Elektromagnetische Induktion

Einsteiger

Verbinde eine Drahtspule mit einem empfindlichen Strommessgerät. Es gibt keine Batterie, deshalb steht der Zeiger auf null. Schiebe nun einen Stabmagneten in die Spule: Der Zeiger schlägt zur einen Seite aus. Hältst du den Magneten still in der Spule, fällt der Zeiger auf null zurück. Ziehst du ihn heraus, schlägt der Zeiger in die andere Richtung aus.

Das ist die elektromagnetische Induktion, entdeckt von Michael Faraday im Jahr 1831. Die Regel ist kurz: Ein Strom fließt nur, solange sich der Magnetismus ändert, der durch die Spule tritt. Ein riesiger Magnet, der still liegt, bewirkt nichts; ein kleiner, der schnell bewegt wird, bewirkt etwas. Die Animation zeigt die drei Phasen: Magnet fährt hinein, Magnet ruht, Magnet fährt heraus.

Den Grund kennst du bereits. Ein Magnet übt eine seitliche Kraft auf bewegte Ladungen aus. Bewegst du einen Draht quer durch das Feld eines Magneten, werden die Ladungen im Draht mitgeführt und dadurch entlang des Drahtes geschoben. Dieser Schub ist der induzierte Strom. Es spielt keine Rolle, was sich bewegt, der Magnet oder der Draht.

Der induzierte Strom wirkt immer der Änderung entgegen, die ihn erzeugt hat. Wenn der Magnet hineinkommt, wird die Spule zu einem kleinen Magneten, der ihn zurückstößt. Wenn er herauskommt, versucht die Spule, ihn festzuhalten. Du musst also Arbeit leisten, um den Magneten zu bewegen, und genau daher stammt die elektrische Energie.

Schneller bewegen, einen stärkeren Magneten nehmen oder mehr Windungen wickeln erzeugen alle einen größeren Strom. Generatoren in Kraftwerken, Fahrraddynamos und kabellose Ladegeräte nutzen dieses Prinzip.

Teste dich selbst: Ein Magnet ruht in einer Spule, die mit einem Messgerät verbunden ist. Was zeigt das Messgerät? (Null: Es ändert sich nichts.)

Mittelstufe

Magnetischer Fluss: Feld durch eine Schleife

Induktion wird nicht vom Magnetfeld als solchem angetrieben, sondern von einer Änderung, wie viel Feld durch einen Stromkreis tritt: dem magnetischen Fluss. Für eine ebene Schleife mit der Fläche $A$ in einem homogenen Feld $B$ gilt
$\Phi =BA\cos \theta$
wobei $\theta$ der Winkel zwischen dem Feld und der Normalen ist, der Linie senkrecht zur Ebene der Schleife. Ein Feld, das gerade durch die Schleife geht, ergibt $\theta =0$ und $\Phi =BA$. Ein Feld, das in der Ebene liegt, ergibt $\Phi =0$, weil keine Feldlinie die Schleife durchsetzt.

Der Fluss wird in Weber gemessen, $1\mathrm{Wb}=1\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$, und er hat ein Vorzeichen: Kehrst du das Feld um oder drehst du die Schleife um, wechselt der Fluss das Vorzeichen. Eine Spule mit $N$ Windungen, wie die 200 der Animation, reagiert auf die Flussverkettung $N\Phi$, da jede Windung denselben Fluss führt.

Faradaysches Gesetz: nur Änderung zählt

Das faradaysche Gesetz besagt, dass ein sich ändernder Fluss in einer Spule mit $N$ Windungen eine elektromotorische Kraft (EMK) induziert:
$\epsilon =-\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}$
Die EMK, in Volt gemessen, ist die Energie, die jeder Coulomb erhält, der einmal den Stromkreis durchläuft. Die Formel liefert ihren Mittelwert über das Intervall $\Delta t$. Durch einen Stromkreis mit dem Widerstand $R$ treibt sie einen Strom $I=\epsilon /R$.

Der Fluss $\Phi =BA\cos \theta$ kann sich auf drei Arten ändern, und jede davon induziert eine EMK:

• Ändere das Feld $B$: Bewege einen Magneten oder schalte einen Elektromagneten ein oder aus.
• Ändere die Fläche $A$: Dehne die Schleife, oder verschiebe einen Stab auf Schienen.
• Ändere den Winkel $\theta$: Drehe die Spule, so arbeitet ein Generator.

Die Größe des Flusses selbst spielt keine Rolle. Solange der Magnet von 2,6 s bis 4,6 s in der Spule ruht, bleibt die $\Phi$-Anzeige bei 0,20 mWb und die $\epsilon$-Anzeige zeigt 0 mV.

Lenzsche Regel: das Minuszeichen

Das Minuszeichen ist die lenzsche Regel: Der induzierte Strom wirkt der Flussänderung entgegen, die ihn erzeugt. Nähert sich der Nordpol, wächst der Fluss, also erzeugt der Strom ein Feld in die entgegengesetzte Richtung. Das dem Magneten zugewandte Spulenende wird zu einem Nordpol und stößt ihn ab. Verlässt der Magnet die Spule, sinkt der Fluss, der Strom kehrt sich um, und dieses Ende wird zu einem Südpol, der den Magneten zurückzieht. Die rechte Hand gibt die Richtung an: Der Daumen zeigt entlang des Feldes, das der Strom erzeugen muss, die Finger krümmen sich in Flussrichtung.

Die lenzsche Regel ist Energieerhaltung in anderer Gestalt. Weil die Spule zurückdrückt, musst du Arbeit leisten, um den Magneten zu bewegen, und diese Arbeit wird zur elektrischen Energie im Stromkreis. Würde die Spule die Bewegung unterstützen, würde ein kleiner Anstoß den Magneten von selbst davonlaufen lassen: Energie aus dem Nichts.

Rechenbeispiel: die Spule der Animation

Mit dem Magneten vollständig in der Spule verläuft das Feld $B=0,20\mathrm{T}$ entlang der Achse der Spule ($\theta =0$) durch eine Fläche $A=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=1,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$:
$\Phi =BA=0,20\cdot 1,0\times 10^{-3}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{Wb}=0,20\mathrm{mWb}$
Die $\Phi$-Anzeige erreicht diesen Wert bei 2,6 s. Sie beginnt bei 0,00, weil der Magnet aus 125 mm Entfernung nur etwa 0,0025 mWb durch die Spule schickt.

Das Hineinschieben dauert 2,0 s, von 0,6 s bis 2,6 s, also ist die mittlere EMK dabei
$|\epsilon |=\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{200\cdot 0,20\times 10^{-3}}{2,0}=0,020\mathrm{V}$
oder 20 mV. Dennoch sinkt die $\epsilon$-Anzeige bei $t\approx 2,2\mathrm{s}$ auf etwa $-89\mathrm{mV}$, weil der Fluss nicht gleichmäßig wächst. Bei 1,7 s beträgt er noch etwa 0,02 mWb; dann, als das Nordende in die Spule eintritt, steigt er bis 2,3 s auf etwa 0,18 mWb. Über das Zeitfenster von 0,6 s ist der Mittelwert $200\cdot 0,16\times 10^{-3}/0,6\approx 53\mathrm{mV}$, und ein Mittelwert kann nie größer sein als der Spitzenwert.

Das Vorzeichen folgt der lenzschen Regel: Die Anzeige ist negativ, solange der Fluss steigt, und erreicht $+89\mathrm{mV}$, während er fällt, wenn der Magnet herauskommt.

Rechenbeispiel: ein Stab auf Schienen

Zwei parallele Schienen im Abstand von 25 cm sind an einem Ende über einen Widerstand von 0,50 Ω verbunden. Ein Metallstab liegt quer über ihnen in einem homogenen Feld von 0,40 T senkrecht zu ihrer Ebene. Du ziehst den Stab mit gleichmäßigen 2,0 m/s entlang der Schienen.

In der Zeit $\Delta t$ fügt der Stab der Länge $L=0,25\mathrm{m}$ zwischen den Schienen dem Stromkreis die Fläche $Lv\Delta t$ hinzu. Also ist $\Delta \Phi =BLv\Delta t$, und das faradaysche Gesetz mit $N=1$ ergibt
$\epsilon =BLv$
$\epsilon =0,40\cdot 0,25\cdot 2,0=0,20\mathrm{V}$
und einen Strom $I=\epsilon /R=0,20/0,50=0,40\mathrm{A}$.

Als stromdurchflossener Leiter im Feld erfährt der Stab die Kraft $F=BIL=0,40\cdot 0,40\cdot 0,25=0,040\mathrm{N}$. Nach der lenzschen Regel zeigt sie rückwärts, gegen die Bewegung. Den Stab mit 2,0 m/s zu halten erfordert die Leistung $Fv=0,080\mathrm{W}$, genau die $I^{2}R=0,080\mathrm{W}$, die der Widerstand in Wärme umwandelt: Jedes Joule stammt von deinem Ziehen.

Die Anzeigen, Pfeile und Graphen ablesen

Die grüne $\Phi$-Anzeige steigt von 0,00 auf 0,20 mWb in einem S-förmigen Anstieg: erst langsam, dann schnell, dann wieder langsam, wenn sich der Magnet einpendelt. Die $\epsilon$-Anzeige, der Ausschlag des Zeigers und die Länge des violetten Pfeils $I$ folgen alle proportional der EMK. Das N oder S neben dem linken Ende der Spule ist der Pol, den der induzierte Strom erzeugt.

Im Graphen von $\Phi$ gegen $t$ ist die EMK das $-N$-fache der Steigung: negativ bei einem Anstieg, null auf jedem flachen Stück, egal wie hoch es liegt, und positiv bei einem Abfall. Der steilste Punkt des Anstiegs bei etwa 2,2 s hat eine Steigung von etwa 0,45 mWb/s, und $200\cdot 0,45\approx 89\mathrm{mV}$ ist der Spitzenwert der Anzeige.

Häufige Fehler

• Ein starkes Feld ist keine große EMK. Ruht der Magnet in der Spule, durchsetzt 0,20 mWb jede Windung, und die EMK ist genau null.
• Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen, nicht dem Feld. Wenn sich der Magnet entfernt, zeigt das induzierte Feld in die gleiche Richtung wie das Feld des Magneten und stützt den fallenden Fluss.
• Der Winkel $\theta$ wird von der Normalen aus gemessen, nicht von der Ebene. Eine Spule, deren Ebene mit dem Feld 30° bildet, hat $\theta =60^{\circ }$. Mit den Zahlen der Animation ist also $\Phi =BA\cos 60^{\circ }=0,10\mathrm{mWb}$, nicht 0,17 mWb.
• Behalte den Faktor $N$ und rechne $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ um. Lässt du $N$ weg, wird der Mittelwert der Animation von 20 mV zu 0,1 mV. Behandelst du 10 cm² als $10^{-2}{\mathrm{m}}^2$, wird daraus 200 mV.
• Eine EMK ist kein Strom. Eine Spule mit offenen Enden hat die volle EMK an ihren Anschlüssen, führt aber keinen Strom und erfährt daher keinerlei Bremsung.

Wo man ihr begegnet

Der größte Teil des Stroms der Welt stammt aus Generatoren, die Magnete an Spulen vorbeidrehen und so Wechselstrom mit 50 oder 60 Hz erzeugen. Transformatoren ändern Spannungen durch Induktion. Kabellose Handy-Ladegeräte übertragen Energie über einen Spalt mit etwa 100–200 kHz, Induktionsherde erhitzen einen Topf über Wirbelströme, und Tonabnehmer von E-Gitarren sowie Metalldetektoren erfassen bewegtes oder verborgenes Metall. Manche Züge bremsen mit Wirbelströmen, und Elektroautos gewinnen Energie zurück, indem ihre Motoren als Generatoren laufen.

Mit den Maschinen befasst sich die Lektion „Motoren, Generatoren und Transformatoren“. Das faradaysche Gesetz ist außerdem der halbe Mechanismus des Lichts: Sich ändernde magnetische und elektrische Felder erzeugen einander und wandern gemeinsam als Elektromagnetische Wellen.

Fortgeschritten

EMK und Fluss, genau definiert

Das faradaysche Gesetz verbindet zwei Größen, die EMK entlang eines geschlossenen Weges und den magnetischen Fluss durch ihn. Beide brauchen genaue Definitionen, bevor sich das Gesetz formulieren lässt. Gehe einmal in kleinen Schritten $d\vec{l}$ einen geschlossenen Weg $C$ entlang. Die EMK $\epsilon$ des Weges ist die Arbeit pro Ladungseinheit, die auf diesem einen Umlauf von dem verrichtet wird, was die Ladung entlang des Weges schiebt. Wenn eine Ladung $q$ die Kraft $\vec{F}$ spürt, dann gilt
$\epsilon =\oint (\vec{F}/q)\cdot d\vec{l}$
Eine EMK ist keine Potentialdifferenz. Das elektrische Feld ruhender Ladungen leistet auf einem Umlauf keine Nettoarbeit, denn die Ladung endet auf dem Potential, von dem sie startete: Dieses Feld hat keine Zirkulation. Wenn ein geschlossener Weg also eine EMK besitzt, wirkt irgendein anderer Antrieb, und um dessen Herkunft geht es in dieser Lektion.

Legende

$C$	Der geschlossene Weg, hier der Stromkreis, in kleinen Schritten durchlaufen.
$S$	Eine Fläche, deren Rand $C$ ist; jede solche Fläche führt denselben Fluss.
$d\vec{l}$	Ein kleiner Schritt entlang $C$ im Sinn der Pfeilspitzen.	$\mathrm{m}$
$d\vec{A}$	Ein kleines Flächenstück von $S$ als Vektor: Seine Länge ist die Fläche des Stücks, er steht senkrecht auf dem Stück, und die Rechte-Hand-Regel wählt seine Seite.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{B}$	Magnetfeld am Flächenstück.	$\mathrm{T}$
$\theta$	Winkel zwischen $\vec{B}$ und $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 1 legt die Geometrie fest. Die Pfeilspitzen auf $C$ geben den Umlaufsinn an, und ein Schritt $d\vec{l}$ ist eingezeichnet. Um den Fluss zu messen, brauchen wir eine Fläche $S$, deren Rand $C$ ist; die Abbildung nutzt die ebene. Zerlege $S$ in kleine Flächenstücke und beschreibe jedes durch einen Vektor $d\vec{A}$: Seine Länge ist die Fläche des Stücks, und er steht senkrecht auf dem Stück. Ein Stück hat zwei Seiten, und die Rechte-Hand-Regel wählt eine aus: Krümmst du die Finger der rechten Hand entlang $d\vec{l}$, zeigt der Daumen in die Richtung von $d\vec{A}$. Diese Regel verknüpft das Vorzeichen des Flusses mit dem Sinn, in dem die EMK gezählt wird.

Betrachte nun das Stück selbst. Das Feld $\vec{B}$ dort bildet den Winkel $\theta$ mit $d\vec{A}$. Daher tritt nur seine Komponente $B\cos \theta$ durch das Stück, und das Stück trägt $BdA\cos \theta =\vec{B}\cdot d\vec{A}$ zum Fluss bei. Die Summe über alle Stücke ergibt den Fluss durch $C$:
$\Phi =\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
Warum spielt die Wahl der Fläche keine Rolle? Weil $\nabla \cdot \vec{B}=0$ gilt: Feldlinien beginnen und enden nie. Daher schneidet jede Linie, die die ebene Fläche durchquert, auch eine Kuppel über demselben Rand. Jede von $C$ berandete Fläche führt also denselben Fluss, somit gehört $\Phi$ zum Weg selbst.

Mit beiden Größen besagt das faradaysche Gesetz, dass die EMK gleich der negativen zeitlichen Änderungsrate des Flusses ist. Für einen ruhenden Weg ist der einzige Antrieb das elektrische Feld, und das Gesetz lautet
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
Eine Spule mit $N$ Windungen ist $N$ solche Wege in Reihe, die jeweils vom gleichen Fluss durchsetzt werden. Ihre EMK ist also
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}$
Das Minuszeichen ist die lenzsche Regel. Eine positive EMK treibt den Strom entlang $d\vec{l}$, und nach der Rechte-Hand-Regel durchsetzt das Feld dieses Stroms $S$ in Richtung $d\vec{A}$, was positiven Fluss hinzufügt. Ein steigender Fluss erhält daher eine negative EMK, deren Strom den Fluss abbaut und so dem Anstieg entgegenwirkt.

Der Satz von Stokes wandelt die Zirkulation von $\vec{E}$ um $C$ in den Fluss von $\nabla \times \vec{E}$ durch $S$ um. Da das Gesetz für jede Schleife gilt, egal wie klein, gilt es punktweise:
$\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$
Ein sich änderndes Magnetfeld ist von einem wirbelnden elektrischen Feld umgeben, ob ein Draht da ist, der es spürt, oder nicht.

Bewegungs-EMK: ein Stromkreis in einem stationären Feld

Der Fluss durch einen Stromkreis kann sich aus zwei ganz verschiedenen Gründen ändern: Der Stromkreis bewegt sich durch ein Feld, das ruht, oder das Feld ändert sich, während der Stromkreis ruht. Das faradaysche Gesetz umfasst beides mit einer Formel, aber die dahinterliegende Physik unterscheidet sich. Nimm zuerst den bewegten Stromkreis, denn dort folgt das Gesetz aus einer Kraft, die du schon kennst.

Legende

$\vec{B}$	Magnetfeld, in die Zeichenebene zeigend (die Kreuze).	$\mathrm{T}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Stabes, nach rechts.	$m/s$
$L$	Länge des Stabes zwischen den Schienen.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}dt$	Wie weit sich der Stab in der kurzen Zeit $dt$ bewegt.	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	Ein kleines Element des Stabes, im Sinn des Stromkreises zeigend: im Uhrzeigersinn, also den Stab hinab.	$\mathrm{m}$
$d\vec{A}$	Der von $d\vec{l}$ in der Zeit $dt$ überstrichene Streifen als Flächenvektor $\vec{v}dt\times d\vec{l}$; er zeigt in die Zeichenebene hinein.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{F}$	Magnetische Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ auf eine positive Ladung $q$, die sich mit dem Stab bewegt; sie zeigt den Stab hinauf.	$\mathrm{N}$

Abbildung 2 zeigt den einfachsten bewegten Stromkreis. Ein Stab der Länge $L$ liegt quer auf zwei Schienen, die am linken Ende verbunden sind, und gleitet mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ nach rechts. Das Feld $\vec{B}$ zeigt überall in die Zeichenebene hinein (die Kreuze). Die Ladungen im Stab bewegen sich mit ihm, daher spürt jede die magnetische Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$. Für eine positive Ladung ist das die Kraft $\vec{F}$, die den Stab hinaufzeigt. Die EMK ist die Arbeit pro Ladungseinheit dieser Kraft auf einem Umlauf:
$\epsilon =\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
Nur der Stab bewegt sich, also trägt nur der Stab bei. Entlang ihm hat $\vec{v}\times \vec{B}$ die Größe $vB$ und zeigt längs des Stabes, daher beträgt die Größe der EMK $BLv$.

Nun der Bezug zum Fluss. In der kurzen Zeit $dt$ bewegt sich das Element $d\vec{l}$ um $\vec{v}dt$ und überstreicht den schraffierten Streifen, dessen Flächenvektor $d\vec{A}=\vec{v}dt\times d\vec{l}$ ist. Der ganze Stab überstreicht die Fläche $Lvdt$. Da $\nabla \cdot \vec{B}=0$ gilt, wächst der Fluss durch den Stromkreis genau um den Fluss durch diese überstrichenen Streifen. Division durch $dt$ ergibt:
$\frac{d\Phi }{dt}=\oint \vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=-\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
Der zweite Schritt nutzt die zyklische Vertauschbarkeit des Spatprodukts, $\vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=d\vec{l}\cdot (\vec{B}\times \vec{v})$, zusammen mit $\vec{B}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{B}$. Die rechte Seite ist minus die EMK, also $\epsilon =-d\Phi /dt$. Bei einem Stromkreis, der sich durch ein festes Feld bewegt, ist die Flussregel kein neues Gesetz: Sie folgt aus der magnetischen Kraft auf bewegte Ladungen.

Die Vorzeichen in Abbildung 2 bestätigen das. Das Element $d\vec{l}$ zeigt den Stab hinab, im Sinn des Umlaufs im Stromkreis, also im Uhrzeigersinn. Nach der Rechte-Hand-Regel zeigt $d\vec{A}$ dann in die Zeichenebene hinein, entlang $\vec{B}$. Der Fluss ist also positiv und wächst. Die Kraft $\vec{F}$ zeigt den Stab hinauf, also entgegen $d\vec{l}$, und daher ist die EMK negativ: ein steigender Fluss und eine negative EMK, wie es die lenzsche Regel verlangt.

Ein sich änderndes Feld: das induzierte elektrische Feld

Halte nun den Stromkreis still und ändere stattdessen das Feld, etwa indem du den Magneten statt der Spule bewegst. Ruhende Ladungen spüren keine magnetische Kraft, daher kann die magnetische Kraft nicht der Antrieb sein. Der Antrieb kommt von einem wirklich neuen elektrischen Feld, dessen Rotation nicht null ist: $\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$. Nichts im Gesetz der magnetischen Kraft sagt es voraus. Es ist ein eigenständiges Naturgesetz, durch Experimente gefunden.

Dennoch ergeben die beiden Mechanismen immer dieselbe EMK, deshalb zählt nur die Relativbewegung von Magnet und Spule. Einsteins Arbeit zur Relativitätstheorie von 1905 beginnt genau mit diesem Beispiel. Im Bezugssystem des Magneten bewegen sich die Ladungen der Spule und spüren die Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$. Im Bezugssystem der Spule sind sie in Ruhe und spüren $q\vec{E}$. Die Relativitätstheorie zeigt, dass dies ein einziges Feld ist, von zwei Bezugssystemen aus gesehen: Wie es sich in elektrische und magnetische Anteile aufteilt, hängt vom Beobachter ab.

Der EMK-Impuls: seine Höhe und seine Fläche

Wenn der Magnet der Animation in die Spule geschoben wird, erscheint die EMK als einzelner Impuls. Zwei Eigenschaften des Impulses tragen die Physik: Seine Höhe wird davon bestimmt, wie schnell sich der Fluss ändert, seine Fläche davon, wie stark sich der Fluss insgesamt ändert.

Legende

$t$	Zeit.	$\mathrm{s}$
$\Phi$	Fluss durch eine Windung der Spule.	$\mathrm{Wb}$
${\Phi }_{\max }$	Der größte Fluss, erreicht, sobald der Magnet in der Spule ruht.	$\mathrm{Wb}$
$\Delta \Phi$	Gesamter Anstieg des Flusses während des Hineinschiebens.	$\mathrm{Wb}$
$dt$	Ein kurzes Zeitintervall: die waagerechte Kathete des Steigungsdreiecks.	$\mathrm{s}$
$d\Phi$	Änderung von $\Phi$ entlang der Tangente während $dt$: die senkrechte Kathete.	$\mathrm{Wb}$
$\epsilon$	In der ganzen Spule mit $N$ Windungen induzierte EMK.	$\mathrm{V}$
${\epsilon }_{\max }$	Tiefe des Impulses unterhalb des steilsten Punktes von $\Phi$; die EMK selbst ist dort negativ.	$\mathrm{V}$
$N\Delta \Phi$	Größe der schraffierten Fläche unter dem Impuls: $N$ Windungen mal der Anstieg $\Delta \Phi$.	$\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$

Abbildung 3 beruht auf demselben Modell wie die Animation. Der obere Graph ist der Fluss $\Phi (t)$ durch eine Windung, während der Magnet hineingeschoben wird: Er steigt um $\Delta \Phi$ auf ${\Phi }_{\max }$ und bleibt dann flach. Der untere Graph ist die EMK $\epsilon (t)$, die nach dem faradayschen Gesetz das $-N$-fache der Steigung des oberen Graphen ist. Betrachte den Punkt auf der Flusskurve: Dort ist die Tangente am steilsten, und ihr Steigungsdreieck hat die Katheten $dt$ und $d\Phi$. Folge der gestrichelten Linie senkrecht nach unten, und die EMK liegt am Boden ihres Impulses, dessen Tiefe ${\epsilon }_{\max }$ ist. Wo $\Phi$ flach verläuft, bevor der Magnet ankommt und nachdem er im Inneren zur Ruhe gekommen ist, ist die EMK null, egal wie groß der Fluss ist.

Beginne mit der Höhe. Im Modell hängt der Fluss durch eine Windung vom Abstand $s$ zwischen den Mittelpunkten von Magnet und Spule so ab:
$\Phi (s)={\Phi }_{\max }[1+(s/a{)}^2{]}^{-3/2}$
mit ${\Phi }_{\max }=0,20\mathrm{mWb}$ und $a=30\mathrm{mm}$. Der Fluss hängt von der Zeit nur über $s$ ab. Daher zerlegt die Kettenregel die EMK in einen Faktor, der durch die Form des Feldes bestimmt wird, und einen Faktor, der durch die Geschwindigkeit bestimmt wird:
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{ds}\frac{ds}{dt}$
Die Steigung $d\Phi /ds$ ist proportional zu $(s/a)[1+(s/a{)}^2{]}^{-5/2}$. Setzt man die Ableitung davon gleich null, folgt $1+(s/a{)}^2=5(s/a{)}^2$. Also ist die Steigung bei $s=\pm a/2$ am steilsten, wo ihr Betrag $0,86{\Phi }_{\max }/a$ ist. Während des Hineinfahrens bewegt sich der Magnet mit konstanten 78 mm/s und passiert $s=-15\mathrm{mm}$ bei $t\approx 2,2\mathrm{s}$. Die Tiefe des Impulses ist daher
${\epsilon }_{\max }=200\cdot 0,86\cdot (0,20\times 10^{-3}/0,030)\cdot 0,078\approx 0,089\mathrm{V}$
das ist das Minimum von $-89\mathrm{mV}$ im Graphen. Der Impuls ist schmal: Nur während 0,37 s der 2 s langen Hineinbewegung ist er betragsmäßig größer als die Hälfte dieses Wertes.

Nun zur Fläche. Integriert man das faradaysche Gesetz über den ganzen Impuls, ergibt sich
$\int \epsilon dt=-N\int d\Phi =-N\Delta \Phi$
Die Fläche hängt nur von der gesamten Flussänderung ab, nicht davon, wie schnell sie stattfand. Hier steigt der Fluss von 0,0025 mWb, wenn der Magnet 125 mm entfernt ist, auf 0,20 mWb. Die Fläche beträgt also $-200\cdot (0,20-0,0025)\mathrm{mWb}\approx -39,5\mathrm{mV}\cdot \mathrm{s}$ (eine Voltsekunde entspricht einem Weber). Das Herausziehen des Magneten ergibt einen Impuls gleicher Fläche mit entgegengesetztem Vorzeichen. Ein doppelt so schnelles Hineinschieben ergibt einen doppelt so hohen und halb so breiten Impuls mit gleicher Fläche.

Die Fläche hat praktischen Nutzen. Durch einen Stromkreis mit dem Widerstand $R$ fließt die Ladung $Q=\int \epsilon dt/R$, also $Q=N|\Delta \Phi |/R$: etwa 2,0 mC pro Impuls bei 20 Ω. Das bleibt exakt, selbst wenn die Induktivität der Spule eine Rolle spielt, weil der Strom vor und nach dem Impuls null ist, sodass die induktive EMK über die Zeit null ergibt. Eine Suchspule, die an ein Ladungsmessgerät angeschlossen ist, kann daher ein Feld messen, egal wie schnell die Hand sie bewegt.

Die rotierende Spule: ein Generator

Ein Generator ändert den Fluss durch Drehung: Eine Spule dreht sich gleichmäßig in einem festen Feld. Sie drehe sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in einem homogenen Feld $B$, sodass der Winkel $\theta$ aus Abbildung 1, zwischen $\vec{B}$ und dem Flächenvektor der Spule, als $\theta =\omega t$ wächst. Jede Windung mit der Fläche $A$ führt dann $\Phi =BA\cos \omega t$, und das faradaysche Gesetz ergibt
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=NBA\omega \sin \omega t$
Die EMK ist null, wenn die Spule dem Feld frontal zugewandt ist und der Fluss am größten ist, denn der Kosinus ist an seinem Scheitel flach. Die EMK ist eine Viertelumdrehung später am größten, wenn die Spule mit der Kante zum Feld liegt und der Fluss durch null geht, sich also am schnellsten ändert. Fluss und EMK sind um eine Viertelperiode versetzt, wie Auslenkung und Geschwindigkeit bei der harmonischen Schwingung.

Dreht man die Spule der Animation mit $N=200$ und $A=1,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ in ihrem 0,20-T-Feld 50-mal pro Sekunde, ist $\omega =2\pi \cdot 50\approx 314rad/s$. Die Spitzen-EMK ist
$NBA\omega =200\cdot 0,20\cdot 1,0\times 10^{-3}\cdot 314\approx 12,6\mathrm{V}$
Die Mittelwertform des Gesetzes bestätigt das. In jeder halben Umdrehung geht der Fluss in 0,010 s von $+0,20$ auf $-0,20\mathrm{mWb}$, also ist die mittlere EMK $200\cdot 0,40\times 10^{-3}/0,010=8,0\mathrm{V}$. Das ist $2/\pi$ des Spitzenwertes, der Mittelwert einer Halbsinuswelle, wie es sein soll. Der Spitzenwert ist 140-mal so groß wie die 89 mV des von Hand hineingeschobenen Magneten, aus zwei Gründen: Der Fluss kehrt sich jetzt vollständig um, statt nur aufzutauchen, und das geschieht hundertmal pro Sekunde.

Induzierte Ströme wirken bremsend

Sobald eine induzierte EMK einen Strom treibt, befindet sich dieser Strom in einem Magnetfeld und erfährt eine Kraft. Nach der lenzschen Regel wirkt die Kraft immer der Bewegung entgegen, die sie verursacht hat, also wirkt die Induktion wie eine Bremse. Der Stab auf Schienen macht dies quantitativ.

Schiebe den Stab an und lass los. Bei der Geschwindigkeit $v$ treibt die EMK $BLv$ den Strom $I=BLv/R$ durch den Widerstand $R$ des Stromkreises, und das Feld drückt mit der Kraft $BIL=B^2{L}^{2}v/R$ auf den Stab zurück. Das zweite newtonsche Gesetz für einen Stab der Masse $m$ lautet dann
$m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2{L}^2}{R}v$
Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also nimmt die Geschwindigkeit exponentiell ab, $v=v_0{e}^{-t/\tau }$, mit der Zeitkonstante $\tau =mR/(B^2{L}^2)$. Nimm die Schienen aus dem Beispiel der Mittelstufe mit $B=0,40\mathrm{T}$, $L=0,25\mathrm{m}$ und $R=0,50\Omega$ sowie einen Stab von 20 g: $\tau =0,020\cdot 0,50/(0,40^2\cdot 0,25^2)=1,0\mathrm{s}$. Mit 2,0 m/s gestartet, gleitet der Stab eine Strecke $v_0\tau =2,0\mathrm{m}$ (das Integral von $v$ über alle Zeit), und seine gesamte kinetische Energie von 0,040 J endet als Wärme im Widerstand.

In massivem Metall gibt es keinen Draht, der den Strom führt. Das induzierte elektrische Feld treibt Wirbelströme in geschlossenen Schleifen im Metall selbst. Sie erhitzen den Topf eines Induktionsherds, bremsen Züge ohne Verschleiß und lassen einen Magneten langsam durch ein Kupferrohr sinken. Transformatorkerne bestehen aus dünnen, isolierten Blechlamellen, die diese Schleifen unterbrechen und die Verluste verringern. Eine Spule widersetzt sich auch Änderungen ihres eigenen Stroms, weil der Fluss dieses Stroms die Spule selbst durchsetzt. Diese Selbstinduktion ist der Grund, warum das Unterbrechen des Stroms in einer großen Spule einen Funken erzeugen kann.

Rechenaufgabe: ein Magnet fällt durch die Spule

Lass den Magneten der Animation aus der Ruhe fallen, mit senkrechter Achse und seinem Mittelpunkt 20 cm über dem Mittelpunkt der Spule, sodass er gerade hindurchfällt. Lass die Spule zunächst offen: Es fließt kein Strom, also bremst nichts den Fall. Wie unterscheiden sich der Impuls beim Eintreten und der beim Austreten? Schließe dann die Spule über 20 Ω: Wie viel zusätzliche Bremsung ergibt das?

Scheitelhöhen. Jeder Impuls hat dort den größten Betrag, wo die Steigung $d\Phi /ds$ am steilsten ist, bei $s=\pm 15\mathrm{mm}$, also
$|{\epsilon }_{\max }|\approx N\cdot 0,86({\Phi }_{\max }/a)v=200\cdot 0,86\cdot (0,20\times 10^{-3}/0,030)v\approx 1,15v$
in Volt für $v$ in m/s. Der Mittelpunkt des Magneten erreicht $s=-15\mathrm{mm}$ nach 0,185 m Fall, mit $v=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 0,185}\approx 1,91m/s$, und $s=+15\mathrm{mm}$ nach 0,215 m, mit etwa 2,05 m/s. Der Eintrittsimpuls hat also seinen Scheitel nahe $-2,2\mathrm{V}$, der Austrittsimpuls nahe $+2,35\mathrm{V}$, nur 15 ms später.

Breiten. Jeder Impuls hat die Fläche $N{\Phi }_{\max }\approx 40\mathrm{mV}\cdot \mathrm{s}$, weil der Fluss von fast nichts auf ${\Phi }_{\max }$ steigt und dann zurückfällt. Bei gleicher Fläche muss der höhere Austrittsimpuls schmaler sein: Fläche geteilt durch Höhe ergibt etwa 18 ms für den Eintrittsimpuls und 17 ms für den Austrittsimpuls. Beide Impulse sind etwa 25-mal höher und 25-mal schmaler als in der Animation, dem Verhältnis der Geschwindigkeiten.

Bremsung. Schließe nun die Spule über 20 Ω. Die in Wärme umgewandelte Leistung ist ${\epsilon }^2/R$, und ihr Integral $\int {\epsilon }^{2}dt/R$, numerisch über beide Impulse berechnet, beträgt etwa 5,8 mJ. Ein 50-g-Magnet kommt mit $mgh=0,050\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 0,098\mathrm{J}$ kinetischer Energie an und verliert also etwa 6 % seiner Energie. Seine Geschwindigkeit verhält sich wie die Wurzel aus der Energie, sie sinkt daher nur um etwa 3 %. Das Vernachlässigen der Bremsung im ersten Teil war berechtigt. In einem Kupferrohr ist der Widerstand winzig, die Ströme sind groß, und die Bremsung ist stark genug, um den Magneten auf einer langsamen Endgeschwindigkeit zu halten.

Grenzen der Gültigkeit: wenn die Flussregel versagt

Die Flussregel funktioniert, wenn sich der Weg des Stroms mit dem Material bewegt, das ihn führt, wie beim Stab auf Schienen. Eine rotierende Scheibe zeigt, was schiefgeht, wenn das nicht so ist, und was stattdessen zu verwenden ist.

Legende

$\vec{B}$	Magnetfeld entlang der Achse, aus der Zeichenebene heraus zeigend (die Punkte).	$\mathrm{T}$
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit der Scheibe.	$rad/s$
$r$	Radius der Scheibe: der Abstand von der Achse zum Rand.	$\mathrm{m}$
$d\rho$	Ein kurzes Stück des Radius im Abstand $\rho$ von der Achse.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Metalls an einem Punkt des Radius, der Größe $\omega \rho$: Sie wächst proportional zum Abstand von der Achse.	$m/s$
$\vec{F}$	Magnetische Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ auf eine positive Ladung im Metall: entlang des Radius, von der Achse weg.	$\mathrm{N}$
$\epsilon$	EMK zwischen den Bürsten, vom Messgerät abgelesen.	$\mathrm{V}$

Abbildung 4 zeigt eine Kupferscheibe mit dem Radius $r$, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in einem Feld $\vec{B}$ entlang ihrer Achse dreht, aus der Zeichenebene heraus (die Punkte). Eine Bürste berührt die Achse und eine den Rand, und Drähte führen von beiden zu einem Messgerät, das die EMK $\epsilon$ anzeigt. Der Strom fließt durch die Drähte, das Messgerät und einen Radius der Scheibe zwischen den Bürsten. Dieser Weg bleibt an seinem Ort, während sich die Scheibe dreht. Daher ändert sich der Fluss durch ihn nie, und die Flussregel sagt überhaupt keine EMK voraus. Trotzdem zeigt das Messgerät eine an.

Das Kraftgesetz erklärt die Anzeige. Das Metall der Scheibe bewegt sich, also spüren die Ladungen darin $q\vec{v}\times \vec{B}$. Im Abstand $\rho$ von der Achse bewegt sich das Metall mit der Geschwindigkeit $\omega \rho$. In Abbildung 4 wachsen die Pfeile $\vec{v}$ entlang des Radius daher proportional zu $\rho$, und ihre Spitzen liegen auf einer geraden gestrichelten Linie durch den Mittelpunkt. Die Kraft $\vec{F}$ auf eine positive Ladung zeigt entlang des Radius, von der Achse weg (sie ist am linken Radius eingezeichnet). Ein kurzes Stück $d\rho$ des Radius trägt daher $B\omega \rho d\rho$ zur EMK bei. Die Summe von der Achse bis zum Rand ist die Fläche unter dieser geraden Linie, ein Dreieck:
$\epsilon ={\int }_0^{r}B\omega \rho d\rho =\frac{1}{2}B\omega r^2$
Für eine Scheibe mit 10 cm Radius, die sich 50-mal pro Sekunde in 0,50 T dreht, ergibt das 0,79 V. Die Regel, die niemals versagt, ist das Kraftgesetz selbst, mit der Kraft pro Ladungseinheit, integriert entlang des tatsächlichen Weges der Ladungen:
$\epsilon =\oint (\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$

Das Stromkreisbild hat auch eigene Grenzen. Es setzt voraus, dass die EMK überall in der Schleife gleichzeitig auftritt, was einen Stromkreis verlangt, der viel kleiner ist als die Wellenlänge $c/f$ des sich ändernden Feldes: 6000 km bei 50 Hz, aber nur 30 cm bei 1 GHz, wo Drähte als Antennen zu strahlen beginnen. Außerdem haben wir das eigene Feld der Spule ignoriert. Für die Spule der Animation mit der Länge $\ell =60\mathrm{mm}$ ergibt die Schätzung für eine lange Spule ihrer Induktivität, ${\mu }_0{N}^{2}A/\ell$, weniger als 1 mH. Mit 20 Ω ergibt sich eine Zeitkonstante von etwa 40 µs: vernachlässigbar gegenüber dem 0,4-s-Impuls, bei hohen Frequenzen aber dominierend.

Wie sich der Antrieb zwischen $\vec{E}$ und $\vec{v}\times \vec{B}$ aufteilt, hängt vom Bezugssystem ab. Bei kleinen Geschwindigkeiten sieht ein System, das sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegt, das elektrische Feld ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}$. Bei den 78 mm/s der Animation weicht diese Regel nur um etwa $(v/c{)}^2\approx 7\times 10^{-20}$ ab.

Am anderen Extrem steht ein supraleitender Ring. Über eine Schleife ohne Widerstand muss die gesamte EMK null sein, sonst würde der Strom unbegrenzt wachsen. Daher kann sich der Fluss durch den Ring, einschließlich des Flusses seines eigenen Stroms, überhaupt nicht ändern. Dieser Fluss tritt außerdem nur in ganzzahligen Vielfachen des Flussquants $h/2e\approx 2,07\times 10^{-15}\mathrm{Wb}$ auf. Die 0,20 mWb der Spule entsprechen etwa $10^{11}$ Quanten. SQUIDs, supraleitende Quanteninterferenzgeräte, erfassen einen winzigen Bruchteil eines Quants und reichen aus, um die Magnetfelder des Gehirns aufzuzeichnen.

Wohin das führt

Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen lieferte den Teil $\vec{v}\times \vec{B}$ dieser Lektion. Motoren, Generatoren und Transformatoren setzt das Gesetz ein: Ein Transformator besteht aus zwei Spulen, die sich einen sich ändernden Fluss teilen, und ein Motor ist ein rückwärts betriebener Generator mit der Gegen-EMK, die die lenzsche Regel vorhersagt. Elektrische Leistung und Energie im Haushalt verfolgt diese Energie bis zur Steckdose, und die Wirbelstrombremse taucht in Dämpfung und Resonanz als lineare Dämpfung wieder auf.

Füge Maxwells Korrektur hinzu, dass ein sich änderndes elektrisches Feld ebenfalls ein Magnetfeld erzeugt. Dann erzeugen sich die beiden Felder im leeren Raum gegenseitig neu und breiten sich mit $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$ aus: das Thema von Elektromagnetische Wellen. Und da nur die Relativbewegung von Magnet und Spule zählt, führt der Weg weiter zur Speziellen Relativitätstheorie.