Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung

Einsteiger

Schritt 1. Wärme wandert immer von wärmeren zu kühleren Orten, und sie kann sich auf drei Wegen ausbreiten. Ein Topf Wasser auf einer Gasflamme zeigt alle drei gleichzeitig.

Schritt 2. Leitung: Wärme, die durch Berührung durch einen Stoff wandert. Die Teilchen in der heißen Unterseite des Topfes schwingen stark und stoßen gegen ihre Nachbarn, die dann ebenfalls stärker schwingen, und so weiter durch das Metall. Nur die Schwingung wandert, nichts sonst. Metalle geben Wärme schnell weiter; Holz, Kunststoff, Wolle und ruhende Luft leiten sie langsam weiter und werden Isolatoren genannt. Eine flauschige Jacke hält dich warm, weil sie Luft einschließt.

Schritt 3. Konvektion: Wärme, die von einer bewegten Flüssigkeit oder einem Gas mitgetragen wird. Wasser nahe dem heißen Boden erwärmt sich, dehnt sich ein wenig aus und wird leichter als das kühlere Wasser darüber, also steigt es auf; kühleres Wasser sinkt nach, um seinen Platz einzunehmen, und es entsteht ein Kreislauf. Man sagt, Wärme steige auf, doch eigentlich steigt die warme Flüssigkeit oder das warme Gas auf.

Schritt 4. Strahlung: Wärme, die von unsichtbarem Infrarotlicht getragen wird, das überhaupt kein Material braucht. So wärmt Sonnenschein dein Gesicht über den leeren Raum hinweg. Dunkle, matte Flächen nehmen diese Strahlung gut auf und geben sie gut ab; glänzende reflektieren sie, deshalb sind Rettungsdecken silbern.

In der Animation zeigen goldene Pfeile, wie Wärme durch den Metallboden fließt, wo die Teilchen schwingen. Das Wasser bildet zwei Kreisläufe: Rote Klumpen (warm) steigen in der Mitte auf, blaue Klumpen (kühl) sinken an den Seiten herab. Violette Wellen tragen die Strahlung von der Flamme weg.

Test dich selbst: Warum hat ein Kochtopf einen Metallkörper, aber oft einen Griff aus Kunststoff oder Holz? (Metall gibt Wärme schnell an das Essen weiter; der Griff muss ein schlechter Leiter sein, damit du ihn anfassen kannst.)

Mittelstufe

Wärmestrom und seine Ursache

Wärme ist Energie, die sich wegen eines Temperaturunterschieds bewegt und von selbst immer von wärmer zu kühler fließt. Die Menge $Q$ wird in Joule gemessen, die Rate $Q/t$ in Watt und die Rate pro Quadratmeter, die Wärmestromdichte $q$, in W/m². Eine Differenz $\Delta T$ hat in Kelvin denselben Zahlenwert wie in Grad Celsius; nur die Strahlung hängt von den Temperaturen selbst ab, die dann in Kelvin angegeben werden müssen.

Wärme wandert auf drei Wegen: durch Leitung, von Teilchen zu Teilchen durch einen Stoff, der an seinem Platz bleibt; durch Konvektion, getragen von einer bewegten Flüssigkeit oder einem Gas; und durch Strahlung, elektromagnetische Wellen, meist Infrarot, die kein Material brauchen. Der Topf in der Animation zeigt alle drei gleichzeitig.

Leitung: Fouriersches Gesetz

Durch eine ebene Schicht der Fläche $A$ und der Dicke $d$, deren Flächen sich um $\Delta T$ unterscheiden, fließt, sobald sich die Temperaturen im Inneren eingestellt haben, der Wärmestrom
$\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{d}$

Doppelte Fläche bietet doppelt so viele Wege, doppelte Differenz treibt doppelt so stark, und doppelte Dicke halbiert den Fluss. Der Stoff geht über seine Wärmeleitfähigkeit $k$ ein, in W/(m·K): etwa 400 für Kupfer, 16 für Edelstahl, 0,7 für Ziegel, 0,15 für Holz, 0,04 für Mineralwolle und 0,025 für ruhende Luft. Metalle leiten dank ihrer freien Elektronen gut; Wolle, Schaum und Federn isolieren, indem sie Luft in Taschen einschließen, die zu klein sind, als dass sie zirkulieren könnte.

Schichten in Reihe verbinden sich wie Widerstände. Jeder Quadratmeter einer Schicht hat einen Wärmewiderstand $R=d/k$, in m²·K/W, und Bauleute summieren sie zu einem U-Wert:
$\frac{Q}{t}=UA\Delta T,U=\frac{1}{\sum (d/k)}$
Ein kleines $U$ bedeutet gute Dämmung. Für eine einzige Schicht gilt $U=k/d$, also halbiert eine doppelte Dicke den Verlust.

Rechenbeispiel: der Topf aus der Animation

Der Stahlboden hat $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, $A=0,03{\mathrm{m}}^2$ und $d=4\mathrm{mm}=0,004\mathrm{m}$, und die Flamme hält seine Unterseite 15 K heißer als seine Oberseite, also
$\frac{Q}{t}=\frac{16\cdot 0,03\cdot 15}{0,004}=1800\mathrm{W}$

Um 2 kg Wasser mit $c=4180J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ von 20 °C auf 80 °C zu erwärmen, braucht man
$Q=mc\Delta T=2\cdot 4180\cdot 60=501600\mathrm{J}\approx 502\mathrm{kJ}$
Damit dauert es ohne Verluste $t=501600/1800\approx 279\mathrm{s}$, also etwa 4,6 Minuten.

Das sind die Endwerte auf den Anzeigen: $t$ erreicht 4,6 min, das Wasser 80 °C und $Q$ 502 kJ, im Zeitraffer in acht Sekunden. Die goldenen Pfeile markieren den stationären Fluss nach oben durch den Boden, der viel dicker gezeichnet ist als 4 mm, damit seine schwingenden Atome sichtbar werden. Stahl ist ein mäßiger Leiter, aber 4 mm sind so dünn, dass 15 K 1800 W hindurchtreiben. Ein Holzboden mit $k=0,15W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ würde etwa hundertmal weniger leiten.

Konvektion: die Kreisläufe im Topf

Wasser, das den heißen Boden berührt, dehnt sich leicht aus und wird weniger dicht als das kühlere Wasser ringsum, wie die Dichteangabe in der Szene zeigt. Der Auftrieb hebt es an, und dichteres Wasser sinkt nach, um seinen Platz einzunehmen. Die gestrichelten grünen Stromlinien schließen sich zu zwei Kreisläufen, die gemeinsam über der Flamme aufsteigen und an den Wänden absinken; jedes Wasserpaket wird auf dem Weg nach oben rot und auf dem Weg nach unten blau. Dies ist freie Konvektion; mit einem Ventilator oder einer Pumpe wird es erzwungene Konvektion.

Keine einfache Formel beschreibt eine ganze Strömung, daher schreiben Ingenieure die Wärme zwischen einer Fläche und einem Fluid als
$\frac{Q}{t}=hA\Delta T$
mit $\Delta T$ zwischen der Fläche und dem fernen Fluid und einem gemessenen Koeffizienten $h$: etwa 10 W/(m²·K) für ruhige Luft, um 100 für Luft aus einem Ventilator und Zehntausende für kochendes Wasser. Dies ist das newtonsche Abkühlungsgesetz; Windkälte ist dasselbe Gesetz, bei dem der Wind $h$ erhöht.

Strahlung: die vierte Potenz der Temperatur

Jede Fläche strahlt, nahe Zimmertemperatur meist Infrarot um 10 µm. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt die Leistung einer Fläche $A$ bei absoluter Temperatur $T$:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
mit $\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ und einem Emissionsgrad $\epsilon$ zwischen 0 (ein perfekter Spiegel) und 1 (ein schwarzer Körper). Erwärmt man eine Platte von 27 °C auf 327 °C (300 K auf 600 K), verdoppelt sich $T$, und $P$ wird mit $2^4=16$ multipliziert.

Ein Körper absorbiert auch Strahlung aus seiner Umgebung, und ein guter Strahler ist ebenso ein guter Absorber. Bei einer Umgebung mit $T_0$ ist der Nettoverlust
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$
Nackte Haut bei 306 K (33 °C), mit $\epsilon \approx 0,97$ und etwa 1,5 m² strahlender Fläche, in einem Raum mit Wänden bei 293 K verliert $0,97\cdot 5,67\times 10^{-8}\cdot 1,5\cdot (306^4-293^4)\approx 115\mathrm{W}$, mehr als die etwa 100 W, die ein ruhender Körper erzeugt. Die violetten Wellen tragen Energie seitlich von der Flamme weg, wo Leitung und Konvektion kaum etwas leisten.

Rechenbeispiel: ein Einfachfenster

Ein 1,5 m² großes Fenster hat eine Glasscheibe von 4 mm Dicke mit $k=1,0W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ zwischen einem Raum mit 20 °C und der Außenluft mit 0 °C. Nur für das Glas ergibt Fouriers Gesetz $1,0\cdot 1,5\cdot 20/0,004=7500\mathrm{W}$, die Leistung mehrerer Heizkörper. Echte Fenster verlieren viel weniger: An jeder Seite haftet eine Schicht langsamer Luft, die einen Widerstand $1/h$ hinzufügt, mit $h\approx 8W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ innen (zur Hälfte Konvektion, zur Hälfte Strahlung) und $h\approx 25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ außen bei leichtem Wind.

Pro Quadratmeter addieren sich die drei Widerstände:
$R=\frac{1}{8}+\frac{0,004}{1,0}+\frac{1}{25}=0,125+0,004+0,040=0,169{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
$\frac{Q}{t}=\frac{A\Delta T}{R}=\frac{1,5\cdot 20}{0,169}\approx 178\mathrm{W},U=\frac{1}{R}\approx 5,9W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$

Das Glas stellt nur etwa 2 % des Widerstands; die Luftschichten dämmen. Der Fluss beträgt $20/0,169\approx 118W/{\mathrm{m}}^2$, also fällt an der Innenschicht $118\cdot 0,125\approx 15\mathrm{K}$ ab, und die Innenseite des Glases liegt bei etwa 5 °C, unter dem Taupunkt der Raumluft bei 50 % Feuchte von etwa 9 °C: Einfachverglasung beschlägt. Doppelverglasung mit $U\approx 1,2W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ würde hier etwa 36 W verlieren, die Ziegel-Wolle-Wand der Fortgeschrittenen-Ansicht nur etwa 11 W.

Häufige Fehler

• „Wärme steigt auf“ ist halb richtig: Warme Flüssigkeit steigt auf, aber Wärme selbst breitet sich in alle Richtungen aus, durch Leitung und Strahlung. Deshalb wärmt ein Deckenstrahler Menschen 2 m darunter.
• Dämmung hält Wärme nicht auf, sie bremst sie nur. Schon 10 cm Mineralwolle mit $U=0,04/0,1=0,4W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ lassen bei 20 K 8 W pro Quadratmeter hindurch.
• Metall und Holz bei Zimmertemperatur sind gleich warm. Stahl fühlt sich kälter an, weil er etwa hundertmal besser leitet (16 gegen 0,15 W/(m·K)) und dir deshalb schneller Wärme aus der Hand zieht.
• Setze niemals Grad Celsius in $T^4$ ein. Von 27 °C auf 327 °C steigt die abgestrahlte Leistung um den Faktor 16 (300 K auf 600 K), nicht um 12, und schon gar nicht um 21 000.
• Die Differenz $T^4-T_0^4$ ist nicht $(T-T_0{)}^4$. Für 306 K und 293 K ergibt die erste etwa 79 W pro Quadratmeter schwarzer Fläche, die zweite weniger als 0,002 W.

Wo man es antrifft

Jede Heizkostenrechnung ist eine Summe aus $UA\Delta T$-Termen über Wände, Dach und Fenster. Eine Thermoskanne verhindert alle drei Mechanismen: Das Vakuum stoppt Leitung und Konvektion, und die Verspiegelung stoppt den größten Teil der Strahlung. Das Wetter ist Konvektion im großen Maßstab, und die Temperatur der Erde gleicht die aufgenommene Sonnenstrahlung mit der ins Weltall abgestrahlten Infrarotstrahlung aus. Als Nächstes zeigt die Kinetische Gastheorie die Leitung Molekül für Molekül, Schwarzkörperstrahlung und das Quant erklärt, woher $\sigma T^4$ kommt, und Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie erklärt, warum Wärme von selbst nur von heiß nach kalt fließt.

Fortgeschritten

Wärmestromdichte und Temperaturgradient

Das Gesetz für ebene Schichten $Q/t=kA\Delta T/d$ gilt nur für eine flache Schicht, deren Temperaturen sich eingestellt haben. Um Körper beliebiger Form und Temperaturen, die sich zeitlich ändern, zu behandeln, brauchen wir ein Gesetz, das an jedem Punkt gilt. Dieser Abschnitt stellt es auf.

An jedem Punkt verwenden wir zwei Vektoren. Die Wärmestromdichte $\vec{q}$ zeigt, wohin die Energie fließt; ihr Betrag ist die Energie, die pro Zeit durch eine Flächeneinheit senkrecht zur Strömung tritt, in W/m². Der Temperaturgradient $\nabla T$ zeigt, wohin die Temperatur am schnellsten steigt; sein Betrag ist dieser Anstieg pro Meter, in K/m. Fouriers Gesetz in lokaler Form besagt, dass die Wärme genau entlang des Gradienten fließt, mit einer Rate, die durch die Wärmeleitfähigkeit $k$ bestimmt wird:
$\vec{q}=-k\nabla T$
Das Minuszeichen sorgt dafür, dass die Wärme von heiß nach kalt läuft, also gegen den Gradienten.

Für eine ebene Schicht ist der Gradient einfach $\Delta T/d$, und das lokale Gesetz liefert das Gesetz für ebene Schichten zurück. Im Topf der Animation ist der Stahlboden 4 mm dick, mit $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, und seine Unterseite ist 15 K heißer als seine Oberseite. Also gilt $|\nabla T|=15/0,004=3750K/m$ und $q=16\cdot 3750=60000W/{\mathrm{m}}^2$; über die 0,03 m² des Bodens ergibt das die 1800 W des Gesetzes für ebene Schichten.

Das Gesetz hat die Form des ohmschen Gesetzes, am Punkt geschrieben, $\vec{J}=-{\sigma }_{\mathrm{el}}\nabla V$: Die Temperatur spielt die Rolle des Potentials, $\vec{q}$ die der Stromdichte und $k$ die der elektrischen Leitfähigkeit ${\sigma }_{\mathrm{el}}$. Wie das ohmsche Gesetz ist es ein Stoffgesetz für sanfte Gradienten, kein Grundprinzip. In faserigen oder geschichteten Materialien hängt $k$ von der Richtung ab: Holz leitet Wärme entlang der Faser etwa doppelt so gut wie quer dazu, daher muss $\vec{q}$ dort nicht genau entgegen dem Gradienten zeigen.

Herleitung der Wärmeleitungsgleichung

Fouriers Gesetz gibt den Fluss zu einem Zeitpunkt an. Um vorherzusagen, wie sich ein Temperaturprofil mit der Zeit ändert, verbinden wir es mit der Energieerhaltung. Das Ergebnis, die Wärmeleitungsgleichung, beherrscht jedes Problem im Rest dieser Lektion.

Legende

$x$	Position entlang des Stabs.	$\mathrm{m}$
$T$	Temperaturprofil entlang des Stabs zu einem Zeitpunkt; seine Tangenten sind gestrichelt.	$\mathrm{K}$
$dx$	Dicke der dünnen Scheibe.	$\mathrm{m}$
$q(x)$	Wärmestromdichte, die durch die linke Fläche in die Scheibe eintritt.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$q(x+dx)$	Wärmestromdichte, die durch ihre rechte Fläche austritt; kleiner als $q(x)$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\rho c$	Wärmekapazität pro Volumeneinheit: Dichte mal spezifische Wärmekapazität.	$J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$
$\partial T/\partial t$	Geschwindigkeit, mit der sich die Scheibe erwärmt.	$K/s$

Abbildung 1 zeigt einen Stab, in dem die Wärme nur entlang $x$ fließt, und eine dünne Scheibe davon der Dicke $dx$. Über dem Stab liegt das Temperaturprofil $T(x)$ zu einem Zeitpunkt, mit gestrichelten Tangenten an den beiden Flächen der Scheibe. Schau dir die Tangenten an: Die linke ist steiler als die rechte, weil das Profil konvex ist (es krümmt sich nach oben). Der Fluss an jeder Fläche wird durch die lokale Steigung bestimmt, $q=-k\partial T/\partial x$, daher ist der Pfeil $q(x)$, der links eintritt, länger als der Pfeil $q(x+dx)$, der rechts austritt. Es tritt mehr Wärme ein, als austritt, und der Überschuss erwärmt die Scheibe mit der Rate $\partial T/\partial t$ des grünen Pfeils.

Zählen wir nun die Energie, pro Flächeneinheit des Stabquerschnitts. Jede Sekunde gewinnt die Scheibe $q(x)-q(x+dx)$. Für eine dünne Scheibe ist diese Differenz die Änderungsrate von $q$ entlang des Stabs mal der Dicke, also $-(\partial q/\partial x)dx$. Die Scheibe hat pro Flächeneinheit das Volumen $dx$, und $\rho c$ ist die Wärmekapazität pro Volumen (Dichte mal spezifische Wärmekapazität); sie mit der Rate $\partial T/\partial t$ zu erwärmen, erfordert $\rho cdx\partial T/\partial t$. Setzt man Gewinn gleich Speicherung und kürzt $dx$:
$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

Nun setzen wir Fouriers Gesetz ein, $q=-k\partial T/\partial x$. Bei konstantem $k$ gilt $\partial q/\partial x=-k{\partial }^{2}T/\partial x^2$, und die Division durch $\rho c$ ergibt die Wärmeleitungsgleichung:
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\alpha =\frac{k}{\rho c}$

Dieselbe Zählung funktioniert für einen kleinen Kasten im dreidimensionalen Raum. Der Nettowärmestrom, der pro Volumen aus ihm herausfließt, ist die Divergenz $\nabla \cdot \vec{q}$, also $\rho c\partial T/\partial t=-\nabla \cdot \vec{q}$, und ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ wird zum Laplace-Operator ${\nabla }^{2}T$. Die Konstante $\alpha$ ist die Temperaturleitfähigkeit in m²/s. Sie wächst mit $k$, weil Wärme dann schneller wandert, und sie sinkt mit $\rho c$, weil dann für jedes Kelvin mehr Wärme nötig ist.

Die Gleichung hat eine einfache Lesart. Die zweite Ableitung ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ ist die Krümmung des Profils: die Änderung der Steigung zwischen den beiden Flächen der Scheibe in Abbildung 1. Wo das Profil nach oben gekrümmt ist, ist ein Punkt kälter als der Durchschnitt seiner Nachbarn und erwärmt sich; wo es nach unten gekrümmt ist, ist der Punkt wärmer als seine Nachbarn und kühlt ab. So wird jede Erhebung in einem Temperaturprofil mit der Zeit eingeebnet.

Wie weit und wie schnell sich Wärme ausbreitet

Bevor man etwas löst, verrät die Wärmeleitungsgleichung schon die Zeitskalen eines Problems. Oft braucht ein Ingenieur genau das.

Die Gleichung enthält eine einzige Konstante, $\alpha$, in m²/s. Die einzige Länge, die aus $\alpha$ und einer Zeit $t$ gebildet werden kann, ist $\sqrt{\alpha t}$; nach der Zeit $t$ hat sich eine Störung also um eine Strecke der Größenordnung $\sqrt{\alpha t}$ ausgebreitet. Umgekehrt geht eine Schicht der Dicke $d$ in einer Zeit der Größenordnung $d^2/\alpha$ in ihren stationären Zustand über. Die Zeit wächst mit dem Quadrat der Dicke: doppelt so dick, viermal so langsam.

Drei Beispiele. Der Stahlboden des Topfes, mit der Dichte 7900 kg/m³ und der spezifischen Wärmekapazität 500 J/(kg·K), hat $\alpha =16/(7900\cdot 500)\approx 4,1\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ und stellt sich in etwa $0,004^2/(4,1\times 10^{-6})\approx 4\mathrm{s}$ ein. Das ist winzig gegenüber den 279 s des Aufheizens, also war die Verwendung des stationären Gesetzes für ebene Schichten beim Topf gerechtfertigt. Zwanzig Zentimeter Ziegel, mit $\alpha \approx 4,6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$, brauchen etwa 24 h. Die 6,7 cm Wasser im Topf bräuchten allein durch Leitung etwa 9 Stunden, um durchgewärmt zu sein; die Konvektion schafft es in Minuten.

Die Wand im Diagramm

Die Ansicht für Fortgeschrittene in der Animation zeigt eine sich erwärmende Wand. Verfolgt man sie, sieht man die Wärmeleitungsgleichung am Werk: Wärme kriecht hinein, Energie wird gespeichert, und am Ende steht ein stationärer Zustand.

Legende

$x$	Abstand von der Innenseite (Raumseite).	$\mathrm{m}$
$T$	Temperatur in der Wand sechs Stunden nach Beginn.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Wärmeleitfähigkeit des Ziegels, der innen liegenden Schicht.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Wärmeleitfähigkeit der Mineralwolle, der außen liegenden Schicht.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$\sqrt{\alpha t}$	Wie weit die Erwärmung nach der Zeit $t$ in den Ziegel gekrochen ist; dort liegt das Profil nahe der Hälfte seines Oberflächenwerts.	$\mathrm{m}$
$E$	In dem Ziegel pro Quadratmeter Wand gespeicherte Energie: $\rho c$ mal die schattierte Fläche.	$J/{\mathrm{m}}^2$
$T_{\infty }$	Stationäres Profil, dem sich die Wand nähert, innerhalb jeder Schicht gerade.	$\mathrm{K}$

Abbildung 2 zeigt die Wand sechs Stunden nach Beginn. Sie besteht aus 20 cm Ziegel ($k_1=0,7W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) auf der Raumseite und 10 cm Mineralwolle ($k_2=0,04W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) außen, als Balken unter der Achse $x$ gezeichnet, im selben Maßstab. Alles war bei 0 °C, bis die Innenseite bei $x=0$ auf 20 °C gehalten wurde; die Außenseite bleibt bei 0 °C.

Lies das rote Profil $T(x)$ von links nach rechts. Es fällt nahe der Innenseite steil ab und hat die Wolle kaum erreicht: Die Erwärmung ist nur etwa $\sqrt{\alpha t}$ in den Ziegel gekrochen, die Strecke, die unter der Achse markiert ist. Nach $t=6\mathrm{h}=21600\mathrm{s}$ sind das $\sqrt{4,6\times 10^{-7}\cdot 21600}\approx 0,10\mathrm{m}$. In dieser Tiefe, markiert durch den Punkt, liegt das Profil bei etwa 10 °C, nahe der Hälfte seines Wertes an der Fläche.

Die schattierte Fläche zwischen dem Profil und der anfänglichen 0-°C-Linie misst die gespeicherte Energie: Mit $\rho c$ multipliziert ist sie die Wärme $E$, die der Ziegel pro Quadratmeter Wand aufgenommen hat. Der Anteil der Wolle ist winzig, denn ihr $\rho c$ ist 60-mal kleiner als das des Ziegels. Alle diese Energie kam durch die Innenseite herein und ist nicht durch die Außenseite hinausgelangt, also ist $E$ nahezu das Zeitintegral von $q(0)-q(d)$: der Fluss hinein an der Innenseite minus der Fluss hinaus an der Außenseite, wo $x=d$ ist.

Die Anzeigen der Animation zeigen diese beiden Flüsse. Der innere Fluss $q(0)$ beginnt sehr hoch und fällt ungefähr wie $1/\sqrt{t}$, wie der Fluss in einen sehr dicken Ziegelblock, $\Delta T\sqrt{k\rho c/(\pi t)}$, der nach einer Stunde etwa 190 W/m² beträgt. Der äußere Fluss $q(d)$ bleibt bei null, bis die Erwärmung ihn erreicht. Nach den sechs Stunden von Abbildung 2 betragen sie etwa 76 und 2,3 W/m²: Das meiste, was hereinkommt, lädt noch den Ziegel auf. Beide nähern sich 7,2 W/m², und sie liegen nach 48 Stunden innerhalb von 10 % voneinander und nach 72 Stunden innerhalb von 1 %.

Die gestrichelte graue Linie $T_{\infty }$ ist der stationäre Zustand, in dem die Wand am Ende ist. Dort gilt $\partial T/\partial t=0$, also sagt die Wärmeleitungsgleichung ${\partial }^{2}T/\partial x^2=0$: Das Profil ist innerhalb jeder Schicht gerade. Im stationären Zustand sammelt sich nirgends Energie an, daher quert derselbe Fluss $q$ beide Schichten. Die Steigung jeder Schicht ist daher $q/k$, die Steigungen verhalten sich also umgekehrt wie die Leitfähigkeiten, und die Gerade durch die Wolle ist $k_1/k_2=17,5$-mal steiler. Der Fluss ergibt sich aus der Addition der Widerstände $d/k$ beider Schichten pro Quadratmeter, mit $d_1=0,20\mathrm{m}$ Ziegel und $d_2=0,10\mathrm{m}$ Wolle:
$q=\frac{\Delta T}{d_1/k_1+d_2/k_2}=\frac{20}{0,286+2,5}\approx 7,2W/{\mathrm{m}}^2,U\approx 0,36W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$
Der Temperaturabfall über jeder Schicht ist $q$ mal ihr Widerstand. Der Widerstand der Wolle ist etwa neunmal so groß wie der des Ziegels, daher nimmt sie 17,9 K von den 20 K, und der Ziegel nur 2,1 K.

Abklingmoden

Wie schnell vergisst die Wand ihren Anfang und stellt sich auf $T_{\infty }$ ein? Die Antwort ergibt sich, wenn man das Profil in einfache Formen zerlegt, die jeweils mit ihrer eigenen Rate abklingen.

Die Wärmeleitungsgleichung ist linear: Die Summe zweier Lösungen ist wieder eine Lösung. Jede Abweichung vom stationären Zustand lässt sich also als Summe sinusförmiger Moden schreiben, und jede klingt für sich ab und behält dabei ihre Form. Setzt man eine Mode $\sin (2\pi x/\lambda )$ mit der Wellenlänge $\lambda$ in die Gleichung ein, so multiplizieren zwei $x$-Ableitungen sie mit $-(2\pi /\lambda {)}^2$, daher muss ihre Amplitude wie $e^{-t/\tau }$ abnehmen, mit
$\tau =\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2\alpha }$
Da die Abklingzeit mit ${\lambda }^2$ wächst, verschwinden feine Wellen fast sofort, und nur die breiteste Mode bleibt übrig. Joseph Fourier entwickelte seine Reihe, Summen aus Sinusfunktionen, genau für dieses Problem, in seiner Wärmetheorie von 1822.

In der Wand muss die langsamste Mode an die beiden Flächen des Ziegels passen. An der Innenseite ist die Temperatur festgehalten, also ist die Abweichung vom stationären Zustand dort null. An der Außenseite bremst die Wolle den Fluss fast vollständig, also ist die Steigung der Abweichung dort nahezu null. Die breiteste Sinusfunktion mit einer Nullstelle am einen Ende und einem flachen Scheitel am anderen ist eine Viertelwelle, $\lambda =4d$, was $\tau =4d^2/({\pi }^2\alpha )\approx 9,7\mathrm{h}$ ergibt. Die Wolle lässt ein wenig durch, daher klingt das Ganze etwas schneller ab: Die Lücke zwischen den beiden Anzeigen schrumpft um den Faktor $e$ etwa alle 9 Stunden, von unter 10 % nach 48 h auf unter 1 % nach 72 h.

Temperaturwellen

Wenn die Oberflächentemperatur jeden Tag oder jedes Jahr steigt und fällt, verwandelt die Wärmeleitungsgleichung das Auf und Ab in eine Welle, die nach innen hin schwächer wird. Deshalb bleiben dicke Wände und tiefe Keller nahezu auf konstanter Temperatur.

Legende

$t$	Zeit.	$\mathrm{s}$
$T$	Temperatur, gemessen von ihrem Mittelwert.	$\mathrm{K}$
$T_0$	Oberflächentemperatur, mit der Kreisfrequenz $\omega$ schwingend.	$\mathrm{K}$
$T_x$	Temperatur in der Tiefe $x$ unter der Oberfläche (hier 20 cm).	$\mathrm{K}$
$A$	Schwankung der Oberflächentemperatur um ihren Mittelwert.	$\mathrm{K}$
$A_x$	Schwankung in der Tiefe $x$: $A{e}^{-x/\delta }$, mit $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.	$\mathrm{K}$
$\Delta t$	Um wie viel später der Scheitel in der Tiefe $x$ ankommt als an der Oberfläche: $x/(\delta \omega )$.	$\mathrm{s}$

Abbildung 3 stellt zwei Temperaturen über der Zeit $t$ dar, jeweils gemessen von ihrem Mittelwert. Die große Kurve $T_0$ ist die Oberfläche, die mit der Kreisfrequenz $\omega$ und der Amplitude $A$ schwingt. Die kleine Kurve $T_x$ ist die Temperatur in einer Tiefe $x$ im Inneren. Zwei Dinge fallen auf: $T_x$ schwankt viel weniger, nur um $A_x$, und seine Spitzen kommen später, um $\Delta t$.

Beide Effekte stammen aus einer Lösung der Wärmeleitungsgleichung, einer gedämpften Welle, die nach innen läuft:
$T(x,t)-T_{\mathrm{mean}}=A{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta ),\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$
Um zu sehen, warum $\delta$ diesen Wert hat, schreibe die Welle als Realteil von $A{e}^{i\omega t}{e}^{-(1+i)x/\delta }$. Eine zeitliche Ableitung multipliziert sie mit $i\omega$; zwei räumliche Ableitungen multiplizieren sie mit $(1+i{)}^2/{\delta }^2=2i/{\delta }^2$. Die Wärmeleitungsgleichung verlangt dann $i\omega =2i\alpha /{\delta }^2$, also $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.

Lies die Lösung Term für Term. Die Amplitude fällt pro Strecke $\delta$ um den Faktor $e$, daher ist die Schwankung in der Tiefe $x$ gleich $A_x=A{e}^{-x/\delta }$. Die Phase $x/\delta$, die von $\omega t$ abgezogen wird, bedeutet, dass jede Spitze um $\Delta t=x/(\delta \omega )$ später ankommt als an der Oberfläche. Langsame Zyklen reichen tiefer, weil $\delta$ mit $1/\sqrt{\omega }$ wächst.

Für Ziegel und den Tageszyklus, $\omega =2\pi /(24\mathrm{h})$, beträgt die Tiefe $\delta$ etwa 11 cm. Die Abbildung ist für $x=20\mathrm{cm}$ gezeichnet, wo $x/\delta \approx 1,8$ ist: 20 cm tief im dicken Mauerwerk wird die Schwankung auf etwa ein Sechstel gedämpft, $e^{-1,8}\approx 0,17$, und sie kommt etwa 7 Stunden verspätet an. Im Erdreich mit $\alpha \approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$ hat die jährliche Welle $\delta \approx 2,2\mathrm{m}$: Ein 3 m tiefer Keller erlebt ein Viertel der Oberflächenschwankung, etwa zweieinhalb Monate verspätet.

Stationäre Zustände und die Laplace-Gleichung

Sobald sich nichts mehr zeitlich ändert, wird der Wärmestrom zu demselben mathematischen Problem wie in der Elektrostatik, daher lässt sich jede dort gefundene Lösung wiederverwenden.

Im stationären Zustand gilt $\partial T/\partial t=0$, und die Wärmeleitungsgleichung reduziert sich auf ${\nabla }^{2}T=0$. Das ist die Laplace-Gleichung, der das elektrostatische Potential im leeren Raum gehorcht. Jede elektrostatische Lösung beschreibt daher auch einen Wärmestrom, mit der Temperatur anstelle des Potentials und dem Fluss $\vec{q}$ anstelle des Feldes.

Nimm eine kleine Quelle der Leistung $W$ tief in einem großen Block. Im stationären Zustand durchquert die gesamte Leistung $W$ jede Kugel mit Radius $r$ um sie herum, also gilt $q=W/(4\pi r^2)$, genau wie beim Feld einer Punktladung. Mit $q=-kdT/dr$ ergibt die Integration von außen nach innen, wo der Block ungestört ist, einen Temperaturanstieg von $W/(4\pi kr)$. Bei 10 W, die tief im Erdreich mit $k=1W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ frei werden, ist das Erdreich 0,5 m entfernt um $10/(4\pi \cdot 1\cdot 0,5)\approx 1,6\mathrm{K}$ wärmer.

Rechenbeispiel: Dämmung innen oder außen?

Spielt es eine Rolle, auf welcher Seite einer Wand die Dämmung liegt? Der stationäre Wärmeverlust sagt nein; die gespeicherte Wärme und die Aufwärmzeit sagen: ja, sehr wohl.

Legende

$x$	Abstand von der Raumseite.	$\mathrm{m}$
$T$	Temperatur in der Wand im stationären Zustand.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Wärmeleitfähigkeit des Ziegels.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Wärmeleitfähigkeit der Mineralwolle.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$T_m$	Temperatur an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.	$\mathrm{K}$
$\Delta T$	Gesamte Temperaturdifferenz über die Wand; in beiden Diagrammen gleich.	$\mathrm{K}$
$E$	In dem Ziegel pro Quadratmeter Wand gespeicherte Energie: $\rho c$ mal die schattierte Fläche.	$J/{\mathrm{m}}^2$

Abbildung 4 vergleicht beide Anordnungen im stationären Zustand, mit dem Raum links bei $x=0$ und derselben Gesamtdifferenz $\Delta T=20\mathrm{K}$ über der Wand. Das obere Diagramm ist die Wand aus der Animation: Ziegel ($k_1$) auf der Raumseite, Wolle ($k_2$) außen. Das untere Diagramm vertauscht die Schichten: Wolle auf der Raumseite, Ziegel außen. Vergleiche, wo die Grenzflächentemperatur $T_m$ liegt und wie groß die schattierte Fläche unter dem Profil des Ziegels ist.

Schritt 1, der stationäre Verlust. Reihenwiderstände addieren sich in beliebiger Reihenfolge, daher ist die Summe weiterhin $0,286+2,5=2,786{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$, und der Verlust bleibt $q=7,2W/{\mathrm{m}}^2$.

Schritt 2, das Profil. Der Temperaturabfall über jeder Schicht ist $qd/k$ und wandert deshalb mit der Schicht. Mit der Wolle außen (oberes Diagramm) fällt der Ziegel von 20 °C auf $T_m\approx 17,9{}^{\circ }\mathrm{C}$ ab. Mit der Wolle innen (unteres Diagramm) nimmt die Wolle zuerst ihre 17,9 K, also ist $T_m=20-7,18\cdot 2,5\approx 2,1{}^{\circ }\mathrm{C}$, und der Ziegel spannt sich nur von 2,1 °C bis 0 °C.

Schritt 3, die gespeicherte Wärme. Pro Quadratmeter speichert der Ziegel $\rho cd$ mal seinen mittleren Temperaturanstieg über 0 °C, mit $\rho c=1,51\times 10^{6}J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$; das ist die Energie $E$, also $\rho c$ mal die schattierte Fläche in Abbildung 4. Mit der Wolle außen hat der Ziegel im Mittel 19,0 °C und speichert $1,51\times 10^6\cdot 0,20\cdot 19,0\approx 5,7\mathrm{MJ}$; mit der Wolle innen hat er im Mittel etwa 1 °C und speichert nur 0,31 MJ. Addiert man die wenigen Hundertstel Megajoule der Wolle, ergeben sich 5,8 und 0,34 MJ pro Quadratmeter, ein Faktor 17. Mit der Wolle außen muss der Raum diese 5,8 MJ liefern, während sich die Wand aufwärmt, zusätzlich zu dem, was durch die Außenseite entweicht: so viel wie der stationäre Verlust von 9 Tagen.

Schritt 4, das Timing. Mit der Wolle innen ist die Schicht zum Raum hin leicht, mit $\alpha \approx 1,6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$, und sie stellt sich in etwa $d^2/\alpha =0,10^2/(1,6\times 10^{-6})\approx 1,75\mathrm{h}$ ein. Nach zwei Stunden verliert die Raumseite 7,8 W/m², innerhalb von 10 % ihres Endwerts. Mit der Wolle außen braucht $q(0)$ zwei Tage, um sich so weit anzunähern.

Das Urteil. Innendämmung eignet sich für Räume, die nur ab und zu geheizt werden und dann innerhalb von Stunden warm werden. Außendämmung macht den Ziegel zu einem warmen Speicher, der die täglichen Schwankungen glättet. Sie hält den Ziegel außerdem warm: Hinter Innendämmung liegt der Ziegel bei 0 bis 2 °C, wo Feuchtigkeit aus dem Raum in der Wand kondensieren kann, sofern keine Dampfsperre sie aufhält.

Woher die Koeffizienten kommen

Bisher wurden die Wärmeleitfähigkeit $k$, der Konvektionskoeffizient und der Strahlungsaustausch als gegeben betrachtet. Einfache Modelle erklären ihre Größen.

Gase. Die kinetische Theorie ergibt $k\approx \frac{1}{3}n\bar{v}\ell c_1$: Es gibt $n$ Moleküle pro Volumeneinheit, die sich mit einer mittleren Geschwindigkeit $\bar{v}$ bewegen, und jedes trägt eine Wärmekapazität $c_1$ über eine mittlere freie Weglänge $\ell$, bevor es zusammenstößt. Da $\ell \propto 1/n$ ist, kürzt sich die Dichte heraus: Ein Gas leitet bei halbem Druck genauso gut. Das gilt, bis $\ell$ mit dem Behälter vergleichbar wird. In Luft bei 1 atm ist $\ell \approx 70\mathrm{nm}$, also muss der Druck in einer Vakuumflasche unter etwa 1 Pa liegen, bevor $\ell$ ihren Spalt von einigen Millimetern übersteigt und die Leitung zusammenbricht.

Metalle. Freie Elektronen tragen die Wärme ebenso wie die Ladung, deshalb leiten gute elektrische Leiter auch Wärme gut.

Konvektion. Eine Flüssigkeitsschicht der Tiefe $d$, von unten erwärmt, beginnt zu zirkulieren, wenn ihre Rayleigh-Zahl, $g\beta \Delta T{d}^3/(\nu \alpha )$, einen kritischen Wert überschreitet: etwa 1700 zwischen zwei festen Platten und etwa 1100, wenn die Oberseite eine freie Oberfläche ist, wie im Topf. Dabei ist $g$ die Erdbeschleunigung, $\beta$ der Ausdehnungskoeffizient der Flüssigkeit und $\nu$ ihre kinematische Viskosität. Die Zahl vergleicht den Auftrieb, der die Strömung antreibt, mit Viskosität und Leitung, die sie dämpfen. Für die 6,7 cm Wasser im Topf genügt weniger als ein Tausendstel Kelvin Unterschied über die Schicht.

Strahlung. Bei kleinen Differenzen gilt $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, daher verhält sich auch Strahlung wie ein Koeffizient: Eine nahezu schwarze Fläche nahe Zimmertemperatur tauscht etwa $4\sigma T_0^3\approx 6W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ aus, so viel wie natürliche Konvektion in Luft.

Grenzen der Gültigkeit

Fouriers Gesetz setzt voraus, dass die Träger der Wärme (Moleküle, Gitterschwingungen oder Elektronen) über die betrachteten Strecken und Zeiten viele Male zusammenstoßen. Es versagt in Strukturen, die mit ihrer mittleren freien Weglänge vergleichbar sind, was für Gitterschwingungen in Silizium bei Raumtemperatur einige hundert Nanometer sind. In Transistoren mit Dutzenden Nanometern Ausdehnung fließt die Wärme teilweise ballistisch, ohne Zusammenstöße, und das effektive $k$ fällt deutlich unter den Volumenwert. Die Wärmeleitungsgleichung lässt außerdem eine plötzliche Erwärmung sofort überall spüren, wenn auch schwach; das versagt auf Zeitskalen von Pikosekunden, bevor die Träger zusammengestoßen sind.

Die Leitfähigkeit hängt von der Temperatur ab, wodurch die Gleichung über weite Bereiche nichtlinear wird. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz setzt graue Flächen voraus, die viel größer sind als die thermische Wellenlänge, bei Raumtemperatur etwa 10 µm. Über viel schmalere Spalte hinweg kann Nahfeldstrahlung die Grenze des Schwarzkörpers um ein Vielfaches übertreffen.

Wohin das führt

Molekulare Diffusion gehorcht derselben Gleichung wie die Wärme, Elektrischer Strom und Widerstand ist das elektrische Gegenstück der Leitung, und stationärer Wärmefluss wiederholt Elektrisches Feld und Potential. Die Kinetische Gastheorie liefert die mittlere freie Weglänge hinter $k$, und Schwarzkörperstrahlung und das Quant leitet $\sigma$ aus dem planckschen Strahlungsgesetz ab. Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie zeigt, dass Wärme, die ein Temperaturgefälle hinabfließt, Entropie erzeugt, in der Wand etwa $7,2(1/273-1/293)\approx 1,8\times 10^{-3}W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, und Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt trifft auf eine Diffusionsgleichung mit einem imaginären Koeffizienten.