Motoren, Generatoren und Transformatoren

Einsteiger

Lege eine Drahtschleife zwischen die Pole eines Magneten und schicke einen Strom durch sie. Eine Seite der Schleife wird nach oben gedrückt, die andere nach unten, sodass sich die Schleife verdreht. Sich selbst überlassen, schwingt die Schleife herum, bis sie sich am Magneten ausrichtet und anhält. Damit sie sich weiterdreht, muss der Strom in der Schleife bei jeder halben Drehung umgepolt werden; ein geteilter Ring, der sich mit der Schleife dreht und an zwei feststehenden Kontakten schleift, macht genau das. Du hast jetzt einen Elektromotor vor dir, das Herz von Bohrmaschine, Ventilator oder Elektroauto.

Dreht man die Maschine rückwärts, wird sie zum Generator. In der Animation dreht sich eine Spule weiter zwischen dem Nord- und dem Südpol eines Magneten, so wie eine Turbine im Kraftwerk sie drehen würde. Ihre Seiten streichen durch den Magnetismus und treiben einen Strom durch den Stromkreis. Beobachte den roten Pfeil am Draht: Er wächst, schrumpft und zeigt bei jeder halben Drehung in die andere Richtung. Das ist Wechselstrom (AC), wie er in deinen Steckdosen fließt, und die Lampe blinkt zweimal pro Umdrehung.

Der Strom gelangt dann zu einem Transformator: zwei Spulen auf einem Eisenring. Der wechselnde Strom in der ersten Spule erzeugt einen wechselnden Magnetismus im Eisen, der in der zweiten Spule einen Strom antreibt. Mehr Windungen auf der zweiten Spule ergeben eine höhere Spannung, aber nie mehr Leistung: Die zehnfache Spannung bedeutet ein Zehntel des Stroms. Deshalb wird Elektrizität mit sehr hoher Spannung transportiert: Ein kleiner Strom in den Leitungen verschwendet viel weniger Energie als Wärme.

Teste dich selbst: Ein Transformator hat 50 Windungen hinein und 500 heraus. Wenn 12 V Wechselspannung hineingehen, was kommt heraus? (120 V, bei einem Zehntel des Stroms.)

Mittelstufe

Kraft auf einen Draht, Drehmoment an einer Spule

Ein Magnetfeld drückt seitlich auf bewegte Ladungen und damit auch auf einen stromdurchflossenen Draht. Für einen geraden Draht der Länge $L$, der einen Strom $I$ quer durch ein homogenes Feld $B$ führt, gilt für die Kraft
$F=BIL\sin \theta$
wobei $\theta$ der Winkel zwischen Draht und Feld ist: Die Kraft ist am größten, wenn der Draht das Feld im rechten Winkel kreuzt, und null entlang der Feldlinien. Sie steht senkrecht zu beiden, und die Drei-Finger-Regel der linken Hand (Fleming) gibt ihre Richtung an: Zeigefinger in Feldrichtung, Mittelfinger in Stromrichtung, Daumen in Kraftrichtung. So drückt 1 T mit 1 N auf jeden Meter Draht, der 1 A quer durch das Feld führt.

Biege den Draht zu einer rechteckigen Spule mit $N$ Windungen und der Fläche $A$, die auf einer Achse zwischen den Magnetpolen liegt. Ihre beiden langen Seiten führen entgegengesetzte Ströme und werden in entgegengesetzte Richtungen gedrückt, sodass die Spule ein Drehmoment erfährt
$\tau =NBIA\sin \theta$
wobei $\theta$ nun der Winkel zwischen dem Feld und der Normalen der Spule ist. Das Drehmoment ist am größten, wenn die Ebene der Spule längs des Feldes liegt, und null, wenn die Spule dem Feld zugewandt ist; dort kommt eine sich selbst überlassene Spule zur Ruhe. Ein Gleichstrommotor dreht sich weiter dank eines Kommutators, eines geteilten Rings auf der Achse, an dem zwei Bürsten schleifen. Er kehrt den Strom bei jeder halben Drehung um, genau dann, wenn das Drehmoment sonst umzukippen droht.

Der Generator: ein Motor, rückwärts betrieben

Entferne die Batterie und drehe die Spule mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$. Misst man den Winkel ab der Stellung, in der die Spule dem Feld zugewandt ist, ist der Fluss durch jede Windung $\Phi =BA\cos \omega t$, und das faradaysche Gesetz $\epsilon =-Nd\Phi /dt$ liefert die EMK und ihren Scheitelwert:

• $\epsilon =NBA\omega \sin \omega t$
• ${\epsilon }_0=NBA\omega$

Diese Wechselspannung hat die Frequenz $f=\omega /2\pi$. Sie ist am größten, wenn die Ebene der Spule längs des Feldes liegt: Die Seiten schneiden dann senkrecht die Feldlinien, und der Fluss, der durch null geht, ändert sich am schnellsten. Sie ist null, wenn die Spule dem Feld zugewandt ist; dort ist der Fluss am größten, aber für einen Moment konstant. Schleifringe führen die EMK heraus, ohne die Drähte zu verdrillen; ein Kommutator an ihrer Stelle würde pulsierende Gleichspannung liefern. Messgeräte zeigen den Effektivwert (rms) an, also den Scheitelwert geteilt durch $\sqrt{2}$ bei einer Sinusspannung: Eine 230-V-Versorgung hat einen Scheitelwert von etwa 325 V.

Transformatoren: zwei Spulen, ein Fluss

Ein Transformator hat keine beweglichen Teile: Eine Primärspule mit $N_p$ Windungen und eine Sekundärspule mit $N_s$ Windungen teilen sich einen geschlossenen Eisenkern. Ein Wechselstrom in der Primärspule erzeugt einen wechselnden Fluss, den das Eisen durch die Sekundärspule leitet. Jede Windung beider Spulen umschließt denselben wechselnden Fluss und erhält dieselbe EMK, daher verhalten sich die Spannungen wie die Windungszahlen; ohne Verluste ist die hineinfließende Leistung gleich der herausfließenden:

• $\frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p}$
• $V_p{I}_p=V_s{I}_s$

Ein Aufwärtstransformator ($N_s>N_p$) erhöht die Spannung und senkt den Strom um denselben Faktor, sodass keine Energie entsteht. Ein konstanter Gleichstrom erzeugt einen konstanten Fluss, der nichts induziert; deshalb braucht ein Transformator Wechselstrom. Große Transformatoren haben über 99 % Wirkungsgrad.

Rechenbeispiel: die Maschine aus der Animation

Die Spule hat $N=200$ Windungen mit der Fläche $A=0,020{\mathrm{m}}^2$ (20 cm mal 10 cm) in einem Feld $B=0,50\mathrm{T}$ und dreht sich einmal alle 2 s, also $\omega =2\pi /2=\pi \approx 3,14rad/s$. Dann gilt
${\Phi }_{\max }=BA=0,50\cdot 0,020=0,010\mathrm{Wb}$
${\epsilon }_0=NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi \approx 6,28\mathrm{V}$

Bei $t=0$ ist die Spule dem Feld zugewandt: Die Anzeige von $\Phi$ zeigt 10,0 mWb, die von $\epsilon$ null. Eine Achtelumdrehung später, bei $t=0,25\mathrm{s}$, ist der Fluss $10\cos 45^{\circ }\approx 7,1\mathrm{mWb}$ und die EMK $6,28\sin 45^{\circ }\approx 4,44\mathrm{V}$. Bei $t=0,5\mathrm{s}$ liegt die Ebene der Spule längs des Feldes, $\Phi$ geht durch null und $\epsilon$ erreicht seinen Scheitelwert von 6,28 V. Bei $t=1\mathrm{s}$ ist der Fluss −10,0 mWb und die EMK wieder null.

Mit $N_p=100$ und $N_s=200$ liefert die Sekundärspule $V_s=2\epsilon$, mit einem Scheitelwert von 12,57 V (etwa 12,6 V) an der $V_s$-Anzeige, im Takt mit $\epsilon$. Die Leistung der Lampe wächst mit $V_s^2$, sie leuchtet also bei beiden Scheitelwerten auf, positiv und negativ: zweimal pro Umdrehung.

Die Pfeile lesen: warum sich der Generator wehrt

Die blauen $v$-Pfeile zeigen, wie sich die langen Seiten auf ihrem Kreis bewegen: Bei $t=0$ gleiten sie längs des Feldes $B$ und schneiden nichts; bei $t=0,5\mathrm{s}$ kreuzen sie es im rechten Winkel. Nur die Bewegung quer zum Feld treibt die Ladungen an, daher das $\sin \omega t$. Die violetten $F$-Pfeile zeigen die Motorwirkung innerhalb des Generators: Das Feld drückt mit $F=BIL$ auf den induzierten Strom, immer gegen die Bewegung. Das ist die lenzsche Regel; würden die Kräfte stattdessen helfen, würde sich die Spule selbst beschleunigen und Energie aus dem Nichts erzeugen.

Behandle die Lampe als Widerstand von 25 Ω. Im Scheitel fließt $12,57/25\approx 0,50\mathrm{A}$, daher benötigt der ideale Transformator das Doppelte davon, etwa 1,0 A, in der Spule. Das Drehmoment ist dann $\tau =NBIA=200\cdot 0,50\cdot 1,0\cdot 0,020=2,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, und gegen dieses Moment mit $\pi rad/s$ zu drehen erfordert $\tau \omega \approx 6,3\mathrm{W}$, genau die Scheitelleistung der Lampe, $12,57\cdot 0,50\approx 6,3\mathrm{W}$. Trennt man die Lampe, dreht sich die Spule frei.

Rechenbeispiel: Hochspannungsleitungen

Ein Windpark speist 20 MW über Leitungen mit einem Gesamtwiderstand von 4,0 Ω ein. Sie erwärmen sich mit $I^{2}R$, und bei gegebener Leistung gilt $I=P/V$, also
$P_{\mathrm{loss}}=I^{2}R={\left(\frac{P}{V}\right)}^{2}R$

Bei den 11 kV der Generatoren wäre der Strom $20\times 10^6/(11\times 10^3)\approx 1818\mathrm{A}$ und der Verlust $1818^2\cdot 4,0\approx 13,2\mathrm{MW}$: zwei Drittel der Leistung würden nur die Drähte erwärmen. Ein Aufwärtstransformator mit dem Übersetzungsverhältnis 1 : 12 hebt die Spannung auf 132 kV. Der Strom sinkt auf 151,5 A und der Verlust auf $151,5^2\cdot 4,0\approx 92\mathrm{kW}$, unter einem halben Prozent: zwölfmal so hohe Spannung, $12^2=144$-mal weniger Verlust. Abspanntransformatoren nahe den Wohnungen bringen sie dann wieder auf 230 V herunter.

Typische Fehler

• Ein Transformator arbeitet nicht mit konstantem Gleichstrom: Eine 12-V-Batterie ergibt an der Sekundärseite 0 V, abgesehen von einem kurzen Stoß beim Einschalten.
• Die EMK ist nicht am größten, wenn die Spule den Magneten zugewandt ist: Dort ist der Fluss, in der Animation 10 mWb, am größten, aber für einen Moment konstant, also $\epsilon =0$. Die EMK erreicht ihren Scheitelwert von 6,28 V, wenn $\Phi =0$ ist.
• Ein Aufwärtstransformator erzeugt keine Energie: Die Lampe erhält die doppelte Spulenspannung, aber die halbe Stromstärke, 0,50 A statt 1,0 A, sodass auf beiden Seiten 6,3 W fließen.
• Die beiden Winkel $\theta$ sind verschieden: In $F=BIL\sin \theta$ liegt er zwischen Draht und Feld, in $\tau =NBIA\sin \theta$ zwischen Feld und Normale. Eine Spule, deren Ebene längs des Feldes liegt, hat daher das größte Drehmoment.

Wo es vorkommt

Elektromotoren treiben Ventilatoren, Aufzüge, Pumpen und Elektroautos an und verbrauchen etwa die Hälfte der weltweiten Elektrizität. Der Motor eines Elektroautos arbeitet beim Bremsen sogar als Generator. Ein zweipoliger Kraftwerksgenerator, der sich mit 3000 U/min dreht, liefert die 50 Hz des europäischen Netzes, und Transformatoren stehen an beiden Enden jeder Stromleitung und im Inneren von Handyladegeräten. Die 230 V, die du aus der Lektion „Elektrische Leistung und Energie im Haushalt“ kennst, sind ein Effektivwert, und die wechselnden Felder hinter jedem Transformator führen weiter zu der Lektion „Elektromagnetische Wellen“.

Fortgeschritten

Zwei Wege zur selben EMK

Ein Generator ist eine Spule aus $N$ Windungen, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in einem homogenen Magnetfeld $\vec{B}$ gedreht wird. Das faradaysche Flussgesetz liefert ihre EMK in einer Zeile, verbirgt aber, was die Ladungen tatsächlich durch den Stromkreis treibt. Deshalb ermitteln wir die EMK zuerst aus der magnetischen Kraft auf die Ladungen im bewegten Draht und prüfen dann, dass das Flussgesetz dasselbe Ergebnis liefert. Jede Windung sei ein Rechteck mit zwei langen Seiten der Länge $L$, parallel zur Achse, und zwei kurzen Enden der Länge $w$, der Breite der Spule, sodass ihre Fläche $A=Lw$ beträgt.

Legende

$\vec{B}$	Magnetfeld, homogen und waagerecht in der Zeichenebene.	$\mathrm{T}$
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit der Spule, hier im Uhrzeigersinn.	$rad/s$
$\frac{w}{2}$	Radius des Kreises, auf dem sich jede lange Seite bewegt: die halbe Breite $w$ der Spule.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit einer langen Seite, tangential zu ihrem Kreis, Betrag $\omega w/2$.	$m/s$
$\theta$	Winkel zwischen $\vec{v}$ und $\vec{B}$ sowie zwischen $\vec{A}$ und $\vec{B}$: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{A}$	Flächenvektor der Spule: Betrag $A=Lw$, senkrecht zur Spule, also parallel zu $\vec{v}$ der oberen Seite.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{F}$	Magnetkraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ auf eine positive Ladung $q$ in einer langen Seite. Sie zeigt längs des Drahtes: auf der oberen Seite aus dem Papier (Punkt), auf der unteren hinein (Kreuz).	$\mathrm{N}$

Abbildung 1 blickt entlang der Achse, die in die Seite zeigt. Jede lange Seite erscheint dann als kleine Scheibe, und die Spule selbst als Linie, die die beiden Scheiben verbindet. Das Feld $\vec{B}$ verläuft waagerecht über die Seite, und die Spule dreht sich mit $\omega$ im Uhrzeigersinn.

Beginnen wir mit der Bewegung einer langen Seite. Sie liegt im Abstand $w/2$ von der Achse und bewegt sich daher auf dem gestrichelten Kreis mit Radius $w/2$ mit der Geschwindigkeit $v=\omega w/2$. Ihre Geschwindigkeit $\vec{v}$ ist tangential zu diesem Kreis. Die Zeit messen wir ab dem Moment, in dem sich die Seiten längs der Feldlinien bewegen, $\vec{v}$ also parallel zu $\vec{B}$ ist. Die Geschwindigkeit dreht sich mit der Spule, sodass sie bis zur Zeit $t$ den Winkel $\theta =\omega t$ überstrichen hat; in der Abbildung ist er zwischen $\vec{v}$ und der gestrichelten Waagerechten an der oberen Seite markiert.

Als Nächstes die Kraft. Eine positive Ladung $q$, die von der Seite mitgeführt wird, erfährt die magnetische Kraft $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$. Sowohl $\vec{v}$ als auch $\vec{B}$ liegen in der Papierebene, daher steht ihr Kreuzprodukt senkrecht zur Papierebene, also längs des Drahtes. Auf der oberen Seite zeigt es aus dem Papier heraus (der Punkt), auf der unteren Seite, deren Geschwindigkeit umgekehrt ist, hinein (das Kreuz). Da $\theta$ der Winkel zwischen $\vec{v}$ und $\vec{B}$ ist, hat die Kraft den Betrag $qvB\sin \theta =qvB\sin \omega t$.

Nun die Arbeit. Die EMK ist die Arbeit, die an einer einmal im Stromkreis umlaufenden Einheitsladung verrichtet wird. Längs einer langen Seite wirkt auf die Einheitsladung die Kraft $vB\sin \omega t$ entlang des Drahtes auf der gesamten Länge $L$, sodass sie je Einheitsladung die Arbeit $BLv\sin \omega t$ verrichtet. Die kurzen Enden liegen in der Papierebene; die Kraft auf ihre Ladungen zeigt längs der Achse, quer zum Draht, sodass sie entlang der Enden keine Arbeit verrichtet.

Schließlich gehen wir einmal um eine Windung herum. Auf der oberen Seite bewegen wir uns aus dem Papier heraus, also in derselben Richtung wie die Kraft dort. Auf der unteren Seite bewegen wir uns wieder in das Papier hinein, und auch die Kraft dort zeigt hinein, drückt also in unsere Laufrichtung. Die beiden Seiten addieren sich daher, statt sich aufzuheben, und jede Windung liefert $2BLv\sin \omega t$. Die $N$ Windungen sind in Reihe geschaltet, ihre EMKs addieren sich ebenfalls:
$\epsilon =2NBL\frac{\omega w}{2}\sin \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
wobei der letzte Schritt $A=Lw$ verwendet.

Der Flussweg ist kürzer. Der Flächenvektor $\vec{A}$ hat den Betrag $A$ und steht senkrecht zur Ebene der Spule. In Abbildung 1 ist er parallel zur Geschwindigkeit der oberen Seite, weil diese Geschwindigkeit ebenfalls senkrecht zur Spule steht. Also dreht sich $\vec{A}$ mit $\vec{v}$ und bildet mit $\vec{B}$ denselben Winkel $\theta =\omega t$. Der Fluss durch eine Windung ist daher $\Phi =BA\cos \omega t$, am größten bei $t=0$, wenn die Spule dem Feld zugewandt ist. Das faradaysche Gesetz liefert
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=-NBA\frac{d}{dt}\cos \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
dasselbe Ergebnis.

Setzen wir die Zahlen der Animation ein. Ihre Spule hat $L=0,20\mathrm{m}$ längs der Achse und $w=0,10\mathrm{m}$ quer, also $A=0,020{\mathrm{m}}^2$, mit $N=200$ Windungen in $B=0,50\mathrm{T}$, die sich mit $\omega =\pi rad/s$ drehen (eine Umdrehung alle 2 s). Jede lange Seite bewegt sich mit $v=\pi \cdot 0,05\approx 0,157m/s$ und trägt höchstens $BLv=0,50\cdot 0,20\cdot 0,157\approx 15,7\mathrm{mV}$ bei. Die 200 Windungen haben 400 lange Seiten, alle in Reihe, sodass die Scheitel-EMK $400\cdot 15,7\mathrm{mV}\approx 6,28\mathrm{V}$ beträgt, dasselbe wie $NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi$.

Die beiden Wege stimmen überein, beschreiben aber unterschiedliche Physik. Im Generator bewegt sich der Draht, und die magnetische Kraft auf seine bewegten Ladungen übernimmt das Treiben; das Flussgesetz ist eine kompakte Zusammenfassung dieser Kraft. Im Transformator bewegt sich nichts, daher gibt es überhaupt keine Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$. Stattdessen erzeugt der wechselnde Fluss ein elektrisches Feld, das um den Kern kreist,
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$
und dieses elektrische Feld treibt die Ladungen in der Sekundärspule an. Dass eine einzige Regel zwei so verschiedene Mechanismen erfasst, deutet darauf hin, dass elektrisches und magnetisches Feld zwei Aspekte eines einzigen Feldes sind, was die Relativitätstheorie präzise macht.

Den Graphen lesen: der Fluss eilt der EMK voraus

Der Graph der Animation zeigt Fluss und EMK zusammen. Ihn richtig zu lesen heißt, das faradaysche Gesetz als Aussage über Steigungen zu sehen; so lässt sich jede induzierte EMK am schnellsten aus ihrem Fluss skizzieren.

Legende

$\Phi$	Magnetischer Fluss durch eine Windung, $BA\cos \omega t$, auf die Höhe von ${\epsilon }_0$ skaliert.	$\mathrm{Wb}$
$\epsilon$	EMK der Spule, $-Nd\Phi /dt$.	$\mathrm{V}$
${\epsilon }_0$	Scheitel-EMK der Spule, $NBA\omega$.	$\mathrm{V}$
$V_s$	Spannung der Sekundärspule des Transformators; ihr Scheitelwert ist $2{\epsilon }_0$ für $N_s/N_p=2$.	$\mathrm{V}$
$t$	Zeit.	$\mathrm{s}$
$T$	Periode: die Zeit für eine Umdrehung der Spule.	$\mathrm{s}$
$\frac{T}{4}$	Eine Viertelperiode: die Zeit, um die der Fluss der EMK vorauseilt, eine Phase von $90^{\circ }$.	$\mathrm{s}$

Abbildung 2 zeichnet diesen Graphen über eine Periode $T$ neu, die Zeit für eine Umdrehung; hier ist $T=2\pi /\omega =2\mathrm{s}$. Die grüne Kurve ist der Fluss $\Phi (t)$ durch eine Windung, auf die Höhe der EMK skaliert, damit beide leicht zu vergleichen sind. Die rote Kurve ist die EMK $\epsilon (t)$. Die goldene Kurve, auf die wir noch zurückkommen, ist die Ausgangsspannung $V_s(t)$ eines vom Generator gespeisten Transformators.

Vergleichen wir zuerst die Lage der Maxima. Der Fluss $\Phi =BA\cos \omega t$ hat einen Scheitel bei $t=0$, und die EMK erreicht ihren ersten Scheitel eine Viertelperiode später, bei $T/4=0,5\mathrm{s}$. Der Fluss eilt der EMK um eine Viertelschwingung voraus, eine Phasenverschiebung von $90^{\circ }$. Das Muster wiederholt sich in jeder Periode, der Fluss erreicht also erneut bei 2 s, 4 s usw. seinen Scheitel.

Nun der Grund dafür: Das faradaysche Gesetz $\epsilon =-Nd\Phi /dt$ sagt, dass die EMK gleich minus $N$ mal der Steigung der grünen Kurve ist. An einem Scheitel oder Tal von $\Phi$ ist die Kurve für einen Augenblick flach, also ist dort $\epsilon =0$, obwohl der Fluss selbst am größten ist. Dort, wo $\Phi$ bei $T/4$ durch null geht, ist er am steilsten; die gestrichelte Tangente zeigt diese Steigung, und dort erreicht $\epsilon$ seinen Scheitelwert $+{\epsilon }_0=+6,28\mathrm{V}$. Eine halbe Periode später steigt $\Phi$ ebenso steil durch null, und $\epsilon =-6,28\mathrm{V}$.

Die Zahlen bestätigen das. Der Fluss durch eine Windung hat die Amplitude $BA=0,50\cdot 0,020=10\mathrm{mWb}$, also hat die Flussverkettung $N\Phi$ die Amplitude $200\cdot 10\mathrm{mWb}=2,0\mathrm{Wb}$. Ein Kosinus der Amplitude $a$ und der Kreisfrequenz $\omega$ hat die größte Steigung $a\omega$, hier $2,0\cdot \pi \approx 6,28Wb/s$. Da $1Wb/s=1\mathrm{V}$ gilt, ist das die Scheitel-EMK ${\epsilon }_0$.

Die goldene Kurve $V_s(t)$ hat dieselben Nullstellen und Scheitel wie $\epsilon (t)$, ist aber doppelt so hoch und erreicht $2{\epsilon }_0$. Ein idealer Transformator übernimmt die Kurvenform, skaliert sie mit seinem Windungsverhältnis, hier $N_s/N_p=2$, und fügt keine Phasenverschiebung hinzu; Abbildung 4 zeigt, warum.

Zuletzt: Welche einzelne Zahl nennt man für eine solche Spannung? Ein Widerstand $R$, an dem ${\epsilon }_0\sin \omega t$ anliegt, nimmt die Leistung $({\epsilon }_0^2/R){\sin }^2\omega t$ auf. Über eine Periode mittelt sich ${\sin }^2\omega t$ zu $\frac{1}{2}$, weil ${\sin }^2$ und ${\cos }^2$ denselben Mittelwert haben und zusammen 1 ergeben. Die mittlere Leistung ist also die Hälfte der Scheitelleistung, dieselbe wie eine konstante Spannung ${\epsilon }_0/\sqrt{2}$ liefern würde. Das ist der Effektivwert (rms), hier $6,28/\sqrt{2}\approx 4,44\mathrm{V}$.

Energiebilanz: der Generator zahlt mit Drehmoment

Ein Generator wandelt mechanische Arbeit in elektrische Energie um, also muss sich etwas der Drehung widersetzen; sonst würde die Spule Leistung ohne Gegenleistung abgeben. Dieser Widerstand ist die magnetische Kraft auf genau den Strom, den die Spule liefert.

Die Spule liefere einen Strom $I$, der mit ihrer EMK in Phase ist, wie er es bei einem Widerstand tut. In jeder Windung führt eine lange Seite den Strom $I$ über eine Länge $L$ senkrecht zu $\vec{B}$, sie erfährt also eine Kraft $BIL$, senkrecht zu $\vec{B}$ in der Ebene von Abbildung 1. Nur der Teil dieser Kraft entlang der Geschwindigkeit $\vec{v}$ der Seite dreht die Spule. Da $\vec{v}$ mit $\vec{B}$ den Winkel $\omega t$ bildet, ist dieser Anteil $BIL\sin \omega t$, und nach der lenzschen Regel wirkt er gegen $\vec{v}$, mit dem Hebelarm $w/2$. Zwei Seiten pro Windung und $N$ Windungen ergeben das Gegendrehmoment
$\tau =2N(BIL\sin \omega t)\frac{w}{2}=NBIA\sin \omega t$
Damit die Spule mit konstantem $\omega$ weiterdreht, muss derjenige, der sie antreibt, dieses Drehmoment aufbringen; die mechanische Leistung ist also
$\tau \omega =(NBIA\sin \omega t)\omega =(NBA\omega \sin \omega t)I=\epsilon I$
genau die abgegebene elektrische Leistung, zu jedem Zeitpunkt.

Welche Kraft verrichtet die Arbeit? Nicht die magnetische: Sie steht stets senkrecht zur Gesamtgeschwindigkeit jeder Ladung, der Summe aus der Bewegung der Spule und der Drift der Ladung entlang des Drahtes, und verrichtet deshalb überhaupt keine Arbeit. Sie leitet Arbeit nur um. Der Anteil der Kraft aufgrund der Bewegung der Spule schiebt die Ladungen längs des Drahtes und treibt den Strom; der Anteil aufgrund ihrer Drift längs des Drahtes drückt seitlich auf den Draht und widersetzt sich der Drehung. Diese beiden Arbeiten sind gleich groß und entgegengesetzt, daher stammt alle elektrische Energie von dem, der die Welle dreht.

Der Motor: Gegen-EMK und Drehmomentgerade

Betreibt man dieselbe Maschine als Motor, kehrt sich die Kopplung um. Die Versorgung treibt einen Strom an, die Kraft auf diesen Strom dreht die Spule, und die sich drehende Spule erzeugt als Generator ebenfalls eine EMK, die der Versorgung entgegenwirkt. Diese Gegen-EMK bestimmt Strom und Drehzahl eines Motors und legt fest, welches Drehmoment er bei jeder Drehzahl abgeben kann.

Legende

$\omega$	Winkelgeschwindigkeit der Motorwelle.	$rad/s$
$\tau$	Drehmoment, das der Motor abgibt; es fällt linear, wenn $\omega$ steigt.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\tau }_0$	Anlaufdrehmoment, $kV/R$: das Drehmoment bei festgehaltener Welle, $\omega =0$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\omega }_0$	Leerlaufdrehzahl, $V/k$: die Gegen-EMK ist gleich der Versorgungsspannung, es fließt kein Strom und das Drehmoment ist null.	$rad/s$
$\frac{{\omega }_0}{2}$	Halbe Leerlaufdrehzahl, bei der die mechanische Leistung am größten ist.	$rad/s$
$\frac{{\tau }_0}{2}$	Halbes Anlaufdrehmoment: das Drehmoment bei ${\omega }_0/2$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Mechanische Leistung $\tau \omega$, die Fläche des schraffierten Rechtecks; bei ${\omega }_0/2$ erreicht sie ihren größten Wert, $V^2/(4R)$.	$\mathrm{W}$

Abbildung 3 trägt das Drehmoment $\tau$, das ein Motor abgibt, gegen die Drehzahl $\omega$ seiner Welle auf, bei fester Versorgungsspannung $V$ über den Widerstand $R$ seiner Wicklung. Um zu sehen, warum der Graph eine Gerade ist, modellieren wir den Motor. Mit vielen Spulen auf dem Rotor und einem Kommutator, der jede Spule zum richtigen Zeitpunkt zuschaltet, ist die Gegen-EMK ${\epsilon }_b$ nahezu konstant und proportional zur Drehzahl. Drei Gleichungen beschreiben dann den Motor:
$V={\epsilon }_b+IR,{\epsilon }_b=k\omega ,\tau =kI$
Die erste ist der Stromkreis: Die Versorgungsspannung teilt sich in Gegen-EMK und Spannungsabfall an der Wicklung. Die zweite und dritte enthalten dieselbe Konstante $k$, und das muss so sein: Die Energiebilanz oben, ${\epsilon }_{b}I=\tau \omega$, gilt nur, wenn die Konstante, die ${\epsilon }_b$ mit $\omega$ verknüpft, gleich der ist, die $\tau$ mit $I$ verknüpft.

Die erste Gleichung liefert den Strom $I=(V-k\omega )/R$, und die dritte macht daraus ein Drehmoment:
$\tau =\frac{k(V-k\omega )}{R}$
Das ist die fallende Gerade der Abbildung. Am linken Ende ist die Welle festgehalten, $\omega =0$, es gibt also keine Gegen-EMK, und nur die Wicklung begrenzt den Strom auf $V/R$; das Drehmoment ist dann das Anlaufdrehmoment ${\tau }_0=kV/R$. Mit steigender Drehzahl wächst die Gegen-EMK, der Strom sinkt und mit ihm das Drehmoment. Am rechten Ende, der Leerlaufdrehzahl ${\omega }_0=V/k$, ist die Gegen-EMK auf die Versorgungsspannung gestiegen, es fließt kein Strom mehr, und das Drehmoment ist null.

Die mechanische Leistung ist $P=\tau \omega$. Im Graphen ist das die Fläche eines Rechtecks mit einer Ecke im Ursprung und der gegenüberliegenden Ecke auf der Geraden, wie das schraffierte. Mit der Geradengleichung $\tau ={\tau }_0(1-\omega /{\omega }_0)$ folgt
$P={\tau }_0\omega \left(1-\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$
was an beiden Enden der Geraden null ist. Es ist eine Parabel in $\omega$, symmetrisch um die Mitte ihrer beiden Nullstellen, also am größten bei $\omega ={\omega }_0/2$, wo das Drehmoment ${\tau }_0/2$ beträgt. Die maximale Leistung ist daher $({\tau }_0/2)({\omega }_0/2)=V^2/(4R)$.

Wie viel der Eingangsleistung wird zu Arbeit? Der Motor nimmt die elektrische Leistung $VI$ auf und wandelt ${\epsilon }_{b}I$ davon in mechanische Leistung um; sein Wirkungsgrad ist also, Reibung vernachlässigt, ${\epsilon }_b/V=\omega /{\omega }_0$. Bei der Drehzahl maximaler Leistung ist ${\epsilon }_b=V/2$: nur die Hälfte der aufgenommenen Leistung wird mechanische Leistung, die andere Hälfte erwärmt die Wicklung. In der Nähe der Leerlaufdrehzahl, wo das Rechteck breit, aber niedrig ist, ist der Wirkungsgrad hoch.

Nehmen wir einen 12-V-Motor mit $R=0,50\Omega$. Beim Anlauf ist $\omega =0$, es gibt also keine Gegen-EMK, und $I=12/0,50=24\mathrm{A}$. Bei 3000 U/min, also $\omega =3000\cdot 2\pi /60\approx 314rad/s$, beträgt seine Gegen-EMK ${\epsilon }_b=11\mathrm{V}$, und er zieht nur $(12-11)/0,50=2,0\mathrm{A}$. Von den aufgenommenen 24 W werden ${\epsilon }_{b}I=22\mathrm{W}$ mechanische Arbeit, und $I^{2}R=2\mathrm{W}$ erwärmen die Wicklung, ein Wirkungsgrad von 92 %.

Der Betriebspunkt liefert auch die Motorkonstante $k={\epsilon }_b/\omega =11/314\approx 0,035\mathrm{V}\cdot s/rad$, also ist das Drehmoment $\tau =kI=0,035\cdot 2,0=0,070\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$; zur Kontrolle: $\tau \omega =0,070\cdot 314\approx 22\mathrm{W}$. Nun setzen wir diesen Motor in Abbildung 3 ein. Sein Anlaufdrehmoment ist ${\tau }_0=kV/R=0,035\cdot 12/0,50\approx 0,84\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ und seine Leerlaufdrehzahl ${\omega }_0=V/k\approx 343rad/s$, nahe 3270 U/min. Die 3000 U/min liegen also nahe dem rechten Ende der Geraden, wo das Drehmoment klein und der Wirkungsgrad $\omega /{\omega }_0$ hoch ist. Das Drehmoment fällt linear mit der Drehzahl von 0,84 N·m auf null, und die mechanische Leistung erreicht ihr Maximum bei der halben Leerlaufdrehzahl, etwa 1640 U/min, mit $V^2/(4R)=72\mathrm{W}$. Dort zieht der Motor $(12-6)/0,50=12\mathrm{A}$, also 144 W, sodass nur 50 % davon zu Arbeit werden.

Im Inneren des Transformators

Ein Transformator verändert die Größe einer Wechselspannung ohne bewegliche Teile, deshalb laufen Stromnetze mit Wechselstrom. Sein gesamtes Verhalten folgt aus einer Tatsache: Der Eisenkern lässt denselben Fluss durch jede Windung beider Spulen treten.

Legende

$V_p$	Spannung der Quelle an der Primärspule.	$\mathrm{V}$
$I_p$	Strom in der Primärspule.	$\mathrm{A}$
$N_p$	Windungszahl der Primärspule.
$\Phi$	Magnetischer Fluss im Eisenkern, durch jede Windung beider Spulen gleich.	$\mathrm{Wb}$
$N_s$	Windungszahl der Sekundärspule.
$I_s$	Strom in der Sekundärspule und der Last.	$\mathrm{A}$
$V_s$	Spannung an der Sekundärspule und der Last.	$\mathrm{V}$
$R$	Widerstand der Last an der Sekundärseite.	$\Omega$

Abbildung 4 zeigt einen Transformator mit Last. Die Quelle legt die Spannung $V_p$ an die $N_p$ Windungen der Primärspule und treibt den Strom $I_p$ durch sie. Der Eisenkern führt den Fluss $\Phi$ auf seiner geschlossenen Schleife entlang der grünen Pfeile, sodass derselbe Fluss $\Phi$ alle $N_s$ Windungen der Sekundärspule durchsetzt. Die Sekundärspule legt die Spannung $V_s$ an die Last $R$ und treibt den Strom $I_s$ durch sie.

Da jede Windung beider Spulen denselben Fluss umschließt, hat jede Windung dieselbe EMK, dem Betrag nach $d\Phi /dt$. Windungen in Reihe addieren sich, und bei vernachlässigtem Widerstand der Wicklungen entspricht die Klemmenspannung jeder Spule ihrer EMK, also dem Betrag nach
$V_p=N_p\frac{d\Phi }{dt},V_s=N_s\frac{d\Phi }{dt}$
Teilt man die eine durch die andere, kürzt sich $d\Phi /dt$ heraus, und das Windungsverhältnis $V_s/V_p=N_s/N_p$ bleibt. Beide Spannungen folgen demselben $d\Phi /dt$, steigen und fallen also gemeinsam, ohne Phasenverschiebung, wie Abbildung 2 zeigte.

Lesen wir nun die erste Gleichung in umgekehrter Richtung: Die Primärspannung legt den Fluss fest, unabhängig von der Last. Für eine sinusförmige Spannung mit Scheitelwert $V_0$ ist auch der Fluss sinusförmig, mit dem Scheitelwert ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, weil das Ableiten einer Sinuskurve ihre Amplitude mit $\omega$ multipliziert. Eine 230-V-Primärspule mit 1000 Windungen bei 50 Hz hat $V_0\approx 325\mathrm{V}$ und $\omega \approx 314rad/s$, also ${\Phi }_0\approx 1,04\mathrm{mWb}$. Damit das Eisen unter etwa 1,2 T bleibt, braucht der Kern einen Querschnitt von ${\Phi }_0/B\approx 8,6\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, also rund 8,6 cm². Die benötigte Fläche sinkt mit $1/\omega$: Bei den 400 Hz, die in Flugzeugen verwendet werden, würde ein Achtel davon genügen, und Ladegeräte, die mit einigen zehn Kilohertz schalten, verwenden winzige Ferritkerne.

Warum steigt der Primärstrom, wenn eine Last angeschlossen wird? Der Laststrom $I_s$ fließt durch die Sekundärwindungen und würde für sich allein den Kern entgegengesetzt zu $I_p$ magnetisieren; in Abbildung 4 zirkulieren die beiden Ströme in entgegengesetztem Sinn um den Kern. Der Fluss ist aber durch $V_p$ festgelegt. Die Primärseite muss daher einen zusätzlichen Strom ziehen, dessen magnetische Wirkung, gemessen als Strom mal Windungszahl, die der Sekundärseite aufhebt: $N_p{I}_p=N_s{I}_s$, abgesehen von dem kleinen Magnetisierungsstrom, der den Fluss selbst aufbaut. Multipliziert man mit dem Spannungsverhältnis, folgt $V_p{I}_p=V_s{I}_s$: Leistung hinein gleich Leistung heraus.

Ein Transformator verändert also auch Widerstände. Von der Primärseite aus gesehen ist die Last $V_p/I_p$. Mit $V_p=(N_p/N_s)V_s$ und $I_p=(N_s/N_p)I_s$ folgt
$\frac{V_p}{I_p}={\left(\frac{N_p}{N_s}\right)}^{2}R$
was erklärt, wie ein Transformator einen Lautsprecher an einen Verstärker anpasst.

Zwei Grenzfälle vervollständigen das Bild. Ist die Sekundärseite offen, fließt kein Strom $I_s$, und die Sekundärspannung wird allein vom Primärstrom bestimmt: dem Betrag nach $V_s=Md{I}_p/dt$, wobei $M$ die Gegeninduktivität der beiden Spulen ist. Bei Gleichstrom gilt $d\Phi /dt=0$: In keiner Spule wird etwas induziert, nichts wird auf die Sekundärseite übertragen, und nur der kleine Widerstand des Kupfers begrenzt den Primärstrom.

Rechenaufgabe: den Generator belasten

Schließe eine 25-Ω-Lampe, die als reiner Widerstand behandelt wird, an die Sekundärseite des Transformators der Animation an ($N_p=100$, $N_s=200$), dessen Primärseite vom Generator gespeist wird, und vernachlässige den Widerstand der Spulen. Welchen Strom führt die Generatorspule, wie stark muss sie gedreht werden, und was wäre ohne den Transformator anders?

Zuerst die Last, so wie die Spule sie sieht. Von der Primärseite aus gesehen wirkt die Lampe wie $(N_p/N_s{)}^{2}R=(100/200{)}^2\cdot 25=6,25\Omega$. Die Spule treibt ihre EMK mit Scheitelwert 6,28 V in diesen Widerstand, daher ist der Spulenstrom eine Sinuskurve in Phase mit der EMK, mit Scheitelwert $6,28/6,25\approx 1,01\mathrm{A}$. Die Sekundärseite verdoppelt die Spannung und halbiert den Strom, sodass die Lampe einen Scheitelstrom von etwa 0,50 A bei einer Scheitelspannung von 12,57 V führt.

Als Nächstes das Drehmoment. Die Energiebilanz ergab das Gegendrehmoment $NBAI\sin \omega t$, wobei $I$ nun der Primärstrom $I_p$ ist, der selbst proportional zu $\sin \omega t$ ist. Mit $NBA=200\cdot 0,50\cdot 0,020=2,0\mathrm{Wb}$ und $1\mathrm{Wb}\cdot \mathrm{A}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ folgt
$\tau =NBA{I}_p\sin \omega t\approx 2,0{\sin }^2\omega t\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
Es erreicht sein Maximum von 2,0 N·m, wenn die Ebene der Spule längs des Feldes liegt, wo EMK und Strom am größten sind, und im Mittel beträgt es die Hälfte davon, 1,0 N·m. Zur Kontrolle: Die mittlere mechanische Leistung $\bar{\tau }\omega =1,005\cdot \pi \approx 3,16\mathrm{W}$ entspricht der mittleren Leistung der Lampe, der halben Scheitelspannung mal dem Scheitelstrom: $\frac{1}{2}\cdot 12,57\cdot 0,503\approx 3,16\mathrm{W}$.

Ohne Transformator läge die Lampe direkt an den Schleifringen, als Last von 25 Ω statt 6,25 Ω. Sie würde nur ${\epsilon }_0^2/(2R)=6,28^2/50\approx 0,79\mathrm{W}$ aufnehmen, ein Viertel davon, und die Spule ließe sich viermal leichter drehen. Der Transformator erzeugt keine Energie: Indem er den Widerstand der Lampe viermal kleiner erscheinen lässt, lässt er die Spule bei gleicher EMK den vierfachen Strom treiben und damit die vierfache Leistung abgeben, die vollständig von dem bezahlt wird, der die Spule dreht.

Beachte schließlich, dass das Drehmoment mit ${\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}(1-\cos 2\omega t)$ schwankt: Es pulsiert mit der doppelten Drehfrequenz, was eine Einphasenmaschine erschüttert. Kraftwerke vermeiden das mit drei Spulensätzen, die um $120^{\circ }$ versetzt sind. Die $\cos 2\omega t$-Anteile ihrer drei Drehmomente sind dann um ein Drittel Periode versetzt und heben sich auf, denn
${\sin }^2\theta +{\sin }^2(\theta -120^{\circ })+{\sin }^2(\theta +120^{\circ })=\frac{3}{2}$
sodass ein symmetrischer Drehstromgenerator ein völlig gleichmäßiges Drehmoment und eine gleichmäßige Leistung liefert.

Grenzen der Gültigkeit

Der ideale Transformator setzt drei Dinge voraus: Der gesamte Fluss verkettet beide Spulen, die Wicklungen haben keinen Widerstand, und das Eisen wird ohne Verluste magnetisiert. Reale Kerne verlieren Energie auf zwei Wegen. Die Hysterese kostet bei jeder Ummagnetisierung des Eisens einen festen Energiebetrag, daher wächst ihre Verlustleistung etwa proportional zur Frequenz. Wirbelströme sind Ströme, die im Eisen selbst induziert werden; sie wachsen mit dem Quadrat der Frequenz und der Dicke der Eisenbleche, weshalb Kerne aus isolierten Blechen von etwa 0,3 mm Dicke gebaut werden. Große Transformatoren erreichen 99,5 % Wirkungsgrad, doch ein 500-MVA-Gerät gibt dann 2,5 MW als Wärme ab, daher der Ölbehälter und die Kühlrippen. Siliziumstahl sättigt bei etwa 1,5 bis 2 T: Darüber bewirkt mehr Strom kaum noch mehr Fluss. Da der Fluss durch ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$ festgelegt ist, wird ein Transformator, der unter seiner Auslegungsfrequenz oder über seiner Auslegungsspannung betrieben wird, in die Sättigung getrieben und zieht enorme Ströme.

Die Behandlung ist außerdem quasistatisch: Die Felder gelten als überall gleichzeitig wirkend. Bei 50 Hz beträgt die Wellenlänge $c/f=6000\mathrm{km}$, daher ist jede Maschine im Vergleich winzig, aber eine 1000 km lange Leitung ist ein Sechstel einer Wellenlänge und muss als Leitung mit Wellencharakter analysiert werden. Auch die Flussregel braucht Sorgfalt, wenn sich leitendes Material an einem festen Kontakt vorbeibewegt, wie bei einem Scheibengenerator, wo unklar ist, durch welche Schleife der Fluss gezählt werden soll. Dann ist die Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ der verlässlichere Leitfaden.

Wechselstrom ist nicht immer die beste Wahl. Ein langes Kabel hat eine große Kapazität, die der Wechselstrom ständig auf- und entladen muss. Jenseits von etwa 50 bis 100 km Seekabel oder mehreren hundert Kilometern Freileitung setzt sich Hochspannungsgleichstrom mit elektronischen Umrichtern durch. Isolation und Koronaentladung in der Luft um die Leiter begrenzen die höchsten Übertragungsspannungen auf etwa 1 MV.

Wie es weitergeht

Die Kraft auf Ströme aus der Lektion „Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen“ und die Flussregel aus „Elektromagnetische Induktion“ sind die gesamte Physik, die ein Stromnetz braucht. Das induzierte elektrische Feld jedes Transformators, verbunden mit seinem Gegenstück, einem magnetischen Feld, das von einem sich ändernden elektrischen Feld erzeugt wird, ergibt die sich selbst erhaltenden Wellen aus „Elektromagnetische Wellen“. Im Bezugssystem, das sich mit einer Seite der Spule bewegt, wird die magnetische Schubkraft des Generators zu einem elektrischen Feld: ein erster Blick auf die „Spezielle Relativitätstheorie“. Die Effektivwerte und der Leistungsfaktor von Wechselstromversorgungen wurden in „Elektrische Leistung und Energie im Haushalt“ behandelt, und die Gleichrichter und Wechselrichter hinter bürstenlosen Motoren und HVDC-Verbindungen stammen aus „Halbleiter, Dioden und LEDs“.