tunneleffekt erklärt ihn.

Gebundene Zustände und Nullpunktsenergie

Dieselben Anpassungsbedingungen leisten mehr, als transmittierte Teilchen zu zählen. Angewandt auf ein zwischen Wänden eingeschlossenes Teilchen, liefern sie seine Energieniveaus.

Beginnen wir mit einem Kasten mit unendlich hohen Wänden. Dann ist $\kappa$ in den Wänden unendlich, die Welle kann gar nicht in sie eindringen, und $\psi$ muss bei $x=0$ und $x=L$ verschwinden. Innen, wo $V=0$ gilt, sind die Lösungen $\sin kx$ und $\cos kx$. Die Bedingung bei $x=0$ lässt nur $\sin kx$ zu, und die Bedingung bei $x=L$ verlangt $kL=n\pi$, mit $n$ einer positiven ganzen Zahl: Eine ganze Zahl halber Wellenlängen muss in den Kasten passen. Das ergibt
${\psi }_n=\sqrt{2/L}\sin (n\pi x/L)$
wobei der Faktor $\sqrt{2/L}$ dafür sorgt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist. Die Energie ist die kinetische Energie ${\hslash }^2{k}_n^2/2m$ mit $k_n=n\pi /L$:
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$

In einem Topf endlicher Tiefe sind die Wände nicht perfekt hart. Innen schwingt die Lösung; außen muss sie auf beiden Seiten abklingen; und an jeder Wand müssen beide mit gleichem Wert und gleicher Steigung aneinander anschließen. Für die meisten Energien erreicht die innere Welle eine Wand mit der falschen Steigung, und das äußere Stück müsste grenzenlos wachsen. Nur besondere Energien lassen beide Anschlüsse zugleich zu: Die Quantisierung ist eine Randbedingung, kein zusätzliches Postulat. Die Ausläufer lassen die Welle außerdem etwas über die Wände hinaus reichen, als wäre der Kasten etwas breiter; daher ist die Wellenlänge größer und die Energie niedriger. Bei einem 1 nm breiten und 4 eV tiefen Topf liegt das tiefste Niveau bei 0,26 eV, nicht bei den 0,38 eV des unendlich hohen Kastens.

Das niedrigste Niveau ist nie null. Mit $n=0$ wäre $\psi =0$ überall, also gar kein Teilchen. Die Unschärferelation sagt dasselbe. Im Grundzustand beträgt die Ortsunschärfe $\Delta x=0,18L$, und der Impuls, von der Größe $\pi \hslash /L$ in jeder Richtung, hat die Unschärfe $\Delta p=\pi \hslash /L$. Ihr Produkt ist $\Delta x\Delta p\approx 0,57\hslash$, knapp über dem Minimum $\hslash /2$, das das Prinzip zulässt. Ein Teilchen auf eine Region der Größe $L$ einzusperren kostet daher kinetische Energie in der Größenordnung von ${\hslash }^2/(m{L}^2)$, die Nullpunktsenergie. Sie verhindert, dass Atome kollabieren: Zieht man ein Elektron näher an den Kern, sinkt seine potentielle Energie, aber seine kinetischen Kosten steigen.

Rechenaufgabe: eine undichte Falle

Stell zwei Barrieren der Animation auf, jede 4 eV hoch und 0,25 nm dick, in einem Abstand $L=2\mathrm{nm}$ voneinander, mit einem Elektron von etwa 3 eV dazwischen. Wie lange bleibt das Elektron gefangen, und wie hängt das von der Dicke der Wände ab?

Behandle das Elektron als Teilchen, das mit der Geschwindigkeit $v=\sqrt{2E/m}=1,03\times 10^{6}m/s$ hin und her läuft, also 1,03 nm pro Femtosekunde, mit einer Chance $T$, bei jedem Auftreffen auf eine Wand zu entkommen. Zwischen den Stößen durchquert es den Spalt einmal, trifft also alle $L/v=1,95\mathrm{fs}$ auf eine Wand. Die Chance zu entkommen pro Zeiteinheit, die Austrittsrate, ist daher $\Gamma =Tv/L$. Eine konstante Chance pro Zeiteinheit bedeutet, dass die Zahl der noch Eingeschlossenen als $e^{-\Gamma t}$ abnimmt, mit der mittleren Lebensdauer $1/\Gamma$:
$\tau =\frac{L}{vT}=\frac{1,95\mathrm{fs}}{T}$
Mit den 0,25 nm dicken Wänden der Animation ist $T=0,214$ und $\tau \approx 9\mathrm{fs}$. Bei 1 nm dicken Wänden ist $T=1,06\times 10^{-4}$ und $\tau \approx 18\mathrm{ps}$. Bei 2 nm dicken Wänden ist $T=3,8\times 10^{-9}$ und $\tau \approx 0,5\mu \mathrm{s}$.

Achte auf das Muster. Nach dem Gesetz für dicke Barrieren teilt jeder zusätzliche Nanometer Wand $T$ und multipliziert damit die Lebensdauer mit $e^{2\kappa \cdot 1\mathrm{nm}}=e^{10,25}$, etwa 28.000: genau der Sprung von 18 ps auf 0,5 µs. Ein Proton in derselben Falle käme viel schlechter weg. Seine Masse ist 1836-mal größer, daher bewegt es sich bei gleicher Energie 43-mal langsamer und hat ein 43-mal größeres $\kappa$, da beide mit $\sqrt{m}$ skalieren. Selbst bei 0,25 nm dicken Wänden fällt $T$ auf etwa $6\times 10^{-48}$, und $\tau$ wächst auf einige $10^{34}$ s, weit mehr als das Alter des Universums. Das Bild vom Hin- und Herlaufen ist für $T=0,214$ grob, denn das Elektron ist nach wenigen Stößen verschwunden, und für kleine $T$ genau, wie beim Alphazerfall.

Grenzen der Gültigkeit

Alles hier ist nichtrelativistisch. Ein Elektron mit 3 eV bewegt sich mit 0,34 % der Lichtgeschwindigkeit, und seine Energie beträgt $6\times 10^{-6}$ seiner Ruheenergie von 511 keV, daher beschreibt ihn die Schrödinger-Gleichung hervorragend. Die rechteckige Barriere und der unendlich hohe Kasten sind Idealisierungen. In einem Tunnelkontakt zum Beispiel induziert das Elektron Ladung im nahen Metall und wird von ihr angezogen, und diese Anziehung rundet die Barriere ab und senkt sie. Das erhöht $T$, behält aber die exponentielle Abhängigkeit von der Breite bei.

Das Modell ist außerdem eindimensional. In drei Dimensionen zählt nur die Bewegung quer zur Barriere, sodass ein unter einem Winkel ankommendes Elektron, mit weniger seiner Energie in dieser Richtung, weniger tunnelt. Im Festkörper reagiert das Elektron auf Kräfte, als hätte es eine andere Masse, seine effektive Masse, die $m$ ersetzt. In Galliumarsenid beträgt sie 0,067 der freien Masse, was $\kappa$ etwa auf ein Viertel senkt und Elektronen durch wenige Nanometer dicke Schichten in resonanten Tunneldioden tunneln lässt. Schließlich wurde das Potential als fest und das Elektron als allein angenommen. In sehr kleinen Kontakten verändert die Ladung eines Elektrons das Potential so stark, dass es das nächste Elektron blockiert.

Wohin das führt

Welle-Teilchen-Dualismus führte die Amplitude und ihre Wahrscheinlichkeiten ein; diese Lektion gab ihr eine Gleichung. Radioaktivität und Halbwertszeit zeigt das exponentielle Zerfallsgesetz, das eine undichte Falle erzeugt, und Kernspaltung, Kernfusion und E = mc² den Tunneleffekt, der Kerne in Sternen verschmelzen lässt. Halbleiter, Dioden und LEDs wendet dieselben Anpassungsbedingungen auf ein periodisches Potential an, wo sie Energiebänder ergeben.

Reflexion und Brechung behandelt die Totalreflexion, deren gestörte Form das optische Gegenstück des Tunneleffekts ist. Die Bahnen aus Atommodelle: das bohrsche Atom weichen der dreidimensionalen Schrödinger-Gleichung, deren Lösung für Wasserstoff dieselben Niveaus $-13,6\mathrm{eV}/n^2$ und die Gestalt der Orbitale liefert, und Teilchen und Kräfte: das Standardmodell macht dieselbe Wellenmechanik relativistisch.